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Box Counting

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Trabajo final para matemáticas II de Ingeniería Multimedia Alicante sobre el cálculo de la dimensión fractal mediante box counting. Curso 2010-11Para la realización de este trabajo, cada alumno debía llevar a cabo un trabajo de investigación para recabar información y posteriormente aplicarla en Geogebra.

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BOX COUNTING

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ANA

GARCÍA

DOMENE

MATEMÁTICAS II

INGENIERÍA MULTIMEDIA

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BOX COUNTING

En busca de la dimensión fractal.

Ana García Domene – Ingeniería Multimedia – Matemáticas II

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Índice:

Introducción .................................................................................3

Conceptos previos .......................................................................4

Autosimilar ....................................................................4

Dimensión topológica ...................................................4

Dimensión de Hausdorff-Besicovitch ............................4

Fractales .......................................................................4

Dimensión fractal ..........................................................6

Mallas ...........................................................................6

Box counting ................................................................................7

¿Qué es? ......................................................................7

Problemática .................................................................7

· Escala y medidas

· Características de las mallas

Ecuación. ......................................................................8

Ejemplo. La caja fractal. ............................................... 9

Aplicaciones con geogebra ........................................................11

Curva de Koch .............................................................11

Triángulo de Sierpienski ..............................................13

Referencias ...................................................................................15

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Introducción.

A nuestro alrededor podemos observar las distintas formas que la naturaleza o el hombre han realizado. Las formas

realizadas por el hombre son más rectas, estudiadas y frías siguiendo la geometría euclidiana.

Por otra parte las formadas por la naturaleza tienen una geometría más curva siguiendo la llamada geometría fractal.

Ésta geometría trata las formas naturales (ríos, árboles, costas, montes, etc.) como las formas que realmente son,

sin tomarlas como pirámides, triángulos, rectas u otras formas de la geometría no fractal.

Por esto, las formas fractales no tienen las mismas características que las euclidianas, entre ellas la dimensión.

La dimensión de los fractales puede no ser un número entero, no es obligatoriamente 1, 2 o 3, por ejemplo la

dimensión fractal del brócoli no es 3 como podría parecer, sino que se encuentra entre 2.6 y 2.7.

Ante la necesidad de medir la dimensión de objetos fractales, se propusieron métodos entre ellos el método de

Box counting.

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Conceptos previos:

Autosimilar.Objeto cuyas partes tienen la misma estructura o forma que el todo, al ver las partes a distinta escala aparecen como casi copias de sí mismas. Debido a la autosemejanza e invarianza estadística se dice que las estructuras fractales exactas no cambian con la escala, esto no se cumple estrictamente en los fractales naturales.

Dimensión topológica.La más intuitiva y fácil de comprender, establece la dimensión de un punto: 0D, la de una línea: 1D, la de una superficie: 2D, etc.

Dimensión de Hausdorff-Besicovitch.Generalización métrica de dimensión de un espacio topológico que permite definir dimensiones fraccionarias para un objeto fractal. No suele usarse para comparar conjuntos del mundo natural.

Fractal.

Proveniente del latín fractus (interrumpido, fracturado) un fractal es un objeto semigeométrico cuya estructura básica se repite a diferentes escalas.

Características de un objeto geométrico fractal:

o Es demasiado irregular para ser descrito en términos

geométricos tradicionales.

o Posee detalle a cualquier escala de observación.

o Es autosimilar (exacta, aproximada o estadísticamente).

o Su dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente

mayor que su dimensión topológica.

o Se define mediante un simple algoritmo recursivo

Los fractales naturales son representaciones aproximadas, pues al contrario que los fractales ideales, tienen límites en las características anteriores, como que no son infinitos.

- Ejemplos clásicos de fractales:

Los primeros ejemplos surgen a principios del siglo XIX con la función de Weiertrass, se construían a partir de una figura inicial a la que se aplicaban construcciones geométricas sencillas obteniendo una serie de figuras que se aproximaban a una figura límite a la que llamamos conjunto fractal.

Entre ellos encontramos el copo de nieve de Koch, el triángulo de Sierpinski o su alfombra.

