Breve storia della Geometria superiore

Enrico Rogora

14 dicembre 2016

L’idea che si possa concepire e studiare la Geometria degli spazi di dimen-sione maggiore di tre, o Geometria superiore, nasce e si sviluppa nel dician-novesimo secolo grazie al contributo indipendente di numerosi matematici ein diversi contesti:

1. il contesto geometrico - differenziale, con il lavoro di Riemann sulle va-rieta n-dimensionali, che abbiamo brevemente considerato nel capitolosulla storia della Geometria differenziale;

2. il contesto geometrico - sintetico, con il lavoro di Schlafli sui politopi;

3. il contesto algebrico - geometrico, con i lavori di Cayley, Grassmann eHamilton che porteranno alla nascita dell’algebra vettoriale;

4. il contesto geometrico - proiettivo, con i lavori di Plucker sui complessidi rette.

1 La difficolta di concepire geometricamente

una quarta dimensione.

Per secoli la geometria e rimasta solidamente legata alla sua radice speri-mentale cioe all’esperienza dello spazio fisico. La possibilita di immaginarespazi di dimensione superiore, anche quando venivano suggeriti in manie-ra naturale dall’evoluzione stessa della matematica, non e mai stata presa inconsiderazione a causa del suo carattere speculativo, ben diverso dal caratteresperimentale dello spazio fisico. In effetti alcuni autori antichi si preoccupa-no di ”dimostrare” che non sono possibili spazi di dimensione maggiore ditre. Queste dimostrazioni antiche assumono che lo spazio debba essere quellofisico tridimensionale e non concepiscono la possibilita di uno spazio ideale.

1

L’ammirevole Tolomeo nel suo libro sulle distanze dimostroper bene che non esistono piu di tre distanze, a causa della ne-cessita che le distanze siano definite e che le distanze definitedebbano essere tese lungo rette perpendicolari e poiche e possibi-le prendere solo tre rette che siano mutuamente perpendicolari,due che definiscono il piano e una terza che misura la profon-dita; cosı che se ci fosse un’altra distanza oltre la terza, sarebbeinteramente senza misura e senza definizione.

Simplicii in Aristotelis De Coelo Commentaria.

Ma come abbiamo detto, i germi che portrono alla geometria superiorecominciano a svilupparsi in epoche antiche. Nell’algebra greca, per esem-pio, il prodotto di due numeri/segmenti e un rettangolo e il prodotto di tree un parallelepipedo. In particolare, quando i segmenti che si moltiplicanosono uguali tra loro, si costruiscono quadrati e cubi. L’algebra geometricadi Diofanto (terzo secolo) conduce in modo naturale a considerare potenzepiu elevate di tre. Egli usa, per le potenze quarte, quinte e seste i terminiquadrato-quadrato, quadrato-cubo e cubo-cubo che riflettono la tensione tral’esigenza di associare un’interpretazione geometrica alle operazioni algebri-che e il blocco psicologico a uscire dallo spazio sensibile per entrare nellospazio ideale. Ancora Cartesio, utilizza il termine sursolido per designare ilprodotto di un numero arbitrario di segmenti, anche se, nell’algebra di Car-tesio, a differenza che in quella greca, il prodotto di due segmenti e ancoraun segmento.

Se l’algebra delle operazioni indicava la strada della Geometria superio-re, l’interpretazione geometrica delle equazioni e la collocazione delle lorosoluzioni nello spazio fisico, che duro almeno fino al secolo diciottesimo,ostacolava l’interpretazione multidimensionale delle sue costruzioni. ScrivevaStifel,

Andare oltre il cubo come se ci fossero piu di tre dimensionie contro natura.

cit. in Manning [?].

Due secoli piu tardi, per Ozanam (1640-1717), il prodotto di piu di tre letteresara una grandezza di

tante dimensioni quante sono le lettere, ma potra essere soloimmaginaria perche in natura non conosciamo alcuna quantitache abbia piu di tre dimensioni.

2

cit. in Manning, [?].

Nel 1754 d’Alembert, in un articolo sull’Enciclopedie e successivamente La-grange, avanzarono l’idea che la meccanica potesse essere considerata comeuna geometria dello spazio quadridimensionale, con il tempo come quartadimensione. Questa riflessione apriva uno spiraglio all’idea che potesse esi-stere una quarta dimensione, ma questa dimensione, per d’Alambert comeper Lagrange, doveva essere ancora fisicamente percepibile.

