ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET SARAJEVO

INŽENJERSKA FIZIKA II Predavanja II dio

13. BOHROVA TEORIJA ATOMA 13.1. Zakonitosti atomskih spektara Užarena čvrsta tijela emitiraju svjetlost s kontinuirano raspodijeljenim valnim dužinama. Od temperature užarenog tijela zavisi koji je dio spektra najintenzivniji, ali intenzitet svjetlosti opada prema manjim i većim valnim dužinama. Nasuprot ovome kontinuiranom spektru čvrstih tijela, opaža se kod plinova i para diskretne linije koje su karakteristične za pojedini kemijski element. Čitav spektar se sastoji od niza oštro određenih linija. Lako je vidjeti da linijski spektar potiče od atoma. Električno pražnjenje u cijevi niskog pritiska izaziva uvijek veliki broj atoma na emisiju svjetlosti. Linijski spektar možemo proučavati na emisionom ili apsorpcionom spektru. Pusti li se “bijela svjetlost” (svjetlost složenog spektra, npr. sunčev spektar) kroz neke pare ili gas, opaža se u dobivenom spektru da su neke linije ugašene. “Tamne linije” stoje točno gdje bi ležale emisione linije. Gas dakle apsorbira svjetlost onih valnih dužina koje bi inače emitirao. Emisioni spektar slaže se potpuno sa apsorpcionim spektrom. Ova određenost u spektrima kemijskih elemenata, jedan je od osnovnih zakona atomske fizike. Spektar atoma vodika kao najjednostavnijeg atoma, pruža najbolje mogućnosti za analizu strukture atoma na osnovu njihovog spektra. kad se kroz Geisslerovu (Gajsler) cijev s vodikom propusti električna struja, ona emitira svjetlost koja se dovodi u spektralni aparat i dobiva se linijski spektar sa velikim brojem linija, preko kojih je superponirana jedna serija linija poredanih karakterističnim redom. Ova pojava se objašnjava činjenicom da je vodik normalno u molekulskom stanju i da je pri prolasku električne struje jedan broj molekula razdvojen na atome odnosno ione. Povećanjem intenziteta struje kroz cijev, serija linija u spektru sve više dolazi do izražaja dok se mnoštvo linija gubi. To znači da se pri povećanju struje sve veći broj molekula razlaže, pa se dobiva pretežno spektar vodika u atomskom stanju. Prvi je švajcarski fizičar Balmer 1885. godine otkrio da se vodik spektar može prikazati jednostavnom matematskom formulom. Njemu su tada bile poznate četiri vidljive vodikove linije sa valnim dužinama.

1

Crtež 13.1. Osim navedenih linija, koje su u vidljivom dijelu spektra, u ultraljubičastom dijelu pojavljuje se mnogo linija koje su sve bliže jedna drugoj i završavaju se sa H∞=365 nm. Balmerova formula daje zakon po kojem se može izračunati valna dužina svake linije ove serije: 1 1

21

3 4 52 2λ= −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ =R

mm, , , , ...

(13.1.)

gdje je R Rydbergova (Ridberg) konstanta i iznosi: R m= ⋅ −1 097 107 1, (13.2.) Usavršavanjem spektrografskih aparata pronađene su i druge serije u infracrvenom i ultraljubičastom dijelu spektra vodika. Njihove valne dužine računaju se prema jednostavnom zakonu:

1 12

12 2λ

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟R

m

(13.3.)

Gdje je n=1,2,3,4,5 a m=n+1,n+2,..., odnosno: • n=1, Lymanova (Lajmanova) serija, ultraljubičasto područje, m=2,3,... • n=2, Balmerova (Balmer) serija, vidljivo područje, m=3,4,5,... • n=3, Paschenova (Pašen) serija, infracrveno područje, m=4,5,6,... • n=4, Brackettova (Breket) serija, infracrveno područje, m=5,6,... • n=5, Pfundova (Pfund) serija, infracrveno područje, m=6,7,8,... Teoretski m→ ∞ , te svaka serija ima beskonačno linija, ali za veće m, linije su tako blizu da se više ne mogu različiti.

