Brandssummercamp 2012 feb55_math

สวนท 1 (O NET) .........โดย อ.ตลนนท นวลเพญ ..............................................หนา 2-52 สวนท 2 (PAT 1)...........โดย อ.ศภฤกษ สกลชยพรเลศ (คร Sup'k) .................หนา 53-146 สวนท 3 (PAT 1)...........โดย ดร.จณดษฐ ละออปกษณ......................................หนา 147-176

คณตศาสตร (2)_______________________________________ โครงการแบรนดซมเมอรแคมป 2012

เซต เซตจากด คอ เซตทสามารถระบจานวนสมาชกได เซตอนนต คอ เซตทมจานวนสมาชกมากมาย เซตวาง คอ เซตทไมมสมาชก หรอมจานวนสมาชกเปนศนย เขยนแทนดวย φ หรอ { } สบเซต บทนยาม เซต A เปนสบเซตของเซต B กตอเมอสมาชกทกตวของเซต A เปนสมาชกของเซต B และ

เขยนเปนสญลกษณ คอ A ⊂ B เพาเวอรเซต บทนยาม เพาเวอรเซตของเซต A คอ เซตทมสมาชกเปนสบเซตทงหมดของเซต A เขยนแทนดวย P(A) สมบตของสบเซตและเพาเวอรเซต 1. φ เปนสบเซตของเซตทกเซต 2. φ เปนสมาชกของเพาเวอรเซตเสมอ 3. A ⊂ A 4. A ∈ P(A) 5. ถา A ⊂ B แลว P(A) ⊂ P(B) 6. จานวนสบเซตของเซต A ทงหมดเทากบ 2n(A) 7. จานวนสมาชกของ P(A) ทงหมดเทากบ 2n(A)

โครงการแบรนดซมเมอรแคมป 2012_______________________________________ คณตศาสตร (3)

การดาเนนการทางเซต 1. ยเนยน เซต A ยเนยนกบเซต B คอ เซตทมสมาชกเปนสมาชกของเซต A หรอเซต B เขยนแทนดวย AU B 2. อนเตอรเซกชน เซต A อนเตอรเซกชนกบเซต B คอ เซตทมสมาชกเปนสมาชกของเซต A และเซต B เขยนแทนดวย AI B 3. ผลตาง ผลตางของ A และ B คอ เซตทมสมาชกในเซต A แตไมเปนสมาชกในเซต B เขยนแทนดวย A - B 4. คอมพลเมนต ถา A เปนเซตใดในเอกภพสมพนธ U แลว คอมพลเมนตของเซต A คอ เซตทมสมาชกเปนสมาชกของ U แตไมเปนสมาชกของ A เขยนแทนดวย A′ จานวนสมาชกของเซตจากด ให n(A) แทนจานวนสมาชกของเซต A 1. n(U) = n(A) + n(A′) 2. n(AU B) = n(A) + n(B) - n(AI B) 3. n(AU BU C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(AI B) - n(AI C) - n(BI C) + n(AI BI C) 4. n(A - B) = n(A) - n(AI B)


ตวอยางขอสอบ 1. ให A เปนเซตจากด และ B เปนเซตอนนต ขอความใดตอไปนเปนเทจ 1) มเซตจากดทเปนสบเซตของ A 2) มเซตจากดทเปนสบเซตของ B 3) มเซตอนนตทเปนสบเซตของ A 4) มเซตอนนตทเปนสบเซตของ B 2. ถา A - B = {2, 4, 6}, B - A = {0, 1, 3} และ AU B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} แลว AI B เปน

สบเซตในขอใดตอไปน 1) {0, 1, 4, 5, 6, 7} 2) {1, 2, 4, 5, 6, 8} 3) {0, 1, 3, 5, 7, 8} 4) {0, 2, 4, 5, 6, 8} 3. ให A = {1, 2, 3, ...} และ B = {{1, 2}, {3, 4, 5}, 6, 7, 8, ...} ขอใดเปนเทจ 1) A - B มสมาชก 5 ตว 2) จานวนสมาชกของเพาเวอรเซตของ B - A เทากบ 4 3) จานวนสมาชกของ (A - B)U (B - A) เปนจานวนค 4) AI B คอเซตของจานวนนบทมคามากกวา 5 4. กาหนดให A, B และ C เปนเซตใดๆ ซง A ⊂ B พจารณาขอความตอไปน ก. (C - A) ⊂ (C - B) ข. AcI C ⊂ AcI B ขอใดตอไปนถกตอง 1) ก. ถก และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. ผด และ ข. ผด


5. แผนภาพแรเงาในขอใดแทนเซต ((A – B)I (A – C))U ((BI C) - (AI BI C))

1)

A B

C

2)

A B

C

3)

A B

C

4)

A B

C

6. ถากาหนดจานวนสมาชกของเซตตางๆ ตามตารางตอไปน

เซต AU B AU C BU C AU BU C AI BI C จานวนสมาชก 25 27 26 30 7

แลวจานวนสมาชกของ (AI B)U C เทากบขอใดตอไปน 1) 23 2) 24 3) 25 4) 26 7. นกเรยนกลมหนงจานวน 46 คน แตละคนมเสอสเหลองหรอเสอสฟาอยางนอยสละหนงตว ถานกเรยน 39

คนมเสอสเหลอง และ 19 คนมเสอสฟา แลวนกเรยนกลมนทมทงเสอสเหลอง และเสอสฟามจานวนเทากบขอใดตอไปน

1) 9 2) 10 3) 11 4) 12 8. นกเรยนกลมหนงจานวน 50 คน ม 32 คน ไมชอบเลนกฬาและไมชอบฟงเพลง ถาม 6 คน ชอบฟงเพลงแต

ไมชอบเลนกฬา และม 1 คน ชอบเลนกฬาแตไมชอบฟงเพลง แลวนกเรยนในกลมนทชอบเลนกฬาและชอบฟงเพลงมจานวนเทากบขอใดตอไปน

1) 11 คน 2) 12 คน 3) 17 คน 4) 18 คน 9. กาหนดให A และ B เปนเซต ซง n(AU B) = 88 และ n[(A - B)U (B - A)] = 76 ถา n(A) = 45 แลว n(B) เทากบขอใดตอไปน 1) 45 2) 48 3) 53 4) 55


10. ในการสอบถามพอบานจานวน 300 คน พบวามคนทไมดมทงชาและกาแฟ 100 คน มคนทดมชา 100 คน และมคนทดมกาแฟ 150 คน พอบานทดมทงชาและกาแฟมจานวนเทาใด

11. ในการสอบของนกเรยนชนประถมกลมหนง พบวา มผสอบผานวชาตางๆ ดงน คณตศาสตร 36 คน สงคมศกษา 50 คน ภาษาไทย 44 คน คณตศาสตรและสงคมศกษา 15 คน ภาษาไทยและสงคมศกษา 12 คน คณตศาสตรและภาษาไทย 7 คน ทงสามวชา 5 คน จานวนผสอบผานอยางนอยหนงวชามกคน 12. ให A และ B เปนเซตซง n(A) = 5, n(B) = 4 และ n(AI B) = 2 ถา C = (A - B)U (B - A) แลว n(P(C)) เทากบเทาใด 13. ในการสารวจงานอดเรกของนกเรยน 200 คน ปรากฏวา 120 คน ชอบอานหนงสอ 110 คน ชอบดภาพยนตร 130 คน ชอบเลนกฬา 60 คน ชอบอานหนงสอและดภาพยนตร 70 คน ชอบอานหนงสอและเลนกฬา 50 คน ชอบดภาพยนตรและเลนกฬา นกเรยนทชอบเลนกฬาเพยงอยางเดยวมกคน


การใหเหตผล การใหเหตผลทางคณตศาสตรทสาคญมอย 2 วธ ไดแก 1. การใหเหตผลแบบอปนย หมายถง วธการสรปผลในการคนหาความจรง จากการสงเกตหรอการทดลองหลายๆ ครงจากกรณยอยแลวนามาสรปเปนความรแบบทวไป 2. การใหเหตผลแบบนรนย หมายถง วธการสรปขอเทจจรงโดยการนาความรพนฐาน ความเชอ ขอตกลง หรอบทนยาม ซงเปนสงทรมากอนและยอมรบวาเปนจรง เพอหาเหตผลนาไปสขอสรป ความสมเหตสมผล สวนประกอบของการใหเหตผล 1. เหต 2. ผล การตรวจสอบความสมเหตสมผลโดยแผนภาพเวนน-ออยเลอร 1. a เปนสมาชกของ A 2. a ไมเปนสมาชกของ A A

a

Aa

3. สมาชกทกตวของ A เปนสมาชกของ B 4. ไมมสมาชกตวใดใน A เปนสมาชกของ B

A

B

AB

5. สมาชกบางตวของ A เปนสมาชกของ B 6. สมาชกบางตวของ A ไมเปนสมาชกของ B

A B

A B


ตวอยางขอสอบ 1. กาหนดเหตใหดงตอไปน เหต ก. ทกจงหวดทอยไกลจากกรงเทพมหานครเปนจงหวดทมอากาศด ข. เชยงใหมเปนจงหวดทมอากาศไมด ขอสรปในขอใดตอไปนสมเหตสมผล 1) เชยงใหมเปนจงหวดทอยไมไกลจากกรงเทพมหานคร 2) นราธวาสเปนจงหวดทอยไมไกลจากกรงเทพมหานคร 3) เชยงใหมเปนจงหวดทอยไกลจากกรงเทพมหานคร 4) นราธวาสเปนจงหวดทอยไกลจากกรงเทพมหานคร 2. พจารณาขอความตอไปน 1. คนตกอลฟทกคนเปนคนสายตาด 2. คนทตกอลฟไดไกลกวา 300 หลา บางคน เปนคนสายตาด 3. ธงชยตกอลฟเกงแตตไดไมไกลกวา 300 หลา แผนภาพในขอใดตอไปน มความเปนไปไดทจะสอดคลองกบขอความทงสามขางตน เมอจดแทนธงชย

1) 2) 3) 4) 3. จากแบบรปตอไปน

1 2 47

2 4 814

3 6 1221

. . . a b c77

โดยการใหเหตผลแบบอปนย 2a - b + c มคาเทากบขอใดตอไปน 1) 11 2) 22 3) 33 4) 44 4. พจารณาขอความตอไปน ก. นกกฬาทกคนมสขภาพด ข. คนทมสขภาพดบางคนเปนคนด ค. ภราดรเปนนกกฬา และเปนคนด แผนภาพในขอใดตอไปน มความเปนไปไดทจะสอดคลองกบขอความทงสามขอขางตน เมอจดแทนภราดร

1) 2) 3) 4)


5. เหต 1. ไมมคนขยนคนใดเปนคนตกงาน 2. มคนตกงานทเปนคนใชเงนเกง 3. มคนขยนทไมเปนคนใชเงนเกง ผล ในขอใดตอไปนทเปนการสรปผลจากเหตขางตนทเปนไปอยางสมเหตสมผล 1) มคนขยนทเปนคนใชเงนเกง 2) มคนใชเงนเกงทเปนคนตกงาน 3) มคนใชเงนเกงทเปนคนขยน 4) มคนตกงานทเปนคนขยน 6. พจารณาการใหเหตผลตอไปน เหต 1. A 2. เหดเปนพชมดอก ผล เหดเปนพชชนสง ขอสรปขางตนสมเหตสมผล ถา A แทนขอความใด 1) พชชนสงทกชนดมดอก 2) พชชนสงบางชนดมดอก 3) พชมดอกทกชนดเปนพชชนสง 4) พชมดอกบางชนดเปนพชชนสง 7. พจารณาการอางเหตผลตอไปน ก. เหต 1. ถาฝนไมตก แลว เดชาไปโรงเรยน 2. ฝนตก ผล เดชาไมไปโรงเรยน ข. เหต 1. รตนาขยนเรยน หรอ รตนาสอบชงทนรฐบาลได 2. รตนาไมขยนเรยน ผล รตนาสอบชงทนรฐบาลได ขอใดตอไปนถกตอง 1) ก. สมเหตสมผล และ ข. สมเหตสมผล 2) ก. สมเหตสมผล และ ข. ไมสมเหตสมผล 3) ก. ไมสมเหตสมผล และ ข. สมเหตสมผล 4) ก. ไมสมเหตสมผล และ ข. ไมสมเหตสมผล

คณตศาสตร (10)______________________________________ โครงการแบรนดซมเมอรแคมป 2012

ระบบจานวนจรง

แผนผงแสดงความสมพนธของระบบจานวน

จานวนเชงซอน

จานวนจนตภาพจานวนจรง (R)

จานวนอตรรกยะ (Q′) จานวนตรรกยะ (Q)

จานวนตรรกยะ (I′) ทไมใชจานวนเตม จานวนเตม (I)

จานวนเตมลบ (I-)จานวนเตมศนย (I0)

จานวนเตมบวก (I+), จานวนนบ (N)

จานวนอตรรกยะ หมายถง จานวนทไมสามารถเขยนใหอยในรปเศษสวนของจานวนเตม หรอทศนยม ซาได เชน 2 , 5 , - 3 , π, 2.17254... เปนตน จานวนตรรกยะ หมายถง จานวนทสามารถเขยนในรปเศษสวนของจานวนเตมได สมบตของจานวนจรง 1. สมบตการเทากนของจานวนจรง กาหนดให a, b, c ∈ R 1) สมบตการสะทอน a = a 2) สมบตการสมมาตร ถา a = b แลว b = a 3) สมบตการถายทอด ถา a = b และ b = c แลว a = c 4) สมบตการบวกดวยจานวนทเทากน ถา a = b แลว a + c = b + c 5) สมบตการคณดวยจานวนทเทากน ถา a = b แลว a + c = b + c

โครงการแบรนดซมเมอรแคมป 2012______________________________________ คณตศาสตร (11)

2. สมบตของจานวนจรงเกยวกบพชคณต กาหนดให a, b, c ∈ R

สมบต สมบตของการบวก สมบตของการคณ สมบตปด a + b ∈ R a ⋅ b ∈ R สมบตการสลบท a + b = b + a a ⋅ b = b ⋅ a สมบตการเปลยนกลม a + (b + c) = (a + b) + c a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c สมบตการมเอกลกษณ ม 0 เปนเอกลกษณการบวก

ซง 0 + a = a = a + 0 ม 1 เปนเอกลกษณการคณ ซง 1 ⋅ a = a = a ⋅ 1

สมบตการมอนเวอรส สาหรบจานวนจรง a มจานวนจรง -a ท (-a) + a = 0 = a + (-a)

สาหรบจานวนจรง a ท a ≠ 0 จะม a-1 ท a ⋅ a-1 = a-1 ⋅ a = 1

สมบตการแจกแจง a(b + c) = ab + ac ทบทวนสตร 1. กาลงสองสมบรณ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 2. กาลงสามสมบรณ (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3a2b - b3 3. ผลตางกาลงสอง a2 - b2 = (a - b)(a + b) 4. ผลตางกาลงสาม a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2) a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2) จากสมการพหนามกาลงสอง ax2 + bx + c = 0 เมอ a, b และ c เปนคาคงท, a ≠ 0

จะได x = 2a 4ac b b 2 -- ±

ถา b2 - 4ac > 0 แลว x จะม 2 คาตอบ ถา b2 - 4ac = 0 แลว x จะม 1 คาตอบ ถา b2 - 4ac < 0 แลว x จะไมมคาตอบทเปนจานวนจรง


สมบตของอสมการ ให a, b และ c เปนจานวนจรง 1. สมบตการถายทอด ถา a > b และ b > c แลว a > c 2. สมบตการบวกดวยจานวนจรงทเทากน ถา a > b แลว a + c > b + c 3. สมบตการคณดวยจานวนทเทากน ถา a > b และ c > 0 แลว ac > bc ถา a > b และ c < 0 แลว ac < bc 4. ให a และ b เปนจานวนจรง จาก a < x < b จะได a < x และ x < b ชวงของจานวนจรง ให a และ b เปนจานวนจรง และ a < b 1. (a, b) = {x|a < x < b} เสนจานวน คอ a b

2. [a, b] = {x|a ≤ x ≤ b} เสนจานวน คอ a b

3. (a, b] = {x|a < x ≤ b} เสนจานวน คอ a b

4. [a, b) = {x|a ≤ x < b} เสนจานวน คอ a b

5. (-∞, a) = {x|x < a} เสนจานวน คอ a

6. [a, ∞) = {x|x ≥ a} เสนจานวน คอ a


คาสมบรณ บทนยาม ให a เปนจานวนจรง

|a| =

<

≥

0 a เมอ a0 a เมอ a

-

ทฤษฎบทเกยวกบคาสมบรณ 1. |x| = a กตอเมอ x = a หรอ x = -a 2. ให a เปนจานวนจรงบวก |x| < a กตอเมอ -a < x < a |x| ≤ a กตอเมอ -a ≤ x ≤ a |x| > a กตอเมอ x < -a หรอ x > a |x| ≥ a กตอเมอ x ≤ -a หรอ x ≥ a

ตวอยางขอสอบ 1. พจารณาขอความตอไปน ก. มจานวนตรรกยะทนอยทสดทมากกวา 0 ข. มจานวนอตรรกยะทนอยทสดทมากกวา 0 ขอสรปใดตอไปนถกตอง 1) ก. ถก และ ข. ผด 2) ก. และ ข. ถก 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด 2. กาหนดใหคาประมาณทถกตองถงทศนยมตาแหนงท 3 ของ 3 และ 5 คอ 1.732 และ 2.236

ตามลาดบ พจารณาขอความตอไปน ก. 2.235 + 1.731 ≤ 5 + 3 ≤ 2.237 + 1.733 ข. 2.235 - 1.731 ≤ 5 – 3 ≤ 2.237 - 1.733 ขอสรปใดตอไปนถกตอง 1) ก. และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด 3. พจารณาขอความตอไปน ก. จานวนทเปนจดทศนยมไมรจบบางจานวนเปนจานวนอตรรกยะ ข. จานวนทเปนทศนยมไมรจบบางจานวนเปนจานวนตรรกยะ ขอใดถกตอง 1) ก. และ ข. ถก 2) ก. เทานน 3) ข. เทานน 4) ก. และ ข. ผด


4. ให a และ b เปนจานวนตรรกยะทแตกตางกน c และ d เปนจานวนอตรรกยะทแตกตางกน พจารณาขอความตอไปน ก. a - b เปนจานวนตรรกยะ ข. c - d เปนจานวนอตรรกยะ ขอสรปใดตอไปนถกตอง 1) ก. และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด 5. พจารณาขอความตอไปน ก. สมบตการมอนเวอรสการบวกของจานวนจรง b ท b + a = 0 = a + b ข. สมบตการมอนเวอรสการคณของจานวนจรงกลาววา สาหรบจานวนจรง a จะมจานวนจรง b ท

ba = 1 = ab ขอสรปใดตอไปนถกตอง 1) ก. และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด 6. ถา 4

3 เปนผลเฉลยหนงของสมการ 4x2 + bx - 6 = 0 เมอ b เปนจานวนจรง แลวอกผลเฉลยหนงของ

สมการนมคาตรงกบขอใด 1) -2 2) - 2

1 3) 21 4) 2

7. ถาสมการ (x2 + 1)(2x2 - 6x + c) = 0 มรากทเปนจานวนจรงเพยง 1 ราก คาของ c จะอยในชวงใด

ตอไปน 1) (0, 3) 2) (3, 6) 3) (6, 9) 4) (9, 12) 8. กาหนดให s, t, u และ v เปนจานวนจรง ซง s < t และ u < v พจารณาขอความตอไปน ก. s - u < t - v ข. s - v < t - u ขอใดถกตอง 1) ก. และ ข. 2) ก. เทานน 3) ข. เทานน 4) ก. และ ข. ผด 9. ตองการลอมรวรอบทดนรปสเหลยมผนผาซงมพนท 65 ตารางวา โดยดานยาวของทดนยาวกวาสองเทาของ

ดานกวางอย 3 วา จะตองใชรวทมความยาวเทากบขอใดตอไปน 1) 30 วา 2) 36 วา 3) 42 วา 4) 48 วา


10. เมอเขยนกราฟของ y = ax2 + bx + c โดยท a ≠ 0 เพอหาคาตอบของสมการ ax2 + bx + c = 0 กราฟในขอใดตอไปนแสดงวาสมการไมมคาตอบทเปนจานวนจรง

1)

y

x50

5

-5

-5 2)

y

x50

5

-5

-5

3)

y

x50

5

-5

-5 4)

y

x50

5

-5

-5

11. แมคานาเมลดมะมวงหมพานต 1 กโลกรม ถวลสง 3 กโลกรม และเมลดฟกทอง 4 กโลกรม มาผสมกน แลว

แบงใสถง ถงละ 100 กรม ถาแมคาซอเมลดมะมวงหมพานต ถวลสง และเมลดฟกทองมาในราคากโลกรมละ 250 บาท 50 บาท และ 100 บาท ตามลาดบ แลวแมคาจะตองขายเมลดพชผสมถงละ 100 กรมน ในราคาเทากบขอใดตอไปนจงจะไดกาไร 20% เมอขายหมด

1) 10 บาท 2) 12 บาท 3) 14 บาท 4) 16 บาท 12. เซตคาตอบของอสมการ -1 ≤ 2 +

21x

- ≤ 1 คอเซตในขอใดตอไปน

1) [ 2 - 1, 1] 2) [ 2 - 1, 2] 3) [3 - 2 2 , 1] 4) [3 - 2 2 , 2] 13. พจารณาสมการ |x - 7| = 6 ขอสรปใดตอไปนเปนเทจ 1) คาตอบหนงของสมการมคาระหวาง 10 และ 15 2) ผลบวกของคาตอบทงหมดของสมการมคาเทากบ 14 3) สมการนมคาตอบมากกวา 2 คาตอบ 4) ในบรรดาคาตอบทงหมดของสมการ คาตอบทมคานอยทสดมคานอยกวา 3

14. จานวนสมาชกของเซต

+=

22a1 |a| |a|

1 a x x

-- เมอ a เปนจานวนจรงซงไมเทากบ 0 เทากบ

ขอใดตอไปน 1) 1 2) 2 3) 3 4) มากกวาหรอเทากบ 4


15. ผลบวกของคาตอบทกคาตอบของสมการ x3 - 2x = |x| เทากบขอใดตอไปน 1) 0 2) 3 3) 3 - 1 4) 3 + 1 16. ผลเฉลยของสมการ 2|5 - x| = 1 อยในชวงใด 1) (-10, -5) 2) (-6, -4) 3) (-4, 5) 4) (-3, 6) 17. พจารณาขอความตอไปน ก. ถา a และ b เปนจานวนจรง ซง |a| < |b| แลว a3 < b3 ข. ถา a, b และ c เปนจานวนจรง ซง ac = bc แลว a = b ขอใดตอไปนถกตอง 1) ก. ถก และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. ผด และ ข. ผด 18. กาหนดให a, b และ c เปนจานวนจรง ซง |a|b3c > 0 พจารณาขอความตอไปน ก. ac > 0 ข. bc > 0 ขอใดตอไปนถกตอง 1) ก. ถก และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. ผด และ ข. ผด 19. ถา a, b, c และ d เปนจานวนจรง ซง (x - 1)2(ax + b) = cx3 + dx + 4 ทกจานวนจรง x แลว a + b + c +d เทากบเทาใด 20. ถา (p - 2)2 = 25 และ (q + 1)2 = 81 แลวคามากทสดทเปนไปไดของ p - 2q เทากบเทาใด 21. ถาชวงเปด (a, b) เปนเซตคาตอบของอสมการ |x - 1| + |6 - 3x| < 17 และ x > 2 แลว a + b

เทากบเทาใด


ความสมพนธและฟงกชน คอนดบ (a, b) โดยท a คอ สมาชกตวหนา และ b คอ สมาชกตวหลง บทนยาม (a, b) = (c, d) กตอเมอ a = c และ b = d ผลคณคารทเชยน กาหนดให A และ B เปนเซตใดๆ ผลคณคารทเชยนของ A และ B คอ A × B = {(a, b) | a ∈ A และ b ∈ B} เชน ให A = {1, 2} และ B = {a, b, c} จะได A × B = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)} B × A = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)} สมบตของผลคณคารทเชยน ให A, B และ C เปนเซตใดๆ 1. A × φ = φ × A = φ 2. A × B ≠ B × A 3. n(A × B) = n(A) × n(B) 4. A × (BU C) = (A × B)U (A × C) (BU C) × A = (B × A)U (C × A) 5. A × (BI C) = (A × B)I (A × C) (BI C) × A = (B × A)I (C × A) ความสมพนธ คอ เซตของคอนดบทเกยวของกนตามเงอนไขทกาหนดและเปนสบเซตของผลคณคารทเชยน กาหนดให A และ B เปนเซตใดๆ r เปนความสมพนธจาก A ไป B เขยนแทนดวย r ⊂ A × B r เปนความสมพนธใน A เขยนแทนดวย r ⊂ A × A *จานวนความสมพนธทงหมดจาก A ไป B เทากบ 2n(A)×n(B) โดเมนของ r เขยนแทนดวย Dr คอ เซตของสมาชกตวหนาของคอนดบทงหมดใน r สญลกษณ คอ

Dr = {x | (x, y) ∈ r} เรนจของ r เขยนแทนดวย Rr คอ เซตของสมาชกตวหลงของคอนดบทงหมดใน r สญลกษณ คอ

Rr = {y | (x, y) ∈ r} เชน จาก r = {(-2, 4), (-1, 1), (1, 1)} จะได Dr = {-2, -1, 1} และ Rr = {1, 4}


การหาโดเมนและเรนจของความสมพนธของ r ⊂ R × R 1. โดเมน หาโดยจดรปสมการเปน y ในรปของ x และพจารณาวา x สามารถเปนจานวนจรงใดไดบาง

ทสามารถหาคา y ทเปนจานวนจรงได 2. เรนจ หาโดยจดรปสมการเปน x ในรปของ y และพจารณาวา y สามารถเปนจานวนจรงใดไดบาง ฟงกชน คอ ความสมพนธทคอนดบทกๆ ตวในความสมพนธ ถาสมาชกตวหนาของคอนดบสองคเทากน

แลวสมาชกตวหลงของทงสองคอนดบตองเทากนดวย นนคอ r เปนฟงกชนกตอเมอ ถา (x, y) ∈ r และ (x, z) ∈ r แลว y = z r ไมเปนฟงกชนกตอเมอ ม (x, y) ∈ r และ (x, z) ∈ r ซง y ≠ z การตรวจสอบฟงกชน 1. กรณ r เขยนแบบแจกแจงสมาชก ถามสมาชกตวหนาของคอนดบ ซงเปนสมาชกใน r จบคกบสมาชกตวหลงของคอนดบมากกวา 1 ตว

ขนไป r ไมเปนฟงกชน เชน r1 = {(a, 1), (b, 2), (b, 3), (c, 4)} จะได r1 ไมเปนฟงกชน เพราะ b จบคกบ 2 และ 3 r2 = {(p, 2), (q, 4), (r, 6)} จะได r2 เปนฟงกชน เพราะสมาชกตวหนาของคอนดบทกตวจบคกบสมาชกตวหลงเพยงตวเดยว 2. กรณ r วาดเปนรปกราฟ ใหลากเสนตรงตงฉากกบแกน x ถามกรณทเสนตรงทลากตงฉากกบแกน x ตดกบกราฟของ r เกน

1 จดขนไป r ไมเปนฟงกชน เชน เนองจากมกรณทเสนตรงทตงฉากกบแกน x ตดกบกราฟ r1

เกน 1 จด ดงนน r1 ไมเปนฟงกชน เนองจากไมมกรณทเสนตรงทตงฉากกบแกน x ตดกบกราฟ

r2 เกน 1 จด ดงนน r2 เปนฟงกชน

y r1

x

y

r2

x


ฟงกชนประเภทตางๆ ฟงกชนเชงเสน (Linear Function) คอ ฟงกชนทอยในรป f(x) = ax + b เมอ a, b ∈ R ฟงกชนคงท (Constant Function) คอ ฟงกชนเชงเสนทม a = 0 กราฟของฟงกชนจะเปนเสนตรง

ขนานกบแกน X ฟงกชนกาลงสอง (Quadratic Function) คอ ฟงกชนทอยในรป f(x) = ax2 + bx + c เมอ a, b, c ∈ R

และ a ≠ 0 ถา a > 0 กราฟหงาย มจดวกกลบเปนจดตาสดของฟงกชน ถา a < 0 กราฟควา มจดวกกลบเปนจดสงสดของฟงกชน ถารปทวไปของสมการ คอ f(x) = ax2 + bx + c เมอ a, b, c ∈ R

จดวกกลบอยท

4a b 4ac ,2a

b 2--

ถารปทวไปของสมการ คอ f(x) = a(x - h)2 + k เมอ a, k ∈ R และ a ≠ 0 จดวกกลบอยท (h, k) การแกสมการโดยใชกราฟ 1. ในกรณทกราฟไมตดแกน x จะไมมคาตอบของสมการทเปนจานวนจรง 2. กราฟของ y = a(x + c)2 เมอ c > 0 จะตดแกน x ทจด (-c, 0) สมการมคาตอบเดยว คอ x = -c กราฟของ y = a(x - c)2 เมอ c > 0 จะตดแกน x ทจด (c, 0) สมการมคาตอบเดยว คอ x = c

3. นอกเหนอจากนกราฟตดแกน x สองจด โดยพจารณาจากการแกสมการ หรอสตร x = 2a 4ac b b 2 -- ±

ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล (Exponential Function) คอ ฟงกชนทอยในรป y = ax เมอ a > 0 และ a ≠ 1 ฟงกชนคาสมบรณ (Absolute Value Function) คอ ฟงกชนทอยในรป y = |x - a| + c เมอ a, c ∈ R ฟงกชนขนบนได (Step Function) คอ ฟงกชนทมโดเมนเปนสบเซตของ R และมคาฟงกชนคงตวเปน

ชวงๆ มากกวาสองชวง กราฟของฟงกชนจะมรปคลายบนได


ตวอยางขอสอบ 1. กาหนดให A = {1, 2} และ B = {a, b} คอนดบในขอใดตอไปนเปนสมาชกของผลคณคารทเชยน A × B 1) (2, b) 2) (b, a) 3) (a, 1) 4) (1, 2) 2. กาหนดให A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} B = {1, 2, 3, ... , 11, 12}

S =

+=×∈ 2a 2a b B A b)(a,

จานวนสมาชกของเซต S เทากบขอใดตอไปน 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 3. ถา A = {1, 2, 3, 4} และ r = {(m, n) ∈ A × A | m ≤ n} แลวจานวนสมาชกในความสมพนธ r

เทากบขอใดตอไปน 1) 8 2) 10 3) 12 4) 16 4. ขอใดตอไปนเปนความสมพนธทมกราฟเปนบรเวณทแรเงา 1) {(x, y) ||y| ≥ x} 2) {(x, y) ||y| ≤ x} 3) {(x, y) | y ≤ |x|} 4) {(x, y) | y ≤ |x|} 5. ความสมพนธในขอใดตอไปนเปนฟงกชน 1) {(1, 2), (2, 3), (3, 2), (2, 4)} 2) {(1, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 3)} 3) {(1, 3), (1, 2), (1, 1), (1, 4)} 4) {(1, 3), (2, 1), (3, 3), (4, 1)} 6. ให A = {1, 99} ความสมพนธใน A ในขอใดไมเปนฟงกชน 1) เทากบ 2) ไมเทากบ 3) หารลงตว 4) หารไมลงตว

x

y

1

y = -x

y = x

0


7. จากความสมพนธ r ทแสดงดวยกราฟดงรป

1 2

y

x30

123

-3 -2 -1

-3-2-1

ขอใดตอไปนถกตอง 1) r เปนฟงกชนเพราะ (1, 1), (2, 2) และ (3, 3) อยในแนวเสนตรงเดยวกน 2) r เปนฟงกชนเพราะมจานวนจดเปนจานวนจากด 3) r ไมเปนฟงกชนเพราะมจด (3, 3) และ (3, -1) อยบนกราฟ 4) r ไมเปนฟงกชนเพราะมจด (1, 1) และ (-1, 1) อยบนกราฟ 8. กาหนดใหกราฟของฟงกชน f เปนดงน

y

x0

5

-5-10

คาของ 11f(-11) - 3f(-3)f(3) คอขอใด 1) 57 2) 68 3) 75 4) 86 9. ถา f(x) = x 3 - และ g(x) = -2 + |x - 4| แลว DfU Rg คอขอใด 1) (-∞, 3] 2) [-2, ∞) 3) [-2, 3] 4) (-∞, ∞)


10. จานวนในขอใดตอไปนเปนสมาชกของโดเมนของฟงกชน f =

+++

=1 x1 2x

2 3x xx y y)(x, 22

--

1) -2 2) -1 3) 0 4) 1 11. ความสมพนธในขอใดเปนฟงกชน 1) {(0, 1), (0, 2), (2, 1), (1, 3)} 2) {(0, 2), (1, 1), (2, 2), (3, 0)} 3) {(1, 1), (2, 0), (2, 3), (3, 1)} 4) {(1, 2), (0, 3), (1, 3), (2, 2)} 12. ถา f(x) = 3 - 2 x4 - แลวขอใดตอไปนถกตอง 1) Df = [-2, 2] และ Rf = [0, 3] 2) Df = [-2, 2] และ Rf = [1, 3] 3) Df = [0, 2] และ Rf = [0, 3] 4) Df = [0, 2] และ Rf = [1, 3] 13. ถา f(x - 2) = 2x - 1 แลว f(x2) มคาเทากบขอใดตอไปน 1) 2x2 - 1 2) 2x2 + 1 3) 2x2 + 3 4) 2x2 + 9 14. คาของ a ททาใหกราฟของฟงกชน y = a(2x) ผานจด (3, 16) คอขอใดตอไปน 1) 2 2) 3 3) 4 4) 5 15. ทก x ในชวงใดตอไปนทกราฟของสมการ y = -4x2 - 5x + 6 อยเหนอแกน x 1)

31 ,3

2 -- 2)

23 ,2

5 --

3)

76 ,4

1 4)

23 ,2

1


16. กาหนดให a และ b เปนจานวนจรงบวก ถากราฟของฟงกชน y1 = 1 + ax และ y2 = 1 + bx

0x

1

2

yx

2 b 1 y +=x

1 a 1 y +=

ขอใดตอไปนเปนจรง 1) 1 < a < b 2) a < 1 < b 3) b < 1 < a 4) b < a < 1 17. ถาเสนตรง x = 3 เปนเสนสมมาตรของกราฟของฟงกชน f(x) = -x2 + (k + 5)x + (k2 - 10) เมอ k เปน

จานวนจรง แลว f มคาสงสดเทากบขอใดตอไปน 1) -4 2) 0 3) 6 4) 14 18. กาหนดให f(x) = x2 - 2x - 15 ขอใดตอไปนผด 1) f(x) ≥ -17 ทกจานวนจรง x 2) f(-3 - 2 - 3 ) > 0 3) f(1 + 3 + 5 ) = f(1 - 3 - 5 ) 4) f(-1 + 3 + 5 ) > f(-1 - 3 - 5 ) 19. ถา f(x) = -x2 + x + 2 แลวขอใดสรปถกตอง 1) f(x) ≥ 0 เมอ -1 ≤ x ≤ 2 2) จดวกกลบของกราฟของฟงกชน f อยในจตภาคทสอง 3) ฟงกชน f มคาสงสดเทากบ 2 4) ฟงกชน f มคาตาสดเทากบ 2 20. ขบวนพาเหรดรปสเหลยมผนผาขบวนหนง ประกอบดวยผเดนเปนแถว แถวละเทาๆ กน (มากกวา 1 แถว

และแถวละมากกวา 1 คน) โดยมเฉพาะผอยรมดานนอกทงสดานของขบวนเทานนทสวมชดสแดง ซงมทงหมด 50 คน ถา x คอจานวนแถวของขบวนพาเหรด และ N คอจานวนคนทอยในขบวนพาเหรด แลว ขอใดถกตอง

1) 31x - x2 = N 2) 29x - x2 = N 3) 27x - x2 = N 4) 25x - x2 = N


เลขยกกาลง สมบตของเลขยกกาลง ให a และ b เปนจานวนจรงใดๆ โดยท m และ n เปนจานวนเตมบวก และ k เปนจานวนเตม 1. am ⋅ an = am+n

2. nm

aa = am-n

3. (am)n = amn 4. (am ⋅ bn)k = amk ⋅ bnk

5. k

nm

ba

= nk

mk

ba , b ≠ 0

6. a-n = na1 , a ≠ 0

7. a0 = 1, a ≠ 0 เลขยกกาลงทมเลขชกาลงเปนจานวนตรรกยะ บทนยาม เมอ a เปนจานวนจรงบวก และ n เปนจานวนทมากกวา 1 n a = a1/n บทนยาม กาหนด a เปนจานวนจรง m และ n เปนจานวนเตมทมากกวา 1 ท ห.ร.ม ของ m และ n

เทากบ 1 n m a = am/n สมการในรปเลขยกกาลง ให a และ b เปนจานวนจรงบวกทไมเทากบ 1 และ m, n เปนจานวนตรรกยะ จะไดวา 1. am = an กตอเมอ m = n 2. am = bm กตอเมอ m = 0 และ a, b ≠ 0 อสมการในรปเลขยกกาลง ให a เปนจานวนจรงบวกทไมเทากบ 1 และ m, n เปนจานวนตรรกยะ จะไดวา 1. am < an และ a > 1 จะไดวา m < n 2. am < an และ 0 < a < 1 จะไดวา m > n


ตวอยางขอสอบ

1. คาของ 22)(- +

+32

22 81/2 เทากบขอใดตอไปน

1) -1 2) 1 3) 3 4) 5 2. ( 18 + 2 3 125- - 3 4 4 ) มคาเทากบขอใดตอไปน 1) -10 2) 10 3) 2 5 - 5 2 4) 5 2 - 2 5

3. 2

152

65

- มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 103 2) 10

7

3) 5 - 2 4) 6 - 2 4. 3

5

2732- + 3/2

6

(64)2 มคาเทากบขอใดตอไปน

1) - 2413 2) - 6

5

3) 32 4) 24

19 5. ( 2 + 8 + 18 + 32 )2 มคาเทากบขอใดตอไปน 1) 60 2) 60 2 3) 100 2 4) 200 6. ขอใดมคาตางจากขออน 1) (-1)0 2) (-1)0.2 3) (-1)0.4 4) (-1)0.8 7. (|4 3 - 5 2 | - |3 5 - 5 2 | + |4 3 - 3 5 |)2 เทากบขอใด 1) 0 2) 180 3) 192 4) 200


8. กาหนดให a เปนจานวนจรงบวก และ n เปนจานวนคบวก พจารณาขอความตอไปน ก. ( n a )n = |a|

ข. ( n n a ) = |a| ขอใดถกตอง 1) ก. และ ข. 2) ก. เทานน 3) ข. เทานน 4) ก. และ ข. ผด

9. ถา 4

1258

= x/1

62516

แลว x มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 43 2) 3

2

3) 23 4) 3

4 10. ถา 8x - 8(x+1) + 8(x+2) = 228 แลว x มคาเทากบขอใดตอไปน 1) 3

1 2) 32

3) 34 4) 3

5 11. ถา

x383 3

+ = 81

16 แลว x มคาเทากบขอใดตอไปน

1) - 94 2) - 9

2

3) - 91 4) 9

1 12. ถา 4a = 2 และ 16-b = 4

1 แลว a + b มคาเทากบเทาใด 13. คาของ x ทสอดคลองกบสมการ 2

(x2) = 4

(4x)

