brand summer camp คณิตศาสตร์ 54

คณตศาสตร (2)________________________________________ โครงการแบรนดซมเมอรแคมป 2011

เซต เซตจากด คอ เซตทสามารถระบจานวนสมาชกได เซตอนนต คอ เซตทมจานวนสมาชกมากมาย เซตวาง คอ เซตทไมมสมาชก หรอมจานวนสมาชกเปนศนย เขยนแทนดวย φ หรอ { } ตวอยางท 1 ให A เปนเซตจากด และ B เปนเซตอนนต ขอความใดตอไปนเปนเทจ 1) มเซตจากดทเปนสบเซตของ A 2) มเซตจากดทเปนสบเซตของ B *3) มเซตอนนตทเปนสบเซตของ A 4) มเซตอนนตทเปนสบเซตของ B สบเซต บทนยาม เซต A เปนสบเซตของเซต B กตอเมอสมาชกทกตวของเซต A เปนสมาชกของเซต B และ

เขยนเปนสญลกษณ คอ A ⊂ B ตวอยางท 2 ให A = {1, 2} และ B = {1, 2, 3, 4, 5} เนองจากสมาชกของเซต A ทกตวเปนสมาชกของ

เซต B ดงนน A ⊂ B

โครงการแบรนดซมเมอรแคมป 2011 ________________________________________ คณตศาสตร (3)

เพาเวอรเซต บทนยาม เพาเวอรเซตของเซต A คอ เซตทมสมาชกเปนสบเซตทงหมดของเซต A เขยนแทนดวย P(A) ตวอยางท 3 ให A = {1, 2, 3} จะไดสบเซตทงหมดของ A ไดแก φ, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} P(A) = {φ, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} สมบตของสบเซตและเพาเวอรเซต 1. φ เปนสบเซตของเซตทกเซต 2. φ เปนสมาชกของเพาเวอรเซตเสมอ 3. A ⊂ A 4. A ∈ P(A) 5. ถา A ⊂ B แลว P(A) ⊂ P(B) 6. จานวนสบเซตของเซต A ทงหมดเทากบ 2n(A) 7. จานวนสมาชกของ P(A) ทงหมดเทากบ 2n(A) การดาเนนการทางเซต 1. ยเนยน เซต A ยเนยนกบเซต B คอ เซตทมสมาชกเปนสมาชกของเซต A หรอเซต B เขยนแทนดวย AU B 2. อนเตอรเซกชน เซต A อนเตอรเซกชนกบเซต B คอ เซตทมสมาชกเปนสมาชกของเซต A และเซต B เขยนแทนดวย AI B 3. ผลตาง ผลตางของ A และ B คอ เซตทมสมาชกในเซต A แตไมเปนสมาชกในเซต B เขยนแทนดวย A - B 4. คอมพลเมนต ถา A เปนเซตใดในเอกภพสมพนธ U แลว คอมพลเมนตของเซต A คอ เซตทมสมาชกเปนสมาชกของ U แตไมเปนสมาชกของ A เขยนแทนดวย A′ ตวอยางท 4 กาหนดให U = {1, 2, 3, ..., 10} A = {1, 2, 4, 8} B = {2, 4, 6, 10} จะได AU B = {1, 2, 4, 6, 8, 10} AI B = {2, 4} A - B = {1, 8} B - A = {6, 10} A′ = {3, 5, 6, 7, 9, 10} และ B′ = {1, 3, 5, 7, 8, 9}


ตวอยางท 5 ถา A - B = {2, 4, 6}, B - A = {0, 1, 3} และ AU B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} แลว AI B เปนสบเซตในขอใดตอไปน 1) {0, 1, 4, 5, 6, 7} 2) {1, 2, 4, 5, 6, 8} *3) {0, 1, 3, 5, 7, 8} 4) {0, 2, 4, 5, 6, 8} ตวอยางท 6 ให A = {1, 2, 3, ...} และ B = {{1, 2}, {3, 4, 5}, 6, 7, 8, ...} ขอใดเปนเทจ 1) A - B มสมาชก 5 ตว 2) จานวนสมาชกของเพาเวอรเซตของ B - A เทากบ 4 *3) จานวนสมาชกของ (A - B)U (B - A) เปนจานวนค 4) AI B คอเซตของจานวนนบทมคามากกวา 5 จานวนสมาชกของเซตจากด ให n(A) แทนจานวนสมาชกของเซต A 1. n(U) = n(A) + n(A′) 2. n(AU B) = n(A) + n(B) - n(AI B) 3. n(AU BU C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(AI B) - n(AI C) - n(BI C) + n(AI BI C) 4. n(A - B) = n(A) - n(AI B) ตวอยางท 7 ถากาหนดจานวนสมาชกของเซตตางๆ ตามตารางตอไปน

เซต AU B AU C BU C AU BU C AI BI C จานวนสมาชก 25 27 26 30 7

แลวจานวนสมาชกของ (AI B)U C เทากบขอใดตอไปน *1) 23 2) 24 3) 25 4) 26 ตวอยางท 8 นกเรยนกลมหนงจานวน 46 คน แตละคนมเสอสเหลองหรอเสอสฟาอยางนอยสละหนงตว ถา

นกเรยน 39 คนมเสอสเหลอง และ 19 คนมเสอสฟา แลวนกเรยนกลมนทมทงเสอสเหลองและเสอ สฟามจานวนเทากบขอใดตอไปน

1) 9 2) 10 3) 11 *4) 12 ตวอยางท 9 นกเรยนกลมหนงจานวน 50 คน ม 32 คน ไมชอบเลนกฬาและไมชอบฟงเพลง ถาม 6 คน ชอบฟง

เพลงแตไมชอบเลนกฬา และม 1 คน ชอบเลนกฬาแตไมชอบฟงเพลง แลวนกเรยนในกลมนทชอบเลนกฬาและชอบฟงเพลงมจานวนเทากบขอใดตอไปน

*1) 11 คน 2) 12 คน 3) 17 คน 4) 18 คน


ตวอยางท 10 กาหนดให A และ B เปนเซต ซง n(AU B) = 88 และ n[(A - B)U (B - A)] = 76 ถา n(A) = 45 แลว n(B) เทากบขอใดตอไปน

1) 45 2) 48 3) 53 *4) 55 ตวอยางท 11 ในการสอบถามพอบานจานวน 300 คน พบวามคนทไมดมทงชาและกาแฟ 100 คน มคนทดมชา

100 คน และมคนทดมกาแฟ 150 คน พอบานทดมทงชาและกาแฟมจานวนเทาใด (ตอบ 50 คน) ตวอยางท 12 ในการสอบของนกเรยนชนประถมกลมหนง พบวา มผสอบผานวชาตางๆ ดงน คณตศาสตร 36 คน สงคมศกษา 50 คน ภาษาไทย 44 คน คณตศาสตรและสงคมศกษา 15 คน ภาษาไทยและสงคมศกษา 12 คน คณตศาสตรและภาษาไทย 7 คน ทงสามวชา 5 คน จานวนผสอบผานอยางนอยหนงวชามกคน (ตอบ 101 คน)


การใหเหตผล การใหเหตผลทางคณตศาสตรทสาคญมอย 2 วธ ไดแก 1. การใหเหตผลแบบอปนย (Inductive Reasoning) หมายถง วธการสรปผลในการคนหาความจรง จากการสงเกตหรอการทดลองหลายๆ ครงจากกรณยอยแลวนามาสรปเปนความรแบบทวไป 2. การใหเหตผลแบบนรนย (Deductive Reasoning) หมายถง วธการสรปขอเทจจรงโดยการนาความรพนฐาน ความเชอ ขอตกลง หรอบทนยาม ซงเปนสงทรมากอนและยอมรบวาเปนจรง เพอหาเหตผลนาไปสขอสรป ตวอยางท 1 จงพจารณาการใหเหตผลตอไปนเปนการใหเหตผลแบบอปนยหรอนรนย 1) เหต 1. นทชอบทานไอศกรม 2. แนทชอบทานไอศกรม ผล เดกทกคนชอบทานไอศกรม 2) เหต 1. เดกทกคนชอบทานไอศกรม 2. แนทเปนเดก ผล แนทชอบทานไอศกรม ตวอยางท 2 จงหาคา a จากแบบรปของจานวนทกาหนดให 1, 4, 9, 16, 25, a 2, 4, 8, 16, 32, a ความสมเหตสมผล สวนประกอบของการใหเหตผล การตรวจสอบความสมเหตสมผลโดยแผนภาพเวนน-ออยเลอร 1. a เปนสมาชกของ A 2. a ไมเปนสมาชกของ A


3. สมาชกทกตวของ A เปนสมาชกของ B 4. ไมมสมาชกตวใดใน A เปนสมาชกของ B 5. สมาชกบางตวของ A เปนสมาชกของ B 6. สมาชกบางตวของ A ไมเปนสมาชกของ B ตวอยางท 3 กาหนดเหตใหดงตอไปน เหต ก. ทกจงหวดทอยไกลจากกรงเทพมหานครเปนจงหวดทมอากาศด ข. เชยงใหมเปนจงหวดทมอากาศไมด ขอสรปในขอใดตอไปนสมเหตสมผล *1) เชยงใหมเปนจงหวดทอยไมไกลจากกรงเทพมหานคร 2) นราธวาสเปนจงหวดทอยไมไกลจากกรงเทพมหานคร 3) เชยงใหมเปนจงหวดทอยไกลจากกรงเทพมหานคร 4) นราธวาสเปนจงหวดทอยไกลจากกรงเทพมหานคร ตวอยางท 4 จงพจารณาขอความตอไปน 1. คนตกอลฟทกคนเปนคนสายตาด 2. คนทตกอลฟไดไกลกวา 300 หลา บางคน เปนคนสายตาด 3. ธงชยตกอลฟเกงแตตไดไมไกลกวา 300 หลา แผนภาพในขอใดตอไปน มความเปนไปไดทจะสอดคลองกบขอความทงสามขางตน เมอจดแทนธงชย

1) 2) 3) *4)

ตวอยางท 5 จากแบบรปตอไปน

1 2 47

2 4 814

3 6 1221

. . . a b c77

โดยการใหเหตผลแบบอปนย 2a - b + c มคาเทากบขอใดตอไปน 1) 11 2) 22 3) 33 *4) 44


ตวอยางท 6 พจารณาขอความตอไปน ก. นกกฬาทกคนมสขภาพด ข. คนทมสขภาพดบางคนเปนคนด ค. ภราดรเปนนกกฬา และเปนคนด แผนภาพในขอใดตอไปน มความเปนไปไดทจะสอดคลองกบขอความทงสามขอขางตน เมอจดแทนภราดร

1) 2)

3) *4)

ตวอยางท 7 เหต 1. ไมมคนขยนคนใดเปนคนตกงาน 2. มคนตกงานทเปนคนใชเงนเกง 3. มคนขยนทไมเปนคนใชเงนเกง ผล ในขอใดตอไปนทเปนการสรปผลจากเหตขางตนทเปนไปอยางสมเหตสมผล 1) มคนขยนทเปนคนใชเงนเกง *2) มคนใชเงนเกงทเปนคนตกงาน 3) มคนใชเงนเกงทเปนคนขยน 4) มคนตกงานทเปนคนขยน ตวอยางท 8 พจารณาการใหเหตผลตอไปน เหต 1. A 2. เหดเปนพชมดอก ผล เหดเปนพชชนสง ขอสรปขางตนสมเหตสมผล ถา A แทนขอความใด 1) พชชนสงทกชนดมดอก 2) พชชนสงบางชนดมดอก *3) พชมดอกทกชนดเปนพชชนสง 4) พชมดอกบางชนดเปนพชชนสง


ระบบจานวนจรง

แผนผงแสดงความสมพนธของระบบจานวน

จานวนเชงซอน

จานวนจนตภาพจานวนจรง (R)

จานวนอตรรกยะ (Q′) จานวนตรรกยะ (Q)

จานวนตรรกยะ (I′) ทไมใชจานวนเตม จานวนเตม (I)

จานวนเตมลบ (I-)จานวนเตมศนย (I0)

จานวนเตมบวก (I+), จานวนนบ (N)

จานวนอตรรกยะ หมายถง จานวนทไมสามารถเขยนใหอยในรปเศษสวนของจานวนเตม หรอทศนยม ซาได เชน 2 , 5 , - 3 , π, 2.17254... เปนตน จานวนตรรกยะ หมายถง จานวนทสามารถเขยนในรปเศษสวนของจานวนเตมได ตวอยางท 1 พจารณาขอความตอไปน ก. มจานวนตรรกยะทนอยทสดทมากกวา 0 ข. มจานวนอตรรกยะทนอยทสดทมากกวา 0 ขอสรปใดตอไปนถกตอง 1) ก. ถก และ ข. ผด 2) ก. และ ข. ถก 3) ก. ผด และ ข. ถก *4) ก. และ ข. ผด ตวอยางท 2 กาหนดใหคาประมาณทถกตองถงทศนยมตาแหนงท 3 ของ 3 และ 5 คอ 1.732 และ

2.236 ตามลาดบ พจารณาขอความตอไปน ก. 2.235 + 1.731 ≤ 5 + 3 ≤ 2.237 + 1.733 ข. 2.235 - 1.731 ≤ 5 - 3 ≤ 2.237 - 1.733 ขอสรปใดตอไปนถกตอง *1) ก. และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด ตวอยางท 3 พจารณาขอความตอไปน ก. จานวนทเปนจดทศนยมไมรจบบางจานวนเปนจานวนอตรรกยะ ข. จานวนทเปนทศนยมไมรจบบางจานวนเปนจานวนตรรกยะ ขอใดถกตอง *1) ก. และ ข. 2) ก. เทานน 3) ข. เทานน 4) ก. และ ข. ผด

คณตศาสตร (10)_______________________________________ โครงการแบรนดซมเมอรแคมป 2011

สมบตของจานวนจรง 1. สมบตการเทากนของจานวนจรง กาหนดให a, b, c ∈ R 1) สมบตการสะทอน a = a 2) สมบตการสมมาตร ถา a = b แลว b = a 3) สมบตการถายทอด ถา a = b และ b = c แลว a = c 4) สมบตการบวกดวยจานวนทเทากน ถา a = b แลว a + c = b + c 5) สมบตการคณดวยจานวนทเทากน ถา a = b แลว a + c = b + c 2. สมบตของจานวนจรงเกยวกบพชคณต กาหนดให a, b, c ∈ R

สมบต สมบตของการบวก สมบตของการคณ สมบตปด a + b ∈ R a ⋅ b ∈ R สมบตการสลบท a + b = b + a a ⋅ b = b ⋅ a สมบตการเปลยนกลม a + (b + c) = (a + b) + c a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c สมบตการมเอกลกษณ ม 0 เปนเอกลกษณการบวก

ซง 0 + a = a = a + 0 ม 1 เปนเอกลกษณการคณ ซง 1 ⋅ a = a = a ⋅ 1

สมบตการมอนเวอรส สาหรบจานวนจรง a มจานวนจรง -a ท (-a) + a = 0 = a + (-a)

สาหรบจานวนจรง a ท a ≠ 0 จะม a-1 ท a ⋅ a-1 = a-1 ⋅ a = 1

สมบตการแจกแจง a(b + c) = ab + ac ตวอยางท 4 ให a และ b เปนจานวนตรรกยะทแตกตางกน c และ d เปนจานวนอตรรกยะทแตกตางกน พจารณาขอความตอไปน ก. a - b เปนจานวนตรรกยะ ข. c - d เปนจานวนอตรรกยะ ขอสรปใดตอไปนถกตอง 1) ก. และ ข. ถก *2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด

โครงการแบรนดซมเมอรแคมป 2011 _______________________________________ คณตศาสตร (11)

ตวอยางท 5 พจารณาขอความตอไปน ก. สมบตการมอนเวอรสการบวกของจานวนจรง b ท b + a = 0 = a + b ข. สมบตการมอนเวอรสการคณของจานวนจรงกลาววา สาหรบจานวนจรง a จะมจานวนจรง b

ท ba = 1 = ab ขอสรปใดตอไปนถกตอง 1) ก. และ ข. ถก *2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด ทบทวนสตร 1. กาลงสองสมบรณ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 2. กาลงสามสมบรณ (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3a2b - b3 3. ผลตางกาลงสอง a2 - b2 = (a - b)(a + b) 4. ผลตางกาลงสาม a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2) a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2) จากสมการพหนามกาลงสอง ax2 + bx + c = 0 เมอ a, b และ c เปนคาคงท, a ≠ 0

จะได x = 2a 4ac b b 2 -- ±

ถา b2 - 4ac > 0 แลว x จะม 2 คาตอบ ถา b2 - 4ac = 0 แลว x จะม 1 คาตอบ ถา b2 - 4ac < 0 แลว x จะไมมคาตอบทเปนจานวนจรง ตวอยางท 6 ถา 4

3 เปนผลเฉลยหนงของสมการ 4x2 + bx - 6 = 0 เมอ b เปนจานวนจรงแลว อกผลเฉลยหนงของสมการนมคาตรงกบขอใด

*1) -2 2) - 21 3) 2

1 4) 2


สมบตของอสมการ ให a, b และ c เปนจานวนจรง 1. สมบตการถายทอด ถา a > b และ b > c แลว a > c 2. สมบตการบวกดวยจานวนจรงทเทากน ถา a > b แลว a + c > b + c 3. สมบตการคณดวยจานวนทเทากน ถา a > b และ c > 0 แลว ac > bc ถา a > b และ c < 0 แลว ac < bc 4. ให a และ b เปนจานวนจรง จาก a < x < b จะได a < x และ x < b ชวงของจานวนจรง ให a และ b เปนจานวนจรง และ a < b 1. (a, b) = {x|a < x < b} เสนจานวน คอ a b

2. [a, b] = {x|a ≤ x ≤ b} เสนจานวน คอ a b

3. (a, b] = {x|a < x ≤ b} เสนจานวน คอ a b

4. [a, b) = {x|a ≤ x < b} เสนจานวน คอ a b

5. (-∞, a) = {x|x < a} เสนจานวน คอ a

6. [a, ∞) = {x|x ≥ a} เสนจานวน คอ a

ตวอยางท 7 กาหนดให s, t, u และ v เปนจานวนจรง ซง s < t และ u < v พจารณาขอความตอไปน ก. s - u < t - v ข. s - v < t - u ขอใดถกตอง 1) ก. และ ข. 2) ก. เทานน *3) ข. เทานน 4) ก. และ ข. ผด


ตวอยางท 8 ตองการลอมรวรอบทดนรปสเหลยมผนผาซงมพนท 65 ตารางวา โดยดานยาวของทดนยาวกวาสองเทาของดานกวางอย 3 วา จะตองใชรวทมความยาวเทากบขอใดตอไปน

1) 30 วา *2) 36 วา 3) 42 วา 4) 48 วา ตวอยางท 9 เมอเขยนกราฟของ y = ax2 + bx + c โดยท a ≠ 0 เพอหาคาตอบของสมการ ax2 + bx + c = 0

กราฟในขอใดตอไปนแสดงวาสมการไมมคาตอบทเปนจานวนจรง

1)

y

x50

5

-5

-5

2)

y

x50

5

-5

-5

3)

y

x50

5

-5

-5

*4)

y

x50

5

-5

-5

ตวอยางท 10 แมคานาเมลดมะมวงหมพานต 1 กโลกรม ถวลสง 3 กโลกรม และเมลดฟกทอง 4 กโลกรม มา

ผสมกน แลวแบงใสถง ถงละ 100 กรม ถาแมคาซอเมลดมะมวงหมพานต ถวลสง และเมลดฟกทองมาในราคากโลกรมละ 250 บาท 50 บาท และ 100 บาท ตามลาดบ แลวแมคาจะตองขายเมลดพชผสมถงละ 100 กรมน ในราคาเทากบขอใดตอไปนจงจะไดกาไร 20% เมอขายหมด

1) 10 บาท *2) 12 บาท 3) 14 บาท 4) 16 บาท ตวอยางท 11 เซตคาตอบของอสมการ -1 ≤ 2 +

21x

- ≤ 1 คอเซตในขอใดตอไปน

1) [ 2 - 1, 1] 2) [ 2 - 1, 2] *3) [3 - 2 2 , 1] 4) [3 - 2 2 , 2]


คาสมบรณ บทนยาม ให a เปนจานวนจรง

|a| =

<

≥

0 a เมอ a0 a เมอ a

-

ทฤษฎบทเกยวกบคาสมบรณ 1. |x| = a กตอเมอ x = a หรอ x = -a 2. ให a เปนจานวนจรงบวก |x| < a กตอเมอ -a < x < a |x| ≤ a กตอเมอ -a ≤ x ≤ a |x| > a กตอเมอ x < -a หรอ x > a |x| ≥ a กตอเมอ x ≤ -a หรอ x ≥ a ตวอยางท 12 พจารณาสมการ |x - 7| = 6 ขอสรปใดตอไปนเปนเทจ 1) คาตอบหนงของสมการมคาระหวาง 10 และ 15 2) ผลบวกของคาตอบทงหมดของสมการมคาเทากบ 14 *3) สมการนมคาตอบมากกวา 2 คาตอบ 4) ในบรรดาคาตอบทงหมดของสมการ คาตอบทมคานอยทสดมคานอยกวา 3 ตวอยางท 13 จานวนสมาชกของเซต

+= 0 เทากบรงซงไมเปนจานวนจ a เมอ a

1 |a| |a|1 a x x 22

-- เทากบขอใดตอไปน

1) 1 *2) 2 3) 3 4) มากกวาหรอเทากบ 4 ตวอยางท 14 ผลบวกของคาตอบทกคาตอบของสมการ x3 - 2x = |x| เทากบขอใดตอไปน 1) 0 2) 3 *3) 3 - 1 4) 3 + 1 ตวอยางท 15 ผลเฉลยของสมการ 2|5 - x| = 1 อยในชวงใด 1) (-10, -5) 2) (-6, -4) 3) (-4, 5) *4) (-3, 6)


ความสมพนธและฟงกชน คอนดบ (a, b) โดยท a คอ สมาชกตวหนา และ b คอ สมาชกตวหลง บทนยาม (a, b) = (c, d) กตอเมอ a = c และ b = d ผลคณคารทเชยน กาหนดให A และ B เปนเซตใดๆ ผลคณคารทเชยนของ A และ B คอ A × B = {(a, b) | a ∈ A และ b ∈ B} เชน ให A = {1, 2} และ B = {a, b, c} จะได A × B = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)} B × A = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)} สมบตของผลคณคารทเชยน ให A, B และ C เปนเซตใดๆ 1. A × φ = φ × A = φ 2. A × B ≠ B × A 3. n(A × B) = n(A) × n(B) 4. A × (BU C) = (A × B)U (A × C) (BU C) × A = (B × A)U (C × A) 5. A × (BI C) = (A × B)I (A × C) (BI C) × A = (B × A)I (C × A) 6. A × (B - C) = (A × B) - (A × C) (B - C) × A = (B × A) - (C × A) ตวอยางท 1 กาหนดให A = {1, 2} และ B = {a, b} คอนดบในขอใดตอไปนเปนสมาชกของผลคณคารทเชยน

A × B * 1) (2, b) 2) (b, a) 3) (a, 1) 4) (1, 2) ความสมพนธ คอ เซตของคอนดบทเกยวของกนตามเงอนไขทกาหนดและเปนสบเซตของผลคณคารทเชยน กาหนดให A และ B เปนเซตใดๆ r เปนความสมพนธจาก A ไป B เขยนแทนดวย r ⊂ A × B r เปนความสมพนธใน A เขยนแทนดวย r ⊂ A × A *จานวนความสมพนธทงหมดจาก A ไป B เทากบ 2n(A)×n(B) ตวอยางท 2 กาหนดให A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} B = {1, 2, 3, ... , 11, 12}

S =

+=×∈ 2a 2a b B A b)(a,

จานวนสมาชกของเซต S เทากบขอใดตอไปน 1) 1 * 2) 2 3) 3 4) 4


ตวอยางท 3 ถา A = {1, 2, 3, 4} และ r = {(m, n) ∈ A × A | m ≤ n} แลวจานวนสมาชกในความสมพนธ r เทากบขอใดตอไปน

1) 8 * 2) 10 3) 12 4) 16 โดเมนของ r เขยนแทนดวย Dr คอ เซตของสมาชกตวหนาของคอนดบทงหมดใน r สญลกษณ คอ

Dr = {x | (x, y) ∈ r} เรนจของ r เขยนแทนดวย Rr คอ เซตของสมาชกตวหลงของคอนดบทงหมดใน r สญลกษณ คอ

Rr = {y | (x, y) ∈ r} เชน จาก r = {(-2, 4), (-1, 1), (1, 1)} จะได Dr = {-2, -1, 1} และ Rr = {1, 4} การหาโดเมนและเรนจของความสมพนธของ r ⊂ R × R 1. โดเมน หาโดยจดรปสมการเปน y ในรปของ x และพจารณาวา x สามารถเปนจานวนจรงใดไดบาง

ทสามารถหาคา y ทเปนจานวนจรงได 2. เรนจ หาโดยจดรปสมการเปน x ในรปของ y และพจารณาวา y สามารถเปนจานวนจรงใดไดบาง ฟงกชน คอ ความสมพนธทคอนดบทกๆ ตวในความสมพนธ ถาสมาชกตวหนาของคอนดบสองคเทากนแลวสมาชกตวหลงของทงสองคอนดบตองเทากนดวย นนคอ r เปนฟงกชนกตอเมอ ถา (x, y) ∈ r และ (x, z) ∈ r แลว y = z r ไมเปนฟงกชนกตอเมอ ม (x, y) ∈ r และ (x, z) ∈ r ซง y ≠ z การตรวจสอบฟงกชน 1. กรณ r เขยนแบบแจกแจงสมาชก ถามสมาชกตวหนาของคอนดบ ซงเปนสมาชกใน r จบคกบสมาชกตวหลงของคอนดบมากกวา 1 ตวขนไป r ไมเปนฟงกชน เชน r1 = {(a, 1), (b, 2), (b, 3), (c, 4)} จะได r1 ไมเปนฟงกชน เพราะ b จบคกบ 2 และ 3 r2 = {(p, 2), (q, 4), (r, 6)} จะได r2 เปนฟงกชน เพราะสมาชกตวหนาของคอนดบทกตวจบคกบสมาชกตวหลงเพยงตวเดยวเทานน


2. กรณ r วาดเปนรปกราฟ ใหลากเสนตรงตงฉากกบแกน x ถามกรณทเสนตรงทลากตงฉากกบแกน x ตดกบกราฟของ r เกน 1 จดขนไป r ไมเปนฟงกชน เชน เนองจากมกรณทเสนตรงทตงฉากกบแกน x ตดกบกราฟ r

เกน 1 จด ดงนน r1 ไมเปนฟงกชน เนองจากไมมกรณทเสนตรงทตงฉากกบแกน x ตดกบกราฟ

r เกน 1 จด ดงนน r2 เปนฟงกชน

ตวอยางท 4 ความสมพนธในขอใดตอไปนเปนฟงกชน 1) {(1, 2), (2, 3), (3, 2), (2, 4)} 2) {(1, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 3)} 3) {(1, 3), (1, 2), (1, 1), (1, 4)} *4) {(1, 3), (2, 1), (3, 3), (4, 1)} ตวอยางท 5 ให A = {1, 99} ความสมพนธใน A ในขอใดไมเปนฟงกชน 1) เทากบ 2) ไมเทากบ *3) หารลงตว 4) หารไมลงตว ตวอยางท 6 จากความสมพนธ r ทแสดงดวยกราฟดงรป

1 2

y

x30

123

-3 -2 -1

-3-2-1

y r1

x

y

r2

x


ขอใดตอไปนถกตอง 1) r เปนฟงกชนเพราะ (1, 1), (2, 2) และ (3, 3) อยในแนวเสนตรงเดยวกน 2) r เปนฟงกชนเพราะมจานวนจดเปนจานวนจากด *3) r ไมเปนฟงกชนเพราะมจด (3, 3) และ (3, -1) อยบนกราฟ 4) r ไมเปนฟงกชนเพราะมจด (1, 1) และ (-1, 1) อยบนกราฟ ตวอยางท 7 กาหนดใหกราฟของฟงกชน f เปนดงน

y

x0

5

-5-10

คาของ 11f(-11) - 3f(-3)f(3) คอขอใด 1) 57 2) 68 3) 75 *4) 86 ตวอยางท 8 ถา f(x) = x 3 - และ g(x) = -2 + |x - 4| แลว DfU Rg คอขอใด 1) (-∞, 3] 2) [-2, ∞) 3) [-2, 3] *4) (-∞, ∞)

ตวอยางท 9 จานวนในขอใดตอไปนเปนสมาชกของโดเมนของฟงกชน f =

+++

=1 x1 2x

2 3x xx y y)(x, 22

--

1) -2 2) -1 * 3) 0 4) 1 ฟงกชนประเภทตางๆ ฟงกชนเชงเสน (Linear Function) คอ ฟงกชนทอยในรป f(x) = ax + b เมอ a, b ∈ R ฟงกชนคงท (Constant Function) คอ ฟงกชนเชงเสนทม a = 0 กราฟของฟงกชนจะเปนเสนตรงขนานกบแกน X ฟงกชนกาลงสอง (Quadratic Function) คอ ฟงกชนทอยในรป f(x) = ax2 + bx + c เมอ a, b, c ∈ R และ a ≠ 0 ถา a > 0 กราฟหงาย มจดวกกลบเปนจดตาสดของฟงกชน และถา a < 0 กราฟควา มจดวกกลบเปนจดสงสดของฟงกชน


ถารปทวไปของสมการ คอ f(x) = ax2 + bx + c เมอ a, b, c ∈ R จดวกกลบอยท

2ab f,2a

b -- หรอ

4a b 4ac ,2a

b 2--

ถารปทวไปของสมการ คอ f(x) = a(x - h)2 + k เมอ a, k ∈ R และ a ≠ 0 จดวกกลบอยท (h, k) การแกสมการโดยใชกราฟ 1. ในกรณทกราฟไมตดแกน x จะไมมคาตอบของสมการทเปนจานวนจรง 2. กราฟของ y = a(x + c)2 เมอ c > 0 จะตดแกน x ทจด (-c, 0) สมการมคาตอบเดยว คอ x = -c กราฟของ y = a(x - c)2 เมอ c > 0 จะตดแกน x ทจด (c, 0) สมการมคาตอบเดยว คอ x = c

3. นอกเหนอจากนกราฟตดแกน x สองจด โดยพจารณาจากการแกสมการ หรอสตร x = 2a 4ac b b 2 -- ±

ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล (Exponential Function) คอ ฟงกชนทอยในรป y = ax เมอ a > 0 และ a ≠ 1 ฟงกชนคาสมบรณ (Absolute Value Function) คอ ฟงกชนทอยในรป y = |x - a| + c เมอ a, c ∈ R ฟงกชนขนบนได (Step Function) คอ ฟงกชนทมโดเมนเปนสบเซตของ R และมคาฟงกชนคงตวเปนชวงๆ มากกวาสองชวง กราฟของฟงกชนจะมรปคลายบนได ตวอยางท 10 คาของ a ททาใหกราฟของฟงกชน y = a(2x) ผานจด (3, 16) คอขอใดตอไปน *1) 2 2) 3 3) 4 4) 5 ตวอยางท 11 ทก x ในชวงใดตอไปนทกราฟของสมการ y = -4x2 - 5x + 6 อยเหนอแกน x *1)

31 ,3

2 -- 2)

23 ,2

5 -- 3)

76 ,4

1 4)

23 ,2

1

ตวอยางท 12 กาหนดให a และ b เปนจานวนจรงบวก ถากราฟของฟงกชน y1 = 1 + ax และ y2 = 1 + bx ม

ลกษณะดงแสดงในภาพตอไปน

0x

1

2

yx

2 b 1 y +=x

1 a 1 y +=

ขอใดตอไปนเปนจรง 1) 1 < a < b 2) a < 1 < b *3) b < 1 < a 4) b < a < 1


ตวอยางท 13 ถาเสนตรง x = 3 เปนเสนสมมาตรของกราฟของฟงกชน f(x) = -x2 + (k + 5)x + (k2 - 10) เมอ k เปนจานวนจรง แลว f มคาสงสดเทากบขอใดตอไปน

1) -4 *2) 0 3) 6 4) 14 ตวอยางท 14 กาหนดให f(x) = x2 - 2x - 15 ขอใดตอไปนผด 1) f(x) ≥ -17 ทกจานวนจรง x 2) f(-3 - 2 - 3 ) > 0 3) f(1 + 3 + 5 ) = f(1 - 3 - 5 ) *4) f(-1 + 3 + 5 ) > f(-1 - 3 - 5 ) ตวอยางท 15 ถา f(x) = -x2 + x + 2 แลวขอใดสรปถกตอง *1) f(x) ≥ 0 เมอ -1 ≤ x ≤ 2 2) จดวกกลบของกราฟของฟงกชน f อยในจตภาคทสอง 3) ฟงกชน f มคาสงสดเทากบ 2 4) ฟงกชน f มคาตาสดเทากบ 2 ตวอยางท 16 ขบวนพาเหรดรปสเหลยมผนผาขบวนหนง ประกอบดวยผเดนเปนแถว แถวละเทาๆ กน (มากกวา

1 แถว และแถวละมากกวา 1 คน) โดยมเฉพาะผอยรมดานนอกทงสดานของขบวนเทานน ทสวมชดสแดง ซงมทงหมด 50 คน ถา x คอจานวนแถวของขบวนพาเหรด และ N คอจานวนคนทอยในขบวนพาเหรดแลว ขอใดถกตอง

1) 31x - x2 = N 2) 29x - x2 = N *3) 27x - x2 = N 4) 25x - x2 = N


เลขยกกาลง สมบตของเลขยกกาลง ให a และ b เปนจานวนจรงใดๆ โดยท m และ n เปนจานวนเตมบวก และ k เปนจานวนเตม 1. am ⋅ an = am+n

2. nm

aa = am-n

3. (am)n = amn 4. (am ⋅ bn)k = amk ⋅ bnk

5. k

nm

ba

= nk

mk

ba , b ≠ 0

6. a-n = na1 , a ≠ 0

7. a0 = 1, a ≠ 0 เลขยกกาลงทมเลขชกาลงเปนจานวนตรรกยะ บทนยาม เมอ a เปนจานวนจรงบวก และ n เปนจานวนทมากกวา 1 a1/n = n a บทนยาม กาหนด a เปนจานวนจรง m และ n เปนจานวนเตมทมากกวา 1 ท ห.ร.ม ของ m และ n เทากบ 1 n m a = am/n

ตวอยางท 1 คาของ 22)(- +

+32

22 81/2 เทากบขอใดตอไปน

1) -1 2) 1 *3) 3 4) 5 ตวอยางท 2 ( 18 + 2 3 125- - 3 4 4 ) มคาเทากบขอใดตอไปน *1) -10 2) 10 3) 2 5 - 5 2 4) 5 2 - 2 5


