Bricioleparte 3

di Giuliana Catanese

BRICIOLA 5

Calcoliamo il numero di ascendenti di ogni persona.

• Spariamo una soluzione, tornando indietro di solo 700 anni: 1.000.0000, 10.000.0000 o più?

Dobbiamo fare una supposizione, alquanto approssimativa che ogni generazione sia di 25 anni

ad ogni generazione gli antenati raddoppiano

Per trovare la soluzione pertanto basta andare a calcolare le potenze di 2

2 dopo 25 anni 4 “ 50 “ 8 “ 75 “ 16 “ 100 “ ……… 256 “ 200 “ ......... 4096 “ 300 “ ……..

Dopo circa 700 anni il numero di antenati è di circa 250.000.000 Che corrisponde alla popolazione mondiale in epoca

medievale……

Ognuno è parente di tutti ….

Chiarimenti e approfondimenti

• Oltre a considerazioni di carattere sociologico

• Concetto di potenza

• Proprietà potenze

• Aumento esponenziale

Funzione esponenziale

• Come funzione della variabile reale x, 2x è sempre positivo (sopra l'asse x) e crescente. Non tocca mai l'asse x, sebbene giunga arbitrariamente vicino ad esso

(0,1)

(1,2) Grafico di y= 2x

Sempre sulle potenze di 2

Quante volte al massimo può esser piegato a metà un foglio di carta ?E’solo legata alle dimensioni del foglio?

• Provate.....

•Il limite senza l'aiuto di macchinari è 7. •La cosa ‘più piegata’ è stata un foglio d'oro sottilissimo piegato 12 volte.

Ancora una… stranezza

E se immaginiamo di piegare il nostro foglio 10, 20, 30, 40 volte che spessore otteniamo?

pari alla torre Eiffel?

pari alla lunghezza dell’Italia? O più?

Quali dovranno essere le dimensioni del foglio di partenza?

Spariamo soluzioni

La distanza tra terra e luna è circa 380.000 chilometri... Cioè 380.000.000 metri o anche 3.8 * 108 mCioè 380.000.000.000 millimetri ovvero 3.8 * 1011mm

Supponiamo che un foglio di carta abbia lo spessore di 0, 1 millimetri o anche 1* 10-4m la distanza tra la terra e la luna è di 3.800.000.000.000 fogli di carta uno sopra l'altro..

Poichè 242 è circa 4.400.000.000.000 ovvero 4.4 * 1012 vuol dire che basta piegare un foglio solo 42 volte e si ha uno spessore maggiore della distanza che c'è tra la terra e la luna..

Per arrivare poi ad una dimensione finale di un quadratino di 1cm di lato, facendo l’ipotesi di trascurare la carta che si dispone lungo la dimensione verticale ,e che in realtà è molta, dobbiamo disporre di un foglio di partenza della dimensione di 1* 242 cm 2 ovvero

4.4 * 1012 cm 2 ovvero 4.4 * 108 m 2 ovvero 4.4 * 102 km 2 ovvero una estensione di 440 km 2 più grande del lago di Garda

Chiarimenti e approfondimenti

• Notazione esponenziale

• Come possiamo calcolare 242

Quesito del prof. Honsell

Sono in grado con 20 domande, con risposta si/no, di indovinare qualsiasi parola della lingua italiana pensata da un’altra persona?

Si accettano scommesse…

Soluzione Non ha nulla di misterioso, e può essere molto meccanica e

perciò non essere più un gioco…...

Considero che un vocabolario ricco ha circa 500.000 vocaboli( il devoto –Oli 100.000), distribuiti su numero di pagine superiore a 16.000(2.000) e perciò dell’ordine di 214 con in ogni pagina un numero che per semplicità dico di 64 ovvero 26 vocaboli.

Perciò è sufficiente che io dapprima chieda se la parola è nella prima metà del vocabolario, poi via via dimezzi il numero delle pagine. Individuerò la pagina in 14 domande ,poi anche all’interno della pagina procederò con successivi dimezzamenti e con al massimo 6 tentativi arriverò al risultato

Cambiamo genere…

BRICIOLA 6 Di quanto deve essere allungato un ipotetico

cavo che circonda esattamente l’equatore, affinchè sia ad una distanza di un metro dalla superficie terrestre?

