AMÉRIQUE DU NORD 2018

MATHÉMATIQUES

Première lecture du sujet ~ 15 min

Au début de l’épreuve, cette lecture est importante et doit vous permettre de :

• Repérer les notions clés pour la résolution des exercices

• Identifier les exercices les plus faciles pour vous

• Vous fixer des objectif temps à consacrer à chaque exercice

Thèmes Difficulté Barème

Exercice 1 Pourcentages, Tableur Facile 14 pts 10

min Exercice

2 Construction, Réciproque de Pythagore, Théorème

de Thalès Facile 14 pts 10 min

Exercice 3 Probabilités, nombres premiers, multiples, diviseurs Moyen 15 pts 15

min Exercice

4 Algorithmique et programmation Facile 14 pts 10 min

Exercice 5 Transformations du plan Facile 6 pts 5 min

Exercice 6 Aires, Volumes, Trigonométrie Moyen 16 pts 20

min Exercice

7 Calcul littéral, Équations, Fonctions affines Facile 15 pts 12 min

Exercice 8 Grandeurs et mesures Facile 6 pts 8 min

Pendant l’épreuve

• Commencez par les exercices qui vous semblent les plus faciles

• Soignez votre présentation (vous pouvez utiliser une copie par exercice)

• Numérotez les questions traitées

• Justifiez vos réponses (sauf indication contraire dans l’énoncé)

• Laissez des traces de recherche et expliquez ce que vous faites, même si vous n’y

arrivez pas

• Pensez à utiliser des résultats des questions précédentes que vous n’avez pas su

démonter.

Relecture et Vérification ~ 15 min

• A la fin de l’épreuve, réservez du temps pour relire votre travail :

• Encadrez vos résultats, corrigez les fautes d’orthographe,

• Vérifiez que vous n’avez rien omis (des blancs non complétés, …)

• Numérotez vos copies

Exercice 1 (14 points)

Le tableau ci-dessous a été réalisé à l’aide d’un tableur. Il indique le nombre d’abonnements

Internet à haut débit et à très haut débit entre 2014 et 2016, sur réseau fixe, en France.

(Sources : Arcep et Statistica).

Rappel : !"#$$#%& = !)))))) = !)*

1. En 2016, on comptabilise 5,446 millions d’abonnements Internet à très haut débit, soit

5446000 abonnements.

2. On s’intéresse ici à tous les abonnements Internet à haut débit et à très haut débit

/01234567 − /01234569 = 27,684 − 26,867 = 0,817milions = 0,817 × 107 = F!G)))

Donc en 2016, il y avait bien 817 000 abonnements Internet de plus qu’en 2015.

3. Voici deux formules pouvant être saisie dans la cellule B4 :

« =B2+B3 » ou « =Somme(B2:B4)

Recopiées vers la droite, jusqu’à la cellule D4, elles permettent de calculer la somme des

abonnements Internet (haut débit et très haut débit) pour chaque année.

4. En 2015, il y avait 4,237 millions d’abonnements Internet à très haut débit.

Seulement 5,6 % de ces abonnements utilisaient la fibre optique. Cela représente :

4,237 ×I, *!)) = 4,237 × 0,056 = 0,304976millions = K)LMG*

Exercice 2 (14 points)

Le triangle ADE a pour dimensions : AD = 7 cm, AE = 4,2 cm et DE = 5,6 cm

— F est le point de [AD] tel que AF = 2,5 cm.

— B est le point de [AD) et C est le point de [AE) tels que : AB = AC = 9 cm.

— La droite (FG) est parallèle à la droite (DE).

1. Pour réaliser la figure en vraie grandeur on peut procéder ainsi :

Étape 1 : Construire le triangle ADE

On commence par tracer l’un des côtés, par exemple le segment [AE]. Puis on reporte au

compas les dimensions des deux autres cotés. Le point d’intersection des deux arcs de cercle

est le troisième sommet du triangle (D).

Étape 2 : Points F et G

• Placer le point F sur le segment [AD] à 2,5 cm du point A.

• Tracer le segment [EF]

• Construire la droite parallèle à (DE) passant par F. Elle coupe (AE] au point G.

Étape 3 : Points B et C

Placer les points B et C à 9 cm de A, respectivement sur les demi-droites (AD] et (AE]

Remarque : On peut inverser l’ordre des étapes 2 et 3

2. Dans le triangle ADE on a :

§ AD4 = 74 = LM

§ AE4 + ED4 = 4,24 + 5,64

= 17,64 + 31,36 = LM

On remarque que RST = RUT + UST

Donc, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ADE est rectangle en E

3. Les points A, F, D sont alignés dans le même ordre que A, G, E. Les droites (FG) et (DE) sont

parallèles. D’après le théorème de Thales : VWVX =

VYVZ =

WYXZ [\]

2,57 =

VY4,2 =

WY5,6 ^_`abcd

efg_`ch

i\\\\] WY =5,6 × T, I

G = 2jk

Donc lm = Tno

Exercice 3 (15 points)

Deux urnes contiennent des boules numérotées indiscernables au toucher. Le schéma ci-

contre représente le contenu de chacune des urnes. On forme un nombre entier à deux

chiffres en tirant au hasard une boule dans chaque urne :

- le chiffre des dizaines est le numéro de la boule issue de l’urne D

- le chiffre des unités est le numéro de la boule issue de l’urne U.