Diversa sara la strada per giungere all’idea dello spazio multidimensionale.La strada giusta e quella che comincio a imboccare Mobius nel 1837, con ilsuo calcolo baricentrico[?], dove osservava che due figure simmetriche nellospazio, in analogia a quanto accade per il piano o per la retta, possono esserefatte coincidere attraverso una rotazione in uno spazio di quattro dimensionie di questo spazio e di questa rotazione forniva una descrizione analiticaprecisa. Ma restava ancora un passo importante da compiere, se si sentiva indovere di concludere che

Tuttavia, poiche tale spazio non puo essere immaginato, cosıla coincidenza in questo caso e impossibile.

La chiave era invece a portata di mano. Si trattava proprio di immaginareuno spazio senza che fosse necessario poterlo sperimentare fisicamente. Biso-gna rendersi conto che neanche la Geometria euclidea studia lo spazio fisicoreale, ma e una costruzione ideale in cui e possibile e conveniente separare ilproblema della coerenza logica dei suoi assiomi dall’adeguatezza del modelloteorico alla descrizione della realta percepibile.

La scoperta della Geometria superiore avvenne contemporaneamente indiversi luoghi e indipendentemente, ad opera di diversi matematici. I tem-pi erano maturi per passare dalla Geometria euclidea alle Geometrie noneuclidee e dalla Geometria dello spazio fisico a quelle dei modelli ideali dispazio. Le strade che portarono alle geometrie non euclidee e alla Geometriasuperiore vengono percorse negli stessi anni perche divennero praticabili perle medesimi ragioni, principalmente per la transizione dallo spazio fisico aquello ideale. A mio avviso anche l’affermazione della tecnologia, in gradodi creare macchine che non si limitano piu a copiare la natura ma realizzanonuove potenzialita, soggette al solo vincolo di rispettare le leggi naturali masenza limitarsi a rifare quello che troviamo in natura.

2 Schlafli.

Ludwig Schlafli (1814-1895) fu tra i fondatori della Geometria superiore,che le studio combinando il metodo sintetico e quello analitico. Dal 1850 al

3

1852 lavoro alla sua opera principale, Theorie der vielfachen Kontinuitat, incui affronta lo studio della geometria degli spazi n-dimensionali, definendo isottostai lineari, che generalizzano le rette e i piani della geometria euclideo,e i polischemi. Egli definı anche la sfera n-dimensionale e ne calcolo superficiee volume (cfr. appendice). L’opera ebbe una storia editoriale molto difficilee venne pubblicata solo dopo la morte dell’autore, nonostante gli sforzi diSteiner, che ammirava l’originalita e l’intuizione geometrica di Schlafli, cheaveva incoraggiato a fare domanda per un posto all’Universita di Berna, chegli fu assegnato nel 1848. Nella prefazione alla sua opera principale leggiamo:

Il trattato che ho qui l’onore di presentare all’Accademia Im-periale e un tentativo di giustificare e di sviluppare una nuovabranca dell’Analisi che sia, per cosı dire, una geometria di n di-mensioni, contenente la geometria del piano e dello spazio comecasi speciali per n = 2, 3. Io la chiamo teoria della continuitamultipla generale, nello stesso senso in cui e possibile chiamarela geometria dello spazio quella della tripla continuita. Come inquella teoria il ’gruppo’ dei valori delle sue coordinate determinaun punto, cosı in questa un gruppo di dati valori di n varia-bili x, y, . . . determinera una soluzione. Uso questa espressioneperche anche cosı viene chiamato ogni ’gruppo’ di valori nel casodi una o piu equazioni di molte variabili; la sola cosa non usualea proposito di questa convenzione e che la mantengo anche quan-do non esistono equazioni tra le variabili. In questo caso chiamol’insieme totale delle soluzioni la totalita n-dimensionale; quandoinvece sono assegnate 1, 2, 3 equazioni la totalita delle soluzioniverra detta (n-1)-volte continuo, (n-2)-volte continuo, (n-3)voltecontinuo.

