Embed Size (px)
Citation preview
Bryła sztywna
• Moment pędu i energia kinetyczna bryły w układzie inercjalnym i w układzie związanym sztywno z bryłą
• Tensor momentu bezwładności
• Równania Eulera
• Kąty Eulera
• Bąk symetryczny swobodny
• Równania Lagrange’a II rodzaju
• Bąk symetryczny w polu siły ciężkości - precesja, nutacja
• Zasada D’Alemberta
Liczba stopni swobody bryły sztywnej
Liczbę stopni swobody ruchu bryły sztywnej złożonej z nieprzeliczalnej liczby punktów materialnych pozostających w stałej odległości między sobą można określić ze wzoru: f=6-pgdzie p-liczba więzów holonomicznych zewnętrznych ograniczających ruch bryły sztywnej (położenie bryły określa położenie 3 jej punktów nie leżących na linii prostej). Dla bryły swobodnej na ruch której nie narzucono więzów zewnętrznych f=6
Równania ruchu bryły ( w układzie inercjalnym)
Można je zapisać jako układ 6 równań skalarnych w dowolnym układzie inercjalnym.
Równanie (2) obowiązuje także w układzie o początku w środku masy bryły.
W przypadku gdy na ruch bryły nałożono więzy niezbędne jest uwzględnienie wkładu
do wypadkowej siły i wypadkowego momentu siły pochodzącego od więzów, oraz przy
rozwiązywaniu równania uwzględnić równania więzów .
Ponieważ
gdzie -prędkość środka masy bryły
to równanie (1) można zapisać w postaci
smsm
i
ii
i
i pvMvmpprrrrr
==== ∑∑
∑=i
imM
M
vm
v i
ii
sm
∑=
r
r
wFpr
&r =wDLr&r
= wFr
-siła wypadkowa
-wypadkowy moment siły wDr
(1) (2)
wsm FvMr
&r =
mi
r0
ri
Układ O-
dowolny
ri‚’
x
y
z
x’
y’
z’
Ruch postępowy i obrotowy bryły.
O’
O
W ruchu postępowym wszystkie punkty bryły poruszają się z jednakowąprędkością równą prędkości dowolnego punktu bryły np. punktu O’ czyli zachodzi
00 vrri
r&r&r == W ruchu obrotowym wokół punktu O prędkość dowolnego punktu bryły można przedstawić w postaci
gdzie -prędkość kątowa
-wektor wodzący punktu względem punktu O’ , który nie podlega obrotowi . Często wygodnie jest z punktem O’związać układ współrzędnych o osiach sztywno związanych z obracającą się bryłą
'
ii rrrr&r ×= ω
Dowolny ruch bryły można przedstawić jako złożenie ruchu postępowego zachodzącego z prędkością i obrotowego zachodzącego z prędkościąkątową
ωr
'
irr
0vr
ωr
gdzie -prędkość punktu O’ w układzie O( prędkość ruchu postępowego)
Dowód. Rozważamy dwa punkty O’ i O’’ związane sztywno z różnymi punktami bryły . Zapiszemy wzór na prędkość punktu bryły o masie mi w układzie inercjalnym O
O’ O’’
mi
'rr
''rr
bv
Z jednej strony mamy
( )'rvv oi
rrrr×+= ω
ovr
( )( ) ''
1
''''rvrbvrbvv ooi
rrrrrrrrrrrrr×+=×+×+=+×+= ωωωω
Wzór ten możemy przekształcić do postaci
gdzie -prędkość punktu O’’ w układzie O (prędkość ruchu postępowego)
bvv o
rrrr×+= ω1
Rozłożenie ruchu na ruch obrotowy i postępowy nie jest jednoznaczne i zależy od wyboru położenia punktu względem którego bryła się obraca z którym wiążemy układ związany z bryłą .
Niezależnie o wyboru punktu O’ wektor prędkości kątowej w ruchu obrotowym jest jednakowy , natomiast inna jest wartość prędkości w ruchu postępowym Gdy wektory i są do siebie prostopadłe to można zawsze w ustalonej chwili czasu tak wybrać punkt O’’ ( czyli wektor ) żeby ruch byłczysto obrotowy
0vr
ωr
br
01 =vr
mi
r0
ri
Punkt O’ sztywno związany z wybranym punktem bryły porusza się w układzie O z prędkością równa prędkości w ruchu translacyjnym bryły . Dodatkowo bryła podlega obrotowi wokół punktu O’ z prędkością kątową
Początek układu
inercjalnego
ri‚’
Moment pędu bryły względem punktów O: i O’:
'
ioi rrrrrr
+=Wektor wodzący i-tego punktu bryły
Prędkość i-tego punktu bryły
( )''
ioioi rrrrrrr&r&r&r&r ×+=+= ω
O’
O
ωr
( ) ( )( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ''
'
0
''
0
''
0
'
'
LRrMrMR
rrmRrMrRM
rrrmrRM
rrmrrm
rrrmrmrL
o
i
iiio
i
iiio
i
iii
i
oii
i
ioii
i
iii
rrrr&rr
rrrrrr&rr
rrrr&rr
rrr&rr
rr&rr&rrr
+××+×=
=××+××+×=
=××++×=
=××+×=
=×+×=×=
∑
∑
∑∑
∑∑
ω
ωω
ω
ω
ω
'1
0 RrrmM
Ri
ii
rrrr+== ∑ -położenie środka masy w układzie O
∑=i
iirmM
R'' 1 rr
-położenie środka masy w układzie O’
Masa bryły ∑=i
imM
Lr
'Lr
gdzie( ) ∑∑ ×=××=
i
iii
i
iii rmrrrmL''' '' &rrrrrr
ω
( zmiany w czasie wektora
wynikają wyłącznie z ruchu
obrotowego wokół punktu O’ )
'
irr
Moment pędu w układzie inercjalnym O
0r&r
określa moment pędu bryły w ruchu
obrotowym wokół punktu O’
określa moment pędu bryły w ruchu postępowym
określa położenie środka masy w układzie o początku w O
Uwaga: Trzeba pamiętać iż wówczas gdy osie układu związanego z punktem O’podlegają obrotowi w układzie inercjalnym O to nie zachodzi relacja
Gdy punkt O’ nie jest środkiem masy relacja (1) zachodzi tylko wtedy gdy punkt O’
porusza się w układzie inercjalnym O ze stałą prędkością czyli jest początkiem innego
układu inercjalnego
Moment pędu bryły względem punktów O i O’
( )'' 0 RrMLLL post
rrrrrr××++= ω
Gdy punkt O’ znajduje się w środku masy to oraz
czyli
Ponieważ jest określony względem środka masy to z II zasady dynamiki
Newtona wynika iż
0'=Rr
( ) ''LLrrmRMRL post
i
iii
rrrrr&rrr+=××+×= ∑ ω
(1) (dowód jak dla układu punktów materialnych) ''
Ddt
Ld rr
=
( ) ∑∑ ×=××=i
iii
i
iii rmrrrmL''' '' &rrrrrr
ω
Rro
rr=
Moment pędu względem punktu O: gdzie
'Lr
'
'
'
'i
i Ddt
dL=
składowe i’( i’=x’,y’z’) wektorów ',' DLrr
'' ',' ii DLr
gdzie
0rMRLpost&r
rr×=
'1
0 RrrmM
Ri
ii
rrrr+== ∑
∑=i
iirmM
R'1
'rr
określa położenie środka masy w układzie o początku w O’
Gdy punkt O’ spoczywa w układzie
O to czyli
Gdy punkt O’ znajduje się w środku
masy to i czyli
mi
r0
ri
ri‚’
Energia kinetyczna bryły
O’
O
( )( ) ( ) ( ) ⇒×+×+=×+== ∑ ∑ ∑∑∑2''
0
22'2
2
1
2
1
2
1
2
1i
i i i
iiioi
i
ioi
i
ii rmrrmrmrrmrmTrrrr&r&rrr&r&r ωωω
∑=i
iirmM
Rrr 1
∑=i
iirmM
R'' 1 rr
∑=i
imM
0' =Rr
gdzie ( )∑ ×=
i
ii rmT2'
2
1'
rrω
0=or&r
Rro
rr=
'TT =
Gdy O’ znajduje się w środku masy bryły to jej energia kinetyczna w układzie
inercjalnym jest równa sumie energii kinetycznej w ruchu obrotowym określonej w
układzie o początku w środku masy i energii w ruchu postępowym (zależnej tylko od
składowych prędkości środka masy bryły). Określenie energii kinetycznej w układzie
inercjalnym jest użyteczne w celu określenia funkcji Lagrange’a .
