Buku Guru - bse.mahoni.combse.mahoni.com/data/2013/kelas_11sma/guru/Kelas_11_SMA_Matematika... · Barisan, (6) Limit Fungsi, (7) Turunan, dan (8) Integral. Berbagai konsep, aturan,

ISBN: 978-602-427-118-3 (jilid lengkap)

978-602-427-120-6 (jilid 2)

Buku

Gur

u •

M

ATEM

ATIK

A •

Ke

las X

I SM

A/M

A/SM

K/M

AK

SMA/MA/SMK/MAK

KELAS

XI

KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAANREPUBLIK INDONESIA2017

HETZONA 1 ZONA 2 ZONA 3 ZONA 4 ZONA 5

Rp17.100 Rp17.800 Rp18.500 Rp20.000 Rp25.600

MatematikaBuku Guru

Hak Cipta © 2017 pada Kementerian Pendidikan dan KebudayaanDilindungi Undang-Undang

Disklaimer: Buku ini merupakan buku guru yang dipersiapkan Pemerintah dalam rangka implementasi Kurikulum 2013. Buku guru ini disusun dan ditelaah oleh berbagai pihak di bawah koordinasi Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan, dan dipergunakan dalam tahap awal penerapan Kurikulum 2013. Buku ini merupakan “dokumen hidup” yang senantiasa diperbaiki, diperbaharui, dan dimutakhirkan sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Masukan dari berbagai kalangan yang dialamatkan kepada penulis dan laman http://buku.kemdikbud.go.id atau melalui email [email protected] diharapkan dapat meningkatkan kualitas buku ini.

Katalog Dalam Terbitan (KDT)

Indonesia. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.Judul Buku : buku guru/ Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.-- . Edisi Revisi

Jakarta : Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan, 2017. xxii, 226 hlm. : ilus. ; 25 cm.

Untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas XISBN 978-602-427-118-3 (jilid lengkap)ISBN 978-602-427-120-6 (jilid )

1. Matematika — Studi dan Pengajaran I. Judul II. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan

510

Penulis : Sudianto Manullang, Andri Kristianto S., Tri Andri Hutapea, Lasker Pangarapan Sinaga, Bornok Sinaga, Mangaratua Marianus S., Pardomuan N. J. M. Sinambela,

Penelaah : Agung Lukito, Muhammad Darwis M., Turmudi, Nanang Priatna,

Pereview : Sri MulyaningsihPenyelia Penerbitan : Pusat Kurikulum dan Perbukuan, Balitbang, Kem dikbud.

Cetakan Ke-1, 2014 ISBN 978-602-282-028-4 (Jilid 2)Cetakan Ke-2, 2017 Disusun dengan huruf Times New Roman, 12 pt.

iiiMATEMATIKA

Bapak/Ibu guru kami yang terhormat, banyak hal yang sudah kita lakukan sebagai usaha membelajarkan peserta didik dengan harapan, mereka berketuhanan, berperikemanusiaan, berpengetahuan, dan berketerampilan melalui pendidikan matematika. Harapan dan tugas mulia ini cukup berat, menuntut tanggung jawab yang tidak habis-habisnya dari generasi ke generasi. Banyak masalah pembelajaran matematika yang kita hadapi, bagaikan menelusuri sebuah lingkaran dengan titik-titik masalah yang tak berhingga banyaknya. Tokoh pendidikan matematika Soedjadi dan Yansen Marpaung menyatakan, kita harus berani memilih/menetapkan tindakan dan menghadapi resiko untuk meningkatkan kualitas pendidikan matematika di setiap sekolah tempat guru melaksanakan tugas profesionalitasnya. Artinya, guru sebagai orang yang pertama dan yang utama bertindak sebagai pengembang kurikulum yang mengenal karakteristik siswa dengan baik, dituntut bekerja sama memikirkan jalan keluar permasalahan yang terjadi. Guru diharapkan dapat menemukan pola pembelajaran yang sesuai dengan karakteristik matematika dan karakteristik peserta didik di sekolah. Salah satu alternatif, kita akan mengembangkan pembelajaran matematika berbasis paham konstruktivisme. Buah pikiran ini didasari prinsip bahwa: (1) setiap anak lahir di bumi, mereka telah memiliki potensi, (2) cara berpikir, bertindak, dan persepsi setiap orang dipengaruhi budaya, (3) matematika adalah produk budaya, yaitu hasil konstruksi sosial dan sebagai alat penyelesaian masalah kehidupan, dan (4) matematika adalah hasil abstraksi pikiran manusia. Untuk itu diperlukan perangkat pembelajaran, media pembelajaran, asesmen autentik dalam pelaksanaan proses pembelajaran di kelas. Model pembelajaran yang menganut paham konstruktivistik yang relevan dengan karakteristik matematika dan tujuan pembelajaran matematika cukup banyak, seperti (1) model pembelajaran berbasis masalah, (2) pembelajaran kontekstual, (3) pembelajaran kooperatif dan banyak model pembelajaran lainnya. Bapak/Ibu dapat mempelajarinya secara mendalam melalui aneka sumber pembelajaran.

Kata Pengantar

iv Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

Pokok bahasan yang dikaji dalam buku petunjuk guru ini, antara lain: (1) Induksi Matematika, (2) Program Linear, (3) Matriks, (4) Transformasi, (5) Barisan, (6) Limit Fungsi, (7) Turunan, dan (8) Integral. Berbagai konsep, aturan, dan sifat-sifat dalam matematika ditemukan melalui penyelesaian masalah nyata, media pembelajaran, yang terkait dengan materi yang diajarkan. Seluruh materi yang diajarkan berkiblat pada pencapaian kompetensi yang ditetapkan dalam Kurikulum 2013. Semua petunjuk yang diberikan dalam buku ini hanyalah pokok-pokoknya saja. Oleh karena itu, Bapak dan Ibu guru dapat mengembangkan dan menyesuaikan dengan keadaan dan suasana kelas saat pembelajaran berlangsung. Akhirnya, tidak ada gading yang tak retak. Rendahnya kualitas pendidikan matematika adalah masalah kita bersama. Kita telah diberi talenta yang beragam, seberapa besar buahnya yang dapat kita persembahkan padaNya. Taburlah rotimu di lautan tanpa batas, percayalah kamu akan mendapat roti sebanyak pasir di tepi pantai. Mari kita lakukan tugas mulia ini sebaik-baiknya, semoga buku petunjuk guru ini dapat digunakan dan bermanfaat dalam pelaksanaan proses pembelajaran matematika di sekolah.