Nel suo Theorie der vielfachen Kontinuitat, Schlafli introduce anche la nozio-ne di polischema, o politopo con il linguaggio di oggi, che sono gli analoghimultidimensionali dei poligoni e dei poliedri). Determina i politopi regolari(convessi) in ogni dimensione (sei in dimensione quattro e tre nelle dimensionisuperiori) e dimostra la generalizzazione della formula di Eulero f− l+v = 2che lega il numero delle facce, degli spigoli e dei vertici di un poliedro nellospazio. Lo studio dei politopi fu ripreso solo all’inizio del novecento da PieterHendrik Schoute in collaborazione con Alicia Boole Stott.

A Schlafli si devono tutte le nozioni fondamentali della teoria dei politopie la classificazione dei politopi regolari. Il simbolo di Schlafli di un politoporegolare di dimensione n e una successione {p1, p2, . . . , pn−1} di interi positivi,definita induttivamente nella maniera seguente. Per n = 2, {k} indica ilpoligono regolare con n lati. {3} indica il triangolo equilatero, {4} indica

4

il quadrato, ecc. Un poliedro regolare che ha, attorno ad ogni vertice, qpoligoni regolari con p lati si denota{p, q}. Per esempio, un cubo ha trequadrati attorno ad ogni vertice e rappresentato da {4, 3}. Un politopo 4-dimensionale regolare con r {p, q} celle poliedrali regolari attorno ad ognispigolo e rappresentato da{p, q, r}, e cosı via.

Il simbolo di Schlafli si puo associare anche alle tassellazioni dello spazion dimensionale euclideo, iperbolico e ellittico. Le tassellazioni dello spazio ndimensionale ellittico sono i politopi n+ 1 dimensionali.

Tassellazioni ellittiche equivalenti all’icosaedro e al dodecaedro.

Ci sono infiniti poligoni regolari convessi, mentre i poliedri regolari tridimen-sionali convessi sono solo cinque

I cinque poliedri regolari.

I corrispondenti simboli di Schlafli sono {3, 3}, {4, 3}, {3, 4}, {5, 3}, {3, 5}.La dimostrazione si divide in due parti. La prima consiste nell’osservare chein ogni vertice la somma degli angoli delle facce poligonali incidenti deveessere minore di 2π e questo limita le possibilita a tre triangoli (tetraedro),tre quadrati (cubo), quattro triangoli (ottaedro), tre pentagoni (dodecaedro),cinque triangoli (icosaedro). La seconda consiste nel verificare che e possibileestendere la configurazione in un vertice ad un poliedro. Procedendo inmaniera analoga, si dimostra che i politopi regolari convessi per n > 4 sonosolo tre:

1. simplesso {3, 3, . . . , 3}.

5

2. politopo croce {3, 3, . . . , 3, 4}

3. politopo misura {4, 3, 3, . . . , 3}Per n = 4 abbiamo 6 politopi regolari

La 5 cella {3, 3, 3}

La 5 cella.

La 8 cella {4, 3, 3}

6

La 8 cella.

7

La 16 cella {3, 3, 4}

La 16 cella.

La 24 cella {3, 4, 3}

La 24 cella.

8

La 120 cella {5, 3, 3}

La 120 cella.

La 600 cella {3, 3, 5}

La 600 cella.

9

3 Cayley

In Inghilterra, indipendentemente e contemporaneamente a Schlafli, ArthurCayley (1821-1895) sviluppo la sua teoria degli spazi a dimensione mag-giore di tre. Nel titolo del suo lavoro del 1844, Chapters on the AnalyticalGeometry of n Dimensions appare per la prima volta in stampa il riferimen-to allo spazio n-dimensionale, anche se il contenuto non sviluppa l’idea, cheverra comunque ripresa da Cayley in articoli successivi sulla la geometriaanalitica dello spazio delle n-ple di numeri e piu precisamente sui fondamentidell’algebra lineare, cioe sulla geometria dei luoghi definiti da un sistema diequazioni lineari (k-piani e dei luoghi definiti da un polinomio di secondogradi (iperquadriche).

Cayley, insieme a James Joseph Sylvester (1814-1897) e a GeorgeSalmon (1819-1904) determinarono gli invarianti necessari alle classifica-zioni proiettive, affini e metriche delle iperquadriche.