ตวอยางท 3 2

152

65

- มคาเทากบขอใดตอไปน

*1) 103 2) 10

7

3) 5 - 2 4) 6 - 2

ตวอยางท 4 35

2732- + 3/2

6

(64)2 มคาเทากบขอใดตอไปน

*1) - 2413 2) - 6

5 3) 32 4) 24

19

ตวอยางท 5 ( 2 + 8 + 18 + 32 )2 มคาเทากบขอใดตอไปน 1) 60 2) 60 2 3) 100 2 * 4) 200 ตวอยางท 6 ขอใดมคาตางจากขออน 1) (-1)0 *2) (-1)0.2 3) (-1)0.4 4) (-1)0.8

ตวอยางท 7 (|4 3 - 5 2 | - |3 5 - 5 2 | + |4 3 - 3 5 |)2 เทากบขอใด *1) 0 2) 180 3) 192 4) 200 ตวอยางท 8 กาหนดให a เปนจานวนจรงบวก และ n เปนจานวนคบวก พจารณาขอความตอไปน ก. ( n a )n = |a| ข. ( n n a ) = |a| ขอใดถกตอง *1) ก. และ ข. 2) ก. เทานน 3) ข. เทานน 4) ก. และ ข. ผด สมการในรปเลขยกกาลง ให a และ b เปนจานวนจรงบวกทไมเทากบ 1 และ m, n เปนจานวนตรรกยะ จะไดวา 1. am = an กตอเมอ m = n 2. am = bm กตอเมอ m = 0 และ a, b ≠ 0

ตวอยางท 9 ถา 4

1258

= x/1

62516

แลว x มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 43 * 2) 3

2 3) 23 4) 3

4


ตวอยางท 10 ถา 8x - 8(x+1) + 8(x+2) = 228 แลว x มคาเทากบขอใดตอไปน 1) 3

1 * 2) 32 3) 3

4 4) 35

ตวอยางท 11 ถา x3

83 3

+ = 81

16 แลว x มคาเทากบขอใดตอไปน

* 1) - 94 2) - 9

2 3) - 91 4) 9

1

ตวอยางท 12 ถา 4a = 2 และ 16-b = 4

1 แลว a + b มคาเทากบเทาใด (ตอบ 0.75)

ตวอยางท 13 คาของ x ทสอดคลองกบสมการ 2(x2)

= 4(4x)

42 เทากบขอใดตอไปน

1) 2 2) 3 * 3) 4 4) 5 อสมการในรปเลขยกกาลง ให a เปนจานวนจรงบวกทไมเทากบ 1 และ m, n เปนจานวนตรรกยะ จะไดวา 1. am < an และ a > 1 จะไดวา m < n 2. am < an และ 0 < a < 1 จะไดวา m > n ตวอยางท 14 ขอใดตอไปนผด 1) (24)30 < 220 ⋅ 330 ⋅ 440 2) (24)30 < 230 ⋅ 320 ⋅ 440 *3) 220 ⋅ 340 ⋅ 430 < (24)30 4) 230 ⋅ 340 ⋅ 420 < (24)30 ตวอยางท 15 เซตคาตอบของอสมการ 4(2x2-4x-5) ≤ 32

1 คอเซตในขอใดตอไปน

1)

25 ,2

5 - 2)

1 ,2

5 - 3)

1 ,2

1 - *4)

25 ,2

1 -

ตวอยางท 16 ขอใดตอไปนผด 1) 10 0.9 + < 0.9 + 10 *2) ( 0.9 )( 4 9.0 ) < 0.9 3) ( 0.9 )( 3 1.1 ) < ( 1.1 )( 3 9.0 ) 4) 300 125 < 200 100 ตวอยางท 17 อสมการในขอใดตอไปนเปนจรง 1) 21000 < 3600 < 10300 2) 3600 < 21000 < 10300 *3) 3600 < 10300 < 21000 4) 10300 < 21000 < 3600


อตราสวนตรโกณมต ทฤษฎบทพทาโกรส ถา ABC เปนรปสามเหลยมมมฉากซงม BCAˆ เปนมมฉาก c แทนความยาวของดานตรงขามมมฉาก a และ b แทนความยาวของดานประกอบมมฉากจะไดความสมพนธระหวางความยาวของดานทงสามของรปสามเหลยมมมฉาก ABC ดงน

a

A C

B

b

c c2 = a2 + b2

ตวอยางท 1 รปสามเหลยมมมฉากรปหนงมพนท 600 ตารางเซนตเมตร ถาดานประกอบมมฉากดานหนงยาว

เปน 75% ของดานประกอบมมฉากอกดานหนงแลว เสนรอบรปสามเหลยมมมฉากรปน ยาวกเซนตเมตร

*1) 120 2) 40 3) 60 2 4) 20 2 ตวอยางท 2 รปสเหลยมผนผาสองรปมขนาดเทากน โดยมเสนทแยงมมยาวเปนสองเทาของดานกวาง ถานารป

สเหลยมผนผาทงสองมาวางตอกนดงรป จด A และจด B อยหางกนเปนระยะกเทาของดานกวาง

A

C

B

1) 1.5 2) 3 3) 2 *4) 2 2


อตราสวนตรโกณมตของรปสามเหลยมมมฉาก บทนยาม กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยมมมฉาก

ไซน (sine) ของมม A = sin A = ความยาวของดานตรงขามมม A ความยาวของดานตรงขามมมฉาก

โคไซน (cosine) ของมม A = cos A = ความยาวของดานประชดมม A ความยาวของดานตรงขามมมฉาก

แทนเจนต (tangent) ของมม A = tan A = ความยาวของดานตรงขามมม Aความยาวของดานประชดมม A

sin A = c

a , cos A = cb , tan A = b

a

และยงมอตราสวนอนๆ อก คอ 1. csc A = Asin

1 , sec A = Acos1 , cot A = Atan

1

2. tan A = AcosAsin , cot A = Asin

Acos

3. sin2 A + cos2 A = 1 4. tan2 A + 1 = sec2 A 5. 1 + cot2 A = csc2 A ความสมพนธระหวางมม A กบมม 90° - A ในรปสามเหลยมมมฉาก

A B

C

sin A = cos (90° - A), csc A = sec (90° - A) cos A = sin (90° - A), sec A = csc (90° - A) tan A = cot (90° - A), cot A = tan (90° - A)

a

A C

B

b

c


อตราสวนตรโกณมตของมม 30°, 45° และ 60°

มม sin cos tan csc sec cot

30° 21

23 3

1 2 32 3

45° 22 2

2 1 22 = 2 2

2 = 2 1

60° 23 2

1 3 32 2 3

1

การเปรยบเทยบมาตรการวดมมระบบองกฤษและระบบเรเดยน 360° = 2π เรเดยน 180° = π เรเดยน 90° = 2

π เรเดยน

60° = 3π เรเดยน 45° = 4

π เรเดยน 30° = 6π เรเดยน

ตวอยางท 3 จากรป ขอใดตอไปนถกตอง * 1) sin 21° = cos 69° 2) sin 21° = cos 21° 3) cos 21° = tan 21° 4) tan 21° = cos 69° ตวอยางท 4 ขอใดตอไปนถกตอง *1) sin 30° < sin 45° 2) cos 30° < cos 45° 3) tan 45° < cot 45° 4) tan 60° < cot 60° ตวอยางท 5 กาหนดใหตาราง A ตาราง B และตาราง C เปนตารางหาอตราสวนตรโกณมตของมมขนาดตางๆ

ดงน ตาราง A ตาราง B ตาราง C

θ sin θ θ cos θ θ tan θ 40° 0.643 40° 0.766 40° 0.839 41° 0.656 41° 0.755 41° 0.869 42° 0.669 42° 0.743 42° 0.900

A 21° B

C


ถารปสามเหลยม ABC มมม B เปนมมฉาก มม C มขนาด 41° และสวนสง BX ยาว 1 หนวย แลวความยาวของสวนของเสนตรง AX เปนดงขอใดตอไปน

1) ปรากฏอยในตาราง A 2) ปรากฏอยในตาราง B *3) ปรากฏอยในตาราง C 4) ไมปรากฏอยในตาราง A, B และ C ตวอยางท 6 ถารปสามเหลยมดานเทารปหนงมความสง 1 หนวย แลวดานของรปสามเหลยมรปนยาวเทากบ

ขอใดตอไปน

1) 23 หนวย * 2) 3

32 หนวย 3) 34 หนวย 4) 2

3 หนวย

ตวอยางท 7 กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยมทมมม C เปนมมฉาก และ cos B = 3

2 ถาดาน BC ยาว 1 หนวย แลวพนทของรปสามเหลยม ABC เทากบขอใดตอไปน

1) 55 ตารางหนวย *2) 4

5 ตารางหนวย

3) 35 ตารางหนวย 4) 2

5 ตารางหนวย

ตวอยางท 8 กาหนดให ABCD เปนรปสเหลยมผนผาซงมพนทเทากบ 12 หนวย และ tan DBAˆ = 3

1

ถา AE ตงฉากกบ BD ทจด E แลว AE ยาวเทากบขอใดตอไปน

1) 310 หนวย 2) 5

102 หนวย

3) 210 หนวย *4) 5

103 หนวย

ตวอยางท 9 พจารณารปสามเหลยมตอไปน โดยท EFCˆ , BACˆ , BEAˆ

และ BDEˆ ตางเปนมมฉาก ขอใดตอไปนผด 1) sin ( 1 ) = sin ( 5 ) 2) cos ( 3 ) = cos ( 5 ) *3) sin ( 2 ) = cos ( 4 ) 4) cos ( 2 ) = sin ( 3 )

A C

B

X

C

F

A D B

E12 3 4

5


ตวอยางท 10 พจารณาตารางหาอตราสวนตรโกณมตของมมขนาดตางๆ ทกาหนดใหตอไปน θ sin θ cos θ

72° 0.951 0.309 73° 0.956 0.292 74° 0.961 0.276 75° 0.966 0.259

มมภายในทมขนาดเลกทสดของรปสามเหลยมทมดานทงสามยาว 7, 24 และ 25 หนวย มขนาดใกลเคยงกบขอใดมากทสด

1) 15° *2) 16° 3) 17° 4) 18° ตวอยางท 11 มมมมหนงของรปสามเหลยมมมฉากมขนาดเทากบ 60 องศา ถาเสนรอบรปของรปสามเหลยมน

ยาว 3 - 3 ฟตแลว ดานทยาวเปนอนดบสองมความยาวเทากบขอใด 1) 2 - 3 ฟต 2) 2 + 3 ฟต *3) 2 3 - 3 ฟต 4) 2 3 + 3 ฟต มมกมหรอมมกดลง หมายถง มมทวดจากเสนระดบสายตาไปยงเสนแนวการมองเมอวตถอยตากวาเสนระดบสายตา มมเงยหรอมมยกขน หมายถง มมทวดจากเสนระดบสายตาไปยงเสนแนวการมองเมอวตถอยสงกวาเสนระดบสายตา

มมเงยมมกม

เสนระดบสายตา

ตวอยางท 12 กลองวงจรปดซงถกตดตงอยสงจากพนถนน 2 เมตร สามารถจบภาพไดตาทสดทมมกม 45° และ

สงทสดทมมกม 30° ระยะทางบนพนถนนในแนวกลองทกลองนสามารถจบภาพไดคอเทาใด (กาหนดให 3 ≈ 1.73) 1) 1.00 เมตร *2) 1.46 เมตร 3) 2.00 เมตร 4) 3.46 เมตร


ลาดบและอนกรม ลาดบ (Sequences) บทนยาม ลาดบ คอ ฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจานวนเตมบวก n ตวแรก หรอโดเมนเปนเซต

ของจานวนเตมบวก ลาดบทมโดเมนเปนเซตของจานวนเตมบวก n ตวแรกเรยกวา ลาดบจากด (Finite Sequences) ลาดบทมโดเมนเปนเซตของจานวนเตมบวก เรยกวา ลาดบอนนต (Infinite Sequences) ตวอยางท 1 ใน 40 พจนแรกของลาดบ an = 3 + (-1)n มกพจน ทมคาเทากบพจนท 40 1) 10 *2) 20 3) 30 4) 40 ลาดบเลขคณต (Arithmetic Sequences) บทนยาม ลาดบเลขคณต คอ ลาดบทผลตางซงไดจากพจนท n + 1 ลบดวยพจนท n มคาคงตว

คาคงตวนเรยกวา ผลตางรวม (Common difference) 1. เมอกาหนดใหพจนแรกของลาดบเลขคณต คอ a1 และผลตางรวม คอ d โดยท d = an+1 - an พจนท n ของลาดบนคอ an = a1 + (n - 1)d 2. ลาดบเลขคณต n พจนแรก คอ a, a + d, a + 2d, ..., a + (n - 1)d ตวอยางท 2 ลาดบเลขคณตในขอใดตอไปนมบางพจนเทากบ 40 1) an = 1 - 2n 2) an = 1 + 2n * 3) an = 2 - 2n 4) an = 2 + 2n ตวอยางท 3 พจนท 31 ของลาดบเลขคณต - 20

1 , - 301 , - 60

1 , ... เทากบขอใดตอไปน

1) 125 2) 30

13 * 3) 209 4) 15

7

ตวอยางท 4 ถา a1, a2, a3, ... เปนลาดบเลขคณต ซง a30 - a10 = 30 แลว ผลตางรวมของลาดบเลขคณตน

มคาเทากบขอใดตอไปน 1) 1.25 * 2) 1.5 3) 1.75 4) 2.0 ตวอยางท 5 กาหนดให 2

3 , 1, 21 เปนลาดบเลขคณต ผลบวกของพจนท 40 และพจนท 42 เทากบขอใด

1) -18 2) -19 *3) -37 4) -38


ตวอยางท 6 ในสวนปาแหงหนง เจาของปลกตนยคาลปตสเปนแถวดงน แถวแรก 12 ตน แถวทสอง 14 ตน แถวทสาม 16 ตน โดยปลกเพมเชนน ตามลาดบเลขคณต ถาเจาของปลกตนยคาลปตสไวทงหมด 15 แถว จะมตนยคาลปตสในสวนปานทงหมดกตน (ตอบ 390 ตน) ลาดบเรขาคณต (Geometric Sequences) บทนยาม ลาดบเรขาคณต คอ ลาดบทอตราสวนของพจนท n + 1 ตอพจนท n เปนคาคงตว

คาคงตวนเรยกวา อตราสวนรวม (Common ration) 1. เมอกาหนดพจนแรกของลาดบเรขาคณตเปน a1 และอตราสวนรวม คอ r โดยท r =

nna

1 a +

พจนท n ของลาดบเรขาคณตน คอ an = a1 ⋅ rn-1 2. ลาดบเรขาคณต n พจนแรก คอ a, ar, ar2, ..., arn-1 ตวอยางท 7 กาหนดให a1, a2, a3 เปนลาดบเรขาคณต โดยท a1 = 2 และ a3 = 200 ถา a2 คอคาในขอใดขอหนง

ตอไปนแลวขอดงกลาวคอขอใด *1) -20 2) -50 3) 60 4) 100 ตวอยางท 8 กาหนดให a1, a2, a3, ... เปนลาดบเรขาคณต พจารณาลาดบสามลาดบตอไปน ก. a1 + a3 , a2 + a4 , a3 + a5 , ... ข. a1a2 , a2a3 , a3a4 , ... ค.

1a1 ,

2a1 ,

3a1 , ...

ขอใดตอไปนถก *1) ทงสามลาดบเปนลาดบเรขาคณต 2) มหนงลาดบไมเปนลาดบเรขาคณต 3) มสองลาดบไมเปนลาดบเรขาคณต 4) ทงสามลาดบไมเปนลาดบเรขาคณต ตวอยางท 9 พจนท 16 ของลาดบเรขาคณต 625

1 , 5125

1 , 1251 , ... เทากบขอใดตอไปน

1) 25 5 2) 125 * 3) 125 5 4) 625 ตวอยางท 10 ลาดบในขอใดตอไปน เปนลาดบเรขาคณต *1) an = 2n ⋅ 32n 2) an = 2n + 4n 3) an = 3n2 4) an = (2n)n


อนกรมเลขคณต (Arinmetic Series) เมอ a1, a2, a3, ..., an เปนลาดบเลขคณต จะไดวา a1 + a2 + a3 + ... + an เปนอนกรมเลขคณต ให Sn แทนผลบวก n พจนแรกของอนกรม คอ S1 = a1 S2 = a1 + a2 S3 = a1 + a2 + a3 M M Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an ผลบวก n พจนแรกของอนกรมเลขคณต Sn = 2

n [2a1 + (n - 1)d] หรอ Sn = 2

n [a1 + an]

ตวอยางท 11 คาของ 1 + 6 + 11 + 16 + ... + 101 เทากบขอใดตอไปน 1) 970 2) 1020 3) 1050 * 4) 1071 ตวอยางท 12 ถา a1, a2, a3, ... เปนลาดบเลขคณต ซง a2 + a3 + ... + a9 = 100 แลว S10 = a1 + a2 + ... + a10 มคาเทากบขอใดตอไปน 1) 120 * 2) 125 3) 130 4) 135 ตวอยางท 13 กาหนดให S = {101, 102, 103, ... , 999} ถา a เทากบผลบวกของจานวนคทงหมดใน S และ b

เทากบผลบวกของจานวนคทงหมดใน S แลว b - a มคาเทากบขอใดตอไปน * 1) -550 2) -500 3) -450 4) 450 อนกรมเรขาคณต (Geometrics Series) เมอ a1, a2, a3, ..., an เปนลาดบเรขาคณต จะไดวา a1 + a2 + a3 + ... + an เปนอนกรมเรขาคณต ผลบวก n พจนแรกของอนกรมเรขาคณต

Sn = r 1)r (1a n

1-- เมอ r ≠ 1


ตวอยางท 14 ขอใดตอไปนเปนอนกรมเรขาคณตทม 100 พจน 1) 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) + ... + 199 2) 1 + 3

1 + 51 + ... + 1)(2n

1- + ... + 199

1

3) 1 + 2 + 4 + ... + (2n-1) + ... + 2199

* 4) 51 + 125

1 + 31251 + ... + 12n5

1- + ... + 1995

1

ตวอยางท 15 ผลบวกของอนกรมเรขาคณต 1 - 2 + 4 - 8 + ... + 256 เทากบขอใดตอไปน 1) -171 2) -85 3) 85 * 4) 171 ตวอยางท 16 กาหนดให Sn เปนผลบวก n พจนแรกของอนกรมเรขาคณต ซงมอตราสวนรวมเทากบ 2 ถา S10 - S8 = 32 แลวพจนท 9 ของอนกรมนเทากบขอใดตอไปน 1) 3

16 2) 320 3) 3

26 * 4) 332

ตวอยางท 17 กาหนดให a1, a2, a3, ... เปนลาดบเรขาคณต ถา a2 = 8 และ a5 = -64 แลวผลบวกของ 10

พจนแรกของลาดบนเทากบขอใด 1) 2048 2) 1512 *3) 1364 4) 1024


ความนาจะเปน กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ 1. กฎการบวก ถาการทางานอยางหนงแบงออกเปน k กรณ โดยทกรณท 1 มจานวน n1 วธ กรณท 2 มจานวน n2 วธ กรณท 3 มจานวน n3 วธ M M กรณท k มจานวน nk วธ ดงนน จานวนวธในการทางานทงหมดจะเทากบ n1 + n2 + n3 + ... + nk วธ 2. กฎการคณ ถาการทางานอยางหนงแบงออกเปน k ขนตอน โดยทขนตอนท 1 มจานวน n1 วธ ขนตอนท 2 มจานวน n2 วธ ขนตอนท 3 มจานวน n3 วธ M M ขนตอนท k มจานวน nk วธ ดงนน จานวนวธในการทางานทงหมดจะเทากบ n1 × n2 × n3 × ... × nk วธ แฟกทอเรยล นยาม กาหนดให n เปนจานวนเตมทมคามากกวาหรอเทากบ 0 ขนไป n! = n × (n - 1) × (n - 2) × (n - 3) × ... × 3 × 2 × 1 เชน 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 8! = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 * 0! = 1 ตวอยางท 1 ในการคดเลอกคณะกรรมการหมบานซงประกอบดวยประธานฝายชาย 1 คน ประธานฝายหญง

1 คน กรรมการฝายชาย 1 คน และกรรมการฝายหญง 1 คน จากผสมครชาย 4 คน และหญง 8 คน มวธการเลอกคณะกรรมการไดกวธ

1) 168 วธ 2) 324 วธ * 3) 672 วธ 4) 1344 วธ


ตวอยางท 2 มาลตองการเดนทางจากเมอง A ไปยงเมอง C โดยตองเดนทางผานไปยงเมอง B กอน จากเมอง A ไปเมอง B มาลสามารถเลอกเดนทางโดยรถยนต รถไฟ หรอเครองบนได แตจากเมอง B ไป เมอง C สามารถเดนทางไปทางเรอ รถยนต รถไฟ หรอเครองบน ขอใดตอไปนคอจานวนวธใน การเดนทางจากเมอง A ไปยงเมอง C ทจะตองเดนทางโดยรถไฟเปนจานวน 1 ครง

* 1) 5 2) 6 3) 8 4) 9 ตวอยางท 3 ครอบครวหนงมพนอง 6 คน เปนชาย 2 คน หญง 4 คน จานวนวธทจะจดใหคนทง 6 คนยนเรยงกน

เพอถายรป โดยใหชาย 2 คนยนอยรมสองขางเสมอเทากบขอใดตอไปน 1) 12 วธ 2) 24 วธ 3) 36 วธ * 4) 48 วธ ตวอยางท 4 ตนรภยมระบบลอกทเปนรหสประกอบดวยเลขโดด 0 ถง 9 จานวน 3 หลก จานวนรหสทงหมดทม

บางหลกซากน คอเทาใด (ตอบ 280) ตวอยางท 5 จานวนวธในการจดใหหญง 3 คน และชาย 3 คน นงเรยงกนเปนแถว โดยใหสามภรรยาคหนงนง

ตดกนเสมอ มทงหมดกวธ (ตอบ 240 วธ) การทดลองสม คอ การทดลองใดๆ ซงทราบวาผลลพธอาจจะเปนอะไรไดบาง แตไมสามารถทานายผลลวงหนาได ความนาจะเปน คอ อตราสวนระหวางจานวนสมาชกของเหตการณทสนใจกบจานวนสมาชกของแซมเปลสเปซ เขยนแทนดวย P(E) ความนาจะเปนของเหตการณ E คอ P(E) = n(S)

n(E)

โดยท n(E) คอ จานวนของเหตการณทสนใจ n(S) คอ จานวนเหตการณทเปนไปไดทงหมด สมบตของความนาจะเปน 1. 0 ≤ P(E) ≤ 1 2. P(φ) = 0, P(S) = 1 3. P(E1U E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1I E2) 4. P(E1U E2U E3) = P(E1) + P(E2) + P(E3) - P(E1I E2) - P(E1I E3) - P(E2I E3) + P(E1I E2I E3) 5. P(E) = 1 - P(E′) เมอ P(E′) แทนความนาจะเปนของเหตการณทไมตองการ


ตวอยางท 6 พจารณาขอความตอไปน ก. การทดลองสมเปนการทดลองททราบวาผลลพธอาจเปนอะไรไดบาง ข. แตละผลลพธของการทดลองสมมโอกาสเกดขนเทาๆ กน ขอสรปใดตอไปนถกตอง 1) ก. และ ข. ถก * 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด ตวอยางท 7 โรงเรยนแหงหนงมรถโรงเรยน 3 คน นกเรยน 9 คน กาลงเดนไปขนรถโรงเรยนโดยสม ความ

นาจะเปนทไมมนกเรยนคนใดขนรถคนแรกเทากบขอใดตอไปน

1) 9

31

* 2)

932

3)

391

4)

392

ตวอยางท 8 โรงแรมแหงหนงมหองวางชนทหนง 15 หอง ชนทสอง 10 หอง ชนทสาม 25 หอง ถาครสมใจ

ตองการเขาพกในโรงแรมแหงนโดยวธสมแลว ความนาจะเปนทครสมใจจะไดเขาพกหองชนทสองของโรงแรมเทากบขอใดตอไปน

1) 101 * 2) 5

1 3) 103 4) 2

1

ตวอยางท 9 ในการหยบบตรสามใบ โดยหยบทละใบจากบตรสใบ ซงมหมายเลข 0, 1, 2 และ 3 กากบ ความ

นาจะเปนทจะไดผลรวมของตวเลขบนบตรสองใบแรกนอยกวาตวเลขบนบตรใบทสามเทากบขอใด *1) 4

1 2) 43 3) 2

1 4) 32

ตวอยางท 10 กลอง 12 ใบ มหมายเลขกากบเปนเลข 1, 2, ... , 12 และกลองแตละใบบรรจลกบอล 4 ลก เปนลกบอล

สดา สแดง สขาว และสเขยว ถาสมหยบลกบอลจากกลองแตละใบ ใบละ 1 ลก แลวความนาจะเปนทจะหยบไดลกบอลสแดงจากกลองหมายเลขค และไดลกบอลสดาจากกลองหมายเลขคเทากบขอใดตอไปน

1) 2

121

*2)

1241

3)

1221

4)

4121

ตวอยางท 11 กาหนดให A = {1, 2, 3} B = {5, 6, ... , 14} และ r = {(m, n) | m ∈ A และ n ∈ B} ถาสมหยบคอนดบ 1 ค จากความสมพนธ r แลวความนาจะเปนทจะไดคอนดบ (m, n) ซง 5 หาร

n แลวเหลอเศษ 3 เทากบขอใดตอไปน 1) 15

1 2) 101 *3) 5

1 4) 53


ตวอยางท 12 ชางไฟคนหนงสมหยบบนได 1 อนจากบนได 9 อน ซงมความยาว 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 และ 12 ฟต แลวนามาพาดกบกาแพง โดยใหปลายขางหนงหางจากกาแพง 3 ฟต ความนาจะเปนทบนไดจะทามมกบพนราบนอยกวา 60° มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 91 * 2) 9

2 3) 93 4) 9

4

ตวอยางท 13 ถาสมตวเลขหนงตวจากขอมลชดใดๆ ซงประกอบดวยตวเลข 101 ตว แลวขอใดตอไปนถก *1) ความนาจะเปนทตวเลขทสมไดมคานอยกวาคามธยฐาน < 2

1

2) ความนาจะเปนทตวเลขทสมไดมคานอยกวาคาเฉลยเลขคณต < 21

3) ความนาจะเปนทตวเลขทสมไดมคานอยกวาคามธยฐาน > 21

4) ความนาจะเปนทตวเลขทสมไดมคานอยกวาคาเฉลยเลขคณต > 21

ตวอยางท 14 ทาสเหรยญสามอนดงน เหรยญแรกดานหนงทาสขาว อกดานหนงทาสแดง เหรยญทสองดานหนง

ทาสแดง อกดานหนงทาสฟา เหรยญทสามดานหนงทาสฟา อกดานหนงทาสขาว โยนเหรยญทงสามขนพรอมกน ความนาจะเปนทเหรยญจะขนหนาตางสกนทงหมดเปนดงขอใด

1) 21 *2) 4

1 3) 81 4) 16

1

ตวอยางท 15 กลองใบหนงบรรจสลากหมายเลข 1-10 หมายเลขละ 1 ใบ ถาสมหยบสลากจานวนสองใบ โดย

หยบทละใบแบบไมใสคน ความนาจะเปนทจะหยบไดสลากหมายเลขตากวา 5 เพยงหนงใบเทานน เทากบขอใด

1) 92 *2) 15

8 3) 352 4) 156

11

ตวอยางท 16 ในการวดสวนสงนกเรยนแตละคนในชน พบวานกเรยนทสงทสดสง 177 เซนตเมตร และนกเรยนท

เตยทสดสง 145 เซนตเมตร พจารณาเซตของสวนสงตอไปน S = {H|H เปนสวนสงในหนวยเซนตเมตรของนกเรยนในชน} T = {H = |145 ≤ H ≤ 177} เซตใดถอเปนปรภมตวอยาง (แซมเปลสเปซ) สาหรบการทดลองสมน 1) S และ T *2) S เทานน 3) T เทานน 4) ทง S และ T ไมเปนปรภมตวอยาง ตวอยางท 17 ในการคดเลอกคณะกรรมการชดหนง ซงประกอบดวย ประธาน รองประธาน และเลขานการ

อยางละ 1 คน จากหญง 6 คน และชาย 4 คน ความนาจะเปนทคณะกรรมการชดน จะมประธานและรองประธานเปนหญงเทากบขอใด

1) 181 2) 12

1 3) 91 *4) 3

1


สถต สถตเชงพรรณนา (Descriptive) คอ การวเคราะหขนตนทมงวเคราะห เพออธบายลกษณะกวางๆ ของขอมลชดนน เชน การวดคาแนวโนมเขาสสวนกลาง คาวดการกระจาย การแจกแจงความถของขอมล และการนาเสนอผลสรปดวยตาราง แผนภมแทง เพออธบายขอมลชดนน สถตเชงอนมาน (Inferential Statistice) คอ การวเคราะหขอมลทเกบรวบรวมไดจากตวอยางเพออางองไปถงขอมลทงหมด องคประกอบของสถต 1. การเกบรวบรวมขอมล เชน การสอบถาม การสงเกต การทดลอง เปนตน 2. การวเคราะหขอมล โดยขอมลทนามาวเคราะหเพยงสวนหนง เรยกวา กลมตวอยางและขอมลทเลอกมาจากขอมลทงหมด เรยกวา ประชากร 3. การนาเสนอขอสรป ขอมล คอ ขอความจรงหรอสงทบงบอกถงสภาพ สถานการณหรอปรากฏการณ โดยทขอมลอาจเปนตวเลขหรอขอความกได สารสนเทศหรอขาวสาร คอ ขอมลทผานการวเคราะหเบองตนหรอขนสงแลว ประเภทของขอมล 1. แบงตามวธเกบ 1.1 ขอมลปฐมภม คอ ขอมลทผใชเกบรวบรวมเอง เชน การสามะโน การสารวจกลมตวอยาง 1.2 ขอมลทตยภม คอ ขอมลทไดจากผอนเกบรวบรวมไวแลว เชน รายงาน บทความ เปนตน 2. แบงตามลกษณะของขอมล 2.1 ขอมลเชงปรมาณ คอ ขอมลทใชแทนขนาดหรอปรมาณซงวดออกมาเปนจานวนทสามารถนามาใชเปรยบเทยบกนไดโดยตรง 2.2 ขอมลเชงคณภาพ คอ ขอมลทไมสามารถวดออกมาไดโดยตรง แตอธบายลกษณะหรอคณสมบตในเชงคณภาพได ตวอยางท 1 ขอใดตอไปนเปนเทจ 1) สถตเชงพรรณนาคอสถตของการวเคราะหขอมลขนตนทมงอธบายลกษณะกวางๆ ของขอมล 2) ขอมลทเปนหมายเลขทใชเรยกสายรถโดยสารประจาทางเปนขอมลเชงคณภาพ *3) ขอมลปฐมภมคอขอมลทผใชเกบรวบรวมจากแหลงขอมลโดยตรง 4) ขอมลทนกเรยนรวบรวมจากรายงานตางๆ ทไดจากหนวยงานราชการเปนขอมลปฐมภม


ตวอยางท 2 ครสอนวทยาศาสตรมอบหมายใหนกเรยน 40 คน ทาโครงงานตามความสนใจ หลงจากตรวจรายงานโครงงานของทกคนแลว ผลสรปดงน

ผลการประเมน จานวนโครงงาน

ดเยยม ด

พอใช ตองแกไข

3 20 12 5

ขอมลทเกบรวบรวม เพอใหไดผลสรปขางตนเปนขอมลชนดใด 1) ขอมลปฐมภม เชงปรมาณ 2) ขอมลทตยภม เชงปรมาณ *3) ขอมลปฐมภม เชงคณภาพ 4) ขอมลทตยภม เชงคณภาพ การวเคราะหขอมลเบองตน ขอมลเชงปรมาณทใชในการวเคราะหทางสถตมสองประเภท คอ ขอมลทไมไดแจกแจงความถ ซงจะเหนคาของขอมลทกตวและขอมลทแจกแจงความถ จะเหนเปนอนตรภาคชน ความกวางของอนตรภาพชน = ขอบบน - ขอบลาง จดกงกลางอนตรภาคชน = (ขอบบน + ขอบลาง) ÷ 2 ฮสโทแกรม คอ รปสเหลยมมมฉากวางเรยงตอกนบนแกนนอน โดยมแกนนอนแทนคาของตวแปร ความกวางของสเหลยมมมฉากแทนความกวางของอนตรภาคชน และพนทของรปสเหลยมมมฉากแทนความถของแตละ อนตรภาคชน ซงถาความกวางของทกชนเทากน ความสงของรปสเหลยมจะแสดงความถ แผนภาพตน-ใบ (Stem-and-Leaf Plot) เปนวธการสรางแผนภาพเพอแจกแจงความถและวเคราะหขอมลเบองตน โดยเรมจากการนาขอมลมาแบงกลม โดยใชเลขหลกสบ แลวนามาสรางเปนลาตน (Stem) แลวใชเลขโดดในหลกหนวยมาสรางเปนใบ (Leaf) การวดตาแหนงของขอมล : มสองขนตอน คอ การหาตาแหนงและการหาคา 1. ควอรไทล (Quartiles) คอ การแบงขอมลออกเปน 4 สวนเทาๆ กน โดย Q1, Q2, และ Q3 คอ คะแนนของตวแบงทง 3 ตว 2. เดไซล (Deciles) คอ การแบงขอมลออกเปน 10 สวนเทาๆ กน โดย D1, D2, ..., D9 คอ คะแนนของตวแบงทง 9 ตว 3. เปอรเซนไทล (Percentiles) คอ การแบงขอมลออกเปน 100 สวนเทาๆ กน ม P1, ..., P99 คอ คะแนนของตวแบงทง 99 ตว การหาตาแหนง : ตาแหนงของ Qr คอ 4

1)r(N +

ตาแหนงของ Dr คอ 101)r(N +

ตาแหนงของ Pr คอ 1001)r(N +

การหาคา : ใชการเทยบบญญตไตรยางค


หมายเหต เมอหาคาขอมลทมคาสงสด ตาสด Q1, Q2 และ Q3 สามารถนามาสรางแผนภาพกลอง (Box-and-Whisker Plot หรอ Box-Plot) โดยแผนภาพจะทาใหเราทราบถงลกษณะการกระจายของขอมล การวดแนวโนมเขาสสวนกลาง 1. คาเฉลยเลขคณต, Mean, x

x ของขอมลทไมแจกแจงความถ x = N

N

1 iix∑

=

x ของขอมลทแจกแจงความถ x = N

k

1 iixif∑

=

ขอสงเกต 1. ∑=

N

1 iix = N x

2. )N

1 ixi(x ∑

=- = 0

3. 2)N

1 iai(x ∑

=- มคานอยทสดเมอ a = x

4. ถา x1, x2, x3, ... , xn มคาเฉลยเลขคณตเปน x x1 + k, x2 + k, x3 + k, ... , xn + k มคาเฉลยเลขคณตเปน x + k x1k, x2k, x3k, ..., xnk มคาเฉลยเลขคณตเปน x k