Jakarta, Januari 2017

Tim Penulis,

vMATEMATIKA

Daftar Isi

Kata Pengantar ............................................................................................................... iii

Daftar Isi .......................................................................................................................... v

Petunjuk Penggunaan Buku Guru ................................................................................ ix

Pedoman Penyusunan Rencana Pembelajaran ............................................................ xv

Fase Konstruksi Matematika ......................................................................................... xviii

Bab 1 Induksi Matematika .......................................................................................... 1

A. Kompetensi Inti ........................................................................................... 1 B. Kompetensi Dasar dan Indikator ................................................................. 2 C. Tujuan Pembelajaran ................................................................................... 3 D. Diagram Alir ................................................................................................ 4 E. Proses Pembelajaran .................................................................................... 5 1.1 Memahami Prinsip Induksi Matematika ............................................. 5 1.2 Bentuk-Bentuk Penerapan Prinsip Induksi Matematika ...................... 10 F. Penilaian ...................................................................................................... 12 G. Pengayaan .................................................................................................... 15 H. Remedial ...................................................................................................... 15

Bab 2 Program Linear ................................................................................................. 17 A. Kompetensi Inti ........................................................................................... 17 B. Kompetensi Dasar dan Indikator ................................................................. 18 C. Tujuan Pembelajaran ................................................................................... 20 D. Diagram Alir ................................................................................................ 21 E. Proses Pembelajaran .................................................................................... 22 2.1 Pertidaksamaan Linear Dua Variabel .................................................. 22 2.2 Program Linear .................................................................................... 27 2.3 Nilai Optimum dengan Garis Selidik .................................................. 33 2.4 Beberapa Kasus Daerah Penyelesaian ................................................. 39 F. Penilaian ...................................................................................................... 41 G. Pengayaan .................................................................................................... 44

vi Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

H. Remedial ...................................................................................................... 44 I. Kegiatan Proyek .......................................................................................... 45 J. Rangkuman .................................................................................................. 46

Bab 3 Matriks ............................................................................................................... 47 A. Kompetensi Inti ........................................................................................... 47 B. Kompetensi Dasar dan Indikator ................................................................. 47 C. Tujuan Pembelajaran ................................................................................... 48 D. Diagram Alir ................................................................................................ 49 E. Proses Pembelajaran .................................................................................... 50 3.1 Membangun Konsep, Jenis, dan Kesamaan Matriks ........................... 50 3.2 Jenis-Jenis Matriks .............................................................................. 53 3.3 Kesamaan Matriks ............................................................................... 54 3.4 Operasi pada Matriks ............................................................................ 57 3.5 Determinan dan Invers Matriks ........................................................... 64 F. Penilaian ...................................................................................................... 67 G. Pengayaan .................................................................................................... 70 H. Remedial ...................................................................................................... 70 I. Penyelesaian Soal-Soal Uji Kompetensi ...................................................... 70 J. Rangkuman .................................................................................................. 72

Bab 4 Transformasi ...................................................................................................... 73 A. Kompetensi Inti ........................................................................................... 73 B. Kompetensi Dasar dan Indikator ................................................................. 73 C. Tujuan Pembelajaran ................................................................................... 75 D. Diagram Alir ................................................................................................ 76 E. Proses Pembelajaran .................................................................................... 77 4.1 Menemukan Konsep Translasi (Pergeseran) ........................................ 77 4.2 MenemukanKonsepRefleksi(Pencerminan) ...................................... 81 4.3 Menemukan Konsep Rotasi (Perputaran) ............................................ 92 4.4 Menemukan Konsep Dilatasi (Perkalian) ............................................ 94 4.5 Komposisi Transformasi ....................................................................... 98 F. Penilaian ...................................................................................................... 101 G. Pengayaan .................................................................................................... 104 H. Remedial ...................................................................................................... 105 I. Rangkuman .................................................................................................. 106

viiMATEMATIKA

Bab 5 Barisan ............... ................................................................................................. 109 A. Kompetensi Inti ........................................................................................... 109 B. Kompetensi Dasar dan Indikator ................................................................. 110 C. Tujuan Pembelajaran ................................................................................... 110 D. Diagram Alir ................................................................................................ 112 E. Proses Pembelajaran .................................................................................... 113 5.1, 5.2 Membangun Konsep Barisan dan Barisan Aritmetika ................. 113 5.3 Menemukan Konsep Barisan Geometri ............................................... 119 5.4 Aplikasi Barisan .................................................................................. 125 F. Penilaian ...................................................................................................... 128 G. Pengayaan .................................................................................................... 131 H. Remedial ...................................................................................................... 132 I. Rangkuman .................................................................................................. 132

Bab 6 Limit Fungsi ....................................................................................................... 133 A. Kompetensi Inti ........................................................................................... 133 B. Kompetensi Dasar dan Indikator ................................................................. 134 C. Tujuan Pembelajaran ................................................................................... 135 D. Diagram Alir ................................................................................................ 136 E. Proses Pembelajaran .................................................................................... 137 6.1 Konsep Limit Fungsi ........................................................................... 137 6.2 Sifat-Sifat Limit Fungsi ....................................................................... 143 6.3 Menentukan Nilai Limit Fungsi .......................................................... 147 F. Penilaian ...................................................................................................... 151 G. Pengayaan .................................................................................................... 154 H. Remedial ...................................................................................................... 155 I. Rangkuman .................................................................................................. 156

Bab 7 Turunan .............................................................................................................. 157 A. Kompetensi Inti ........................................................................................... 157 B. Kompetensi Dasar dan Indikator ................................................................. 158 C. Tujuan Pembelajaran ................................................................................... 160 D. Diagram Alir ................................................................................................ 161 E. Proses Pembelajaran .................................................................................... 162 7.1 Menemukan Konsep Turunan Suatu Fungsi ........................................ 162 7.2 Turunan Fungsi Aljabar ....................................................................... 168 7.3 Aplikasi Turunan ................................................................................. 173 7.4 MenggambarGrafikFungsi ................................................................. 181

viii Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

F. Penilaian ...................................................................................................... 185 G. Pengayaan .................................................................................................... 189 H. Remedial ...................................................................................................... 190 I. Rangkuman .................................................................................................. 190