A questi matematici, il terzetto invariante come li aveva definiti scherzo-samente Hermite, si deve la diffusione delle idee della geometria n dimensio-nale, visto l’assoluto disinteresse con cui vennero accolti i libri di Schlafli (manon alcuni dei suoi lavori) e di Grassmann, di cui parleremo ora, e lo scarsoapprezzamento iniziale dei lavori di Riemann, di cui parleremo piu avanti.

4 Grassmann

Il contributo di Grassmann (1809-1877), indipendente da quelli di Schlaflie di Cayley, e forse il piu significativo per la nascita dell’idea di spazio didimensione superiore. La sua opera Die lineale Ausdehnungslehre apparve nel1844, lo stesso anno del primo lavoro di Cayley, e si ricollega al programma diLeibniz di sviluppare un calcolo geometrico che non si basasse sui numeri maagisse direttamente sugli oggetti geometrici. Il libro, come il suo rifacimentodel 1861, non ebbe alcuna diffusione, anche per la forma filosofica e nonmatematica scelta dall’autore per l’esposizione, ma fu notata da Hamiltone da Hankel, che ne compresero per primi l’importanza. Alcuni decennidopo, il pieno riconoscimento dell’importanza del lavoro di Grassmann etestimoniata dall’ampio spazio che gli viene dedicato da Klein nella sua storiadella matematica nel diciannovesimo secolo (cfr. bibliografia).

Il lavoro di Grassmann pone le fondamenta della teoria degli spazi vetto-riali, sviluppata indipendentemente in quegli anni anche da Hamilton.

In Grassmann si trova per la prima volta espressa la nozione di dipendenzalineare di un insieme di vettori e la definizione di dimensione di uno spazio

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vettoriale, con la dimostrazione della nota formula di Grassmann

dim(U) + dim(W ) = dim(U + V ) + dim(U ∩ V ).

Nel libro del 1844 viene sviluppata la teoria affine degli spazi vettoriali. Inquello del 1861, anche quella euclidea. introducendo la nozione di distanzaeuclidea tra due n-ple di numeri.

Grassmann chiama grandezze estese gli oggetti a cui applica il suo calco-lo algebrico. Le moltitudini estese si ottengono applicando a un insieme divettori oltre alle operazioni di somma e di prodotto per uno scalare anche-quella di prodotto esterno, un prodotto bilineare anticommutativo e associa-tivo. Grassmann parte da una base e1, . . . , en e considera lo spazio vettorialedelle combinazioni lineari

∑aiei. Introduce poi, su questo spazio il pro-

dotto esterno estendendo per bilinearita i prodotti eij = [ei, ej] soggetti allecondizioni

[ei, ej] = −[ej, ei] i < j, [ei, ei] = 0.

Estende poi il prodotto esterno alle espressioni

[ei1 , . . . , eik ]

con la relazione[ei1 , . . . , eik ] = εσ[eσ(i1), . . . , eσ(ik)]

dove εσ estende il segno della permutazione σ al caso in cui σ non unapermutazione nel qual caso εσ viene posto uguale a zero.

Applicando somme, prodotti per scalari e prodotti esterni ai vettori otte-niamo espressioni del tipo

x0+n∑i=1

xiei+∑

1≤i<j≤n

xij[ei, ej]+∑

1≤i<j<k≤n

xijk[ei, ej, ek]+· · ·+x1,...,n[e1, . . . , en].

Le grandezze estese e costituiscono uno spazio vettoriale di dimensione 2n

a cui il prodotto esterno di Grassmann conferisce la struttura di algebraesterna, oggi conosciuta come algebra di Grassmann dello spazio vettorialeV di partenza. La capitale importanza di quest’algebra per la matematicanon fu subito evidente e si dovettero spettare i lavori di Poincare, Cartan ede Rham per apprezzarla completamente.

Accanto al prodotto esterno, Grassmann considero un prodotto internoper introdurre negli spazi vettoriali una struttura metrica. Non si limito aconsiderare il prodotto interno di vettori ma considero quello piu generaletra grandezze estese. Se il prodotto scalare di un vettore con se stesso rap-presenta il quadrato della sua lunghezza, il prodotto scalare di un elemento

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del tipo [u, v] (u e v vettori) con se stesso rappresenta il quadrato dell’areadel parallelogramma che si puo costruire su u e v.