2

13.2. Rutherfordov model atoma Dimenzije atoma su izračunate još u 19. vijeku pomoću kinetičke teorije materije. Određeno je da polumjer atoma iznosi oko 10-10 m. Prvi model koji je razradio J.J.Thomson1 (1904.) bio je tzv. statički model atoma. Međutim, ovaj model nije mogao objasniti spektre zračenja i vrlo brzo je odbačen. Da bi se ispitala struktura atoma i raspodjela negativnog i pozitivnog naboja u atomu, Ernest Rutherford (Raderford)2 i njegovi suradnici bombardirali su (1911.) metalne folije alfa česticama i promatrali promjenu njihovog smjera pri prolazu kroz foliju.

Alfa čestice su, pozitivno naelektrizirane (+2e) i izlaze iz nekih radioaktivnih elemenata. To su ustvari jezgra helija 2He4 i imaju relativno veliku masu i kinetičku energiju i zbog toga, mogu poslužiti kao projektili za ispitivanje strukture atoma. Pri prolazu kroz supstancu alfa čestice se otklanjaju od prvobitnog smjera kretanja za različite uglove υ. Raspršene čestice udaraju u zaklon pokriven cinkovim sulfidom gdje izazivaju scintilacije (svijetljenja) koja se promatraju mikroskopom. Sve je smješteno u evakuirani balon, da bi se smanjilo sudaranje alfa čestice sa molekulama zraka. Mjerenja su pokazala da veliki broj alfa čestica prolazi kroz tanki metalni listić (foliju) kao da je prazan prostor, na te alfa čestice metalni listić ne djeluje, kao da ga i nema. Jedan dio se alfa čestica rasprši, neke za velike uglove. Analizirajući rezultate eksperimenta Rutherford je došao do zaključka, da tako veliko skretanje alfa čestica moguće je damo u tom slučaju ako se unutar atoma nalazi jako električno polje, formirano nabojem vezanim za veliku masu i koncentrirao u maloj zapremini. Na osnovu ovoga Rutherford je predložio model atoma sa jezgrom, tzv. nuklearni model. Prema ovom modelu, atom predstavlja sistem naboja u čijem se centru nalazi teško pozitivno jezgro sa nabojem Ze veličine 10-14 m a oko jezgra kruži Z elektrona na udaljenosti 10-10 m. Nuklearni model je mogao objasniti raspršenje alfa čestica, jer je jezgro 104 puta manje od atoma a u njemu je koncentrirana sva masa atoma (masu elektrona možemo zanemariti u usporedbi s masom jezgre), tako da je veliki dio atoma upravo prazan prostor.

1 J.J. Thomson (1856-1940), engleski fizičar. Proučavao vođenje elektriciteta kroz plinove, otkrio electron 1897. Dobitnik Nobelove nagrade 1906. 2 Ernest Rutherford (1871-1937), dobitnik Nobelove nagrade iz kemije 1908.