Bab 8 Integral ............................................................................................................... 193 A. Kompetensi Inti ........................................................................................... 193 B. Kompetensi Dasar dan Indikator ................................................................. 194 C. Tujuan Pembelajaran ................................................................................... 195 D. Diagram Alir ................................................................................................ 196 E. Proses Pembelajaran .................................................................................... 197 8.1 Menemukan Konsep Integral Tak Tentu sebagai Kebalikan dari Turunan Fungsi .................................................................................... 197 8.2 Notasi Integral ..................................................................................... 201 8.3 Rumus Dasar dan Sifat Dasar Integral Tak Tentu ............................... 202 F. Penilaian ...................................................................................................... 206 G. Pengayaan .................................................................................................... 210 H. Remedial ...................................................................................................... 211 I. Rangkuman .................................................................................................. 212

Daftar Pustaka ................................................................................................................. 213

ixMATEMATIKA

Dalam bagian ini diuraikan hal-hal penting yang perlu diikuti guru, saat guru menggunakan buku ini. Hal-hal esensial yang dijabarkan, antara lain: (1) pentingnya guru memahami model pembelajaran berbasis konstruktivis dengan pendekatan scientific learning terkait sintaksis model pembelajaran yang diterapkan, sistem sosial, prinsip reaksi pengelolaan (perilaku guru mengajar di kelas), sistem pendukung pembelajaran yang harus dipersiapkan (berbagai fasilitas, misalnya buku siswa, lembar aktivitas siswa, media pembelajaran, instrumen penilaian, tugas-tugas yang akan diberikan), serta dampak instruksional dan dampak pengiring (sikap) yang harus dicapai melalui proses pembelajaran; (2) mengorganisir siswa belajar (di dalam dan luar kelas) dalam memberi kesempatan mengamati data, informasi, dan masalah, kerja kelompok dalam memecahkan masalah, memberi bantuan jalan keluar bagi siswa; (3) memilih model, strategi, dan metode pembelajaran untuk tujuan pembelajaran yang efektif; (4) memilih sumber belajar yang melibatkan partisipasi aktif siswa dalam proses pembelajaran yang dipicu melalui pengajuan masalah, pemberian tugas produk, projek; (5) petunjuk penggunaan asesmen autentik untuk mengecek keberhasilan aspek sikap, pengetahuan, dan keterampilan; (6) petunjuk pelaksanaan remedial dan pemberian pengayaan.

Model pembelajaran yang diterapkan dalam buku ini, dilandasi teori pembelajaran yang menganut paham konstruktivistik, seperti Project-Based Learning, Problem-Based Learning, dan Discovery Learning dengan pendekatan scientific learning melalui proses mengamati, menanya, menalar, mencoba, membangun jejaring dan mengomunikasikan berbagai informasi terkait pemecahan masalah real world, analisis data, dan menarik kesimpulan. Proses pembelajaran memberi perhatian pada aspek-aspek kognisi dan mengangkat berbagai masalah real world yang sangat mempengaruhi aktifitas dan perkembangan mental siswa selamaproses pembelajaran dengan prinsip bahwa, (1) setiap anak lahir, tumbuh dan berkembang dalam matriks sosial tertentu dan telah memiliki potensi, (2) cara berpikir, bertindak, dan persepsi setiap orang dipengaruhi nilai budayanya, (3) matematika adalah hasil konstruksi sosial dan sebagai alat penyelesaian masalah kehidupan, dan (4) matematika adalah hasil abstraksi pikiran manusia.

Metode pembelajaran yang diterapkan, antara lain: metode penemuan, pemecahan masalah, tanya-jawab, diskusi dalam kelompok heterogen, pemberian tugas produk, unjuk kerja, dan projek. Pembelajaran matematika yang diharapkan dalam praktek pembelajaran di kelas adalah (1) pembelajaran berpusat pada aktivitas siswa, (2) siswa diberi kebebasan berpikir memahami masalah, membangun strategi penyelesaian masalah, mengajukan ide-ide secara bebas dan terbuka, (3) guru melatih dan membimbing siswa berpikir kritis dan

A. Model dan Metode Pembelajaran Berbasis Konstruktivistik dengan Pen dekatan Scientific Learning

x Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

kreatif dalam menyelesaikan masalah, (4) upaya guru mengorganisasikan adalah dengan bekerja samadalamkelompokbelajar,melatih siswaberkomunikasimenggunakangrafik,diagram, skema, dan variabel, (5) seluruh hasil kerja selalu dipresentasikan di depan kelas untuk menemukan berbagai konsep, hasil penyelesaian masalah, aturan matematika yang ditemukan melalui proses pembelajaran.

Rancangan model pembelajaran yang diterapkan mengikuti 5 (lima) komponen utama model pembelajaran yang dijabarkan sebagai berikut.1. Sintaks

Pengelolaan pembelajaran terdiri 5 tahapan pembelajaran, yaitu:

a. Apersepsi Tahap apersepsi diawali dengan mengimformasikan kepada siswa kompetensi dasar dan indikator yang akan dicapai siswa melalui pembelajaran materi yang akan diajarkan. Lalu, guru menumbuhkan persepsi positif dan motivasi belajar pada diri siswa melalui pemaparan manfaat materi matematika yang dipelajari dalam penyelesaian masalah kehidupan. Selain itu, guru meyakinkan siswa, jika siswa terlibat aktif dalam merekonstruksi konsep dan prinsip matematika melalui penyelesaian masalah yang bersumber dari fakta dan lingkungan kehidupan siswa dengan strategi penyelesaian yang menerapkan pola interaksi sosial yang pahami siswa dan guru. Dengan demikian, siswa akan lebih baik dalam menguasai materi yang diajarkan, informasi baru berupa pengetahuan lebih bertahan lama di dalam ingatan siswa, dan pembelajaran lebih bermakna sebab setiap informasi baru dikaitkan dengan apa yang diketahui siswa dan menunjukkan secara nyata kegunaan konsep dan prinsip matematika yang dipelajari dalam kehidupan.