Spariamo soluzioni 6m, 6 km, 6.000 km o più?

Prima di dare la soluzione matematica cerchiamo di quali conoscenze abbiamo bisogno.

• Abbiamo bisogno di conoscere il raggio della terra? In realtà vedremo che non ci serve, se interessa

comunque è approssimativamente pari a 6378,135 chilometri o anche 6*106m.

• L’ ultima scritta è chiaramente in notazione esponenziale

• Forse interesserà sapere che il primo che misurò la circonferenza terrestre fu Eratostene, un matematico, geografo ed astronomo del III sec a.C., direttore della grande biblioteca di Alessandria d’Egitto e trovò un valore di circa 40.000 Km, valore straordinariamente vicino a quello ottenuto con metodi moderni: 40.075 Km.

• Abbiamo certamente bisogno della formula che ci dà la lunghezza della circonferenza noto il raggio

C = 2 Π r• Intanto qualcuno si ricorderà la formula con

3,14 e allora? Niente paura quella che ho scritto io è più precisa, perché in realtà il valore di 3,14 è solo una pessima approssimazione del valore vero, ma il valore vero in realtà è dato da un numero con infinite,sì proprio infinite, cifre decimali e pertanto per rappresentarlo devo usare un simbolo e questo è Π

• Ma chi ha detto che ha infinite cifre decimali?

• Il primo a scoprirlo fu il famoso Archimede (287-212a.C.) che ottenne questo risultato

circoscrivendo e iscrivendo un cerchio con poligoni regolari di 96 lati.

• Trovò doveva essere un valore compreso tra 3,1428571 e 3,140845!!!!.

• Per noi è un valore pari a 3,14159265358979323……

per ora sono state trovate quadrilioni di cifre decimali….

Soluzione

Se vogliamo una distanza dalla superficie di 1m allora la nuova circonferenza avrà raggio r+1 e la sua lunghezza sarà di

2 Π (r +1)

l’allungamento richiesto è dato da

2 Π (r +1) - 2 Π r = 2 Π r + 2 Π - 2 Π r= 2 Π ≈6,28

Bastano solo 6,28 metri in più.......

Pare incredibile…

Chiarimenti e approfondimenti

• Possiamo generalizzare il problema.

• Vantaggio dell’uso delle lettere invece dei numeri

• In cosa consiste il problema della quadratura del cerchio? Problemi irrisolubili

Quadratura del cerchio• Il problema è quello di costruire, usando solo

riga(non graduata) e compasso, un quadrato con la stessa area di un dato cerchio. Il problema risale all'invenzione della geometria, e ha tenuto occupati i matematici per secoli. Fu solo nel 1882 che l'impossibilità venne provata rigorosamente, anche se i geometri dell'antichità avevano afferrato molto bene, sia intuitivamente che in pratica, la sua intrattabilità.

• Una soluzione richiede la costruzione del numero√ Π , e l'impossibilità di ciò deriva dal fatto che Π è un numero trascendente, ovvero non-algebrico, non può essere pensato come soluzione di un’equazione algebrica (equazione che ha al 1° membro un polinomio)

Altri problemi impossibili

• Altro problema classico dell'antichità che, come ha dimostrato algebricamente Pierre Laurent Wanzel nel 1837, non si può risolvere con riga e compasso, ossia con costruzioni geometriche che impiegano solo rette e circonferenze è quello della trisezione di un angolo, vale a dire la costruzione di un angolo di ampiezza un terzo di un altro angolo qualsiasi dato.

• L’ultimo problema è quello della duplicazione del cubo. La leggenda attribuisce all’oracolo di Delfi la richiesta di raddoppiare l’altare del dio Apollo, ma ciò comportava il calcolo della radice cubica di 2 .

L’estrazione di radici cubiche era richiesta anche dalla tecnologia militare, per il calcolo delle gittate delle catapulte.

Esercizio invece… fattibile

• Usando solo riga e compasso raddoppiare un quadrato

bibliografia

• Maraschini-Palma Format biennio n1 Paravia

• Honsell l’algoritmo del parcheggio Mondadori

• Volpi I terribili quiz Mursia