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BENSON MATES: Lógica matemática elemental, Madrid, Ed. Tecnos, 1974.

CAPITULO XII: BREVE ESBOZO DE LA HISTORIA DE LA LOGICA

Todo ensayo de aproximación a la historia de la lógica deberá tener en cuenta que el término “lógica”, y los emparentados con él, han sido aplicados a multitud de materias diferentes de la que al presente cae bajo consideración; mientras que, recíprocamente, esta última ha sido denotada por multitud de términos distintos al de “lógica”. Aun suponiendo que poseyésemos competencia para hacerlo, de poco serviría, al parecer, a nuestro propósito emprender la realización de una historia simultánea de todos aquellos tópicos de epistemología, metafísica, psicología, sociología y filología que, en uno o en otro tiempo, han sido tratados bajo el rótulo “lógica”. La meta a perseguir aquí se reduce a exponer la historia de lo que nosotros llamamos “lógica” - escuetamente caracterizable, acaso, como la teoría general de la relación de consecuencia -, cualesquiera que sean los nombres con los que haya podido ser designada esta materia por otros autores, pasados o presentes.

A efectos de claridad, debería asimismo ser tenido en cuenta que el negocio propio de un lógico es la investigación y formulación de los principios generales conforme a los cuales algo se sigue de algo; es esencialmente irrelevante que los ejemplos particulares de su propio razonar sean válidos o no. Y recíprocamente: el correcto razonar, por digno de encomio que pueda ser, no constituye en sí mismo una contribución a la lógica-, los hombres empleaban ya argumentos válidos largo tiempo antes de que existiese cosa semejante a la ciencia de la lógica, al igual que fueron, sin duda, efectivamente levantadas las piedras largo tiempo antes de que formulase nadie el principio de la palanca.

1. LÓGICA ANTIGUA Si, guardando en la mente estas indicaciones, dirigimos ahora la mirada a los orígenes de nuestra ciencia, podemos decir, lisa y llanamente, que la historia de la lógica comienza con el filósofo griego Aristóteles (384-322 a.C.). Es prácticamente un lugar común entre los historiadores que los grandes avances intelectuales nunca son la obra de una sola persona (al fundar la ciencia de la geometría. Euclides hizo uso de los resultados de Eudoxo y otros; en el caso de la mecánica, Newton se encaramó sobre los hombros de Descartes. Galileo y Kepler, etc.). No obstante ello, y de acuerdo con toda la evidencia de que cabe disponer, Aristóteles creó la ciencia de la lógica absolutamente ex nihilo. Con avasalladora sinceridad nos lo dice él mismo en un pasaje al final de las Refutaciones Sofísticas, y no hay razón para dudar de la exactitud de su informe. Ciertamente, muchos investigadores han creído. por razones a priori, que semejante acto de creación es imposible, y de acuerdo con ello han escudriñado los escritos de los predecesores de Aristóteles, especialmente los de Platón, tratando de descubrir cuando menos “el germen” de la lógica aristotélica. Esta búsqueda ha sido casi por entero infructuosa; debido, sin embargo, a la confusión de los extremos analizados en nuestros dos párrafos precedentes, ello no siempre se ha reconocido así. Los escritos de Aristóteles sobre lógica se contienen en un grupo de tratados que, en tiempos posteriores, llegaron a ser conocidos colectivamente como el Organon. Son seis en número: las Categorías, De Interpretatione, Primeros Analíticos, Segundos Analíticos, Tópicos y Refutaciones Sofísticas. (Los títulos no son, probablemente, debidos a Aristóteles, y dan poca información sobre el contenido.) En forma impresa, componen un volumen de varios centenares de páginas, pero la silogística, o teoría del silogismo, que es el núcleo real de la lógica aristot6lica, se encontrará expuesta en muy pocas páginas, al comienzo de los Primeros Analíticos. La mayor parte del resto del Organon está dedicada a cuestiones que se salen del campo de la lógica, si bien ocasionales pasajes arrojan luz sobre la terminología empleada en la silogística o suministran otra información básica de interés. Antes de seguir adelante conviene advertir, entre paréntesis, que al leer a Aristóteles es preciso tener siempre en consideración las vicisitudes que han sufrido los escritos aristotélicos durante las veintitrés centurias de su historia. Se han mutilado pasajes, las notas marginales de los comentaristas han sido insertadas en el texto, el orden de libros y capítulos ha sido tergiversado, secciones enteras se han perdido, y obras espurias han sido añadidas -todo ello agregado a los normales errores de omisión, reduplicación y sustitución

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de los copistas. El lógico que lea a Aristóteles tendrá que adaptarse asimismo al descuido del autor en lo que respecta a la distinción uso-mención. Así, por ejemplo, locuciones de la forma “todo A es B” y “A está incluido en B” son utilizadas en recíproco intercambio con locuciones correspondientes de la forma “B es predicado de todo A” y “B conviene a todo A”,- de hecho, el autor dice llanamente en un lugar que “estar una cosa incluida totalmente en otra, y ser esta otra predicada universalmente de la primera, es lo mismo”. Así, en las Categorías, encontramos este aserto: Cuando una cosa es predicada de otra como de un sujeto, todo lo que se predica de lo que es predicado será también predicado del sujeto; p. ej., hombre es predicado de un hombre particular, y animal de hombre; así animal será predicado también del hombre particular. Plantear la cuestión de si Aristóteles habla aquí sobre palabras o sobre cosas o sobre unas y otras, es, probablemente, plantear una cuestión respecto de la cual no hay respuesta; ello no implica, naturalmente, que carezca de contenido lo que dice. Un silogismo, de acuerdo con Aristóteles, es un trozo de discurso en el cual, siendo puestas ciertas cosas, algo distinto de ellas se sigue necesariamente del hecho de que se las ponga. Esta definición induciría a suponer que Aristóteles usa el término “silogismo” aproximadamente en el sentido de “argumento válido, pero, de hecho, su uso es mucho más restringido. Hacia el comienzo de los Primeros Analíticos, el autor enumera los tipos de enunciado que pueden ser componentes de un silogismo. Toda premisa o conclusión, se nos dice, es afirmativa, o negativa, según que afirme o niegue algo de algo. Es también universal, particular o indefinida: Un enunciado universal establece que algo conviene a todos o a ninguno (de los miembros) de algo; un enunciado particular establece que algo conviene a alguno o no a alguno o no a todos (los miembros) de algo; mientras que un enunciado indefinido afirma meramente, ni en general ni en particular, que algo pertenece o no pertenece a algo, verbigracia, que el placer no es bueno. En la práctica los enunciados indefinidos son ignorados por Aristóteles; la razón de ello, de acuerdo con los comentaristas, es que son “equivalentes” a los correspondientes enunciados particulares. En cualquier caso, los componentes de los silogismos aristotélicos son siempre enunciados que son universales o particulares y afirmativos o negativos; esto es, por usar los ejemplos del propio Aristóteles, enunciados como “Todo hombre es blanco”, “Ningún hombre es blanco”, “Algún hombre es blanco” y “No todo hombre es blanco”, más tarde conocidos, respectivamente, como enunciados de la forma A, E, 1 y 0. Expresiones como “hombre” y “blanco” son denominadas “términos”.

La teoría de] silogismo no toma en consideración los enunciados singulares, como “Sócrates es blanco”, si bien los enunciados de este tipo han jugado un papel preeminente en las exposiciones de la llamada lógica tradicional.

No todo argumento compuesto de enunciados de cualquiera de las formas A, E, 1, 0, resulta ser un silogismo, sino sólo los que contienen exactamente dos premisas y una conclusión, y envuelven no más de tres términos. Así las dos premisas tienen siempre, cuando menos, un término en común, el cual recibe el nombre de término medio. El predicado de la conclusión es el término mayor, y el sujeto de la conclusión es el término menor.

En el tratado De Interpretatione menciona Aristóteles algunas de las relaciones lógicas que se dan entre los enunciados A, E, 1 y 0, cuando tienen los mismos términos, sujeto y predicado. Los enunciados A y 0 son contradictorios entre sí, como también los E y los I. De todo par de contradictorios, afirma Aristóteles, uno exactamente es verdadero. Los enunciados A y E se denominan contrarios; los contrarios no pueden ser ambos verdaderos, pero pueden ser ambos falsos. Estas y otras relaciones fueron posteriormente representadas de forma esquemática en el Cuadrado de Oposición, una figura que se encuentra en casi todo texto de lógica tradicional y que apareció por vez primera en el comentario al De Interpretatione, de Apuleyo de Madaura (siglo segundo d.C.).