Direttamente ispirato dal lavoro di Grassmann fu quello di Clifford cheintrodusse una nuova algebra, modificando il prodotto scalare di Grassmannrichiedendo che ei · ej = −1 per ogni i e j.

Indipendenti furono invece le ricerche di Hamilton, cui si deve lo svi-luppo dell’analisi vettoriale e la scoperta dei quaternioni.

5 I sistemi di rette

Problemi di ottica e di meccanica avevano suggerito ai matematici lo studiodei sistemi di rette.

In ottica, per esempio, la famiglia dei raggi luminosi uscenti da una sor-gente puntiforme e una famiglia bidimensionale di rette1. Per ripetute ri-flessioni e rifrazioni si origina una seconda congruenza che, grazie ai lavoridi Monge, Malus e Hamilton, si caratterizza come insieme delle rette bitan-genti a una superficie, detta caustica. Questo risultato, noto come teoremadi Malus-Dupin afferma quindi l’esistenza di fronti d’onda dopo un numeroqualsiasi di riflessioni e rifrazioni.

La sezione della superficie caustica prodotta dalla rifrazione dei raggi luminosi attraverso

un bicchiere.

Anche le superfici di Kummer, del quarto ordine con 16 punti nodali e 16bitangenti, fecero la loro comparsa nello studio dei fronti d’onda. Fu Kleinnel 1869 che dimostro come tali superfici si presentino in modo naturale comesuperfici singolari dei complessi quadratici di rette.

1Una congruenza, con la terminologia introdotta da Plucker.

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Nella cinematica del corpo rigido, August Ferdinand Mobius (1790-1868) introdusse i sistemi nulli per studiare gli effetti cinematici delle forzeagenti su un corpo rigido nello spazio. Mobius noto che assegnato un siste-ma di forze, per ogni piano M, tutte le rette di M con momento uguale azero passano per un determinato punto: il punto nullo di M. L’insieme ditutte le rette dello spazio che si ottengono al variare del piano e una fami-glia tridimensionale, cioe un complesso di rette che gode di proprieta moltospeciali, caratteristiche di quelli che verranno poi chiamati complessi lineari :l’insieme delle rette del complesso per un punto sono contenute in un pianoe l’insieme delle rette in un piano, passano tutte per un punto.

Sempre a partire dallo studio della cinematica del corpo rigido, Chaslesnel 1861 aveva dimostrato che l’insieme delle rette che congiungono i puntidi un corpo in due distinte posizioni forma un complesso lineare di naturadiversa da precedente, un complesso di secondo grado: l’insieme delle rettedel complesso per un punto costituiscono un cono quadratico e l’insieme dellerette in un piano, inviluppano una conica.

Julius Plucker (1801-1868) unifico il copioso materiale prodotto finoad allora sulle famiglie di rette, sviluppando la teoria geometrica dello spaziodelle rette. Plucker intraprese uno studio dettagliato dei complessi di rette,famiglie a tre parametri di rette nello spazio, soddisfacenti una condizionealgebrica in un opportuno sistema di coordinate e delle congruenze di rette,cioe famiglie algebriche a due parametri. Plucker sviluppo le sue idee nellaNeue Geometrie des Raumes (Nuova geometria dello spazio) di cui pubblicoil primo volume nel 1868. Il secondo volume, pubblicato postumo (1869), fucompletato da Christian Felix Klein (1849-1925) che fu suo assistente aBonn.

Plucker, in System der Geometrie des Raumes in neuer analytischer Be-handlungsweise . . . , 1846 associa alla retta

x = rz + ρ y = sz + σ

le coordinate r, ρ, s, σ. Tale parametrizzazione identifica localmente lafamiglia delle rette dello spazio con C4, ma la geometria delle rette e diver-sa dalla geometria dei punti di C4. Per esempio in C4 esiste una famiglia6-dimensionale di piani, tutti protettivamente equivalente. Le congruenzerettilinee lineari sono invece di due tipi distinti. Ci sono le rette per un pun-to e le rette contenute in un piano. Si tratta di due famiglie tiridimensionalidi congruenze che non sono protettivamente equivalenti. Due congruenze li-neari che appartengono a due diversi sistemi non si intersecano, mentre duegenerici piani di C4 si intersecano in un punto.