3

Međutim, nuklearni model ne objašnjava atomske spektre i nalazi se u suprotnosti sa zakonima klasične mehanike i elektrodinamike. Ovakav model ne daje stabilnost atoma. Elektroni koji se kreću oko jezgra po zatvorenim putanjama, kreću se ubrzano. Po zakonima klasične elektrodinamike, naboj koji se kreće ubrzano emitira elektromagnetske valove. Stoga bi elektroni u atomu morali neprestano emitirati elektromagnetske valove, time gubiti energiju, tako da elektron na kraju mora da padne na jezgro. Smanjivanjem polumjera putanje rasla bi frekvencija emitiranja zračenja, frekvencija bi se dakle kontinuirano mijenjala, te bi atom, po klasičnoj teoriji emitirao kontinuirane spektre, a ne linijske, kako pokazuju eksperimenti. Prema tome klasična fizika ne može objasniti stabilnost atoma ni atomske spektre. 13.3. Bohrovi postulati Neils Bohr3 (Nils Bor) je 1913. dopunio Rutherfordov model atoma sa dva postulata, i na taj način uspio objasniti strukturu elektronskog omotača i procesa emisije i apsorpcije svjetlosti. Prvi Bohrov postulat. Od beskonačno mnogo elektronskih orbita (putanja), mogućih sa gledišta klasične mehanike, javljaju se u stvarnosti samo neke diskretne orbite, koje zadovoljavaju određene kvantne usluge. Elektron, koji se nalazi na jednoj od tih orbita, bez obzira na to što se kreće s ubrzanjem, ne emitira elektromagnetske valove. Drugi Bohrov postulat. Zračenje se emitira ili apsorbira u obliku svjetlosnog kvanta energije hω pri prijelazu elektrona iz jednog stacionarnog (stabilnog) stanja u drugo. Veličina svjetlosnog kvanta jednaka je razlici energije onih stacionarnih stanja, između kojih se dešava kvantni skok elektrona: hω = −E Em n (13.4.) Frekvencija emitiranja svjetlosti iznosi:

ω = −E Em n

h h

(13.5.)

Stacionarno stanje je takvo stanje pri kojem atom ne zrači nikakvu energiju, mada se elektron kreće ubrzano. Neobičnost Bohrovih postulata sastoji se u zabrani zračenja u stacionarnom stanju iako se elektroni kreću ubrzano. Takvo shvaćanje se protivi klasičnoj nauci o elektromagnetizmu, odnosno zračenju elektromagnetskih valova. 13.4. Franck-Hertzov eksperiment Franck4 i Hertz (Frank i Herc) su 1914. uspjeli eksperimentalno potvrditi postojanje određenih energetskih nivoa u atomu i opravdanost Bohrove teorije. Njihov uređaj sastoji se 3 Niels Bohr (1885-1962), danski fizičar, dobitnik Nobelo nagrade (1922) za model atoma vodika. 4 James Franck (1882-1964) I Gustav Hertz(1887-1975), njemački fizičari koji su podjelili Nobelovu nagradu za fiziku (1925) za eksperimentalne radove koji se odnose na sudare

4

od triode napunjene razrijeđenim živinim parama, crtež 13.3. Iz užarene katode izlijeću elektroni i ubrzavaju se prema anodi. Potencijal rešetke je nešto malo pozitivniji (oko 0,5 V) od potencijala anode, te će se elektroni, koji imaju energiju manju od oko 0,5 eV, zaustaviti na rešetki, dok će se ostali elektroni veće energije skupiti na anodi. Mijenjanjem anodnog napona i mjerenjem anodne struje može se snimiti karakteristika ove triode (U-I), crtež 13.4. Kada napon raste od nule do 4,9 V, anodna struja raste jer elektroni stižu na anodu. Kad je napon oko 4,9 V, anodna struja pada (a struja rešetke raste). Povećanjem napona ponovo raste struja, dok ne dostigne 9,8 V gdje se ponovo javlja maksimum anodne struje.