5. x รวม = 22

2211N N

xN xN++

2. มธยฐาน, Median, Me Me สาหรบขอมลทไมแจกแจงความถ Me = คาของขอมลตาแหนงตรงกลาง (ตวท 2

1N + ) เมอเรยงลาดบขอมลแลว ขอสงเกต 1. การหามธยฐานมสองขนตอน คอ หาตาแหนง และหาคาโดยใชสตรหรอการเทยบบญญตไตรยางค

2. ∑=

N

1 i|aix| - มคานอยสดเมอ a = Me

3. ฐานนยม, Mode, Mo Mo สาหรบขอมลทไมแจกแจงความถ Mo = คาของขอมลทมความถมากทสด ขอสงเกต ใชไดกบขอมลเชงคณภาพ


ตวอยางท 3 สวนสงของพนอง 2 คน มพสยเทากบ 12 เซนตเมตร มคาเฉลยเลขคณตเทากบ 171 เซนตเมตร ขอใดตอไปนเปนสวนสงของพหรอนองคนใดคนหนง

1) 167 เซนตเมตร 2) 172 เซนตเมตร 3) 175 เซนตเมตร *4) 177 เซนตเมตร ตวอยางท 4 ขอมลชดหนงประกอบดวย 4, 9, 2, 7, 6, 5, 4, 6, 3, 4 ขอใดตอไปนถกตอง 1) คาเฉลยเลขคณต < ฐานนยม < มธยฐาน *2) ฐานนยม < มธยฐาน < คาเฉลยเลขคณต 3) ฐานนยม < คาเฉลยเลขคณต < มธยฐาน 4) มธยฐาน < ฐานนยม < คาเฉลยเลขคณต ตวอยางท 5 ความสงในหนวยเซนตเมตรของนกเรยนกลมหนงซงม 10 คน เปนดงน 155, 157, 158, 158, 160, 161, 161, 163, 165, 166 ถามนกเรยนเพมขนอกหนงคน ซงมความสง 158 เซนตเมตร แลวคาสถตใดตอไปนไมเปลยนแปลง 1) คาเฉลยเลขคณต 2) มธยฐาน 3) ฐานนยม *4) พสย ตวอยางท 6 การเลอกใชคากลางของขอมลควรพจารณาสงตอไปน ยกเวนขอใด 1) ลกษณะของขอมล *2) วธจดเรยงลาดบขอมล 3) จดประสงคของการนาไปใช 4) ขอดและขอเสยของคากลางแตละชนด ตวอยางท 7 คาเฉลยเลขคณตของนาหนกของพนกงานของบรษทแหงหนง เทากบ 48.01 กโลกรม บรษทนม

พนกงานชาย 43 คน และพนกงานหญง 57 คน ถาคาเฉลยเลขคณตของนาหนกพนกงานหญงงเทากบ 45 กโลกรม แลวนาหนกของพนกงานชายทงหมดรวมกนเทากบขอใด

*1) 2,236 กโลกรม 2) 2,279 กโลกรม 3) 2,322 กโลกรม 4) 2,365 กโลกรม ตวอยางท 8 แผนภาพตน-ใบของนาหนกในหนวยกรมของไขไก 10 ฟอง เปนดงน

5 6 7 8

7 8 7 8 9 0 4 4 7 1

ขอสรปใดเปนเทจ 1) ฐานนยมของนาหนกไขไกมเพยงคาเดยว 2) คาเฉลยเลขคณตและมธยฐานของนาหนกไขไกมคาเทากน 3) มไขไก 5 ฟองทมนาหนกนอยกวา 70 กรม *4) ไขไกทมนาหนกสงกวาฐานนยม มจานวนมากกวาไขไกทมนาหนกเทากบฐานนยม


ตวอยางท 9 สาหรบขอมลเชงปรมาณใดๆ ทมคาสถตตอไปน คาสถตใดจะตรงกบคาของขอมลคาหนงเสมอ 1) พสย 2) คาเฉลยเลขคณต 3) มธยฐาน *4) ฐานนยม ตวอยางท 10 ขอมลตอไปนแสดงนาหนกในหนวยกโลกรม ของนกเรยนกลมหนง 41, 88, 46, 42, 43, 49, 44, 45, 43, 95, 47, 48 คากลางในขอใดเปนคาทเหมาะสมทจะเปนตวแทนของขอมลชดน *1) มธยฐาน 2) ฐานนยม 3) คาเฉลยเลขคณต 4) คาเฉลยของคาสงสดและคาตาสด การวดการกระจายของขอมล 1. พสย (Range) Range = xmax - xmin 2. สวนเบยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation)

S.D. = N

N

1 i

2)x i(x∑=

-

= N2x

N

1 i

2ix

-∑=

ขอสงเกต 1. ความแปรปรวน (Variance) = S.D.2 = S2 2. S.D. ≥ 0 3. S.D. = 0 ↔ x1 = x2 = ... = xn = x 4. ถา x1, x2, ..., xn มสวนเบยงเบนมาตรฐานเปน S.D. ความแปรปรวนเปน S.D.2 x1 + k, x2 + k, ..., xn + k มสวนเบยงเบนมาตรฐานเปน S.D. ความแปรปรวนเปน S.D.2 x1k, x2k, ..., xnk มสวนเบยงเบนมาตรฐานเปน S.D.|k| ความแปรปรวนเปน S.D.2k2 5. The 95% Rule กลาววา มจานวนขอมลทอยในชวง ( x - 2s, x + 2s) ประมาณ 95% ของจานวนขอมลทงหมด 6. โดย The 95% Rule ไดวา s ≈ 4

Range

ความสมพนธของ x , Me และ Mo

x = Me = Mo x > Me > Mo x < Me < Moโคงปกต โคงเบขวา โคงเบซาย


การสารวจความคดเหน 1. ขอบเขตของการสารวจ กาหนดดวยพนท ลกษณะผใหขอมล การมสวนไดสวนเสยกบขอมล 2. วธเลอกตวอยาง การสมตวอยาง (Sampling) การเลอกตวอยางแบบชนภม การเลอกตวอยางแบบหลายขนและการเลอกตวอยางแบบกาหนดโควตา 3. การสรางแบบสารวจความคดเหน แบบสารวจทดประกอบดวย ลกษณะของผตอบทคาดวามผลตอการแสดงความคดเหน ความคดเหนของผตอบในดานตางๆ และขอเสนอแนะ โดยตองไมเปนคาถามทชนา และมจานวนไมมากเกนไป ตลอดจนความสอดคลองของความรของผใหขอมลกบเรองทสอบถาม 4. การประมวลผลและวเคราะหความคดเหน 1. รอยละของผตอบแบบสารวจความคดเหนในแตละดานทเกยวของ 2. ระดบความคดเหนเฉลย ตวอยางท 11 ขอมลชดหนงมคาเฉลยเลขคณตเทากบ 20 มธยฐานเทากบ 25 และฐานนยมเทากบ 30 ขอสรปใด

ตอไปนถกตอง *1) ลกษณะการกระจายของขอมลเปนการกระจายทเบทางซาย 2) ลกษณะการกระจายของขอมลเปนการกระจายทเบทางขวา 3) ลกษณะการกระจายของขอมลเปนการกระจายแบบสมมาตร 4) ไมสามารถสรปลกษณะการกระจายของขอมลได ตวอยางท 12 พจารณาขอมลตอไปน 10, 5, 6, 9, 12, 15, 8, 18 คาของ P80 ใกลเคยงกบขอใดตอไปนมากทสด 1) 15.1 2) 15.4 * 3) 15.7 4) 16.0 ตวอยางท 13 ในกรณทมขอมลจานวนมาก การนาเสนอขอมลในรปแบบใดตอไปนทาใหเหนการกระจายของ

ขอมลไดชดเจนนอยทสด 1) ตารางแจกแจงความถ 2) แผนภาพตน-ใบ 3) ฮสโทแกรม *4) การแสดงคาสงเกตทกคา ตวอยางท 14 จากการสอบถามเยาวชนจานวน 12 คน วาเคยฟงพระธรรมเทศนามาแลวจานวนกครง ปรากฏผล

ดงแสดงในแผนภาพตอไปน

1 2 30123

4 5 6

45

นจานวนเยาวช

าระธรรมเทศนทเคยฟงพจานวนครง


มธยฐานของขอมลนคอขอใด * 1) 3 ครง 2) 3.25 ครง 3) 3.5 ครง 4) 4 ครง ตวอยางท 15 ขอใดตอไปนมผลกระทบตอความถกตองของการตดสนใจโดยใชสถต ยกเวนขอใด 1) ขอมล 2) สารสนเทศ 3) ขาวสาร * 4) ความเชอ ตวอยางท 16 คะแนนสอบความรทวไปของนกเรยน 200 คน นาเสนอโดยใชแผนภาพกลองดงน

10 12 16 18 24 ขอใดเปนเทจ 1) จานวนนกเรยนททาได 12 ถง 16 คะแนน มเทากบจานวนนกเรยนททาได 16 ถง 18 คะแนน *2) จานวนนกเรยนททาได 12 ถง 18 คะแนน มเทากบจานวนนกเรยนททาได 18 ถง 24 คะแนน 3) จานวนนกเรยนททาได 10 ถง 12 คะแนน มเทากบจานวนนกเรยนททาได 18 ถง 24 คะแนน 4) จานวนนกเรยนททาได 10 ถง 16 คะแนน มเทากบจานวนนกเรยนททาได 16 ถง 24 คะแนน ตวอยางท 17 จากการตรวจสอบลาดบทของคะแนนสอบของนาย ก และนาย ข ในวชาคณตศาสตรทมผเขาสอบ

400 คน ปรากฏวานาย ก สอบไดคะแนนอยในตาแหนงควอรไทลท 3 และนาย ข สอบไดคะแนนอยในตาแหนงเปอรเซนไทลท 60 จานวนนกเรยนทสอบไดคะแนนระหวางคะแนนของนาย ก และนาย ข มประมาณกคน

1) 15 คน 2) 30 คน 3) 45 คน *4) 60 คน ตวอยางท 18 ขอมลชดหนง มบางสวนถกนาเสนอในตารางตอไปน

อนตรภาคชน ความถ ความถสะสม ความถสมพทธ2-6 7-11 12-16 17-21

6

11 14

0.2

0.3 ชวงคะแนนใดเปนชวงคะแนนทมความถสงสด *1) 2-6 2) 7-11 3) 12-16 4) 17-21


ตวอยางท 19 จานวนผวางงานทวประเทศในเดอนกนยายน ป พ.ศ. 2551 มจานวนทงสน 4.29 แสนคน ตารางเปรยบเทยบอตราการวางงานในเดอนกนยายน ป พ.ศ. 2550 กบป พ.ศ. 2551 เปนดงน

อตราการวางงานในเดอนกนยายน (จานวนผวางงานตอจานวน ผอยในกาลงแรงงานคณ 100) พนทสารวจ

ปพ.ศ. 2550 ปพ.ศ. 2551 ภาคใต ภาคตะวนออกเฉยงเหนอ ภาคเหนอ ภาคกลาง (ยกเวนกรงเทพมหานคร) กรงเทพมหานคร ทวประเทศ

1.0 0.9 1.5 1.3 1.2 1.2

1.0 1.3 1.2 0.9 1.2 1.1

พจารณาขอความตอไปน ก. จานวนผวางงานในภาคใตในเดอนกนยายนของป พ.ศ. 2550 และของป พ.ศ. 2551 เทากน ข. จานวนผอยในกาลงแรงงานทวประเทศในเดอนกนยายนป พ.ศ. 2551 มประมาณ 39 ลานคน ขอใดถกตอง 1) ก. และ ข. 2) ก. เทานน *3) ข. เทานน 4) ก. และ ข. ผด ตวอยางท 20 ในการใชสถตเพอการตดสนใจและวางแผน สาหรบเรองทจาเปนตองมการใชขอมลและสารสนเทศ

ถาขาดขอมลและสารสนเทศดงกลาว ผตดสนใจควรทาขนตอนใดกอน 1) เกบรวบรวมขอมล 2) เลอกวธวเคราะหขอมล 3) เลอกวธเกบรวบรวมขอมล *4) กาหนดขอมลทจาเปนตองใช


เนอหา ในสวน ทครSup’kรบผดชอบ

PAT1 ม.ค.52

PAT1 ก.ค.52

PAT1 ต.ค.52

PAT1 ม.ค.53

PAT1 ก.ค.53

PAT1 ต.ค.53

ระดบขอสอบ ปานกลาง งาย ปานกลาง ยาก ยาก ยากมากโจทยปญหาเชาวน

แนวจานวนกบตวเลข - - - 3 ขอ 3 ขอ 3 ขอ

โจทยปญหาเชาวน แนวโอเปอรเรชนใหมๆ

- - - 1 ขอ 1 ขอ 2 ขอ

โจทยปญหาเชาวน แนวลาดบ VS ทานายตวเลข

1 ขอ - - 1 ขอ 2 ขอ -

โจทยปญหาเชาวน แนวตรรกศาสตร

2 ขอ 2 ขอ 2 ขอ 1 ขอ - -

โจทยปญหาเชาวนอนๆ - - 1 ขอ 1 ขอ 1 ขอ - เอกโปเนนเชยล 2 ขอ 1 ขอ 1 ขอ 4 ขอ 3 ขอ 2 ขอ

ลอการทม 1 ขอ 2 ขอ 2 ขอ 1 ขอ 2 ขอ 3 ขอ ตรรกศาสตร 1 ขอ 2 ขอ 2 ขอ 2 ขอ 2 ขอ 2 ขอ

ระบบจานวนจรง 3 ขอ 3 ขอ 2 ขอ 1 ขอ 1 ขอ 1 ขอ ทฤษฎจานวน 1 ขอ 1 ขอ 1 ขอ 1 ขอ - 1 ขอ

เรขาคณตวเคราะห - - - 2 ขอ 1 ขอ 1 ขอ ภาคตดกรวย 4 ขอ 4 ขอ 5 ขอ 1 ขอ 1 ขอ 2 ขอ ความสมพนธ 2 ขอ 1 ขอ - 1 ขอ - -

ฟงกชน 1 ขอ 2 ขอ 2 ขอ 2.5 ขอ 3 ขอ 2 ขอ


เนอหา ในสวน ทครSup’kรบผดชอบ

PAT1 ม.ค.52

PAT1 ก.ค.52

PAT1 ต.ค.52

PAT1 ม.ค.53

PAT1 ก.ค.53

PAT1 ต.ค.53

เมตรกซ และ ดเทอร-มนนต 3 ขอ 3 ขอ 3 ขอ 2 ขอ 3 ขอ 2 ขอ

ตรโกณพนฐานในวงกลม

- - - 0.5 ขอ - -

ตรโกณประยกต 1.5 ขอ 1 ขอ 1.5 ขอ 2 ขอ 1 ขอ 2 ขอ อนเวอรสตรโกณ 1 ขอ 1 ขอ 0.5 ขอ 1 ขอ 1 ขอ 1 ขอ

กฎของsin, กฎของ cos 0.5 ขอ 1 ขอ 1 ขอ - 1 ขอ 1 ขอ ลาดบอนกรมพนฐาน 2 ขอ 2 ขอ 3 ขอ 2 ขอ 3 ขอ 4 ขอ ลาดบเวยนบงเกด

แปลกๆ 1 ขอ 1 ขอ - - 2 ขอ 3 ขอ

อนกรมประยกตแปลกๆ - 1 ขอ - 1 ขอ 1 ขอ 3 ขอ โจทยเซอรไพสแนว

โอลมปก 2 ขอ 1 ขอ - - 2 ขอ 1 ขอ

รวม 29 ขอ 29 ขอ 27 ขอ 31 ขอ 34 ขอ 36 ขอ

ขอสอบทงหมด 50 ขอ / 3 ชม.

50 ขอ / 3 ชม.

50 ขอ / 3 ชม.

50 ขอ / 3 ชม.

50 ขอ / 3 ชม.

50 ขอ / 3 ชม.

หมายเหต

ชอย 50 ขอ

ขอละ

6 คะแนน

ชอย 50 ขอ

ขอละ

6 คะแนน

ชอย 25 ขอ ขอละ

6 คะแนน

เตมคา 25 ขอ ขอละ

6 คะแนน


6 คะแนน


6 คะแนน


5 คะแนน


7 คะแนน


5 คะแนน


7 คะแนน


โจทยปญหาเชาวน แนวเตมตวเลขในตารางเกาชอง BRAN-Pb2.50 (PAT1’ต.ค.53) จากตารางทกาหนดให มชองวางทงหมด 9 ชอง ดงรป

7x

10 3

ใหเตมจานวนเตมบวก ลงในชองสเหลยมชองละ 1 จานวน โดยใหผลบวกของจานวนในแตละแถว ในแตละหลก และในแตละแนวทแยงมม มคาเทากน

ถาเตมจานวนเตมบวก 3, 7, 10 ดงปรากฏในตาราง แลวจานวน x ในตาราง เทากบเทาใด แนวคดเรวๆ ขนท 1 ขนท 2

7x

10 3

7x

10 3

ขนท 3 (แถม) ขนท 4 (แถม) ขนท 5 (แถม)

7

10 3

7

10 3

7

10 3

Sup’k Tips


a c 7x b d

10 3S - 13

a c 7x 6 d

10 3S - 13

9 2 74 6 85 10 3

BRAN-Pb2.50 แนวคดท 2 ตอบ 0004.00 สมมตวาผลบวกทเทากนในแตละทศทาง คอ S จะได ชองทางซายลางสด เทากบ S - 13 (ดงรป) พจารณาในแนวทแยง (จากมมซายลางไปยงมมขวาบน) จะได (S - 13) + b + 7 = S b = 6 พจารณาในแนวทแยง (จากมมซายบนไปยงมมขวาลาง) จะได a + b + 3 = S a + 9 = S ...(1) พจารณาในแถวท 1 จะได a + c + 7 = S (a + 9) + c + 7 = S + 9 S + c + 7 = S + 9 [โดย (1)] c = 2 พจารณาหลกท 2 จะได S = c + 6 + 10 = 2 + 6 + 10 = 18 โดย (1) จะได a + 9 = 18 a = 9 ตารางทสมบรณ พจารณาหลกท 1 จะได a + x + (S - 13) = S 9 + x - 13 = 0 ดงนน x = 4 (ทาใหไดวา d = 8)


โจทยปญหาเชาวน แนวผลรวมตวเลขในตาราง SheLL2.46 (PAT1’ก.ค.53) ใหเตมจานวนเตมบวกลงในชองสเหลยม โดยใหผลรวมของจานวนในชองสเหลยมสามชองทตดกน เทากบ 18

7 x 8 คาของ x เทากบเทาใด ตอบ .............................. SheLL2.47 (PAT1’ก.ค.53) จากตารางทกาหนดให มชองวาง 16 ชอง ดงรป

1 5

x 13

แถว (ก)

แถว (ข)

หลก (ค) หลก (ง)

ใหเตมจานวนเตมบวก 1, 2, 3, ..., 16 ลงในชองสเหลยมชองละ 1 จานวน โดยใหผลบวก ของจานวนในแตละแถว (แถว (ก) และ แถว (ข)) และแตละหลก (หลก (ค) และ หลก (ง)) มคาเทา ๆ กน ถาเตมจานวนเตมบวก 1, 5, 13 ดงปรากฏในตารางแลวจานวน x ในตาราง เทากบเทาใด ตอบ .............................. โจทยปญหาเชาวน แนวSudoku SheLL2.4 (PAT1’ก.ค.53) ใหเตมจานวนเตมบวก 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ลงในชองวางของตาราง 5 × 5 ตอไปน

5 41 3

5 32 3 1

x โดยทแตละแถวตองมจานวนเตมบวก 1, 2, 3, 4 และ 5 และแตละหลกตองมจานวนเตมบวก 1, 2, 3, 4 และ 5 จงหาวาจานวน x ในตาราง เทากบเทาใด ตอบ ..............................


โจทยปญหาเชาวน แนวAlphabetic Problem BRAN-Pb1.24 (PAT1’ต.ค.53) พจารณาการบวกของจานวนตอไปน A B C D E F G เมอ A, B, C, D, E, F, G แทนเลขโดดทแตกตางกน โดยท F = 0 และ {A, B, C, D, E, G} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ถาจานวนสองหลก AB เปนจานวนเฉพาะ แลว A + B มคาเทากบขอใดตอไปน 1) 4 2) 5 3) 7 4) 9 แนวคด SupK-Pb2.28.2 (ดกแนว PAT 1) SupK-Pb2.28.3 (ดกแนว PAT 1) ให ตวอกษรภาษาองกฤษแตละตวทแตกตางกน ให ตวอกษรภาษาองกฤษแตละตวทแตกตางกน แทน เลขโดดทแตกตางกน แทน เลขโดดทแตกตางกน จงหาตวเลขมาเตมตวอกษรองกฤษตอไปน จงหาตวเลขมาเตมตวอกษรองกฤษตอไปน S E N D F A T H E R M O R E M O T H E R M O N E Y P A R E N T เมอตวอกษร O ในขอน คอ เลขศนย เมอตวอกษร O ในขอน คอ เลขโดดใดๆ

+

+ +


โจทยปญหาเชาวน แนวทฤษฎจานวน BRAN-Pb2.43 (PAT1’ต.ค.53) กาหนดให a, b, c, d, e, f เปนจานวนเตมบวก ถาผลบวกของสองจานวนทแตกตางกน ในเซต {a, b, c, d, e, f) มทงหมด 1 5 จานวน โดยท a < b < c < d < e < f คอ 37, 50, 67, 72, 80, 89, 95, 97, 102, 110, 112, 125, 132, 147 และ 155 แลวคาของ c + d เทากบเทาใด ตอบ .............................. แนวคด โจทยทฤษฎจานวน แนวทฤษฎการหารลงตว BRAN-Pb1.25 (PAT1’ต.ค.53) สาหรบ a และ b เปนจานวนเตมบวกใดๆ นยาม a * b หมายถง a = kb สาหรบบางจานวนเตมบวก k ถา x, y และ z เปนจานวนเตมบวกแลว ขอใดตอไปนเปนจรง 1. ถา x * y และ y * z แลว (x + y) * z 2. ถา x * y และ x * z แลว x * (yz) 3. ถา x * y และ x * z แลว x * (y + z) 4. ถา x * y แลว y * x

Sup’k Tips


โจทยปญหาเชาวน แนวตรรกศาสตร ผมไมไดพดโกหก VS นงตดกบคนโนน ตรงขามคนน TF-PAT119. (B-PAT1’ต.ค.51) ในการจดคน 5 คน ยนเขาแถวหนากระดาน พบวา - นาย ก ไมยนขางนาย ข - นาย ค ยนอยรม - นาย ง ยนอยขางนาย จ และไมยนอยกลางแถว ขอใดตอไปนเปนไปได 1) นาย ก ยนขางนาย ข 2) นาย จ ยนอยรมดานหนง 3) นาย ก ยนอยตรงกลาง 4) นาย จ ยนอยตรงกลาง TF-PAT120. (B-PAT1’ต.ค.51) จากโจทย ขอ เมอก ถานาย ข ยนอยรมดานหนงแลว ขอใดตอไปนผด 1) นาย ค ยนตดนาย ก 2) นาย ก ยนอยตรงกลาง 3) นาย จ ยนอยตรงกลาง 4) นาย ง ยนตดกบนาย ข TF-PAT123 (PAT1’ม.ค.52) ชาย 6 คน นาย ก, ข, ค, ง, จ และ ฉ ยนเขาแถวตอนตามลาดบ โดยมเงอนไข

ดงน นาย ฉ ไมยนตดกบนาย ข นาย ฉ ยนอยในลาดบกอนนาย ก นาย ก ยนตดนาย ง นาย จ ยนอยลาดบท 4 ถานาย ฉ ยนตดและอยหลงนาย ค แลว คนทมโอกาสอยในลาดบท 5 ไดแก ชายในขอใดตอไปน 1) นาย ข 2) นาย ค 3) นาย ง 4) นาย ฉ TF-PAT124. (PAT1’ม.ค.52) จากเงอนไขในโจทยขอทแลว ขอความใดตอไปนจรง 1) นาย ง ยนอยในลาดบท 2 2) นาย ค ยนอยในลาดบท 3 3) นาย ง ยนอยหลงนาย ข 4) นาย ข ยนอยหลงนาย จ

Sup’k หลก


โจทยปญหาเชาวน แนวระบบจานวนจรง BRAN-Pb1.5 (PAT1’ต.ค.53) ให N แทนเซตของจานวนนบ กาหนดให a * b = b a + สาหรบ a, b ∈ N พจารณาขอความตอไปน ก. (a * b) * c = a * (b * c) สาหรบ a, b, c ∈ N ข. a * (b + c) = (a * b) + (a * c) สาหรบ a, b, c ∈ N ขอใดตอไปนถกตอง 1) ก. ถก และ ข. ถก 2) ก. ถก แต ข. ผด 3) ก. ผด แต ข. ถก 4) ก. ผด และ ข. ผด แนวคดเรวๆ

วธจรง สาหรบ a, b ∈ N เรามวา a * b = ba +

(ก) ผด , (a * b) * c = ( ba + ) * c = c b a ++

a * (b * c) = a * cb + = c b a ++ ∴ (a * b) * c ≠ a * (b * c) (ข) ผด , a * (b + c) = cb a ++ , a * b = ba + , a * c = c a + เพราะวา c b a ++ ≠ ba + + ca + ∴ a * (b + c) ≠ (a * b) + (a * c) ดงนน ทง (ก) และ (ข) ผดทงค

Sup’k Tips

Sup’k ลด


BRAN-Pb1.20 (PAT1’ต.ค.53) ให N แทนเซตของจานวนนบ, สาหรบ a, b ∈ N

aΘb =

<

>= b a , b b a , a b a , a

และ a∆b =

<

>= b a , a b a , a b a , b

พจารณาขอความตอไปน, สาหรบ a, b, c ∈ N (ก) aΘb = bΘa (ข) aΘ(bΘc) = (aΘb)Θc (ค) a∆(bΘc) = (a∆b)Θ(a∆c) ขอใดตอไปนถกตอง 1) ถก 1 ขอ คอ ขอ (ก) 2) ถก 2 ขอ คอ ขอ (ก) และ (ข) 3) ถก 2 ขอ คอ ขอ (ก) และ (ค) 4) ถกทง 3 ขอ คอ ขอ (ก), (ข) และ (ค) KAiOU-Pb 1.24 (PAT1’ม.ค.53) ให N แทนเซตของจานวนนบ กาหนดให a * b = ab สาหรบ a, b ∈ N พจารณาขอความตอไปน สาหรบ a, b, c ∈ N (ก) a * b = b * a (ข) (a * b) * c = a * (b * c) (ค) a * (b + c) = (a * b) + (a * c) (ง) (a + b) * c = (a * c) + (b * c) ขอใดตอไปนถกตอง 1) ถก 2 ขอ คอ (ข) และ (ค) 2) ถก 2 ขอ คอ (ค) และ (ง) 3) ถก 1 ขอ คอ (ค) 4) (ก) (ข) (ค) และ (ง) ผดทกขอ SheLL2.49 (PAT1’ก.ค.53) ให a และ b เปนจานวนเตมบวกใดๆ กาหนดให a ⊗ b เปนจานวนจรงทมสมบตตอไปน (ก) a ⊗ a = a + 4 (ข) a ⊗ b = b ⊗ a (ค) ba

b)(aa⊗

⊗ + = b b a +

คาของ (8 ⊗ 5) ⊗ 100 เทากบเทาใด ตอบ ..............................


โจทยเอกซโปเนนเชยล แนวเลขยกกาลง ม.2

FPAT-Pb2 (B-PAT1’ต.ค.51) ถา ab = 2 แลว 2

2

b)(a

b)(a

22

-

+ มคาเทากบเทาใด

1) 4 2) 8 3) 64 4) 256 แนวคดเรวๆ ถา ab = 2

จะหา แลว 2

2

b)(a

b)(a

22

-

+

วธจรง จะหา 2

2

b)(a

b)(a

22

-

+ = 2(a+b)2-(a-b)2 = 2(a2 + 2ab + b2) – (a2 – 2ab + b2)

= 2a2 + 2ab + b2 – a2 + 2ab – b2 = 24⋅ab = 24⋅2 = 28 = 256 ตอบ QET-G-Pb 26.1 ถา a = 1 - 2n และ x = 1 - 2-n โดยท a และ n เปนคาคงตว จงหา x ก. a 1

a 2-- ข. a 1

2 a-- ค. a1

a- ง. 1a

a-

QET-G-Pb 23.2 จงหารปอยางงายของ 3

432

baba

-

--

⋅ ÷

5

231

baba

⋅⋅

--

ก. 5a1 ข. 9a

1- ค. 7b

1 ง. 12b1

QET-G-Pb 23.3 จงหา 1n3n

32

--+

× 1n2n

53

--- +

× 2nn1nn

24232 2

--

--

×× × 1n

2n

52

+

+-

ก. 4 ข. 864 ค. 870 ง. ไมมขอถก

สตร 2.2 (a ⋅ b)n = an ⋅ bn

n

ba

= n

n

ba

amn = a(mn)

สตร 2.3

สตร 2.1 am × an = am+n

nm

aa = am-n = mna

1- เมอ a ≠ 0

(am)n = am⋅n = (an)m

Sup’k Tips


โจทยเอกซโปเนนเชยล แนวเปรยบเทยบความมากนอยเลขยกกาลง ม.2 KAiOU-Pb 1.22 (PAT1’ม.ค.53) ให A = 7(77), B = 777, C = 777 และ D = (777)7 ขอใดตอไปนถกตอง 1) B < A < C < D 2) B < C < A < D 3) C < B < D < A 4) C < A < D < B SheLL1.24 (PAT1’ก.ค.53) กาหนด a = 248, b = 336, c = 524 ขอใดตอไปนถกตอง 1) b

1 > c1 > a

1 2) a1 > b

1 > c1 3) b

1 > a1 > c

1 4) a1 > c

1 > b1

**DiAMK-Pb 1.25 (ดกแนว PAT 1) ให a = (10100)10 , b = 10(1010) , c = 1000000! , d = (100!)10 ขอใดตอไปนถกตอง 1) a < c < d < b 2) a < d < c < b 3) a < d < b < c 4) a < b < c < d SheLL1.10 (PAT1’ก.ค.53) พจารณาขอความตอไปน

ก. 23

2 < 34

3 ข. log2

83 < log3

21

ขอใดตอไปนถกตอง 1) ก. ถก และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. ผด และ ข. ผด DiAMK-Pb 1.2 (ดกแนว PAT 1) จงพจารณาขอความตอไปน (ก) π log

12

+ π log15

> 2 (ข) π log12

+ 2 log1π

> 2

ขอสรปใดตอไปนถกตอง 1) ขอ (ก) และ ขอ (ข) ถกตอง 2) ขอ (ก) ถกตอง และ ขอ (ข) ผด 3) ขอ (ก) ผด และ ขอ (ข) ถกตอง 4) ขอ (ก) และ ขอ (ข) ผด KAiOU-Pb 1.11 (PAT1’ม.ค.53) เซตคาตอบของอสมการ 72x + 72 < 23x+3 + 32x+2 เปนสบเซตของชวงใด 1) (log8 7, log9 8) 2) (log9 8, log8 9) 3) (log8 9, log7 8) 4) (log9 10, log8 9)

สตร I เมอ 1 < ฐาน เจอ 3.5x < 3.5y ∴

สตร II เมอ 0 < ฐาน < 1 เจอ 0.21x < 0.21y ∴

สตร III เมอ 1 < ฐาน เจอ log7.8 x < log7.8 y ∴

สตร IV เมอ 0 < ฐาน < 1 เจอ log0.42 x < log0.42 y ∴


การเลขยกกาลง กบ รด

พสจน ii) m n a = m1

n1)(a = m

1n1 a ⋅ = mn

1 a ⋅ = mn a

iii) n ma = nm

a = knkm

a ⋅⋅

= kn km a⋅ ⋅

พสจน i) n a n b = n1

a ⋅ n1

b = n1

b)(a ⋅ = n ba ⋅

ii) nn

ba =

1n1n

ab

= n1

ba

= n

ba

ตวอยางท 5.2.1 จงหารปอยางงายของ

i) aa = 21

aa ⋅ = 211 aa ⋅ = 2

11a + = 23

a = 21

23)(a = 2

123 a ⋅ = 4

3a

ii) aaa = 43

aa ⋅ = 431 aa ⋅ = 4

31a + = 47

a = 21

47)(a = 2

147 a ⋅ = 8

7a

iii) aaaa = 87

aa ⋅ = 871 aa ⋅ = 8

71a + = 815

a = 21

815

)(a = 21

815 a ⋅ = 16

15a

ตวอยางท 5.2.2 จงหารปอยางงายของ 3 54 6aa ⋅ ตอบ......................... แนวคด

3 54 6aa ⋅ = 3 514 (6a)a ⋅ = 3 5

1514 a6a ⋅⋅ = 3 5

1451

aa6 ⋅⋅ = 35145

1a6

+⋅

= 3 521

51

66 ⋅ = 31

521

51

)a(6 ⋅ = 31

51}{6 ⋅ 3

1521

][a = 31

51 6 ⋅

⋅ 31

521 a ⋅ = 15

16 ⋅ 15

21a = 15 16 ⋅ 15 21a

สตร 5.1

i) nm

a = ( n a )m = n ma

ii) m n a = mn a

iii) n ma = nk mka

สตร 5.2 i) n a ⋅ n b = n ab

ii) nn

ba = n

ba


โจทยเอกซโปเนนเชยล แนวสมการเลขยกกาลง แบบ ฐานตดตวแปร BRAN-Pb2.29 (PAT1’ต.ค.53) ให R แทนเซตของจานวนจรง และให C = {x ∈ R | (3x2 - 11x + 7)(3x2+4x+1) = 1} จานวนสมาชกของเซต C เทากบเทาใด ตอบ .............. แนวคดเรวๆ แนวคดท 2 Sup’k-Pb2.29.1 (ดกแนว PAT1) ให R แทนเซตของจานวนจรง และให C = {x ∈ R | (x – 3)x2 – 8x +15 = 1} จานวนสมาชกของเซต C เทากบเทาใด ตอบ ............................... Sup’k-Pb2.29.2 (ดกแนว PAT1) ให R แทนเซตของจานวนจรง

และให C =

+=

+

∈ xlog535 xlog

10 x|R x

จงหา n(C) ตอบ..........................

