buku ajar statistika industri

Tahun Pembuatan : 2011

Dibuat oleh team dosen Statistika Industri:

Ir. Wiyono MT

Judi Alhilman Drs. MSIE

Ir. Hermita dyah MT.

FAKULTAS REKAYASA INDUSTRI

INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM

KATA PENGANTARBismillaahirrohmaanirrohiim,

Assalaamu’alaikum Warohmatulloohi Wabarokaatuh

Dengan ridlaNYA, Alhamdulillah penulis dapat menyelesaikan buku ajar mata

kuliah Statistika Industri ini walaupun masih banyak kekurangan-kekurangannya

yang harus diperbaiki di masa yang akan datang.

Edisi pertama dari buku ajar mata kuliah Statistika Industri ini diperuntukan

digunakan di lingkungan Fakultas Rekayasa Industri Institut Teknologi Telkom di

mana penyusun mengajar.

Buku ajar Statistika Industri pegangan kuliah ini ditujukan agar mahasiswa lebih

dapat berkonsentrasi terhadap apa yang disampaikan dosen di kelas sehingga

mahasiswa diharapkan akan lebih maksimal dalam menerima ilmu yang

disampaikan oleh dosen di kelas.

Buku Ajar ini ditulis dan disusun berdasarkan sumber dari beberapa buku yang

telah ada dan dari pengalaman penulis selama mengajar di beberapa perguruan

tinggi.

Penulis sangat berterima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dan

memberi semangat untuk menulis buku ajar ini dan penulis berterima kasih

kepada rekan-rekan sejawat yang telah membantu dalam penulisan buku ini.

Akhirnya, sangat diharapkan adanya masukan dari rekan pembaca sekalian demi

perbaikan Buku Ajar ini ke depannya.

Wassalaamu’alaikum Warohmatulloohi Wabarokaatuh.

Bandung, Agustus 2011,

Penulis

(team dosen Statistika Industri )

| RISET OPERASI II I-2

SATUAN ACARA PENGAJARAN (SAP)

Mata Kuliah : Statistika Industri (3 SKS)

Kode Mata Kuliah : IE2333

Buku Acuan :

1. Walpole, Ronald E., et all: “Probability & Statistics for Engineers & Scientists”, Prentice Hall, 20072. Hogg, Robert V., and Elliot A. Tanis: “Probability and Statistical Inference”, Pearson Education, 20063. Spiegel, Murray R.: “Seri Buku Schaum: Teori dan Soal-Soal Statistika”, Erlanggan (Terjemahan), 19884. Box,G.E.P , Hunter,Willam, Hunter, J.Stuart : “Statistics For Experimenters”, John Wiley & Sons.19785. Draper, N.R : “ Applied Regression Analysis (Second Edition), John Wiley & sons, 19816. Daniel, Wayne.W : “ Applied Nonparametric Statistics, Houghton Mifflin Company, 19787. Ledolter. J, Hogg, Robert V. : “ Applied Statistics fot Engineers and Physical Scientists”, Pearson Prentice Hall, 2010.


Minggu

ke

Pokok Bahasan

Materi Tujuan Instruksional

Umum (TIU)

Tujuan Instruksional

Khusus (TIK)

Kegiatan Evaluasi

Acuan

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)

1. Pendahuluan

Teori Sampling Mahasiswa memahami tentang pengertian konsep dasar metoda sampling

Mahasiswa mampu menjelaskan pengertian:

1. sampling2. populasi dan sample3. statistik dan parameter

Tatap muka

Diskusi

Tanya Jawab

[1, Bab 8)

2. Distribusi sampling rataan

Distribusi sampling rataan dari satu populasi dan dua populasi ( Z dan t)

Mahasiswa memahami distribusi sampling rataan dari satu populasi dan dua populasi

Mahasiswa mampu:

1. menjelaskan teorema “central limit”

2. menghitung nilai probabilitas distribusi sampling satu rataan dan dua rataan

Tatap muka

Diskusi

Tanya Jawab

[1, Bab 8]

3. Distribusi sampling variansi

Distribusi sampling variansi ( Chi Square dan F)

Mahasiswa memahami distribusi sampling Chi Square

Mahasiswa mampu:

1. menghitung nilai probabilitas distribusi sampling variansi dari

Tatap muka

Diskusi

Tanya Jawab

[1, Bab 8]


dan F satu populasi2. menghitung nilai

probabilitas distribusi sampling variansi dari dua populasi

4. Distribusi sampling proporsi

Distribusi sampling proporsi dari satu populasi dan dua populasi

Mahasiswa memahami distribusi sampling proporsi dari satu populasi dan dua populasi

Mahasiswa mampu:

1. menghitung nilai probabilitas distribusi sampling variansi dari satu populasi

2. menghitung nilai probabilitas distribusi sampling variansi dari dua populasi

Tatap muka

Diskusi

Tanya Jawab

[1, Bab 9]

5. Estimasi rataan populasi

1. Pengertian dan sifat-sifat estimator

2. Estimasi rataan satu populasi

3. Estimasi rataan dua populasi

4. Estimasi Bayes

Mahasiswa memahami pengertian dan sifat-sifat umum estimator dan khususnya estimasi selang rataan baik satu populasi maupun dua populasi

Mahasiswa mampu :

1. menjelaskan pegertian dan sifat-sifat umum estimator

2. menjelaskan metoda untuk menentukan estimator rataan populasi

3. menghitung nilai estimasi selang rataan suatu populasi (satu dan dua populasi).

Tatap muka

Diskusi

Tanya Jawab

[1, Bab 9, 18]

[2, Bab 6]

[3, Bab 9]


4. menghitung nilai estimasi selang rataan menggunakan metoda Bayes

6. Estimasi proporsi populasi

1. Estimator proporsi

2. Estimasi selang proporsi baik satu dan dua populasi

Mahasiswa memahami pengertian dan sifat-sifat umum estimator dan khususnya estimasi selang proporsi baik satu populasi maupun dua populasi

Mahasiswa mampu :

1. menjelaskan metoda untuk menentukan estimator proporsi populasi

2. menghitung nilai estimasi selang proporsi suatu populasi (satu dan dua populasi).

Tatap muka

Diskusi

Tanya Jawab

[1, Bab 9]

[2, Bab 6]

7. Estimasi variansi

3. Estimator variansi

4. Estimasi selang varisni baik satu dan dua populasi

Mahasiswa memahami pengertian dan sifat-sifat umum estimator dan khususnya estimasi selang variansi baik satu populasi maupun dua populasi

Mahasiswa mampu :

3. menjelaskan metoda untuk menentukan estimator variansi populasi

4. menghitung nilai estimasi selang variasni suatu populasi (satu dan dua populasi).

Tatap muka

Diskusi

Tanya Jawab

[1, Bab 9]

[2, Bab 6]

8. UTS

9. Uji 1. Jenis kesalahan dalam uji

Mahasiswa memahami pengertian

Mahasiswa mampu : Tatap Tanya [1, Bab


Hipotesis hipotesis2. Uji hipotesis

rataan, proporsi dan variansi baik dari satu maupun dua populasi

kesalahan dalam uji hipotesis dan uji hipotesis rataan, proporsi dan variansi baik satu populasi maupun dua populasi

3. menjelaskan kesalahan dalam uji hipotesis

4. melakukan uji hipotesis rataan, proporsi dan variansi suatu populasi (satu dan dua populasi).

muka

Diskusi

Jawab 10]

[2, Bab 8]

10. Uji Hipotesis

1. Goodness of fit2. Uji independesi

Mahasiswa memahami metoda uji goodness of fit dan uji independensi

Mahasiswa mampu :

5. melakukan uji goodness of fit

6. melakukan uji independesi

Tatap muka

Diskusi

Tanya Jawab

[1, Bab 10]

[2, Bab 8]

11. Regresi sederhana

3. Regresi sederhana

Mahasiswa memahami metoda regresi sederhana

Mahasiswa mampu :

1. melakukan perhitungan regresi sederhana

7.

Tatap muka

Diskusi

Tanya Jawab

[1, Bab 11]

12. Korelasi 1. Korelasi2. Korelasi parsial

Mahasiswa memahami konsep korelsi dan korelasi parsial

Mahasiswa mampu :

1. Menghitung nilai korelasi dan korelasi parsial

Tatap muka

Diskusi

Tanya Jawab

[1, Bab 11]

[3, Bab 14, 15]

13. Uji 1. Uji tanda Mahasiswa Mahasiswa mampu : Tatap Tanya [1, Bab


Hipotesis non parametrik

2. Run test memahami metoda uji tanda dan run test

3. melakukan uji tanda4. melakukan run test

muka

Diskusi

Jawab 16]

[2, Bab 8]

14. Uji Hipotesis non parametrik

1. Uji Wilcoxon2. Uji Kruskal

Wallis

Mahasiswa memahami metoda uji Wilcoxon dan Uji Kruskal Wallis

Mahasiswa mampu :

3. melakukan uji Wilcoxon4. melakukan uji Kruskal

Wallis

Tatap muka

Diskusi

Tanya Jawab

[1, Bab 16]

[2, Bab 8]

15. Uji variansi satu arah

1. Metoda analisis varian

2. CRD (complety randomize design)

Mahasiswa memahami metoda uji variansi satu arah

Mahasiswa mampu :

1. Menjelaskan metoda uji variansi

2. melakukan uji variansi satu arah

Tatap muka

Diskusi

Tanya Jawab

[1, Bab 13]

[2, Bab 10]

16. UAS


Penilaian :

UTS : 35%

UAS : 35%

QUIS : 10%

TUGAS : 20%


Buku Ajar Statistika Industri FRI

DAFTAR ISI

BAB I TEORI SAMPLING....................................................................................................1

I.1 PENGERTIAN DASAR....................................................................................1

I.1.1 Sampling................................................................................................1

I.1.2 Sample (n) :............................................................................................1

I.1.3 Elemen / unsur........................................................................................2

I.1.4 Populasi (N)...........................................................................................2

I.1.5 Kerangka sampel....................................................................................2

I.2 SYARAT SAMPEL YANG BAIK....................................................................2

I.3 UKURAN SAMPEL..........................................................................................5

I.4 TEKNIK-TEKNIK PENGAMBILAN SAMPEL..............................................7

I.4.1 Sampling dengan Pengembalian............................................................7

I.4.2 Sampling tanpa Pengembalian :.............................................................8

I.4.3 Tipe Sampling menurut Peluang Pemilihannya.....................................8

I.5 TEKNIK PENYAJIAN DATA SAMPEL.......................................................14

I.5.1 Penyajian Data.....................................................................................14

I.5.2 Tabel Distribusi frekuensi....................................................................14

I.5.3 Distribusi Frekuensi Relatif :...............................................................18

I.5.4 Penyajian dalam Bentuk Grafik...........................................................19

BAB II DISTRIBUSI SAMPLING.......................................................................................24

II.1 DISTRIBUSI SAMPLING RATAAN Z.........................................................24

II.2 DISTRIBUSI SAMPLING RATAAN T.........................................................28

II.3 DISTRIBUSI SAMPLING PROPORSI..........................................................31

II.4 DISTRIBUSI SAMPLING PROPORSI 2 POPULASI...................................32

II.5 DISTRIBUSI SAMPLING VARIANSI..........................................................34

BAB III TEORI ESTIMASI....................................................................................................36

III.1 ESTIMASI RATAAN......................................................................................36

III.1.1 Selang kepercayaan mean sampel........................................................36

III.1.2 Selang kepercayaan untuk µ; σ diketahui............................................36

III.1.3 Kesalahan estimasi...............................................................................37

III.1.4 Sampel sedikit......................................................................................38

x IT TELKOM


III.1.5 Selang kepercayaan untuk µ; σ tidak diketahui...................................39

III.2 ESTIMASI PROPORSI...................................................................................40

III.2.1 Estimasi Selisih Dua Proporsi..............................................................45

III.3 ESTIMASI VARIANSI...................................................................................48

III.3.1 Estimasi Nisbah Dua Variansi.............................................................50

BAB IV UJI HIPOTESIS........................................................................................................54

IV.1 HIPOTESIS STATISTIK.................................................................................54

IV.2 ARAH PENGUJIAN HIPOTESIS..................................................................55

IV.2.1 Uji Ekasisi............................................................................................55

IV.2.2 Uji Dwisisi...........................................................................................57

IV.3 KESALAHAN DALAM PENGUJIAN HIPOTESIS......................................57

IV.4 LANGKAH PENGERJAAN UJI HIPOTESIS...............................................60

IV.5 UJI MENYANGKUT RATAAN.....................................................................60

IV.6 UJI MENYANGKUT PROPORSI..................................................................63

IV.7 UJI MENYANGKUT VARIANSI..................................................................66

BAB V UJI CHI-SQUARE....................................................................................................72

V.1 GOODNESS OF FIT TEST.............................................................................72

V.2 INDEPENDENSI (UJI KEBEBASAN)..........................................................76

BAB VI REGRESI DAN KORELASI....................................................................................81

VI.1 REGRESI.........................................................................................................81

VI.1.1 Regresi Linier Sederhana.....................................................................81

VI.1.2 Regresi Linier Berganda......................................................................87

VI.2 KORELASI......................................................................................................89

VI.2.1 Definisi Korelasi..................................................................................89

VI.2.2 Koefisien Korelasi................................................................................89

VI.2.3 Teknik Korelasi....................................................................................90

VI.2.4 Uji Hipotesis Korelasi..........................................................................95

BAB VIIANOVA....................................................................................................................99

VII.1ONE WAY ANOVA...........................................................................................99

VII.2 TWO WAY ANOVA........................................................................................102

VII.2.1Two Way Anova dengan n replikasi..................................................103

xi IT TELKOM


xii IT TELKOM


BAB I. TEORI SAMPLING

Teori sampling didasarkan pada lima kategori sesuai dengan kondisi yang dihadapi yaitu:

a) Pengertian dasar teori sampling

b) Syarat sampel yang baik

c) Ukuran sampel

d) Teknik-teknik pengambilan sampel

e) Teknik penyajian data sampel

1 IT TELKOM

PENDAHULUAN


Setelah mempelajari materi ini mahasiswa mengetahui proses sampling dan dapat

menggambarkan proses dan metode yang digunakan dalam pengumpulan data dan dapat

menjelaskan proses dan metode yang digunakan dalam pengolahan data.

1. Mahasiswa dapat memahami konsep dasar teori sampling

2. Mahasiswa akan dapat memahami apa saja syarat sampel yang baik

3. Mahasiswa dapat memahami ukuran sample yang baik.

4. Mahasiswa diharapkan memahami teknik-teknik pengambilan sample

5. Mahasiswa dapat memahami teknik penyajian data sampel

Kegiatan perkuliahan dilaksanakan dengan skenario sebagai berikut:

1. Perkuliahan

2. Penjelasan tentang concept map (tunjukan di peta konsep dimana posisi materi yang

akan dibahas), pokok bahasan, dan kompetensi yang akan dicapai (TIU dan TIK)

3. Tes pendahuluan

4. Ringkasan materi disampaikan dengan metode ceramah, critical incident, diskusi dan

tanya jawab

5. Tes akhir

6. Evaluasi pencapaian

7. Penutup

2 IT TELKOM

TUJUAN INSTRUKSIONAL UMUM

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS

1………….2………….3………….4………….

SKENARIO PEMBELAJARAN


I.1 PENGERTIAN DASAR

I.1.1 Sampling

Proses pengambilan atau memilih n buah elemen/objek/unsur dari populasi yang

berukuran N. Misalnya memilih sebagian murid SD Negeri di Kota Bandung, dalam sebuah

penelitian yang bertujuan untuk mengetahui proporsi latar belakang tingkat pendidikan orang

tua dari seluruh murid SD Negeri di Kota Bandung.

I.1.2 Sample (n) :

Merupakan bagian dari populasi. Elemen anggota sampel, merupakan anggota

populasi dimana sampel diambil. Jika N banyaknya elemen populasi, dan n banyaknya

elemen sampel, maka n < N. Artinya tidak akan ada sampel jika tidak ada populasi. Populasi

adalah keseluruhan elemen atau unsur yang akan kita teliti. Penelitian yang dilakukan atas

seluruh elemen dinamakan sensus. Idealnya, agar hasil penelitiannya lebih bisa dipercaya,

seorang peneliti harus melakukan sensus. Namun karena sesuatu hal peneliti bisa tidak

meneliti keseluruhan elemen tadi, maka yang bisa dilakukannya adalah meneliti sebagian dari

keseluruhan elemen atau unsur tadi.

Berbagai alasan yang masuk akal mengapa peneliti tidak melakukan sensus antara

lain adalah,(a) populasi demikian banyaknya sehingga dalam prakteknya tidak mungkin

seluruh elemen diteliti; (b) keterbatasan waktu penelitian, biaya, dan sumber daya manusia,

3 IT TELKOM

RINGKASAN MATERI


membuat peneliti harus telah puas jika meneliti sebagian dari elemen penelitian; (c) bahkan

kadang, penelitian yang dilakukan terhadap sampel bisa lebih reliabel daripada terhadap

populasi – misalnya, karena elemen sedemikian banyaknya maka akan memunculkan

kelelahan fisik dan mental para pencacahnya sehingga banyak terjadi kekeliruan. (Uma

Sekaran, 1992); (d) demikian pula jika elemen populasi homogen, penelitian terhadap seluruh

elemen dalam populasi menjadi tidak masuk akal, misalnya untuk meneliti kualitas jeruk dari

satu pohon jeruk

Agar hasil penelitian yang dilakukan terhadap sampel masih tetap bisa dipercaya

dalam artian masih bisa mewakili karakteristik populasi, maka cara penarikan sampelnya

harus dilakukan secara seksama. Cara pemilihan sampel dikenal dengan nama teknik

sampling atau teknik pengambilan sampel .

I.1.3 Elemen / unsur

Elemen adalah setiap satuan populasi. Kalau dalam populasi terdapat 30 laporan

keuangan, maka setiap laporan keuangan tersebut adalah unsur atau elemen penelitian.

Artinya dalam populasi tersebut terdapat 30 elemen penelitian. Jika populasinya adalah

pabrik sepatu, dan jumlah pabrik sepatu 500, maka dalam populasi tersebut terdapat 500

elemen penelitian.

I.1.4 Populasi (N)

Kumpulan lengkap dari elemen-elemen yang sejenis akan tetapi dapat dibedakan

berdasarkan karekteristiknya. Misalnya Mahasiswa Indonesia dapat dibedakan berdasarkan

variabel jenis kelamin dengan karakteristik laki-laki dan perempuan, atau variabel IPK

dengan karektaristik indeks antara 0-4.

Atau dapat diartikan sebagai sekelompok orang, kejadian, atau benda, yang dijadikan

obyek penelitian. Jika yang ingin diteliti adalah sikap konsumen terhadap satu produk

tertentu, maka populasinya adalah seluruh konsumen produk tersebut. Jika yang diteliti

adalah laporan keuangan perusahaan “X”, maka populasinya adalah keseluruhan laporan

keuangan perusahaan “X” tersebut, Jika yang diteliti adalah motivasi pegawai di departemen

“A” maka populasinya adalah seluruh pegawai di departemen “A”.

4 IT TELKOM


I.1.5 Kerangka sampel

Kerangka sampel adalah daftar yang memuat seluruh elemen/anggota populasi,

sebagai dasar untuk penarikan sampel random Sedangkan sampel adalah suatu himpunan

bagian dari populasi.

I.2 SYARAT SAMPEL YANG BAIK

Secara umum, sampel yang baik adalah yang dapat mewakili sebanyak mungkin

karakteristik populasi. Dalam bahasa pengukuran, artinya sampel harus valid, yaitu bisa

mengukur sesuatu yang seharusnya diukur. Kalau yang ingin diukur adalah masyarakat

Sunda sedangkan yang dijadikan sampel adalah hanya orang Banten saja, maka sampel

tersebut tidak valid, karena tidak mengukur sesuatu yang seharusnya diukur (orang Sunda).

Sampel yang valid ditentukan oleh dua pertimbangan.

Pertama : Akurasi atau ketepatan , yaitu tingkat ketidakadaan “bias” (kekeliruan) dalam

sample. Dengan kata lain makin sedikit tingkat kekeliruan yang ada dalam sampel, makin

akurat sampel tersebut. Tolok ukur adanya “bias” atau kekeliruan adalah populasi.

Cooper dan Emory (1995) menyebutkan bahwa “there is no systematic variance”

yang maksudnya adalah tidak ada keragaman pengukuran yang disebabkan karena pengaruh

yang diketahui atau tidak diketahui, yang menyebabkan skor cenderung mengarah pada satu

titik tertentu. Sebagai contoh, jika ingin mengetahui rata-rata luas tanah suatu perumahan,

lalu yang dijadikan sampel adalah rumah yang terletak di setiap sudut jalan, maka hasil atau

skor yang diperoleh akan bias. Kekeliruan semacam ini bisa terjadi pada sampel yang diambil

secara sistematis

Contoh systematic variance yang banyak ditulis dalam buku-buku metode penelitian

adalah jajak-pendapat (polling) yang dilakukan oleh Literary Digest (sebuah majalah yang

terbit di Amerika tahun 1920-an) pada tahun 1936. (Copper & Emory, 1995, Nan lin, 1976).

Mulai tahun 1920, 1924, 1928, dan tahun 1932 majalah ini berhasil memprediksi siapa yang

akan jadi presiden dari calon-calon presiden yang ada. Sampel diambil berdasarkan petunjuk

dalam buku telepon dan dari daftar pemilik mobil. Namun pada tahun 1936 prediksinya

salah. Berdasarkan jajak pendapat, di antara dua calon presiden (Alfred M. Landon dan

Franklin D. Roosevelt), yang akan menang adalah Landon, namun meleset karena ternyata

Roosevelt yang terpilih menjadi presiden Amerika.

5 IT TELKOM


Setelah diperiksa secara seksama, ternyata Literary Digest membuat kesalahan dalam

menentukan sampel penelitiannya . Karena semua sampel yang diambil adalah mereka yang

memiliki telepon dan mobil, akibatnya pemilih yang sebagian besar tidak memiliki telepon

dan mobil (kelas rendah) tidak terwakili, padahal Rosevelt lebih banyak dipilih oleh

masyarakat kelas rendah tersebut. Dari kejadian tersebut ada dua pelajaran yang diperoleh :

(1), keakuratan prediktibilitas dari suatu sampel tidak selalu bisa dijamin dengan banyaknya

jumlah sampel; (2) agar sampel dapat memprediksi dengan baik populasi, sampel harus

mempunyai selengkap mungkin karakteristik populasi (Nan Lin, 1976).

Kedua : Presisi. Kriteria kedua sampel yang baik adalah memiliki tingkat presisi estimasi.

Presisi mengacu pada persoalan sedekat mana estimasi kita dengan karakteristik

populasi. Contoh : Dari 300 pegawai produksi, diambil sampel 50 orang. Setelah diukur

ternyata rata-rata perhari, setiap orang menghasilkan 50 potong produk “X”. Namun

berdasarkan laporan harian, pegawai bisa menghasilkan produk “X” per harinya rata-rata 58

unit. Artinya di antara laporan harian yang dihitung berdasarkan populasi dengan hasil

penelitian yang dihasilkan dari sampel, terdapat perbedaan 8 unit. Makin kecil tingkat

perbedaan di antara rata-rata populasi dengan rata-rata sampel, maka makin tinggi tingkat

presisi sampel tersebut.

Belum pernah ada sampel yang bisa mewakili karakteristik populasi sepenuhnya. Oleh

karena itu dalam setiap penarikan sampel senantiasa melekat keasalahan-kesalahan, yang

dikenal dengan nama “sampling error” Presisi diukur oleh simpangan baku (standard error).

Makin kecil perbedaan di antara simpangan baku yang diperoleh dari sampel (S) dengan

simpangan baku dari populasi (σ), makin tinggi pula tingkat presisinya. Walau tidak

selamanya, tingkat presisi mungkin bisa meningkat dengan cara menambahkan jumlah

sampel, karena kesalahan mungkin bisa berkurang kalau jumlah sampelnya ditambah

( Kerlinger, 1973 ). Dengan contoh di atas tadi, mungkin saja perbedaan rata-rata di antara

populasi dengan sampel bisa lebih sedikit, jika sampel yang ditariknya ditambah. Katakanlah

dari 50 menjadi 75.

Di bawah ini digambarkan hubungan antara jumlah sampel dengan tingkat kesalahan seperti

yang diutarakan oleh Kerlinger

6 IT TELKOM


I.3 UKURAN SAMPEL

Pertanyaan yang sering diajukan oleh peneliti ketika akan melakukan penelitian adalah

”berapa besar sampel yang harus diteliti dari sebuah populasi?”, agar hasil (berupa data

perkiraan) penelitian dapat mewakili atau merepresentasikan populasi. Data perkiraan

(statistik) disebut mewakili jika angkanya mendekati parameter. Jika parameter 100, 95

disebut lebih mewakili dibandingkan dengan 90.

Ukuran sampel atau jumlah sampel yang diambil menjadi persoalan yang penting

manakala jenis penelitian yang akan dilakukan adalah penelitian yang menggunakan analisis

kuantitatif. Pada penelitian yang menggunakan analisis kualitatif, ukuran sampel bukan

menjadi nomor satu, karena yang dipentingkan alah kekayaan informasi. Walau jumlahnya

sedikit tetapi jika kaya akan informasi, maka sampelnya lebih bermanfaat.

Dikaitkan dengan besarnya sampel, selain tingkat kesalahan, ada lagi beberapa faktor

lain yang perlu memperoleh pertimbangan yaitu, (1) derajat keseragaman, (2) rencana

analisis, (3) biaya, waktu, dan tenaga yang tersedia . (Singarimbun dan Effendy, 1989).

Makin tidak seragam sifat atau karakter setiap elemen populasi, makin banyak sampel yang

harus diambil. Jika rencana analisisnya mendetail atau rinci maka jumlah sampelnya pun

harus banyak. Misalnya di samping ingin mengetahui sikap konsumen terhadap kebijakan

perusahaan, peneliti juga bermaksud mengetahui hubungan antara sikap dengan tingkat

pendidikan. Agar tujuan ini dapat tercapai maka sampelnya harus terdiri atas berbagai jenjang

pendidikan SD, SLTP. SMU, dan seterusnya.. Makin sedikit waktu, biaya , dan tenaga yang

dimiliki peneliti, makin sedikit pula sampel yang bisa diperoleh. Perlu dipahami bahwa

apapun alasannya, penelitian haruslah dapat dikelola dengan baik (manageable).

Misalnya, jumlah bank yang dijadikan populasi penelitian ada 400 buah.

Pertanyaannya adalah, berapa bank yang harus diambil menjadi sampel agar hasilnya

mewakili populasi?. 30?, 50? 100? 250?. Jawabnya tidak mudah. Ada yang mengatakan, jika

7 IT TELKOM

besar

kesalahan

kecil

kecil besarBesarnya sampel


ukuran populasinya di atas 1000, sampel sekitar 10 % sudah cukup, tetapi jika ukuran

populasinya sekitar 100, sampelnya paling sedikit 30%, dan kalau ukuran populasinya 30,

maka sampelnya harus 100%.

Ada pula yang menuliskan, untuk penelitian deskriptif, sampelnya 10% dari populasi,

penelitian korelasional, paling sedikit 30 elemen populasi, penelitian perbandingan kausal, 30

elemen per kelompok, dan untuk penelitian eksperimen 15 elemen per kelompok (Gay dan

Diehl, 1992).

Roscoe (1975) dalam Uma Sekaran (1992) memberikan pedoman penentuan jumlah

sampel sebagai berikut :

1. Sebaiknya ukuran sampel di antara 30 s/d 500 elemen

2. Jika sampel dipecah lagi ke dalam subsampel (laki/perempuan, SD/SLTP/SMU, dsb),

jumlah minimum subsampel harus 30

3. Pada penelitian multivariate (termasuk analisis regresi multivariate) ukuran sampel

harus beberapa kali lebih besar (10 kali) dari jumlah variable yang akan dianalisis.

4. Untuk penelitian eksperimen yang sederhana, dengan pengendalian yang ketat, ukuran

sampel bisa antara 10 s/d 20 elemen.

Krejcie dan Morgan (1970) dalam Uma Sekaran (1992) membuat daftar yang bisa

dipakai untuk menentukan jumlah sampel sebagai berikut (Lihat Tabel)

Tabel I.1 Tabel Penentuan Jumlah Sampel

Populasi (N) Sampel (n) Populasi (N) Sampel (n) Populasi (N) Sampel (n)10 10 220 140 1200 29115 14 230 144 1300 29720 19 240 148 1400 30225 24 250 152 1500 30630 28 260 155 1600 31035 32 270 159 1700 31340 36 280 162 1800 31745 40 290 165 1900 32050 44 300 169 2000 32255 48 320 175 2200 32760 52 340 181 2400 33165 56 360 186 2600 33570 59 380 191 2800 33875 63 400 196 3000 34180 66 420 201 3500 34685 70 440 205 4000 35190 73 460 210 4500 35495 76 480 214 5000 357

8 IT TELKOM


100 80 500 217 6000 361110 86 550 226 7000 364120 92 600 234 8000 367130 97 650 242 9000 368140 103 700 248 10000 370150 108 750 254 15000 375160 113 800 260 20000 377170 118 850 265 30000 379180 123 900 269 40000 380190 127 950 274 50000 381200 132 1000 278 75000 382210 136 1100 285 1000000 384

Sebagai informasi lainnya, Champion (1981) mengatakan bahwa sebagian besar uji

statistik selalu menyertakan rekomendasi ukuran sampel. Dengan kata lain, uji-uji statistik

yang ada akan sangat efektif jika diterapkan pada sampel yang jumlahnya 30 s/d 60 atau

dari 120 s/d 250. Bahkan jika sampelnya di atas 500, tidak direkomendasikan untuk

menerapkan uji statistik. (Penjelasan tentang ini dapat dibaca di Bab 7 dan 8 buku Basic

Statistics for Social Research, Second Edition)

I.4 TEKNIK-TEKNIK PENGAMBILAN SAMPEL

Ada beberapa teknik pengambilan sampel yang sering digunakan dalam penelitian diantaranya adalah: Sampling non probabilitas dan sampling probabilitas.

9 IT TELKOM


Lebih detailnya dapat dilihat pada gambar dibawah ini:

Gambar I.1 Tipe Sampling menurut Proses Memilih

I.4.1 Sampling dengan Pengembalian Satuan sampling yang terpilih, “dikembalikan” lagi ke dalam populasi (sebelum

dilakukan kembali proses pemilihan berikutnya). Sebuah satuan sampling bisa terpilih lebih

dari satu kali. Untuk populasi berukuran N=4 dan sampel berukuran n=2, maka sampel yang

mungkin terambil adalah Nn = 42 = 16 buah sampel. Teknik sampling seperti ini bisa

dikatakan tidak pernah digunakan dalam suatu penelitian, hanya untuk keperluan teoritis yang

berkatian dengan pengambilan sampel.

I.4.2 Sampling tanpa Pengembalian :Satuan sampling yang telah terpilih, “tidak dikembalikan” lagi ke dalam populasi.

Tidak ada kemungkinan suatu satuan sampling terpilih lebih dari sekali. Untuk populasi

berukuran N=4 (misalnya A, B, C, D) dan sampel berukuran n=3, maka sampel yang

mungkin terambil ada 4 buah sampel yaitu ABC, ABD, ACD, dan BCD. Secara umum untuk

menghitung banyaknya macam sampel yang mungkin jika pengambilan sampel tanpa

pengembalian adalah: nCr = n!/(r!(n-r)!)

10 IT TELKOM


I.4.3 Tipe Sampling menurut Peluang Pemilihannya

I.4.3.1 Random sampling Random sampling adalah cara pengambilan sampel yang memberikan kesempatan

yang sama untuk diambil kepada setiap elemen populasi. Artinya jika elemen populasinya

ada 100 dan yang akan dijadikan sampel adalah 25, maka setiap elemen tersebut mempunyai

kemungkinan 25/100 untuk bisa dipilih menjadi sampel.

Syarat pertama yang harus dilakukan untuk mengambil sampel secara acak adalah

memperoleh atau membuat kerangka sampel atau dikenal dengan nama “sampling frame”.

Yang dimaksud dengan kerangka sampling adalah daftar yang berisikan setiap elemen

populasi yang bisa diambil sebagai sampel. Elemen populasi bisa berupa data tentang

orang/binatang, tentang kejadian, tentang tempat, atau juga tentang benda. Jika populasi

penelitian adalah mahasiswa perguruan tinggi “A”, maka peneliti harus bisa memiliki daftar

semua mahasiswa yang terdaftar di perguruan tinggi “A “ tersebut selengkap mungkin.

Nama, NRP, jenis kelamin, alamat, usia, dan informasi lain yang berguna bagi penelitiannya..

Dari daftar ini, peneliti akan bisa secara pasti mengetahui jumlah populasinya (N). Jika

populasinya adalah rumah tangga dalam sebuah kota, maka peneliti harus mempunyai daftar

seluruh rumah tangga kota tersebut. Jika populasinya adalah wilayah Jawa Barat, maka

penelti harus mepunyai peta wilayah Jawa Barat secara lengkap. Kabupaten, Kecamatan,

Desa, Kampung. Lalu setiap tempat tersebut diberi kode (angka atau simbol) yang berbeda

satu sama lainnya.

Di samping sampling frame, peneliti juga harus mempunyai alat yang bisa dijadikan

penentu sampel. Dari sekian elemen populasi, elemen mana saja yang bisa dipilih menjadi

sampel?. Alat yang umumnya digunakan adalah Tabel Angka Random, kalkulator, atau

undian. Pemilihan sampel secara acak bisa dilakukan melalui sistem undian jika elemen

populasinya tidak begitu banyak. Tetapi jika sudah ratusan, cara undian bisa mengganggu

konsep “acak” atau “random” itu sendiri.

1. Simple Random Sampling atau Sampel Acak Sederhana

Cara atau teknik ini dapat dilakukan jika analisis penelitiannya cenderung deskriptif

dan bersifat umum. Perbedaan karakter yang mungkin ada pada setiap unsur atau elemen

populasi tidak merupakan hal yang penting bagi rencana analisisnya. Misalnya, dalam

populasi ada wanita dan pria, atau ada yang kaya dan yang miskin, ada manajer dan

11 IT TELKOM


bukan manajer, dan perbedaan-perbedaan lainnya. Selama perbedaan gender, status

kemakmuran, dan kedudukan dalam organisasi, serta perbedaan-perbedaan lain tersebut

bukan merupakan sesuatu hal yang penting dan mempunyai pengaruh yang signifikan

terhadap hasil penelitian, maka peneliti dapat mengambil sampel secara acak sederhana.

Dengan demikian setiap unsur populasi harus mempunyai kesempatan sama untuk bisa

dipilih menjadi sampel. Prosedurnya :

o Susun “sampling frame”

o Tetapkan jumlah sampel yang akan diambil

o Tentukan alat pemilihan sampel

o Pilih sampel sampai dengan jumlah terpenuhi

2. Stratified Random Sampling atau Sampel Acak Distratifikasikan

Karena unsur populasi berkarakteristik heterogen, dan heterogenitas tersebut

mempunyai arti yang signifikan pada pencapaian tujuan penelitian, maka peneliti dapat

mengambil sampel dengan cara ini. Misalnya, seorang peneliti ingin mengetahui sikap

manajer terhadap satu kebijakan perusahaan. Dia menduga bahwa manajer tingkat atas

cenderung positif sikapnya terhadap kebijakan perusahaan tadi. Agar dapat menguji

dugaannya tersebut maka sampelnya harus terdiri atas paling tidak para manajer tingkat

atas, menengah, dan bawah. Dengan teknik pemilihan sampel secara random

12 IT TELKOM


distratifikasikan, maka dia akan memperoleh manajer di ketiga tingkatan tersebut, yaitu

stratum manajer atas, manajer menengah dan manajer bawah. Dari setiap stratum

tersebut dipilih sampel secara acak. Prosedurnya :

o Siapkan “sampling frame”

o Bagi sampling frame tersebut berdasarkan strata yang dikehendaki

o Tentukan jumlah sampel dalam setiap stratum

o Pilih sampel dari setiap stratum secara acak.

Pada saat menentukan jumlah sampel dalam setiap stratum, peneliti dapat menentukan

secara (a) proposional, (b) tidak proposional. Yang dimaksud dengan proposional

adalah jumlah sampel dalam setiap stratum sebanding dengan jumlah unsur populasi

dalam stratum tersebut. Misalnya, untuk stratum manajer tingkat atas (I) terdapat 15

manajer, tingkat menengah ada 45 manajer (II), dan manajer tingkat bawah (III) ada

100 manajer. Artinya jumlah seluruh manajer adalah 160. Kalau jumlah sampel yang

akan diambil seluruhnya 100 manajer, maka untuk stratum I diambil (15:160)x100 =

9 manajer, stratum II = 28 manajer, dan stratum 3 = 63 manajer.

Jumlah dalam setiap stratum tidak proposional. Hal ini terjadi jika jumlah unsur atau

elemen di salah satu atau beberapa stratum sangat sedikit. Misalnya saja, kalau dalam

stratum manajer kelas atas (I) hanya ada 4 manajer, maka peneliti bisa mengambil

semua manajer dalam stratum tersebut , dan untuk manajer tingkat menengah (II)

ditambah 5, sedangkan manajer tingat bawah (III), tetap 63 orang.

3. Cluster Sampling atau Sampel Gugus

Teknik ini biasa juga diterjemahkan dengan cara pengambilan sampel berdasarkan

gugus. Berbeda dengan teknik pengambilan sampel acak yang distratifikasikan, di mana

setiap unsur dalam satu stratum memiliki karakteristik yang homogen (stratum A : laki-

laki semua, stratum B : perempuan semua), maka dalam sampel gugus, setiap gugus

boleh mengandung unsur yang karakteristiknya berbeda-beda atau heterogen. Misalnya,

dalam satu organisasi terdapat 100 departemen. Dalam setiap departemen terdapat

banyak pegawai dengan karakteristik berbeda pula. Beda jenis kelaminnya, beda tingkat

pendidikannya, beda tingkat pendapatnya, beda tingat manajerialnnya, dan perbedaan-

perbedaan lainnya. Jika peneliti bermaksud mengetahui tingkat penerimaan para pegawai

terhadap suatu strategi yang segera diterapkan perusahaan, maka peneliti dapat

13 IT TELKOM


menggunakan cluster sampling untuk mencegah terpilihnya sampel hanya dari satu atau

dua departemen saja. Prosedur :

a. Susun sampling frame berdasarkan gugus

b. Tentukan berapa gugus yang akan diambil sebagai sampel

c. Pilih gugus sebagai sampel dengan cara acak

d. Teliti setiap pegawai yang ada dalam gugus sample

4. Systematic Sampling atau Sampel Sistematis

Jika peneliti dihadapkan pada ukuran populasi yang banyak dan tidak memiliki alat

pengambil data secara random, cara pengambilan sampel sistematis dapat digunakan.