Aristóteles antepone a su exposición deductivo de la teoría, a guisa de prefacio, el establecimiento de las llamadas leyes de conversión, de las que hace uso más tarde para “reducir” un tipo de silogismo a otro. Dice que el enunciado universal negativo se convierte en un universal negativo; por ejemplo, si ningún placer es bueno, entonces nada bueno será un placer. Los enunciados afirmativos universal y particular se convierten en particulares

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afirmativos; por ejemplo, si todo placer es bueno, o si algún placer es bueno, entonces algo bueno es placer. El enunciado particular negativo no admite conversión; no es el caso que si algún animal no es hombre, entonces algún hombre no es animal. Aristóteles formula estas leyes con la ayuda de variables: Si A no conviene a ningún B, entonces B no convendrá a ningún A. Si A conviene a todo B, entonces B convendrá a algún A. Si A conviene a algún B, entonces B convendrá a algún A. Este es el primer uso claro de variables en la historia de la ciencia. La exposición de la teoría procede por enumeración de los tipos válidos (o “modos”) de silogismo, indicando cómo algunos de éstos pueden ser derivados de (“reducidos a”) otros, y por refutación de modos inválidos sobre la base de contraejemplos.(...) Los nombres de los modos válidos ( Barbara, Celarent, Darii, Ferio, Cesare, Camestres, Festino, Baroco, Darapti, Felapton, Disamis, Datisi, Bocardo, Ferison, Fesapo y Ferison)son una contribución medieval (...)

Aristóteles agrupa los modos del silogismo en las tres llamadas figuras. A fin de probar por un silogismo que A conviene o no conviene a B, nos dice, es necesario tomar algo que sea común respecto de ambos, y ello puede hacerse de tres maneras: o bien predicando A de C y C de B, o C de ambos, o ambos de C.”Tales son las susodichas figuras, y es claro que todo silogismo ha de ajustarse necesariamente a una de ellas”. Así los modos válidos Bárbara, Celarent, Darii y Ferio pertenecen a la primera figura; Cesare, Camestres, Festino y Baroco, a la segunda; y Darapti, Felapton, Disamis, Datisi, Bocardo y Ferison, - a la tercera. En época posterior se añadió una cuarta figura, que corresponde a la posibilidad de probar A de B predicando C de A y B de C. Nadie sabe si Aristóteles omitió esta posibilidad a resultas de alguna consideración teorético o simplemente por inadvertencia.

Para el lógico moderno, el aspecto más interesante de la teoría del silogismo es su desarrollo como sistema axiomático. Aristóteles tenía conciencia de que esto puede hacerse en más de una manera. En primer lugar selecciona como axiomas los modos válidos de la primera figura, y prueba los restantes. reduciéndolos a los axiomas. Sus reducciones son directas o indirectas. Una reducción directa se lleva a. cabo mediante la conversión de una o más premisas del silogismo a probar, la inversión del orden de ellas si resulta necesario hacerlo, y finalmente la derivación de la conclusión deseada haciendo uso del silogismo con respecto al cual se efectúa la reducción. Como puede verse por los pasajes cuya traducción se dio más arriba, Aristóteles utiliza este método para reducir Cesare y Camestres a Celarent; Festino, Felapton y Ferison, a Ferio; y Darapti, Disamis y Datisi, a Darii. Por otra parte, la reducción de Baroco y Bocardo a Barbara es indirecta. Que la conclusión de un silogismo dado se sigue de sus premisas se establece por dicho método suponiendo una de las premisas y la contradictoria de la conclusión, y derivando luego, conforme al silogismo respecto del cual se efectúa la reducción, la contradictoria de la otra premisa. De este modo, el argumento resulta de acuerdo con el teorema

((p q) r) ((p ¬ r) ¬ q), a pesar de que nuestro autor nunca formula explícitamente un tal principio. Después de haber mostrado cómo reducir todos los modos válidos a los de la primera figura, Aristóteles afirma a continuación que Barbara y Celarent solos bastarían como axiomas para la teoría. Ello lo establece reduciendo Darii y Ferio a modos de la segunda figura, y mostrando luego que todos los modos de la segunda figura pueden ser reducidos a Barbara y Celarent, de la primera. (Cesare, Camestres y Baroco han sido ya así reducidos, y Aristóteles explica que Festino puede ser reducido tanto indirectamente a Celarent como directamente a Ferio). Para coronar la realización de pareja tarea, observa, y correctamente, que, de hecho, los modos válidos de cualquiera de las tres figuras podrían servir igualmente bien de axiomas. Porque, aun cuando ya no se entretenga en mostrarlo, Barbara puede ser reducido indirectamente a Baroco o Bocardo, y Celarent a Festino o Disamis. De este modo, Aristóteles no sólo introdujo variables y las usó para formular, por vez primera, un número de leyes de la lógica formalmente válidas, sino que por medio del primer sistema axiomático de la historia se las ingenió para demostrar algunas de las interrelaciones entre tales leyes. Asimismo merece especial mención su conciencia implícita

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de que, hasta cierto punto, la elección de axiomas es arbitraria: lo que en una formulación de una teoría dada es un axioma, puede ser en otra un teorema derivado. Al establecimiento de los catorce modos válidos se llega mediante el uso de contra-ejemplos para eliminar todas las demás posibilidades; como los pasajes que contienen tales eliminaciones son un tanto crípticos, tal vez valga la pena explicar una instancia típica.

Pero si M es predicado de todo N y 0, no habrá silogismo. Términos para la relación afirmativa son sustancia, animal, hombre; para la relación negativa sustancia, animal, número. Este es el modo que tiene Aristóteles de mostrar que en la segunda figura no es válido ninguno de los cuatro modos que comienzan “Si M es predicado de todo N y 0, entonces...” Desarrollándolo, el argumento discurriría como sigue. Si existiese un modo válido con las premisas dadas y una conclusión negativa, entonces toda asignación de términos a las variables que hiciese verdaderas a las premisas tendría que hacer asimismo verdadera a la conclusión, y por ende, tendría que hacer falsa a la fórmula “N es predicado de todo O”. (Porque la universal afirmativa es incompatible tanto con las universales como con las particulares negativas.) Pero al asignar los términos sustancia, animal y hombre a “M”, “N” y “O”, respectivamente, resultan verdaderas las premisas y falsa la fórmula universal afirmativa-, por lo tanto, no existe modo válido con las premisas dadas y una conclusión negativa. Similarmente, si existiese un modo válido con las premisas dadas y una conclusión afirmativa, cualquier asignación que hiciese verdaderas a las premisas tendría que hacer verdadera a esa conclusión, y consiguientemente, haría falsa a la fórmula negativa universal “N no se predica de ningún O”. Pero al asignar sustancia, animal y número a “M”, “N” y “O”, resultan verdaderas las premisas y esa fórmula. Por lo tanto, no existe un modo válido con las premisas dadas y una conclusión afirmativa. Vemos que Aristóteles está haciendo uso aquí de la misma idea que inspiró nuestra definición de “consecuencia”. Para mostrar que un modo es inválido construye una interpretación bajo la cual sus premisas sean verdaderas y su conclusión falsa. Merced a una ingeniosa asignación de términos, se las compone a veces para eliminar hasta ocho modos con una sola interpretación. Limitaciones de espacio nos impiden intentar una exposición de las contribuciones de Aristóteles a la lógica modal, esto es, a la teoría de los operadores modales “necesariamente” y “posiblemente”. Mucho tuvo que decir sobre esta materia, aunque casi todo parece mutilado y confuso. Infortunadamente, el lector no cesa de preguntarse en qué medida se debe atribuir la dificultad a la naturaleza de la materia, y en qué medida a la confusión aristotélica, a la corrupción del texto, o, en última instancia, a su propia limitación mental. Sabemos muy poco acerca de la historia de la lógica en la escuela peripatética después de Aristóteles. Teofrasto (372-288 a.C.), su inmediato sucesor en la dirección de la escuela, consagró, al parecer, su vida casi exclusivamente al desarrollo y corrección de los descubrimientos de su maestro. Se dice que añadió cinco modos válidos a la primera figura del silogismo; ello, empero, no revelaba defecto alguno en el análisis de Aristóteles, sino únicamente una ambigüedad en el término “primera figura”. En lugar de la estructura AB - BC - AC, que exhiben invariablemente los modos de la primera figura aristotélica, los cinco nuevos modos poseen la estructura AB - BC - CA; como, por ejemplo, en: Si A es predicado de todo B y B de todo C, entonces, es necesario que C sea predicado de algún A.

Así, cuando se invierten sus premisas, se ve que resultan ser justamente los cinco modos válidos de la cuarta figura. Teofrasto es mencionado asimismo por haber llevado a cabo ciertas clarificaciones en la lógica modal aristotélica, como también por su propia contribución al estudio de los llamados silogismos hipotéticos. Estos últimos son argumentos de forma tal como: Si A entonces B y si B entonces C, por lo tanto, si A entonces C, 0 Si A entonces B y si no A entonces C; por lo tanto, si no C entonces B.

