BULLETIN DE LA S. M. F.

C. BOURLETtude thorique sur la bicycletteBulletin de la S. M. F., tome 27 (1899), p. 47-67.

Bulletin de la S. M. F., 1899, tous droits rservs.Laccs aux archives de la revue Bulletin de la S. M. F. (http://smf.emath.fr/Publications/Bulletin/Presentation.html), implique laccord avecles conditions gnrales dutilisation (http://www.numdam.org/legal.php).Toute utilisation commerciale ou impression systmatique est constitu-tive dune infraction pnale. Toute copie ou impression de ce fichierdoit contenir la prsente mention de copyright.

Article numris dans le cadre du programmeNumrisation de documents anciens mathmatiques

http://www.numdam.org/

47

TUDE THORIQUE SUR LA BICYCLETTE;Par M. G. BOURLET.

Le prsent travail n'est qu'une reproduction partielle cTun M-moire plus dvelopp que j'ai dpos, en juin 1897, pour leconcours du prix Fourneyron, l'Acadmie des Sciences, et quia t rcemment couronn.

Il se compose de deux Parties.Dans la premire, je forme l'quation diffrentielle du mouve-

ment relatif du plan moyen d'une bicyclette, par rapport au sol,dans le cas courant o le cycliste actionne la machine par les p-dales et tient les poignes du guidon en mains.

Dans la seconde, je me sers de cette quation pour tudier lesconditions d'quilibre.

J'ai cart, intentionnellement, le cas du

48

sistanceau roulement des roues, et malheureusement les donnesexprimentales font dfaut sur ce sujet ( f ).-

PREMIRE PARTIE.

1. Une bicyclette se compose de trois parties distinctes : lecadre, la roue-arrire et la direction.

La direction est l'ensemble form par la roue d'avant, la fourchedirectrice et le guidon.

Le cadre prsente un plan de symtrie qu'avec Macquorn Ran-kine nous nommerons le plan moyen de la machine.

Nous considrerons, dans la suite, les deux roues comme r-duites des cercles mathmatiques indformables. Dans ces con-ditions, chacune d'elles touche le sol en un point et un seul. Leplan de la roue d'arrire (ou roue motrice) concide toujours avecle plan moyen. Celui de la roue d'avant (ou roue directrice) estvariable par rapport au plan moyen et, lorsqu'il concide avec lui,on dit que le guidon est droit.

Soient alors A. le point de contact de la roue d'arrire avec le sol(suppos plan) et B celui de In roue directrice. Lorsque le guidonest droit, la droite d'intersection du plan moyen avec le sol est AB.

Ds qu'on tourne le guidon il n'en est plus ainsi ; le point decontact B de la roue d'avant sort du plan moyen. Cependant, dansla ralit, pour toutes les machines qu'on construit aujourd'hui,Pcari entre la droite AB et la trace du plan moyen sur le sol estsi faible qu'on peut le ngliger. D'ailleurs, pour nous placer dansles conditions les plus favorables la lgitimit de cette approxi-mation, nous supposerons que, lorsque le guidon est droit, lepoint B est situ sur l'axe de rotation del direction (2). Ce point Brestera ainsi toujours trs voisin de cet axe et nous pourrons ad-mettre que c^est un point fixe de cet axe.

La longueur AB est alors une longueur constante que nous

( * ) Dans mon Nouveau Trait des Bicycles et Bicyclettes, Paris, Gauthier-Villars (i" Partie, quilibre et direction, p. 87 107), j'ai, par des raisonne-ments lmentaires, donn des explications gnrales sur ce sujet qui sont prati-quement suffisantes.

( 2 ) Consulter ce sujet mon Nouveau Trait des Bicycles et Bicyclettes( i" Partie), p. i3 et \\.

dsignerons dornavant par b et que nous nommerons la longueurde la bicyclette. La droite AB est ce que Macquorn Rankineappelle la base.

2. Prenons le plan du sol pour plan de notre figure {fig\ i ) etsoient AR et BR' les traces des plans des deux roues sur le sol.