Ovaj eksperiment možemo objasniti ako pretpostavimo da su energetski nivoi elektrona u atomu žive kvantizirani. Kada je napon manji od 4,9 V, elektroni u cijevi nemaju dovoljno energije da pobude atome žive, već se samo elastično sudaraju s atomima žive i zbog male mase, praktično im ne predaju energiju. Struja u cijevi raste jer elektroni dospijevaju na anodu. Čim je energija elektrona dostigla vrijednost 4,9 eV, elektron ima dovoljno energije da pobudi atom žive. U takvom neelastičnom sudaru elektron izgubi energiju i umjesto na anodu dospijeva na rešetku. Zbog toga anodna struja pada, a struja rešetke raste. Rešetka zbog svog pozitivnog prednapona privlači elektrone, koji su u sudaru u blizini rešetke izgubili svu kinetičku energiju. Kada povećamo napon, elektroni ranije postižu energiju za neelastičan sudar, koji se dešava prije rešetke, u prostoru između katode i rešetke, bliže katodi, te elektron nakon sudara dok dođe do rešetke, ponovo dobije dovoljno energije da prođe kroz nju. To je razlog da struja raste kada je napon veći od 4,9 V. Kada napon dostigne vrijednost 2x4,9 V, elektron je sposoban da izvrši dva neelastična sudara, jedan ispred, a drugi blizu rešetke. Ovaj efekt se ponavlja svakih 4,9 V, crtež 13.4. Iz ovog eksperimenta može se zaključiti da tom žive iz osnovnog stanja može preći u pobuđeno stanje primivši samo određeni kvant energije. Atomi koji su primili kvant energije prelaze u pobuđeno stanje, iz kojeg se poslije veoma kratkog vremena vraćaju (≈ 10-8 s) u osnovno stanje, emitirajući kvant svjetlosti energije hω . Za živu, energija od 4,9 eV je karakteristična i odgovara valnoj dužini zračenja od:

elektrona i atoma.

5

λπ

= ≈249

250hceV

nm.

(13.6.)

Poznato je da živine pare emitiraju svjetlost pri tom procesu, izmjereno spektralnim aparatom od λ=253,7 nm, što je u dobrom slaganju sa vrijednošću izračunatom relacijom (13.6.). 13.5. Elementarna (Bohrova) teorija vodikovog atoma Prema prvom Bohrovom postulatu dozvoljene su samo one orbite (kvantni uvjet) za koje važi da je moment količine kretanja elektrona jednak cjelobrojnom višekratniku Planckove konstante . Broj n je prirodan broj i naziva se glavni kvantni broj: h

m vr n ne = =h; ,2,1 3,... (13.7.) me - masa elektrona, v brzina i r polumjer orbite. Tako je Bohr izrazom (13.7.) kvantizirao kretanje elektrona u elektronskom omotaču atoma. Uzevši u obzir da Coulombova (Kulonova) sila između protona i elektrona, uzrokuje centripetalnu silu potrebnu za kretanje po kružnici, mogu se odrediti polumjeri stacionarnih orbita, brzine i energije elektrona na tim kružnicama. Da bi elektron kružio po n-toj orbiti mora biti zadovoljen uvjet stabilnosti, tj. centripetalna sila Fc je jednaka Coulombovoj sili:

( )F rZer

= ⋅1

4 0

2

2π ε, gdje je Z-redni broj, e-naboj elektrona i ε=8,854 10-12 C2/Nm2,

dielektrična konstanta vakuuma.

×

Prema tome, uvjet stabilnosti glasi:

m v

rZer

e2

0

2

21

4= ⋅

π ε

(13.8.)

Eliminacijom v iz jednadžbe (13.7.) i (13.8.) dobivamo da polumjer elektronskih orbita može da ima samo diskretne vrijednosti:

( )rm Ze

n nne

= ⋅ =4

1 2 302

22π ε h

, , , ... (13.9.)

Za prvu orbitu vodikovog atoma (Z=1, n=1) dobiva se:

rm e

nme

10

2

24

0 053= =π ε h

, (13.10.)

Iz (13.8.) i (13.9.) može se izračunati brzina elektrona u n-toj orbiti:

6

ve Z

nn = ⋅2

041

π ε h

(13.11.)

za osnovno stanje vodikovog atome v1 ≈ c/137. Ukupna energija elektrona sastoji se od kinetičke i potencijalne:

E E Ek p= + (13.12.) Kinetička energija može se dobiti ako jednadžbu (13.8.) pomnožimo s r/2:

m v Zer

e2

0

2

21

4 2= ⋅

π ε

(13.13.)

Da bi dobili potencijalnu energiju elektrona u električnom polju jezgra, trebamo riješiti integral:

( ) Cr

Zedrr

ZedrrFE +−=== ∫∫2

02

2

0 41

41

επεπ

(13.14.)