42 เทากบขอใดตอไปน

1) 2 2) 3 3) 4 4) 5 14. ขอใดตอไปนผด 1) (24)30 < 220 ⋅ 330 ⋅ 440 2) (24)30 < 230 ⋅ 320 ⋅ 440 3) 220 ⋅ 340 ⋅ 430 < (24)30 4) 230 ⋅ 340 ⋅ 420 < (24)30 15. เซตคาตอบของอสมการ 4(2x2-4x-5) ≤ 32

1 คอเซตในขอใดตอไปน

1)

25 ,2

5 - 2)

1 ,2

5 -

3)

1 ,2

1 - 4)

25 ,2

1 -


16. ขอใดตอไปนผด 1) 10 0.9 + < 0.9 + 10 2) ( 0.9 )( 4 9.0 ) < 0.9 3) ( 0.9 )( 3 1.1 ) < ( 1.1 )( 3 9.0 ) 4) 300 125 < 200 100 17. อสมการในขอใดตอไปนเปนจรง 1) 21000 < 3600 < 10300 2) 3600 < 21000 < 10300 3) 3600 < 10300 < 21000 4) 10300 < 21000 < 3600 18. ถา x = 3 2

3 2-+ และ y = 32

3 2+- แลว x2 - 4xy + y2 เทากบเทาใด

19. ถา 4

278

= 1/x

8116

และ y = 3x แลว y เทากบเทาใด


อตราสวนตรโกณมต รปสามเหลยมคลาย บทนยาม รปสามเหลยมสองรปทมขนาดของมมเทากนสามค เรยกวา รปสามเหลยมทคลายกน

A

C

B

D E

F

ถารปสามเหลยมคใดคลายกนแลวอตราสวนของความยาวของดานคทอยตรงขามกบมมคทมขนาด

เทากนจะเทากนทงสามอตราสวน

EFBC = DF

AC = DEAB

ทฤษฎบทพทาโกรส

a

A C

B

b

c c2 = a2 + b2

อตราสวนตรโกณมตของรปสามเหลยมมมฉาก บทนยาม กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยมมมฉาก ไซน (sine) ของมม A = sin A = c

a

โคไซน (cosine) ของมม A = cos A = cb

แทนเจนต (tangent) ของมม A = tan A = b

a

a

A C

B

b

c


และยงมอตราสวนอนๆ อก คอ 1. csc A = Asin

1 , sec A = Acos1 , cot A = Atan

1

2. tan A = AcosAsin , cot A = Asin

Acos

3. sin2 A + cos2 A = 1 4. tan2 A + 1 = sec2 A 5. 1 + cot2 A = csc2 A ความสมพนธระหวางมม A กบมม 90° - A ในรปสามเหลยมมมฉาก sin A = cos (90° - A), csc A = sec (90° - A) cos A = sin (90° - A), sec A = csc (90° - A) tan A = cot (90° - A), cot A = tan (90° - A) อตราสวนตรโกณมตของมม 30°, 45° และ 60°

มม sin cos tan csc sec cot

30° 21

23 3

1 2 32 3

45° 22 2

2 1 22 = 2 2

2 = 2 1

60° 23 2

1 3 32 2 3

1 การเปรยบเทยบมาตรการวดมมระบบองกฤษและระบบเรเดยน 360° = 2π เรเดยน 180° = π เรเดยน 90° = 2

π เรเดยน

60° = 3π เรเดยน 45° = 4

π เรเดยน 30° = 6π เรเดยน

มมกมหรอมมกดลง หมายถง มมทวดจากเสนระดบสายตาไปยงเสนแนวการมองเมอวตถอยตากวาเสนระดบสายตา

มมเงยหรอมมยกขน หมายถง มมทวดจากเสนระดบสายตาไปยงเสนแนวการมองเมอวตถอยสงกวาเสนระดบสายตา

มมเงยมมกม

เสนระดบสายตา


ตวอยางขอสอบ 1. รปสามเหลยมมมฉากรปหนงมพนท 600 ตารางเซนตเมตร ถาดานประกอบมมฉากดานหนงยาวเปน 75%

ของดานประกอบมมฉากอกดานหนงแลว เสนรอบรปสามเหลยมมมฉากรปน ยาวกเซนตเมตร 1) 120 2) 40 3) 60 2 4) 20 2 2. รปสเหลยมผนผาสองรปมขนาดเทากน โดยมเสน

ทแยงมมยาวเปนสองเทาของดานกวาง ถานารปสเหลยมผนผาทงสองมาวางตอกนดงรป จด A และ จด B อยหางกนเปนระยะกเทาของดานกวาง

1) 1.5 2) 3 3) 2 4) 2 2 3. จากรป ขอใดตอไปนถกตอง 1) sin 21° = cos 69° 2) sin 21° = cos 21° 3) cos 21° = tan 21° 4) tan 21° = cos 69° 4. ขอใดตอไปนถกตอง 1) sin 30° < sin 45° 2) cos 30° < cos 45° 3) tan 45° < cot 45° 4) tan 60° < cot 60° 5. กาหนดใหตาราง A ตาราง B และตาราง C เปนตารางหาอตราสวนตรโกณมตของมมขนาดตางๆ ดงน

ตาราง A ตาราง B ตาราง C θ sin θ θ cos θ θ tan θ

40° 0.643 40° 0.766 40° 0.839 41° 0.656 41° 0.755 41° 0.869 42° 0.669 42° 0.743 42° 0.900

ถารปสามเหลยม ABC มมม B เปนมมฉาก มม C มขนาด 41° และสวนสง BX ยาว 1 หนวย แลวความยาว

ของสวนของเสนตรง AX เปนดงขอใดตอไปน 1) ปรากฏอยในตาราง A 2) ปรากฏอยในตาราง B 3) ปรากฏอยในตาราง C 4) ไมปรากฏอยในตาราง A, B และ C

A 21° B

C

A C

B

X

A

C

B


6. ถารปสามเหลยมดานเทารปหนงมความสง 1 หนวย แลวดานของรปสามเหลยมรปนยาวเทากบขอใดตอไปน

1) 23 หนวย 2) 3

32 หนวย 3) 34 หนวย 4) 2

3 หนวย 7. กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยมทมมม C เปนมมฉาก และ cos B = 3

2 ถาดาน BC ยาว 1 หนวย แลวพนทของรปสามเหลยม ABC เทากบขอใดตอไปน

1) 55 ตารางหนวย 2) 4

5 ตารางหนวย

3) 35 ตารางหนวย 4) 2

5 ตารางหนวย 8. กาหนดให ABCD เปนรปสเหลยมผนผาซงมพนทเทากบ 12 หนวย และ tan DBAˆ = 3

1

ถา AE ตงฉากกบ BD ทจด E แลว AE ยาวเทากบขอใดตอไปน

1) 310 หนวย 2) 5

102 หนวย

3) 210 หนวย 4) 5

103 หนวย 9. พจารณารปสามเหลยมตอไปน โดยท EFCˆ , BACˆ ,

BEAˆ และ BDEˆ ตางเปนมมฉาก ขอใดตอไปนผด 1) sin ( 1 ) = sin ( 5 ) 2) cos ( 3 ) = cos ( 5 ) 3) sin ( 2 ) = cos ( 4 ) 4) cos ( 2 ) = sin ( 3 ) 10. พจารณาตารางหาอตราสวนตรโกณมตของมมขนาดตางๆ ทกาหนดใหตอไปน

θ sin θ cos θ 72° 0.951 0.309 73° 0.956 0.292 74° 0.961 0.276 75° 0.966 0.259

มมภายในทมขนาดเลกทสดของรปสามเหลยมทมดานทงสามยาว 7, 24 และ 25 หนวย มขนาดใกลเคยงกบ

ขอใดมากทสด 1) 15° 2) 16° 3) 17° 4) 18°

C

F

A D B

E12 3 4

5


11. มมมมหนงของรปสามเหลยมมมฉากมขนาดเทากบ 60 องศา ถาเสนรอบรปของรปสามเหลยมนยาว

3 - 3 ฟต แลวดานทยาวเปนอนดบสองมความยาวเทากบขอใด 1) 2 - 3 ฟต 2) 2 + 3 ฟต 3) 2 3 - 3 ฟต 4) 2 3 + 3 ฟต 12. กลองวงจรปดซงถกตดตงอยสงจากพนถนน 2 เมตร สามารถจบภาพไดตาทสดทมมกม 45° และสงทสดท

มมกม 30° ระยะทางบนพนถนนในแนวกลองทกลองนสามารถจบภาพไดคอเทาใด (กาหนดให 3 ≈ 1.73) 1) 1.00 เมตร 2) 1.46 เมตร 3) 2.00 เมตร 4) 3.46 เมตร 13. กาหนดใหสามเหลยม ABC ม B = A + C ให D เปนจดกงกลางดาน AC ถา A = 20° แลว BDAˆ ม

ขนาดเทากบกองศา 1) 80° 2) 100° 3) 120° 4) 140° 14. กาหนดใหสามเหลยมมมฉาก ABC ม C = 90° ให D เปนจดบนดาน AB ซงทาให CD ตงฉากกบ AB

ถา AB ยาว 20 หนวย และ CD ยาว 8 หนวย แลว AD มความยาวมากทสดกหนวย 1) 10 2) 12 3) 14 4) 16 15. นาย ก และ นาย ข ยนอยบนพนราบซงหางจากกาแพงเปนระยะ 10 เมตร และ 40 เมตร ตามลาดบ

ถานาย ก มองหลอดไฟบนกาแพงดวยมมเงย α องศา ในขณะทนาย ข มองหลอดไฟดวงเดยวกนดวย มมเงย 90 - α องศา ถาไมคดความสงของนาย ก และนาย ข แลวหลอดไฟอยสงจากพนราบกเมตร

1) 10 2) 10 2 3) 10 3 4) 20 16. ถา 2 cos2 θ + cos θ = 1 โดยท 0 ≤ θ ≤ 90° แลว θ เปนมมกองศา 17. cosec 30°

oooo

59 cos 35 cos35 sin 31 sin tan 55° มคาเทากบเทาใด

18. กาหนดใหสามเหลยม ABC ม AD เปนเสนความสง โดยท D อยบนดาน BC ถาดาน AB ยาว 5 หนวย,

ดาน AD ยาว 3 หนวย และ DABˆ = DCAˆ แลวดาน BC ยาวกหนวย


ลาดบและอนกรม ลาดบ (Sequences) บทนยาม ลาดบ คอ ฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจานวนเตมบวก n ตวแรก หรอโดเมนเปนเซต

ของจานวนเตมบวก ลาดบทมโดเมนเปนเซตของจานวนเตมบวก n ตวแรกเรยกวา ลาดบจากด (Finite Sequences) ลาดบทมโดเมนเปนเซตของจานวนเตมบวก เรยกวา ลาดบอนนต (Infinite Sequences) ลาดบเลขคณต (Arithmetic Sequences) บทนยาม ลาดบเลขคณต คอ ลาดบทผลตางซงไดจากพจนท n + 1 ลบดวยพจนท n มคาคงตว

คาคงตวนเรยกวา ผลตางรวม (Common difference) 1. เมอกาหนดใหพจนแรกของลาดบเลขคณต คอ a1 และผลตางรวม คอ d โดยท d = an+1 - an

พจนท n ของลาดบนคอ an = a1 + (n - 1)d 2. ลาดบเลขคณต n พจนแรก คอ a, a + d, a + 2d, ..., a + (n - 1)d ลาดบเรขาคณต (Geometric Sequences) บทนยาม ลาดบเรขาคณต คอ ลาดบทอตราสวนของพจนท n + 1 ตอพจนท n เปนคาคงตว

คาคงตวนเรยกวา อตราสวนรวม (Common ration) 1. เมอกาหนดพจนแรกของลาดบเรขาคณตเปน a1 และอตราสวนรวม คอ r โดยท r =

n1n

aa +

พจนท n ของลาดบเรขาคณตน คอ an = a1 ⋅ rn-1 2. ลาดบเรขาคณต n พจนแรก คอ a, ar, ar2, ..., arn-1 อนกรมเลขคณต (Arinmetic Series) เมอ a1, a2, a3, ..., an เปนลาดบเลขคณต จะไดวา a1 + a2 + a3 + ... + an เปนอนกรมเลขคณต ให Sn แทนผลบวก n พจนแรกของอนกรม คอ S1 = a1 S2 = a1 + a2 S3 = a1 + a2 + a3 M M Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an


ผลบวก n พจนแรกของอนกรมเลขคณต Sn = 2

n [2a1 + (n - 1)d] หรอ Sn = 2

n [a1 + an] อนกรมเรขาคณต (Geometrics Series) เมอ a1, a2, a3, ..., an เปนลาดบเรขาคณต จะไดวา a1 + a2 + a3 + ... + an เปนอนกรมเรขาคณต ผลบวก n พจนแรกของอนกรมเรขาคณต

Sn = r 1)r (1a n

1-- เมอ r ≠ 1

ตวอยางขอสอบ 1. ใน 40 พจนแรกของลาดบ an = 3 + (-1)n มกพจน ทมคาเทากบพจนท 40 1) 10 2) 20 3) 30 4) 40 2. ลาดบเลขคณตในขอใดตอไปนมบางพจนเทากบ 40 1) an = 1 - 2n 2) an = 1 + 2n 3) an = 2 - 2n 4) an = 2 + 2n 3. พจนท 31 ของลาดบเลขคณต - 20

1 , - 301 , - 60

1 , ... เทากบขอใดตอไปน

1) 125 2) 30

13 3) 209 4) 15

7 4. ถา a1, a2, a3, ... เปนลาดบเลขคณต ซง a30 - a10 = 30 แลว ผลตางรวมของลาดบเลขคณตน มคาเทากบ

ขอใดตอไปน 1) 1.25 2) 1.5 3) 1.75 4) 2.0 5. กาหนดให 2

3 , 1, 21 เปนลาดบเลขคณต ผลบวกของพจนท 40 และพจนท 42 เทากบขอใด

1) -18 2) -19 3) -37 4) -38 6. ในสวนปาแหงหนง เจาของปลกตนยคาลปตสเปนแถวดงน แถวแรก 12 ตน แถวทสอง 14 ตน แถวทสาม

16 ตน โดยปลกเพมเชนน ตามลาดบเลขคณต ถาเจาของปลกตนยคาลปตสไวทงหมด 15 แถว จะมตนยคา-ลปตสในสวนปานทงหมดกตน

7. กาหนดให a1, a2, a3 เปนลาดบเรขาคณต โดยท a1 = 2 และ a3 = 200 ถา a2 คอคาในขอใดขอหนงตอไปนแลวขอดงกลาวคอขอใด

1) -20 2) -50 3) 60 4) 100


8. กาหนดให a1, a2, a3, ... เปนลาดบเรขาคณต พจารณาลาดบสามลาดบตอไปน ก. a1 + a3 , a2 + a4 , a3 + a5 , ... ข. a1a2 , a2a3 , a3a4 , ... ค.

1a1 ,

2a1 ,

3a1 , ...

ขอใดตอไปนถก 1) ทงสามลาดบเปนลาดบเรขาคณต 2) มหนงลาดบไมเปนลาดบเรขาคณต 3) มสองลาดบไมเปนลาดบเรขาคณต 4) ทงสามลาดบไมเปนลาดบเรขาคณต 9. พจนท 16 ของลาดบเรขาคณต 625

1 , 5125

1 , 1251 , ... เทากบขอใดตอไปน

1) 25 5 2) 125 3) 125 5 4) 625 10. ลาดบในขอใดตอไปน เปนลาดบเรขาคณต 1) an = 2n ⋅ 32n 2) an = 2n + 4n 3) an = 3n2 4) an = (2n)n 11. คาของ 1 + 6 + 11 + 16 + ... + 101 เทากบขอใดตอไปน 1) 970 2) 1020 3) 1050 4) 1071 12. ถา a1, a2, a3, ... เปนลาดบเลขคณต ซง a2 + a3 + ... + a9 = 100 แลว S10 = a1 + a2 + ... + a10 มคาเทากบขอใดตอไปน 1) 120 2) 125 3) 130 4) 135 13. กาหนดให S = {101, 102, 103, ... , 999} ถา a เทากบผลบวกของจานวนคทงหมดใน S และ b เทากบ

ผลบวกของจานวนคทงหมดใน S แลว b - a มคาเทากบขอใดตอไปน 1) -550 2) -500 3) -450 4) 450 14. ขอใดตอไปนเปนอนกรมเรขาคณตทม 100 พจน 1) 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) + ... + 199 2) 1 + 3

1 + 51 + ... + 1) (2n

1- + ... + 199

1

3) 1 + 2 + 4 + ... + (2n-1) + ... + 2199

4) 51 + 125

1 + 31251 + ... + 12n5

1- + ... + 1995

1 15. ผลบวกของอนกรมเรขาคณต 1 - 2 + 4 - 8 + ... + 256 เทากบขอใดตอไปน 1) -171 2) -85 3) 85 4) 171 16. กาหนดให Sn เปนผลบวก n พจนแรกของอนกรมเรขาคณต ซงมอตราสวนรวมเทากบ 2 ถา S10 - S8 = 32 แลวพจนท 9 ของอนกรมนเทากบขอใดตอไปน 1) 3

16 2) 320 3) 3

26 4) 332


17. กาหนดให a1, a2, a3, ... เปนลาดบเรขาคณต ถา a2 = 8 และ a5 = -64 แลวผลบวกของ 10 พจนแรกของลาดบนเทากบขอใด

1) 2048 2) 1512 3) 1364 4) 1024 18. ลาดบเรขาคณตลาดบหนงมผลบวกและผลคณของ 3 พจนแรกเปน 13 และ 27 ตามลาดบ ถา r เปน

อตราสวนรวมของลาดบนแลว r + r1 มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 310 2) 3

7 3) 34 4) 3

1 19. กาหนดให Sn เปนผลบวก n พจนแรกของลาดบเลขคณต a1, a2, a3, ... ถา S5 = 90 และ S10 = 5

แลว a11 มคาเทากบขอใดตอไปน 1) -39 2) -38 3) -37 4) -36 20. ลาดบเลขคณต -43, -34, -25, ... มพจนทมคานอยกวา 300 อยกพจน 21. ผลบวกของอนกรมเรขาคณต 1 + (-2) + 4 + (-8) + ... + 256 เทากบเทาใด


ความนาจะเปน กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ 1. กฎการบวก ถาการทางานอยางหนงแบงออกเปน k กรณ โดยทกรณท 1 มจานวน n1 วธ กรณท 2 มจานวน n2 วธ กรณท 3 มจานวน n3 วธ M M กรณท k มจานวน nk วธ ดงนน จานวนวธในการทางานทงหมดจะเทากบ n1 + n2 + n3 + ... + nk วธ 2. กฎการคณ ถาการทางานอยางหนงแบงออกเปน k ขนตอน โดยทขนตอนท 1 มจานวน n1 วธ ขนตอนท 2 มจานวน n2 วธ ขนตอนท 3 มจานวน n3 วธ M M ขนตอนท k มจานวน nk วธ ดงนน จานวนวธในการทางานทงหมดจะเทากบ n1 × n2 × n3 × ... × nk วธ แฟกทอเรยล นยาม กาหนดให n เปนจานวนเตมทมคามากกวาหรอเทากบ 0 ขนไป n! = n × (n - 1) × (n - 2) × (n - 3) × ... × 3 × 2 × 1 เชน 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 8! = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 * 0! = 1 การทดลองสม คอ การทดลองใดๆ ซงทราบวาผลลพธอาจจะเปนอะไรไดบาง แตไมสามารถทานายผล

ลวงหนาได ความนาจะเปน คอ อตราสวนระหวางจานวนสมาชกของเหตการณทสนใจกบจานวนสมาชกของแซม-

เปลสเปซ เขยนแทนดวย P(E)

ความนาจะเปนของเหตการณ E คอ P(E) = n(S)n(E)

โดยท n(E) คอ จานวนของเหตการณทสนใจ n(S) คอ จานวนเหตการณทเปนไปไดทงหมด


สมบตของความนาจะเปน 1. 0 ≤ P(E) ≤ 1 2. P(φ) = 0, P(S) = 1 3. P(E1U E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1I E2) 4. P(E1U E2U E3) = P(E1) + P(E2) + P(E3) - P(E1I E2) - P(E1I E3) - P(E2I E3) + P(E1I E2I E3) 5. P(E) = 1 - P(E′) เมอ P(E′) แทนความนาจะเปนของเหตการณทไมตองการ

ตวอยางขอสอบ 1. ในการคดเลอกคณะกรรมการหมบานซงประกอบดวยประธานฝายชาย 1 คน ประธานฝายหญง 1 คน

กรรมการฝายชาย 1 คน และกรรมการฝายหญง 1 คน จากผสมครชาย 4 คน และหญง 8 คน มวธการเลอกคณะกรรมการไดกวธ

1) 168 วธ 2) 324 วธ 3) 672 วธ 4) 1344 วธ 2. มาลตองการเดนทางจากเมอง A ไปยงเมอง C โดยตองเดนทางผานไปยงเมอง B กอน จากเมอง A ไปเมอง B

มาลสามารถเลอกเดนทางโดยรถยนต รถไฟ หรอเครองบนได แตจากเมอง B ไปเมอง C สามารถเดนทางไปทางเรอ รถยนต รถไฟ หรอเครองบน ขอใดตอไปนคอจานวนวธใน การเดนทางจากเมอง A ไปยงเมอง C ทจะตองเดนทางโดยรถไฟเปนจานวน 1 ครง

1) 5 2) 6 3) 8 4) 9 3. ครอบครวหนงมพนอง 6 คน เปนชาย 2 คน หญง 4 คน จานวนวธทจะจดใหคนทง 6 คนยนเรยงกน

เพอถายรป โดยใหชาย 2 คนยนอยรมสองขางเสมอเทากบขอใดตอไปน 1) 12 วธ 2) 24 วธ 3) 36 วธ 4) 48 วธ 4. ตนรภยมระบบลอกทเปนรหสประกอบดวยเลขโดด 0 ถง 9 จานวน 3 หลก จานวนรหสทงหมดทมบางหลก

ซากน คอเทาใด 5. จานวนวธในการจดใหหญง 3 คน และชาย 3 คน นงเรยงกนเปนแถว โดยใหสามภรรยาคหนงนงตดกนเสมอ

มทงหมดกวธ 6. พจารณาขอความตอไปน ก. การทดลองสมเปนการทดลองททราบวาผลลพธอาจเปนอะไรไดบาง ข. แตละผลลพธของการทดลองสมมโอกาสเกดขนเทาๆ กน ขอสรปใดตอไปนถกตอง 1) ก. และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด


7. โรงเรยนแหงหนงมรถโรงเรยน 3 คน นกเรยน 9 คน กาลงเดนไปขนรถโรงเรยนโดยสมความนาจะเปนท ไมมนกเรยนคนใดขนรถคนแรกเทากบขอใดตอไปน

1) 9

31

2)

932

3)

391

4)

392

8. โรงแรมแหงหนงมหองวางชนทหนง 15 หอง ชนทสอง 10 หอง ชนทสาม 25 หอง ถาครสมใจตองการเขา

พกในโรงแรมแหงนโดยวธสมแลว ความนาจะเปนทครสมใจจะไดเขาพกหองชนทสองของโรงแรมเทากบ ขอใดตอไปน

1) 101 2) 5

1 3) 103 4) 2

1 9. ในการหยบบตรสามใบ โดยหยบทละใบจากบตรสใบ ซงมหมายเลข 0, 1, 2 และ 3 กากบ ความนาจะเปนท

จะไดผลรวมของตวเลขบนบตรสองใบแรกนอยกวาตวเลขบนบตรใบทสามเทากบขอใด 1) 4

1 2) 43 3) 2

1 4) 32

10. กลอง 12 ใบ มหมายเลขกากบเปนเลข 1, 2, ... , 12 และกลองแตละใบบรรจลกบอล 4 ลก เปนลกบอลสดา

สแดง สขาว และสเขยว ถาสมหยบลกบอลจากกลองแตละใบ ใบละ 1 ลก แลวความนาจะเปนทจะหยบไดลกบอลสแดงจากกลองหมายเลขค และไดลกบอลสดาจากกลองหมายเลขคเทากบขอใดตอไปน

1) 2

121

2)

1241

3)

1221

4)

4121

11. กาหนดให A = {1, 2, 3} B = {5, 6, ... , 14} และ r = {(m, n) | m ∈ A และ n ∈ B} ถาสมหยบคอนดบ 1 ค จากความสมพนธ r แลวความนาจะเปนทจะไดคอนดบ (m, n) ซง 5 หาร n แลว

เหลอเศษ 3 เทากบขอใดตอไปน 1) 15

1 2) 101 3) 5

1 4) 53

12. ชางไฟคนหนงสมหยบบนได 1 อนจากบนได 9 อน ซงมความยาว 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 และ 12 ฟต

แลวนามาพาดกบกาแพง โดยใหปลายขางหนงหางจากกาแพง 3 ฟต ความนาจะเปนทบนไดจะทามมกบ พนราบนอยกวา 60° มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 91 2) 9

2 3) 93 4) 9

4 13. ถาสมตวเลขหนงตวจากขอมลชดใดๆ ซงประกอบดวยตวเลข 101 ตว แลวขอใดตอไปนถก 1) ความนาจะเปนทตวเลขทสมไดมคานอยกวาคามธยฐาน < 2

1

2) ความนาจะเปนทตวเลขทสมไดมคานอยกวาคาเฉลยเลขคณต < 21

3) ความนาจะเปนทตวเลขทสมไดมคานอยกวาคามธยฐาน > 21

4) ความนาจะเปนทตวเลขทสมไดมคานอยกวาคาเฉลยเลขคณต > 21


14. ทาสเหรยญสามอนดงน เหรยญแรกดานหนงทาสขาว อกดานหนงทาสแดง เหรยญทสองดานหนงทาสแดง

อกดานหนงทาสฟา เหรยญทสามดานหนงทาสฟา อกดานหนงทาสขาว โยนเหรยญทงสามขนพรอมกน ความนาจะเปนทเหรยญจะขนหนาตางสกนทงหมดเปนดงขอใด

1) 21 2) 4

1 3) 81 4) 16

1 15. กลองใบหนงบรรจสลากหมายเลข 1-10 หมายเลขละ 1 ใบ ถาสมหยบสลากจานวนสองใบ โดยหยบทละใบ

แบบไมใสคน ความนาจะเปนทจะหยบไดสลากหมายเลขตากวา 5 เพยงหนงใบเทานน เทากบขอใด 1) 9

2 2) 158 3) 35

2 4) 15611

16. ในการวดสวนสงนกเรยนแตละคนในชน พบวานกเรยนทสงทสดสง 177 เซนตเมตร และนกเรยนทเตยทสด

สง 145 เซนตเมตร พจารณาเซตของสวนสงตอไปน S = {H|H เปนสวนสงในหนวยเซนตเมตรของนกเรยนในชน} T = {H = |145 ≤ H ≤ 177} เซตใดถอเปนปรภมตวอยาง (แซมเปลสเปซ) สาหรบการทดลองสมน 1) S และ T 2) S เทานน 3) T เทานน 4) ทง S และ T ไมเปนปรภมตวอยาง 17. ในการคดเลอกคณะกรรมการชดหนง ซงประกอบดวย ประธาน รองประธาน และเลขานการ อยางละ 1

คน จากหญง 6 คน และชาย 4 คน ความนาจะเปนทคณะกรรมการชดน จะมประธานและรองประธานเปนหญงเทากบขอใด

1) 181 2) 12

1 3) 91 4) 3

1

18. กลองใบหนงมลกบอล 10 ลก เปนสแดง 1 ลก สนาเงน 2 ลก และสขาว 2 ลก นอกนนเปนสอนๆ ความนาจะเปนทจะหยบลกบอล 3 ลก จากกลองใบนใหไดสแดง 1 ลก สนาเงน 1 ลก และไมไดสขาวเทากบขอใดตอไปน

1) 121 2) 10

1 3) 607 4) 15

2 19. สลากชดหนงม 10 ใบ มหมายเลข 1-10 กากบ ความนาจะเปนทจะหยบสลากพรอมกน 3 ใบใหมแตมรวม

เปน 10 และไมมสลากใบใดมหมายเลขสงกวา 5 มคาเทากบขอใดตอไปน 1) 60

1 2) 401 3) 30

1 4) 201

20. ถานาตวอกษรทงหมดจากคาวา AVATAR มาจดเรยงเปนคาตางๆ โดยไมจาเปนตองมความหมาย จะ

จดเปนคาทแตกตางกนกวธ 21. ตองการจดทนงใหผใหญ 3 คน กบเดก 4 คน เดนทางดวยรถยนต 7 ทนงโดยคนขบตองเปนผใหญ จะม

จานวนวธการจดไดกวธ


22. เสอ 50 ตว บรรจในกลองใบหนงมขนาดและสตางๆ เปนจานวนตามตารางตอไปน

ส ขนาด แดง เขยว เหลอง นาเงน สม รวม

S 2 1 2 3 1 9 M 4 5 5 2 3 19 L 3 3 3 4 5 18 XL 1 1 0 1 1 4 รวม 10 10 10 10 10 50

ถาสมหยบเสอมา 1 ตว ความนาจะเปนทจะไดเสอสเขยวขนาด L หรอสสมขนาด S เทากบเทาใด


สถต สถตเชงพรรณนา (Descriptive) คอ การวเคราะหขนตนทมงวเคราะห เพออธบายลกษณะกวางๆ ของขอมลชดนน เชน การวดคาแนวโนมเขาสสวนกลาง คาวดการกระจาย การแจกแจงความถของขอมล และการนาเสนอผลสรปดวยตาราง แผนภมแทง เพออธบายขอมลชดนน สถตเชงอนมาน (Inferential Statistice) คอ การวเคราะหขอมลทเกบรวบรวมไดจากตวอยางเพออางองไปถงขอมลทงหมด องคประกอบของสถต 1. การเกบรวบรวมขอมล เชน การสอบถาม การสงเกต การทดลอง เปนตน 2. การวเคราะหขอมล โดยขอมลทนามาวเคราะหเพยงสวนหนง เรยกวา กลมตวอยางและขอมลทเลอกมาจากขอมลทงหมด เรยกวา ประชากร 3. การนาเสนอขอสรป ขอมล คอ ขอความจรงหรอสงทบงบอกถงสภาพ สถานการณหรอปรากฏการณ โดยทขอมลอาจเปนตวเลขหรอขอความกได สารสนเทศหรอขาวสาร คอ ขอมลทผานการวเคราะหเบองตนหรอขนสงแลว ประเภทของขอมล 1. แบงตามวธเกบ 1.1 ขอมลปฐมภม คอ ขอมลทผใชเกบรวบรวมเอง เชน การสามะโน การสารวจกลมตวอยาง 1.2 ขอมลทตยภม คอ ขอมลทไดจากผอนเกบรวบรวมไวแลว เชน รายงาน บทความ เปนตน 2. แบงตามลกษณะของขอมล 2.1 ขอมลเชงปรมาณ คอ ขอมลทใชแทนขนาดหรอปรมาณซงวดออกมาเปนจานวนทสามารถนามาใชเปรยบเทยบกนไดโดยตรง 2.2 ขอมลเชงคณภาพ คอ ขอมลทไมสามารถวดออกมาไดโดยตรง แตอธบายลกษณะหรอคณสมบตในเชงคณภาพได การวเคราะหขอมลเบองตน ขอมลเชงปรมาณทใชในการวเคราะหทางสถตมสองประเภท คอ ขอมลทไมไดแจกแจงความถ ซงจะเหนคาของขอมลทกตวและขอมลทแจกแจงความถ จะเหนเปนอนตรภาคชน ความกวางของอนตรภาพชน = ขอบบน - ขอบลาง จดกงกลางอนตรภาคชน = (ขอบบน + ขอบลาง) ÷ 2 ฮสโทแกรม คอ รปสเหลยมมมฉากวางเรยงตอกนบนแกนนอน โดยมแกนนอนแทนคาของตวแปร ความกวางของสเหลยมมมฉากแทนความกวางของอนตรภาคชน และพนทของรปสเหลยมมมฉากแทนความถของแตละ อนตรภาคชน ซงถาความกวางของทกชนเทากน ความสงของรปสเหลยมจะแสดงความถ แผนภาพตน-ใบ (Stem-and-Leaf Plot) เปนวธการสรางแผนภาพเพอแจกแจงความถและวเคราะหขอมลเบองตน โดยเรมจากการนาขอมลมาแบงกลม โดยใชเลขหลกสบ แลวนามาสรางเปนลาตน (Stem) แลวใชเลขโดดในหลกหนวยมาสรางเปนใบ (Leaf)


การวดตาแหนงของขอมล : มสองขนตอน คอ การหาตาแหนงและการหาคา 1. ควอรไทล (Quartiles) คอ การแบงขอมลออกเปน 4 สวนเทาๆ กน โดย Q1, Q2, และ Q3 คอ คะแนนของตวแบงทง 3 ตว 2. เดไซล (Deciles) คอ การแบงขอมลออกเปน 10 สวนเทาๆ กน โดย D1, D2, ..., D9 คอ คะแนนของตวแบงทง 9 ตว 3. เปอรเซนไทล (Percentiles) คอ การแบงขอมลออกเปน 100 สวนเทาๆ กน ม P1, ..., P99 คอ คะแนนของตวแบงทง 99 ตว การหาตาแหนง : ตาแหนงของ Qr คอ 4

1)r(N +

ตาแหนงของ Dr คอ 101)r(N +

ตาแหนงของ Pr คอ 1001)r(N +

การหาคา : ใชการเทยบบญญตไตรยางค หมายเหต เมอหาคาขอมลทมคาสงสด ตาสด Q1, Q2 และ Q3 สามารถนามาสรางแผนภาพกลอง

(Box-and-Whisker Plot หรอ Box-Plot) โดยแผนภาพจะทาใหเราทราบถงลกษณะการกระจายของขอมล

การวดแนวโนมเขาสสวนกลาง 1. คาเฉลยเลขคณต, Mean, x

x ของขอมลทไมแจกแจงความถ x = N

N

1 iix∑

=

x ของขอมลทแจกแจงความถ x = N

k

1 iixif∑

=

ขอสงเกต 1. ∑=

N

1 iix = N x

2. )N

1 ixi(x ∑

=- = 0

3. 2)N

1 iai(x ∑

=- มคานอยทสดเมอ a = x

4. ถา x1, x2, x3, ... , xn มคาเฉลยเลขคณตเปน x x1 + k, x2 + k, x3 + k, ... , xn + k มคาเฉลยเลขคณตเปน x + k x1k, x2k, x3k, ..., xnk มคาเฉลยเลขคณตเปน x k

5. x รวม = 22

2211N N

xN xN++


2. มธยฐาน, Median, Me Me สาหรบขอมลทไมแจกแจงความถ Me = คาของขอมลตาแหนงตรงกลาง (ตวท 2

1N + ) เมอเรยงลาดบขอมลแลว ขอสงเกต 1. การหามธยฐานมสองขนตอน คอ หาตาแหนง และหาคาโดยใชสตรหรอการเทยบบญญตไตรยางค

2. ∑=

N

1 i|aix| - มคานอยสดเมอ a = Me

3. ฐานนยม, Mode, Mo Mo สาหรบขอมลทไมแจกแจงความถ Mo = คาของขอมลทมความถมากทสด ขอสงเกต ใชไดกบขอมลเชงคณภาพ การวดการกระจายของขอมล 1. พสย (Range) Range = xmax - xmin 2. สวนเบยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation)

S.D. = N

N

1 i

2)x i(x∑=

-

= N2x

N

1 i

2ix

-∑=

ขอสงเกต 1. ความแปรปรวน (Variance) = S.D.2 = S2 2. S.D. ≥ 0 3. S.D. = 0 ↔ x1 = x2 = ... = xn = x 4. ถา x1, x2, ..., xn มสวนเบยงเบนมาตรฐานเปน S.D. ความแปรปรวนเปน S.D.2 x1 + k, x2 + k, ..., xn + k มสวนเบยงเบนมาตรฐานเปน S.D. ความแปรปรวนเปน S.D.2 x1k, x2k, ..., xnk มสวนเบยงเบนมาตรฐานเปน S.D.|k| ความแปรปรวนเปน S.D.2k2 5. The 95% Rule กลาววา มจานวนขอมลทอยในชวง ( x - 2s, x + 2s) ประมาณ 95% ของจานวนขอมลทงหมด 6. โดย The 95% Rule ไดวา s ≈ 4

Range

ความสมพนธของ x , Me และ Mo

mean median mode

meanmedianmode

mean

medianmode

รป ก. รป ข. รป ค. รป ก. โคงเบซาย x < Me < Mo รป ข. โคงเบขวา x > Me > Mo รป ค. โคงปกต x = Me = Mo


การสารวจความคดเหน 1. ขอบเขตของการสารวจ กาหนดดวยพนท ลกษณะผใหขอมล การมสวนไดสวนเสยกบขอมล 2. วธเลอกตวอยาง การสมตวอยาง (Sampling) การเลอกตวอยางแบบชนภม การเลอกตวอยางแบบหลายขนและการเลอกตวอยางแบบกาหนดโควตา 3. การสรางแบบสารวจความคดเหน แบบสารวจทดประกอบดวย ลกษณะของผตอบทคาดวามผลตอการแสดงความคดเหน ความคดเหนของผตอบในดานตางๆ และขอเสนอแนะ โดยตองไมเปนคาถามทชนา และมจานวนไมมากเกนไป ตลอดจนความสอดคลองของความรของผใหขอมลกบเรองทสอบถาม 4. การประมวลผลและวเคราะหความคดเหน

ตวอยางขอสอบ 1. ขอใดตอไปนเปนเทจ 1) สถตเชงพรรณนาคอสถตของการวเคราะหขอมลขนตนทมงอธบายลกษณะกวางๆ ของขอมล 2) ขอมลทเปนหมายเลขทใชเรยกสายรถโดยสารประจาทางเปนขอมลเชงคณภาพ 3) ขอมลปฐมภมคอขอมลทผใชเกบรวบรวมจากแหลงขอมลโดยตรง 4) ขอมลทนกเรยนรวบรวมจากรายงานตางๆ ทไดจากหนวยงานราชการเปนขอมลปฐมภม 2. ครสอนวทยาศาสตรมอบหมายใหนกเรยน 40 คน ทาโครงงานตามความสนใจ หลงจากตรวจรายงาน

โครงงานของทกคนแลว ผลสรปดงน

ผลการประเมน จานวนโครงงานดเยยม ด

พอใช ตองแกไข

3 20 12 5

ขอมลทเกบรวบรวม เพอใหไดผลสรปขางตนเปนขอมลชนดใด 1) ขอมลปฐมภม เชงปรมาณ 2) ขอมลทตยภม เชงปรมาณ 3) ขอมลปฐมภม เชงคณภาพ 4) ขอมลทตยภม เชงคณภาพ 3. สวนสงของพนอง 2 คน มพสยเทากบ 12 เซนตเมตร มคาเฉลยเลขคณตเทากบ 171 เซนตเมตร

ขอใดตอไปนเปนสวนสงของพหรอนองคนใดคนหนง 1) 167 เซนตเมตร 2) 172 เซนตเมตร 3) 175 เซนตเมตร 4) 177 เซนตเมตร


4. ขอมลชดหนงประกอบดวย 4, 9, 2, 7, 6, 5, 4, 6, 3, 4 ขอใดตอไปนถกตอง 1) คาเฉลยเลขคณต < ฐานนยม < มธยฐาน 2) ฐานนยม < มธยฐาน < คาเฉลยเลขคณต 3) ฐานนยม < คาเฉลยเลขคณต < มธยฐาน 4) มธยฐาน < ฐานนยม < คาเฉลยเลขคณต 5. ความสงในหนวยเซนตเมตรของนกเรยนกลมหนงซงม 10 คน เปนดงน 155, 157, 158, 158, 160, 161, 161, 163, 165, 166 ถามนกเรยนเพมขนอกหนงคน ซงมความสง 158 เซนตเมตร แลวคาสถตใดตอไปนไมเปลยนแปลง 1) คาเฉลยเลขคณต 2) มธยฐาน 3) ฐานนยม 4) พสย 6. การเลอกใชคากลางของขอมลควรพจารณาสงตอไปน ยกเวนขอใด 1) ลกษณะของขอมล 2) วธจดเรยงลาดบขอมล 3) จดประสงคของการนาไปใช 4) ขอดและขอเสยของคากลางแตละชนด 7. คาเฉลยเลขคณตของนาหนกของพนกงานของบรษทแหงหนง เทากบ 48.01 กโลกรม บรษทนมพนกงาน