1. C’est le chiffre des unités qui qui permet de déterminer qu’un nombre est pair ou impair.

On s’intéresse donc uniquement à l’urne U. Dans cette urne il y a deux chiffres pairs (2 et 6)

et deux chiffres impairs (5 et 3).

Donc on n’a pas plus de chance de former un nombre pair que de former un nombre impair.

Il y a autant de chance !

2. Cette expérience a 12 issues. Voici la liste des 12 nombres pouvant être formés :

12 ; 13 ; 15 ; 16 ; 22 ; 23 ; 25 ; 26 ; 32 ; 33 ; 35 ; 36

a.

Méthode 1 : Parmi ces nombres, seuls deux sont premiers : 13 et 23

12 ; 13 ; 15 ; 16 ; 22 ; 23 ; 25 ; 26 ; 32 ; 33 ; 35 ; 36

Méthode 2 : Si on veut obtenir un nombre premier, le chiffre des unités ne peut pas être :

- pair ; on élimine donc 2 et 6

- 5 : sinon le nombre obtenu serait un multiple de 5.

Il ne reste plus 3 dans l’urne U. Les nombres possibles sont donc 13, 23 et 33.

Or 33 n’est pas premier car il est divisible par 3 et par 11.

Les seuls nombres premiers pouvant être obtenus sont donc 13 et 23

b. Notons p la probabilité de former un nombre premier.

p =qrsttuvtw2x0y2r3vtqrsttuvt/z/V{ =

212 =

!*

3. On cherche un évènement dont la probabilité est 6|= }

64.

Il suffit d’en trouver un qui a exactement 4 issues. Par exemple :

- L’événement « Former un nombre inférieur à 20 » a pour issues 12 ; 13 ; 15 ; 16

- L’événement « Former un multiple de 3 » a pour issues 12 ; 15 ; 33 ; 36

- L’événement « Former un multiple de 4 » a pour issues 12 ; 16 ; 32 ; 36

Exercice 4 (14 points)

Dans cet exercice, aucune justification n’est attendue. Simon travaille sur un programme. Voici

des copies de son écran :

1. Il obtient le dessin ci-contre.

a. D’après le script principal, le coté du

plus petit carré dessiné est de L)~#�Ä$Å.

b. Dans le script principal

l’instruction « ajouter à côté 20 » indique

qu’après avoir tracé un carré, on

augmente la longueur du côté de 20

unités. Ainsi le plus grand carré dessiné

a pour côté : 40 + 20 + 20 + 20 = !))~#�Ä$Å

2. Pour obtenir le dessin ci-contre, on peut insérer l’instruction « Ajouter 2 à la taille du stylo »

dans la boucle « répéter 4 fois » : avant ou après l’instruction « ajouter à coté 20 ».

3. On modifie maintenant le script principal pour obtenir celui qui est présenté ci-dessous. Le

bloc carré n’a pas été modifié.

Avec ce nouveau script on obtient le dessin 3.

Exercice 5 (6 points)

Gaspard travaille avec un logiciel de géométrie dynamique pour construire une frise.

Il a construit un triangle ABC isocèle en C (motif 1) puis il a obtenu le losange ACBD (motif 2).

1. Comme ABCD est un losange on sait que :

- (1) : Ses quatre côtés sont égaux : CA=AD=DB=BC.

- (2) : Ses côtés opposés sont parallèles (AD)//(CB).

- (3) : Ses diagonales ont perpendiculaires et se coupent en leurs milieux.

D’après les propriétés (1) et (2), le motif 2 peut être obtenu par la translation qui transforme

C et B. Elle transforme A en D.

D’après la propriété (3), le point D est le symétrique de C par rapport à (AB).

Le motif 2 peut aussi être obtenu par la symétrie axiale d’axe (AB).

Le motif 2 peut donc être obtenu en complétant le motif 1 par translation ou par symétrie.

2. Une fois le motif 2 construit, Gaspard a appliqué à plusieurs reprises une translation. Il

obtient ainsi la frise ci-dessous par la même translation que dans la question 1 : celle qui

transforme C et B.

Exercice 6 (16 points)

Madame Martin souhaite réaliser une

terrasse en béton en face de sa baie

vitrée. Elle réalise le dessin ci-contre.

Pour faciliter l’écoulement des eaux de

pluie, le sol de la terrasse doit être incliné.

1. L’angle VÇÉÑ doit mesurer entre 1° et

1,5°. Vérifions que le projet de Madame

Martin respecte cette condition.