Cara ini menuntut kepada peneliti untuk memilih unsur populasi secara sistematis, yaitu

unsur populasi yang bisa dijadikan sampel adalah yang “keberapa”. Misalnya, setiap

unsur populasi yang keenam, yang bisa dijadikan sampel. Soal “keberapa”-nya satu

unsur populasi bisa dijadikan sampel tergantung pada ukuran populasi dan ukuran

sampel. Misalnya, dalam satu populasi terdapat 5000 rumah. Sampel yang akan diambil

adalah 250 rumah dengan demikian interval di antara sampel kesatu, kedua, dan

seterusnya adalah 25. Prosedurnya :

Susun sampling frame

Tetapkan jumlah sampel yang ingin diambil

Tentukan K (kelas interval)

Tentukan angka atau nomor awal di antara kelas interval tersebut secara acak atau

random – biasanya melalui cara undian saja.

Mulailah mengambil sampel dimulai dari angka atau nomor awal yang terpilih.

Pilihlah sebagai sampel angka atau nomor interval berikutnya

5. Area Sampling atau Sampel Wilayah

Teknik ini dipakai ketika peneliti dihadapkan pada situasi bahwa populasi

penelitiannya tersebar di berbagai wilayah. Misalnya, seorang marketing manajer

sebuah stasiun TV ingin mengetahui tingkat penerimaan masyarakat Jawa Barat atas

sebuah mata tayangan, teknik pengambilan sampel dengan area sampling sangat tepat.

Prosedurnya :

o Susun sampling frame yang menggambarkan peta wilayah (Jawa Barat) –

Kabupaten, Kotamadya, Kecamatan, Desa.

14 IT TELKOM


o Tentukan wilayah yang akan dijadikan sampel (Kabupaten ?, Kotamadya?,

Kecamatan?, Desa?)

o Tentukan berapa wilayah yang akan dijadikan sampel penelitiannya.

o Pilih beberapa wilayah untuk dijadikan sampel dengan cara acak atau random.

o Kalau ternyata masih terlampau banyak responden yang harus diambil datanya,

bagi lagi wilayah yang terpilih ke dalam sub wilayah.

I.4.3.2 Non random sampling atau nonprobability samplingSeperti telah diuraikan sebelumnya, jenis sampel ini tidak dipilih secara acak. Tidak

semua unsur atau elemen populasi mempunyai kesempatan sama untuk bisa dipilih menjadi

sampel. Unsur populasi yang terpilih menjadi sampel bisa disebabkan karena kebetulan atau

karena faktor lain yang sebelumnya sudah direncanakan oleh peneliti.

1. Convenience Sampling atau sampel yang dipilih dengan pertimbangan kemudahan.

Dalam memilih sampel, peneliti tidak mempunyai pertimbangan lain kecuali

berdasarkan kemudahan saja. Seseorang diambil sebagai sampel karena kebetulan orang

tadi ada di situ atau kebetulan dia mengenal orang tersebut. Oleh karena itu ada beberapa

penulis menggunakan istilah accidental sampling – tidak disengaja – atau juga captive

sample (man-on-the-street) Jenis sampel ini sangat baik jika dimanfaatkan untuk

penelitian penjajagan, yang kemudian diikuti oleh penelitian lanjutan yang sampelnya

diambil secara acak (random). Beberapa kasus penelitian yang menggunakan jenis

sampel ini, hasilnya ternyata kurang obyektif.

2. Purposive Sampling

Sesuai dengan namanya, sampel diambil dengan maksud atau tujuan tertentu.

Seseorang atau sesuatu diambil sebagai sampel karena peneliti menganggap bahwa

seseorang atau sesuatu tersebut memiliki informasi yang diperlukan bagi penelitiannya.

Dua jenis sampel ini dikenal dengan nama judgement dan quota sampling.

Judgment Sampling

Sampel dipilih berdasarkan penilaian peneliti bahwa dia adalah pihak yang

paling baik untuk dijadikan sampel penelitiannya.. Misalnya untuk memperoleh data

tentang bagaimana satu proses produksi direncanakan oleh suatu perusahaan, maka

manajer produksi merupakan orang yang terbaik untuk bisa memberikan informasi.

15 IT TELKOM


Jadi, judment sampling umumnya memilih sesuatu atau seseorang menjadi sampel

karena mereka mempunyai “information rich”.

Dalam program pengembangan produk (product development), biasanya yang

dijadikan sampel adalah karyawannya sendiri, dengan pertimbangan bahwa kalau

karyawan sendiri tidak puas terhadap produk baru yang akan dipasarkan, maka jangan

terlalu berharap pasar akan menerima produk itu dengan baik. (Cooper dan Emory,

1992).

Quota Sampling

Teknik sampel ini adalah bentuk dari sampel distratifikasikan secara

proposional, namun tidak dipilih secara acak melainkan secara kebetulan saja.

Misalnya, di sebuah kantor terdapat pegawai laki-laki 60% dan perempuan 40%. Jika

seorang peneliti ingin mewawancari 30 orang pegawai dari kedua jenis kelamin tadi

maka dia harus mengambil sampel pegawai laki-laki sebanyak 18 orang sedangkan

pegawai perempuan 12 orang. Sekali lagi, teknik pengambilan ketiga puluh sampel

tadi tidak dilakukan secara acak, melainkan secara kebetulan saja.

3. Snowball Sampling – Sampel Bola Salju

Cara ini banyak dipakai ketika peneliti tidak banyak tahu tentang populasi

penelitiannya. Dia hanya tahu satu atau dua orang yang berdasarkan penilaiannya bisa

dijadikan sampel. Karena peneliti menginginkan lebih banyak lagi, lalu dia minta kepada

sampel pertama untuk menunjukan orang lain yang kira-kira bisa dijadikan sampel.

Misalnya, seorang peneliti ingin mengetahui pandangan kaum lesbian terhadap lembaga

perkawinan. Peneliti cukup mencari satu orang wanita lesbian dan kemudian melakukan

wawancara. Setelah selesai, peneliti tadi minta kepada wanita lesbian tersebut untuk bisa

mewawancarai teman lesbian lainnya. Setelah jumlah wanita lesbian yang berhasil

diwawancarainya dirasa cukup, peneliti bisa mengentikan pencarian wanita lesbian

lainnya. . Hal ini bisa juga dilakukan pada pencandu narkotik, para gay, atau kelompok-

kelompok sosial lain yang eksklusif (tertutup).

4. Haphazard Sampling

Satuan sampling dipilih sembarangan atau seadanya, tanpa perhitungan apapun

tentang derajat kerepresentatipannya. Misalnya ketika kita akan melakukan penelitian

mengenai kompetensi dosen di sebuah Universitas, pertanyaan dapat diajukan kepada

16 IT TELKOM


siapapun mahasiswa dari universitas tersebut (sebagai sampel) yang kebetulan datang

pada saat kita berada di sana untuk melakukan penelitian.

I.5 TEKNIK PENYAJIAN DATA SAMPEL

I.5.1 Penyajian Data

Penyajian data dilakukan untuk mempermudah dalam pengambilan keputusan. Data-

data yang kita ambil dari populasi atau biasa disebut sebagai data sampel, dapat diperoleh

dengan berbagai cara, antara lain:

Wawancara

Pengamatan

Surat menyurat

Kuisioner

Data mentah yang diperoleh dapat disajikan sebagai statistika tataan (pengurutan data)

dalam bentuk tabel distribusi frekuensi,histogram, box plot, diagram dahan daun, dan lain-

lain.

I.5.2 Tabel Distribusi frekuensi

Tabel distribusi frekuensi adalah metode pengelompokan data ke dalam beberapa

kategori yang menunjukan banyaknya data dalam setiap kategori. Setiap data tidak dapat

dimasukan ke dalam dua atau lebih kategori agar data menjadi informatif dan mudah

dipahami. Data yang sudah dirangkum dalam distribusi frekuensi dinamakan data

berkelompok.

Tabel I.2 Contoh tabel distribusi frekuensi

Kelas interval Frekuensi3 – 5 26 – 8 59 – 11 712 – 14 115 – 17 1

Langkah-langkah distribusi frekuensi: 1. Mengurutkan data dari data terkecil hingga data terbesar atau sebaliknya.

2. Menentukan banyaknya kelas dengan menggunakan kaidah Sturges, yaitu

17 IT TELKOM


N : banyaknya pengamatan

Banyaknya kelas sebaiknya antara 5 sampai dengan 15

3. Menentukan interval kelas (KI), dengan rumus :

KI=Xmaks−X min

k= jangkauan

k

KI sebaiknya kelipatan 5.

4. Melakukan penturusan atau tabulasi dengan memasukan nilai ke dalam interval

kelas.

5. Untuk komposisi kelas,perhatikan bahwa kelas tidak tumpang tindih (lihat batas

atas dan batas bawah tiap kelasnya kelas).

6. Bila tabel distribusi frekuensi akan digunakan untuk membuat histogram atau

poligon, maka komposisinya diubah ke bentuk batas kelas, yaitu batas bawah

dikurangi ( ½ x satuan pengukuran terkecil dari data) dan batas atas ditambah (½ x

satuan pengukuran terkecil dari data).

Batas kelas adalah nilai terendah dan tertinggi dalam satu kelas tabel distribusi

frekuensi. Batas kelas dalam suatu interval kelas terdiri dari dua macam :

Batas kelas bawah – lower class limit, yaitu nilai terendah dalam suatu interval

kelas

Batas kelas atas – upper class limit, yaitu nilai tertinggi dalam suatu interval

kelas

Contoh Batas Kelas :

Kelas Jumlah Frekuensi (F)1 215 2122 142 2123 4030 43 4031 5938 14 5939 7846 15 7847 9754 1

Interval

18 IT TELKOM

k = 1 + 3,3 log N

Nilai tengah Kelas ke 1= [ 215 + 2122] / 2= 1168.5


Nilai tengah adalah tanda atau perinci dari suatu interval kelas dan merupakan suatu

angka yang dapat dianggap mewakili suatu interval kelas. Nilai tengah kelas berada di

tengah-tengah pada setiap interval kelas.

Contoh nilai tengah:

Kelas Nilai tengah1 215 2122 1168.52 2123 4030 3076.53 4031 5938 4984.54 5939 7846 6892.55 7847 9754 8800.5

Interval

Nilai tepi kelas (Class Boundaries) adalah nilai batas antara kelas yang memisahkan

nilai antara kelas satu dengan kelas lainnya. Nilai tepi kelas ini dapat dihutung dengan

penjumlahan nilai atas kelas dengan nilai bawah kelas diantaranya dan di bagi dua.

Contoh nilai tepi

kelas :

19 IT TELKOM

Batas kelas bawah

Batas kelas atas

Kelas IntervalJumlah Frekuensi (F)

Nilai Tepi Kelas

1 215 2122 14 214.5

2 2123 4030 3 2122.5

3 4031 5938 1 4030.5

4 5939 7846 1 5938.5

5 7847 9754 1 7846.5

9754.5

Nilai tepi kelas ke 2 = [ 2122 +2123 ] / 2= 2122,5


Contoh 1 :

1.

2. N = 20

k = 1 + 3,322 Log 20

k = 1 + 3,322 (1,301)

k = 1 + 4,322

k = 5,322

3. Nilai tertinggi = 9750

Nilai terendah = 215

Interval kelas = [ 9750 – 215 ] / 5 = 1907

Jadi interval kelas 1907 yaitu jarak nilai terendah dan nilai tertinggi dalam suatu kelas

atau kategori

20 IT TELKOM


Kelas1 215 21222 2123 40303 4031 59384 5939 78465 7847 9754

Interval

4. Lakukan penturusan atau tabulasi data

Kelas Interval Frekuensi Jumlah Frekuensi (F)

1 215 2122 IIIII IIIII IIII 14

2 2123 4030 III 3

3 4031 5938 I 1

4 5939 7846 I 1

5 7847 9754 I 1

21 IT TELKOM

Nilai terendahKelas ke 2= 2122 + 1= 2123

Nilai tertinggi := 215 + 1907= 2122

2122

2123


I.5.3 Distribusi Frekuensi Relatif :

Distribusi frekuensi relatif adalah frekuensi setiap kelas dibandingkan dengan

frekuensi total. Tujuan pembuatan distribusi ini adalah untuk memudahkan membaca data

secara tepat dan tidak kehilangan makna dari kandungan data.

22 IT TELKOM

Frekuensi relatif (%)= [ 14 / 20 ] x 100 %= 70 %

Contoh Distribusi Frekuensi Relatif :

Kelas IntervalJumlah Frekuensi (F)

Frekuensi relatif (%)

1 215 2122 14 70

2 2123 4030 3 15

3 4031 5938 1 5

4 5939 7846 1 5

5 7847 9754 1 5


I.5.4 Penyajian dalam Bentuk Grafik

Manusia pada umunya tertarik dengan gambar dan sesuatu yang ditampilkan delam

bentuk visual karena akan lebih mudah diingat dari pada dalam bentuk angka. Untuk itu

grafik dapat digunakan sebagai laporan. Grafik juga dapat digunakan untuk menarik

kesimpulan tanpa kehilangan makna yang sesungguhnya.

1. Grafik Histogram

Penyajian dalam bentuk histogram tidak lain merupakan pengembangan dari bentuk

tabel frekuensi. Bentuk histogram memberikan gambaran frekuensi untuk setiap nilai atau

selang nilai tertentu dari data. Gambaran ini akan lebih memudahkan pengguna dalam

mengungkap informasi yang terkandung dalam data. Histogram merupakan diagram yang

berbentuk balok. Histogram menghubungkan antara tepi kelas interval dengan pada sumbu

horizontal (X) dan frekuensi setiap kelas pada sumbu vertikal (Y).

Contoh Histogram:

Kelas Interval Jumlah Frekuensi (F)

1 215 2122 14

2 2123 4030 3

3 4031 5938 1

4 5939 7846 1

5 7847 9754 1

Gambar I.2 Contoh Histogram

2. Grafik Polygon

23 IT TELKOM

Tepi Kelas0

5

10

15


Grafik polygon menggunakan garis yang mengubungkan titik–titik yang merupakan

koordinat antara nilai tengah kelas dengan jumlah frekuensi pada kelas tersebut.

Contoh Grafik Polygon:

Kelas Nilai Jumlah

Tengah Frekuensi (F)

1 1168.5 14

2 3076.5 3

3 4984.5 1

4 6892.5 1

5 8800.5 1

Gambar I.3 Contoh Grafik Polygon

3. Kurva Ogif

Kurva ogif merupakan diagram garis yang menunjukan kombinasi antara interval

kelas dengan frekuensi kumulatif.

Contoh kurva ogif:

KelasInterval

Nilai Tepi KelasFrekuensi kumulatif

Bawah Atas Kurang dari Lebih dari

1 215 2122 214.5 0 20

2 2123 4030 2122.5 14 6

24 IT TELKOM

Jumlah Frekuensi (F)

0

2

4

6

8

10

12

14

16

1 2 3 4 5

Jumlah Frekuensi (F)


3 4031 5938 4030.5 17 3

4 5939 7846 5938.5 18 2

5 7847 9754 7846.5 19 1

9754.5 20 0

Gambar I.4 Contoh kurva ogif

4. Box plot

Dalam membuat boxplot, pendekatan yang digunakan adalah dengan membagi

kumpulan data yang telah diurutkan menjadi empat bagian sama banyak. Keempat bagian

tersebut mempunyai lima pembatas, yaitu : data terkecil (Xmin), K1, K2 atau median, K3,

dan data terbesar (Xmax) seperti terlihat di bawah ini :

25% 25% 25% 25%

Xmin K1 K2 K3

Xmax

Pembatas-pembatas tersebut biasa juga disebut dengan Statistik Lima Serangkai.

Kegunaan : Secara visual, boxplots dapat menggambarkan :

Lokasi pemusatan, yang diwakili oleh nilai median

Rentangan penyebaran, diperlihatkan oleh panjangnya kotak yang merupakan jarak

antara K1 dan K3

Kemiringan pola sebaran data, ditunjukkan oleh letak median dalam kotak, letak

median lebih dekat ke K1 mencirikan suatu sebaran dengan kemiringan positif

25 IT TELKOM

0

5

10

15

20

25

1 2 3 4 5 6

Interval kelas

Frek

uans

i Kum

ulat

if

Kurang dari

Lebih dari


(menjulur kekanan), dan kemiringan negatif terjadi bilaposisi median lebih dekat ke

K3.

Selain itu, dengan menggunakan boxplots kita dapat pula mendeteksi ada atau

tidaknya data pencilan (data ekstrim). Data pencilan dideteksi dengan menggunakan nilai-

nilai Pagar Dalam (PD) dan Pagar Luar (PL). Nilai-nilai pagar tersebut dihitung

menggunakan rumus :

Nilai data yang terletak antara PD dan PL dikategorikan sebagai data pencilan dekat

(∗), dan nilai data yang terletak di luar PL dikategorikan sebagai data pencilan jauh (ο).

Gambar I.5 contoh boxplot

5. Diagram dahan daun

Diagram dahan daun adalah suatu cara mencatat data secara tersusun. Diagram ini

sangat berguna pada saat kita ingin menyajikan data dalam bentuk gambar tentang bentuk

sebarannya tanpa kehilangan informasi nilai numerik dari data. Penggunaan diagram dahan-

daun memungkinkan kita untuk mengelompokkan data sekaligus memberi kita informasi

visual; panjang tiap baris memperlihatkan frekuensi tiap baris. Terdapat kesamaan fungsi

antara histogram dan diagram dahan-daun, yaitu mengelompokkan data, tetapi pada

histogram, kita kehilangan informasi tentang nilai numerik dari data.

Diagram dahan-daun sangat mudah dibuat. Angka-angka data kita bagi menjadi dua

bagian, bagian pertama menjadi dahan, dan bagian kedua menjadi daun. Angka yang menjadi

daun biasanya adalah satu atau dua angka terakhir.

Gambar I.6 contoh diagram batang daun

26 IT TELKOM


27 IT TELKOM

Stem-and-leaf of C1 N = 30Leaf Unit = 1.03 0 3335 0 457 0 6611 0 8899(6) 1 00001113 1 22239 1 557 1 66 1 884 2 012 22 2 44


SOAL – SOAL SAMPLING

1. Jelaskan apa yang dimaksud dengan:a) Sampling seadanyab) Sampling purposifc) Sampling pertimbangand) Sampling kuotae) Sampling nonpeluangf) Sampling peluangg) Sampling acakh) Sampling proporsionali) Sampling petalaj) Sampling areak) Sampling sistematikl) Sampling gandam) Sampling tunggaln) Sampling multipleo) Sampling sekuensialp) Sampling klaster

2. Apa yang dimaksud dengan kekeliruan sampling? Jelaskan pula apa yang dimaksud dengan kekeliruan nonsampling!

3. Sebuah populasi berukuran N. Diambil sampel berukuran n dengan cara:a) Pengembalianb) Tanpa pengembalianc) Ada berapa buah sampel yang mungkin?

4. Diberikan sebuah populasi dengan data:23, 23, 21, 21, 22, 21, 20, 22, 23, 24Diambil sampel berukuran dua.a) Ada berapa buah sampel semuanya?b) Berikan semua sampel yang mungkin!c) Tentukan rata-rata tiap sampel!d) Dari rata-rata yang didapat, hitunglah lagi rata-ratanya!e) Hitunglah rata-rata populasi!f) Bandingkan hasil poin d. dan poin e. Apa yang tampak?

5. PT Danun Jaya berlokasi di Jl. Solo Km 4 merupakan perusahaan batik sutera yang relatif besar. Pada tahun 2003 terdapat 120 desain produk yang dihasilkan. Apabila PT Danun Jaya ingin mengetahui keberhasilan dari setiap desain produk tersebut dengan mengambil 10 sampel. Dengan menggunakan tabel acak, cobalah cari nomor

28 IT TELKOM


berapa saja yang menjadi sampel PT Danun Jaya dengan titik awal adalah baris dan kolom ke-1.

6. PT Bawasda Tunggal Perkasa (BTP) merupakan produsen sepatu. PT BTP ingin mengetahui permasalahan produksi yang dialami oleh 60 perusahaan bimbingannya. Untuk keperluan tersebut dilakukan survei terhadap 30 perusahaan dengan menggunakan metode terstruktur porporsional. Berikut adalah jumlah perusahaan masing-masing strata, tentukan berapa jumlah sampel setiap stratanya.

Kelompok/Strata Jumlah Perusahaan

Tenaga kerja 1-5 5

Tenaga kerja 6-10 15




Tenaga kerja >25 5

7. Diketahui populasi yang terdiri dari 4, 3, 9, 7.

Diambil sampel ukuran n=2. Jika diambil dengan pengembalian,

Carilah:

a) Rata2 dan simpangan baku populasib) Rata2 dan simpangan baku distribusi sampelnya.c) Berapa prob. Rata2 sampel ukuran 2 akan akan mempunyai nilai minimal 6?

8. Diketahui data sbb:

Umur: 29 33 37 38 39 40 42 43 45 47 50 59

Frek.: 1 1 3 4 2 3 2 2 3 1 1 1

Buatlah diagram kotak garisnya /box plot

29 IT TELKOM


BAB II DISTRIBUSI SAMPLING

Distribusi sampling didasarkan pada lima kategori sesuai dengan kondisi yang dihadapi

yaitu:

a) Distribusi sampling rataan Z

b) Distribusi sampling rataan T

c) Distribusi sampling proporsi

d) Distribusi sampling proporsi 2 populasi

e) Distribusi sampling variansi

Setelah mempelajari materi ini mahasiswa dapat menggunakan dan menghitung berdasarkan

macam-macam distribusi sampling.

1. Mahasiswa dapat memahami konsep dasar distribusi sampling

2. Mahasiswa akan dapat mengetahui berbagai macam distribusi sampling


1. Perkuliahan



3. Tes pendahuluan

30 IT TELKOM

PENDAHULUAN



1………….2………….3………….4………….




tanya jawab

5. Tes akhir


7. Penutup

Bidang statistika sering membahas mengenai generalisasi/penarikan kesimpulan dan

prediksi/ peramalan dari suatu kasus atau penelitian terhadap suatu populasi. Tetapi

Generalisasi dan prediksi tersebut sangat jarang melibatkan populasi karena keterbatasan

kemampuan penelitian dan begitu besarnya jumlah populasi, sehingga lebih sering

menggunakan sampel dari populasi tersebut.

Sebagai contoh, suatu mesin pelayanan minuman yang diatur rata-rata mengeluarkan

250 ml minuman per gelasnya. Kemudian seorang karyawan menghitung rataan 40 gelas

minuman yang dikeluarkan dari mesin tadi dan memperoleh x = 246 ml, dan berdasarkan

hasil ini diberikan kesimpulan bahwa mesin tadi masih mengeluarkan minuman dengan rata-

rata isi μ = 250 ml. ke 40 gelas minuman tadi merupakan sampel dari populasi minuman yang

tak terhingga dari kemungkinan isi minuman yang akan dikeluarkan mesin tadi. Kesimpulan

ini mungkin diambil karena karyawan tadi tahu dari teori sampling bahwa nilai sampel

seperti itu kemungkinan munculnya besar. Tetapi apabila nilai x yang didapat nantinya

berbeda jauh dari 250 ml maka petugas tadi akan mengambil tindakan memperbaiki mesin

tersebut. Hal ini dikarenakan statistik merupakan peubah acak yang tergantung hanya pada

sampel yang diamati, maka tentulah ada distribusi peluangnya. Distribusi peluang suatu

statistik disebut dengan distribusi sampel.

II.1 DISTRIBUSI SAMPLING RATAAN Z

Misalkan sampel acak n pengamatan diambil dari populasi normal dengan rataan μ dan

variansi σ2. Tiap pengamatan X i, i = 1,2,…,n, dari sampel acak tersebut akan berdistribusi

normal yang sama dengan populasi yang diambil sampelnya. Jadi, berdasarkan sifat

merambat distribusi normal, dapat disimpulkan bahwa

31 IT TELKOMX=

X1+X2+…+X3

n

RINGKASAN MATERI


Berdistribusi normal dengan rataan

Dan variansi

32 IT TELKOM

μX=μ+μ+…+μ

n=μ


33 IT TELKOM


34 IT TELKOM


35 IT TELKOM


36 IT TELKOM


Bila populasi yang diambil sampelnya dan tidak diketahui distirbusinya, berhingga atau tidak,

maka distribusi sampel X masih akan berdistribusi hampir normal dengan rataan μ dan

variansi σ2/n, asalakan ukuran sampelnya besar (n > 30). Hal ini dikenal dengan Teorema

Limit Pusat, yaitu bila X rataan sampel acak ukuran n yang diambil dari populasi dengan

rataan μ dan variansi σ2 yang berhingga, maka bentuk limit dari distribusi

bila n ∞, adalah distribusi normal baku n(z;0,1)

Hampiran normal untuk X umumnya cukup baik jika menggunakan sampel ukuran

besar (n > 30), terlepas dari bentuk populasi. Bila menggunakan sampel ukuran kecil (n <

30), hampirannya hanya akan baik bila populasinya tidak jauh berbeda dengan normal. Bila

populasinya normal, maka distribusi sampel X akan tepat berdistribusi normal, dan ukuran

sampelnya tidak menjadi masalah.

37 IT TELKOM

Z= X−μ

σ /√n

Contoh :

Suatu perusahaan memproduksi bola lampu yang umurnya berdistribusi hampir normal dengan rataan 800 jam dan simpangan baku 40 jam. Hitunglah peluangnya bahwa suatu sampel acak dengan 16 bola lampu akan mempunyai umur rata-rata kurang dari 775 jam.


Sekarang misalkan ada dua populasi, yang pertama dengan rataan μ1 dan variansi σ21,

dan yang kedua dengan rataanμ2 dan variansi σ22. Misalkanlah statistik X 1 menyatakan rataan

sampel acak ukuran n1 yang diambil dari populasi pertama, dan statistik X 2 menyatakan

rataan sampel acak ukuran n2 yang diambil dari populasi kedua, dan kedua sampel bebas satu

sama lain. Maka distribusi sampel dari selisih rataan, X1−X2, berdistribusi hampir normal

dengan rataan dan variansi :

38 IT TELKOM

Z= X−μ

σ /√n

Jawab :

Secara hampiran, distribusi sampel X akan normal dengan μX = 800 dan σ X = 40 / √16 = 10. Peluang yang dicari diberikan oleh luas daerah yang dihitami pada Gambar 1.1. Nilai z yang berpadanan dengan x = 775 adalah

z=775−80010

=−2,5

Sehingga

P(X < 775) = P(Z < -2,5)

= 0,0062

σ X=10

μX 1−X 2=μ1−μ2

σ 2X 1−X2

=σ 2

1

n1

+σ2

2

n2


Sehingga

Secara hampiran merupakan peubah normal baku.

Jika (n1 dan n2 > 30), maka hampiran normal untuk distribusi X1−X2 sangat baik tidak

tergantung dari bentuk kedua populasi. Tetapi, bila (n1 dan n2 < 30), maka hampiran normal

lumayan baik kecuali bila kedua populasi agak jauh dari normal. Tentu saja bila kedua

populasi normal, maka X1−X2 berdistribusi normal terlepas dari ukuran n1 dan n2.

39 IT TELKOM

Z=( X1−X 2)−(μ1−μ2)

√(σ12/n1 )+(σ2

2/n2 )

Contoh :

Suatu sampel berukuran n1 = 15 diambil secara acak dari populasi yang berdistribusi normal dengan rataan μ1 = 50 dan variansi σ2

1 = 9, dan rataan sampel x1 dihitung. Sambel acak kedua berukuran n2 = 4 diambil, bebas dari yang pertama, dari populasi lain yang juga berdistribusi normal, dengan rataanμ2 = 40 dan variansi σ2

1 = 4, dan rataan sampel x2

dihitung. Cari nilai P(X1−X2 < 8,2)!


40 IT TELKOM


DISTRIBUSI SAMPLING RATAAN T

Untuk ukuran sampel besar (n > 30), taksiran σ2 yang baik dapat diperoleh dengan

menghitung nilai S2. Bila ukuran sampelnya kecil (n < 30), nilai S2 akan berubah cukup besar

dari sampel ke sampel lainnya dan distribusi peubah acak (X−μσ /√n

) menyimpang cukup jauh

dari distribusi normal baku. Dalam hal ini kita menghadapi distribusi statistic yang

dinamakan distribusi t, dengan

Misalkan Z peubah acak normal baku dan V peubah acak khi-kuadrat dengan derajat

kebebasan v. bila Z dan V bebas, maka distribusi peubah acak T, bila

41 IT TELKOM

Jawab :

Dari distribusi sampel X1−X2 kita tahu bahwa distribusinya normal dengan :

Rataan : μX 1−X 2=μ1−μ2=50−40=10

Variansi : σ 2X 1−X2

=σ 2

1

n1

+σ2

2

n2

=95+ 4

4=2,8

Peluang yang dicari dinyatakan oleh luas daerah yang dihitami di Gambar 1.2. berpadanan dengan nilai x1−x2 = 8,2, diperoleh

z=8,2−10

√2,8=−1,08

Sehingga

P(X1−X2 < 8,2) = P(Z < −1,08)

= 0,1401

σ X 1−X2=1,673

T= X−μS/√n


Diberikan oleh

Ini dikenal dengan nama distribusi t dengan derajat kebebasan v.

Dalam menurunkan distribusi sampel T, akan kita misalkan bahwa sampel acaknya berasal

dari populasi normal. Selanjutnya :

Dengan

Berdistribusi normal baku, dan

Berdistribusi chi-kuadrat dengan derajat kebebasan v = n – 1. Jika sampel berasal dari

populasi normal maka dapat dibuktikan bahwa X dan S2 bebas, oleh karena itu Z dan V juga

bebas. Sekarang akan kita turunkan distribusi T.

Distribusi T mirip dengan distribusi Z, keduanya setangkup terhadap rataan nol. Keduanya

berbentuk lonceng, tapi distribusi t lebih berbeda satu sama lain karena nilai T tergantung

pada dua besaran yang berubah-ubah, X dan S2, sedangkan nilai Z hanya tergantung pada

perubahan X dari sampel ke sampel lainnya. Distribusi T dan Z berbeda karena variansi T

bergantung pada ukuran sampel n dan variansi ini selalu lebih besar dari 1. Hanya bila ukuran

42 IT TELKOM

V = ∞

T= Z

√V /v

h( t)=Г [ (v+1 ) /2]Г (v+2 )√π v (1+ t 2

v )−(v+1)/2

, −∞<t<∞

T=(X−μ)/(σ /√n)

√S2/σ 2= Z

√V /(n−1),

Z= X−μσ /√n

V=(n−1)S2

σ 2


sampel, n ∞, kedua distribusi menjadi sama. Gambar 1.3 di bawah memperlihatkan

hubungan antara distribusi normal baku (v = ∞) dan distribusi t untuk derajat kebebasan 2

dan 5.

Gambar 1.3 Kurva distribusi t

Distribusi t setangkup terhadap rataan nol, maka t 1−∝=−t∝, yaitu nilai t yang luas sebelah

kanannya 1−∝, atau luas sebelah kirinya ∝, sama dengan minus nilai t yang luas bagian

kanannya ∝

43 IT TELKOM

V = 2

V = 5

V = ∞

t 1−∝=−t∝ t∝0


II.2

DISTRIBUSI SAMPLING PROPORSI

Bila populasi berukuran N mengandung jenis p sebanyak X, maka proporsi p adalah X/N.

Jika dari populasi tersebut diambil sampel berukuran n yang juga mengandung proporsi x/n

dan sampel diambil berulang maka distribusi sampel proporsinya mempunyai :

44 IT TELKOM

Contoh :

Suatu pabrik bola lampu yakin bahwa bola lampunya akan tahan menyala rata-rata selama 500

jam. Untuk mempertahankan nilai tersebut, tiap bulan diuji 25 bola lampu. Bila nilai t

yang dihitung terletak antara -t0,05 dan t0,05 maka pengusaha pabrik tadi

akan mempertahankan keyakinannya. Kesimpulan apakah yang seharusnya dia ambil dari

sampel dengan rataan X= 518 jam dan simpangan baku s = 40 jam ? Anggap bahwa distribusi

waktu menyala ,secara hampiran,normal.

Jawab :

Dari tabel t, diperoleh t0,05 = 1,711 untuk derajat

kebebasan v = 25 – 1 = 24. Jadi pengusaha tadi akan

puas dengan keyakinannya bila sampel 25 bola lampu

memberikan nilai t antara -1,711 dan 1,711. Bila

memang μ = 500, maka :

t=518−500

40 /√25=2,25

Suatu nilai yang cukup jauh di atas 1,711. Peluang

mendapat nilai t, dengan derajat kebebasan v =

24, sama atau lebih besar dari 2,25, secara

hampiran adalah 0,02. Bila μ > 500, nilai t hasil

perhitungan dari sampel tadi akan terasa lebih wajar.

Jadi pengusaha tadi kemungkinan besar akan

menyimpulkan bahwa produksinya lebih baik daripada

yang didudaganya semula.


1. Rata-rata

μ p=μ p=XN

2. Simpangan baku

σ p=√ p (1−p )n

.√ N−nN−1

3. Variabel random

Z= p−pσ p

Contoh :

Diketahui sebanyak 10% dari ibu-ibu rumah tangga di Bandung memakai detergen A untuk

mencuci pakaiannya. Jika dari populasi tersebut diambil sampel berukuran 100 :

a. Tentukan rata-rata dan simpangan baku dari populasi ibu-ibu rumah tangga yang

memakai detergen A!

b. Bila dari sampel tersebut ternyata terdapat paling sedikit 15 ibu rumah tangga yang

memakai detergen A, tentuka probabilitasnya!

Jawab:

a. Rata-rata = 0,1

σ p=√ p (1−p )n

=√ 0,1.0,9100

=0,03

b. Proporsi yang memakai detergen A adalah 15/100 = 0,15

Z= p−pσ p

=0,15−0,10,03

=1,67

P(Z>1,67) = 0,5-0,4525 = 0,0475

II.3 DISTRIBUSI SAMPLING PROPORSI 2 POPULASI

Terdiri dari 2 populasi.

Populasi 1 berukuran N1 terdapat jenis X1 dengan proporsi X1/N1

Populasi 2 berukuran N2 terdapat jenis X2 dengan proporsi X2/N2

Bila populasi 1 diambil sampel acak berukuran n1 maka sampel ini akan mengandung

jenis x1 dengan proposi x1/¿ n1. Demikian juga dengan populasi 2 diambil sampel acak

berukuran n2 maka sampel ini juga akan mengandung jenis x2 dengan proporsi x2/n2

45 IT TELKOM


Smapel 1 dan 2 dapat membentuk sampel acak baru yaitu sampel beda dua proporsi.

Distribusinya mempunyai :

a) Rata-rata

μ p1− p2=p1−p2

b) Simpangan baku

σ p1−p 2=√ p1 (1−p1 )

n1

+p2 (1−p2 )

n2

.√ (N1+N2 )−(n1+n2 )(N 1−N2 )−1

c) Variabel random

Z=( p¿¿1− p2)−(p1−p2)

σ p1− p2

¿

Contoh :

5% barang di gudang timur cacat, sedangkan barang yang cacat di gudang barat sebanyak

10%. Bila diambil sampel acak sebanyak 200 barang dari gudang timur dan 300 barang dari

gudang barat, tentukan probabilitas persentase barang yang cacat dalam gudang barat 2%

lebih banyak disbanding gudang timur!

Jawab :

Gudang barat : n1=300 , p1=0,1

Gudang timur: n2=200 , p2=0,05

p1 = proporsi barang yang cacat di gudang barat dalam sampel

p2 = proporsi barang yang cacat di gudang timur dalam sampel

σ p1−p 2=√ p1 (1−p1 )

n1

+p2 (1−p2 )

n2

=√ 0,1 (0,9 )300

+0,05 (0,95 )

200=0,023

Z=( p¿¿1− p2)−(p1−p2)

σ p1− p2

¿ = ( p¿¿1− p2)−(0,1−0,05)

0,023¿

Karena barang cacat di gudang barat 2% lebih banyak daripada di gudang timur maka

( p¿¿1− p2)¿ > 0,02 sehingga diperoleh :

z=0,02−0,050,023

=−1,3

46 IT TELKOM


Jadi probabilitasnya adalah P ( p¿¿1− p2>0,02)¿ = P (Z > -1,3) = 0,5 + 0,4032 = 0,9032 =

90,32 %.

II.4 DISTRIBUSI SAMPLING VARIANSI

Bila sampel berukuran n diambil dari populasi normal dengan variansi σ 2, dan variansi

sampel s2 dihitung maka kita peroleh suatu nilai dari statistic S2. Variansi sampel hasil

perhitungan ini akan digunakan sebagai taksiran titik untuk σ 2. Karena itu statistic S2 disebut

penaksir σ 2.

Taksiran selang untuk σ 2 dapat diturunkan dengan menggunakan statistic.

X2=(n−1)S2

σ2

Contoh

Suatu pabrik baterai mobil menjamin bahwa baterai akan tahan rata-rata 3 tahun dengan

simpangan baku 1 tahun. Bila lima baterainya tahan 1,9,2,4,3,0,3,5,dan 4,2 tahun, apakah

pembuatnya masih yakin bahwa simpangan baku baterai tersebut 1 tahun?

Jawab

Mula-mula dihitung variansi sampel :

s2=(5 ) (48,26 )−(15)2

(5 )(4) = 0,815

Kemudian

X2=(4 )(0,815)

1=3,26

Merupakan suatu nilai distribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasan 4. Karena 95% nilai

X2 dengan derajat kebebasan 4 terletak antara 0,484 dan 11.143, nilai perhitungan dengan

menggunakan σ 2 = 1 masih wajar,sehingga tidak ada alasan bagi pembuatnya untuk

mencurigai bahwa simpangan baku baterainya bukan 1 tahun

47 IT TELKOM


SOAL – SOAL

1. Sebuah populasi berukuran 80 mempunyai rata-rata 69,7 dan varians 3,50. Dengan sampling pengambilan diambil 1000 buah sampel acak yang masing-masing berukuran 5. Untuk tiap sampel dihitung rata-rata dan variansnya. Berapa nilai yang kita harapkan untuk :

a) rata-rata ke 1000 rata-rata?b) varians ke 1000 rata-rata?c) rata-rata ke 1000 varians?