Obično se uzima da osnovni nivo bude Ep=0, kada r → ∞ . Odavde slijedi da je konstanta C=0. Konačno, potencijalna energija elektrona u atomu je negativna. Znak minus znači da je elektron u polju jezgra, elektron s pozitivnom potencijalnom energijom, je slobodan elektron. Znači potencijalna energija je jednaka:

rZeE p

2

041επ

−= (13.15.)

Ukupna energija elektrona jednaka je:

EZe

rZer

Zer

= − = −1

4 21

41

4 20

2

0

2

0

2

π ε π ε π ε

(13.16.)

Uzevši u obzir relaciju (13.9.) dobivamo da je ukupna energija elektrona u n-toj orbiti jednaka:

( ),...2,1;

241

22

42

20

=⋅−= nnmeZ

E en

hεπ

(13.17.)

Vidimo da je ukupna energija negativna i mijenja se sa 1/n2. Energija5 osnovnog stanja za vodikov atom iznosi:

5 Energija elektrona u energetskim stanjima obično se izražava u eV. Rad potreban da se electron ili neka druga čestica s jediničnim nabojem, pomjeri između točaka čija je potencijalna razlika 1V, zove se elektronvolt(eV): 1eV= JVC 1919 106,11106,1 −− ⋅=×⋅

7

eVJeE 6,131017,232

1822

02

4

1 −=⋅−=−= −

hεπ

(13.18.)

Energija E1, je energija koju je potrebno uložiti da bi se elektron oslobodio iz atoma, tj. da bi se atom vodika ionizirao i često se naziva energija ionizacije. Energiju prvog pobuđenog stanja dobivamo za n=2, drugog za n=3, itd.:

E eV E eV E eV E eV2 3 4 53 4 1 5 0 85 0 54= − = − = − = −, ; , ; , ; , (13.19.) Pošto svakoj stacionarnoj orbiti odgovara određena energija elektrona, često se umjesto orbita, govori o dozvoljenim elektronskim nivoima elektrona u atomu. Shema energetskih nivoa određenih relacijom (13.17.) prikazana je na crtežu 13.5. Pri prijelazu vodikovog atoma iz stanja m u stanje n emitira se kvant, prema (13.5.):

( )h

hω

π ε= − = − −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟E E

m em nm n

e4

02 2 2 2

4 21 1

(13.20.)

Valna dužina emitirane svjetlosti iznosi:

( )1

4 41 14

02 3 2 2λ π ε π

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

m ec n m

e

h

(13.21.)

Na ovaj način došli smo do formule za zakonitost atomskih spektara (13.3.) iz koje možemo izračunati Rydbergovu konstantu.

8

Crtež 13.5. Uvrstivši u izraz (13.21.) vrijednosti konstanti koje u njega ulaze dobiva se veličina koja se izuzetno dobro slaže sa eksperimentalnom vrijednošću:

( )R

m ec

me= = ⋅ −4

302

7 1

41 097 10

π εh,

(13.22.)

Na osnovu Bohrove teorije moguće je objasniti optičke spektre vodika. Očito da Lymanovu seriju predstavlja grupa linija koju elektroni emitiraju vraćajući se u osnovno stanje (n=1), Balmerova, grupu linija koju emitiraju elektroni vraćajući se sa nekog višeg stanja, ali tako da se zaustave na drugoj orbiti (n=2), itd. Shema kvantnih prijelaza za atom vodika dana je na crtežu 13.6. Možemo zaključiti da su diskretne linije atomskog spektra vodika posljedica kvantnih prijelaza elektrona između diskretnih nivoa energije u atomu. cijeli brojevi n i m u empirijskoj relaciji (13.3.) i teorijskoj formuli (13.21.), od kojih zavisi valna dužina zračenja, predstavljaju glavne kvantne brojeve, koji određuju nivoe energije elektrona u atomu. Slaganje eksperimentalnih rezultata sa Bohrovom teorijom za vodik je više nego zadovoljavajuće. Međutim, teorija nailazi na nepremostive prepreke kada je trebalo da se primijeni na složene sisteme (atomi sa dva ili više elektrona). Bohrova teorija također nije omogućavala da se odredi intenzitet spektralnih linija, da se objasni cijepanje ovih linija u vanjskom električnom, odnosno magnetskom polju (Zeemanov efekt).

