PROF. DR ING. BORIS APSEN'

REPETITORI J.

VIE MATEMATIKE.IIITree

DIO

izdanje

'11EHNICKA KNJIGA ZAGREB 1965.

SADRZAJ:

1. DETERMIN ANTEl.Openito

l

2. 3. 4. 5. 6.

Determinante drugog reda Determinante treeg reda Determinante viih redova Svojstva determinanata Operacije s determinantama a) Mnoenj e de te,rmin,ana,ta b) Kvadriranje determLn:anata 7. Matrice

l l 6 14

1720

20 20 2123 23 24 25 3137 46 47

'

2. VEKTORI U PROSTORU. VEKTORSKA ALGEBRA

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Openito o vektorima i skalarima . Prostorni pravnkutni koordinatni srustav, koordinatne osi ravnine _Komponente vektora. Njegova duljina i smjer Skalarni ili unutarnji produkt dvaju vektora Vektorski ili vanjski vrodukt dvaju veMora Zbroj vektora poliedra Viestruki produkti vektora . a) Umnoak skalarnog produk,ta dv.aju vektora i treeg vektor1a b) T1rostruki skalarni pro:d!l.likt e) Trostrukd vektorsk,i produk,t d) e e lt v er o ,s, t r u k ,j s k .a l a r n il p .r o d lU k t e) Cetverostrukd veklto.rsk,i produkt 8. Derivacija vektora po parametru. Primjene u mehanici

47 47 50 52 53

5460

3. ANALITICKA GEOMETRIJA U PP.OSTORU. PRAVCI I

RAVNIN~

l.

Openito

.

6060 60

2. Pravac a) Jedn.ad,be pravca kroz jednu za,danu taku b) Pravac kroz jednu zadanu taeku pTedoen SVOJlffi or,to.gon,aln,im 'P'rojekcli.,j.ama u dvije koorrdrim.adbe ratrema pr>a'vog netpra>vog b) Nun>i uvjet za e!ks:trem e) Dovoldnti uvjett za e>kstrem d) V e z a>ni ck,s,trem:i 16. Geometrijske primjene parcijalnih derivacija a) S lin g u l arn e ta ke ravn lih ik rd. vu 1\ja bl Ovojnica (anvelopa) famiiH.je ravntih k:ri v u l j a

IM165 169 175 179 179 180 181 193 201 202 206 212 212 212 227 228 232

5. VISESTRUKI ODREENI INTEGRAL! I NJIHOVA PRIMJENAl. Dvostruki integrali a) P o j a m, g e o m e t tr i j 1s k ob)

S.rednja

vrdjednost

e n j e ti dvots:rttrukog

z n ta

raruiilanje

iiil>teg:r.ala

2. Trostruki integrali 3. Zamjena promjenljivih u dvostrukim integralima a) P o J,a .r n e ktoordlin,ateb) Op>i~ sluraj

232235 238

koorddnate 4. Zamjena promjenljivih u trostrukom integralu a) Clil i n drik e koordinate b) KiUglbijemo iz determinante sustava

+

X

L\=

l

a .. a"

a,. a.,

tako, da za brojnik nepoznanice x zamijenimo stupac njegovih koeficijenata a,. i au lanovima b, i b., koji se nalaze na desnim stranama zadanih jednadbi, a za brojnik nepoznanice y zamijenimo u determinanti drugi stupac, koji ine koefi~ cijenti te nepoznanice, istim lanovima b, i b,. Dobijemo:

b,a,.- a,.b, x= auaaa- auau

l b, b, au l au lau au l a,,a21

anb,- b,a., y= . auau- a ua&,

= ,a,,

l

a" au b. a .. , au a.,

b,

Kako se vidi iz tih jednakosti, determinante, koje su u brojnicima, rjeavaju se po istoj gore navedenoj shemi, t. j. mnoenjem u kri. Promotrimo pojedine sluajeve, koji mogu nastati pri rjeavanju sustava od dvije linearne algebarske jednadbe. Promatranje tih sluajeva popratit emo njihovim geometrijskim tumaenjem, jer svaka linearna jednadba predouje geometrijski pravac u ravnini XY, pa se rjeavanje sustava od dvije linearne jednadbe s dvije nepoznanice svodi geometrijski na odreivanje koordinata presjecita tih pravaca. Primijetimo, da gore napisane jednadbe za b, :::f: O i b, :::f: O ine tako zvani nehomogeni sustav, a kad je b, =O i b,;= O homogeni sustav jednadbi. Promotrimo posebno ta dva sustava. I. Nehomogeni sustav aux a,,x