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Curva de Koch:

1. El iniciador es un segmento

2. El algoritmo consiste en dividir el segmento en tres partes de igual longitud y sustituir el tercio interno o central por dos segmentos de la misma longitud del reiterado formando ángulos de 60º y 120º

3. Si iteramos esa operación repetidamente conseguimos la famosa curva de Koch.

Si realizamos éstos pasos en los lados de un triángulo

equilátero construimos el copo de nieve de Koch.

Copo de nieve de Koch en la 7ª iteración

Construcción de la alfombra de Sierpienski:

Paso 1 (semilla) Paso 2 Paso 3 Paso 4 Paso 5

A partir de esto podemos construir la esponja de Menger (Sierpienski), esta vez con cubos al ser un objeto en 3D.

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Dimensión fractal.

La dimensión fractal (de autosimilaridad o de capacidad) se refiere a como el objeto geométrico llena el espacio en el que está inmerso.

Se indica mediante una medida numérica del grado de irregularidad de un fractal que permite aplicar el concepto a las formas naturales y medir su dimensión.

La dimensión fractal es un número entero o fraccionario.

Con las medidas podemos comparar objetos reales con fractales generados por algoritmos matemáticos.

Lewis Richardson en 1961 fue el primero en hacer medidas de este tipo. En un artículo titulado "¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña?", Richardson concluía que la longitud de una costa no estaba bien definida y proponía como medida D. Determinaba valores para varias costas: 

D = 1.25 para el Oeste de la costa de Gran Bretaña    D = 1.15 para la frontera de Alemania    D = 1.14 para la frontera de Portugal    D = 1.13 para la costa Australiana    D = 1.02 para la costa Surafricana, una de las más suaves del atlas mundial.

Mallas.

Las mallas son estructuras compuestas por líneas, fundamentalmente rectas, formando polígonos.

Una malla es un conjunto de caras poligonales (cuadriláteros, triángulos o tetraedros) que definen una superficie en el espacio tal que si ti y tj son dos elementos de una malla T, entonces: ti \ tj es un vértice común, o una arista común, o una cara común, o el conjunto vacío. Una malla tiene asociada un conjunto de elementos topológicos tales como: vértices, aristas y caras poligonales.

Para elementos finitos con una definición formal, una malla es un conjunto de nodos, o puntos representativos de un elemento, junto a sus relaciones de adyacencia (aristas, segmentos que unen nodos adyacentes de la malla)

En el caso de box counting utilizaremos mallas regulares compuestas por líneas paralelas y perpendiculares entre sí formando cuadrados o cajas.

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Box counting:

¿Qué es?

El conteo de cajas o box counting es un método por el que obtenemos un número entero o fraccionario que indica la dimensión fractal del objeto.

Se trata de calcular la forma en la que un objeto autosimilar llena el espacio en el que se encuentra sirviéndonos de mallas para determinar en qué zonas del espacio se encuentra el objeto autosimilar.

Poblemática:

- Escala y medidas: Según un artículo del matemático Benoît Mandelbrot llamado 'How Long Is

the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension' (¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña?), el tamaño de “la regla de medir” y la escala en la que medimos afecta a la medición de la línea litoral real.

Si comparamos la costa en dos escalas diferentes apreciaremos más detalles en una escala menor.

También será necesario escoger reglas de menor tamaño para medir los nuevos detalles y aproximar a la medida real.

. En la práctica se realizan varios contajes con cuadrículas o cajas diferentes

con los que se realiza un gráfico para determinar la dimensión.

Lo anterior se refiere a cálculos de objetos fractales naturales pues los fractales exactos poseen detalles a cualquier escala.

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- Características de las mallas

Como hemos dicho anteriormente, el tamaño de las cajas se debe tener en cuenta a la hora de calcular la dimensión fractal, sin embargo hay otros factores que influyen en el resultado como puede ser una correcta colocación de la malla.

En la imagen derecha apreciamos que la malla está desplazada hacia la derecha, por lo que el fractal ocupa más cajas de la malla que en la imagen izquierda, hay 14 cajas amarillas y 12 verdes por lo que al calcular la dimensión fractal no obtendremos los mismos resultados siendo el mismo fractal el que aparece en ambas imágenes.

