Brückenbau II - Seile · mit der Akashi-Kaikyō-Brücke, eine rückverankerte Hängebrücke, als derzeitiger Rekordhalter mit einer Spannweite von 1991 m (Bild 1). Aber nicht nur

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Vorlesungsskript Brückenbau II - Seile

2. Auflage Februar 2011

Technische Universität Berlin Fachgebiet Entwerfen und Konstruieren - Massivbau Sekretariat TIB 1 - B 2 Gustav-Meyer-Allee 25 13355 Berlin

Prof. Dr. sc. techn. Mike Schlaich Dr.-Ing. Annette Bögle Dipl.-Ing. Achim Bleicher

Tel +49 (0)30 314-721 30 Fax +49 (0)30 314-721 32 [email protected] www.ek-massivbau.tu-berlin.de

TU Berlin, Fachgebiet Entwerfen und Konstruieren – Massivbau Brückenbau II – Seile Inhaltsverzeichnis

I

INHALTSVERZEICHNIS

1 EINFÜHRUNG 1

1.1 Bauen mit Seilen 1

1.2 Charakteristische Eigenschaften 3

1.3 Tragseile und Abspannseile 5

1.4 Kinematische und elastische Eigenschaften 6

1.5 Statik des Einzelseils 8 1.5.1 Das dehnstarre und biegeschlaffe Seil: EA = , EI = 0 8 1.5.2 Das dehnsteife und biegeschlaffe Seil: EA , EI = 0 8 1.5.3 Das dehnsteife und biegesteife Seil EA , EI 0 9

2 DEHNSTARRES UND BIEGESCHLAFFES SEIL: EA = , EI = 0 10

2.1 Herleitung der Differentialgleichung für Gleichlast und Eigengewicht 10 2.1.1 Parameter und Begrifflichkeiten 10

2.2 Seil unter Gleichlast 13 2.2.1 Gleich hohe Aufhängepunkte 13 2.2.2 Unterschiedlich hohe Aufhängepunkte 18

2.3 Seil unter Eigengewicht 20 2.3.1 Gleich hohe Aufhängepunkte 20 2.3.2 Unterschiedlich hohe Aufhängepunkte 22

2.4 Nichtlinearer Zusammenhang zwischen Seillänge, Spannweite und Stich 24 2.4.1 Zusammenhang zwischen Seilkraft H und Durchhang f 25

2.5 Zusammenhang zwischen Last und Form für andere Streckenlasten 26 2.5.1 Zur Annäherung der Katenoide durch eine Parabel 26 2.5.2 Seilgeometrie für verschiedene Belastungen 27

2.6 Das Seil unter Einzellast 28

3 DEHNSTEIFES UND BIEGESCHLAFFES SEIL: EA , EI = 0 30

3.1 Seil unter Gleichlast 30 3.1.1 Ausgangszustand: gerade gespannt, gleich hohe Aufhängepunkte 30 3.1.2 Ausgangszustand: durchhängend, gleich hohe Aufhängepunkte 32

3.2 Seil unter Einzellast 38 3.2.1 Ausgangszustand: gerade gespannt, gleich hohe Aufhängepunkte 38 3.2.2 Ausgangszustand: durchhängend, gleich hohe Aufhängepunkte 40

4 DER E-MODUL VON SEILEN UNTER BERÜCKSICHTIGUNG DES DURCHHANGES 43 4.1.1 Allgemeines 43

LITERATUR 47

TU Berlin, Fachgebiet Entwerfen und Konstruieren – Massivbau Brückenbau II – Seile Inhaltsverzeichnis

II

TU Berlin, Fachgebiet Entwerfen und Konstruieren – Massivbau Brückenbau II – Seile Kapitel 1

1

1 Einführung

1.1 Bauen mit Seilen

Der Entwicklung der Seiltragwerke und der Leichtbauweise allgemein kommt auch das heutige Interesse an ökologischen Fragen, am Minimieren des Material-verbrauchs, an Demontierbarkeit und Wiederverwendbarkeit, der Nachhaltigkeit also, entgegen.

Die Fördertechnik, der Spannbetonbau und später indirekt die Produktion technisch einsetzbarer Textilien beschleunigten die Entwicklung hochfester Stahldrähte und Elastomerfasern, die heute in großen Mengen verarbeitet werden. Computer-unterstützte Rechenverfahren wurden entwickelt, so dass heute das Verhalten großer Systeme mit Tausenden von Elementen in ihrem nichtlinearen und zeitabhängigen Verformungsverhalten während der Montage und unter den verschiedenen Laststellungen sehr genau vorausberechnet werden kann. Seiltragwerke sind ein Teil des heutigen Leichtbaus, der sich im Bauwesen immer mehr durchsetzt.

Die Zahl der neuen großen Seilbrücken und deren Spannweiten wachsen ständig, mit der Akashi-Kaikyō-Brücke, eine rückverankerte Hängebrücke, als derzeitiger Rekordhalter mit einer Spannweite von 1991 m (Bild 1). Aber nicht nur die Großbrücken beeindrucken durch ihre Spannweite, sondern auch die Fußgängerbrücken mit ihren anschaulichen und greifbaren Details. Diese überschaubaren Tragwerke eignen sich besonders zum Studium des Kraftflusses im Gesamttragwerk als auch im Detail. Über die Jahre entstand so eine Vielzahl seilgestützter Konstruktionen, die sich aus den klassischen Schrägseil- bzw. Hängebrücken entwickelten (Bild 2).

Bild 1: Akashi-Kaikyō-Brücke, Japan Bild 2: Gahlensche Straße, Bochum


2

Im Hochbau sorgte der deutsche Pavillon auf der Expo 1967 in Montreal (Bild 3) für einen furiosen Auftakt der leichten Flächentragwerke aus Seilnetzen, gefolgt vom Olympiadach in München 1972 (Bild 4). Über die Jahrzehnte wurde eine Vielzahl weiterer komplexer Seiltragwerke geplant und gebaut wie zum Beispiel Seilnetz-fassaden, Ringseildächer für Stadien, ….

„Das Leichte ist schwer!“ [6]. Im Umgang mit dieser Bauweise mussten und müssen die Ingenieure einiges dazulernen, insbesondere den Umgang mit beweglichen, kinematischen Systemen. Diese Systeme können durch die Vorspannung stabilisiert werden, da sie der Verformung Rückstellkräfte entgegensetzt. Damit ist zusätzlich zur bekannten elastischen Steifigkeit die geometrische Steifigkeit zu beachten. Das Lastverformungsverhalten ist nichtlinear, die Lastangriffspunkte verschieben sich mit zunehmender Lastgröße, und die Lastfälle sind nicht superponierbar. Dazu gehört, dass man es bereits beim Entwurf versteht, eine zu den wesentlichen Hauptlasten „geometrie-affine“ Tragwerksform zu finden, um die „dehnungslosen“ Verformungen unter nicht-geometrie-affinen Lasten in vernünftigen Grenzen zu halten.