+ -a.,y =

b,

+ a"y

= b.

lt :::l x=la" a,. l'a., a ..

y

au ba = 1--------+

l l l::: :::la" b,razliite

a) Neka su determinanta sustava nule.

a

i obje determinante brojnika.

:od

U tom sluaju ima sustav jedno rjeenje x = x 0 , y = y.,. Geometrijski to znai, da se pravci'sijeku u toki S(x., y,).

2

Na pr.

p1 = 9x- 6y + 54 = O p,=:2x+ y - 2=0-54Xo

=

2 9 2

-6 l -54 + 12 -42 -6 = 9+12=-u=-l

9 -541 ~--2-:--' = 18 + 108 y.=,~ 9+12

12

-11

=

126 21

=

6

Presjecite S ( - 2, 6).ite

Vidi sl. l.~ =

Sl.

I

b) Neka je determinanta sustavaod nule, t. j.Ll

O, dok su determinante brojnika razli-

=

l a" 1 au

a,. a ..

l=

O

Odatle

t. j. koeficijenti od x i y su razmjerni (proporcionalni). U tom sluaju.'dobij~o:b., a,. b, a Xa=

oau b, au bo

l=

b,a,, -

au/Ja'

o

.

Y

=

o

l = a.,b, -o b,au~

Kako dijeljenje s nulom nema smisla, sustav jednadbi nema rjeenja.

Razmjemost koeficijenata od x i y znai geometrijski, da su pravci usporedni, pa se ne sijeku, ili, kako se esto kae, sijeku se u beskonanosti, jer je. b,a,.- a,.b, 1 JJmx=zm =oo6-+0 A-+0

i analogno

lim y = oo,6--+0

kad su brojnici

razliiti

od nule.3

'Na pr.

p, ""' 2x - y - 3 = o Pa ""' 4x- 2y + 8 = O

xo=llXSl.2

3 -8 -2 2 4 -2

-ll

...:..11==-m=-o-;

__:__6-8

-14

Yo =

l~ o -~1 = -16-12 -28 O =-otakoer

Vidi sl. 2. obje determinante brojnikl

e) Neka je determinanta sustava 6., a Jednake nuli, t. j.

ili

iliili

a11

a,,

b;= h.au b, 'au= b.

a odatle je: Svi koeficijenti zadanih jednadbi su razmjerni, t. j. jedna je jednadba dobivena iz druge tako, da je pomnoena nekom konstantom, drugtm rijeima, nemamo dvije jednadbe, ve samo jednu, ili, kako se kae, imamo dvije linearno' zavisne jednadbe; geometrijski to znai, da nam je zadan samo jedan pravac. U . tom je sludju ~ yXo

=O>

o

Y=omogli bismo

o

Kako

~

nema

odreenog smisla,

:zakljuiti da zadani sustav jednadbi nema rjeenja. Meutim, smatramo li da obje linearno zavisne jednadbe sustava predouju dva pravca, koji se po,dudaraju u svim tokama, tada moemo svaku toku pravca smatrati sjecitem pravaca, pa kazati, da na sustav ima beskonano mnogo rjeenja.

Sl. 3

Na pr.1

Pt ""'

X-

p,"= -2x

+ 6y + 12 =

Jy -

6 = 0/ - ~~ O

Vidi sf. J:.