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Mientras los Peripatéticos se ocupaban de preservar el legado de Aristóteles, otro grupo de filósofos, los Estoicos y Megáricos, desarrollaban un modo radicalmente distinto de acercarse la lógica formal. De hecho, estaban inventando el cálculo de enunciados.. Infortunadamente, todos los escritos sobre lógica de estos autores se han perdido, y en consecuencia, tenemos que reconstruir sus doctrinas a partir de fragmentos hallados en las obras de personas que escribieron centurias después. Por razones obvias, sería demasiado esperar que la imagen compuesta así obtenida fuese enteramente satisfactoria; de hecho, el prodigio es que tenga algún grado de consistencia.

La escuela megárica fue fundada por Euclides (que no debe ser confundido con el geómetra), un seguidor de Sócrates. Entre sus discípulos se contaban Eubúlides, a quien se ha adscrito la antinomia del Mentiroso, y Trasímaco de Corinto, que fue el maestro de Stilpon. Stilpon, a su vez, fue el maestro de Zenón (336-264 a.C.), el fundador del estoicismo. Muy poco se sabe acerca de cualquiera de estos hombres, pero donde los hechos acaban comienza la leyenda. En lo que concierne a Zenón, por ejemplo, se nos cuenta que no fue griego, sino que habla nacido en Chipre, se trasladó más tarde a Atenas, provocando la ira local al proponer la reforma del lenguaje griego antes de que hubiese aprendido a hablarlo, y, después de una dilatada carrera filosófica, murió a la edad de noventa y ocho, conteniendo su propia respiración. Sus sucesores en el cargo de la escuela estoica fueron Cleantes (descrito como un púgil indigente que fue a Atenas y entró en la escuela de Zenón, llegó a ser cabeza de la misma, transmitió sin alteración las doctrinas de Zenón y, eventualmente, a la edad de noventa y nueve, se privó de alimento hasta morir) y Crisipo (280-205 a.C.). Junto con Aristóteles, Crisipo fue el lógico más productivo de la antigüedad. Como se reconoce en vetustas sentencias, “Si hay alguna lógica en los cielos, es la de Crisipo”, “Si no hubiese existido Crisipo, no habría existido la Estoa”; y del propio Crisipo se cuenta que dijo a Cleantes, Vosotros traedme teoremas, que yo me encargaré de probarlos”. Otra rama importante del la escuela megárica incluía a los dos lógicos Diodoro Croxios (307 a.C.) y su discípulo Filón. Diodoro aportó las definiciones de necesidad y posibilidad en términos de las nociones de “siempre verdadero” y “a veces verdadero”; hasta donde alcanza nuestro conocimiento, Filón fue el inventor de la implicación material. Los estoicos, a diferencia de Aristóteles, tenían muy clara idea sobre e uso y la mención. Poseía una teoría semántica un tanto similar a la d Frege, que extrañaba una distinción entre el signo, su sentido y su denotación. El sentido “es lo que los griegos, pero no los bárbaros, son capaces de captar cuando oyen hablar con palabras griegas”. El sentido de un enunciado declarativo es una proposición; sólo las proposiciones pueden ser verdaderas o falsas, y ellas constituyen, por tanto, la materia propia de la lógica. Grande atención consagraron estoicos y megáricos al sentido de las conectivas “si.... entonces”, “y” y “o”. En particular, la controversia sobre la interpretación adecuada de los condicionales fue tan intensa que, de acuerdo con un fragmento, largo tiempo incomprendido, de Calímaco, “hasta los-cuervos graznan en los tejados discutiendo sobre la verdad del condicional”. En un pasaje sumamente interesante, Sexto Empírico (siglo tercero), nuestra más importante fuente para la lógica estoica, describe las cuatro principales interpretaciones que eran tema de consideración. Sexto las ordena de la más débil a la más fuerte, aduciendo en cada caso un ejemplo que vale en todos los sentidos que le preceden, pero no en el inmediato a considerar. (Al objeto de destacar más claramente los diferentes puntos de vista, se insertan números en el texto.) Porque Filón dice que un condicional verdadero es aquel que no tenga un antecedente verdadero y un consiguiente falso; p. ej., cuando es de día y estoy conversando, “Si es de día, entonces estoy conversando”; pero Diodoro lo define como aquel que ni es ni fue nunca capaz de tener un antecedente verdadero y un consiguiente falso. Según él, el condicional que se acaba de mencionar parece ser falso, ya que, cuando es de día y guardo silencio, tendrá un antecedente verdadero y un consiguiente falso; pero el siguiente condicional parece verdadero: “Si lo-s -elementos atómicos de las cosas no existen, entonces los elementos atómicos de las cosas existen”, puesto que siempre tendrá el antecedente falso, “Los elementos atómicos de las cosas no existen”, y el consiguiente verdadero. “Los elementos atómicos de las cosas existen”. (3) Pero aquellos que introducen “conexión” o “coherencia” dicen que un condicional vale siempre que la negación de su consiguiente -sea incompatible con -su antecedente; de suerte que, de acuerdo con ellos, los antedichos condicionales no

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valen, pero el siguiente es verdadero: “Si es de día, entonces es de día”. (4) Y aquellos que juzgan por ,sugestión” declaran que un condicional es verdadero si su consiguiente está efectivamente incluido en su antecedente. De acuerdo con éstos, “Si es de día, entonces es de día”, y todo condicional que se repita, será probablemente falso, porque es imposible que una cosa esté incluida en sí misma.(Sexto Empírico, Esbozos del Pirronismo, II, 1 10) La definición filónica de implicación material aparece con frecuencia en los fragmentos, usualmente en una forma estilizado, reminiscente del análisis de tablas de verdad: Entonces, dado que hay cuatro combinaciones posibles de las partes de un condicional -antecedente verdadero y consiguiente verdadero, antecedente falso y consiguiente falso, falso y verdadero, o, inversamente, verdadero y falso, dicen que en los tres primeros casos el condicional es verdadero (esto es, si el antecedente es verdadero y el consiguiente es verdadero, es verdadero; si falso y falso, vuelve a ser verdadero; similarmente para falso y verdadero); mientras que sólo en un caso es falso, a saber, cuando el antecedente es verdadero y el consiguiente es falso. (Sexto Empírico, Contra los Matemáticos, VIII, 247)

A las conectivas “y” y “o” se les dio asimismo interpretaciones tanto en el sentido de la teoría de funciones de verdad como en el modal, y en el caso de “o” se distinguió un sentido inclusivo y uno exclusivo. Se advirtió que si nos atenemos a los sentidos correspondientes a la teoría de funciones de verdad, la conectiva “si.... entonces” puede ser definida en términos de “no” y de “y”, y (acaso) que “o” puede ser definida en términos de “si..., entonces” y de “no”. De hecho Crisipo recomendaba que, a efectos de claridad, el condicional material “Si alguno ha nacido bajo la constelación del Can, entonces no morirá ahogado en el mar” se expresase como una conjunción negada. “No es simultáneamente cierto que: alguno haya nacido bajo la constelación del Can y haya de morir ahogado en el mar”. (Nótese, sin embargo, que estos enunciados son propiamente generales, no moleculares). Un argumento, según los estoicos, es “un sistema compuesto de premisas y una conclusión”. El ejemplo típico era una instancia de modus ponens:

Si es de día, entonces hay luz; Es de día; Por tanto, hay luz. Un argumento se define como correcto si su condicional correspondiente es verdadero; evidentemente se hace uso aquí de una de las más fuertes interpretaciones del condicional. El término “correcto” ha sido aplicado también a esquemas de argumentos, como:

Si lo primero, entonces lo segundo; Lo primero; Por tanto, lo segundo. Un esquema de argumento es correcto si todas sus instancias son correctas. Es claro que los estoicos usaban “lo primero”, “lo segundo”, etcétera, como variables que podían ser sustituidas por enunciados; y ello en neto contraste con las variables aristotélicas, cuyos posibles sustitutos eran términos generales, como “hombre” y “animal”. Los estoicos, al igual que Aristóteles, intentaron ordenar todos los argumentos correctos en una especie de sistema deductivo. Parece que consideraron sólo aquellos argumentos que son formalmente correctos en el sentido del cálculo de enunciados. Se tomaron como básicos argumentos de cinco tipos, y todos los demás se declararon reducibles a cadenas de ellos. Los cinco tipos básicos son instancias de los siguientes esquemas:

1. Si lo primero, entonces lo segundo; Lo primero; Por tanto, lo segundo.

2. Si lo primero, entonces lo segundo; No lo segundo; Por tanto, no lo primero.

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3. No a la vez lo primero y lo segundo;

Lo primero; Por tanto, no lo segundo.