Bild 3: Deutscher Pavillon, Expo, Montreal

Bild 4: Olympiadach, München


3

Die mit diesen Leichtbauten verbundenen, durchaus erwünschten, ungewöhnlich großen Verformungen machen natürlich auch die konstruktive Durchbildung der Anschluss- und Verbindungsdetails zu einem wichtigen Anliegen des Ingenieurs. Schädliche Zwänge und Ermüdungsbrüche müssen vermieden werden. Die großen Bewegungen der Konstruktion müssen auch bei der Ausbildung der Dachhaut, dem Anschluss der Fassaden und der Ausbildung des Korrosionsschutzes berücksichtigt werden.

1.2 Charakteristische Eigenschaften

Durch Seilkonstruktionen können Ingenieurkonstruktionen oft wirtschaftlicher errichtet werden. Hierzu tragen ihre vielen spezifischen Vorteile bei, wie z. B.:

- große architektonische Gestaltungsfreiheit (Tabelle 1)

- geringes Eigengewicht der Konstruktion einerseits bedingt durch die hohe Festigkeit der Seile, andererseits dadurch, dass nur Zugkräfte und keine Biegung im Seilquerschnitt auftreten

- die Möglichkeit, Baukonstruktionen mit sehr großen Flächen und Spannweiten zu errichten

- verhältnismäßig billige und einfache Konstruktionsmontage, sehr oft ohne komplizierte Baugerüste

Außer den oben genannten Vorteilen weisen Seilkonstruktionen auch einige Nachteile auf:

- es entstehen bewegliche, kinematische Systeme

- es treten große Verformungen auf

- Lastverformungsverhalten ist nichtlinear, was eine aufwändigere statische Berechnung nach sich zieht

- Zugkräfte müssen durch aufwändigere Fundamente verankert werden


4

linear

räumlich

Rosensteingarten II, Stuttgart Voliere Hellabrunn, München

geschlossen

offen

Eislaufzelt Olympiapark, München

Olympiadach, München

streng, klar

frei

Gottlieb-Daimler-Stadion, Stuttgart

Deutscher Pavillon EXPO ´67, Montreal

Tabelle 1: Architektonische Gestaltungsfreiheit zugbeanspruchter Konstruktionen


5

1.3 Tragseile und Abspannseile

Wie die vertraute Wäscheleine wird das zugbeanspruchte Tragseil im Bauwesen im Wesentlichen quer zu seiner Achse belastet (Bild 5 und 6). Da das Seil definitionsgemäß eine global (aber nicht lokal) vernachlässigbar kleine Biegesteifigkeit hat, und wie eine Gelenkkette wirkt, kann es nur Zugkräfte in Achsrichtung aufnehmen. Ein Tragseil muss stetig oder polygonal gekrümmt sein, um Strecken- oder Einzellasten Umlenkkräfte entgegensetzen zu können.

Bild 5: Quer zur Achse belastetes Seil

Die Zugkraft in einem Abspannseil entsteht hingegen ausschließlich durch die Krafteinleitung an seinen beidseitigen Verankerungen (Bild 7). Auf seiner freien Strecke wird es quer zur Achse nur von (geringen) Eigenlastkomponenten belastet, die einen kleinen Durchhang bewirken, der sich als Gleichgewichtsfigur zwischen dieser Eigenlast als Streckenlast und der Seilkraft ergibt. Daraus folgt, dass ein Abspannseil mit zunehmender Seilkraft straffer wird und die für die Wirksamkeit der Abspannung maßgebende Verformungssteifigkeit in Richtung der Verbindungslinie zwischen den beiden Endpunkten (oft auch als scheinbarer E-Modul oder Sekantenmodul bezeichnet) um so näher an die Dehnsteifigkeit des geraden Seils herankommt, je geringer das Seilgewicht bzw. je steiler die Abspannung und je größer die Seilkraft ist.

Bild 6: Max-Eyth-See Brücke, Stuttgart: Hauptseil in Brückenmitte trägt als

Tragseil, vom Mast zum Fundament als Abspannseil

Bild 7: Aufwindkraftwerk, Manzanares, Spanien: Seile tragen als Abspannseil


6

1.4 Kinematische und elastische Eigenschaften

Während ein Seil auf eine zu seiner Geometrie affinen Laständerung mit Dehnungen in Achsrichtung und deshalb relativ kleinen Verformungen reagiert, bewirkt eine Veränderung der Lastkonfiguration (nicht-geometrie-affine Belastung) wegen der dehnungslosen Verformungen des Seils (ohne Dehnung der Seilachse) eine Veränderung der Seilgeometrie. Diese Verschiebungen können – bezogen auf die Ausgangsgeometrie – beträchtlich sein (Bild 9).

-gewichtsloses Seil unter Einzellast (Dreieck)

- gewichtsloses Seil unter zwei Einzellasten (Trapez)

- gewichtsloses Seil unter mehreren Einzellasten (Polygon)

Bild 8: Seilform in Abhängigkeit der Lastanordnung (hier geometrie-nichtaffin)


7

- hängendes Seil unter Eigengewicht (Kettenlinie Parabel bei kleinem f/l)

- Seil unter Gleichlast (Parabel)

- Seil unter Radiallast (Kreis)

Bild 9: Seilform in Abhängigkeit der Lastanordnung (hier geometrie-affin)

Für die allgemeine Betrachtung des kontinuierlich belasteten Tragseils oder des durchhängenden Stabzuges ist es sinnvoll, von einer quadratischen Parabel auszugehen, weil sich diese Form unter einer Gleichlast einstellt. In der Regel wird das Eigengewicht des Seiles vernachlässigt. Die Parabelgleichung ist einfach, und an ihr können die wesentlichen Zusammenhänge dargestellt werden, auch wenn die dazugehörige Gleichlast in der Natur selten vorkommt. Kräfte in Seildächern mit abrutschendem Schnee, Windlasten und ungleichmäßige Eigenlasten sind so nur angenähert erfassbar [6].