Prihvatimo li to proireno shvaanje linearno zavisnih jednadbi, .moemo kazati, da nehomogenl sustav ima ili samo jedan sustav rjeenja, ili uope nema rjeenja, ili ih ima beskonano mnogo.ll. Homogeni sustava,,x a 21 x

+ a,.y =~

+

a"y =O O=

a) Neka je determinanta sustavaU t_m jesluaju:

l a,,

a11

a" a,.

l =t= o=0

Xo

o oa"a"

a" a,. \ a .. au

oananauasl

a"Y =

a"

o oa 11 a 11-

oauau

a,, a,.a., a,,

=0

Ta su r}esenja x. = O i Yo = O trivijalna ili oevidna, jer se na prvi pogled vidi, da vrijednosti x 0 = O i Yo =O zadovoljavaju zadani sustav. Geometrijski to znai, da se oba pravca sijeku u ishoditu.Na pr. p1

p,=

=

x-2y =O 7x + 3y =O

r_,,

r')' ;

Vidi sl. 4.

y

X

Sl. 4

Sl. 5

b) Determm:mta sustz;a

To

znai,

a,,, = O a 11 a 11 da su koeficijenti od x i y razmjerni, jer iZ gornje jednakosti, kakoa 11

~= j

smo to malo prije vidjeli, slijedi da je ~

a..

=~ a

Drugim rijeima, zadane su

jednadbe linearno zavisne: jedna je dobivena iz druge mnoenjem s nekom konstantom.

5

. s luca)u . . x. U tom Je

=

nema rjeenja. Meutim, smatramo li da obje jednadbe sustava predouju dva identina pravca, moer..m svaku toku tog dvostrukog pravca smatrati sjecitem pravaca, pa kazati, da homogeni sustav ima beskonano mnogo rjeenja, ako je determinanta sustava jednaka nuliNa pr.p, p. Vidi sl. 5.

0

o

y.

-=7

0

o , pa b'1smo opet mogl'1 zakl'JU 'Itl, . d a sustav

=

4x -

5y = O

l :-

4

a= - X

+4

5

y = 0

Na taj smo nain doli do vanog zakljuka: Homogeni sustav od dvije linearne jednadbe s dvije nepoznanice ima rjeenja razliita od oevidnih samo u tom sluaju, kad je determinanta sustava jednaka nuli, i tada ih ima beskonano mnogo.

3. Determinante

treeg

reda

Rjeavajui sustav od dvije linearne algebarske jednadbe s dvije nepoznanice, dolazimo do determinanata drugog reda. Slino tome vodi nas rjeavanje sustava od tri jednadbe s tri nepoznanice do determinanata treeg reda, koje imaju tri retka i tri stupca. Slino determinantama drugog reda oznaujemo i lanove determinanata treeg reda indeksima, od kojih prvi indeks znai redni broj retka, a drugi - redni broj stupca. I sustav od 3 linearne jednadbe s tri nepoznanice moe biti homogen ili nehomogen ve prema tome, da li je desna strana sustava (t. j. lanovi b" b, i b,) jednaka ili razliita od nule.

I. Nehomogeni sustav

a"x aux

+ a.,y + a..z= b, a.,x + a.,y + a,,z = b,

+

a"y

+

a ..z = b,

(Obrati panju, da se prvi indeksi od a ne' mijenjaju, ako ide po' bilo kojem retku, ali rastu od l do 3 kad ide po stupcu. Obratno se vladaju drugi indeksi). Rijeimo li na bilo koji n\)in taj sustav jednadbi, dobit emo za nepoznamce izraze, koje moemo prikazati u obliku determinanata treeg reda. Kao i u rjee-: njima sustava od dvije j,ednadbe s dvije nepoznanice, imat e sva tri izraza za xj y i z jednake nazivnike, koje .moemo simboliki prikazati u obliku determinante treeg reda. To je determinanta Ll zadanog sustava jednadbi. Do te determinante dolazimo na isti nain, kao i do determinante sustava drugog reda: jednostavno prepiimo sve koeficijente nepoznanica i to onim. redom, kako su navedeni u jednadbama. Dobijemo:

a 11t!>=l

a,.au

a .. auaJ,

6

l brojnike u izrazima za nepoznanice x, y i z moemo napisati u obliku deterlni.nanata. U tu ~;vrhu postupamo na isti nain, kao i pri rjeavanju: sustava od.dvije jednadbe s dvije nepoznanice. Da dobijemo brojnik izraza za x, zamijenimo prvi stupac determinanteisustava /),., t. j. koeficijente od x, desnim stranama jednadbe, t. j. s b., b, i b,_:/J,

a .. a,. au a .. a ..~a)

