Bresenham Alvarez Dibujar Trayectorias

8/16/2019 Bresenham Alvarez Dibujar Trayectorias

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Algoritmo de

Bresenhampara Pintar Círculos

y Cuádricas en General

Carlos E. Alvarez D.

06-39141



Contenido- Introducción

- Algoritmo de Bresenham para Dibujar Líneas Rectas

- Algoritmo de Bresenham para Dibujar Círculos

- Algoritmo Rápido Basado en Algoritmo de

Bresenham para Dibujar Elipses

- Generalización del Algoritmo de Bresenham para

Curvas Cuadráticas

- Resumen de Aplicaciones e Importancia



Introducción

- Desarrollado por Jack E. Bresenham en I.B.M. en 1962

- Publicado en 1965

- Originalmente para dibujar líneas rectas

- Modificado posteriormente para dar origen al conocido

Bresenham’s Circle Algorithm

Imagen: http://wscg.zcu.cz/wscg2003/Photos_2003/Bresenham.jpg



Bresenham – Líneas Rectas

- Para líneas en el primer octante desde

hasta (se traslada para que parta

del origen)

- Decisión E() o NE ()

- El error para un píxel se define como la distancia

vertical entre el píxel y la recta que se quiere dibujar

Algoritmo Original

p 2 = (x

2, y

2)

p 1 = (x 1, y 1)

[3,5,6



Bresenham – Líneas Rectas

- Se usa el parámetro de decisión

- y

- El error se calcula de manera incremental, de modo quey

si se elige E o NE respectivamente en el paso anterior,

donde

y

Algoritmo Original Cont.

i +1 = e i + 2 i +1 = i +2dy −2 x

dx = x 2 − x

1 dy = y

2 − y

1

0 = 2dy − 2d

0 < 0 ⇒ E

0 > 0 ⇒

[3,5,6



Bresenham – Líneas RectasAlgoritmo Original Cont.

dx = x2 - x1dy = y2 - y1

E = 2 * dy - dx

Dn = E + dx = 2dy

Dp = E - dx = 2dy - 2dx

x = x1DO WHILE x <= x2

IF E < 0 THEN

E = E + Dn

/* y = y + 0 */

ELSE

E = E + Dp

y = y + 1

END IF

x = x + 1

DrawPoint (x, y)LOOP

Sólo operaciones enteras[3,5,6



Bresenham - Círculos- Se escoge el Arco donde *

- Los otros 8 arcos se pintan por simetría ( 8-waysymmetry )- Decisión para el próximo píxel: S () o SO ()

--

- Se define el error--

-Se escoge error con menor módulo

* Nótese dirección de los ejes

≥ 0, y ≥ 0, ≥

e = x 2 + y 2 − r 2

P S =(x , y

+1)

P SO = ( −1, y +1)

e S =

x

2+ (

y +1)

2−

r

2=

e +2

y −1

e SO = (x −1)2 + (y +1)2 − r 2 = e S + 2x +1

[2,3,5,!



Bresenham - Círculos

e S > e SO ⇒ SO

e S > e S −2x +1 ⇒ SO

2 S > 2 −1⇒

⇔

−2x −1≤ −1∧0 < e s <1⇔

Sólo operaciones enteras

Error y Decisión

[2,3,5,!



- Ecuación

- Se divide en 4 cuadrantes (4-way symmetry)- Se dibuja primero el arco señalado por 1 y

luego 2- Decisión

- 1 N (

) o NO (

)- 2 E() o SE ()

- Error

Bresenham - Elipsesx 2

2 +

y 2

2 =1

b

2

x

2+

a

2

y

2=

b

2

a

2

[2,3,6



Caso 1

Bresenham - ElipsesError y Decisión

e NO < e N ⇒ NO

2 b 2x 2 +a 2y 2 −b 2a 2 +a 2 2y +1( ) +b 2 1−2x ( ) > 0 ⇒ NO

⇔

⇔

- En cada paso se chequea si la pendiente de la rectatangente a la elipse es -1 para cambiarla toma de decisión

- Nótese, solo operaciones enteras

(Caso 2 es análogo)

[!



Bresenham - Cuádricas- Ecuación

- Si se coloca el vértice en el origen la ecuación

de forma implícita resultante es

- 2-way symmetry

x −h ( )2= 4q y −k ( )

f (x , y ) = x 2 − 4qk

[!



Bresenham - Cuádricas

- Problema: tangente varía de cero a infinito

- Al igual que con elipses hay que dividir la curva

= 2

- 1 Pendiente va desde 0 hasta 1

- 2 Pendiente va desde 1 hasta infinito

- Derivando, se tiene que la pendiente de la

tangente es 1 cuando

Error y Decisión

[!




- Caso 1e 0 = x 2 +2x +1− 4qy −2q

Error y Decisión

- Error inicial

- Decisión E() o NE ()-

-

⇒ i +1 = i +2 +3

⇒ i +1 = i +2x +3− 4

[!

" #$




- Caso 2e 0 = x 2 + x +

1

4− 4qy − 4q

Error y Decisión

- Error inicial

- Decisión N() o NE ()

-

-

⇒ i +1 = i −8

⇒ i +1 =

i +

3 +

2

[!

Sólo operaciones enteras en el cálculo iterativo



BresenhamImportancia y Aplicaciones

- Preciso, cáculo incremental usando adición, sustracción

y shifting (operaciones enteras), las cuales son standard

en la mayoría de las arquitecturas. Muy eficiente

- Para dibujo de líneas rectas, círculos, elipses,

polinomios de segundo grado, curvas de Bézier 3erorden (grado 2) o mayor si se dividen en subcurvas de

3er orden.



BresenhamImportancia y Aplicaciones

- Implementado en plotters, en el firmware o

hardware de la mayoría de las tarjetas gráficas

modernas y en muchas librerías gráficas.

- Hay que modificarlo para lograr anti-aliasing



Referencias[1] Wikipedia (material consultado mas no citado):

http://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmo_de_Bresenham

http://en.wikipedia.org/wiki/Bresenham%27s_line_algorithm

[2] http://materias.fi.uba.ar/6671/primitivas_graficas2.pdf

[3] http://free.pages.at/easyfilter/bresenham.html

[4] http://www.differencebetween.com/difference-between- dda-and-vs-bresenham-

algorithm/

[5] Laura M. Castro Souto, Gráficos en Computación . Curso 2000/2001. Disponible

en: http://www.madsgroup.org/~laura/recursos-ii/GC.pdf

[6] John Kennedy, A Fast Bresenham Type Algorithm for Drawing Ellipses .Disponible en:

http://homepage.smc.edu/kennedy_john/belipse.pdf

[7] http://www.abreojosensamblador.net/html/Pags/Cap23.html

[8] http://www.cs.colostate.edu/~cs410/lectures/L12_bresenham2.pdf

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