9

Borov model atoma vodika je odigrao ogromnu ulogu u razvoju suvremene fizike. Zahvaljujući njemu po prvi put je shvaćeno da postoji principijelna razlika između atoma (i drugih kvantnih sistema) i makroskopskih tijela, pa se prema tome ni zakoni klasične fizike ne mogu primijeniti, pri objašnjavanju unutar atomskih procesa. danas je jasno da nedostaci Bohrove teorije vodikovog atoma, leže upravo u njenom poluklasičnom, odnosno polukvantnom karakteru. Bohr je pored kvantnih koncepcija uveo i neke klasične predodžbe kao npr. pojam elektronske orbite, za koju se kasnije pokazalo da je neprimjenjiva za atom. Možemo na kraju zaključiti da je Bohrova teorija koja se oslanja na klasičnu fiziku samo prelazna etapa na putu izgradnje dosljedne teorije atomskih pojava. 13.6. Karakteristični spektar rendgenskog zračenja Kao što je rečeno pored kontinuiranog spektra rendgenskog zračenja, javlja se i linijski spektar koji ovisi o vrsti materijala od kojeg je napravljena anoda (antikatoda). Karakteristični linijski spektar nastaje kada upadni elektron izbaci jedan od elektrona iz atoma i tako napravi prazninu u jednoj od unutrašnjih ljuski atoma. Ako upadni elektron izbije jedan elektron iz K-ljuske volframovog atoma, nastat će praznina u toj ljusci. Pri tom energija upadnog elektrona mora biti dovoljno velika jer je taj elektron vezan za jezgru energijom od oko 70 KeV-a. U vrlo kratkom vremenu (oko 10-8 s) jedan elektron iz gornjih ljuski (npr. L ljuske) popunit će tu prazninu i pri tome emitirati foton energije: hω = −E EL K (13.23.)

gdje su EL i EK energetski nivoi L i K ljuske.

Praznina u L ljuski koja je nastala odlaskom tog elektrona, popunit će se elektronom iz slijedeće ljuske itd. Tako ćemo dobiti liniju K u karakterističnom rendgenskom spektru, to je linija s najmanjom frekvencijom koja odgovara prijelazu elektrona na unutrašnju orbitu K. Na crtežu 13.7. prikazan je spektar zračenja rendgenske cijevi s anodom od volframa. Na kontinuirani zakočni spektar superponirane su dvije linije Kα i Kβ. Prva nastaje pri prijelazu elektrona iz druge na prvu orbitu, dok Kβ nastaje pri prijelazu iz treće u prvu orbitu.

10

U principu nema razlike između optičkog linijskog spektra vodika i spektra težih atoma. Linije odgovaraju uvijek prijelazima elektrona s udaljenih na bliže ljuske. Pri prijelazu na K ljusku dobivamo za vodik Lymannovu seriju u ultraljubičastom području, dok za teže atome, zbog većeg naboja jezgre, energije fotona su veće, valne dužine manje, te se tako dobiva K serija rendgenskih zraka. Unutrašnji elektroni svojim negativnim nabojem zaklanjaju naboj jezgra, te se rezultati Bohrovog modela atoma vodika ne mogu primijeniti na ostale atome. Jedino za K seriju dosta dobro vrijedi formula slična onoj za vodik:

( )11 1

122λ

= − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Z Rn

(13.24.)

Ovo je tzv. Moseleyev (Mozli) zakon, gdje je Z redni broj elementa, a n=2,3,...

11