-energia w ruchu obrotowym ( ) ''TRrMTT opost +×+=
rr&r ω
-energia w ruchu
postępowym
2
0
2
02
1
2
1rMrmT
i
ipost&r&r == ∑
( )∑ ×+=+=i
iipost rmRMTTT2'2
2
1
2
1'
rr&rω
mi
r0
ri
r’i
( )
( ) ( )
( )[ ]
( )( )
( )
( )( )ωω
ω
ωω
ωω
ωω
ω
rrrrr
rrrr
rrrr
rrrr
rrrr
rr
⋅′′−′=
=′××′=
′⋅−′=
=′××⋅=
=′×⋅′×=
=′×=
∑
∑
∑
∑
∑
∑
iii
i
i
i
i
ii
i
iii
i
iii
i
i
ii
i
ii
rrrm
rrmL
rrm
rrm
rrm
rmT
2
'
222
'
2'
2
1
2
1
2
1
2
1
x
y
z
x1
y1
z1
Energia kinetyczna bryły i moment pędu bryły w ruchu obrotowym wokółpunktu O’
( ) ( )cbacbarrrrrr
×⋅=⋅×
( ) ( ) ( )baccabcbarrrrrrrrr
⋅−⋅=××
O’
O
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( ) dVxxxrI
yxmyzmxzm
zymzxmxym
zxmyxmzym
III
III
III
III
III
III
I
xxxmI
IIxxxm
xxxmT
V j
lklkjkl
i
iii
i
iii
i
iii
i
iii
i
iii
i
iii
i
iii
i
iii
i
iii
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
j
i
l
i
klk
i
j
i
ikl
T
lk
lklk
j
i
l
i
klk
i
j
i
i
lk
lk
i k j k l
i
ll
i
kk
i
jki
∫ ∑
∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑
∑∑
∑∑∑∑
∑ ∑ ∑ ∑ ∑
−=
+−−
−+−
−−+
=
=
=
−=
==
−=
=
−=
=
=
===
= = = =
3
1
,
2
22
22
22
''''''
''''''
''''''
333231
232221
131211
3
1
,
2
3
1,
3
1
,
23
1,
3
1
3
1
3
1
3
1
22
'''
''''''
''''''
''''''
ˆ
ˆ2
1
2
1
2
1
2
1'
δρ
δ
ωωωωδωω
ωωω
r
Tensor momentu bezwładności
Dla ciągłego rozkładu masy
[ ] [ ]
[ ] ( ) ( ) ( )[ ]iiiozn
iiii
ozn
zyx
xxxzyxr 321
.
321
.
'''
,,',','
,,,,
==′
==
r
rωωωωωωω( )( )∑ ′⋅−′=
i
iii rrmT222
2
1'
rrrrωω
Składowe diagonalne tensora określają momenty
bezwładności względem osi Ox’, Oy’ i Oz’, zaś
składowe pozadiagonalne to tzw. momenty
dewiacyjne. W układzie z osiami sztywno związanymi
z bryłą elementy tensora nie zależą od czasu
[ ]321
3
2
1
,, ωωωω
ω
ω
ω
ω
=
=
T
i
i
i
i
i
izxyxxx
zyxlk
';';'
',','3,2,1,
)(
3
)(
2
)(
1 ===
==
Energia kinetyczna
gdzie
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ωωδω
ωωωω
rr
rrrrrr
ILIxxxm
xxxmLrrrmL
lk
k
k
j
i
k
i
lkl
i
j
i
i
k
k
i j k
k
i
k
i
l
i
jliliii
i
i
ˆ'
''
3
1
3
1
,
23
1
3
1
3
1
22
=⇒=
−=
=
−=⇒⋅′′−′=
∑∑∑∑
∑ ∑ ∑∑
===
= =
Moment pędu
Moment pędu w ogólności nie jest równoległy do wektora prędkości kątowej
Gdy np. to ''' ;0 zyx err
ωωωω === 0,0 ''''''''''' ≠≠++= yxzzzyzyxzx LLeIeIeILrrrr
ωωω
Przykład. Moment pędu dla ‚,bryły’’ złożonej z dwóch punktów materialnych o masach m1=m2=m i wektorach wodzących ( ) obracającej się wokół osi OZ’ ze stała prędkością kątową [ ]ωω ,0,0=
r[ ] [ ]',','',0,0,0' 21 zyxrr ==
rr
'''' zmxI zx −= '''' zmyI zy −= ( )22
'' '' yxmI zz +=
ω''' zmxLx −= ω''' zmyLy −=
Widać iżZ uwagi na obrót osi Ox’ i Oy’ układu związanego z bryłą w układzie inercjalnym wektor momentu pędu w układzie inercjalnym O nie jest stały lecz podlega precesji zmieniając swoją orientacje w przestrzeni w trakcie ruchu. Do tego aby ruch taki zachodził niezbędne jest przyłożenie zewnętrznego momentu siły
( )ω22
' '' yxmLz +=
0',0' ≠≠ yx
0,0 '' ≠≠ yx LL
Składowe momentu pędu w układzie osi głównych
I1,I2,I3 –główne momenty bezwładności
W układzie osi głównych bryły tensor bezwładności przyjmuje postaćdiagonalną
Każdy tensor momentu bezładności można zapisać w powyższej postaci w układzie osi głównych gdyż jest on tensorem symetrycznym
Diagonalizacja tensora momentu bezwładności
33
'
322
'
211
'
1 ,, ωωω ILILIL ===
Dla dowolnej bryły można znaleźć3 prostopadłe do siebie osie główne, a zatem można znaleźćukład związany z bryłąwyznaczony przez wersorye1,e2,e3 w którym tensor momentu bezwładności jest diagonalny
iii eIeIrr
=ˆ,
00
00
00
ˆ
3
2
1
=
I
I
I
IZachodzi relacja
( )2
33
2
22
2
11
'
2
1ωωω IIIT ++=Energia kinetyczna
332211 '''' eLeLeLLvvvr
++=
1) Gdy wektor prędkości kątowej bryły jest równoległy do i-tej osi głównej gdzie –wersor określający kierunek osi głównej
gdyż wówczas zachodzi
ωωrrr
IILIIII ==⇒=== ˆ321
2) Dla bąka kulistego czyli bryły dla której wszystkie główne momenty bezwładności (elementy tensora momentu bezładności w układzie osi głównych) są jednakowe
Dla bąka kulistego 3 prostopadłe osie o dowolnej orientacji są
osiami głównymi
ierr
ωω =
ωωωωvrrrr
iiii IeIeIIL ==== ˆˆ
ier
W układzie osi głównych 33
'
322
'
211
'
1 ,, ωωω ILILIL ===
Kiedy moment pędu jest równoległy do wektora prędkości kątowej
Tensor momentu bezwładności sześcianu o stałej gęstości
x
y
z
O a
a
a
2/
5
0
3
000
3
00 3
2
3
12
3
1
3
13
MaayxzxyzIaMaaaaaa
zz
=
=⋅=+=ρ
ρρρ
Podobnie
( ) 2
0
22
003
2MadzzydydxI
aaa
xx =+= ∫∫∫ρ ( ) 2
0
22
003
2MadzzxdxdyI
aaa
yy =+= ∫∫∫ρ
25
0
0
2
0 0
2
000004
1
422Ma
az
yxdzydyxdxdzxydydxI
a
aa aaaaaa
xy −=−=−=−=−= ∫∫∫∫∫∫ ρρρρ
2
0004
1MadzxzdydxI
aaa
xz −=−= ∫∫∫ρ2
0004
1MadzyzdydxI
aaa
yz −=−= ∫∫∫ρ
−−
−−
−−
=
=
=
222
222
222
333231
232221
131211
3
2
4
1
4
14
1
3
2
4
14
1
4
1
3
2
ˆ
MaMaMa
MaMaMa
MaMaMa
III
III
III
III
III
III
I
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
( ) ∫∫∫∫∫∫∫∫∫ +=+=aaaaaaaaa
zz dyydxdzdxxdydzdxyxdydzI0
2
000
2
000
22
00
ρρρ
M-masa sześcianu
Diagonalizacja tensora momentu bezwładności sześcianu
Kierunek osi głównej i-tej (i=1,2,3) określamy z warunku
( ) 01ˆˆ =−⇒= iiiii eIIeIeIrrr
Warunkiem istnienia niezerowego wersora spełniającego powyższe równanie wektorowe jest zerowanie się wyznacznika
001ˆ
333231
232221
131211
=
−
−
−
⇒=−
i
i
i
i
IIII
IIII
IIII
II
( )( ) 01120
833
383
338
3
2
4
1
4
14
1
3