ชาย 43 คน และพนกงานหญง 57 คน ถาคาเฉลยเลขคณตของนาหนกพนกงานหญงเทากบ 45 กโลกรม แลวนาหนกของพนกงานชายทงหมดรวมกนเทากบขอใด

1) 2,236 กโลกรม 2) 2,279 กโลกรม 3) 2,322 กโลกรม 4) 2,365 กโลกรม 8. แผนภาพตน-ใบของนาหนกในหนวยกรมของไขไก 10 ฟอง เปนดงน 5 7 8 6 7 8 9 7 0 4 4 7 8 1 ขอสรปใดเปนเทจ 1) ฐานนยมของนาหนกไขไกมเพยงคาเดยว 2) คาเฉลยเลขคณตและมธยฐานของนาหนกไขไกมคาเทากน 3) มไขไก 5 ฟองทมนาหนกนอยกวา 70 กรม 4) ไขไกทมนาหนกสงกวาฐานนยม มจานวนมากกวาไขไกทมนาหนกเทากบฐานนยม 9. สาหรบขอมลเชงปรมาณใดๆ ทมคาสถตตอไปน คาสถตใดจะตรงกบคาของขอมลคาหนงเสมอ 1) พสย 2) คาเฉลยเลขคณต 3) มธยฐาน 4) ฐานนยม 10. ขอมลตอไปนแสดงนาหนกในหนวยกโลกรม ของนกเรยนกลมหนง 41, 88, 46, 42, 43, 49, 44, 45, 43, 95, 47, 48 คากลางในขอใดเปนคาทเหมาะสมทจะเปนตวแทนของขอมลชดน 1) มธยฐาน 2) ฐานนยม 3) คาเฉลยเลขคณต 4) คาเฉลยของคาสงสดและคาตาสด


11. ขอมลชดหนงมคาเฉลยเลขคณตเทากบ 20 มธยฐานเทากบ 25 และฐานนยมเทากบ 30 ขอสรปใดตอไปนถกตอง 1) ลกษณะการกระจายของขอมลเปนการกระจายทเบทางซาย 2) ลกษณะการกระจายของขอมลเปนการกระจายทเบทางขวา 3) ลกษณะการกระจายของขอมลเปนการกระจายแบบสมมาตร 4) ไมสามารถสรปลกษณะการกระจายของขอมลได 12. พจารณาขอมลตอไปน 10, 5, 6, 9, 12, 15, 8, 18 คาของ P80 ใกลเคยงกบขอใดตอไปนมากทสด 1) 15.1 2) 15.4 3) 15.7 4) 16.0 13. ในกรณทมขอมลจานวนมาก การนาเสนอขอมลในรปแบบใดตอไปนทาใหเหนการกระจายของขอมลได

ชดเจนนอยทสด 1) ตารางแจกแจงความถ 2) แผนภาพตน-ใบ 3) ฮสโทแกรม 4) การแสดงคาสงเกตทกคา 14. จากการสอบถามเยาวชนจานวน 12 คน วาเคยฟงพระธรรมเทศนามาแลวจานวนกครง ปรากฏผลดงแสดง

ในแผนภาพตอไปน

1 2 30123

4 5 6

45

นจานวนเยาวช

าระธรรมเทศนทเคยฟงพจานวนครง

มธยฐานของขอมลนคอขอใด 1) 3 ครง 2) 3.25 ครง 3) 3.5 ครง 4) 4 ครง 15. ขอใดตอไปนมผลกระทบตอความถกตองของการตดสนใจโดยใชสถต ยกเวนขอใด 1) ขอมล 2) สารสนเทศ 3) ขาวสาร 4) ความเชอ 16. คะแนนสอบความรทวไปของนกเรยน 200 คน นาเสนอโดยใชแผนภาพกลอง ดงน

10 12 16 18 24 ขอใดเปนเทจ 1) จานวนนกเรยนททาได 12 ถง 16 คะแนน มเทากบจานวนนกเรยนททาได 16 ถง 18 คะแนน 2) จานวนนกเรยนททาได 12 ถง 18 คะแนน มเทากบจานวนนกเรยนททาได 18 ถง 24 คะแนน 3) จานวนนกเรยนททาได 10 ถง 12 คะแนน มเทากบจานวนนกเรยนททาได 18 ถง 24 คะแนน 4) จานวนนกเรยนททาได 10 ถง 16 คะแนน มเทากบจานวนนกเรยนททาได 16 ถง 24 คะแนน


17. จากการตรวจสอบลาดบทของคะแนนสอบของนาย ก และนาย ข ในวชาคณตศาสตรทมผเขาสอบ 400 คน ปรากฏวานาย ก สอบไดคะแนนอยในตาแหนงควอรไทลท 3 และนาย ข สอบไดคะแนนอยในตาแหนงเปอรเซนไทลท 60 จานวนนกเรยนทสอบไดคะแนนระหวางคะแนนของนาย ก และนาย ข มประมาณกคน

1) 15 คน 2) 30 คน 3) 45 คน 4) 60 คน 18. ขอมลชดหนง มบางสวนถกนาเสนอในตารางตอไปน

อนตรภาคชน ความถ ความถสะสม ความถสมพทธ2-6 7-11 12-16 17-21

6

11 14

0.2

0.3 ชวงคะแนนใดเปนชวงคะแนนทมความถสงสด 1) 2-6 2) 7-11 3) 12-16 4) 17-21 19. จานวนผวางงานทวประเทศในเดอนกนยายน ป พ.ศ. 2551 มจานวนทงสน 4.29 แสนคน ตาราง

เปรยบเทยบอตราการวางงานในเดอนกนยายน ป พ.ศ. 2550 กบป พ.ศ. 2551 เปนดงน

อตราการวางงานในเดอนกนยายน (จานวนผวางงานตอจานวนผอยในกาลงแรงงานคณ 100) พนทสารวจ

ปพ.ศ. 2550 ปพ.ศ. 2551 ภาคใต ภาคตะวนออกเฉยงเหนอ ภาคเหนอ ภาคกลาง (ยกเวนกรงเทพมหานคร) กรงเทพมหานคร ทวประเทศ

1.0 0.9 1.5 1.3 1.2 1.2

1.0 1.3 1.2 0.9 1.2 1.1

พจารณาขอความตอไปน ก. จานวนผวางงานในภาคใตในเดอนกนยายนของป พ.ศ. 2550 และของป พ.ศ. 2551 เทากน ข. จานวนผอยในกาลงแรงงานทวประเทศในเดอนกนยายนป พ.ศ. 2551 มประมาณ 39 ลานคน ขอใดถกตอง 1) ก. และ ข. 2) ก. เทานน 3) ข. เทานน 4) ก. และ ข. ผด 20. ในการใชสถตเพอการตดสนใจและวางแผน สาหรบเรองทจาเปนตองมการใชขอมลและสารสนเทศ ถาขาด

ขอมลและสารสนเทศดงกลาว ผตดสนใจควรทาขนตอนใดกอน 1) เกบรวบรวมขอมล 2) เลอกวธวเคราะหขอมล 3) เลอกวธเกบรวบรวมขอมล 4) กาหนดขอมลทจาเปนตองใช


21. แผนภาพตน-ใบของขอมลชดหนงเปนดงน 2 0 0 3 5 8 3 1 4 4 6 7 4 3 3 5 7 5 1 2 2 2 6 3 5 ขอสรปใดเปนเทจ ก. ขอมลชดนไมมฐานนยม ข. มธยฐานของขอมลชดนเทากบ 40 ขอใดตอไปนถกตอง 1) ก. ถก และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. ผด และ ข. ผด 22. ในการสารวจนาหนกตวของนกเรยนในชนเรยนทมนกเรยน 30 คน เปนดงน

นาหนก (กโลกรม) ความถสะสม (คน)30-49 10 50-69 26 70-89 30

คาเฉลยเลขคณตของนาหนกตวของนกเรยนในชนเรยนนเทากบกกโลกรม 23. ชดหนงเรยงลาดบจากนอยไปมากดงน 2 3 3 x 4 y 7 ถาคาเฉลยเลขคณตและสวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมลชดนเทากบ 4 และ 7

4 ตามลาดบ แลว y - x

มคาเทาใด 24. ชายคนหนงตกปลาทเลยงไวในกระชงเพอสงขายจานวน 500 ตว ซงมนาหนกโดยเฉลยตวละ 700 กรม

ในจานวนนเปนปลาจากกระชงทหนง 300 ตว และจากกระชงทสอง 200 ตว ถาปลาในกระชงทหนงมนาหนกตอตวมากกวาในกระชงทสอง 50 กรม แลวเขาตกปลาจากกระชงทสองมากกโลกรม


25. ในการสารวจอายของคนในหมบานแหงหนงเปนดงน

อาย (ป) ความถ (คน) ความถสมพทธ 0-10 10 11-20 25 21-30 35 31-40 x 41-50 40 51-60 20 0.10 61-70 15 71-80 3 81-90 2

คา x ในตารางแจกแจงความถสมพนธเทากบเทาใด 26. คะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนหองหนงแสดงดวยแผนภาพตน-ใบไดดงน 3 0 4 9 4 0 7 7 8 8 8 5 0 0 1 2 2 3 4 6 6 7 7 8 8 9 6 0 2 3 3 6 8 9 7 0 1 เปอรเซนตไทลท 50 ของคะแนนสอบนเทากบคะแนนเทาใด


เฉลยตวอยางขอสอบ เซต 1. 3) 2. 3) 3. 3) 4. 4) 5. 1) 6. 1) 7. 4) 8. 1) 9. 4) 10. 50 11. 101 12. 32 13. 30 การใหเหตผล 1. 1) 2. 3) 3. 4) 4. 4) 5. 2) 6. 3) 7. 3) ระบบจานวนจรง 1. 4) 2. 1) 3. 1) 4. 2) 5. 2) 6. 1) 7. 1) 8. 3) 9. 2) 10. 4) 11. 2) 12. 3) 13. 3) 14. 2) 15. 34 16. 4) 17. 4) 18. 3) 19. 4) 20. 27 21. 5 ความสมพนธและฟงกชน 1. 1) 2. 2) 3. 2) 4. 1) 5. 4) 6. 3) 7. 3) 8. 4) 9. 4) 10. 3) 11. 2) 12. 2) 13. 3) 14. 1) 15. 1) 16. 3) 17. 2) 18. 4) 19. 1) 20. 3) เลขยกกาลง 1. 3) 2. 1) 3. 1) 4. 1) 5. 4) 6. 2) 7. 1) 8. 1) 9. 2) 10. 2) 11. 1) 12. 0.75 13. 3) 14. 3) 15. 4) 16. 2) 17. 3) 18. 94 19. 9 อตราสวนตรโกณมต 1. 1) 2. 4) 3. 1) 4. 1) 5. 3) 6. 2) 7. 2) 8. 4) 9. 3) 10. 2) 11. 3) 12. 2) 13. 4) 14. 4) 15. 4) 16. 60 17. 0.5 18. 6.25


ลาดบและอนกรม 1. 2) 2. 4) 3. 3) 4. 2) 5. 3) 6. 390 7. 1) 8. 1) 9. 3) 10. 1) 11. 4) 12. 2) 13. 1) 14. 4) 15. 4) 16. 4) 17. 3) 18. 1) 19. 1) 20. 43 21. 171 ความนาจะเปน 1. 3) 2. 1) 3. 4) 4. 280 5. 240 6. 2) 7. 2) 8. 2) 9. 1) 10. 2) 11. 3) 12. 2) 13. 1) 14. 2) 15. 2) 16. 2) 17. 4) 18. 1) 19. 1) 20. 120 21. 35 22. 0.43 สถต 1. 3) 2. 3) 3. 4) 4. 2) 5. 4) 6. 2) 7. 1) 8. 4) 9. 4) 10. 1) 11. 1) 12. 3) 13. 4) 14. 1) 15. 4) 16. 2) 17. 4) 18. 1) 19. 3) 20. 4) 21. 1) 22. 57.5 23. 1 24. 0.66 25. 0.25 26. 55


เนอหา ในสวน ทครSup’kรบผดชอบ

PAT1 ก.ค.52

PAT1 ต.ค.52

PAT1 ม.ค.53

PAT1 ก.ค.53

PAT1 ต.ค.53

PAT1 ม.ค.54

ระดบขอสอบ งาย ปานกลาง ยาก ยาก ยากมาก ยากมากโจทยปญหาเชาวน

แนวจานวนกบตวเลข – – 3 ขอ 3 ขอ 3 ขอ –

โจทยปญหาเชาวน แนวโอเปอรเรชนใหมๆ

– – 1 ขอ 1 ขอ 2 ขอ –

โจทยปญหาเชาวน แนวลาดบ

VS ทานายตวเลข – – 1 ขอ 2 ขอ – –

โจทยปญหาเชาวน แนวตรรกศาสตร

2 ขอ 2 ขอ 1 ขอ – – –

โจทยปญหาเชาวนอนๆ – 1 ขอ 1 ขอ 1 ขอ – – เอกซโปเนนเชยล 1 ขอ 1 ขอ 4 ขอ 3 ขอ 2 ขอ 1.25

ลอการทม 2 ขอ 2 ขอ 1 ขอ 2 ขอ 3 ขอ 2.5 ตรรกศาสตร 2 ขอ 2 ขอ 2 ขอ 2 ขอ 2 ขอ 1.5

ระบบจานวนจรง 3 ขอ 2 ขอ 1 ขอ 1 ขอ 1 ขอ 2 ทฤษฎจานวน 1 ขอ 1 ขอ 1 ขอ – 1 ขอ 1

เรขาคณตวเคราะห – – 2 ขอ 1 ขอ 1 ขอ 1.5 ภาคตดกรวย 4 ขอ 5 ขอ 1 ขอ 1 ขอ 2 ขอ 1.5 ความสมพนธ 1 ขอ – 1 ขอ – – 1

ฟงกชน 2 ขอ 2 ขอ 2.5 ขอ 3 ขอ 2 ขอ 2

คณตศาสตร (54) ______________________________________ โครงการแบรนดซมเมอรแคมป 2012

เนอหา ในสวน ทครSup’kรบผดชอบ

PAT1 ก.ค.52

PAT1 ต.ค.52

PAT1 ม.ค.53

PAT1 ก.ค.53

PAT1 ต.ค.53

PAT1 ม.ค.54

ระดบขอสอบ งาย ปานกลาง ยาก ยาก ยากมาก ยากมากเมตรกซ

และดเทอรมนนต 3 ขอ 3 ขอ 2 ขอ 3 ขอ 2 ขอ 2

ตรโกณพนฐานในวงกลม – – 0.5 ขอ – – 0.75 ตรโกณประยกต 1 ขอ 1.5 ขอ 2 ขอ 1 ขอ 2 ขอ 2 อนเวอรสตรโกณ 1 ขอ 0.5 ขอ 1 ขอ 1 ขอ 1 ขอ 1 กฎของ sin, กฎของ cos

1 ขอ 1 ขอ – 1 ขอ 1 ขอ 1

ลาดบอนกรมพนฐาน 2 ขอ 3 ขอ 2 ขอ 3 ขอ 4 ขอ 2 ลาดบเวยนบงเกดแปลกๆ 1 ขอ – – 2 ขอ 3 ขอ 1 อนกรมประยกตแปลกๆ 1 ขอ – 1 ขอ 1 ขอ 3 ขอ 1

โจทยเซอรไพส แนวโอลมปก

1 ขอ – – 2 ขอ 1 ขอ 5

รวม 29 ขอ 27 ขอ 31 ขอ 34 ขอ 36 ขอ 30 ขอ

ขอสอบทงหมด 50 ขอ/ 3 ชม.

50 ขอ/ 3 ชม.

50 ขอ/ 3 ชม.

50 ขอ/ 3 ชม.

50 ขอ/ 3 ชม.

50 ขอ/ 3 ชม.

หมายเหต

ชอย 50 ขอ

ขอละ 6 คะแนน

ชอย 25 ขอ

ขอละ 6 คะแนน เตมคา 25 ขอ ขอละ

6 คะแนน

ชอย 25 ขอ


6 คะแนน

ชอย 25 ขอ


7 คะแนน

ชอย 25 ขอ


7 คะแนน

ชอย 25 ขอ


7 คะแนน


โจทยปญหาเชาวน แนว ลาดบ–ฟงกชน สองตวแปร NichTor–Pb1.1 (แนว PAT1’ธ.ค.54) กาหนด a(n, m) เปนจานวนเตมบวกทกๆ n = 1, 2, 3 และ m = 1, 2, 3 และ a(n, m) = a(n, m - 1) + a(n - 1, m - 1) ถา a(1, 1) = 10 , a(2, 1) = 5 และ a(2, 3) = 18 จงหาคาของ a(1, 2) ตอบ .............................. วธทา NichTor–Pb1.2 (แนวขอสอบ PAT1’ธ.ค.54) กาหนด a(n, m) เปนจานวนเตมบวกทกๆ n = 1, 2, 3, 4 และ m = 1, 2, 3, 4 และ a(n, m) = a(n, m - 1) + a(n - 1, m - 1) ถา a(1, 1) = 10 , a(2, 1) = 5 , a(4, 1) = 4 และ a(4, 4) = 35 จงหาคาของ a(3, 1) ตอบ .............................. NichTor–Pb1.3 (ดกแนว PAT1’ม.ค.55) สาหรบจานวนเตม n, m ทไมตดลบ นยาม กาหนด a(n, m) ดงน (i) a(0, m) = m + 1 (ii) a(n + 1, 0) = a(n, 1) (iii) a(n + 1, m + 1) = a(n, a(n + 1, m)) จงหาคาของ a(3, 0) ตอบ ..............................

Sup’k Tips


NichTor–Pb1.2 ตอบ 2 เนองจาก a(1, 1) = 10 , a(2, 1) = 5 , a(4, 1) = 4 , a(4, 4) = 35 และ a(n, m) = a(n, m - 1) + a(n - 1, m - 1) ...(*) ขนท 1 จากสตร (*) แทน n = 2, m = 2 จะได a(2, 2) = a(2, 1) + a(1, 1) แทนคาจากโจทย a(2, 2) = 5 + 10 = 15 ...(๑) จากสตร (*) แทน n = 3, m = 2 จะได a(3, 2) = a(3, 1) + a(2, 1) แทนคาจากโจทย a(3, 2) = a(3, 1) + 5 ...(๒) จากสตร (*) แทน n = 3, m = 3 a(3, 3) = a(3, 2) + a(2, 2) แทนคาจาก (๑), (๒); a(3, 3) = [a(3, 1) + 5] + 15 a(3, 3) = a(3, 1) + 20 ...(๓) ขนท 2 ในทานองเดยวกน a(4, 4) = a(4, 3) + a(3, 3) ...(๔) a(4, 3) = a(4, 2) + a(3, 2) ...(๕) a(4, 2) = a(4, 1) + a(3, 1) ...(๖) ขนท 3 จาก (๔); a(4, 4) = a(4, 3) + a(3, 3) แทนคาจากโจทย (๕), (๓); 35 = [a(4, 2) + a(3, 2)] + [a(3, 1) + 20] แทนคาจากโจทย(๖), (๒); 35 = [[a(4, 1) + a(3, 1)] + [a(3, 1) + 5]] + [a(3, 1) + 20] แทนคาจากโจทย; 35 = [[4 + a(3, 1)] + [a(3, 1) + 5]] + [a(3, 1) + 20] 35 = 4 + 5 + 20 + a(3, 1) + a(3, 1) + a(3, 1) 35 = 29 + 3 ⋅ a(3, 1) 35 - 29 = 3 ⋅ a(3, 1) 6 = 3 ⋅ a(3, 1) 3

6 = a(3, 1) ดงนน a(3, 1) = 2


โจทยปญหาเชาวน แนวเตมตวเลขในตารางเกาชอง BRAN-Pb2.50 (PAT1’ต.ค.53) จากตารางทกาหนดให มชองวางทงหมด 9 ชอง ดงรป

7x

10 3

ใหเตมจานวนเตมบวก ลงในชองสเหลยมชองละ 1 จานวน โดยใหผลบวกของจานวนในแตละแถว ในแตละหลก และในแตละแนวทแยงมม มคาเทากน

ถาเตมจานวนเตมบวก 3, 7, 10 ดงปรากฏในตาราง แลวจานวน x ในตาราง เทากบเทาใด แนวคดเรวๆ ขนท 1 ขนท 2

7x

10 3

7x

10 3

ขนท 3 (แถม) ขนท 4 (แถม) ขนท 5 (แถม)

7

10 3

7

10 3

7

10 3

Sup’k Tips


a c 7x b d

10 3S - 13

a c 7x 6 d

10 3S - 13

9 2 74 6 85 10 3

BRAN-Pb2.50 แนวคดท 2 ตอบ 0004.00 สมมตวาผลบวกทเทากนในแตละทศทาง คอ s จะได ชองทางซายลางสด เทากบ S - 13 (ดงรป) พจารณาในแนวทแยง (จากมมซายลางไปยงมมขวาบน) จะได (S - 13) + b + 7 = S b = 6 พจารณาในแนวทแยง (จากมมซายบนไปยงมมขวาลาง) จะได a + b + 3 = S a + 9 = S ...(1) พจารณาในแถวท 1 จะได a + c + 7 = S (a + 9) + c + 7 = S + 9 S + c + 7 = S + 9 [โดย (1)] c = 2 พจารณาหลกท 2 จะได S = c + 6 + 10 = 2 + 6 + 10 = 18 โดย (1) จะได a + 9 = 18 a = 9 ตารางทสมบรณ พจารณาหลกท 1 จะได a + x + (S - 13) = S 9 + x - 13 = 0 ดงนน x = 4 (ทาใหไดวา d = 8)


โจทยปญหาเชาวน แนวผลรวมตวเลขในตาราง SheLL2.46 (PAT1’ก.ค.53) ใหเตมจานวนเตมบวกลงในชองสเหลยม โดยใหผลรวมของจานวนในชองสเหลยมสามชองทตดกน เทากบ 18

7 x 8 คาของ x เทากบเทาใด ตอบ .............................. SheLL2.47 (PAT1’ก.ค.53) จากตารางทกาหนดให มชองวาง 16 ชอง ดงรป

1 5

x 13

แถว (ก)

แถว (ข)

หลก (ค) หลก (ง)

ใหเตมจานวนเตมบวก 1, 2, 3, ..., 16 ลงในชองสเหลยมชองละ 1 จานวน โดยใหผลบวก ของจานวนในแตละแถว (แถว (ก) และ แถว (ข)) และแตละหลก (หลก (ค) และ หลก (ง)) มคาเทาๆ กน ถาเตมจานวนเตมบวก 1, 5, 13 ดงปรากฏในตารางแลวจานวน x ในตาราง เทากบเทาใด ตอบ .............................. โจทยปญหาเชาวน แนวSudoku SheLL2.4 (PAT1’ก.ค.53) ใหเตมจานวนเตมบวก 1, 2, 3, 4, 5 ลงในชองวางของตาราง 5 × 5 ตอไปน

5 41 3

5 32 3 1

x โดยทแตละแถวตองมจานวนเตมบวก 1, 2, 3, 4 และ 5 และแตละหลกตองมจานวนเตมบวก 1, 2, 3, 4 และ 5 จงหาวาจานวน x ในตาราง เทากบเทาใด ตอบ ..............................


โจทยปญหาเชาวน แนวAlphabetic Problem BRAN-Pb1.24 (PAT1’ต.ค.53) พจารณาการบวกของจานวนตอไปน A B C D E F G เมอ A, B, C, D, E, F, G แทนเลขโดดทแตกตางกน โดยท F = 0 และ {A, B, C, D, E, G} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ถาจานวนสองหลก AB เปนจานวนเฉพาะ แลว A + B มคาเทากบขอใดตอไปน 1) 4 2) 5 3) 7 4) 9 แนวคด SupK-Pb2.28.2 (ดกแนว PAT 1) SupK-Pb2.28.3 (ดกแนว PAT 1) ให ตวอกษรภาษาองกฤษแตละตวทแตกตางกน ให ตวอกษรภาษาองกฤษแตละตวทแตกตางกน แทน เลขโดดทแตกตางกน แทน เลขโดดทแตกตางกน จงหาตวเลขมาเตมตวอกษรองกฤษตอไปน จงหาตวเลขมาเตมตวอกษรองกฤษตอไปน S E N D F A T H E R M O R E M O T H E R M O N E Y P A R E N T เมอตวอกษร O ในขอน คอ เลขศนย เมอตวอกษร O ในขอน คอ เลขโดดใดๆ

+

+ +


โจทยปญหาเชาวน แนวทฤษฎจานวน BRAN-Pb2.43 (PAT1’ต.ค.53) กาหนดให a, b, c, d, e, f เปนจานวนเตมบวก ถาผลบวกของสองจานวนทแตกตางกน ในเซต {a, b, c, d, e, f} มทงหมด 15 จานวน โดยท a < b < c < d < e < f คอ 37, 50, 67, 72, 80, 89, 95, 97, 102, 110, 112, 125, 132, 147 และ 155 แลวคาของ c + d เทากบเทาใด ตอบ .............................. แนวคด โจทยทฤษฎจานวน แนวทฤษฎการหารลงตว BRAN-Pb1.25 (PAT1’ต.ค.53) สาหรบ a และ b เปนจานวนเตมบวกใดๆ นยาม a * b หมายถง a = kb สาหรบบางจานวนเตมบวก k ถา x, y และ z เปนจานวนเตมบวกแลว ขอใดตอไปนเปนจรง 1) ถา x * y และ y * z แลว (x + y) * z 2) ถา x * y และ x * z แลว x * (yz) 3) ถา x * y และ x * z แลว x * (y + z) 4) ถา x * y แลว y * x

Sup’k Tips


โจทยปญหาเชาวน แนวตรรกศาสตร ผมไมไดพดโกหก VS นงตดกบคนโนน ตรงขามคนน TF-PAT119. (B-PAT1’ต.ค.51) ในการจดคน 5 คน ยนเขาแถวหนากระดาน พบวา - นาย ก ไมยนขางนาย ข - นาย ค ยนอยรม - นาย ง ยนอยขางนาย จ และไมยนอยกลางแถว ขอใดตอไปนเปนไปได 1) นาย ก ยนขางนาย ข 2) นาย จ ยนอยรมดานหนง 3) นาย ก ยนอยตรงกลาง 4) นาย จ ยนอยตรงกลาง TF-PAT120. (B-PAT1’ต.ค.51) จากโจทย ขอ เมอก ถานาย ข ยนอยรมดานหนงแลว ขอใดตอไปนผด 1) นาย ค ยนตดนาย ก 2) นาย ก ยนอยตรงกลาง 3) นาย จ ยนอยตรงกลาง 4) นาย ง ยนตดกบนาย ข TF-PAT123 (PAT1’ม.ค.52) ชาย 6 คน นาย ก, ข, ค, ง, จ และ ฉ ยนเขาแถวตอนตามลาดบ โดยมเงอนไข

ดงน นาย ฉ ไมยนตดกบนาย ข นาย ฉ ยนอยในลาดบกอนนาย ก นาย ก ยนตดนาย ง นาย จ ยนอยลาดบท 4 ถานาย ฉ ยนตดและอยหลงนาย ค แลว คนทมโอกาสอยในลาดบท 5 ไดแก ชายในขอใดตอไปน 1) นาย ข 2) นาย ค 3) นาย ง 4) นาย ฉ TF-PAT124. (PAT1’ม.ค.52) จากเงอนไขในโจทยขอทแลว ขอความใดตอไปนจรง 1) นาย ง ยนอยในลาดบท 2 2) นาย ค ยนอยในลาดบท 3 3) นาย ง ยนอยหลงนาย ข 4) นาย ข ยนอยหลงนาย จ

Sup’k หลก


โจทยปญหาเชาวน แนวระบบจานวนจรง BRAN-Pb1.5 (PAT1’ต.ค.53) ให N แทนเซตของจานวนนบ กาหนดให a * b = b a + สาหรบ a, b ∈ N พจารณาขอความตอไปน ก. (a * b) * c = a * (b * c) สาหรบ a, b, c ∈ N ข. a * (b + c) = (a * b) + (a * c) สาหรบ a, b, c ∈ N ขอใดตอไปนถกตอง 1) ก. ถก และ ข. ถก 2) ก. ถก แต ข. ผด 3) ก. ผด แต ข. ถก 4) ก. ผด และ ข. ผด แนวคดเรวๆ

วธจรง สาหรบ a, b ∈ N เรามวา a * b = ba +

(ก) ผด , (a * b) * c = ( ba + ) * c = c b a ++

a * (b * c) = a * cb + = c b a ++ ∴ (a * b) * c ≠ a * (b * c) (ข) ผด , a * (b + c) = cb a ++ , a * b = ba + , a * c = c a + เพราะวา c b a ++ ≠ ba + + ca + ∴ a * (b + c) ≠ (a * b) + (a * c) ดงนน ทง (ก) และ (ข) ผดทงค

Sup’k Tips

Sup’k ลด


BRAN-Pb1.20 (PAT1’ต.ค.53) ให N แทนเซตของจานวนนบ, สาหรบ a, b ∈ N

aΘb =

<

>= b a , b b a , a b a , a

และ a∆b =

<

>= b a , a b a , a b a , b

พจารณาขอความตอไปน, สาหรบ a, b, c ∈ N (ก) aΘb = bΘa (ข) aΘ(bΘc) = (aΘb)Θc (ค) a∆(bΘc) = (a∆b)Θ(a∆c) ขอใดตอไปนถกตอง 1) ถก 1 ขอ คอ ขอ (ก) 2) ถก 2 ขอ คอ ขอ (ก) และ (ข) 3) ถก 2 ขอ คอ ขอ (ก) และ (ค) 4) ถกทง 3 ขอ คอ ขอ (ก), (ข) และ (ค) KAiOU-Pb 1.24 (PAT1’ม.ค.53) ให N แทนเซตของจานวนนบ กาหนดให a * b = ab สาหรบ a, b ∈ N พจารณาขอความตอไปน สาหรบ a, b, c ∈ N (ก) a * b = b * a (ข) (a * b) * c = a * (b * c) (ค) a * (b + c) = (a * b) + (a * c) (ง) (a + b) * c = (a * c) + (b * c) ขอใดตอไปนถกตอง 1) ถก 2 ขอ คอ (ข) และ (ค) 2) ถก 2 ขอ คอ (ค) และ (ง) 3) ถก 1 ขอ คอ (ค) 4) (ก) (ข) (ค) และ (ง) ผดทกขอ SheLL2.49 (PAT1’ก.ค.53) ให a และ b เปนจานวนเตมบวกใดๆ กาหนดให a ⊗ b เปนจานวนจรงทมสมบตตอไปน (ก) a ⊗ a = a + 4 (ข) a ⊗ b = b ⊗ a (ค) ba

b)(aa⊗

⊗ + = b b a +

คาของ (8 ⊗ 5) ⊗ 100 เทากบเทาใด ตอบ ..............................


โจทยเอกซโปเนนเชยล แนวเลขยกกาลง ม.2

FPAT-Pb2 (B-PAT1’ต.ค.51) ถา ab = 2 แลว 2

2

b)(a

b)(a

22

-

+ มคาเทากบเทาใด

1) 4 2) 8 3) 64 4) 256 แนวคดเรวๆ ถา ab = 2

จะหา แลว 2

2

b)(a

b)(a

22

-

+

วธจรง จะหา 2

2

b)(a

b)(a

22

-

+ = 2(a+b)2-(a-b)2 = 2(a2 + 2ab + b2) – (a2 – 2ab + b2)

= 2a2 + 2ab + b2 – a2 + 2ab – b2 = 24⋅ab = 24⋅2 = 28 = 256 ตอบ QET-G-Pb 26.1 ถา a = 1 - 2n และ x = 1 - 2-n โดยท a และ n เปนคาคงตว จงหา x ก. a 1

a 2-- ข. a 1

2 a-- ค. a1

a- ง. 1a

a-

QET-G-Pb 23.2 จงหารปอยางงายของ 3

432

baba

-

--

⋅ ÷

5

231

baba

⋅⋅

--

ก. 5a1 ข. 9a

1- ค. 7b

1 ง. 12b1

QET-G-Pb 23.3 จงหา 1n3n

32

--+

× 1n2n

53

--- +

× 2nn1nn

24232 2

--

--

×× × 1n

2n

52

+

+-

ก. 4 ข. 864 ค. 870 ง. ไมมขอถก

สตร 2.2 (a ⋅ b)n = an ⋅ bn

n

ba

= n

n

ba

amn = a(mn)

สตร 2.3

สตร 2.1 am × an = am+n

nm

aa = am-n = mna

1- เมอ a ≠ 0

(am)n = am⋅n = (an)m

Sup’k Tips


โจทยเอกซโปเนนเชยล แนวเปรยบเทยบความมากนอยเลขยกกาลง ม.2 KAiOU-Pb 1.22 (PAT1’ม.ค.53) ให A = 7(77), B = 777, C = 777 และ D = (777)7 ขอใดตอไปนถกตอง 1) B < A < C < D 2) B < C < A < D 3) C < B < D < A 4) C < A < D < B SheLL1.24 (PAT1’ก.ค.53) กาหนด a = 248, b = 336, c = 524 ขอใดตอไปนถกตอง 1) b

1 > c1 > a

1 2) a1 > b

1 > c1 3) b

1 > a1 > c

1 4) a1 > c

1 > b1

**DiAMK-Pb 1.25 (ดกแนว PAT 1) ให a = (10100)10 , b = 10(1010) , c = 1000000! , d = (100!)10 ขอใดตอไปนถกตอง 1) a < c < d < b 2) a < d < c < b 3) a < d < b < c 4) a < b < c < d SheLL1.10 (PAT1’ก.ค.53) พจารณาขอความตอไปน

ก. 23

2 < 34

3 ข. log2

83 < log3

21

ขอใดตอไปนถกตอง 1) ก. ถก และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. ผด และ ข. ผด DiAMK-Pb 1.2 (ดกแนว PAT 1) จงพจารณาขอความตอไปน (ก) π log

12

+ π log15

> 2 (ข) π log12

+ 2 log1π

> 2

ขอสรปใดตอไปนถกตอง 1) ขอ (ก) และ ขอ (ข) ถกตอง 2) ขอ (ก) ถกตอง และ ขอ (ข) ผด 3) ขอ (ก) ผด และ ขอ (ข) ถกตอง 4) ขอ (ก) และ ขอ (ข) ผด KAiOU-Pb 1.11 (PAT1’ม.ค.53) เซตคาตอบของอสมการ 72x + 72 < 23x+3 + 32x+2 เปนสบเซตของชวงใด 1) (log8 7, log9 8) 2) (log9 8, log8 9) 3) (log8 9, log7 8) 4) (log9 10, log8 9)

สตร I เมอ 1 < ฐาน เจอ 3.5x < 3.5y ∴

สตร II เมอ 0 < ฐาน < 1 เจอ 0.21x < 0.21y ∴

สตร III เมอ 1 < ฐาน เจอ log7.8 x < log7.8 y ∴

สตร IV เมอ 0 < ฐาน < 1 เจอ log0.42 x < log0.42 y ∴


การเลขยกกาลง กบ รด

พสจน ii) m n a = m1

n1)(a = m

1n1 a ⋅ = mn

1 a ⋅ = mn a

iii) n ma = nm

a = knkm

a ⋅⋅

= kn km a⋅ ⋅

พสจน i) n a n b = n1

a ⋅ n1

b = n1

b)(a ⋅ = n ba ⋅

ii) nn

ba =

1n1n

ab

= n1

ba

= n

ba

ตวอยางท 5.2.1 จงหารปอยางงายของ

i) aa = 21

aa ⋅ = 211 aa ⋅ = 2

11a + = 23

a = 21

23)(a = 2

123 a ⋅ = 4

3a

ii) aaa = 43

aa ⋅ = 431 aa ⋅ = 4

31a + = 47

a = 21

47)(a = 2

147 a ⋅ = 8

7a

iii) aaaa = 87

aa ⋅ = 871 aa ⋅ = 8

71a + = 815

a = 21

815

)(a = 21

815 a ⋅ = 16

15a

ตวอยางท 5.2.2 จงหารปอยางงายของ 3 54 6aa ⋅ ตอบ......................... แนวคด

3 54 6aa ⋅ = 3 514 (6a)a ⋅ = 3 5

1514 a6a ⋅⋅ = 3 5

1451

aa6 ⋅⋅ = 35145

1a6

+⋅

= 3 521

51

66 ⋅ = 31

521

51

)a(6 ⋅ = 31

51}{6 ⋅ 3

1521

][a = 31

51 6 ⋅

⋅ 31

521 a ⋅ = 15

16 ⋅ 15

21a = 15 16 ⋅ 15 21a

สตร 5.1

i) nm

a = ( n a )m = n ma

ii) m n a = mn a

iii) n ma = nk mka

สตร 5.2 i) n a ⋅ n b = n ab

ii) nn

ba = n

ba


โจทยเอกซโปเนนเชยล แนวสมการเลขยกกาลง แบบ ฐานตดตวแปร BRAN-Pb2.29 (PAT1’ต.ค.53) ให R แทนเซตของจานวนจรง และให C = {x ∈ R | (3x2 - 11x + 7)(3x2+4x+1) = 1} จานวนสมาชกของเซต C เทากบเทาใด ตอบ .............. แนวคดเรวๆ แนวคดท 2 Sup’k-Pb2.29.1 (ดกแนว PAT1) ให R แทนเซตของจานวนจรง และให C = {x ∈ R | (x – 3)x2 – 8x +15 = 1} จานวนสมาชกของเซต C เทากบเทาใด ตอบ ............................... Sup’k-Pb2.29.2 (ดกแนว PAT1) ให R แทนเซตของจานวนจรง

และให C =

+=

+

∈ xlog535 xlog

10 x|R x

จงหา n(C) ตอบ..........................