8

1.5 Statik des Einzelseils

Je nachdem wie genau die Seilkraft bzw. Beanspruchung, die Seillänge und die Seildehnungen bekannt sein müssen, können differenzierte Betrachtungen auf drei unterschiedlichen Ebenen durchgeführt werden:

1.5.1 Das dehnstarre und biegeschlaffe Seil: EA = , EI = 0

Die Kettenglieder im 18. und 19. Jahrhundert waren aus Schmiedeeisen und besaßen eine geringe Festigkeit. Um die vorhandene Zugkraft bei niedriger Festigkeit tragen zu können, war eine große Querschnittsfläche erforderlich. Dies führte zu einer großen Dehnsteifigkeit. Da zwischen den einzelnen Gliedern keine Biegesteifigkeit auftritt, ist die gegliederte Kette Sinnbild des dehnstarren und biegeschlaffen Seils.

Bild 10: Die gegliederte Kette Bild 11: Conwy Castle Bridge, Wales, 1826, Ingenieur: Thomas Telford

1.5.2 Das dehnsteife und biegeschlaffe Seil: EA , EI = 0

In dieser Betrachtungsebene wird die reale Dehnsteifigkeit des Seils berücksichtigt. Durch eine äußere Belastung dehnt sich der Querschnitt und das Seil wird länger. Bereits kleine Längenänderungen des Seils bewirken eine neue Seilgeometrie und ein neues Kräftegleichgewicht. Die Iterationen zum Erreichen des Kräftegleich-gewichts im gedehnten bzw. verformten Zustand sind wesentlicher Bestandteil dieser Betrachtungsebene. Auch hier besitzt das Seil keine globale Biegesteifigkeit.


9

1.5.3 Das dehnsteife und biegesteife Seil EA , EI 0

In der Regel handelt es sich bei einem Seil um ein konstruktives Element mit großer Länge und kleinem Querschnitt. In diesem Fall ist die Biegesteifigkeit annähernd Null. Wird dagegen ein kurzes Seilstück betrachtet, dann ist sehr wohl die Biegesteifigkeit des Querschnitts zu berücksichtigen. Bei Betrachtung bestimmter lokaler Situationen kann die Biegesteifigkeit des Seils nicht unberücksichtigt bleiben, wie z. B.:

- Seilklemme am Tragseil zum Anschluss des Hängerseils

- Einspann-/ Sattelstelle eines Spannbandes

Bild 12: Nordbrücke, IGA, Rostock Bild 13: Talbrücke Obere Argen, Wangen im Allgäu

Bild 14: Seilnetzbrücke am Löwentor, Stuttgart

Bild 15: Fußgängerbrücke, Untereggersberg


10

2 Dehnstarres und biegeschlaffes Seil: EA = , EI = 0

2.1 Herleitung der Differentialgleichung für Gleichlast und Eigengewicht

2.1.1 Parameter und Begrifflichkeiten

Es wird ein durchhängendes Seil mit unterschiedlich hohen Aufhängepunkten im statischen Gleichgewichtszustand unter lotrechten Lasten betrachtet. Zur Beschreibung der Seilkurve wird ein Koordinatensystem x, y mit den Aufhänge-punkten A und B aufgespannt (Bild 16). Die Seilkraft S = S(x) ist über die Spannweite veränderlich.

Bild 16: Lasten, Kräfte und geometrischen Größen am durchhängenden Seil

Lage des Koordinatensystems

In der Regel im Auflagerpunkt A

Seilgeometrie

h Höhendifferenz der Auflagerpunkte

l Spannweite zwischen den Auflagerpunkten

s Seillänge

f(x) Stich an der Stelle x


11

Lastart

Lasten quer zur Achse → Tragseil

- Einzellast (Ort des Lastangriffs)

- Streckenlast: Art der Verteilung (Eigengewicht g, Gleichlast q,

dreiecksförmige Lastverteilung)

Lasten in Achsrichtung → Abspannseil

- Zugkräfte

Kräfte

S Seilkraft

H Horizontalkomponente von S

V Vertikalkomponente von S

Kräftegleichgewicht

Aus dem horizontalen Gleichgewicht folgt:

.constH:H

Aus dem vertikalen Gleichgewicht folgt:

0dVVdsgdxqV:V

H

H

dy

dx

ds

q dx g ds

VS

S+dS V+dV

Bild 17: Kräftegleichgewicht am Element

Gleichlast q (g = 0) Eigengewicht g (q = 0)

dx

dVq

ds

dVg


12

Geometrische Beziehung

dx

dytan

Zwischen den Kräften H und V besteht folgende Beziehung:

dx

dyHtanHV

Seil – Differentialgleichung

Gleichlast q (g = 0) Eigengewicht g (q = 0)

2

''2

dV d yq H H y

dx dx

2q dx H y

1q x C dx H y

211 22 q x C x C H y

dV

gds

2dV g ds g 1 y ' dx

2

22

dV d yg 1 y ' H

dx dx

2 2g 1 y ' dx H y

Seilkraft S

2

2

dx

dy22 1HVHS

Seillänge s

dx'y1dx1dss

dx'y1dx1dydxds

22

dxdy

22

dxdy22


13

2.2 Seil unter Gleichlast

2.2.1 Gleich hohe Aufhängepunkte

y

x f

f

g

l

Bild 18: Seil unter Eigengewicht mit gleich hohen Aufhängepunkten (zum Beispiel bei einer Hängebrücke)

Aus der hergeleiteten Seil DGL für Gleichlast unter 2.1.1

yHCxCxq 212

21

folgt mit den Randbedingungen und den Integrationskonstanten die Seilgleichung.

Auflager A: x = 0, y = 0; Auflager B: x = l, y = 0

→ 0C2 und lqC21

1

1. Seilgleichung

xH2

lqx

H2

qy 2

2. Durchhang

Aus dieser Gleichung wird ersichtlich, dass es nicht reicht, die Parameter Belastung q und Spannweite l festzulegen, es ist eine weitere Festlegung nötig: Ist die Kraft H gegeben, ergibt sich der Parabelstich f = maximaler Durchhang in der Mitte zu:

12

2 212

x l

q l q l l qly( l) f

2 H 4 2H 2 8H

Das Minuszeichen ergibt sich aufgrund der Vorzeichendefinition: Die x-Achse geht durch die Auflagerpunkte, der Durchhang ist negativ.