Comme le plan de la roue motrice concide avec le plan mojen,AR est confondue avec AB. Dsignons par 9 l'angle de BR7 avecAB; c'est cet angle que nous appellerons V angle dont le guidona tourn, quoique cette dnomination ne soit pas absolumentexacte.

Les deux roues sont videmment tangentes AB et BR7 en Aet B; il en rsulte que les trajectoires (T) et (T') des deux pointsde contact A et B, sur le sol sont deux courbes tangentes en A et BPune AR (ou AB), Vautre BR7.

Comme la longueur AB est constante, on peut immdiatementnoncer le rsultat suivant :

La trajectoire (T') du point de contact de la roue directricese dduit de la trajectoire (T) de celui de la roue motrice en

Fig. i.

portant sur les tangentes (T), dans le sens de la marche, partir du point de contact, une longueur constante gale lalongueur b de la machine

3. Soient alors s Parc OA {fig. i ) de la courbe (T), compt partir d^un certain point 0 que nous prendrons pour origine descoordonnes, et s ' l'arc correspondant de (T^). L^axe Ox tant latangente en 0 la courbe (), si l'on dsigne par x^ y les

xxvn. 4

30

coordonnes de A, par x ' ^ y ' celles de B et par 6 l'angle de BR'avec AB, on a videmment les relations

(^

(xx'Y-^- (y y' ^ = b2,dx dy

x' x y' y 9

dx dx1 dy dy1-T- -TT + r - = cos 6.ds ds ds ds

De ces quations, en supposant 6 connu en fonction de s, ontire facilement les galits suivantes

W

qui, avec

(3)

r' /i r 'v= cos , / tan g 6^ ) ds,

^0 V^O

r' /i r' \'=/ ^[l ^ds)langrf^ )?^,

, . dxi .r = a* + 6 ?|

51

ce qui montre que, dans ce cas,

ri2 plan du sol, sur lequel il glisse, et ds que l'on se donne le mou-vement du point A sur sa trajectoire celui du tridre Axyzest parfaitement dfini.

Tandis que le plan Kxz glisse sur le sol et que le point A d-crit sa trajectoire (T), tangente Az, la droite A;r, normale (T), roule, sans glisser, sur la dveloppe de cette courbe. Il enrsulte que, dans le mouvement du plan A.T5, la roulette est ladroite \x et la base la dveloppe de (T).

Le centre instantan est donc, chaque instant, le centrede courbure (Q {fig- 2) de la trajectoire (T) de A.

La vitesse angulaire de rotation est -? v et o ayant les mmessignifications que plus haut.

On en conclut, enfin, que Vaxe instantan de rotation dutridre mobile Kxyz est, chaque instant, la parallle ^ y 'mene, par le centre de courbure to de la trajectoire (T), Ay.

8. Tous ces prliminaires tant poss, formons Inquation dif-frentielle du mouvement relatif du plan moyen de la bicyclette,par rapport au tridre h.xyz.

Pour faire ce calcul, nous considrerons le cycliste commeabsolument immobile par rapport au cadre de la machine etnous admettrons que le plan moyen est un plan de symtriepour lui.

En d'autres termes, nous supposerons que le cycliste ne faitaucun mouvement du torse, et nous ngligerons les mouvementsdes jambes (ce qui est assez lgitime, vu leur faible amplitude etleur symtrie). D'ailleurs, nos hypothses seraient sensiblementvrifies dans le cas d'une motocyclette.

D'aprs les principes, bien connus, du mouvement relatif, ilnous faudra donc, pour former l'quation cherche, crire qu'il ya quilibre entre les forces centrifuges, les forces centrifugescomposes, les forces d'inertie et la pesanteur, en vertu des liai-sons.

A et B tant deux points fixes du tridre f^xyz nous avonsaffaire un corps qui tourne autour d'un axe fixe. .Nous devronsdonc exprimer que la somme des moments des forces prcdentespar rapport Az est nulle.