FPAT-Pb14 (PAT1’ก.ค.52) ให x และ y เปนจานวนจรงท x, y > 0 ซงสอดคลองกบ xy = yx และ y = 5x จงหาวา คาของ x อยในชวงใด 1) [0, 1) 2) [1, 2) 3) [3, 4) 4) [5, 6)

Sup’k ลด


โจทยเอกซโปเนนเชยล แนวสมการเลขยกกาลง

สตร 5.1 ax = ay → ∴x = y เมอ a ≠ -1, 0, 1 สตร 5.2 ax = bx → ∴x = 0 เมอ a, b ≠ -1, 0, 1

พสจน สตร 5.2 จาก ax = bx → xx

ba = 1 →

xba

= 1 → ∴ x = 0จบ

NichTor–Pb2.1 (ดกแนว PAT1’55) ถา θ เปนมมซง 180° < θ < 270° ทสอดคลองกบ

3(2sinθ)θ

2cos278 = 2(3sinθ)

แลว sin 3θ เทากบขอใดตอไปน ตอบ ............................... วธทา NichTor–Pb2.2 (แนวขอสอบ PAT1’ธ.ค.54) ถา θ เปนมมซง 180° < θ < 270° ทสอดคลองกบ

3(2sinθ)θ

2cos94 = 2(3sinθ)

แลว 3tan2θ - 2sin 3θ เทากบขอใดตอไปน 1) 1 2) 3 3) 7 4) 11

Sup’k Tips


NichTor–Pb2.2 ตอบ 2) 3

3(2sinθ)θ

2cos94 = 2(3sinθ)

θ

ins32 θ

22cos32 = 3

2

θθ +

22cos sin32 = 3

2

θθ +

22cos sin32

=

132

จะได sinθ + 2 cos2θ = 1 sinθ + 2(1 - sin2θ) = 1 -2sin2θ + sinθ + 1 = 0 2sin2θ - sinθ - 1 = 0 (sinθ - 1)(2sinθ + 1) = 0 sinθ = 1, - 2

1

เพราะวา 180° < θ < 270° ฉะนน sinθ = - 21 ทาให θ = 210°

∴ 3tan2θ - 2sin 3θ = 3tan2 210° - 2sin 630°

= 3tan267π - 2 ⋅ sin 2

7π

= 3tan2

+ ππ 6 - 2 ⋅ sin 2

7π

ยบมมดวยตรโกณในวงกลม = 3 tan2

π6 - 2 ⋅ sin 2

7π

= 32

31

- 2(-1)

= 1 + 2 = 3


FPAT-Pb1 (B-PAT1’ต.ค.51) ถา 6a+b = 36 และ 5a+2b = 125 แลวคาของ a มคาเทาใด 1) 1 2) 1.5 3) 2 4) 2.5 FPAT-Pb3 (PAT1’ม.ค.52) ถา 4x–y = 128 และ 32x+y = 81 แลวคาของ y เทากบขอใดตอไปน 1) -2 2) –1 3) 1 4) 2 SheLL1.11 (PAT1’ก.ค.53) ถา A เปนเซตคาตอบของสมการ 32x+2 – 28⋅(3x) + 3 = 0 และ B เปนเซตคาตอบของสมการ log x + log(x – 1) = log(x + 3) แลวผลบวกของสมาชกทงหมดในเซต AU B เทากบขอใดตอไปน 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 AVATAR-Pb 5.1 (แนวสอบตรงแพทย กสพท’53) กาหนด 22x2 + 2x2+2x+2 – 24x+5 = 0 จงหาวา x2 – 2x เทากบเทาใด ตอบ........................... KMK-Pb 1.8 (PAT1’ต.ค.52) ถา x > 0 และ 8x + 8 = 4x + 2x+3 แลวคาของ x อยในชวงใดตอไปน 1) [0, 1) 2) [1, 2) 3) [2, 3) 4) [3, 4)

*KAiOU-Pb 1.12 (PAT1’ม.ค.53) ถาสมการ x

41

+

1x21 -

+ a = 0 มคาตอบเปนจานวนจรงบวก

แลวคาของ a ทเปนไปไดอยในชวงใดตอไปน 1) (-∞, -3) 2) (-3, 0) 3) (0, 1) 4) (1, 3) โจทยเอกซโปเนนเชยล แนวสมการเลขยกกาลงโอลมปก

*FPAT-Pb4 (PAT1’ม.ค.52) กาหนดสมการ x

254

+

x259

= 1 จงพจารณาขอความตอไปน

ก. ถา a เปนคาตอบของสมการ แลว a > 1 ข. ถาสมการมคาตอบ แลวคาตอบจะมเพยงคาตอบเดยว ขอใดตอไปนถก 1) ก. ถก และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. ผด และ ข. ผด


โจทยเอกซโปเนนเชยล แนวสมการตดรด BRAN-Pb2.27 (PAT1’ต.ค.53) ให R แทนเซตของจานวนจรง

ถา A = {x ∈ R | 2x2 – 2x + 9 – 2 3x x2 +- = 15} แลวผลบวกของกาลงสองของสมาชกในเซต A เทากบเทาใด ตอบ........................... KAiOU-Pb 2.2 (PAT1’ม.ค.53) ถา S = {x ∈ R | 13x + + 1x - = 17x + } เมอ R แทนเซตของจานวนจรง แลวผลบวกของสมาชกใน S เทากบเทาใด ตอบ........................... SheLL2.27 (PAT1’ก.ค.53) ให R แทนเซตของจานวนจรง ถา S = {x ∈ R | 1x + + 1 3x - = 17x - } และ T = {y ∈ R | y = 3x + 1, x ∈ S} แลวผลบวกของสมาชกใน T เทากบเทาใด ตอบ ............................

Sup’k Tips

Sup’k ระวง


สตรของ log

สตร 10.1! loga x + loga y = loga x ⋅ y สตร 10.2! loga x – loga y = loga y

x

สตร10.5! logan xm = n

m ⋅ loga x

สตร10.6! loga x1 = –logax

สตร10.7! logaxn = loga1/n x

สตร10.8! logb a = blogalog

cc

สตร10.9! loga x = a log

1x

สตร10.10! b blog a log xx = a เอกซกาลง ลอกa นนยากอย

ฝากหวใจ ใหกน เอาไวกอน เปลยนสตร โดยสลบ x และ a

ทเรา จะตองหาง เหนไป

สตร10.12! log 2 = 1 – log 5 อาจจะมบางคราว เราพบใครใหม

สตร10.13! และ log 5 ก = 1 – log 2

เกดหวนไหว ไปตามประสาคนไกลกน

ตวอยาง 10.1 จา log 2 ≈ 0.30103 log 4 = log 22 = 2 ⋅ (log 2) ≈ 2 ⋅ (0.30103) = 0.60206 log 5 = 1 – log 2 ≈ 1 – 0.30103 = 0.69897 log 8 = log 23 = 3 ⋅ (log 2) ≈ 3 ⋅ (0.30103) = 0.90309

จา log 1 = 0 จา log 7 ≈ 0.84509 log 10 = log10 10 = 1

ตวอยาง 10.3 จา log 3 ≈ 0.4771 log 6 = log (2 × 3) = log 2 + log 3 ≈ 0.30103 + 0.4771 = 0.77813 log 9 = log 32 = 2 ⋅ (log 3) ≈ 2 ⋅ (0.4771) = 0.9542

ระวง10.1! log (x + y) ≠ log x + log y ระวง10.2! log (x – y) ≠ log x – log y ระวง10.3! (x ± y)n ≠ xn ± yn

สตร 10.3! loga a = 1 สตร 10.4! loga 1 = 0

loga x

ระวง10.4!

log10 x = log x logex = xnl

e ≈ 2.7182

ตวอยาง 10.5 จงหาคาของ log3 15 + log3 12 + log3 5 – log3 9 วธทา = log3

××

915 12 15 = log3 100 = log3 102 = 2 ⋅ (log3 10)

= 2 ⋅

3 log110

= 2 ⋅

3 log

1 ≈ 2 ⋅

0.4771

1

สตร10.11! blog ab = a ตอดวยสตร ฐาน log และ expo

เผอวาเรา ลาบากอยหนใด เหมอนกน ใหเอาหลง log มาตอบ

หวใจ กยงมคน ดแล


โจทยลอการทม แนวสตรพนฐาน BRAN-Pb2.35 (PAT1’ต.ค.53) กาหนดให a, b, c และ d เปนจานวนจรงทมากกวา 1 ถา (logb a)(logd c) = 1 แลวจงหาคาของ a(logbc – 1)b(logcd –1)c(logda –1)d(logab –1) ตอบ ................... วธเรวๆ ถา (logb a)(logd c) = 1 จะหาคาของ a(logbc – 1)b(logcd –1)c(logda –1)d(logab –1) วธจรง เพราะวา (logb a)(logd c) = 1 blog

a log ⋅ dlog

clog = 1

จะได (logd a)(logb c) = 1 ฉะนน logb c = a log

1d

= loga d , logc d = c log1d

= logb a

logd a = c log1b

= logc b , loga b = a log1b

= logd c

∴ a(logbc –1)b(logcd –1)c(logda –1)d(logab –1) = abcddcba balogadlogdclogcblog ⋅⋅⋅

= abcddcba cdlogbclogablogdalog ⋅⋅⋅

= abcdcbad ⋅⋅⋅ = 1

สตร 10.8! logb a = blogalog

cc

สตร 10.9! loga x = a log1x

สตร 10.3! logm m = 1

สตร 10.11! blogba = a ตอดวยสตร ฐาน log และ expo

เผอวาเรา ลาบากอยหนใด เหมอนกน ใหเอาหลง log มาตอบ

หวใจ กยงมคน ดแล


โจทยเพมเตมลอการทม แนวสตรพนฐาน

SheLL1.14 (PAT1’ก.ค.53) ให x เปนจานวนจรงบวกทสอดคลองกบสมการ 35x ⋅ 9x2 = 27

และ y = 7)5)(log3)(log(log7)5)(log3)(log(log

864642 จงหาคาของ xy เทากบขอใด

1) – 81

2) 81

3) –27 4) 27 FPAT-Pb9 (PAT1’ก.ค.52) กาหนดให a, b, c, d เปนจานวนจรงทมากกวา 1 โดยท loga d = 30 , logb d = 50 และ logabc d = 15 จงหาวาคาของ logc d เทากบเทาใด 1) 75 2) 120 3) 150 4) 180 FPAT-Pb8 (B-PAT1’ต.ค.51) ให m และ n เปนจานวนเตมบวก ถา m⋅log505 + n⋅log50 2 = 1 แลว m + n เทากบขอใดตอไปน 1) 2 2) 3 3) 4 4) 6 KAiOU-Pb 1.10 (PAT1’ม.ค.53) กาหนดให x และ y เปนจานวนจรงบวก และ y ≠ 1 ถา logy 2x = a และ 2y = b แลว x มคาเทากบขอใดตอไปน 1) 2

1 (log2 b)a

2) 2⋅(log2 b)a

3) 2a (log2 b)

4) 2a⋅(log2 b) FPAT-Pb7 (B-PAT1’ต.ค.51) ถา 4(log a)2 + 9(log b)2 = 12(log a)(log b) แลวขอใดตอไปนถก 1) b2 = a 2) a2 = b 3) a3 = b2 4) a2 = b3


โจทยลอการทม แนวสตรพนฐาน VS ผลบวกราก, ผลคณราก BRAN-Pb1.10 (PAT1’ต.ค.53) ถา a, b และ c เปนรากของสมการ x3 + kx2 – 18x + 2 = 0

แลว จงหา log27

++ c1 b1 a1 เมอ k เปนจานวนจรง

1) 91 2) 3

1 3) 32 4) 1

แนวคดเรว 1⋅x3 + k⋅x2 – 18x + 2 = 0 ผลบวกราก = a + b + c = .................... a ⋅ b + b ⋅ c + c ⋅ a = .................... ผลคณราก = a ⋅ b ⋅ c = .................... แนวคดท 2 ขนท 1 เนองจาก x = a, b, c เปนราก(เปนคาตอบ)ของสมการ x3 + kx2 – 18x + 2 = 0 จงไดวา x3 + kx2 – 18x + 2 = (x – a)(x – b)(x – c) x3 + kx2 – 18x + 2 = x3 – (a + b + c)x2 + (ab + bc + ca)x – abc เทยบสมประสทธ ฉะนน ab + bc + ca = –18 และ abc = –2 ขนท 2 จะหา log27

++ c1 b1 a1 = หา ค.ร.น. เพอรวมเศษสวน = log27

⋅⋅⋅ ++ ab

ab c1 acac b1 bc

bc a1

= log27

++

abcab ac bc = log27

218-- = log27 9

= log33 3

2 = 32

⋅ (log3 3) = 32

⋅ (1) = 32 ตอบ

เทคนคลนลา กบ คร Sup’k

ผลคณราก คอ..................... ผลบวกราก คอ......................... จบมอไวแลวไปดวยกน เหมอนวาไมมวนจะพรากไป

แลวไลเครองหมาย + , - , - , ... .............................. ทาอะไรไดดงฝนใฝ ถาเรารวมใจ

แตขอให................. co-ef หนาสด ตองเปน ....... จดหมายทฝนกนไว กคงไมเกนมอเรา


โจทยลอการทม แนวแกสมการ log BRAN-Pb1.11 (PAT1’ต.ค.53) เซตคาตอบของสมการ xlog2

3 – log27 x3 = 6 ตรงกบเซตคาตอบของสมการในขอใดตอไปน 1)

14

log13

log12

log 3 2 29244x 9x1

+- = 0

2) 2⋅log2(x + 1) – log2(x2 – 14x + 41) = 1

3) )5 8x x(1 23 ++ - + )5 8x x(2 2

3 --- = 28 4) log3x 3 + log27 3x + 3

4 = 0

โจทยเพมเตมลอการทม แนวแกสมการ log FPAT-Pb11 (PAT1’ก.ค.52) เซตคาตอบของสมการ 2log (4 – x) = log2(9 – 4x) + 1

เปนสบเซตของชวงใด 1) [–9, –7) 2) [–7, –2) 3) [–2, 2) 4) [2, 7) KMK-Pb 2.10 (PAT1’ต.ค.52) รากทมคานอยทสดของสมการ 2log(x–2) ⋅ 2log(x–3) = 2log 2 มคาเทาใด ตอบ........................... FPAT-Pb12 (PAT1’ม.ค.52) ผลบวกของคาตอบทงหมดของสมการ log3x = 1 + logx9 อยในชวงใด 1) [0, 4) 2) [4, 8) 3) [8, 12) 4) [12, 16)

สตร I เจอ logm ♥ = logm → ....................

สตร II เจอ log5 ♥ = 7 → ....................


log m ♥ Sup’k Tips


KMK-Pb 2.9 (PAT1’ต.ค.52) กาหนดให logy x + 4 logx y = 4 แลว logy x3 เทากบเทาใด ตอบ........................... โจทยแนวใหมเซอรไพส แนว.................................... Sup’k-Pb2.28.1 จงหาคา x ซงสอดคลองกบสมการ (x2 – 36)4 = cos (x ⋅ π) – 1 ตอบ .......................... แนวคด Sup’k-Pb2.28.2 (ดกแนวPAT1) จงหาคา x ใหครบทกตว ซงสอดคลองกบสมการ 2 x - = 32 – x5 ตอบ........................... BRAN-Pb2.28 (PAT1’ต.ค.53) ให R แทนเซตของจานวนจรง

ถา B =

=+++ π∈ 1 1 7 xcos3 10) 7x x(logR x 22

2 ---

แลวผลบวกของสมาชกในเซต B เทากบเทาใด ตอบ...........................

Sup’k Tips1.1 Sup’k Tips1.2 สตรแถม1.3



BRAN-Pb2.28 ตอบ 0003.00

แนวคด จากสมการ log2(–x2 + 7x – 10) + 3 1 7 xcos 2 -

+π = 1

ขนท 1 เงอนไข 0 ≤ ใตรด ∴ 0 ≤ cos

+π 7 x2 – 1 → ∴ 1 ≤ cos

+π 7 x2 → (๑)

ขนท 2 เงอนไขตรโกณ –1 ≤ cos θ ≤ 1 จะได ∴ -1 ≤ cos

+π 7 x2 ≤ 1 → (๒) ขนท 3 จาก (๑) และ (๒) ใชSup’k Tips จะไดวา cos

+π 7 x2 = 1 เทานน

แทนคาในโจทย log2(–x2 + 7x – 10) + 3 ⋅ 1 7 xcos 2 -

+π = 1

∴ log2(–x2 + 7x – 10) + 3 ⋅ 1 1 - = 1

log2(–x2 + 7x – 10) = 1 ปลด log ไปเสยบอกฝง (–x2 + 7x – 10) = 21 –x2 + 7x – 10 = 2 → ∴ x = 3, 4 ขนท 4 ตรวจคาตอบ

กรณท1 เมอ x = 3 แลว log2(–32 + 7 ⋅ 3 – 10) + 3 ⋅ 1 7 3cos 2 -

+π = 1

log2(2) + 3 ⋅ 11 - = 1

1 + 3 ⋅ 0 = 1 จรง

กรณท 2 เมอ x = 4 แลว log2(–42 + 7 ⋅ 4 – 10) + 3 ⋅ 1 7 4cos 2 -

+π = 1

log2(2) + 3 ⋅ 1 )23cos( -π⋅ = 1 ไมจรง ดงนน x = 3 เทานน จงได B = {3} → ∴ ผลบวกของสมาชกใน B เทากบ 3 ตอบ

Sup’k Tips


ทบทวนสตรตรรกศาสตร . นเสธ และ หรอ

P ∼P P Q P ∧ Q P Q P ∨ Q T ∼T ≡ F T T T ∧ T ≡ T T T T ∨ T ≡ T F ∼F ≡ T T F T ∧ F ≡ F T F T ∨ F ≡ T

F T F ∧ T ≡ F F T F ∨ T ≡ T F F F ∧ F ≡ F F F F ∨ F ≡ F

ถา...แลว... ...กตอเมอ...

P Q P → Q P Q P ↔ Q T T T → T ≡ T T T T ↔ T ≡ T T F T → F ≡ F T F T ↔ F ≡ F F T F → T ≡ T F T F ↔ T ≡ F F F F → F ≡ T F F F ↔ F ≡ T

ประพจนทสมมลกน คอ ประพจนสองประพจนทมคาความจรงเหมอนกนทกกรณ กรณตอกรณ สมมลใชสญลกษณ คอ ≡ เชน (p ∧ q) → r ≡ (p → r) ∨ (q → r) พสจน p q r (p ∧ q) (p ∧ q) → r (p → r) (q → r) (p → r) ∨ (q → r) T T T (T ∧ T) ≡ T T → T ≡ T T T T ∨ T ≡ T T T F (T ∧ T) ≡ T T → F ≡ F F F F ∨ F ≡ F T F T (T ∧ F) ≡ F F → T ≡ T T T T ∨ T ≡ T T F F (T ∧ F) ≡ F F → F ≡ T F T F ∨ T ≡ T F T T (F ∧ T) ≡ F F → T ≡ T T T T ∨ T ≡ T F T F (F ∧ T) ≡ F F → F ≡ T T F T ∨ F ≡ T F F T (F ∧ F) ≡ F F → T ≡ T T T T ∨ T ≡ T F F F (F ∧ F) ≡ F F → F ≡ T T T T ∨ T ≡ T


โจทยตรรกศาสตร แนวพนฐาน VS สมมล VS สจนรนดร BRAN-Pb1.1 (PAT1’ต.ค.53) กาหนดให A, B และ C เปนประพจนใดๆ ขอใดตอไปนถกตอง 1) ถา A ↔ B มคาความจรงเปนจรง แลว (B ∧ C) → (∼A → C) มคาความจรงเปนเทจ 2) ประพจน A → [(A ∧ B) ∨ (B ∨ C)] เปนสจนรนดร 3) ประพจน [(A ∧ B) → C] → [(A → B) → (A → C)] เปนสจนรนดร 4) ประพจน (A → C) ∧ (B → C) สมมลกบประพจน (A ∧ B) → C แนวคด ชอย ขอ 4) ประพจน (A → C) ∧ (B → C) ≡ สมมลกบประพจน (A ∧ B) → C วธเรวๆ วธจรง ผด เพราะ (A → C) ∧ (B → C) ≡ ≡ (∼A ∨ C) ∧ (∼B ∨ C) ≡ (∼A ∧ ∼B) ∨ C ≡ ∼(A ∨ B) ∨ C ≡ (A ∨ B) → C ≡ (A ∧ B) → C

สตร กฎการสลบท p ∧ q ≡ q ∧ p p ∨ q ≡ q ∨ p กฎการเปลยนกลม (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r) (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) กฎการคณกระจาย p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) กฎเดอรมอนแกน ∼(p ∧ q) ≡ ∼p ∨ ∼q ∼(p ∨ q) ≡ ∼p ∧ ∼q กฎนเสธ ∼(∼p) ≡ p

สตรนยม “หนา ช หลง”

Sup’k Tips (q ∧ r) → p ≡ (q → p) ∨ (r → p) (q ∨ r) → p ≡ (q → p) ∧ (r → p) p → (q ∧ r) ≡ (p → q) ∧ (p → r) p → (q ∨ r) ≡ (p → q) ∨ (p → r)


ชอย ขอ 1) ถา A ↔ B มคาความจรงเปนจรง แลว (B ∧ C) → (∼A → C) มคาความจรงเปนเทจ วธทาเรวๆ วธจรง

A B C (B ∧ C) → [∼A → C] T T T (T ∧ T) → [∼T → T]

≡ (T) → [ F → T] ≡ (T) → [ T ] ≡ T

T T F (T ∧ F) → [∼T → F] ≡ (F) → [ F → F] ≡ (F) → [ T ] ≡ T

T F T T F F F T T F T F F F T (F ∧ T) → [∼F → T]

≡ (F) → [ T → T] ≡ (F) → [ T ] ≡ T

F F F (F ∧ F) → [∼F → F] ≡ (F) → [ T → F] ≡ (F) → [ F ] ≡ T

หลก I ลาดบการทา แบบ ตรง ขนท 1 ทาในวงเลบกอน ขนท 2 ทา นเสธ ขนท 3 ทา ∧, ∨ ขนท 4 ทา → ขนท 5 ทา ↔

หลก II ลาดบการทา แบบ ยอนกลบ ขนท 1 ทา ↔ ขนท 2 ทา → ขนท 3 ทา ∧, ∨ ขนท 4 ทา นเสธ ขนท 5 ทาในวงเลบ

A B A ↔ B T T T ↔ T ≡ T T F T ↔ F ≡ F F T F ↔ T ≡ F F F F ↔ F ≡ T


ชอย ขอ 1) ถา A ↔ B มคาความจรงเปนจรง แลว (B ∧ C) → (∼A → C) มคาความจรงเปนเทจ วธเหนอชน ชอย ขอ 2) ประพจน A → [(A ∧ B) ∨ (B ∨ C)] เปนสจนรนดร วธเหนอชน วธทาเรวๆ วธจรง หลกการตรวจสอบสจนรนดร : ใชวธการจบเทจ (แตกกงยอนกลบ)

T FF

F F

F F FT

A C)](B B)[(A ∨∨∧

สตรนยม “หนา ช หลง”

Sup’kerลด


การจบเทจ สาเรจ เพราะไมเกดขอขดแยงใดๆ ∴ ดงนน ประพจนน ไมเปน สจนรนดร ชอย ขอ 3) ประพจน [(A ∧ B) → C] → [(A → B) → (A → C)] เปนสจนรนดร วธจรงแบบ I หลกการตรวจสอบสจนรนดร : ใชวธการจบเทจ (แตกกงยอนกลบ)

ซงไมตรงกบการแตกกงในขนท (๒)

เกดขอขดแยง

(๑)

T

F

T

T T T F

F

F (๒)

(๓)

(๔)(๔)

(๓)

(๕)(๗)(๗) (๗)F

(๒)

B)(A[ ∧ ]C B)(A [ ]C)(A

) T T ( ∧

) T T ( ∧

เพราะวาจากขนท (๗)F

≡ (T) F≡ F

(๖)

การเกดขอขดแยง หมายถง การจบเทจ ไมสาเรจ แสดงวา ประพจนในขอน เปน สจนรนดร วธจรงแบบ II ถก สมมตวา [(A ∧ B) → C] → [(A → B) → (A → C)] ไมเปนสจนรนดร ฉะนน [(A ∧ B) → C] → [(A → B) → (A → C)] ≡ F ได สงผลให (A ∧ B) → C ≡ T ...(1) และ (A → B) → (A → C) ≡ F ...(2) โดย (2) จะได A → B ≡ T และ A → C ≡ F ฉะนน A ≡ T , B ≡ T , C ≡ F ทาให (A ∧ B) → C ≡ F ขดแยงกบ (1)

ดงนน [(A ∧ B) → C] → [(A → B) → (A → C)] เปนสจนรนดร


โจทยตรรกศาสตรเพมเตม แนวสมมล VS สจนรนดร SheLL1.1 (PAT1’ก.ค.53) ให p, q, r และ s เปนประพจน ถาประพจน (p ∨ q) → (r ∨ s) มคาความจรงเปนเทจ และประพจน p ↔ r มคาความจรงเปนจรง ประพจนในขอใดตอไปนมคาความจรงเปนจรง 1) (q → p) ∧ (q → r) 2) q → [p ∨ (q ∧ ∼r)] 3) (p → s) ↔ (r ↔ q) 4) (r ↔ s) ∧ [q → (p ∧ r)] KMK-Pb 1.2 (PAT1’ต.ค.52) กาหนดให p, q, r เปนประพจน พจารณาขอความตอไปน

ก. ถา q ∧ r มคาความจรงเปนจรง แลว p และ p ∨ [(q ∧ r) → p] มคาความจรงเหมอนกน

ข. ถา p มคาความจรงเปนเทจ แลว r และ (p → q) ∧ r มคาความจรงเหมอนกน ขอใดตอไปนเปนจรง 1) ก. ถก และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. ผด และ ข. ผด FPAT-Pb17 (PAT1’ม.ค.52) กาหนดให p, q, r เปนประพจน จงพจารณาขอความตอไปน ก. ประพจน p → (p → (q ∨ r)) สมมลกบประพจน p → (q ∨ r) ข. ประพจน p ∧ (q → r) สมมลกบประพจน (q → p) ∨ ∼(p → ∼r) ขอใดตอไปนถก 1) ก. ถก และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. ผด และ ข. ผด FPAT-Pb18 (B-PAT1’ต.ค.51) กาหนดให P, Q, R, S เปนประพจน พจารณาขอความตอไปน (i) ประพจน (∼P ∨ Q) → (R ∧ ∼S) สมมลกบ (S ∨ ∼R) → (P ∧ ∼Q) (ii) ประพจน (P ∨ R) ∧ [(P ∧ R) → (Q ∨ R ∨ ∼S)] เปนสจนรนดร ขอใดตอไปนถกตอง 1) ขอ (i) ถก และ ขอ (ii) ถก 2) ขอ (i) ถก และ ขอ (ii) ผด 3) ขอ (i) ผด และ ขอ (ii) ถก 4) ขอ (i) ผด และ ขอ (ii) ผด


KAiOU-Pb 1.1 (PAT1’ม.ค.53) ให p และ q เปนประพจนใดๆ ขอใดตอไปนมคาความจรงเปนเทจ 1) (p → q) ∨ p 2) (∼p ∧ q) → q 3) [(p → q) ∧ p] → q 4) (∼p → q) ↔ (∼p ∧ ∼q) วจย กาหนดให U = {-5, -1, 10} P(x) แทน 21) (x + = x + 1 , Q(x) แทน 1x + > 2 , S(x) แทน 21) (x + = |x + 1| แนวคด (i) จงหาคาความจรงของ ∀x[P(x)] (ii) จงหาคาความจรงของ ∃x[P(x)] (iii) จงหาคาความจรงของ ∀x[Q(x)] (iv) จงหาคาความจรงของ ∃x[Q(x)] (v) จงหาคาความจรงของ ∀x[S(x)] (vi) จงหาคาความจรงของ ∃x[S(x)]

Sup’k Tips ถาให U= {10, 20, 30} ∀x จะ T ได

Sup’k Tips ถาให U= {10, 20, 30} ∃x จะ T ได


โจทยตรรกศาสตร แนววลบงปรมาณตวแปรเดยว BRAN-Pb1.2 (PAT1’ต.ค.53) กาหนดเอกภพสมพทธ คอ เซตของจานวนจรง

และ P(x) แทน 21) (x + = x + 1 Q(x) แทน 1x + > 2 ขอใดตอไปนมคาความจรงตรงขามกบประพจน ∃x[P(x)] → ∀x[Q(x)] 1) ∃x[∼P(x)] → ∀x[∼Q(x)] 2) ∃x[P(x)] → ∃x[Q(x)] 3) ∃x[P(x) ∧ Q(x)] → ∀x[P(x)] 4) ∃x[P(x) ∨ Q(x)] → ∀x[Q(x)] ทด พจารณาบางสวนของ ชอยขอ 3) ∃x[P(x) ∧ Q(x)] เพราะวามกรณหนงซง แทน x = 8 ; P(8) ∧ Q(8) ≡ “ 21) (8 + = 8 + 1” ∧ “ 18 + > 2” ≡ T ∧ T ≡ T

∴ ∃x[P(x) ∧ Q(x)] เปน T

∴ สรป ชอย ขอ 3) ∃x[P(x) ∧ Q(x)] → ∀x[P(x)] ≡ T → F ≡ F ทด พจารณาบางสวนของ ชอยขอ 4) ∃x[P(x) ∨ Q(x)] เปน T เพราะวา มกรณหนงซง แทน x = 9 ; P(9) ∨ Q(9) ≡ “ 21) (9 + ≡ 9 + 1” ∨ “ 19 + > 2” ≡ T ∨ T ≡ T

∴ ∃x[P(x) ∨ Q(x)] เปน T

∴ สรป ชอย ขอ 4) ∃x[P(x) ∨ Q(x)] → ∀x[Q(x)] ≡ T → F ≡ F


SheLL1.2 (PAT1’ก.ค.53) กาหนดเอกภพสมพทธ คอ {–1, 0, 1} ขอใดตอไปนถกตอง 1) ∀x∀y[x + y + 2 > 0] มคาความจรงเปนจรง 2) ∃x∃y[x + y > 1] มคาความจรงเปนเทจ 3) ∃x∀y[x + y = 1] มคาความจรงเปนเทจ 4) ∀x∃y[x + y ≥ 0] มคาความจรงเปนเทจ

Sup’k Tips ถาให U= {10, 20, 30} ∀x∀y จะT ได

Sup’k Tips ถาให U= {10, 20, 30} ∃x∃y จะ T ได

Sup’k Tips ถาให U = {10, 20, 30} ∀x∃y จะ T ได

Sup’k Tips ถาให U = {10, 20, 30} ∃x∀y จะ T ได


โจทยตรรกศาสตรเพมเตม แนววลบงปรมาณสองตวแปร KAiOU-Pb 1.2 (PAT1’ม.ค.53) ขอใดตอไปนถกตอง 1) ถาเอกภพสมพทธ คอ {–1, 0, 1} คาความจรงของ ∀x∃y[x2 + x = y2 + y] เปนเทจ 2) ถาเอกภพสมพทธ เปนเซตของจานวนจรง คาความจรงของ ∃x[3x = log3 x] เปนจรง 3) ถาเอกภพสมพทธ เปนเซตของจานวนจรง นเสธของขอความ ∀x∃y[(x > 0 ∧ y ≤ 0) ∧ (xy < 0)] คอ ∃x∀y[(xy < 0) → (x ≤ 0 ∨ y > 0)] 4) ถาเอกภพสมพทธเปนเซตของจานวนเตม นเสธของขอความ ∀x[(x > 0) → (x3 ≥ x2)] คอ ∃x[(x ≤ 0) ∧ (x3 < x)] FPAT-Pb21 (PAT1’ก.ค.52) กาหนดเอกภพสมพทธ U = {n ∈ I+ | n ≤ 10} ขอใดตอไปนมคาความจรงเปนเทจ 1) ∃x∀y[ xy ≤ x + y ] 2) ∀x∀y[ (x2 = y2) → (x = y) ] 3) ∀x∃y[ (x ≠ 1) → (x > y2) ] 4) ∃x∃y[ (x – y)2 ≥ y2 + 9xy ] KMK-Pb 1.1 (PAT1’ต.ค.52) กาหนดใหเอกภพสมพทธ คอ {–2, –1, 1, 2} ประโยคในขอใดตอไปนมคาความจรงเปนเทจ 1) ∃x∃y[x ≤ 0 ∧ |x| = y + 1] 2) ∃x∀y[x ≤ y ∧ –(x + y) ≥ 0] 3) ∀x∃y[x + y = 0 ∨ x – y = 0] 4) ∀x∀y[|x| < |y| ∨ |x| > |y|] FPAT-Pb22 (PAT1’ม.ค.52) กาหนดใหเอกภพสมพทธ คอ U = {{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}} ขอใดตอไปนถกตอง 1) ∀x∀y[ xI y ≠ ∅ ] 2) ∀x∀y[ xU y = U ] 3) ∀x∃y[ y ≠ x ∧ y ⊂ x ] 4) ∃x∀y[ y ≠ x ∧ y ⊂ x ]


โจทยตรรกศาสตร แนวสมเหตสมผล FPAT-Pb23 (B-PAT1’ต.ค.51) ให P, Q , R เปนประพจน พจารณาการอางเหตผลตอไปน เหต 1. P → (∼Q ∨ R) 2. Q ∨ R 3. ∼R ผล S S เปนประพจนในขอใด จงจะทาใหการอางเหตผลขางตน สมเหตสมผล 1) ∼P 2) ∼Q 3) P ∨ ∼Q 4) P ∨ R วธจรง ชอย ขอ 1) ;

(๗)

เกดขอขดแยงเพราะวา

(๑)FF(๒)

T (๓)T(๒)

T(๒)

F (๕) F(๔)T(๖)T(๒)

R)(Q R)Q~ (P )([ ∨∧∨ P][~]R)(~ ∧

)( F)T(~ T ∨

จากขนท (๗) (T → (∼T ∨ F) ) ≡ (T → ( F ∨ F) ) ≡ (T → (F)) ≡ F ซงไมตรงกบการแตกกงในขนท (๒) การเกดขอขดแยง หมายถง การจบเทจ ไมสาเรจ แสดงวา ประพจนในขอน เปน สจนรนดร

∴ โจทยขอน เปน ขอความทสมเหตสมผล ดวยตอบ

ทฤษฎ สมมต ถามเหต : S1, S2, S3, ..., Sn ผล : P ขอความดงกลาวจะ สมเหตสมผล กตอเมอ [S1 ∧ S2 ∧ S3 ∧ ... ∧ Sn] → P เปน สจนรนดร หลก ...................................................................................................................................................................

Sup’k ลด


โจทยระบบจานวนจรง แนวทฤษฎบทเศษเหลอ FPAT-Pb32 (B-PAT1’ต.ค.51) ให c เปนคาคงตว และ P(x) = x3 – 3x2 + 2

c x + 5

ถา P(x) หารดวย x – 2 เหลอเศษเทากบ 7 แลว P

+ 2 3c เทากบขอใดตอไปน

1) 31 2) 33 3) 35 4) 37 โจทยระบบจานวนจรง แนวแกสมการพหนาม FPAT-Pb34 (B-PAT1’ต.ค.51) ให A = {x | x ∈ I และ x3 – x = 0} เซตในขอใดตอไปนเทากบ A 1) {x | x ∈ R และ x2 – x4 = 0} 2) {x | x ∈ R และ x3 + x = –2x} 3) {x | x ∈ I และ x2 – 1 = 0} 4) {x | x ∈ I และ x2 + 1 = –2x} FPAT-Pb35 (PAT1’ม.ค.52) กาหนดให S = {x | |x|3 = 1} เซตในขอใดตอไปนเทากบเซต S 1) {x | x3 = 1} 2) {x | x2 = 1} 3) {x | x3 = –1} 4) {x | x4 = x} FPAT-Pb36 (B-PAT1’ต.ค.51) ให A เปนเซตคาตอบของสมการ x4 – 5 2 x2 + 8 = 0 ผลบวกของสมาชกทเปนจานวนจรงบวกของ A เทากบขอใดตอไปน 1) 18 2) 24 3) 4 242 4) 4 162 FPAT-Pb37 (PAT1’ม.ค.52) กาหนดให S เปนเซตคาตอบของสมการ 2x3 – 7x2 + 7x – 2 = 0 ผลบวกของสมาชกทงหมดของ S เทากบขอใดตอไปน 1) 2.1 2) 2.2 3) 3.3 4) 3.5 KMK-Pb 1.4 (PAT1’ต.ค.52) ให A เปนเซตคาตอบของสมการ x3 + x2 – 27x – 27 = 0 และ B เปนเซตคาตอบของสมการ x3 + (1 – 3 )x2 – (36 + 3 )x – 36 = 0 AI B เปนสบเซตของชวงในขอใดตอไปน 1) [–3 5 , –0.9] 2) [–1.1 , 0] 3) [0 , 3 5 ] 4) [1 , 5 3 ]


โจทยระบบจานวนจรง แนวแกอสมการ FPAT-Pb39 (PAT1’ก.ค.52) ถา S = {x ∈ R | (x2 – 1)(x2 – 3) ≤ 15} ม a เปนจานวนทมคานอยทสดใน S และม b เปนจานวนทมคามากทสดใน S แลว (b – a)2 มคาเทากบเทาใด 1) 24 2) 12 3) 6 4) 3 โจทยระบบจานวนจรง แนวแกอสมการ ตดเศษสวน ดานใดดานหนง เทากบ 0

FPAT-Pb41 (B-PAT1’ต.ค.51) ให X =

≤+

+ 0 1)4)(2x (x 3) 2)(x (x x -

- และ Y = {x | x ∈ X และ x < 0}

ถา p เปนสมาชกทมคามากทสดของ X และ q เปนสมาชกทมคามากทสดของ Y แลว |pq| เทากบขอใดตอไปน 1) 6 2) 8 3) 10 4) 12

FPAT-Pb43 (PAT1’ก.ค.52) ให A เปนเซตคาตอบของอสมการ 65x x36 13x x

224

++

+- ≥ 0

ถา a เปนสมาชกทมคานอยทสดในเซตAI (2, ∞) และ b เปนจานวนจรงลบทมคามากทสด โดยท b ∉ A แลว a2 – b2 มคาเทากบเทาใด 1) –5 2) –9 3) 5 4) 9 FPAT-Pb42 (PAT1’ก.ค.52) ให X คอ เซตคาตอบของอสมการ x2

1)1)(x (2x -

-+ ≥ 0

Y คอ เซตคาตอบของอสมการ 2x2 – 7x + 3 < 0 คาของ 6a – b มคาเทาใด เมอ XI Y = [a, b) 1) 4 2) 6 3) 8 4) 10 โจทยระบบจานวนจรง แนวแกอสมการ ตดเศษสวน ดานใดดานหนง ไมเทากบ 0

KMK-Pb 1.5 (PAT1’ต.ค.52) กาหนดให S =

+≥1x2 x

23x xx x 22

---

ชวงในขอใดตอไปนเปนสบเซตของ S 1) (–∞, –3) 2) (–1, 0.5) 3) (–0.5, 2) 4) (1, ∞)

Sup’k หลก


โจทยระบบจานวนจรง แนว แกอสมการคาสมบรณ แบบม แอบขางเดยว อกขางเปนคาคงท KAiOU-Pb 1.4 (PAT1’ม.ค.53) กาหนดให A =

≤∈ + 4 9 6x x R x 2 - เมอ R คอเซตของจานวนจรง

ขอใดตอไปนถกตอง 1) A′ = {x ∈ R | |3 – x| > 4} 2) A′ ⊂ (–1, ∞) 3) A = {x ∈ R | x ≤ 7} 4) A ⊂ {x ∈ R | |2x – 3| < 7} BRAN-Pb1.3 (PAT1’ต.ค.53) ให I แทนเซตของจานวนเตม และ P(S) แทนเพาเวอรเซตของเซต S ให A = {x ∈ I | |x2 – 1| < 8} และ B = {x ∈ I | 3x2 + x – 2 ≥ 0} ขอใดตอไปนถกตอง 1) จานวนสมาชกของ P(A – B) เทากบ 4 2) จานวนสมาชกของ P(I – (AU B)) เทากบ 2 3) P(A – B) = P(A) – P(AI B) 4) P(A – B) – P(AI B) = {{0}} โจทยระบบจานวนจรง แนว แกอสมการคาสมบรณ แบบม แอบขางเดยว อกขางเปนตวแปร FPAT-Pb46 (PAT1’ม.ค.52) กาหนดให A = {x | |x – 1| ≤ 3 – x} และ a เปนสมาชกคามากทสดของ A คาของ a อยในชวงใด 1) (0 , 0.5] 2) (0.5 , 1] 3) (1 , 1.5] 4) (1.5 , 2] โจทยระบบจานวนจรง แนว แกอสมการคาสมบรณ แบบม แอบสองขาง FPAT-Pb45 (B-PAT1’ต.ค.51) ถาชวง (a, b) เปนเซตคาตอบของอสมการ 2|x + 3| > 3|x – 2| แลว b – a เทากบขอใดตอไปน 1) 11 2) 12 3) 13 4) 14 โจทยระบบจานวนจรง แนว แกอสมการคาสมบรณ แบบ ปลดแอบโดยนยาม SheLL1.4 (PAT1’ก.ค.53) ถา A =

>∈ + 1 3 |x| x 2 | x 1| R x -

-- แลว AI [0, 1) เทากบขอใด

1)

32 ,3

1

2)

1 ,31

3)

1 ,32

4)

23 ,3

2


เรขาคณตวเคราะห

สตร1.11! พนทรป n เหลยม ในกรณทรจดยอด n จดของรป n เหลยมใดๆ : (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), ..., (xn, yn) เชน จงหาพนทของรป ABCD เมอ A(1, 3), B(2, 0), C(5, 7), D(-1, 5) แนวคด

D(-1, 5)

A(1, 3) B(2, 0)

C(5, 7)

หลกการใชสตร 1. เรมตนจากจดใด ตองลงทายดวยจดนน 2. วนในทศใดทศหนง 3. ...................................................................................... 4. ...................................................................................... 5. ...................................................................................... ขอควรระวง .............................................................................................................................................................