2. Misalkan bahwa tinggi rata-rata mahasiswa Indonesia 162 cm dengan simpangan baku 6,5 cm. Sebuah sampel acak akan diambil dengan syarat bahwa galat baku rata-rata maksimum 0,5 cm.

a) Berapa paling sedikit mahasiswa perlu diambil sebagai sampel?Dengan ukuran sampel yang terkecil, tentukan peluang rata-rata tinggi mahasiswa :

a) Paling sedikit 155 cmb) Paling besar 175 cmc) Antara 158 cm dan 172 cmd) Kurang dari 160 cm

3. Lihat soal nomer 2 diatas. Misalkan populasinya berdistribusi normal. Ada berapa buah sampel diharapkan akan mempunyai rata-rata :

a) antara 62 dan 72b) paling sedikit 72,5c) kurang dari 67

4. Diberikan dua buah populasi dengan: data populasi I: 3,2,3,5,4,8. data populasi II: 10,12,15,10.

a) Dari populasi I diambil semua sampel acak berukuran 3 dan dari populasi II semua yang berukuran 2. Tulislah semua sampelnya lalu :

b) Hitung rata-rata kedua populasi.c) Hitung rata-rata distribusi sampling rata-rata dari kedua populasi itu. Sebut ini

µx dan µy.d) Hitung µx - µy dan bandingkan dengan selisih rata-rata populasi I dan

populasi II. Apa yang nampak?e) Bagaimana untuk µx + µy ?

5. Macam lampu A rata-rata menyala 1.400 jam dan macam lampu B menyala 1.300 jam. simpangan bakunya masing-masing 160 jam dan 125 jam. dari tiap populasi diambil sebuah sampel acak yang berukuran 85 dari sampel lampu A dan 100 dari sampel lampu B. Tentukan peluang rata-rata menyala lampu dalam sampel dari A paling sedikit akan 50 jam lebihnya dari rata-rata menyala lampu dalam sampel dari B.

48 IT TELKOM


6. Besi baja yang diproduksi perush A mempunyai rata-rata daya regang sebesar 4500 lbs dan variansi sebesar 40000 lbs. Sedangkan yang diproduksi perush. B mempunyai rata-rata daya regang sebesar 4000 lbs dan variansi 90000 lbs. Misalkan sampel random sebanyak n1= 50 diambil dari perush. B . Berapakah probabilitas rata-rata daya regang beda dua rata-rata dari dua sampel itu yang lebih besar dari 600 lbs?

7. Berikut adalah harga saham dari 5 perusahaan dalam Industri pertanian di BEJ 12 Januari 2004.

Perusahaan Harga persaham

PT Rajawali 275

PT Bukaka Plantindo 280

PT London 500

PT Inti Boga 350

PT Surya Pangan Nusantara

575

Apabila diambil sampel berukuran 2 untuk mengetahui kinerjanya, hitunglah rata-rata hitung dan standar deviasi sampel serta populasi, dan berapa probabilitas perusahaan dengan harga diatas 400 terpilih sebagai sampel?

8. Berikut adalah hasil investasi pada 5 perusahaan reksadana untuk tahun 2003

Perusahaan Hasil Investasi (%/tahun)

Nikko 17

Investa 15

GTF Tunai 10

Dana Investa 11

Phinis Dana Kas 14

49 IT TELKOM


Seorang investor ingin menanamkan modal di reksadana dengan mencoba survei pada 3 perusahaan reksadana. Hitunglah berapa nilai rata-rata dan standar deviasi dari distribusi sampel rata-rata. Berapa peluang terpilihnya perusahaan untuk disurvey dengan harapan perusahaan tersebut mempunyai hasil investasi di atas 13%.

9. PT Caraka Bumi merencanakan akan memergerkan dua perusahaan yaitu PT Indah Karya dan PT Dharma Raya. PT Caraka Bumi juga merencanakan PHK dalam rangka efisiensi yaitu pada PT Indah Karya sekitar 10% dan PT. Dharma Raya 15% dari total karyawan yang ada. Untuk keperluan tersebut, dipanggil 100 karyawan dari PT Indah Karya dan 200 dari PT Dharma Raya untuk wawancara. Berapa probabilitas beda persentase tentang PHK di PT Indah Karya 5% akan lebih kecil dari PT Dharma Raya?

10. PT PSK Jaya mempunyai dua anak perusahaan yaitu PT AYU yang bergerak dalam konveksi dan PT NANI ABADI yang bergerak dalam realestate. Kedua diharapkan mempunyai kinerja yang sama baiknya. Pengamatan selama 30 bulan PT AYU. menunjukan keuntungan rata-rata 500 juta dengan standar deviasi 75 juta. Sedangkan pengamatan terhadap PT NANI ABADI selama 50 bulan menunjukkan keuntungan rata-rata 300 juta dengan standar deviasi 52 juta. Apabila PT PSK menginginkan selisih dari kedua perusahaan kurang dari 150 juta, berapa peluang keinginan tersebut tercapai?

11. Hitunglah peluang bahwa suatu sampel acak ukuran 25 pengamatan, diambil dari populasi normal dengan variansi σ 2 = 6, akan mempunyai variansi s2

a) Lebih besar dari 9,1;b) Antara 3,462 dan 10,745c) Misalkan bahwa variansi sampel merupakan pengukuran yang kontinu.

12. Ada anggapan bahwa peluang usaha di Jawa untuk relatif berhasil lebih besar dibandingkan dengan di luar Jawa. Sebuah survey menunjukkan bahwa 200 UKM di Jawa, 45%-nya berhasil dan 100 UKM di luar Jawa, 30%-nya berhasil. Apabila pemerintah menginginkan perbedaan di Jawa dan Luar Jawa hanya 5%, berapa peluang keinginan tersebut tercapai.

13. Suatu perusahaan menyatakan bahwa baterai yang dipakai dalam mainan elektroniknya akan tahan rata-rata 30 jam. Untuk mempertahankan nilai ini, 16 baterai diuji setipa bulan. Bila diperoleh nilai – t berada antara −t 0,025 dan t 0,025 maka perusahaan puas dengan pernyataannya. Kesimpulan apa yang seharusnya diambil perusahaan dari sampel acak yang mempunyai x = 27,5 jam dengan simpangan baku s = 5 jam? Anggap baterai berdistribusi hampiran normal.

50 IT TELKOM


14. Suatu perusahaan rokok mengatakan bahwa rata-rata kadar nikotin rokoknya 1,83 mg. Apakah anda setuju dengan pendapat pengusaha rokok tersebut bila suatu sampel ukuran 8 rokok dari perusahaan tersebut mengandung kadar nikotin 2.0, 1.7, 2.1, 1.9, 2.2, 2.1, 2.0, dan 1.6 mg?

15. Dari sekelompok pegawai yang terdiri atas 40.000 orang telah diambil sekelompok kecil sebanyak 100 orang . Yang menjadi perhatian disini ialah penghasilan pegawai tiap bulan. Apabila ditaksir bahwa keseluruhan pegawai pukul rata mempunyai pendapatan Rp. 27500 dengan simpangan baku Rp. 1000 maka:

a) Untuk kelompok kecil tadi , berapa rata-rata upahnya akan antara Rp.25000 dan Rp.30.000?

b) Seperti di a tapi paling rendah Rp. 20.000?c) Apabila dikehendaki perbedaan rata-rata upah untuk tiap kelompok paling

besar Rp. 500, maka setiap kelompok itu paling sedikit harus terdiri atas berapa orang pegawai yang perlu diambil secara acak?

16. Dalam setiap pengiriman gelas minum , biasanya 95% diterima dalam keadaan baik. Pada suatu waktu telah dikirimkan 100.000. buah gelas. Berapa peluangnya untuk pemeriksaan yang terdiri dari 60 buah gelas dari pengiriman itu, akan berisikan gelas yang baik:

a) Antara 90% dan 98%?b) Paling sedikit 97,5%?

17. A dan B menghasilkan dua macam kabel, yang daya tahannya masing-masing pukul rata 4000 dan 4500 kg dengan simpangan baku berturut-turut 300 dan 200 kg. Jika dari kabel yang dihasilkan oleh A diuji 100 potong sedangkan dari yang dihasilkan B diuji 50 potong, maka tentukanlah peluangnya pukul rata daya tahan kabel B akan:

a) Paling sedikit 600 kg lebih daripada daya tahan kabel A?b) Paling banyak 450 kg lebih daripada daya tahan kabel A?

18. Pengalaman memperlihatkan bahwa dikota A sekitar 65% dari para ibu ternyata lebih menyenangi sabun mandi XYZ bila dibandingkan dengan sabun-sabun mandi merk lain. Tentukanlah berapa peluangnya bahwa dua buah sampel acak yang terdiri atas para ibu dikota itu, tiap sampel terdiri atas 200 ibu, akan memperlihatkan perbedaan lebih dari 10% yang menyenangi sabun mandi XYZ.

19. Misalkan X peubah acak binomial dengan distribusi peluang :

f ( x )=( 3x)(2/5)x(3 /5 )3−x

x=0,1,2,3

= 0 untuk lainnya

Carilah distribusi peluang peubah acak Y = X2

51 IT TELKOM


20. Misalkan x adalah rata-rata dari sampel acak ukuran 12 dari distribusi uniform dengan interval (0,1) . Hitunglah P(1/2 ≤ x ≤ 2/3)

21. Diketahui Y = x1 + x2 +....+x15 adalah jumlah dari sampel acak dengan ukuran 15 dari distribusi yang pdf nya f(x) =3/2 x2; -1< x < 1. Hitunglah P(-0,3≤Y≤ 1,5¿

22. Diketahui x adalah rata-rata dari sampel acak ukuran 36 dari distribusi exponensial dengan rata-rata 3. Hitunglah P(2,5 ≤ x ≤ 4)

23. Hitunglah P(39,75 ≤ x≤ 41,25) dimana x adalah rata-rata dari sampel acak ukuran 32 dari distribusi dengan rata-rata µ = 40 dan var. σ 2=8

24. Sample acak ukurann n = 18 diambil dari distribusi dengan pdf

f(x) = {1-x/2 ; 0≤ x≤2

; 0 untuk yang lainnya

a) Hitung µ dan σ 2

b) Hitung P(2/3 ≤ x≤ 5/6)

8.

52 IT TELKOM


BAB III TEORI ESTIMASI

Teori estimasi adalah suatu ilmu yang menghususkan bagaimana caranya memperkirakan besaran-besaran populasi yang tidak diketahui yang dihitung berdasarkan suatu sample.

Dalam bab ini akan dibahas tiga kategori sesuai dengan kondisi yang dihadapi:

a) Teori estimasi berdasarkan rataan

b) Teori estimasi berdasarkan proporsi

c) Terori estimasi berdasarkan variansi

Pokok bahasan pada materi “teori estimasi” dititik beratkan bedasarkan interval estimasi baik untuk satu populasi ataupun dua populasi.

Setelah mempelajari materi ini mahasiswa dapat mengestimasi parameter populasi yang tidak diketahui berdasarkan statistik sampel.

1. Mahasiswa dapat memahami konsep dasar teori estimasi baik estimasi rataan,

proporsi dan variansi untuk satu dan dua populasi.

2. Mahasiswa diharapkan dapat menggunakan teori estimasi pada dunia nyata.

53 IT TELKOM

PENDAHULUAN





1. Perkuliahan



3. Tes pendahuluan


tanya jawab

5. Tes akhir


7. Penutup

54 IT TELKOM

1………….2………….3………….4………….



55 IT TELKOM

RINGKASAN MATERI


56 IT TELKOM


III.1 ESTIMASI RATAAN

III.1.1 Selang kepercayaan mean sampel

Estimator titik dari mean populasi µ adalah statistik X . Sebaran statistik ini berpusat

pada µ dan variansinya lebih kecil daripada estimator lain.

σ x2=σ2

n , sehingga semakin besar ukuran sampelnya akan menghasilkan variansi yang

semakin kecil.

Selang kepercayaan dari populasi yang terdistribusi normal atau jika ukuran sampelnya

cukup besar, dapat diturunkan sbb :

Dari gambar di atas

P (−zα /2<Z<zα /2 ) = 1 - α, dimana Z=x−µ

σ /√n

57 IT TELKOM


Jadi P(−zα /2<X−μσ /√n

<zα /2) atau P(X−zα /2σ

√n<μ<X+ zα /2

σ

√n)

Sampel acak berukuran n dari suatu populasi dengan variansi σ2 yang diketahui dan mean x

yang dihitung akan menghasilkan selang kepercayaan sebesar (1-α)100%.

X−zα /2σ

√n<μ<X+zα /2

σ

√n

III.1.2 Selang kepercayaan untuk µ; σ diketahuiBila x rataan sampel acak berukuran n dari suatu populasi dengan variansi σ 2 yang

diketahui maka selang kepercayaan (1-α)100% untuk µ ialah

x−zα /2σ

√n<μ<x+zα /2

σ

√n

zα/2 adalah nilai sebaran normal yang menghasilkan luas α/2 di sebelah kanannya.

Contoh : mean dan simpangan baku dari IPK sebanyak 36 orang mahasiswa adalah 2.6 dan

0.3. tentukan selang kepercayaan 95% dan 99% untuk nilai mean-nya.

Jawab : titik estimasi adalah x = 2.6. karena sampel beukuran besar, simpangan baku σ dapat

didekati dengan s = 0.3. nilai z yang memberikan luas daerah dibawah kurva sebesar 0.025 di

sebelah kanan, atau 0.975 di sebelah kiri, adalah z0.025 = 1.96 (dari tabel). Oleh karena itu

selang kepercayaan 95% adalah

2.6 – (1.96) (0.3)/√36) < µ < 2.6 + (1.96) (0.3/√36) atau

2.50 < µ < 2.70

Dengan cara yang sama, selang kepercayaan 99% memerlukan z0.005 = 2.575 dan selang

kepercayaan ini adalah :

2.6 – (2.575) (0.3/√36) < µ < 2.6 + (2.575) (0.3/√36) atau

2.47 < µ < 2.73

Terlihat selang ini lebih lebar dari sebelumnya.

58 IT TELKOM


III.1.3 Kesalahan estimasi

Selang kepercayaan (1-α)100% memberikan ketelitian estimasi titik. Jika µ adalah titik pusat

selang, x mengestimasi µ tanpa kesalahan.

Pada umumnya akan ada kesalahan yang besarnya berbeda antara x dengan µ, dan kita

percaya (1-α)100% bahwa perbedaan ini kurang dari zα/2(σ/√n).

Teorema : jika x digunakan sebagai estimasi dari µ, kita dapat percaya (1-α)100% bahwa

nilai kesalahannya akan kurang dari zα/2(σ/√n).

Pada contoh soal sebelumnya, kita percaya 95% bahwa mean sampel x = 2.6 berbeda sebesar

0.1 dari nilai sebenarnya dan percaya 99% bahwa nilainya berbeda sebesar 0.13.

Seringkali kita ingin tahu seberapa besar sampel yang kita inginkan untuk memastikan bahwa

kesalahan estimasi dari µ kurang dari nilai tertentu e. Jadi kita harus memilih n sedemikian

hingga zα/2(σ/√n) = e.

Teorema : jika x digunakan untuk mengestimasi µ, kita dapat percaya (1-α)100% bahwa

kesalahannya akan kurang dari nilai e tertentu jika jumlah sampelnya adalah

59 IT TELKOM


n=(z∝/2σ /e)2

Teorema di atas dapat diterapkan jika variansi populasi diketahui, atau tersedia n ≥ 30 untuk

melakukan estimasi variansi tersebut.

Contoh : seberapa banyak jumlah sampel yang diperlukan pada contoh sebelumnya jika kita

ingin percaya 95% bahwa estimasi µ kita kurang dari 0.05?

Jawab : simpangan baku sampel s = 0.3 diperoleh dari sampel asal 36 akan dipakai untuk

menentukan σ. Sebelumnya juga telah diperoleh zα/2 = 1.96,maka berdasarkan teorema di atas

n = (z∝/2σ /e)2 = [(1.96)(0.3)/0.05]2 = 138.3

dengan demikian, kita dapat percaya 95% bahwa sampel acak sebesar 139 akan memberikan

hasil estimasi x yang berbeda di bawah 0.05 dari µ.

III.1.4 Sampel sedikitBagaimana jika syarat n ≥ 30 untuk menghitung variansi populasi tidak dapat

dipenuhi? Gunakan distribusi T sebagai ganti distribusi Gauss. Disini

T = x−μS /√n

Prosedur lain sama dengan yang sebelumnya.

60 IT TELKOM


Mengacu pada gambar di atas, nilai peluang pada daerah diarsir

P(-tα/2<T< tα/2) = 1 – α

Di mana tα/2 adalah nilai t untuk derajat bebas n-1. Luas sebelah kanan nilai ini adalah α/2,

dan berdasarkan simetri, luas sebelah kiri dari -tα/2 juga α/2. Substitusi untuk T menghasilkan

P(-tα/2<( X−μS/√n

)< tα/2) = 1 – α

Maka diperoleh P( X−t∝ /2S

√n<μ<X+t∝/2

S

√n) = 1 – α

Dengan demikian, untuk n sampel, mean x dan simpangan baku s, interval kepercayaan (1 –

α)100% diberikan oleh X−t∝ /2S

√n<μ<X+t∝/2

S

√n

III.1.5 Selang kepercayaan untuk µ; σ tidak diketahui. Suatu selang kepercayaan (1 – α)100% untuk µ adalah:

x−t∝/2S

√n<μ<x+t∝/2

S

√n

Dimana x dan s adalah mean dan simpangan baku sampel berukuran n < 30 dari suatu

populasi yang terdistribusi mendekati normal, dan t∝/2 adalah nilai distribusi-t dengan derajat

bebas sebesar v=n-1 yang menghasilkan luas α/2 di sebelah kanannya.

Contoh : ada 7 kontainer serupa yang berisi asam sulfat dengan volume : 9.8, 10.2, 10.4, 9.8,

10.0, 10.2, dan 9.6 liter. Tentukan selang kepercayaan 95% untuk mean dari kontainer-

kontainer tersebut juka distribusinya mendekati normal.

61 IT TELKOM


Jawab : dari data yang diberikan,diketahui mean sampel x=10.0 dan simpangan baku sampel

s=0.283. berdasarkan tabel T, kita dapatkan t0.025 = 2.447 untuk derajat bebas v=6. Karena itu,

selang kepercayaan 95% dari μ adalah

10.0 – (2.447) (0.283 / √7)<μ < 10.0 + (2.447) (0.283 / √7), atau

9.74< μ <10.26

Tambahan soal latihan estimasi rataan

1. Suatu mesin minuman diatur sedemikian rupa sehingga banyaknya minuman yang

dikeluarkannya berdistribusi hampir normal dengan simpangan baku 0,15 desiliter.

Hitunglah selang kepercayaan 95% untuk rataan semua minuman yang dikeluarkan

mesin tersebut bila sampel acak 36 cangkir minuman berisi rata-rata 2,25 desiliter.

2. Seorang ahli dalam efisiensi ingin menentukan rata-rata waktu yan diperlukan untuk

membor tiga lubang pada sejenis kepitan logam. Berapa besar sampelkah yang dia

perlukan agar yakin 95% bahwa rataan sampelnya paling jauh 15 detik dari rataan

sesungguhnya? Misalkan dari penelitian sebelumnya diketahui bahwa σ=40 detik.

III.2 ESTIMASI PROPORSI

Penaksir titik untuk proporsi p dalam suatu percobaan binomial diberikan oleh statistic

P= Xn

dengan X menyatakan banyaknya yang berhasil dalam n usaha. Jadi, proporsi sampel

p= xn

akan digunakan sebagai taksiran titik untuk parameter p.

Bila proporsi p yang tak diketahui diharapkan tidak akan terlalu dekat dengan nol atau

1, maka selang kepercayaan untuk p dapat dicari dengan menggunakan distribusi sampel P.

Dengan menyatakan suatu kegagalan dalam tiap usaha binomial dengan nilai 0 dan

keberhasilan dengan nilai 1 maka banyaknya yang berhasil , x, dapat ditafsirkan sebagai

jumlah dari n nilai yang terdiri atas hanya nol dan satu, maka p hanyalah rataan sampel dari n

nilai ini. Karena itu, menurut Teorema Limit Pusat, untuk n cukup besar,distribusi P hampir

normal dengan rataan

μ p=E ( P )=E( Xn )=np

n=p

62 IT TELKOM


Dan variansi

σ p=σ 2x/n=

σ2x

n2 =npqn2 =

pqn

Dengan demikian dapat dituliskan

P(−zα /2<Z< zα /2)=1−α

Dengan

Z= P−p√ pq /n

dan zα /2 menyatakan nilai kurva normal baku yang di sebelah kanannya terdapat daerah

seluas α2

. Gantikan Z dalam ketidaksamaan

P(−zα /2<P−p√ pq /n

< zα /2)=1−α

Kalikan tiap suku dalam ketidaksamaan √ pq /n, kemudian kurangi dengan P dan kalikan

dengan -1, diperoleh

P(P−zα /2√ pqn< p< P+zα /2√ pq

n )=1−α

Ketidaksamaan ini sulit untuk disederhanakan untuk mendapat selang acak yang

kedua ujungnya tidak mengandung p, paremeter yang tidak diketahui. Tapi bila n besar,

galatnya kecil sekali bila p di bawah tanda akar diganti taksiran titik p=x /n. Dalam hal

demukian, maka dapat ditulis

P(P−zα /2√ p qn< p< P+z α /2√ p q

n )=1−α

Untuk suatu sampel acak ukuran n, hitunglah proporsi sampel p=x /n, maka

hampiran selang kepercayaan (1-α) 100% untuk p dapat diperoleh.

Bila n kecil dan proporsi p yang tidak diketahui diyakini dekat ke 0 atau ke 1 maka cara

mencari selang kepercayaan ini tidak dapat diandalkan dan, karena itu, sebaiknya tidak

digunakan. Untuk menjamin hasil yang baik sebaiknyalah usahakan agar selalu n p dan n q

63 IT TELKOM


lebih besar atau sama dengan 5. Cara penghitungan selang kepercayaan untuk parameter

binomial p juga dapat dipakai bila distribusi normal digunakan utnuk menghampiri distribusi

hipergeometrik, yaitu, bila n kecil dibandingkan dengan N seperti pada contoh 1

Selang kepercayaan sampel-besar untuk p

Bila P menyatakan proporsi yang berhasil dalam sampel berukuran acak ukuran n, dan

q=1− p, maka hampiran selang kepercayaan (1-α) 100% untuk parameter binomial p adalah

P−z α2 √ p q

n < p < P+z α

2 √ p qn

dengan z α2menyatakan nilai z sehingga luas di sebelah kanannya α/2.

Contoh 1

Pada suatu sampel acak n = 500 keluarga yang memiliki pesawat televise di kota Hamilton,

Kanada, ditemukan bahwa x = 340 memiliki tv berwarna. Carilah selang kepercayaan 95%

untuk proporsi sesungguhnya dari keluarga yang memiliki tv berwarna di kota tersebut.

Jawab

Taksiran titik untuk p ialah p=340500

=0,68. Dari table diperoleh z0,025=1,96. Jadi, selang

kepercayaan 95% untuk p adalah

0,68−1,96√ (0,68 )(0,32)500

< p<0,68+1,96 √ (0,68 )(0,32)500

Yang, bila disederhanakan akan menjadi

0,64 < p < 0,72

Bila p berada tepat di tengah selang kepercayaan (1-α) 100% maka p menaksir p

tanpa galat. Tapi, biasanya, p tidak akan tepat sama dengan p dan taksiran titik meleset

64 IT TELKOM


(mempunyai galat). Besarnya galat akan smaa dengan selisih positif antara p dan p, dan

dengan selang kepercayaan (1-α ) 100% selisih ini akan lebih kecil dari zα /2√ p q /n.

Teorema 1

Bila p dipakai sebagai taksiran p, galatnya akan lebih kecil daripada zα /2√ p q /n

dengan kepercayaan (1-α) 100%.

Pada contoh 1 diatas, proporsi sampel p=0,68 berbeda dengan proporsi p yang

sesungguhnya tidak lebih dari 0,04 dengan kepercayaan 95%. Sekarang ingin ditentukan

berapa besarkah sampel yang diperlukan agar terjamin bahwa galat dalam menaksir p tidak

melebihi suatu besaran g. Menurut teorema 1, ini berarti n harus dipilih agar

zα /2√ p q /n=g

Teorema 2

Bila p dipakai sebagai taksiran p, maka dengan kepercayaan (1-α) 100% galat

akan lebih kecil dari besaran tertentu g bila ukuran sampel sebesar n=z2

α /2 p q

g2

Teorema 2 agak membingungkan karena untuk menentukan ukuran sampel n

digunakan p, padahal p dihitung dari sampel. Bila p dapat ditaksir secara kasar tanpa

mengambil sampel maka taksiran ini dapat dipakai untuk menentukan n. Bila ini tidak

tersedia, ambil sampel pendahuluan berukuran n ≥ 30 untuk menaksir p. Kemudian, dengan

menggunakan teorema 2, dapat ditentukan perkiraan besarnya sampel yang diperlukan agar

derajat ketepatan yang diinginkan tercapai. Sekali lagi, semua nilai pecahan n agar dibulatkan

ke bilangan bulat yang lebih besar terdekat.

65 IT TELKOM


Contoh 2

Berapa besarkah diperlukan sampel pada contoh 1 agar taksiran p meleset kurang dari 0,02

dengan kepercayaan 95%?

Jawab :

Pandanglah ke-500 keluarga sebagai sampel pendahuluan yang memberikan taksiran p=0,68

. Maka menurut teorema 3

n=(1,96 )2 (0,68 )(0,32)

(0,02)2=2090

Jadi, bila taksiran p didasarkan atas sampel acak ukuran 2090 maka proporsi sampel tidak

akan berbeda lebih dari 0,02 dengan proporsi sesungguhnya, dengan kepercayaan 95%.

Terkadang tidak praktis mencari taksiran p untuk digunakan dalam menentukan

ukuran sampel n untuk suatu taraf kepercayaan tertentu. Bila ini terjadi, batas atas untuk n

dapat diperoleh dengan menyadari bahwa p q= p (1− p )≤1/ 4, karena p terletak antara 0 dan

1. Ini dapat dibuktikan dengan melengkapi kuadrat. Jadi

p (1− p )=−( p2− p )=14−( p2− p+ 1

4 )= 14−( p2−1

2 )2

,

yang selalu lebih kecil dari 1/4 kecuali bila p = 1/2 yang mengakibatkan p q=1/4. Jadi, bila

dimasukkan p=1 /2 pada rumus n di teorema 3, padahal, sesungguhnya, p cukup berbeda

dengan 1/2, maka tentunya n akan melebihi dari yang diperlukan untuk taraf kepercayaan

yang ditetapkan dan sebagai akibatnya taraf kepercayaan yang diperoleh akan meningkat.

Teorema 3

Bila p dipakai sebagai taksiran p, maka dengan kepercayaan paling sedikit (1-α) 100%

galat akan lebih kecil dari besaran tertentu g bila ukuran sampel n=z2

α /2

4 g2

66 IT TELKOM


Contoh 3

Berapa besarkah sampel yang diperlukan pada contoh 1 agar kita yakin paling sedikit dengan

kepercayaan 95% bahwa taksiran p melesat kurang dari 0,02?

Jawab

Berbeda dengan contoh2, disini kita anggap tidak ada sampel pendahuluan diambil untuk

menaksir p. Karena itu, dengan kepercayaan paling sedikit 95% proporsi sampel yang kita

peroleh tidak akan berbeda dari proporsi sesungguhnya melebihi 0,02 bila kita memilih

ukuran sampel n=(1,96)2

4 (0,02 )2=2401

Dengan membandingkan contoh 2 dan contoh 3, terlihat bahwa keterangan (taksiran)

mengenai p, yang diperoleh dari sampel pendahuluan atau pun mungkin dari pengalaman

masa silam, dapat dipakai untuk menarik sampel yang lebih kecil dengan tetap

mempertahankan taraf ketelitian semula.

III.2.1 Estimasi Selisih Dua ProporsiPandang persoalan menafsir selisih dua parameter binomial p1 dan p2 . Sebagai

contoh, misalkan p1 proporsi yang merokok dan terkena kanker paru-paru dan p2 proporsi

yang tidak merokok dan terkena kanker paru-paru. Persoalannya ialah menaksir selisih kedua

proporsi itu. Pertama-tama, pilihlah sampel acak bebas masing-masing berukuran n1 dan n2

dari dua populasi binomial dengan rataan n1p1 dan n2p2 serta variansi n1p1q1 dan n2p2q2,

kemudian tentukan jumlah x1 dan x2 dari orang yang terkena kanker paru-paru pada tiap

sampel, dan tentukanlah proporsi p1=x1/n1 dan p2=x2/n2 . Penaksir titik untuk selisih dua

proporsi p1- p2 adalah statistik P1−P2. Jadi, selisih kedua proporsi sampel, p1− p2, akan

digunakan sebagai taksiran titik untuk p1- p2 .

Selang kepercayaan untuk p1- p2 dapat ditetapkan dengan menggunakan distribusi sampel

P1−P2. Dari materi menaksir proporsi diketahui P1dan P2masing-masing berdistribusi

hampir normal, dengan rataan p1 dan p2 , dan variansi p1q1 / n1 dan p2q2 / n2 . Dengan

mengambil kedua sampel secara bebas dari kedua populasi maka peubah P1 dan P2 akan

67 IT TELKOM


bebas satu sama lain, dank arena distribusi normal bersifat merambat, maka dapat

disimpulkan bahwa

P1−P2berdistribusi hampir normal dengan rataan

μ p1− p2 = p1 – p2

dan variansi

σ 2p1− p2

=p1 q1

n1

+p2 q2

n2

Dengan demikian dapat ditulis

P (−zα /2<Z<zα /2 )=1−α

Dengan

z=( P1−P2 )−( p1−p2)

√( p1q1

n1)+( p2 q2

n2)

Dan zα /2 nilai kurva normal baku sehingga luas di sebelah kanannya α /2. Ganti Z pada rumus

di atas, maka dapat ditulis

P[−zα /2<( P1−P2 )−( p1−p2 )

√( p1q1

n1)+( p2 q2

n2)< zα /2]=1−α

Setelah melakukan perhitungan seperti biasa,ganti p1 , p2 , q1 dan q2 yang berada di bawah

tanda akar dengan taksirannya p1=x1/n1 , p2=x2/n2, q1=1− p1dan q2=1− p2, asal saja

n1 p1 ,n1 q1 , n2 p2dan n2 q2 semuanya lebih besar atau sama dengan 5, maka diperoleh

hampiran selang kepercayaan (1-α) 100% untuk p1−p2.

68 IT TELKOM


Selang kepercayaan sampel-besar untuk p1−p2

Bila p1 dan p2 menyatakan proporsi yang berhasil dalam sampel acak masing-masing ukuran

n1 dan n2 , q1=1− p1 dan q2=1− p2, maka hampiran selang kepercayaan (1-α) 100% untuk

selisih kedua parameter binomial, p1−p2, adalah

( p1− p2)−zα /2√ p1 q1

n1

+p2 q2

n2

< p1−p2<( p1− p2)+zα /2√ p1 q1

n1

+p2 q2

n2

Bila zα /2 nilai kurva normal sehingga luas di sebelah kanannya α /2

Contoh 4

Suatu perusahaan dalam cara pembuatan suku cadang sedang direncanakan. Sampel diambil

dari cara lama maupun yang baru untuk melihat apakah cara baru tersebut memberikan

perbaikan. Bila 75 dari 1500 suku cadang yang berasal dari cara lama ternyata cacat dan 80

dari 2000 yang berasal dari cara baru ternyata cacat, carilah selang kepercayaan 90% untuk

selisih sesungguhnya proporsi yang cacat dalam kedua cara.

Jawab :

Misalkan p1 dan p2 masing-masing menyatakan proporsi yang sesungguhnya yang cacat

dalam cara lama dan baru. Jadi p1=75 /1500=0,05 dan p2=80 /200=0,04, dan taksiran titik

untuk p1−p2 ialah p1− p2=0,05−0,04=0,01

Dari table diperoleh z0,05=1,645. Jadi bila dimasukkan nilai ini ke dalam rumus di atas, maka

diperoleh kepercayaan 90%,

0,01−1,645√ (0,05 ) (0,95 )1500

+(0,04 )(0,96)

2000< p1−p2<0,01+1,645√ (0,05 ) (0,95 )

1500+(0,04 )(0,96)

2000,

Yang disederhanakan, menjadi

-0,0017 < p1 – p2 < 0,0217

Karena selang ini mengandung nilai 0, tak ada alasan mempercayai bahwa cara baru tersebut

memberikan penurunan yang berarti dalam proporsi suku cadang yang cacat disbanding

dengan cara lama.

69 IT TELKOM


70 IT TELKOM


Latihan soal

1. Dari suatu sampel acak 1000 rumah di suatu kota ternyata 228 menggunakan gas

Elpiji. Cari selang kepercayaan 99% untuk proporsi rumah di kota tadi yang

menggunakan gas Elpiji.

2. Suatu sistem peluncur roket tertentu sedang dipertimbangkan untuk dipakai

meluncurkan sejumlah roket jarak pendek. Sistem yang sekarang mempunyai peluang

berhasil meluncurkan sebuah roket p =0,8. Sampel 40 peluncuran percobaan dengan

sistem yang baru menunjukkan 34 yang berhasil.

a) Buatlah selang kepercayaan 95% untuk p

b) Apakah kenyataannya cukup besar untuk mendukung

3. Berapakah sampel yang diperlukan di soal 1 bila diinginkan yakin 99% bahwa

proporsi sampel paling banyak berjarak 0,05 dari proporsi sesungguhnya dari rumah

di kota tersebut yang menggunakan gas Elpiji.

4. Suatu penelitian ingin dilakukan untuk menaksir berapa persen penduduk suatu kota

yang memilih arinya diberi flour. Berapa besarkah sampel yang diperlukan bila

seseorang berharap yakin paling sedikit 95% taksirannya paling banyak sejauh 1%

dari presentasi sesungguhnya?

5. Suatu perusahaan rokok menyatakan bahwa rokoknya merek A terjual 8% lebih

banyak dari rokoknya merek B. Bila dari 200 perokok ada 42 yang lebih menyukai

merk A dan 18 dari 150 perokok lebih menyukai merek B, hitunglah selang

kepercayaan 94% untuk selisih antara proporsi penjualan kedua merek dan tentukan

apakah perbedaan 8% tersebut suatu pernyataan yang kena.

71 IT TELKOM


6. Dalam pengukuran waktu reaksi seseorang terhadap semacam stimulus, seorang ahli

psikologi memperkirakan bahwa simpangan bakunya 0,08 detik. Untuk menentukan

berapa orang yang perlu diukur agar didapat hasil rata-rata waktu reaksi dengan

kepercayaan 95%, dan kekeliruan penaksiran tidak melebihi 0,015 detik, asumsi

apakah yang harus diambil mengenai distribusi waktu reaksi? Tentukan berapa orang

yang perlu diukur! Bagaimana jika dikehendaki kepercayaan 99%? Apa yang tampak?

7. Telah ditimbang 10 buah tomat dengan hasil (dalam gram): 142, 157, 138, 175, 152,

149, 148, 200, 182, 164.

Jika berat tomat berdistribusi normal, tentukan interval kepercayaan, 95% untuk rata-rata berat tomat.

8. Sampel acak yang terdiri atas 400 petani, ternyata 65% tidak memiliki tanah sendiri. Tentukan interval kepercayaan 95% persentase sebenarnya untuk para petani yang memiliki tanah sendiri. Bagaimana jika koefisien kepercayaannya diambil 0,99? Jelaskan apa yang tampak?

9. Diberikan dua buah sampel dengan data:Sampel I : 38, 42, 51, 47, 38, 60, 57, 58, 32, 45Sampel II : 44, 49, 53, 46, 41, 47, 34, 60, 59, 63yang diambil dari dua buah populasi.Untuk menentukan batas-batas interval kepercayaan selisih rata-rata sebenarnya antara kedua populasi, asumsi apa yang diambil? Tentukan interval kepercayaan 95% untuk selisih tersebut jika:

a) Simpangan baku kedua populasi diketahui sama besar, yaitu 9,5.b) Simpangan baku kedua populasi sama besar tetapi tidak diketahui nilainya.c) Simpangan baku kedua populasi tidak sama besar.

10. Hasil dua jenis semacam tanaman tiap satuan luas tertentu, dalam satuan berat, adalah sebagai berikut:Jenis I : 39,3 – 45,5 – 41,2 – 53 – 44,2 – 42,5 – 63,9Jenis II: 51,5 – 39,4 – 41,2 – 56,7 – 35,7Tentukan jenis mana yang akan dipilih untuk ditaman selanjutnya!

11. Metode latihan pertama telah digunakan terhadap 250 orang dan 160 dinyatakan berhasil. Metode latihan kedua dilakukan terhadap 300 orang dan 225 berhasil. Tentukan interval kepercayaan 0,95 untuk selisih persentase sebenarnya bagi yang berhasil, juga untuk interval kepercayaan 0,99! Apa yang tampak?

72 IT TELKOM


III.3 ESTIMASI VARIANSI

Bila sampel berukuran n diambil dari populasi normal dengan variansi σ 2 dan variansi

sampel S2 dihitung maka kita peroleh suatu nilai dari statistic S2. Variansi sampel hasil

perhitungan ini akan digunakan sebagai taksiran titik untuk σ 2. Karena itu statistik S2 disebut

penaksir σ 2.

Taksiran selang untuk σ 2 dapat diturunkan dengan menggunakan statistic

χ2=(n−1 )S2

σ2

Statistik χ2 berdistribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasan n – 1 bila sampel berasal dari

populasi normal.

Jadi, dapat ditulis

P ( χ21−α /2< χ2< χ2

α /2 )=1−α

Bila χ21−α /2 dan χ2

α /2 masing- masing menyatakan nilai distribusi khi-kuadrat dengan derajat

kebebasan n -1 , sehingga luas di sebelah kanannya 1- α /2 dan α /2. Ganti χ2 dalam rumus di

atas, peroleh

P[ χ21−α /2<

(n−1 )S2

σ2< χ 2

α /2]=1−α

Bagilah tiap suku dalam ketidaksamaan dengan (n-1) S2 , dan kemudian balikkan tiap suku

(jadi ubah arah ketidaksamaan), maka diperoleh

P[ (n−1 )S2

χ2α /2

<σ2<(n−1 )S2

χ21−α /2

]=1−α

Untuk ukuran sampel n, hitunglah variansi sampel S2 , maka diperoleh selang kepercayaan (1-

α) 100% untuk σ 2.

Selang kepercayaan (1-α)100% untuk σ diperoleh dengan menarik akar setiap ujung selang

untuk σ 2.