2
4
14
1
4
1
3
2
2
222
222
222
=−−⇒=
−−−
−−−
−−−
=
−−−
−−−
−−−
ii
i
i
i
i
i
i
II
I
I
I
IMaMaMa
MaIMaMa
MaMaIMa
µµ
µµµ
µµµ
µµµ
2
12
1Ma=µ
Ii określają składowe tensora momentu
bezwładności w układzie osi głównych
gdzie Skąd wynika iż µµ 11;2 321 === III
Znalezione wielkości I1,I2,I3 są składowymi diagonalnymi tensora momentu
bezwładności w układzie osi głównych . Tensor ten w tym układzie jest tensorem
diagonalnym o postaci
=
µ
µ
µ
1100
0110
002
I
ier
Wersory określające osie główne spełniają warunki oraz
Dla możemy wywnioskować iż wersor
spełnia relację
z której wynikają 3 równania z których wynika iż
iii eIeIrr
=ˆ
µ21 =I
=)1(
3
)1(
2
)1(
1
1
e
e
e
er
=
−−
−−
−−
)1(
3
)1(
2
)1(
1
)1(
3
)1(
2
)1(
1
2
833
383
338
e
e
e
e
e
e
µ
µµµ
µµµ
µµµ
0633
0363
0336
)1(
3
)1(
2
)1(
1
)1(
3
)1(
2
)1(
1
)1(
3
)1(
2
)1(
1
=+−−
=−+−
=−−
eee
eee
eee
µµµ
µµµ
µµµ
)1(
3
)1(
2
)1(
1 eee == czyli wersor określający kierunek 1 osi głównej ma postać
=
3
13
13
1
1er
1 os główna pokrywa się z przekątną sześcianu, która stanowi jego ośsymetrii. W przypadku bryły o symetrii obrotowej oś symetrii bryły jest zawsze jedną z osi głównych bryły
12
=ier
Dla możemy wywnioskować iż wersor
spełnia relację
z której wynikają 3 jednakowe równania
µ112 =I
=)2(
3
)2(
2
)2(
1
2
e
e
e
er
=
−−
−−
−−
)2(
3
)2(
2
)2(
1
)2(
3
)2(
2
)2(
1
11
833
383
338
e
e
e
e
e
e
µ
µµµ
µµµ
µµµ
0333
0333
0333
)2(
3
)2(
2
)2(
1
)2(
3
)2(
2
)2(
1
)2(
3
)2(
2
)2(
1
=−−−
=−−−
=−−−
eee
eee
eee
µµµ
µµµ
µµµ
z których wynika iż
Warunek powyższy stanowi iż wersor jest prostopadły do wersora
gdyż
=
3
13
13
1
1er
Identyczny warunek można otrzymać dla wersora
Wynika z tego iż kierunek pozostałych dwóch osi głównych nie jest jednoznacznie
wyznaczony. Mogą być nimi dowolne dwie prostopadłe do siebie osie które są
jednocześnie prostopadłe do przekątnej (osi symetrii) sześcianu. Ta dowolnośćwyboru wynika z istnienia symetrii obrotowej sześcianu względem jego przekątnej z której wynika równość dwóch diagonalnych składowych tensora bezwładności po jego diagonalizacji i występuje dla wszystkich brył o symetrii osiowej
=)2(
3
)2(
2
)2(
1
2
e
e
e
er
)2(
3
)2(
2
)2(
1 eee −−=
012 =⋅eerr
3er
Dla układu mającego płaszczyznę symetrii środek masy leży na tej płaszczyźnie , a oś prostopadła do tej płaszczyzny przechodząca przez środek masy jest osiągłówną
Przykład Moment pędu dla ‚,bryły’’ złożonej z dwóch punktów materialnych o masach m1=m2=m i wektorach wodzących i
obracającej się wokół osi OZ’ ze stałą prędkością kątową [ ]ωω ,0,0=r
[ ]',',''1 zyxr =r
0'''''' =+−= zmxzmxI zx
0'''''' =+−= zmyzmyI zy
( )22
'' ''2 zymI zz +=
0' =xL 0' =yL ( )ω22
' ''2 zymLz +=
Moment pędu jest równoległy do wektora prędkości kątowej . Oś Oz’ prostopadła
do płaszczyzny symetrii jest osią główną. Ponieważ os Oz’ nie zmienia orientacji w
układzie inercjalnym to moment pędu określony w tym układzie pozostaje stały w
trakcie ruchu. Do podtrzymania takiego ruchu nie jest potrzebne przyłożenie
zewnętrznego momentu siły
[ ]',',''2 zyxr −=r
Równania Eulera-opis ruchu w układzie związanym z bryłąSłużą do znajdowania zależności od czasu składowych prędkości kątowej w układzie
związanym z bryłą (o osiach wyznaczonych przez osie główne bryły), którego
początek spoczywa w dowolnym układzie inercjalnym lub znajduje się w środku masy
[ ] [ ]
[ ][ ]
[ ]
( )( )( )
( )( )( )
yxyxzz
xzxzyy
zyzyxx
zyxyxzz
yxzxzyy
xzyzyxx
zyx
zyx
zyx
zzyyxxzyx
III
III
III
D
DIII
DIII
DIII
DDDDgdzieDLL
LLLLdt
Ld
IIILLLL
Ldt
Ld
dt
Ld
′′′′′′
′′′′′′
′′′′′′
′′′′′′′
′′′′′′′
′′′′′′′
′′′
′′′
′′′
′′′′′′′′′
−=
−=
−=
⇒=
=−−
=−−
=−−
==×+
=
≡=
==
×+=
ωωω
ωωω
ωωω
ωωω
ωωω
ωωω
ω
ωωωω
ωωω
ω
&
&
&r
&
&
&
rrrr&r
r
&r&&&
r
r
rrrr
0
,,,
,,
,,'
,,,,
gdzie,'
Ogólny związek między pochodnymi dowolnego wektora po czasie w układzie
inercjalnym i nieinercjalnym (związanym z bryłą), zastosowany do wektora
daje współrzędne
w układzie
nieinercjalnym
(związanym z
bryłą)
II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego w układzie związanym z bryłą
Rozpisujemy powyższe równanie na składowe w układzie nieinercjalnym (zw. z bryłą)
-Wektor wypadkowego momentu siły w
układzie związanym z bryłą
bryła
swobodna
Dzięki wprowadzeniu układu związanego sztywno z bryła elementy tensora
bezwładności nie zależą od czasu, natomiast trudność może sprawić określenie w
tym układzie składowych wektora wypadkowego momentu siły
LLozn rr .
' =
Ruch obrotowy bryły swobodnej wokół osi głównej
Załóżmy iż w chwili początkowej
czyli bryła obraca się wokół jednej z osi głównych (osi Oz’)'0'' )0(;0)0()0( zzyx ttt ωωωω ======
Z równań Eulera
zapisanych dla
t=0 wynika iż
( )( )( )
yxyxzz
xzxzyy
zyzyxx
III
III
III
′′′′′′
′′′′′′
′′′′′′
−=
−=
−=
ωωω
ωωω
ωωω
&
&
&
Widać iż bryła będzie podlegać obrotowi względem osi głównej Oz’ ze stała prędkością
kątową , a oś obrotu bryły nie zmienia orientacji względem osi głównych bryłyPonadto czyli
moment pędu ma kierunek osi obrotu bryły. Ponieważ moment siły działający na bryłęjest równy zeru to wektor momentu pędu jest stały i nie zmienia orientacji w przestrzeni.
A zatem oś obrotu bryły nie będzie ulegała zmianie w czasie. Uwaga gdy obrót w chwili
początkowej odbywa się wokół osi nie będącej osią główną czyli np.