b. Interaksi Sosial di Antara Siswa, Guru dan Masalah Pada tahap orientasi masalah dan penyelesaian masalah, guru meminta siswa mencoba memahami masalah dan mendiskusikan hasil pemikiran melalui belajar kelompok. Pembentukan kelompok belajar menerapkan prinsip kooperatif, yakni keheterogenan anggota kelompok dari segi karakteristik (kemampuan dan jenis kelamin) siswa, berbeda budaya, berbeda agama dengan tujuan agar siswa terlatih bekerjasama, berkomunikasi, menumbuhkan rasa toleransi dalam perbedaan, saling memberi ide dalam penyelesaian masalah, saling membantu dan berbagi informasi. Guru memfasilitasi siswa dengan buku siswa, Lembar Aktivitas Siswa (LAS) dan Asesmen Autentik. Selanjutnya, guru mengajukan permasalahan matematika yang bersumber dari lingkungan kehidupan siswa. Guru menanamkan nilai-nilai matematis (jujur, konsisten, tangguh menghadapi masalah) dan nilai-nilai budaya agar para siswa saling berinteraksi secara sosio kultural, memotivasi dan mengarahkan jalannya diskusi agar lebih efektif, serta mendorong siswa bekerja sama. Selanjutnya, guru memusatkan pembelajaran pada siswa dalam kelompok belajar untuk menyelesaikan masalah. Guru meminta siswa memahami masalah secara individu dan mendiskusikan hasil pemikirannya dalam kelompok, dan

xiMATEMATIKA

dilanjutkan berdialog secara interaktif (berdebat, bertanya, mengajukan ide-ide, berdiskusi) dengan kelompok lain dengan arahan guru. Antaranggota kelompok saling bertanya-jawab, berdebat, merenungkan hasil pemikiran teman, mencari ide dan jalan keluar penyelesaian masalah. Setiap kelompok memadu hasil pemikiran dan menuangkannya dalam sebuah LAS yang dirancang guru. Jika semua anggota kelompok mengalami kesulitan memahami dan menyelesaikan masalah, maka salah seorang dari anggota kelompok bertanya pada guru sebagai panutan. Selanjutnya, guru memberi scaffolding, yaitu berupa pemberian petunjuk, memberi kemudahan pengerjaan siswa, contoh analogi, struktur, bantuan jalan keluar sampai saatnya siswa dapat mengambil alih tugas-tugas penyelesaian masalah.

c. Mempresentasikan dan Mengembangkan Hasil KerjaPada tahapan ini, guru meminta salah satu kelompok mempresentasikan hasil

kerjanya di depan kelas dan memberi kesempatan pada kelompok lain memberi tanggapan berupa kritikan disertai alasan-alasan, dan memberi masukan sebagai pembanding. Sesekali guru mengajukan pertanyaan menguji pemahaman/penguasaan penyaji dan dapat ditanggapi oleh kelompok lain. Kriteria untuk memilih hasil diskusi kelompok yang akan dipresentasikan antara lain: jawaban kelompok berbeda dengan jawaban dari kelompok lain, ada ide penting dalam hasil diskusi kelompok yang perlu mendapat perhatian khusus. Dengan demikian, kelompok penyaji bisa lebih dari satu kelompok. Selama presentasi hasil kerja, guru mendorong terjadinya diskusi kelas dan mendorong siswa mengajukan ide-ide secara terbuka dengan menanamkan nilai softskill.

Tujuan tahapan ini adalah untuk mengetahui keefektifan hasil diskusi dan hasil kerja kelompok pada tahapan sebelumnya. Dalam penyajiannya, kelompok penyaji akan diuji oleh kelompok lain dan guru tentang penguasaan dan pemahaman mereka atas penyelesaian masalah yang dilakukan. Dengan cara tersebut dimungkinkan tiap-tiap kelompok mendapatkan pemikiran-pemikiran baru dari kelompok lain atau alternatif jawaban yang lain yang berbeda. Sehingga pertimbangan-pertimbangan secara objektif akan muncul di antara siswa. Tujuan lain dalam tahapan ini adalah melatih siswa terampil menyajikan hasil kerjanya melalui penyampaian ide-ide di depan umum (teman satu kelas). Keterampilan mengomunikasikan ide-ide tersebut adalah salah satu kompetensi yang dituntut dalam pembelajaran berdasarkan masalah, untuk memampukan siswa berinteraksi/berkolaborasi dengan orang lain.

d. Temuan Objek Matematika dan Penguatan Skemata Baru Objek-objek matematika berupa model (contoh konsep) yang diperoleh dari

proses dan hasil penyelesaian masalah dijadikan bahan inspirasi dan abstraksi konsep melalui penemuan ciri-ciri konsep oleh siswa dan mengkonstruksi konsep secara ilmiah. Setelah konsep ditemukan, guru melakukan teorema pengontrasan melalui pengajuan contoh dan bukan contoh. Dengan mengajukan sebuah objek, guru meminta siswa memberi alasan, apakah objek itu termasuk contoh atau bukan contoh konsep.

xii Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

Guru memberi kesempatan bertanya atas hal-hal yang kurang dipahami. Sesekali guru menguji pemahaman siswa atas konsep dan prinsip yang ditemukan, serta melengkapi hasil pemikiran siswa dengan memberikan contoh dan bukan contoh konsep. Berdasar konsep yang ditemukan/direkonstruksi, diturunkan beberapa sifat dan aturan-aturan. Selanjutnya, siswa diberi kesempatan mengerjakan soal-soal tantang an untuk menunjukkan kebergunaan konsep dan prinsip matematika yang dimiliki.

e. Menganalisis dan Mengevaluasi Proses dan Hasil Penyelesaian Masalah Pada tahapan ini, guru membantu siswa atau kelompok mengkaji ulang hasil penyelesaian masalah, menguji pemahaman siswa dalam proses penemuan konsep dan prinsip. Selanjutnya, guru melakukan evaluasi materi akademik dengan pemberian kuis atau meminta siswa membuat peta konsep atau memberi tugas dirumah atau membuat peta materi yang dipelajari.