73 IT TELKOM


Selang kepercayaan untuk σ 2

Bila S2 variansi sampel acak ukuran n dari populasi normal maka selang kepercayaan (1-α)

100% untuk variansi σ 2 diberikan oleh

(n−1 ) S2

χ 2α /2

<σ2<(n−1 ) S2

χ21−α /2

Bila χ2α /2 dan χ2

1−α /2 menyatakan nilai distribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasan

υ=n−1 sehingga luas di sebelah kanannya, masing-masing sebesar α /2 dan 1 - α /2.

Contoh 5

Data berikut menyatakan berat, dalam gram, 10 bungkus bibit sejenis tanaman yang

dipasarkan oleh suatu perusahaan : 46,4, 46,1 , 45,8 , 47,0 , 46,1 , 45,9 , 45,8 , 46,9 , 45,2 dan

46, 0 . Carilah selang kepercayaan 95 % untuk variansi semua bungkusan bibit yang

dipasarkan perusahaan tersebut, anggap populasinya normal.

Jawab

Mula-mula hitunglah

s2=n∑

i=1

n

χ i

2−(∑

i=1

n

χ i)2

n (n−1 )=

(10 ) (21273,12 )−(461,2 )2

(10 ) (9 )=0,286

Untuk memperoleh selang kepercayaan 95%, ambil α = 0,05. Dari table chi-kuadrat untuk

derajat kebebasan ν=9 diperoleh χ0,0252 =19,023 dan χ0,975

2 =2,700

Jadi, selang kepercayaan 95% untuk σ 2

(9 )(0,286)19,023

<σ2<(9 )(0,286)

2,700

atau

0,135 < σ 2 < 0,953

74 IT TELKOM


III.3.1 Estimasi Nisbah Dua Variansi

Taksiran titik untuk nisbah dua variansi populasi σ 12/σ 2

2 diberikan oleh nisbah

variansi sampel s12/s2

2. Karena itu statistik S12/S2

2 disebut penaksir σ 12/σ 2

2.

Bila σ 12 dan σ 2

2 variansi dua populasi normal, maka taksiran selang untuk σ 12/σ 2

2 dapat

diperoleh dengan memakai statistic

F=σ2

2 S12

σ12 S2

2

Menurut teorema 6.20, peubah acak F mempunyai distribusi-F dengan derajat kekebasan

ν1=n1−1 dan ν2=n2−1. Jadi, dapat ditulis (lihat gambar 7.8)

P [f 1−α /2 (ν1 , ν2 )<F< f α /2 (ν1, ν2) ]=1−α, bila f 1−α /2 (ν1 , ν2 ) dan f α /2 (ν1 , ν2) menyatakan nilai

distribusi F dengan derajat kebebasan ν1 dan ν2 sehingga di sebelah kanannya, masing-

masing, luasnya 1- α /2 dan α /2. Ganti F dalam rumus di atas, diperoleh

P[ f 1−α /2 (ν1 , ν2 )<σ 2

2 S12

σ 12 S2

2< f α /2 (ν1 , ν2 )]=1−α

Gambar 7.8

Kalikan tiap suku dalam ketidaksamaan dengan S22/S1

2 dan balikkan tiap suku (ubah arah

ketidaksamaan) diperoleh

P[ S12

S22

1f α /2 (ν1 , ν2 )

<σ 2

2

σ 12<

S12

S22

1f 1−α /2 (ν1 , ν2 ) ]=1−α

Hasil teorema 6.19 memungkinkan kita mengganti f 1−α /2 (ν1 , ν2 ) dengan 1/ f α /2 (ν2 , ν1). Jadi

P[ S12

S22

1f α /2 (ν1 , ν2 )

<σ 2

2

σ 12<

S12

S22

f α /2 (ν2 , ν1 )]=1−α

75 IT TELKOM


Untuk dua sampel acak bebas ukuran n1 dan n2, yang diambil dari dua populasi normal,

hitunglah nisbah variansi sampel s12/s2

2, maka diperoleh selang kepercayaan (1-α) 100%

untuk σ 12/σ 2

2.

Seperti pada pasal 7.10, selang kepercayaan (1- α) 100% untuk σ 1/σ2, dapat diperoleh dengan

mengambil akar setiap ujung selang untuk σ 12/σ 2

2.

Selang kepercayaan untuk σ 12/σ 2

2

Bila s12 dan s2

2 variansi dari sampel bebas masing-masing ukuran n1 dan n2 dari populasi

normal maka selang kepercayaan (1-α) 100% untuk nisbah σ 12/σ 2

2 adalah

s12

s22

1f α /2 (ν1 , ν2 )

<σ 1

2

σ 22 <

s12

s22 f α /2 (ν2 , ν1 )

Bila f α /2 (ν2 , ν1) menyatakan f1 dengan derajat kebebasan ν1=n1−1 dan ν2=n2−1, sehingga

luas di sebelah kanannya α /2 , dan f α /2 (ν2 , ν1) menyatakan nilai f yang sama dengan derajat

kebebasan ν2=n2−1 dan ν1=n1−1

Contoh 6

Suatu selang kepercayaan untuk perbedaan rataan kadar ortofosfor, diukur dalam mg per liter,

pada dua stasion di sungai James telah dihitung di contoh 7.8 dengan menganggap kedua

variansi populasi normal tidak sama. Beri dukungan atas anggapan ini dengan membuat

selang kepercayaan 98% untuk σ 12/σ2

2 dan untuk σ 1/σ2, bila σ 12 dan σ 2

2 variansi populasi kadar

ortofosfor masing-masing di stasion 1 dan 2.

Jawab

Dari contoh 7.8 diperoleh n1 = 15, n2 = 12, s1 = 3,07 dan s2 = 0,80 . Untuk selang kepercayaan

98%, α = 0,02. Dengan menggunakan interpolasi dari tabel, kita peroleh

f 0,01 (14,11 )≈ 4,3 dan f 0,01 (11,14 )≈ 3,87

Jadi, selang kepercayaan 98 % untuk σ 12/σ2

2 adalah

76 IT TELKOM


3,072

0,802 ( 14,30 )< σ1

2

σ22 <

3,072

0,802 (3,87)

Yang, bila disederhanakan, menjadi

3,425<σ1

2

σ22 <56,991

Ambil akar batas kepercayaan selang ini maka diperoleh selang kepercayaan 98% untuk

σ 12/σ2

2 adalah

1,851<σ1

2

σ22<7,549

Karena selang ini tidak mencakup kemungkinan σ 1/σ2 sama dengan 1, maka anggapan bahwa

σ 1≠ σ2 atau σ 12 ≠ σ2

2 di contoh 7.8 mendapat dukungan dari data

Sampai tahap ini semua selang kepercayaan yang disajikan berbentuk taksiran titik ± K g.b

(taksiran titik), K disini suatu tetapan (ataukah r ataupun titik perseratus normal). Hal ini

benar bila parameternya suatu rataan, selisih dua rataan, proporsi, atau selisih dua proporsi.

Akan tetapi, hal ini tidak berlaku untuk variansi dan nisbah dua variansi.

77 IT TELKOM


Latihan soal

1. Suatu perusahaan baterai mobil menyatakan baterainya tahan, pada rata-ratanya, 3

tahun dengan variansi 1 tahun. Bila 5 dari baterai ini tahan selama 1,9 , 2,4 , 3,0 , 3,5

dan 4,2 tahun, buatlah selang kepercayaan 95% untuk σ 2 dan jelaskan apakah

pernyataan perusahaan tadi bahwa σ 2 = 1 dapat dibenarkan. Anggap umur populasi

baterai berdistribusi hampiran normal.

2. Sarapan teratur sereal yang diberi pemanis sebelumnya menyebabkan kerusakan gigi,

sakit jantung, dan penyakit lainnya menurut penelitian yang dilakukan oleh Dr.W.H.

Bowen dari Institut Kesehatan Nasional dab Dr. J. Yudhen, Profesor Nutrisi dan Diet

di Universitas London. Dalam suatu sampel acak 20 porsi yang sama Alpha-Bits

(sejenis sereal) rata-rata kadar gulanya 11,3 gr dengan simpangan baku 2,45 gr. Bila

dimisalkan bahwa kadar gula berdistribusi normal, buatlah selang kepercayaan 95%

untuk σ !

3. Suatu percobaan yang dipopulerkan di Popular Science, tahun 1981, membandingkan

pemakaian bahan bakar dua jenis truk-mini diesel dengan perlengkapan yang sama.

Misalkan 12 truk VW dan 10 truk Toyota digunakan dalam uji coba pada kecepatan

tetap 90 km per jam. Bila ke 12 truk VW rata-rata menempuh 16 km per liter dengan

simpangan baku 1,0 liter per km dan 10 truk Toyota rata-rata 11 km per liter dengan

simpangan baku 0,8 km per liter, buatlah selang kepercayaan 98% untuk σ 1/σ2, bila

σ 1 dan σ 2 masing-masing simpangan baku dari jarak yang ditempuh per liter bahan

bakar oleh truk VW dan Toyota.

4. Suatu perusahaan taksi ingin menentukan apakah membeli ban merek A atau merek B

untuk armada taksinya. Untuk menaksir perbedaan kedua merek, dilakukan suatu

percobaan menggunakan 12 ban dari tiap merek. Ban dipakai sampai aus. Hasil merek

A : x1=36.300 km , s1 = 5000 km ; merek B : x2=38.100 km , s2 = 6100 km. Hitunglah

selang kepercayaan 90% untuk σ 12/σ 2

2. Apakah anggapan bahwa σ 12=σ2

2 mendapat

dukungan dalam membuat selang kepercayaan untuk μ1−μ2?

78 IT TELKOM


5. Dari suatu sampel acak 1000 rumah di suatu kota ternyata 228 menggunakan gas Elpiji.

a) Cari selang kepercayaan 99% bila taksiran proporsi rumah di kota tadi yang menggunakan gas Elpiji.

b) Berapakah besar sampel yang diperlukan, jika diinginkan yakin 99% bahwa proporsi sampel paling banyak berjarak 0.05 dari proporsi sesungguhnya dari rumah di kota tersebut yang menggunakan gas Elpiji

6. Suatu sistem peluncur roket tertentu sedang dipertimbangkan untuk dipakai meluncurkan sejumlah roket jarak pendek. Sistem yang sekarang mempunya peluang berhasil meluncurka sebuah roket p=0.8. Sampel 40 peluncuran percobaan dengan sistem yang baru menunjukkan 34 yang berhasil.a) Buatlah selang kepercayaan 95% untuk pb) Apakah kenyataannya cukup besar mendukung bahwa sistem yang baru ini lebih

baik? Jelaskan.

7. A. Menurut suatu laporan di koran Roanoke times & world news, 20 agustus 1981, sekitar 2/3 dari 1600 orang dewasa yang disigi lewat tilpon mengatakan bahwa program pesawat ulang alik merupakan investasi yang baik bagi negara (AS). Cari selang kepercayaan 95% untuk proporsi orang AS dewasa yang berpendapat bahwa program pesawat ulang alik merupakan investasi yang baik bagi negara.

B. Apa yang dapat dikatakan mengenai kemungkina besarnay galat denga kepercayaan95% bila taksiran proporsi orang AS dewasa yang berpendapat bahwa program pesawat ulang alik invesatasi yang baik sebesar 2/3

8. Washington University school of Dental Medicine di St. Louis, dua cangkir teh hijau atau teh hitam Cina tiap hari sudah akan cukup memberi fluor untuk menjaga gigi anda dari kerusakan. Mereka yang tidak suka teh dan tinggal di daerah yang airnya tidak diberi fluor seharusnya meminta pemerintah daerahnya memberi fluor pada airnya. Berapa besarkah sampel yang diperlukan untuk menaksir persentasi penduduk di suatu kota tertentu yang memilih airnya diberi fluor bila diinginkan paling sedikit 99% yakin bahwa taksirannya paling banyak sejauh 1% dari

presentasi sesungguhnya.

9. Suatu penelitian ingin dilakukan untuk menaksir proporsi penduduk di suatu kota dan pinggirannya yang mendukung pendirian PLTN. Berapakah sampel yang

diperlukan agar yakin paling sedikit 95% bahwa taksirannya paling banyak

79 IT TELKOM


berjarak 0.04 dari proporsi sesungguhnya dari penduduk di kota tersebut dan pinggirannya uang mendukung pendirian PLTN?

10. Seorang pimpinan perusahaan ingin mengetahui perbedaan rata-rata gaji bulanan karyawan diperusahan A dan perusahan B. Untuk itu diambil sampel acak masung-masing 9 orang karyawan dari dua perusahaan tersebut dan kemudian mereka diwawancara satu persatu. Hasil wawancara menunjukan bahwa gaji perbulan (dalam dolar) karyawan di dua perusahaan tersebut adalah sbb.:

Kywn 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Gaji perusahaan A

40 46 50 36 38 34 42 44 30

Gaji perusahaan B

30 24 16 25 35 40 46 38 34

Simpangan baku populasi kedua perusahaan tidak diketahui dan diasumsikan sama.

Buatlah interval taksiran untuk menduga berapa sesungguhnya perbedaan rata-rata gaji karyawanperbulan didua perusahaan tersebut.

11. Suatu perusahaan rokok menyatakan bahwa rokoknya merek A terjual 8% lebih banyak dari rokoknya merek B. Bila dari 200 perokok ada 42 yang lebih menyukai merek A dan 18 dari 150 perokok lebih menyukai merek B, hitunglah selang kepercayaan 94% untuk selisih antara proporsi penjualan kedua merek dan tentukan apakah perbedaan 8% tersebut suatu pernyataan yang kena.

12. Suatu perusahaan baterai mobil menyatakan bahwa baterainya tahan, pada rata-ratanya, 3 tahun dengan variansi 1 tahun. Bila 5 dari baterai ini tahan selama 1,9, 2,4, 3,0, 3,5, dan 4,2 tahun, buatlah selang kepercayaan 95% untuk σ2 dan jelaskan apakah pernyataan perusahaan tadi bahwa σ2 = 1 dapat dibenarkan. Anggap umur populasi baterai berdistribusi hampiran normal.

80 IT TELKOM


13. Suatu penelitian bertujuan menentukan apakah cairan A mempunyai pengaruh terhadap banyaknyalogam yang tersingkirkan jika logam itu direndam dalam cairan tersebut. Suatu sampel acak 100 potong logam direndam selama 24 jam dalam cairan lain dan menghasilkan rata-rata 12,2 mm logam yang tersingkir dengan simpangan baku 1,1 mm. sampel kedua dengan 200 potong logam yang sma direndam selama 24 jam dalam cairan A menyingkirkan rata-rata 9,1 mm logam dengan simpangan baku 0,9 mm. hitunglah selang kepercayaan 98 % untuk selisih kedua rataan populasi. Apakah cairan A menurunkan banyaknya logam yang tersingkir?

14. Dalam suatu penelitian yang dilakukan di Virginia Polytechnic Institute and State University pada 1983 mengenai perkembangan ectomycorrhizal, hubungan simbiosis antara akar pohon dan cendawan yang memindahkan mineral dari cendawan ke pohon dan gula dari pohon ke cendawan. Untuk itu 20 bibit oak merah dengan cendawan Pisolithus tinctorus ditanam dalam rumah kaca. Semua bibit ditanam dalam sejenis tanah yang sama dan mendapat jumlah sinar matahari dan air yang sama. Setengahnya sama sekali tidak mendapat nitrogen waktu penanaman yang bertindak sebagai control dan setengah lainnya mendapat 368 ppm nitrogen dalam bentuk NaNO3. Berat batang, dalam gr, pada hari ke 140 tercatat sbb:

Tanpa Nitrogen Nitrogen

0,32

0,53

0,28

0,37

0,47

0,43

0,36

0,42

0,38

0,43

0,26

0,43

0,47

0,49

0,52

0,75

0,79

0,86

0,62

0,46

Buatlah selang kepercayaan 95% untuk selisih rataan berat batang antara bibit yang tidak mendapat nitrogen dan yang mendapat 368 ppm nitrogen. Anggap populasinya berdistribusi normal dengan variansi yang sama.

81 IT TELKOM


15. Data berikut, dalam hari menyatakan waktu yang diperlukan penderita sampai sembuh, penderita dipilih secara acak untuk mendapat salah satu dari dua obat yang dapat menyembuhkan infeksi berat pada saluran kencing;

Obat 1 Obat 2

N1= 14

ẋ1=17

s12=1,5

N2= 116

ẋ2= 19

s22= 1,8

Buat selang kepercayaan 99% untuk selisih rataan waktu sembuh untuk kedua obat µ1- µ2, anggap populasinya berdistribusi normal dengan variansi yang sama.

16. Suatu percobaan yang dilaporkan di Popular Science, tahun 1981, membandingkan pemakaian bahan bakar dua jenis truk-mini diesel dengan perlengkapan yang sama. Misalkan 12 truk VW dan 10 truk Toyota digunakan dalm uji coba pada kecepatan 90 km/jam. Bila ke 12 truk VW rata-rata menempukh 16 km per liter dengan simpangan baku 1,0 km per liter dan 10 truk Toyota rata-rata 11 km dengan simpangan baku 0,8 per liter. Buat lah selang kepercayaan 90% untuk selisih antara rataan km per liter kedua jenis truk mini. Anggap bahwa jarak perliter untuk setiap model truk berdistribusi normal dengan variansi yang sama.

17. Suatu perusahaan taksi ingin menentukan apakah membeli ban merek A atau merek B untuk armada taksinya. Untuk menaksir perbedaan kedua merek, dilakukan suatu percobaan menggunakan 12 ban dari tiap merek. Ban dipakai sampai aus. Hasil merek A: x1= 36.300 km, s1= 5000 km; merek B x2= 38.100 km, s2=6100 km. hitunglah selang kepercayaan 95% untuk µ1- µ2, anggap kedua populasi berdistribusi hamper normal.

18. Data berikut menyatakan waktu putar film yang diproduksi dua perusahaan film gambar hidup.

perusahaan

Waktu (menit)

A103

94

11087

98

88 118B

9782

12392

175

82 IT TELKOM


Hitunglah selang kepercayaan 90% untuk selisih kedua rataan waktu putar film yang diproduksi kedua perusahaan. Anggap bahwa perbedaan waktu putar berdistribusi normal.

19. Hitunglah selang kepercayaan 99% untuk µ1- µ2 bila suatu ban dari tiap merek dipasang secara acak di roda belakang delapan taksi dan jarak yang di tempuh, dalam km, adalah ;

Taksi

Merek A

Merek B

1

34,400

36,700

2

45,500

46,800

3

36,700

37,700

4

32,000

31,100

5

48,400

47,800

6

32,800

36,400

7

38,100

38,900

830,

31,

83 IT TELKOM


100

500

Anggap selisih jarak berdistribusi hampir normal.

20. Pemerintah memberikan dana ke jurusan pertanian Sembilan universitas untuk menguji kemampuan menghasilkan dua varietas gandum yang baru. Tiap varietas di tanam di petak sawah yang sama luasnya di tiap universitas dan hasilnya, dalam kilogram per petak, adalah sebagai berikut;

varietasUniversitas

1 2 3 4 5 6 7 8 9Varietas A 38 23 35 41 44 29 37 31 38Varietas B 45 25 31 38 50 33 36 40 43

HItunglah selang kepercayaan 95% untuk rataan selisih hasil kedua jenis , anggap bahwa distribusi hasil hampir normal, jelaskan mengapa kedua varietas perlu dibuat berpasangan dalam soal ini.

21. Departemen Perindustrian dan Perdagangan ingin mengetahui pendapatan rata-rata dari usaha UKM di Jawa Barat tahun 2003. Dari total 660 UKM di bawah bimbingan Departemen, diambil sampel 120 UKM yang terdapat di Bogor, Cirebon, Tasikmalaya dan Cianjur. Rata-rata pendapatan perbulannya ternyata meningkat menjadi 2,1 juta dengan standar deviasi populasinya 0,8 juta. Dengan tingkat keyakinan 95%, buatlah interval rata-rata kenaikan pendapatan UKM di Jawa Barat!

22. Pemerintah DKI Jakarta mengadakan program peningkatan usaha kecil dan menengah dalam rangka peningkatan pendapatan golongan ekonomi lemah. Untuk mengetahui apakah proyek ini berhasil atau tidak, maka akan dibedakan antara orang yang mengikuti proyek dan tidak. Pendapatan 13 orang dari 67 peserta yang ikut proyek sebesar 1,2 juta perbulan dengan standar deviasi sebesar 0,2 juta. Sedang pendapatan 5 orang dari 34 orang nonpeserta rata-rata sebesar 0,8 juta dengan standar deviasi 0,4. Dengan menggunakan tingkat keyakinan 99%, buatlah interval keyakinan tentang selisih dari kedua kelompok tersebut.

23. PT Lipo Karawaci yang merupakan perusahaan perumahan di Indonesia akan membangun perumahan di Sentul, Bogor. Untuk keperluan tersebut diadakan survey tentang daya beli masyarakat. Berdasarkan data di Kecamatan diketahui standar deviasi

84 IT TELKOM


pendapatan masyarakat sebesar 0,8 juta. Apabila diasumsikan bahwa kesalahan penarikan sampel sebesar 0,1 juta, dengan tingkat kepercayaan 99%, berapa sampel yang harus diambil oleh PT Lipo Karawaci?

24. PT. Islamic Net ingin mengetahui jumlah rata-rata nilai penjualan per hari dari tenaga pemasaran sebagai dasar dari penentuan prestasinya. Hasil sementara menunjukkan rata-rata perjalanan 150 ribu dengan standar deviasi 14 ribu. Berapa sampel pramuniaga yang harus diambil, apabila diinginkan kesalahan yang ditoliler adalah 2 ribu dan tingkat keyakinan 99%?

25. Sebuah mesin menghasilkan potongan logam yang berbentuk silinder.Sampel beberapa potongan diukur, dan ternyata diameternya 1.01,0.97,1.03,1.04,0.99 , 0.98,0.99,1.01, dan 1.03.Hitunglah selang kepercayaan 0.99% untuk rataan potongan diameter yang dihasilkan mesin tersebut bila dimisalkan distribusinya hamper normal.

26. Pengukuran berikut memberikan waktu mengering, dalam jam, sejenis cat lateks merek tertentu.

3 ,4 2,5 4,8 2,9 3,6

2,8 3,3 5,6 3,7 2,8

4,4 4,0 5,2 3,0 4,8

Bila dimisalkan pengukuran menyatakan sampel acak yang diambil dari populasi normal, hitunglah batas toleransi 99% yang akan mengandung 95% waktu mengering.

27. Sebuah mesin menghasilkan potongan logam yang berbentuk selinder. Sampel beberapa potongan diukur dan ternyata diameternya :

1,01 0,97 1,03 1,04 0,99 0,98 0,99 1,01 dan 1,03 cm.

Hitunglah selang kepercayaan 99 % untuk rataan diameter potongan yang dihasilkan mesin tersebut bila dimisalkan distribusinya hampir normal.

28. Diketahui x1 + x2 +......+ x7, diambil ample acak dari populasi yang mempunyai rata-rata μ dan variansi σ 2. Perhatikan estimator µ sbagai berikut:

Ø 1 = (x1+x2+....+x7)/7

Ø 2 = (2x1 – x6 + x4)/2

85 IT TELKOM


Apakah kedua estimator unbiased?

Yang mana estimator terbaik?

29. Misalkan kita mempunyai sampel acak dengann ukuran n dari populasi yang dinotasikan sebagaii x, dan E(x) = μ dan var x =σ 2.

Diketahui x1 = 1

2n ∑

i=1

2 n

xi dan x2 = 1n

∑i=1

n

xi

Adalah dua estimator μ . Yang mana estimator μ yang lebih baik? Jelaskan pilihan anda.

30. Misalkan θ 1 ,θ 2∧θ 3 adalah estimator estimator θ . Kita tahu bahwa E(θ 1¿= E(θ 2¿ dan = θ, E(θ 3¿≠θ, var θ 1 =12, var θ 2 =10 and E[θ 3 – θ]❑2 =6. Bandingkan ke tiga estimator. Yang mana yang lebih baik? Kenapa?

31. In a binomial experiment exactly x successes are observed in n independent trials. The following two statistics are proposed as estimators of the proportion parameter p: T1 = x/n and T2 = (x+1)/(n+2)

Determine and compare the MSE for T1 and T2.

32. X1, X2, X3 and X4 adalah sample random dengan ukuran n= 4 dari suatu populasi yang berdistribusi exponensial dengan parameter θ yang tidak diketahui.

Diantara:

T1= 1/6(x1+x2) + (1/3(x3+x4)

T2=(x1+2x2+3x3+4x4)/5

T3=(x1+x2+x3+x4)/4

Tentukan Statistik mana yang unbiased estimator dari θ?

Diantara estimator θ yang unbiased , tentukan estimator yang terbaik

33. Diketahui populasi 1 dengan rata-rata = 80 dan simpangan baku=5, dan populasi 2 dengan rata-rata = 75 dan simpangan baku = 3, diambil sampel masing-masing n1= 25 dan n2=36.

86 IT TELKOM


Ditanya: berapa probabilitas (3,4≤x1-x2≤5,9)

87 IT TELKOM


BAB IV UJI HIPOTESIS

Dalam bab ini akan dibahas bagaimana cara menguji suatu statemen dimana statemen tersebut belum tentu kebenarannya. Uji hipotesis yang akan dibahas antara lain :

a) Uji menyangkut rataan

b) Uji menyangkut proporsi

c) Uji menyangkut variansi

Baik untuk satu ataupun dua populasi.

Setelah mempelajari materi ini mahasiswa dapat menguji berbagai pernyataan dan diharapkan dapat digunakan dalam situasi nyata.

1. Mahasiswa dapat memahami konsep dasar uji hipotesis

2. Mahasiswa akan dapat mengetahui berbagai macam ilustrasi dalam penyelesaian

masalah menggunakan uji hipotesis

3. Mahasiswa diharapakan dapat mengidentifikasi terhadap masalah yang dihadapi

perusahaan

88 IT TELKOM



PENDAHULUAN



1. Perkuliahan



3. Tes pendahuluan


tanya jawab

5. Tes akhir


7. Penutup

89 IT TELKOM

1………….2………….3………….4………….



IV.1 HIPOTESIS STATISTIK

Pengujian hipotesis statistik merupakan suatu bidang besar inferensi statistik. Hipotesis

statistik adalah suatu anggapan, pernyataan atau dugaan, yang mungkin benar atau tidak,

mengenai satu atau lebih populasi. Pengujian hipotesis berhubungan dengan penerimaan atau

penolakan suatu hipotesis. Kebenaran suatu hipotesis tidak akan pernah diketahui dengan

pasti, kecuali kita memeriksa seluruh populasi. Namun, karena tidak memungkinkan

memeriksa seluruh populasi, maka kita dapat mengambil sampel acak dan menggunakan

informasi atau bukti dari sampel tersebut untuk menerima atau menolak suatu hipotesis.

Penerimaan suatu hipotesis terjadi karena TIDAK CUKUP BUKTI untuk MENOLAK

hipotesis tersebut dan BUKAN karena HIPOTESIS ITU BENAR dan penolakan suatu

hipotesis terjadi karena TIDAK CUKUP BUKTI untuk MENERIMA hipotesis tersebut dan

BUKAN karena HIPOTESIS ITU SALAH.

90 IT TELKOM

RINGKASAN MATERI


91 IT TELKOM


Prosedur pengujian hipotesis diawali dengan perumusan Hipotesis Awal yang diharap

akan ditolak dan biasanya disebut dengan Hipotesis Nol (H0). Hipotesis Nol ini juga sering

menyatakan kondisi yang menjadi dasar pembandingan dan harus menyatakan dengan pasti

nilai parameter. Penolakan H0 membawa kita pada penerimaan Hipotesis Alternatif (H1).

H0 → ditulis dalam bentuk persamaan (=)

H1 → ditulis dalam bentuk pertidaksamaan (< ; > ; ≠)

Contoh 1

Sebelum tahun 1993, pendaftaran mahasiswa Universtas GD dilakukan dengan pengisian

formulir secara manual. Pada tahun 1993, PSA Universitas GD memperkenalkan sistem

pendaftaran "ONLINE". Seorang Staf PSA ingin membuktikan pendapatnya “bahwa rata-rata

waktu pendaftaran dengan sistem ONLINE akan lebih cepat dibanding dengan sistem yang

lama”. Pada sistem lama, rata-rata waktu pendaftaran adalah 50 menit. Perumusan

hipotesisnya adalah sebagai berikut:

H0 : µ = 50 menit (sistem baru dan sistem lama tidak berbeda)

H1 : µ < 50 menit (sistem baru lebih cepat dibanding sistem lama)

IV.2 ARAH PENGUJIAN HIPOTESIS

Pengujian Hipotesis dapat dilakukan secara :

1. Uji Satu Arah (uji ekasisi)

92 IT TELKOM


2. Uji Dua Arah (uji dwisisi)

Hipotesis nol (H0), akan selalu dinyatakan dengan menggunakan tanda

kesamaan yang berarti menyatakan suatu nilai yang tunggal. Untuk penggunaan uji ekasisi

dan uji dwisisi tergantung pada kesimpulan yang akan diambil jika H0 ditolak. Letak daerah

kritis (daerah penolakan H0) baru dapat ditentukan hanya setelah H1 ditentukan.

IV.2.1 Uji Ekasisi

Uji ekasisi ini digunakan apabila peneliti memiliki informasi mengenai arah

kecenderungan dari karakteristik populasi yang sedang diamati. Pengajuan H0 dan H1 dalam

uji satu arah adalah sebagai berikut:

H0 : ditulis dalam bentuk persamaan (menggunakan tanda =)

H1 : ditulis dalam bentuk lebih besar (>) atau lebih kecil (<)

Pada uji ini nilai α (taraf keberartian atau ukuran daerah kritis) tidak dibagi dua,

karena seluruh α diletakkan hanya di salah satu sisi selang.

Misalkan :

H0 : µ = µ0 (µ0 adalah suatu rata-rata yang diajukan dalam H0)

H1 : µ < µ0

Wilayah kritis : z < -zα atau t < -t(db;α) (pengunaan z atau t tergantung

pada ukuran sampel, sampel besar menggunakan z; sampel kecil

menggunakan t)

93 IT TELKOM


Gambar IV.7 Wilayah Kritis untuk Uji Ekasisi Kiri

Daerah yang terarsir : daerah penolakan hipotesis (daerah kritis)

Daerah yang tidak terarsir : daerah penerimaan hipotesis

Misalkan :


H1 : µ < µ0

Wilayah kritis : z < -zα atau t < -t(db;α) (pengunaan z atau t tergantung pada

ukuran sampel, sampel besar menggunakan z; sampel kecil

menggunakan t)

94 IT TELKOM


Gambar IV.8 Wilayah Kritis untuk Uji Ekasisi Kanan

Daerah yang terarsir : daerah penolakan hipotesis (daerah kritis)

Daerah yang tidak terarsir : daerah penerimaan hipotesis

IV.2.2 Uji Dwisisi

Uji dwisisi digunakan apabila peneliti tidak memiliki informasi mengenai arah

kecenderungan dari karakteristik populasi yang sedang diamati. Pengajuan H0 dan H1 dalam

uji satu arah adalah sebagai berikut:

H0 : ditulis dalam bentuk persamaan (menggunakan tanda =)

H1 : ditulis dalam bentuk lebih besar (>) atau lebih kecil (<)

Pada uji ini nilai α (taraf keberartian atau ukuran daerah kritis) dibagi dua, karena α

diletakkan di kedua sisi selang.

95 IT TELKOM


Misalkan :


H1 : µ < µ0

Wilayah kritis : z < -zα2

atau t < -t(db;α2 ) (pengunaan z atau t tergantung

pada ukuran sampel, sampel besar menggunakan z; sampel kecil

menggunakan t)

Gambar IV.9 Wilayah Kritis untuk Uji Dwisisi

IV.3 KESALAHAN DALAM PENGUJIAN HIPOTESIS

Dalam mengambil kesimpulan untuk suatu uji hipotesis kita mungkin akan melakukan

kesalahan (kesalahan = error = galat), yaitu:

Galat jenis 1 (α) : menolak H0 padahal H0 benar

Galat jenis 2 (β) : menerima H0 padahal H0 salah

Tabel IV.3 Kemungkinan Kesalahan dalam Pengujian Hipotesis Statistik

KesimpulanKeadaan SebenarnyaH0 benar H0 salah

Terima H0 Keputusan benar Galat jenis 2Tolah H0 Galat jenis 1 Keputusan benar

Prinsip pengujian hipotesis yang baik adalah meminimalkan nilai α dan β. Dalam

perhitungan, nilai α dapat dihitung sedangkan nilai β hanya bisa dihitung jika nilai hipotesis

alternatif sangat spesifik.

Contoh 2

Sejenis vaksin flu diketahui hanya efektif 25% setelah jangka waktu 2 tahun. Untuk

menentukan apakah vaksin baru leih unggul daripada vaksin lama, dipilih 100 orang secara

acak dan diberi suntikan vaksin baru tersebut. Bila dalam waktu lebih dari 2 tahun, 36 orang

96 IT TELKOM


atau lebih tidak terserang virus, maka vaksin baru dianggap lebih unggul daripada vaksin

lama. Hitung galat jenis I (α) dan galat jenis II (β) dengan p = 12

!

Jawab :

H0 : p = 14

H1 : p > 14

Daerah kritis : x > 36 daerah penerimaan : x ≤ 36

(gunakan pendekatan distribusi normal baku)

a. µ = n . p = 100 . 14

= 25 = √n . p . q = √100 .14

.34

= 4,33

Z =

x−µ❑

=

36,5−254,33

= 2,66

Gambar IV.10 Peluang Suatu Galat Jenis I

α = P (galat jenis I)

= P (H0 tolak H0 benar)

= P (x > 36 p = 14

)

= P (Z > 2,66)

= 1 - P (Z < 2,66)

= 1 – 0,9961

= 0,0039

b. µ = n . p = 100 . 12

= 50 = √n . p . q = √100 .12

.12

= 5

97 IT TELKOM

36,5

α


Gambar IV. Peluang Suatu Galat Jenis II

c. Z = x−µ❑ =

36,5−505

= -2,7

α = P (galat jenis II)

= P (H0 terima H0 salah)

= P (x ≤ 36 p = 12

)

= P (Z < - 2,7)

= 0,0035

Sifat-sifat galat :

Galat jenis I dan galat jenis II berkaitan. Memperkecil peluang yang satu dapat

biasanya memperbesar peluang yang lainnya.

Ukuran daerah kritis, jadi juga peluang melakukan galat jenis I, selalu dapat

diperkecil dengan menyesuaikan nilai kritis.

Menaikkan ukuran sampel nakan memperkecil α dan β secara serentak.

Bila H0 salah, β akan mencapai maksimum bila nilai parameter sesungguhnya dekat

dengan nilai yang dihipotesiskan. Makin besar jarak antara nilai sesungguhnya

dengan nilai yang dihipotesiskan, maka makin kecil pula β.

98 IT TELKOM


Suatu pengertian yang amat penting yang berkaitan dengan kedua peluang galat ialah

perngertian kuasa uji. Kuasa suatu uji adalah peluang menolak H0 bila suatu tandingan

tertentu benar. Kuasa suatu uji dapat dinotasikan dengan Ɣ dan dapat dihitung dengan 1 – β.

IV.4 LANGKAH PENGERJAAN UJI HIPOTESIS

Untuk melakukan suatu uji hipotesis, langkah-langkah yang harus dilakukan adalah

sebagai berikut :

1. Tentukan hipotesis nol (H0) dan hipotesis tandingan (H1).

2. Pilih taraf keberartian α

3. Tentukan arah pengujian (ekasisi atau dwisisi)

4. Tentukan daerah kritisnya

5. Pilih uji statistik yang sesuai

6. Hitunglah nilai uji statistik dari data sampel

7. Tentukan kesimpulan (tolak H0 bila uji statistik mempunyai nilai di dalam daerah

kritis dan terima H0 bila uji statistilk mempunyai nilai di luar daerah kritis)

Beberapa nilai Z yang sering digunakan:

z5% = z0.05 =1.645 z2.5% = z0.025 =1.96

z1% = z0.01 = 2.33 z0.5% = z0.005 = 2.575

IV.5 UJI MENYANGKUT RATAAN

Pengujian hipotesis yang menyangkut rataan terdiri dari berbagai macam cara,

diantaranya adalah uji menyangkut satu rataan dengan variansi diketahui, uji menangkut satu

rataan dengan variansi tidak diketahui, uji menyangkut dua rataan dengan variansi diketahui,

uji menyangkut dua rataan dengan variansi tidak diketahui tapi 1=2 atau 1 ≠ 2, dan uji

menyangkut rataan dengan pengamatan berpasangan.

Tabel IV.4 Uji Menyangkut RataanNO

H0 Statistik H1 Daerah Kritis

1. =0

z= x−μσ /√n

; diketahui

<0

>0

0

Z <- Z

Z > Z

Z <- Z /2 ;Z > Z /2

2. =0

t=x−μ0

S /√n ;

<0

>0

t <- tt > t

99 IT TELKOM


tidak diketahuiv= n-1

0 t <- t /2 ;t > t /2

3. 1-2=d0 z =

(x1−x2 )−d0

√(σ12/n1 )+ (σ 2

2/n2) ;

1 dan 2 diketahui

1-2<d0

1-2>d0

1-2 d0

Z <- Z

Z > Z

Z <- Z /2 ;Z > Z /2

4.1-2=d0

t=(x1−x2)−d0

S p√(1 /n1)+ (1/n1 ); v = n1+ n2

1=2 tetapi tidak diketahui

Sp2=

(n1−1 ) s12+(n2−1)s2

2

n1+n2−2

1-2<d0

1-2>d0

1-2 d0

t <- tt > t t <- t /2 ;t > t /2

5.1-2=d0

t=(x1−x2)−d0

√(s12/n1 )+(s2

2/n2 )1 ≠ 2 dan tidak diketahui

υ=(s1

2/n1+s22/n2 )

2

(s12/n1 )

2

n1−1+(s2

2/n2 )2

n2−1

1-2<d0

1-2>d0

1-2 d0

t <- tt > t t <- t /2 ;t > t /2

6. D=d0t=

d−d0

sd/√nv = n-1pengamatan berpasangan

D<d0

D>d0

1D d0

t <- tt > t t <- t /2 ;t > t /2

Contoh 3. Uji menyangkut satu rataan dengan variansi diketahui

Sampel acak catatan 100 kematian di AS selama tahun lalu menunjukan rata-rata usia mereka

71,8 tahun. Andaikan simpangan bakunya 8,9 tahun, apakah ini menunjukan bahwa rata-rata

usia dewasa ini lebih dari 70 tahun? Gunakan taraf keberartian (α) 0,05.

Jawab :

1. H0 : µ = 70 tahun

2. H1 : µ > 70 tahun

3. α = 0,05

daerah kritis z > 1,645 Gambar IV.11 Daerah Kritis contoh 3.