X~=

l l

b. a,. a,. b, a,. a ..au a,. au a a., a.,

Na isti nain dobijemo u obliku determinanata izraze za y i z: u brojniku za y zamijenimo u determinanti sustava/),. drugi stupac, t. j. koeficijente oy, desnbn stranama bh b,i b,, a u brojniku za z zamijeqimo u determinanti ~ trei stupac. t. j. koeficijente od z, s b" b, i b,. Dobijemo:

,J!

au b, au b.au

a .. , . a,,

au b. a .. . a" au a .. a,. a .. On aa, a ..

l

(b)

.J\

a,. b, au a., b, au a .. b,au auau

l

a,.a ..

au

(e)

a., a.. a ..

a ..

Nastaje pitanje, kako emo izraunati vrijednosti nepoznanica x., y. i z., ak() rjeenja zadanog sustava jednadbi neposredno napiemo u gore navedenim...Q:blicima (a), (b) i (e), t. j. u obliku determinanata. Najprije navedimo shemu predznaka;

+l l ~l+ + - +Shema predznaka Ta se shema lako pamti, jer idemo li po retku, ili po stupcu, uvijek dolaze naizmjence + i -. Prema toj shemi uzimamo predznake pojedinih.elemen.ta, kad razvijemo determinantu. Svaku determinantu moemo razviti na vie naina; po elementima bilo kojeg retka ili po elementima bilo kojeg stupca. Postupak je uvijek isti. Hoemo li 'da determinantu razvijem9 na pr. po elementima prvog retka. a to je najei sluaj razvijanja determinanata, tada prepisavi prvi element toga retka, precrtamo prvi redak i prvi stupac determinante, pa prepisani prvi element mnoimo s preostalim dijelom determinante. To je determinanta drugog reda, koja se zove subdeterminanta ili IIlinor. Iza toga prepiemo s _protivnim predznakom (vidi shemu predznakn) drugi element prvoga retka, pa slino kao i prije mnoimo taj element sa subdeterminantom drugog reda, koju_ dobijemo, kad precrtamo prvi redak i drugi stupac za-

7

~ane

determinante .. Konano,- prepiemo trei; element prvog retka i mnoimo ga sa subdeterminantom, koja se d6biva, kad se precrta prvi redak_ i trei stupac--u zadanoj deternunanu. Sada razvijemo subdetetminante na nain, koji nam je. ve poznat. Na slini nain razvijemo determinantu po elementima drugog ili treeg retka, odnosno po elementima bilo kojeg stupca, samo moramo paziti, da kod tvorenja subdeterminanata precrtamo uvijek onaj redak i stupac, u kojem se nalazi element, koji se mnoi s dotinom subdeterminantom. Pokaimo taj razvoj na determinanti sustava 6.-a,i~a~a-at

.. -

1 au l

au

ll 111 au au ll 111auass

Razvoj po elementima prvog retka:

A=

a"., a.,

.aas

a .. , a..

-a,. .

l

a 11 au

a,.,= a ..

= au(aa -

=

a a.,) --au(auaaa- a a .. ) + au(aua .. --auau) = a"a ..a - alla ..a .. -a,.auau + aua,.a., + a 18 a.,a 8; - a,.a 11au

Vidimo, da se determinante treeg reda razviju u tri subdeterminante drugog .reda. Na slini nain raZvijemo bilo koju determinantu treeg reda po elementima cb:ugog i treeg retka i po elementima' prvog, drugog i treeg stupca. ~zvijmo na pr. determinantu tl po elementima drugog stupca~

a,,-a,,.-a,,A =l -a.,=a .. =auaa1::=aaa=aaaA ~- a,. u=-au.

l

l

a., a

a ..

,+

lau a.,

l

- a ..

l

a_ l l a .. , a 11 au

=

= - a,.(a.,a -

= -

a,.a,.a ..

+ a ..a,.a., + a ..a"au- auauau- auauau + a.,a,.au

a,,a.;)-+ au(a 11au- auau) ~ au(a11au- auau) =

~o

Usporedimo li obje vrijednosti dobivene za determinantu sustava 6, vidjet da su te vrijednQsti identine.Primjer Rijelii zadani sustav jednadbi, priemu

sve determinante razvi j- na

razliite naine:.