FPAT-Pb14 (PAT1’ก.ค.52) ให x และ y เปนจานวนจรงท x, y > 0 ซงสอดคลองกบ xy = yx และ y = 5x จงหาวา คาของ x อยในชวงใด 1) [0, 1) 2) [1, 2) 3) [3, 4) 4) [5, 6)

Sup’k ลด


โจทยเอกซโปเนนเชยล แนวสมการเลขยกกาลง

สตร 5.1 ax = ay → ∴x = y เมอ a ≠ -1, 0, 1 สตร 5.2 ax = bx → ∴x = 0 เมอ a, b ≠ -1, 0, 1

พสจน สตร 5.2 จาก ax = bx → xx

ba = 1 →

xba

= 1 → ∴ x = 0จบ

FPAT-Pb1 (B-PAT1’ต.ค.51) ถา 6a+b = 36 และ 5a+2b = 125 แลวคาของ a มคาเทาใด 1) 1 2) 1.5 3) 2 4) 2.5 FPAT-Pb3 (PAT1’ม.ค.52) ถา 4x–y = 128 และ 32x+y = 81 แลวคาของ y เทากบขอใดตอไปน 1) -2 2) –1 3) 1 4) 2 SheLL1.11 (PAT1’ก.ค.53) ถา A เปนเซตคาตอบของสมการ 32x+2 – 28⋅(3x) + 3 = 0 และ B เปนเซตคาตอบของสมการ log x + log(x – 1) = log(x + 3) แลวผลบวกของสมาชกทงหมดในเซต AU B เทากบขอใดตอไปน 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 AVATAR-Pb 5.1 (แนวสอบตรงแพทย กสพท’53) กาหนด 22x2 + 2x2+2x+2 – 24x+5 = 0 จงหาวา x2 – 2x เทากบเทาใด ตอบ........................... KMK-Pb 1.8 (PAT1’ต.ค.52) ถา x > 0 และ 8x + 8 = 4x + 2x+3 แลวคาของ x อยในชวงใดตอไปน 1) [0, 1) 2) [1, 2) 3) [2, 3) 4) [3, 4)

*KAiOU-Pb 1.12 (PAT1’ม.ค.53) ถาสมการ x

41

+

1x21 -

+ a = 0 มคาตอบเปนจานวนจรงบวก

แลวคาของ a ทเปนไปไดอยในชวงใดตอไปน 1) (-∞, -3) 2) (-3, 0) 3) (0, 1) 4) (1, 3)


โจทยเอกซโปเนนเชยล แนวสมการเลขยกกาลงโอลมปก

*FPAT-Pb4 (PAT1’ม.ค.52) กาหนดสมการ x

254

+

x259

= 1 จงพจารณาขอความตอไปน

ก. ถา a เปนคาตอบของสมการ แลว a > 1 ข. ถาสมการมคาตอบ แลวคาตอบจะมเพยงคาตอบเดยว ขอใดตอไปนถก 1) ก. ถก และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. ผด และ ข. ผด โจทยเอกซโปเนนเชยล แนวสมการตดรด BRAN-Pb2.27 (PAT1’ต.ค.53) ให R แทนเซตของจานวนจรง

ถา A = {x ∈ R | 2x2 – 2x + 9 – 2 3x x2 +- = 15} แลวผลบวกของกาลงสองของสมาชกในเซต A เทากบเทาใด ตอบ........................... KAiOU-Pb 2.2 (PAT1’ม.ค.53) ถา S = {x ∈ R | 13x + + 1x - = 17x + } เมอ R แทนเซตของจานวนจรง แลวผลบวกของสมาชกใน S เทากบเทาใด ตอบ........................... SheLL2.27 (PAT1’ก.ค.53) ให R แทนเซตของจานวนจรง ถา S = {x ∈ R | 1x + + 1 3x - = 17x - } และ T = {y ∈ R | y = 3x + 1, x ∈ S} แลวผลบวกของสมาชกใน T เทากบเทาใด ตอบ ............................

Sup’k Tips

Sup’k ระวง


สตรของ log

สตร 10.1! loga x + loga y = loga x ⋅ y สตร 10.2! loga x – loga y = loga y

x

สตร10.5! logan xm = n

m ⋅ loga x

สตร10.6! loga x1 = –logax

สตร10.7! logaxn = loga1/n x

สตร10.8! logb a = blogalog

cc

สตร10.9! loga x = a log

1x

สตร10.10! b blog a log xx = a เอกซกาลง ลอกa นนยากอย

ฝากหวใจ ใหกน เอาไวกอน เปลยนสตร โดยสลบ x และ a

ทเรา จะตองหาง เหนไป

สตร10.12! log 2 = 1 – log 5 อาจจะมบางคราว เราพบใครใหม

สตร10.13! และ log 5 ก = 1 – log 2

เกดหวนไหว ไปตามประสาคนไกลกน

ตวอยาง 10.1 จา log 2 ≈ 0.30103 log 4 = log 22 = 2 ⋅ (log 2) ≈ 2 ⋅ (0.30103) = 0.60206 log 5 = 1 – log 2 ≈ 1 – 0.30103 = 0.69897 log 8 = log 23 = 3 ⋅ (log 2) ≈ 3 ⋅ (0.30103) = 0.90309

จา log 1 = 0 จา log 7 ≈ 0.84509 log 10 = log10 10 = 1

ตวอยาง 10.3 จา log 3 ≈ 0.4771 log 6 = log (2 × 3) = log 2 + log 3 ≈ 0.30103 + 0.4771 = 0.77813 log 9 = log 32 = 2 ⋅ (log 3) ≈ 2 ⋅ (0.4771) = 0.9542

ระวง10.1! log (x + y) ≠ log x + log y ระวง10.2! log (x – y) ≠ log x – log y

สตร 10.3! loga a = 1 สตร 10.4! loga 1 = 0

loga x

ระวง10.4!

log10 x = log x logex = xln

e ≈ 2.7182

ตวอยาง 10.5 จงหาคาของ log3 15 + log3 12 + log3 5 – log3 9 วธทา = log3

××

915 12 15 = log3 100 = log3 102 = 2 ⋅ (log3 10)

= 2 ⋅

3 log110

= 2 ⋅

3 log

1 ≈ 2 ⋅

0.4771

1

สตร10.11! blog ab = a ตอดวยสตร ฐาน log และ expo

เผอวาเรา ลาบากอยหนใด เหมอนกน ใหเอาหลง log มาตอบ

หวใจ กยงมคน ดแล


โจทยลอการทม แนวสตรพนฐาน BRAN-Pb2.35 (PAT1’ต.ค.53) กาหนดให a, b, c และ d เปนจานวนจรงทมากกวา 1 ถา (logb a)(logd c) = 1 แลวจงหาคาของ a(logbc – 1)b(logcd –1)c(logda –1)d(logab –1) ตอบ ................... วธเรวๆ ถา (logb a)(logd c) = 1 จะหาคาของ a(logbc – 1)b(logcd –1)c(logda –1)d(logab –1) วธจรง เพราะวา (logb a)(logd c) = 1 blog

a log ⋅ dlog

clog = 1

จะได (logd a)(logb c) = 1 ฉะนน logb c = a log

1d

= loga d , logc d = c log1d

= logb a

logd a = c log1b

= logc b , loga b = a log1b

= logd c

∴ a(logbc –1)b(logcd –1)c(logda –1)d(logab –1) = abcddcba balogadlogdclogcblog ⋅⋅⋅

= abcddcba cdlogbclogablogdalog ⋅⋅⋅

= abcdcbad ⋅⋅⋅ = 1

สตร 10.8! logb a = blogalog

cc

สตร 10.9! loga x = a log1x

สตร 10.3! logm m = 1

สตร 10.11! blogba = a ตอดวยสตร ฐาน log และ expo

เผอวาเรา ลาบากอยหนใด เหมอนกน ใหเอาหลง log มาตอบ

หวใจ กยงมคน ดแล


โจทยเพมเตมลอการทม แนวสตรพนฐาน

SheLL1.14 (PAT1’ก.ค.53) ให x เปนจานวนจรงบวกทสอดคลองกบสมการ 35x ⋅ 9x2 = 27

และ y = 7)5)(log3)(log(log7)5)(log3)(log(log

864642 จงหาคาของ xy เทากบขอใด

1) – 81

2) 81

3) –27 4) 27 FPAT-Pb9 (PAT1’ก.ค.52) กาหนดให a, b, c, d เปนจานวนจรงทมากกวา 1 โดยท loga d = 30 , logb d = 50 และ logabc d = 15 จงหาวาคาของ logc d เทากบเทาใด 1) 75 2) 120 3) 150 4) 180 FPAT-Pb8 (B-PAT1’ต.ค.51) ให m และ n เปนจานวนเตมบวก ถา m⋅log505 + n⋅log50 2 = 1 แลว m + n เทากบขอใดตอไปน 1) 2 2) 3 3) 4 4) 6 KAiOU-Pb 1.10 (PAT1’ม.ค.53) กาหนดให x และ y เปนจานวนจรงบวก และ y ≠ 1 ถา logy 2x = a และ 2y = b แลว x มคาเทากบขอใดตอไปน 1) 2

1 (log2 b)a

2) 2⋅(log2 b)a

3) 2a (log2 b)

4) 2a⋅(log2 b) FPAT-Pb7 (B-PAT1’ต.ค.51) ถา 4(log a)2 + 9(log b)2 = 12(log a)(log b) แลวขอใดตอไปนถก 1) b2 = a 2) a2 = b 3) a3 = b2 4) a2 = b3


โจทยลอการทม แนวสตรพนฐาน VS ผลบวกราก, ผลคณราก BRAN-Pb1.10 (PAT1’ต.ค.53) ถา a, b และ c เปนรากของสมการ x3 + kx2 – 18x + 2 = 0

แลว จงหา log27

++ c1 b1 a1 เมอ k เปนจานวนจรง

1) 91 2) 3

1 3) 32 4) 1

แนวคดเรว 1⋅x3 + k⋅x2 – 18x + 2 = 0 ผลบวกราก = a + b + c = .................... a ⋅ b + b ⋅ c + c ⋅ a = .................... ผลคณราก = a ⋅ b ⋅ c = .................... แนวคดท 2 ขนท 1 เนองจาก x = a, b, c เปนราก(เปนคาตอบ)ของสมการ x3 + kx2 – 18x + 2 = 0 จงไดวา x3 + kx2 – 18x + 2 = (x – a)(x – b)(x – c) x3 + kx2 – 18x + 2 = x3 – (a + b + c)x2 + (ab + bc + ca)x – abc เทยบสมประสทธ ฉะนน ab + bc + ca = –18 และ abc = –2 ขนท 2 จะหา log27

++ c1 b1 a1 = หา ค.ร.น. เพอรวมเศษสวน = log27

⋅⋅⋅ ++ ab

ab c1 acac b1 bc

bc a1

= log27

++

abcab ac bc = log27

218-- = log27 9

= log33 3

2 = 32

⋅ (log3 3) = 32

⋅ (1) = 32 ตอบ

เทคนคลนลา กบ คร Sup’k

ผลคณราก คอ..................... ผลบวกราก คอ......................... จบมอไวแลวไปดวยกน เหมอนวาไมมวนจะพรากไป

แลวไลเครองหมาย + , - , - , ... .............................. ทาอะไรไดดงฝนใฝ ถาเรารวมใจ

แตขอให................. co-ef หนาสด ตองเปน ....... จดหมายทฝนกนไว กคงไมเกนมอเรา


โจทยลอการทม แนวแกสมการ log BRAN-Pb1.11 (PAT1’ต.ค.53) เซตคาตอบของสมการ xlog2

3 – log27 x3 = 6 ตรงกบเซตคาตอบของสมการในขอใดตอไปน 1)

14

log13

log12

log 3 2 29244x 9x1

+- = 0

2) 2⋅log2(x + 1) – log2(x2 – 14x + 41) = 1

3) )5 8x x(1 23 ++ - + )5 8x x(2 2

3 --- = 28 4) log3x 3 + log27 3x + 3

4 = 0

โจทยเพมเตมลอการทม แนวแกสมการ log FPAT-Pb11 (PAT1’ก.ค.52) เซตคาตอบของสมการ 2log (4 – x) = log2(9 – 4x) + 1

เปนสบเซตของชวงใด 1) [–9, –7) 2) [–7, –2) 3) [–2, 2) 4) [2, 7) KMK-Pb 2.10 (PAT1’ต.ค.52) รากทมคานอยทสดของสมการ 2log(x–2) ⋅ 2log(x–3) = 2log 2 มคาเทาใด ตอบ........................... FPAT-Pb12 (PAT1’ม.ค.52) ผลบวกของคาตอบทงหมดของสมการ log3x = 1 + logx9 อยในชวงใด 1) [0, 4) 2) [4, 8) 3) [8, 12) 4) [12, 16)

สตร I เจอ logm ♥ = logm → ....................

สตร II เจอ log5 ♥ = 7 → ....................


log m ♥ Sup’k Tips


KMK-Pb 2.9 (PAT1’ต.ค.52) กาหนดให logy x + 4 logx y = 4 แลว logy x3 เทากบเทาใด ตอบ........................... โจทยแนวใหมเซอรไพส แนว.................................... Sup’k-Pb2.28.1 จงหาคา x ซงสอดคลองกบสมการ (x2 – 36)4 = cos (x ⋅ π) – 1 ตอบ .......................... แนวคด Sup’k-Pb2.28.2 (ดกแนวPAT1) จงหาคา x ใหครบทกตว ซงสอดคลองกบสมการ 2 x - = 32 – x5 ตอบ........................... BRAN-Pb2.28 (PAT1’ต.ค.53) ให R แทนเซตของจานวนจรง

ถา B =

=+++ π∈ 1 1 7 xcos3 10) 7x x(logR x 22

2 ---

แลวผลบวกของสมาชกในเซต B เทากบเทาใด ตอบ...........................

Sup’k Tips1.1 Sup’k Tips1.2 สตรแถม1.3



BRAN-Pb2.28 ตอบ 0003.00

แนวคด จากสมการ log2(–x2 + 7x – 10) + 3 1 7 xcos 2 -

+π = 1

ขนท 1 เงอนไข 0 ≤ ใตรด ∴ 0 ≤ cos

+π 7 x2 – 1 → ∴ 1 ≤ cos

+π 7 x2 → (๑)

ขนท 2 เงอนไขตรโกณ –1 ≤ cos θ ≤ 1 จะได ∴ -1 ≤ cos

+π 7 x2 ≤ 1 → (๒) ขนท 3 จาก (๑) และ (๒) ใชSup’k Tips จะไดวา cos

+π 7 x2 = 1 เทานน

แทนคาในโจทย log2(–x2 + 7x – 10) + 3 ⋅ 1 7 xcos 2 -

+π = 1

∴ log2(–x2 + 7x – 10) + 3 ⋅ 1 1 - = 1

log2(–x2 + 7x – 10) = 1 ปลด log ไปเสยบอกฝง (–x2 + 7x – 10) = 21 –x2 + 7x – 10 = 2 → ∴ x = 3, 4 ขนท 4 ตรวจคาตอบ

กรณท1 เมอ x = 3 แลว log2(–32 + 7 ⋅ 3 – 10) + 3 ⋅ 1 7 3cos 2 -

+π = 1

log2(2) + 3 ⋅ 11 - = 1

1 + 3 ⋅ 0 = 1 จรง

กรณท 2 เมอ x = 4 แลว log2(–42 + 7 ⋅ 4 – 10) + 3 ⋅ 1 7 4cos 2 -

+π = 1

log2(2) + 3 ⋅ 1 )23cos( -π⋅ = 1 ไมจรง ดงนน x = 3 เทานน จงได B = {3} → ∴ ผลบวกของสมาชกใน B เทากบ 3 ตอบ

Sup’k Tips


ทบทวนสตรตรรกศาสตร . นเสธ และ หรอ

P ∼P P Q P ∧ Q P Q P ∨ Q T ∼T ≡ F T T T ∧ T ≡ T T T T ∨ T ≡ T F ∼F ≡ T T F T ∧ F ≡ F T F T ∨ F ≡ T

F T F ∧ T ≡ F F T F ∨ T ≡ T F F F ∧ F ≡ F F F F ∨ F ≡ F

ถา...แลว... ...กตอเมอ...

P Q P → Q P Q P ↔ Q T T T → T ≡ T T T T ↔ T ≡ T T F T → F ≡ F T F T ↔ F ≡ F F T F → T ≡ T F T F ↔ T ≡ F F F F → F ≡ T F F F ↔ F ≡ T

ประพจนทสมมลกน คอ ประพจนสองประพจนทมคาความจรงเหมอนกนทกกรณ กรณตอกรณ สมมลใชสญลกษณ คอ ≡ เชน (p ∧ q) → r ≡ (p → r) ∨ (q → r) พสจน p q r (p ∧ q) (p ∧ q) → r (p → r) (q → r) (p → r) ∨ (q → r) T T T (T ∧ T) ≡ T T → T ≡ T T T T ∨ T ≡ T T T F (T ∧ T) ≡ T T → F ≡ F F F F ∨ F ≡ F T F T (T ∧ F) ≡ F F → T ≡ T T T T ∨ T ≡ T T F F (T ∧ F) ≡ F F → F ≡ T F T F ∨ T ≡ T F T T (F ∧ T) ≡ F F → T ≡ T T T T ∨ T ≡ T F T F (F ∧ T) ≡ F F → F ≡ T T F T ∨ F ≡ T F F T (F ∧ F) ≡ F F → T ≡ T T T T ∨ T ≡ T F F F (F ∧ F) ≡ F F → F ≡ T T T T ∨ T ≡ T


โจทยตรรกศาสตร แนวพนฐาน VS สมมล VS สจนรนดร BRAN-Pb1.1 (PAT1’ต.ค.53) กาหนดให A, B และ C เปนประพจนใดๆ ขอใดตอไปนถกตอง 1) ถา A ↔ B มคาความจรงเปนจรง แลว (B ∧ C) → (∼A → C) มคาความจรงเปนเทจ 2) ประพจน A → [(A ∧ B) ∨ (B ∨ C)] เปนสจนรนดร 3) ประพจน [(A ∧ B) → C] → [(A → B) → (A → C)] เปนสจนรนดร 4) ประพจน (A → C) ∧ (B → C) สมมลกบประพจน (A ∧ B) → C แนวคด ชอย ขอ 4) ประพจน (A → C) ∧ (B → C) ≡ สมมลกบประพจน (A ∧ B) → C วธเรวๆ วธจรง ผด เพราะ (A → C) ∧ (B → C) ≡ ≡ (∼A ∨ C) ∧ (∼B ∨ C) ≡ (∼A ∧ ∼B) ∨ C ≡ ∼(A ∨ B) ∨ C ≡ (A ∨ B) → C ≡ (A ∧ B) → C

สตร กฎการสลบท p ∧ q ≡ q ∧ p p ∨ q ≡ q ∨ p กฎการเปลยนกลม (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r) (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) กฎการคณกระจาย p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) กฎเดอรมอนแกน ∼(p ∧ q) ≡ ∼p ∨ ∼q ∼(p ∨ q) ≡ ∼p ∧ ∼q กฎนเสธ ∼(∼p) ≡ p

สตรนยม “หนา ช หลง”

Sup’k Tips (q ∧ r) → p ≡ (q → p) ∨ (r → p) (q ∨ r) → p ≡ (q → p) ∧ (r → p) p → (q ∧ r) ≡ (p → q) ∧ (p → r) p → (q ∨ r) ≡ (p → q) ∨ (p → r)


ชอย ขอ 1) ถา A ↔ B มคาความจรงเปนจรง แลว (B ∧ C) → (∼A → C) มคาความจรงเปนเทจ วธทาเรวๆ วธจรง

A B C (B ∧ C) → [∼A → C] T T T (T ∧ T) → [∼T → T]

≡ (T) → [ F → T] ≡ (T) → [ T ] ≡ T

T T F (T ∧ F) → [∼T → F] ≡ (F) → [ F → F] ≡ (F) → [ T ] ≡ T

T F T T F F F T T F T F F F T (F ∧ T) → [∼F → T]

≡ (F) → [ T → T] ≡ (F) → [ T ] ≡ T

F F F (F ∧ F) → [∼F → F] ≡ (F) → [ T → F] ≡ (F) → [ F ] ≡ T

หลก I ลาดบการทา แบบ ตรง ขนท 1 ทาในวงเลบกอน ขนท 2 ทา นเสธ ขนท 3 ทา ∧, ∨ ขนท 4 ทา → ขนท 5 ทา ↔

หลก II ลาดบการทา แบบ ยอนกลบ ขนท 1 ทา ↔ ขนท 2 ทา → ขนท 3 ทา ∧, ∨ ขนท 4 ทา นเสธ ขนท 5 ทาในวงเลบ

A B A ↔ B T T T ↔ T ≡ T T F T ↔ F ≡ F F T F ↔ T ≡ F F F F ↔ F ≡ T


ชอย ขอ 1) ถา A ↔ B มคาความจรงเปนจรง แลว (B ∧ C) → (∼A → C) มคาความจรงเปนเทจ วธเหนอชน ชอย ขอ 2) ประพจน A → [(A ∧ B) ∨ (B ∨ C)] เปนสจนรนดร วธเหนอชน วธทาเรวๆ วธจรง หลกการตรวจสอบสจนรนดร : ใชวธการจบเทจ (แตกกงยอนกลบ)

T FF

F F

F F FT

A C)](B B)[(A ∨∨∧

สตรนยม “หนา ช หลง”

Sup’kerลด


การจบเทจ สาเรจ เพราะไมเกดขอขดแยงใดๆ ∴ ดงนน ประพจนน ไมเปน สจนรนดร ชอย ขอ 3) ประพจน [(A ∧ B) → C] → [(A → B) → (A → C)] เปนสจนรนดร วธจรงแบบ I หลกการตรวจสอบสจนรนดร : ใชวธการจบเทจ (แตกกงยอนกลบ)

ซงไมตรงกบการแตกกงในขนท (๒)

เกดขอขดแยง

(๑)

T

F

T

T T T F

F

F (๒)

(๓)

(๔)(๔)

(๓)

(๕)(๗)(๗) (๗)F

(๒)

B)(A[ ∧ ]C B)(A [ ]C)(A

) T T ( ∧

) T T ( ∧

เพราะวาจากขนท (๗)F

≡ (T) F≡ F

(๖)

การเกดขอขดแยง หมายถง การจบเทจ ไมสาเรจ แสดงวา ประพจนในขอน เปน สจนรนดร วธจรงแบบ II ถก สมมตวา [(A ∧ B) → C] → [(A → B) → (A → C)] ไมเปนสจนรนดร ฉะนน [(A ∧ B) → C] → [(A → B) → (A → C)] ≡ F ได สงผลให (A ∧ B) → C ≡ T ...(1) และ (A → B) → (A → C) ≡ F ...(2) โดย (2) จะได A → B ≡ T และ A → C ≡ F ฉะนน A ≡ T , B ≡ T , C ≡ F ทาให (A ∧ B) → C ≡ F ขดแยงกบ (1)

ดงนน [(A ∧ B) → C] → [(A → B) → (A → C)] เปนสจนรนดร


โจทยตรรกศาสตรเพมเตม แนวสมมล VS สจนรนดร SheLL1.1 (PAT1’ก.ค.53) ให p, q, r และ s เปนประพจน ถาประพจน (p ∨ q) → (r ∨ s) มคาความจรงเปนเทจ และประพจน p ↔ r มคาความจรงเปนจรง ประพจนในขอใดตอไปนมคาความจรงเปนจรง 1) (q → p) ∧ (q → r) 2) q → [p ∨ (q ∧ ∼r)] 3) (p → s) ↔ (r ↔ q) 4) (r ↔ s) ∧ [q → (p ∧ r)] KMK-Pb 1.2 (PAT1’ต.ค.52) กาหนดให p, q, r เปนประพจน พจารณาขอความตอไปน

ก. ถา q ∧ r มคาความจรงเปนจรง แลว p และ p ∨ [(q ∧ r) → p] มคาความจรงเหมอนกน

ข. ถา p มคาความจรงเปนเทจ แลว r และ (p → q) ∧ r มคาความจรงเหมอนกน ขอใดตอไปนเปนจรง 1) ก. ถก และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. ผด และ ข. ผด FPAT-Pb17 (PAT1’ม.ค.52) กาหนดให p, q, r เปนประพจน จงพจารณาขอความตอไปน ก. ประพจน p → (p → (q ∨ r)) สมมลกบประพจน p → (q ∨ r) ข. ประพจน p ∧ (q → r) สมมลกบประพจน (q → p) ∨ ∼(p → ∼r) ขอใดตอไปนถก 1) ก. ถก และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. ผด และ ข. ผด FPAT-Pb18 (B-PAT1’ต.ค.51) กาหนดให P, Q, R, S เปนประพจน พจารณาขอความตอไปน (i) ประพจน (∼P ∨ Q) → (R ∧ ∼S) สมมลกบ (S ∨ ∼R) → (P ∧ ∼Q) (ii) ประพจน (P ∨ R) ∧ [(P ∧ R) → (Q ∨ R ∨ ∼S)] เปนสจนรนดร ขอใดตอไปนถกตอง 1) ขอ (i) ถก และ ขอ (ii) ถก 2) ขอ (i) ถก และ ขอ (ii) ผด 3) ขอ (i) ผด และ ขอ (ii) ถก 4) ขอ (i) ผด และ ขอ (ii) ผด


KAiOU-Pb 1.1 (PAT1’ม.ค.53) ให p และ q เปนประพจนใดๆ ขอใดตอไปนมคาความจรงเปนเทจ 1) (p → q) ∨ p 2) (∼p ∧ q) → q 3) [(p → q) ∧ p] → q 4) (∼p → q) ↔ (∼p ∧ ∼q) วจย กาหนดให U = {-5, -1, 10} P(x) แทน 21) (x + = x + 1 , Q(x) แทน 1x + > 2 , S(x) แทน 21) (x + = |x + 1| แนวคด (i) จงหาคาความจรงของ ∀x[P(x)] (ii) จงหาคาความจรงของ ∃x[P(x)] (iii) จงหาคาความจรงของ ∀x[Q(x)] (iv) จงหาคาความจรงของ ∃x[Q(x)] (v) จงหาคาความจรงของ ∀x[S(x)] (vi) จงหาคาความจรงของ ∃x[S(x)]

Sup’k Tips ถาให U= {10, 20, 30} ∀x จะ T ได

Sup’k Tips ถาให U= {10, 20, 30} ∃x จะ T ได


โจทยตรรกศาสตร แนววลบงปรมาณตวแปรเดยว BRAN-Pb1.2 (PAT1’ต.ค.53) กาหนดเอกภพสมพทธ คอ เซตของจานวนจรง

และ P(x) แทน 21) (x + = x + 1 Q(x) แทน 1x + > 2 ขอใดตอไปนมคาความจรงตรงขามกบประพจน ∃x[P(x)] → ∀x[Q(x)] 1) ∃x[∼P(x)] → ∀x[∼Q(x)] 2) ∃x[P(x)] → ∃x[Q(x)] 3) ∃x[P(x) ∧ Q(x)] → ∀x[P(x)] 4) ∃x[P(x) ∨ Q(x)] → ∀x[Q(x)] ทด พจารณาบางสวนของ ชอยขอ 3) ∃x[P(x) ∧ Q(x)] เพราะวามกรณหนงซง แทน x = 8 ; P(8) ∧ Q(8) ≡ “ 21) (8 + = 8 + 1” ∧ “ 18 + > 2” ≡ T ∧ T ≡ T

∴ ∃x[P(x) ∧ Q(x)] เปน T

∴ สรป ชอย ขอ 3) ∃x[P(x) ∧ Q(x)] → ∀x[P(x)] ≡ T → F ≡ F ทด พจารณาบางสวนของ ชอยขอ 4) ∃x[P(x) ∨ Q(x)] เปน T เพราะวา มกรณหนงซง แทน x = 9 ; P(9) ∨ Q(9) ≡ “ 21) (9 + ≡ 9 + 1” ∨ “ 19 + > 2” ≡ T ∨ T ≡ T

∴ ∃x[P(x) ∨ Q(x)] เปน T

∴ สรป ชอย ขอ 4) ∃x[P(x) ∨ Q(x)] → ∀x[Q(x)] ≡ T → F ≡ F


SheLL1.2 (PAT1’ก.ค.53) กาหนดเอกภพสมพทธ คอ {–1 , 0 , 1} ขอใดตอไปนถกตอง 1) ∀x∀y[x + y + 2 > 0] มคาความจรงเปนจรง 2) ∃x∃y[x + y > 1] มคาความจรงเปนเทจ 3) ∃x∀y[x + y = 1] มคาความจรงเปนเทจ 4) ∀x∃y[x + y ≥ 0] มคาความจรงเปนเทจ

Sup’k Tips ถาให U= {10, 20, 30} ∀x∀y จะT ได

Sup’k Tips ถาให U= {10, 20, 30} ∃x∃y จะ T ได

Sup’k Tips ถาให U = {10, 20, 30} ∀x∃y จะ T ได

Sup’k Tips ถาให U = {10, 20, 30} ∃x∀y จะ T ได


โจทยตรรกศาสตรเพมเตม แนววลบงปรมาณสองตวแปร KAiOU-Pb 1.2 (PAT1’ม.ค.53) ขอใดตอไปนถกตอง 1) ถาเอกภพสมพทธ คอ {–1, 0, 1} คาความจรงของ ∀x∃y[x2 + x = y2 + y] เปนเทจ 2) ถาเอกภพสมพทธ เปนเซตของจานวนจรง คาความจรงของ ∃x[3x = log3 x] เปนจรง 3) ถาเอกภพสมพทธ เปนเซตของจานวนจรง นเสธของขอความ ∀x∃y[(x > 0 ∧ y ≤ 0) ∧ (xy < 0)] คอ ∃x∀y[(xy < 0) → (x ≤ 0 ∨ y > 0)] 4) ถาเอกภพสมพทธเปนเซตของจานวนเตม นเสธของขอความ ∀x[(x > 0) → (x3 ≥ x2)] คอ ∃x[(x ≤ 0) ∧ (x3 < x)] FPAT-Pb21 (PAT1’ก.ค.52) กาหนดเอกภพสมพทธ U = {n ∈ I+ | n ≤ 10} ขอใดตอไปนมคาความจรงเปนเทจ 1) ∃x∀y[ xy ≤ x + y ] 2) ∀x∀y[ (x2 = y2) → (x = y) ] 3) ∀x∃y[ (x ≠ 1) → (x > y2) ] 4) ∃x∃y[ (x – y)2 ≥ y2 + 9xy ] KMK-Pb 1.1 (PAT1’ต.ค.52) กาหนดใหเอกภพสมพทธ คอ {–2, –1, 1, 2} ประโยคในขอใดตอไปนมคาความจรงเปนเทจ 1) ∃x∃y[x ≤ 0 ∧ |x| = y + 1] 2) ∃x∀y[x ≤ y ∧ –(x + y) ≥ 0] 3) ∀x∃y[x + y = 0 ∨ x – y = 0] 4) ∀x∀y[|x| < |y| ∨ |x| > |y|] FPAT-Pb22 (PAT1’ม.ค.52) กาหนดใหเอกภพสมพทธ คอ U = {{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}} ขอใดตอไปนถกตอง 1) ∀x∀y[ xI y ≠ ∅ ] 2) ∀x∀y[ xU y = U ] 3) ∀x∃y[ y ≠ x ∧ y ⊂ x ] 4) ∃x∀y[ y ≠ x ∧ y ⊂ x ]


โจทยตรรกศาสตร แนวสมเหตสมผล FPAT-Pb23 (B-PAT1’ต.ค.51) ให P, Q , R เปนประพจน พจารณาการอางเหตผลตอไปน เหต 1. P → (∼Q ∨ R) 2. Q ∨ R 3. ∼R ผล S S เปนประพจนในขอใด จงจะทาใหการอางเหตผลขางตน สมเหตสมผล 1) ∼P 2) ∼Q 3) P ∨ ∼Q 4) P ∨ R วธจรง ชอย ขอ 1) ;

(๗)

เกดขอขดแยงเพราะวา

(๑)FF(๒)

T (๓)T(๒)

T(๒)

F (๕) F(๔)T(๖)T(๒)

R)(Q R)Q~ (P )([ ∨∧∨ P][~]R)(~ ∧

)( F)T(~ T ∨

จากขนท (๗) (T → (∼T ∨ F) ) ≡ (T → ( F ∨ F) ) ≡ (T → (F)) ≡ F ซงไมตรงกบการแตกกงในขนท (๒) การเกดขอขดแยง หมายถง การจบเทจ ไมสาเรจ แสดงวา ประพจนในขอน เปน สจนรนดร

∴ โจทยขอน เปน ขอความทสมเหตสมผล ดวยตอบ

ทฤษฎ สมมต ถามเหต : S1, S2, S3, ..., Sn ผล : P ขอความดงกลาวจะ สมเหตสมผล กตอเมอ [S1 ∧ S2 ∧ S3 ∧ ... ∧ Sn] → P เปน สจนรนดร หลก ...................................................................................................................................................................