53

Le cycliste et sa machine forment un ensemble compos detrois parties :

i L'ensemble du cavalier, du cadre et de la fourche directricequi, d'aprs nos hypothses, a une forme invariable; pour abrgerle langage, nous le nommerons V ensemble C'y

1 La roue motrice, ou roue d'arrire;3 La roue directrice, ou roue d'avant.

Nous calculerons sparment les moments des forces des quatrecatgories prcites, pour ces trois parties; il ne nous restera plusensuite qu' annuler leur somme.

Cette faon de procder aura le double avantage de mettre del'ordre dans ce calcul si complexe et de placer en vidence, dansl'quation, des groupes de termes ayant chacun une significationpropre et une provenance connue.

Calcul des moments pour ^ensemble C,

6. Soit G { f i g ' ' 2), le centre de gravit de l'ensemble C, qui,vu la symtrie de cet ensemble, est situ dans le plan moyen.

Abaissons de G la perpendiculaire GC sur la base AB (ou As),et dsignons par ? l'angle du plan moyen avec la face A.yz dutridre A*ryz dfini plus haut.

P est le complment de l'angle d'inclinaison du plan moyen surle sol.

Considrons encore les deux tridres suivants :

1 Le tridre i x ' y 1 z ' qui n'est autre chose que le tridre\xyz transport paralllement lui-mme au centre instantande rotation f ; oy' est alors l'axe instantan de rotation dutridre P^xyz.

2 Le tridre Q x ^ y ^ z ^ li invariablement l'ensemble 6, danslequel G^ est parallle A-z, Qy\ dans le prolongement de GC etGJ; perpendiculaire au plan moyen.

Le plan moyen tant un plan de symtrie, pour l'ensemble C,G.TI est un axe principal d'inertie et l 'quation de l'ellipsoded'inertie de 6, relatif G, a la forme

( ; ) A . c f - h B y + C . 3 - f 2 D y i 3 i = i .

o4

On a, connue on sait,A < B -4- C.

D'autre part, la distance O)A (y^-. 2) tant le rayon de cour-bure p de la trajectoire () de A, en dsignant par A la distance

S5 et, de plus, l'ellipsode d'inertie donne

^^i7i=^^;yi^i==o, ^^7i^i== D,

^(^(7-^)-=A-~B.

En tenant compte de ces relations, et en dsignant par OL lamasse totale de l'ensemble

;)G Dans le cas de l'ensemble C, on a, pour tous les points,

dzTt-^

donc

(ri) N,-o.9. Conservant toujours les mmes notations, les projections de

la force d'inertie qui agit sur le point de masse (JL et de coordon-nes x ^ y ^ s, sur Ax et Ay, sont

c^x d^y~^~dt' ~^~d^t

La somme des moments de toutes ces forces d'inertie par rap-port Az est donc

dx dy^'dt^^'dt-w^-m

Remplaons x et y par leurs valeurs tires des formules (8) etnous trouvons, en tenant compte de l'galit

^(^+.y)=c,rexpression suivante pour la somme des moments des forcesd^inertie agissant sur l'ensemble C

(14) N,=(Ort/^4-C)^|.

10. Enfin, pour calculer le moment de la pesanteur, il nousfaut distinguer deux cas :

i Si le sol est horizontal, Ay (fig.i) est une verticale de basen haut et les projections du poids total de l'ensemble C sur lesaxes A.r, Ay, A^, sont

o, ^FL^, o.

Les coordonnes du centre de gravit G tant

$==/

57 -

2 Si le sol est inclin et fait un angle co avec un plan horizon-tal, A y fait avec la verticale AV {fig- 3) un angle gal to. Soient,d'ailleurs, AP la ligne de p lus grande pente (montante) du plan dusol, et ^ l 'angle dont il faut faire tourner A.Z pour l 'amnera con-cider avec AP, les projections du poids OL g ' , dont la direction est

F.g. 3.

parallle VA, sur les trois axes Ax, Ay, A^, seront

-^-DIL^sin t jDsin^ , OTL^costo. Dl^ sinco cos^,et le moment de ce poids, par rapport A-s, sera

( i5 bis) N^= OTL^/i [s inj cosco sinco cos j s in^] .