14

3. Horizontalkraft

Umgekehrt gilt: Ist der Stich f gegeben, dann ergibt sich die Horizontalkraft H zu:

f8

lqH

2

Für die Parabelgleichung gilt dann:

xl

f4x

l

f4y 2

2

Zusammenstellung

In Abhängigkeit von H In Abhängigkeit von f

y xH2

lqx

H2

qy 2 x

l

f4x

l

f4y 2

2

y’ H2

qlx

H

q'y

l

f4x

l

f8'y

2

Die 1. Ableitung beschreibt die Steigung der Kurve. Für den Scheitelpunkt x = l/2 gilt dann y‘ = 0. Hier ist die Tangente horizontal und damit die Steigung Null. Im Auflagerbereich x = 0 wird die Steigung zu:

l

f4

H2

ql'y .


y’’ H

q''y 2l

f8''y

Die 2. Ableitung macht eine Aussage über den Verlauf (Maß) der Krümmung in jedem Punkt: konkave Krümmung, konvexe Krümmung, Wendepunkt.

Die Krümmung ist die Änderung des Winkels als Funktion der Bogenlänge.

23

2'y1

''y


15

Da im Scheitel gilt y’ = 0 (die Steigung ist Null) gilt hier y‘‘ = .

RqH

R

1

H

q''y

2l

f8''y

Zum Vergleich: Kessel- oder Ringformel

q

H1R

RqH

f8

l1R

2

4. Seilkraft

2

dx

dy22

H2

lqx

H

q1H1HVHS 2

2

Maximale Seilkraft

Verhältnis zw ischen H/S und f/l

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 f/l

H/S

Bild 19: Verhältnis zwischen H/S und f/l

22

l)x0,(xmax l

f41H

H2

lq1HS


16

5. Seillänge

dxy'1dx1dss

dx1dydxds

22

dxdy

2

dxdy22

Exakte Seillänge

Integration mit Hilfe des Substitutionsverfahrens:

dz8f

ldx

l

8f

dx

dzz'

l

4fx

l

8fy'z

2

2

2

Die neuen Integrationsgrenzen ergeben sich zu:

l

f4)l(z

l

f4)0(z

Das Integral sieht dann folgendermaßen aus:

lf4

lf4

dz z1f8

ldz

f8

l z1s 2

2)l(z

)o(z

22

Aus Bronstein

zsinharz1zdzz1 2

212

lf4

22

lf4

lf42

lf4

2

22

sinharf8

l1

2

ls

sinhar21l

f8

2

1

f8

ls

zsinharz1z2

1

f8

ls

lf4

lf4

Die exakte Seilgleichung ist eine transzendente Gleichung. Dies bedeutet, dass sie nicht einfach nach f auflösbar ist Die Lösungen können nur numerisch oder graphisch, jedoch nicht analytisch gefunden werden.


17

Genäherte Lösung (für f/l 0,2)

dx'y1sl

o

2

Entwicklung einer Taylor-Reihe

....)'y(642

31)'y(

42

1'y

2

11'y1 322222

l

0

642l

o

2 dx....'y16

1'y

8

1'y

2

11dx'y1s

Abbruch der Taylor-Reihe nach dem 2. Glied

2

2

3

22

4

22

2

2

l

f16x

l

f64x

l

f64

l

f4x

l

f8'y

sls

l3

f8ls

l

f8

l

f16

l3

f32ls

xl

f8x

l

f16x

l3

f32xs

dxl

f8x

l

f32x

l

f321dx'y

2

11s

2

222

l

02

22

3

23

4

2

l

02

2

3

22

4

2l

0

2

Wird die Reihenentwicklung erst nach dem 3. Glied abgebrochen, dann wird die Seillänge s zu:

3

42

l

f

5

32

l

f

3

8ls


18

2.2.2 Unterschiedlich hohe Aufhängepunkte

Bild 20: Seil unter Gleichlast mit unterschiedlich hohen Aufhängepunkten

Aus der hergeleiteten Seil DGL für Gleichlast unter 2.1.1

yHCxCxq 212

21

folgt mit den Randbedingungen und den Integrationskonstanten die Seilgleichung.

Auflager A: x = 0, y = 0; Auflager B: x = l, y = h

→ 0C2 und 2

lq

l

hHC1

1. Seilgleichung

xl

hx

H2

lqx

H2

qy 2


y xl

hx

H2

lqx

H2

qy 2 x

l

hx

l

f4x

l

f4y 2

2

y’ l

h

H2

qlx

H

q'y

l

h

l

f4x

l

f8'y

2

Lage des Tiefpunktes

lq

Hh

2

lx

l

h

H2

qlx

H

q0'y


19

2. Durchhang

Lage des maximalen Stichs

H8

qlf

H8

ql

2

hy

2

lx

l

h

H2

qlx

H

q

l

h'y

2

2

3. Horizontalkraft

f8

lqH

2

4. Seilkraft

2

dx

dy22

l

h

H2

lqx

H

q1H1HVHS 2

2

Maximale Seilkraft

22

)lX/0x(max l

h

l

f41H

l

h

H2

lq1HS

5. Seillänge

(Näherung, Abbruch der Taylor-Reihe nach dem 2. Glied, f/l < 0,2)

2

2

2

2

l

0

2

2

l

0

2

l2

h

l

f

3

81ls

dxl

h

l

f4x

l

f8

2

11dx'y

2

11s


20

2.3 Seil unter Eigengewicht

Der Ursprung des Koordinatensystems wird hier so gelegt, dass der Tiefpunkt C die Koordinaten 0 und H/g hat (Bild 21).

2.3.1 Gleich hohe Aufhängepunkte

Bild 21: Seil unter Eigengewicht mit gleich hohen Aufhängepunkten

Aus der hergeleiteten Seil DGL für Eigengewicht unter 2.1.1

yHdx'y1g 22

folgt mit den Randbedingungen die Seilgleichung.

g

Hy,0x

g

Hfy,

2

lx

1. Seilgleichung

Gleichung der Kettenlinie

H

gxcosh

g

Hy

fH2

lgcosh

g

H

2

lxy

H

gxsinh'y


21

2. Durchhang

1H2

glcosh

g

H

g

H)(yf

2l

Mit der Reihenentwicklung

!n2

x.....

!4

x

!2

x1xcosh

n242

folgt für den Stich:

......H46080

lg

H284

lg

H8

glf

.....!6H64

lg

g

H

!4H16

lg

g

H

!2H4

lg

g

Hf

g

H....