4. perhitungan : x = 71,8 tahun ; = 8,9 tahun

Z = x−µ

¿√n =

71,8−70

8,9/√100 = 2,02

5. Keputusan : Tolak H0

6. Kesimpulan : rata-rata usia dewasa ini lebih dari 70 tahun.

Contoh 4. Uji menyangkut dua rataan dengan variansi tidak diketahui

100 IT TELKOM


Suatu percobaan dilakukan untuk membandingkan keausan, karena gosokan dua bahan yang

dilapisi. Dua belas potong bahan diuji dengan memasukan tiap potong bahan ke dalam mesin

pengukur aus. Sepuluh potong bahan 2 diuji dengan cara yang sama. Sampel bahan 1

memberikan rata-rata keausan sebanyak 85 satuan dengan simpangan baku 4 sedangkan

sampel bahan 2 memberikan rata-rata keausan sebanyak 81 dengan simpangan baku sampel

5. Dapatkah disimpulkan bahwa pada taraf kepercayaan 0,05 keausan bahan 1 melampaui

keausan bahan 2 sebanyak lebih dari 2 satuan? Anggaplah populasi hampir normal dengan

variansi yang sama.

Jawab :

Misalkan µ1 dan µ2 masing-masing menyatakan rataan populasi keausan bahan 1 dan bahan 2.

1. H0 : µ1 - µ2 = 2

2. H1 : µ1 - µ2 > 2

3. α = 0,05

4. daerah kritis t > 1,725

5. perhitungan : x1 = 85 ; s1 = 4 ; n1 = 12 ; x2 = 81 ; s2 = 5 ; n2 = 10

sp = √ (12−1 )16+(10−1)2512+10−2

= 4,478

t = (85−81)−2

4,478/√ 112+ 1

10 = 1,04

6. Keputusan : Terima H0

7. Kesimpulan : tidak dapat disimpulkan bahwa keausan bahan 1 melampaui bahan 2

lebih dari 2 satuan.

Contoh 5. Uji menyangkut rataan dengan pengamatan berpasangan

Dalam makalah ‘Influence of Physical Restraint and Restraint-Facilitating Drugs on Blood

Measuraments of White-Tailed Deer and Other Selected Mammals’, Virginia Polythechnic

Institue and State University (1976), J.A. Wesson memeriksa pengaruh obat succinylcholine

terhadap kadar peredaran androgen dalam darah. Sampel darah dari rusa liar yang hidup

bebas diambil melalui urat nadi leher segera serelah disuntikan succinylcholine pada otot

menggunakan panah dan senapan penangkap. Risa kemudian diambil lagi darahnya kira-kira

30 menit setelah suntikan dan kemudian dilepaskan. Kadar androgen pada waktu ditangkap

dan 30 menit kemudian diukur dalam nanogram per ml (ng/ml) untuk 15 rusa adalah sebagai

berikut: (anggap populasi androgen berdistribusi normal)

101 IT TELKOM


Rusa Androgen (ng/ml) di

Waktu suntikan

30 menit setelah suntikan

1 2,76 7,02 4,262 5,18 3,10 -2,083 2,68 5,44 2,764 3,05 3,99 0,945 4,10 5,21 1,116 7,05 10,26 3,217 6,60 13,91 7,318 4,79 18,53 13,749 7,39 7,91 0,5210 7,30 4,85 -2,4511 11,78 11,10 -0,6812 3,90 3,74 -0,1613 26,00 94,03 68,0314 67,48 94,03 26,5515 17,04 41,70 24,66

Dengan menggunakan taraf keberartian 0,05, apakah konsentrasi androgen berubah setelah

ditunggu 30 menit?

Jawab :

Misalkan µ1 dan µ2 masing-masing menyatakan rataan konsentrasi androgen pada waktu

suntikan dan 30 menit setelah suntikan.

1. H0 : µ1 = µ2 atau HD : µ1 - µ2 = 0

2. H1 : µ1 ≠ µ2 atau HD : µ1 - µ2 ≠ 0

3. α = 0,05

4. daerah kritis t < -2,145 dan t > 2,145 v = 14

5. perhitungan : rataan sampel dan simpangan baku untuk nilai d i adalah d = 9,848 dan

sd = 18,474

t = 9,848−0

18,474/√15 = 2,06


7. Kesimpulan : ada kenyataan tentang adanya perbedaan dalam rataan kadar peredaran

androgen.

102 IT TELKOM


IV.6 UJI MENYANGKUT PROPORSI

Uji hipotesis yang manyangkut proporsi banyak dipakai dalam berbagai bidang.

Sebagai contoh, politisi tentunya tertarik untuk mengetahui berapa bagian dari pemilih yang

akan mendukungnya dalam pemilihan. Uji hipotesis ini terdiri dari uji menyangkut rataan dan

uji menyangkut selisih rataan.

Tabel IV.5 Uji Menyangkut Proporsi

Ho Statistik H1 Daerah Kritis

p=p0z=

p−p0

√ p0q0/n

p<p0

p>p0

p p0

Z <- Z

Z > Z

Z <- Z /2 ;Z > Z /2

p1=p2z=

p1−p2

√ pq / (1/n1+1/n2 )

p1<p2

p1>p2

p1 p2

Z <- Z

Z > Z

Z <- Z /2 ;Z > Z /2

p1=p2=.....=pk

χ2=∑ (oi−ei )2

ei

Tidak semuanya sama

2 >2

Contoh 6. Menguji proporsi dengan sampel kecil

103 IT TELKOM


Suatu perusahaan tv menyatakan bahwa 70% tv di kota B berasal dari perusahaan tersebut.

Apakah anda setuju dengan pernyataan itu bila suatu sampel acak di kota B menunjukan

bahwa 8 dari 15 tv berasal dari perusahaan tadi? Gunakan taraf keberartian 0,01.

Jawab :

1. H0 : p = 0,7

2. H1 : p ≠ 0,7

3. α = 0,10

4. uji statistik: peubah binomial X dengan p = 0,7 dan n = 15

5. perhitungan : x = 8 dan npo = (15)(0.7) = 10,5

P = 2P(X ≤ 8 bila p = 0,7)

= 2∑x=10

8

b (x ;15 ;0,7)

= 0,2622 > 0,10


7. Kesimpulan : tidak cukup alasan meragukan pernyataan perusahaan tersebut.

Contoh 7. Menguji proporsi

Suatu obat yang biasa dijual untuk mengurangi ketegangan syaraf diyakini manjur hanya

60%. Hasil percobaan dengan obat baru yang dicobakan pada sampel acak 100 orang dewasa

yang menderita ketegangan syaraf menunjukan bahwa 70 merasa tertolong. Apakah

kenyataan ini cukup untuk menyimpulkan bahwa obat baru tadi lebih unggul dari yang biasa/

gunakan taraf keberertian 0,05.

Jawab :

1. H0 : p = 0,6

2. H1 : p > 0,6

3. α = 0,05

4. daerah kritis z > 1,645

5. perhitungan : x = 70 ; n = 100 ; npo = (100)(0,6) = 60

Z =70,5−60

√100.0,6 .0,4 = 2,14


7. Kesimpulan : obat baru lebih unggul.

Contoh 8. Menguji selisih dua proporsi

104 IT TELKOM


Pemungutan suara diambil dari suatu kotamadya dan kabupaten di sekitarnya untuk

menentukan apakah suatu rencana pembangunan pabrik kimia boleh diteruskan. Daerah

industri tersebut masih berada dalam batas kota dan karena itu banyak penduduk kabupaten

merasa bahwa rencana itu akan disetujui karena proporsi terbesar penduduk kota menyetujui

pembangunan pabrik tersebut. Untuk menentukan apakah ada perbedaan yang berarti antara

proporsi penduduk kota dan kabupaten yang mendukung rencana tersebut, suatu pol

diadakan. Bila 240 dari 500 penduduk kabupaten yang menyetujuinya, apakah anda

sependapat bahwa proporsi penduduk kota yang setuju lebih besar dari proporsi penduduk

kabupaten yang tidak setuju? Gunakan taraf keberartian 0,025.

Jawab :

Misalkan p1 dan p2 menyatakan proporsi sesungguhnya penduduk kota dan kabupaten yang

menyetujui rencana tersebut.

1. H0 : p1 = p2

2. H1 : p1 > p2

3. α = 0,025

4. daerah kritis z > 1,96

5. perhitungan :

p1 = x1n 1

= 120200

= 0,6

p2 = x2n 2

= 240500

= 0,48

p = x1+x2n 1+n 2

= 120+240200+500

= 0,51

Z =

0,6−0,48

√0,51.0,49{( 1200 )+( 1

500) = 2,9


7. Kesimpulan : penduduk kota yang menyetujui rencana tersebut lebih besar dari proporsi

penduduk kabupaten yang tidak menyetujui.

IV.7 UJI MENYANGKUT VARIANSI

Pengujian hipotesis mengenai variansi populasi atau simpangan baku berarti kita ingin

menguji hipotesis mengenai keseragaman suatu populasi ataupun barangkali membandingkan

keseragaman suatu populasi dengan populasi lainnya. Statistik yang cocok sebagai dasar

keputusan adalah statistik chi-square dan statistik F.

105 IT TELKOM


Tabel IV.6 Uji Menyangkut Variansi

Ho Statistik H1 Daerah Kritis

=0χ2=

(n−1 )n2

σ 02

= n-1

<0

>0

0

2 <2

2 >2

2<2/2

2>2/2

1=2 f=

s12

s22

1 = n1-1

1 = n1-1

1<2

1<2

1 2

f < f1- (1,2)f > f (1,2)f < f1-/2(1,2)f > f/2 (1,2)

Contoh 9. Menguji variansi

Suatu perusahaan baterai mobil menyatakan bahwa umur baterainya berdistribusi hampir

normal dengan simpangan baku 0,9 tahun/ Bila sampel acak 10 beterai tersebut menghasilkan

simpangan baku 1,2 tahun, apakah anda setuju bahwa > 0,9 tahun? Gunakan taraf

keberartian 0,05.

Jawab :

1. H0 : ❑2= 0,81.

2. H1 : ❑2 > 0,81.

3. α = 0,05.

4. Daerah kritis 2 > 16,919 dengan derajat kebebasan v = 9

5. Perhitungan s2 = 1,44, n = 10

2 = (9 )(1,44)

0,81 = 16,0

6. Keputusan : Statistik x2 tidaklah berarti pada taraf 0,05. Akan tetapi, ada sedikit

kenyataan bahwa > 0,9.

Contoh 10. Menguji selisih dua variansi

Dalam menguji selisih keausan kedua bahan di contoh V.2, dianggap bahwa kedua variansi

populasi yang tidak diketahui sama besarnya. Apakah anggapan seperti ini beralasan ?

Jawab :

1. H0 : σ 12= σ 2

2

106 IT TELKOM


2. H1 : σ 12≠ σ 2

2

3. α = 0,10

4. Daerah kritis :

f0,05 (11,9) = 3,11

f0,95 (11,9) = 1

f 0,05(9,11) = 0,34

Jadi, hipotesis nol ditolak bila f < 0,43 atau f > 3,11, untuk f = s12/ s2

2 dengan derajat

kebebasan v1 = 9 dan v2 = 9

5. Perhitungan s12 = 16, s1

2= 25, jadi

f = 1625

= 0,64

6. Keputusan : terima H0.

7. Kesimpulan : tidak cukup kenyataan untuk menyatakan bahwa variansinya berbeda.

Latihan Soal

1. Proporsi keluarga yang membeli susu dari perusahaan A di suatu kota ditaksir sebesar p =

0,6. Bila sampel acak 10 keluarga menunjukan bahwa hanya 3 atau kurang yang membeli

susu dari perusahaan A maka hipotesis bahwa p = 0,6 akan ditolak dan tandingan p < 0,6

didukung.

a. Carilah peluang melakukan galat jenis I bila proporsi sesungguhnya p = 0,6.

b. Carilah peluang melakukan galat jenis II untuk tandingan p = 0,3, p = 0,4, dan p = 0,5.

2. Proporsi orang dewasa yang tamat perguruan tinggi yang tinggal di suatu kota ditaksir

sebanyak p = 0,3. Untuk menguji hipotesis ini sampel acak 200 orang dewasa dipilih. Bila

banyaknya yang tamat perguruan tinggi dalam sampel tadi antara 48 dan 72, maka

hipotesis nol bahwa p = 0,3 diterima. Jika tidak, maka disimpulkan bahwa p ≠ 0,3.

a. Carilah α kalau p = 0,3.

b. Carilah β untuk tandingan p =0,2 dan p = 0,4.

3. Suatu perusahaan alat listrik menghasilkan bola lampu yang umurnya berdistribusi hampir

normal dengan rataan 800 jam dan simpangan baku 40 jam. Ujilah hipotesis bahwa µ =

800 jam lawan tandingan µ ≠ 800 jam bila sampel acak 30 bola lampu mempunyai rata-

rata umur 788 jam. Gunakan taraf keberartian 0,04.

107 IT TELKOM


4. Suatu pernyataan menyatakan bahwa rata-rata sebuah mobil dikendarai sejauh 20.000 km

setahun di suatu daerah. Untuk menguji pernyataan ini sampel acak sebanyak 100

pengemudi mobil diminta mencatat jumlah kilometer yang mereka tempuh. Apakah anda

setuju dengan pernyataan di atas bila sampel tadi menunjukan rata-rata 23.500 km dan

simpangan baku 3900 km? Gunakan taraf keberartian 0,05.

5. Suatu pabrik menyatakan bahwa daya rentang rata-rata benang A melebihi daya rentang

rata-rata benang B paling sedikit 12 kg. Untuk menguji pernyataan ini, 50 potong benang

dari tiap jenis diuji dalam keadaan yang sama. Benang jenis A mempunyai rata-rata daya

rentang 86,7 dengan simpangan baku 6,28 kg, sedangkan benang jenis B mempunyai rata-

rata daya rentang 77,8 dengan simpanagn baku 5,61 kg. Ujilah pernyataan pengusaha tadi

dengan menggunakan taraf keberartian 0,05.

6. Untuk menentukan apakah suatu serum baru akan memperlambat leukemia, 9 tikus dipilih

yang semuanya telah kena penyakit tersebut pada tahap yang lanjut. Lima tikus mendapat

serum tadi dan empat lainnya tidak. Umur, dalam tahun, sejak permulaan percobaan

sebagai berikut:

perlakuan 2,1 5,3 1,4 4,6 0,9Tanpa perlakuan 1,9 0,5 2,8 3,1

Pada taraf keberartian 0,05 dapatkah disimpulkan bahwa serum tadi menolong? Anggap

kedua populasi berdistribusi normal dengan variansi yang sama.

7. Data berikut memberikan waktu putar film yang dihasilkan oleh dua perusahaan film

gambar hidup:

Perusahaan Waktu (menit)A 102 86 98 109 92B 81 165 97 134 92 87 114

Ujilah hipotesis bahwa rata-rata waktu putar film hasil perusahaan B lebih 10 menit dari

rata-rata waktu putar film hasil perusahaan A lawan tandingan ekapihak bahwa selisihnya

melebihi 10 menit. Gunakan taraf keberartian 0,1 dan anggaplah kedua distribusi tersebut

hampir normal dengan variansi tidak sama.

108 IT TELKOM


8. Dari penelitian ‘Comparison of Sorbic Acid in Countri Ham Before and After Storage’

yang dilakukan di Virginia Polythecnic Institute and State University pada tahun 1983,

diperoleh data berikut yang menyangkut perbandingan sisa asam sorbat dinyatakan dalam

bagian per sajuta, dalam daging ham segera setelah dicelupkan dalam larutan sorbat dan

setelah disimpan 60 hari dicatat:

Potongan Sisa asam sorbat dalam hamSebelum disimpan Setelah disimpan

1 224 1162 270 963 400 2394 444 3295 590 4376 660 5977 1400 6898 680 576

Bila dianggap kedua populasinya berdistribusi normal, apakah terdapat kenyataan yang

cukup, pada taraf keberartian 0,05, untuk menyatakan bahwa lamanya penyimpanan

mempengaruhi konsentrasi sisa asam sorbat?

9. Misalkan bahwa dulu 40% dari semua orang dewasa menyetujui hukuman mati. Apakah

cukup ada kenyataan untuk mendukung bahwa proporsi orang dewasa sekarang yang

menyetujui hukuman mati lebih banyak bila dalam suatu sampel acak 15 orang dewasa, 8

yang menyetujui hukuman mati? Gunakan taraf keberartian 0,05.

10. Diduga paling sedikit 60% rumah tangga di suatu daerah memiliki pesawat televisi.

Kesimpulan apakah yang akan anda ambil bila hanya 110 dalam sampel 200 keluarga

yang memiliki televisi? Gunakan taraf keberartian 0,04.

11. Suatu perusahaan rokok memasarkan dua merek rokok. Bila diketahui bahwa 56 dari 200

perokok lebih menyenangi merek A dan 19 dari 150 perokok lebih menyenangi merek B,

dapatkah disimpulkan pada taraf keberartian 0,06 bahwa merek A lebih laris daripada B?

12. Pengalaman menunjukan bahwa waktu yang diperlukan murid kelas 3 SMA untuk

menyelesaikan suatu ujian baku merupakan suatu peubah acak normal dengan simpangan

baku 6 menit. Ujilah hipotesis bahwa = 6 lawan tandingan bahwa < 6 bila sampel

109 IT TELKOM


acak 20 murid SMA kelas 3 mempunyai simpangan baku s = 4,51. Gunakan taraf

keberartian 0,05.

13. Data masa lalu menunjukan bahwa uang yang disumbangkan oleh karyawan di suatu

kota pada PMI berdistribusi normal dengan simpangan baku 1,40 ribu rupiah. Ada

dugaan bahwa sumbangan dari para pedagang pada PMI mempunyai simpangan baku

1,75 ribu rupiah. Dapatkan disimpulkan, pada taraf keberartian 0,01, bahwa simpangan

baku sumbangan dari para pedagang lebih besar daripada para karyawan di kota

tersebut?

14. Suatu mesin minuman dikatakan diluar kendali bila variansi isi minuman yang

dikeluarkannya melebihi 1,15 desiliter. Bila sampel acak 25 cangkir minuman dari

mesin ini mempunyai variansi 2,03 desiliter, apakah ini menunjukan, pada taraf

keberartian 0,05, bahwa mesin diluar kendali? Anggap bahwa isi cangkir berdistribusi

hampir normal.

15. Seorang ahli mengemukakan kepada manajer bahwa dengan mengadakan perubahan-perubahan tertentu dalam proses produksi akan meningkatkan efisiensi, karena rata-rata persentase kerusakan produksi tiap mesin akan berkurang.

Perubahan-perubahan akan memerlukan biaya sehingga percobaan perlu diadakan terlebih dahulu sebelum dilakukan secara menyeluruh dalam proses produksi. Percobaan terhadap 6 unit proses produksi (dalam persen), sebagai berikut:8,2 – 7,9 – 8 – 8,4 – 8,3 – 7,8Manajer hanya akan melakukan perubahan-perubahan apabila dalam proses baru terjadi rata-rata kerusakan paling banyak 8%. Atas dasar hasil di atas, tentukanlah keputusan apa yang dapat diambil oleh manajer disertai besar resiko yang diperkirakan!

16. Dari pengalaman masa lampau ternyata sekitar 40% mahasiswa tingkat pertama lulus mata kuliah A. jika tahun ini 496 dari 1.078 lulus mata kuliah A, dapatkah kita menyimpulkan bahwa pola masa lampau masih berlaku?

Ambil Taraf nyata 0,05 dan 0,01 lalu bandingkan!

17. Suhu udara di kota B selama 60 bulan terakhir mencapai simpangan baku 0,8° Celsius. Pengamatan pada tiap tengah bulan selama satu tahun mencapai rata-rata suhu (dalam ° Celsius): 28,4 – 30,7 – 30,2 – 29,4 – 29,9 – 31,2 – 27,9 – 29,8 – 30,9 – 29,2 – 28 – 30,2.

Tentukanlah apakah variabilitas suhu udara berubah atau tidak jika dibandingkan dengan selama 60 bulan terakhir tersebut. Ambil taraf nyata 0,05.

110 IT TELKOM


18. Sepuluh orang pasien melakukan diet. Berat badan sebelum diet dan sesudahnya ditimbang untuk mengetahui apakah diet itu berhasil atau tidak. Hasilnya (dalam kg) sebagai berikut:

Pasien Berat Sebelum Diet Berat Sesudah Diet

12345678910

78,384,777,495,682,069,479,785,692,899,2

77,483,275,792,480,268,176,983,990,495,2

Asumsi apa yang harus diambil mengenai distribusi berat badan?Ujilah terlebih dahulu apakah simpangan baku berat badan sebelum dan sesudah diet sama besar!Dapatkah disimpulkan bahwa diet yang telah dilakukan itu berhasil?

19. Sampel-sampel acak yang masing-masing berukuran 100 mengenai pendapatan bulanan pegawai (dalam ribuan rupiah dan disimbolkan dengan Yij), telah diambil dari tiga kota. Hasilnya sebagai berikut:

Kota Ukuran Sampel Σj Yij Σj Yij2

IIIIII

100100100

475,0526,5507,5

5.001,255.948,505.678,25

Misalkan bahwa pendapatan bulanan itu berdistribusi normal. Dengan taraf nyata 0,05 ujilah apakah varians pendapatan pegawai itu sama besar ataukah tidak!

111 IT TELKOM


BAB V UJI CHI-SQUARE

Yang akan dibaha sdalam bab ini antara lain pengujian:

a) Goodest of fit test

b) Indepedent (uji kebebasan)

Setelah mempelajari materi ini mahasiswa dapat menganalisis dan menguji baik kecocokan ataupun kebebasan dengan menggunakan uji Chi- Square.

1. Mahasiswa dapat memahami konsep dasar uji chi-square

2. Mahasiswa akan dapat mengetahui berbagai macam ilustrasi dalam penyelesaian

masalah

3. Mahasiswa diharapkan dapat mengimplementasikan terhadap masalah yang dihadapi

perusahaan


1. Perkuliahan



3. Tes pendahuluan

112 IT TELKOM

PENDAHULUAN



1………….2………….3………….4………….




tanya jawab

5. Tes akhir


7. Penutup

113 IT TELKOM


Uji Chi Square adalah pengujian hipotesis mengenai perbandingan antara frekuensi

observasi atau frekuensi aktual dengan frekuensi harapan atau frekuensi ekspektasi.

Frekuensi obserfasi diperoleh dari nilai pada hasil percobaan, sedangkan frekuensi harapan

diperoleh dari perhitungan secara teoritis. Bentuk distribusi Chi Square dinotasikan dengan

X2 oleh karena itu nilainya selalu positif.

V.1 GOODNESS OF FIT TEST

Goodness of fit test atau uji kebaikan suai merupakan pengujian terhadap kecocokan

atau baiknya kesesuaian antara frekuensi terjadinya pengamatan pada sampel teramati dengan

frekuensi harapan yang diperoleh dari distribusi yang dihipotesiskan. Uji goodness of fit

antara frekuensi pengamatan dan frekuensi harapan didasarkan pada besaran:

X2=∑i=1

k

¿¿¿¿

X2 : nilai peubah acak yang distribusi sampelnya didekati oleh distribusi Chi-Kuadrat

dengan derajat kebebasan v=k-1

k : jumlah sel atau kelas

oi : frekuensi amatan

ei : frekuensi harapan

Bila frekuensi amatan dekat dengan frekuensi harapan, maka nilai X2 akan kecil. Hal

ini menunjukkan adanya kesesuaian yang baik antara frekuensi amatan dengan frekuensi

harapan. Tetapi jika frekuensi amatan cukup berbeda dengan frekuensi harapan maka nilai X2

akan besar dan hal ini menunjukkan kesesuaiannya jelek. Kesesuaian yang baik akan

mendukung penerimaan terhadap H0, sedangkan keseuaian yang jelek akan mendukung

penolakan terhadap H0.

Daerah kritis berada pada ujung kanan distribusi Chi-Kuadrat. Untuk taraf keberartian

α, ditemukan nilai kritis X α2 dari tabel, maka daerah kritisnya adalah X2 > X α

2 . Uji goodness

of fit sebaiknya digunakan jika setiap frekuensi harapan paling sedikit 5. Jika kurang dari 5,

maka dilakukan penggabungan sel yang berdampingan, yang berakibat pada pengurangan

besarnya derajat kebebasan.

114 IT TELKOM

RINGKASAN MATERI


Contoh 1

Pada percobaan pelemparan dadu sebanyak 120 kali, dihipotesiskan bahwa dadu tersebut

setangkup. Ini berarti sama saja menguji hipotesis bahwa distribusi hasil pelemparan dadu

tersebut adalah distribusi seragam (uniform) diskret. Maka :

H0 = Hasil pelemparan dadu setangkup

H1 = Hasil pelemparan dadu tidak setangkup

f(x) = 16

x = 1,2,…,6

Secara teoritis apabila dadu tersebut seimbang maka diharapkan bahwa kemunculan setiap

muka sebanyak 20 kali. Hasilnya diberikan pada tabel berikut :

Tabel V.7 Frekuensi Amatan dan Harapan dari Lantunan Dadu 120 Kali

MUKA1 2 3 4 5 6

Amatan 20 22 17 18 19 24Harapan 20 20 20 20 20 20

Dari tabel tersebut diperoleh nilai X2 adalah:

X2 = (20−20)2

20+(22−20)2

20+(17−20)2

20+(18−20)2

20+(19−20)2

20+(24−20)2

20 = 1,7

Apabila ditetapkan taraf keberartian, α = 5% maka dari tabel distribusi Chi-Kuadrat diperoleh

:

X α2=11.070 dengan derajat kebebasan v = 5

Gambar V.12 Daerah Kritis Distribusi Chi-Square X α2

Karena nilai X2<Xα2, maka H0 diterima.

Jadi dapat disimpulkan hasil pelemparan dadu tersebut setangkup.

Contoh 2

115 IT TELKOM


Akan diuji hipotesis bahwa distribusi frekuensi umur baterai dapat dihampiri dengan

distribusi normal dengan rataan µ = 3,5 dan simpangan baku σ = 0,7. Distribusi frekuensi

umur baterai disajikan dalam tabel berikut :

Tabel V.8 Frekuensi Umur Baterai

Selang KelasTitik Tengah Kelas

Frekuensi

1,5 – 1,9 1,7 22,0 – 2,4 2,2 12,5 – 2,9 2,7 43 – 3,4 3,2 153,5 – 3,9 3,7 104,0 – 4,4 4,2 54,5 – 4,9 4,7 3

Frekuensi harapan untuk 7 kelas (sel) diperoleh dengan menghitung luas di bawah

kurva normal yang dihipotesiskan yang berada antara berbagai batas kelas.

Sebagai contoh, nilai z pada kedua batas kelas keempat adalah

Z1 = x1−μ

σ=2.95−3,5

0,7 = -0,79 Z2 =

x2−μσ

=3.45−3,50,7

= -0,07

Dari tabel distribusi normal maka dapat diperoleh luas antara z1 = -0,79 dengan z2 = -0,07.

Luas = P(-0,79 < Z < -0,07)

= P(Z<-0,07) – P(Z<-0,79)

= 0,4721 – 0,2148

= 0,2573

Frekuensi harapan untuk kelas keempat adalah

e4 = luas x total frekuensi

= 0,2573 x 40

= 10,3

Frekuensi biasanya dibulatkan ke persepuluhan.

Frekuensi harapan untuk selang pertama diperoleh dengan menghitung luas di bawah

kurva normal di sebelah kiri batas 1,95. Sedangkan untuk kelas terakhir, hitung luas di bawah

kurva normal di sebelah kanan batas 4,45. Semua frekuensi harapan kelas lainnya dapat

dihitung dengan cara yang sama pada kelas keempat.

116 IT TELKOM


Tabel V.9 Frekuensi Amatan dan Harapan Umur Baterai Bila Distribusinya Normal

Batas Kelas oi ei

1,45 – 1,95 2 0,51,95 – 2,45 1 2,12,45 – 2,95 4 5,92,95 – 3,45 15 10,33,45 – 3,95 10 10,73,95 – 4,45 5 7,04,45 – 4,95 3 3,5

Pada kelas pertama, frekuensi harapan yang diperoleh kurang dari 5, maka dilakukan

penggabungan dengan kelas yang berdekatan yaitu kelas kedua dan ketiga. Begitu juga

dengan kelas keenam dan ketujuh. Karena penggabungan tersebut, jumlah kelas (sel)

berkurang dari 7 kelas menjadi 4 kelas.

X2 = (7−8,5)2

8,5+(15−10,3)2

10,3+(1−10,7)2

10,7+(8−10,5)2

10,5 = 3,05

Dengan taraf keberartian, α = 5% maka dari tabel distribusi Chi-Kuadrat diperoleh :

X α2=7,815 dengan derajat kebebasan v = 3. Artinya tidak ada alas an untuk menolak hipotesis

nol, dan dapat disimpulkan bahwa distribusi normal dengan µ = 3,5 dan simpangan baku σ =

0,7 mempunyai kesesuaian yang baik untuk distribusi umur baterai.

LATIHAN SOAL

1. Suatu mesin seharusnya mencampur kacang tanah, kemiri, mete, dan kenari dalam

perbandingan 5 : 2 : 2 : 1. Suatu kaleng yang berisi 500 keempat jenis kacang ini

ditemukan mengandung 269 kacang tanah, 112 kemiri, 74 mete, dan 45 kenari. Pada taraf

keberartian 0,05, uji hipotesis bahwa mesin tersebut mencampur kacang dalam

perbandingan 5 : 2 : 2 : 1.

2. Tiga kartu diambil dari sekotak kartu bridge, dengan pengembalian. Y adalah banyaknya

kartu spade yang terambil. Setelah percobaan sebanyak 64 kali diperoleh hasilnya sebagai

berikut :

Y 0 1 2 3F 21 31 12 0

Ujilah hipotesis pada taraf keberartian 0,01 bahwa data yang diperoleh sesuai dengan

distribusi binomial b(y; 3, ¼), y = 0, 1, 2, 3

117 IT TELKOM

8

8,57

10,5


3. Tiga kelereng diambil dari sebuah botol yang berisi 5 kelereng merah dan 3 kelereng

hijau. X adalah banyaknya kelereng merah yang terambil, kelereng kemudian

dikembalikan lagi dan percobaan diulangi sebanyak 112 kali. Hasil yang diperoleh adalah

sebagai berikut :

X 0 1 2 3F 1 31 55 25

Ujilah hipotesis pada taraf keberartian 5% bahwa data di atas sesuai dengan distribusi

hipergeometrik h(x,N,n,k)dimana N = 8, n = 3, k = 5.

4. Skor berikut menyatakan nilai ujian akhir mata kuliah statistika.

23 60 79 32 57 74 52 70 82 3680 77 81 95 41 65 92 85 55 7652 10 64 75 78 25 80 98 81 7641 71 83 54 64 72 88 62 74 4360 78 89 76 84 48 84 90 15 7934 67 17 82 69 74 63 80 85 61

a. Berdasarkan data tersebut buatlah tabel distribusi frekuensi data berkelompok

Ujilah kebaikan suai kelompok amatan dengan frekuensi harapan padanannya dari distribusi normal dengan µ = 65 dan σ = 21 dengan menggunakan taraf keberartian 0,05.

5. Barang rusak setiap hari yang dihasilkan oleh tiga buah mesin ternyata berdistribusi Poisson. Pengamatan telah dilakukan selama enam hari dan terdapatnya barang rusak setiap hari dalam ketiga mesin itu dapat dilihat di bawah ini.

Mesin Banyak barang rusak tiap hari

123

4, 3, 4, 6, 3, 53, 2, 3, 6, 5, 25, 5, 3, 4, 4, 6

Dapatkah disimpulkan bahwa rata-rata dihasilkannya barang rusak setiap hari oleh ketiga mesin itu sama besar?

6. Hasil kuisioner terhadap dua kelompok pegawai (laki-laki dan perempuan) mengenai pendapat tentang peraturan baru adalah sebagai berikut.

PegawaiLaki- Laki Perempuan

118 IT TELKOM


PendapatSetuju 102 88

Tak Setuju 78 136

Tak Peduli 20 76

Apakah jenis kelamin menentukan pendapat tentang peraturan baru tersebut?

7. Dikatakan bahwa obat A dapat menyembuhkan pilek dalam tempo lima hari. Percobaan terhadap 158 orang yang pilek telah dilakukan. Setengahnya diberi obat A dan sisanya diberi obat gula. Pada akhir hari kelima sejak pengobatan dimulai, hasilnya dicatat dan diberikan dalam daftar berikut.

Sembuh Bertambahpayah

Tidakberubah

Obat A 54 10 15Obat gula 48 12 19

Ujilah hipotesis bahwa obat A dan obat gula menghasilkan reaksi yang sama.

119 IT TELKOM


V.2 INDEPENDENSI (UJI KEBEBASAN)

Uji kebebasan ini digunakan untuk memeriksa kebebasan atau independensi dari dua

variabel (frekuensi observasi dan frekuensi harapan) sehingga kita dapat menyimpulkan

apakah kedua peubah tersebut saling bebas (tidak berpengaruh) ataukah keduanya saling

bertalian (berpengaruh).

Data untuk menguji kebebasan dua variabel tersebut disajikan dalam bentuk Tabel

Kontingensi atau Tabel Berkemungkinan yang umumnya berukuran r baris x k kolom.

Sebelum melakukan pengujian, terlebih dahulu kita harus mendefinisikan Hipotesis Awal

(H0) dan Hipotesis Alternatif (H1), yaitu:

H0 : variabel-variabel saling bebas

H1 : variabel-variabel tidak saling bebas

Biasanya Tabel Kontingensi berisikan data berupa frekuensi observasi yang diperoleh

dari suatu pengujian. Untuk itu, kita perlu mencari frekuensi ekspektasi terlebih dahulu

sebelum melakukan pengujian.

Frekuensi ekspektasi = ( totalkolom ) x (total baris)

total observasi

Uji kebebasan dirumuskan dalam:

X2=∑i , j=1

r , k

¿¿¿¿

X2 : nilai peubah acak yang distribusi sampelnya didekati oleh distribusi Chi-Kuadrat

dengan derajat kebebasan v=(r-1)(k-1)

k : jumlah kolom

r : jumlah baris

oij : frekuensi observasi baris ke-i, kolom ke-j

eij : frekuensi ekspektasi baris ke-i, kolom ke-j

120 IT TELKOM


Contoh 1

Kita akan menguji kebebasan antara faktor gender (jenis kelamin) dengan jam kerja di suatu

pabrik. Data yang diperoleh disajikan dalam tabel berikut:

Pria Wanita Total Baris< 25 jam/minggu 2 3 525-50 jam/minggu 7 6 13> 50 jam/minggu 5 7 12Total Kolom 14 16 Total Observasi=30

Apakah ada kaitan antara gender dengan jam kerja? Gunakan taraf uji 0,05.

Jawab :

1. H0 : gender dan jam kerja saling bebas

2. H1 : gender dan jam kerja tidak saling bebas

3. α = 0,05

4. Daerah kritis 2 > 5,99147 dengan derajat kebebasan v =(3-1)(2-1)= 2

5. Perhitungan 2

Frekuensi harapan untuk:

- Pria, < 25 jam = 14 x5

30 = 2,33 - Wanita, < 25 jam =

16 x530

= 2,67

- Pria, 25-50 jam = 14 x13

30 = 6,07 - Wanita, 25-50 jam =

16 x1330

= 6,93

- Pria, > 50 jam = 14 x12

30 = 5,60 - Wanita, >50 jam =

16 x1230

= 6,40

kategori oij eij (oij - eij) (o ij−e ij)2 (o ij−e ij)2/ eij

P, < 25 2 2,33 -0,33 0,1089 0,0467

P, 25-50 7 6,07 0,93 0,8649 0,1425

P, > 50 5 5,60 -0,60 0,36 0,0643

W, < 25 3 2,67 0,33 0,1089 0,0408

W, 25-50 6 6,93 -0,93 0,8649 0,1249

W, > 50 7 6,40 0,60 0,36 0,0563

∑ 2 hitung = 0,4755

6. Keputusan : 2 hitung < 2 tabel, H0 diterima

7. Kesimpulan : gender dan jam kerja saling bebas

121 IT TELKOM


Contoh 2

Suatu percobaan dilakukan untuk mengetahui apakah pendapat penduduk pemilih di negara

bagian Illinois mengenai perubahan pajak baru tidak ada hubungannya dengan tingkat

penghasilannya. Suatu sampel acak 1000 pemilih yang tercatat di Illinois dikelompokan

menurut apakah penghasilan mereka rendah, sedang, atau tinggi, dan apakah mereka setuju

atau tidak terhadap perubahan pajak baru dalam tabel kontingensi berikut: (gunakan taraf uji

0,05)

Perubahan Pajak

Tingkat Pendapatan TotalR (Rendah) M (Menengah) B (Berada)

Setuju 182 213 203 598Tidak Setuju 154 138 110 402Total 336 351 313 1000

Jawab :

1. H0 : pendapat penduduk pemilih di negara bagian Illinois mengenai perubahan pajak

baru dan tingkat penghasilannya saling bebas

2. H1 : pendapat penduduk pemilih di negara bagian Illinois mengenai perubahan pajak

baru dan tingkat penghasilannya tidak saling bebas

3. α = 0,05

4. Daerah kritis 2 > 5,991 dengan derajat kebebasan v =(2-1)(3-1)= 2

5. Perhitungan 2

Frekuensi harapan untuk:

- Setuju, R = 336 x598

1000 = 200,9 - Tidak Setuju, R =

336 x4021000

= 135,1

- Setuju, M = 351 x 598

1000 = 209,9 - Tidak Setuju, M =

351 x 4021000

= 141,1

- Setuju, B = 313 x 598

1000 = 187,2 - Tidak Setuju, B =

313 x 4021000

= 125,8

Kategori oij eij (oij - eij) (o ij−e ij)2 (o ij−e ij)2/ eij

Setuju, R 182 200,9 -18,9 357,21 1,78

Setuju, M 213 209,9 3,1 9,61 0,05

Setuju, B 203 187,2 15,8 249,64 1,33

Tidak Setuju, R 154 135,1 18,9 357,21 2,64

122 IT TELKOM


Tidak Setuju, M 138 141,1 -3,1 9,61 0,07

Tidak Setuju, B 110 125,8 -15,8 249,64 1,98

∑ 2 hitung = 7,85

6. Keputusan : 2 hitung > 2 tabel, H0 ditolak

7. Kesimpulan : pendapat penduduk pemilih di negara bagian Illinois mengenai

perubahan pajak baru dan tingkat penghasilannya tidak saling bebas.