Sup’k ลด


โจทยระบบจานวนจรง แนวทฤษฎบทเศษเหลอ FPAT-Pb32 (B-PAT1’ต.ค.51) ให c เปนคาคงตว และ P(x) = x3 – 3x2 + 2

c x + 5

ถา P(x) หารดวย x – 2 เหลอเศษเทากบ 7 แลว P

+ 2 3c เทากบขอใดตอไปน

1) 31 2) 33 3) 35 4) 37 โจทยระบบจานวนจรง แนวแกสมการพหนาม FPAT-Pb34 (B-PAT1’ต.ค.51) ให A = {x | x ∈ I และ x3 – x = 0} เซตในขอใดตอไปนเทากบ A 1) {x | x ∈ R และ x2 – x4 = 0} 2) {x | x ∈ R และ x3 + x = –2x} 3) {x | x ∈ I และ x2 – 1 = 0} 4) {x | x ∈ I และ x2 + 1 = –2x} FPAT-Pb35 (PAT1’ม.ค.52) กาหนดให S = {x | |x|3 = 1} เซตในขอใดตอไปนเทากบเซต S 1) {x | x3 = 1} 2) {x | x2 = 1} 3) {x | x3 = –1} 4) {x | x4 = x} FPAT-Pb36 (B-PAT1’ต.ค.51) ให A เปนเซตคาตอบของสมการ x4 – 5 2 x2 + 8 = 0 ผลบวกของสมาชกทเปนจานวนจรงบวกของ A เทากบขอใดตอไปน 1) 18 2) 24 3) 4 242 4) 4 162 FPAT-Pb37 (PAT1’ม.ค.52) กาหนดให S เปนเซตคาตอบของสมการ 2x3 – 7x2 + 7x – 2 = 0 ผลบวกของสมาชกทงหมดของ S เทากบขอใดตอไปน 1) 2.1 2) 2.2 3) 3.3 4) 3.5 KMK-Pb 1.4 (PAT1’ต.ค.52) ให A เปนเซตคาตอบของสมการ x3 + x2 – 27x – 27 = 0 และ B เปนเซตคาตอบของสมการ x3 + (1 – 3 )x2 – (36 + 3 )x – 36 = 0 AI B เปนสบเซตของชวงในขอใดตอไปน 1) [–3 5 , –0.9] 2) [–1.1 , 0] 3) [0 , 3 5 ] 4) [1 , 5 3 ]


โจทยระบบจานวนจรง แนวแกอสมการ FPAT-Pb39 (PAT1’ก.ค.52) ถา S = {x ∈ R | (x2 – 1)(x2 – 3) ≤ 15} ม a เปนจานวนทมคานอยทสดใน S และม b เปนจานวนทมคามากทสดใน S แลว (b – a)2 มคาเทากบเทาใด 1) 24 2) 12 3) 6 4) 3 โจทยระบบจานวนจรง แนวแกอสมการ ตดเศษสวน ดานใดดานหนง เทากบ 0

FPAT-Pb41 (B-PAT1’ต.ค.51) ให X =

≤+

+ 0 1)4)(2x (x 3) 2)(x (x x -

- และ Y = {x | x ∈ X และ x < 0}

ถา p เปนสมาชกทมคามากทสดของ X และ q เปนสมาชกทมคามากทสดของ Y แลว |pq| เทากบขอใดตอไปน 1) 6 2) 8 3) 10 4) 12

FPAT-Pb43 (PAT1’ก.ค.52) ให A เปนเซตคาตอบของอสมการ 65x x36 13x x

224

++

+- ≥ 0

ถา a เปนสมาชกทมคานอยทสดในเซตAI (2, ∞) และ b เปนจานวนจรงลบทมคามากทสด โดยท b ∉ A แลว a2 – b2 มคาเทากบเทาใด 1) –5 2) –9 3) 5 4) 9 FPAT-Pb42 (PAT1’ก.ค.52) ให X คอ เซตคาตอบของอสมการ x2

1)1)(x (2x -

-+ ≥ 0

Y คอ เซตคาตอบของอสมการ 2x2 – 7x + 3 < 0 คาของ 6a – b มคาเทาใด เมอ XI Y = [a, b) 1) 4 2) 6 3) 8 4) 10 โจทยระบบจานวนจรง แนวแกอสมการ ตดเศษสวน ดานใดดานหนง ไมเทากบ 0

KMK-Pb 1.5 (PAT1’ต.ค.52) กาหนดให S =

+≥1x2 x

23x xx x 22

---

ชวงในขอใดตอไปนเปนสบเซตของ S 1) (–∞, –3) 2) (–1, 0.5) 3) (–0.5, 2) 4) (1, ∞)

Sup’k หลก


โจทยระบบจานวนจรง แนว แกอสมการคาสมบรณ แบบม แอบขางเดยว อกขางเปนคาคงท KAiOU-Pb 1.4 (PAT1’ม.ค.53) กาหนดให A =

≤∈ + 4 9 6x x R x 2 - เมอ R คอเซตของจานวนจรง

ขอใดตอไปนถกตอง 1) A′ = {x ∈ R | |3 – x| > 4} 2) A′ ⊂ (–1, ∞) 3) A = {x ∈ R | x ≤ 7} 4) A ⊂ {x ∈ R | |2x – 3| < 7} BRAN-Pb1.3 (PAT1’ต.ค.53) ให I แทนเซตของจานวนเตม และ P(S) แทนเพาเวอรเซตของเซต S ให A = {x ∈ I | |x2 – 1| < 8} และ B = {x ∈ I | 3x2 + x – 2 ≥ 0} ขอใดตอไปนถกตอง 1) จานวนสมาชกของ P(A – B) เทากบ 4 2) จานวนสมาชกของ P(I – (AU B)) เทากบ 2 3) P(A – B) = P(A) – P(AI B) 4) P(A – B) – P(AI B) = {{0}} โจทยระบบจานวนจรง แนว แกอสมการคาสมบรณ แบบม แอบขางเดยว อกขางเปนตวแปร FPAT-Pb46 (PAT1’ม.ค.52) กาหนดให A = {x | |x – 1| ≤ 3 – x} และ a เปนสมาชกคามากทสดของ A คาของ a อยในชวงใด 1) (0 , 0.5] 2) (0.5 , 1] 3) (1 , 1.5] 4) (1.5 , 2] โจทยระบบจานวนจรง แนว แกอสมการคาสมบรณ แบบม แอบสองขาง FPAT-Pb45 (B-PAT1’ต.ค.51) ถาชวง (a, b) เปนเซตคาตอบของอสมการ 2|x + 3| > 3|x – 2| แลว b – a เทากบขอใดตอไปน 1) 11 2) 12 3) 13 4) 14 โจทยระบบจานวนจรง แนว แกอสมการคาสมบรณ แบบ ปลดแอบโดยนยาม SheLL1.4 (PAT1’ก.ค.53) ถา A =

>∈ + 1 3 |x| x 2 | x 1| R x -

-- แลว AI [0, 1) เทากบขอใด

1)

32 ,3

1

2)

1 ,31

3)

1 ,32

4)

23 ,3

2


X

P(-2, 8)Y

A(-2, 3)

S(-2,-3) D(0,-3) R(4,-3)

B(2, 8) Q(4, 8)

Q(4, 4)

โจทยเรขาคณตวเคราะห แนวหาพนทรป n เหลยม BRAN-Pb1.9 (PAT1’ต.ค.53) ให ABCD เปนรปสเหลยมทมจดยอด โดยท A(–2, 3) , B(2, 8) , C(4, 4) และ D(0, –3) พนทของรปสเหลยม ABCD เทากบขอใดตอไปน 1) 16 ตารางหนวย 2) 32 ตารางหนวย 3) 10 13 ตารางหนวย 4) 26 10 ตารางหนวย วธคดเรวๆ วธจรง BRAN-Pb1.9 ตอบ 2) ขนท 1 จากรป พนท [PQRS] = PQ ⋅ QR = |–2 – 4|⋅|–3 – 8| = 66 พนท [ABP] = 2

1 ⋅ AP ⋅ BP = 2

1 |8 – 3|⋅|–2 – 2|

= 10 ตารางหนวย พนท [BCQ] = 2

1 ⋅ CQ ⋅ BQ = 2

1 |8 – 4|⋅|4 – 2|

= 4 ตารางหนวย พนท [CDR] = 2

1 ⋅ CR ⋅ DR = 2

1 |–3 – 4|⋅|4 – 0|

= 14 ตารางหนวย พนท [ADS] = 2

1 ⋅ AS ⋅ DS = 2

1 |–3 – 3|⋅|–2 – 0| = 6 ตารางหนวย ขนท 2 จะหา พนท [ABCD] = [PQRS] – [ABP] – [BCQ] – [CDR] – [ADS] ∴ พนท [ABCD] = 66 – 10 – 4 – 14 – 6 = 32 ตารางหนวย


C(9, 1)

Y

B(1,-5)

A(-3,-2)

C(9, 1)

B(1,-5)A(-3,-2)

D(x, y)

G

FPAT-Pb48 (B-PAT1’ต.ค.51) ให ABCD เปนสเหลยมดานขนานทอยในระนาบ XY ถา A = (–3, –2) , B = (1, –5), C = (9, 1) แลว BD มคาเทากบขอใดตอไปน 1) 91 2) 10 3) 97 4) 10 2 วธคดเรวๆ วธจรง & พสจนสตรลด ขนท 1 สมการ จดกงกลางของเสนทแยงมมAC = จด G = จดกงกลางของเสนทแยงมมBD

++

212][ ,2

93][ -- =

++

25][y ,2

1 x -

∴ 293][ +- = 2

1x + และ 212][ +- = 2

5][ y -+

∴ 5 = x และ 4 = y ∴ D(x, y) = D(5, 4) ขนท 2 จะหา BD = ระยะ BD = 22 y)( x)( ∆∆ + = 22 5])[ (4 1) (5 --- + = ตอบ97

ทฤษฎเรขาคณตเสนทแยงมมของสเหลยมดานขนาน จะตดกนและแบงครงซงกนและกน

Sup’k Tips


โจทยเพมเตมเรขาคณตวเคราะห . KAiOU-Pb 1.15 (PAT1’ม.ค.53) ให ABC เปนรปสามเหลยมทม A(0, 0) และ B(2, 2) เปนจดยอด และ C(x, y) เปนจดยอดในจตภาค(quadrant)ท 2 ททาใหดาน AC ยาวเทากบดาน BC ถาพนทของสามเหลยม ABC มคาเทากบ 4 ตารางหนวย แลวจด C อยบนเสนตรงในขอใด 1) x – y + 4 = 0 2) 4x + 3y – 1 = 0 3) 2x – y – 3 = 0 4) x + y – 5 = 0 KAiOU-Pb 1.9 (PAT1’ม.ค.53) จด A(-3, 1), B(1, 5), C(8, 3) และ D(2, –3) เปนจดยอดของรปสเหลยม ABCD ขอใดตอไปนผด 1) ดาน AB ขนานกบดาน DC 2) ผลบวกความยาวของดาน AB กบ DC เทากบ 10 2 หนวย

3) ระยะตงฉากจากจด A ไปยงเสนตรงทผานจด C และ D มคาเทากบ 229 หนวย

4) ระยะตงฉากจากจด B ไปยงเสนตรงทผานจด C และ D มคาเทากบ 29 หนวย

FPAT-Pb49 (B-PAT1’ต.ค.51) ให A(–1, –1) และ B(1, c) เปนจดในระนาบ XY ถา L เปนเสนตรงซงผาน จด A, B และมความชนเทากบ 3 แลวเสนตรงทมความชนเทากบ –2 และ ผานจด B จะมสมการดงขอใดตอไปน 1) y = –2x + 7 2) y = –2x + 5 3) y = –2x + 3 4) y = –2x + 1 SheLL1.9 (PAT1’ก.ค.53) รปสามเหลยม ABC มมม CBAˆ เปนมมฉาก และดานตรงขามมมฉากยาว 10 หนวย ถาพกดของจด A และจด B คอ (–4, 3) และ (–1, 2) ตามลาดบ แลวสมการเสนตรงในขอใดผานจด C 1) x + 8y – 27 = 0 2) 8x + y – 27 = 0 3) 4x – 5y + 3 = 0 4) –5x + 4y + 3 = 0


โจทยภาคตดกรวย แนววงกลม BRAN-Pb1.8 (PAT1’ต.ค.53) พจารณาขอความตอไปน ก. x2 + y2 + 6x – 4y = 23 เปนสมการวงกลมทสมผสกบเสนตรง ซงมสมการเปน 21x + 20y + 168 = 0 ข. y2 + 16x – 6y = 71 เปนสมการของพาราโบลาทมจดยอดท (–5, 3) และจดโฟกสท (–1, 3) ขอใดตอไปนถกตอง 1) ก. ถก และ ข. ถก 2) ก. ถก แต ข. ผด 3) ก. ผด แต ข. ถก 4) ก. ผด และ ข. ผด KMK-Pb 1.9 (PAT1’ต.ค.52) กาหนดให A = {(x, y) | x2 + y2 = 1} และ B = {(x, y) | x2 + y2 – 10x – 10y + 49 = 0} ถา p ∈ A และ q ∈ B แลว ระยะทางมากทสดทเปนไปไดระหวางจด p และ q เทากบขอใดตอไปน 1) 5 2 หนวย 2) 2 + 5 2 หนวย 3) 2 5 หนวย 4) 5 + 2 5 หนวย BRAN-Pb2.34 (PAT1’ต.ค.53) จด A(1 , 0) และจด B(b , 0) เมอ b > 1 เปนจดปลายของเสนผานศนยกลางของวงกลมวงหนง ถาเสนตรง L ผานจด (–1, 0) และสมผสกบวงกลมวงน มความชน เทากบ 3

4 แลว b เทากบเทาใด ตอบ........................... FPAT-Pb50 (PAT1’ม.ค.52) กาหนดให วงกลมรปหนงมจดศนยกลางอยทจด (2, 1) ถาเสนสมผสวงกลมทจด x = 1 เสนหนงมความชนเทากบ 3

1 แลวจดในขอใดตอไปนอยบนวงกลมทกาหนด

1) (0, 1) 2) (0, 2) 3) (1, 0) 4) (3, 0) FPAT-Pb52 (PAT1’ก.ค.52) ใหเสนตรง l1 และ l2 สมผสกบวงกลม (x – 5)2 + y2 = 20 ทจด A และ B ตามลาดบ โดยทจดศนยกลางของวงกลมอยบนเสนตรงทผานจด A และ B ถาสมการของเสนตรง l1 คอ x – 2y + 5 = 0 แลวจดใดตอไปนอยบนเสนตรง l2 1) (0, 15) 2) (1, –8) 3) (8, –1) 4) (15, 0) KMK-Pb 2.7 (PAT1’ต.ค.52) ให a, b, c เปนจานวนจรง ถาวงกลม x2 + y2 + ax + by + c = 0 มศนยกลางท (2, 1) และมเสนตรง x – y + 2 = 0 เปนเสนสมผสวงกลม แลว |a + b + c| เทากบเทาใด ตอบ ...........................


โจทยภาคตดกรวย แนวพาราโบลา FPAT-Pb54 (PAT1’ก.ค.52) ระยะทางระหวางจดโฟกสของพาราโบลา y2 = –8x กบ เสนตรง 2x + y = 6 มคาเทาใด 1) 2 5 หนวย 2) 3 5 หนวย 3) 4 5 หนวย 4) 5 5 หนวย FPAT-Pb55 (B-PAT1’ต.ค.51) ให P เปนจดตดของเสนตรง x – 2y = 0 และเสนไดเรกตรกซของพาราโบลา x2 = 8y ระยะระหวางจด P และเสนตรง 2x – y = 1 เทากบขอใดตอไปน 1) 5

6 หนวย 2) 57 หนวย 3) 7 หนวย 4) 5

7 หนวย FPAT-Pb56 (PAT1’ม.ค.52) ถาเสนตรงเสนหนงผานจดกาเนดและจดยอดของพาราโบลา y2 – 4y + 4x = 0 และเสนไดเรกตรกซทจด (a , b) แลว a + b มคาเทากบขอใดตอไปน 1) 4 2) 5 3) 6 4) 7 KMK-Pb 2.8 (PAT1’ต.ค.52) พาราโบลามจดยอดท (–1, 0) และมจดกาเนดเปนจดโฟกส ถาเสนตรง y = x ตดพาราโบลาทจด P และจด Q แลว ระยะทางระหวางจด P กบจด Q เทากบเทาใด ตอบ........................... โจทยภาคตดกรวย แนววงร KMK-Pb 1.6 (PAT1’ต.ค.52) กาหนดให S = [–2, 2] และ r = {(x, y) ∈ S × S | x2 + 2y2 = 2} ชวงในขอใดตอไปนไมเปนสบเซตของ Dr – Rr 1) (–1.4, –1.3) 2) (–1.3, –1.2) 3) (1.2, 1.4) 4) (1.4, 1.5) FPAT-Pb57 (B-PAT1’ต.ค.51) วงรทมจดศนยกลางทจด (1, 2) แกนเอกขนานกบแกน X และยาว 6 หนวย แกนโทยาว 4 หนวย ผานจดในขอใดตอไปน 1) (0, 1) 2) (2, 0) 3) (1, 4) 4) (4, 1) FPAT-Pb58 (PAT1’ก.ค.52) ให E เปนวงรทมจดโฟกสทงสองอยบนวงกลม C ทมสมการเปน x2 + y2 = 1 ถาวงร E สมผสกบวงกลม C ทจด (1, 0) แลวจดใดตอไปนอยบนวงร E 1)

21 ,2

1 2)

25 ,2

1 3)

1 ,31 4)

34 ,3

1 FPAT-Pb59 (PAT1’ม.ค.52) กาหนดให วงรรปหนงมโฟกสอยทจด (±3, 0) และผานจด

221 2,

จดในขอใดตอไปนอยบนวงรทกาหนด

1) (–4, 0) 2)

225 0, 3) (6, 0) 4) (0, –3 2 )


โจทยภาคตดกรวย แนวไฮเพอรโบลา KMK-Pb 1.10 (PAT1’ต.ค.52) ให E เปนวงรทมโฟกสอยทจดยอดของไฮเพอรโบลา x2 – y2 = 1 ถา E ผานจด (0, 1) แลวจดในขอใดตอไปนอยบน E

1)

22 1, - 2) (1, 2 )

3)

21 1, - 4)

23 1,

FPAT-Pb62 (B-PAT1’ต.ค.51) ให F1, F2 เปนจดโฟกสของไฮเพอรโบลา 2(x – 1)2 – (y – 2)2 = 8 โดยท F2 อยในควอดรนตท 1 วงกลมทม F2 เปนจดศนยกลางและผานจด (2 3 , 3) คอ วงกลมทมสมการ ดงขอใดตอไปน 1) (x + (1 + 2 3 )2) = 4y – y2 + 2 2) (x – (1 + 2 3 ))2 = 4y – y2 + 2 3) (x + (1 + 2 3 ))2 = 4y – y2 – 2 4) (x – (1 + 2 3 ))2 = 4y – y2 – 2 FPAT-Pb63 (PAT1’ก.ค.52) กาหนด S = {(x, y) | x2 + y2 ≤ 17} P = {(x, y) | x2 – y2 = 1} Q = {(x, y) | y2 – x2 = 1} ถา a ∈ SI P และ b ∈ SIQ แลวระยะทางทนอยทสดระหวาง a และ b เทากบเทาใด 1) 3 2 – 4 2) 2 3 – 2 3) 3 2 – 2 4) 2 3 – 4 FPAT-Pb64 (PAT1’ม.ค.52) กาหนดให A = { a | เสนตรง y = ax ไมตดกราฟ y2 = 1 + x2} และ B = {b | เสนตรง y = x + b ตดกราฟ y2 = 1 – x2 สองจด} เซต {d | d = c2, c ∈ B - A}เทากบชวงใดตอไปน 1) (0, 1) 2) (0, 2) 3) (1, 2) 4) (0, 4) KAiOU-Pb 1.8 (PAT1’ม.ค.53) กาหนดใหวงร 25x2 + 21y2 + 100x – 42y – 404 = 0 แลวไฮเพอรโบลาทมจดยอดอยทจดโฟกสทงสองของวงรและผานจด (–3 , 1 + 8 ) มสมการตรงกบขอใดตอไปน 1) 5y2 – 4x2 – 10 8 y – 32x – 25 = 0 2) 3y2 – 2x2 – 6 8 y – 8x + 15 = 0 3) y2 – 4x2 – 2y – 16x – 19 = 0 4) y2 – 7x2 – 2y – 28x – 28 = 0 SheLL1.8 (PAT1’ก.ค.53) กาหนดวงกลมรปหนงมจดปลายของเสนผานศนยกลางอยบนจดศนยกลาง และจดโฟกสดานหนงของไฮเพอรโบลา 9x2 – 16y2 – 90x + 64y + 17 = 0 แลววงกลมดงกลาวนมพนทเทากบขอใดตอไปน 1) 4

25π ตารางหนวย 2) 225π ตารางหนวย

3) 4π ตารางหนวย 4) 5π ตารางหนวย


โจทยความสมพนธ แนวอนเวอรสของความสมพนธ FPAT-Pb77 (B-PAT1’ต.ค.51) ให r = {(x, y) | 2y = 3x – 4} ถา a, b เปนคาคงตว และ r-1 = {(x, y) | y = ax + b} แลว 3a – b

4 มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 35 2) 4

3 3) 54 4) 3

4 FPAT-Pb78 (PAT1’ก.ค.52) กาหนดความสมพนธ r = {(x, y) | x ∈ [-1, 1] และ y = x2} พจารณาขอความตอไปน ก. r-1 = {(x, y) | x ∈ [0, 1] และ y = ± |x| } ข. กราฟของ r ตดกบกราฟของ r-1 เพยง 2 จด เทานน ขอใดตอไปนถกตอง 1) ก. ถก และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. ผด และ ข. ผด โจทยความสมพนธ แนวหาโดเมนและเรนจ โดยกราฟ FPAT-Pb75 (PAT1’ม.ค.52) กาหนดให f(x) = x2 – 1 เมอ x ∈ (-∞, -1]U [0, 1] และ g(x) = 2x เมอ x ∈ (-∞, 0] ขอใดตอไปนถกตอง 1) Rg ⊂ Df 2) Rf ⊂ Dg

3) f เปนฟงกชน 1 - 1 4) g ไมเปนฟงกชน 1 - 1 FPAT-Pb70 (PAT1’ม.ค.52) กาหนดให A = [–2, –1]U [1, 2] และ r = {(x, y) ∈ A × A | x – y = –1} ถา a, b > 0 และ a ∈ Dr, b ∈ Rr แลว a + b เทากบขอใดตอไปน 1) 2.5 2) 3 3) 3.5 4) 4 โจทยความสมพนธ แนวหาโดเมนและเรนจ โดยการจดรป หาเงอนไข FPAT-Pb71 (สอบตรงวศวะ’50) กาหนด r และ s เปนความสมพนธ r = {(x, y) ∈ R × R | x2 + xy = –1} s =

=×∈ | x 3| 12 yR R y)(x, --

จงหาวา Rs – Rr เปนสบเซตของขอใดตอไปน 1) (–4, –2) 2) (–1, 1) 3) (–2, 0) 4) (–1, 4)

FPAT-Pb72 (สอบตรงวศวะ’51) กาหนดให r =

=×∈2

x95

1 yR R y)(x,

--

s = {(x, y) ∈ R × R | 2xy2 – 3xy = 4x + 1} มจานวนเตมกจานวนทอยในเซต Rr – Ds 1) 0 2) 1 3) 2 4) 7


KAiOU-Pb 1.6 (PAT1’ม.ค.53) ให f และ g เปนฟงกชนจากเซตของจานวนจรงไปยงเซตของจานวนจรง โดยท f(x) =

4 x1 x

2 -- และ g(x) = f(x) – 1x - จงพจารณาขอความตอไปน

ก. Dg = (2, ∞) ข. คาของ x > 0 ททาให g(x) = 0 มเพยง 1 คาเทานน ขอใดตอไปนถกตอง 1) ก. ถก และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. ผด และ ข. ผด โจทยฟงกชน แนวคานวณฟงกชนธรรมดา FPAT-Pb65 (PAT1’ก.ค.52) ให g(x) = x2 + x + 1 และ r, s เปนคาคงตว ซง s ≠ 0 ถา g(r + s) = g(r – s) แลว r2 เปนสมาชกของชวงใดตอไปน 1) (0, 0.5) 2) (0.5, 1) 3) (1, 1.5) 4) (1.5, 2) โจทยฟงกชน แนวจดรปฟงกชนธรรมดา KAiOU-Pb 1.13 (PAT1’ม.ค.53) กาหนดให f

1x x- = x

1 เมอ x ≠ 0 และ x ≠ 1

ถา 0 < θ < 2π แลว f(sec2 θ) เทากบขอใดตอไปน

1) sin2 θ 2) cos2 θ 3) tan2 θ 4) cot2 θ โจทยฟงกชน แนวจดรปฟงกชนอนเวอรสธรรมดา

AVATAR-Pb 6.1 (แนวสอบตรงแพทย กสพท’53) จงหา f-1(x) เมอ f(x) = xxxx

101010 10

---

+

ตอบ........................... โจทยฟงกชน แนวคานวณฟงกชนคอมโพสตธรรมดา KMK-Pb 2.3 (PAT1’ต.ค.52) ถา f(x) = x

1 และ g(x) = 2f(x) แลว จงหา g ๐ f(3) + f ๐ g–1(3) ตอบ........................... FPAT-Pb66 (B-PAT1’ต.ค.51) ให f(x) = 2

x + 1 และ g(x) = x3 , (f-1 ๐ g)(3) มคาเทากบขอใด

1) 16 2) 20 3) 50 4) 52 FPAT-Pb66.1 ให f(x) = 6 x

3 x ++ และ (f-1 ๐ g)(x) = 1x

6x-

- ถา g(a) = 2 แลว a อยในชวงใด

1) [–1, 1) 2) [1, 3) 3) [3, 5) 4) [5, 7) FPAT-Pb67 (PAT1’ก.ค.52) กาหนดฟงกชน f(x) = x – 5 และ g(x) = x2 ถา a เปนจานวนจรงททาให f ๐ g(a) = g ๐ f(a) แลว (f ⋅ g)(a) มคาเทากบเทาใด 1) 18 2) –18 3) 25 4) –25


โจทยฟงกชน แนวคานวณฟงกชนคอมโพสตยากขนมาหนอย KAiOU-Pb 2.22 (PAT1’ม.ค.53)

นยาม f : R → R และ g : R → R เปนฟงกชนใดๆ (f ⊗ g)(x) = f(g(x)) – g(f(x)) สาหรบทกจานวนจรง x

ถา f(x) = x2 – 1 และ g(x) = 2x + 1 สาหรบทกจานวนจรง x แลว (f ⊗ g)(1) เทากบเทาใด ตอบ........................... KAiOU-Pb 1.5 (PAT1’ม.ค.53) กาหนดให y1 = f(x) = 1x

1x -+ เมอ x เปนจานวนจรงทไมเทากบ 1

y2 = f(y1) , y3 = f(y2), ... yn = f(yn–1) สาหรบ n = 2, 3, 4, ... คาของ y2553 + y2010 เทากบขอใดตอไปน

1) 1 x 1 x

+- 2) 1x

1 x2-+

3) 2x1 x2 + 4) 1x

x2x 1 2-

-+ SheLL2.28 (PAT1’ก.ค.53) ให R แทนเซตของจานวนจรง ถา f1, f2, f3, f4, g และ h เปนฟงกชนจาก R ไป R โดยท f1(x) = x + 1 , f2(x) = x – 1 , f3(x) = x2 + 4 , f4(x) = x2 – 4 (f1 ๐ g)(x) + (f2 ๐ h)(x) = 2 และ (f3 ๐ g)(x) – (f4 ๐ h)(x) = 4x คาของ (g ๐ h)(1) เทากบเทาใด ตอบ........................... SheLL1.18 (PAT1’ก.ค.53) กาหนดให R แทนเซตของจานวนจรง ถา f : R → R เปนฟงกชน โดยท f(x) = ax + b เมอ a, b เปนจานวนจรง ถา f เปนฟงกชนลด และ f(f(f(f(x)))) = 16x + 45 แลวคาของ a + b เทากบขอใดตอไปน 1) –11 2) –5 3) 11 4) 5 โจทยฟงกชน แนวนยามตรวจสอบความเปนฟงกชน BRAN-Pb1.4 (PAT1’ต.ค.53) ให R แทนเซตของจานวนจรง, ความสมพนธขอใดตอไปนเปนฟงกชน

1) ความสมพนธ r1 = {(x, y) ∈ R × R | x = 2 y 4 - และ xy ≥ 0} 2) ความสมพนธ r2 = {(x, y) ∈ R × R | x2 + y2 = 4 และ xy > 0} 3) ความสมพนธ r3 = {(x, y) ∈ R × R | ||x| – |y|| = 1} 4) ความสมพนธ r4 = {(x, y) ∈ R × R | |x – y| = 1}


โจทยฟงกชน แนวฟงกชนแยกชวง FPAT-Pb76 (B-PAT1’ต.ค.51) ให f(x) = x2 + 2 เมอ x ∈ [-1, 0]U (1, 2)

และ g(x) =

∈

∈2 ,2

1 x , 2 4x 0] 1,[ x ,x

---

ขอใดตอไปนไมถกตอง 1) Df ⊆ Dg 2) Rf ⊆ Rg 3) f เปนฟงกชนหนงตอหนง 4) g เปนฟงกชนหนงตอหนง โจทยฟงกชน แนวฟงกชนแยกชวง VS อนเวอรส

FPAT-Pb79 (PAT1’ม.ค.52) กาหนดให f(x) = 3x – 1 และ g–1(x) =

<≥

0 x , x0 x , x

22

-

คาของ f-1(g(2) + g(–8)) เทากบขอใดตอไปน 1) 3

2 1 - 2) 32 1 + 3) 3

21-- 4) 3

2 1-+

โจทยฟงกชน แนวฟงกชนพชคณตฟงกชน VS อนเวอรส KMK-Pb 2.4 (PAT1’ต.ค.52) ถา f(x) = 3 x และ g(x) = x1

x+ แลว (f–1 + g–1)(2) เทากบเทาใด

ตอบ........................... โจทยฟงกชน แนวคอมโพสต VS อนเวอรส VS นยามฟงกชนแบบเซต BRAN-Pb2.42 (PAT1’ต.ค.53) ให R แทนเซตของจานวนจรง ให f = {(x, y) ∈ R × R | y = 3x – 5} g = {(x, y) ∈ R × R | y = 2x + 1} ถา a ∈ R และ (g-1 ๐ f-1)(a) = 4 แลว (f ๐ g)(2a) เทากบเทาใด ตอบ...........................


เมตรกซ : อนเวอรสการคณของเมทรกซ (ตวผกผนของเมทรกซ)

นยาม 1.1!! AA-1 = A-1A = I เมตรกซ Bn×n เปน อนเวอรสการคณของเมทรกซ An×n กตอเมอ AB = I = BA เขยนแทนดวย B = A-1

สตร 1.2 !! ตวผกผนการคณของเมทรกซ A, อนเวอรสของเมทรกซ A, A-1 สาหรบมต n × n

A-1 = Adet 1

⋅ adj A

สตร 1.3 !! ถา A = [ก] → ∴ A-1 =

ก1 เมอ ก ≠ 0

สตร 1.4 !! ถา A =

d c ba → ∴ A-1 = Adet

1

a cb d

--

นยาม 1.6!! สาหรบเมทรกซ An×n ขนาดมตใดๆ ถา det A = 0 แลว จะเรยก เมทรกซ A วา “เมทรกซเอกฐาน”, “Singular Matrix”, “ซงกลารเมทรกซ”

จะหา A-1 ไมได นยาม 1.7!! สาหรบเมทรกซ An×n ขนาดมตใดๆ ถา det A ≠ 0 แลว จะเรยก เมทรกซ A วา “ไมใชเมทรกซเอกฐาน” , “Non-singular Matrix” “นอนซงกลารเมทรกซ”

จะหา A-1 ได


Pb 3 ให A-1 =

2 1 1 1

- , B-1 =

0 11 2

- จงหา (A – 2B)-1 ตอบ ....................

แนวคด ขนท 1 จาก A-1 =

2 1 1 1

-

→ A = 11 21)(1

⋅⋅ --

1 11 2

--- → A = 3

1-

1 11 2

--- → A =

31 3

1 31 3

2

-

ขนท 2 จาก B-1 =

0 11 2

-

→ B = 1)(1 021

-- ⋅⋅

2 11 0

- → ∴ B = 11

2 11 0

- → ∴ B =

2 11 0

-

ขนท 3 จะหา (A – 2B) -1 =

1

2 11 0 2

31 3

1 31 3

2

-

---

=

1

422 0

31 3

1 31 3

2

-

---

=

1

311 3

7 35 3

2

-

---

=

35

37 3

1132

1-----

32 3

735 3

11

---

= 579

32 3

735 3

11

---

โจทยเมตรกซ แนวหา อนเวอรส ของ 2 × 2 TF-PAT4 (PAT1’ก.ค.52) กาหนดให A และ B เปนเมทรกซทสอดคลองกบ 2A – B =

6 3

43

และ A + 2B =

2 42 1

-- จงหาวา (AB)-1 คอเมทรกซในขอใดตอไปน

1)

41 1 0 1

--

2)

1 041 1

- 3)

1 1 0 4

1 -

- 4)

41 01 1

--

โจทยเมตรกซ แนวแกสมการเมตรกซ SheLL2.30 (PAT1’ก.ค.53) ให a, b, c, d เปนจานวนจรง

ถา 3

d 2 b5

ca

=

3 1 d6 5a

- +

+

2d 2 b 5 4

ca

แลว คาของ b + c เทากบเทาใด ตอบ...........................

KAiOU-Pb 2.7 (PAT1’ม.ค.53) ให x, y, z และ w สอดคลองกบสมการ

w 10 1

-

y 01x

- =

2 z1 2y -

w 10 1

-

คาของ 4w – 3z + 2y – x เทากบเทาใด ตอบ...........................

Sup’kระวง!!


BRAN-Pb 1.12 (PAT1’ต.ค.53) กาหนดให A =

1 11 1

- และ B =

z yx y

ถา A-1BA =

40 0 2

- แลวคาของ xyz เทากบเทาใดตอไปน

1) –3 2) –1 3) 0 4) 1

KMK-Pb 1.11 (PAT1’ต.ค.52) กาหนดให X =

xyz

สอดคลองกบสมการ AX = C

เมอ A =

2 1 0 1 0 21 2 1

- , B =

0 411 0 20 1 1

--

และ C = −

22

3

ถา (2A + B)X =

abc

แลว a + b + c มคาเทาใดตอไปน

1) 3 2) 6 3) 9 4) 12 ทฤษฎของ det ดเทอรมนนต สตร 3.1 !! ดเทอรมนนตของเมตรกซของเมตรกซขนาด 2 × 2 A = [5] → ∴ det A = [5] = 5 B = [–7] → ∴ det B = 7][- = –7

สตร 3.2 !! ดเทอรมนนตของเมตรกซของเมตรกซขนาด 2 × 2 C =

2 45 9 → ∴ det C = 2 4

5 9 = 9 × 2 – 4 × 5 = 18 – 20 = –2

D =

7 5 4 2

-- → ∴ det D = -2 -45 7 = (-2) × 7 – (–4) × 5 = –14 + 20 = 6

สตร 3.3 !! กาหนดให A =

ih g fe d

c ba จะได det A =

ih g fe d

c ba =

ih g fe d

c ba

∴ det A = a ⋅ e ⋅ i + b ⋅ f ⋅ g + c ⋅ d ⋅ h – g ⋅ e ⋅ c – h ⋅ f ⋅ a – i ⋅ d ⋅ b ระวง! สตรคณลงตอบเลย คณขนใสลบซอน ใชไดเฉพาะ 2 × 2, 3 × 3

Sup’k ระวง!!