4. Lo primero o lo segundo; Lo primero; Por tanto, no lo segundo.

5. Lo primero o lo segundo; No lo primero; Por tanto, lo segundo.

Las pruebas en el sistema se daban esquemáticamente, por medio de cuatro reglas. Infortunadamente, nuestro conocimiento de estas reglas y de su aplicación es incompleto. Sobre la base de algunos ejemplos dados por Sexto, sin embargo, se han hecho conjeturas plausibles. Considérese, nos dice este autor, el siguiente esquema de argumento:

(1) Si a la vez lo primero y lo segundo, entonces lo tercero; (2) No lo tercero; (3) Lo primero

Por tanto, no lo segundo.

Un argumento de este tipo está compuesto de argumentos básicos de los tipos I y II. Partiendo de (1) y (2). por I, obtenemos (4) No a la vez lo primero y lo segundo. Esto que se acaba de obtener puede ahora, según una denominada “regla dialéctica” ser añadido a las premisas. En cuyo caso, de (3) y (4), por III, llegamos a la conclusión. La mencionada regla dialéctica se enuncia así: “si tenemos premisas que dan lugar a una conclusión, entonces podemos incluir efectivamente a esa conclusión entre las premisas, aun en el supuesto de que no estuviese explícitamente establecida”. Es claro, por tanto, que los estoicos trataban de hallar un conjunto manejable de reglas de inferencia merced a las cuales podrían derivarse, por un procedimiento especificado con exactitud, las consecuencias tautológicas de premisas dadas. Observaciones transmitidas por Cicerón parecen indicar que creían que sus cinco, reglas básicas eran suficientes; nuestro imperfecto conocimiento de los detalles nos prohíbe formar un juicio de valor de semejante pretensión. Los fragmentos conservados contienen algunos otros esquemas que eran considerados probables. 0 lo primero o lo segundo o lo tercero. No lo primero. No lo segundo. Por tanto, lo tercero. Crisipo sugirió que hasta los perros parecen utilizar argumentos de esta estructura “. Sostenía haber observado que cuando un perro anda a la caza de un animal y llega a un punto donde el camino que sigue se divide en tres, si rastrea primero las dos sendas que el animal no tomó, se lanzará por la otra sin detenerse a efectuar la menor comprobación. Según Crisipo, el perro arguye efectivamente como sigue: 0 se fue por este camino, o por ese, o por aquel otro. No se fue por este camino. No se fue por ese camino. Por tanto, se fue por aquel otro. Dícese de este argumento que envuelve la repetida aplicación del esquema V.

Debemos a Orígenes otro divertido ejemplo de argumentación estoica:

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Si sabes que estás muerto, estás muerto. Si sabes que estás muerto, no estás muerto.

Por tanto, no sabes que estás muerto. (Y, naturalmente, como las premisas son analíticas, también lo es la conclusión.) Orígenes da, además, el esquema,

Si lo primero, entonces lo segundo. Si lo primero, entonces no lo segundo. Por tanto, no lo primero.

pero no nos dice cómo se lo resolvía en los cinco tipos básicos. Finalmente, podemos mencionar el interés de los estoicos por las paradojas y antinomias. La más famosa de ellas fue la del Mentiroso, una de cuyas versiones reza así: el hombre que dice “Estoy mintiendo” está a la vez mintiendo y diciendo la verdad. Esta importante antinomia fue tomada muy en serio en la antigüedad, como también en tiempos medievales y modernos; Crisipo escribió libros enteros sobre ella, y existe incluso el epitafio del lógico Filites de Cos (en la traducción de S. Jorge Stock).

Soy Filites de Cos, El Mentiroso fue quien me hizo morir, Y las insomnes noches por él causadas.

Durante más de 1000 años después de Crisipo no hubo, en la medida en que alcanzan nuestros conocimientos, nadie que contribuyese en algo de grande originalidad a la ciencia de la lógica. Los autores dignos de mención son importantes tan sólo por haber ayudado a preservar la doctrina antigua y hacer posible su transmisión a la Edad Media (y eventualmente a nosotros). Así el gran orador Cicerón (106-43 a.C.) suministra algunos retazos de información sobre la lógica estoica y es responsable de la traducción al latín de gran parte de la terminología lógica griega. A partir del siglo segundo d.C. disponemos de un par de “introducciones a la lógica” escritas al efecto por Apuleyo de Madaura, anteriormente mencionado a propósito del Cuadrado de Oposición, y el médico griego Galeno (131-201). Estos libros, y otros similares, parecen haber jugado un papel esencial en preservar de la corrupción o de la desaparición a los antiguos descubrimientos. Pero también son una muestra de que, hacia la mitad del siglo segundo, la inevitable confusión de elementos estoicos y aristotélicos estaba ya muy avanzada. Al comienzo del siglo tercero, el comentador aristotélico Alejandro escribió una exégesis muy útil de las obras lógicas de Aristóteles, incorporando una cierta cantidad de información sobre los estoicos. Posteriormente tenemos a Sexto Empírico y Diógenes Laercio, que son nuestras mejores fuentes para la lógica estoica. Una traducción latina de los Esbozos del Pirronismo, del primero de estos dos autores, pudo haber sido asequible ya desde el siglo doce, y pudo haber jugado así un papel en el desarrollo de la lógica medieval. Al comienzo del siglo quinto encontramos a Boecio (470-524) y Marciano Capella, ambos preocupados de compilar un panorama de la tradición lógica tal y como existía en su época. Boccio vertió al latín las obras de Aristóteles Categorías y De Interpretatione, y redactó, además, comentarios sobre estas obras y sobre la Introducción (a las Categorías de Aristóteles), escrita en el siglo tercero por el comentador griego Porfirio, por añadidura, compuso tratados sobre el silogismo categórico y el hipotético. Su obra revela que conocía a fondo la materia, y hasta la mitad del siglo doce fue la principal fuente de información sobre la lógica antigua, pero esto es lo mejor que puede decirse de él. Marciano Capella tiene todavía menos relieve como lógico, pero su función de transmisor de la tradición lo hace digno de ser mencionado.

2. LÓGICA MEDIEVAL Como ha subrayado 1. M. Bochenski, la historia de la lógica no sigue un desarrollo gradual que conduzca de Aristóteles a los tiempos modernos. Más bien parecen destacar en ella, por el contrario, tres puntos culminantes, todos de duración relativamente corta, que están separados por largos períodos de declinación. La primera de estas cimas tuvo lugar en los siglos tercero y cuarto a.C., la segunda, de los siglos doce al catorce, y la tercera