Latihan Soal

1. Dalam percobaan untuk meneliti kaitan hipertensi dengan kebiasaan merokok, diperoleh

data berikut yang menyangkut 180 orang:

Bukan Perokok Perokok Sedang Perokok BeratHipertensi 21 36 30Tidak hipertensi 48 26 19

Ujilah hipotesis bahwa ada tidaknya hipertensi tidak tergantung pada kebiasaan

merokok. Gunakan taraf keberartian 0,05.

2. Suatu sampel acak 200 pria yang telah berkeluarga, semuanya sudah pensiun, dibagi

menurut pendidikan dan jumlah anak:

Pendidikan Ayah Jumlah Anak0-1 2-3 Lebih dari 3

Sekolah Dasar 14 37 32Sekolah Menengah 19 42 17Perguruan Tinggi 12 17 10

Ujilah hipotesis, pada taraf keberartian 0,05, bahwa banyaknya anak tidak tergantung

pada tinggi pendidikan yang dicapai oleh ayah.

3. Seorang kriminolog melakukan sigi untuk menentukan apakah terjadinya berbagai

kejahatan tertentu berbeda dari satu bagian ke bagian lain suatu kota besar. Kejahatan

yang ingin diselidiki ialah penodongan, pembongkaran, pencurian, dan pembunuhan.

Tabel berikut menunjukan banyaknya kejahatan yang terjadi di 4 bagian kota tahun lalu.

Daerah Jenis KejahatanPenodongan Pembongkaran Pencurian Pembunuhan

1 162 118 451 182 310 196 996 25

123 IT TELKOM


3 258 193 458 104 280 175 390 19

Dapatkah disimpulkan dari data ini pada taraf keberartian 0,01 bahwa terjadinya

kejahatan tersebut bergantung pada daerah di kota itu?

124 IT TELKOM


BAB VI

ANALISIS KORELASI DAN REGRESI LINIER SEDERHANA

6.0. Tujuan Pembelajaran:

Mahasiswa Mampu:

1. Menghitung dan menginterpretasikan korelasi sederhana antara dua variabel

2. Mengetahui hubungan dua variabel yang tidak linier

3. Menentukan korelasi dan mengujinya

4. Menghitung dan menginterpretasikan persamaan regresi linier sederhana

5. Mengetahui asumsi yang digunakan dalam analisa regresi

6. Menentukan Model Regresi yang Layak

7. Menghitung dan Menginterpretasikan Interval Keyakinan untuk Koefisien

Regresi

8. Mengetahui bahwa analisis regresi dapat digunakan sebagai alat prediksi

9. Mengetahui bagaimana menerapkan kasus nyata yang berhubungan dengan

analisis regresi secara benar

125 IT TELKOM


6.1. Scatter Plot

Sebelum menentukan bentuk hubungan dengan analisis regreis linier atau

sebelum mengukur keeratan hubungan antara dua variabel, harus dilihat

apakah variabel-variabel tersebut mempunyai hubungan linier atau tidak

dengan menggunakan scatter plot seperti yang dibawah ini:

Grafik 1.Scatter Plot (Diagram Pencar)

Dalam scatter plot diatas ada empat kriteria,yaitu:

Bila titik-titik menggerombol mengikuti sebuah garis lurus dengan kemiringan

positif, maka kedua variabel dinyatakan memiliki hubungan linier positif

Bila titik-titik menggerombol mengikuti sebuah garis lurus dengan kemiringan

negatif, maka kedua variabel dinyatakan memiliki hubungan linier negatif

Bila titik-titik menggerombol tidak mengikuti garis lurus, maka kedua variabel

dinyatakan tidak memiliki hubungan yang linier

Bila titik-titik memencar atau membentuk suatu garis lurus mengikuti sebuah

pola yang acak atau tidak ada pola, maka kedua variabel dinyatakan tidak

memilki hubungan.

126 IT TELKOM


6.2. Analisis Korelasi

Analisis korelasi digunakan untuk mengukur kekuatan hubungan linier antara

dua variabel. Koefisien korelasi populasi ρ (rho) adalah ukuran kekuatan

hubungan linier antara dua variabel dalam populasi sedangkan koefisien

korelasi sampel r adalah estimasi dari ρ dan digunakan untuk mengukur

kekuatan hubungan linier dalam sampel observasi. Untuk selanjutnya r disebut

Koefisien Korelasi Pearson (Product Momernt).

6.2.1. Korelasi Pearson (Product Moment)

Korelasi pearson sering juga disebut sebagai korelasi produk-momen atau

korelasi saja. Korelasi pearson termasuk ke dalam statistika parametrik.

Besarnya koefisien menggambarkan seberapa erat hubungan linear antara dua

variabel, bukan hubungan sebab akibat. Variabel yang terlibat dua-duanya

bertipe numerik (interval atau rasio), dan menyebar normal jika ingin

pengujian terhadapnya sah.

Berikut ini pedoman menentukan kuat tidaknya korelasi antara dua

variabel menurut Walpole :

Tabel 1.

Interval Koefisien Tingkat Hubungan

0.00 – 0.199

0.20 – 0.399

0.40 – 0.599

0.60 – 0.799

0.80 – 1.000

Sangat rendah

Rendah

Cukup

Kuat

Sangat Kuat

Menurut Sarwono (2006) Batas-batas nilai koefisien korelasi diinterpretasikan

sebagai berikut:

127 IT TELKOM


Tabel 2.

Interval Hubungan Tingkat Hubungan

0 Tidak ada korelasi antara dua

variabel

>0 – 0,25 Korelasi sangat lemah

>0,25 – 0,5 Korelasi cukup

>0,5 – 0,75 Korelasi kuat

>0,75 – 0,99 Korelasi sangat kuat

1 Korelasi sempurna

Hasil dari analisis korelasi menunjukkan kekuatan atau kelemahan dari suatu

hubungan.Nilai koefisien korelasi ini akan berada pada kisaran -1 sampai

dengan +1. Koefisien korelasi minus menunjukkan hubungan yang

terbalik, dimana pengaruh yang terjadi adalah pengaruh negatif. Dalam

pengaruh yang negatif ini kenaikan suatu variabel akan menyebabkan

penurunan suatu variabel yang lain, sedangkan penurunan suatu variabel akan

menyebabkan kenaikan variabel yang lain.

Koefisien korelasi positif menunjukkan hubungan yang searah dari dua

variabel, dimana kenaikan suatu variabel akan menyebabkan kenaikan

variabel yang lain dan sebaliknya penurunan suatu variabel akan

menyebabkan penurunan variabel yang lain.

Koefisien korelasi sebesar nol menunjukkan tidak adanya hubungan antara

dua variabel, dengan kata lain kenaikan atau penurunan suatu variabel tidak

mempengaruhi variabel yang lain, jadi berapapun perubahan harga pada suatu

variabel tidak akan mempengaruhi variabel yang lain karena nilainya yang

tetap.

Terdapat bermacam-macam analisis korelasi yang dapat digunakan untuk

mengukur hubungan asosiatif dari suatu variabel. Korelasi yang akan

128 IT TELKOM


digunakan tergantung pada jenis data yang akan dianalisis. Korelasi

berdasarkan tingkatan data dapat dilihat pada tabel berikut ini:

Tabel.3 Korelasi Berdasarkan Tingkatan Data

Tipe / Tingkat DataTeknik Korelasi yang

Digunakan

Nominal Koefisien Kontingensi

OrdinalSpearman Rank

Kendal Tau

Interval dan rasio

Pearson / Produk Momen

Korelasi Ganda

Korelasi Parsial.

Koefisien korelasi pearson diformulasikan sebagai berikut:

Atau:

Atau: r=b√ Sxx

Syy

=Sxy

√S xx Syy

dimana:

r = Koefisien Korelasi Sampel

n = Ukuran Sampel

x = Nilai dari Variabel Independen

y = Nilai Variabel dependen

Dari persaamaan korelasi yang terakhir tersebut dapat dilihat adanya

hubungan antara b dan r. r digunakan untuk mengukur hubungan linier antara

129 IT TELKOM

r=∑ (x− x )( y− y )

√ [∑ (x− x )2 ][∑ ( y− y )2 ]

r=n∑ xy−∑ x∑ y

√ [n(∑ x2 )−(∑ x )2 ][ n(∑ y2 )−(∑ y )2 ]


x dan y, sedangkan b mengukur perubahan dalam y akibat perubahan setiap

unit x.

Dalam kasus dimanai r1 = 0,3 dan r2 = 0,6 hanya berarti bahwa terdapat

korelasi positif dimana r2 lebih kuat daripada r1. Adalah salah jika

menyimpulkan bahwa r2 mengindikasikan hubungan linier dua kali lebih baik

dibandingkan dengan r1.

6.2.2.Koefisien Determinansi

Koefisien determinansi adalah salah satu alat analisis yang dapat digunakan

untuk mengetahui lebih jauh hubungan antar variabel. Koefisien determinansi

disimbolkan dalam R2 yang menyatakan proporsi variansi keseluruhan dalam

nilai variabel dependen yang dapat diterangkan oleh hubungan linier dengan

variabel independen atau menunjukkan proporsi total variasi dalam nilai

variabel dependen yang dapat dijelaskan oleh hubungan linier dengan nilai

variabel independen. Nilai koefisien determinansi ini berkisar :0 ≤ R2≤ 1

R2 juga dapat digunakan untuk mempertimbangkan sebuah model regresi. Jika

R2 suatu model besar belum tentu model tersebut adalah model yang baik,

tetapi jika MSE model kecil maka model teresbut adalah model regresi yang

terbaik.

Koefisien determinasi biasanya dinyatakan dengan persen. Sedangkan

penafsirannya jika 0.994 sehingga R2 = 0.989 atau 98.9% adalah pengaruh

variabel bebas terhadap perubahan variabel terikat adalah 98,9%, sedangkan

sisanya sebesar 1,1% dipengaruhi oleh variabel lain selain variabel bebas X.

Koefisien determinasi banyak digunakan dalam penjelasan tambahan untuk

hasil perhitungan koefisien regresi.

6.2.3. Korelasi Ganda

Korelasi ganda adalah korelasi yang menunjukkan arah dan kuatnya hubungan

antara dua atau lebih variabel terikat secara bersama-sama dengan variabel

yang lain (variabel bebas). Contohnya: hubungan antara kesejahteraan

pegawai, hubungan dengan pemimpin, dan pengawasan dengan efektivitas

kerja.

130 IT TELKOM


Korelasi berganda merupakan korelasi dari beberapa variabel bebas secara

serentak dengan variabel terikat. Misalkan ada k variabel bebas,

dan satu variabel terikat Y dalam suatu persamaan regresi linear

maka besarnya korelasi bergandanya adalah :

r y, x1 ,… , xn=

a1∑ x1 y+a2∑ x2 y+…+ak∑ xk y

∑ y2

dengan

∑ x1 y=∑ X 1Y−∑ X 1∑Y

n

∑ xk y=∑ Xk Y−∑ Xk∑Y

n

∑ y2=∑ Y 2−(∑Y )2

n

6.2.4. Korelasi Parsial

Korelasi parsial adalah korelasi yang menunjukkan arah dan kuatnya

hubungan atau pengaruh antara dua variabel atau lebih (variabel bebas dan

terikat) setelah satu variabel yang diduga dapat mempengaruhi hubungan

variabel tersebut dikendalikan untuk dibuat tetap keberadaannya.

Persamaan korelasi antara x1 dengan y, bila variabel x1 dikendalikan atau

korelasi antara x1 dengan y bila x2 tetap yaitu :

r y, x1 , x2=r y x1

−(r¿¿ y x2× rx1 x2

)

√ (1−rx1 x2

2 )(1−r y x2

2 )¿

Dimana :

r y, x1 , x2= korelasi antara x1 dengan x2 secara bersama-sama dengan variabel y

r y x1= korelasi product moment antara x1 dengan y

r y x2 = korelasi product moment antara x2 dengan y

r x1 x2 = korelasi product moment antara x1 dengan x2

131 IT TELKOM


6.3. Uji Hipotesis Korelasi

Pengujian hipotesis korelasi bertujuan untuk mengetahui apakah terdapat

hubungan antara dua variabel tertentu.

Perumusan hipotesis untuk korelasi adalah sebagai berikut:

H0: Tidak ada hubungan linier yang signifikan antara dua variabel

H1: Ada hubungan linier yang signifikan antara dua variabel

Atau H0 : ρ = 0

H1 : ρ ≠ 0

Statistik uji:

Statistik uji menggunakan uji-T, yakni dengan menggunakan rumus sebagai

berikut:

t hitung=r √n−2

√1−r2 atau

t tabel= t( α

2;df )

dimana df=n−2

Kriteria uji

Tolak H0 jika thitung > ttabel atau thitung < -ttabel

Kesimpulan

Sementara untuk menguji hipotesis koefisien korelasi dengan menggunakan

koefisien korelasi taksiran (ρ0 ¿, dapat digunakan hipotesis sebagai berikut:

H 0 : ρ=ρ0 dimana ρ0 ≠ 0

H 1: ρ≠ ρ0

Statistik uji:

zhitung=√n−3

2ln [ (1+r )

(1−r )(1− ρ0 )(1+ρ0 ) ]

z tabel=zα (uji satu sisi) atau z tabel=z α2 (uji dua sisi)

132 IT TELKOM

t hitung=b

S

S xx

=√SSRS


Kriteria uji:

Tolak H0 jika zhitung > ztabel atau zhitung < -ztabel

Kesimpulan

6.4.Analisis Regresi

Dalam kehidupan sehari-hari, seringkali dijumpai kasus yang berhubungan dengan

dua variabel atau lebih. Hubungan tersebut dapat berupa hubungan kausal atau

hubungan fungsional. Hubungan kausal misalnya : hubungan antara panas dengan

tingkat muai panjang, sedangkan hubungan fungsional contohnya: hubungan antara

kepemimpinan dengan tingkat kepuasan kerja pegawai.

Secara umum terdapat dua macam hubungan antara dua variabel atau lebih, yaitu :

Keeratan hubungan dapat diketahui dengan analisis korelasi (bukan hubungan

sebab-akibat)

Bentuk hubungan dapat diketahui dengan analisis regresi

6.4.1. Sejarah Regresi

Sejarah Regresi dimulai ketika Sir Francis Galton (1822-1911) yang

membandingkan tinggi badan anak laki-laki dengan tinggi badan ayahnya. Galton

menunjukkan bahwa tinggi anak laki-laki dari ayah yang tinggi setelah beberapa

generasi cenderung mundur (regressed) mendekati nilai populasi. Dengan kata lain,

anak laki- laki dari ayah yang badannya sangat tinggi, cenderung lebih pendek dari

ayahnya. Sedangkan anak laki-laki dari ayah yang badannya sangat pendek

cenderung lebih tinggi dari ayahnya. Sekarang istilah regresi diterapkan pada semua

peramalan.

6.4.2. Definisi Regresi

Regresi merupakan salah satu metoda dalam analisis statistika yang digunakan untuk

menganalisis dan memodelkan secara matematis hubungan diantara dua variabel

atau lebih. Pada analisis regresi ini dikenal adanya variabel dependen (variabel tak

bebas/variabel tergantung/Unknown Variable/Response Variable) dan variabel

133 IT TELKOM


independen (variabel bebas/ Explanatory Variable/Regressor Variable/Predictor

Variabls/). Regresi dipakai untuk mengukur besarnya pengaruh perubahan pada

variabel dependen yang diakibatkan perubahan pada variabel independen.

Menurut Gujarati (2006) analisis regresi merupakan suatu kajian terhadap hubungan

satu variabel yang disebut sebagai variabel yang diterangkan (the explained

variabel) dengan satu atau dua variabel yang menerangkan (the explanatory).

Variabel pertama disebut juga sebagai variabel tergantung dan variabel kedua

disebut juga sebagai variabel bebas. Jika variabel bebas lebih dari satu, maka analisis

regresi disebut regresi linear berganda. Disebut berganda karena pengaruh beberapa

variabel bebas akan dikenakan kepada variabel tergantung. Saat ini, analisis regresi

banyak digunakan untuk menelaah hubungan dua variabel atau lebih dan

menentukan pola hubungan yang modelnya belum diketahui, sehingga regresi secara

aplikatif lebih bersifat eksploratif.

6.4.3. Asumsi

Penggunaan regresi linear sederhana didasarkan pada asumsi diantaranya sbb:

Error (ε) independen secara statistik

Distribusi probabilitas dari Error berdistribusi Normal

Distribusi probabilitas dari Error(*) mempunyai variansi yang konstan

Ada hubungan linier antara kedua variabel

Catatan (*):

Residual adalah selisih antara nilai duga (predicted value) dengan nilai

pengamatan sebenarnya apabila data yang digunakan adalah data sampel.

Error adalah selisih antara nilai duga (predicted value) dengan nilai pengamatan

yang sebenarnya apabila data yang digunakan adalah data populasi.

Persamaan keduanya : merupakan selisih antara nilai duga (predicted value)

dengan pengamatan sebenarnya.

Perbedaan keduanya: residual dari data sampel, error dari data populasi.

134 IT TELKOM


6.4.5. Analisis Regresi Linier Sederhana

Regresi linier sederhana ini bertujuan untuk mempelajari hubungan antara dua

variabel yaitu satu variabel bebas/variabel independen (X) dan variabel

terikat/variabel dependen (Y). Bentuk umum dari pesamaan regresi linier sederhana

dari populasi adalah:

Persamaan garis regresi sampel memberikan estimasi garis regresi populasi sebagai

berikut:

Keterangan :

y i = nilai estimasi dari variabel bebas. Ŷ juga merupakan variabel terikat (dependen

variable)

a = konstanta yang merupan nilai estimasi y jika nilai x=0 (intercept)

b = koefisien regresi/gradient garis regresi (slope)

x = variabel bebas (independent variable)

6.4.5.1. Metode Kuadarat Terkecil (Least-Squares Method)

Metode untuk menaksir α dan β sehingga jumlah kuadrat dari deviasi simpangan

antara observassi-observasin dan garis regresi menjadi minimum:

SSE=L=∑i=1

n

e i2=∑

i=1

❑

¿¿¿¿

Dimana ε adalah nilai sisaan/galat/error yang merupakan penyimpangan model

regresi dari nilai yang sebenaranya.

Gambar VI.2 Grafik Regresi Linier dengan Nilai ε

135 IT TELKOM

y=α+βx+ε

y i=a+bx


Dengan cara mendeferensialkan persamaan di atas terhadap α dan kemudian

terhadap β, kemudian menyamakan hasil pendeferensilan itu dengan nol, maka:

∂ L∂ a=−2∑

i=1

n

(Y i−a−b (x i−x¿))=0¿

∂ L∂b=−2∑

i=1

n

(Y i−a−b (x i−x¿))(x i−x )=0¿

Penyederhanaan dua persamaan tersebut di atas menghasilkan persamaan normal

kuadrat terkecil sebagai berikut:

na+b∑i=1

n

xi=∑i=1

n

y i

dan

∑i=1

n

x i y i=a∑i=1

n

x i+b∑i=1

n

x i2

Dari persamaan di atas, maka diperoleh persamaan:

atau atau ataub=Sxy

Sxx

atau

136 IT TELKOM

b=∑ ( x− x )( y− y )

∑ ( x− x )2

b=n∑ xy−∑ x∑ y

n∑ x2−(∑ x )2


Dari persamaan di atas disubstitusi, maka diperoleh persamaan untuk menentukan

nilai a: a = ∑i=1

n

y i

n−b∑i=1

n

x i

n

atau:

a = y – bx

Dimana:

y = rata – rata yi

x = rata – rata xi

6.4.5.2. Partisi dari Varians Total

Estimasi parameter σ 2 menghasilkan variansi yang disebabkan karena kesalahan

model dan variansi yang disebabkan karena kesalahan eksperimen. Dekomposisi

varians dapat dijabarkan sebagai berikut:

SST = SSR + SSE

Keterangan:

SST = Sum of Square Total / Jumlah Kuadrat Total =Syy

SSR = Sum of Square Regression / Jumlah Kuadrat Regresi = bSxy

SSE = Sum of Square Eror / Jumlah Kuadrat Eror = Syy−¿ bSxy

Dimana : Sxx=∑ x i2−n x2

137 IT TELKOM


Syy=∑ y i2−n y2

Sxy=∑ x i y i−n x y

6.4.5.3. Estimasi dari σ 2

Sum of Square Error (SSE) merupakan variansi yang menggambarkan

penyimpangan dari nilai–nilai observasi di sekitar garis regresi sampel. Nilai SSE (

Se) atau yang biasa disebut MSE (Mean Squared Error) adalah estimasi dari σ 2 dan

diestimasi dengan persamaan berikut:

Se = S = √∑ ( y− y )2

n−2 =√ SSE

n−2 =√ S yy−b Sxy

n−2

Standar Error Koefisien Regresi

Jika diambil sampel x dan y dari populasi, maka masing–masing sampel tersebut

memiliki gradien/slope (b) sendiri. Gradien sampel tersebut akan bervariasi disekitar

nilai koefisien regresi tersebut. Maka perlu diketahui variasi koefisien regresi

tersebut dengan persamaan berikut:

6.4.5.3. Standar Error untuk y bila nilai x diketahui

Jika nilai x dimasukkan berulang–ulang pada persamaan regresi, maka nilai rata–rata

yang diperoleh tidak akan sama, yang artinya nilai y bervariasi. Sehingga nilai

standar error y dapat ditentukan dengan persamaan berikut (bila x diketahui):

Sy = Se (√( 1n + (x0−x )2

S xx))

6.4.6.Uji Parsial Parameter Regresi

Digunakan untuk menguji apakah parameter β berarti pada model secara parsial.

Tahapan uji yang dilakukan:

Hipotesis:

138 IT TELKOM

sb=s

√Sxx

=sε

√∑ ( x− x )2=

sε

√∑ x2−(∑ x )2

n


H0 : β = 0

H1 : β ≠ 0

Statistik Uji:

t=b−β0

s /√Sxx

=b−β0

Sb

Pengambilan Keputusan:

Tolak H0 jika thitung > t a/2(df= n-2) pada selang kepercayaan α

Kesimpulan

6.4.7. Uji Intersep Model Regresi


Hipotesis:

H0 : α = 0

H1 : α ≠ 0

Statistik Uji:

t= a−α

s √∑ x i

nS xx

Pengambilan Keputusan

Tolak H0 jika thitung > t a/2(db= n-2) pada selang kepercayaan α

Kesimpulan

6.4.8. Selang Kepercayaan

Selang Kepercayaan untuk α:

Selang Kepercayaan untuk β:

139 IT TELKOM

a±tα /2

S√∑ x 2i

√nSxx

b±tα /2 sb


6.4.9.Prediksi

Estimasi selang keyakinan untuk Rata-rata y, diberikan pada saat xp

Estimasi selang keyakinan untuk Nilai individual y diberikan pada saat xp

6.5. Pemilihan Model Regresi

Penentuan model regresi linier sederhana ditekankan pada konsep linieritasnya

dengan asumsi awal bahwa hubungan tersebut linier diparamater regresinya.

Pemilihan variabel independen yang kurang tepat dapat menimbulkan bias

dalam estimasinya.


Hipotesis

H0 : β = 0

H1 : β ≠ 0

Tentukan daerah kritis dengan Level of Significance (α) yang biasa

digunakan adalah 0,01 atau 0,05

Tabel VI.10 Analysis of Variance

Sumber

Variansi SS df MS Fhitung

Regresi SSR 1 MSR = SSR/1 MSR/s2

Error SSE n – S2 = SSE/n-2

Total SST n –

140 IT TELKOM

y±tα /2 sε√ 1n+(x p− x )2

∑( x− x )2

y±tα /2 sε√1+ 1n+( x p− x )2

∑( x− x )2



Tolak H0 jika Fhitung > Ftabel(1 , n-2) pada selang kepercayaan (level of significance)

α

Kesimpulan

6.5.1 Pendekatan Analisis Varians (Anova)

Untuk menguji kelayakan dari suatu model regresi digunakan pendekatan analisis

varians.Analisis varians adaah suatu prosedur membagi variansi total variabel

dependen menjadi dua komponen, yaitu: variansi model sistematik dan variansi

error.

6.6. Analisis Residual

Analisis residual dapat dilakukan dengan:

a. Pengujian Unequal variances: Varians pada setiap nilai x harus identik,

yaitudengan melakukan plot e i dengan y, apabila terdapat pola-pola tertentu

berarti varians tidak identik sehingga perlu distabilkan dengan transformasi.

b. Pengujian Non normal error,yaitu dengan:

Stem and leaf

Histogram

Dot diagram

Plot normal (Normal Probability Plot)

141 IT TELKOM


c. Jika terdapat extreme skewness (kemiringan yang ekstrim) pada data, maka tidak

berdistribusi normal.

d. Pengujian Correlated Error (independent), yaitu dengan melihat plot e i dengan

time order (i). Jika ada pola tertentu, maka terjadilah dependent residual dimana

penyebabnya dapat karena kesalahan eksperimen atau kesalahan dalam

pembentukan model atau karena variabel prediktor yang diabaikan.

e. Pengecekan Ouliers residual yaitu dengan cara plot residual dalam batas

pengujian ±3σ ( plot ei dengan y).Apabila residual terletak di luar batas 3σ atau

nilainya lebih besar dari 3σ, maka ada indikasi outlier.

6.7. Pengujian Linieritas Regresi:untuk data dengan observasi berulang

Pada beberapa percobaan untuk mendapatkan hasil yang akurat seringkali dilakukan

pengulangan observasi untuk setiap nilai x, sehingga perlu dilakukan pengujian

apakah model yang dihasilkan sudah memenuhi atau tidak. Untuk menggambarkan

kondisi tersebut diatas dilakukan pengujian kecocokan model dengan pendekatan

Lack Of Fit.

6.7.1. Pengujian Lack Of Fit

Sum of squared error terdiri atas dua komponen, yaitu variasi random yang

muncul antar nilai y untuk setiap nilai x (pure experimental error) dan komponen

yang dikenal dengan istilah Lack Of Fit (LoF), untuk mengukur ketepatan model.

Prosedur Pengujian:

Hipotesis

H0 : Tidak ada LoF

H1 : Ada LoF Model Linier tidak sesuai

Tentukan daerah kritis dengan Level of Significance (α) yang biasa digunakan

adalah 0,01 atau 0,05

Hitung Pure Error sum of square (SSpe)

SSpe=∑i=1

k

∑i=1

n

¿¿¿¿ dengan df = n – k

142 IT TELKOM


Tabel VI.2 Analysis of Variance

Sumber

variansi SS df MS Fhitung

Regresi SSR 1 MSR = SSR/1 MSR/s2

Error: SSE n –

2

S2 = SSE(/n-2)

Lof

Pure error

SSE - SSpe k - 2 (SSE – SSpe¿/(k−2) SSE−SSpe

S2(k−2)SSpe n - k S2= SSpe /(n-k)

Total SST n


Tolak H0 jika Fhitung > Ftabel(k-2 , n-k) pada selang kepercayaan (level of significance) α

Kesimpulan

Contoh 1

nilai 9 mahasiswa dari suatu kelas pada ujian tengah semester (x) dan pada ujian akhir

semester (y) sebagai berikut :

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9

xi 7 50 7 72 81 9 96 9 67

yi 8 66 7 34 47 8 99 9 68

a. Tentukan persamaan garis regresi linear.

b. Tentukan nilai ujian akhir seorang murid yang mendapat nilai 85 pada ujian

tengah semester.

Jawab :

persamaan regresi linear

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Σxi 77 50 71 72 81 94 96 99 67 707

143 IT TELKOM


yi 82 66 78 34 47 85 99 99 68 658xiyi 6314 3300 5538 2448 3807 7990 9504 9801 4556 53258xi

2 5929 2500 5041 5184 6561 8836 9216 9801 4489 57557

Sehingga b = (9 ) (53.258 )−(707 )(658)

(9 ) (57.557 )−(707)2 = 0,777142

dan

a = 658−(0,777142 )(707)

9 = 12,06232

jadi, persamaan regresi linear adalah

y = 12,06232 + 0,777142x

x = 85

y = 12,06232 + (0,777142)(85) = 78,11936

Contoh 2

Lakukan uji regresi dengan pendekatan ANOVA pada :

x 3,4 2,8 2,5 3,7 3,2 3,1 2,9 3 2,2 2,4 2,7y 25 20 18 25 21 22 30 22 10 20 17

Jawab :

Σx = 31,9 Σy = 230 Σ xiyi = 675,5

Σ xi2 = 94,49 Σ yi

2 = 4866

x = 2,9 y = 20,9091

b = 0,777142

a = 12,06232

Sxx = Σ xi2 – n(x)2 = 1,98

Sxy = Σ xiyi – n(x y)= 8,4997

Syy = Σ yi2 – n(y)2 = 56,9049

SSR = b2 Sxx = 36,4894

SSE = Syy – SSR = 20,4155

Hipotesis

H0 : β = 0

H1 : β ≠ 0

144 IT TELKOM


α = 0.05

Tabel Anaysis of Variance

KomponenRe

gresi

SS d M Fhitung

Regresi 36,4

9

1 36, 16,08

2

7

6

Error 20,4

2

9 2,2

Total 56,9

0

4

9

1


F tabel = F(0.05;1,9) = 5,12

Karena Fhitung > Ftabel maka Ho ditolak

Kesimpulan:Model Regresi linier sesuai

Contoh 3

Berikut adalah data jumlah biaya promosi (x) dan jumlah penjualan (y) pada perusahaan

ABC.

Tahu

nJumlah Biaya Promosi x) Jumlah Penjualan (y)

2005 22 30

2006 36 38

2007 31 35

145 IT TELKOM


2008 32 37

2009 31 34

2010 32 38

Tentukanlah apakah terdapat hubungan antara biaya promosi dengan penjualan

menggunakan uji korelasi Spearman Rank dan tingkat kesalahan 1%!

Jawab:

Tahun

Jumlah

Biaya

Promos

i (x)

Jumlah

Penjuala

n (y)

Range

x

Range

yd i=R ( x )−R ( y) d i

2

2005 22 30 1 1 0 0

2006 36 38 6 5.5 0.5 0.25

2007 31 35 2.5 3 -0.5 0.25

2008 32 37 4.5 4 0.5 0.25

2009 31 34 2.5 2 0.5 0.25

2010 32 38 4.5 5.5 -1 1

∑ 2

r s=1−6 (2)

6(62−1)=1− 12

210=1−0 ,057=0 ,943

Uji Hipotesis:

H0 : Tidak ada hubungan yang signifikan antara variabel biaya promosi dengan variabel

penjualan

H1 : Ada hubungan yang signifikan antara variabel biaya promosi dengan variabel

penjualan.

146 IT TELKOM


Statistika uji:

t hitung=r √n−21−r 2 =

(0 ,943 )√6−2

1−(0 , 943 )2= 1 , 886

0 ,11075=17 , 03

t tabel= t( 0 ,01

2;4)=4 ,604

Kriteria uji: Karena thitung > ttabel maka tolak H0

Kesimpulan: Karena tolak H0 maka terima H1 yakni ada hubungan yang signifikan antara

variabel biaya promosi dengan variabel penjualan

LATIHAN SOAL:

1. Data berikut menyatakan IQ=X untuk kelompok anak berumur tertentu dan hasil ujian

prestasi pengetahuan umum (Y).

Xi Yi Xi Yi Yi Yi

114

110

113

137

116

132

90

121

107

120

125

92

29

41

48

73

55

80

40

75

43

64

53

31

13

14

13

14

12

13

10

12

71

68

69

66

39

78

49

59

66

67

46

47

96

89

105

125

107

97

134

106

99

98

117

100

45

32

50

57

59

48

55

45

47

59

47

49

147 IT TELKOM


11

12

95

10

a. Gambar diagram pencarnya.

b. Tentukn regresi linear Y atas X lalu gambarkan.

c. Jelaskan arti koefisien arah yang didapat.

d. Berapa rata-rata prestasi anak dapat diharapkan jika IQ nya 120?

e. Tentukan interval kepercayaan 95% untuk rata-rata prestasi anak dengan IQ=120.

Jelaskan artinya!

f. Tentukan interval kepercayaan 95% untuk seorang anak dengan IQ=120. Jelaskan

artinya!

g. Tentukan interval kepercayaan 95% untuk perubahan rata-rata prestasi jika IQ

berubah dengan satu unit.

h. Perlukah diambil model berbentuk lain?

i. Asumsi apakah yang harus diambil untuk menyelesaikan pertanyaan-pertanyaan

diatas?

2. Dari tabel berikut ini:

X (oC) Y (gram)

0 8 6 8

15 12 10 14

30 25 21 24

45 31 33 28

60 44 39 42

75 48 51 44

Carilah persamaan garis regresi

Gambarkan garis tersebut pada diagram pencar

148 IT TELKOM


Taksirlah banyaknya senyawa yang larut dalam 100 g air pada 50oC.

3. Lakukan uji model regresi pada soal no.1.

4. Berikut adalah data banyaknya modal (dalam juta rupiah) dan keuntungan yang

diperoleh

(dalam juta rupiah) yang dihasilkan dalam waktu 10 bulan.

Modal (x) 189 204 192 214 218 178 189 167 180 194

Keuntungan

(y)

10 15 13 17 19 14 13 11 13 15

a. Hitunglah koefisien korelasi Pearson dan determinasi berdasarkan data di atas dan

ujiah!

b. Tentukan apakah pernyataan bahwa koefisien korelasi antara jumlah karyawan dan

keuntungan tidak lebih dari 0,7 adalah benar! Gunakan tingkat kesalahan 5%!

5. Hitunglah koefisien korelasi kondisi temperatur (x) dan kepuasan pekerja (y) serta

apakah

ada hubungan yang signifikan antara keduanya dengan menggunakan teknik korelasi

pearson!

nKondisi temperatur

(x)

KepuasanKerja

(y)

1 8 20

2 12 20

3 10 17

149 IT TELKOM


4 7 18

5 8 19

6 7 20

7 12 18

8 10 19

9 12 16

19 17

110 16

112 17

112 18

112 12

112 17

6. Dibawah ini diberikan data yang secara acak diambil dari populasi normal bervariabel

dua (X dan Y).

X Y X Y X Y

15 10 8 56 17 153

150 IT TELKOM


13

10

11

16

12

9

12

4

8

8

10

99

11

13

97

74

98

20.

69

11

17

20

12

18

16

13

18

11

75

137

163

84

149

140

137

170

109

6

8

5

3

6

14

5

15

16

73

95

26

24

50

96

35

132

141

151 IT TELKOM


V.2.1 Regresi Linier BergandaAnalisis regresi linier berganda digunakan untuk menganalisis hubungan antara

variabel bebas (x) dan variabel terikat (y). Namun pada regresi linier berganda ini, variabel

bebas (x) yang digunakan lebih dari dari satu. Bentuk persamaan umum untuk model regresi

linier berganda:

y= a + b1 x1+b2 x2+……+bn xn

Keterangan:

y = nilai dari variabel terikat

a = konstata nilai estimasi y jika nilai x=0 (intercept)

b i = koefisien regresi gradient garis regresi (slope)

xn = variabel bebas

V.2.1.1 Metode Kuadarat Terkecil (Least-Squares Method)

Untuk setiap pengamatan {( x1 i , x2 i ; y i) ; i=1 , 2 , …,n¿} akan memenuhi persamaan:

y= a + b1 x1+b2 x2+……+bn xn+ei

Dengan menggunakan metode kuadrat terkecil, maka diperoleh persamaan:

e i= y- a - b1 x1−b2 x2−……−bn xn

Dengan syarat meminimasikan nilai a, b1, dan b2 penurunannya, maka diperoleh persamaan:

∑ yi = an + b1∑i=1

n

x i 1 + b1∑i=1

n

x i 2

∑i=1

n

x1 i yi = a∑i=1

n

x1 i + b1∑i=1

n

x i 12 + b2∑

i=1

n

x i 1 x i 2

∑i=1

n

x2 i y i = a∑i=1

n

x2 i + b2∑i=1

n

x i 22 + b1∑

i=1

n

x i 1 x2 i

Asumsi yang digunakan dalam analisis regresi linier berganda antara lain:

a. Setiap nilai error berdistribusi normal dengan rata–rata 0 dan dan varians σ2

b. Bersifat homoskedastisitas

c. Kovarian error = 0, tidak terjadi autokorelasi

152 IT TELKOM


d. Tidak terdapat multikolinieritas, artinya tidak terdapat hubungan linier yang sempurna

diantara variabel–variabel bebas.

Latihan soal

1. Dari tabel berikut ini:

X (oC) Y (gram)

0 8 6 815 12 10 1430 25 21 2445 31 33 2860 44 39 4275 48 51 44

a. Carilah persamaan garis regresi

b. Gambarkan garis tersebut pada diagram pencar

c. Taksirlah banyaknya senyawa yang larut dalam 100 g air pada 50oC.

2. Lakukan uji model regresi pada soal no.1.

153 IT TELKOM


BAB VI ANOVA (ANALISA VARIANS)

Dalam bab ini akan dibahas mengenai rancangan percobaan baik satu factor ( one way ANOVA) dan dua factor (two way ANOVA).

Setelah mempelajari materi ini mahasiswa dapat membuat rancangan percobaan dan menyelesaikannya baik satu factor ataupun dua faktor.

Mahasiswa mampu:

1. Mengetahui konsep desain eksperimen

2. Mengetahui asumsi yang harus dipenuhi dalam analisa varians (Anova)

3. Mengetahui penggunaan One Way Anova untuk menguji perbedaan rata-rata dari

beberapa populasi

4. Mengetahui penggunaan Random Block Design/Two Way Anova

5. Mahasiswa diharapkan dapat mengiplementasikan terhadap masalah yang dihadapi

didunia nyata.

6.


1. Perkuliahan



3. Tes pendahuluan


tanya jawab

5. Tes akhir

154 IT TELKOM

PENDAHULUAN



1………….2………….3………….4………….




7. Penutup

Anova (Analysis of Variance) merupakan salah satu Uji Hipotesis pada Statistika Parametrik, untuk melakukan pengujian terhadap interaksi antara dua faktor dalam suatu percobaan dengan membandingkan rata-rata dari lebih dua sampel.

Dalam banyak kasus penelitian seringkali ditemukan jumlah variabel yang

diuji lebih dari dua atau cukup besar, penggunaan uji t dan uji z tidak akan efektif

karena memakan waktu cukup lama dalam perhitungan dimana perhitungan

dilakukan secara berpasangan untuk masing-masing variabel.Andaikan saja akan

dilakukan pengujian terhadap lima variabel, maka harus dilakukan pengujian dengan

uji t sebanyak sepuluh kali pasangan variabel.Selain banyak menghabiskan waktu

untuk pengerjaannya, maka kemungkinan terjadi kesalahan baik itu kesalahan dalam

perhitungan, pembandingan ataupun pengulangan menjadi semakin besar.