!6H2

gl

g

H

!4H2

gl

g

H

!2H2

gl

g

H1

g

Hf

1H2

glcosh

g

Hf

5

65

3

432

6

66

4

44

2

22

322221

Folgerung:

1. Stich entspricht näherungsweise der Parabel

2. Exakte Bestimmung des Stiches nur iterativ möglich

3. Horizontalkraft

Im Gegensatz zur Parabellösung kann bei der Kettenlinie bzw. Katenoide der Horizontalzug wegen der transzendenten Gleichungen nicht direkt aus dem vorgegebenen Durchhang oder der Seillänge bestimmt werden. Daher muss zunächst ein Horizontalzug geschätzt werden und iterativ mit Hilfe der Gleichungen für den Durchhang (siehe 2. Durchhang) bzw. der Gleichungen für die Seillänge (siehe 5. Seillänge) solange verbessert werden, bis die Gleichung erfüllt ist.

4. Seilkraft

H

xgcoshH

H

xgsinh1HS

'y1HVHS

2

222

Maximale Seilkraft am Auflager 2

lx

H2

lgcoshHSmax


22

5. Seillänge

H2

lgsinh

g

H2s

H2

lgsinh

g

H

H2

lgsinh

g

H

H2

lgsinh

g

H

H2

lgsinh

g

Hs

H

xgsinh

g

Hdx

H

xgcoss

dxH

xgsinh1dx'y1s

2/l

2/l

2/l

2/l

2/l

2/l

22/l

2/l

2

2.3.2 Unterschiedlich hohe Aufhängepunkte

Auch bei unterschiedlich hohen Aufhängepunkten wird der Ursprung des Koordinatensystems so gelegt, dass der Tiefpunkt C die Koordinaten 0 und H/g hat (Bild 22).

Bild 22: Seil unter Eigengewicht mit unterschiedlich hohen Aufhängepunkten

Vom Tiefpunkt C aus haben die Aufhängepunkte A und B die Abstände a und b. Der Höhenunterschied zwischen A und B ist h.

H

gacosh

H

gbcosh

g

Hh

1. Seilgleichung

H

gacosh

H

gaxcosh

g

Hy


23

2. Durchhang

Der Seilstich ist gemäß Definition die maximale Seilordinate, bezogen auf die Sehne. Der zugehörige Ort folgt aus:

l

h

H

gaxsinh'y

Ist x bekannt, berechnet sich f zu:

H

gacosh

H

gaxcosh

g

Hx

l

hf

3. Horizontalkraft

Im Gegensatz zur Parabellösung kann bei der Kettenlinie bzw. Katenoide der Horizontalzug wegen der transzendenten Gleichungen nicht direkt aus dem vorgegebenen Durchhang oder der Seillänge bestimmt werden. Daher muss zunächst ein Horizontalzug geschätzt werden und iterativ mit Hilfe der Gleichungen für den Durchhang (siehe 2. Durchhang) bzw. der Gleichungen für die Seillänge (siehe 5.Seillänge) solange verbessert werden, bis die Gleichung erfüllt ist.

4. Seilkraft

Die Seilkraft entlang des Seils ergibt sich in Abhängigkeit vom betrachteten Punkt x zu:

H

gaxcoshHS

Auch bei der Kettenlinie ist die Seilkraft am oberen Verankerungspunkt am größten.

bH

gcoshHSmax

5. Seillänge

Mit der Kenntnis von a und b kann die Seillänge berechnet werden.

22

CBAC H2

glsinh

g

H2c

H

gbsinh

H

gasinh

g

Hsss


24

2.4 Nichtlinearer Zusammenhang zwischen Seillänge, Spannweite und Stich

Zwischen Seillänge, Spannweite und Stich besteht ein nichtlinearer Zusammen-hang. Die genäherte Lösung der Seillänge für eine Parabel (ein unter Gleichstrecken-last hängendes Seil) mit gleich hohen Aufhängepunkten ist:

∆sl3l

8f1l

3l

8fls

2

22

(siehe Kapitel 2.2.1)

l∆s0,6l∆s8

3f

l

f

3

8∆s

2

Dabei ist s die Differenz zwischen der Seillänge und der Spannweite.

Baupraktische Relevanz von ∆s:

Seilverlängerung S

Infolge von Toleranzen, Nachlassen, Schlupf, Seilkriechen

Infolge der elastischen Dehnung des Seils für EA

Auflagerverschiebung l

Infolge Nachgiebigkeit oder Beweglichkeit des Lagers

Fazit

Seil mit geringem Stich = f/l klein: s, l bewirkt großes f, große Änderung der Seilkräfte

Seil mit großem Stich = f/l groß: s, l bewirkt kleines f, geringe Änderung der Seilkräfte


25

Änderung der Seillänge - Auswirkungen auf den Stich

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 s/l

f/l

Bild 23: Nichtlinearer Zusammenhang zwischen Seillänge und Stich

2.4.1 Zusammenhang zwischen Seilkraft H und Durchhang f

x

11

lq

H8f

l

8

lq

8f

qlH

lf

2

Die dargestellte Funktion ist eine Hyperbel, H ist umgekehrt proportional zum Verhältnis Durchhang zu Spannweite f/l.

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20

f/l

H/q*l

Bild 24: Nichtlinearer Zusammenhang zwischen Horizontalkraft und Durchhang


26

2.5 Zusammenhang zwischen Last und Form für andere Streckenlasten

2.5.1 Zur Annäherung der Katenoide durch eine Parabel

Zur Bewertung werden zwei Parameter vereinbart:

ql

2H

l/2

H/qm ;

l

fn

Hiermit lauten die Beziehungen zwischen Durchhang f und Horizontalzug H in dimensionsloser Form:

Katenoide:

1

m

1cosh

2

mnf

Parabel: 4m

1nf

Bild 25 a,b: Kurvenverlauf m als Funktion von nf

Bild 25 zeigt den Kurvenverlauf m als Funktion von nf, also die Abhängigkeit zwischen H und f. Die entsprechenden Beziehungen zwischen Seillänge s und dem Horizontalzug H lauten, wenn noch

l

sns

eingeführt wird.


27

Katenoide: m

1sinhmns

Parabel: 22

s m

11

m

1ln

2

m

m

11

2

1n

In Teilbild b sind diese Funktionen gegenübergestellt. Aus Bild a erkannt man, dass erst oberhalb f/l ~0,12 erkennbare Abweichungen im Horizontalzug und damit in der Seilkraft auftreten. Vergleicht man für den zugeordneten m-Wert die Unterschiede im Kennwert sn , so stellt man geringfügige Abweichungen fest, d.h. die Seillänge ist

sensitiver. Die Ergebnisse zeigen, dass es für straff gespannte Seile und Seilabspannungen zulässig ist, von der Parabelnäherung auszugehen. Bei großem Durchhangverhältnis f/l, wie z.B. bei Freileitungen, dem Tragseilen von Hängebrücken, ist die Näherung nicht mehr vertretbar.

