Buenos Ejercicios de Capitalizacion Compuesta

MATEMTICA FINANCIERA

NOTA DE CTEDRA:

OPERACIONES FINANCIERAS A INTERS COMPUESTO OPERACIONES DE CAPITALIZACIN

Preparada por: Cra. Susana Hernndez - Ushuaia 2001 -

UNPSJB Fac. de Ciencias Ecomicas

Cra. Susana Hernandez

INTERS COMPUESTO Se dice que un capital ha sido colocado a inters compuesto, cuando se conviene que el inters simple producido por el, al final de cada intervalo de tiempo previamente determinado, llamado perodo de capitalizacin, se suma a dicho capital para producir nuevos intereses. 0 1 2 3

C0------>C0 + I(0,1)= C1 C1------>C1+I(1,2)= C2 C2------>C2+I(2,3)= C3 Deduccin de la frmula del MONTO Dado un capital (Co), colocado a inters compuesto a la tasa peridica i, durante n perodos; hallaremos el monto final considerando para cada perodo, el capital inicial (Co) y los intereses simples ganados. PERIODO CAP INICIAL 1 2 3 C0 Co(1+i) Co (1+i)2 INT.DEL PER. MONTO AL CABO DEL PERIO. C0 i Co(1+i)i iCo(1+i)2 Co+Coi= Co(1+i) Co(1+i)+Co(1+i)i = Co (1+i)(1+i) = Co (1+i)2 Co (1+i)2 + i Co(1+i)2 = Co(1+i)2 (1 + i) = Co (1+i)3

n

Co(1+i)n-1

Co(1+i)n-1i Co(1+i)n-1 + Co(1+i)n-1i = Co(1+i)n-1(1+i) =Co(1+i)n

podemos escribir:

Cn = Co (1+i)nEsta frmula para poder aplicarla, exige la misma condicin que vimos al referirnos al int. simple, respecto a que la unidad de tiempo en que se expresa el plazo, y la

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unidad de tiempo a que est referida la tasa, debe ser la misma; es decir sincrnicas; y adems, que esa unidad sea el perodo de capitalizacin. Ejercicios: 1. Calcular el monto que se obtendr depositando $ 3.000 durante 90 das, al 5 % de inters cada 30 das, con capitalizacin cada 30 das. R.: .......... .-

2. En diciembre de 19x3 se efectu una inversin de $ 5.000 al 5 % anual capitalizable anualmente. Cunto podr retirarse en diciembre de 19x7?. R.: .............. .-

Frmulas derivadas En la frmula del monto se vinculan: Co, n, i y Cn; dados tres de esos valores, podemos calcular el cuarto. Le propongo estos problemas: 1. Cul fue el depsito original que a la tasa del 12 % mensual, produjo un monto de $ 1.973,82 al cabo de 6 meses?.

Escriba en este recuadro resolver el problema:

la

frmula

que

le

permiti

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Esta frmula le conociendo i, n y C.

permite

hallar

el

CAPITAL

INICIAL,

2. Se desea conocer que tasa de inters, ha redituado un capital de $ 1.000 que colocado durante 6 meses permiti obtener $1.973,82 de monto.

Deduzcamos a partir de Cn = Co(1+i)n la frmula resolver el problema y escrbala en el recuadro:

para

Tambin podramos despejar i, aplicando logaritmos de la siguiente forma: Cn = Co(1+i)n log Cn = log Co + n log (1+i) log Cn - log Co ---------------- = log (1+i) n Llamaremos A al primer termino de la igualdad; y haremos: antilog A = 1 + i luego:

( antilog A ) - 1 = i

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3. Durante cunto tiempo habr estado colocado un capital de $ 700 si produjo un monto de $ 911,58 a la tasa del 4,5 % mensual ?.