โจทยเรขาคณตวเคราะห แนวหาพนทรป n เหลยม BRAN-Pb1.9 (PAT1’ต.ค.53) ให ABCD เปนรปสเหลยมทมจดยอด โดยท A(–2, 3) , B(2, 8) , C(4, 4) และ D(0, –3) พนทของรปสเหลยม ABCD เทากบขอใดตอไปน 1) 16 ตารางหนวย 2) 32 ตารางหนวย 3) 10 13 ตารางหนวย 4) 26 10 ตารางหนวย วธคดเรวๆ วธจรง BRAN-Pb1.9 ตอบ 2) ขนท 1 จากรป พนท [PQRS] = PQ ⋅ QR = |–2 – 4|⋅|–3 – 8| = 66 พนท [ABP] = 2

1 ⋅ AP ⋅ BP = 2

1 |8 – 3|⋅|–2 – 2|

= 10 ตารางหนวย พนท [BCQ] = 2

1 ⋅ CQ ⋅ BQ = 2

1 |8 – 4|⋅|4 – 2|

= 4 ตารางหนวย พนท [CDR] = 2

1 ⋅ CR ⋅ DR = 2

1 |–3 – 4|⋅|4 – 0|

= 14 ตารางหนวย พนท [ADS] = 2

1 ⋅ AS ⋅ DS = 2

1 |–3 – 3|⋅|–2 – 0| = 6 ตารางหนวย ขนท 2 จะหา พนท [ABCD] = [PQRS] – [ABP] – [BCQ] – [CDR] – [ADS] ∴ พนท [ABCD] = 66 – 10 – 4 – 14 – 6 = 32 ตารางหนวย

Y

X

C(4, 4)

B(2, 8) Q(4, 8)P(-2, 8)

A(-2, 3)

S(-2, -3) D(0, -3) R(4, -3)


สตร1.1! สตรระยะระหวางจดสองจด

d = 21PP = 221

221 ) y (y ) x (x -- +

เชน จงหาระยะหางระหวางจด A(5, -4) , B(7, 8) วธทา AB = 22 )( 8 4)( 7) (5 --- +

= 22 12)( 2)( -- + = 1444 + = 148 สตร1.2! สตรจดกงกลางหางระหวางจดสองจด จดกงกลางระหวาง 21PP =

++

2 y y ,2

x x 2121 เชน จงหาจดกงกลางระหวางจด A(5, -4), B(7, 8) วธทา จดกงกลาง =

++

28 4)( ,2

7 5 -

= (6 , 2)

Y

X

P1(x1, y1)

P2(x2, y2)

Y

X

P1(x1, y1)P2(x2, y2)


สตร1.3! สตรหาจดปลาย เมอใหจดกงกลาง และจดปลายอกดานหนง เชน ใหจด (6, 2) เปนจดกงกลางระหวางจด A(5, -4) และจด B

จงหาจด B วธทา สมมตวา จด B(x, y) (6, 2) = จดกงกลาง =

++

2 y4 ,2

x 5 -

6 = 2x5 + , 2 = 2

y4 +-

7 = x , 8 = y ∴ B(x, y) = B(7, 8) NichTor-Pb3.1 (แนว PAT1’ธ.ค.54) กาหนดให A(1, 3) เปนจดกงกลางของ OP เมอ O(-1 , 2) จงหาพกดจด P ตอบ .............................. วธทา

A(5, -4) (6, 2)

B(x, y)

Sup’k Tips


C(9, 1)

B(1,-5)A(-3,-2)

D(x, y)

G

FPAT-Pb48 (B-PAT1’ต.ค.51) ให ABCD เปนสเหลยมดานขนานทอยในระนาบ XY ถา A = (–3, –2), B = (1, –5), C = (9, 1) แลว BD มคาเทากบขอใดตอไปน 1) 91 2) 10 3) 97 4) 10 2 วธคดเรวๆ วธจรง & พสจนสตรลด ขนท 1 สมการ จดกงกลางของเสนทแยงมมAC = จด G = จดกงกลางของเสนทแยงมมBD

++

212][ ,2

93][ -- =

++

25][y ,2

1 x -

∴ 293][ +- = 2

1x + และ 212][ +- = 2

5][ y -+

∴ 5 = x และ 4 = y ∴ D(x, y) = D(5, 4) ขนท 2 จะหา BD = ระยะ BD = 22 y)( x)( ∆∆ + = 22 5])[ (4 1) (5 --- + = ตอบ97

ทฤษฎเรขาคณตเสนทแยงมมของสเหลยมดานขนาน จะตดกนและแบงครงซงกนและกน

Sup’k Tips C( 9, 1)

D

B(1, - 5)

A(-3,-2)


โจทยเพมเตมเรขาคณตวเคราะห . KAiOU-Pb 1.15 (PAT1’ม.ค.53) ให ABC เปนรปสามเหลยมทม A(0, 0) และ B(2, 2) เปนจดยอด และ C(x, y) เปนจดยอดในจตภาค(quadrant)ท 2 ททาใหดาน AC ยาวเทากบดาน BC ถาพนทของสามเหลยม ABC มคาเทากบ 4 ตารางหนวย แลวจด C อยบนเสนตรงในขอใด 1) x – y + 4 = 0 2) 4x + 3y – 1 = 0 3) 2x – y – 3 = 0 4) x + y – 5 = 0 KAiOU-Pb 1.9 (PAT1’ม.ค.53) จด A(-3, 1), B(1, 5), C(8, 3) และ D(2, –3) เปนจดยอดของรปสเหลยม ABCD ขอใดตอไปนผด 1) ดาน AB ขนานกบดาน DC 2) ผลบวกความยาวของดาน AB กบ DC เทากบ 10 2 หนวย

3) ระยะตงฉากจากจด A ไปยงเสนตรงทผานจด C และ D มคาเทากบ 229 หนวย

4) ระยะตงฉากจากจด B ไปยงเสนตรงทผานจด C และ D มคาเทากบ 29 หนวย

FPAT-Pb49 (B-PAT1’ต.ค.51) ให A(–1, –1) และ B(1, c) เปนจดในระนาบ XY ถา L เปนเสนตรงซงผานจด A, B และมความชนเทากบ 3 แลวเสนตรงทมความชนเทากบ –2 และผานจด B จะมสมการดงขอใดตอไปน 1) y = –2x + 7 2) y = –2x + 5 3) y = –2x + 3 4) y = –2x + 1 SheLL1.9 (PAT1’ก.ค.53) รปสามเหลยม ABC มมม CBAˆ เปนมมฉาก และดานตรงขามมมฉากยาว 10 หนวย ถาพกดของจด A และจด B คอ (–4, 3) และ (–1, 2) ตามลาดบ แลวสมการเสนตรงในขอใดผานจด C 1) x + 8y – 27 = 0 2) 8x + y – 27 = 0 3) 4x – 5y + 3 = 0 4) –5x + 4y + 3 = 0

คณตศาสตร (100) _____________________________________ โครงการแบรนดซมเมอรแคมป 2012

สตร 1.20! โปรเจกชนของจด P บนเสนตรง L สตร ระยะหางระหวางจด P(x1, y1) กบเสนตรง L คอ

d = 22

11B A

|C ByAx|+

++

ระวง 1.20! NichTor-Pb3.2 (แนว PAT1’ธ.ค.54) จงหาระยะทางทสนทสดจากจด P(3, 4) ไปยงเสนตรง 3y - 4x = 15 ตอบ ................................. วธทา

Y

XO

L : Ax + By + C = 0P(x1, y1)

ระยะ = d

โครงการแบรนดซมเมอรแคมป 2012_____________________________________ คณตศาสตร (101)

ภาคตดกรวย : วงกลม สตร 2.1! วงกลม ระวง! กอนใชสตร สมประสทธ หนา x2, y2 ตองเทากบ …… สมการรปทวไป

x2 + y2 + Ax + By + C = 0 สมการมาตรฐาน

(x - h)2 + (y - k)2 = r2

จดศนยกลาง

รศม

NichTor-Pb3.3 (แนว PAT1’ธ.ค.54) จงหาจดศนยกลางและรศมของ x2 + y2 + 2x - 4y - 15 = 0 ตอบ................................... วธทา

เทคนคลนลากบครSup’k รองเพลงกบพSup’k แลวจาไดเลย

วงกลมนนมสองสงสาคญ คอจดศนยกลาง กบ รศม ไง ศนยกลางอยท (h, k) =

2B ,2

A --

กอนเคยเชอในลขตฟาดน ปลอยชวตไปตามโชคชะตา แตฝนไมเคยถงฝง ผดหวงในใจเรอยมา เพราะไมมหวใจ รศมคอ รดผลบวกของ กาลงสองของ.................... แลว............................... จะดหรอเลวมนอยทคน จะมหรอจนมนอยทใจ ดนฟาไมเคยลขต .........ตวเลขใดๆ ............................................ ชวตจะเปนเชนไร อยาเลยอยาไปถามฟา


วธการตรวจสอบวาจดใดอยใน หรออยบน หรออยนอกวงกลม

x2 + y2 = 25 กบ P(1, 0) x2 + y2 = 25 กบ P(3, 4) x2 + y2 = 25 กบ P(7, 10) ควรจดสมการใหอยรป (x – h)2 + (y – k)2 = r2 หลงแทนคา จด P(x1, y1) ทสนใจแลว กรณท 1 (x1 – h)2 + (y1 – k)2 < r2 แสดงวา จด P อยในวงกลม กรณท 2 (x1 – h)2 + (y1 – k)2 = r2 แสดงวา จด P อยบนเสนรอบวงกลม กรณท 3 (x1 – h)2 + (y1 – k)2 > r2 แสดงวา จด P อยนอกวงกลม หรอหากจดในรป x2 + y2 + Ax + By + C = 0 หลงแทนคา จด P(x1, y1) ทสนใจแลว กรณท 1 2

1x + 21y + Ax1 + By1 + C < 0 แสดงวา จด P อยในวงกลม

กรณท 2 21x + 2

1y + Ax1 + By1 + C = 0 แสดงวา จด P อยบนเสนรอบวงกลม

กรณท 3 21x + 2

1y + Ax1 + By1 + C > 0 แสดงวา จด P อยนอกวงกลม NichTor-Pb3.4 (แนว PAT1’ธ.ค.54) จงตรวจสอบวา จด A(1, 3) อยดานใน หรอดานนอก หรออยบนเสนรอบวงของ x2 + y2 + 2x - 4y - 15 = 0 ตอบ ..............................


โจทยภาคตดกรวย แนววงกลม PTOR–Pb3.5 (แนวขอสอบจรง PAT1’ธ.ค.54) ถา P เปนจดบนวงกลม x2 + y2 + 2x - 4y - 15 = 0 ทอยใกลจด A(1, 3) มากทสด แลวระยะทางจาก P ไปยงเสนตรง 3y - 4x = 15 มคาเทาใด ตอบ .............................. วธลด ใหฟงครSup’k สอนในหอประชม Brand’s Summer Camp วธจรง ขนท 1 x2 + y2 + 2x - 4y - 15 = 0 จดรปกาลงสองสมบรณ (x2 + 2x + 1) + (y2 - 4y + 4) = 20 (x + 1)2 + (y - 2)2 = 20 (x + 1)2 + (y - 2)2 = 220 ∴ วงกลมมจดศนยกลางท O(-1, 2) รศม r = 20 = 2 5 หนวย ขนท 2 สมมตใหจด P(a, b) อยบนวงกลมทอยใกล A(1, 3) มากทจด นนคอ จด P ททาให O, A, P อยบนเสนตรงเดยวกน (ดรป)

สงเกตวา OA = 22 2) (3 1)( 1 )( --- + = 5 ฉะนน A เปนจดกงกลางของ OP จะได 2

1a - = 1 และ 22 b + = 3

a = 3 และ b = 4 ฉะนน พกดของจด P คอ P(3, 4) ขนท 3 จะหา ระยะหางจาก P กบเสนตรง 3y - 4x = 15 คอ ระยะหางจาก P กบเสนตรง 3y - 4x - 15 = 0 d =

22 4)(3|154(3)3(4)|

---

+ หนวย = 3 หนวย

Y

X

O(-1, 2)A(1, 3)

P(a, b)

Sup’k Tips


โจทยภาคตดกรวย แนววงกลม BRAN-Pb1.8 (PAT1’ต.ค.53) พจารณาขอความตอไปน ก. x2 + y2 + 6x – 4y = 23 เปนสมการวงกลมทสมผสกบเสนตรง ซงมสมการเปน 21x + 20y + 168 = 0 ข. y2 + 16x – 6y = 71 เปนสมการของพาราโบลาทมจดยอดท (–5, 3) และจดโฟกสท (–1, 3) ขอใดตอไปนถกตอง 1) ก. ถก และ ข. ถก 2) ก. ถก แต ข. ผด 3) ก. ผด แต ข. ถก 4) ก. ผด และ ข. ผด KMK-Pb 1.9 (PAT1’ต.ค.52) กาหนดให A = {(x, y) | x2 + y2 = 1} และ B = {(x, y) | x2 + y2 – 10x – 10y + 49 = 0} ถา p ∈ A และ q ∈ B แลว ระยะทางมากทสดทเปนไปไดระหวางจด p และ q เทากบขอใดตอไปน 1) 5 2 หนวย 2) 2 + 5 2 หนวย 3) 2 5 หนวย 4) 5 + 2 5 หนวย BRAN-Pb2.34 (PAT1’ต.ค.53) จด A(1 , 0) และจด B(b , 0) เมอ b > 1 เปนจดปลายของเสนผานศนยกลางของวงกลมวงหนง ถาเสนตรง L ผานจด (–1, 0) และสมผสกบวงกลมวงน มความชน เทากบ 3

4 แลว b เทากบเทาใด ตอบ........................... FPAT-Pb50 (PAT1’ม.ค.52) กาหนดให วงกลมรปหนงมจดศนยกลางอยทจด (2, 1) ถาเสนสมผสวงกลมทจด x = 1 เสนหนงมความชนเทากบ 3

1 แลวจดในขอใดตอไปนอยบนวงกลมทกาหนด

1) (0, 1) 2) (0, 2) 3) (1, 0) 4) (3, 0) FPAT-Pb52 (PAT1’ก.ค.52) ใหเสนตรง l1 และ l2 สมผสกบวงกลม (x – 5)2 + y2 = 20 ทจด A และ B ตามลาดบ โดยทจดศนยกลางของวงกลมอยบนเสนตรงทผานจด A และ B ถาสมการของเสนตรง l1 คอ x – 2y + 5 = 0 แลวจดใดตอไปนอยบนเสนตรง l2 1) (0, 15) 2) (1, –8) 3) (8, –1) 4) (15, 0) KMK-Pb 2.7 (PAT1’ต.ค.52) ให a, b, c เปนจานวนจรง ถาวงกลม x2 + y2 + ax + by + c = 0 มศนยกลางท (2, 1) และมเสนตรง x – y + 2 = 0 เปนเสนสมผสวงกลม แลว |a + b + c| เทากบเทาใด ตอบ ...........................


โจทยภาคตดกรวย แนวพาราโบลา FPAT-Pb54 (PAT1’ก.ค.52) ระยะทางระหวางจดโฟกสของพาราโบลา y2 = –8x กบ เสนตรง 2x + y = 6 มคาเทาใด 1) 2 5 หนวย 2) 3 5 หนวย 3) 4 5 หนวย 4) 5 5 หนวย FPAT-Pb55 (B-PAT1’ต.ค.51) ให P เปนจดตดของเสนตรง x – 2y = 0 และเสนไดเรกตรกซของพาราโบลา x2 = 8y ระยะระหวางจด P และเสนตรง 2x – y = 1 เทากบขอใดตอไปน 1) 5

6 หนวย 2) 57 หนวย 3) 7 หนวย 4) 5

7 หนวย FPAT-Pb56 (PAT1’ม.ค.52) ถาเสนตรงเสนหนงผานจดกาเนดและจดยอดของพาราโบลา y2 – 4y + 4x = 0 และเสนไดเรกตรกซทจด (a , b) แลว a + b มคาเทากบขอใดตอไปน 1) 4 2) 5 3) 6 4) 7 KMK-Pb 2.8 (PAT1’ต.ค.52) พาราโบลามจดยอดท (–1, 0) และมจดกาเนดเปนจดโฟกส ถาเสนตรง y = x ตดพาราโบลาทจด P และจด Q แลว ระยะทางระหวางจด P กบจด Q เทากบเทาใด ตอบ........................... โจทยภาคตดกรวย แนววงร KMK-Pb 1.6 (PAT1’ต.ค.52) กาหนดให S = [–2, 2] และ r = {(x, y) ∈ S × S | x2 + 2y2 = 2} ชวงในขอใดตอไปนไมเปนสบเซตของ Dr – Rr 1) (–1.4, –1.3) 2) (–1.3, –1.2) 3) (1.2, 1.4) 4) (1.4, 1.5) FPAT-Pb57 (B-PAT1’ต.ค.51) วงรทมจดศนยกลางทจด (1, 2) แกนเอกขนานกบแกน X และยาว 6 หนวย แกนโทยาว 4 หนวย ผานจดในขอใดตอไปน 1) (0, 1) 2) (2, 0) 3) (1, 4) 4) (4, 1) FPAT-Pb58 (PAT1’ก.ค.52) ให E เปนวงรทมจดโฟกสทงสองอยบนวงกลม C ทมสมการเปน x2 + y2 = 1 ถาวงร E สมผสกบวงกลม C ทจด (1, 0) แลวจดใดตอไปนอยบนวงร E 1)

21 ,2

1 2)

25 ,2

1 3)

1 ,31 4)

34 ,3

1 FPAT-Pb59 (PAT1’ม.ค.52) กาหนดให วงรรปหนงมโฟกสอยทจด (±3, 0) และผานจด

221 2,

จดในขอใดตอไปนอยบนวงรทกาหนด

1) (–4, 0) 2)

225 0, 3) (6, 0) 4) (0, –3 2 )


โจทยภาคตดกรวย แนวไฮเพอรโบลา KMK-Pb 1.10 (PAT1’ต.ค.52) ให E เปนวงรทมโฟกสอยทจดยอดของไฮเพอรโบลา x2 – y2 = 1 ถา E ผานจด (0, 1) แลวจดในขอใดตอไปนอยบน E

1)

22 1, - 2) (1, 2 )

3)

21 1, - 4)

23 1,

FPAT-Pb62 (B-PAT1’ต.ค.51) ให F1, F2 เปนจดโฟกสของไฮเพอรโบลา 2(x – 1)2 – (y – 2)2 = 8 โดยท F2 อยในควอดรนตท 1 วงกลมทม F2 เปนจดศนยกลางและผานจด (2 3 , 3) คอ วงกลมทมสมการ ดงขอใดตอไปน 1) (x + (1 + 2 3 )2) = 4y – y2 + 2 2) (x – (1 + 2 3 ))2 = 4y – y2 + 2 3) (x + (1 + 2 3 ))2 = 4y – y2 – 2 4) (x – (1 + 2 3 ))2 = 4y – y2 – 2 FPAT-Pb63 (PAT1’ก.ค.52) กาหนด S = {(x, y) | x2 + y2 ≤ 17} P = {(x, y) | x2 – y2 = 1} Q = {(x, y) | y2 – x2 = 1} ถา a ∈ SI P และ b ∈ SIQ แลวระยะทางทนอยทสดระหวาง a และ b เทากบเทาใด 1) 3 2 – 4 2) 2 3 – 2 3) 3 2 – 2 4) 2 3 – 4 FPAT-Pb64 (PAT1’ม.ค.52) กาหนดให A = { a | เสนตรง y = ax ไมตดกราฟ y2 = 1 + x2} และ B = {b | เสนตรง y = x + b ตดกราฟ y2 = 1 – x2 สองจด} เซต {d | d = c2, c ∈ B - A}เทากบชวงใดตอไปน 1) (0, 1) 2) (0, 2) 3) (1, 2) 4) (0, 4) KAiOU-Pb 1.8 (PAT1’ม.ค.53) กาหนดใหวงร 25x2 + 21y2 + 100x – 42y – 404 = 0 แลวไฮเพอรโบลาทมจดยอดอยทจดโฟกสทงสองของวงรและผานจด (–3 , 1 + 8 ) มสมการตรงกบขอใดตอไปน 1) 5y2 – 4x2 – 10 8 y – 32x – 25 = 0 2) 3y2 – 2x2 – 6 8 y – 8x + 15 = 0 3) y2 – 4x2 – 2y – 16x – 19 = 0 4) y2 – 7x2 – 2y – 28x – 28 = 0 SheLL1.8 (PAT1’ก.ค.53) กาหนดวงกลมรปหนงมจดปลายของเสนผานศนยกลางอยบนจดศนยกลาง และจดโฟกสดานหนงของไฮเพอรโบลา 9x2 – 16y2 – 90x + 64y + 17 = 0 แลววงกลมดงกลาวนมพนทเทากบขอใดตอไปน 1) 4

25π ตารางหนวย 2) 225π ตารางหนวย

3) 4π ตารางหนวย 4) 5π ตารางหนวย


โจทยความสมพนธ แนวอนเวอรสของความสมพนธ FPAT-Pb77 (B-PAT1’ต.ค.51) ให r = {(x, y) | 2y = 3x – 4} ถา a, b เปนคาคงตว และ r-1 = {(x, y) | y = ax + b} แลว 3a – b

4 มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 35 2) 4

3 3) 54 4) 3

4 FPAT-Pb78 (PAT1’ก.ค.52) กาหนดความสมพนธ r = {(x, y) | x ∈ [-1, 1] และ y = x2} พจารณาขอความตอไปน ก. r-1 = {(x, y) | x ∈ [0, 1] และ y = ± |x| } ข. กราฟของ r ตดกบกราฟของ r-1 เพยง 2 จด เทานน ขอใดตอไปนถกตอง 1) ก. ถก และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. ผด และ ข. ผด โจทยความสมพนธ แนวหาโดเมนและเรนจ โดยกราฟ FPAT-Pb75 (PAT1’ม.ค.52) กาหนดให f(x) = x2 – 1 เมอ x ∈ (-∞, -1]U [0, 1] และ g(x) = 2x เมอ x ∈ (-∞, 0] ขอใดตอไปนถกตอง 1) Rg ⊂ Df 2) Rf ⊂ Dg

3) f เปนฟงกชน 1 - 1 4) g ไมเปนฟงกชน 1 - 1 FPAT-Pb70 (PAT1’ม.ค.52) กาหนดให A = [–2, –1]U [1, 2] และ r = {(x, y) ∈ A × A | x – y = –1} ถา a, b > 0 และ a ∈ Dr, b ∈ Rr แลว a + b เทากบขอใดตอไปน 1) 2.5 2) 3 3) 3.5 4) 4 โจทยความสมพนธ แนวหาโดเมนและเรนจ โดยการจดรป หาเงอนไข FPAT-Pb71 (สอบตรงวศวะ’50) กาหนด r และ s เปนความสมพนธ r = {(x, y) ∈ R × R | x2 + xy = –1} s =

=×∈ | x 3| 12 yR R y)(x, --

จงหาวา Rs – Rr เปนสบเซตของขอใดตอไปน 1) (–4, –2) 2) (–1, 1) 3) (–2, 0) 4) (–1, 4)

FPAT-Pb72 (สอบตรงวศวะ’51) กาหนดให r =

=×∈2

x95

1 yR R y)(x,

--

s = {(x, y) ∈ R × R | 2xy2 – 3xy = 4x + 1} มจานวนเตมกจานวนทอยในเซต Rr – Ds 1) 0 2) 1 3) 2 4) 7


KAiOU-Pb 1.6 (PAT1’ม.ค.53) ให f และ g เปนฟงกชนจากเซตของจานวนจรงไปยงเซตของจานวนจรง โดยท f(x) =

4 x1 x

2 -- และ g(x) = f(x) – 1x - จงพจารณาขอความตอไปน

ก. Dg = (2, ∞) ข. คาของ x > 0 ททาให g(x) = 0 มเพยง 1 คาเทานน ขอใดตอไปนถกตอง 1) ก. ถก และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. ผด และ ข. ผด โจทยฟงกชน แนวคานวณฟงกชนธรรมดา FPAT-Pb65 (PAT1’ก.ค.52) ให g(x) = x2 + x + 1 และ r, s เปนคาคงตว ซง s ≠ 0 ถา g(r + s) = g(r – s) แลว r2 เปนสมาชกของชวงใดตอไปน 1) (0, 0.5) 2) (0.5, 1) 3) (1, 1.5) 4) (1.5, 2) โจทยฟงกชน แนวจดรปฟงกชนธรรมดา KAiOU-Pb 1.13 (PAT1’ม.ค.53) กาหนดให f

1x x- = x

1 เมอ x ≠ 0 และ x ≠ 1

ถา 0 < θ < 2π แลว f(sec2 θ) เทากบขอใดตอไปน

1) sin2 θ 2) cos2 θ 3) tan2 θ 4) cot2 θ โจทยฟงกชน แนวจดรปฟงกชนอนเวอรสธรรมดา

AVATAR-Pb 6.1 (แนวสอบตรงแพทย กสพท’53) จงหา f-1(x) เมอ f(x) = xxxx

101010 10

---

+

ตอบ........................... โจทยฟงกชน แนวคานวณฟงกชนคอมโพสตธรรมดา KMK-Pb 2.3 (PAT1’ต.ค.52) ถา f(x) = x

1 และ g(x) = 2f(x) แลว จงหา g ๐ f(3) + f ๐ g–1(3) ตอบ........................... FPAT-Pb66 (B-PAT1’ต.ค.51) ให f(x) = 2

x + 1 และ g(x) = x3 , (f-1 ๐ g)(3) มคาเทากบขอใด

1) 16 2) 20 3) 50 4) 52 FPAT-Pb66.1 ให f(x) = 6 x

3 x ++ และ (f-1 ๐ g)(x) = 1x

6x-

- ถา g(a) = 2 แลว a อยในชวงใด

1) [–1, 1) 2) [1, 3) 3) [3, 5) 4) [5, 7) FPAT-Pb67 (PAT1’ก.ค.52) กาหนดฟงกชน f(x) = x – 5 และ g(x) = x2 ถา a เปนจานวนจรงททาให f ๐ g(a) = g ๐ f(a) แลว (f ⋅ g)(a) มคาเทากบเทาใด 1) 18 2) –18 3) 25 4) –25


โจทยฟงกชน แนวคานวณฟงกชนคอมโพสตยากขนมาหนอย KAiOU-Pb 2.22 (PAT1’ม.ค.53)

นยาม f : R → R และ g : R → R เปนฟงกชนใดๆ (f ⊗ g)(x) = f(g(x)) – g(f(x)) สาหรบทกจานวนจรง x

ถา f(x) = x2 – 1 และ g(x) = 2x + 1 สาหรบทกจานวนจรง x แลว (f ⊗ g)(1) เทากบเทาใด ตอบ........................... KAiOU-Pb 1.5 (PAT1’ม.ค.53) กาหนดให y1 = f(x) = 1x

1x -+ เมอ x เปนจานวนจรงทไมเทากบ 1

y2 = f(y1) , y3 = f(y2), ... yn = f(yn–1) สาหรบ n = 2, 3, 4, ... คาของ y2553 + y2010 เทากบขอใดตอไปน

1) 1 x 1 x

+- 2) 1x

1 x2-+

3) 2x1 x2 + 4) 1x

x2x 1 2-

-+ SheLL2.28 (PAT1’ก.ค.53) ให R แทนเซตของจานวนจรง ถา f1, f2, f3, f4, g และ h เปนฟงกชนจาก R ไป R โดยท f1(x) = x + 1 , f2(x) = x – 1 , f3(x) = x2 + 4 , f4(x) = x2 – 4 (f1 ๐ g)(x) + (f2 ๐ h)(x) = 2 และ (f3 ๐ g)(x) – (f4 ๐ h)(x) = 4x คาของ (g ๐ h)(1) เทากบเทาใด ตอบ........................... SheLL1.18 (PAT1’ก.ค.53) กาหนดให R แทนเซตของจานวนจรง ถา f : R → R เปนฟงกชน โดยท f(x) = ax + b เมอ a, b เปนจานวนจรง ถา f เปนฟงกชนลด และ f(f(f(f(x)))) = 16x + 45 แลวคาของ a + b เทากบขอใดตอไปน 1) –11 2) –5 3) 11 4) 5 โจทยฟงกชน แนวนยามตรวจสอบความเปนฟงกชน BRAN-Pb1.4 (PAT1’ต.ค.53) ให R แทนเซตของจานวนจรง, ความสมพนธขอใดตอไปนเปนฟงกชน

1) ความสมพนธ r1 = {(x, y) ∈ R × R | x = 2 y 4 - และ xy ≥ 0} 2) ความสมพนธ r2 = {(x, y) ∈ R × R | x2 + y2 = 4 และ xy > 0} 3) ความสมพนธ r3 = {(x, y) ∈ R × R | ||x| – |y|| = 1} 4) ความสมพนธ r4 = {(x, y) ∈ R × R | |x – y| = 1}


โจทยฟงกชน แนวฟงกชนแยกชวง FPAT-Pb76 (B-PAT1’ต.ค.51) ให f(x) = x2 + 2 เมอ x ∈ [-1, 0]U (1, 2)

และ g(x) =

∈

∈2 ,2

1 x , 2 4x 0] 1,[ x ,x

---

ขอใดตอไปนไมถกตอง 1) Df ⊆ Dg 2) Rf ⊆ Rg 3) f เปนฟงกชนหนงตอหนง 4) g เปนฟงกชนหนงตอหนง โจทยฟงกชน แนวฟงกชนแยกชวง VS อนเวอรส

FPAT-Pb79 (PAT1’ม.ค.52) กาหนดให f(x) = 3x – 1 และ g–1(x) =

<≥

0 x , x0 x , x

22

-

คาของ f-1(g(2) + g(–8)) เทากบขอใดตอไปน 1) 3

2 1 - 2) 32 1 + 3) 3

21-- 4) 3

2 1-+

โจทยฟงกชน แนวฟงกชนพชคณตฟงกชน VS อนเวอรส KMK-Pb 2.4 (PAT1’ต.ค.52) ถา f(x) = 3 x และ g(x) = x1

x+ แลว (f–1 + g–1)(2) เทากบเทาใด

ตอบ........................... โจทยฟงกชน แนวคอมโพสต VS อนเวอรส VS นยามฟงกชนแบบเซต BRAN-Pb2.42 (PAT1’ต.ค.53) ให R แทนเซตของจานวนจรง ให f = {(x, y) ∈ R × R | y = 3x – 5} g = {(x, y) ∈ R × R | y = 2x + 1} ถา a ∈ R และ (g-1 ๐ f-1)(a) = 4 แลว (f ๐ g)(2a) เทากบเทาใด ตอบ...........................


เมตรกซ : อนเวอรสการคณของเมทรกซ (ตวผกผนของเมทรกซ)

นยาม 1.1!! AA-1 = A-1A = I เมตรกซ Bn×n เปน อนเวอรสการคณของเมทรกซ An×n กตอเมอ AB = I = BA เขยนแทนดวย B = A-1

สตร 1.2 !! ตวผกผนการคณของเมทรกซ A, อนเวอรสของเมทรกซ A, A-1 สาหรบมต n × n

A-1 = Adet 1

⋅ adj A

สตร 1.3 !! ถา A = [ก] → ∴ A-1 =

ก1 เมอ ก ≠ 0

สตร 1.4 !! ถา A =

d c ba → ∴ A-1 = Adet

1

a cb d

--

นยาม 1.6!! สาหรบเมทรกซ An×n ขนาดมตใดๆ ถา det A = 0 แลว จะเรยก เมทรกซ A วา “เมทรกซเอกฐาน”, “Singular Matrix”, “ซงกลารเมทรกซ”

จะหา A-1 ไมได นยาม 1.7!! สาหรบเมทรกซ An×n ขนาดมตใดๆ ถา det A ≠ 0 แลว จะเรยก เมทรกซ A วา “ไมใชเมทรกซเอกฐาน” , “Non-singular Matrix” “นอนซงกลารเมทรกซ”

จะหา A-1 ได


Pb 3 ให A-1 =

2 1 1 1

- , B-1 =

0 11 2

- จงหา (A – 2B)-1 ตอบ ....................

แนวคด ขนท 1 จาก A-1 =

2 1 1 1

-

→ A = 11 21)(1

⋅⋅ --

1 11 2

--- → A = 3

1-

1 11 2

--- → A =

31 3

1 31 3

2

-

ขนท 2 จาก B-1 =

0 11 2

-

→ B = 1)(1 021

-- ⋅⋅

2 11 0

- → ∴ B = 11

2 11 0

- → ∴ B =

2 11 0

-

ขนท 3 จะหา (A – 2B) -1 =

1

2 11 0 2

31 3

1 31 3

2

-

---

=

1

422 0

31 3

1 31 3

2

-

---

=

1

311 3

7 35 3

2

-

---

=

35

37 3

1132

1-----

32 3

735 3

11

---

= 579

32 3

735 3

11

---

โจทยเมตรกซ แนวหา อนเวอรส ของ 2 × 2 TF-PAT4 (PAT1’ก.ค.52) กาหนดให A และ B เปนเมทรกซทสอดคลองกบ 2A – B =

6 3

43

และ A + 2B =

2 42 1

-- จงหาวา (AB)-1 คอเมทรกซในขอใดตอไปน

1)

41 1 0 1

--

2)

1 041 1

- 3)

1 1 0 4

1 -

- 4)

41 01 1

--

โจทยเมตรกซ แนวแกสมการเมตรกซ SheLL2.30 (PAT1’ก.ค.53) ให a, b, c, d เปนจานวนจรง

ถา 3

d 2 b5

ca

=

3 1 d6 5a

- +

+

2d 2 b 5 4

ca

แลว คาของ b + c เทากบเทาใด ตอบ...........................

KAiOU-Pb 2.7 (PAT1’ม.ค.53) ให x, y, z และ w สอดคลองกบสมการ

w 10 1

-

y 01x

- =

2 z1 2y -

w 10 1

-

คาของ 4w – 3z + 2y – x เทากบเทาใด ตอบ...........................

Sup’kระวง!!


BRAN-Pb 1.12 (PAT1’ต.ค.53) กาหนดให A =

1 11 1

- และ B =

z yx y

ถา A-1BA =

40 0 2

- แลวคาของ xyz เทากบเทาใดตอไปน

1) –3 2) –1 3) 0 4) 1

KMK-Pb 1.11 (PAT1’ต.ค.52) กาหนดให X =

xyz

สอดคลองกบสมการ AX = C

เมอ A =

2 1 0 1 0 21 2 1

- , B =

0 411 0 20 1 1

--

และ C = −

22

3

ถา (2A + B)X =

abc

แลว a + b + c มคาเทาใดตอไปน

1) 3 2) 6 3) 9 4) 12 ทฤษฎของ det ดเทอรมนนต สตร 3.1 !! ดเทอรมนนตของเมตรกซของเมตรกซขนาด 2 × 2 A = [5] → ∴ det A = [5] = 5 B = [–7] → ∴ det B = 7][- = –7

สตร 3.2 !! ดเทอรมนนตของเมตรกซของเมตรกซขนาด 2 × 2 C =

2 45 9 → ∴ det C = 2 4

5 9 = 9 × 2 – 4 × 5 = 18 – 20 = –2

D =

7 5 4 2

-- → ∴ det D = -2 -45 7 = (-2) × 7 – (–4) × 5 = –14 + 20 = 6

สตร 3.3 !! กาหนดให A =

ih g fe d

c ba จะได det A =

ih g fe d

c ba =

ih g fe d

c ba

∴ det A = a ⋅ e ⋅ i + b ⋅ f ⋅ g + c ⋅ d ⋅ h – g ⋅ e ⋅ c – h ⋅ f ⋅ a – i ⋅ d ⋅ b ระวง! สตรคณลงตอบเลย คณขนใสลบซอน ใชไดเฉพาะ 2 × 2, 3 × 3

Sup’k ระวง!!


โจทยเมตรกซ แนวนยาม det TF-PAT1 (B-PAT1’ต.ค.51) ให a และ b เปนจานวนจรง

ถา X =

1 2 32 a 13 b 2

และ Y =

2 a 32 b 31 2 3

โดยท X และ Y ไมมตวผกผน แลว a + b เทากบขอใดตอไปน 1) –1 2) –2 3) –3 4) –4 สตรของ ไมเนอร, โคแฟกเตอร นยาม 4.1 กาหนดใหเมตรกซ A = [ aij ]n×n โดยท ai j ∈ R และ n เปนจานวนเตมทมากกวา 2 ไมเนอรของ aij คอ ดเทอรมนนตของเมตรกซทเกดจากการตดแถวท i และ หลกท j ออกไป เขยนแทน ไมเนอรของ aij ดวย M(aij), Mij (A) นยาม 4.2 กาหนดให A = [aij]n×n โดยท aij ∈ R และ n เปนจานวนเตมทมากกวา 2 โคแฟกเตอรของ aij คอ (-1)i+j ⋅ Mij(A) เขยนแทน โคแฟกเตอรของ aij ดวย C(aij) , Cij(A)

เชน A =

3 1 0 1 42 3 2

2 1 1 10 40 2

-- → ∴ M13(A) =

3 1 0 14 2 3 22 1 1 10 40 2

-- =

3 0 1 43 22 1 1

- = –5

→ ∴ C13(A) = (–1)1+3⋅M13(A) = (–1)4⋅M13(A) = (–1)4⋅(-5) = –5 โจทยเมตรกซ แนวโคแฟกเตอร ไมเนอร

TF-PAT2 (PAT1’ม.ค.52) กาหนดให A =

y 1 22 x 21 2 1

- โดยท x และ y เปนจานวนจรง

ถา C11(A) = 13 และ C21(A) = 9 แลว det(A) มคาเทากบขอใดตอไปน 1) –33 2) –30 3) 30 4) 33


สตรของdet ดเทอรมนนต กาหนดให A, B และ C เปนเมตรกซจตรสมต n × n และ k เปนคาคงทใดๆ 2 โจทยเมตรกซ แนวใชสตรของเมตรกซ VS สตรของdet KAiOU-Pb2.6 (PAT1’ม.ค.53) ให A และ B เปนเมตรกซทมขนาด 2 × 2

โดยท 2A – B =

6 5 4 4

-- และ A – 2B =

0 4 8 5

-- คาของ det (A4B–1) เทากบเทาใด

ตอบ...........................