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comenzó a finales del siglo diecinueve y, según los optimistas, se encuentra hoy en pleno florecimiento. Esta generalización es, sin duda, demasiado esquemática, y hay algunos lógicos de importancia -Leibniz es un ejemplo señero- que no caen dentro de ninguno de esos períodos, pero en lo sustancial se la puede tener por verdadera. La contribución medieval a la lógica, importante como fue, se mueve más bien en el área de lo que hoy llamamos “filosofía de la lógica” que en la de la lógica propiamente dicha. Cierto es que esta afirmación no puede establecerse con absoluta seguridad, porque al presente se sabe incluso menos acerca de la lógica medieval que acerca de la lógica antigua. Existe una gran cantidad de manuscritos que no han sido leídos, ni mucho menos editados, por historiadores competentes, y puede que contengan importantes innovaciones, pero a juzgar por lo que ahora sabemos, parece indudable que la Edad Media no aportó nuevos sistemas axiomáticos, ni incremento, en comparación con Crisipo, o incluso Aristóteles, el grado de rigor, ni, en general, continuó el progreso al nivel establecido por las más excelentes figuras de la antigüedad. Sus contribuciones se centran en torno a la investigación de la semántica y la lógica del lenguaje latino, e incluyen además un gran acopio de sutiles análisis filosóficos acerca de múltiples cuestiones de carácter intuitivo que subyacen a todo desarrollo formal de la materia. Como ejemplo de ello, cabe mencionar la prolija discusión sobre el problema de si todo enunciado se sigue de una contradicción; algunos autores emiten la interesante observación de que para desembarazarnos de este resultado, un tanto singular, nos veríamos forzados a abandonar asimismo varias estructuras de inferencia que por otra parte son completamente inobjetables (véase página 33, ejercicio 2). Antes de pasar a la consideración de autores individuales, convendría insistir -en que el más importante factor que determina la naturaleza de la lógica escolástica en los varios períodos de su historia fue la disponibilidad del material heredado de los antiguos. Hasta mediados del siglo doce, las únicas obras generalmente accesibles fueron las Categorías y el De Interpretalione de Aristóteles, la Introducción de Porfirio y varios escritos derivados, compuestos por Boecio y Marciano Capella. Dado que el espíritu de los tiempos otorgaba el mayor peso a la tradición, esta pobreza de fuentes se refleja en una correlativa restricción del rango y profundidad de las discusiones. Hacia la segunda mitad del siglo doce, sin embargo, el renacimiento del interés por el aprendizaje de la lógica había progresado hasta el punto de que los estudiosos procuraban, por todos los medios a su alcance, familiarizarse con el legado de la antigüedad, incluyendo el resto del Organon de Aristóteles. A partir de entonces las contribuciones profesorales se tornan mucho más abundantes y alambicadas. La primera gran figura en la historia de la lógica medieval es Pedro Abelardo (1079-1142). Cierto es que Alcuino, que enseñó en York hacia el fin del siglo octavo y se encargó más tarde de la dirección de la escuela fundada por Carlomagno, escribió un libro titulado Dialectica, pero este libro apenas contiene otra cosa que una discusión de las categorías aristotélicas. Y en los siglos nueve y diez hubo, presumiblemente, al menos algunas otras obras similares. Pero hasta Abelardo y su escuela no encontramos una discusión completa y relativamente lúcida de un gran número de cuestiones relacionadas con la lógica. Una proporción sorprendentemente grande de los tópicos y métodos que aparecen a lo largo de la lógica medieval tiene su inicio en los escritos de Abelardo. Así, aun cuando no fue él quien originó la gran controversia acerca de la existencia de universales, le dio su primer fuerte impulso. Su postura venía a situarse de alguna manera entre realismo (platonismo) y nominalismo. “Los hombres individuales son distintos entre sí”, afirmaba, “pero coinciden en que son hombres; no digo que coincidan en hombre (in homine), puesto que nada es hombre (sit homo) a menos que sea individuo, sino en ser un hombre. Porque ser un hombre no es hombre (non est homo) ni cosa alguna de tal índole”. Su obra Sic et Non establece el canon medieval de presentación de toda discusión filosófica bajo el encabezamiento de quaestiones; se propone una quaestio, se establecen sistemáticamente los argumentos en pro y en contra, y luego se da la solutio y se la aplica a los argumentos previamente expuestos. El método es rígido y estilizado, pero contribuye a aclarar sobremanera la estructura del discurso de un autor. Otra de las innovaciones de Abelardo fue su distinción entre los condicionales (consequentiae) que son verdaderos por virtud de su forma (ex complexione) y aquellos que son verdaderos por virtud de los hechos (ex rerum natura). A los condicionales verdaderos de esta última especie, y asimismo a los argumentos a ellos correspondientes, los consideraba un tanto imperfectos. En un

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condicional perfecto, nos dice, el sentido del consiguiente precisa estar contenido en el del antecedente.

Abelardo dedicó mucha atención a la partícula verbal “es”, arguyendo que el contenido de todo enunciado categórico es susceptible de ser expresado mediante un enunciado de la forma “A es B” (A est B). Incluso “Sócrates existe” (Socrates est) puede ser representado mediante “Sócrates es una cosa existente” (Socrates est ens). Tal vez se abra aquí el camino a la -posibilidad de reducir el número de predicados en nuestro lenguaje a uno solo- el “” de la teoría de conjuntos y de representar la existencia como relación de pertenencia al conjunto universal. Abelardo dedicó también gran cantidad de espacio a las modalidades, planteando problemas que todavía hoy están bajo discusión.

En la obra de Abelardo no encontramos signos de familiaridad directa con otros escritos aristotélicos que las Categorías y De Interpretatione; su magna concepción de la silogística está evidentemente sacada de Boecio. Una vez que llegó a ser generalmente asequible el resto del Organon de Aristóteles, aparecieron numerosas summulae (breves sumarios) de lógica. La más antigua de éstas que ha sido impresa es la obra de Guillermo de Shyreswood (m. 1249). Contiene, entre una miscelánea de otras interesantes cuestiones, dos “poemas” memotécnicos dignos de reproducir aquí. El primero es el famoso

Barbara Celarent Darii Ferio Baralipton Celantes Dabitis Fapesmo Frisesomorum; Cesare Campestres Festino Baroco; Darapti Felapton Disamis Datisi Bocardo Ferison.

En estos versos se alistan los modos silogísticos válidos de las tres primeras figuras

(añadiéndose además a los de la primera figura los cinco modos adicionales de Teofrasto). En los nombres de los modos, casi todas las letras son significativas. Las primeras tres vocales caracterizan los componentes del silogismo, así Barbara consta de tres enunciados A con los términos dispuestos de acuerdo con la estructura de la primera figura. Las consonantes dan instrucciones para reducir el modo dado a uno de los cuatro primeros: la consonante inicial indica el modo respecto al cual ha de efectuarse la reducción (así Baralipton, Baroco, y Bocardo se reducen a Barbara); una ocurrencia de “s” significa que el enunciado denotado por la vocal precedente ha de ser convertido simplemente; similar es el significado de una ocurrencia de “p”, sólo que en este caso la conversión no es simple; una ocurrencia de “m” indica que las premisas han de ser intercambiadas; y una “c” nos dice que usemos la reducción indirecta. Se recomienda al lector verificar por si mismo la eficacia de estas instrucciones.

El otro “poema”” ofrece, en efecto, el contenido de nuestra regla I: Todo, ninguno-no, y no-alguno-no, son equivalentes,

Como lo son ninguno, no-alguno y todo-no; Alguno, no-alguno, y no-todo-no van asociados; Asirmismo lo están alguno-no, no-ninguno-no, y no-todo.

Ello nos permite advertir, incidentalmente, que nuestros cuantificadores todo y alguno podrían haber sido definidos con idéntica corrección en términos de un cuantificador con el sentido de ninguno. Pedro Hispano (ca. 1210-77), que fue probablemente discípulo de Guillermo de Shyreswood cuando éste enseñaba en París, y que llegó a ser más tarde Papa bajo el nombre de Juan XXI, escribió el segundo de los dos únicos libros de summulae que son accesibles en una edición moderna. En su tiempo fue considerado este libro como obra clásica, y continuó siendo utilizado hasta el siglo diecisiete. Su contenido era similar al del manual escrito por Guillermo, con la salvedad de incluir más y mejores versos memotécnicos; ello, juntamente con la elevada posición de su autor, puede explicar que alcanzase mayor popularidad. Contiene secciones sobre proposiciones, los cinco predicables de Porfirio (definición, género, especie, propiedad y accidente), las categorías, el silogismo, reglas tópicas de argumentación, y falacias; por añadidura, incluye un grupo de apartados sobre Las Propiedades de los Términos.

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La doctrina de las propiedades de los términos aparece a lo largo de la lógica medieval tardía, y frecuentemente se la considera su más original contribución. Infortunadamente, empero, los diferentes autores dan versiones diferentes, y todavía aguardamos una exégesis realmente clara de esas versiones. Las propiedades más comúnmente mencionadas son significatio, suppositio, copulatio y appellatio, de las que decíase caracterizar diferentes aspectos del funcionamiento de los términos en los enunciados latinos tal y como de hecho se los utilizaba. En semejante contexto la palabra “término” comprende nombres generales (v.g., “hombre”), verbos (v.g., “es” o “corre”), y adjetivos (v.g., “blanco”). Todo término tiene significatio, que parece efectivamente ser lo que pudiera llamarse su “sentido de diccionario”, y que, según los realistas, es siempre una forma. Pero, cuando se lo utiliza en un enunciado, un término puede no representar a su significatum. Si se lo emplea con suppositio materialis (como el término Homo en Homo est disyllabum) el término en cuestión se representa a sí mismo; en caso contrario se dice que tiene suppositio formalis. Esta última puede ser simplex (como en Homo est species), cuando el término es utilizado refiriéndose a su significatum, o personalis (como en Homo currit o en Omnis homo est animal), cuando se refiere a uno o más individuos que caen bajo la forma que es el significatum. La clasificación de tipos de suppositio es elaborada mucho más tarde, siempre sobre la base de distincione que parecen interesantes pero son difíciles de elucidar. Copulatio (vinculación), en la concepción original suministrada por Abelardo, es la propiedad de los verbos por virtud de la cual pueden éstos unir sujeto y predicado para formar un enunciado categórico; otros autores la definen harto diferentemente. La appellatio de un término se dice ser su referencia a cosas existentes al presente. En general, y hasta que se arroje más luz sobre la materia, únicamente cabe conjeturar que las propiedades de los términos, si se las entiende de modo correcto, resultarán ser una colección de conceptos semánticos útiles en la explicación de varios problemas lógicos que surgen en el empleo del lenguaje natural (como es, por ejemplo, la cuestión de saber por qué “Sócrates solía ser un muchacho” no es equivalente a “Algún muchacho solía ser Sócrates”). Los lógicos principales del siglo catorce son Guillermo de Occam (ca. 1295-1349), Juan Buridán (m. poco después de 1358), Alberto de Sajonia (ca. 1316-90), y un autor desconocido a quien llamamos el Pseudo Escoto porque sus escritos fueron largo tiempo atribuidos a Duns Escoto. La Navaja de Occam (la proposición de que “las entidades no debieran multiplicarse sin necesidad”) y el Asno de Buridán (un infortunado jumento que pereció de inanición por no poder decidirse a elegir entre dos equidistantes pilas de heno) serán bien conocidos de los lectores familiarizados con la historia de la filosofía. Pero en la historia de la lógica, la importancia de Occam y Buridán, como también la de los otros dos autores, reside primariamente en su desarrollo de la teoría de las consequentiae. El término consequentia, según fue definido por el Pseudo Escoto, significa “una proposición hipotética compuesta de un antecedente y un consiguiente, unidos por una conjunción condicional”, y es claro que por “conjunción condicional” dicho autor se refiere no solamente a “si..., entonces”, sino también a “por tanto”. Así, se incluyen como ejemplos de consequentiae