โจทยเมตรกซ แนวนยาม det TF-PAT1 (B-PAT1’ต.ค.51) ให a และ b เปนจานวนจรง

ถา X =

1 2 32 a 13 b 2

และ Y =

2 a 32 b 31 2 3

โดยท X และ Y ไมมตวผกผน แลว a + b เทากบขอใดตอไปน 1) –1 2) –2 3) –3 4) –4 สตรของ ไมเนอร, โคแฟกเตอร นยาม 4.1 กาหนดใหเมตรกซ A = [ aij ]n×n โดยท ai j ∈ R และ n เปนจานวนเตมทมากกวา 2 ไมเนอรของ aij คอ ดเทอรมนนตของเมตรกซทเกดจากการตดแถวท i และ หลกท j ออกไป เขยนแทน ไมเนอรของ aij ดวย M(aij), Mij (A) นยาม 4.2 กาหนดให A = [aij]n×n โดยท aij ∈ R และ n เปนจานวนเตมทมากกวา 2 โคแฟกเตอรของ aij คอ (-1)i+j ⋅ Mij(A) เขยนแทน โคแฟกเตอรของ aij ดวย C(aij) , Cij(A)

เชน A =

3 1 0 1 42 3 2

2 1 1 10 40 2

-- → ∴ M13(A) =

3 1 0 14 2 3 22 1 1 10 40 2

-- =

3 0 1 43 22 1 1

- = –5

→ ∴ C13(A) = (–1)1+3⋅M13(A) = (–1)4⋅M13(A) = (–1)4⋅(-5) = –5 โจทยเมตรกซ แนวโคแฟกเตอร ไมเนอร

TF-PAT2 (PAT1’ม.ค.52) กาหนดให A =

y 1 22 x 21 2 1

- โดยท x และ y เปนจานวนจรง

ถา C11(A) = 13 และ C21(A) = 9 แลว det(A) มคาเทากบขอใดตอไปน 1) –33 2) –30 3) 30 4) 33


สตรของdet ดเทอรมนนต กาหนดให A, B และ C เปนเมตรกซจตรสมต n × n และ k เปนคาคงทใดๆ 2 โจทยเมตรกซ แนวใชสตรของเมตรกซ VS สตรของdet KAiOU-Pb2.6 (PAT1’ม.ค.53) ให A และ B เปนเมตรกซทมขนาด 2 × 2

โดยท 2A – B =

6 5 4 4

-- และ A – 2B =

0 4 8 5

-- คาของ det (A4B–1) เทากบเทาใด

ตอบ...........................

KMK-Pb 1.12 (PAT1’ต.ค.52) ถา det

1

5 1 32 2 00 x 0

2

- = 1x

1- แลว x มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 โจทยเมตรกซ แนวdet (adj A) AVATAR-Pb 14.1 (แนวขอสอบตรงเขาแพทย กสพท’53) กาหนด A เปนเมตรกซ 3 × 3 ทม det(A) = 2 จงหา det(adj(adj(A))) ตอบ........................... โจทยเมตรกซ แนวใชสตรของเมตรกซบวกกน TF-PAT3 (PAT1’ก.ค.52) ให A เปนเมทรกซมต 2 × 2 โดยท det(A) = 4 และ I เปนเมทรกซเอกลกษณ ถา A – 3I เปนเมทรกซเอกฐาน แลว det(A + 3I) มคาเทากบเทาใด 1) 12 2) 16 3) 20 4) 26

det (AB) = det A ⋅ det B det (cA) = cn ⋅ (det A) det I = 1, det 0 = 0

det (At) = det A det (A-1) = (det A)-1 det (An) = (det A)n

det (–A) = det A , n = ค det (–A) = – det A , n = ค det (A ± B) ≠ det A ± det B

Sup’k Tips


BRAN-Pb2.36 (PAT1’ต.ค.53) กาหนดให X เปนเมตรกซทสอดคลองกบสมการ

3 42 1 - + 4X =

3 1 02 1 2

-

1 34 1 2 3

-

แลวคาของ det(2Xt⋅(X + Xt)) เทากบเทาใด ตอบ........................... SheLL1.12 (PAT1’ก.ค.53) กาหนดให A =

1 01 0 , B =

0 01 1 และ C =

2 01 1

-

คาของ det(2At + BC2 + BtC) เทากบขอใดตอไปน 1) –1 2) 0 3) 2 4) 6 SheLL2.31 (PAT1’ก.ค.53) ให a, b, c, d, t เปนจานวนจรง ถา A =

d c ba โดยท det(A) = t ≠ 0

และ det(A + t2A-1) = 0 แลวคาของ det(A – t2A-1) เทากบเทาใด ตอบ........................... เมตรกซผกผนของ A หรอ adj(A) นยาม 2.1 เมตรกซผกพนของ A คอ adj A กาหนดให A = [aij]n×n จะได adj A = [Cij]t5

A-Pb 3.32 ให A =

1 2 1 0 8 3

42 1

-

- จงหา A-1 ตอบ ........................

แนวคด ขนท 1 หา det A = –70 ≠ 0 ซงสามารถหาอนเวอรสได ขนท 2 ใชสตร A-1 = Adet

1 (adj A)

∴ A-1 = 701

-

t

8 32 1

0 3 41 0 8

42 2 12 1 1 1

41 1 2 42

2 1 8 3 1 1

0 3 1 20 8

--

----

--

--- = 70

1-

t

14 12 320 5 10

14 3 8

---

--- = 70

1-

-8 10 -32-3 -5 -12-14 0 14

สตร 2.3 A ⋅ adj A = adj A ⋅ A = (det A)I

นยาม2.2 adj A = t

333231232221131211

C C CC C CC C C

–

–


โจทยเมตรกซ แนวหา อนเวอรส ของ 3×3 TF-PAT6 (B-PAT1’ต.ค.51) กาหนดให A = [aij]3×3

เปนเมทรกซ ทม A-1 =

1 2 1 0 8 3

42 1

-

-

แลว จงหาคาของ a23 1) 0 2) 70

16

3) 7032 4) 70

12

TF-PAT7 (PAT1’ม.ค.52) ให At =

41 0 0 1 13 2 2

- -

จงหาสมาชกในแถวท 2 และหลกท 3 ของ A-1

1) – 32 2) –2 3) 3

2 4) 2

KMK-Pb 2.11 (PAT1’ต.ค.52) ให A =

1 2 1 0 8 3

42 1

-

-

สมาชกแถวท 3 หลกท 1 ของ A-1 เทากบเทาใด ตอบ........................... โจทยเมตรกซ แนวแกสมการหลายตวแปร TF-PAT8 (B-PAT1’ต.ค.51) ถา a, b และ c เปนจานวนจรง ททาให a – b + 2c = 9 2a + b – c = 0 3a – 2b + c = 11 แลว a มคาเทากบเทาใด 1) –4 2) –2 3) 2 4) 4 TF-PAT9 (PAT1’ม.ค.52) กาหนดให x, y, z สอดคลองกบระบบสมการ 2x – 2y – z = –5 , x – 3y + z = -6 , –x + y – z = 4 ขอใดตอไปนถก 1) x2 + y2 + z2 = 6 2) x + y + z = 2 3) xyz = 6 4) z

xy = –2

TF-PAT10 (PAT1’ก.ค.52) กาหนดให a, b, c เปนจานวนจรงทสอดคลองกบระบบสมการ 2a – 2b – c = 1 , a – 3b + c = 7 , –a + b – c = –5 แลว คาของ a

1 + b2 + c

3 เทากบขอใดตอไปน

1) 0 2) 3 3) 6 4) 9

Sup’k Tips


ตรโกณประยกต อยางยาก สตร 8.1! สตรผลบวกหรอผลตางของมม

cos(A + B) = cos A ⋅ cos B – sin A ⋅ sin B cos(A – B) = cos A ⋅ cos B + sin A ⋅ sin B

sin(A + B) = sin A ⋅ cos B + cos A ⋅ sin B sin(A – B) = sin A ⋅ cos B – cos A ⋅ sin B

tan(A + B) = B tanA tan 1

B tanA tan ⋅

+- , tan(A – B) = BtanAtan1

BtanAtan⋅+

-

พสจน tan(A + B) = B) cos(AB) sin(A

++ = BsinAsinBcosAcos

BsinAcosBcosAsin-+ =

B cos AcosB sin A sin B cos A cos

B cos A cosB sin A cos BcosAsin

-+

= BcosAcos

B sin A sin B cos A cosB cos A cos

B cos A cosBsinAcos B cos A cos

B cos A sin

-+

= BcosAcos

B sin A sin BcosB cos

B cosBsin A cos

Asin

-+

= B tanA tan 1B tan A tan

-+

cot(A + B) = Acot Bcot

1Bcot Acot +⋅ - , cot(A – B) = Acot Bcot

1Bcot Acot -

+⋅

FPAT-Pb81 (PAT1’ก.ค.52) จงหาวา o

o

10sin30 sin – o

o

10cos30 cos มคาเทาใด

1) –4 2) –2 3) 2 4) 4 แนวคด

sin2A + cos2A = 1 1 + tan2A = sec2A 1 + cot2A = cosec2A

คณตศาสตร (100)______________________________________ โครงการแบรนดซมเมอรแคมป 2011

ลด

SheLL1.13 (PAT1’ก.ค.53) ถา sin 15° และ cos 15° เปนคาตอบของสมการ x2 + ax + b = 0 แลวคาของ a4 – b เทากบขอใดตอไปน 1) -1 2) 1 3) 2 4) 1 + 3 2 KMK-Pb 2.5 (PAT1’ต.ค.52) ถา 1 – cot 20° = o25cot 1

x-

แลว x มคาเทาใด

ตอบ...........................

*KAiOU-Pb 2.5 (PAT1’ม.ค.53) คาของ ooo

oo

36cos18tan36sin72 cos 36 cos

+

- เทากบเทาใด

ตอบ........................... วธเรวกวา

ลด

วธจรง ooo

oo

36 cos 18 tan36 sin72 cos 36 cos

+

- = เปลยนผลตางไปเปนผลคณ = o

o

oo

oo

36 cos 18 cos18 sin 36 sin

18 sin 54 sin 2

+⋅

⋅⋅

= oooo

ooo

18cos 36 cos 18sin 36 sin18 cos 18 sin 54 sin 2

+ =

)18cos(3618 cos 18 sin 54 sin 2

oo

ooo

-

= o

ooo

18cos18 cos 18 sin 54 sin 2 = 2 sin 54° sin 18° = 2 cos 36° cos 72°

= o

ooo

36sin72 cos 36 cos 36 sin 2 = o

oo

36sin72 cos 72 sin = o

oo

36sin272 cos 72 sin 2

= o

o

36 sin 2144 sin = −

⋅o o

osin (180 36 )

2 sin36 = π−⋅

oo

sin ( 36 )2 sin36 = ยบมม = ⋅

oo

sin (36 )2 sin36 = 2

1 = 0.5

โครงการแบรนดซมเมอรแคมป 2011 ______________________________________ คณตศาสตร (101)

สตรมม 2A พสจน จาก สตร sin(A + B) = sin A ⋅ cos B + cos A ⋅ sin B แทนคา มม B = มม A จะไดเปน sin(A + A) = sin A ⋅ cos A + cos A ⋅ sin A ∴ sin(2A) = 2 ⋅ sin A ⋅ cos Aจบ

แนวบทกลบของมม 2A

สตรมม 3A และ บทกลบ

sin 3A = 3 ⋅ sinA – 4 ⋅ sin3A cos 3A = 4 ⋅ cos3A – 3 ⋅ cosA

tan 3B = B tan3 1

B tan B tan32

3

⋅⋅

--

cot 3A = 1 A cot3Acot 3 A cot

23

--

⋅⋅

cos 2A = cos2A – sin2A = 2 ⋅ cos2A – 1 = 1 – 2 ⋅ sin2A

= Atan1A tan 1

22

+

-

sin 2A = 2 sinA ⋅ cosA =

A tan 1A tan22

+

⋅ tan 2A =

A tan1A tan22

-⋅

cot 2A = Acot 21 A cot

2⋅

-

sin3A = 43AsinAsin3 -

cos3A = 43AcosAcos3 +

sin2A = 2

2Acos 1 - พสจน จาก cos 2A = 1 – 2 ⋅ sin2A ∴ 2 ⋅ sin2A = 1 – cos 2A sin2A = 2

2A cos 1 -

cos2A = 22Acos1 +

พสจน จาก cos 2A = 2 ⋅ cos2A – 1 ∴ cos 2A + 1 = 2 ⋅ cos2A

22Acos 1 + = cos2A

tan2A = 2A cos 1

2A cos 1+-

พสจน

Sup’k ลลลา sin มม 2A ฮม เสยงทบอกฉน ........................

ความรกของเธอ ฮม เสยงทบอกฉน วาเธอหวงใย อกสตรนนคอ (2 ⋅ tanA) สวน ..............................

มอนนของเธอ ทแตะหนาผากฉน วนทฉนกาลงตาย


โจทยตรโกณประยกต แนวสตรมม สองเทา ***BRAN-Pb2.32 (PAT1’ต.ค.53) ให (sin 1°)(sin 3°)(sin 5°) ... (sin 89°) = n2

1

คาของ 4n เทากบเทาใด ตอบ......................... แนวคด FPAT-Pb83 (B-PAT1’ต.ค.51) ถา θ

θ+ tan 1 tan 1

- = θθθ+

2cossincosA1 แลว A มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 1 2) 2 3) 4 4) 6

***SheLL2.29 (PAT1’ก.ค.53) คาของ ∑

∑

=

=44

1n

44

1n

n sin

n cos

o

o

– ∑

∑

=

=44

1n

44

1n

n cos

n sin

o

o

เทากบเทาใด ตอบ...........................

Sup’k Tips


โจทยตรโกณประยกต แนว (sin θ + cos θ) VS (sin θ ⋅ cos θ) BRAN-Pb2.33 (PAT1’ต.ค.53) กาหนดให a เปนจานวนจรง และสอดคลองกบสมการ

5(sin a + cos a) + 2 sin a⋅cos a = 0.04 จงหาคาของ 125(sin3 a + cos3 a) + 75 sin a⋅cos a ตอบ.............. วธจรง ให x = sin a + cos a และ y = sin a cos a จากโจทยจะได 5x + 2y = 0.04 .....(1) เนองจาก x2 = (sin2 a + cos2 a) + 2 sin a cos a = 1 + 2y = 1 + sin 2a ฉะนน x2 = 1 + 2y .....(2) พจารณา x2 = 1 + sin 2a จะได 0 ≤ x2 ≤ 2 ฉะนน - 2 ≤ x ≤ 2 (1) + (2) , x2 + 5x = 1.04 x2 + 5x - 1.04 = 0 (x + 5.2)(x - 0.2) = 0 x = 0.2, -5.2 แต - 2 ≤ x ≤ 2 จงได x = 0.2 เทานน สงผลให y = 2

1 ((0.2) - 1) = -0.48

เพราะวา sin3 a + cos3 a = (sin a + cos a)(sin2 a - sin a cos a + cos2 a) = x(1 - y) ∴ 125(sin3 a + cos3 a) + 75 sin a cos a = 125x(1 - y) + 75y = 125(0.2)(1 - (-0.48)) + 75(-0.48) = 125(0.2)(1 - (-0.48)) + 75(-0.48) = 37 - 36 125(sin3 a + cos3 a) + 75 sin a cos a = 1ตอบ KAiOU-Pb 1.7 (PAT1’ม.ค.53) กาหนดให x เปนจานวนจรง ถา sin x + cos x = a และ sin x – cos x = b แลวคาของ sin 4x เทากบขอใดตอไปน 1) 2

1 (a3b – ab3) 2) 21 (ab3 – a3b)

3) ab3 – a3b 4) a3b – ab3 KMK-Pb 2.6 (PAT1’ต.ค.52) ถา (sin θ + cos θ)2 = 2

3 เมอ 0 ≤ θ ≤ 4π แลว arccos(tan 3θ) มคาเทาใด

ตอบ ............... FPAT-Pb82 (PAT1’ม.ค.52) ถา cos θ – sin θ = 3

5 แลวคาของ sin 2θ เทากบขอใดตอไปน

1) 134 2) 13

9 3) 94 4) 9

13

Sup’k ลด

Sup’k Tips


สตร 22.1! สตร ผลบวก ผลตาง → ผลคณ sinA + sinB = 2sin

+

2B A cos

2B A - = 2⋅sin(half sum)⋅cos(half diff)

sinA – sinB = 2cos

+

2B A sin

2B A - = 2⋅cos(half sum)⋅sin(half diff)

cosA + cosB = 2cos

+

2B A cos

2B A - = 2⋅cos(half sum)⋅cos(half diff)

cosA – cosB = –2sin

+

2B A sin

2B A - = –2⋅sin (half sum)⋅sin(half diff)

สตร 23.1! สตร ผลคณ → ผลบวก ผลตาง 2⋅sinA⋅cosB = sin(A + B) + sin(A – B) = sin(sum) + sin(diff) ก 2⋅cosA⋅sinB = sin(A + B) – sin(A – B) = sin(sum) – sin(diff) ก 2⋅cosA⋅cosB = cos(A + B) + cos(A – B) = cos(sum) + cos(diff) –2 ⋅ sinA⋅sinB = cos(A + B) – cos(A – B) = cos(sum) – cos(diff)

สตร 35.2! ระวงเงอนไขของ x ดวย arcsin (–x) = – arcsin x arccos (–x) = π – arccos x arctan (–x) = – arctan x arccot (–x) = π – arccot x arccosec (–x) = – arccosec x arcsec (–x) = π – arcsec x

สตร 35.2! ระวงเงอนไขของ x ดวย arcsin x

1 = arccosec x

arccos x1 = arcsec x

arctan x1 = arccot x

arccot x1 = arctan x

arccosec x1 = arcsin x

arcsec x1 = arccos x

สตร 2.1 !! arcsin(sin x) = x เมอ – 2

π ≤ x ≤ 2π

arccos(cos x) = x เมอ 0 ≤ x ≤ π arctan(tan x) = x เมอ – 2

π < x < 2π

arccot(cot x) = x เมอ 0 < x < π arccosec(cosec x) = x เมอ x ∈

π 0 ,2- U

π

2 0,

arcsec(sec x) = x เมอ x ∈

π

2 0, U

ππ ,2


สตร 3.1 !! arctan x + arctan y = arctan xy1yx

-+ เมอ - 2

π < arctan x + arctan y < 2π

สตร 3.2 !! arctan x + arctan y = arctan xy1yx

-+ + π เมอ 2

π < arctan x + arctan y

สตร 3.3 !! arctan x + arctan y = xy 1yx

-+ – π เมอ arctan x + arctan y < - 2

π

โจทยตรโกณประยกต แนวอนเวอรสตรโกณ

BRAN-Pb2.31 (PAT1’ต.ค.53) จงหา

+

+

1312arcsin 13

5arcsinsin97arctan 3

1arccot 51arccottan -

ตอบ.................

โจทยตรโกณประยกต แนวสมการอนเวอรสตรโกณ FPAT-Pb87 (B-PAT1’ต.ค.51) จานวนคาตอบทแตกตางกนของสมการ arcsin x = 2⋅arccos x มกคา 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 FPAT-Pb89 (PAT1’ก.ค.52) ถา arcsin(5x) + arcsin(x) = 2

π แลว tan(arcsin x) มคาเทาใด

1) 51 2) 5

1 3) 31 4) 3

1 FPAT-Pb88 (PAT1’ม.ค.52) ให –1 ≤ x ≤ 1 เปนจานวนจรง ซง arccos x – arcsin x = 2552

π

แลวคาของ sin

π2552 เทากบขอใดตอไปน

1) 2x 2) 1 – 2x2 3) 2x2 – 1 4) –2x SheLL1.6 (PAT1’ก.ค.53) ให x เปนจานวนจรง ถา arcsin x = 4

π

แลวคาของ sin

+π )arccos(x 152 อยในชวงใดตอไปน

1)

21 0, 2)

21 ,2

1 3)

23 ,

21 4)

1 ,23

Sup’k Tips I Sup’k Tips II


b ซม.

a ซม.

c ซม.

A

BC

b ซม.

a ซม.

c ซม.

A

BC

b ซม.

a ซม.

c ซม.

A

BC

KAiOU-Pb 2.4 (PAT1’ม.ค.53) ให α และ β เปนมมแหลมของรปสามเหลยมมมฉาก

โดยท tan α = ba ถา cos

+ 22 b aa arcsin + sin

+ 22 baa arccos = 1

แลว sin β มคาเทากบเทาใด ตอบ..................................

สตร 42.1! สตรของพนทสามเหลยม พนท ∆ABC = 2

1 a ⋅ b ⋅ sin C

พนท ∆ABC = 21 b ⋅ c ⋅ sin A

พนท ∆ABC = 21 a ⋅ c ⋅ sin B

สตร 42.21! กฎของ sin

สตร 42.3! กฎของ cos

กฎของ cosa2 = b2 + c2 – 2 ⋅ bc ⋅ cos A b2 = a2 + c2 – 2 ⋅ ac ⋅ cos B c2 = a2 + b2 – 2 ⋅ ab ⋅ cos C

กฎของ sin

Asinaˆ =

Bsinbˆ =

Csincˆ


A

B CD E

A

B CD E30°

45° 45°

120° 15°

โจทยตรโกณประยกต แนวกฎของ sin BRAN-Pb1.7 (PAT1’ต.ค.53) ให ABC เปนรปสามเหลยม ดงรป ถา CBAˆ = 30°, CABˆ = 135° และ AD และ AE แบง CABˆ ออกเปน 3 สวนเทาๆ กน แลว BC

EC มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 31 2) 3

3) 21 4) 2

แนวคด ขนท1 ใน ∆ABC จะได BCAˆ = 180° – 135° – 30° = 15° ขนท2 โดยกฎของไซน

ได AC30 sin o

= CB135 sin o

2(AC)

1 = (BC)21

BC = 2 (AC)

ขนท3 ใน ∆ACE จะได EACˆ = 3135o = 45°

และ CEAˆ = 180° – 45° – 15° = 120°

ขนท4 โดยกฎของsin ได AC120 sin o

= EC 45sin o

2(AC)

3 = (EC)21

EC = 3

(AC)2 EC = 3

BC → ∴ BCEC = 3

1 ตอบ


โจทยตรโกณประยกตเพมเตม แนวกฎของ sin FPAT-Pb91 (PAT1’ม.ค.52) กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยมทมมม A เทากบ 60°, BC = 6 และ AC = 1 คาของ cos(2B) เทากบขอใดตอไปน

1) 41 2) 2

1 3) 23 4) 4

3

FPAT-Pb92 (B-PAT1’ต.ค.51) ให ABC เปนรปสามเหลยม และ D เปนจดบนดาน BC

ททาให DABˆ = DACˆ ถา CDBD = 2 แลวคาของ

CsinB sinˆˆ เทากบขอใดตอไปน

1) 21 2) 1 3) 2

3 4) 2 โจทยตรโกณประยกตเพมเตม แนวกฎของ cos SheLL1.7 (PAT1’ก.ค.53) ในรปสามเหลยม ABC ใดๆ ถา a, b และ c เปนความยาวดานตรงขามมม A, มม B และ มม C ตามลาดบ แลว a

1 cos A + b1 cos B + c

1 cos c เทากบขอใดตอไปน

1) 2abcc b a 222 ++ 2) abc

c) b (a 2++ 3) 2abcc) b (a 2++ 4) abc

c b a 222 ++ KMK-Pb 1.7 (PAT1’ต.ค.52) กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยมทมดาน AB ยาว 2 หนวย ถา BC3 + AC3 = 2(BC) + 2(AC) แลว cot C มคาเทากบขอใดตอไปน 1) 3

1 2) 21 3) 1 4) 3

เรองลาดบ และ อนกรม อนกรมเลขคณต คอ อนกรมทเกดจากลาดบเลขคณต กาหนดให Sn คอ ผลบวกของ n พจนแรกของอนกรมเลขคณต

สตร ลาดบเลขคณต an = a1 + (n – 1) ⋅ d เมอ d คอ ผลตางรวมคงท

สตร ลาดบเรขาคณต an = a1 ⋅ rn – 1

เมอ r คอ อตราสวนรวมคงท

Sn = 2n [2a1 + (n – 1)d] Sn = 2

n [a1 + an] = 2n

⋅ [a2 + an-1] = ...

สตร 6.1!! อนกรมเรขาคณต n พจน

Sn = r) (1)r (1a n

1--

สตร 6.1!! อนกรมเรขาคณต อนนตพจน Sn = r1

a1- เมอ –1 < r < 1


โจทยลาดบเลขคณต แนวใชสตรพนฐาน VS หารลงตว, หารไมลงตว TF-PAT33 (PAT1’ก.ค.52) จานวนเตมตงแต 100 ถง 999 ทหารดวย 2 ลงตว แตหารดวย 3 ไมลงตว มทงหมดกจานวน 1) 260 2) 293 3) 300 4) 313 โจทยลาดบเลขคณต แนวใชสตร an = Sn - Sn-1

*SheLL2.35 (PAT1’ก.ค.53) กาหนดให β เปนจานวนจรง และให {an} เปนลาดบของจานวนจรง

นยามโดย an = 2 n7 n

+β - สาหรบ n = 1, 2, 3, ...

ถาผลบวก 9 พจนแรกมคามากกวาผลบวก 7 พจนแรกของลาดบ {an} เปนจานวนเทากบ a108 แลว

∞→nlim an มคาเทากบเทาใด ตอบ.............................

โจทยปญหาเชาวนลาดบเลขคณต แนวตวเลขในตาราง SheLL1.25 (PAT1’ก.ค.53) พจารณาการจดเรยงลาดบของจานวนค 1, 3, 5, 7, 9, ... ในตารางตอไปน

แถวท 1 1 แถวท 2 3 5 แถวท 3 7 9 11 แถวท 4 13 15 17 19 แถวท 5 ... ... ... ... ... ...

... ... จากตารางจะเหนวา จานวน 15 อยในตาแหนงท 2 (จากซาย) ของแถวท 4 อยากทราบวา จานวน 361 จะอยทตาแหนงใดและในแถวทเทาใด 1) ตาแหนงท 9 (จากซาย) ของแถวท 18 2) ตาแหนงท 10 (จากซาย) ของแถวท 19 3) ตาแหนงท 11 (จากซาย) ของแถวท 20 4) ตาแหนงท 12 (จากซาย) ของแถวท 21 โจทยลาดบเลขคณต แนวใชสตรพนฐานแนวใหม TF-PAT36 (PAT1’ก.ค.52) ถา an เปนลาดบเลขคณต ทสอดคลองกบ

∞→nlim

naa 1n - = 5

และ a9 + a5 = 100 แลวคาของ a100 เทากบขอใดตอไปน 1) 495 2) 515 3) 530 4) ตวเลอก 1) ถง 3) ไมมตวเลอกใดถกตองเลย


KMK-Pb 2.15 (PAT1’ต.ค.52) ถา an เปนลาดบเลขคณต ซง ∞→n

lim

+ n

a a 2n

21n - = 4

แลว 2a a 917 - มคาเทาใด ตอบ.........................

BRAN-Pb2.38 (PAT1’ต.ค.53) บทนยาม ให {an} เปนลาดบของจานวนจรง

เรยกพจน an วาพจนค ถา n เปนจานวนค และ เรยกพจน an วาพจนค ถา n เปนจานวนค กาหนดให {an} เปนลาดบเลขคณต โดยทมจานวนพจนเปนจานวนคและผลบวกของพจนคทงหมด เทากบ 36 และผลบวกของพจนคทงหมดเทากบ 56 ถาพจนสดทายมากกวาพจนแรกเปนจานวนเทากบ 38 แลวลาดบเลขคณต {an} น มทงหมดกพจน ตอบ......................... โจทยลาดบเรขาคณต แนวพนฐาน SheLL1.17 (PAT1’ก.ค.53) กาหนดให x, y, z เปนลาดบเรขาคณต มอตราสวนรวมเทากบ r และ x ≠ y ถา x, 2y, 3z เปนลาดบเลขคณต แลวคา r เทากบขอใดตอไปน 1) 4

1 2) 31 3) 2

1 4) 2

โจทยลาดบเรขาคณต แนวเทคนคสมมตพจน BRAN-Pb2.49 (PAT1’ต.ค.53) ถาผลคณของลาดบเรขาคณต 3 จานวนทเรยงตดกน เทากบ 343 และผลบวกของทงสามจานวนนเทากบ 57 แลวคามากทสดในบรรดา 3 จานวนน เทากบเทาใด ตอบ....................... โจทยลาดบเรขาคณต แนวใชสตรพนฐานแนวใหม *TF-PAT38(PAT1’ม.ค.52) ให an เปนลาดบทสอดคลองกบ

n2n

aa + = 2 สาหรบทกจานวนนบ n

ถา ∑=

=10

1nn 31 a แลว ∑

=

2552

1nna เทากบขอใดตอไปน

1) 21275 – 1 2) 21276 – 1 3) 22551 – 1 4) 22552 – 1


โจทยลาดบอนกรมเลขคณต แนวใชสตรหลากหลาย BRAN-Pb1.17 (PAT1’ต.ค.53) กาหนดให {an} เปนลาดบเลขคณต โดยมสมบต ดงน (ก) a15 – a13 = 3 (ข) ผลบวก m พจนแรกของลาดบเลขคณตน เทากบ 325 (ค) ผลบวก 4m พจนแรกของลาดบเลขคณตน เทากบ 4900 แลวพจน a2m เทากบขอใดตอไปน 1) 2

61 2) 2121 3) 2

125 4) 119 โจทยอนกรมเรขาคณตอนนต แนวใชสตรพนฐาน VS ลมต SheLL2.40 (PAT1’ก.ค.53) ให k เปนคาคงท

และถา ∞→n

lim 545

2)(n2 3n n) k(n

+

+++ = 15 + 6 + 512 + ... + 15

1n52 -

+ ...

แลว k มคาเทาใด ตอบ.......................

TF-PAT40 (PAT1’ม.ค.52) ถา ∞→n

lim1a2n1 bn

22

-+ = 1 แลวจงหาผลบวกของอนกรม ∑

∞

=

+1n

n

22 b aab

1) 3

1 2) 32 3) 1 4) หาคาไมได

*TF-PAT42 (B-PAT1’ต.ค.51) คาของ ∞→n

lim 1n1+

++++ n

n

21 2 ... 8

7 43 2

1 - เทากบเทาใด

1) 1 2) 2 3) 0 4) หาคาไมได โจทยอนกรมเรขาคณตอนนต แนวอนกรม VS ตรโกณ BRAN-Pb1.6 (PAT1’ต.ค.53) ให T(x) = sin x – cos2 x + sin3 x – cos4 x + sin5 x – cos6 x + ... แลวคาของ 3T

π3 เทากบขอใดตอไปน

1) 4 3 – 1 2) 5 3 – 1 3) 6 3 – 1 4) 7 3 – 1 โจทยอนกรมเรขาคณตอนนต แนวอนกรมเรขา ผสม อนกรมเรขา

TF-PAT39 (B-PATต.ค.51) ผลบวกของอนกรม ∑∞

= ++

+

1n 2nn

1n 32

24 มคาเทาใด

1) 18

13 2) 1840 3) 27

33 4) 2756


KAiOU-Pb 1.17 (PAT1’ม.ค.53) จงหาผลบวกของอนกรม 3 + 411 + 16

33 + ... + 1nnn

42 2 3

--+ + ...

1) 3

20 2) 3

29 3) 331 4) 3

40

โจทยอนกรมเรขาคณตอนนต แนวใชสตรพนฐาน แบบ เซอรไพส

*TF-PAT45 (PAT1’ม.ค.52) ถา a1, a2, a3, ... เปนลาดบเรขาคณต ซง ∑∞

==

1nn 4 a

แลวคามากทสดทเปนไปได ของ a2 เทากบใดตอไปน 1) 4 2) 2 3) 1 4) หาคาไมไดเพราะ a2 มคามากไดอยางไมมขดจากด โจทยลาดบเวยนบงเกด แนวแทนคาดแนวโนม BRAN-Pb2.39 (PAT1’ต.ค.53) ให {bn} เปนลาดบของจานวนจรง โดยท

b1 = –3 และ bn+1 = nn

b 1 b1

-+ สาหรบ n = 1, 2, 3, ... คาของ b1000 เทากบเทาใด ตอบ.......................

โจทยลาดบเวยนบงเกด แนวใชเทคนคผลตาง *BRAN-Pb2.30 (PAT1’ต.ค.53) ให I แทนเซตของจานวนเตม และให f : I → I เปนฟงกชน โดยท f(n + 1) = f(n) + 3n + 2 สาหรบ n ∈ I ถา f(–100) = 15000 แลว f(0) เทากบเทาใด ตอบ....................... โจทยลาดบเวยนบงเกด แนวอนกรมใหมๆ ไมเคยเหน **BRAN-Pb2.37 (PAT1’ต.ค.53) กาหนดให {an} เปนลาดบของจานวนจรง โดยท a1 = 2 และ an =

+

1 n1 n

- (a1 + a2 + ... + an-1) สาหรบ n = 2, 3, ...

แลวคาของ ∞→n

limn21 a ... a a

n+++ เทากบเทาใด ตอบ.......................

**SheLL2.34 (PAT1’ก.ค.53) ให {an} เปนลาดบของจานวนจรง โดยท a1 + a2 + a3 + ... + an = n2an สาหรบ n = 1, 2, 3, ... ถา a1 = 100 แลว ∞→n

lim n2an มคาเทากบเทาใด ตอบ.......................


โจทยอนกรมสตร ∑ in สตรหลก 3 สตร

สตร3.1!! ∑=

n

1ii = 2

1) n(n + เชน 1 + 2 + 3 + ... + n = 21)n(n +

สตรหลก 3 สตร

สตร3.2!! ∑=

n

1i2i = 6

1) 1)(2n n(n ++ เชน 12 + 22 + 32 + ... + n2 = 61) 1)(2n n(n ++

สตรหลก 3 สตร

สตร3.3!! ∑=

n

1i3i =

22

1) n(n

+ เชน 13 + 23 + 33 + ... + n3 =

22

1) n(n

+

KAiOU-Pb 2.10 (PAT1’ม.ค.53) ถา {an} เปนลาดบของจานวนจรงท an = 2n

2n ... 642 ++++

สาหรบทกจานวนเตมบวก n แลว ∞→n

lim an มคาเทาใด

ตอบ....................... SheLL1.23 (PAT1’ก.ค.53) กาหนดอนกรมตอไปน

A = ∑=

1000

1kk1)(- , B = ∑

=

20

3k2k , C = ∑

=

100

1kk , D = ∑

∞

=

1k

k212

คาของ A + B + C + D เทากบขอใดตอไปน 1) 7917 2) 7919 3) 7920 4) 7922

TF-PAT41 (PAT1’ก.ค.52) ถา L = ∞→n

lim

++++ 3k

n...2781n มคาเปนจานวนจรงบวก แลว จงหา L

1) 1 2) 2 3) 4 4) 8

KMK-Pb 2.16 (PAT1’ต.ค.52) ∞→n

lim

++++++++3

3

n...27813n ... 27n 12n 3n มคาเทาใด

ตอบ.......................