2. Sistem SosialPengorganisasian siswa selama proses pembelajaran menerapkan pola pembelajaran

kooperatif. Dalam interaksi sosiokultural di antara siswa dan temannya, guru selalu menanamkan nilai-nilai softskill dan nilai matematis. Siswa dalam kelompok saling bekerja sama dalam menyelesaikan masalah, saling bertanya/berdiskusi antara siswa yang lemah dan yang pintar, kebebasan mengajukan pendapat, berdialog dan berdebat, guru tidak boleh terlalu mendominasi siswa, bersifat membantu dan gotong royong untuk menghasilkan penyelesaian masalah yang disepakati bersama. Dalam interaksi sosiokultural, para siswa diizinkan berbahasa daerah dalam menyampaikan pertanyaan, kritikan, pendapat terhadap temannya maupun pada guru.

3. Prinsip ReaksiModel pembelajaran yang diterapkan dalam buku ini dilandasi teori konstruktivis

dan nilai budaya di mana siswa belajar yang memberi penekanan pembelajaran berpusat pada siswa, sehingga fungsi guru sebagai fasilitator, motivator, dan mediator dalam pembelajaran. Tingkah laku guru dalam menanggapi hasil pemikiran siswa berupa pertanyaan atau kesulitan yang dialami dalam menyelesaikan masalah harus bersifat mengarahkan, membimbing, memotivasi dan membangkitkan semangat belajar siswa.

Untuk mewujudkan tingkah laku tersebut, guru harus memberikan kesempatan pada siswa untuk mengungkapkan hasil pemikirannya secara bebas dan terbuka, mencermati pemahaman siswa atas objek matematika yang diperoleh dari proses dan hasil penyelesaian masalah, menunjukkan kelemahan atas pemahaman siswa dan memancing mereka menemukan jalan keluar untuk mendapatkan penyelesaian masalah yang sesungguhnya. Jika ada siswa yang bertanya, sebelum guru memberikan penjelasan/bantuan, guru terlebih dahulu memberi kesempatan pada siswa lainnya memberikan tanggapan dan merangkum hasilnya. Jika keseluruhan siswa mengalami kesulitan, maka guru saatnya memberi penjelasan atau bantuan/memberi petunjuk sampai siswa dapat mengambil alih penyelesaian masalah pada langkah berikutnya. Ketika siswa bekerja

xiiiMATEMATIKA

menyelesaikan tugas-tugas, guru mengontrol jalannya diskusi dan memberikan motivasi agar siswa tetap berusaha menyelesaikan tugas-tugasnya.

4. Sistem Pendukung Agar model pembelajaran ini dapat terlaksana secara praktis dan efektif, guru diwajibkan membuat suatu rancangan pembelajaran yang dilandasi teori pembelajaran konstruktivis dan nilai softskill matematis yang diwujudkan dalam setiap langkah-langkah pembelajaran yang ditetapkan dan menyediakan fasilitas belajar yang cukup. Dalam hal ini dikembangkan buku model yang berisikan teori-teori pendukung dalam melaksanakan pembelajaran, komponen-komponen model, petunjuk pelaksanaan dan seluruh perangkat pembelajaran yang digunakan seperti rencana pembelajaran, buku guru, buku siswa, lembar kerja siswa, objek-objek abstraksi dari lingkungan budaya, dan media pembelajaran yang diperlukan.

5. Dampak Instruksional dan Pengiring yang DiharapkanDampak langsung penerapan pembelajaran ini adalah memampukan siswa

merekonstruksi konsep dan prinsip matematika melalui penyelesaian masalah dan terbiasa menyelesaikan masalah nyata di lingkungan siswa. Pemahaman siswa terhadap objek-objek matematika dibangun berdasarkan pengalaman budaya dan pengalaman belajar yang telah dimiliki sebelumnya. Kebermaknaan pembelajaran yang melahirkan pemahaman, dan pemahaman mendasari kemampuan siswa mentransfer pengetahuannya dalam menyelesaikan masalah. Kemampuan menyelesaikan masalah tidak rutin menyadarkan siswa akan kebergunaan matematika. Kebergunaan akan menimbulkan motivasi belajar secara internal dari dalam diri siswa dan rasa memiliki terhadap matematika akan muncul sebab matematika yang dipahami adalah hasil rekonstruksi pemikirannya sendiri. Motivasi belajar secara internal akan menimbulkan kecintaan terhadap dewi matematika. Bercinta dengan dewi matematika berarti penyatuan diri dengan keabstrakan yang tidak memiliki batas atas dan batas bawah tetapi bekerja dengan simbol-simbol.

Selain dampak di atas, siswa terbiasa menganalisis secara logis dan kritis memberikan pendapat atas apa saja yang dipelajari menggunakan pengalaman belajar yang dimiliki sebelumnya. Penerimaan individu atas perbedaan-perbedaan yang terjadi (perbedaan pola pikir, pemahaman, daya lihat, dan kemampuan), serta berkembangnya kemampuan berkolaborasi antara siswa. Retensi pengetahuan matematika yang dimiliki siswa dapat bertahan lebih lama sebab siswa terlibat aktif di dalam proses penemuannya.

Dampak pengiring yang akan terjadi dengan penerapan model pembelajaran berbasis konstruktivistik adalah siswa mampu menemukan kembali berbagai konsep dan aturan matematika dan menyadari betapa tingginya manfaat matematika bagi kehidupan sehingga dia tidak merasa terasing dari lingkungannya. Matematika sebagai ilmu pengetahuan tidak lagi dipandang sebagai hasil pemikiran dunia luar tetapi berada pada lingkungan budaya siswa yang bermanfaat dalam menyelesaikan permasalahan di lingkungan budayanya. Dengan demikian terbentuk dengan sendirinya rasa memiliki,

xiv Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

sikap, dan persepsi positif siswa terhadap matematika dan budayanya. Siswa memandang bahwa matematika terkait dan inklusif di dalam budaya. Jika matematika bagian dari budaya siswa, maka suatu saat diharapkan siswa memiliki cara tersendiri memeliharanya dan menjadikannya Landasan Makna (Landasan makna dalam hal ini berpihak pada sikap, kepercayaan diri, cara berpikir, cara bertingkah laku, cara mengingat apa yang dipahami oleh siswa sebagai pelaku-pelaku budaya). Dampak pengiring yang lebih jauh adalah hakikat tentatif keilmuan, keterampilan proses keilmuan, otonomi dan kebebasan siswa, toleransi terhadap ketidakpastian dan masalah-masalah nonrutin.