Todo hombre es un animal; por tanto, todo animal es un hombre. Sócrates existe y Sócrates no existe; por tanto, Sócrates no existe.

Para la corrección de una consequentia se da de ordinario una condición tal como la siguiente: una consequentia es correcta si y solamente si no es posible que el antecedente sea verdadero y el consiguiente falso. Esta es la idea clave, si bien a veces se introducían correcciones menores en orden a precaverse de ciertas paradojas a las cuales parecía dar lugar la establecida condición. Pese a la generalidad de esta concepción de la corrección, sin embargo, en la práctica se consideraban sólo consequentiae formalmente correctas, y de estas últimas sólo aquellas que en tiempos modernos serían contadas como partes del cálculo enunciativo (suplementadas a veces por los operadores modales “necesariamente” y “posiblemente”). En sus exposiciones de las consequentiae correctas, los autores medievales utilizaban descripciones metalingüísticas en lugar de esquemas que contuviesen variables. Así, en lugar de fórmulas tales como:

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p; por tanto, p o q q; por tanto, p o q y

p y q; por tanto, p p y q; por tanto, q

encontramos

Hay una consequentia correcta de cualquier parte de una disyunción afirmativa a la disyunción afirmativa de la cual es parte.

y

Cualquier parte de una conjunción se sigue de la conjunción de la cual es parte.

E. A. Moody ha reunido un gran número de tales caracterizaciones, halladas principalmente en los escritos de los cuatro autores anteriormente mencionados y los ha expuesto sistemáticamente por medio de fórmulas en notación moderna. Con el mismo propósito podemos usar fórmulas del cálculo CE de nuestro lenguaje formalizado L, en la inteligencia de que han de servir tan sólo para indicar la existencia de los correspondientes asertos metateóricos.

(...) También encontramos los correspondientes análogos de las fórmulas que siguen:

1 (pq) (¬(pr)¬ (qr) 2 (q r) (¬ (pr) ¬ (pq) 3 (p¬-q)¬(p q) 4 p (q ¬ q) 5 (p (q ¬ q)) p 6 ¬p ¬(p q) 7 ¬ q- ¬(p q) 8 (p ((p q) (qr))) r 9 (p q) ((q¬-r)(p ¬r)) 10 (p q)((p r)(q r)) 11 (p q)(((p q)r) (p r)) 12 (p q)(((q r) s) ((p r) s)) 13 ((p q) r) (( p ¬ r)¬q) 14 ((pq)r) ((q¬r) ¬-p) 15 ((p q) r) (¬r (¬p ¬ q))

En adición de cuantas anteceden, eran asimismo mencionadas varias consequentiae correctas que envolvían operadores modales. De ellas daremos este solo ejemplo:

Para la posibilidad de una disyunción es suficiente que cualquiera de sus partes sea posible.

Antes de abandonar el período medieval es preciso mencionar una objeción, sobremanera notable, que puso el Pseudo Escoto a la caracterización típica de una consequentia correcta como aquella en la cual es imposible que el antecedente sea verdadero y el consiguiente falso. Tras advertir que sobre esta base será correcta toda consequentia cuyo consiguiente sea necesario, se brinda a construir un ejemplo de conseqtíentia incorrecta en la cual tanto el antecedente como el consiguiente son necesarios. Dicho ejemplo es:

Dios existe; por tanto, esta consequentia no es correcta.

La consequentia , es, con seguridad, incorrecta, dice nuestro autor, puesto que en caso contrario tendríamos una consequentia correcta con un antecedente verdadero y un

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consiguiente falso. Y como quiera que hemos establecido tal incorrección utilizando únicamente la verdad necesaria de que Dios existe, la incorrección es necesaria., Así la consequentia, aunque incorrecta, tiene un consiguiente necesario. Dejamos al lector que explore por sí mismo este argumento, haciéndole notar tan sólo que la premisa “Dios existe” podría perfectamente haber sido reemplazada “2+2=4” o cualquier otra verdad necesaria.

3. LÓGICA MODERNA

El Renacimiento, con su reacción frente al escolasticismo medieval, marca el principio de otro largo período de relativa inactividad en la historia de la lógica. A los humanistas que redescubrían las bellezas del griego clásico y la literatura latina, los escritos de los lógicos les parecieron no sólo monótonos y triviales en contenido, sino también bárbaros en cuanto al estilo. Estos sentimientos fueron compartidos por hombres de vocación científica, quienes hallaban, por añadidura, que la silogística aristotélica con todo su instrumental venía a resultar punto menos que inútil para la realización de los propósitos por ellos perseguidos. Bajo tales circunstancias, difícilmente sorprenderá que la lógica dejase de atraer a las mentes dotadas de mayor talento y que a consecuencia de ello se fuese hundiendo gradualmente en un estado de abandono. Hasta la aparición, cuatrocientos años más tarde, de Boole, De Morgan y Frege, no se recobró de los efectos de semejante retroceso, para experimentar un renacimiento de su problemática. Con la sola excepción de Leibniz, todos los lógicos de este período han de ser clasificados como menores. El primero de ellos es Pedro Ramus (1515-72), quien escribió una serie de tratados sobre lógica y fue conocido principalmente por su antiaristotelismo. La gran popularidad e influencia de su obra parecen difíciles de justificar. Tal vez sean debidas al hecho de que fue asesinado en la matanza de la Noche de San Bartolomé y fue considerado desde entonces como un mártir por los protestantes. En cualquier caso le debemos el servicio de haberse preguntado si no pasó por alto Aristóteles silogismos tales como “Octavio es el heredero de César; yo soy Octavio; por tanto, yo soy el heredero del César”. Los defensores de Aristóteles quedaron reducidos a la desesperada situación de argüir que pareja suerte de silogismo debería ser reformulada como “ “Todo lo que sea Octavio es el heredero de César; todo lo que sea yo, es Octavio; por tanto, todo lo que sea yo, es el heredero de César”.

El filósofo Thomas Hobbes (1588-1679) merece una breve mención por su original y enfático establecimiento del punto de vista según el cual las verdades necesarias son verdaderas simplemente por virtud de los modos en que se usan sus términos componentes. ““El hombre es un ser viviente” es verdadero”, nos dice, “Pero sólo por la razón de que plugo a los hombres imponer ambos nombres a la misma cosa”. La tesis de que la verdad lógica es debida a convención lingüística y no a la existencia de vínculos necesarios en la naturaleza, ha tenido, indudablemente, muy considerable influencia en el desarrollo de la lógica, a pesar de la reconocida vaguedad que envuelve a los términos “convención lingüística” y “vinculo necesario en la naturaleza”. En el siglo dieciséis figuran varios influyentes textos de lógica que son dignos de anotar. Uno d e ellos es la Locica Hamburcensis, publicada en 1638 por Joachim Junge (1587-165-7). La obra de Junge es favorable y frecuentemente mencionada por Leibniz, de ordinario en relación con la consideración que en ella se hace de las llamadas inferencias a recto ad obliquum. Ejemplos de éstas son las siguientes.

Un círculo es una figura; por tanto, quienquiera que dibuje un círculo dibuja una

figura. . Un reptil es un animal; por tanto, quienquiera que fuese el que creó todos los

animales, creó todos los reptiles. Las inferencias relacionases de este tipo no fueron, sin embargo. Descubrimiento de Junge, pues casos similares habían sido cubrimiento habían sido ya considerados por Occam; p. ej.:

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Todos los hombres son animales; Sócrates ve un hombre; por tanto,

Sócrates ve un animal.