2x-3Y+ z= 5 4x + y - 7z """ --'-8 x-8y+4z= O

8

-8x, =

s

-3l

o -S2 -34l l

-!ll 4

-8

-i llJl l +l 1 -8 o .-8 l l +l 1 -3 l -7

-

Detenninantu, koja je u brojniku, razvijemo po elementima prvog retka, a onu u nazivniku po elementima prvog stupca:

Xo ""

2

l

l . -7 -8 4

l

-4

l

-3 -8

5(4-56)+3(-32+0)+1(64-0) -292 2(4-56)-4(-12+8)+ 1,..(21-1) = _ 685

73

=11

Yo

~l~l

lt

-8 -3l

o

-i

.

-8

-~l 4

Prvu determinantu razvijemo po elementima drugog retka, a drugu, t. j. determinantu su.stava, po elementima drugog stupca:

Yo =

! l-sl 2 ! 1--stavniji nain. U tu svrhu pomnoimo sve ele-- mente prvog retka s - 2, pa ih pribrojimo elementima drugog retka.

DobijeJOO:

.6.Sada pomnoimo elemente

2 = o

-3 7

l -9

l

1t

-8

4

treeg

retka s -2, pa ih pnbrojimo elementima prvog retka;

A"""

l

o ' 01

7 -9 -8 4

13 -7,+ 49 =-!!.

Determinantu razvijemo po elementima prvog stupca

A= l

1

13 _ 7 9

-71

=-ll7

Jasllo je, da bismoprw i drugu operaciju mogli izvditi .istodobno.2

elementima prVog retka pri brojimo. elemente

treeg

retka

=

l

5 l -t l -7 4 -6 4 -5

l

=

19

elemente drugog retka pomnoimo s {-5), a zaum s ( +6), pa ih pril;lrojimo elementima prvog. odnosno treeg retka

=

lo

~ --=;~

.

36

-:21

l~

l

= -l

l

36 -38

~2119

l= ~-l

3 Izraunajmo na t_aj jednostavniji m,eru na str. 14:5 l

nain

determinantu sustava jednadfbi navedenih u pri-

-3

tlO -l

2 -l

2 l

o

-3 =. 7, - 2 -

2 ! ~'- 11 i 8

l

7

-l l

10

6

o o o

svojstvo 7)

JI26871 = 5760- 4350 80

+t

li

-l

lO

6

-3

91-l= 10 61 7 l 72 2 6 - soo

-l

o o

87 80

91

=+l

172 50

=

1410

(svojstvo l)

(svojstvo 7)

(svojstvo l)

6. Operacije s determinantama a) Mnoenje determinanata Pravilo za mnoenje dviju determinanata drugog reda moemo ukratko formulirati ovako : Mnoi elemente prvog i drugog retka prve determinante redom s elementima prvog stupca druge deterrninante, rezultate mnoenja pii u obliku stupaca. pri emu pribroj elementima tako dobivenog prvog stupca elemente drugog stupca, Drugi stupac traene deterrninante produkta dobit e na isti nain zbrajajui stupce nastale mnoenjem elemenata prvog i drugog retka prve determinante s elementima drugog stupca druge determinante. Prema tome, mnoenje dviju determinanata drugog reda vri se ovako:aubu

a,.b,.

+ a.,bl

+a

11 11

b

Na

slian nain

mnoimo dvije determinante

treeg

reda:

a,, a,. a.,

l

bu b" b.,

b,.

b,. b,.

bul b..b..

=

' aubu + aaibu a..b.. + a.b.. aubu+ aubu

l::!0

a11b,, .-a ..bu a,.b"

+ a,.b" + ab..