On sait que BCDP est un rectangle donc :

§ ÖÜ = áS = I"

§ et SÜ = Öá or BC = FG = 0,15m

d’où SÜ = ), !I"

On en déduit que RÜ = AD − PD = 0,27 − 0,15 = ), !T"

Le triangle ABP est rectangle en P. L’angle VÇÉÑ est adjacent au côté [BP] et opposé à [AP].

On a :

tanVÇÉÑ =Coté OpposéCoté Adjacent =

APÇÉ =

), !TI = 0,024

èê&ëíìÑ = ), )TLi\\\\\\]ëíìÑ = Vyj12î(0,024) = 1,374834781 ≈ !, L°

!° < ëíìÑ < !,I°, donc la condition est bien vérifiée.

2. Madame Martin souhaite se faire livrer le béton nécessaire à la réalisation de sa terrasse.

Elle fait appel à une entreprise spécialisée. À l’aide des

informations contenues dans le tableau ci-dessous, on

souhaite déterminer le montant de la facture établie

par l’entreprise. Pour cela il faut connaitre le prix du

béton et les frais de livraison.

Commençons par déterminer le volume de béton nécessaire.

La terrasse a la forme d’un prisme droit dont la base est le quadrilatère ABCD et la hauteur

est le segment [CG].

L’aire de la base est obtenue avec l’une des deux méthodes suivantes :

§ Méthode 1 : En remarquant que le quadrilatère ABCD est un trapèze, on a :

ëöõúëíùû =(í + ü) × †

T =(VX + Ç°) × X°

2 =(0,27 + 0,15) × 5

2 = !, )IoK

§ Méthode 2 : On peut également le découper en un triangle ABP et un rectangle

BCDP :

ëöõúëíùû = ëöõúëíì +ëöõúÖáSÜ =ëì × íì

T + ûù × íù = ), K + ), GI = !, )IoK

Le document 2 rappelle la formule du volume d’un prisme droit.

¢03ukv£_c§•e = ëöõú¶úß®ü®©ú¶™´õö©oú × †®™¨ú™õ¶™´õö©oú

=ëöõúëíùû × °Y

= !, )IoK × F

≠Æß™oúìõö©oú = F, LoK Il faut donc F, LoK de béton.

On en déduit le prix du béton nécessaire :

Le coût total du béton est : É = ¢03ukv × ÉysØ∞uk| = F, L × MI€ = GMF€

Calculons maintenant les frais de livraison

La capacité maximale du camion-toupie étant de 6k| , il ne pourra pas transporter les F, LoK

en une fois. Il faudra donc deux trajets Aller/retour entre l’entreprise et la maison de madame

Martin ( séparées par 23km).

La distance totale parcourue sera : 23≤k × 4 = MT≥"

Les frais de livraison s’élèvent à : 92 × 5 = L*)€.

On en déduit le montant M de la facture établie par l’entreprise .

µ = °0u1∞uÇé10î + Wy2st∞v3sxy2st0î = GMF€ + L*)€ = !TIF€

Exercice 7 (15 points)

Les trois questions de cet exercice sont indépendantes.

1. Développer et réduire l’expression A.

V = 2Ø(Ø − 1) − 4(Ø − 1)

= 2Ø × Ø + 2Ø × (−1) + (−4) × Ø + (−4) × (−1)

= 2Ø4 − T∑ − L∑ + 4

ë = T∑T − *∑ + L

OU V = 2Ø(Ø − 1) − 4(Ø − 1) = (Ø − 1)(2Ø − 4) = 2Ø4 − 4Ø − 2Ø + 4 = T∑T − *∑ + L

2. Montrons que le nombre −5 est une solution de l’équation (2Ø + 1) × (Ø − 2) = 63

Pour ∑ = −I on a :

(T∑ + !) × (∑ − T) = (2 × (−I)+ 1) × (−I − 2) = (−10 + 1) × (−G) = (−9) × (−G) = *K

L’égalité est vérifiée, donc −5 est une bien une solution de l’équation.

3. On considère la fonction wdéfinie par w(Ø) = −3Ø + 1,5

a. C’est le graphique B qui représente la fonction w.

b. La fonction w est affine, elle est donc représentée par une droite.

L’ordonnée à l’origine est r = 1,5 ce qui implique que la droite coupe l’axe des ordonnées en

1,5.

C’est bien le cas de la droite (∞4)dans le graphique B et non sur le A.

De plus, comme son coefficient directeur est -3, la droite est décroissante.

Exercice 8 (6 points)

On considère la fenêtre de téléchargement ci-dessous.

La vitesse de téléchargement donnée est :∏ =

!, KπÆ/©

Il reste à télécharger : o = 115,2 − 9,7 = !)I, IπÆ

Si la vitesse de téléchargement reste constante, le

temps nécessaire sera :

¨ =kx =

105,51,3 = 81,15384615 ≈ 81tvj0î∞vt

≈ !oöªT!©

Non il ne faudra pas plus d’une minute et vingt-cinq secondes pour que le téléchargement se

termine.

Ici on a x = •d

où k représente la quantité de mémoire en mégaoctet (Mo) et 1 le temps en secondes ( t)