KMK-Pb 1.12 (PAT1’ต.ค.52) ถา det

1

5 1 32 2 00 x 0

2

- = 1x

1- แลว x มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 โจทยเมตรกซ แนวdet (adj A) AVATAR-Pb 14.1 (แนวขอสอบตรงเขาแพทย กสพท’53) กาหนด A เปนเมตรกซ 3 × 3 ทม det(A) = 2 จงหา det(adj(adj(A))) ตอบ........................... โจทยเมตรกซ แนวใชสตรของเมตรกซบวกกน TF-PAT3 (PAT1’ก.ค.52) ให A เปนเมทรกซมต 2 × 2 โดยท det(A) = 4 และ I เปนเมทรกซเอกลกษณ ถา A – 3I เปนเมทรกซเอกฐาน แลว det(A + 3I) มคาเทากบเทาใด 1) 12 2) 16 3) 20 4) 26

det (AB) = det A ⋅ det B det (cA) = cn ⋅ (det A) det I = 1, det 0 = 0

det (At) = det A det (A-1) = (det A)-1 det (An) = (det A)n

det (–A) = det A , n = ค det (–A) = – det A , n = ค det (A ± B) ≠ det A ± det B

Sup’k Tips


BRAN-Pb2.36 (PAT1’ต.ค.53) กาหนดให X เปนเมตรกซทสอดคลองกบสมการ

3 42 1 - + 4X =

3 1 02 1 2

-

1 34 1 2 3

-

แลวคาของ det(2Xt⋅(X + Xt)) เทากบเทาใด ตอบ........................... SheLL1.12 (PAT1’ก.ค.53) กาหนดให A =

1 01 0 , B =

0 01 1 และ C =

2 01 1

-

คาของ det(2At + BC2 + BtC) เทากบขอใดตอไปน 1) –1 2) 0 3) 2 4) 6 SheLL2.31 (PAT1’ก.ค.53) ให a, b, c, d, t เปนจานวนจรง ถา A =

d c ba โดยท det(A) = t ≠ 0

และ det(A + t2A-1) = 0 แลวคาของ det(A – t2A-1) เทากบเทาใด ตอบ........................... เมตรกซผกผนของ A หรอ adj(A) นยาม 2.1 เมตรกซผกพนของ A คอ adj A กาหนดให A = [aij]n×n จะได adj A = [Cij]t5

A-Pb 3.32 ให A =

1 2 1 0 8 3

42 1

-

- จงหา A-1 ตอบ ........................

แนวคด ขนท 1 หา det A = –70 ≠ 0 ซงสามารถหาอนเวอรสได ขนท 2 ใชสตร A-1 = Adet

1 (adj A)

∴ A-1 = 701

-

t

8 32 1

0 3 41 0 8

42 2 12 1 1 1

41 1 2 42

2 1 8 3 1 1

0 3 1 20 8

--

----

--

--- = 70

1-

t

14 12 320 5 10

14 3 8

---

--- = 70

1-

-8 10 -32-3 -5 -12-14 0 14

สตร 2.3 A ⋅ adj A = adj A ⋅ A = (det A)I

นยาม2.2 adj A = t

333231232221131211

C C CC C CC C C

– –


โจทยเมตรกซ แนวหา อนเวอรส ของ 3×3 TF-PAT6 (B-PAT1’ต.ค.51) กาหนดให A = [aij]3×3

เปนเมทรกซ ทม A-1 =

1 2 1 0 8 3

42 1

-

-

แลว จงหาคาของ a23 1) 0 2) 70

16

3) 7032 4) 70

12

TF-PAT7 (PAT1’ม.ค.52) ให At =

41 0 0 1 13 2 2

- -

จงหาสมาชกในแถวท 2 และหลกท 3 ของ A-1

1) – 32 2) –2 3) 3

2 4) 2

KMK-Pb 2.11 (PAT1’ต.ค.52) ให A =

1 2 1 0 8 3

42 1

-

-

สมาชกแถวท 3 หลกท 1 ของ A-1 เทากบเทาใด ตอบ........................... โจทยเมตรกซ แนวแกสมการหลายตวแปร TF-PAT8 (B-PAT1’ต.ค.51) ถา a, b และ c เปนจานวนจรง ททาให a – b + 2c = 9 2a + b – c = 0 3a – 2b + c = 11 แลว a มคาเทากบเทาใด 1) –4 2) –2 3) 2 4) 4 TF-PAT9 (PAT1’ม.ค.52) กาหนดให x, y, z สอดคลองกบระบบสมการ 2x – 2y – z = –5 , x – 3y + z = -6 , –x + y – z = 4 ขอใดตอไปนถก 1) x2 + y2 + z2 = 6 2) x + y + z = 2 3) xyz = 6 4) z

xy = –2

TF-PAT10 (PAT1’ก.ค.52) กาหนดให a, b, c เปนจานวนจรงทสอดคลองกบระบบสมการ 2a – 2b – c = 1 , a – 3b + c = 7 , –a + b – c = –5 แลว คาของ a

1 + b2 + c


1) 0 2) 3 3) 6 4) 9

Sup’k Tips


ตรโกณประยกต อยางยาก สตร 8.1! สตรผลบวกหรอผลตางของมม

cos(A + B) = cos A ⋅ cos B – sin A ⋅ sin B cos(A – B) = cos A ⋅ cos B + sin A ⋅ sin B

sin(A + B) = sin A ⋅ cos B + cos A ⋅ sin B sin(A – B) = sin A ⋅ cos B – cos A ⋅ sin B

tan(A + B) = B tanA tan 1

B tanA tan ⋅

+- , tan(A – B) = BtanAtan1

BtanAtan⋅+

-

พสจน tan(A + B) = B) cos(AB) sin(A

++ = BsinAsinBcosAcos

BsinAcosBcosAsin-+ =

B cos AcosB sin A sin B cos A cos

B cos A cosB sin A cos BcosAsin

-+

= BcosAcos

B sin A sin B cos A cosB cos A cos

B cos A cosBsinAcos B cos A cos

B cos A sin

-+

= BcosAcos

B sin A sin BcosB cos

B cosBsin A cos

Asin

-+

= B tanA tan 1B tan A tan

-+

cot(A + B) = Acot Bcot

1Bcot Acot +⋅ - , cot(A – B) = Acot Bcot

1Bcot Acot -

+⋅

FPAT-Pb81 (PAT1’ก.ค.52) จงหาวา o

o

10sin30 sin – o

o

10cos30 cos มคาเทาใด

1) –4 2) –2 3) 2 4) 4 แนวคด

sin2A + cos2A = 1 1 + tan2A = sec2A 1 + cot2A = cosec2A


ลด

SheLL1.13 (PAT1’ก.ค.53) ถา sin 15° และ cos 15° เปนคาตอบของสมการ x2 + ax + b = 0 แลวคาของ a4 – b เทากบขอใดตอไปน 1) -1 2) 1 3) 2 4) 1 + 3 2 KMK-Pb 2.5 (PAT1’ต.ค.52) ถา 1 – cot 20° = o25cot 1

x-

แลว x มคาเทาใด

ตอบ...........................

*KAiOU-Pb 2.5 (PAT1’ม.ค.53) คาของ ooo

oo

36cos18tan36sin72 cos 36 cos

+

- เทากบเทาใด

ตอบ........................... วธเรวกวา

ลด

วธจรง ooo

oo

36 cos 18 tan36 sin72 cos 36 cos

+

- = เปลยนผลตางไปเปนผลคณ = o

o

oo

oo

36 cos 18 cos18 sin 36 sin

18 sin 54 sin 2

+⋅

⋅⋅

= oooo

ooo

18cos 36 cos 18sin 36 sin18 cos 18 sin 54 sin 2

+ =

)18cos(3618 cos 18 sin 54 sin 2

oo

ooo

-

= o

ooo

18cos18 cos 18 sin 54 sin 2 = 2 sin 54° sin 18° = 2 cos 36° cos 72°

= o

ooo

36sin72 cos 36 cos 36 sin 2 = o

oo

36sin72 cos 72 sin = o

oo

36sin272 cos 72 sin 2

= o

o

36 sin 2144 sin = −

⋅o o

osin (180 36 )

2 sin36 = π−⋅

oo

sin ( 36 )2 sin36 = ยบมม = ⋅

oo

sin (36 )2 sin36 = 2

1 = 0.5


สตรมม 2A พสจน จาก สตร sin(A + B) = sin A ⋅ cos B + cos A ⋅ sin B แทนคา มม B = มม A จะไดเปน sin(A + A) = sin A ⋅ cos A + cos A ⋅ sin A ∴ sin(2A) = 2 ⋅ sin A ⋅ cos Aจบ

แนวบทกลบของมม 2A

สตรมม 3A และ บทกลบ

sin 3A = 3 ⋅ sinA – 4 ⋅ sin3A cos 3A = 4 ⋅ cos3A – 3 ⋅ cosA

tan 3B = B tan3 1

B tan B tan32

3

⋅⋅

--

cot 3A = 1 A cot3Acot 3 A cot

23

--

⋅⋅

cos 2A = cos2A – sin2A = 2 ⋅ cos2A – 1 = 1 – 2 ⋅ sin2A

= Atan1A tan 1

22

+

-

sin 2A = 2 sinA ⋅ cosA =

A tan 1A tan22

+

⋅ tan 2A =

A tan1A tan22

-⋅

cot 2A = Acot 21 A cot

2⋅

-

sin3A = 43AsinAsin3 -

cos3A = 43AcosAcos3 +

sin2A = 2

2Acos 1 - พสจน จาก cos 2A = 1 – 2 ⋅ sin2A ∴ 2 ⋅ sin2A = 1 – cos 2A sin2A = 2

2A cos 1 -

cos2A = 22Acos1 +

พสจน จาก cos 2A = 2 ⋅ cos2A – 1 ∴ cos 2A + 1 = 2 ⋅ cos2A

22Acos 1 + = cos2A

tan2A = 2A cos 1

2A cos 1+-

พสจน

Sup’k ลลลา sin มม 2A ฮม เสยงทบอกฉน ........................

ความรกของเธอ ฮม เสยงทบอกฉน วาเธอหวงใย อกสตรนนคอ (2 ⋅ tanA) สวน ..............................

มอนนของเธอ ทแตะหนาผากฉน วนทฉนกาลงตาย


โจทยตรโกณประยกต แนวสตรมม สองเทา ***BRAN-Pb2.32 (PAT1’ต.ค.53) ให (sin 1°)(sin 3°)(sin 5°) ... (sin 89°) = n2

1

คาของ 4n เทากบเทาใด ตอบ......................... แนวคด FPAT-Pb83 (B-PAT1’ต.ค.51) ถา θ

θ+ tan 1 tan 1

- = θθθ+

2cossincosA1 แลว A มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 1 2) 2 3) 4 4) 6

***SheLL2.29 (PAT1’ก.ค.53) คาของ ∑

∑

=

=44

1n

44

1n

n sin

n cos

o

o

– ∑

∑

=

=44

1n

44

1n

n cos

n sin

o

o

เทากบเทาใด ตอบ...........................

Sup’k Tips


โจทยตรโกณประยกต แนว (sin θ + cos θ) VS (sin θ ⋅ cos θ) BRAN-Pb2.33 (PAT1’ต.ค.53) กาหนดให a เปนจานวนจรง และสอดคลองกบสมการ

5(sin a + cos a) + 2 sin a⋅cos a = 0.04 จงหาคาของ 125(sin3 a + cos3 a) + 75 sin a⋅cos a ตอบ.............. วธจรง ให x = sin a + cos a และ y = sin a cos a จากโจทยจะได 5x + 2y = 0.04 .....(1) เนองจาก x2 = (sin2 a + cos2 a) + 2 sin a cos a = 1 + 2y = 1 + sin 2a ฉะนน x2 = 1 + 2y .....(2) พจารณา x2 = 1 + sin 2a จะได 0 ≤ x2 ≤ 2 ฉะนน - 2 ≤ x ≤ 2 (1) + (2) , x2 + 5x = 1.04 x2 + 5x - 1.04 = 0 (x + 5.2)(x - 0.2) = 0 x = 0.2, -5.2 แต - 2 ≤ x ≤ 2 จงได x = 0.2 เทานน สงผลให y = 2

1 ((0.2) - 1) = -0.48

เพราะวา sin3 a + cos3 a = (sin a + cos a)(sin2 a - sin a cos a + cos2 a) = x(1 - y) ∴ 125(sin3 a + cos3 a) + 75 sin a cos a = 125x(1 - y) + 75y = 125(0.2)(1 - (-0.48)) + 75(-0.48) = 125(0.2)(1 - (-0.48)) + 75(-0.48) = 37 - 36 125(sin3 a + cos3 a) + 75 sin a cos a = 1ตอบ KAiOU-Pb 1.7 (PAT1’ม.ค.53) กาหนดให x เปนจานวนจรง ถา sin x + cos x = a และ sin x – cos x = b แลวคาของ sin 4x เทากบขอใดตอไปน 1) 2

1 (a3b – ab3) 2) 21 (ab3 – a3b)

3) ab3 – a3b 4) a3b – ab3 KMK-Pb 2.6 (PAT1’ต.ค.52) ถา (sin θ + cos θ)2 = 2

3 เมอ 0 ≤ θ ≤ 4π แลว arccos(tan 3θ) มคาเทาใด

ตอบ ............... FPAT-Pb82 (PAT1’ม.ค.52) ถา cos θ – sin θ = 3

5 แลวคาของ sin 2θ เทากบขอใดตอไปน

1) 134 2) 13

9 3) 94 4) 9

13

Sup’k ลด

Sup’k Tips


สตร 22.1! สตร ผลบวก ผลตาง → ผลคณ sinA + sinB = 2sin

+

2B A cos

2B A - = 2⋅sin(half sum)⋅cos(half diff)

sinA – sinB = 2cos

+

2B A sin

2B A - = 2⋅cos(half sum)⋅sin(half diff)

cosA + cosB = 2cos

+

2B A cos

2B A - = 2⋅cos(half sum)⋅cos(half diff)

cosA – cosB = –2sin

+

2B A sin

2B A - = –2⋅sin (half sum)⋅sin(half diff)

สตร 23.1! สตร ผลคณ → ผลบวก ผลตาง 2⋅sinA⋅cosB = sin(A + B) + sin(A – B) = sin(sum) + sin(diff) ก 2⋅cosA⋅sinB = sin(A + B) – sin(A – B) = sin(sum) – sin(diff) ก 2⋅cosA⋅cosB = cos(A + B) + cos(A – B) = cos(sum) + cos(diff) –2 ⋅ sinA⋅sinB = cos(A + B) – cos(A – B) = cos(sum) – cos(diff)

สตร 35.2! ระวงเงอนไขของ x ดวย arcsin (–x) = – arcsin x arccos (–x) = π – arccos x arctan (–x) = – arctan x arccot (–x) = π – arccot x arccosec (–x) = – arccosec x arcsec (–x) = π – arcsec x

สตร 35.2! ระวงเงอนไขของ x ดวย arcsin x

1 = arccosec x

arccos x1 = arcsec x

arctan x1 = arccot x

arccot x1 = arctan x

arccosec x1 = arcsin x

arcsec x1 = arccos x

สตร 2.1 !! arcsin(sin x) = x เมอ – 2

π ≤ x ≤ 2π

arccos(cos x) = x เมอ 0 ≤ x ≤ π arctan(tan x) = x เมอ – 2

π < x < 2π

arccot(cot x) = x เมอ 0 < x < π arccosec(cosec x) = x เมอ x ∈

π 0 ,2- U

π

2 0,

arcsec(sec x) = x เมอ x ∈

π

2 0, U

ππ ,2


สตร 3.1 !! arctan x + arctan y = arctan xy1yx

-+ เมอ - 2

π < arctan x + arctan y < 2π

สตร 3.2 !! arctan x + arctan y = arctan xy1yx

-+ + π เมอ 2

π < arctan x + arctan y

สตร 3.3 !! arctan x + arctan y = xy 1yx

-+ – π เมอ arctan x + arctan y < - 2

π

โจทยตรโกณประยกต แนวอนเวอรสตรโกณ

BRAN-Pb2.31 (PAT1’ต.ค.53) จงหา

+

+

1312arcsin 13

5arcsinsin97arctan 3

1arccot 51arccottan -

ตอบ.................

โจทยตรโกณประยกต แนวสมการอนเวอรสตรโกณ FPAT-Pb87 (B-PAT1’ต.ค.51) จานวนคาตอบทแตกตางกนของสมการ arcsin x = 2⋅arccos x มกคา 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 FPAT-Pb89 (PAT1’ก.ค.52) ถา arcsin(5x) + arcsin(x) = 2

π แลว tan(arcsin x) มคาเทาใด

1) 51 2) 5

1 3) 31 4) 3

1 FPAT-Pb88 (PAT1’ม.ค.52) ให –1 ≤ x ≤ 1 เปนจานวนจรง ซง arccos x – arcsin x = 2552

π

แลวคาของ sin

π2552 เทากบขอใดตอไปน

1) 2x 2) 1 – 2x2 3) 2x2 – 1 4) –2x SheLL1.6 (PAT1’ก.ค.53) ให x เปนจานวนจรง ถา arcsin x = 4

π

แลวคาของ sin

+π )arccos(x 152 อยในชวงใดตอไปน

1)

21 0, 2)

21 ,2

1 3)

23 ,

21 4)

1 ,23

Sup’k Tips I Sup’k Tips II


b ซม.

a ซม.

c ซม.

A

BC

b ซม.

a ซม.

c ซม.

A

BC

b ซม.

a ซม.

c ซม.

A

BC

KAiOU-Pb 2.4 (PAT1’ม.ค.53) ให α และ β เปนมมแหลมของรปสามเหลยมมมฉาก

โดยท tan α = ba ถา cos

+ 22 b aa arcsin + sin

+ 22 baa arccos = 1

แลว sin β มคาเทากบเทาใด ตอบ..................................

สตร 42.1! สตรของพนทสามเหลยม พนท ∆ABC = 2

1 a ⋅ b ⋅ sin C

พนท ∆ABC = 21 b ⋅ c ⋅ sin A

พนท ∆ABC = 21 a ⋅ c ⋅ sin B

สตร 42.21! กฎของ sin

สตร 42.3! กฎของ cos

กฎของ cosa2 = b2 + c2 – 2 ⋅ bc ⋅ cos A b2 = a2 + c2 – 2 ⋅ ac ⋅ cos B c2 = a2 + b2 – 2 ⋅ ab ⋅ cos C

กฎของ sin

Asinaˆ =

Bsinbˆ =

Csincˆ


A

B CD E

A

B CD E30°

45° 45°

120° 15°

โจทยตรโกณประยกต แนวกฎของ sin BRAN-Pb1.7 (PAT1’ต.ค.53) ให ABC เปนรปสามเหลยม ดงรป ถา CBAˆ = 30°, CABˆ = 135° และ AD และ AE แบง CABˆ ออกเปน 3 สวนเทาๆ กน แลว BC

EC มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 31 2) 3

3) 21 4) 2

แนวคด ขนท 1 ใน ∆ABC จะได BCAˆ = 180° – 135° – 30° = 15° ขนท 2 โดยกฎของ sin

ได AC30 sin o

= CB135 sin o

2(AC)

1 = (BC)21

BC = 2 (AC)

ขนท 3 ใน ∆ACE จะได EACˆ = 3135o = 45°

และ CEAˆ = 180° – 45° – 15° = 120°

ขนท 4 โดยกฎของ sin ได AC120 sin o

= EC 45sin o

2(AC)

3 = (EC)21

EC = 3

(AC)2 EC = 3

BC → ∴ BCEC = 3

1 ตอบ


โจทยตรโกณประยกตเพมเตม แนวกฎของ sin FPAT-Pb91 (PAT1’ม.ค.52) กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยมทมมม A เทากบ 60°, BC = 6 และ AC = 1 คาของ cos(2B) เทากบขอใดตอไปน

1) 41 2) 2

1 3) 23 4) 4

3

FPAT-Pb92 (B-PAT1’ต.ค.51) ให ABC เปนรปสามเหลยม และ D เปนจดบนดาน BC

ททาให DABˆ = DACˆ ถา CDBD = 2 แลวคาของ

CsinB sinˆˆ เทากบขอใดตอไปน

1) 21 2) 1 3) 2

3 4) 2 โจทยตรโกณประยกตเพมเตม แนวกฎของ cos SheLL1.7 (PAT1’ก.ค.53) ในรปสามเหลยม ABC ใดๆ ถา a, b และ c เปนความยาวดานตรงขามมม A, มม B และ มม C ตามลาดบ แลว a

1 cos A + b1 cos B + c

1 cos c เทากบขอใดตอไปน

1) 2abcc b a 222 ++ 2) abc

c) b (a 2++ 3) 2abcc) b (a 2++ 4) abc

c b a 222 ++ KMK-Pb 1.7 (PAT1’ต.ค.52) กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยมทมดาน AB ยาว 2 หนวย ถา BC3 + AC3 = 2(BC) + 2(AC) แลว cot C มคาเทากบขอใดตอไปน 1) 3

1 2) 21 3) 1 4) 3

เรองลาดบ และ อนกรม อนกรมเลขคณต คอ อนกรมทเกดจากลาดบเลขคณต กาหนดให Sn คอ ผลบวกของ n พจนแรกของอนกรมเลขคณต

สตร ลาดบเลขคณต an = a1 + (n – 1) ⋅ d เมอ d คอ ผลตางรวมคงท

สตร ลาดบเรขาคณต an = a1 ⋅ rn – 1

เมอ r คอ อตราสวนรวมคงท

Sn = 2n [2a1 + (n – 1)d] Sn = 2

n [a1 + an] = 2n

⋅ [a2 + an-1] = ...

สตร 6.1!! อนกรมเรขาคณต n พจน

Sn = r) (1)r (1a n

1--

สตร 6.1!! อนกรมเรขาคณต อนนตพจน Sn = r1

a1- เมอ –1 < r < 1


โจทยลาดบเลขคณต แนวใชสตรพนฐาน VS หารลงตว, หารไมลงตว TF-PAT33 (PAT1’ก.ค.52) จานวนเตมตงแต 100 ถง 999 ทหารดวย 2 ลงตว แตหารดวย 3 ไมลงตว มทงหมดกจานวน 1) 260 2) 293 3) 300 4) 313 โจทยลาดบเลขคณต แนวใชสตร an = Sn - Sn-1

*SheLL2.35 (PAT1’ก.ค.53) กาหนดให β เปนจานวนจรง และให {an} เปนลาดบของจานวนจรง

นยามโดย an = 2 n7 n

+β - สาหรบ n = 1, 2, 3, ...

ถาผลบวก 9 พจนแรกมคามากกวาผลบวก 7 พจนแรกของลาดบ {an} เปนจานวนเทากบ a108 แลว

∞→nlim an มคาเทากบเทาใด ตอบ.............................

โจทยปญหาเชาวนลาดบเลขคณต แนวตวเลขในตาราง SheLL1.25 (PAT1’ก.ค.53) พจารณาการจดเรยงลาดบของจานวนค 1, 3, 5, 7, 9, ... ในตารางตอไปน

แถวท 1 1 แถวท 2 3 5 แถวท 3 7 9 11 แถวท 4 13 15 17 19 แถวท 5 ... ... ... ... ... ...

... ... จากตารางจะเหนวา จานวน 15 อยในตาแหนงท 2 (จากซาย) ของแถวท 4 อยากทราบวา จานวน 361 จะอยทตาแหนงใดและในแถวทเทาใด 1) ตาแหนงท 9 (จากซาย) ของแถวท 18 2) ตาแหนงท 10 (จากซาย) ของแถวท 19 3) ตาแหนงท 11 (จากซาย) ของแถวท 20 4) ตาแหนงท 12 (จากซาย) ของแถวท 21 โจทยลาดบเลขคณต แนวใชสตรพนฐานแนวใหม TF-PAT36 (PAT1’ก.ค.52) ถา an เปนลาดบเลขคณต ทสอดคลองกบ

∞→nlim

naa 1n - = 5

และ a9 + a5 = 100 แลวคาของ a100 เทากบขอใดตอไปน 1) 495 2) 515 3) 530 4) ตวเลอก 1) ถง 3) ไมมตวเลอกใดถกตองเลย


KMK-Pb 2.15 (PAT1’ต.ค.52) ถา an เปนลาดบเลขคณต ซง ∞→n

lim

+ n

a a 2n

21n - = 4

แลว 2a a 917 - มคาเทาใด ตอบ.........................

BRAN-Pb2.38 (PAT1’ต.ค.53) บทนยาม ให {an} เปนลาดบของจานวนจรง

เรยกพจน an วาพจนค ถา n เปนจานวนค และ เรยกพจน an วาพจนค ถา n เปนจานวนค กาหนดให {an} เปนลาดบเลขคณต โดยทมจานวนพจนเปนจานวนคและผลบวกของพจนคทงหมด เทากบ 36 และผลบวกของพจนคทงหมดเทากบ 56 ถาพจนสดทายมากกวาพจนแรกเปนจานวนเทากบ 38 แลวลาดบเลขคณต {an} น มทงหมดกพจน ตอบ......................... โจทยลาดบเรขาคณต แนวพนฐาน SheLL1.17 (PAT1’ก.ค.53) กาหนดให x, y, z เปนลาดบเรขาคณต มอตราสวนรวมเทากบ r และ x ≠ y ถา x, 2y, 3z เปนลาดบเลขคณต แลวคา r เทากบขอใดตอไปน 1) 4

1 2) 31 3) 2

1 4) 2

โจทยลาดบเรขาคณต แนวเทคนคสมมตพจน BRAN-Pb2.49 (PAT1’ต.ค.53) ถาผลคณของลาดบเรขาคณต 3 จานวนทเรยงตดกน เทากบ 343 และผลบวกของทงสามจานวนนเทากบ 57 แลวคามากทสดในบรรดา 3 จานวนน เทากบเทาใด ตอบ....................... โจทยลาดบเรขาคณต แนวใชสตรพนฐานแนวใหม *TF-PAT38(PAT1’ม.ค.52) ให an เปนลาดบทสอดคลองกบ

n2n

aa + = 2 สาหรบทกจานวนนบ n

ถา ∑=

=10

1nn 31 a แลว ∑

=

2552

1nna เทากบขอใดตอไปน

1) 21275 – 1 2) 21276 – 1 3) 22551 – 1 4) 22552 – 1


โจทยลาดบอนกรมเลขคณต แนวใชสตรหลากหลาย BRAN-Pb1.17 (PAT1’ต.ค.53) กาหนดให {an} เปนลาดบเลขคณต โดยมสมบต ดงน (ก) a15 – a13 = 3 (ข) ผลบวก m พจนแรกของลาดบเลขคณตน เทากบ 325 (ค) ผลบวก 4m พจนแรกของลาดบเลขคณตน เทากบ 4900 แลวพจน a2m เทากบขอใดตอไปน 1) 2

61 2) 2121 3) 2

125 4) 119 โจทยอนกรมเรขาคณตอนนต แนวใชสตรพนฐาน VS ลมต SheLL2.40 (PAT1’ก.ค.53) ให k เปนคาคงท

และถา ∞→n

lim 545

2)(n2 3n n) k(n

+

+++ = 15 + 6 + 512 + ... + 15

1n52 -

+ ...

แลว k มคาเทาใด ตอบ.......................

TF-PAT40 (PAT1’ม.ค.52) ถา ∞→n

lim1a2n1 bn

22

-+ = 1 แลวจงหาผลบวกของอนกรม ∑

∞

=

+1n

n

22 b aab

1) 3

1 2) 32 3) 1 4) หาคาไมได

*TF-PAT42 (B-PAT1’ต.ค.51) คาของ ∞→n

lim 1n1+

++++ n

n

21 2 ... 8

7 43 2

1 - เทากบเทาใด

1) 1 2) 2 3) 0 4) หาคาไมได โจทยอนกรมเรขาคณตอนนต แนวอนกรม VS ตรโกณ BRAN-Pb1.6 (PAT1’ต.ค.53) ให T(x) = sin x – cos2 x + sin3 x – cos4 x + sin5 x – cos6 x + ... แลวคาของ 3T

π3 เทากบขอใดตอไปน

1) 4 3 – 1 2) 5 3 – 1 3) 6 3 – 1 4) 7 3 – 1 โจทยอนกรมเรขาคณตอนนต แนวอนกรมเรขา ผสม อนกรมเรขา

TF-PAT39 (B-PATต.ค.51) ผลบวกของอนกรม ∑∞

= ++

+

1n 2nn

1n 32

24 มคาเทาใด

1) 18

13 2) 1840 3) 27

33 4) 2756


KAiOU-Pb 1.17 (PAT1’ม.ค.53) จงหาผลบวกของอนกรม 3 + 411 + 16

33 + ... + 1nnn

42 2 3

--+ + ...

1) 3

20 2) 3

29 3) 331 4) 3

40

โจทยอนกรมเรขาคณตอนนต แนวใชสตรพนฐาน แบบ เซอรไพส

*TF-PAT45 (PAT1’ม.ค.52) ถา a1, a2, a3, ... เปนลาดบเรขาคณต ซง ∑∞

==

1nn 4 a

แลวคามากทสดทเปนไปได ของ a2 เทากบใดตอไปน 1) 4 2) 2 3) 1 4) หาคาไมไดเพราะ a2 มคามากไดอยางไมมขดจากด โจทยลาดบเวยนบงเกด แนวแทนคาดแนวโนม BRAN-Pb2.39 (PAT1’ต.ค.53) ให {bn} เปนลาดบของจานวนจรง โดยท

b1 = –3 และ bn+1 = nn

b 1 b1

-+ สาหรบ n = 1, 2, 3, ... คาของ b1000 เทากบเทาใด ตอบ.......................

โจทยลาดบเวยนบงเกด แนวใชเทคนคผลตาง *BRAN-Pb2.30 (PAT1’ต.ค.53) ให I แทนเซตของจานวนเตม และให f : I → I เปนฟงกชน โดยท f(n + 1) = f(n) + 3n + 2 สาหรบ n ∈ I ถา f(–100) = 15000 แลว f(0) เทากบเทาใด ตอบ....................... โจทยลาดบเวยนบงเกด แนวอนกรมใหมๆ ไมเคยเหน **BRAN-Pb2.37 (PAT1’ต.ค.53) กาหนดให {an} เปนลาดบของจานวนจรง โดยท a1 = 2 และ an =

+

1 n1 n

- (a1 + a2 + ... + an-1) สาหรบ n = 2, 3, ...

แลวคาของ ∞→n

limn21 a ... a a

n+++ เทากบเทาใด ตอบ.......................

**SheLL2.34 (PAT1’ก.ค.53) ให {an} เปนลาดบของจานวนจรง โดยท a1 + a2 + a3 + ... + an = n2an สาหรบ n = 1, 2, 3, ... ถา a1 = 100 แลว ∞→n

lim n2an มคาเทากบเทาใด ตอบ.......................


โจทยอนกรมสตร ∑ in สตรหลก 3 สตร

สตร3.1!! ∑=

n

1ii = 2

1) n(n + เชน 1 + 2 + 3 + ... + n = 21)n(n +

สตรหลก 3 สตร

สตร3.2!! ∑=

n

1i2i = 6

1) 1)(2n n(n ++ เชน 12 + 22 + 32 + ... + n2 = 61) 1)(2n n(n ++

สตรหลก 3 สตร

สตร3.3!! ∑=

n

1i3i =

22

1) n(n

+ เชน 13 + 23 + 33 + ... + n3 =

22

1) n(n

+

*NichTor–Pb4.1 (ดกแนว PAT1’55) จงหาจานวนเตมบวก n ททาให

2)(n1) (nn ... 543 432 321n ... 5 4 3 2 1

333333++++++

++++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ =

142x39x136x1 25x 105xlim 235

5

x ---++

∞→

ตอบ.............................. วธลด NichTor–Pb4.2 (แนวขอสอบ PAT1’ธ.ค.54) จงหาจานวนเตมบวก n ททาให

1) n(n... 43 32 21n ... 5 4 3 2 1

222222+++++++++++

⋅⋅⋅ = 238231

ตอบ..............................

Sup’k Tips


NichTor–Pb4.2 ตอบ 49 วธลด ฟงท ครSup’k สอนในหอประชม ตว Brand’s Summer Camp วธจรง ขนท 1 เพราะวา 12 + 22 + 32 + ... + n2 = 6

1) 1)(2nn(n ++

และ 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 + ... + n(n + 1) = ∑=

+n

1i1) i(i

= ∑=

+n

1i2 i) (i

= ∑=

n

1i2i + ∑=

n

1ii

= 6

1) 1)(2nn(n ++

+ 21) n(n +

= 2

1)n(n +

++ 1 31 2n

= 3

2)1)(nn(n ++

ขนท 2

จากสมการ 1)n(n...43 32 21n ... 5 4 3 2 1

222222+++++++++++

⋅⋅⋅ = 238231

จะได 3

2) 1)(n n(n 6

1)1)(2nn(n ++

++

= 238231

จะได 2)1)(n6n(n

1)1)(2n3n(n++++ = 238

231 2)(n2

1)(2n +

+⋅ = 238

231

238 ⋅ (2n + 1) = 231 ⋅ 2 ⋅ (n + 2) 476n + 238 = 462n + 924 14n = 686 ∴ n = 49


KAiOU-Pb 2.10 (PAT1’ม.ค.53) ถา {an} เปนลาดบของจานวนจรงท an = 2n2n ... 642 ++++

สาหรบทกจานวนเตมบวก n แลว ∞→n

lim an มคาเทาใด

ตอบ....................... SheLL1.23 (PAT1’ก.ค.53) กาหนดอนกรมตอไปน

A = ∑=

1000

1kk1)(- , B = ∑

=

20

3k2k , C = ∑

=

100

1kk , D = ∑

∞

=

1k

k212

คาของ A + B + C + D เทากบขอใดตอไปน 1) 7917 2) 7919 3) 7920 4) 7922

TF-PAT41 (PAT1’ก.ค.52) ถา L = ∞→n

lim

++++ 3k

n...2781n มคาเปนจานวนจรงบวก แลว จงหา L

1) 1 2) 2 3) 4 4) 8

KMK-Pb 2.16 (PAT1’ต.ค.52) ∞→n

lim

++++++++3

3

n...27813n ... 27n 12n 3n มคาเทาใด

ตอบ....................... โจทยอนกรมอนนตเทเลสโคปก แนวสวนกลบของผลคณเลขเรยงตดกน VS แนวใชเทคนคผลตาง

TF-PAT43 (B-PAT1’ต.ค.51) ผลบวกของอนกรม ∑∞

=3n 2 4n1-

มคาเทาใด

1) 41

2) 1225 3) 48

25 4) หาคาไมได

BRAN-Pb2.41 (PAT1’ต.ค.53) ให Sk = 13 + 23 + 33 + ... + k3 สาหรบ k = 1, 2, 3, ...

คาของ ∞→n

lim

++++

n321 S1 ...

S1

S1

S1 เทากบเทาใด ตอบ.......................

**TF-PAT44 (PAT1’ก.ค.52) ถา S = ∑∞

=2n 24 nn1-

แลว ∑∞

=2n 2n1 มคาเทากบเทาใด

1) 4

3 + S 2) 45 + S 3) 4

3 – S 4) 45 – S


โจทยอนกรมอนนตเทเลสโคปก แนวรด VS แนวใชเทคนคผลตาง

**KAiOU-Pb 2.11 (PAT1’ม.ค.53) ให Sn = ∑ +=

++

n

1k 1 kk 1) (kk1 เมอ n = 1, 2, 3, ...

แลวคาของ ∞→n

lim Sn เทากบเทาใด ตอบ.......................

*BRAN-Pb2.40 (PAT1’ต.ค.53) คาของ ∑= ++++

9999

1n 44 )1nn)(1nn(1 เทากบเทาใด

ตอบ....................... โจทยอนกรมอนนตเทเลสโคปก แนวโจทยใหมๆ ไมเคยเหน VS แนวใชเทคนคผลตาง **SheLL2.39 (PAT1’ก.ค.53) กาหนดให an =

2n1 1 1

++ + 2

n1 1 1

+ -

สาหรบ n = 1, 2, 3, ... คาของ

1a1 +

2a1 +

3a1 + ... +

20a1 เทากบเทาใด ตอบ.......................

**BRAN-Pb1.16 (PAT1’ต.ค.53) กาหนดให {an} เปนลาดบของจานวนจรง

โดยท an = ∑=

+

n

1k

21) 1)(2k (2k

k- สาหรบ n = 1, 2, 3, ...

∞→nlim n

16 an เทากบขอใดตอไปน

1) 4 2) 316 3) 8 4) 16

ลาดบ และ อนกรม : แนว check นยาม convergent, divergent *KMK-Pb 1.14 (PAT1’ต.ค.52) พจารณาขอความตอไปน

ก. ถาลาดบ an ลเขา แลว อนกรม ∑∞

=1nna ลเขา

ข. ถาอนกรม ∑∞

=1nna ลเขา แลว อนกรม ∑

∞

=

+

1n nn

2a 1 ลเขา

ขอใดตอไปนเปนจรง 1) ก. ถก และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. ผด และ ข. ผด


เกงขอสอบ โดย ครSup’k FORSU-Pb 1.1 ในตารางขางลางน ถาผลบวกของแตละแถว ผลบวกของแตละหลก และผลบวกของแนวทแยงมมทงสองเทากนหมด จงหาคาของ a + b + c + d + e + f

a b 6c d ef 7 2

ตอบ .............................. FORSU-Pb 1.2 ถา x เปนจานวนจรงทสอดคลองกบสมการ log(x + 1) = 3 log 2 และ y เปนจานวนจรงทสอดคลองกบสมการ 2y = 8

1 แลว x + y มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 1 2) 2 3) 4 4) 5 FORSU-Pb 1.3 กาหนดให A เปนเซตคาตอบของสมการ 3x = 2x2 และ B = {2x|x ∈ A} แลวผลบวกของสมาชกทงหมดของเซต B มคาเทากบเทาใด ตอบ .............................. FORSU-Pb 1.4 กาหนดให p, q, r และ s เปนประพจน ถา (p ∧ q) → (r ∨ s) มคาความจรงเปนเทจ แลวประพจนในขอใดตอไปนมความจรงเปนจรง 1) ~(p → s) 2) p ∧ r 3) ~(r → q) 4) q ↔ s


FORSU-Pb 1.5 ใหเอกภพสมพทธเปนเซตของจานวนค จงพจารณาขอความตอไปน 1. ∀x∃y[x + 3y = 4] 2. ∀x∃y[2|x-y|เปนจานวนค] ขอใดตอไปนถก 1) ขอ 1. เปนจรง และ ขอ 2. เปนจรง 2) ขอ 1. เปนจรง และ ขอ 2. เปนเทจ 3) ขอ 1. เปนเทจ และ ขอ 2. เปนจรง 4) ขอ 1. เปนเทจ และ ขอ 2. เปนเทจ FORSU-Pb 1.6 กาหนดให A เปนเซตคาตอบของอสมการ |x1|1

2x3--

- ≥ 0 ขอใดตอไปนถก

1) A′ I [2, 3) ≠ ∅ 2) A′ ⊂ (-∞, 0) 3) A I (1, 2) = ∅ 4) A ⊂ (1, ∞) FORSU-Pb 1.7 จงผลบวกของสมาชกใน A เมอ A = {a ∈ I+|a 3 และ a - 2 เปนตวประกอบของ 3a2 - 2a + 10} ตอบ .............................. FORSU-Pb 1.8 ให C1, C2 และ C เปนวงกลมทมสมการ ดงน C1 : x2 + y2 - 2x + 2y - 7 = 0 C2 : x2 + y2 - 4x - 6y - 3 = 0 C : x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 ถา C ผานจดตดของ C1 กบ C2 และผานจด (0, 0) จงหา D + E + F ตอบ ..............................


FORSU-Pb 1.9 ให C เปนวงกลมทมสมการเปน x2 + y2 = 4 และ l เปนเสนสมผสวงกลม C ทจดในจตภาค (Quadrant) ท 1 และ l ผานจด (5, 0) จงหาความชนของ l ตอบ ..............................