to czyli
wszystkie składowe prędkości kątowej będą w ogólności różne od zera i zmienne w czasie, czyli
oś obrotu będzie zmieniać orientacje względem osi głównych bryły, nawet wówczas gdy bryła jest
swobodna (wypadkowy moment siły znika)
0)0(' ≠=txω&'0'0'' )0(;)0(;0)0( zzyyx ttt ωωωωω ======
'''''''')( zozzzzzzz eIeIeLtLrrrr
ωω ===( ) ( ) 0,0 '''''' ==== yyyxxx ItLItL ωω
(*)'
0)0(
0)0(
0)0(
0)0(
0)0(
0)0(
zz
y
x
z
y
x
t
t
t
t
t
t
ωω
ω
ω
ω
ω
ω
=>
=>
=>
⇒
==
==
==
′
′
′
′
′
′
&
&
&
Obrót swobodnej bryły wokół osi bliskiej osi głównej – rozważania w układzie związanym z bryłą
( )( ) ( )( ) ( )
xzxzyyxzxzyy
zyzyxxzyzyxx
ozzzzyxyxzz
IIIIII
IIIIII
ttIII
′′′′′′′′′′′′
′′′′′′′′′′′′
′′′′′′′′
−=⇒−=
−=⇒−=
==≈⇒≈⇒−=
ωωωωωω
ωωωωωω
ωωωωωωω
0
0
'' )0()(0
&&
&&
&&
( ) ( )0)0(;0)0( '''''' =>>===>>== tttt yozzxozz ωωωωωω
( ) ( )
( ) ( )
( )( ) 0'
2
''
2
'''
'
00
00
=+⇒−−=⇒
⇒−=⇒−=
−=⇒−=
′′′′
′′′′′′′′′′′
′′′′′′′′′′′′
xxxozxzzyxx
y
xzxzyxzxzyy
zyzyxxzyzyxx
IIIII
I
IIIII
IIIIII
ωλωωωω
ωωωωωω
ωωωωωω
&&&&
&&
&&&&
gdzie ( )( ) 2
0'''''
2
zyzxz IIII ωλ −−=
( )00 cos)( ϕλωω += tt xx jak i pozostaje małe w trakcie ruchu 'xω 'yω
0lub 2
'''''''' ><<>> λtoIIiIIIIiIIGdy yzxzyzxz
0lub 2
'''''''' <><<> λtoIIiIIIIiIIGdy yzxzyzxz
jak i silnie rosną z czasem 'xω 'yωt
xx etλωω 0)( ≈
31, IIIII zyx === ′′′
( )( )
( )
( )
)3(const
)2(
)1(
00
1
31
1
31
3
131
311
==
−−=
−=
⇒
=
−=
−=
′′
′′
′
′′
′
′
′′′
′′′
zz
xz
y
yz
x
z
xzy
zyx
I
II
I
II
I
III
III
ωω
ωω
ω
ωω
ω
ω
ωωω
ωωω
&
&
&
&
&
Składowa prędkości kątowej wzdłuż osi symetrii obrotowej bąka OZ’ nie ulega zmianie w czasie
Z równań (1) i (2) przy uwzględnieniu równania (3) wynika iż
( )'''
1
31'' yxozyx i
I
IIii ωωωωω +
−−=+ &&
0=Ω+ ηη i& gdzie -wielkość zespolona '
1
31'' ozyx
I
IIin ωωω
−=Ω+=
Ogólne rozwiązanie powyższego równania ma postać
gdzie -liczby rzeczywiste
Czyli
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )δδ
δπ
δπ
δπ
δπ
δδδδη
+Ω++Ω=
=
−Ω−+
−Ω−=
+−Ω−
+−Ω=
=−Ω−−Ω=−Ω−=Ω−=Ω−=
tihth
tihthtihth
tihthtiAtiiAtiA
cossin
2sin
2cos
2sin
2cos
~sin
~cos
~expexp
~exp)exp(
( )( )δηω
δηω
+Ω==
+Ω==
th
th
y
x
cos)Im(
sin)Re(
'
'
δπ
δ~
2, −== Ah
Wektor prędkości kątowej podlega precesji wokół osi symetrii Oz’ z
prędkością kątową Ω
Bąk symetryczny swobodny -obrót wokół dowolnej osi
-stała
31, IIIII zyx === ′′′
( )( )( )
( )( )
+Ω
+Ω
==
−≡Ω
+Ω
+Ω
=
′
′
′
z
z
z
I
thI
thI
IL
I
IIth
th
t
03
1
1
0
1
31
0
cos
sin
ˆ
,cos
sin
ω
δ
δ
ω
ω
ω
δ
δ
ω
rr
v
Oz’
Oz
Oś symetrii
Oś obrotu
h
I1h
ωωωω
L
Koniec wektora prędkości kątowej w
układzie związanym z bryłą zatacza
wokół osi symetrii Oz’ okrąg o
promieniu h (zal. od war. początk.),
leżący w płaszczyźnie ω0z’. Krzywązataczaną w ogólnym przypadku przez
ten wektor nazywamy polhodią
Koniec wektora momentu pędu (o stałej długości) w
układzie związanym z bryłą zatacza wokół osi symetrii
Oz’ okrąg o promieniu I1h, leżący w płaszczyźnie I3ω0z’
Należy pamiętać iż ponieważ wypadkowy moment siły jest równy zeru to moment pędu jest zachowany i w układzie inercjalnym nie podlegającym obrotowi kierunek i długość wektora nie ulega zmianie w czasie .Wektor oraz oś symetrii baką ulegająprecesji wokół kierunku wektoraPrzeprowadzenie opisu ruchu w układzie nieruchomym w ogólnym przypadku wymaga uzależnienia składowych prędkości kątowej od wielkości opisujących położenie bryły w układzie nieruchomym np. kątów Eulera
Lr
Wektor nie jest równoległy do wektora Lr
ωr
ωr
Lr
Bąk symetryczny swobodny -obrót wokół dowolnej osi
Bąk symetryczny swobodny-obrót wokół dowolnej osi-opis w układzie inercjalnym. Wyznaczenie prędkości kątowej precesji ( rzutu wektora na kierunek ) i rzutu wektora na kierunek osi symetrii bąka
0'
0'
'1'
'=⇒
=
=x
xx
x
ILglownaośxO
Lω
ω
Wektory i oś symetrii bąka Oz’ leżą w tej samej płaszczyźnie
Os symetrii baka i prędkość kątowa ulega precesji wokół osi wyznaczonej przez
z prędkością kątową precesji
Oz’ –os symetrii bąka,
- stały w czasie w
układzie inercjalnym wektor
momentu pędu
Lr
ωrr
,LLr
prΩ
( )( )
10101'1'
00'
sin2/cos
sin2/cos
I
L
IIIL
LLLpr
prpryy
y=Ω⇒
Ω=−Ω==
=−=
θθπω
θθπ
3
0'
'3'
0' coscos
I
L
IL
LLz
zz
z θω
ω
θ=⇒
=
=
Lr
ωr
z’
O’
prΩr
'zerr
⋅ω
y’
Oś Ox’0θ02/ θπ −
ωr
prΩr
Lr
ωr
Prędkości kątowe nie są
równe wcześniej określonej prędkości
obiegu wektorów wokół osi Oz’ w
układzie w którym oś ta jest nieruchoma
', zpr ωΩ
Ωωrr
,L
Bryła sztywna w jednorodnym polu grawitacyjnym
Siła ciężkości działająca na bryłę o masie M
Moment siły grawitacyjnej działający na bryłę względem początku układu
współrzędnych
-wektor określający położenie środka masy
Wniosek: Można przyjąć iż siłą ciężkości jest przyłożona do środka masy i jest
równa
Gdy początek układu współrzędnych leży w środku masy bryły to
Energia potencjalna bryły w polu siły ciężkości w układzie o osi OZ skierowanej
pionowo do góry
00 =⇒= DRrr
∑∑ ===i
i
i
ic MgmggmFrrrr
( ) ( ) c
i i
iiii
i
ii FRgMRgRMgrmgrmgmrDrrrrrrrrrrrrrrrr
×=×=×=×
=×=×= ∑ ∑∑
M
rm
R i
ii∑=
r
r
gMFc
rr=
∑ ==i
ii MgZgzmU Z- z-owa składowa wektora Rr
Bąk symetryczny pod działaniem momentu siły ciężkości podlegający obrotowi wokół nieruchomego punktu leżącego na styku bąka z podłożem Opis przybliżony gdy
'' zz eLLrr
≈
Założenie oznacza iż
'''''''''''' ; yyyzzzxxxzzz ILILILIL ωωωω =>>==>>=
Równania Eulera
Uwzględniając to iż z równania (*)
wynika iż
( )( )( )
'
'
'
zyxyxzz
yxzxzyy
xzyzyxx
DIII
DIII
DIII
=−−
=−−
=−−
′′′′′′
′′′′′′
′′′′′′
ωωω
ωωω
ωωω
&
&
&
0;; '3'1'' ==== zzyx DIIIII
constLconst zzz =⇒=⇒= ''0' ωω&W przybliżeniu w którym
czyli