+ a,.b .. + a.,bu + a,,b .. + a.,b.,

a"bu a ubu a.,b,,

+ a.,b,. + aubu + ab,. + a ..b.. + aubu + aub

+ a..b.. + aubn

+

aubu

b) Kvadriranje determinanata Uzmemo li u gore navedenom izrazu za umnoak dviju determinanata drugog reda, da ~u deterrninante identine, t. j. da je

4obit

emo

formulu za kvadrat determinanata drugog reda:

Dobili smo takozvanu simetrinu determinantu, u kojoj su jednaki elementi, to lee simetrino spram glavne dijagonale. Izraunaj na isti nain kvadrat determinante treeg reda. Rezultat e opet biti simetrina dcterminanta.Primjeril.

l~ ~7

l l~ ~ l l=

26+4-8 36+58

2. 7 + 4 9 3 . 7 + 5 . 9

l- l-

44 58

""

~~

l

2.

9

151' 10251 130 39

391 13

-25. 169 = 4225. -

7. Matrice

Svrstamo li m n elemenata u pravokutnu shemu, koja ima m redaka i n stupaca, dobit emo pravokutnu tablicu, koja slui izvorom razliitih detemunanata, pa se zove matrica. Dok se determinanta stavi izmeu dva vertikalna pravca, matrica se stavi izmeu dva para pravaca. Matrica sama nema numerike vrijednosti,. jer je samo pregledno napisan sustav izraunatih veliina, obino koeficijenata jednadbi. Determinante dobiveoe iz matrice zovu se njeni minori ili subdeterminante. Na pr. iz matrice

l ~:moemo dobiti tri determinante ll drugog reda uzastopce izostavljajui jedan od stupaca, pri emu svaki put stavimo na prvo mjesto onaj stupac koji neposredno slijedi iza izostavi jenog:

cl A, e, A,

Al

B,

A, B,

Navedimo jo jedan primjer. Kako emo kasnije vidjeti iz formuje (27a), koordinate vektorskog produkta dvaju vektoraa = axz

b

+ ay} + azk =b) + by} + bzk21

'iesu determinante_drugog _r~da, koje se dobiju na gore navedeni naift_~ matnce.

'llako, da.dobijemo:-+-

axb=

la

by

Y

= (ai z - azb) i

+ (azbx- a"bz) j + (a,.by- ,aYb") k

-+

-+

Rangom matrice zovemo broj, koji je jednak najviem redu determinante te matrice, koja se ne pretvara u nulu. Prema tome, ako je rang matrice jednak p, tadasesvedeterminante reda (p+ 1)-ga te matrice pretvaraju u nulu, ali postoji bar jedna determinanta reda p, koja je razliita od nule. Rang matrice pokazuje broj linearno nezavisnih jednadbi zadanog sustava Na pr. neka je zadan sustav od tri linearne homogene jednadbe s etiri nepoznanice

A ,x A,x A,x

+ B ,y + e ,z + D,t = O + B,y + e.z + D.t = O + B.y + e.z + D,t = O

(a)

Matrica sastavljena od sviju koeficijenata tog sustava glasi:A=

A,

l A.e, e. e.A,

A,

B.

B,

B.

e, e. e.

D,

D,

ldobitietiri

D,nain

Iz te matrice moemo na gore navedeni l III. reda:

determinante

,6,

=l

B,

B, B.

e;. D, e. D, e. D,

l; =l6 64 =

D,

D. A, A. ; 6. D, Aa

A. l As

B, B, G, B,

l =l D, e. l e.

D, A, B, D. A, B, A, B,

l

Ako je-tri rang matrice A, t. j. ako su sve determinante 6." 6 1 , 6 1 i 6., r~.:. od nule, ili bar jedna od njih razliita od nule, tada gornji sustav (a) jednadbi .ima tri linearno nezavisne jednadbe, koje daju jedno odreeno rjeenje sustava. Gore navedena matrica A drugoga je ranga, ako je bar jedna od triju determinanata, koje izlaze iz matrice izostavljanjem jednog retka i stupca; razliita od nule. Ona je, konano, prvog' ranga, ako je determinanta, koja izlazi iz matrice A izostavljanjem jednog retka i dvaju stupaca, razliita od nule. esto se govori i o rangu determinante, ako je determinanta razliita od nule rreda n-toga; njezin je rang jednak njenom redu, t. i- n.ite

; 2. VEKTORI U PROSTORU VEKTORSKA ALGEBRA

t.

