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ÍNDICE:

Teselaciones:

• Una pieza es teselante cuando es posible acoplarla entre sí con otras idénticas a ella sin huecos ni fisuras hasta recubrir por completo el plano. La configuración que en tal caso se obtiene recibe el nombre de mosaico o teselación.

• Las teselaciones han sido utilizadas en todo el mundo desde los tiempo más antiguos para recubrir suelos y paredes, e igualmente como motivos decorativos de muebles, alfombras, tapices, etc...  El artista holandés M.C. Escher se divirtió teselando el plano con figuras de distintas formas, que recuerdan pájaros, peces, animales....

• Como es fácil de imaginar, la diversidad de las formas de las piezas teselantes es infinita.  Los matemáticos y en particular los geómetras se han interesado especialmente por las teselaciones poligonales; incluso las más sencillas de estas plantean problemas colosales.

• Cuando todos los polígonos de la teselación son regulares e iguales entre sí, se dice que la teselación es regular.

•  Ahora bien, sólo existen tres teselaciones o mosaicos regulares:  la malla de triángulos equiláteros, el reticulado cuadrado como el del tablero de ajedrez y la configuración hexagonal, como la de los paneles.

¿Cómo se realiza la tesela base con cartón?

Paso a paso en la siguiente práctica.

Traslaciones:

• Trasladamos el triángulo ABC (o cualquier otra forma) de un lado de la figura inicial  al lado opuesto obteniendo el triángulo A´B´C´. Lo hemos hecho teniendo como guía el vector. Eso significa que los vectores AA´, BB´ y CC´ tienen los tres el mismo módulo, dirección y sentido que el vector.

En la primera fotografía podemos observar la traslación de un triángulo. En la segunda obtenemos una teselación compuesta por cuadrados y traslaciones de triángulos.

Fotografía 1

Fotografía 2

Giros:

• Giramos el triángulo ABC (o cualquier otra forma) en un mismo lado de la figura inicial obteniendo el triángulo A´B´C´.  Si tenemos un triángulo de cartón ABC y lo sujetamos a un tablero con una chincheta por el vértice A al empujarlo seguimos teniendo el mismo triángulo pero en otra posición A´B´C´; las longitudes de los lados siguen siendo las mismas, y en ángulo B´AB es el mismo que el C´AC todos los puntos del triángulo han cambiado de posición han cambiado excepto el vértice A alrededor del que ha girado.

• En esta otra imagen observamos un giro de un triángulo sobre un cuadrado. Si girásemos los dos cuadrados con sus respectivos triángulos 90º (el de la izquierda en el sentido de las agujas del reloj y el otro en sentido opuesto) obtendríamos una teselación.

Simetría respecto a un eje e + traslación:

• Desplazamos mediante una simetría axial y después mediante una traslación el triángulo ABC (o cualquier otra forma) de un lado de la figura inicial al lado opuesto obteniendo el triángulo A´B´C´.  En ella se cumple que desde cada uno de los vértices A, B y C trazamos la perpendicular a ese eje. Tomamos la distancia del vértice al punto de corte con el eje y la medimos sobre esa recta perpendicular. De esta manera obtenemos los puntos A´, B´ y C´. Es decir se cumple que el eje de simetría es la mediatriz de los segmentos AA´, BB´ y CC´. Posteriormente trasladados.

• En estas dos imágenes observamos una simetría respecto a un eje más una traslación. En la primera aparecen por separado mientras que en la de abajo encontramos una teselación.

Fotografía 1

Fotografía 2

Realización de la práctica:

• Se llama mosaico a todo recubrimiento del plano mediante piezas llamadas teselas.

• Dentro de un mosaico se pueden realizar diferentes cosas como son las traslaciones, giros, simetrías respecto a un punto y simetría respecto a un eje.

Mosaicos regulares:

• Se llama mosaico a todo recubrimiento del plano mediante piezas llamadas teselas (o

más habitualmente losetas o baldosas) que no pueden superponerse, ni pueden

dejar huecos sin recubrir. Existe un número ilimitado de formas de recubrir el

plano.