A zatem oś symetrii bąka podlega precesji wokół osi Oz ( osi pionowej)
z prędkością kątową
( ) ( )'''
3'
' ' zzzzz
zz
z eeMgReMgeRDdt
edI
dt
edL
dt
Ld rrrrrrrr
×=−×===≈ ω
( )'3
'
'zz
z
z eeI
MgR
dt
ed rrr
×=ω
Mg
R
Oz’
constI
MgR
z
pr ==Ω'3ω
Oz
O=O’
(*)
'' zz eLL ≈r
'' zz eLLrr
≈
φ
ψ
θ
x
y
z
x’
y’
z’
Kąty Eulera
O
W
x’y’
O W
ψ
ner
( )( )
θψθ
ψθπ
θπ
ψθψπ
θπ
θπ
ψψπ
ψ
coscossin
cos2
cos2
cos
sinsin2
cos2
cos
2cos
0sin2
cos
gdzie,cos
'
''
'''
''
'
=⋅=
=
−=⋅
−=⋅′
=
−
−=
=⋅
−=⋅⋅=⋅
=⋅−=
+=⋅
==⋅
zz
nyzy
nxznnxzx
zy
x
ee
eeee
eeeeeeee
wewe
OW
OWwwe
rr
rrrr
rrrrrrrr
rrrr
rrr
ψθφω &r&r&rr
'zz ewe ++=Prędkość kątowa
xyx Układ inercjalny
x’y’x’ –układ nieinercjalny związany
z bryłą ( układ osi głównych )
Os OW –przecięcie
płaszczyzn z=0 i z’=0
Dowolny obrót osi związanych z bryłą
można przedstawić w postaci
złożenia 3 obrotów wokół osi
wyznaczonych przez wersory
o kąty odpowiednioψθφ ∆∆∆ ,,',, zz ewe
rrr
π/2
-wersor leżący w
płaszczyźnie x’Oy’ tworzący
kąt π/2-θ z wersorem
ner
zer
ψ
π/2-ψ
( )
[ ] ''''''
222'
'''''
'''''
'''''
,,'
2
1
0cos
0sinsincos
0cossinsin
zzzyyyxxxzyx
zzyyxx
zzzzzzz
zyyzyyy
zxxzxxx
eIeIeILLLL
IIIT
eeweeee
eeweeee
eeweeee
rrrr
&&&rr&rr&rrrr
&&&rr&rr&rrrr
&&&rr&rr&rrrr
′′′′′′
′′′′′′
′
′
′
++==
++=
++=⋅+⋅+⋅=⋅=
+−=⋅+⋅+⋅=⋅=
++=⋅+⋅+⋅=⋅=
ωωω
ωωω
ψφθψθφωω
θψφθψψθφωω
θψφθψψθφωω
Energia
kinetyczna
Wyrażenie składowych prędkości kątowej w układzie związanym z bryłą od katów Eulera
ψθφω &r&r&rr
'zz ewe ++=
Moment pędu
Znając zależność od czasu można określić równania różniczkowe pozwalające na określenie zależności od czasu kątów Eulera. Wykorzystując powyższe wzory można także uzależnić energię kinetyczną i składowe momentu pędu bryły w układzie ruchomym od współrzędnych określających położenie bryły w układzie nieruchomym
Wzór , który można wykorzystać np. do sformułowania równań Lagrange’ a II rodzaju
Wzór, który można wykorzystać do znalezienia równań opisujących zmiany w czasie
kątów Eulera gdy znana jest zależność od czasu składowych momentu pędu
'''''' zzyyxx eee ωωωωrrrr
++=
''' ,, zyx ωωω
( ) ( )[ ] ( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )[ ]( ) ( )ψφθθθφψφθθ
θψφθψψθθψφθψψθ
ψθφω
θψφθϕωθψφθϕω
ψθφθθφ
ψφθθψφθψθψφθψ
ψφθω
θψφθψω
θψφθψω
&&&&&
&&&&
rrrrrrrr
&&
&&&&
&&&&
&&&&&&
&&
&&
&&
++=++
+−++=
=⋅+⋅+⋅=⋅=
+==
−==+==
+++=
++−++=
+=
−=
+=
′
′
′
′
coscossincoscos
sinsincoscossincossinsinsinsin
cos
cossincoscossinsin
cos2
sin2
'
cos2
sinsincoscossinsin2
cos
sinsincos
cossinsin
3
2
13
11
''''''
3''
1'''1'''
232221
23
221'
III
II
LeeLeeLeeLeL
IIL
IILIIL
IIT
IIT
zzzyyzxxzzz
zzz
yyyxxx
z
y
x
Bąk symetryczny
Wzór , który można wykorzystać np. do
sformułowania równań Lagrange’ a II rodzaju dla
bąka symetrycznego
,, 31 IIIII zyx === ′′′
( )
[ ] '''''
222'
,,
2
1
zzzyyyxxxzyx
zzyyxx
eIeIeILLLL
IIIT
rrrr
′′′′′′
′′′′′′
++′==
++=
ωωω
ωωω
Składowe momentu pędu w układzie ruchomym:
z-owa składowa momentu pędu w układzie nieruchomym
Przejście od równań określających zależność czasową wektora prędkości kątowej w
układzie osi głównych do równań określających zmiany w czasie katów Eulera
( na przykładzie bąka swobodnego symetrycznego o osi symetrii Oz’ i
)
( )( )( ) z
z
I
IIth
th
t ′
′
−≡Ω
+Ω
+Ω
= 0
1
31
0
,cos
sin
ω
ω
δ
δ
ωv
Wektor prędkości kątowej można
wyrazić poprzez kąty Eulera oraz
ich pochodne czasowe ( )
+
−
+
=
ψφθ
θψφθψ
θψφθψ
ω
&&
&&
&&
r
cos
sinsincos
cossinsin
t
Wykorzystując równania Eulera pokazano iż
zależność od czasu wektora prędkości
kątowej dla baka swobodnego
symetrycznego w układzie osi głównych
( os OZ’ –oś symetrii) można przyjąć w
postaci
31, IIIII zyx === ′′′
( )
( )
z
th
th
′=+
+Ω=−
+Ω=+
0cos
cossinsincos
sincossinsin
ωψφθ
δθψφθψ
δθψφθψ
&&
&&
&&Porównując obie
relacje otrzymujemy
( )( )
)3(cos
)2(cossincos
)1(sinsinsin
00
0
0
z
th
th
′=+
+Ω=
+Ω=
ωψφθ
δφθψ
δφθψ
&&
&
&
Wiemy że dla bąka swobodnego całkowity moment pędu L jest zachowany. Obierając
oś OZ w jego kierunku i uwzględniając iż składowa wzdłuż osi Oz’ jest też zachowana
można wywnioskować iż kąt θ między osiami Oz i Oz’ jest stały w czasie θ= const=θ0
Uwzględniając to
mamy
( )
( )
z
th
th
′=+
+Ω=−
+Ω=+
0cos
cossinsincos
sincossinsin
ωψφθ
δθψφθψ
δθψφθψ
&&
&&
&&
( )
zzzz
zz
zzzzz
z
eI
IIe
I
I
I
II
I
I
tI
I
I
I
I
IItntttgtg
′′′
′′
′′′′′
′
−+=⇒
−===
+=⇒=Ω−
=−
=⇒=+
−=Ω=⇒+Ω=++Ω=⇒+Ω=
rrr&&&
&&&&
&
0
1
31
01
030
1
31
01
03
0
01
03
01
03
0
0
0
000
0
1
310
cos,0,
cos
coscoscoscoscos
ωθ
ωωωψθ
θ
ωφ
φθ
ωφ
θ
ω
θ
ω
θ
ψωφωψφθ
ωψψπδψδψ
Widać więc, że ruch względem układu inercjalnego jest złożeniem dwóch ruchów
obrotowych wokół kierunków: momentu pędu (wyznaczonego przez ) i osi symetrii
baka (wyznaczonego przez ) o stałych prędkościach kątowych równych odpowiednio
i
Rozwiązanie układu równań
wyznaczających ruch baka symetrycznego
ψφ &&
zer
'zer
. ω0z’ jest stałym co do wartości rzutem sumy tych prędkości kątowych na oś Oz’
0=θ&
Powiązanie pochodnych po czasie oraz z długością momentu pędu i kątem θ0 między momentem pędu i osią symetrii bąka
prz
I
L
I
L
I
IΩ==== ′
101
0
01
03
cos
cos
cos θ
θ
θ
ωφ&
31
3100
1
31 cosII
IIL
I
IIz
−=
−=Ω= ′ θωψ&
Ponieważ
3
0
3
''
cos
I
L
I
Lzoz
θω ==
to
Dygresja :
Widać iż w przypadku swobodnego bąka symetrycznego określa prędkość
kątową obiegu wektorów i wokół osi symetrii bąka w układzie związanym z
bąkiem.
Z kolei jest równa prędkości kątowej precesji czyli określa prędkość kątową
precesji wektora oraz osi symetrii bąka Oz’ wokół kierunku osi Oz
wyznaczonej przez wektor momentu pędu w układzie nieruchomym.