xvMATEMATIKA

Penyusunan rencana pembelajaran berpedoman pada kurikulum 2013 dan sintaksis Model Pembelajaran. Berdasarkan analisis kurikulum matematika ditetapkan hal-hal berikut.1. Kompetensi dasar dan indikator pencapaian kompetensi dasar untuk tiap-tiap pokok

bahasan. Rumusan indikator dan kompetensi dasar harus disesuaikan dengan prinsip-prinsip pembelajaran matematika berdasarkan masalah, memberikan pengalaman belajar bagi siswa, seperti menyelesaikan masalah autentik (masalah bersumber dari fakta dan lingkungan budaya), berkolaborasi, berbagi pengetahuan, saling membantu, berdiskusi dalam menyelesaikan masalah.

2. Materi pokok yang akan diajarkan, termasuk analisis topik, dan peta konsep.3. Materi prasyarat, yaitu materi yang harus dikuasai oleh siswa sebagai dasar untuk

mempelajari materi pokok. Dalam hal ini perlu dilakukan tes kemampuan awal siswa.4. Kelengkapan, yaitu fasilitas pembelajaran yang harus dipersiapkan oleh guru, misalnya:

rencana pembelajaran, buku petunjuk guru, buku siswa, lembar aktivitas siswa (LAS), objek-objek budaya, kumpulan masalah-masalah yang bersumber dari fakta dan lingkungan budaya siswa, laboratorium, dan alat peraga jika dibutuhkan.

5. Alokasi waktu: banyak jam pertemuan untuk setiap pokok bahasan tidak harus sama tergantung kepadatan dan kesulitan materi untuk tiap-tiap pokok bahasan. Penentuan rata-rata banyak jam pelajaran untuk satu pokok bahasan adalah hasil bagi jumlah jam efektif untuk satu semester dibagi banyak pokok bahasan yang akan diajarkan untuk semester tersebut.

6. Hasil belajar yang akan dicapai melalui kegiatan pembelajaran antara lain:Produk : Konsep dan prinsip-prinsip yang terkait dengan materi pokok.Proses : Apersepsi budaya, interaksi sosial dalam penyelesaian masalah, memodel-

kan masalah secara matematika, merencanakan penyelesaian masalah, menyajikan hasil kerja dan menganalisis serta mengevaluasi kembali hasil penyelesaian masalah.

Kognitif : Kemampuan matematisasi, kemampuan abstraksi, pola pikir deduktif, berpikir tingkat tinggi (berpikir kritis dan berpikir kreatif).

Psikomotor : Keterampilan menyelesaikan masalah, keterampilan berkolaborasi, kemampuan berkomunikasi.

Afektif : Menghargai budaya, penerimaan individu atas perbedaan yang ada, bekerja sama, tangguh menghadapi masalah, jujur mengungkapkan pendapat dan senang belajar matematika.

xvi Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

Sintaksis pembelajaran adalah langkah-langkah pembelajaran yang dirancang dan dihasilkan dari kajian teori yang melandasi model pembelajaran berbasis konstruktivistik. Sementara, rencana pembelajaran adalah operasional dari sintaks, sehingga skenario pembelajaran yang terdapat pada rencana pembelajaran disusun mengikuti setiap langkah-langkah pembelajaran (sintaks). Sintaks model pembelajaran terdiri dari 5 langkah pokok, yaitu: (1) apersepsi budaya, (2) orientasi dan penyelesaian masalah, (3) persentase dan mengembangkan hasil kerja, (4) temuan objek matematika dan penguatan skemata baru, (5) menganalisis dan mengevaluasi proses dan hasil penyelesaian masalah. Kegiatan yang dilakukan untuk setiap tahapan pembelajaran dijabarkan sebagai berikut:1. Kegiatan guru pada tahap apersepsi budaya antara lain:

a. Menginformasikan indikator pencapaian kompetensi dasar.b. Menciptakan persepsi positif dalam diri siswa terhadap budayanya dan matematika

sebagai hasil konstruksi sosial.c. Menjelaskan pola interaksi sosial, menjelaskan peranan siswa dalam menyelesaikan

masalah. d. Memberikan motivasi belajar pada siswa melalui penanaman nilai matematis,

softskill dan kebergunaan matematika.e. Memberi kesempatan pada siswa menanyakan hal-hal yang sulit dimengerti pada

materi sebelumnya.

2. Kegiatan guru pada tahap penyelesaian masalah dengan pola interaksi edukatif antara lain:a. Membentuk kelompok.b. Mengajukan masalah yang bersumber dari fakta dan lingkungan budaya siswa.c. Meminta siswa memahami masalah secara individual dan kelompok.d. Mendorong siswa bekerja sama menyelesaikan tugas-tugas.e. Membantu siswa merumuskan hipotesis (dugaan).f. Membimbing, mendorong/mengarahkan siswa menyelesaikan masalah dan mengerjakan

LKS.g. Memberikan scaffolding pada kelompok atau individu yang mengalami kesulitan.h. Mengkondisikan antaranggota kelompok berdiskusi, berdebat dengan pola

kooperatif.i. Mendorong siswa mengekspresikan ide-ide secara terbuka.j. Membantu dan memberi kemudahan bagi siswa dalam menyelesaikan masalah

dalam pemberian solusi.

3. Kegiatan guru pada tahap persentasi dan mengembangkan hasil kerja antara lain:a. Memberi kesempatan pada kelompok mempresentasikan hasil penyelesaian masalah

di depan kelas.

xviiMATEMATIKA

b. Membimbing siswa menyajikan hasil kerja.c. Memberi kesempatan kelompok lain mengkritisi/menanggapi hasil kerja kelompok

penyaji, memberi masukan sebagai alternatif pemikiran, dan membantu siswa menemu kan konsep berdasarkan masalah.

d. Mengontrol jalannya diskusi agar pembelajaran berjalan dengan efektif.e. Mendorong keterbukaan, proses-proses demokrasi.f. Menguji pemahaman siswa.