Calcul des moments pour la roue motrice.

11. Soit, comme plus haut, Kxyz le tridre entran avec labicyclette.

La roue motrice est tangente A^, en A, et son plan concideavec le plan moyen. Soient 0 son centre et O x ^ y ^ z ^ un tridre{fig- 4) li invariablement cette roue : O.r, tant l'axe de laroue, 0.5l parallle As et Oy\ dans le prolongement de AO.L'angle y A y ^ est l'angle ^ du plan moyen avec le plan y A z.

L'quation de l'ellipsode d'inertie de la roue, relatif au point 0,est de la forme

(16 )avec

E^+F(y?-4-^)= i,

E < 2F.

38 -

Comme la roue est un solide trs aplati, la diffrence F - E est2

trs faible.En dsignant par /- le rayon de cette roue, on a les formules de

transformation de coordonnes

(i7)x ==a'i cosp-+-(yi-+- r)sinp,y==;yi sinp+(yi+/')cosp,Z= Si.

12. Ceci pos, en dsignant toujours par u x ' y ' s', le tridreobtenu {fig\ 4) par la translation du tridre Axyz en (D, il suffi t

Fig. 4.

d'appliquer la formule (9) du n 7 pour avoir la somme des mo-ments des forces centrifuges agissant sur la roue d'arrire.

En remplaant dans celte formule x ety par leurs valeurs tiresde (17) et effectuant la somme V tendue tous les points de laroue, on a

(18) v^ v2

^f = mrcosp -^ cosp snp(E F -+- mr2),

m dsignant la masse de la roue.

13. Pour avoir la somme des moments des forces centrifugescomposes on appliquera la formule (i i) du n 8.

0 . . dz dzi , . ,r ]cl ~di = ~dt n est P85 Dl ? car ^a rolle esl anlme u un niou-

vement de rotation autour de Ox^ avec une vitesse angulaire gale

59

- On a doncr

dz\ v~dF=7y"

et, par suite,

^^-S^1-N;. == r; /pEn remplaant y par sa valeur (17) et remarquant que

^^y=^^= ^on trouve

( 1 9 ) ] \ l .==E,cosp.

14. En appliquant la roue d'arrire la formule (i3) du n 9,on aura la somme des moments des forces d'inertie. Mais, ici,dans le calcul des drives de x etydonnes par les formules (17 ) ,il faudra lenir compte de ce que, cause de la rotation de la roue,on a

dx\ dy\ v dzi vW^0' dt ==-7-1T -dt^r^'

Tous calculs faits, on trouve

(20) N;.=(^2+F)^j.

Le rsultat est le mme que si la roue ne tournait pas, ce quitait facile prvoir.

15. Le calcul du moment de la pesanteur est identique celuiqui a t fait pour l'ensemble C. On trouve

1 Dans le cas du sol liorizontal

(21 ) N ,^ =/n^rsinp.2 Dans le cas du sol inclin

(9.1 bis) ^p=mgr (sin ? cosco sinco cosji sin^).

Calcul des moments pour la roue directrice.

16. Les calculs relatifs la roue directrice sont plus compliques

60

que les prcdents parce que son plan ne concide pas avec le planmoyen et que, de plus, ce plan est anim d'un mouvement de rota-tion connu autour du tube de direction.