Deduzca a partir de Cn = Co(1+i)n la frmula que aplic para resolver el problema y escrbala en el recuadro:

...COMBINEMOS FORMULAS ...Ud. podr resolver problemas deduciendo otras frmulas con facilidad, slo es necesario tener claro los conceptos del tema. Veamos otros problemas para demostrar la afirmacin expuesta. 4. Cul fue el inters ganado en una colocacin al 5 % mensual, durante un ao; si el monto obtenido es de $ 2.693,78 ?. Recordemos que: I = Cn Co Cn = Co(1+i)n Cn Co = -----(1+i)n y

SE ANIMA A COMBINAR RESOLVER EL PROBLEMA ?:

ESTAS

FORMULAS

PARA

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Frmula que permite hallar el INTERS en funcin del MONTO. Ahora resuelva el planteo:

Tambin podemos hallar el INTERS en funcin del CAPITAL; y con el mismo razonamiento que hicimos en el punto anterior, llegamos a: I = Co{(1+i)n - 1]

Le recuerdo que en esta asignatura, debemos siempre tener en cuenta que uno de los objetivos, es suministrar instrumental que simplifique los clculos; de manera que nunca pierda de vista como puede combinar frmulas para lograrlo.

... CONSTRUYAMOS TABLAS ...! CONSTRUCCIN Y USO DE TABLAS FINANCIERAS

El uso de las Tablas Financieras ofrecen la ventaja de facilitar los clculos, sobre todo en tareas rutinarias, aunque actualmente el uso de las calculadoras y computadoras con su desarrollo han desplazado su utilizacin. Pero, an as, es indudable que quien tenga la posibilidad de utilizar una P.C. para los clculos, debe necesariamente conocer como se usa una tabla y fundamentalmente como se construye. De all deviene la importancia de aprender su construccin y uso. Comenzaremos construyendo la TABLA DE MONTOS. Esta tabla se construye para capitales de $ 1, para una tasa i dada y haciendo variar el tiempo expresado (n) en nmero entero de perodos de capitalizacin. Tomando Co = 1 tenemos Cn = (1+i)n;construyamos para 5 perodos y para i = 10 %. PERIODO 1 2 327/3/01

(1,10)1 (1,10)2 = 1,10 x 1,10 = (1,10)3 = 1,21 x 1,10 =

MONTO 1,10 1,21 1,331-6-



4 5

(1,10)4 = 1,331 x 1,10 = (1,10)5 = 1,4641 x 1,10 =

1,4641 1,61051

Como se observa, la Tabla de Montos, resulta de multiplicar en forma recurrente los valores obtenidos, por (1+i). Para su aplicacin en la frmula: Cn = Co (1+i)n Como la tabla tiene tabulado el valor de (1+i)n para un Co = 1; bastar con buscar para la tasa y tiempo expresados en el problema el valor de (1+i) y multiplicarlo por el capital inicial. Las tablas con las que nos manejamos, vienen calculadas para distintos valores de i y con un nmero mximo de 60 perodos de capitalizacin; con lo que si en un problema se nos presentan por ejemplo 135 perodos de capitalizacin, podemos recurrir a la aplicacin de la propiedad de las potencias de igual base, descomponiendo el factor de capitalizacin en exponentes que estn tabulados. Co (1+i)135 = Co (1+i)60 (1+i)60 (1+i)15 Co (1+i)135 = Co (1+i)45 (1+i)45 (1+i)45 = = Co {(1+i)45]3 esta ltima expresin nos permite trabajar con un slo valor tabular y simplificar el clculo. Construyamos ahora la TABLA DE VALORES ACTUALES o CAPITAL INICIAL Se construye para montos unitarios, para una tasa i dada y haciendo variar el tiempo n, expresado en nmero entero de perodos. Tomando Cn = 1 tenemos: 1 pues v = ------(1+i)n 1 Co = ------(1+i)n , o bien: o bien:

Co = vn

Igual que en el caso de la Tabla de Montos, construyamos la Tabla para i = 0,10 en 5 perodos: PERIODOS CAP.INICIAL

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1 2 3 4 5

1/(1+i)1 1/(1+i)2 1/(1+i)3 1/(1+i)4 1/(1+i)5

= = = =

0,909090/1,10 0,826446/1,10 0,751314/1,10 0,683013/1,10

= = = =

0,909090 0,826446 0,751314 0,683013 0,620921

Como se observa, a partir del perodo 1 se obtienen los valores, dividiendo sucesivamente por (1+i). La frmula del Capital Inicial podemos escribirla: Co = Cnvn y la del monto: Cn = Cov-n

Conviene aclarar que resulta aconsejable construir ambas Tablas en forma conjunta, pues la de Valores Actuales es simplemente la inversa de la de Montos. Asimismo, valen las mismas consideraciones vistas para n > z , siendo z el ltimo perodo tabulado en la Tabla.