2.5.2 Seilgeometrie für verschiedene Belastungen

Bild 26: Seillinien in Abhängigkeit der Belastung

a) Seillinie unter Gleichlast 22

xl

f4x

l

f4

l

x1

l

x4fy

b) Seillinie unter dreiecksförmiger Last

2

2

l

x1

l

x60,2fy

c) Seillinie unter zwei dreiecksförmigen Lasten

2

2

l

x4

l

x63

l

x2fy


28

2.6 Das Seil unter Einzellast

Wird ein gewichtsloses, zwischen zwei Auflagerpunkten parabelförmig oder kettenlinienförmig hängendes Seil mit einer Einzellast belastet, dann verformt sich das Seil so weit, bis ein Gleichgewichtszustand erreicht ist. Dieser ist stabil (für diesen bestimmten Lastfall) aber leicht zu stören (eine neue Lastkonfiguration wird zu einer neuen Gleichgewichtsform führen).

Eine einzelne Einzellast führt ausschließlich zu einem geometrischen Problem, die Größe der Last hat keinen Einfluss auf die entstehende Gleichgewichtsform. Greifen dagegen mehrere Einzellasten an dem hängenden Seil an, dann ist das Gleichgewicht abhängig von der Laststellung und der Größe der Lasten.

Bild 27: Lastverformungskurve eines Seils unter Einzellast


29

Charakteristik der Lastverformungskurve eines Seils unter Einzellast: 1. Wirkungslinie des Lastangriffspunktes verschiebt sich

2. A = B = feste Lagerpunkte des Seils = Brennpunkt einer Ellipse

3. Angriff der Einzellast P an der Stelle s(x) = p (p = Störbereich): Seillinie verformt sich derart, dass die verschobene Wirkungslinie unmittelbar durch das Auflager führt, folglich wird s1 die volle Last abtragen und s2 spannungslos werden

4: Lastangriffspunkt < p: Lastabtragung ist nicht mehr über beide Auflager möglich

5. Ort der maximalen Verschiebung in Abhängigkeit des Verhältnisses f/l: f/l groß: größte Verformung in den Viertelspunkten f/l klein (gespannte Saite): größte Verformung in Feldmitte


30

3 Dehnsteifes und biegeschlaffes Seil: EA , EI = 0

3.1 Seil unter Gleichlast

3.1.1 Ausgangszustand: gerade gespannt, gleich hohe Aufhängepunkte

Ein gerade gespanntes Zugelement wird quer zu seiner Achse mit einer Gleichstreckenlast q belastet. Eine Lastabtragung ist nur möglich, wenn sich infolge der elastischen Dehnung ein Gleichgewicht einstellen kann. Bei diesem Gleichgewicht im verformten Zustand sind die Kräfte von der Höhe der Dehnungen abhängig. Dabei gilt: je geringer die elastische Dehnsteifigkeit EA desto größer sind die Dehnungen und desto kleiner die Zugkräfte im Seil.

Bild 28: Seil unter Gleichlast: Ausgangszustand: gerade gespannt mit gleich hohen Aufhängepunkten

gegeben:

s0 Seillänge im ungedehnten Zustand

l Spannweite im ungedehnten Zustand

q Belastung

EA Dehnsteifigkeit

hier: s0 = l

gesucht:

vH Horizontalkraft im verformten Zustand

ef Durchhang infolge elastischer Dehnung

vs Seillänge im gedehnten Zustand, Endzustand


31

Gleichgewicht (1)

v

e

e

2

v H8

lq

l

fund

f8

lqH

Verträglichkeit (2)

Annahme: Es handelt sich um ein vergleichsweise flach gespanntes Seil mit einem kleinen Durchhang und daher darf die Horizontalkomponente H gleich der Seilkraft S gesetzt werden

EA

Hlls v

Geometrie (3)

sll

f

3

81ls

2

v

Die Gleichungen (1) und (2) werden in die Gleichung (3) eingesetzt. Dann ergibt sich die Horizontalkraft vH im verformten Zustand zu:

EA

H1l

H24

lq1l

EA

Hll

H8

lq

3

81l

v2v

22

v

2

v

24

lqEAH

223v

Durchhang infolge elastischer Dehnung ef

v

2

e H8lq

f

Seillänge im gedehnten Zustand vs

EA

Hllsls v

v


32

3.1.2 Ausgangszustand: durchhängend, gleich hohe Aufhängepunkte

Ein parabelförmig hängendes gewichtloses Seil wird mit einer Gleichstreckenlast belastet. Dabei handelt es sich um eine geometrie-affine Belastung, es ergeben sich nur elastische Dehnungen.

Bild 29: Seil unter Gleichlast: Ausgangszustand: durchhängend mit gleich hohen Aufhängepunkten

gegeben:



q Belastung

EA Dehnsteifigkeit

gesucht:

vH Horizontalkraft in verformten Zustand



Zur Ermittlung der elastischen Dehnung und der Horizontalkraft können verschieden Zustände betrachtet werden:

1. Theorie I. Ordnung

Für die Berechnung der elastischen Dehnung bzw. elastischen Stichänderung wird die Horizontalkomponente im unverformten Zustand angesetzt (Lösung nach Kleinhanß).


33

2. Theorie II. Ordnung

Nach Theorie II. Ordnung erfolgt die geometrisch nichtlineare Betrachtung am verformten System zunächst ohne Berücksichtigung des Gleichgewichts.

Für die Berechnung der elastischen Dehnung bzw. elastischen Stichänderung wird die Horizontalkomponente im unverformten Zustand nach Theorie I. Ordnung angesetzt (Lösung nach Kleinhanß).

Die Horizontalkomponente Hv wird für den verformten Zustand ermittelt.

Um das Gleichgewicht im verformten Zustand zu berücksichtigen (siehe 3. Geometrisch nichtlineare Berechnung) müsste zwischen Horizontal-komponente und elastischer Dehnung iteriert werden.

3. Geometrisch nichtlineare Berechnung

Für eine geometrisch nichtlineare Berechnung wird das Gleichgewicht im verformten Zustand berechnet (Lösung nach Palkowski).