Soient B le point de contact de la roue directrice avec le sol{fie- ^ ) ' > et ^^ ^a direction du tube de direction (axe de rotationdu plan de la roue devant) qui, diaprs nos hypothses, passeen B. Dsignons par ^ l'angle d'inclinaison de BF sur la base AB,angle qui , dans les conditions o nous nous plaons, doit treconsidr comme constant. Soient BIV la trace du plan de la roue

Fig. 5.

directrice sur le sol et 9 l'angle qu'elle fait avec B z ' y j' l'angle duplan de la roue directrice avec la normale au sol. Si l'on remarqueque BF tant dans le plan moyen, le plan zEF est prcisment leplan moyen, le tridreBFsB/, dans lequel le didre Bs est gal j,donne(22) t a n g @ ' = y cotX 4- cosO tangp,

relation qui permet de calculer P' connaissant )., 9 et P.Ceci pos, aux deux systmes d'axes P^xyz et ^ ^ y ' z ' que nous

considrons d'ordinaire, adjoignons (fig- 5) le systme 0' x \ y ^ z ^li invariablement la roue directrice, dans lequel O'cst le centre

61

de l roue, O^i parallle BR/, O ' x ^ l'axe de la roue et O'y, ladroite BO7 prolonge.

Lorsqu'on transporte les axesA^y^ paralllement eux-mmesen O^y^', on passe, ensuite, de ces axes O'x^}^ 2, par unedouble rotation : une rotation de l'angle 9 autour de O'y', et unerotation de l'angle (^ autour deO 7 ^, . Ceci donne, alors, les for-mules de t ransformat ion suivantes

x = .ricos p'cos 6 + (/-'+yi) sin ('cos 6 -+- ^sin 0,(23) y =a-isin ^4-(^+yi)cos p',

z == 6 a-icos p'sin 0(r'-hyi) sin ( 'sm6 + ^ i ces 6;

/' dsignant le rayon de la roue directrice et b la longueur de lamachine.

Enfin, l'ellipsode d'inertie de la roue par rapport (V a unequation de la forme

(24) E^?+F(^-+-^)==i .

17. Appliquons, pour calculer la somme des moments des forcescentrifuges, la formule (9) du n 7, en y remplaant x ety parleurs valeurs (a3).

En effectuant les calculs et tenant compte de ce que

^^1 ==^^1 ^^^Sl =0,

^ ^ \y\ =^ (yi^i ==^ t^i-si = o,

^^^, ^=F-^

on trouve

l Ny= ^m'r'cos y ^cosp'sin p'cos 0(E'F7-^ w'/'^)(25) 9

d /.\ p/ '4- ^ (^)[6 / ? ^^ rcosp'(E rF'-4-/7^'^ f2)cos p'sin ('sin O],

o m' dsigne la masse de la roue d'avant.

18. Pour les moments des forces centrifuges composes, il nousfaut appliquer la formule (i i) du n 8.

Dans le calcul de ,- il faudra tenir compte de ce que la roue est

- 62 -

anime cTun mouvement de rotation autour de 0'x^ avec une vi-

tesse angulaire gale ,7 v' tant la vitesse de dplacement de B.

Or, d'aprs la formule (6) du n" 3, on a

, V y ' v

~ cos 6 ' /'' r'cosQ9on en conclut

dx\ dy^ v dz\ v~dt"^ ~d ^~^"r^co^zli ~dt = /7cos-0>rl

En prenant la drive, par rapport /, de la dernire formule ('23),on en tire

^/ft' == [a-isin p'sin 6 (/*'4-yi) cos j'sin 6]-^-

[.ri cos P'cosO -h (r' -4-yi) sin p 'cosO 4-^isin 0] ,

-4- [zi sin y sin 6 -h^i cos 6] j-^^

En portant cette expression de -,- dans la formule (i i) ainsi quela valeur dey fournie par les galits (a3), on trouve, aprs r-duclions,

/ ]\^== ^LE'cosp'2 (?(E rF'+/n'r '2)cosp fsin jS 'cos/ /* \ ' '

J ^J/^^+^cos^^^F'-Dsin^'l^sine.

19. L'application de la formule (i3) du n 9 la roue direc-trice nous donnera, pour elle, la somme des moments des forcesd^inerlie.

En avant ^ard aux valeurs de r-1? ? -r1 donnes au n 18,0 dt dt dt '

on a ^

-^ = ^ i ^ ( cos y cos 6 ) -h ( r'-{-yi ) ^ ( sin p'cos 0) + ^ i ^ (sin 6 )

-(^sinp'cosOyisinO)-^^,

---"1^8'"^^^^1)^005^-^608^

- 63 -

Portant ces valeurs dans la formule (i3), on a, finalement, pardes calculs faciles,

^?=^.^E^(cos8^)

(>27) < (E'-F'-hm^)^ ('sinp'cosp'sine^)

[ +E^^(cosp'tang6).