Anova (Analysis of Variance) merupakan salah satu metode dalam statistika

parametrik.. Tujuan dari analisis varians adalah untuk dapat menemukan variabel

independen dalam penelitian dan mengetahui bagaimana interaksi antar variabel dan

bagaimana pengaruhnya terhadap suatu perlakuan.

Keunggulan dari analisis varians selain mampu melakukan perbandingan

untuk banyak variabel juga antar replikasi (pengulangan) observasi serta dapat

mengurangi sejumlah kesalahan yang mungkin terjadi dalam perhitungan.

Sebagai dasar dalam pengambilan keputusan dari analisis varians digunakan

distribusi F. Distribusi F ini diturunkan oleh R. A. Fisher dan George W. Snedecor

(tahun 1950), oleh karena itu dinamakan distribusi F (Fisher-Snedecor Distribution).

7.1.2. Asumsi

Penggunaan analisis Anova didasarkan pada asumsi diantaranya sbb:

1. Data berdistribusi normal

2. Skala pengukuran minimal interval

155 IT TELKOM

RINGKASAN MATERI


3. Varians homogen

4. Pengambilan sampel secara acak dan masing-masing sampel independen

Asumsi kenormalan distribusi memberi penjelasan terhadap karakteristik data

setiap kelompok. Asumsi adanya homogenitas varians menjelaskan bahwa variansi

dalam masing-masing kelompok dianggap sama. Sedangkan asumsi

bebas (independen) menjelaskan bahwa variansi masing-masing terhadap rata-ratanya

pada setiap kelompok bersifat saling bebas.

7.1.3. One Way ANOVA (Complete Random Design/CRD)

Analisis variansi satu arah atau yang sering disebut sebagai rancangan acak

lengkap adalah suatu prosedur untuk menguji perbedaan rata-rata/ pengaruh

perlakuan dari beberapa populasi (lebih dari dua) dari suatu percobaan yang

menggunakan satu faktor,dimana satu faktor tersebut memiliki 2 atau lebih level.

Disebut juga Desain Seimbang jika seluruh level faktor mempunyai ukuran sampel

yang sama. Dalam analisis variansi satu arah ini sampel acak yang berukuran n

diambil masing-masing dari k populasi. Ke k populasi yang berbeda ini

diklasifikasikan menurut perlakuan atau grup yang berbeda.

Model perbandingan k teratment (perlakuan):

y ij=μ+∝ j+eij

Dimana:

µ = Mean

∝ j= efek perlakuan ke-j

e ij IIDN(0,σ)

Prosedur pengujian dalam analisis varians ini adalah:

Pengujian hipotesis:

H 0 : µ1=µ2=…=µk,

H 1 : paling sedikit dua diantara rataan tersebut tidak sama.

156 IT TELKOM




Hitung dengan menggunakan tabel Anova


Tolak H0 jika Fhitung > Ftabel(k-1 , k(n-1)) pada selang kepercayaan (level of

significance) α

Kesimpulan

Ada dua cara dalam melakukan perhtiungan untuk mendapatkan tabel Anova, yaitu:

1. Dengan cara Matriks

2. Dengan Cara rumus

Tabel VIII.11 k sampel acak

Perlakuan

1 2 … j … k

y11 y12 … y1 j … y1k

y21 y22 … y2 j … y2k

… … …

yn1 yn2 … ynj … ynk

Jumlah T .1 … T . j … T .k T..

Rataan y .1 y .2 … y . j … y . k y

Keterangan:

y ij : menyatakan pengamatan ke i dalam perlakuan ke j.

T . j : menyatakan jumlah semua pengamatan dalam sampel dari perlakuan ke i.

y . j : menyatakan rataan semua pengamatan dalam sampel dari perlakuan ke j.

T.. : jumlah semua nk pengamatan.

y.. : rataan semua nk pengamatan

Dengan cara matriks:

Observasi = Grand Mean + Deviasi Treatment + Deviasi Residual

157 IT TELKOM


y ij = y .. + ( y . j− y ..) + (y ij-y . j ¿

(y ij-y ..¿ = ¿ + (y ij-y . j ¿

(y ij-y ..¿ ² = ( y . j− y ..) ² + (y ij-y . j ¿ ² + 2( y . j− y ..) (y ij-y . j ¿

= 0

∑j=1

k

∑i=1

n

¿¿¿ + ∑j=1

k

∑i=1

n

( y ij− y . j) ²

SST SSA

SSE

Keterangan: SST = Sum Square Total SSA = Sum Square of Treatment SSE = Sum Square of Error

Atau dengan cara rumus perhitungan jumlah kuadrat dengan ukuran sampel sama adalah:

SST = ∑i=1

k

∑j=1

n

y ij2−¿ T ..2

nk¿

SSA = ∑i=1

k

T . j2

n−T ..2

nk

SSE = SST – SSA

Tabel VII.12 Analisis Variansi untuk Klasifikasi satu arah

Sumber

variansi SS df MS F hitung

Perlakua

n

SSA k-1 MSA= SSAk−1

MSAMSE

Error SSE k(n-1) MSE= SSEk (n−1)

158 IT TELKOM


Total SST nk-1

Contoh 1:

Berikut adalah data kecepatan merakit produk (dlm menit) yang dihasilkan oleh 4

macam operator:

Mesin

1 2 3 4 Total

12 22 19 11

10 13 14 13

14 16 20 16

13 15 19 12

11 14 18 18

Total 60 80 90 70 300

Rataan 12 16 18 14 15

Ujilah dengan taraf keberartian 0,05 apakah rata-rata kecepatan merakit produk yang

dihasilkan beberapa mesin tersebut berbeda!

Jawab:

H 0 : µ1= µ2=…= µ4,

H 1 : paling sedikit dua rataan tersebut tidak sama.

Daerah kritis: f hitung > f tabel= 3,24 dengan derajat kebebasan v1=3 dan v2=16


Observasi = Grand Mean + Deviasi Treatment + Residual

y ij = y .. + ( y . j− y) + (y ij-y . j ¿

¿

(dikuadratkan)=100 (dikuadratkan)=116

SSA SSE

SST = SSA +SSE = 216

159 IT TELKOM


Dengan cara rumus:

SST= 122+222+…+182−3002

20=216

SSA= 602+802+902+702

5−3002

20=¿100

SSE= 216-100=116

Tabel Anova

Sumber

variansi SS df MS Fhitung

Perlakuan 100 3 33,3333 4,5977

Error 116 16 7,25

Total 216 19

Dari perhitungan dengan cara matrik dan cara rumus untuk tabel Anova didapatkan hasil

yang sama, sehingga untuk melakukan perhitungan boleh dilakukan dengan salah satu

cara tersebut.

Karena f hitung=4,5977 > f tabel= 3,24

Keputusan: tolak H 0 dan disimpulkan bahwa keempat mesin tidak mempunyai rataan

yang sama (Mesin memang berpengaruh)

Latihan soal:

1. Uji hipotetis pada taraf 0,01 bahwa rata-rata aktivitas khusus sama saja untuk

keempat konsentrasi.

Konsentrasi NaCl

A B C D

11,0

1

11,38 11,02 6,04

12,0

9

10,67 10,67 8,65

10,5

5

12,33 11,50 7,76

160 IT TELKOM


11,2

6

10,08 10,31 10,13

2. Enam mesin sedang dipertimbangkan untuk dipakai dalam pembuatan karet penutup.

Mesin tersebut dibandingkan berdasarka daya rentang barang yang dihasilkan.

Sampel acak empat karet penutup dari tiap mesin dipakai untuk menentukan apakah

rataan daya rentang tiap mesin berbeda. Berikut ini ialah pengukuran daya rentang

dalam kg per cm2 x 10−1.

Mesin

1 2 3 4 5 6

17,5 16,4 20,3 14,6 17,5 18,3

16,9 19,2 15,7 16,7 19,2 16,2

15,8 17,7 17,8 20,8 16,5 17,5

18,6 15,4 18,9 18,9 205 20,1

Kerjakan analisi variansi pada taraf keberartian 0,05 dan tentukanlah apakah rataan

daya rentang ke 6 mesin berbeda secara berarti. ANALISIS VARIANS!

3. Tiga cara mengajar matematika telah diberikan kepada tiga kelompok anak SD kelas

V, satu cara hanya diberikan pada satu kelompok.Hasil ujian pada akhir pengajaran

dengan cara tersebut diberikan dalam daftar berikut.

Cara I Cara II Cara III

89

93

75

69

83

99

69

57

85

67

90

79

75

86

94

64

69

78

92

81

70

84

161 IT TELKOM


Anggap hasil ini sebagai sampel hasil belajar matematika dengan cara mengajar

masing-masing.Sebutkan syarat-syarat yang harus dipenuhi agar percobaan ini sah

untuk dibandingkan hasilnya. Berikan analisis lengkap mengenai hasil belajar

matematika menggunakan ketiga cara tersebut. Ujilah persyaratan yang perlu

menggunakan data yang diberikan.

7.1.4 TWO WAY ANOVA

Two Way Anova dikenal juga dengan factorial design atau Randomized Block

Design. Sama dengan One Way Anova dasar perhitungan yang digunakan adalah

Distribusi F. Pada Two way Anova pengujian dilakukan dengan tidak hanya melihat

satu faktor atau perlakuan saja, tetapi juga dengan mempertimbangkan faktor blok.

Uji blok dilakukan untuk mengetahui pengaruh blok terhadap perbedaan rata-rata.

Uji blok ini akan mengurangi kombinasi kesalahan.

Model random Block experiment untuk perbandingan k tratment (perlakuan):

y ij=μ+∝i+β j+e ij

Dimana:µ = Mean ∝i= efek blok ke-iβ j= efek perlakuan ke-j

e ij IIDN(0,σ)

Prosedur pengujian dalam analisis varians dua arah ini adalah:

Pengujian hipotesis untuk treatment:

H 0 : Tidak ada pengaruhtreatment / perlakuan

H 1 : Ada pengaruh treatment





Tolak H0 jika Fhitung = MSAMSE

> Ftabel (k-1 ,(b-1)(k-1)) pada selang kepercayaan (level

of significance) α

162 IT TELKOM


Kesimpulan

Pengujian hipotesis untuk blok:

H 0 : Tidak ada pengaruhblok

H 1 : Ada pengaruh blok





Tolak H0 jika Fhitung = MSBMSE

> Ftabel(b-1 ,(b-1)(k-1)) pada selang kepercayaan (level of

significance) α

Kesimpulan

Proses perhitungan Two Way Anova hampir sama dengan One Way Anova dimana

ada dua cara dalam perhtiungan tabel Anova, yaitu:

1. Dengan cara Matriks

2. Dengan Cara rumus

Tabel VII.13 Tabel Random Block Design( Two Way ANOVA)

Block

(B)

Treatment (A)Jml

Mean1 2 … A

1 y11 y12 … y1a T1. y1.

2 y21 y22 … Y2a T2. y2.

: : : :

B Yb1 Yb2 … yba Tb.. yb .

Jml T.1 T.2 … T.a T..

Mean y .1 y .2 y . a y ..

163 IT TELKOM



Observasi = Mean + Deviasi Treatment + Deviasi Block + Residual

y ij = y .. + ( y . j− y ..) + ( y i .− y ..) + (y ij− y i .− y . j+ y ..¿

(y ij-y ..¿ = ¿) + ( y i .− y ..)+ (y ij− y i .- y . j+ y ..¿

∑i=1

a

∑j=1

b

¿¿¿ + a∑j=1

b

( y . j− y ..) ²+∑i=1

a

∑j=1

b

( y ij± y i .+ y . j+ y ..) ²

SST=∑i=1

a

∑j=1

b

¿¿¿

SSA = b∑i=1

a

( y i .− y ..) ²

SSB = a∑j=1

b

( y . j− y ..) ²

SSE = ∑i=1

a

∑j=1

b

( y ij± y i .+ y . j+ y ..) ²

Dengan cara rumus:

SST=∑i=1

a

∑j=1

b

y ij2 T ..

2

ab

SSA=∑i=1

a

T i ..2

b−T . .2

ab

SSB=∑j=1

b

T . j2

a−T . .2

ab

SSE=SST−SSA−SSB

Jumlah kuadrat diperoleh dengan membentuk tabel jumlah berikut :

Tabel VIII.14 Two Way Anova

Sumber VariasiSS df MS f hitung

A (Treatment) SSA a-1 MSA= SSAa−1

f A=MSAMSE

164 IT TELKOM


B (Block) SSB b-1 MSB= SSBb−1

f B=MSBMSE

Error SSE (a-1) (b-1) MSE= SSE(a−1 ) (b−1 )

Total SST (ab-1)

Contoh 2:

Suatu percobaan dilakukan untuk menentukan yang mana yang lebih baik dari tiga

sistem rudal yang berlainan, diukur laju pembakaran bahan bakar dari 24 penembakan

statis.Empat Jenis bahan bakar yang berlainan dicoba.Berikut adalah datanya :

Sistem Rudal

Jenis bahan bakar

1 2 3 4

1 12 20 13 11

2 2 14 7 5

3 8 17 13 10

4 1 12 8 3

5 7 17 14 6

Gunakan taraf keberartian 5% untuk menguji hipotesis berikut :

a. Apakah ada pengaruh jenis bahan bakar?

b. Apakah ada pengaruh faktor Sistem Rudal?

Jawab :

165 IT TELKOM


Sistem RudalJenis bahan bakar

Jml Mean 1 2 3 4

1 12 20 13 11 56 14

2 2 14 7 5 28 7

3 8 17 13 10 48 12

4 1 12 8 3 24 6

5 7 17 14 6 44 11

Jumlah 30 80 55 35 200

Mean 6 16 11 7 10

Hipotesis

a. H0 = α1 = α1 = α3 = 0 (Tidak ada pengaruh jenis bahan bakar)

H1 = Paling sedikit salah satu αi tidak sama dengan nol(Ada pengaruh)

b. H0 = β1 = β1 = β3 = 0 (Tidak ada pengaruh sistem rudal)

H1 = Paling sedikit salah satu βj tidak sama dengan nol(Ada pengaruh)


Observasi = Grand Mean + Deviasi Treatment + Deviasi Block + Residual

y ij = y .. + ( y . j− y) + (y ij-y . j ¿

¿ [ 44 4 4−3−3−3−3

2 222−4−4−4−4

1 111]

(dikuadratkan)=310 (dikuadratkan)=184

SSA SSB

166 IT TELKOM


+ [ 0 6 1−3−2 −3 −4−1

2 0 2 21 −1 1−2−1 −2 04

] (dikuadratkan)= SSE= 24

SST = SSA +SSB+SSE = 518

Dengan cara rumus:

SST=∑i=1

a

∑j=1

b

y ij2 T ..

2

ab = 2518 -2002

20 = 518

SSA=∑i=1

a

T i ..2

b−T ..2

ab

= [ 302

5+ 802

5+ 552

5+ 352

5 ] - 2002

20 = 2310 – 2000 = 310

SSB=∑j=1

b

T . j2

a−T . .2

ab

= [ 562

4+ 282

4+ 482

4+ 242

4+ 442

4 ] - 2002

20 =2184 – 2000 = 184

SSE=SST−SSA−SSB= 518 – 310 -184 = 24

Tabel analisis variansi

Sumber Variasi SS Df MS F Hitung

Jenis bahan

bakar310 3 103,3 51,7

Sistem rudal 184 4 46 23

Error 24 12 2

Jumlah 518 19

Keputusan-1:

Tolak H0 jika f hitung > f tabel(0,05;3;12)

51,1 > 3,49 Tolak H0

Kesimpulan-1:

Rataan laju pembakaran bahan bakar tidak sama untuk keempat jenis bahan bakar

167 IT TELKOM


Keputusan-2:

Tolak H0 jika f hitung > f tabel(0,05;4;12)

23 > 3,26 Tolak H0

Kesimpulan-2:

Sistem rudal yang berlainan menghasilkan rataan laju pembakaran yang berbeda

Latihan soal

1. Suatu percobaan diadakan untuk meneliti pengaruh suhu dan jenis tungku terhadap

umur sejenis suku cadang tertentu yang diuji. Empat jenis tungku dan tiga taraf suhu

dipakai dalam percobaan tersebut. 24 buah suku cadang dibagi secara acak, dua pada

tiap kombinasi perlakuan, dan hasilnya diterakan berikut :

Suhu (0C)

Tungku

T1 T2 T3 T4

500 227 214 223 240

550 187 181 232 246

600 202 194 213 219

Gunakan taraf keberartian 0,05, ujilah apakah :

a. Ada pengaruh suhu?

b. Ada pengaruh tungku?

2. Untuk menetukan otot mana yang perlu mendapat program latihan untuk

meningkatkan kemampuan melakukan servis datar dalam tenis, penelitian ‘An

Electromoygraphic-Cinematrographic Analysis of the Tennis Serve” telah dilakukan

oleh Jurusan Kesehatan di Virginia Polytechnic Institute and State University di

tahun 1978. Lima otot yang berbeda tersebut adalah : Anterior deltoid,Pectorial

mayor,Posterior deltoid,Deltoid tengah,Trisep. Data elektromyograf, tercatat waktu

servis, adalah sebagai berikut :

168 IT TELKOM


Orang Otot1 2 3 4 5

1 59 1.5 61 10 20

260 9 78 61

61

3 47 42 23 55 95

Dengan α= 0,01 ujilah apakah:

a. Ada pengaruh orang (Ketiga orang mempunyai pengukuran elektromygraf yang

sama)?

b. Ada pengaruh otot (Otot yang berbeda tidak mempunyai pengaruh pada

pengukuran elektromygraf)?

VI.1.1 Two Way Anova dengan n replikasi

Tabel VII.15 Two Way Anova dengan n replikasi

Sumber Variasi Jumlah KuadratDerajat Kebebasan

Rataan Kuadrat f hitungan

Pengaruh Utama

A JKA a-1 S12= JKA

a−1f 1=

S12

S2

B JKB b-1 S22= JKB

b−1f 2=

S22

S2

Interaksi dwifaktor

AB JK(AB) (a-1) (b-1) S32=

JK (AB)(a−1 ) (b−1 )

f 3=S3

2

S2

Galat JKG ab(n-1) S2= JKGab (n−1 )

JKT abn-1

Jumlah kuadrat diperoleh dengan membentuk tabel jumlah berikut :

Tabel VII.16 Tabel Penjumlahan Two Way ANOVA

169 IT TELKOM


AB

Jumlah1 2 … b

1 T11. T12. … T1b. T1…

2 T21. T22. … T2b. T2…

: :

A Ta1. Ta2. … Tab. Ta…

Jumlah T.1. T.2. … T.b. T…

Keterangan:

JKT=∑i=1

a

∑j=1

b

∑k=1

n

y ijk2 −¿ T 2

abn¿

JKA=∑i=1

a

T i..2

bn− T .2

abn

JKB=∑j=1

b

T j .2

an− T .2

abn

JK (AB )=∑i=1

a

∑j=1

b

T ij2

n−∑i=1

a

T i ..2

bn−∑j=1

b

T . j .2

an+

T…2

abn

JKG=JKT−JKA−JKB−JK (AB)

Contoh 2:

Dalam suatu percobaan yang dilakukan dalam menentukan yang mana yang lebih baik dari

tiga sistem rudal yang berlainan, diukur laju pembakaran bahan bakar dari 24 peembakan

statis. Empat Jenis bahan bakar yang berlainan dicoba. Percobaan menghasilkan replikasi

pengamatan laju pembakaran pada tiap kombinasi perlakuan. Berikut adalah datanya :

Sistem Rudal

Jenis Bahan Bakar

b1 b2 b3 b4

a1

34,0 30,1 29,8 29,0

32,7 32,8 26,7 28,9

a2

32,0 30,2 28,7 27,6

33,2 29,8 28,1 27,8

a3

28,4 27,3 29,7 28,8

29,3 28,9 27,3 29,1

Gunakan taraf keberartian 5% untuk menguji hipotesis berikut :

170 IT TELKOM


a. H0 = Tidak ada beda antara rataan laju pembakaran bahan bakar bila digunakan sistem

rudal yang berlainan.

b. H0 = Tidak ada beda antara rataan laju pembakaran keempat jenis bahan bakar

c. H0 = Tidak ada interaksi sistem rudal yang berlainan dengan jenis bahan bakar yang

berlainan.

Jawab :

1. Hipotesis

a. H0 = α1 = α1 = α3 = 0

H1 = Paling sedikit salah satu αi tidak sama dengan nol

b. H0 = β1 = β1 = β3 = 0

H1 = Paling sedikit salah satu βj tidak sama dengan nol

c. H0 = (αβ)11 = (αβ)12 = … = (αβ)34 = 0

H1 = Paling sedikit salah satu (αβ)ij tidak sama dengan nol

2. Taraf keberartian = 5%

3. Daerah kritis (penentuan f tabel)

a. f1 = f9.05 (a-1,ab(n-1)) = f9.05 (2,12) = 3,89

b. f2 = f9.05 (b-1,ab(n-1)) = f9.05 (3,12) = 3,49

c. f3 = f9.05 ((a-1)(b-1),ab(n-1)) = f9.05 (6,12) = 3,00

4. Tabel jumlah

b1 b2 b3 b4 Jumlah

a1 66,7 62,9 56,5 57,9 244,0

a2 65,2 60,0 56,8 55,4 237,4

a3 57,7 56,2 57,0 57,9 228,8

Jumlah 189,6 179,1 170,3 171,2 710,2

5. Tabel analisis variansi

Sumber VariasiJumlah Kuadrat

Derajat Kebebasan

Rataan Kuadrat

f Hitungan

Sistem rudal 14,52 2 7,26 5,85Jenis bahan bakar

40,08 3 13,36 10,77

Interaksi 22,17 6 3,70 2,98

Galat 14,91 12 1,24

Jumlah 91,68 23

171 IT TELKOM


6. Statistik Uji

Tolak H0 jika f hitung > f tabel

7. Kesimpulan

a. 5,85 > 3,89 Tolak H0

Kesimpulan : Sistem rudal yang berlainan menghasilkan rataan laju pembakaran

yang berbeda.

b. 10,77 > 3,49 Tolak H0

Kesimpulan : Rataan laju pembakaran bahan bakar tidak sama untuk keempat

jenis bahan bakar.

c. 2,98 < 3,00 Terima H0

Kesimpulan : Tidak ada interaksi sistem rudal yang berlainan dengan jenis bahan

bakar yang berlainan.

Latihan soal

1. Suatu percobaan diadakan untuk meneliti pengaruh suhu dan jenis tungku terhadap umur

sejenis suku cadang tertentu yang diuji. Empat jenis tungku dan tiga taraf suhu dipakai

dalam percobaan tersebut. 24 buah suku cadang dibagi secara acak, dua pada tiap

kombinasi perlakuan, dan hasilnya diterakan berikut :

Suhu (0C)Tungku

T1 T2 T3 T4

500227 214 225 260

221 159 236 229

550187 181 232 246

208 179 198 273

600174 198 178 206

202 194 213 219

Gunakan taraf keberartian 0,05, uji hipotesi bahwa :

a. Suhu yang berbeda tidak berpengaruh pada umur suku cadang tersebut

b. Tungku yang berlainan tidak berpengaruh pada umur suku cadang tersebut

c. Jenis tungku dan suhu tidak berinteraksi

2. Untuk menetukan otot mana yang perlu mendapat program latihan untuk meningkatkan

kemampuan melakukan servis datar dalam tenis, penelitian ‘An Electromoygraphic-

172 IT TELKOM


Cinematrographic Analysis of the Tennis Serve” telah dilakukan oleh Jurusan Kesehatan

di Virginia Polytechnic Institute and State University di tahun 1978. Lima otot yang

berbeda tersebut adalah :

a. Anterior deltoid,

b. Pectorial mayor,

c. Posterior deltoid,

d. Deltoid tengah,

e. Trisep

Diuji pada masing-masing tiga orang, dan percobaan dilakukan tiga kali untuk tiap

kombinasi perlakuan. Data elektromyograf, tercatat waktu servis, adalah sebagai

berikut :

OrangOtot1 2 3 4 5

132 5 58 10 1959 1.5 61 10 2038 2 66 14 23

263 10 64 45 4360 9 78 61 6150 7 78 71 42

343 41 26 63 6154 43 29 46 8547 42 23 55 95

Gunakan taraf keberartian 0,01 untuk menguji hipotesis bahwa:

a. Ketiga orang mempunyai pengukuran elektromygraf yang sama

b. Otot yang berbeda tidak mempunyai pengaruh pada pengukuran elektromygraf

c. Orang dan jenis otot tidak berinteraksi

173 IT TELKOM


BAB VIIISTATISTIKA NON-PARAMETRIK

8.0 Tujuan Pembelajaran

Mahasiswa mampu :

1. Membedakan prosedur uji parametrik dan nonparametrik2. Menjelaskan macam-macam uji nonparametrik3. Menjelaskan asumsi-asumsi yang harus dipenuhi dalam beberapa uji

nonparametrik4. Menyelesaikan problem yang menggunakan uji nonparametrik5. Menghitung korelasi peringkat/rank Spearman

8.1 Statistika Nonparametrik

Salah satu karakteristik prosedur-prosedur dalam metode statistika adalah kelayakan

penggunaannya untuk tujuan inferensia (penyimpulan) selalu bergantung pada

asumsi-asumsi tertentu yang kaku. Prosedur dalam analisa varians, misalnya :

mengasumsikan bahwa sampel h

arus diambil dari populasi-populasi yang berdistribusi normal dan mempunyai

varians yang sama.

Jika populasi yang dikaji tidak dapat memenuhi asumsi-asumsi yang mendasari uji-

uji parametrik,maka statistika nonparametrik dapat memenuhi kebutuhan tersebut

dan tetap sah meski hanya berlandaskan pada asumsi-asumsi yang sangat umum.

Ringkasnya, bila uji parametriknya dan nonparametrik dapat digunakan untuk data

yang sama, kita seharusnya menghindari uji nonparametrik yang “cepat dan mudah”

ini dan mengerjakannya dengan teknik parametrik yamg lebih efisien. Akan tetapi,

karena asumsi kenormalan seringkali tidak dapat dijamin berlakunya, dan juga

karena kita tidak selalu mempunyai hasil pengukuran yang kuantitatif sifatnya, maka

beruntunglah telah disediakan sejumlah prosedur nonparametrik yang bermanfaat.

Kelebihan prosedur nonparametrik:

1. Prosedur nonparametrik memerlukan asumsi dalam jumlah yang minimum, sehingga

kemungkinan untuk digunakan secara salah pun relatif kecil (Uji-ujinya disertai

174 IT TELKOM


dengan asumsi-asumsi yang jauh tidak mengikat dibandingkan dengan uji

parametrik padanannya)

2. Perhitungan-perhitungannya dapat dilakukan secara cepat dan mudah

3. Konsep-konsep dan metode-metode prosedur nonparamterik mudah dipahami bagi

peneliti yang dasar matematika dan statistikanya kurang

4. Dapat diterapkan pada data dengan skala pengukuran yang lemah (Datanya tidak

harus merupakan pengukuran kuantitatif tetapi dapat berupa respon yang kualitatif)

Kelemahan prosedur nonparamtrik:

1. Tidak menggunakan semua informasi dari sampel (kurang efisien)

2. Tidak seteliti pengujian parametrik, sehingga untuk mencapai β (peluang terjadinya

kesalahan type kedua) yang sama diperlukan sampel yang besar

8.2. Uji Tanda (Sampel Tunggal)

Uji tanda merupakan prosedur nonparametrik yang paling sederhana untuk diterapkan, pada sembarang data yang bersifat dikotomi yaitu data yang tidak dapat dicatat pada skala numerik tetapi yang hanya dapat dinyatakan melalui respons positif dan negatif. Misalnya : percobaan yang responsnya bersifat kualintatif seperti “cacat” atau “tidak”, atau dalam percobaan yang berhubungan dengan indera perasa yang responsnya berupa tanda plus bila penyicip rasanya dapat mengidentifikasi bumbu yang digunakan, atau minus bila tidak berhasil mengidentifikasi bumbu tersebut.

Asumsi yang digunakan dalam uji tanda adalah:

1. Sampel yang diukur adalah sampel acak dari suatu populasi dengan median yang belum diketahui

2. Variabel yang diukur minimal mempunyai skala pengukuan ordinal3. Varianel yang diukur adalah variabel kontinyu

Prosedur pengujian dalam uji tanda ini adalah:


H 0 : ~μ=~μ0

H 1 : ~μ ≠~μ0

Tentukan Level of Significance (α)

175 IT TELKOM


Tentukan daerah kritis:

1. Satu arah : P(X≤ x H 0 benar ¿≤ α

2. Dua arah : 2 P(X≤ x H 0 benar ¿≤ α

Dimana x : banyaknya tanda plus/minus manapun yang lebih kecil

Perhitungan Statistik Uji:

3. Hitung semua selisih dari pengurangan masing-masing nilai sampel

dengan median hipotesis

4. Beri tanda (+) jika selisih > 0 dan beri tanda (-) jika selisih < 0

5. Jika ada selisih = 0, buang dan ukuran sampel harus dikurangi

6. Hitung P(X≤ xn∗0,5¿ dengan distribusi binomial dan bandingkan

dengan α untuk n ≤ 20

7. Jika n ¿20 dan p = 0,5 atau jika np = nq > 5, maka dapat didekati

dengan distribusi normal dengan memberikan faktor koreksi

kontinuitas yaitu:

. Z=(x ± 0,5 )−0,5 n

0,5√n


Tolak H0 jika masuk dalam daerah kritis, dan terima H0 jika diluar daerah kritis

Kesimpulan:

Menerima Ho menunjukkan bahwa tidak ada perbedaan, sedang menolak Ho

menunjukkan adanya perbedaan antara subyek.

176 IT TELKOM


Contoh-1

Berikut ini adalah data lama waktu (dalam jam,)sebuah alat listrik pencukur rambut dapat digunakan sebelum harus diisi tenaga listrik kembali:

1.5, 2.2, 0.9, 1.3, 2.0, 1.6, 1.8, 1.5, 2.0, 1.2, dan 1.7.

Gunakan uji tanda untuk menguji hipotesis pada taraf nyata 0.05 bahwa alat pencukur ini secara rata-rata dapat bekerja 1.8 jam sebelum harus diisi tenaga listrik kembali.

Jawab:


H 0 : ~μ=1,8

H 1 : ~μ ≠ 1,8

Dengan Level of Significance (α)=0,05, maka daerah kritis:

8. Dua arah : 2 P(X≤ x H 0 benar ¿≤ 0,05

9. Dua arah : P(X≤ x H 0 benar ¿≤ 0,025



Data 1.5 2.2 2,1 1.3 2.0 1.6 1.8 1.5 2.0 1.2 1.7

Tanda - + + - + - + - + - -

*Median = 1,7

P(X≤ 5 11∗0,5¿ = dengan distribusi binomial (lihat tabel) = 0,5

Ternyata lebih besar dari ∝2=0,025

Keputusan:

Tolak H0

Kesimpulan:

Rata-rata bekerja/berfungsi alat pencukur listrik tsb bukan 1.8 jam

177 IT TELKOM


Contoh-2

Sebuah perusahaan taksi hendak menetukan apakah akan menggunakan ban radial atau ban biasa untuk meningkatkan penghematan bahan bakar. Duabelas mobil dipasang dengan ban radial dan kemudian dicoba pada sebuah lintasan tertentu. Tanpa mengganti supirnya, mobil-mobil yang sama kemudian dipasang dengan ban biasa dan dicoba sekali lagi pada lintasan yang sama. Konsumsi bahan bakar, dalam kilometer per liter, tercatat sebagai berikut:

Mobil Ban radial Ban biasa1 4.2 4.12 4.7 4.93 4.6 6.24 7.0 6.95 6.7 6.86 4.5 4.47 5.7 5.78 6.0 5.89 7.4 6.910 4.9 4.911 6.1 6.012 5.2 4.9

Dapatkah kita menyimpulkan pada taraf nyata 0.05 bahwa mobil yang dilengkapi dengan ban radial lebih hemat bahan bakar dari pada mobil dengan ban biasa? Gunakan hampiran normal terhadap sebaran binom.

Jawab:


H 0 :~μR−~μB = 0

H 1 :~μR−~μB>0

Ban

Radial4.2 4.

74.6 7.0

6.7 4.5 5.

76.0 7.4 4.

96.1 5.2 5,

76,9

Ban

Biasa4.1 4.

96.2 6.9 6.

84.4 5.

75.8 6.9 4.

96.0 4.9 5,

36,5

Tanda + - - + - + 0 + + 0 + + + +

Perhitungan: Dengan sedikit perhitungan kita memperoleh 9 tanda plus, 2 tanda nol.

178 IT TELKOM


Setelah tanda nol dibuang, n = 12 dan x = 3

Karena n > 10 dan p = 0,5 maka dapat didekati dengan distribusi normal dengan memberikan

faktor koreksi kontinuitas yaitu:

ZHitung=(12−0,5 )−0,5∗12

√(12 ) (0,5 )(0,5) = 3,1754

Daerah Kritis: z > 1.645

Keputusan: Karena ZHitung>ZTabel , maka tolak Ho Kesimpulan :Rata-rata ban radial memang meningkatkan penghematan bahan

bakar.

8.3. Uji Tanda Untuk Dua Sampel Berhubungan

Asumsi yang digunakan dalam uji tanda adalah:

1. Sampel yang diukur adalah sampel acak yang terdiri dari n pasangan hasil pengukuran dimana masing-masing pasangan pengukurannya dilakukan terhadap subyek yang sama

2. Variabel yang diukur minimal mempunyai skala pengukuan ordinal3. Variabel yang diukur adalah variabel kontinyu4. Ke-n pasangan hasil pengukuran independen

Prosedur pengujian dalam uji tanda ini adalah:


H 0 :~μ1−~μ2=d i = 0

H 1 :~μ1−~μ2≠ 0



a. Satu arah : P(X≤ x H 0 benar ¿≤ α

b. Dua arah : 2 P(X≤ x H 0 benar ¿≤ α



179 IT TELKOM


Untuk masing-masing pengamatan, hitung selisih dari masing-masing

nilai dari dua sampel berpasangan.

Beri tanda (+) jika selisih > 0 dan beri tanda (-) jika selisih < 0

Jika ada selisih = 0, buang dan ukuran sampel harus dikurangi

Untuk n ≤ 20 dan pengujian dilakukan dengan dua arah hitung 2P(X

≤ xn∗0,5¿ dengan distribusi binomial dan bandingkan dengan α

Jika n >20 dan p = 0,5 atau jika np = nq > 5, maka dapat didekati dengan

distribusi normal dengan memberikan faktor koreksi kontinuitas yaitu:

. Z=(x ± 0,5 )−0,5 n

0,5√n


Tolak H0 jika masuk dalam daerah kritis, dan terima H0 jika diluar daerah kritis

Kesimpulan:

Menerima Ho menunjukkan bahwa tidak ada perbedaan, sedang menolak Ho

menunjukkan adanya perbedaan antara subyek.

Contoh-3

Seorang peneliti mempelajari efek kebersamaan terhadap denyut jantung tikus. Denyut jantung 10 tikus dicatat, baik ketika masing-masing tikus sedang sendiri maupun ketika sedang bersama-sama. Hasil studi tersebut dicatat seperti data dibawah ini (dalam menit):

Tikus 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10X 463 462 462 456 450 426 418 415 409 402Y 523 494 461 535 476 454 448 408 470 437*X=Ketika tikus sendiri

Y= Ketika tikus berkumpul

Ujilah dengan level significance 5% apakah kebersamaan meningkatkan denyut jantung tikus-tikus?

Jawab:


H 0 :~μx−~μy ≥ d i≥ 0

180 IT TELKOM


H 1 :~μx−~μy<¿ 0

Tikus 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10X 463 462 462 456 450 426 418 415 409 402Y 523 494 461 535 476 454 448 408 470 437d i -60 -32 +1 -79 -26 -28 -30 +7 -61 -35Tanda - - + - - - - + - -

Dua arah : 2 P(X≤ 210∗0,5¿=0,0547

P(X≤ 210∗0,5¿=0,02735 ≤ α=0,05

Keputusan:

Tolak H0

Kesimpulan:

Kebersamaan tidak meningkatkan denyut jantung tikus-tikus tsb.

8.4. Uji Jumlah Peringkat-Bertanda Wilcoxon (Wilcoxon Rank Sum Test)

Uji Peringkat-Bertanda Wilcoxon adalah metode non parametrik yang sangat sederhana yang ditemukan oleh Frank Wilcoxon pada tahun 1945 untuk membandingkan nilai tengah dua populasi bukan normal yang kontinu. Jadi singkatnya uji ini digunakan untuk menguji hipotesis mengenai beda lokasi median.

Asumsi yang digunakan dalam uji Wilcoxon Rank Sum Test adalah:

1. Data merupakan sampel acak hasil pengamatan X1,X2,..., Xn dari populasi satu dan sampel acak hasil pengamatan lain Y1,Y2,...,Yn

2. Variabel yang diukur minimal mempunyai skala pengukuan ordinal3. Variabel yang diukur adalah variabel kontinyu4. Kedua sampel independen

Prosedur pengujian dalam uji Wilcoxon Rank Sum Test ini adalah:


H 0 :~μ1=~μ2

181 IT TELKOM


H 1 :~μ1 ≠~μ2



a. Semua nilai U yang memenuhi P(U≤ u´H 0 benar ¿<α , jika n2 ≤ 8 dan

ujinya satu arah

b. Semua nilai U yang memenuhi 2 P(U≤ u´H 0 benar ¿<α , jika n2 ≤ 8 dan

ujinya dua arah

c. Semua nilai U ≤ Nilai kritis yang sesuai dalam tabel 18 (buku Walpole),

jika 9 ≤ n2 ≤ 20


Tentukan n1 (ukuran sampel yang lebih kecil) dan n2

Urutkan semua n1 + n2 pengamatan dengan urutan dari kecil ke besar

dan beri ranking 1,2,3 ...n1+n2 pada tiap pengamatan dan jika terdapat

pengamatan yang besarnya sama, maka pengamatan tsb diganti dengan

rata-rata ranking

Hitung W1= Jumlah ranking pada n1

W2= Jumlah ranking pada n2

W 1+W 2=(n1+n2 )(n1+n2+1)

2

U1 = W1 -n1(n1+1)

2

U2 = W2 -n2(n2+1)

2

Dan jika n >20 distribusi sampel U1 dan U2 dapat didekati dengan

distribusi normal dengan:

. μU 1=n1 n2

2 dan σ 2

U 1=n1 n2(n1+n2+1)

12


182 IT TELKOM


Tolak H0 jika U masuk dalam daerah kritis, dan terima H0 jika U diluar daerah

kritis

Kesimpulan:

Contoh-4

Berikut ini adalah data kekuatan dua jenis lempeng baja :

Lempeng Baja-X 75 46 57 43 58 32 61 56 34 65Lempeng Baja-Y 52 41 43 47 32 49 52 44 57 60

Ujilah dengan level signivicance 5% apakah kedua lempeng tsb mempunyai kekuatan yang berbeda?