La parametrizzazione delle rette dello spazio con i punti di C4 o di P4 none soddisfacente anche perche se definisco un complesso attraverso una forma

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F (r, ρ, s, σ) = 0, il grado del complesso non e invariante per le trasformazioniindotte dalle proiettivita dello spazio.

Nella Neue Geometrie Plucker introduce una quinta coordinata sρ− rσ,identificando una retta con un punto della quadrica di C5 di equazionew = ρs − rσ. La geometria della quadrica di C5, riflette adeguatamentela geometria delle rette dello spazio.

L’approccio di Plucker allo spazio delle rette e stato migliorato da Kleine ne descriviamo brevemente la trattazione.

Sia r la retta per i punti X = (x0, x1, x2, x3) e Q = (y0, y1, y2, y3). Ad rassociamo le coordinate

pij = det

∣∣∣∣ xi xjyi yj

∣∣∣∣ i < j

Dalle proprieta dei determinanti segue che le coordinate omogenee pij sonoben definite a meno di una multiplo costante non nullo e quindi determinanoun punto di P5. Inoltre, sviluppando il determinate della matrice

x0 x1 x2 x3y0 y1 y2 y3x0 x1 x2 x3y0 y1 y2 y3

con la regola di Laplace rispetto alle prime due righe, otteniamo l’equazione

p01p23 − p02p13 + p03p12 = 0

Questa e equazione definisce una quadrica nello spazio a 5 dimensioni dicoordinate omogenee pij, che si dice la quadrica di Klein.

La Geometria della quadrica di Klein riflette la Geometria delle rette diP3. Per esempio:

1. La quadrica di Klein contiene due famiglie tridimensionali di rette cherappresentano rispettivamente le stelle di rette per un punto e le retteper un piano.

2. Le rette incidenti una retta data corrispondono alle sezioni della quadri-ca con un iperpiano, tangente alla quadrica nel punto che rappresentala retta data.

3. Intersecando la quadrica di Klein con iperpiani e quadriche si otten-gono le rette di un complesso lineare e di un complesso quadraticorispettivamente.

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4. I complessi lineari corrispondono ai sistemi nulli di Mobius.

Un sistema nullo e una correlazione involutoria dello spazio del tipo

ρui =3∑i=0

aijxj aij = −aji.

Per un sistema nullo si ha che∑3

i=0 ui(x0, . . . , x3)xi = 0, cio punti e pianicorrelati si appartengono. Un sistema nullo subordina una corrispondenzatra rette che alla retta generata da due punti fa corrispondere quella interse-zione dei due piani correlati. L’insieme delle rette che sono unite in siffattacorrispondenza, cioe le rette unite di un sistema nullo, costituiscono un com-plesso lineare e viceversa, le rette di un complesso lineare provengono da unsistema nullo.

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Appendice

Il primo approccio alla geometria dei politopi e quello intuitivo, che pas-sa attraverso il tentativo di generalizzare alcune costruzioni dagli spazi didimensioni minori di quattro alle dimensioni piu alte. Bisogna stare atten-ti che generalizzazioni indiscriminate portano a ipotizzare risultati sbaglia-ti, ma illustreremo la potenza di questo semplice metodo applicandolo allacostruzione di alcuni semplici politopi.

Simplesso Nello spazio zero dimensionale, abbiamo una sola figura, il pun-to α0. L’analogo uno dimensionale di un poligono e un segmento α1, deter-minato da due punti, che sono le sue facce zero dimensionali. Il segmento α1

si puo pensare ottenuto congiungendo α0 ad un secondo punto. Cosa succedecongiungendo α1 a un punto esterno alla retta sostegno di α1? otteniamo untriangolo α2 che ha come vertici i vertici di α1 e il nuovo punto che abbiamoaggiunto, come lati α1 e i due segmenti ottenuti congiungendo i vertici diα1 al nuovo punto. Ancora possiamo visualizzare cosa succede congiungendoun triangolo α2 con un punto esterno al suo piano. Otteniamo un tetraedroα3 avente come vertici quelli di α2 e il punto esterno, come spigoli quellidi α2 e i tre che si ottengono congiungendo al nuovo punto i vertici di α2

e come facce α2 e quelle che si ottengono congiungendo i lati di α2 con ilnuovo punto. Arriviamo finalmente, per analogia, alla costruzione della 5-cella α4 congiungendo il tetraedro α3 ad un punto esterno al suo spazio. Nonpossiamo ovviamente visualizzare la 5-cella ma possiamo immaginare le sueproprieta, la piu semplice delle quali e il numero di vertici (5), di spigoli (10),di triangoli (10) e di tetraedri (5). Possiamo anche visualizzare le proiezionidi questi simplessi sul piano.