Triángulo

Cuadrado

Hexágono

Mosaicos semirregulares:

• Por mosaicos semirregulares entendemos aquellos que están

formados por más de un polígono regular.

• En todos los vértices concurren los mismos polígonos regulares, y

además en el mismo orden. Suele decirse que los vértices son iguales o

del mismo orden.

• Solamente existen 8 mosaicos con estas características.

Mosaicos uniformes:

Mosaicos no uniformes: • Existen también otras configuraciones de

polígonos regulares tales que la suma de sus ángulos es 360. Pero que a diferencia de los anteriores, esta disposición no puede repetirse indefinidamente en el plano sin que haya solapamiento ni huecos. Son también mosaicos semirregulares pero son no uniformes. Son necesarios vértices de más de un tipo para poder recubrir el plano.

• Solamente hay 7 mosaicos de este tipo.

Otros mosaicos:

• Mediante deformaciones de un polígono inicial que sí forme un

mosaico se originan mosaicos con formas muy diversas.

Investigación de teselas en situaciones

reales.

• Construcción de una tesela que aparece en los Baños del Palacio de Comares, situado en La Alhambra.

• En las siguientes diapositivas explicamos la práctica paso a paso.

Primer paso: dibujo geométrico.

• Para realizar las teselas necesitamos una base geométrica. Para realizarlas seguimos los siguientes pasos:

1. Realizamos circunferencias del mismo radio.2. Dentro de estas realizamos polígonos

regulares (hexágonos).

Este dibujo aparece en la siguiente dispositiva.

Segundo paso: situamos una tesela dentro del dibujo.

• Después de realizar la base geométrica podemos visualizar las distintas teselas creadas, con las cuales podemos realizar un mosaico.

En la siguientes diapositiva podemos ver la tesela sobre la base en la práctica.

Tercer paso: realizamos el mosaico.

• Por último sólo nos queda extraer la tesela y formar un mosaico con ella.

Comparando con la realidad.

La Alhambra

Dibujo hecho en Cabri

Observamos las mismas teselas en la figura de la

derecha (realizada en el

Cabri)

Construcción de un hueso que aparece en La Alhambra.En las siguientes diapositivas explicamos la práctica paso a paso.

Primer paso: dibujo geométrico.

• Al igual que en las teselas anteriores necesitamos una base geométrica. Para realizarla seguimos los siguientes pasos:

Realizamos una cuadrícula en la que situamos cuadrados simétricos en los que luego irán apareciendo las distintas teselas

Segundo paso: dibujamos la primera tesela.

• Inscritas en los cuadrados encontramos la primera de las teselas con la que haremos el mosaico.

En la siguiente diapositiva podemos verla.

Tercer paso: dibujamos la segunda tesela.

• Una vez hecha la primera, la segunda la podemos situar al lado.

Ve a la siguiente diapositiva para verlo en la práctica.

Cuarto paso: formamos el mosaico.

• Con los dos huesos obtenidos realizamos el mosaico, el cual también podemos comparar con la realidad.

La Alhambra.

Dibujo hecho en Cabri.

Observamos los mismos huesos en la figura de la

derecha (realizada en el

Cabri)

Comparando con la realidad.

Tesela manual.

• Por último para terminar con las prácticas decidimos realizar un ejercicio de teselas a mano, apoyándonos en una cuadrícula únicamente.

Fuentes:

• http://roble.cnice.mecd.es/jarran2/cabriweb/Mosaicos/mosaicos.htm

• http://centros5.pntic.mec.es/sierrami/dematesna/demates45/opciones/sabias/Expo%20Teselaciones%20Orecortables%200405/index.htm

• http://personal.telefonica.terra.es/web/emiliomartin2002/mosaicos_y_teselaciones.htm

• Dibujos geométricos y teselaciones realizadas en Cabri.

• Fotografía de La Alhambra:Pérez Gómez, Rafael(1995): La Alhambra. Granada, S.A.E.M. THALES.