20. Enfin, les coordonnes du centre 0' de la roue directricetant

y== /''sin p'cosO, TQ'== r'cos ji', ' == b/'sin j3'sin 6,on a les expressions suivantes, pour le moment de son poids, parrapport Az:

i Dans le cas du sol horizontal(28 ) N;, = m' r'g sin y cos 6 ;

2 Dans le cas du sol inclin

(28 6(5) ]\^ ==m' r' ^{cos a sin p' cos 6 sin (x> cos ?' sin ^ ),

avec les notations prcdentes.

Equation du mouvement relatif du plan moyenpar rapport au sol.

21. Il ne nous reste plus, pour avoir l'quation diffrentielle dumouvement relatif de la machine par rapport au tridre mobile,qu^ galer zro la somme des moments que nous venons decalculer.

Cette quation est donc

(29) N^-+- N>+ N;-4- N,.-+- N^. + iN^ + N,-4- N;-h N^ JNp-h N^ 4- N; = o,o les lettres Ny, Ny, ,.., N _ reprsentent les groupes de termesfournis par les galits (10) (28).

Pour avoir Fquation du mouvement dans le cas o le sol esthorizontal, il faudra prendre pourNp, N-, N- les expressions (i5),(21) et (28); au contraire, si le sol est inclin, on prendra lesexpressions ( i5 bis ), (21 bis) et (28 &/.?).

- 64 -

L'quation (29) est une quation diffrentielle du second ordreentre [3 et la variable t.

Dans cette quation nous connaissons, en effet, tout sauf p,c a r i e seul problme qu'on puisse, raisonnablement, se poser estle su ivant :

Un bicycliste faisant dcrire sa. machine un chemin connu, une allure donne, quel sera le mouvement, en inclinaison,du plan moyen par rapport au sol?

On doit donc considrer la trajectoire (T) de la roue motriceet la vitesse v comme connues. On possde alors l'expression de pen fonctions de 5, celle de s en fonction de t et, par suite, cellede p en t ( 1 ) . D'ailleurs, puisque

tango . b )P

on connat aussi 9 en fonction de t\ et enfin il ne faut pas oublierque (S' doit tre remplac, en fonction de p et 9, par l'expressiondonne par la formule ( 2 2 ) du n 16.

22. L'quation que nous venons de former n'a videmmentq u ' u n intrt purement thorique.

Prat iquement, on ne devra 1 employer qu'aprs l'avoir sim-plifie.

Pour l'tablir, nous avons, en effet, pris la bicyclette danstoute sa complexit, mais nous n'avons pas (enu compte des mou-vements des jambes du cavalier. Or, s'il est possible de concevoirun cas thorique o, la bicyclette lan t mue mcaniquement, lecycliste conserverait les jambes immobiles, dans la ralit il n'enest rien. Il serait donc ridicule de vouloir conserver ceux destermes dont l'ordre de grandeur est comparable ceux que l'ona ngligs en supposant l ' immobilit des jambes.

La discussion numrique, que nous croyons inut i le de dve-lopper ici parce que nous aurons plus lard l'occasion d'en faireune toute semblable en tudiant l'quilibre, conduit alors neconserver, dans les douze groupes de termes, que les premiers.

( ' ) II est bon de remarquer que p est une quanti t qui peut tre positive oungative.

65

On parvient ainsi l'quation approche, relativement assezsimple, que voici

(^^+C+7^+F)^j+(m /^+F /)^-fcos6^^av ut \ dt f

4- [(OLh 4- mr 4- ^ cos ? 4- Cm'r'-}- E^ cos R'1 v

4- [(OLcA 4- D) cos ? 4- m ' r ' b cos 8'] ?- (^a