4. Kegiatan guru pada tahap temuan objek matematika dan penguatan skemata baru antara lain:a. Mengarahkan siswa membangun konsep dan prinsip secara ilmiah.b. Menguji pemahaman siswa atas konsep yang ditemukan melalui pengajuan contoh

dan bukan contoh konsep.c. Membantusiswamendefinisikandanmengorganisasikantugas-tugasbelajaryang

berkaitan dengan masalah.d. Memberi kesempatan melakukan konektivitas konsep dan prinsip dalam mengerjakan

soal tantangan.e. Memberikan scaffolding.

5. Kegiatan guru pada tahap menganalisis dan mengevaluasi proses dan hasil penyelesaian masalah antara lain: a. Membantu siswa mengkaji ulang hasil penyelesaian masalah.b. Memotivasi siswa untuk terlibat dalam penyelesaian masalah yang selektif.c. Mengevaluasi materi akademik: memberi kuis atau membuat peta konsep atau peta

materi.

xviii Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

Gambar: Matematika Hasil Konstruksi Sosial (Adaptasi, Soedjadi (2004))

xixMATEMATIKA

Gambar: Analisis Topik pada Materi Fungsi Kuadrat

xx Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

CONTOH DIAGRAM ALIR

Menyelesaikan• Grafik• Eliminasi• Substitusi• Gabungan

Eliminasi dan Substitusi

Menyelesaikan• Eliminasi• Substitusi• Gabungan


• Sarrus

Menyelesaikan• Grafik• Eliminasi• Substitusi• Gabungan


xxiMATEMATIKA

1MATEMATIKA

A. Kompetensi Inti

Induksi Matematika

Sikap

1. Menghargai dan menghayati ajaran agama yang dianutnya.2. Menghayati dan mengamalkan perilaku jujur, disiplin, tanggung

jawab, peduli (gotong royong, kerja sama, toleran, damai), santun, responsif dan pro-aktif dan menunjukkan sikap sebagai bagian dari solusi atas berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta dalam menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan dunia.

Pengetahuan

3. Memahami, menerapkan, menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural, dan metakognitif berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untukmemecahkan masalah.

Keterampilan

4. Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, bertindak secara efektif dan kreatif serta mampu menggunakan metode sesuai kaidah keilmuan.

BAB1

2 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

B. Kompetensi Dasar dan Indikator

No. Kompetensi Dasar Indikator Pencapaian Kompetensi

1. 3.1 Menjelaskan metode pem buktian pernyataan matematis berupa barisan, ketidaksamaan, keterbagian dengan induksi matematika.

3.1.1 Merancang formula untuk suatu pola barisan bilangan.

3.1.2 Menjelaskan prinsip induksi matematika.3.1.3 Membuktikan formula suatu barisan bilangan

dengan prinsip induksi matematika.3.1.4 Membuktikan formula keterbagian bilangan

dengan prinsip induksi matematika.3.1.5 Membuktikan formula bentuk ketidaksamaan

bilangan dengan prinsip induksi matematika.

2. 4.1 Menggunakan metode pembuktian induksi matematika untuk menguji pernyataan matematis berupa barisan, ketidaksamaan, keterbagian.

4.1.1 Menerapkan prinsip induksi matematika untuk membuktikan kebenaran formula suatu barisan bilangan.

4.1.2 Menerapkan prinsip induksi matematika untuk menyelidiki kebenaran suatu formula.

4.1.3 Menerapkan prinsip induksi matematika untuk membuktikan keterbagian bilangan.

4.1.4 Menerapkan prinsip induksi matematika untuk membuktikan ketidaksamaan bilangan.

Indikator pencapaian kompetensi pada pembelajaran dapat dikembangkan guru sendiri berdasarkan kondisi peserta didik masing-masing di tempat guru mengajar. Berikut ini dipaparkan contoh Indikator Pencapaian Kompetensi Pembelajaran yang dapat dijabarkan dari KD 3.1 dan KD 4.1.

3MATEMATIKA

C. Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari konsep induksi matematika melalui pengamatan, menalar, tanya jawab, mencoba menyelesaikan persoalan, penugasan individu dan kelompok, diskusi kelompok, dan mengkomunikasikan pendapatnya, siswa mampu:1. Melatih siswa menumbuhkan sikap perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab,

peduli (gotong royong, kerja sama, toleran, damai), santun, responsif dan pro-aktif, berani bertanya, berpendapat, dan menghargai pendapat orang lain dalam aktivitas sehari-hari.

2. Menunjukkan rasa ingin tahu dalam memahami konsep dan menyelesaikan masalah.

3. Menjelaskan prinsip induksi matematika.4. Menjelaskan langkah-langkah pembuktian suatu formula dengan prinsip induksi

matematika.5. Merancang formula dari suatu pola barisan bilangan.6. Membuktikan kebenaran formula suatu barisan bilangan dengan prinsip induksi

matematika.7. Membuktikan kebenaran keterbagian pola bilangan.8. Membuktikan kebenaran ketidaksamaan pola bilangan.9. Menyelidiki kebenaran formula suatu pola bilangan.


D. Diagram Alir

Logika Matematika

Pernyataan Matematika

P(n): Pernyataan matematis bilangan asli

P(n): Pernyataan matematis non-bilangan asli

Prinsip Induksi Matematika

Langkah Awal

Langkah Induksi

Jika memenuhi kedua langkah, maka P(n) benar.

Jika tidak memenuhi salah satu langkah, maka P(n) salah.

Metode Pembuktian Lainnya, diantaranya:a. Pembuktian Langsungb. Pembuktian Tidak

Langsungc. Pembuktian Kontradiksi

Cara pembuktian

5MATEMATIKA

E. Proses Pembelajaran

1.1 Memahami Prinsip Induksi Matematika

No. Deskripsi Kegiatan1. Kegiatan Pendahuluan

1) Menyiapkanpesertadidiksecarapsikisdanfisikuntukmengikutiprosespembelajaran.

2) Memberi motivasi belajar siswa secara kontekstual sesuai manfaat dan aplikasi prinsip induksi matematika dalam kehidupan sehari-hari.

3) Menjelaskan tujuan pembelajaran atau kompetensi dasar yang akan dicapai.