Otro texto de esa índole fue publicado por Amold Geulincx en 1662, con el título “Lógica Restituida al Fundamento del que Previamente Decayó”. Contiene exposiciones relativamente lúcidas de un número de temas tópicos, incluyendo la teoría de la suppositio, la combinación de “no” con , todo” y “alguno”, las leyes de De Morgan y el silogismo categórico. Por añadidura hay una discusión del llamado antisilogisnio, p. ej.:

Pedro no es un animal; por tanto, no es a un mismo tiempo cierto que: Pedro es un

hombre y todos los hombres son animales. El más famoso e influyente texto del período fue. empero, La La logique ou l”art de

penser (mejor conocida como La lógica de Port Royal) publicado en 1662 por Antoine Arnauld y Pierre Nicole. Con su concepción de la lógica como “el arte del razonamiento correto”, es un ejemplo muy temprano del genre “como pensar correctamente”. Ello no quiere decir que se trate de un mal libro, sino sólo que casi todo cuanto contiene se sale del área de lo que en nuestros días se llama “lógica”. Su más conocida aportación es la distinción entre comprensión y extensión de términos generales. La comprensión de un término general es el conjunto de todos aquellos atributos que no pueden ser, removidos sin destruir ese concepto; la extensión consta de todos los objetos “inferiores” a dicho concepto. En el caso del término general “triángulo”, los autores nos dicen que la comprensión incluye el tener extensión, figura, tres lados, tres ángulos, la igualdad de esos tres ángulos con dos ángulos rectos, etc. La extensión consta, presumiblemente, de todos los triángulos particulares, si bien los autores no son muy claros al respecto. Es obvio que esta distinción guarda relación con la existente entre sentido y denotación, originalmente esbozada por los estoicos y ulteriormente restablecida por Frege en forma más satisfactoria. El gran filósofo y polígrafo Gottfried Wilhelm von Leibniz se interesó profundamente por la lógica y concibió por vez primera una serie de ideas que anticipaban desarrollos que tuvieron lugar dos siglos después. Sin embargo, su obra más importante quedó sin publicar, por causa de lo cual, además de otros factores, su influencia en la historia de la lógica no fue tan grande como hubiera debido ser. Ya antes de cumplir los veinte años Leibniz expuso el proyecto de construir una lingua philosophica o characteristica universalis, un lenguaje artificial cuya estructura fuese un espejo de la estructura del pensamiento. Estaba convencido de que el lenguaje ordinario, con toda su ambigüedad, vaguedad, defectuosa traza y elementos superfluos, no era un vehículo apto para la comunicación y ni siquiera para el pensamiento. La idea de un lenguaje artificial no era nueva en sí misma, pero lo que Leibniz sugirió o estaba sugiriendo era algo más que un mero sistema de abreviatura notacional. La idea crucial de sus propósitos era más bien la de que en el ámbito del pensamiento, como en el del lenguaje, existe lo complejo y lo simple, y de que es en principio posible asignar signos simples a los elementos del pensamiento de manera tal que los signos de pensamientos complejos fuesen siempre construidos de un modo único a partir de los signos representativos de las partes de esos pensamientos. En parejo lenguaje, las expresiones lingüísticas serían, como él, imágenes o figuras de los pensamientos que representasen. Ello, creía Leibniz, facilitaría grandemente el pensamiento y la comunicación, y permitiría el desarrollo de reglas mecánicas para decidir todas las cuestiones de consistencia o consecuencia. Innecesario es decir que Leibniz no fue capaz de llevar a cabo su programa, aunque emprendió varios intentos de construcción de cálculos formales. En uno de estos intentos desarrolló incluso parte de la teoría de identidad, basándola en la Ley de Leibniz (“las cosas son idénticas si pueden ser sustituidas recíprocamente en toda ocasión sin que cambie el valor de verdad”), y utilizando los mismos tipos de prueba que hemos seguido en el sistema formal del capítulo 9, sección 1. Es de lamentar que no llegase más lejos en la misma dirección. El matemático italiano Gerolamo Saccheri, conocido principalmente por su anticipación de la geometría o euclidiana, merece .ser mencionado aquí por su discusión de la Ley de Clavius, i.e., (¬pp)p, y su inteligente uso de esta ley en las pruebas. Su

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librito de lógica, Logica Demonstrativa (1697)” contiene algunos argumentos notables en los que, para probar que un modo silogístico dado es inválido, construye en ese modo un silogismo con premisas verdaderas y una conclusión declarativo de que el modo en cuestión es inválido. A continuación arguye: si el modo es válido, la conclusión de este silogismo es verdadera y el modo es inválido; por tanto, el modo es inválido. Saccheri es asimismo digno de nota por su relativamente cuidadoso uso de la definición; supo apreciar la necesidad de demostrar la existencia y unicidad de un objeto antes de introducir un término que lo denote. Más de un siglo después aparece Benard Bolzano (1781-1848), que escribió una obra descomunal titulada Wissenschaftslehre (“Teoría de la Ciencia”). Esparcidas a lo largo de los varios volúmenes de la misma hay varias contribuciones originales que sólo recientemente han atraído la atención que merecen. Una de ellas viene a representar el primer intento relativamente preciso de definir analiticidad en términos de interpretaciones. Infortunadamente, las definiciones de Bolzano están formuladas haciendo referencia a proposiciones, consideradas en oposición a enunciadas. Nos habla de obtener una proposición a partir de otra reemplazando sus partes constituyentes. Pero es difícil aclarar lo que pueda significar “reemplazo” cuando se lo aplica a entidades de las que se afirma que son inespaciales y atemporales. Consiguientemente, aun cuando su idea básica es buena, habría que introducir, en ella sustanciales clarificaciones antes de que pudiese ser utilizada de un modo riguroso. Bolzano define la analiticidad en un sentido amplio y en un sentido estricto. Una proposición es universalmente válida con respecto a un constituyente o constituyentes dados, si todo resultado de reemplazar a estos constituyentes por otros términos es verdadero; es universalmente inválida con respecto al constituyente o constituyentes dados, si todo resultado de esa operación es falso. Así, la proposición “el hombre Cayo es mortal” se dice que es universalmente válida con, respecto al constituyente Cayo. Una proposición es analítica (en sentido amplio) con respecto a un constituyente dado, si es universalmente válida o universalmente inválida; en caso contrario es sintética. Si una proposición es analítica con respecto a todos sus constituyentes, exceptuando los lógicos, es analítica en sentido estricto. Esta es la noción que nos parece de valor, aun cuando, dada la dificultad de establecer una clara distinción entre los constituyentes que son lógicos y los que no lo son, Bolzano no saca demasiado provecho de ella. La consistencia la define esencialmente como sigue: un grupo de proposiciones es consistente si algún reemplazo de sus constituyentes no lógicos las hace a todas verdaderas. Y una proposición dada es una consecuencia de un grupo de proposiciones, si todo reemplazo de constituyentes que haga verdaderos a todos los miembros del grupo la hace verdadera. La íntima relación que guardan estas ideas con los métodos que hemos utilizado en el capítulo 4 (sobre la noción de interpretación en lógica de predicados) es manifiesta. El moderno desarrollo de la lógica empieza en serio con la obra de George Boole (1815-64) y Augustus De Morgan (1806-71). Estos hombres desarrollaron casi simultáneamente los fundamentos de la llamada álgebra lógica, que consta de álgebra de clases, (álgebra booleana) y del álgebra de relaciones binarias. Tanto Boole como De Morgan subrayaron la obvia similitud de estructura entre ciertas leyes de la lógica y fórmulas correspondientes del álgebra numérica ordinaria. Al elaborar, empero, sus sistemas lógicos, no pretendieron dar una caracterización completa de estos sistemas, sino únicamente indicar los puntos que los diferencian del álgebra ordinaria. Sólo más tarde se llevaron a cabo formulaciones más satisfactorias. En el capítulo precedente hemos dado una tal formulación del álgebra de clases. (...) El álgebra de las relaciones binarias, originada por De Morgan y Charles Sanders Pcirce (18391914), es similar al álgebra de clases, con la excepción de que en lugar de tres símbolos de operación tenemos en ella seis, que se interpretan como denotativos de la unión, intersección, complementación, suma relativa, producto relativo y conversión de relaciones binarias arbitrarias. Axiomas para el álgebra de relaciones han sido dados por Tarski. El álgebra de clases no debe ser confundida con la teoría general de conjuntos, de la cual es sólo una pequeña parte. La teoría de conjuntos, que puede con idéntico derecho ser llamada la teoría de la relación de ser-miembro-de o pertenencia, fue creada por el matemático Georg Cantor (1845-1918). La teoría de Cantor incorporaba análisis de las nociones de número cardinal y ordinal, infinitud y muchos otros conceptos que son