ωr
ωr
Lr
ψ&
ϕ&
Lr
ψ& ϕ&
Równania Lagrange’a II rodzaju dla bryły sztywnej
W celu zapisu równań dla bryły, na którą działają tylko siły potencjalne (i siły reakcji nie wykonujące pracy) trzeba wyznaczyć funkcję Lagrange’aL=T-U w układzie inercjalnym i uzależnić ja od współrzędnych uogólnionych i ich pochodnych po czasie, po czym zapisać w standardowy sposób równania Lagrange’a . Dla bryły swobodnej na ruch której nie narzucono więzów zewnętrznych liczba
współrzędnych uogólnionych jest równa=6. Współrzędnymi tymi mogą być 3
współrzędne określające położenie środka masy bryły i 3 kąty określające orientacje
osi układu o początku w środku masy bryły względem którego bryła spoczywa a
osiami układu inercjalnego. Kątami tymi mogą być np. kąty Eulera
Dla bryły w przypadku której jeden z punktów spoczywa w układzie inercjalnym liczba
stopni swobody jest równa =3. Trzema współrzędnymi uogólnionymi mogą być kąty
np. Eulera wyznaczające orientacje osi układu związanego z bryłą o początku w
punkcie spoczywającym względem układu inercjalnego
Dla bryły obracającej się względem osi o ustalonym kierunku, która może dodatkowo
podlegać ruchowi postępowemu w kierunku prostopadłym do osi obrotu liczba stopni
swobody f=3 i współrzędnymi uogólnionymi mogą być 2 niezerowe składowe rzutu
wektora wodzącego dowolnego punktu leżącego na osi obrotu na płaszczyznę
prostopadłą do osi obrotu oraz kąt w płaszczyźnie prostopadłej do osi obrotu jaki
rzut na ta płaszczyznę wektora wodzącego dowolnego punktu bryły nie leżącego na
osi obrotu tworzy z dowolną osią w tej płaszczyźnie
Początek układu współrzędnych primowanego z osiami sztywno związanymi z
bąkiem jak i układu nieprimowanego o ustalonych kierunkach osi w przestrzeni
umieszczamy w środku masy bąka. Układ nieprimowany z uwagi na znikanie siły
wypadkowej można przyjąć za początek układu inercjalnego, w którym możemy
analizować ruch bryły. W układzie tym środek masy spoczywa, a trzy współrzędne
uogólnione określające jego położenie są w trakcie ruchu stale równe zeru. Za
pozostałe 3 współrzędne uogólnione przyjmujemy kąty Eulera określające orientacje
układu związanego sztywno z bryłą względem układu nieruchomego. Energia
kinetyczna bąka jest równa energii kinetycznej w ruchu obrotowym. Ponadto
potencjał V=0 a zatem funkcja Lagrange’a
Współrzędne φ,ψ nie występujące w funkcji Lagrange’a są współrzędnymi cyklicznymi. Pędy uogólnione z nimi związane są więc stałymi ruchu i
można je określić ze wzorów
( ) ( )232221 cos
2sin
2' ψθφθθφ &&&& +++===
IITTL
( )
( ) z
z
LIL
p
LIIL
p
′=+=∂
∂=
=++=∂
∂=
θφψψ
θθφψθφφ
ψ
φ
cos
coscossin
3
3
2
1
&&&
&&&&
Równania Lagrange’a II rodzaju dla bryły sztywnej na przykładzie swobodnego bąka symetrycznego
( w ostatnich przekształceniach wykorzystano wcześniej otrzymane relacje określające Lz i Lz’)
Lz’=const bo moment siły równy zeru
oraz Ix’=Iy’
Lz=const bo moment siły równy zeru
Równanie Lagrange’a dla współrzędnej θ
( ) θφθφψθθφθθθ
sincoscossin 3
2
11&&&&&&
&+−=⇒
∂
∂=
∂
∂III
LL
dt
d
ψφ pp ,
Dygresja: Przy opisie ruchu bąka w układzie inercjalnym którego początek nie
znajduje się w środku masy bąka ( początek układu związanego z bąkiem
znajduje się nadal w środku masy) funkcja Lagrange’a jest równa
( ) ( ) ( )2222322212
2cos
2sin
22' smsmsmsm zyx
MIIR
MTTL &&&&&&&&r
++++++=+== ψθφθθφ
-wektor określający położenie środka masy, M-masa bąka ( )smsmsm zyxR ,,=r
Dodatkowe pędy uogólnione będące stałymi ruchu ( z uwagi iż L nie zależy od
) to smsmsm zyx ,,
sm
sm
xsm xMx
Lp &
&=
∂
∂=
sm
sm
ysm yMy
Lp &
&=
∂
∂=
sm
sm
zsm zMz
Lp &
&=
∂
∂=
Z ich stałości wynika iż , a zatem środek masy bryły
porusza się ruchem jednostajnym i może być wybrany jako początek układu
inercjalnego
( ) constzyxR smsmsm == &&&&r
,,
Z relacji (*) i (**) wynika iż θθφ cossin '
2
1 zz LIL += &
( )( ) constILp
constIILp
z
z
=+==
=++==
θφψ
θθφψθφ
ψ
φ
cos
coscossin
3'
3
2
1
&&
&&&
Uwzględniając tą relacje możemy uprościć równanie (***)
do postaci równania różniczkowego zależnego do jednej zmiennej
( ) ( )θ
θ
θ
θθθ
sin
cos'
sin
coscos
1
'
3
1
2
'1
I
LLL
I
LLI zzzzz −
−−
=&&
A zatemθ
θφ
2
1
'
sin
cos
I
LL zz −=&
( ) θφθφψθθφθ sincoscossin 3
2
11&&&&&& +−= III
(**)
(****)
Przy dowolnej orientacji osi Oz znalezienie rozwiązania układu równań (*),(**) (****)
jest trudne. Ponieważ jednak bak jest swobodny to całkowity moment pędu L jest
stały (nie ma momentów sił zewnętrznych). Bez zmniejszenia ogólności rozważań
można wówczas przyjąć, że oś Oz skierowana jest wzdłuż wektora całkowitego
momentu pędu L a zatem zachodzi Wynika stąd dalej iżLLz = ( )θθ coscos' zz LLL ==
( ) ( ) [ ] 0sincoscossinsinsin
cos1cos
sin
coscos1 22
1
2
1
22
3
1
222
1 =−=−
−−
= θθθθθθ
θθ
θ
θθθ
I
L
I
L
I
LI zzz&&
Z niezależności L,, Lz’ od czasu wynika iż
Oczywiście mamy
( ) 00cos θθθθ ====⇒= tconstconst
(*)
(***)
Równanie przyjmuje postać
skąd uwzględniając ponadto iż
wynika że
θθφ cossin '
2
1 zz LIL += &
0'0
2
1
0
' cossincos
θθφθ
zz LI
L+= &
01
03
0
0
2
03
0
0
2
030
0
'0
2
1coscos
sin
cos
cos1cos
cos
1sin
θ
ωφ
θ
θω
θ
θωθ
θθφ
I
IIILI z
zzz
′′′ =⇒=
−=
−=⇒ &&
'03'3'' )0()0( zzzz ItItLconstL ωω ======
Ponieważ to oś główna bąka Oz’ podlega precesji wokół
ustalonego kierunku całkowitego momentu pędu Oz ze stałą prędkością kątową równą
constI
I z == ′
01
03
cosθ
ωφ&
01
03
cosθ
ωφ
I
I zpr
′==Ω &
Z równania
przy uwzględnieniu relacji , wynika iż prędkość kątowa
ruchu wirowego bąka wokół osi głównej Oz’ jest także stała i dana wzorem
Otrzymane wyniki są zgodne z wynikami otrzymanymi poprzednią metodą
⇒=== )0(' tLconstp zψ
const== 0θθ
Ω=−
=
−=−= ′′ zzz
I
II
I
I0
1
31
01
03'000
cos
cos1cos ω
θ
θωθφωψ &&
( ) '033 cos zIconstI ωθφψ ==+ &&
constI
I z == ′
01
03
cosθ
ωφ&
( )
( )
( )
θθφθθφθ
θθφθφψθθφθθθ
θφψψ
θθφψθφφ
ψ
φ
sinsincossin
sinsincoscossin
constcos
constcoscossin
'
2
11
3
2
11
3
3
2
1
MgRLII
MgRIIILL
dt
d
LIL
p
LIIL
p
z
z
z
+−=⇒
++−=⇒∂
∂=
∂
∂
==+=∂
∂=
==++=∂
∂=
′
&&&&
&&&&&&&
&&&
&&&&
Równania Lagrange’a II rodzaju dla bryły sztywnej na przykładzie bąka symetrycznego w polu siły ciężkości Bąk znajduje się w jednorodnym polu grawitacyjnym, środek masy znajduje się w
odległości R od punktu podparcia, który spoczywa i można z nim związać początek
układu inercjalnego. Można przyjąć iż bryła podlega obrotowi wokół punktu podparcia i
posiada tylko energie kinetyczną ruchu obrotowego. Za współrzędne uogólnione
przyjmujemy kąty Eulera wyznaczające orientacje układu O’ związanego z bryłą
względem układu nieruchomego O z pionową osią Oz (początki obu układów w
miejscu styku bryły z podłożem). Energia potencjalna V=Mgz=MgRcosθLagrangian ( ) ( ) θθφψθθφ coscos
2sin
2
232221'
MgRII
VTVTL −+++=−=−= &&&&
Współrzędne φ, ψ są cykliczne, więc związane z nimi pędy uogólnione są stałe
Równanie Lagrange’a dla współrzędnej θMg
RZ powyższych relacji wynika ponadto iż
Oz’
bo z-składowa momentu
siły równa zeru
bo z’-owa skałdowa
momentu siły równa
zeru oraz Ix’=Iy’
O
θθφ cossin '
2
1 zz LIL += &
Oz
Uwzględniając tą relacje możemy uprościć równanie :
do postaci równania różniczkowego zależnego do jednej zmiennej
Wcześniej pokazano iż
( ) constLLIII zz ==+=++ θθφθθφψθφ cossincoscossin '
2
13
2
1&&&&
( ) constLI z ==+ ′θφψ cos3&&
θ
θφ
2
1
'
sin
cos
I
LL zz −=&
θθφθθφθ sinsincossin '
2
11 MgRLII z +−= &&&&
Bąk symetryczny pod działaniem siły ciężkości.
