Buku Diferensiasi Vektor Kerja 3 - annymath Kerja 3 Diferensiasi Vektor Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima Anny STKIP PGRI SUMBAR 59 Turunan parsial Turunan parsial

  • View
    241

  • Download
    8

Embed Size (px)

Text of Buku Diferensiasi Vektor Kerja 3 - annymath Kerja 3 Diferensiasi Vektor Program Studi Pendidikan...

  • Buku

    Kerja 3 Diferensiasi Vektor

    Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR

    Created by: Rahima & Anny

    49

    DIFERENSIASI VEKTOR

    Fungsi Vektor

    Jika sembarang nilai skalar t dikaitkan dengan suatu vektor , maka bisa

    dinyatakan sebagai fungsi vektor dari t atau , yaitu suatu vektor yang

    komponen-komponennya merupakan fungsi dari nilai skalar t.

    Dalam R2, fungsi vektor biasa ditulis dengan,

    dalam R3, fungsi vektor ditulis dengan,

    Konsep fungsi vektor ini bisa diperluas, jika sembarang titik (x,y,z) di R3

    dikaitkan dengan suatu vektor , maka bisa dinyatakan dalam bentuk

    fungsi vektor sebagai berikut:

    Setelah kita mengetahui fungsi vektor, maka selanjutnya kita pelajari turunan

    biasa dari fungsi vektor.

    Turunan Biasa

    Masih ingat apa saja yang termasuk vektor? Coba sebutkan! Ya, kecepatan,

    percepatan, gaya, dan perpindahan termasuk vektor. Sekarang pada kegiatan

    belajar ini, kita fokuskan pada perpindahan, kecepatan, dan percepatan.

    Pernahkah Anda naik alat transportasi

    pada gambar di samping? Kalau pernah,

    kemana saja Anda pergi menggunakan

    alat transportasi tersebut? Pernahkah

    Anda ke Jakarta menggunakannya?

    Pesawat yang terbang dengan rute

    Padang-Jakarta berarti pesawat

    Materi pokok pertemuan ke 5 : 1. Turunan biasa fungsi vektor

    URAIAN MATERI

  • Buku

    Kerja 3 Diferensiasi Vektor

    Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR

    Created by: Rahima & Anny

    50

    tersebut melakukan perpindahan dengan titik awalnya Padang dan titik

    akhirnya Jakarta. Pesawat melakukan perpindahan karena pesawat memiliki

    kecepatan dan percepatan.

    Hubungan apa yang kita dapatkan dari perpindahan, kecepatan, dan

    percepatan? Kecepatan merupakan perpindahan benda tiap selang waktu

    tertentu atau bisa dikatakan turunan dari perpindahan sebagai fungsi waktu.

    Percepatan merupakan hasil bagi antara perubahan kecepatan dengan selang

    waktu berubahnya kecepatan tersebut atau dapat dikatakan turunan

    kecepatan sebagai fungsi waktu.

    Berikut definisi turunan vektor:

    Definisi Turunan Vektor

    adalah sebuah fungsi vektor yang bergantung pada sebuah variabel ,

    didefinisikan turunan dari sebagai berikut:

    ... 3.1

    jika limitnya ada.

    Jika fungsi vektor dengan fungsi skalar-

    fungsi skalar , , dan dapat diferensialkan terhadap variabel ,

    maka mempunyai turunan variabel terhadap yang dirumuskan sebagai

    berikut:

    ... 3.2

    Selanjutnya, Anda pelajari sifat-sifatnya. Berikut sifat-sifat turunan fungsi

    vektor.

  • Buku

    Kerja 3 Diferensiasi Vektor

    Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR

    Created by: Rahima & Anny

    51

    Bukti:

    Untuk membuktikan sifat-sifat dari turunan biasa, kita dapat menggunakan

    definisi turunan biasa dari fungsi vektor 3.1.

    i.

    ii.

    iv.

    Sifat-sifat turunan biasa fungsi vektor:

    Jika , , dan adalah fungsi-fungsi vektor dari sebuah skalar t yang

    diferensiabel dan sebuah fungsi skalar dari t yang diferensiabel, maka

    i.

    ii.

    iii.

    iv.

    v.

    vi.

  • Buku

    Kerja 3 Diferensiasi Vektor

    Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR

    Created by: Rahima & Anny

    52

    Pembuktian iii, v, dan vi dijadikan latihan untuk Anda.