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importantes en la matemática moderna: en particular, desarrolló por vez primera una teoría de cardinales infinitos y llevó a cabo una prueba de la afirmación según la cual para cualquier conjunto M, finito o infinito, el número cardinal del conjunto de sus subconjuntos es mayor que el número cardinal de M. Se ha descubierto que la teoría de Cantor, en su forma más simple, permite la derivación de la Antinomia de Russell, y en vista de ello se han dedicado cuantiosos esfuerzos al intento de hallar subteorías consistentes que preserven cuanto sea posible de su contenido. Ahora llegamos a Frege. Si hay un punto en el que estén de acuerdo todos los recientes historiadores de la lógica, es en el eminente lugar que ocupa Gottlob Frege (1848-1925) entre los que han contribuido al desarrollo de esta disciplina. Alonzo Church declara sin ambages que Frege “es indiscutiblemente el más grande lógico de los tiempos modernos”; M. Bocheúski llama a Frege indudablemente el más distinguido pensador en el campo de la lógica matemática” y afirma que el Begriffsschrift de Frege es comparable en importancia sólo con otro libro en toda la historia de la lógica, a saber, los Primeros Analíticos de Aristóteles; y William y Martha Kneale encuentran que “el sistema deductivo o cálculo que él elaboró es la más grande contribución personal en la historia de la materia. La contribución de Frege consiste, en una palabra, en haber inventado la lógica en su forma moderna. En su breve libro Begriffsschrift, aparece, por vez primera, una exposición axiomático, completamente formalizada, consistente y completa del cálculo de enunciados. Usando como primitivas la negación y la implicación de teoría de funciones de verdad, emplea seis axiomas, juntamente con el modus ponens y la sustitución como únicas reglas de inferencia. Aún más importante es la introducción de cuantificadores llevada a cabo por Frege en su sistema formal, que merced a la inclusión de axiomas y reglas adicionales se expande así hasta convertirse en un sistema completo del cálculo de predicados de primer orden. Toda la exposición está de acuerdo con su rigurosa concepción personal de una teoría satisfactoriamente formulada: tal teoría debería construirse en un lenguaje artificial, formalizado, para el cual se explicase el concepto de fórmula (bien formada) por la exclusiva referencia a la figura o aspecto físico de las expresiones envueltas; habría que dar una relación explicita de los símbolos primitivos, en términos de los cuales se definirían luego todos los demás; asimismo habría que incluir en una relación, como axiomas, todas las fórmulas a establecer sin prueba; toda otra fórmula susceptible de ser establecida tendría que ser derivada de los axiomas por aplicación de reglas formales de inferencia, que deberían estar completamente determinadas de antemano. El número de estas reglas, como también el de los axiomas y términos primitivos, debiera ser lo más reducido posible. Pero lo más importante de todo, en la concepción de Frege, era que las derivaciones fuesen “sin agujeros”; lo cual podría lograrse sin gran dificultad, pensaba nuestro autor, si las reglas de inferencia fuesen tan pocas y simples como resultase posible.

“Al efectuar el paso [partiendo de los axiomas a una nueva aserción, es preciso no contentarse, como hasta ahora han venido haciendo prácticamente siempre los matemáticos, con su aparentemente obvia corrección, sino que, por el contrario, hay que analizarlos resolviéndolos en los pasos lógicos simples de que constan -y que a menudo serán bastantes”. Tales observaciones no granjearon a Frege la simpatía de sus colegas matemáticos, a pesar de que él estuvo siempre pronto y dispuesto a señalar ejemplos en los que el razonamiento matemático, de hecho, se había desviado por causa de las muchas deficiencias que nuestro autor trataba de remediar. Otra de sus principales contribuciones a la lógica va más allá del cálculo de predicados de primer orden y envuelve la cuantificación de variables predicativas (o clases). Tal fue su notable descubrimiento de que la aritmética, y con ella otras considerables porciones de la matemática, pueden ser reducidas a lógica. La reducción se lleva a cabo definiendo los conceptos básicos de la aritmética en términos de nociones puramente lógicas. En lo esencial el método de Frege es como sigue. Primero define dos conjuntos cualesquiera como cardinalmente semejantes si hay entre ellos una correspondencia de uno a uno. Luego define el número cardinal de un conjunto M como el conjunto de todos los conjuntos cardinalmente semejantes a M. Así, el número entero 1 es el conjunto de todos los conjuntos que satisfacen la condición

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(x)(y)(y My = x); el número entero 2 es el conjunto de todos los conjuntos M que satisfacen la condición (x)(y)(x y (z)(z M (z = x z = y))); y así sucesivamente. La suma p + q de los dos. enteros p y q será el conjunto de todos los conjuntos C que satisfacen la condición

(A)(B)(Ap Bq A B= C AB = ) El conjunto de enteros positivos puede entonces ser definido como la intersección de todos los conjuntos a que satisfacen la condición

1 M (N)(N A N+1 M). Así los, conceptos básicos de la aritmética son definibles exclusivamente en términos de nociones lógicas, y por tanto las leyes de la aritmética se convierten en leyes de lógica. En el primer volumen de su Grundgesetze der Arithmetik (1903) Frege lleva a cabo esta derivación de la aritmética a partir de la lógica; aun cuando su sistema era vulnerable a la Antinomia de Russell, puede ser rectificado de varios modos, de suerte que la corrección de sus ideas básicas permanece intacta. En la filosofía del lenguaje Frege es importante por su distinción entre sentido y denotación. Su obra en este área, como en todas las que tocó, ha resultado ser extraordinariamente estimulante para investigadores posteriores.

Muchas de las concepciones de Frege se pueden encontrar, asimismo, menos sistemáticamente desarrolladas, en los escritos del lógico americano Charles Sanders Peirce (1839-1914). Con entera independencia de Frege, Peirce inventó un simbolismo adecuado para toda la lógica, elaboró porciones de la teoría de la cuantificación (hasta el punto de incluir la forma normal prenexa), y probó importantes resultados en la teoría de relaciones.

La siguiente gran figura en la historia de la lógica es Bertrand Russell, quien, juntamente con Alfred North Whitehead (1861-1947), escribió la monumental obra Principia Mathematica. Al incorporar la llamada teoría de tipos, un instrumento confeccionado para obviar la inconsistencia del sistema de Frege, este tratado en tres volúmenes da en larga medida cumplimiento al programa de Frege de derivar la matemática de la lógica. En ciertos respectos, especialmente dondequiera que vaya envuelta la distinción uso-mención, queda por debajo del alto nivel de rigor mantenido por Frege. No obstante, es, sin duda, una obra clásica que ha determinado en buena parte el subsiguiente desarrollo de la lógica.

Finalmente haremos breve mención de la obra de Kurt, Gödel y Alfred Tarski. Debemos a Gödel la primera prueba de la completitud de la lógica elemental, y el todavía más impresionante teorema de incompletud para lógicas de orden superior. Al establecer este último teorema mostró que no puede darse un sistema axiomático completo y consistente para la aritmética elemental de los números naturales. (Esta teoría es formulada en el cálculo de predicados de primer orden con identidad y símbolos de operación; el vocabulario no lógico se reduce a dos símbolos de operación binaria; las aserciones son todos los enunciados de la teoría que, son verdaderos cuando se entiende que el ámbito de interpretación de las variables son los números naturales y los símbolos de operación representan la adición y la multiplicación). El teorema de incompletud de Gödel ha tenido un profundo efecto sobre la filosofía de la matemática, mostrando de una vez por todas que la verdad matemática no puede ser identificada con la derivabilidad a partir de conjunto particular alguno de axiomas.

La obra de Alfred Tarski abarca todo el campo de la lógica, desde su aspecto más filosófico hasta el más matemático. En el área de la semántica, ha logrado con éxito introducir definiciones absolutamente precisas para muchos conceptos -sobre todo el de verdad- que previamente habían sido relegados al vasto acervo de la confusión filosófica, de

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hecho, puede decirse con toda propiedad que es el creador de la semántica, en el sentido científico de este término. También ha realizado profundas contribuciones en teoría de conjuntos y, en el área de la metamatemática, ha aportado buen número de importantes resultados concernientes a la decidibilidad de varias teorías matemáticas. Con sus numerosos discípulos y asociados, Tarski debe ser considerado como una de las más grandes fuerzas individuales que impulsan hoy el progreso de la ciencia de la lógica.