αi, i=0,1,2,3,4.

I simplessi che abbiamo definito possono definirsi in ogni dimensione. In-dicheremo αn il simplesso n-dimensionale e Nk(αn) il numero delle facce hdimensionali di αn. Abbiamo

Nk(αn) = Nk(αn−1) +Nk−1(αn−1) =

(n+ 1

k + 1

).

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Politopo croce

Dal punt β0 al segmento β1, al quadrato all’ottaedro.

L’iper ottaedro.

Politopo misura

Proiezione dell’ipercubo avente vertici suo punti di coordinate uguali a 1 o 0..

Le 8 facce cubiche di un ipercubo.

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Calcolo del volume della sfera Con Σn(T ) denotiamo la palla n dimen-sionale di raggio R, Σn = {x ∈ Rn|

∑ni=1 x

2i ≤ R}. Quindi Σ2 e il cerchio (non

la circonferenza). Con Vn(R) indichiamo il contenuto di Σn(R), cioe la gene-ralizzazione del volume della sfera, e con Sn(R) il contenuto del suo bordo,cioe la generalizzazione della superficie della sfera. Omettendo R intendiamoR = 1. Quindi, V2 = π, S2 = 2π, V3 = 4

3π, S3 = 4π. Ovviamente

Sn(r) = Sn · rn−1

e

Vn(R) =

∫ R

0

Snrn−1dr =

SnnRn. (1)

Integrando la funzione e−∑n

i=1 x2i su tutto Rn e con un cambio di variabili

abbiamo che∫ +∞

0

e−r2

Snrn−1dr =

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞· · ·∫ +∞

−∞e−x

21−···−x2ndx1dx2 . . . dxn

=

(∫ +∞

−∞e−x

2

dx

)nSi utilizza ora la funzione Γ, definita da

Γ(m) :=

∫ +∞

0

e−ttm−1dt.

Siccome

2

∫ +∞

0

e−r2

r2m−1dr =

∫ +∞

0

e−ttm−1dt = Γ(m)

e ∫ +∞

−∞e−x

2

dx = 2

∫ +∞

0

e−x2

dx = Γ

(1

2

)allora

1

2SnΓ

(1

2n

)=

(Γ

(1

2

))n.

Poiche S2 = π questa uguaglianza implica, per n = 2, cheΓ(12

)=√π e

quindi

Sn = 2π12n/Γ

(1

2n

);

p.e. S4 = 2π2. Poiche Γ(m+ 1) = mΓ(m) segue da (1)

Vn(R) = SnRn/n = π1/2nRn/Γ(1/2n+ 1).

Per il calcolo esplicito conviene usare la formula ricorsiva

Sn+2 = 2πSn/n.

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Indice analitico

Algebracartesiana, 2greca, 2vettoriale, 1

Cayley, Arthur (1821 – 1895), 1Complesso

di rette, 1

d’Alambert, Jean-Baptiste LeRond (1717 – 1783), 3

Descartes, Rene (1596 – 1650), 2

Geometriaeuclidea, 3superiore, 1, 2

Geometrienon euclidee, 3

Grassmann, Hermann Gunther(1809 – 1877), 1

Hamilton, William Rowan (1805 –1865), 1

Lagrange, Joseph Louis (1736 –1813), 3

Mobius, August Ferdinand (1790– 1860), 3

OpereMobius, Der barycentrische

Calcul, 3

Plucker, Julius (1801 – 1868), 1Politopi, 1

Riemann, Bernhard ( 1826 –1866), 1

Schlafli, Ludwig (1814 – 1895), 1Spazio

fisico, 1ideale, 1

Stifel, 2Sursolido, 2

Tolomeo, Claudio, (ca 100 – ca175), 2

Varitan dimensionali, 1

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