Theorie I. Ordnung

Bild 30: Elastische Dehnung nach Theorie I. Ordnung

Bedingungen im unverformten Zustand:

Gleichgewicht (1)

f8

lqH

2

Horizontalkraft

2'y1HS Seilkraft


34


Elastische Dehnung s

dsEA

Sds

EA

Nds

Edss

s

0

s

0

ds'y1EA

Hdx'y1

EA

Hs 2

l

o

2

dx'y1EA

Hs 2

Das Integral dx'y1 2 kann mit der Seilgleichung für eine Parabel xl

f4x

l

f4y 2

2

exakt gelöst werden

l 2

22

o

16f1 y ' dx l 1

3l

2

2

l3

f161l

EAH

s

Elastische Stichänderung fe

2

2

ee l3

f161l

EAH

fsf

2

2e

e l3

f161l

EAH

sf

f

Geometrie (3)

l3

f16

f

s

e

gilt für die Näherung der Seillänge

2

0 l

f

3

81ls für f/l 0,2

→

2

2

ef16

l31f

EA

Hf für f/l 0,2

Seillänge im verformten Zustand vs

sss 0v


35

Theorie II. Ordnung

Zur Erläuterung dieses Ansatzes wird hier kurz die vergleichbare Betrachtung zur Ermittlung der Momentenschnittgröße Mv nach Theorie II. Ordnung am Ersatzbalken eingeführt.

f

f1

HH

ffHfH

)x(yH)x(M)x(yH)x(M

fHM

ev

ev

vvv

max

Bild 31: Elastische Dehnung nach Theorie I. Ordnung, Horizontalkraft Hv nach Theorie II. Ordnung

Die Horizontalkomponente Hv nach Theorie II. Ordnung verringert sich gegenüber H nach Theorie I. Ordnung durch die Vergrößerung des Stichs infolge elastischer Dehnung.

Zur Berechnung der elastischen Stichänderung kann die Näherung für f/l 0,2 nach Theorie I. Ordnung angesetzt werden.

2

2

ef16

l31f

EA

Hf

Die Horizontalkomponente im verformten Zustand nach Theorie II. Ordnung ergibt sich zu:

EAf8

f16

l31ql

1f8

ql

ff

1

HH

2

22

2

ev


36

Geometrisch nichtlineare Berechnung

Bild 32: Elastische Dehnung und Horizontalkraft Hv im verformten Zustand unter Berücksichtigung des Gleichgewichts im verformten Zustand

Bedingungen im verformten Zustand:

Gleichgewicht (1) 2

vv

q lH

8 f


dx'y1EA

Hs

l

o

2v

1. Vereinfachung: Die Seildehnung wird mit der Horizontalkomponente berechnet und ist über die Seillänge konstant. Daraus folgt:

EAsH

s 0v

Geometrie (3)

2. Vereinfachung gilt für f/l 0,2

ssl

f

3

81ls 0

2

v

Durch einsetzen von (1) in (3) folgt der Zusammenhang zwischen Seillänge und Belastung im verformten Zustand:

2v

22

vH24

lq1ls


37

Daraus folgt nach Umformen und Auflösen die kubische Gleichung zur Ermittlung der Horizontalkomponente im verformten Zustand unter Berücksichtigung der geometrischen Nichtlinearität.

0

32

0

2v

3v s24

lqEA

s

l1EAHH

Diese kubische Gleichung kann durch verschiedene Methoden gelöst werden:

- Nullstellensuche → quadratische Gleichung

- Substitution → Diskriminante → Fallunterscheidung

- Excel Lösungsblatt (Vortragsübung)

Elastische Stichänderung fe

fH8

lqf

v

2

e


38

3.2 Seil unter Einzellast

3.2.1 Ausgangszustand: gerade gespannt, gleich hohe Aufhängepunkte

Ein gerade gespanntes gewichtsloses Zugelement wird quer zu seiner Achse mit einer Einzellast P in Feldmitte belastet. Eine Lastabtragung ist nur möglich, wenn sich infolge der elastischen Dehnung ein Gleichgewicht einstellen kann; vgl. Kapitel 3.1 Seil unter Gleichlast.

Bild 33: Seil unter Einzellast: Ausgangszustand: gerade gespannt mit gleich hohen Aufhängepunkten


39

gegeben:



P Belastung

EA Dehnsteifigkeit

hier: s0 = l

gesucht:






Gleichgewicht (1)

ev f

2l2PH


dx'y1EA

Hs

l

o

2v

1. Vereinfachung: Die Seildehnung wird mit der Horizontalkomponente berechnet.

EAsH

s 0v

Geometrie (3)

sll

f21l

2

lf2s

222

v

2. Vereinfachung: Der Wurzelterm wird als Taylorreihe dargestellt und diese nach dem 2. Glied abgebrochen.


40

l

f2l....

l

f2

16

1

l

f2

8

1

l

f2

2

11ls

2642

v

l

f2ls

2

v

Durch Einsetzen von (1) in (3) folgt der Zusammenhang zwischen Seillänge und Belastung im verformten Zustand:

2

v

2

vv

H8

P1l

H4

lP

l

2ls

Mit (2) ergibt sich die Horizontalkraft vH im verformten Zustand zu:

8

PEAH

23

v


ve H4

lPf

3.2.2 Ausgangszustand: durchhängend, gleich hohe Aufhängepunkte

Ein dreiecksförmig hängendes gewichtsloses Seil wird mit einer Einzellast P in Feldmitte belastet. Dabei handelt es sich um eine geometrie-affine Belastung, es ergeben sich nur elastische Dehnungen.

Bild 34: Seil unter Einzellast: Ausgangszustand: dreiecksförmig durchhängend mit gleich hohen

Aufhängepunkten


41

gegeben:



P Belastung

EA Dehnsteifigkeit

gesucht:






Gleichgewicht (1)

ev ff4

lPH


dx'y1EA

Hs

l

o

2v

1. Vereinfachung: Die Seildehnung wird mit der Horizontalkomponente berechnet.

EAsH

s 0v

Geometrie (3)

ss

lff2

1ls2

v

2. Vereinfachung: Der Wurzelterm wird als Taylorreihe dargestellt und diese nach dem 2. Glied abgebrochen.

l

ff2l....

l

ff2

16

1

l

ff2

8

1

l

ff2

2

11ls

2642

v


42

l

ff2ls

2

v

Durch Einsetzen von (1) und (2) in (3) folgt:

EA

sHs

H8

P1l v

2v

2

Daraus folgt nach Umformen und Auflösen die kubische Gleichung zur Ermittlung der Horizontalkomponente im verformten Zustand unter Berücksichtigung der geometrischen Nichtlinearität.