- Ecuación

En la gráfica se presentan los resultados de box counting, con varios tamaños de cajas, del triángulo de Sierpienski, donde el eje de abcisas representa el logaritmo del inverso del tamaño de lado de las cajas, Ln(1/r) y el eje de ordenadas el logaritmo del número de cajas no vacías, Ln(N(r)).

Los puntos se aproximan a una línea recta. Ajustan a una función del tipo:   

  Ln N(r) =  D * Ln (1/r) + C  despejamos N(r) ->   N(r) = Cte* r-D 

Una ley potencial de exponente - D. Datos: se han utilizado copias reducidas de 1/3 del original. Cada triángulo debería tener lado R=1/2 . Y en general necesitaremos 3n triángulos de lado 1/2n:      

(1/2n)-D = 3n  despejamos D -> D ln 2n = 3n,

D= ln3ln2

=1.58496… La ecuación quedaría: D= lnNln (1/h)

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Ejemplo de aplicación:

Veamos el proceso de box counting con un ejemplo, la caja fractal (box fractal, también Vicsek’s snowflake):

Primero observamos la construcción del fractal:

Se comienza con un cuadrado que dividimos en 9 cuadrados, eliminando los cuadrados centrales de cada lado del primer cuadrado o

cuadrado generador (semilla).

Al realizar iteraciones en cada uno de los 5 cuadrados restantes y en los que se obtengan de ellos, llegaremos a la caja fractal.

Podemos medir fácilmente la dimensión fractal mediante el método box counting:

Colocamos las mallas sobre el fractal para determinar cómo rellena el espacio.

Sabemos que la fórmula de dimensión por box counting es:

D= lnNl n (1/h )

= logNlog(1/h)

Siendo N el número de cajas ocupadas por el fractal y 1/h tiene en cuenta para el cálculo la escala respecto a la semilla según el tamaño de las cajas de la malla utilizada, h es la altura de las cajas.

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En la malla izquierda (A) la altura de las cajas es de 1/3 de la figura inicial y el fractal se encuentra en 5 de las 9 cajas en las que la malla dividiría al cuadrado generador.

D = log 5 / log (1/ 1/3)= = log 5 / log (3) = 1.46

En la malla derecha (B) la altura de las cajas son de 1/9 de la figura inicial, el fractal ocupa 25 cajas de las 81 en las que la malla dividiría al cuadrado generador.

D = log 25 / log (1/ 1/9)= log 25 / log (1/9)= 1.46

Observamos que el resultado es exactamente el mismo en ambos casos, esto quiere decir que la dimensión es exacta.

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Geogebra

Construcción de la curva de Koch:

Para la construcción de fractales con geogebra, nos ayudaremos de la opción de crear herramientas personalizadas y así facilitar la representación del fractal por la propiedad iterativa de su estructura.

La creación de herramientas se realiza indicando al programa cuales son los objetos salida a partir de un objeto entrada, lo comprenderemos mejor con el ejemplo de la curva de Koch:

Construimos la semilla y a partir de ella la primera iteración, ocultamos los rótulos y definimos el tamaño de los punto a 1 para que todo sea más limpio y visual:

A partir de aquí construimos una herramienta para la siguientes iteraciones del fractal, para ello seleccionamos en el menú “herramientas> creación de nueva herramienta”.

En la pestaña “Objetos de salida” seleccionamos los puntos C,D, E y los segmentos b, g, h, i, j. Estos objetos son los que componen la primera iteración.

En la pestaña “Objetos de entrada” seleccionaremos los objetos de la semilla, en este caso el segmento a, deseleccionamos los puntos A y B pues lo que queremos es que al seleccionar un segmento de la vista gráfica se genere automáticamente a partir de él una iteración (la que le indicamos como salida).

En la pestaña “Nombre e icono” le asignamos un nombre a la herramienta y pulsamos finalizar, ya tenemos lista para usar nuestra nueva herramienta.

NOTA: para conservar la herramienta después de cerrar el programa debemos guardarla en menú Herramientas -> Manejo de útiles -> Graba como…

Tras aplicar la herramienta en cada segmento de la primera iteración tendremos la segunda iteración.