... CAPITALICEMOS SUBPERIODICAMENTE ... !

CAPITALIZACIN SUBPERIDICA

Recordemos que cuando realizamos la deduccin del monto, insistimos en la exigencia de la unidad de tiempo del plazo y de la tasa, y agregamos que esa unidad sea el perodo de capitalizacin; como condicin de aplicabilidad de la frmula. Por esta razn, cuando en los problemas prcticos si el enunciado nos es dado en los trminos expresados en el prrafo anterior, no tenemos dificultad para aplicarla. Pero ello no ocurre siempre as; lo que en la realidad sucede, es que nos dan una tasa para un perodo, generalmente anual, con perodos de capitalizacin menores al ao. La capitalizacin subperidica, entonces, se presenta cada vez que el perodo de la tasa es mayor que el perodo de la capitalizacin. Como el perodo de la tasa no coincide con la capitalizacin, debemos encontrar la tasa que corresponde al subperodo. Veamos el problema planteado grficamente:

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i = anual |-------------------|------------------...--| capitaliz.mensual tasa que corresponde al subperodo? La cuestin se resuelve con la tasa proporcional, que se obtiene dividiendo la tasa peridica i, por el nmero de subperodos que tiene el ao, que se representa con la letra m. Para nuestro grfico m = mensual para la tasa anual. 12 pues la capitalizacin es

i ---- = tasa proporcional para el mes 12 Ejercicio Para una tasa anual del 60 %, encontrar la proporcional semestral; la proporcional cuatrimestral y la proporcional bimestral. i Proporc.semestral ------ = m i Proporc. cuatrimest ------ = m Proporc.bimestral i ------ = m

De manera que el nmero de subperodos de capitalizacin, siendo n el nmero total de aos, lo obtenemos haciendo n.m, entonces la frmula del monto a aplicar resulta: Cm.n = Co.(1+i/m)m.n

Resolvamos un problema: Encontrar el monto que a la tasa del 20 % anual con capitalizacin semestral produce un capital de $21.400 al cabo de: a) 1 ao; b) 4 aos.

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si la capitalizacin fuera cada 15 das, con los datos anteriores, cul sera el monto ?. Trabajo con inters exacto, esto es, ao de 365 das.

Cada vez que nos presenten capitalizacin en das, trabajaremos con ao civil, pues en las operaciones bancarias, financieras, esa es la forma de trabajar, obteniendo as el inters exacto. Si bien en el comercio se conviene en utilizar para los clculos el ao de 360 das dividido en 12 meses de 30 das cada uno, con el slo motivo de favorecer la rapidez, hoy en da con el uso de las calculadoras y procesadoras electrnicas no existe inconveniente en trabajar con ao de 365 das, con lo que podemos decir que ha desaparecido la causa de la convencin comercial. Resolvamos resultados. Datos: C = n = i = Cn= 1.000 1 ao 1,20 anual ? Supuestos: a)capitaliz.anual b)capital.semestral c)capit.trimestral otro ejercicio para luego comparar los

Solucin Para a) Capitalizacin anual i = 1,20 Cn = Co(1+i)n Cn = 1.000(1+1,20) =2.200