โจทยอนกรมอนนตเทเลสโคปก แนวสวนกลบของผลคณเลขเรยงตดกน VS แนวใชเทคนคผลตาง

TF-PAT43 (B-PAT1’ต.ค.51) ผลบวกของอนกรม ∑∞

=3n 2 4n1-

มคาเทาใด

1) 41

2) 1225 3) 48

25 4) หาคาไมได

BRAN-Pb2.41 (PAT1’ต.ค.53) ให Sk = 13 + 23 + 33 + ... + k3 สาหรบ k = 1, 2, 3, ...

คาของ ∞→n

lim

++++

n321 S1 ...

S1

S1

S1 เทากบเทาใด ตอบ.......................

**TF-PAT44 (PAT1’ก.ค.52) ถา S = ∑∞

=2n 24 nn1-

แลว ∑∞

=2n 2n1 มคาเทากบเทาใด

1) 4

3 + S 2) 45 + S 3) 4

3 – S 4) 45 – S

โจทยอนกรมอนนตเทเลสโคปก แนวรด VS แนวใชเทคนคผลตาง

**KAiOU-Pb 2.11 (PAT1’ม.ค.53) ให Sn = ∑ +=

++

n

1k 1 kk 1) (kk1 เมอ n = 1, 2, 3, ...

แลวคาของ ∞→n

lim Sn เทากบเทาใด ตอบ.......................

*BRAN-Pb2.40 (PAT1’ต.ค.53) คาของ ∑= ++++

9999

1n 44 )1nn)(1nn(1 เทากบเทาใด

ตอบ....................... โจทยอนกรมอนนตเทเลสโคปก แนวโจทยใหมๆ ไมเคยเหน VS แนวใชเทคนคผลตาง **SheLL2.39 (PAT1’ก.ค.53) กาหนดให an =

2n1 1 1

++ + 2

n1 1 1

+ -

สาหรบ n = 1, 2, 3, ... คาของ

1a1 +

2a1 +

3a1 + ... +

20a1 เทากบเทาใด ตอบ.......................

**BRAN-Pb1.16 (PAT1’ต.ค.53) กาหนดให {an} เปนลาดบของจานวนจรง

โดยท an = ∑=

+

n

1k

21) 1)(2k (2k

k- สาหรบ n = 1, 2, 3, ...

∞→nlim n

16 an เทากบขอใดตอไปน

1) 4 2) 316 3) 8 4) 16


ลาดบ และ อนกรม : แนว check นยาม convergent, divergent *KMK-Pb 1.14 (PAT1’ต.ค.52) พจารณาขอความตอไปน

ก. ถาลาดบ an ลเขา แลว อนกรม ∑∞

=1nna ลเขา

ข. ถาอนกรม ∑∞

=1nna ลเขา แลว อนกรม ∑

∞

=

+

1n nn

2a 1 ลเขา

ขอใดตอไปนเปนจรง 1) ก. ถก และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. ผด และ ข. ผด เฉลยคาตอบ ชทตวแบรนดซมเมอรแคมป ในสวนของคร Sup’k SheLL2.46 เฉลย x = 3 SheLL2.47 เฉลย x = 9 SheLL2.4 เฉลย x = 3 BRAN-Pb1.25 เฉลย 1) TF-PAT119 เฉลย 4) TF-PAT120 เฉลย 2) TF-PAT123 เฉลย 3) TF-PAT124 เฉลย 3) BRAN-Pb1.20 เฉลย 4) KAiOU-Pb 1.24 เฉลย 4) SheLL2.49 เฉลย 208 QET-G-Pb 26.1 เฉลย 4) QET-G-Pb 23.2 เฉลย 1) QET-G-Pb 23.3 เฉลย 4) KAiOU-Pb 1.22 เฉลย 3) SheLL1.24 เฉลย 4) DiAMK-Pb 1.25 เฉลย 2) SheLL1.10 เฉลย 1) DiAMK-Pb 1.2 เฉลย 1) KAiOU-Pb 1.11 เฉลย 2) Sup’k-Pb2.29.1 เฉลย 2 ตว Sup’k-Pb2.29.2 เฉลย 2 ตว FPAT-Pb14 เฉลย 2) FPAT-Pb1 เฉลย 1) FPAT-Pb3 เฉลย 2) SheLL1.11 เฉลย 2) AVATAR-Pb 5.1 เฉลย 2 KMK-Pb 1.8 เฉลย 2) KAiOU-Pb 1.12 เฉลย 2) FPAT-Pb4 เฉลย 3) BRAN-Pb2.27 เฉลย 13 KAiOU-Pb 2.2 เฉลย 5 SheLL2.27 เฉลย 2 SheLL1.14 เฉลย 2) FPAT-Pb9 เฉลย 1) FPAT-Pb8 เฉลย 2) KAiOU-Pb 1.10 เฉลย 1) FPAT-Pb7 เฉลย 4) BRAN-Pb1.11 เฉลย 1) FPAT-Pb11 เฉลย 3) KMK-Pb 2.10 เฉลย 4 FPAT-Pb12 เฉลย 3) KMK-Pb 2.9 เฉลย 6 SheLL1.1 เฉลย 2) KMK-Pb 1.2 เฉลย 1) FPAT-Pb17 เฉลย 2) FPAT-Pb18 เฉลย 2) KAiOU-Pb 1.1 เฉลย 4) KAiOU-Pb 1.2 เฉลย 3) FPAT-Pb21 เฉลย 4) KMK-Pb 1.1 เฉลย 4) FPAT-Pb22 เฉลย 1) FPAT-Pb32 เฉลย 2) FPAT-Pb34 เฉลย 1) FPAT-Pb35 เฉลย 2) FPAT-Pb36 เฉลย 4) FPAT-Pb37 เฉลย 4) KMK-Pb 1.4 เฉลย 1) FPAT-Pb39 เฉลย 1) FPAT-Pb41 เฉลย 1) FPAT-Pb43 เฉลย 3) FPAT-Pb42 เฉลย 1) KMK-Pb 1.5 เฉลย 2) KAiOU-Pb 1.4 เฉลย 1) BRAN-Pb1.3 เฉลย 4) FPAT-Pb46 เฉลย 4) FPAT-Pb45 เฉลย 2) SheLL1.4 เฉลย 3) KAiOU-Pb 1.15 เฉลย 1) KAiOU-Pb 1.9 เฉลย 4) FPAT-Pb49 เฉลย 1) SheLL1.9 เฉลย 2) BRAN-Pb1.8 เฉลย 4) KMK-Pb1.9 เฉลย 2) BRAN-Pb2.34 เฉลย 17 FPAT-Pb50 เฉลย 1) FPAT-Pb52 เฉลย 4) KMK-Pb 2.7 เฉลย 5.5


FPAT-Pb54 เฉลย 1) FPAT-Pb55 เฉลย 4) FPAT-Pb56 เฉลย 3) KMK-Pb 2.8 เฉลย 8 KMK-Pb 1.6 เฉลย 4) FPAT-Pb57 เฉลย 3) FPAT-Pb58 เฉลย 4) FPAT-Pb59 เฉลย 1) KMK-Pb 1.10 เฉลย 1) FPAT-Pb62 เฉลย 4) FPAT-Pb63 เฉลย 1) FPAT-Pb64 เฉลย 3) KAiOU-Pb 1.8 เฉลย 3) SheLL1.8 เฉลย 1) FPAT-Pb77 เฉลย 1) FPAT-Pb78 เฉลย 1) FPAT-Pb75 เฉลย 1) FPAT-Pb70 เฉลย 2) FPAT-Pb71 เฉลย 3) FPAT-Pb72 เฉลย 1) KAiOU-Pb 1.6 เฉลย 4) FPAT-Pb65 เฉลย 1) KAiOU-Pb 1.13 เฉลย 1) AVATAR-Pb 6.1 เฉลย f –1(x) = 2

1 log x1x1

-+

KMK-Pb 2.3 เฉลย 7.5 FPAT-Pb66 เฉลย 4) FPAT -Pb66.1 เฉลย 3 FPAT-Pb67 เฉลย 2) KAiOU-Pb2.22 เฉลย 7 KAiOU-Pb 1.5 เฉลย 2) SheLL2.28 เฉลย 1 SheLL1.18 เฉลย 1) BRAN-Pb1.4 เฉลย 2) FPAT-Pb76 เฉลย 4) FPAT-Pb79 เฉลย 1) KMK-Pb 2.4 เฉลย 6 BRAN-Pb2.42 เฉลย 262 TF-PAT4 เฉลย 4) SheLL2.30 เฉลย 4 KAiOU-Pb 2.7 เฉลย 6 BRAN-Pb1.12 เฉลย 1) KMK-Pb 1.11 เฉลย 3) TF-PAT1 เฉลย 2) TF-PAT2 เฉลย 4) KAiOU-Pb 2.6 เฉลย 32 KMK-Pb 1.12 เฉลย 4) AVATAR-Pb 14.1 เฉลย 16 TF-PAT3 เฉลย 4) BRAN-Pb2.36 เฉลย 396 SheLL1.12 เฉลย 3) SheLL2.31 เฉลย 4 TF-PAT6 เฉลย 4) TF-PAT7 เฉลย 3) KMK-Pb 2.11 เฉลย 0.2 TF-PAT8 เฉลย 3) TF-PAT9 เฉลย 1) TF-PAT10 เฉลย 1) SheLL1.13 เฉลย 3) KMK-Pb 2.5 เฉลย 2 KAiOU-Pb 2.5 เฉลย 0.5 FPAT-Pb83 เฉลย 2) SheLL2.29 เฉลย 2 KAiOU-Pb 1.7 เฉลย 3) KMK-Pb 2.6 เฉลย 0 FPAT-Pb82 เฉลย 3) BRAN-Pb2.31 เฉลย 1 FPAT-Pb87 เฉลย 1) FPAT-Pb89 เฉลย 1) FPAT-Pb88 เฉลย 2) SheLL1.6 เฉลย 4) KAiOU-Pb 2.4 เฉลย 0.5 FPAT-Pb91 เฉลย 4) FPAT-Pb92 เฉลย 1) SheLL1.7 เฉลย 1) KMK-Pb 1.7 เฉลย 1) TF-PAT33 เฉลย 3) SheLL2.35 เฉลย 2 SheLL1.25 เฉลย 2) TF-PAT36 เฉลย 2) KMK-Pb 2.15 เฉลย 2 ⋅ 4 2 ≈ 2.38 BRAN-Pb2.38 เฉลย 20 SheLL1.17 เฉลย 2) BRAN-Pb2.49 เฉลย 49 TF-PAT38 เฉลย 2) BRAN-Pb1.17 เฉลย 2) SheLL2.40 เฉลย 25 TF-PAT40 เฉลย 2) TF-PAT42 เฉลย 1) BRAN-Pb1.6 เฉลย 3) TF-PAT39 ตอบ 2) KAiOU-Pb 1.17 เฉลย 4) TF-PAT45 เฉลย 3) BRAN-Pb2.39 เฉลย 2 BRAN-Pb2.30 เฉลย 50 BRAN-Pb2.37 เฉลย 0 SheLL2.34 เฉลย 200 KAiOU-Pb 2.10 เฉลย 1 SheLL1.23 เฉลย 1) TF-PAT41 เฉลย 4) KMK-Pb 2.16 เฉลย 4 TF-PAT43 เฉลย 3) BRAN-Pb2.41 เฉลย 2 TF-PAT44 เฉลย 3) KAiOU-Pb 2.11 เฉลย 1 BRAN-Pb2.40 เฉลย 9 SheLL2.39 เฉลย 7 BRAN-Pb1.16 เฉลย 1) KMK-Pb 1.14 เฉลย 4)


กาหนดการเชงเสน (Linear Programing) 1. กราฟอสมการเชงเสน

1. วาดกราฟสมการเชงเสน (โดยหาจดทสอดคลองกบสมการเชงเสนสองจด มกใชจดตดแกน X และจดตดแกน Y) 2. พจารณาอาณาบรเวณ โดยใชจดทไมอยบนเสนกราฟทดสอบ (มกใชจด (0, 0)) ถาจดททดสอบสอดคลองกบอสมการ จะไดกราฟเปนอาณาบรเวณทมจดนนอย ถาจดททดสอบขดแยงกบอสมการ จะไดกราฟเปนอาณาบรเวณทอยตรงขามกบบรเวณทมจดนนอย 3. พจารณาวาอสมการนนยอมรบการเทากนไดหรอไม โดยเลอกแทนดวยเสนทบหรอเสนประใหสอดคลอง 2. กราฟของระบบอสมการเชงเสน

1. วาดกราฟของอสมการเชงเสน หาบรเวณทสอดคลองในทกๆ อสมการ (คออาณาบรเวณทซอนทบกน) เรยกอาณาบรเวณนนวา อาณาบรเวณทหาคาตอบได แลวหาพกดของมมของอาณาบรเวณทหาคาตอบได 2. ในกรณทระบบอสมการเชงเสนมหลายอสมการ ในการวาดกราฟของอสมการเชงเสน อาจตองหาพกดของจดตดของสองเสนกอน


3. การแกปญหากาหนดการเชงเสนโดยวธใชกราฟ

- ปญหากาหนดการเชงเสนประกอบดวย ฟงกชนจดประสงค (Objective Function) และอสมการขอจากด (Constraint Inequalities) - ผลเฉลยของปญหาจะเปนพกดทอยในบรเวณทหาคาตอบไดของระบบอสมการเชงเสนทไดมาจากอสมการขอจากดโดยเปนพกดททาใหฟงกชนมคาสงสดหรอตาสดตามฟงกชนจดประสงค - โดยการใชการเลอนของกราฟฟงกชนจดประสงคทมความชนคงท แตมระยะตดแกน Y ทเปลยนแปลง พบวาคาตอบทตองการจะอยทจดมมของอาณาบรเวณทหาคาตอบได 4. สรปขนตอนการแกปญหากาหนดการเชงเสน

1. สมมตตวแปร กาหนดฟงกชนจดประสงค และอสมการขอจากด 2. วาดกราฟของระบบอสมการเชงเสนทไดจากอสมการขอจากด แลวหาอาณาบรเวณทหาคาตอบได 3. หาพกดของจดมมของอาณาบรเวณทหาคาตอบได 4. นาจดมมทงหมดไปทดสอบกบฟงกชนจดประสงค โดยเลอกพกดททาใหคาของฟงกชนสงสดหรอตาสดตามทตองการ ขอสงเกต ในบางสถานการณปญหา ตองการคาตอบทเปนจานวนเตม แตถาพกดทเปนคาตอบไมใชจานวนเตมจะตองนาพกดทเปนจานวนเตมทอยใกลเคยงกบจดนน มาพจารณหาพกดทใหคาทดทสดแทน

ตวอยางขอสอบ 1. กาหนดให a และ b เปนจานวนจรงบวกซง a < b ถาคามากสดและคานอยสดของ P = 2x + y

เมอ x, y เปนไปตามเงอนไข a ≤ x + 2y ≤ b, x ≥ 0 และ y ≥ 0 มคาเทากบ 100 และ 10 ตามลาดบแลว a + b มคาเทาใด

2. โรงงานผลตตกตาแหงหนงมตนทนในการผลตตกตา x ตว โรงงานจะตองเสยคาใชจาย x3 - 450x2 + 60,200x + 10,000 บาท ถาขายตกตาราคาตวละ 200 บาท โรงงานจะตองผลตตกตากตวจงจะไดกาไรมากทสด

เฉลย 1. 70 2. 200


เวกเตอร (Vectors) 1. ระบบพกดฉากสามมต

ทฤษฎบท ระยะทางระหวางจด P(x1, y1, z1) และ Q(x2, y2, z2) หรอ |PQ| มคาเทากบ 2

122

122

12 )z (z) y (y ) x (x --- ++ 2. เวกเตอร ปรมาณสเกลาร (Scalar Quantity) คอ ปรมาณทมแตขนาด ปรมาณเวกเตอร (Vector Quantity) คอ ปรมาณทมทงขนาดและทศทาง การเขยนปรมาณเวกเตอร 1. เขยนแทนดวยสวนของเสนตรงในระนาบ ใชสญลกษณ AB แทนเวกเตอรจาก A ไป B ซงคอ สวนของเสนตรงทมทศจาก A ไป B เรยก A

วา จดเรมตน (Initial Point) เรยก B วา จดสนสด (Terminal Point) 2. เขยนโดยใชตวเลข

ถาจด A มพกดเปน (x1, y1) และ B มพกดเปน (x2, y2) จะแทน AB ดวย

1 y y1 x x

22

--

ถาจด A มพกดเปน (x1, y1, z1) และ B มพกดเปน (x2, y2, z2) จะแทน AB ดวย

1z z1 y y1 x x

222

---

(ใชจดสนสดลบจดเรมตน) นเสธของเวกเตอร นเสธของเวกเตอร uv คอ เวกเตอรทมขนาดเทากบขนาดของ uv และมทศทางตรงขามกน แทนดวย - uv ขนาดของเวกเตอร ถาจด A และ B มพกดเปน (x1, y1) และ (x2, y2) แลว |AB| = 2

122

12 ) y (y ) x (x -- + และถาจด A และ B มพกดเปน (x1, y1, z1) และ (x2, y2, z2) แลว |AB| =

212

212

212 )z (z) y (y ) x (x --- ++ ซง |AB| = |BA|

เวกเตอรหนงหนวย (Unit Vector) คอ เวกเตอรทมขนาดหนงหนวย ซงเวกเตอรหนงหนวยทมทศทางเดยวกบ uv คอ |u|

1v uv


โคไซนแสดงทศทาง (Direction Cosines) โคไซนแสดงทศทางของ av เมอ av =

321

aaa

ซง | av | ≠ 0

เทยบกบแกน X, Y และ Z ตามลาดบ คอ จานวนสามจานวนซงเรยงตามลาดบ ดงน |a|a1v , |a|

a2v , |a|a3v

บทนยาม เวกเตอรสองเวกเตอรจะมทศทางเดยวกนกตอเมอมโคไซนแสดงทศทางชดเดยวกน และจะมทศทางตรงขามกนกตอเมอโคไซนแสดงทศทางเทยบแตละแกนของเวกเตอรหนงเปนจานวนตรงขามกบโคไซนแสดงทศทางของอกเวกเตอรหนง

นยาม เวกเตอรในระบบพกดฉากสองมต เวกเตอรในระบบพกดฉากสามมต

การเทากน

ba =

dc กตอเมอ a = c และ b = d

cba

=

fed

กตอเมอ

a = d, b = e และ c = f

การบวกเวกเตอร

ba +

dc =

++

d bca

cba

+

fed

=

+++

f ce bd a

เวกเตอรศนย 0v เวกเตอรศนย คอ

00 เวกเตอรศนย คอ

000

การลบเวกเตอร

ba -

dc =

d bca

--

cba

-

fed

=

f ce bd a

---

การคณเวกเตอรดวยสเกลาร

α

ba =

αα

ba

เมอ α เปนจานวนจรงใดๆ

α

cba

=

ααα

cba

เมอ α เปนจานวนจรงใดๆ การคณเวกเตอรดวยสเกลาร 1. ถา c > 0 แลว ucv จะเปนเวกเตอรทมขนาดเทากบ c| uv | และมทศทางเดยวกบ uv 2. ถา c < 0 แลว ucv จะเปนเวกเตอรทมขนาดเทากบ -c| uv | และมทศทางตรงขามกบ uv 3. ถา c = 0 แลว ucv = 0 4. ให m และ n เปนจานวนจรงใดๆ และ uv , vv เปนเวกเตอรใดๆ แลว (i) (m + n) uv = umv + unv (ii) (mn) uv = m( unv ) (iii) m( uv + vv ) = umv + vmv การขนานกนของเวกเตอร กาหนดให uv และ vv เปนเวกเตอรทไมใช 0

v จะกลาววา uv และ vv ขนานกนกตอเมอมจานวนจรง c ทไมใช 0 ททาให uv = vcv


3. ผลคณเชงสเกลาร ถา uv = x1 iv + y1 jv และ vv = x2 iv + y2 jv จะไดวา uv ⋅ vv = x1x2 + y1y2 ถา uv = x1 iv + y1 jv + z1 k

v และ vv = x2 iv + y2 jv + z2 kv จะไดวา uv ⋅ vv = x1x2 + y1y2 + z1z2

และ uv ⋅ vv = | uv || vv | cos θ เมอ θ คอ มมระหวาง uv และ vv , 0° ≤ θ ≤ 180° (แบบใชจดเรมตนตอกบจดเรมตน) สมบตของผลคณเชงสเกลาร กาหนดให uv , vv และ wv เปนเวกเตอรใดๆ 1. uv ⋅ vv = vv ⋅ uv 2. uv ⋅ uv = | uv |2 3. uv ⋅ ( vv + wv ) = uv ⋅ vv + uv ⋅ wv 4. ถา uv = 0 หรอ vv = 0 แลว uv ⋅ vv = 0 5. ถา uv ≠ 0

v หรอ vv ≠ 0v แลว uv ⊥ vv กตอเมอ uv ⋅ vv = 0

6. | uv ± vv |2 = | uv |2 ± 2 uv ⋅ vv + | vv |2

7. ให D เปนจดบน OB ท AD ⊥ OB จะไดวา OD = ( OA ⋅ OB )

2|OB|OB

4. ผลคณเชงเวกเตอร ถา uv = a1 iv + a2 jv + a3 k

v และ vv = b1 iv + b2 jv + b3 kv

ผลคณเชงเวกเตอรของ uv และ vv แทนดวย uv × vv คอ เวกเตอร

122131132332

ba baba baba ba

---

หรอ

3232

bba a

iv -

3131

bba a

jv -

2121

bba a

kv

สมบตของผลคณเชงเวกเตอร กาหนดให uv , vv และ wv เปนเวกเตอรใดๆ ในสามมต และ k เปนจานวนจรงใดๆ 1. uv × vv = -( vv × uv ) 2. ( uv + vv ) × wv = ( uv × wv ) + ( vv × wv ) 3. uv × ( vv + wv ) = ( uv × vv ) + ( uv × wv ) 4. uv × (k vv ) = k( uv × vv ) 5. (k uv ) × vv = k( uv × vv ) 6. uv × uv = 0

v 7. iv × jv = k

v , jv × kv = iv , k

v × iv = jv 8. uv ⋅ ( vv × wv ) = ( uv × vv ) ⋅ wv 9. ถา uv ≠ 0

v และ vv ≠ 0v จะไดวา | uv × vv | = | uv || vv | sin θ

เมอ θ คอ มมระหวาง uv และ vv , 0° ≤ θ ≤ 180° (แบบใชจดเรมตนตอกบจดเรมตน) 10. สาหรบ uv ≠ 0

v , vv ≠ 0v และ uv ไมขนานกบ vv จะไดวา uv × vv ตงฉากกบ uv และ vv


การใชเวกเตอรในการหาพนทสเหลยมดานขนาน | uv × vv | = | uv || vv | sin θ เปนพนทของสเหลยมดานขนานทมดานไมขนานยาว | uv | และ | vv | หนวย การใชเวกเตอรในการหาปรมาตรของทรงสเหลยมดานขนาน | uv ⋅ ( vv × rv )| เปนปรมาตรของสเหลยมดานขนานทรงตน (Parallelepiped) ทมดานกวาง ยาว สง เปน rv , vv และ uv ตามลาดบ ขอสงเกต 1. uv ⋅ ( vv × rv ) = rv ⋅ ( uv × vv ) = vv ⋅ ( rv × uv ) uv ⋅ ( vv × rv ) = - uv ⋅ ( rv × vv ) = - vv ⋅ ( uv × rv ) = - rv ⋅ ( vv × uv ) 2. ถา uv , vv และ rv อยในระนาบเดยวกนแลว uv ⋅ ( vv × rv ) = 0

v 3. uv ⋅ ( v × vv ) = vv ⋅ ( rv × rv ) = rv ⋅ ( uv × uv ) = 0

v

ตวอยางขอสอบ 1. กาหนดให u และ v เปนเวกเตอรทไมเทากบเวกเตอรศนยซง u ตงฉากกบ v และ u + v ตงฉากกบ

u - v พจารณาขอความตอไปน ก. | u | = | v | ข. u + 2 v ตงฉากกบ 2 u - v ขอใดตอไปนเปนจรง 1) ก. ถก และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. ผด และ ข. ผด 2. กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยมทม D เปนจดบนดาน AC และ F เปนจดบนดาน BC ถา AD = 4

1 AC,

BF = 31 BC และ DF = aAB + bBC แลว b

a มคาเทาใด 3. ให a และ b เปนเวกเตอร กาหนดโดย a = i + j2

1 - k3p และ b = - i2p + j2 + kp เมอ p เปนจานวนจรง ถา a ตงฉากกบ b และขนาดของ b เทากบ 3 แลว คาของ p อยในชวงขอใดตอไปน

1)

23 3, -- 2)

0 ,2

3 - 3)

23 0, 4)

3 ,23

4. ให u , v และ w เปนเวกเตอร กาหนดโดย u = i + 2 j + 3 k , v = 2 i - d j + k ,

w = a i + b j + c k เมอ a, b, c และ d เปนจานวนจรง ถา u ⋅ w = 2, u ⋅ ( v + w ) = 3, v + w = i + q j + r k เมอ q, r เปนจานวนจรง และ w ขนานกบ - i3

2 + j21 + k3

1 แลวคาของ a + 4b + 2c เทากบเทาใด


5. กาหนด u และ v เปนเวกเตอร โดยท u = i + j3 , | v | = 3 และ | u - v | = 4 คาของ | u + v | เทากบขอใดตอไปน

1) 6 2) 10 3) 13 4) 4 6. กาหนดให u = i2 - j5 และ v = i + j2 ให w เปนเวกเตอร โดยท u ⋅ w = -11 และ v ⋅ w = 8 ถา θ เปนมมแหลมทเวกเตอร w ทามมกบเวกเตอร i5 + j แลว tan θ + sin 2θ เทากบเทาใด

เฉลย 1. 1) 2. 9 3. 2) 4. 3 5. 2) 6. 2


จานวนเชงซอน (Complex) 1. จานวนเชงซอน

เซต C = {(a, b)| a, b ∈ R} จะเรยกวา เซตของจานวนเชงซอน กตอเมอสาหรบทกๆ สมาชก (a, b) และ (c, d) ใน C 1. (a, b) = (c, d) กตอเมอ a = c และ b = d 2. (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) 3. (a, b) ⋅ (c, d) = (ac - bd, ad + bc) จานวนเชงซอน (a, b) นยมเขยนแทนดวย a + bi เรยก a วา สวนจรง และเรยก b วา สวนจนตภาพ ขอสงเกต 1. c(a, b) = (ca, cb) 2. i2 = -1, i3 = -i, i4 = 1 สงยคของจานวนเชงซอน กาหนดใหจานวนเชงซอน z = a + bi นยามสงยคของ z แทนดวย z คอ z = a - bi สมบต 1. (a + bi)(a - bi) = a2 + b2 2. 21 z z + = 1z + 2z 3. 21 z z - = 1z - 2z 4. 21 zz ⋅ = 1z ⋅ 2z 5.

21

zz =

21

zz โดยท 2z ≠ 0

6. z + z = 2Re(z) เมอ Re(z) คอ สวนจรงของ z 7. z - z = 2Im(z) เมอ Im(z) คอ สวนจนตภาพของ z 8. z = z คาสมบรณของจานวนเชงซอน กาหนดใหจานวนเชงซอน z = a + bi นยามคาสมบรณของ z แทนดวย |z| คอ |z| = 22 b a + สมบต 1. z z = |z|2 2. |z| = |-z| 3. |z1z2| = |z1||z2| 4.

21z

z =

21z

z , z2 ≠ 0 5. |z-1|= |z|-1 6. |z| = | z | 7. |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2| 8. |z1 - z2| ≥ ||z1| - |z2||


2. จานวนเชงซอนในรปเชงขว

ให z = a + bi โดยท z ≠ 0 และ θ เปนมมบวกทเลกทสดซง tan θ = ab จะไดวา รปเชงขวของ z

คอ z = |z|(cos θ + i sin θ) เรยก θ วา อารกวเมนต (Argument) ของ z การคณและการหารจานวนเชงซอนในรปเชงขว กาหนดให z1, z2 เปนจานวนเชงซอนทไมใชศนย โดย z1 = |z1|(cos θ1 + i sin θ1) และ z2 = |z2|(cos θ2 + i sin θ2) จะไดวา 1. z1z2 = |z1||z2|(cos(θ1 + θ2) + i sin (θ1 + θ2)) 2.

21

zz = |z|

|z|21 (cos(θ1 - θ2) + i sin(θ1 - θ2))

3. n1z = |z1|n (cos nθ1 + i sin nθ1)

การแกสมการจานวนเชงซอน สาหรบจานวนเชงซอน z = |z|(cos θ + i sin θ) เมอ n ≥ 2 จะไดวา

n z =

πθπθ +++ n2k sin i n2k cos |z|n เมอ k = 0, 1, 2, ..., n - 1

กาหนดให f(x) = anxn + an-1 xn-1 + ... + a1x + a0 โดยท a0, a1, a2, ..., an ∈ R และ an ≠ 0 จะไดวา ถา f(z) = 0 แลว f( z ) = 0 ดวย นนคอ ถา z เปนคาตอบของสมการแลว z จะเปนคาตอบของสมการดวย

ตวอยางขอสอบ 1. กาหนดให z เปนจานวนเชงซอนทสอดคลองกบ z3 - 2z2 + 2z = 0 และ z ≠ 0 ถาอารกวเมนตของ z อย

ในชวง

π

2 0, แลว 24

)z(z มคาเทากบขอใดตอไปน

1) -2i 2) 1 - i 3) 1 + i 4) 2i 2. กาหนดให w, z เปนจานวนเชงซอนซง w = z - 2i และ |w|2 = z + 6 ถาอารกวเมนตของ w อย

ในชวง

π

2 0, และ w = a + bi เมอ a, b เปนจานวนจรง แลว a + b มคาเทาใด 3. ให z1, z2, z3, ... เปนลาดบของจานวนเชงซอน โดยท z1 = 0, zn+1 = 2

nz + i สาหรบ n = 1, 2, 3, ... เมอ i = 1- คาสมบรณของ z111 เทากบขอใดตอไปน

1) 1 2) 2 3) 3 4) 110


4. ให z1 และ z2 เปนจานวนเชงซอนใดๆ และ 2z แทนสงยค (Conjugate) ของ z2 ถา 5z1 + 2z2 = 5 และ

2z = 1 + 2i เมอ i2 = -1 แลวคาของ | 115z- | เทากบเทาใด

5. ให z1 และ z2 เปนจานวนเชงซอน ถา 11z- = 5

3 - 54 i เมอ i2 = -1 และ 5z1 + 2z2 = 5 แลว 2z

เทากบขอใดตอไปน (เมอ 2z แทนสงยค (Conjugate) ของ z2) 1) 3 - 2i 2) 3 + 2i 3) 1 - 2i 4) 1 + 2i

6. ถา n เปนจานวนเตมบวกทนอยทสดททาให n

22i 2

2

+ = 1 เมอ i2 = -1 แลว n มคาเทากบเทาใด

เฉลย 1. 1) 2. 4 3. 2) 4. 5 5. 4) 6. 8


ความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล (Functional Relation Between Data)

1. การวเคราะหความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล 1. ความสมพนธของตวแปรอสระและตวแปรตาม 2. การเขยนแผนภาพการกระจาย 2. ระเบยบวธกาลงสองนอยสด สมการเสนตรง : รปทวไป คอ y = mx + c สมการปกต

∑n

1=i iy = ∑n

1=i ixm + nc

iyn

1=i ix∑ = ∑n

1=i2ixm + c ∑

n

1=i ix สมการเสนพาราโบลา : รปทวไป คอ y = ax2 + bx + c สมการปกต

∑n

1=iiy = a ∑

n

1=i2ix + b ∑

n

1=iix + nc

iyn

1=iix∑ = a ∑

n

1=i3ix + b ∑

n

1=i2ix + c ∑

n

1=iix

in

1=i2ix y∑ = a ∑

n

1=i4ix + b ∑

n

1=i3ix + c ∑

n

1=i2ix

สมการเอกซโพเนนเชยล : รปทวไป คอ y = abx หรอ log y = log a + x log b สมการปกต

iyn

1=ilog ∑ = n log a + log b ∑

n

1=iix

iyn

1=i logix ∑ = log a ∑

n

1=iix + log b ∑

n

1=i2ix


3. ความสมพนธเชงฟงกชนของขอมลทอยในรปอนกรมเวลา เราสามารถแทนขอมลทเปนตวแปรอสระซงเปนชวงเวลาทหางเทากนไดดงน ถาจานวนชวงเวลาทนามาสรางความสมพนธเปนจานวนค มกจะแทนดวย ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... โดยใหชวงเวลาทอยตรงกลางเปน 0 ถาจานวนชวงเวลาทนามาสรางความสมพนธเปนจานวนค มกจะแทนดวย ..., -5, -3, -1, 1, 3, 5, ... โดยใหชวงเวลาทอยตรงกลางเปน -1 และ 1 ขอสงเกต 1. รตวแปรอสระทานายตวแปรตาม ไมสามารถทานายกลบได (ถาจะทานายตองสลบตวแปรแลวสรางความสมพนธเชงฟงกชนใหม) 2. เมอจะทานายความสมพนธในรปอนกรมเวลา ตองแปลงขอมลกอน 3. สาหรบสมการรปเสนตรง ( x , y ) อยบนเสน 4. สาหรบสมการรปเสนตรง ∆y = m∆x

ตวอยางขอสอบ 1. ในการหาความสมพนธเชงฟงกชนระหวางคะแนนสอบวชาคณตศาสตร (X) และวชาฟสกส (Y) ของนกเรยน

100 คนของโรงเรยนแหงหนง ไดพจนตางๆ ทใชในการคานวณคาคงตวจากสมการปกตของความสมพนธเชงฟงกชนทมรปสมการเปน Y = a + bX ดงน

∑=

100

1 iix = ∑

=

100

1 iiy = 1000, ∑

=

100

1iii yx = 2000, ∑

=

100

1i2ix = 4000

ถาคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนายสมชายเทากบ 15 คะแนน แลวคะแนนสอบวชาฟสกส (โดยประมาณ) ของนายสมชายเทากบขอใดตอไปน

1) 16 คะแนน 2) 16.67 คะแนน 3) 17 คะแนน 4) 17.67 คะแนน 2. ในการหาความสมพนธเชงฟงกชนระหวางปรมาณสารปนเปอนชนดท 1 (X) และปรมาณสารปนเปอนชนดท 2 (Y)