FORSU-Pb 1.10 ถา F1 และ F2 เปนโฟกสของไฮเพอรโบลา 520) (y 2- - 4

11) (x 2+ = 1 แลว สวนของเสนตรง F1F2 มความยาวเทากบขอใดตอไปน

1) 1 หนวย 2) 2 หนวย 3) 3 หนวย 4) 5 หนวย FORSU-Pb 1.11 ให m เปนคาตอบของสมการ f(m) = 4

1 เมอ f(x) = 13x x

x2 ++

แลว จงหา 4 ⋅ f(m2)

เทากบเทาไร ตอบ .............................. FORSU-Pb 1.12 ถา f = {(1, 3), (2, 4), (3, 1), (5, 2)} g = {(1, 2), (2, 3), (4, 1), (5, 4)} และ h = {(2, 4), (3, 1), (4, 2), (5, 1)} แลว (fog) + h เทากบขอใดตอไปน 1) {(2, 5), (4, 5)} 2) {(2, 5), (4, 4)} 3) {(2, 3), (4, 5)} 4) {(2, 11), (3, 2), (4, 3), (5, 7)}


FORSU-Pb 1.13 ถา x และ y เปนจานวนจรงซง arcsin(x + y) + arccos(x - y) = π แลวขอใดตอไปนถก 1) x2 + y2 = 2

1 2) x2 + y2 = 1

3) x2 - y2 = 21 4) x2 - y2 = 1

FORSU-Pb 1.14 กาหนดให A เปนเมทรกซจตรสขนาด n × n และ a 0 เมอ 0 แทนเมทรกซศนย ถา A2 - 2A = 0 แลวจงพจารณาขอความตอไปน 1. A เปนเมทรกซไมเอกฐาน 2. det(A) เปนจานวนเตมค ขอใดตอไปนถก 1) ขอ 1. เปนจรง และ ขอ 2. เปนจรง 2) ขอ 1. เปนจรง และ ขอ 2. เปนเทจ 3) ขอ 1. เปนเทจ และ ขอ 2. เปนจรง 4) ขอ 1. เปนเทจ และ ขอ 2. เปนเทจ FORSU-Pb 1.15 ให an+1 =

na1 1

1+

, n = 1, 2, 3, ..., 2009 และ จงหา a1a2 + a2a3 + ... + a2009a2010

ตอบ .............................. FORSU-Pb 1.16 ให a เปนจานวนเตมบวก กาหนดให f(1) = a และ f(1) + f(2) + ... + f(n) = n2f(n) เมอ n > 1 จงหา a ทนอยทสดททาให f(100) เปนจานวนเตม ตอบ ..............................


FORSU–Pb 2.17 (แนวขอสอบ PAT1’54 เพอดกแนว PAT1’55)

ถา °°°°°

+++

sin80 sin40 sin20sin20 4 tan20 = °° + cos20csin20 b

3 แลว b - c มคาเทาใด

ตอบ .............................. FORSU-Pb 2.18 (แนวขอสอบ PAT1’54 เพอดกแนว PAT1’55) กาหนดให C = arcsin

53 + arccot

35 - arctan

198

ถา A เปนเซตคาตอบของสมการ arccot

2x1 + arccot

3x1 = C

แลวผลคณของสมาชกใน A เทากบขอใดตอไปน 1) - 4

1 2) 41 3) - 6

1 4) 61

FORSU-Pb 2.19 (แนวขอสอบ PAT1’54 เพอดกแนว PAT1’55) ถา 1 + x 1

6+

+ 2 x) (115+

+ 3 x) (128+

+ ... = 427 แลว x มคาเทาใด


เฉลยคาตอบ ชทตวแบรนดซมเมอรแคมป ในสวนของคร Sup’k SheLL2.46 ตอบ x = 3 SheLL2.47 ตอบ x = 9 SheLL2.4 ตอบ x = 3 BRAN–Pb1.25 ตอบ 1) TF–PAT119 ตอบ 4) TF–PAT120 ตอบ 2) TF–PAT123 ตอบ 3) TF–PAT124 ตอบ 3) BRAN–Pb1.20 ตอบ 4) KAiOU–Pb 1.24 ตอบ 4) SheLL2.49 ตอบ 208 QET-G–Pb 26.1 ตอบ 4) QET-G–Pb 23.2 ตอบ 1) QET-G–Pb 23.3 ตอบ 4) KAiOU–Pb 1.22 ตอบ 3) SheLL1.24 ตอบ 4) DiAMK–Pb 1.25 ตอบ 2) SheLL1.10 ตอบ 1) DiAMK–Pb 1.2 ตอบ 1) KAiOU–Pb 1.11 ตอบ 2) Sup’k–Pb2.29.1 ตอบ 2 ตว Sup’k–Pb2.29.2 ตอบ 2 ตว FPAT–Pb14 ตอบ 2) FPAT–Pb1 ตอบ 1) FPAT–Pb3 ตอบ 2) SheLL1.11 ตอบ 2) AVATAR–Pb 5.1 ตอบ 2) KMK–Pb 1.8 ตอบ 2) KAiOU–Pb 1.12 ตอบ 2) FPAT–Pb4 ตอบ 3) BRAN–Pb2.27 ตอบ 13 KAiOU–Pb 2.2 ตอบ 5 SheLL2.27 ตอบ 2 SheLL1.14 ตอบ 2) FPAT–Pb9 ตอบ 1) FPAT–Pb8 ตอบ 2) KAiOU–Pb 1.10 ตอบ 1) FPAT–Pb7 ตอบ 4) BRAN–Pb1.11 ตอบ 1) FPAT–Pb11 ตอบ 3) KMK–Pb 2.10 ตอบ 4 FPAT–Pb12 ตอบ 3) KMK–Pb 2.9 ตอบ 6 SheLL1.1 ตอบ 2) KMK–Pb 1.2 ตอบ 1) FPAT–Pb17 ตอบ 2) FPAT–Pb18 ตอบ 2) KAiOU–Pb 1.1 ตอบ 4) KAiOU–Pb 1.2 ตอบ 3) FPAT–Pb21 ตอบ 4) KMK–Pb 1.1 ตอบ 4) FPAT–Pb22 ตอบ 1) FPAT–Pb32 ตอบ 2) FPAT–Pb34 ตอบ 1) FPAT–Pb35 ตอบ 2) FPAT–Pb36 ตอบ 4) FPAT–Pb37 ตอบ 4) KMK–Pb 1.4 ตอบ 1) FPAT–Pb39 ตอบ 1) FPAT–Pb41 ตอบ 1) FPAT–Pb43 ตอบ 3) FPAT–Pb42 ตอบ 1) KMK–Pb 1.5 ตอบ 2) KAiOU–Pb 1.4 ตอบ 1) BRAN–Pb1.3 ตอบ 4) FPAT–Pb46 ตอบ 4) FPAT–Pb45 ตอบ 2) SheLL1.4 ตอบ 3) KAiOU–Pb 1.15 ตอบ 1) KAiOU–Pb 1.9 ตอบ 4) FPAT–Pb49 ตอบ 1) SheLL1.9 ตอบ 2) BRAN–Pb1.8 ตอบ 4) KMK–Pb 1.9 ตอบ 2) BRAN–Pb2.34 ตอบ 17 FPAT–Pb50 ตอบ 1) FPAT–Pb52 ตอบ 4) KMK–Pb 2.7 ตอบ 5.5 FPAT–Pb54 ตอบ 1) FPAT–Pb55 ตอบ 4) FPAT–Pb56 ตอบ 3) KMK–Pb 2.8 ตอบ 8 KMK–Pb 1.6 ตอบ 4) FPAT–Pb57 ตอบ 3) FPAT–Pb58 ตอบ 4) FPAT–Pb59 ตอบ 1) KMK–Pb 1.10 ตอบ 1) FPAT–Pb62 ตอบ 4) FPAT–Pb63 ตอบ 1) FPAT–Pb64 ตอบ 3) KAiOU–Pb 1.8 ตอบ 3) SheLL1.8 ตอบ 1) FPAT–Pb77 ตอบ 1) FPAT–Pb78 ตอบ 1) FPAT–Pb75 ตอบ 1) FPAT–Pb70 ตอบ 2) PAT–Pb71 ตอบ 3) FPAT–Pb72 ตอบ 1) KAiOU–Pb 1.6 ตอบ 4) FPAT–Pb65 ตอบ 1) KAiOU–Pb 1.13 ตอบ 1) AVATAR–Pb 6.1 ตอบ f-1(x) = 2

1 log x 1x 1

-+


KMK–Pb 2.3 ตอบ 7.5 FPAT–Pb66 ตอบ 4) FPAT–Pb66.1 ตอบ 3) FPAT–Pb67 ตอบ 2) KAiOU–Pb 2.22 ตอบ 7 KAiOU–Pb 1.5 ตอบ 2) SheLL2.28 ตอบ 1 SheLL1.18 ตอบ 1) BRAN–Pb1.4 ตอบ 2) FPAT–Pb76 ตอบ 4) FPAT–Pb79 ตอบ 1) KMK–Pb 2.4 ตอบ 6 BRAN–Pb2.42 ตอบ 262 TF–PAT4 ตอบ 4) SheLL2.30 ตอบ 4 KAiOU–Pb 2.7 ตอบ 6 BRAN–Pb1.12 ตอบ 1) KMK–Pb 1.11 ตอบ 3) TF–PAT1 ตอบ 2) TF–PAT2 ตอบ 4) KAiOU–Pb 2.6 ตอบ 32 KMK–Pb 1.12 ตอบ 4) AVATAR–Pb 14.1 ตอบ 16 TF–PAT3 ตอบ 4) BRAN–Pb2.36 ตอบ 396 SheLL1.12 ตอบ 3) SheLL2.31 ตอบ 4 TF–PAT6 ตอบ 4) TF–PAT7 ตอบ 3) KMK–Pb 2.11 ตอบ 0.2 TF–PAT8 ตอบ 3) TF–PAT9 ตอบ 1) TF–PAT10 ตอบ 1) SheLL1.13 ตอบ 3) KMK–Pb 2.5 ตอบ 2 KAiOU–Pb 2.5 ตอบ 0.5 FPAT–Pb83 ตอบ 2) SheLL2.29 ตอบ 2 KAiOU–Pb 1.7 ตอบ 3) KMK–Pb 2.6 ตอบ 0 FPAT–Pb82 ตอบ 3) BRAN–Pb2.31 ตอบ 1 FPAT–Pb87 ตอบ 1) FPAT–Pb89 ตอบ 1) FPAT–Pb88 ตอบ 2) SheLL1.6 ตอบ 4) KAiOU–Pb 2.4 ตอบ 0.5 FPAT–Pb91 ตอบ 4) FPAT–Pb92 ตอบ 1) SheLL1.7 ตอบ 1) KMK–Pb 1.7 ตอบ 1) TF–PAT33 ตอบ 3) SheLL2.35 ตอบ 2 SheLL1.25 ตอบ 2) TF–PAT36 ตอบ 2) KMK–Pb 2.15 ตอบ 2 4 2 ≈ 2.38 BRAN–Pb2.38 ตอบ 20 SheLL1.17 ตอบ 2) BRAN–Pb2.49 ตอบ 49 TF–PAT38 ตอบ 2) BRAN–Pb1.17 ตอบ 2) SheLL2.40 ตอบ 25 TF–PAT40 ตอบ 2) TF–PAT42 ตอบ 1) BRAN–Pb1.6 ตอบ 3) TF–PAT39 ตอบ 2) KAiOU–Pb 1.17 ตอบ 4) TF–PAT45 ตอบ 3) BRAN–Pb2.39 ตอบ 2 BRAN–Pb2.30 ตอบ 50 BRAN–Pb2.37 ตอบ 0 SheLL2.34 ตอบ 200 KAiOU–Pb 2.10 ตอบ 1 SheLL1.23 ตอบ 1) TF–PAT41 ตอบ 4) KMK–Pb 2.16 ตอบ 4 TF–PAT43 ตอบ 3) BRAN–Pb2.41 ตอบ 2 TF–PAT44 ตอบ 3) KAiOU–Pb 2.11 ตอบ 1 BRAN–Pb2.40 ตอบ 9 SheLL2.39 ตอบ 7 BRAN–Pb1.16 ตอบ 1) KMK–Pb 1.14 ตอบ 4)


เฉลยเกงขอสอบ โดย ครSup’k FORSU–Pb 1.1 ตอบ 12 FORSU–Pb 1.2 ตอบ 3) FORSU–Pb 1.3 ตอบ 4 FORSU–Pb 1.4 ตอบ 1) FORSU–Pb 1.5 ตอบ 4) FORSU–Pb 1.6 ตอบ 1) FORSU–Pb 1.7 ตอบ 51 FORSU–Pb 1.8 ตอบ -17.5 FORSU–Pb 1.9 ตอบ - 21

2

FORSU–Pb 1.10 ตอบ 4) FORSU–Pb 1.11 ตอบ 2 FORSU–Pb 1.12 ตอบ 1) FORSU–Pb 1.13 ตอบ 1) FORSU–Pb 1.14 ตอบ 3) FORSU–Pb 1.15 ตอบ 2010

2009

FORSU–Pb 1.16 ตอบ 5050 FORSU–Pb 2.17 ตอบ 1 - 3 FORSU–Pb 2.18 ตอบ 4) FORSU–Pb 2.19 ตอบ 2 FORSU–Pb 2.17 ตอบ 1 - 3

วธทา °°°°⋅°

+++

sin80 sin40 sin20sin20 4 tan20 = )sin80(sin40sin20

sin20 4 cos20sin20

°°°°⋅°

°

++

+

= )sin80(sin40sin20 cos20

cos20sin204 cos20sin20

°°°°

°⋅°⋅°°

++

+

= )sin80(sin40sin20 cos20

cos20sin204sin20

°°°°

°⋅°⋅°

++

+

เปลยนจากผลบวกไปเปนผลคณ = )cos20sin60(2sin20cos20

cos20sin204sin20

°⋅°⋅°°

°⋅°⋅°

+

+

= ][ )cos20sin60(2sin20cos20

cos20sin2022sin20

°⋅°⋅°⋅°°⋅°⋅⋅°

++

ใชสตรมมสองเทา = ][ )cos20sin60(2sin20cos20

sin402sin20

°⋅°⋅°⋅°°⋅°

++

=

°⋅⋅°⋅°

°°°

+

++

cos20232sin20cos20sin40sin40sin20

= )cos203(sin20cos20

sin40)sin40(sin20 °°°

°°°+

++ เปลยนจากผลบวกไปเปนผลคณ = )cos203(sin20cos20

sin40)cos10sin30(2

°°°°°⋅°

++

= ]cos203[sin20cos20sin40 cos102

12

°°⋅°°°⋅⋅

+

+

= ]cos203[sin20cos20

sin40cos10 °⋅°⋅°°°

++


สตรโคฟงกชน = )cos203(sin20cos20sin40sin80

°°⋅°°°

++

เปลยนจากผลบวกไปเปนผลคณ = )cos203(sin20cos20

cos20sin602

°°°

°⋅°+

= )cos203(sin20cos20cos202

32

°°⋅°°⋅⋅

+

= °°⋅ + cos203sin201

3

จากโจทย = °° + cos20csin20b

3 เทยบสมประสทธ จะได c = 3 , b = 1 ดงนน b - c = 1 - 3 FORSU–Pb 2.18 ตอบ 4) C = arcsin

53 + arccot

35 - arctan

198

= arctan

43 +

198arctan 5

3arctan -

= arctan

43 + arctan

+ ⋅198

53 1198 5

3

-

= arctan

43 + arctan

71

= arctan

+

⋅71

43 171 4

3

-

= arctan(1) C = 4

π

จากสมการ arccot

2x1 + arccot

3x1 = C

จะได arctan(2x) + arctan(3x) = 4π

arctan

+(2x)(3x) 1

3x 2x - = 4

π

arctan

26x15x

- = 4

π


26x15x

- = tan 4

π 26x1

5x-

= 1

5x = 1 - 6x2 6x2 + 5x - 1 = 0 (6x - 1)(x + 1) = 0 x = 6

1 , -1 ตรวจคาตอบ ถา x = 6

1

จะได arccot

2x1 + arccot

3x1 = arccot(3) + arccot(2)

= arctan

31 + arctan

21

= arctan

+

⋅21

31 121 3

1

-

= arctan(1) = 4

π ถา x = -1

จะได arccot

2x1 + arccot

3x1 = arccot

21- + arccot

31-

= arctan(-2) + arctan(-3) < 0 (ถา x < 0 แลว arctan x < 0)

ฉะนน x = 61 เปนคาตอบเดยวของสมการ จงได A =

61

∴ ผลคณของสมาชกใน A เทากบ 61


FORSU–Pb 2.19 ตอบ 2 1 + x 1

6+

+ 2 x) (115+

+ 3x)(128+

+ ... = 427 ...(๑)

x 1

1+

+ 2 x) (16+

+ 3 x) (115+

+ 4x)(128+

+ ... = x)4(127+

...(๒) นา (๑) - (๒); 1 + x 1

5+

+ 2 x) (19+

+ 3x)(113+

+ ... = 427

- x)4(1

27+

...(๓) x 1

1+

+ 2 x) (15+

+ 3 x) (19+

+ 4x)(113+

+ ... = x)4(127+

- 2x)4(127+

...(๔) นา (๓) - (๔); 1 + x 1

4+

+ 2 x) (14+

+ 3x)(14+

+ ... = 427

- x)2(1

27+

+ 2 x) 4(127+

1 + 4

+

++

++

+...

x) (11

x) (11 x 1

132 = 4

27 - x)2(1

27+

+ 2 x) 4(127+

1 + 4

+

+

x11 1 x 1

1

- = 4

27 - x)2(1

27+

+ 2 x) 4(127+

(โดยท x 1

1+

< 1 นนคอ x > 0 หรอ x < -2)

x4 = 4

23 - x)2(1

27+

+ 2 x) 4(127+

16(1 + x)2 = 23x(1 + x)2 - 54x(1 + x) + 27x 16 + 32x + 16x2 = 23x + 46x2 + 23x3 - 27x - 54x2 23x3 - 24x2 - 36x - 16 = 0 (x - 2)(23x2 + 22x + 8) = 0 x = 2 เทานน เพราะ 23x2 + 22x + 8 = 0 ไมม x ∈ R ∴ x = 2


จานวนเชงซอน (Complex) 1. จานวนเชงซอน

เซต C = {(a, b)| a, b ∈ R} จะเรยกวา เซตของจานวนเชงซอน กตอเมอสาหรบทกๆ สมาชก (a, b) และ (c, d) ใน C 1. (a, b) = (c, d) กตอเมอ a = c และ b = d 2. (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) 3. (a, b) ⋅ (c, d) = (ac - bd, ad + bc) จานวนเชงซอน (a, b) นยมเขยนแทนดวย a + bi เรยก a วา สวนจรง และเรยก b วา สวนจนตภาพ ขอสงเกต 1. c(a, b) = (ca, cb) 2. i2 = -1, i3 = -i, i4 = 1 สงยคของจานวนเชงซอน กาหนดใหจานวนเชงซอน z = a + bi นยามสงยคของ z แทนดวย z คอ z = a - bi สมบต 1. (a + bi)(a - bi) = a2 + b2 2. 21 z z + = 1z + 2z 3. 21 z z - = 1z - 2z 4. 21 zz ⋅ = 1z ⋅ 2z 5.

21

zz =

21

zz โดยท 2z ≠ 0

6. z + z = 2Re(z) เมอ Re(z) คอ สวนจรงของ z 7. z - z = 2Im(z) เมอ Im(z) คอ สวนจนตภาพของ z 8. z = z

คณตศาสตร (148)_____________________________________ โครงการแบรนดซมเมอรแคมป 2012

คาสมบรณของจานวนเชงซอน กาหนดใหจานวนเชงซอน z = a + bi นยามคาสมบรณของ z แทนดวย |z| คอ |z| = 22 b a + สมบต 1. z z = |z|2 2. |z| = |-z| 3. |z1z2| = |z1||z2| 4.

21z

z =

21z

z , z2 ≠ 0 5. |z-1|= |z|-1 6. |z| = | z | 7. |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2| 8. |z1 - z2| ≥ ||z1| - |z2|| 2. จานวนเชงซอนในรปเชงขว

ให z = a + bi โดยท z ≠ 0 และ θ เปนมมบวกทเลกทสดซง tan θ = ab จะไดวา รปเชงขวของ z

คอ z = |z|(cos θ + i sin θ) เรยก θ วา อารกวเมนต (Argument) ของ z การคณและการหารจานวนเชงซอนในรปเชงขว กาหนดให z1, z2 เปนจานวนเชงซอนทไมใชศนย โดย z1 = |z1|(cos θ1 + i sin θ1) และ z2 = |z2|(cos θ2 + i sin θ2) จะไดวา 1. z1z2 = |z1||z2|(cos(θ1 + θ2) + i sin (θ1 + θ2)) 2.

21

zz = |z|

|z|21 (cos(θ1 - θ2) + i sin(θ1 - θ2))

3. n1z = |z1|n (cos nθ1 + i sin nθ1)

การแกสมการจานวนเชงซอน สาหรบจานวนเชงซอน z = |z|(cos θ + i sin θ) เมอ n ≥ 2 จะไดวา

n z =

πθπθ +++ n2k sin i n2k cos |z|n เมอ k = 0, 1, 2, ..., n - 1

กาหนดให f(x) = anxn + an-1 xn-1 + ... + a1x + a0 โดยท a0, a1, a2, ..., an ∈ R และ an ≠ 0 จะไดวา ถา f(z) = 0 แลว f( z ) = 0 ดวย นนคอ ถา z เปนคาตอบของสมการแลว z จะเปนคาตอบของสมการดวย


ตวอยางขอสอบ 1. ให z1 และ z2 เปนจานวนเชงซอน ถา 1

1z- = 5

3 - 54 i เมอ i2 = -1 และ 5z1 + 2z2 = 5 แลว 2z

เทากบขอใดตอไปน (เมอ 2z แทนสงยค (conjugate) ของ z2) 1) 3 - 2i 2) 3 + 2i 3) 1 - 2i 4) 1 + 2i

2. ถา n เปนจานวนเตมบวกทนอยทสดททาให n

22i 2

2

+ = 1 เมอ i2 = -1 แลว n มคาเทากบเทาใด

3. พจารณาขอความตอไปน ก. ถา z เปนจานวนเชงซอนทสอดคลองกบสมการ z2 = i2

i2-+ + 2i1

4i3++ + i 3

15i 5-+ เมอ

i = 1- แลวคาสมบรณของ z เทากบ 37 ข. ถา x และ y เปนจานวนจรงทสอดคลองกบสมการ yix

2i5++- = 4)3)(i 2)(i 1)(i i(i

10++++ แลว

คาของ x + y = 15 ขอใดตอไปนถกตอง 1) ก. ถก และ ข. ถก 2) ก. ถก แต ข. ผด 3) ก. ผด แต ข. ถก 4) ก. ผด และ ข. ผด 4. ถา (1 + bi)3 = -107 + ki เมอ b, k เปนจานวนจรง และ i = 1- แลว |k| เทากบเทาใด 5. กาหนดให a, b และ z เปนจานวนเชงซอน โดยท |a| ≠ |b|, |a| ≠ 1 และ |b| ≠ 1 ถา |az + b| = | b z + a | แลว |z| เทากบขอใดตอไปน 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 6. ถา x - 1 + i เปนตวประกอบของพหนาม P(x) = x3 + ax2 + 4x + b เมอ a และ b เปนจานวนจรง แลว

คาของ a2 + b2 เทากบขอใดตอไปน 1) 17 2) 13 3) 8 4) 5 7. กาหนดให z1 และ z2 เปนจานวนเชงซอน โดยท |z1| = |z1 + z2| = 3 และ |z1 - z2| = 3 3

คาของ 2121

21zz zz

5z z11+-

เทากบเทาใด ( z แทนสงยค (conjugate) ของ z)

เฉลย 1. 4) 2. 8 3. 4) 4. 198 5. 1) 6. 2) 7. 2


กาหนดการเชงเสน (Linear Programing) 1. กราฟอสมการเชงเสน

1. วาดกราฟสมการเชงเสน (โดยหาจดทสอดคลองกบสมการเชงเสนสองจด มกใชจดตดแกน X และจดตดแกน Y) 2. พจารณาอาณาบรเวณ โดยใชจดทไมอยบนเสนกราฟทดสอบ (มกใชจด (0, 0)) ถาจดททดสอบสอดคลองกบอสมการ จะไดกราฟเปนอาณาบรเวณทมจดนนอย ถาจดททดสอบขดแยงกบอสมการ จะไดกราฟเปนอาณาบรเวณทอยตรงขามกบบรเวณทมจดนนอย 3. พจารณาวาอสมการนนยอมรบการเทากนไดหรอไม โดยเลอกแทนดวยเสนทบหรอเสนประใหสอดคลอง 2. กราฟของระบบอสมการเชงเสน

1. วาดกราฟของอสมการเชงเสน หาบรเวณทสอดคลองในทกๆ อสมการ (คออาณาบรเวณทซอนทบกน) เรยกอาณาบรเวณนนวา อาณาบรเวณทหาคาตอบได แลวหาพกดของมมของอาณาบรเวณทหาคาตอบได 2. ในกรณทระบบอสมการเชงเสนมหลายอสมการ ในการวาดกราฟของอสมการเชงเสน อาจตองหาพกดของจดตดของสองเสนกอน 3. การแกปญหากาหนดการเชงเสนโดยวธใชกราฟ

- ปญหากาหนดการเชงเสนประกอบดวย ฟงกชนจดประสงค (Objective Function) และอสมการขอจากด (Constraint Inequalities) - ผลเฉลยของปญหาจะเปนพกดทอยในบรเวณทหาคาตอบไดของระบบอสมการเชงเสนทไดมาจากอสมการขอจากดโดยเปนพกดททาใหฟงกชนมคาสงสดหรอตาสดตามฟงกชนจดประสงค - โดยการใชการเลอนของกราฟฟงกชนจดประสงคทมความชนคงท แตมระยะตดแกน Y ทเปลยนแปลง พบวาคาตอบทตองการจะอยทจดมมของอาณาบรเวณทหาคาตอบได 4. สรปขนตอนการแกปญหากาหนดการเชงเสน

1. สมมตตวแปร กาหนดฟงกชนจดประสงค และอสมการขอจากด 2. วาดกราฟของระบบอสมการเชงเสนทไดจากอสมการขอจากด แลวหาอาณาบรเวณทหาคาตอบได 3. หาพกดของจดมมของอาณาบรเวณทหาคาตอบได 4. นาจดมมทงหมดไปทดสอบกบฟงกชนจดประสงค โดยเลอกพกดททาใหคาของฟงกชนสงสดหรอตาสดตามทตองการ ขอสงเกต ในบางสถานการณปญหา ตองการคาตอบทเปนจานวนเตม แตถาพกดทเปนคาตอบไมใชจานวนเตมจะตองนาพกดทเปนจานวนเตมทอยใกลเคยงกบจดนน มาพจารณหาพกดทใหคาทดทสดแทน


ตวอยางขอสอบ 1. กาหนดให a และ b เปนจานวนจรงบวกซง a < b ถาคามากสดและคานอยสดของ P = 2x + y

เมอ x, y เปนไปตามเงอนไข a ≤ x + 2y ≤ b, x ≥ 0 และ y ≥ 0 มคาเทากบ 100 และ 10 ตามลาดบแลว a + b มคาเทาใด

2. โรงงานผลตตกตาแหงหนงมตนทนในการผลตตกตา x ตว โรงงานจะตองเสยคาใชจาย x3 - 450x2 + 60,200x + 10,000 บาท ถาขายตกตาราคาตวละ 200 บาท โรงงานจะตองผลตตกตากตวจงจะไดกาไรมากทสด

3. จงหาผลคณของคาสงสดและคาตาสดของฟงกชน f(x, y) = x + y + 2 ภายใตเงอนไขขอจากดตอไปน 1. x + 2y ≥ 8 2. 5x + 2y ≥ 20 3. x + 4y ≤ 22 4. x ≥ 1 5. 1 ≤ y ≤ 8

เฉลย 1. 70 2. 200 3. 157.50


วธเรยงสบเปลยน วธจดหม และความนาจะเปน (Permutation, Combination, and Probability)

1. หลกการเบองตนเกยวกบการนบ กฎการบวก ถาการทางานหนงอยางแบงออกเปน n กรณยอยโดยในแตละกรณเปนการทางานทเสรจสนจานวนวธในการทางานจะเทากบผลรวมของจานวนวธของทกกรณ กฎการคณ 1. ถางานททาแบงออกเปนสองขนตอน โดยงานขนตอนแรกเลอกทาได n1 วธ และในแตละวธในการเลอกทางานอยางแรกนสามารถเลอกทางานอยางทสองได n2 วธ จานวนวธทจะเลอกทางานชนน คอ n1n2 วธ 2. ถางานททาแบงออกเปน k ขนตอน โดยงานขนตอนแรกเลอกทาได n1 วธ และในแตละวธในการเลอกทางานอยางแรกนสามารถเลอกทางานอยางทสองได n2 วธ ในแตละวธในการเลอกทางานอยางทสองสามารถเลอกทางานอยางทสามได n3 วธ ฯลฯ จานวนวธทจะเลอกทางานชนน คอ n1n2n3 ... nk วธ นยาม กาหนดให n ∈ N n! = 1 × 2 × 3 × 4 × ... × n และ 0! = 1 2. วธเรยงสบเปลยนและวธจดหม กฎขอท 1 จานวนวธเรยงสบเปลยนของสงของ n สงทแตกตางกนทงหมด เทากบ n! กฎขอท 2 จานวนวธเรยงสบเปลยนของสงของ n สงทแตกตางกนโดยนามาเรยงแค r สง (r ≤ n) คอ nPr = r)! (n

n!-

กฎขอท 3 จานวนวธเรยงสบเปลยนเชงวงกลมของสงของ n สงทแตกตางกนทงหมด เทากบ (n - 1)! กฎขอท 4 ถามสงของอย n สง ในจานวนนม n1 สงทเหมอนกนอยกลมทหนง n2 สงทเหมอนกนอยกลมทสอง M nk สงทเหมอนกนอยกลมท k โดยท n1 + n2 + ... + nk = n จานวนวธเรยงสบเปลยนของสงของทง n สง เทากบ !n ... !n!n

n!k21

กฎขอท 5 จานวนวธเลอกสงของ n สงทแตกตางกน ทละ r สง (r ≤ n) เทากบ

rn

= nCr =

r!r)! (nn!-

เทคนค การนบจานวนฟงกชน, คอมพลเมนท, การจดเรยงของใหตดกนโดยการมด


3. ความนาจะเปน การทดลองสม คอ การทดลองใดๆ ซงทราบวาผลลพธอาจเปนอะไรไดบาง แตไมสามารถทานายผลลวงหนาได แซมเปลสเปซ คอ เซตทมสมาชกเปนผลลพธทเปนไปไดทงหมดของการทดลองสม เหตการณ คอ สบเซตของแซมเปลสเปซ

ความนาจะเปนของเหตการณ E แทนดวย P(E) = n(S)n(E)

สมบตบางประการของความนาจะเปน 1. 0 ≤ P(E) ≤ 1 2. P(φ) = 0 3. P(S) = 1 4. P(E1U E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1I E2) 5. P(E1U E2U E3) = P(E1) + P(E2) + P(E3) - P(E1I E2) - P(E1I E3) - P(E2I E3) +

P(E1I E2I E3) 6. P(E) = 1 - P(E′) 4. ทฤษฎบททวนาม

(a + b)n =

0n anb0 +

1n an-1b1 +

2n an-2b2 + ... +

1 nn- a1bn-1 +

nn a0bn

เรยก

rn

วา สมประสทธทวนาม

ขอสงเกต 1. การกระจาย (a + b)n จะได n + 1 พจน 2. ในแตละพจนผลรวมของกาลงของ a และ b จะไดเทากบ n 3. พจนทวไปของการกระจาย (a + b)n Tr+1 =

rn

an-rbr


ตวอยางขอสอบ 1. ในการทอดลกเตา 2 ลกพรอมๆ กน ความนาจะเปนทผลบวกของหนาลกเตาทงสองเทากบ 7 หรอผลคณ

ของหนาลกเตาทงสองเทากบ 12 เทากบขอใดตอไปน 1) 18

1 2) 61 3) 9

2 4) 94

2. มขอสอบปรนย 20 ขอ คะแนนเตม 50 คะแนน โดยกาหนดขอ 1-10 ขอละ 4 คะแนน และขอ 11-20

ขอละ 1 คะแนน ถาหากนกเรยนตอบขอใดถกตองจะไดคะแนนเตมของขอนน แตถาตอบผดหรอไมตอบจะไดคะแนน 0 คะแนน จะมกวธทนกเรยนคนหนงจะทาขอสอบชดนไดคะแนนรวม 45 คะแนน

3. กาหนดให A = {1, 2, 3, ..., 9, 10} จงหาจานวนสบเซตของ A ทงหมดทประกอบดวยสมาชก 8 ตว ทแตกตางกน โดยทผลรวมของสมาชกทง 8 ตว เปนพหคณของ 5

4. ในการสอบถามนกเรยนจานวน 100 คน ปรากฏวา ม 50 คน ชอบวชาคณตศาสตร ม 40 คน ชอบวชาฟสกส ม 33 คน ชอบวชาภาษาองกฤษ ม 5 คน ชอบทงสามวชา ม 10 คน ชอบวชาภาษาองกฤษอยางเดยว ม 12 คน ชอบวชาฟสกสอยางเดยว และม 20 คน ชอบวชาคณตศาสตรและวชาฟสกส

พจารณาขอความตอไปน ก. ความนาจะเปนทนกเรยนคนหนงไมชอบทงสามวชาเทากบ 0.15 ข. ความนาจะเปนทนกเรยนคนหนงชอบวชาคณตศาสตรอยางเดยวเทากบ 0.40 ขอใดตอไปนถกตอง 1) ก. ถก และ ข. ถก 2) ก. ถก แต ข. ผด 3) ก. ผด แต ข. ถก 4) ก. ผด และ ข. ผด 5. โยนเหรยญบาท (เทยงตรง) หนงเหรยญ จานวน 10 ครง ความนาจะเปนทไดหวอยางนอย 2 ครงตดกน

เทากบขอใดตอไปน 1) 512

193 2) 512314 3) 64

9 4) 6455

6. มถงยงชพ 5 ถง ตองการแจกใหครอบครวทถกนาทวม 4 ครอบครว ครอบครวละไมเกน 2 ถง ความนาจะเปน

ทครอบครวของสมชายซงเปนหนงในสครอบครวนนไมไดรบของแจกเลยเทากบขอใดตอไปน 1) 0.15 2) 0.2 3) 0.4 4) 0.6 7. กาหนดให A, B และ C เปนเซตจากด โดยท n(P(A)) = 2log 4, n(P(B)) = ( 5 )log5256

และ n(P(AU B)) = 32log932 เมอ P(S) แทนเพาเวอรเซตของเซต S จงหาคาของ n(P(A)U P(B))

เฉลย 1. 3) 2. 352 3. 9 4. 4) 5. - 6. - 7. 18


ลาดบและอนกรม (Sequence and Series)

1. ลาดบ

คอ ฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจานวนนบ n ตวแรก (ลาดบจากด) หรอเซตของจานวนนบ (ลาดบอนนต) การเขยนลาดบ เขยนได 3 แบบ คอ เขยนแบบเซต เขยนแบบแจกแจงเฉพาะคาของลาดบ เขยนแบบพจนทวไป ลมตของลาดบ 1. ลาดบทจะนามาพจารณาตองเปนลาดบอนนต 2. ลมตของลาดบ (an) มคาเปนจานวนจรง L แทนดวย nn

alim∞→

= L กตอเมอ n มคามากขน an จะม

คาเขาใกลหรอเทากบ L ( nnalim

∞→ = L ↔ ∀ε > 0∃n0 ∈ N, n ≥ n0 → |an - L| < ε)

3. ถา nnalim

∞→ = L (L ∈ R) แลว จะกลาววา ลาดบ an ลเขา (converge) ส L และถาลาดบ (an)

ไมมลมตแลวเราจะกลาววา ลาดบ an ลออก (diverge) (ถาลมตของลาดบมคาแลว จะมไดคาเดยว) ทฤษฎบท กาหนดให c เปนคาคงตวใดๆ nn

alim∞→

= A, nnblim

∞→ = B

1. ∞→n

lim c = c

2. ∞→n

lim c ⋅ an = cA

3. ∞→n

lim (an + bn) = A + B

4. ∞→n

lim (an ⋅ bn) = AB

5. ∞→n

lim k n a = k A (เมอ k เปนคาคงทและทกเทอมมความหมาย)

6. ∞→n

limnn

ba

= BA (เมอทกเทอมมความหมาย)

หมายเหต 1. ถา an = q(x)

p(x) โดยท p(x) และ q(x) เปนพหนาม

ถา deg p(x) = deg q (x) จะได nnalim

∞→ = B

A เมอ A และ B คอ สมประสทธของ x กาลงสงสด

ของพหนาม p(x) และ q(x) ตามลาดบ ถา deg p(x) > deg q (x) จะได nn

alim∞→

ลออก

ถา deg p(x) < deg q (x) จะได nnalim

∞→ = 0


2. ถา an อยในรปแบบของฟงกชนชกาลง ใหดงตวรวมและใชขอเทจจรงทวา nn

alim∞→

= 0 เมอ

0 < a < 1 3. ใชคอนจเกต ลาดบเลขคณต คอ ลาดบทมผลตางของพจนท n + 1 กบพจนท n เปนคาคงทเสมอ เรยกผลตางทคงทนวา ผลตางรวม แทนดวย d (d = an + 1 - an) พจนทวไปของลาดบเลขคณต an = a1 + (n - 1)d ลาดบเรขาคณต คอ ลาดบทมอตราสวนของพจนท n + 1 กบพจนท n เปนคาคงทเสมอ เรยกอตราสวน

ทคงทนวา อตราสวนรวม แทนดวย r

+=n1n

aa r พจนทวไปของลาดบเรขาคณต an = a1 ⋅ rn-1

2. อนกรม คอ ลาดบของผลบวกยอย เรยกวา sn วา ผลบวกยอย n พจนแรกของลาดบ (an)

อนกรมทเกดจากลาดบจากด เรยก อนกรมจากด sn = a1 + a2 + ... + an = ∑n

1=i ia

อนกรมทเกดจากลาดบอนนต เรยก อนกรมอนนต nnslim

∞→= s∞ = a1 + a2 + ... = ∑

∞

1=i ia

โดยถา nnslim

∞→ มคา จะกลาววาอนกรมลเขา และมผลบวกเทากบคาของลมตนน และถา nn

slim∞→

หาคาไมไดจะกลาววาอนกรมลออก อนกรมเลขคณต ผลบวก n พจนแรกของอนกรมเลขคณต sn = 2

n (2a1 + (n – 1)d) = 2n (a1 + an)

อนกรมเรขาคณต ผลบวก n พจนแรกของอนกรมเรขาคณต sn = r1)r (1a n

1--

เมอ r ≠ 1 ผลบวกอนนตพจนของอนกรมเรขาคณต

nnslim

∞→ = ∑

∞

1=i ia = r 1a1- กตอเมอ |r| < 1

nnslim

∞→ = ∑

∞

1=i ia ลออก กตอเมอ |r| ≥ 1

อนกรมผสม ใชเทคนคคณตลอดดวย r อนกรมทอยในรปเศษสวนยอย ปรบแตละพจนใชอยในรปเศษสวนยอย อนกรมพ

∑∞

1=n pn1 ลเขา กตอเมอ p > 1

∑∞

1=n pn1 ลออก กตอเมอ p ≤ 1


สญลกษณแทนการบวก

1. ∑n

1=ic = nc 2. ∑

n

1=i icx = c ∑n

1=i ix 3. ∑ ±

n

1=i ii )y (x = ∑n

1=i ix ± ∑n

1=i iy 4. ∑n

1=ii = 2

1)+n(n

5. ∑n

1=i2i = 6

1) + 1)(2n + n(n 6. ∑n

1=i3i =

2n

1ii

∑=

= 41 (n(n + 1))2

ทฤษฎบท

1. ถา ∑∞

1=n na เปนอนกรมลเขา แลว nnalim

∞→ = 0 หรอ ถา nn

alim∞→

≠ 0 แลว ∑∞

1=n na ลออก

2. ถา ∑∞

1=n na และ ∑∞

1=n nb เปนอนกรมลเขา แลวสาหรบจานวนจรง c, d ใดๆ จะไดวา ∑∞

1=i n(ca ± dbn)

เปนอนกรมลเขาดวย โดยท ∑∞

±1=n nn )db (ca = c ∑

∞

1=n na ± d ∑∞

1=n nb

3. กาหนดให 0 ≤ an ≤ bn จะไดวา

ถา ∑∞

1=n nb ลเขา แลว ∑∞

1=n na จะลเขาดวย

ถา ∑∞

1=n na ลออก แลว ∑∞

1=n nb จะลออกดวย

ตวอยางขอสอบ 1. กาหนดให x, y, z เปนลาดบเรขาคณต มอตราสวนรวมเทากบ r และ x ≠ y ถา x, 2y, 3z เปนลาดบเลขคณต

แลวคา r เทากบขอใดตอไปน 1) 4

1 2) 31 3) 2

1 4) 2 2. กาหนดใหอนกรมตอไปน

A = ∑=

1000

1kk1)(- B = ∑

=

20

3k2k

C = ∑=

100

1kk D = ∑

∞

=1k

k212

คาของ A + B + C + D เทากบขอใดตอไปน 1) 7917 2) 7919 3) 7920 4) 7922


3. พจารณาการจดเรยงลาดบของจานวนค 1, 3, 5, 7, 9, ... ในตารางดงตอไปน

แถวท 1 1 แถวท 2 3 5 แถวท 3 7 9 11 แถวท 4 13 15 17 19 แถวท 5 M M M M M M

M M M M M M M จากตารางจะเหนวาจานวน 15 อยตาแหนงท 2 (จากซาย) ของแถวท 4 อยากทราบวาจานวน 361 จะอย

ตาแหนงใดในแถวทเทาใด 1) ตาแหนงท 9 (จากซาย) ของแถวท 18 2) ตาแหนงท 10 (จากซาย) ของแถวท 19 3) ตาแหนงท 11 (จากซาย) ของแถวท 20 4) ตาแหนงท 12 (จากซาย) ของแถวท 21 4. ให {an} เปนลาดบของจานวนจรง โดยท a1 + a2 + a3 + ... + an = n2an สาหรบ n = 1, 2, 3, ... ถา a1 = 100 แลว n

2n

anlim∞→

มคาเทากบเทาใด 5. กาหนดให β เปนจานวนจรง และให {an} เปนลาดบของจานวนจรงทนยามโดย an = 2 n

7 n+

β - สาหรบ n = 1, 2, 3, ... ถาผลบวก 9 พจนแรกมคามากกวาผลบวก 7 พจนแรกของลาดบ {an} เปนจานวนเทากบ a108 แลว nn

alim∞→

มคาเทากบเทาใด

6. กาหนดให an = 2

n1 1 1

++ +

2n1 1 1

+ - สาหรบ n = 1, 2, 3, ... คาของ

1a1 +

2a1 + ... +

20a1 เทากบเทาใด

7. ให k เปนคาคงท และถา 545

n 2)(n2 3n n) k(nlim

+

+++

∞→ = 15 + 6 + 5

12 + ... + 151n

52 -

+ ... แลว k

มคาเทากบเทาใด

8. กาหนดให {an} เปนลาดบของจานวนจรง โดยท an = ∑=

+

n

1k

21) 1)(2k (2k

k- สาหรบ n = 1, 2, 3, ...

n16lim

n ∞→an เทากบขอใดตอไปน

1) 4 2) 316 3) 8 4) 16


9. กาหนดให {an} เปนลาดบเลขคณต โดยมสมบต ดงน ก. a15 - a13 = 3 ข. ผลบวก m พจนแรกของลาดบเลขคณตนเทากบ 325 และ ค. ผลบวก 4m พจนแรกของลาดบเลขคณตนเทากบ 4900 แลวพจน a2m เทากบขอใดตอไปน 1) 2

61 2) 2121 3) 2

125 4) 119 10. กาหนดให {an} เปนลาดบของจานวนจรง โดยท a1 = 2 และ an =

+

1n1 n

- (a1 + a2 + ... + an-1)

สาหรบ n = 2, 3, ... แลวคาของ n21n a ... a a

nlim+++∞→

เทากบเทาใด 11. บทนยาม ให {an} เปนลาดบของจานวนจรง เรยกพจน an วาพจนค ถา n เปนจานวนค และ เรยกพจน an วาพจนค ถา n เปนจานวนค กาหนดให {an} เปนลาดบเลขคณต โดยทมจานวนพจนเปนจานวนค และผลบวกของพจนคทงหมดเทากบ

36 และผลบวกของพจนคทงหมดเทากบ 56 ถาพจนสดทายมากกวาพจนแรกเปนจานวนเทากบ 38 แลวลาดบเลขคณต {an} น มทงหมดกพจน

12. ให {bn} เปนลาดบของจานวนจรง โดยท b1 = -3 และ bn+1 = nn

b1b1

-+ สาหรบ n = 1, 2, 3, ... คาของ

b1000 เทากบเทาใด

13. คาของ ∑= ++++

9999

1n 44 )1n n)(1 nn(1 เทากบเทาใด

14. กาหนดให Sk = 13 + 23 + 33 + ... + k3 สาหรบ k = 1, 2, 3, ...