0

2

0

2v

3v s8

lPEA

s

l1EAHH

Diese kubische Gleichung kann durch verschiedene Methoden gelöst werden:

- Nullstellensuche → quadratische Gleichung

- Substitution → Diskriminante → Fallunterscheidung

- Excel Lösungsblatt (Vortragsübung)


fH4lP

fv

e


43

4 Der E-Modul von Seilen unter Berücksichtigung des Durchhanges

4.1.1 Allgemeines

Bei der Berechnung von Schrägseilbrücken wird oft mit geraden Zugstäben gerechnet. Um den Durchhang zu berücksichtigen muss der E-Modul „künstlich“ reduziert werden.

Zunächst soll der Durchhang allein betrachtet werden (Bild 35). Als Gedankenmodell wird ein Seil mit E = ∞ an dem unteren festen Punkt A gelenkig angeschlossen. Der obere Auflagerpunkt B sei auf einer Rolle gelagert. Die Auflagerpunkte haben den Abstand ls.

Wirkt an den Seilenden die Kraft S, wird das Seil nach der Form einer Kettenlinie durchhängen. Die Seillänge ist dann s > ls. Wird die Kraft S bis S = ∞ gesteigert, verläuft das Seil gerade. Der Endpunkt E wandert nach E´, indem er den Weg ∆ ls zurücklegt. Bei der Vergrößerung der Kraft auf S1 = S + ∆S wird sich der Punkt E um ∆∆ls = ∆ls - ∆ls 1 bewegen. Dieser Vorgang kommt einer Längenänderung des Seiles um ∆∆ls infolge ∆S gleich.

Die Betrachtung erfolgt am Seil mit geringem Durchhang, so dass das Eigengewicht entlang der Seilsehne angenommen werden kann.

Mit diesem Wege ∆∆ls lässt sich eine scheinbare Dehnung εf = ∆∆ls/ls berechnen. Für die praktische Rechnung hat es sich als zweckmäßig erwiesen, hieraus den scheinbaren Modul Ef = б/ εf zu ermitteln.

Bild 35: Gedankenmodell zum Seildurchhang


44

Das Spannungs-Dehnungs-Verhalten eines Seiles, dessen Durchhang durch eine reibungslose Unterstützung verhindert wird, ist durch seinen E-Modul charakterisiert, im Folgenden mit Ee bezeichnet.

Aus dem scheinbaren E-Modul infolge Durchhanges Ef und dem elastischen Anteil Ee kann ein ideeller Module Ei berechnet werden, der beide Anteile gleichzeitig erfasst.

ef i εε

σE

wobei für

E

σε und

E

σε

ee

ff zu setzen ist.

Daraus ef

ef i EE

EEE

.

Für die Berechnung von Ei muss ∆ls infolge des Durchhanges ermittelt werden. Einer genauen Berechnung müsste die Kettenlinie zugrunde gelegt werden. Diese Berechnung ist aber sehr aufwendig. Es wird daher die Näherungsberechnung mit der Parabel durchgeführt.

Gleichgewicht (1)

s

2s

f8

lcosαgS

S8

lcosαgf

2s

s

Geometrie (2)

s

2s

s l

f

3

8ls

ss ls∆l

s

2s

s l

f

3

8l

daraus folgt

2

3s

2

s S

lαcosg

24

1∆l

2

und

3

3s

22s

S

lαcosg

12

1

S

∆l


45


EA

lSl ss

s

s

s

s

∆l

S

A

l

∆l

l

A

S

ε

σE

Alαcosg

S12E

2s

22

3

f

2l

32

3

A

S12

mit

A

gγ

s

s

l

∆lε

A

Sσ

ee ε

σE

E

E1

E

EE

EEE

f

e

e

ef

efi

daraus folgt

Eσ12

l)(γ1

E E

e3

2e

i

Darin bedeuten:

[m] Seillänge s

[m²] cosαs l

[m²] tQuerschnit emetallisch A

[MN/cm] Seiles des htMetergewic g

[MN/m³]g/A γ

[MN/m²] Anteilrelastische Modul,-E E

[MN/m²] hnittSeilquersc im Spannung σ

e


46

Die Kurvenwerte (Bild 36) für verschlossene Seile sind aufgrund folgender Annahmen berechnet:

Ee = 170 MN/m².

γ nimmt für verschlossene Seile mit genügender Genauigkeit den Wert 0,084 MN/m³ an.

Bild 36: Kurventafel zu Entnahme von Ei in Bild 37: Kurventafel zu Entnahme von б in Abhängigkeit von б Abhängigkeit von бm

TU Berlin, Fachgebiet Entwerfen und Konstruieren – Massivbau Brückenbau II – Seile Literatur

47

Literatur

[1] Petersen, C.: Stahlbau, Verlag Vieweg und Sohn, Braunschweig /

Wiesbaden, 1988

[2] Peil, U.: Bauen mit Seilen, Stahlbau-Kalender 2000, Verlag Ernst und Sohn, 2000

[3] Otto, F.: Gestalt finden, Edition Axel Menges, 2001

[4] Berger, H.: Light Structures, Birkhäuser Verlag

[5] Palkowski, S.: Statik der Seilkonstruktionen, Springer Verlag, 1990

[6] Schlaich, J.; Gabriel, K.: Seiltragwerke, Baukonstruktionen, Hrg. Dierks, Schneider, Wormuth, Werner Verlag, 2002

[7] SFB 64: Alle Hefte

[8] IL-Reihe: Alle Hefte

[9] Hertel, H.: Leichtbau, Springer Verlag, Berlin, 1960

[10] Otto, F.: Das hängende Dach, Ullstein Verlag, Berlin, 1954

[11] Otto, F.: Zugbeanspruchte Konstruktionen, Bd. 1+2, Ullstein Verlag, Frankfurt, 1962

[12] Otto, F.: Natürliche Konstruktionen, DVA, Stuttgart, 1985.

[13] Wiedenmann, J.: Leichtbau, Bd. 1 + 2, Springer Verlag, Berlin, 1989

[14] Koch, K.-M.: Bauen mit Membranen, Prestel Verlag, 2004

[15] Eibl, J., Pelle, K., Nehse, H.: Zur Berechnung von Spannbandbrücken. Flache Hängebänder, Werner Verlag, Düsseldorf, 1973

[16] Strasky J.: Stress ribbon and cable-supported pedestrian bridges, Thomas Telford Ltd, London, 2005

[17] Ernst, H.-J: Der E-Modul von Seilen unter Berücksichtigung des Durchhanges, Der Bauingenieur 40, Heft 2, 1965

Documents

Brückenbau II - Seile · mit der Akashi-Kaikyō-Brücke, eine rückverankerte Hängebrücke, als derzeitiger Rekordhalter mit einer Spannweite von 1991 m (Bild 1). Aber nicht nur