bservación ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO Si a un ángulo

C O

L E

G I

O C

É S

A R

V A

L L

E J

O

Prof. ALFREDO QUISPE JAUREGUIFORMULARIO CIENCIASTRIGONOMETRÍA

01

Es una figura generada por la rotación de un rayo (la

rotación se realiza en un mismo plano), alrededor de

un punto fijo llamado vértice, desde una posición

inicial hasta una posición final.

Características del

ángulo trigonométrico

Sentido

Magnitud

Horario Antihorario

Genera ángulos (-)

Genera ángulos (+)

-θ +θ

1 vuelta

2 vueltas

- ꝏ <m trigonométrico <+ꝏ

Son

Pueden ser

Pueden ser

ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO

Posición inicial

P

o

s

i

c

i

ó

n

f

i

n

a

l

P

o

s

i

c

i

ó

n

f

i

n

a

l

(+)

(-)

Rayo

giro

giro

Si a un ángulo trigonométrico cambiamos el sentido de rotación,

entonces el valor de su medida cambia de signo.

Veamos: Sea un ángulo que mide: 40º - X. Si cambiamos el sentido

entonces mide: X - 40º

Para sumar ángulos trigonométricos formados alrededor de un

mismo vértice, estos ángulos deben tener el mismo sentido de

rotación.

θ

ᵦ

θ

-ᵦ

θ+(-ᵦ) = 180°

θ- ᵦ = 180°

40°-x x - 40°

bservación

bservación

C O

L E

G I

O C

É S

A R

V A

L L

E J

O


02

En este sistema consideramos al ángulo de una vuelta dividido en 360

partes ¡guales y a cada parte se le denomina un “grado sexagesimal”, a

cada grado se le divide en 60 partes iguales y a cada parte de le denom ina

“minuto sexagesimal”, a su vez a cada minuto se le divide en 60 partes

iguales y a cada parte se le denomina “segundo sexagesimal”.

Sistema sexagesimal (sistema inglés)

Notación Equivalencias

1 grado sexagesimal: 1° 1° = 60´ = 3600´´

1 minuto sexagesimal: 1´ 1´ = 60´´

1segundo sexagesimal:1´´ 1° =

m‚ 1vuelta

360

Unidad que quiero

Unidad que no quiero

→ m ‚1vuelta = 360°

Factor de conversión=

a°b´c´´ =a°+b´+c´´ = (a +

b

60

+

c

3600

)°

bservación

En este sistema consideramos al ángulo de una vuelta dividido en 400

partes iguales y a cada parte se le denomina un “grado centesimal", a

cada grado se le divide en 100 partes ¡guales y a cada parte se le denom

ina “minuto centesimal”, a su vez a cada minuto se le divide en 100 partes

iguales y a cada parte se le denomina “segundo centesimal”.

Sistema centesimal (sistema francés)

Notación Equivalencias

1 grado centesimal: 1

g

1

g

= 100

m

= 10 000

s

1 minuto centesimal: 1

m

1

m

= 100

s

1segundo centesimal:1

s

1

g

=

m‚ 1vuelta

400

→ m ‚1vuelta = 400

g

1rad > 1° > 1

g

; 27´<> 50

m

; 81´´<> 250

s

No olvidemos nuestro método para la conversión de

un sistema a otro.

Unidad que quiero

Unidad que no quiero

bservación

C O

L E

G I

O C

É S

A R

V A

L L

E J

O


03

En este sistema la unidad angular es el radián. Un radián se define como

la medida del ángulo central que subtiende en cualquier circunferencia un

arco de longitud igual al radio.

(En la figura adjunta el ángulo θ mide un radián).

En este sistema el ángulo de una vuelta mide 2p radianes.

m

‚

1 vue lta = 2p rad

Sistema radial (sistema circular)

θ L

r

r

O θ= 1 rad

Si: L= r

Valores aproximados de p:

p = 3,1416; p =

22

7

; p = 3 + 2

1rad < > 57° 17´44´´

Como: 180° = 200

g

= p rad

180°

p rad

= 1

9°

10

g

= 1

200

g

p rad

= 1

Factores

de

conversión

S:N° de grados sexagesimales de "u"

C:N° de grados centesimales de "u"

R:N° de radianes contenidos en "u"

RELACIÓN DE CONVERSIÓN DE LOS

TRES SISTEMAS

u

S°

C

g

Rrad

O

Sabemos que: 360° = 400

g

= 2 p rad

Entonces se cumple:

S°

360°

=

C

g

400

g

=

Rrad

2prad

Entonces se cumple: Fórmula o relación

de conversión

S

180

=

C

200

=

R

p

S

9

=

C

10

=

20R

p = k

También: S=9k ; C=10k ; R=

pk

20

u(+): C>S>R u(-): R>S>C

Sistema Sexagesimal Centesimal Radial

m

‚ S° C

g

Rrad

#

de grados

S C R

#

de minutos

60S 100C

#

de segundos

3600S 10000C

Suplemento(a)

(S°; C

g

y Rrad)

(180-S)°

(200-C)

g

(p-R)rad

Complemento(a)

(S°; C

g

y Rrad)

(90-S)°

(100-C)

g

(p/2-R)rad

bservación

C O

L E

G I

O C

É S

A R

V A

L L

E J

O


04

ÁNGULOS COTERMINALES

Se denomina de esta manera a todos aquellos ángulos que tienen los

mismos elementos (vértice, lado inicial y lado final). En las figuras adjuntas

a y f son ángulos coterminales, lo mismo que a y u

af

u

a

Una característica fundamental de los ángulos coterminales es

que se diferencian en un número entero de vueltas.

Si a y u son dos ángulos coterminales, se cumple:

a - u = (360°)k= (2prad)k; k∈Z

EJEMPLOS:

a) 80° y 440° son coterminales: 80°-440°=-360°

-360° entre 360° es igual a -1

b) -150° y 570° son coterminales: -150°-570°= -720°

-720° entre 360° es igual a -2

c) -750° y -510° no son coterminales: -750°-(-510°)=1260°

1260° entre 360° es igual a 3,5

Etc, el mismo procedimiento si los ángulos están en radianes.

En forma práctica para determinar si dos ángulos son complementarios:

1. Restamos dichos ángulos

2. Dividimos la diferencia entre 360° o 2prad

3. Si el resultado es un número entero entonces los ángulos son

coterminales.

APLICACIÓN

Dos ángulos a y u son coterminales y además complementarios.

Hallar la medida del ángulo a si 200° < a < 300°.

RESOLUCIÓN

a - u =360°K ...................(1)

a + u =90°.......................(2)

Sumando (1) y (2)

a =180k+45°

k=0 entonces a =45°



Por dato 200°< a <300°

Entonces de los valores obtenidos el único que satisface la

desigualdad es a =225°

C O

L E

G I

O C

É S

A R

V A

L L

E J

O


05

LONGITUD DE ARCO(L)

A la porción sombreada de la figura, se denomina sector

circular. Si u es el ángulo central expresado en radianes, de

una circunferencia de radio r y L longitud de arco.

Se tiene:

LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA

La longitud de la circunferencia se calcula multiplicando 2π por

el radio “R” de la circunferencia.

D: Diámetro

C O

L E

G I

O C

É S

A R

V A

L L

E J

O


06

NÚMERO DE VUELTAS EN UNA

SUPERFICIE PLANA

Cuando la rueda gira o va rodando sobre una superficie plana;

el número de vueltas que da una rueda se calcula mediante la

siguiente fórmula:

Donde:

d: longitud recorrida por el centro de la rueda.

r: radio de la rueda.

: n

V

número de vueltas que da la rueda al desplazarse.

NÚMERO DE VUELTAS CUANDO UN DISCO RUEDA

SOBRE UNA SUPERFICIE CURVA EN LA PARTE

EXTERNA

C O

L E

G I

O C

É S

A R

V A

L L

E J

O


07

NÚMERO DE VUELTAS CUANDO UN DISCO RUEDA

SOBRE UNA SUPERFICIE CURVA EN LA PARTE INTERNA

A la porción sombreada de la figura, se denomina sector circular.

Si u es el ángulo central expresado en radianes, de una circunferencia de

radio r y “S” denota el área de un sector circular y “L” longitud de arco.

Se tiene:

R

R

u LO

A

B

R

R

LO

A

B

u

S = L.R2 S = 2

u.R2

S = 2 L

2

u

0 < u < 2p

Para poder utilizar una de las fórmulas sobre el cálculo

del área de un sector circular se deberá tener en cuenta

que:

1 < u ≤ 2p ; 1 < Lr

≤ 2p ; 1 < Lr

≤ 6,28

ÁREA DE UN SECTOR CIRCULAR

C O

L E

G I

O C

É S

A R

V A

L L

E J

O


08

R

R

B b S S = (B + b 2 ).R

ÁREA DEL TRAPECIO CIRCULAR

1S

3S

5S

7S

u = B - bR

u

Calcule el perímetro del triángulo.

6(x+1)

6x+7

x

Teorema de Pitágoras

c2=a2+b2→c= a2+b2

a2=b2-c2→a= b2-c2A

B

C

c a

b

En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud de la

hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de

los catetos.

Hipote

nusa

Cateto adyacente

θ

Cateto opuesto

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