Jawab: H 0 :~μx=~μy

H 1 :~μx ≠~μy

Lempeng Baja-X 75 46 57 43 58 32 61 56 34 65Ranking 20 8 14,5 5,5 16 1,5 18 13 3 19Lempeng Baja-Y 52 41 43 47 32 49 52 44 57 60Ranking 11,5 4 5,5 9 1,5 10 11,5 7 14,5 17

W1 = 1,5+3+5,5+8+13+14,5+16+18+19+20=118,5

W 2=(n1+n2 )(n1+n2+1)

2– W1 =

(20 )(21)2

−118,5=91,5

U1 = W1 -n1(n1+1)

2 = 118,5 –

(10 )(11)2

=63,5

U2 = W2 -n2(n2+1)

2 = 91,5 –

(10 )(11)2

=36,5

Keputusan:

U2 < U1 Ambil U= 36,5 dimana U tabel = 23

183 IT TELKOM


Karena U hitung > U tabel terima H0

Kesimpulan:

Tidak terdapat perbedaan kekuatan antara kedua baja tsb atau dengan kata lain

kekuatan lempeng baja X = kekuatan lempeng baja Y

8.5. Uji Wilcoxon untuk Pengamatan Berpasangan

Uji tanda hanya menunjukkan tanda-tanda plus dan minus yang diperoleh dari selisih antara pengamatan dan median dalam kasus satu-sampel, atau tanda plus dan minus yang diperoleh dari selisih antara pasangan pengamatan dalam kasus sampel-berpasangan, tetapi tidak memperhitungkan besarnya selisih-selisih tersebut. Sebuah uji yang memanfaatkan baik arah maupun besar arah itu ditemukan pada tahun 1945 oleh Frank Wilcoxon, dan sekarang uji ini dikenal sebagai uji peringkat-bertanda wilcoxon, atau dalam kasus pengamatan berpasangan disebut juga uji Wilcoxon bagi pengamatan berpasangan.

Asumsi yang digunakan dalam uji Wilcoxon untuk Pengamatan Berpasangan adalah:

1. Data terdiri atas n buah selisih di = Yi - Xi setiap pengukuran (Xi,Yi) diperoleh dari pengamatan terhadap subyek yang sama/terhadap subyek yang telah dipasangkan dalam sampel ini diperoleh dengaan cara acak

2. Data minimal mempunyai skala pengukuran interval 3. Variabel selisih yang diukur adalah variabel acak kontinyu4. Selisih-selisih tsb independen5. Distribusi selisih populasi tsb setangkup/simetrik

Prosedur pengujian dalam uji Wilcoxon untuk Pengamatan Berpasangan ini adalah:


H 0 :~μ1−~μ2=d0

H 1 :~μ1−~μ2≠ d0



a. Semua nilai W yang memenuhi P(W≤ w´H 0 benar ¿<α , jika n < 5 dan

ujinya satu arah

184 IT TELKOM


b. Semua nilai W yang memenuhi 2 P(W≤ w´H 0 benar ¿<α , jika n < 5 dan

ujinya dua arah

c. Semua nilai W ≤ Nilai kritis yang sesuai dalam tabel 17 (buku Walpole),

jika 5 ≤ n ≤ 30


Hitung selisih dari setiap pasangan hasil pengukuran dan perhatikan

tandanya : di = Yi - Xi

Singkirkan semua selisih yang besarnya nol, meskipun ukuran sampel n

akan berkurang

Berilah ranking/peringkat pada ke-n selisih d1-d0 tanpa memperhatikan

tandanya

Hitung jumlah peringkat yang bertanda positif (w+) dan jumlah peringkat

yang bertanda negatip (w-), kemudian ambil nilai w yang terkecil

Bandingkan w terkecil dengan tabel 17 (buku Walpole)

Jika n > 30, distribusi W dapat didekati dengan distribusi Normal dengan:

μw=n (n+1)

4 dan σ 2

w=n (n+1 )(2n+1)

24

Dan Statitik Ujinya adalah:

Z=(w−μw )

σ w


Tolak H0 jika masuk dalam daerah kritis, dan terima H0 jika sebaliknya

Kesimpulan:

Contoh-5

Sekelompok peneliti mengkaji perubahan-perubahan hemodinamik pada pasien-pasien dengan pulmonary thromboembolism yang akut. Berikut ini adalah data yang memperlihatkan tekanan arteri paru-paru rata-rata yang telah diobservasi oleh peneliti-peneliti tsb sebelum dan setelah terapi urokinase

185 IT TELKOM


Tekanan arteri paru-paru rata-rata (dlm milimeter Hg)Pasien 1 2 3 4 5 6 7 8 90 Jam (X) 33 17 30 25 36 25 31 20 1824 Jam (Y) 21 17 22 13 33 20 19 13 9

Ingin diketahui apakah data ini menyediakan cukup bukti untuk menunjukkan bahw terapi urikinase menurunkan tekanan arteri paru, gunakan α = 5 %

Jawab:

H 0 :~μ yi−~μxi=di ≥ 0

H 1 :~μ yi−~μxi ≠ d i<0

TerapiTekanan arteri paru-paru rata-rata (dlm milimeter Hg)Pasien1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 Jam (X) 33 17 30 25 36 25 31 20 1824 Jam (Y) 21 17 22 13 33 20 19 13 9d i = Y i – X i -12 0 -8 -12 -3 -5 -12 -7 -9Peringkat/ranking 7 4 7 1 2 7 3 5

Buang

Keputusan:

Dengan n =8 memperlihatkan bahwa peluang untuk mendapatkan w+ = 0 dan W tabel (daerah kritis) ≤ 6 , sehingga tolak H0

Kesimpulan:

Terapi urokinase benar-benar menurunkan tekanan arteri paru-paru

8.6. Uji Runtun Sampel Tunggal (One Sample Run Test)

Uji runtun adalah uji yang didasarkan atas urutan pengambilan sampel pengamatan. Uji ini berguna untuk menguji bahwa pengamatan memang diambil secara acak.

Tidak peduli apakah pengamatan tsb kuantitatif atau kualitatif, uji runtun membagi data menjadi dua kelompok yang saling eksklusif, seperti: laki-laki atau perempuan, cacat atau tidak cacat, gambar atau angka, diatas atau dibawah median dan lain sebagainya. Dengan demikian, barisan hasil percobaaanya hanya terdiri atas dua lambang. Jadi andaikan bahwa n adalah ukuran sampel total, maka n1 adalah banyaknya lambang yang lebih sedikit, dan n2 adalah banyaknya lambang yang lebih banyak, maka ukuran sampel total n = n1 + n2.

186 IT TELKOM


Prosedur pengujian dalam uji Runtun ini adalah:


H 0 : Sampel berasal dari proses acak

H 1 : Sampel tidak berasal dari proses acak



a. Semua nilai V yang memenuhi P(V≤ v H 0 benar ¿<α , jika n1 dan n2 ≤ 10

dan ujinya satu arah

b. Semua nilai V yang memenuhi 2 P(V≤ v ´H 0benar ¿<α , jika jika n1 dan

n2 ≤ 10 dan ujinya dua arah


Hitung runtun dari barisan sampel

Lihat tabel 19 (buku Walpole) dengan n1 dan n2 serta α sesuai dengan

kasus

Jika n1 dan n2 > 10, distribusi V dapat didekati dengan distribusi Normal

dengan:

μv=1+[ 2 n1 n2

n1+n2] dan σ 2

v=2n1 n2(2 n1 n2−n1−n2)

¿¿

Dan Statitik Ujinya adalah:

Z=(V−μv)

σ v


Jika P (Z ) < α maka tolak H0, dan terima H0 jika sebaliknya

Kesimpulan

Sebagai ilustrasi, misalkan dari 12 orang yang telah disurvey dan ditanyai pendapatnya terhadap suatu produk tertentu, dan seandainya dari 12 orang tsb ternyata berjenis kelamin yang sama, hal tersebut pastilah jelas sangat kecil kemungkinannya dihasilkan dari suatu proses pengambilan yang acak dan sangat diragukan kevalidannya. Di bawah ini adalah urutan barisan dari kedua belas orang tsb yang diwawancarai, jenis kelamin laki-laki dilambangkan dengan huruf L dan perempuan dengan lambang huruf P,

L L P P P L L P P L L L

187 IT TELKOM


Barisan di atas terdiri dari sampel n = 12, dengan 5 runtun, dimana runtun yang pertama berupa dua L , yang kedua tiga P, yang ketiga dua L dan demikian seterusnya.

Uji runtun untuk memeriksa keacakan didasarkan pada peubah acak V , yaitu banyaknya runtun total dalam hasil percobaan atau sampel. Dalam buku Walpole tabel A.19,menyediakan nilai-nilai P(V ≤ v* bila h0 benar) diberikan untuk v* = 2, 3, ...., 20 runtun, dan nilai-nilai n1 dan n2 yang lebih kecil atau sama dengan 10. Nilai kritis di salah satu ujung sebaran V dapat diperoleh dari tabel tsb.

Dalam ilustrasi diatas, didapatkan lima P dan tujuh L. Dengan demikian, dengan n1 = 5 dan n2 = 7, dari Tabel A.19 (buku Walpole)didapatkan bahwa:

P(V ≤ 5 bila h0 benar) = 0.197 untuk pengujian satu arah dan untuk pengujian dua arah

2 P(V ≤ 5 bila h0 benar) = 2( 0.197) = 0.394 > α

Dengan α = 0.05 tidak cukup alasan untuk menolak hipotesis bahwa sampel berasal dari proses acak (terima H0)...

Uji runtun juga dapat digunakan untuk memeriksa sifat keacakan suatu barisan hasil pengamatan atau percobaan menurut waktu, yang disebabkan oleh kecenderungan atau periodisitas. Dengan menggantikan setiap pengamatan sesuai dengan urutan terjadinya dengan tanda plus bila terletak diatas median dan tanda minus bila dibawah median, dan membuang semua pengamatan yang persis sama dengan median, maka kita mendapatkan suatu barisan tanda-tanda plus dan minus yang dapat diuji sifat keacakannya seperti diilustrasikan dalam contoh berikut.....

Contoh-6

Sebuah mesin diatur sehingga secara otomatis mengeluarkan minyak pengencer cat ke dalam sebuah kaleng. Dapatkah kita mengatakan bahwa banyaknya pengencer yang dikeluarkan oleh mesin ini bervariasi secara acak bila isi 15 kaleng berikut, berturut-turut, adalah 3.6, 3.9, 4.1, 3.6, 3.8, 3.7, 3.4, 4.0, 3.8, 4.1, 3.9, 4.0, 3.8, 4.2, dan 4.1 liter? Gunakan taraf nyata 0.1.

Jawab.:

H0: Data diambil secara acak dari sebuah populasi

H1: Data tidak diambil secara acak

Langkah untuk mendapatkan statistik uji :

1. Tulis data hasil pengamatan dalam sampel menurut urutan didapatnya/urutan terjadinya

2. Tentukan besarnya median sampel

188 IT TELKOM


3. Data yang harganya lebih besar dari median diberi tanda positif dan jika sebaliknya beri tanda negatif

4. Tentukan n1 (misal yang bertanda positif) dan n2 yang bertanda negatif5. Hitung banyaknya runtun (V)6. Cari P(V ≤ α bila H0 benar) dengan melihat tabel7. Jika P(V ≤ α bila H0 benar) ≤ α Tolak H0 untuk uji satu arah dan untuk uji dua arah

Tolak H0 jika 2 P(V ≤ α bila H0 benar) ≤ α

Perhitungan untuk contoh-7 tersebut diperoleh median = 3.9. kemudian dengan mengganti setiap pengamatan dengan tanda “-“ bila lebih kecil dari 3.9, dan membuang pengamatan yang sama dengan 3.9, maka diperoleh barisan :

+ - - - - + + + + - + +

dimana didapatkan n1 = 6, n2 = 7, dan v = 6.

Keputusan: P(V ≤ α bila H0 benar) =0.296 > α Terima H0 (lihat Tabel A.19 buku Wallpole dengan n1 = 6, n2 = 7, dan v = 6)

Kesimpulan: Karena v = 6 jatuh dalam wilayah penerimaan, maka terima hipotesis bahwa isi kaleng itu memang bervariasi secara acak.

Uji runtun, meskipun kuasa ujinya lebih rendah, dapat juga digunakan sebagai pilihan lain bagi uji jumlah peringkat Wilcoxon untuk menguji bahwa dua sampel acak berasal dari dua populasi yang sama sehingga mempunyai nilai tengah yang sama. Bila populasinya setangkup, penolakan pendapat bahwa sebenarnya sama setara dengan penerimaan hipotesis akternatif bahwa kedua nilai tengah tidak sama. Untuk melakukan uji ini,berikut adalah langkah-langkah pengujiannya:

Tentukan hipotesis :

H0: Kedua sampel berasal dari populasi yang diambil secara acak

H1: Kedua sampel tidak berasal dari populasi yang diambil secara acak

Langkah :1. Gabungkan kedua sampel menjadi sampel berukuran n1 + n2 2. Tulis ke (n1+n2) buah data dari sampel gabungan menurut urutan nilainya3. Nyatakan data dari sampel ke-1 dengan A dan data dari sampel ke-2 dengan B4. Hitung banyaknya runtun (v)5. Cari P(V ≤ α bila H0 benar) dengan melihat tabel6. Daerah kritis (Daerah penolakan):

Tolak H0 jika P(V ≤ α bila H0 benar) ≤ α untuk uji satu arah Tolak H0 jika 2 P(V ≤ α bila H0 benar) ≤ α untuk uji dua arah

189 IT TELKOM


Jika n1 dan n2 > 10 dapat didekati dengan distribusi normal dengan :

μV=[ 2n1n2

n1+n2]+1 dan σ

2V=

2n1n2(2 n1 n2−n1−n2)

(n1+n2 )2(n1+n2−1)

Z=(V−μV )

σ V

Contoh-7

Data berikut memperlihatkan penyimpangan-penyimpangan temperatur dari suhu normal, yang setiap hari dicatat di daerah Bandung dan daerah Jakarta selama bulan April 2010:

Bandung

Hari 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11Penyimpangan 7 6 5 -2 -1 3 2 -6 -5 8 -4Tanda + + + - - + + - - + -

JakartaHari 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11Penyimpangan 5 8 -3 -7 -9 8 -1 -2 -3 2 3Tanda + + - - - + - - - + +

Jawab:

H0: Kedua sampel berasal dari populasi yang diambil secara acak

H1: Kedua sampel tidak berasal dari populasi yang diambil secara acak

n1= 11 n2=11 karena n1 dan n2 > 10, sehingga dapat didekati dengan distribusi normal, dengan:

μV=[ 2 (11 )(11)11+11 ]+1 = 12

σ2V=

2 (11 )(11)(2(11)(11)−11−11)(11+11)2(11+11−1)

= 5.238 σ V =2.2887

Z=(V−μV )

σ V

= (11−12)2,2887

= -0.4369 ≈ -0.44

P(Z< -0.44) = 0.33 > α Terima H0

Kesimpulan: Kedua sampel memang berasal dari populasi yang diambil secara acak

8.7. Uji Kruskal-Wallis

190 IT TELKOM


Uji Kruskal-Walls merupakan generalisasi uji dua sampel Wilcoxon untuk k > 2 sampel. Diperkenalkan pada tahun 1952 oleh W. H Kruskal dan W. A. Wallis, Uji ini digunakan untuk menguji hipotesis nol (H0) bahwa k sampel bebas berasal dari populasi yang identik. Uji nonparametrik ini merupakan alternatif bagi uji F untuk pengujian kesamaan beberapa nilai tengah dalam analisis variansi jila ingin menghindar dari asumsi bahwa sampel diambil dari populasi normal.

Asumsi yang harus dipenuhi dalam uji Kruskal Wallis adalah:

1. Data untuk analisis terdiri dari k sampel acak yang berukuran n1,n2,n3...,nk

2. Pengamatan-pengamatan bebas baik di dalam maupun diantara sampel-sampel3. Variabel yang diukur kontinyu4. Skala pengukuran minimal ordinal5. Populasi-populasi identik kecuali dalam hal lokasi yang berbeda untuk sekurang-

kurangnya satu populasi

Struktur data dalam uji Kruskal Wallis:

Sampel

1 2 … … k

y11 y12 … … y1k

y21 y22 … … y2k

… … …

yn1 yn2 … … ynk

Prosedur untuk memperoleh Statistik Uji:

1. Gabungkan semua sampel n = n1 + n2 + n3+... + nk

2. Urutkan dari kecil ke besar dn beri peringkat, jika terdapat pengamatan yang sama ambil rata-rata rank/peringkatnya

3. Jumlah peringkat/rank semua pengamatan n1 dan nyatakan dengan Ri

4. Hitung :

H= 12n(n+1)∑i=1

k R i2

n i

−3 (n+1)

5. Jika H jatuh dalam daerah kritis H > χα2 dengan v=k-1 tolak H0, dan jika

sebaliknya terima H0

191 IT TELKOM


Contoh- 8

Dalam percobaan untuk menetukan sistem peluru kendali mana yang lebih baik, dilakukan pengukuran pada laju pembakaran bahan bakarnya. Datanya, setelah dikodekan, diberikan dalam Tabel 13.3. Gunakan uji Kruskal-Wallis dan taraf nyata α = 0.05 untuk menguji hipotesis bahwa laju pembakaran bahan bakar sama untuk ketiga sistem tersebut.

Tabel 13.3 Laju Pembakaran Bahan BakarSistem Peluru Kendali1 2 324.016.722.819.818.9

23.219.818.117.620.217.8

18.419.117.317.319.718.918.819.3

Jawab

H0: Ketiga populasi identik (mempunyai median yang sama)H1: Ketiga populasi tidak memiliki median yang sama

Perhitungan: dalam tabel 13.4 kita ubah pengamatan itu menjadi peringkat dan kemudian menjumlahkan semua peringkat untuk masing-masing sistem.

Tabel 13.Peringkat Bagi Data Laju Pembakaran bahan bakar

Sistem Peluru kendali

1 2 3

1911714.59.5

R1 = 61.0

1814.564165

R2 = 63.5

17112.52.5139.5812

R3 = 65.5

192 IT TELKOM


Sekarang, dengan mensubtitusikan n1 = 5, n2 = 6, n3 = 8, r1 = 63.0, r2 = 63.5, dan r3 = 65.6, maka kita memperoleh nilai statistik uji H yaitu :

H= 12n(n+1)∑i=1

k R i2

n i

−3 (n+1)

H= 1219(19+1) [ 612

5+ 63.52

6+ 65.52

8 ]−3(19+1)

H = 1.6586

Keputusan: karena H tidak jatuh dalam wilayah kritisnya, yaitu H > 5.991, berarti

tidak cukup bukti untuk menolak hipotesis bahwa laju pembakaran bahan bakar sama

untuk ketiga sistem peluru kendali itu., dengan kata lain terima H0. Jadi ketiga sistem

peluru kendali mempunyai median yang sama.

8.8 Koefisien Korelasi Peringkat/ Rank Spearman

Ada kalanya ingin diketahui korelasi antara dua variabel tidak berdasarkan pada

pasangan data dimana nilai sebenarnya diketahui, tetapi menggunakan urutan-urutan nilai

tertentu atau biasa disebut Rank. Teknik korelasi ini digunakan untuk variabel dengan

data bertipe ordinal dan tidak berdistribusi normal, dimana korelasi spearman rank ini

masuk dalam statistika nonparametrik. Selain itu dengan menggunakan teknik ini tidak

lagi harus diasumsikan bahwa hubungan yang mendasari variabel yang satu dengan

variabel yang lain harus linier.

Koefisien korelasi Sperman rank (rs) dapat dihitung dengan menggunakan rumus :

r s=1−6∑i=1

n

(d¿¿ i)2

n(n2−1)¿

Dengan:

d i=disparitas/ selisihtiap pasangrank

n=banyaknya pasangandata

Dalam prakteknya, rumus diatas tetap digunakan meskipun terdapat nilai-nilai yang sama

diantara pengamatan-pengamatan x atau y. Untuk pengamatan-pengamatan demikian ini

193 IT TELKOM


peringkatnya diberikan seperti dalam uji peringkat bertanda Wilcoxon, yaitu dengan

merata-ratakan peringkat yang diberikan seandainya ada pengamatan yang sama.

Nilai rs biasanya dekat dengan nilai r yang diperoleh berdasarkan pengukuran numerik

dan ditafsirkan secara sama pula. Nilai rs dapat terjadi dari – 1 sampai +1. Nilai +1 atau

-1 menunjukkan adanya hubungan yang sempurna antara X dan Y, tanda plus dapat

diartikan bahwa pemberian peringkat itu sejalan, sedangkan tanda minus berarti bahwa

pemberian peringkat itu bertolak belakang. Bila rs dekat dengan nol, dapat disimpulkan

bahwa kedua peubah tidak berkorelasi.

Ada beberapa keuntungan penggunaan rs dibandingkan dengan penggunaan r. Sebagai

contoh, tidak lagi harus mengasumsikan bahwa hubungan yang mendasari antara X dan

Y harus linear. Ini berarti bila datanya menunjukkan adanya hubungan yang kurvilinear,

maka korelasi peringkat cenderung lebih dapat dipercaya daripada korelasi biasa.

Keuntungan kedua adalah tidak perlu mengasumsikan bahwa sebaran bagi X dan Y

adalah normal.

Untuk melakukan uji nyata bagi koefisien korelasi peringkat, harus diketahui sebaran

bagi nilai-nilai rs dibawah asumsi X dan Y bebas. Nilai kritis untuk α = 0.05, 0.025, 0.01,

dan 0.005 telah dihitung dan diberikan dalam Tabel A.22. Tabel ini dibuat menyerupai

tabel nilai kritis bagi sebaran t, kecuali bahwa kolom paling kiri berisi banyaknya

pasangan pengamatan dan bukan derajat bebas. Karena sebaran nilai-nilai rs setangkup

terhadap rs = 0, maka nilai rs yang memberikan luas daerah sebesar α disebelah

kanannya. Bila hipotesis alternatifnya dua-arah, daerah kritis sebesar α dibagi dua sama

besar di kedua ekor sebarannya. Bila hipotesis alternatifnya negatif, maka daerah

kritisnya jatuh seluruhnya di ekor kiri sebaran, dan bila hipotesis alternatifnya positif,

daerah kritisnya jatuh seluruhnya di ekor kanan sebarannya.

Contoh 9

Hitunglah koefisien korelasi antara hasil produksi departemen A dengan departemen B

menggunakan teknik korelasi Spearman Rank!

Sample Ke-

Hasil Produksi (ton)Departemen A (x) Departemen B (y)

1 141.8 89.72 140.2 74.43 131.8 83.5

194 IT TELKOM


4 132.5 77.85 135.7 85.86 141.2 86.57 143.2 89.48 140.2 89.39 140.8 8810 131.7 82.211 130.8 84.612 135.6 84.413 143.6 86.314 133.2 85.9

Jawab:

Sampel ke-

X YRank (x)

Rank (y)

d i=R ( x )−R ( y) d i2

1 141.8 89.7 12 14 -2 42 140.2 74.4 8.5 1 7.5 56.253 131.8 83.5 3 4 -1 14 132.5 77.8 4 2 2 45 135.7 85.8 7 7 0 06 141.2 86.5 11 10 1 17 143.2 89.4 13 13 0 08 140.2 89.3 8.5 12 -3.5 12.259 140.8 88 10 11 -1 110 131.7 82.2 2 3 -1 111 130.8 84.6 1 6 -5 2512 135.6 84.4 6 5 1 113 143.6 86.3 14 9 5 2514 133.2 85.9 5 8 -3 9∑ 140.5

r s=1−6 (140,5)

14(142−1)=1− 700

2730=1−0,256=0,744

Yang menunjukkan adanya korelasi positif yang tinggi antara hasil produksi dari departemen A dan hasil produksi dari departemen B.

195 IT TELKOM


SOAL-SOAL LATIHAN

1. Dari 12 kali berobat ke dokter, seorang pasien harus menunggu 17, 32, 25, 15, 28, 25, 20,

12, 35, 20, 26, dan 24 menit diruang tunggu. Gunakan uji tanda dengan α = 0.05 untuk

menguji pernyataan dokter itu bahwa secara rata-rata pasiennya tidak menunggu lebih

dari 20 menit sebelum dipanggil ke ruang periksa.

2. Data berikut menyatakan lama latihan terbang, dalam jam, yang dijalani 18 calon pilot

dari seorang instruktur sebelum penerbangan solo mereka yang pertama: 9, 12, 13, 12,

10, 11, 18, 16, 13, 14, 11, 15, 12, 9, 13, 14, 11, dan 14. Gunakan uji tanda dengan α

=0.02 untuk menguji pernyataan instruktur tersebut bahwa secara rata-rata calon pilot

bimbingannya berhasil terbang solo setelah 12 jam latihan terbang.

3. Seorang petrugas memeriksa 15 botol selai cap tertentu untuk menetukan persentase

bahan campurannya. Data yang diperoleh adalah sebagai berikut: 2.4, 2.3, 1.7, 1.7, 2.3,

1.2, 1.1, 3.6, 3.1, 1.0, 4.2, 1.6, 2.5, 2.4, dan 2.3. dengan menggunakan hampiran normal

bagi sebaran binom, lakukan uji tanda pada taraf nyata 0.01 untuk menguji hipotesis nol

bahwa presentase bahan campurannya adalah 2.5% lawan alternatifnya bahwa presentase

bahan campuran rata-rata bukan 2.5%.

4. Sebuah perusahaan elektronik internasional sedang mempertimbangkan untuk

memberikan perjalan memberikan liburean berikutnya biayanya bagi para staf

eksekutifsenior dan keluarganya. Untuk menentukan preferensi antara seminggu di

Hawaii atau seminggu di Spanyol, suatu contoh acak 18 staf eksekutif ditanyai

pilihannya. Dengan menggunakan hampiran normal bagi sebaran binom, lakukan uji

tanda taraf nyata 0.05 untuk menguji hipotesis nol bahwa kedua lokasi itu sama- sama

196 IT TELKOM


disukai lawan alternatifnya bahwa preferensinya mereka berbeda, bila ternyata 4 diantara

18 yang ditanyai lebih menyukai Spanyol.

5. Seorang pengusaha cat mengeluh bahwa lamanya mengering cat akrilik produksinya

telah berkurang karena adanya sesuatu bahan kimia yang baru. Untuk menguji pendapat

ini, 12 papan kayu dicat, separuh cat lama dan separuh lagi dengan cat baru. Lamanya

mengering, dalam jam, tercatat sebagai berikut:

Papan Lamanya mengering (jam)Cat baru Cat lama

1 6.4 6.62 5.8 5.83 7.4 7.84 5.5 5.75 6.3 6.06 7.8 8.47 8.6 8.88 8.2 8.49 7.0 7.310 4.9 5.811 5.9 5.812 6.5 6.5

Gunakan uji tanda pada taraf nyata 0.05 untuk menguji hipotesis bahwa bahan kimia baru itu tidak lebih dari yang lama dalam menguramgi lamanya mengering cat jenis ini.

6. Suatu program diet baru dikatakan dapat mengurangi bobot seseorang secara rata-rata 4.5

kilogram dalam waktu 2 minggu. Bobot 10 wanita yang mengikuti program diet ini

dicatat sebelum dan sesudah periode 2 minggu, berikut adalah datanya :

Wanita Bobot sebelum Bobot sesudah1 58.5 60.02 60.3 54.93 61.7 58.14 69.0 62.15 64.0 58.56 62.6 59.97 56.7 54.58 63.6 60.29 68.2 62.310 59.2 58.7

197 IT TELKOM


Gunakan uji tanda pada taraf nyata 0.05 untuk menguji hipotesis bahwa diit itu dapat

mengurangi bobot badan seseorang sebanyak 4.5 kilogram, lawan alternatifnya bahwa

pengurangan bobot itu kurang dari 4,5 kilogram.

7. Dua jenis alat untuk mengukur kadar sulfur monoksida di udara hendak dibandingkan.

Berikut ini diberikan hasil pencatatan oleh kedua alat tersebut selama periode 2 minggu:

Hari Sulfur monoksidaAlat A Alat B

1 26.46 25.412 17.46 22.533 16.32 16.324 20.19 27.485 19.84 24.976 20.65 21.777 28.21 28.178 33.94 32.029 29.32 28.9610 19.85 20.4511 28.35 23.6712 22.78 18.9613 21.64 19.8814 18.93 23.44

Dengan menggunakan hampiran normal, kerjakan uji tanda untuk menentukan apakah

kedua alat itu memberikan hasil yang berbeda. Gunakan taraf nyata 0.01.

8. Analisislah data pada soal 1 dengan menggunakan uji peringkat-bertanda Wilcoxon

9. Analisislah data pada soal 2 dengan menggunakan uji peringkat-bertanda Wilcoxon.

10. Bobot badan, dalam kilogram, sepuluh orang sebelum dan sesudah berhenti merokok

tercatat sebagai berikut:

BB sebelum 58 60 62 69 70 64 76 72 66 75

198 IT TELKOM


BB setelah 60 55 58 65 69 64 70 67 61 70

Gunakan uji peringkat-bertanda Wilcoxon untuk menguji hipotesis, pada taraf nyata

0.05, bahwa berhenti merokok tidak dapat berpengaruh pada bobot badan seseorang,

lawan alternatifnya bahwa bobot badan seseorang akan bertambah bila ia berhenti

merokok.

11. Analisislah data pada soal 5 dengan menggunakan uji peringkat-bertanda Wilcoxon.

12. Kerjakan kembali pada soal 6 dengan menggunakan uji peringkat-bertanda Wilcoxon.

13. Dari sebuah kelas matematika yang terdiri atas 12 siswa dengan kemampuan yang hampir sama, 5 orang diambil secara acak dan diberi pelajaran tambahan oleh guru. Hasil ujian akhir mereka adalah sebagai berikut :

Nilai

Dengan pelajaran tambahan

Tanpa pelajaran tambahan

87 69 78 91 80 85 7875 88 64 82 93 79 67

Gunakan uji jumlah peringkat Wilcoxon dengan α = 0.05 untuk menetukan apakah pelajaran tambahan mempengaruhi nilai.

14. Data berikut menyatakan berapa lama, dalam jam, 3 jenis kalkulator ilmiah dapat digunakan sebelum harus diisi tenaga listrik kembali :

Kalkulator

A B C4.96.14.34.65.3

5.55.46.25.85.55.24.8

6.46.85.66.56.36.6

199 IT TELKOM


Gunakan uji Kruskal-Wallis, pada taraf nyata 0.01, untuk menguji hipotesis bahwa lamanya ketiga kalkulator itu dapat digunakan sebelum harus diisi listrik kembali adalah sama.

15. Empat rokok cap A, B, C, dan D hendak dibandingkan kadar tarnya. Data berikut menunjukkan berapa miligram tar itu ditemukan dalam 16 batang rokok yang dicoba:

Cap A Cap B Cap C Cap D

14101113

16181415

16151412

17201921

Gunakan uji Kruskal-Wallis, pada taraf nyata 0.05, untuk menguji apakah ada beda nilaitengah kadar tar yang nyata antar 4 rokok tersebut.

16. Dalam soal 4 halaman 395-6, gunakan uji Kruskal-Wallis, pada taraf nyata 0.05, untuk menetukan apakah sebaran nilai yang diberikan oleh ketiga dosen itu berbeda nyata.

17. Dalam latihan 7 halaman 396-7, gunakan uji Kruskal-Wallis, pada taraf nyata 0.05, untuk menetukan apakah analisis kimia yang dilakukan oleh keempat labolatorium itu secara rata-rata memberikan hasil yang sama.

18. Suatu contoh acak 15 orang dewasa disuatu kota kecil diambil untuk menduga proporsi mereka yang mendukung calon walikota yang baru. Selain itu dinyatakan pula apakah ia sarjana atau bukan. Dengan melambangkan Y bila responden itu sarjana dan T bila bukan sarjan, diperoleh barisan seperti berikut ini :T T T T Y Y T Y Y T Y T T T TGunakan uji runtunan pada taraf nyata 0.1 untuk menetukan apakah barisan itu menunjang pendapat bahwa contohnya bersifat acak atau tidak.

19. Suatu proses pelapisan-perak digunakan untuk melapisi nampan atau baki. Bila prosesnya terkendali dengan baik, tebal lapisan peraknya bervariasi secara acak mengikuti sebaran normal dengan nilaitengah 0.02 milimiter dan simpangan baku 0.005 milimiter. Misalkan bahwa dari 12 baki yang diperiksa berikutnya tebal lapisan peraknya adalah: 0.019, 0.021, 0.020, 0.019, 0.020, 0.018, 0.023, 0.021, 0.024, 0.022, 0.023, 0.022. gunakan uji runtunan untuk menetukan apakah fluktuasi ketebalan itu masih bersifat acak. Gunakan α = 0.05

20. Gunakan uji runtun pada soal 3 pada halaman 445.

200 IT TELKOM


21. Dalam suatu proses produksi, diadakan pemeriksaan secara berkala untuk mengetahui cacat tidaknya barang yang dihasilkan. Berikut ini adalah barisan barang yang cacat C, dan yang yidak cacat T yang dihasilkan oleh proses tersebut:C C T T T C T T C C T T T TT C C C T T C T T T T C T CDengan menggunakan hampiran berdasarkan contoh berukuran besar, lakukan uji runtunan dengan taraf nyata 0.05, untuk menetukan apakah barang yang cacat terjdi secara acak atai tidak

22. Bila data dalam Latihan 6 pada halaman 65 dicatat dari kiri ke kanan sesuai dengan urutan asalnya, gunakan uji runtun dengan α = 0.05 untuk menguji hipotesis bahwa data itu merupakan suatu barisan yang acak.

23. Data berikut adalah nilai kalkulus pada ujian tengah semester dan ujian akhir bagi 10 mahasiswa :

Mahasiswa UTS UAS

L.S.A 84 73W.P.B 98 63R.W.K 91 87J.R.L 72 66J.K.L 86 78D.L.P 93 78B.L.P 80 91D.W.M 0 0M.N.M 92 88R.H.S 87 77

a. Hitunglah koefisiensi korelasi peringkatnyab. Ujilah hipotesis bahwa koefisien korelasi peringkatnya sama dengan nol lawan

alternatifnya bahwa koefisien itu lebih besar dari nol. Gunakan α = 0.025.

24. Untuk bobot badan dan ukuran dada bayi dalam saol 6 pada halaman 378a. Hitunglah koefisien korelasi peringkatnyab. Ujilah hipotesis pada taraf nyata 0.025 bahwa koefisien korelasi peringkatnya

sama dengan nol lawan alternatifnya bahwa koefisien itu lebih besar dari nol.

25. Hitunglah koefisien korelasi peringkat bagi curah hujan harian dan banyaknya debu yang terbawa dalam Latihan 8 pada halaman 346.Suatu lembaga konsumen memeriksa sembilan oven-gelombang-mikro untuk menentukan kualitasnya. Hasil peringkat berikut harga ecerannya tercantum dibawah ini:

201 IT TELKOM


Pabrik Peringkat Harga (dlm $)

A 6 480B 9 395C 2 575D 8 550E 5 510F 1 545G 7 400H 4 465I 3 420

Apakah ada hubungan yang nyata antara kualitas dan harga oven-gelombang-mikro?

26. Dua juri dalam suatu pawai memberi peringkat pada 8 mobil berhias sebagai berikut:

Mobil Berhias1 2 3 4 5 6 7 8

Juri AJuri B

57

85

44

32

68

21

76

13

a. Hitunglah koefisien korelasi peringkatnya.b. Ujilah hipotesis bahwa koefisien korelasi peringkat populasinya sama dengan

nol lawan hipotesis alternatifnya bahwa koefisien itu lebih besar dari nol. Gunakan α = 0.05

c. Ujilah hipotesis bahwa X dan Y bebas lawan aktewrnatifnya bahwa kedua peubah itu tidak bebas, bila dari suatu contoh n = 50 pasangan pengamatan diperoleh rs = -0.29. gunakan α = 0.05.

27. Dua macam makanan A dan B diberikan kepada ayam secara terpisah untuk jangka waktu tertentu. Ingin diketahui apakah ada perbedaan yang berarti mengenai pertambahan berat daging ayam yang dikarenakan kedua macam makanan itu ataukah tidak. Pertambahan berat badan ayam (dalam ons)pada akhir percobaan adalah sebagai berikut :

Makanan A 3,1 3,0 3,3 2,9 2,6 3,0 3,6 2,7 3,8 4,0 3,4

Makanan B 2,7 2,9 3,4 3,2 3,3 2,9 3,0 3,0 3,6 3,7 3,5

Selidikilah hal tersebut dengan menggunakan uji tanda.

28. Sepuluh pasang suami istri telah menilai perlombaan memasak. Dalam bentuk peringkat, hasilnya diberikan dibawah ini.

202 IT TELKOM


Suami 5 8 10 6 9 3 4 7 2 1

Istri 8 5 10 1 7 4 6 9 2 3

Apakah nampak sifat “independen” penilaian yang dilakukan oleh suami istri?

29. Diberikan data berikut :

A 1,32 1,28 1,22 1,23 1,16 1,31 1,06 1,23

B 0,99 1,08 0,98 0,96 0,97 0,98 0,89 1,01

Berikanlah analisisnya dengan menggunakn uji median.

30. Sederetan tanaman telah diperiksa yang menghasilkan urutan :

26, 35, 27, 29, 30, 19, 32, 43, 18, 26, 27, 25, 35, 40,26, 25, 22, 20, 17, berasal dari sebuah populasi dengan median sama dengan 23?

REFERENSI

1. Box,G.E.P , Hunter,Willam, Hunter, J.Stuart : “Statistics For Experimenters”, John Wiley & Sons.1978

2. Draper, N.R : “ Applied Regression Analysis (Second Edition), John Wiley & sons, 1981

3. Daniel, Wayne.W : “ Applied Nonparametric Statistics, Houghton Mifflin Company, 1978

4. Hogg, Robert V., and Elliot A. Tanis: “Probability and Statistical Inference”, Pearson Education, 2006

5. Ledolter. J, Hogg, Robert V. : “ Applied Statistics fot Engineers and Physical Scientists”, Pearson Prentice Hall, 2010.

6. Walpole, Ronald E., et all: “Probability & Statistics for Engineers & Scientists”, Prentice Hall, 2007

7. Spiegel, Murray R.: “Seri Buku Schaum: Teori dan Soal-Soal Statistika”, Erlangga (Terjemahan), 1988

203 IT TELKOM

Documents

buku ajar statistika industri