Este sería el resultado tras sucesivas iteraciones, como sabemos los fractales exactos, son infinitos.

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Conteo de cajas (box counting)

Ahora que hemos construido la curva de Koch, podemos calcular su dimensión fractal mediante box counting.

Primero prepararemos todo para poder calcular, colocaremos la malla y prepararemos la ecuación gracias a la posibilidad que ofrece geogebra de utilizar una hoja de cálculo integrada.

La malla la creamos a partir de los puntos A y B que son los extremos del fractal, y del punto más “alto” del fractal, que se corresponde con el vértice superior de la primera iteración (punto P) con los siguientes pasos.

Segmento AB > Paralela a AB por P > Perpendiculares a AB por A y B, las intersecciones de las paralelas y perpendiculares son los otros dos vértices de la malla.

Para aproximarnos más al detalle, como en este tipo de fractales no afecta la escala pero si el tamaño de las cajas de la malla. Cogeremos un tamaño de caja pequeño respecto a AB para aproximarnos a la dimensión real de la curva de Koch.

Según los datos obtenidos y sabiendo D= lnNl n (1/h )

D= ln 56 / ln(1/ 1/24)= ln 56 / ln(24)=1.26, que es el resultado que vemos en la tabla Excel.

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Construcción del triángulo de Sierpienski:

Los pasos a seguir son similares a los de la construcción anterior.

Primero dibujamos la semilla y a partir de ella la primera iteración

Tras 1 iteración ->

Ahora ya podemos crear una herramienta introduciendo los datos correspondientes:

Objetos de salida (los cuatro triángulos de la iteración):

Triángulo ADF

Triángulo DBE

Triángulo FEC

Triángulo DEF

Objetos de entrada (el triángulo inicial):

Triángulo ABCBorra de la lista de Objetos de Entrada los puntos A, B y C.

Con nuestra herramienta ya podemos continuar la construcción de este fractal seleccionando los triángulos correspondientes.

Después de algunas iteraciones y ocultar los puntos para ver todo más limpio, tendremos un fractal similar al de la imagen

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Box counting

En este caso para iniciar la malla podremos utilizar la cuadrícula que incorpora geogebra. Para calcular aproximadamente la dimensión de este fractal deberíamos usar un tamaño de caja muy pequeño para evitar la gran cantidad de espacios interiores que posee este fractal.

La dimensión por box counting ha resultado ser 1.64 mientras que la dimensión por homotecia sería aproximadamente 1.5849.

Aunque se ha utilizado una malla de cajas pequeñas, para aproximarse más a la dimensión fractal, éstas deberían ser aún más pequeñas, pues, como vemos aún tenemos demasiados espacios en blanco en las cajas que ocupa el fractal, lo que hará que nos desviemos de la dimensión real.

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Referencias:

Fractales y dimensiones:

http://es.wikipedia.org/wiki/Fractal

Curso, Fractales en la red: http://www.dmae.upm.es/cursofractales/index.htm

¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña? http://es.wikipedia.org/wiki/%C2%BFCu%C3%A1nto_mide_la_costa_de_Gran_Breta%C3%B1a%3F

Cuaderno didáctico: Fractales. qué, por qué, para qué. Una introducción al mundo de los fractales.

Parque de las Ciencias. Andalucía, Granada. PDF, 50 páginas

Dimensión fractal, ZTF Facultad de Ciencia y Tecnología EHU:

http://ztfnews.wordpress.com/2010/11/01/la-dimension-fractal-del-brocoli/

Mallas en objetos finitos:http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_los_elementos_finitos

Mallas geométricas (Pedro A. Rodríguez):http://www.ubiobio.cl/miweb/webfile/media/182/resumen/resumenpedrorodriguez.pdf

Box Counting (FracLab for image):http://rsbweb.nih.gov/ij/plugins/fraclac/FLHelp/BoxCounting.htm

Box Fractal:http://library.thinkquest.org/26242/full/fm/fm2.html#

Fractales con geogebra, estalmat:http://www.estalmat.unican.es/documentos/Actividades_2008_09/enero/EstalmatMJ_hojasAlumnosparte2.pdf

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