Para b) Capitalizacin semestral i/m = 1,20/2 = 0,60 Cm.n = Co (1+i/m)m.n

Cm.n = 1.000 (1+0,60)2.1 = 2.560

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Para c) capitalizacin trimestral i/m = 1,20/4 - 0,30 Cm.n = Co (1+i/m)m.n Cm.n = 1.000 (1+0,30)4.1 = 2.856,10 El monto obtenido para el mismo capital, la misma tasa enunciada y el mismo tiempo de colocacin, observamos que resulta superior cuando existen capitalizaciones subperidicas, que al que se obtiene con capitalizacin peridica. Demostraremos frmulas, esto es: (A) Co(1+i)n (B) Co(1+i/m)m.n Para Co = 1 esto, desarrollando por Newton ambas

de Capitalizacin peridica, y de Capitaliz.Subperidica

n(n-1)i2 n(n-1)(n-2)i3 n = 1 + ni +-------- + ------------- +... (A) (1+i) 2! 3! mn(mn-1) i2 m.n = 1 + n.m.i/m + -------- -- + (B) (1+i/m) 2! m2 mn(mn-1)(mn-2) i3 + ----------------- -- + ... 3! m3 n(n-1/m) n(n-1/m)(n-2/m) = 1 + ni + -------- i2 + --------------- i3 + ... 2! 3!

Analicemos comparando (A) y (B). 1) los dos primeros trminos son iguales. 2) el tercer termino de (B) es mayor que el tercero de (A) n - 1/m > n - 1 3) el cuarto termino de (B) es mayor que el cuarto termino de (A) n - 1/m > n - 1 ; n - 2/m > n - 2 4) Consideremos tambin que si n y m son enteros el desarrollo de (B) tiene ms trminos.

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Resulta entonces, que el desarrollo de (B) es mayor que (A), o sea que: Cm.n = Co (1+i/m)m.n > Cn = Co (1+i)n

En palabras: para un mismo capital y en el mismo tiempo, la capitalizacin subperidica con tasa proporcional, produce un monto mayor que la capitalizacin peridica. Tambin es dable observar que a medida que aumenta el nmero de subperodos en el perodo de la tasa, aumenta el monto que se obtiene. Compare los resultados que se obtuvieron en los supuestos b) y c). Ejercicio: i = 1,20 anual C = 1.000 n = 1 ao Solucin: a)capitalizacin c/15 das b) capitalizacin diaria

... CUANDO EL TIEMPO NO ALCANZA ... ! TIEMPO FRACCIONARIO

Las frmulas vistas para capitalizacin peridica y capitalizacin subperidica, las hemos utilizado con nmeros de perodos o subperodos enteros; veremos ahora como podemos solucionar aquellos casos que tienen tiempos fraccionarios. Supongamos n = n' + p/q donde n' es entero y p < q Para resolver este planteo, existen dos convenciones: 1) Convencin lineal

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En la que se calcula el inters compuesto para el tiempo entero y se toma el monto as calculado como capital inicial para calcular por la parte fraccionaria el inters simple. Cn'+p/q = {Co(1+i)n'](1+p/q.i) 2) Convencin exponencial Se calcula el monto a inters compuesto durante todo el tiempo, incluido el fraccionario. Cn'+p/q = Co(1+i)n'+p/q Los montos obtenidos con cada convencin son distintos. Es menor el obtenido con convencin exponencial. En el punto siguiente veremos esto con mayor profundidad.

LAS COMPARACIONES SON NECESARIAS ... COMPARACIN ANALTICA Y GRAFICA DE LOS MONTOS A INTERS SIMPLE Y COMPUESTO Para Co = 1 Ms = 1 + i.n y Cn = (1+i)n

Podemos observar: 1) para n = 0 2) para n = 1 3) para 0 < n < 1 M s = Cn = 1 M s = Cn = 1 + i desarrollaremos (1+i)n por Newton + ...

n(n-1)i2 n(n-1)(n-2)i3 (1+i)n = 1 + n.i + -------- + -------------2! 3! Int.simple

Siendo n < 1 ; son (n-1), (n-2), etc. todos negativos y la suma algebraica ser negativa, con lo que: Ms = 1 + i.n y Cn = (1+i.n) o sea

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M s > Cn 4) Para n > 1 ; ser: y Cn = (1 + i.n) + o sea

Ms = 1 + i.n

C n > Ms Estas conclusiones nos ayudan a graficar los montos: monto

Co

0

1

tiempo

y a confirmar que la convencin lineal produce un monto mayor que la exponencial. Grafique Usted los intereses:

Inters

0

1

tiempo

!

APLICACIONES EN LA CARPETA DE TRABAJOS PRCTICOS

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