( ) ( )θ
θ
θ
θ
θθθ sin
sin
cos'
sin
coscos
1
'
3
1
2
'1 MgR
I
LLL
I
LLI zzzzz +
−−
−=&&
W ogólnym przypadku ścisłe rozwiązania tego równania można określić przy pomocy
metod numerycznych . Prościej jest jednak dokonać analizy jakościowej ruchu oraz
przybliżonej analizy ilościowej ruchu dla określonych warunków początkowych ruchu
wykorzystując fakt stałości całkowitej energii bryły.
A zatem
Energia ta jest równa funkcji Hamiltona, której stałość w czasie wynika z faktu iż
Funkcja Hamiltona jest przy tym równa co do wartości funkcji G która z kolei jest
równa sumie energii kinetycznej i potencjalnej G=T’+V
0=∂
∂−=
∂
∂=
t
L
t
H
dt
dH
( )
( )
θθ
θφψψ
θθφψθφφ
θ
ψ
φ
&&
&&&
&&&&
1
3
3
2
1
cos
coscossin
IL
p
IL
p
IIL
p
=∂
∂=
+=∂
∂=
++=∂
∂=
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) θθφψθθφ
θθφψθθφ
θψθφψφθθφψθφθψφ θψφ
coscos2
sin2
coscos2
sin2
coscoscossin
232221
232221
2
133
22
1
MgRII
MgRII
IIIILpppG
++++=
=++−+−
++++++=−++=
&&&&
&&&&
&&&&&&&&&&&
( ) ( ) θθφψθθφ coscos2
sin2
232221 MgR
IIL −+++= &&&&
Bąk pod działaniem momentu siły ciężkości. Nutacja-opis jakościowy.
Dla bąka w polu grawitacyjnym całkowity moment pędu L nie jest stały.
Całkowita energia mechaniczna jest natomiast stała . Można wzór na niąuprościć uwzględniając istnienie znalezionych stałych ruchu
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )θ
θθ
θθθθ
θθφψθθφ
ef
zzzefef
VE
MgRI
L
I
LLVV
IE
MgRII
VTE
≥
++−
=+=
=++++=+=
′′ cos2sin2
cosgdzie,
2
constcoscos2
sin2
3
2
2
1
2
21
232221
&
&&&&
0 π θ
E
Vef(θ)
Θ 2Θ 1
Kąt θ zmienia się w zakresie wartości
od θ1 do θ2
W czasie ruchu
Oś obrotu bąka Oz’ w ogólności wiruje wokół osi pionowej Oz oraz kołysze się w
górę i w dół (nutacja). Kąt θ nie jest w tym przypadku stały.
( )θφψθ
θφ cos
sin
cos32
1
' &&& +=−
= ′ ILI
LLz
zz
=⇒<
⇒>
−=
′
′
′
'
00
2
1
cosiztakiprzezprzechodzibakgdyznakzmieniacmoze
znakuzmienianie
sin
cos
z
zzz
zz
zz
L
LθLL
LL
I
LL
θφ
φ
θ
θφ
&
&
&
Bąk swobodny pod działaniem momentu siły ciężkości. Nutacja.
choć zmienia wartość w trakcie ruchu
( )θ
θ
θθ cos
2sin2
cos
2 3
2
2
1
2
21 MgRI
L
I
LLIE zzz ++
−+= ′′&
Ze stałości E , i przy uwzględnieniu warunku wynika iż
gdzie
a zatem zachodzi równość
z której wynika
( )0
3
2
0
2
1
2
00 cos
2sin2
cosθ
θ
θMgR
I
L
I
LLEconstE zzz ++
−=== ′′
( ) ( )0
3
2
0
2
1
2
0
3
2
2
1
2
21 cos2sin2
coscos
2sin2
cos
2θ
θ
θθ
θ
θθ MgR
I
L
I
LLMgR
I
L
I
LLI zzzzzz ++−
=++−
+ ′′′′&
( )0)0( 00 ==== ttEE θθ
( ) ( ) ( )θ
θ
θ
θθθθ
22
1
2
0
22
1
2
0
1
02
sin
cos
sin
coscoscos2
I
LL
I
LL
I
MgR zzzz ′′ −−
−+
−=&
zL'zL
Bąk swobodny pod działaniem momentu siły ciężkości Opis przybliżony ruchu w przypadku występowania niewielkich nutacji przy warunkach początkowych ( ) 00)0( ==== tt θφ &&
0)0( ==tθ&
Wyznaczenie )(tθ
Ponieważ to zachodzi przy tym
A zatem
( ) )0(coscossin 3
2
1 ===++= tLconstIIL zz θθφψθφ &&&
( ) )0(cos3 ===+= ′′ tLconstIL zz θφψ &&
Wiadomo ponadto iż
0)0( ==tφ&
003 cos)0( θψ&ItLz ==( )00 == tψψ &&
gdzie
03)0( ψ&ItLz ==′
( ) ( ) ( )
( ) ( )θ
θθψθθ
θ
θψθψ
θ
θψθψθθ
22
1
2
0
2
0
2
3
1
0
22
1
2
03003
0
22
1
2
003003
1
0
sin
coscoscoscos2
sin
coscos
sin
coscoscoscos2
I
I
I
MgR
I
II
I
II
I
MgR
−−
−=
=−
−−
+−
=
&
&&&&
( ) ( ) ( )=
−−
−+
−= ′′
θ
θ
θ
θθθθ
22
1
2
0
22
1
2
0
1
02
sin
cos
sin
coscoscos2
I
LL
I
LL
I
MgR zzzz&
Zakładając iż jest wielkością małą można przyjąć iż0θθ −
( ) ( )0000000 sinsincoscoscoscos θθθθθθθθθθ −=−+−≈− ( ) ( )2
02
1
2
0
2
30
1
02 sin2θθ
ψθθ
θθ −−−≈
I
I
I
MgR &&
( ) 0
22 sinsin θθ =
( ) ( )2
02
1
2
0
2
30
1
02 sin2θθ
ψθθ
θθ −−−≈
I
I
I
MgR &&
Wprowadzając oznaczenie
Otrzymujemy następujące równanie
Ponieważ to zatem
1
03
2
0
2
3
01max0
sin
I
I
I
MgRInut
ψω
ψ
θθθθθ
&
&==∆−=∆
( ) ( )θθθωθθωθωθθ ∆−∆∆=⇒∆−∆∆= max
22222
max
2 22 nutnutnut&&
( )( ) ∫∫ ±=∆
∆−∆∆
∆ t
nut dtd00 max2
1ωθ
θθθ
θ
( ) 00 ==∆ tθ
0θθθ −=∆( )
θθ &=
∆
dt
d
( ) ( ) ( ) ( )θθθωθ
θθθωθ
∆−∆∆±=∆
⇒∆−∆∆=
∆maxmax
2
2
22 nutnutdt
d
dt
d
Ponieważ to mamy
∆=∆⇒±=
∆
∆tt nut
nut2
sin22
arcsin2 2
max
max
ωθθω
θ
θ
Oś precesji baka ulega nutacji z częstością kołową
i amplitudą
Ponadto
Wyznaczenie . Ponieważ
to zachodzi
( )tt nutnut ωθθθ
ωθθθ cos
2sin2 maxmax0
2
max0 ∆−∆+=
∆+=
2
0
2
3
01max
sin
ψ
θθ
&I
MgRI=∆
( ) ( ) ( )tI
MgRtt nutnutnut ω
ψ
θωωθθ sin
sinsin)(
03
0max
&
& =∆=
1
03
I
Inut
ψω
&=
( ) ( )
=
∆
=−
≈−
= tI
MgR
I
tI
I
I
I
I nut
nuto
oo
2sin
2
sin
2sin2
sin
sin
sin
coscos 2
0301
2
max3
0
2
1
003
2
1
03 ω
ψθ
ωθψ
θ
θθθψ
θ
θθψφ
&
&&&