คาของ

++++∞→ n321n S

1 ... S1

S1

S1lim เทากบเทาใด

15. ถาผลคณของลาดบเรขาคณต 3 จานวนทเรยงตดกนเทากบ 343 และผลบวกของทงสามจานวนนเทากบ 57

แลวคามากทสดในบรรดา 3 จานวนนเทากบเทาใด 16. กาหนดให {an} เปนลาดบของจานวนจรง โดยท an+1 = n2 - an สาหรบ n = 1, 2, 3, ... คาของ a1 ททาให a101 = 5100 เทากบขอใดตอไปน 1) 50 2) 25 3) 1 4) 0 17. กาหนดให 4 พจนแรกของลาดบเลขคณต คอ 2a + 1, 2b - 1, 3b - a และ a + 3b เมอ a และ b เปน

จานวนจรง พจนท 1000 ของลาดบเลขคณตนเทากบขอใดตอไปน 1) 3997 2) 3999 3) 4001 4) 4003


18. ให a, b, c เปนจานวนจรง โดยท 2a, 3b, 4c เปนลาดบเรขาคณต และ a1 , b

1 , c1 เปนลาดบเลขคณต

คาของ ca + a

c เทากบเทาใด 19. กาหนดให {an} เปนลาดบของจานวนจรง โดยท a1 = 1 และ an + 1 ≤ an+1 และ an+5 ≤ an + 5

สาหรบ n = 1, 2, 3, ... แลวคาของ

=∞→∑ +n

k) 6 (an1lim

1kkn

- เทากบเทาใด

เฉลย 1. 2) 2. 1) 3. 2) 4. 200 5. 2 6. 7 7. 25 8. 1) 9. 2) 10. 0 11. 20 12. 2 13. 9 14. 2 15. 49 16. 1) 17. 3) 18. 2.50 19. 6


แคลคลส (Calculus) 1. ลมตและความตอเนองของฟงกชน เมอ x มคาเขาใกลจานวนจรง a ทางดานซายของเสนจานวน (x < a) แลวคาของ f(x) เขาใกลจานวนจรง L จะกลาววา L เปนลมตซายของ f ท a แทนดวยสญลกษณ

-axlim→

f(x) = L1

เมอ x มคาเขาใกลจานวนจรง a ทางดานขวาของเสนจานวน (x > a) แลวคาของ f(x) เขาใกลจานวนจรง L จะกลาววา L เปนลมตขวาของ f ท a แทนดวยสญลกษณ

+→axlim f(x) = L2

ถาลมตทางซายและลมตทางขวาของฟงกชน f เทากน และมคาเทากบ L จะกลาววา ฟงกชน f มลมตเปน L ท a แทนดวยสญลกษณ

axlim→

f(x) = L

ถาลมตทางซายไมเทากบลมตทางขวา หรอลมตขางใดขางหนงหาคาไมได จะกลาววา ฟงกชน f ไมมลมตท a ทฤษฎบทของลมต กาหนดให a เปนจานวนจรงใดๆ f และ g เปนฟงกชนทมลมตทจด a จะไดวา 1. clim

ax→ = c เมอ c เปนคาคงตวใดๆ

2. xlim

ax→ = a

3. naxxlim

→ = an เมอ n ∈ N

4. cf(x)lim

ax→ = c f(x)lim

ax→ เมอ c เปนคาคงตวใดๆ

5. )( g(x) f(x)lim

ax±

→ = f(x)lim

ax→ ± g(x)lim

ax→

6. )( g(x)f(x)lim

ax⋅

→ = f(x)lim

ax→⋅ g(x)lim

ax→

7.

→ g(x)f(x)lim

ax = g(x)lim

f(x)lim

ax

ax

→

→ เมอ g(x)lim

ax→ ≠ 0

8. nax

)(f(x)lim (

→ =

n

a x f(x)lim

→ เมอ n ∈ N

9. nax

f(x)lim

→ = n

axf(x)lim

→ เมอ n ∈ N และ f(x)lim

ax→ ≥ 0

10. mn

ax)(f(x)lim (

→ =

mn

a x f(x)lim

→ เมอ n, m ∈ N และ f(x)lim

ax→ ≥ 0

11. ถา f เปนฟงกชนพหนาม นนคอ f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 เมอ a0, a1, a2, ..., an เปนคาคงตวโดย an ≠ 0 จะไดวา f(x)lim

ax→= f(a)


ความตอเนองของฟงกชน นยาม ให a เปนจานวนจรงใดๆ ฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองทจด a กตอเมอ ฟงกชน f มสมบตตอไปน 1. f(x)lim

ax→ หาคาได

2. f(a) หาคาได 3. f(x)lim

ax→ = f(a)

2. อตราการเปลยนแปลงของฟงกชน นยาม ถา y = f(x) เปนฟงกชนใดๆ และ h เปนจานวนจรงทไมใชศนย อตราการเปลยนแปลงเฉลยของ y เทยบกบ x ในชวง x ถง x + h คอ h

f(x)h)+ f(x -

อตราการเปลยนแปลงของ y เทยบกบ x ใดๆ คอ hf(x)h)+ f(x lim

0h -

→

3. อนพนธของฟงกชน นยาม ถา y = f(x) เปนฟงกชนทมโดเมนและเรนจเปนสบเซตของจานวนจรง และ h

f(x)h) +f(x lim

0h -

→

หาคาได เรยกคาลมตทไดนวา อนพนธของฟงกชน f ท x แทนดวย f ′(x) , dxd f(x) และ dx

dy

ทฤษฎบทของอนพนธ 1. dx

dc = 0 เมอ c คอ คาคงท

2. dxdx = 1

3. dxd xn = nxn-1 เมอ n เปนจานวนจรงใดๆ

4. dxd [f(x) ± g(x)] = dx

d f(x) ± dxd g(x)

5. dxd cf(x) = c dx

d f(x) เมอ c คอ คาคงทใดๆ

6. dxd [f(x)g(x)] = f(x) dx

d g(x) + g(x) dxd f(x)

7. dxd

g(x)f(x) = 2)(g(x)

g(x)dxd f(x) f(x)dx

dg(x) - เมอ g(x) ≠ 0

8. dxd gof(x) = dy

d g(y) dxd f(x) เมอ y = f(x) (กฎลกโซ (Chain Rule))

9. dxd [f(x)]n = n[f(x)]n-1

dxd f(x)


อนพนธอนดบสงของฟงกชน นยาม ถา f′(x) หาอนพนธไดแลวจะเรยกอนพนธของ f′(x) วา อนพนธอนดบสองของ f แทนดวย f ″(x),

22

dxyd , 2

2

dxd f(x) ในทานองเดยวกนเราสามารถนยามอนพนธอนดบ 3, 4, ... ของฟงกชน ตลอดจนกาหนด

สญลกษณไดโดยวธเดยวกน การประยกตของอนพนธ ความชนของเสนสมผสเสนโคง ถา f เปนสมการเสนโคง ความชนของเสนตรงทสมผสเสนโคงทจด (a, f(a)) คอ f ′(a) ฟงกชนเพมและฟงกชนลด กาหนดให f มโดเมนเปน Df ฟงกชน f เปนฟงกชนเพมบน (a, b) ⊂ Df ถา f ′(c) > 0 ทก c ∈ (a, b) และฟงกชน f เปนฟงกชนลดบน (a, b) ⊂ Df ถา f ′(c) < 0 ทก c ∈ (a, b) คาสดขดของฟงกชน กาหนดให f มโดเมนเปน Df ฟงกชน f มคาสงสดสมพทธทจด x = c ถามชวง (a, b) ⊂ Df และ c ∈ (a, b) ซง f (c) > f(x) สาหรบทกๆ x ในชวง (a, b) ท x ≠ c ฟงกชน f มคาตาสดสมพทธทจด x = c ถามชวง (a, b) ⊂ Df และ c ∈ (a, b) ซง f (c) < f(x) สาหรบทกๆ x ในชวง (a, b) ท x ≠ c นยาม ถา f ′(c) = 0 แลวเราจะเรยก c วา คาวกฤตของฟงกชน f และเรยกจด (c, f(c)) วา จดวกฤตของ f ทฤษฎบท กาหนดให f เปนฟงกชนตอเนองใดๆ บน (a, b) ⊂ Df และ c เปนคาวกฤตของ f แลว ถา f ″(c) < 0 แลว f(c) เปนคาสงสดสมพทธ ถา f″(c) > 0 แลว f(c) เปนคาตาสดสมพทธ โจทยปญหาคาสดขด ทาความเขาใจปญหาเพอสรางฟงกชน f(x) โดยให f(x) เปนสงทโจทยตองการทราบคาสดขด และตวแปร x คอ สงทสงผลตอคาสดขดนน 4. การอนทเกรต นยาม ฟงกชน F เปนปฏยานพนธของฟงกชน f เมอ F ′(x) = f(x) สาหรบทกคา x ∈ Df ใช ∫ f(x)dx แทน F(x) + c เมอ c เปนคาคงทใดๆ และเรยก ∫ f(x)dx วา อนทกรลไมจากดเขตของฟงกชน f ทฤษฎบท

1. ∫ kdx = kx + c เมอ k และ c เปนคาคงตว 2. ∫ xndx = 1+nx 1+n

+ c เมอ n ≠ -1

3. ∫ kf(x)dx = k∫ f(x)dx เมอ k เปนคาคงตว 4. ∫ (f(x) ± g(x))dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx อนทกรลจากดเขต นยาม ให f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [a, b] ถา F เปนฟงกชนทมอนพนธบนชวง [a, b] โดยท F ′(x) = f(x) แลว

∫b

af(x)dx = F(b) - F(a)

เรยก ∫b

af(x)dx วา อนทกรลจากดเขตของฟงกชน f บน [a, b] ใชสญลกษณ b

aF(x) แทน F(b) - F(a)


ทฤษฎบท

1. ∫b

akf(x)dx = k ∫

ba

f(x)dx เมอ k เปนคาคงตว

2. dxg(x) f(x) )(b

a±∫ = ∫

b

af(x)dx ± ∫

b

ag(x)dx

3. ∫b

af(x)dx = ∫

c

af(x)dx + ∫

b

cf(x)dx เมอ c ∈ (a, b)

4. ∫b

af(x)dx = - ∫

a

bf(x)dx

พนททปดลอมดวยเสนโคง นยาม กาหนดใหฟงกชน f(x) ตอเนองบน [a, b] พนทปดลอมดวยเสนโคงของ f(x) จาก x = a ถง x = b หมายถง พนทของบรเวณทลอมรอบดวยกราฟของ f แกน X เสนตรง x = a และเสนตรง x = b ทฤษฎบท กาหนดใหฟงกชน f ตอเนองบน [a, b] และ A เปนพนททปดลอมดวยเสนโคงของ f จาก x = a ถง x = b จะหาไดจากสตรตอไปน

1. ถา f(x) ≥ 0 สาหรบทก x ในชวง [a, b] แลว A = ∫b

af(x)dx

2. ถา f(x) ≤ 0 สาหรบทก x ในชวง [a, b] แลว A = - ∫b

af(x)dx

ตวอยางขอสอบ 1. กาหนดให R แทนเซตของจานวนจรง ถา f : R → R เปนฟงกชน โดยท f(x) = ax + b เมอ a, b เปน

จานวนจรง ถา f เปนฟงกชนลด และ f(f(f(f(x)))) = 16x + 45 แลวคาของ a + b เทากบขอใดตอไปน 1) -11 2) -5 3) 11 4) 5 2. กาหนดให a และ b เปนจานวนจรง และให f เปนฟงกชน โดยท

f(x) = 1 x

|1 x| 3

-- , -1 < x < 1

ax + b , 1 ≤ x < 5 5 , x ≥ 5

ถา f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง (-1, ∞) แลวคาของ ab เทากบขอใดตอไปน 1) 4

5 2) - 47 3) 15 4) -10

3. โรงงานผลตตกตาแหงหนงมตนทนในการผลตตกตา x ตว โรงงานจะตองเสยคาใชจาย x3 - 450x2 +

60,200x + 10,000 บาท ถาขายตกตาราคาตวละ 200 บาท โรงงานจะตองผลตตกตากตวจงจะไดกาไร มากทสด


4. กาหนดให f(x) เปนฟงกชนพหนามกาลงสอง ถาความชนของเสนสมผสเสนโคง y = f(x) ทจด (1, 2) มคา

เทากบ 4 และ ∫2

1f(x)dx

- = 12 แลว f(-1) + f″(-1) มคาเทากบเทาใด

5. กาหนดให h(x) = f(x)g(x) โดยทความชนของเสนสมผสเสนโคง y = f(x) ทจด (x, y) เทากบ 2 - 2x และ

เสนโคง y = f(x) มคาสงสดสมพทธเทากบ 5 ถา g เปนฟงกชนพหนาม ซงมสมบต g(2) = g′(2) = 5 แลว h′(2) มคาเทากบเทาใด

6. กาหนดให R แทนเซตของจานวนจรง ให f : R → R เปนฟงกชนตอเนองท x = 1 และให g เปนฟงกชนทกาหนดโดย

g(x) =

1 x2 3 x

--+ เมอ x > 1

7 |x|f(x)+ เมอ x ≤ 1

ถาฟงกชน g มความตอเนองท x = 1 แลวคาของ (gof)(1) เทากบขอใดตอไปน 1) 2 - 3 2) 2 3) 2 - 7 4) 7 - 2 7. กาหนดให a และ b เปนจานวนจรง และให f เปนฟงกชนพหนาม โดยท f(x) = x4 + 2x3 - x2 + ax + b

ถามฟงกชนพหนาม Q(x) โดยท f(x) = (Q(x))2 แลวคาของ ∫1

0f(x)dx เทากบขอใดตอไปน

1) 3071 2) 30

31 3) 3011 4) 30

1 8. ให R แทนเซตของจานวนจรง ให f = {(x, y) ∈ R × R | y = 3x - 5} และ g = {(x, y) ∈ R × R | y = 2x + 1} ถา a ∈ R และ (g-1of-1)(a) = 4 แลว (fog)(2a) เทากบเทาใด

9. คาของ 223

0 x x x x xlim ++

→ - เทากบขอใดตอไปน

1) - 21 2) 2

1 3) -1 4) 1 10. กาหนดให f เปนฟงกชนพหนามทม f″(x) = ax + b เมอ a และ b เปนจานวนจรง ถา f(0) = 2 และกราฟ

ของ f มจดตาสดสมพทธท (1, -5) แลว 2a + 3b เทากบขอใดตอไปน 1) -12 2) 20 3) 42 4) 48


11. กาหนดให R แทนเซตของจานวนจรง ให g : R → R เปนฟงกชนกาหนดโดย g(x) = 32x

1+ เมอ x ≠ - 2

3

ถา f : R → R เปนฟงกชนท (fog)(x) = x สาหรบทกจานวนจรง x แลว f″


1) - 21 2) 2

1 3) -8 4) 8 12. กาหนดให R แทนเซตของจานวนจรง ถา f : R → R และ g : R → R เปนฟงกชนทหาอนพนธไดทก x ∈ R โดยท g(x) = x2 - 2x + 5, (gof)(x) = x6 + 2x4 - 2x3 + x2 - 2x + 5 และ f(0) = 0 คาของ (f′og′)(1) + (g′of′)(0) เทากบเทาใด

เฉลย 1. 1) 2. 4) 3. 200 4. 18 5. 10 6. 4) 7. 3) 8. 262 9. 1) 10. 3) 11. 4) 12. 1


สถต (Statistics)

1. ขอมล ขอมลทใชในการวเคราะหทางสถตมสองประเภท คอ ขอมลทไมไดแจกแจงความถ ซงจะเหนคาของขอมลทกตว และขอมลทแจกแจงความถ จะเหนเปนอนตรภาคชน ความกวางของอนตรภาพชน = ขอบบน - ขอบลาง

จดกงกลางอนตรภาคชน = ขอบบน + ขอบลาง 2

2. การวดแนวโนมเขาสสวนกลาง 1. คาเฉลยเลขคณต, Mean, x

x ของขอมลทไมแจกแจงความถ x = N

N

1 iix∑

=

x ของขอมลทแจกแจงความถ x = N

K

1 iixif∑

=

ขอสงเกต 1. ∑=

N

1 iix = N x

2. )N

1 ixi(x ∑

=- = 0

3. 2)N

1 iai(x ∑

=- มคานอยทสดเมอ a = x

4. ถา x1, x2, x3, ... , xn มคาเฉลยเลขคณตเปน x x1 + k, x2 + k, x3 + k, ... , xn + k มคาเฉลยเลขคณตเปน x + k x1k, x2k, x3k, ..., xnk มคาเฉลยเลขคณตเปน x k 5. x รวม =

222211

N NxN xN

++


2. มธยฐาน, Median, Me Me สาหรบขอมลทไมแจกแจงความถ Me = คาของขอมลตาแหนงตรงกลาง (ตวท 2

1N + ) เมอเรยงลาดบขอมลแลว

Me สาหรบขอมลทแจกแจงความถ

Me = L + M

Lf

f 2N

∑-

I

ขอสงเกต 1. การหามธยฐานมสองขนตอน คอ หาตาแหนง และหาคาโดยใชสตรหรอการเทยบบญญตไตรยางค

2. ∑=

N

1 i|aix| - มคานอยสดเมอ a = Me

3. ฐานนยม, Mode, Mo Mo สาหรบขอมลทไมแจกแจงความถ Mo = คาของขอมลทมความถมากทสด Mo สาหรบขอมลทแจกแจงความถ Mo = จดกงกลางของชนทมความถสงสด (แบบหยาบ)

= L +

+ 211d d

d I (แบบละเอยด)

ขอสงเกต 1. ใชไดกบขอมลเชงคณภาพ 2. ถาแตละอนตรภาคชนมความกวางตางกน ตองถวงดวยนาหนกของความกวางดวย 4. ความสมพนธของ x , Me และ Mo

x = Me = Mo x > Me > Mo x < Me < Mo

โคงปกต โคงเบขวา โคงเบซาย


3. การวดตาแหนงของขอมล เราจะมองการวดตาแหนงของขอมลเปนเหมอนภาคขยายของการหามธยฐาน ซงมสองขนตอน คอ การหาตาแหนงและการหาคา 1. ควอไทล (Quartiles) คอ การแบงขอมลออกเปน 4 สวนเทาๆ กน โดย Q1, Q2, และ Q3 คอ คะแนนของตวแบงทง 3 ตว Qr ของขอมลทไมแจกแจงความถ การหาตาแหนง : ตาแหนงของ Qr คอ 4

1)r(N +

การหาคา : ใชการเทยบบญญตไตรยางค Qr ของขอมลทแจกแจงความถ การหาตาแหนง : ตาแหนงของ Qr คอ 4

rN

การหาคา : Qr = L + ML

ff 4

rN

∑-

I

2. เดไซล (Deciles) คอ การแบงขอมลออกเปน 10 สวนเทาๆ กน โดย D1, D2, ..., D9 คอ คะแนนของตวแบงทง 9 ตว Dr ของขอมลทไมแจกแจงความถ การหาตาแหนง : ตาแหนงของ Dr คอ 10

1)r(N +

การหาคา : ใชการเทยบบญญตไตรยางค Dr ของขอมลทแจกแจงความถ การหาตาแหนง : ตาแหนงของ Dr คอ 10

rN

การหาคา : Dr = L + ML

ff 10

rN

∑-

I

3. เปอรเซนไทล (Percentiles) คอ การแบงขอมลออกเปน 100 สวนเทาๆ กน ม P1, P2, ..., P99 คอ คะแนนของตวแบงทง 99 ตว Pr ของขอมลทไมแจกแจงความถ การหาตาแหนง : ตาแหนงของ Pr คอ 100

1)r(N +

การหาคา : ใชการเทยบบญญตไตรยางค Pr ของขอมลทแจกแจงความถ การหาตาแหนง : ตาแหนงของ Pr คอ 100

rN

การหาคา : Pr = L + ML

ff 100

rN

∑-

I


4. การวดการกระจายของขอมล 1. การวดการกระจายสมบรณ (Absolute Variation) ใชเพอวดการกระจายของขอมลชดเดยว 1.1 พสย (Range) Range = xmax - xmin 1.2 สวนเบยงเบนควอไทล (Quartile Deviation)

Q.D. = 2QQ 13 -

1.3 สวนเบยงเบนเฉลย (Mean Deviation)

M.D. = N

N

1 i|x ix|∑

=-

1.4 สวนเบยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation)

S.D. = N

N

1 i

2)x i(x∑=

- = N

2x

N

1 i

2ix

-∑=

2. การวดการกระจายสมพทธ (Relative Variation) ใชเพอตองการเปรยบเทยบการกระจายของขอมลมากกวาหนงชด 2.1 สมประสทธพสย

สมประสทธพสย = minmaxminmax

x xxx

+

-

2.2 สมประสทธสวนเบยงเบนควอไทล

สมประสทธสวนเบยงเบนควอไทล = 1313

Q QQQ

+

-

2.3 สมประสทธสวนเบยงเบนเฉลย สมประสทธสวนเบยงเบนเฉลย = x

M.D.

2.4 สมประสทธการแปรผน สมประสทธการแปรผน = x

S.D.

ขอสงเกต 1. ความแปรปรวน (Variance) = S.D.2 = S2 2. S.D. ≥ 0 3. S.D. = 0 ↔ x1 = x2 = ... = xn = x 4. ถา x1, x2, ..., xn มสวนเบยงเบนมาตรฐานเปน S.D. ความแปรปรวนเปน S.D.2 x1 + k, x2 + k, ..., xn + k มสวนเบยงเบนมาตรฐานเปน S.D. ความแปรปรวนเปน S.D.2 x1k, x2k, ..., xnk มสวนเบยงเบนมาตรฐานเปน S.D.|k| ความแปรปรวนเปน S.D.2k2


5. คามาตรฐาน zi = S.D.

xx i -

ขอสงเกต 1. ขอมลทมการแจกแจงปกตจะม x = Me = Mo 2. พนทใตเสนโคงปกตเทากบ 1 หรอ 100% ซงคอ ปรมาณขอมลทงหมด 3. การแจกแจงปกตมาตรฐาน คอ การแจกแจงปกตทม x = 0 และ S.D. = 1 4. z1, z2, z3, ..., zn จะม x = 0 และ S.D. = 1 5. คา z สามารถเปนไดทงบวก (xi > x ) และลบ (xi < x ) 6. zi = 0 ↔ xi = x 7. โดยมาก -3 < zi < 3 8. มความสมพนธระหวาง คะแนนมาตรฐาน, คะแนนดบ, คาเฉลยเลขคณต, สวนเบยงเบน-มาตรฐาน, พนทใตเสนโคงปกตมาตรฐาน, ปรมาณขอมล, เปอรเซนไทล

ตวอยางขอสอบ 1. ถาคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยน 30 คน มคะแนนเฉลยเลขคณตเทากบ 60 คะแนน และมสวน-

เบยงเบนมาตรฐานเทากบ 10 ถาผลรวมของคามาตรฐานของคะแนนของนกเรยนกลมนเพยง 29 คน เทากบ 2.5 แลวนกเรยนอก 1 คนทเหลอสอบไดคะแนนเทากบขอใดตอไปน

1) 35 2) 58 3) 60 4) 85 2. มนกเรยน 5 คน รวมกนบรจาคเงนไดเงนรวม 360 บาท ความแปรปรวน (ประชากร) เทากบ 660 ถาม

นกเรยนเพมอก 1 คน มารวมบรจาคเปนเงน 60 บาท ความแปรปรวนจะเพมขนหรอลดลงตรงกบขอใดตอไปน 1) เพมขน 80 2) เพมขน 90 3) ลดลง 80 4) ลดลง 90 3. ในการสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนหองหนง ถานกเรยนคนหนงในหองนสอบได 55 คะแนน คดเปน

คะแนนมาตรฐานไดเทากบ 0.5 แลวสมประสทธของการแปรผน (coefficient of variation) ของคะแนนนกเรยนหองนเทากบ 20% คะแนนเฉลยของนกเรยนหองนเทากบเทาใด

4. สรางตารางแจกแจงความถของคะแนนการสอบของนกเรยนกลมหนง โดยใหความกวางของแตละอนตรภาคชนเปน 10 แลวปรากฏวามธยฐานของคะแนนการสอบเทากบ 57 คะแนน ซงอยในชวง 50-59 ถามนกเรยนทสอบไดคะแนนตากวา 49.5 คะแนน อยจานวน 12 คน และมนกเรยนไดคะแนนตากวา 59.5 คะแนน อยจานวน 20 คน จงหาวานกเรยนกลมนมทงหมดกคน


5. นกเรยนกลมหนงจานวน 50 คน มสวนสงแสดงดงตารางตอไปน

สวนสง (เซนตเมตร) จานวนนกเรยน (คน)156-160 6 161-165 15 166-170 21 171-175 8

ให a เปนคาเฉลยเลขคณตของสวนสง และ b เปนสวนสง โดยทมจานวนนกเรยน 75% ของนกเรยนทงหมดทมสวนสงนอยกวา b ขอใดตอไปนถกตอง 1) a = 166.1 และ b = 168.73 2) a = 166.1 และ b = 169.43 3) a = 166.7 และ b = 168.73 4) a = 166.7 และ b = 169.43 6. พจารณาขอความตอไปน ก. ในการสอบของนกเรยน 3 คน พบวาคาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบเทากบ 80 คะแนน คามธยฐาน

เทากบ 75 คะแนน และพสยเทากบ 25 คะแนน คะแนนสอบของนกเรยนทไดคะแนนตาสดเทากบ 70 คะแนน

ข. ขอมลชดทหนงม 5 จานวน คอ x1, x2, x3, x4, x5 และขอมลชดทสองม 4 จานวน คอ x1, x2, x3, x4 โดยทคาเฉลยเลขคณตของขอมลทงสองชดเทากน ถา a และ b เปนสวนเบยงเบนมาตรฐานของ

ขอมลชดทหนง และชดทสองตามลาดบ แลว ab = 2

5

ขอใดตอไปนถกตอง 1) ก. ถก และ ข. ถก 2) ก. ถก แต ข. ผด 3) ก. ผด แต ข. ถก 4) ก. ผด และ ข. ผด 7. ขอมลชดหนงม 6 จานวน คอ 2, 3, 6, 11, a, b ถาคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดนเทากบ 8 และคามธยฐาน

เทากบ 7 แลว |a - b| เทากบเทาใด 8. ในการสอบวชาคณตศาสตรคะแนนเตม 60 คะแนน มนกเรยนเขาสอบ 30 คน นาย ก. เปนนกเรยนคนหนง

ทเขาสอบในครงน นาย ก. สอบได 53 คะแนนและมจานวนนกเรยนทมคะแนนสอบนอยกวา 53 คะแนนอย 27 คน ถามการจดกลมคะแนนสอบเปนชวงคะแนนโดยมอนตรภาคชนกวางเทาๆ กน คะแนนสอบของนาย ก. อยในชวงคะแนน 51-60 จานวนนกเรยนทนกเรยนทสอบไดคะแนนในชวงคะแนน 51-60 นมทงหมดกคน

1) 3 2) 4 3) 5 4) 9


9. กาหนดตารางแสดงพนทใตโคงปกตมาตรฐาน ทอยระหวาง 0 ถง z

z 1.14 1.24 1.34 1.44 พนท 0.373 0.392 0.410 0.425

ความสงของนกเรยน 2 กลม มการแจกแจงปกต ดงน

กลม คาเฉลยเลขคณต สวนเบยงเบนมาตรฐาน นกเรยนหญง 158 เซนตเมตร 4 เซนตเมตร นกเรยนชาย 169.06 เซนตเมตร 5 เซนตเมตร

ถานกเรยนหญงคนหนงมความสงตรงกบเปอรเซนไทลท 91 ของกลมนกเรยนหญงน แลวจานวนนกเรยนชาย

ทมความสงนอยกวาความสงของนกเรยนหญงคนน คดเปนรอยละเทากบขอใดตอไปน 1) 12.7 2) 11.4 3) 10.7 4) 9.4 10. บรษทผลตหลอดไฟตองการรบประกนคณภาพผลตภณฑของบรษท โดยจะเปลยนเปนหลอดใหมถาหลอดเดมชารด

บรษทจะรบประกนไมเกน 4.1% ของจานวนทผลต หลอดไฟมอายใชงานเฉลย 2500 ชวโมง มสมประสทธของความแปรผนเทากบ 0.20 ถาคาดวาตามปกตคนจะใชหลอดไฟวนละ 5 ชวโมง บรษทนควรกาหนดเวลาประกนมากทสดกวน

กาหนดตารางแสดงพนทใตโคงปกตมาตรฐาน ทอยระหวาง 0 ถง z

z 1.34 1.44 1.54 1.74 1.84 พนท 0.410 0.425 0.438 0.459 0.467

1) 362 วน 2) 352 วน 3) 346 วน 4) 326 วน

เฉลย 1. 1) 2. 4) 3. 50 4. 36 5. 2) 6. 1) 7. 10 8. 2) 9. 1) 10. 4)


ความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล (Functional Relation Between Data)

1. การวเคราะหความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล 1. ความสมพนธของตวแปรอสระและตวแปรตาม 2. การเขยนแผนภาพการกระจาย 2. ระเบยบวธกาลงสองนอยสด สมการเสนตรง : รปทวไป คอ y = mx + c สมการปกต

∑n

1=i iy = ∑n

1=i ixm + nc

iyn

1=i ix∑ = ∑n

1=i2ixm + c ∑

n

1=i ix สมการเสนพาราโบลา : รปทวไป คอ y = ax2 + bx + c สมการปกต

∑n

1=iiy = a ∑

n

1=i2ix + b ∑

n

1=iix + nc

iyn

1=iix∑ = a ∑

n

1=i3ix + b ∑

n

1=i2ix + c ∑

n

1=iix

in

1=i2ix y∑ = a ∑

n

1=i4ix + b ∑

n

1=i3ix + c ∑

n

1=i2ix

สมการเอกซโพเนนเชยล : รปทวไป คอ y = abx หรอ log y = log a + x log b สมการปกต

iyn

1=ilog ∑ = n log a + log b ∑

n

1=iix

iyn

1=i logix ∑ = log a ∑

n

1=iix + log b ∑

n

1=i2ix


3. ความสมพนธเชงฟงกชนของขอมลทอยในรปอนกรมเวลา เราสามารถแทนขอมลทเปนตวแปรอสระซงเปนชวงเวลาทหางเทากนไดดงน ถาจานวนชวงเวลาทนามาสรางความสมพนธเปนจานวนค มกจะแทนดวย ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... โดยใหชวงเวลาทอยตรงกลางเปน 0 ถาจานวนชวงเวลาทนามาสรางความสมพนธเปนจานวนค มกจะแทนดวย ..., -5, -3, -1, 1, 3, 5, ... โดยใหชวงเวลาทอยตรงกลางเปน -1 และ 1 ขอสงเกต 1. รตวแปรอสระทานายตวแปรตาม ไมสามารถทานายกลบได (ถาจะทานายตองสลบตวแปรแลวสรางความสมพนธเชงฟงกชนใหม) 2. เมอจะทานายความสมพนธในรปอนกรมเวลา ตองแปลงขอมลกอน 3. สาหรบสมการรปเสนตรง ( x , y ) อยบนเสน 4. สาหรบสมการรปเสนตรง ∆y = m∆x

ตวอยางขอสอบ 1. ในการหาความสมพนธเชงฟงกชนระหวางคะแนนสอบวชาคณตศาสตร (X) และวชาฟสกส (Y) ของนกเรยน

100 คนของโรงเรยนแหงหนง ไดพจนตางๆ ทใชในการคานวณคาคงตวจากสมการปกตของความสมพนธเชงฟงกชนทมรปสมการเปน Y = a + bX ดงน

∑=

100

1 iix = ∑

=

100

1 iiy = 1000, ∑

=

100

1iii yx = 2000, ∑

=

100

1i2ix = 4000

ถาคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนายสมชายเทากบ 15 คะแนน แลวคะแนนสอบวชาฟสกส (โดยประมาณ) ของนายสมชายเทากบขอใดตอไปน

1) 16 คะแนน 2) 16.67 คะแนน 3) 17 คะแนน 4) 17.67 คะแนน 2. ในการหาความสมพนธเชงฟงกชนระหวางปรมาณสารปนเปอนชนดท 1 (X) และปรมาณสารปนเปอนชนดท 2 (Y)

จากตวอยางอาหารจานวน 100 ตวอยาง พบวาความแปรปรวนของปรมาณสารชนดท 1 มคาเทากบ 1.75

คาเฉลยเลขคณตของปรมาณสารชนดท 2 มคาเทากบ 0.5, ∑=

100

1iii y x = 100 และ ∑

=

100

1i2i x = 200 ถา

สมการปกตของความสมพนธเชงฟงกชนดงกลาวอยในรป Y = a + bX แลวเมอพบสารปนเปอนชนดท 1 อย 4 หนวย จะพบสารปนเปอนชนดท 2 (โดยประมาณ) เทากบขอใดตอไปน

1) 0.5 หนวย 2) 1 หนวย 3) 1.5 หนวย 4) 2 หนวย


3. กาหนดใหขอมล X และ Y มความสมพนธกนดงตารางตอไปน

X 1 2 3 3 Y 1 3 4 6

ถาสมการปกตของความสมพนธเชงฟงกชนดงกลาวอยในรป Y = a + bX แลวเมอ X = 10 คาของ Y

เทากบเทาใด 4. ขอมลความสง (เซนตเมตร) และนาหนก (กโลกรม) ของนกเรยนหญง 4 คน ดงน

นกเรยนหญง คนท 1 คนท 2 คนท 3 คนท 4ความสง

(เซนตเมตร) 150 152 154 156

นาหนก (กโลกรม) 45 45 48 50

ถาสวนสงและนาหนกของนกเรยนมความสมพนธเชงฟงกชนเปนเสนตรง y = a + 0.9x เมอ x เปนสวนสง

และ y เปนนาหนก แลวนกเรยนทมสวนสง 155 เซนตเมตร จะมนาหนกกกโลกรม

เฉลย 1. 2) 2. 4) 3. 19 4. 48.80

Documents

Brandssummercamp 2012 feb55_math