Openito

o vektorima i skalarima

PGd vektorom razumijemo veliinu, koja je odreena l) svojom apsolutnom vrijednou ili modulom, ili duljinom izraenom nekim mjernim brojem, 2) smjerom (pravcem) i 3) smislom. Vektor prikazujemo u obliku strjelice i rediiost;-:-tose zbrajanje, odnosno"oduzimanje .vektora napisanih u tom obliku. svodi . na jednostavno algebarsko zbrajanje, odnosno odtizimanje njegovih istoimenih komponenata, jer su komponente svakog vektora projekcije' tog vektora u smjer koordinatnih osi, pa_ sve istoimene komponente im'aju isti' 'smjerr- smjer dotine koordinatne osi.-+

r, =r,

3i-5j+ 6k4i

= -

+j -

2k

r,

+r

1

= - i - 4j

+4ky,~zadanih~vektOI'Il

r,-r,=lzrau~aj

7i-6j.+8k

. vektora zbroj rs i razlike' rd:

- -

za viebu duljinu'i. smjert_t.: j; kutove a; ~_i

-r,

i_j~aitaltoder

28

7

=

Uzmimo sada vaan poseban sluaj. Neka je zadani radijvektor + Vx + y +z'= l. Tada prema (4) imamo:X= COS Ot

jedinini,

t.j.

y =cos [3 z= cos.y

(7)

To znai: ako je vektor jedinini, tada su skalarne komponente 'toga vektora njegovi kosinusi smjera. Iz toga slijedi: ako hoemo da nekom pravcu u prostoru dodijelima smjer, dovoljno je da mu dodijelimo jedinini vektor. Primijetimo, da taj pravac ne mora prolaziti ishoditem koordinatnog sustava, jer se njegov smjer ne e promijeniti, ako ga paralelnim pomakom prenesemo u ishodite. Kako prema (2)-+ -

jedinini

vektor

v.,

-+

koji pripada zadanom' vektoru . v, dobi -:oe jedinini.radijvektor

jemo tako, da v podijelimo s njegovom duljinom.v, bit-

ro

= -rr

r

= -r1

x-+

y: z+-J+ -k, r rr

pa je cs

= ..2..., r

cos (3 =

1:.., cos y = ..:_, a to su nae formule ( 4).

z

)(

Sl. :>.6

Uzmimo sada da zadani vektor d nije radijvektor, t. j. ne izlazi iz ishodi!ta koordinatnog sustava, ve polazi iz toke A(x" y" z,); a svrava u toki B(x., y.,z,). (Vidi sl. 26). x, Dodijehmo toki A(x" y" z,) radijvektor a, kojemu su komponente y,, a { z,toki

B(x.,

-y,,

z,) radijvektor b

- {x, y,,z,

t. j. dodijelimo

tokama

A

B vektore

= x,i + y,j + z,k b.= x,i + Yl + z,ka

(a)

taKoer

Iz slike 26 vidimo, da je vektor d razlika vektora b 1 -;, t .. j . . sliku 17), pa iz jednakosti (a) slijedi:d= b-a= (x,-x,)

:i= b:-; (vidi(8)

J+

(y,-y,)j

-+ll

(z.-z,) k

d"= x,-x,Prema tome vektor d ima komponente njegova duljina prema (3) glasi:

ld.=z.-z,

dy = y . - y,

d=+ Vd+ d+ 7 . dX

ili obzirom na (8)(9)

Ta vana formula daje

takoer

meusobnu

udaljenost dvij'll

toaka_

A(x., y" z,) i B(x., y., z,) u prostoru .

Kosinuse srni era vektora d dobijemo prema (4) :

.....

cos ot =cos

d__!!

d

x.-x, = ---;-d(lO)

~ =-2

d y,-y, = :____,..::__ d d

cos y

=-

dz d -

_z,- Zd

1

Primjer. Odredi dubinu i smjer vektora d=AB, gdjeje A(3,-2,6) i B(-1,0,--4),

-

Prema (8)

-{d"=-1-3=- 4 d dy= 0+2= 2 dz = - 4 - 6 = - 10d =-4i

pa je

+

2j- JOk= v16

Prema

(9):

a=+ vc-4>" + (2)' +