จากตวอยางอาหารจานวน 100 ตวอยาง พบวาความแปรปรวนของปรมาณสารชนดท 1 มคาเทากบ 1.75

คาเฉลยเลขคณตของปรมาณสารชนดท 2 มคาเทากบ 0.5, ∑=

100

1iii y x = 100 และ ∑

=

100

1i2i x = 200 ถา

สมการปกตของความสมพนธเชงฟงกชนดงกลาวอยในรป Y = a + bX แลวเมอพบสารปนเปอนชนดท 1 อย 4 หนวย จะพบสารปนเปอนชนดท 2 (โดยประมาณ) เทากบขอใดตอไปน

1) 0.5 หนวย 2) 1 หนวย 3) 1.5 หนวย 4) 2 หนวย


3. กาหนดใหขอมล X และ Y มความสมพนธกนดงตารางตอไปน

X 1 2 3 3 Y 1 3 4 6

ถาสมการปกตของความสมพนธเชงฟงกชนดงกลาวอยในรป Y = a + bX แลวเมอ X = 10 คาของ Y

เทากบเทาใด

เฉลย 1. 2) 2. 4) 3. 19


สถต (Statistics)

1. ขอมล ขอมลทใชในการวเคราะหทางสถตมสองประเภท คอ ขอมลทไมไดแจกแจงความถ ซงจะเหนคาของขอมลทกตว และขอมลทแจกแจงความถ จะเหนเปนอนตรภาคชน ความกวางของอนตรภาพชน = ขอบบน - ขอบลาง

จดกงกลางอนตรภาคชน = ขอบบน + ขอบลาง 2

2. การวดแนวโนมเขาสสวนกลาง 1. คาเฉลยเลขคณต, Mean, x

x ของขอมลทไมแจกแจงความถ x = N

N

1 iix∑

=

x ของขอมลทแจกแจงความถ x = N

K

1 iixif∑

=

ขอสงเกต 1. ∑=

N

1 iix = N x

2. )N

1 ixi(x ∑

=- = 0

3. 2)N

1 iai(x ∑

=- มคานอยทสดเมอ a = x

4. ถา x1, x2, x3, ... , xn มคาเฉลยเลขคณตเปน x x1 + k, x2 + k, x3 + k, ... , xn + k มคาเฉลยเลขคณตเปน x + k x1k, x2k, x3k, ..., xnk มคาเฉลยเลขคณตเปน x k 5. x รวม =

222211

N NxN xN

++


2. มธยฐาน, Median, Me Me สาหรบขอมลทไมแจกแจงความถ Me = คาของขอมลตาแหนงตรงกลาง (ตวท 2

1N + ) เมอเรยงลาดบขอมลแลว

Me สาหรบขอมลทแจกแจงความถ

Me = L + M

Lf

f 2N

∑-

I

ขอสงเกต 1. การหามธยฐานมสองขนตอน คอ หาตาแหนง และหาคาโดยใชสตรหรอการเทยบบญญตไตรยางค

2. ∑=

N

1 i|aix| - มคานอยสดเมอ a = Me

3. ฐานนยม, Mode, Mo Mo สาหรบขอมลทไมแจกแจงความถ Mo = คาของขอมลทมความถมากทสด Mo สาหรบขอมลทแจกแจงความถ Mo = จดกงกลางของชนทมความถสงสด (แบบหยาบ)

= L +

+ 211d d

d I (แบบละเอยด)

ขอสงเกต 1. ใชไดกบขอมลเชงคณภาพ 2. ถาแตละอนตรภาคชนมความกวางตางกน ตองถวงดวยนาหนกของความกวางดวย 4. ความสมพนธของ x , Me และ Mo

x = Me = Mo x > Me > Mo x < Me < Mo

โคงปกต โคงเบขวา โคงเบซาย


3. การวดตาแหนงของขอมล เราจะมองการวดตาแหนงของขอมลเปนเหมอนภาคขยายของการหามธยฐาน ซงมสองขนตอน คอ การหาตาแหนงและการหาคา 1. ควอไทล (Quartiles) คอ การแบงขอมลออกเปน 4 สวนเทาๆ กน โดย Q1, Q2, และ Q3 คอ คะแนนของตวแบงทง 3 ตว Qr ของขอมลทไมแจกแจงความถ การหาตาแหนง : ตาแหนงของ Qr คอ 4

1)r(N +

การหาคา : ใชการเทยบบญญตไตรยางค Qr ของขอมลทแจกแจงความถ การหาตาแหนง : ตาแหนงของ Qr คอ 4

rN

การหาคา : Qr = L + ML

ff 4

rN

∑-

I

2. เดไซล (Deciles) คอ การแบงขอมลออกเปน 10 สวนเทาๆ กน โดย D1, D2, ..., D9 คอ คะแนนของตวแบงทง 9 ตว Dr ของขอมลทไมแจกแจงความถ การหาตาแหนง : ตาแหนงของ Dr คอ 10

1)r(N +

การหาคา : ใชการเทยบบญญตไตรยางค Dr ของขอมลทแจกแจงความถ การหาตาแหนง : ตาแหนงของ Dr คอ 10

rN

การหาคา : Dr = L + ML

ff 10

rN

∑-

I

3. เปอรเซนไทล (Percentiles) คอ การแบงขอมลออกเปน 100 สวนเทาๆ กน ม P1, P2, ..., P99 คอ คะแนนของตวแบงทง 99 ตว Pr ของขอมลทไมแจกแจงความถ การหาตาแหนง : ตาแหนงของ Pr คอ 100

1)r(N +

การหาคา : ใชการเทยบบญญตไตรยางค Pr ของขอมลทแจกแจงความถ การหาตาแหนง : ตาแหนงของ Pr คอ 100

rN

การหาคา : Pr = L + ML

ff 100

rN

∑-

I


4. การวดการกระจายของขอมล 1. การวดการกระจายสมบรณ (Absolute Variation) ใชเพอวดการกระจายของขอมลชดเดยว 1.1 พสย (Range) Range = xmax - xmin 1.2 สวนเบยงเบนควอไทล (Quartile Deviation)

Q.D. = 2QQ 13 -

1.3 สวนเบยงเบนเฉลย (Mean Deviation)

M.D. = N

N

1 i|x ix|∑

=-

1.4 สวนเบยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation)

S.D. = N

N

1 i

2)x i(x∑=

-

= N2x

N

1 i

2ix

-∑=

2. การวดการกระจายสมพทธ (Relative Variation) ใชเพอตองการเปรยบเทยบการกระจายของขอมลมากกวาหนงชด 2.1 สมประสทธพสย

สมประสทธพสย = minmaxminmax

x xxx

+

-

2.2 สมประสทธสวนเบยงเบนควอไทล

สมประสทธสวนเบยงเบนควอไทล = 1313

Q QQQ

+

-

2.3 สมประสทธสวนเบยงเบนเฉลย สมประสทธสวนเบยงเบนเฉลย = x

M.D.

2.4 สมประสทธการแปรผน สมประสทธการแปรผน = x

S.D.

ขอสงเกต 1. ความแปรปรวน (Variance) = S.D.2 = S2 2. S.D. ≥ 0 3. S.D. = 0 ↔ x1 = x2 = ... = xn = x 4. ถา x1, x2, ..., xn มสวนเบยงเบนมาตรฐานเปน S.D. ความแปรปรวนเปน S.D.2 x1 + k, x2 + k, ..., xn + k มสวนเบยงเบนมาตรฐานเปน S.D. ความแปรปรวนเปน S.D.2 x1k, x2k, ..., xnk มสวนเบยงเบนมาตรฐานเปน S.D.|k| ความแปรปรวนเปน S.D.2k2


5. คามาตรฐาน zi = S.D.

xx i -

ขอสงเกต 1. ขอมลทมการแจกแจงปกตจะม x = Me = Mo 2. พนทใตเสนโคงปกตเทากบ 1 หรอ 100% ซงคอ ปรมาณขอมลทงหมด 3. การแจกแจงปกตมาตรฐาน คอ การแจกแจงปกตทม x = 0 และ S.D. = 1 4. z1, z2, z3, ..., zn จะม x = 0 และ S.D. = 1 5. คา z สามารถเปนไดทงบวก (xi > x ) และลบ (xi < x ) 6. zi = 0 ↔ xi = x 7. โดยมาก -3 < zi < 3 8. มความสมพนธระหวาง คะแนนมาตรฐาน, คะแนนดบ, คาเฉลยเลขคณต, สวนเบยงเบน-มาตรฐาน, พนทใตเสนโคงปกตมาตรฐาน, ปรมาณขอมล, เปอรเซนไทล

ตวอยางขอสอบ 1. กาหนดใหความสงของคนกลมหนงมการแจกแจงแบบปกต ถามคนสงกวา 145 เซนตเมตรและ 165

เซนตเมตรอย 84.13% และ 15.87% ตามลาดบ แลวสมประสทธของความแปรผนของความสงของคนกลมนเทากบขอใดตอไปน

Z 1.00 1.12 1.14 1.16 พนทใตเสนโคงปกตมาตรฐานจาก 0 ถง z 0.3413 0.3686 0.3729 0.3770

1) 31

1 2) 312 3) 31

3 4) 314

2. กาหนดใหขอมลชดหนงมการแจกแจงปกต หยบขอมล x1, x2, x3 มาคานวณคามาตรฐานปรากฏวาไดคา

เปน z1, z2, z3 ตามลาดบ ถา z1 + z2 = z3 แลวคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดนเทากบขอใดตอไปน 1) x1 + x2 - x3 2) x1 - x2 - x3 3) x3 - x2 - x1 4) x1 + x2 + x3 3. ขอมลชดหนงเรยงจากนอยไปมาก เปนดงน 1, 4, x, y, 9, 10 ถามธยฐานของขอมลชดนเทากบคาเฉลย

เลขคณต และสวนเบยงเบนเฉลยของขอมลชดนเทากบ 38 แลว y - x มคาเทาใด

4. ขอมลชดหนงม 5 จานวนและมคาเฉลยเลขคณตเทากบ 12 ถาควอไทลท 1 และ 3 ของขอมลชดนมคา

เทากบ 5 และ 20 ตามลาดบ แลวเดไซลท 5 ของขอมลชดนมคาเทาใด 5. กาหนดตารางแจกแจงความถแสดงอายของคนในหมบานแหงหนง เปนดงน

อาย (ป) 0-9 10-19 20-29 30-39 40-49 50-59 จานวน (คน) 5 10 A 20 10 10

ถาอายเฉลยของคนในหมบานนเทากบ 33.33 ป แลวจานวนคนในหมบานนเทากบเทาใด


6. นกเรยนหองหนงสอบวชาคณตศาสตรไดคะแนนเฉลยเลขคณตเทากบ 40 คะแนน ถานกเรยนชายสอบไดคะแนนเฉลยเลขคณต 35 คะแนน และนกเรยนหญงสอบไดคะแนนเฉลยเลขคณต 50 คะแนน อตราสวนของนกเรยนชายตอนกเรยนหญงตรงกบขอใดตอไปน

1) 3 : 2 2) 2 : 3 3) 2 : 1 4) 1 : 2 7. คาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบของนกเรยนกลมหนงเทากบ 72 คะแนน ความแปรปรวน (ประชากร)

เทากบ 600 ถามนกเรยนมาเพมอก 1 คน ซงสอบได 60 คะแนน ทาใหคาเฉลยเปลยนไปเปน 70 คะแนน ความแปรปรวนของขอมลชดใหมเทากบเทาใด

8. จากการสารวจนาหนกของนกเรยนกลมหนงจานวน 4 คน ม 2 คน นาหนกเทากนและหนกนอยกวาอก 2 คนทเหลอ ถาฐานนยม มธยฐาน และพสยของนาหนกของนกเรยน 4 คนน คอ 45, 46 และ 6 กโลกรม ตามลาดบ แลวความแปรปรวนของนาหนกของนกเรยน 4 คนนเทากบเทาใด

9. ในการสอบคดเลอกเขาศกษาตอของโรงเรยนแหงหนง ถาสอบไดคะแนน 700 คะแนน แปลงคะแนนเปนคามาตรฐานได 4 แตถาสอบได 400 คะแนน แปลงเปนคามาตรฐานได -2 แลวสมประสทธการแปรผนเทากบรอยละเทาใด

10. ถาคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยน 30 คน มคะแนนเฉลยเลขคณตเทากบ 60 คะแนน และม สวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 10 ถาผลรวมของคามาตรฐานของคะแนนของนกเรยนกลมนเพยง 29 คน เทากบ 2.5 แลวนกเรยนอก 1 คนทเหลอสอบไดคะแนนเทากบขอใดตอไปน

1) 35 2) 58 3) 60 4) 85 11. มนกเรยน 5 คน รวมกนบรจาคเงนไดเงนรวม 360 บาท ความแปรปรวน (ประชากร) เทากบ 660 ถาม

นกเรยนเพมอก 1 คนมารวมบรจาคเปนเงน 60 บาท ความแปรปรวนจะเพมขนหรอลดลงตรงกบขอใดตอไปน 1) เพมขน 80 2) เพมขน 90 3) ลดลง 80 4) ลดลง 90 12. ในการสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนหองหนง ถานกเรยนคนหนงในหองนสอบได 55 คะแนน คดเปน

คะแนนมาตรฐานไดเทากบ 0.5 และสมประสทธของการแปรผน (Coefficient of Variation) ของคะแนนนกเรยนหองนเทากบ 20% คะแนนเฉลยของนกเรยนหองนเทากบเทาใด

13. สรางตารางแจกแจงความถของคะแนนการสอบของนกเรยนกลมหนง โดยใหความกวางของแตละอนตรภาคชนเปน 10 แลวปรากฏวามธยฐานของคะแนนการสอบเทากบ 57 คะแนน ซงอยในชวง 50-59 ถามนกเรยนทสอบไดคะแนนตากวา 49.5 คะแนน อยจานวน 12 คน และมนกเรยนไดคะแนนตากวา 59.5 คะแนน อยจานวน 20 คน จงหาวานกเรยนกลมนมทงหมดกคน

เฉลย 1. 2) 2. 1) 3. 2 4. 10 5. 1.625 (โจทยบกพรอง) 6. 3) 7. 520 8. 6 9. 10 10. 1) 11. 4) 12. 50 13. 36


วธเรยงสบเปลยน วธจดหม และความนาจะเปน (Permutation, Combination, and Probability)

1. หลกการเบองตนเกยวกบการนบ กฎการบวก ถาการทางานหนงอยางแบงออกเปน n กรณยอยโดยในแตละกรณเปนการทางานทเสรจสนจานวนวธในการทางานจะเทากบผลรวมของจานวนวธของทกกรณ กฎการคณ 1. ถางานททาแบงออกเปนสองขนตอน โดยงานขนตอนแรกเลอกทาได n1 วธ และในแตละวธในการเลอกทางานอยางแรกนสามารถเลอกทางานอยางทสองได n2 วธ จานวนวธทจะเลอกทางานชนน คอ n1n2 วธ 2. ถางานททาแบงออกเปน k ขนตอน โดยงานขนตอนแรกเลอกทาได n1 วธ และในแตละวธในการเลอกทางานอยางแรกนสามารถเลอกทางานอยางทสองได n2 วธ ในแตละวธในการเลอกทางานอยางทสองสามารถเลอกทางานอยางทสามได n3 วธ ฯลฯ จานวนวธทจะเลอกทางานชนน คอ n1n2n3 ... nk วธ นยาม กาหนดให n ∈ N n! = 1 × 2 × 3 × 4 × ... × n และ 0! = 1 2. วธเรยงสบเปลยนและวธจดหม กฎขอท 1 จานวนวธเรยงสบเปลยนของสงของ n สงทแตกตางกนทงหมด เทากบ n! กฎขอท 2 จานวนวธเรยงสบเปลยนของสงของ n สงทแตกตางกนโดยนามาเรยงแค r สง (r ≤ n) คอ nPr = r)! (n

n!-

กฎขอท 3 จานวนวธเรยงสบเปลยนเชงวงกลมของสงของ n สงทแตกตางกนทงหมด เทากบ (n - 1)! กฎขอท 4 ถามสงของอย n สง ในจานวนนม n1 สงทเหมอนกนอยกลมทหนง n2 สงทเหมอนกนอยกลมทสอง M nk สงทเหมอนกนอยกลมท k โดยท n1 + n2 + ... + nk = n จานวนวธเรยงสบเปลยนของสงของทง n สง เทากบ !n ... !n!n

n!k21

กฎขอท 5 จานวนวธเลอกสงของ n สงทแตกตางกน ทละ r สง (r ≤ n) เทากบ

rn

= nCr =

r!r)! (nn!-

เทคนค การนบจานวนฟงกชน, คอมพลเมนท, การจดเรยงของใหตดกนโดยการมด


3. ความนาจะเปน การทดลองสม คอ การทดลองใดๆ ซงทราบวาผลลพธอาจเปนอะไรไดบาง แตไมสามารถทานายผลลวงหนาได แซมเปลสเปซ คอ เซตทมสมาชกเปนผลลพธทเปนไปไดทงหมดของการทดลองสม เหตการณ คอ สบเซตของแซมเปลสเปซ

ความนาจะเปนของเหตการณ E แทนดวย P(E) = n(S)n(E)

สมบตบางประการของความนาจะเปน 1. 0 ≤ P(E) ≤ 1 2. P(φ) = 0 3. P(S) = 1 4. P(E1U E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1I E2) 5. P(E1U E2U E3) = P(E1) + P(E2) + P(E3) - P(E1I E2) - P(E1I E3) - P(E2I E3) +

P(E1I E2I E3) 6. P(E) = 1 - P(E′) 4. ทฤษฎบททวนาม

(a + b)n =

0n anb0 +

1n an-1b1 +

2n an-2b2 + ... +

1 nn- a1bn-1 +

nn a0bn

เรยก

rn

วา สมประสทธทวนาม

ขอสงเกต 1. การกระจาย (a + b)n จะได n + 1 พจน 2. ในแตละพจนผลรวมของกาลงของ a และ b จะไดเทากบ n 3. พจนทวไปของการกระจาย (a + b)n Tr+1 =

rn

an-rbr


ตวอยางขอสอบ 1. ถงใบหนงบรรจลกแกวสแดง 5 ลก สเขยว 4 ลก และสเหลอง 3 ลก ถาหยบลกแกวจากถงทละลก 3 ครง

โดยไมใสคน แลวความนาจะเปนทจะหยบไดลกแกวลกทหนง สอง และสาม เปนสแดง สเขยว และสเหลองตามลาดบ เทากบขอใดตอไปน

1) 211 2) 22

1 3) 223 4) 25

3 2. กลองใบหนงบรรจหลอดไฟ 12 หลอด เปนหลอดชารด 3 หลอด ถาหยบหลอดไฟจากกลองมา 4 หลอด

แลวความนาจะเปนทจะไดหลอดชารดไมเกน 1 หลอด เทากบขอใดตอไปน 1) 3

1 2) 41 3) 99

14 4) 5514

3. ในการโยนลกเตา 2 ลกหนงครง ความนาจะเปนทจะไดแตมรวมเปน 7 โดยทมลกเตาลกหนงขนแตมไมนอยกวา

4 เทากบขอใดตอไปน 1) 3

1 2) 41 3) 6

1 4) 121

4. มสงของซงแตกตางกนอย 8 ชน ตองแบงใหคน 2 คน คนหนงได 6 ชน และอกคนหนงได 2 ชน จะมจานวน

วธแบงกวธ 5. กลองใบหนงบรรจเสอยด 13 ส สละ 4 ตว โดยทเสอยดในแตละสมขนาด S, M, L และ XL ตามลาดบ

สมหยบเสอจากกลองมา 3 ตวพรอมๆ กน ความนาจะเปนทจะไดเสอยดมสเหมอนกน 2 ตว เทากบขอใดตอไปน

1) 42572 2) 5525

72 3) 2213 4) 22100

3 6. กาหนดให S เปนแซมเปลสเปซ และ A, B เปนเหตการณใดๆ ใน S จงพจารณาขอความตอไปน ก. P(A) = P(AI B) + P(AI B′) ข. ถา P(A) = 0.5, P(B) = 0.6 และ P(AU B′) = 0.7 แลว P(A - B) = 0.4 ขอใดตอไปนถกตอง 1) ก. ถก และ ข. ถก 2) ก. ถก แต ข. ผด 3) ก. ผด แต ข. ถก 4) ก. ผด และ ข. ผด 7. กาหนดให A = {0, 1, 2, 3, 4} จานวนเตมบวกทมคานอยกวา 300 โดยสรางมาจากตวเลขในเซต A และ

ตวเลขแตละหลกไมซากนเทากบเทาใด 8. คณะกรรมการชดหนงม 7 คน ประกอบดวยประธาน รองประธาน เลขานการ และกรรมการอก 4 คน

จานวนวธทจดกลมคน 7 คนนนงประชมรอบโตะกลม โดยใหประธานและรองประธานนงตดกนเสมอ แตเลขานการไมนงตดกบรองประธานเทากบเทาใด

9. ในการทอดลกเตา 2 ลกพรอมๆ กน ความนาจะเปนทผลบวกของหนาลกเตาทงสองเทากบ 7 หรอผลคณของหนาลกเตาทงสองเทากบ 12 เทากบขอใดตอไปน

1) 181 2) 6

1 3) 92 4) 9

4


10. มขอสอบปรนย 20 ขอ คะแนนเตม 50 คะแนน โดยกาหนดขอ 1-10 ขอละ 4 คะแนน และขอ 11-20 ขอละ 1 คะแนน ถาหากนกเรยนตอบขอใดถกตองจะไดคะแนนเตมของขอนน แตถาตอบผดหรอไมตอบจะไดคะแนน 0 คะแนน จะมกวธทนกเรยนคนหนงจะทาขอสอบชดนไดคะแนนรวม 45 คะแนน

11. กาหนดให A = {1, 2, 3, ..., 9, 10} จงหาจานวนสบเซตของ A ทงหมดทประกอบดวยสมาชก 8 ตวทแตกตางกน โดยทผลรวมของสมาชกทง 8 ตว เปนพหคณของ 5

เฉลย 1. 2) 2. - 3. 3) 4. 59 5. 1) 6. 2) 7. 44 8. 192 9. 3) 10. 352 11. 9


แคลคลส (Calculus) 1. ลมตและความตอเนองของฟงกชน เมอ x มคาเขาใกลจานวนจรง a ทางดานซายของเสนจานวน (x < a) แลวคาของ f(x) เขาใกลจานวนจรง L จะกลาววา L เปนลมตซายของ f ท a แทนดวยสญลกษณ

-axlim→

f(x) = L1

เมอ x มคาเขาใกลจานวนจรง a ทางดานขวาของเสนจานวน (x > a) แลวคาของ f(x) เขาใกลจานวนจรง L จะกลาววา L เปนลมตขวาของ f ท a แทนดวยสญลกษณ

+→axlim f(x) = L2

ถาลมตทางซายและลมตทางขวาของฟงกชน f เทากน และมคาเทากบ L จะกลาววา ฟงกชน f มลมตเปน L ท a แทนดวยสญลกษณ

axlim→

f(x) = L

ถาลมตทางซายไมเทากบลมตทางขวา หรอลมตขางใดขางหนงหาคาไมได จะกลาววา ฟงกชน f ไมมลมตท a ทฤษฎบทของลมต กาหนดให a เปนจานวนจรงใดๆ f และ g เปนฟงกชนทมลมตทจด a จะไดวา 1. clim

ax→ = c เมอ c เปนคาคงตวใดๆ

2. xlim

ax→ = a

3. naxxlim

→ = an เมอ n ∈ N

4. cf(x)lim

ax→ = c f(x)lim

ax→ เมอ c เปนคาคงตวใดๆ

5. )( g(x) f(x)lim

ax±

→ = f(x)lim

ax→ ± g(x)lim

ax→

6. )( g(x)f(x)lim

ax⋅

→ = f(x)lim

ax→⋅ g(x)lim

ax→

7.

→ g(x)f(x)lim

ax = g(x)lim

f(x)lim

ax

ax

→

→ เมอ g(x)lim

ax→ ≠ 0

8. nax

)(f(x)lim (

→ =

n

a x f(x)lim

→ เมอ n ∈ N

9. nax

f(x)lim

→ = n

axf(x)lim

→ เมอ n ∈ N และ f(x)lim

ax→ ≥ 0

10. mn

ax)(f(x)lim (

→ =

mn

a x f(x)lim

→ เมอ n, m ∈ N และ f(x)lim

ax→ ≥ 0

11. ถา f เปนฟงกชนพหนาม นนคอ f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 เมอ a0, a1, a2, ..., an เปนคาคงตวโดย an ≠ 0 จะไดวา f(x)lim

ax→= f(a)


ความตอเนองของฟงกชน นยาม ให a เปนจานวนจรงใดๆ ฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองทจด a กตอเมอ ฟงกชน f มสมบตตอไปน 1. f(x)lim

ax→ หาคาได

2. f(a) หาคาได 3. f(x)lim

ax→ = f(a)

2. อตราการเปลยนแปลงของฟงกชน นยาม ถา y = f(x) เปนฟงกชนใดๆ และ h เปนจานวนจรงทไมใชศนย อตราการเปลยนแปลงเฉลยของ y เทยบกบ x ในชวง x ถง x + h คอ h

f(x)h)+ f(x -

อตราการเปลยนแปลงของ y เทยบกบ x ใดๆ คอ hf(x)h)+ f(x lim

0h -

→

3. อนพนธของฟงกชน นยาม ถา y = f(x) เปนฟงกชนทมโดเมนและเรนจเปนสบเซตของจานวนจรง และ h

f(x)h) +f(x lim

0h -

→

หาคาได เรยกคาลมตทไดนวา อนพนธของฟงกชน f ท x แทนดวย f ′(x) , dxd f(x) และ dx

dy

ทฤษฎบทของอนพนธ 1. dx

dc = 0 เมอ c คอ คาคงท

2. dxdx = 1

3. dxd xn = nxn-1 เมอ n เปนจานวนจรงใดๆ

4. dxd [f(x) ± g(x)] = dx

d f(x) ± dxd g(x)

5. dxd cf(x) = c dx

d f(x) เมอ c คอ คาคงทใดๆ

6. dxd [f(x)g(x)] = f(x) dx

d g(x) + g(x) dxd f(x)

7. dxd

g(x)f(x) = 2)(g(x)

g(x)dxd f(x) f(x)dx

dg(x) - เมอ g(x) ≠ 0

8. dxd gof(x) = dy

d g(y) dxd f(x) เมอ y = f(x) (กฎลกโซ (Chain Rule))

9. dxd [f(x)]n = n[f(x)]n-1

dxd f(x)


อนพนธอนดบสงของฟงกชน นยาม ถา f′(x) หาอนพนธไดแลวจะเรยกอนพนธของ f′(x) วา อนพนธอนดบสองของ f แทนดวย f ″(x),

22

dxyd , 2

2

dxd f(x) ในทานองเดยวกนเราสามารถนยามอนพนธอนดบ 3, 4, ... ของฟงกชน ตลอดจนกาหนด

สญลกษณไดโดยวธเดยวกน การประยกตของอนพนธ ความชนของเสนสมผสเสนโคง ถา f เปนสมการเสนโคง ความชนของเสนตรงทสมผสเสนโคงทจด (a, f(a)) คอ f ′(a) ฟงกชนเพมและฟงกชนลด กาหนดให f มโดเมนเปน Df ฟงกชน f เปนฟงกชนเพมบน (a, b) ⊂ Df ถา f ′(c) > 0 ทก c ∈ (a, b) และฟงกชน f เปนฟงกชนลดบน (a, b) ⊂ Df ถา f ′(c) < 0 ทก c ∈ (a, b) คาสดขดของฟงกชน กาหนดให f มโดเมนเปน Df ฟงกชน f มคาสงสดสมพทธทจด x = c ถามชวง (a, b) ⊂ Df และ c ∈ (a, b) ซง f (c) > f(x) สาหรบทกๆ x ในชวง (a, b) ท x ≠ c ฟงกชน f มคาตาสดสมพทธทจด x = c ถามชวง (a, b) ⊂ Df และ c ∈ (a, b) ซง f (c) < f(x) สาหรบทกๆ x ในชวง (a, b) ท x ≠ c นยาม ถา f ′(c) = 0 แลวเราจะเรยก c วา คาวกฤตของฟงกชน f และเรยกจด (c, f(c)) วา จดวกฤตของ f ทฤษฎบท กาหนดให f เปนฟงกชนตอเนองใดๆ บน (a, b) ⊂ Df และ c เปนคาวกฤตของ f แลว ถา f ″(c) < 0 แลว f(c) เปนคาสงสดสมพทธ ถา f″(c) > 0 แลว f(c) เปนคาตาสดสมพทธ โจทยปญหาคาสดขด ทาความเขาใจปญหาเพอสรางฟงกชน f(x) โดยให f(x) เปนสงทโจทยตองการทราบคาสดขด และตวแปร x คอ สงทสงผลตอคาสดขดนน 4. การอนทเกรต นยาม ฟงกชน F เปนปฏยานพนธของฟงกชน f เมอ F ′(x) = f(x) สาหรบทกคา x ∈ Df ใช ∫ f(x)dx แทน F(x) + c เมอ c เปนคาคงทใดๆ และเรยก ∫ f(x)dx วา อนทกรลไมจากดเขตของฟงกชน f ทฤษฎบท

1. ∫ kdx = kx + c เมอ k และ c เปนคาคงตว 2. ∫ xndx = 1+nx 1+n

+ c เมอ n ≠ -1

3. ∫ kf(x)dx = k∫ f(x)dx เมอ k เปนคาคงตว 4. ∫ (f(x) ± g(x))dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx อนทกรลจากดเขต นยาม ให f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [a, b] ถา F เปนฟงกชนทมอนพนธบนชวง [a, b] โดยท F ′(x) = f(x) แลว

∫b

af(x)dx = F(b) - F(a)

เรยก ∫b

af(x)dx วา อนทกรลจากดเขตของฟงกชน f บน [a, b] ใชสญลกษณ b

aF(x) แทน F(b) - F(a)


ทฤษฎบท

1. ∫b

akf(x)dx = k ∫

ba

f(x)dx เมอ k เปนคาคงตว

2. dxg(x) f(x) )(b

a±∫ = ∫

b

af(x)dx ± ∫

b

ag(x)dx

3. ∫b

af(x)dx = ∫

c

af(x)dx + ∫

b

cf(x)dx เมอ c ∈ (a, b)

4. ∫b

af(x)dx = - ∫

a

bf(x)dx

พนททปดลอมดวยเสนโคง นยาม กาหนดใหฟงกชน f(x) ตอเนองบน [a, b] พนทปดลอมดวยเสนโคงของ f(x) จาก x = a ถง x = b หมายถง พนทของบรเวณทลอมรอบดวยกราฟของ f แกน X เสนตรง x = a และเสนตรง x = b ทฤษฎบท กาหนดใหฟงกชน f ตอเนองบน [a, b] และ A เปนพนททปดลอมดวยเสนโคงของ f จาก x = a ถง x = b จะหาไดจากสตรตอไปน

1. ถา f(x) ≥ 0 สาหรบทก x ในชวง [a, b] แลว A = ∫b

af(x)dx

2. ถา f(x) ≤ 0 สาหรบทก x ในชวง [a, b] แลว A = - ∫b

af(x)dx

ตวอยางขอสอบ

1. ถา f′(x) = x2 - 1 และ ∫1

0f(x)dx = 0 แลว |f(1)| มคาเทากบเทาใด

2. กาหนดให f(x) = ax2 + b x เมอ a และ b เปนจานวนจรงท b ≠ 0 ถา 2f′(1) = f(1) แลว (9)f

f(4)′ มคา

เทาใด 3. กาหนดให y = f(x) เปนฟงกชนซงมคาสงสดท x = 1 ถา f″(x) = -4 ทก x และ f(-1) + f(3) = 0 แลว f ม

คาสงสดเทาใด 4. กาหนดให R แทนเซตของจานวนจรง ถา f : R → R และ g : R → R เปนฟงกชน โดยท f(x) = 3x2/3,

g(1) = 8 และ g′(1) = 32 คาของ (fog)′(1) เทากบขอใดตอไปน

1) 31 2) 3

2 3) 1 4) 34


5. กาหนดให a และ b เปนจานวนจรง และ f เปนฟงกชน ซงกาหนดโดย f(x) =

++

=

>

<

2 x , 1 ax x2 x , b a 2 x , 2 x

2 3x x

2

3

--

--

ถา f เปนฟงกชนตอเนองบนเซตของจานวนจรงแลว คาของ a2 + b2 เทากบเทาใด 6. กาหนดให R แทนเซตของจานวนจรง ถา f : R → R เปนฟงกชน โดยท f′(x) = 3 x + 5 สาหรบทก

จานวนจรง x และ f(1) = 5 แลวคาของ 4x

lim→ f(x)

2 )f(x2 - เทากบเทาใด 7. กาหนดให R แทนเซตของจานวนจรง ถา f : R → R เปนฟงกชน โดยท f″(x) = 6x + 4 สาหรบทกจานวน

จรง x และความชนของเสนสมผสเสนโคง y = f(x) ทจด (2, 19) เทากบ 19 แลว คาของ f(1) เทากบเทาใด 8. กาหนดให R แทนเซตของจานวนจรง ถา f : R → R เปนฟงกชน โดยท f(x) = ax + b เมอ a, b เปน

จานวนจรง ถา f เปนฟงกชนลด และ f(f(f(f(x)))) = 16x + 45 แลวคาของ a + b เทากบขอใดตอไปน 1) -11 2) -5 3) 11 4) 5 9. กาหนดให a และ b เปนจานวนจรง และให f เปนฟงกชน โดยท

f(x) = 1 x

|1 x| 3

-- , -1 < x < 1

ax + b , 1 ≤ x < 5 5 , x ≥ 5

ถา f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง (-1, ∞) แลวคาของ ab เทากบขอใดตอไปน 1) 4

5 2) - 47 3) 15 4) -10

10. กาหนดให f(x) เปนฟงกชนพหนามกาลงสอง ถาความชนของเสนสมผสเสนโคง y = f(x) ทจด (1, 2) มคา

เทากบ 4 และ ∫ =2

112 f(x)dx

- แลว f(-1) + f″(-1) มคาเทากบเทาใด

11. กาหนดให h(x) = f(x)g(x) โดยทความชนของเสนสมผสเสนโคง y = f(x) ทจด (x, y) เทากบ 2 - 2x และ

เสนโคง y = f(x) มคาสงสดสมพทธเทากบ 5 ถา g เปนฟงกชนพหนาม ซงมสมบต g(2) - g′(2) = 5 แลว h′(2) มคาเทากบเทาใด

เฉลย 1. 0.25 2. 12 3. 8 4. 2) 5. 53 6. 6 7. 7 8. 1) 9. 4) 10. 18 11. 10

Documents

brand summer camp คณิตศาสตร์ 54