    Agar lebih memahami materi di atas, pelajari contoh soal di bawah ini

    Contoh 1

    Jika , tentukan

    Penyelesaian

    Contoh 2

    Buktikan sifat

    Penyelesaian

    CONTOH SOAL

  • Buku

    Kerja 3 Diferensiasi Vektor

    Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR

    Created by: Rahima & Anny

    53

    Contoh 3

    Jika . Tentukan

    di t = 0

    Penyelesaian

    Cara 1

    pada saat t = 0, maka

    Cara 2 (menggunakan sifat turunan)

    pada saat t = 0, maka

    Contoh 4

    Jika tentukan vektor singgung satuan

    pada titik .

    Penyelesaian

  • Buku

    Kerja 3 Diferensiasi Vektor

    Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR

    Created by: Rahima & Anny

    54

    Vektor singgung satuan (T)

    Saat , maka

    Kerjakan latihan berikut ini dengan melengkapi bagian yang kosong

    Latihan 1

    Jika , carilah

    pada saat t = 0

    Penyelesaian

    (a)

    saat t = 0, maka

    (b)

    saat t = 0, maka

    (c)

    LATIHAN TERBIMBING

  • Buku

    Kerja 3 Diferensiasi Vektor

    Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR

    Created by: Rahima & Anny

    55

    (d)

    Latihan 2

    Carilah kecepatan dan percepatan sebuah partikel yang bergerak sepanjang

    kurva pada sebarang saat . Carilah

    besarnya kecepatan dan percepatan

    Penyelesaian

    Vektor posisi dari pergerakan partikel

    Kecepatan diperoleh dari turunan pertama

    Misalkan

    Percepatan diperoleh dari turunan pertama

    Misalkan

    Jadi, besarnya kecepatan adalah dan percepatan .

    Latihan 3

    Jika dan , carilah

    Penyelesaian

  • Buku

    Kerja 3 Diferensiasi Vektor

    Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR

    Created by: Rahima & Anny

    56

    Kerjakan latihan berikut di tempat kosong yang tersedia

    Latihan 1

    Jika dan .

    Tentukan

    pada saat .

    Penyelesaian

    Latihan 2

    Carilah

    Penyelesaian

    LATIHAN MANDIRI

  • Buku

    Kerja 3 Diferensiasi Vektor

    Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR

    Created by: Rahima & Anny

    57

    Latihan 3

    Carilah vektor singgung satuan di sebarang titik pada kurva

    dimana adalah konstanta-

    konstanta.

    Penyelesaian

    Latihan 4

    Jika

    , carilah A bila saat diketahui bahwa

    dan

    saat

    Penyelesaian

  • Buku

    Kerja 3 Diferensiasi Vektor

    Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR

    Created by: Rahima & Anny

    58

    Kunci Jawaban

    Latihan 1 : -30i + 14j + 20k

    Latihan 2 :

    Latihan 3 :

    Latihan 4 :

    Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan

    dari materi ini pada tempat kosong di bawah

  • Buku

    Kerja 3 Diferensiasi Vektor

    Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR

    Created by: Rahima & Anny

    59

    Turunan parsial

    Turunan parsial untuk fungsi vektor dua variabel atau lebih, prinsipnya sama

    dengan definisi turunan fungsi vektor satu variabel, dimana semua variabel

    dianggap konstan, kecuali satu, yaitu variabel terhadap apa fungsi vektor itu

    diturunkan.

    Misalkan adalah sebuah fungsi vektor yang tergantung kepada variabel

    skalar , , dan , maka kita tuliskan . Ketiga turunan parsialnya

    didefinisikan sebagai berikut:

    ... 3.3

    adalah masing-masing turunan parsial dari terhadap , , dan jika

    limitnya ada.

    Jika fungsi vektor dengan

    fungsi skalar-fungsi skalar , , dan mempunyai

    turunan parsial terhadap variabel , , dan , maka juga

    mempunyai turunan variabel terhadap , , dan yang dirumuskan sebagai

    berikut:

    ... 3.4

    Selanjutnya pelajari sifat-sifatnya. Berikut sifat-sifat turunan parsial:

    Materi pokok pertemuan ke 6 : 2. Turunan parsial fungsi vektor

    URAIAN MATERI

  • Buku

    Kerja 3 Diferensiasi Vektor

    Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR

    Created by: Rahima & Anny

    60

    Bukti:

    i. Berdasarkan definisi 3.3, maka

    Sehingga

    ii. Untuk membuktikannya, kita dapat menggunakan definisi 3.3. Maka

    Sifat-sifat turunan parsial:

    Misalkan dan adalah fungsi-fungsi vektor dan adalah fungsi skalar ,

    , dan dan dapat dideferensialkan terhadap ketiga variabel tersebut,

    maka berlaku