&
00303
2
1 coscossin θψθψθφ &&& III =+
)0(cos)0(sin)( '
2
1 ===+= tLtLItL zzz θθφ&
( )tϕ
( )
−=
2sin21cos 2 α
α
Założenie iż małe
oznacza iż
0θθ −
12
0
2
3
1 <<ψ&I
MgRI
( )
+−=
=
−=
−=
=−≈−=⇒=+
tI
MgR
I
MgR
tI
MgRt
I
MgR
nut
nutnut
ωψ
θ
ψ
θψ
ω
ψ
θψ
ω
ψ
θψ
θφψθφψψψθφψ
coscoscos
1
2sin
cos21
2sin
cos2
coscoscos
2
03
0
2
03
00
2
2
03
00
2
03
00
0000
&&&
&&
&&
&&&&&&&&
( ) 033 )0(cos ψθφψ &&& ItLconstIL zz ====+= ′′
Wyznaczenie Ponieważ
to zachodzi
( )[ ]
( ) ( ) ( )tI
MgRIt
I
MgRt
I
MgRt
I
MgRt
tI
MgRt
I
MgR
nutnut
nut
nutnut
ωψψ
φωωψψ
φφ
ωψ
ω
ψφ
sinsin
cos12
sin2
2
0
2
3
1
03
0
0303
0
03
2
03
&&&&
&&
&
−+=−+=⇒
⇒−=
=
1
03
I
Inut
ψω
&=
Nutacja prowadzi do zwykle niewielkich oscylacji częstości precesji wokół
średniej częstości równej z częstością nutacji znacznie większą od
średniej częstości precesji
03ψφ
&
&
I
MgR=
( )tψ
( )
−=
2sin21cos 2 α
α
( )
( )
( )
( )tI
MgRIt
I
MgR
tI
MgRt
I
MgR
tI
MgR
I
MgR
tI
MgR
I
MgR
nut
nut
nut
nut
nut
ωψ
θ
ψ
θψψ
ωωψ
θ
ψ
θψψψ
ωψ
θ
ψ
θψ
ωψ
θ
ψ
θψψ
sincoscos
1
sincoscos
1
coscoscos
1
coscoscos
1
2
0
2
3
01
2
03
000
03
0
2
03
000
03
0
2
03
00
2
03
0
2
03
00
&&&
&&&
&&&
&&&&
+
−+
=+
−+=
⇒+
−=
=
+−=
Zasada D’Alemberta dla bryły sztywnej
oii rrrrrr
+= ' '
0 ii rrrrrrr
×+= ϕδδδ
Wektor wodzący i przesunięcie wirtualne i-tego
punktu bryły w układzie inercjalnym O
gdzie ϕωrr
d||
Z zasady d’Alemberta dla układu punktów
materialnych wynika iż
( ) ( )
( ) ( )( ) 0'
0 =×−−⋅−−=
=⋅−−=⋅−
∑∑
∑∑
i
i
iii
i
iii
i
i
iiii
i
iii
rFrmrFrm
rFrmrrmF
rrr&&rrr
&&r
rr&&rr&&r
r
ϕδδ
δδ
-siła wypadkowa działająca na i-ty punkt bryły iFr
( ) 00 )( rFRMrFrmi
iii
rr&&rrr&&r δδ ⋅−=⋅−∑
Ponadto korzystając z definicji środka masy
gdzie mamy ∑=i
iirmM
Rrr 1
( ) ( ) ( )
[ ] '
0
'''
''''
Drmrrmr
FrrmrFrmrrFrm
i
iiiii
i
i
iii
i
iiii
i
ii
i
iii
rr&&rr&&rrr
rrr&&rrrr&&rrrrrr
&&r
⋅−×+×⋅=
=
×⋅−
×⋅=
−×⋅=×⋅−
∑
∑∑∑∑
ϕδϕδ
ϕδϕδϕδϕδ
Z kolei
i
i
i FrDrrr
×=∑ '' -wypadkowy moment siły liczony względem punktu O’ O’
m
i
r0
ri
Układ O’ – układ w którym bryła
spoczywa podlegający w układzie O
obrotowi z prędkością kątową równą
prędkości w ruchu obrotowym
ri‚’
O
O’
gdzie ∑=i
iFFrr
∑=i
imM
Wykonując dalsze przekształcenia mamy
( ) ( ) [ ]
[ ]
[ ] =⋅−×+×−×⋅=
=⋅−×−×⋅=
=⋅−×+×⋅=×⋅−
∑
∑
∑∑
'
0
''
''''
'
0
''''
Drmrrmrrmr
Drmrrmr
DrmrrmrrFrm
i
ioiioiii
i
iioiii
i
iiiiii
i
iii
rrr&&rr&&r&&rrr
rrr&&r&&rrr
rr&&rr&&rrrrrr&&r
ϕδϕδ
ϕδϕδ
ϕδϕδϕδ
'
000
'Drmrrmr
dt
Ld
i
i
i
ii
rrr&&rrr&&rrr
r⋅−
×⋅+
×⋅−⋅= ∑∑ ϕδϕδϕδϕδ
gdzie wypadkowy moment pędu liczony w układzie O’ ,
którego pochodna w układzie O jest równa
''' ii
i
i rmrL &rrr×=∑
'''''''ii
i
iii
i
iii
i
i rmrrmrrmrdt
Ld &&rr&&rr&r&rr
×=×+×= ∑∑∑
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ''
''
00
000
'
DrRrMdt
Ld
DrMrRMrdt
LdrFrm i
i
iii
rrrr&&rr
rr
rrv&&rrr&&rr
rrrrr
&&r
⋅−−×⋅−⋅=
=⋅−×⋅+×⋅−⋅=×⋅−∑
ϕδϕδϕδ
ϕδϕδϕδϕδϕδ
( ) ( ) ( ) '
00
'DrRrM
dt
LdrFrm i
i
iii
rrrr&&rr
rrrrr
&&r ⋅−−×⋅−⋅=×⋅−∑ ϕδϕδϕδϕδ
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) 0'
00
'
0
'
0
=⋅+−×⋅+⋅−−−=
=×⋅−−⋅−−=⋅− ∑∑∑
DrRrMdt
LdrFRM
rFrmrFrmrrmF i
i
iii
i
iii
i
iii
rrrr&&rr
rrrr
&&
rrr&&rrr
&&rr&&rr
ϕδϕδϕδδ
ϕδδδ
Ostatecznie otrzymaliśmy warunek
1) Gdy założymy iż punkt O’ porusza się w układzie O ruchem jednostajnym lub
pozostaje w spoczynku to
2) Gdy założymy iż punkt O’ leży w środku masy bryły to
0=or&&r
orRrr
=
W obu przypadkach znika wyraz i równanie upraszcza się do postaci
( ) 0'
'
0 =⋅
−+− ϕδδ
rr
rr&&r
dt
LdDrRMF
( )00 rRrMrr
&&rr−×⋅ϕδ
Warunki więzów nałożone na bryłę mogą wprowadzić dodatkowe ograniczenia na przesunięcia
wirtualne
Gdy na ruch bryły nie nałożono żadnych więzów to są dowolne i z zasady
d’Alemberta wynikają dobrze znane równania słuszne również dla układu dyskretnych punktów
materialnych
ϕδδrr
,or
ϕδδrr
,or
RMF&&rr
=1) opisujące ruch środka masy bryły
dt
LdD
''
rr
=2) opisujące ruch obrotowy bryły
Ruch obrotowy wokół stałej osi obrotu równoległej do osi OZ
0'
' =⋅
− ze
dt
LdD
rr
rδϕ
Ruch taki jest wymuszony przez więzy zgodnie z którymi
0=orr
δ zerr
δϕϕδ =
Z zasady D A’lemberta wynika iż
co przy dowolności prowadzi do warunku δϕ
dt
dLDe
dt
LdD z
zz
''0
'' =⇒=⋅
−
rr
r
( )dt
IdD zz
z
ω='
Ponieważ to i otrzymujemy zerr
δϕϕδ = zzerr
ωω =
Jeśli oś obrotu nie ulega zmianie w czasie to moment bezwładności bryły sztywnej względem niej nie może ulegać zmianie a zatem
( )zz
zz
zzz I
dt
dI
dt
IdD ε
ωω===' przyspieszenie kątowe
zzzzzzzzyzyxzxz IIIIIL ωωωωω ==++='