4) Apersepsi1. Guru memberikan beberapa pengantar tentang penalaran induksi

dalam kehidupan sehari, melalui kegiatan atau pengalaman siswa yang menggunakan prinsip induksi matematika. Misalnya, ilustrasi susunan n papan yang berukuran sama dan berjarak sama. Ajak siswa berimajinasi tentang yang akan terjadi jika papan pertama dijatuhkan ke arah papan kedua.

2. Berikan pertanyaan kepada siswa dari setiap pola yang diamati.3. Ajak siswa untuk berpikir kritis dalam memahami kondisi awal

suatu pola barisan. 2. Kegiatan Inti

Pengantar Pembelajaran• MintalahsiswauntukmembacaMasalah1.1.Mengamati• Ajaklah siswa untuk mengamati Masalah 1.1 tersebut dan meminta

siswa untuk menentukan nilai kebenarannya.• Berdasarkannilaikebenaranyangdiperoleh,mintasiswauntukmembuat

ingkaran dari kalimat tersebut.Menanya• Selanjutnyamintasiswauntukbertanyatentangapa-apasajayangbelum

dipahaminya dalam menyelesaikan Masalah 1.1.


Mengumpulkan Informasi• Bimbingsiswauntukmenemukaninformasiyangdisajikanpadasetiap

masalah.• Ujipemahamansiswaterhadappemecahanmasalah,denganmengajukan

pertanyaan yang berkaitan dengan Masalah 1.1 dan Masalah 1.2.Menalar• Berikanpancingankepada siswa, jika siswamenemukanpolapen-

jumlahan bilangan berurutan mulai dari 1 hingga n, tetapi n merupakan bilangan ganjil, sedemikian hingga siswa dapat menyimpulkan secara umum.

• SetelahTabel1.1tuntasdilengkapiolehsiswa,ajaksiswamemecahkanpola yang terdapat pada:a. Penjumlahan berurut bilangan kuadrat mulai dari 12 hingga 302.

Kemudian hitunglah hasilnya.b. Penjumlahan berurut bilangan kuadrat mulai dari 12 hingga 502.

Kemudian hitunglah hasilnya.c. Penjumlahan berurut bilangan kuadrat mulai dari 12 hingga n2.

Alternatif Penyelesaian1) Meskipun n ganjil, pola yang untuk genap juga dapat diterapkan, tetapi

dengan mengartikan 1 + 2 + 3 + . . . + n = 0 + 1 + 2 + 3 + . . . + n, n bilangan ganjil.Jadinya hasilnya,

1 + 2 + 3 + . . . + n = ( 1)2

n

0 + 1 + 2 + 3 + . . . + n = (0 + n) ( 1)2

n

2) Selengkapnya Tabel 1.1 adalah sebagai berikut.

n Jumlah n Bilangan Kuadrat yang Pertama

1. 12 = 1 2 36

= 1

2. 12 + 22 = 2 3 5

6 = 5

3. 12 + 22 + 32 = 3 4 7

6 = 14

4. 12 + 22 + 32 + 42 = 4 5 96

= 30

7MATEMATIKA

5. 12 + 22 + 32 + 42 + 52 = 5 6 116

= 55

6. 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 = 6 7 136

= 91

7. 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 = 7 8 156

= 140

8. 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 = 8 9 176

= 204

9. 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92 = 9 10 196

= 285

10. 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92 + 102 = 10 11 216

= 385

a) 12 + 22 + 32 + 42 + 52 . . . + 292 + 302 = 30 31 61

6 = 9.455

b) 12 + 22 + 32 + . . . + 492 + 502 = 50 51 101

6 = 42.925

c) 12 + 22 + 32 + . . . (n – 1)2 + n2 = 1 2 1

6n n n

3) Selanjutnya, ajak siswa memahami prinsip induksi matematika, yang dinyatakan pada Prinsip 1.1 pada buku siswa. Pastikan siswa memahami prinsip tersebut melalui mengajukan pertanyaan-pertanyaan, misalnya bagaimana pembuktian formula yang diperoleh melalui Masalah 1.1 dan Masalah 1.2.

4) Kegiatan berikutnya, berikan kesempatan kepada siswa untuk mencermati dan memahami Masalah 1.3, Contoh 1.1, Contoh 1.2, dan Contoh 1.3.

3. Kegiatan Penutup1) Ajak siswa untuk menyimpulkan prinsip induksi matematika.2) Berikan pertanyaan untuk memastikan pemahaman siswa akan langkah-

langkah prinsip induksi matematika.3) Berikan penugasan kepada siswa untuk mengerjakan Uji Kompetensi

1.1.


Penilaian 1. Prosedur Penilaian Sikap

No. Aspek yang Dinilai Teknik Penilaian Waktu Penilaian1. Berpikir Logis Pengamatan Kegiatan inti2. Kritis Pengamatan Kegiatan inti

2. Instrumen Pengamatan SikapBerpikir Logisa. Kurang baik jika sama sekali tidak berusaha mengajukan ide-ide logis dalam

proses pembelajaran.b. Baik jika menunjukkan sudah ada usaha untuk mengajukan ide-ide logis

dalam proses pembelajaran.c. Sangat baik jika mengajukan ide-ide logis dalam proses pembelajaran dalam

proses pembelajaran secara terus menerus dan ajeg/konsisten.Kritisa. Kurang baik jika sama sekali tidak berusaha mengajukan ide-ide logis

dengan kritis atau pertanyaan menantang dalam proses pembelajaran.b. Baik jika menunjukkan sudah ada usaha untuk mengajukan ide-ide logis

dengan kritis atau pertanyaan menantang dalam proses pembelajaran.c. Sangat baik jika mengajukan ide-ide logis dengan kritis atau pertanyaan

menantang dalam proses pembelajaran secara terus menerus dan ajeg/konsisten.

Berikan tanda Ceklis pada kolom-kolom sesuai hasil pengamatan.

No. NamaBerpikir Logis Kritis

SB B KB SB B KB123.........2930

SB = Sangat Baik B = Baik KB = Kurang Baik

9MATEMATIKA

3. Instrumen Penilaian Pengetahuan dan KeterampilanPetunjuk:Kerjakan soal berikut secara individu, tidak boleh menyontek dan tidak boleh bekerja sama.Soal1. Untuk setiap rumusan P(k) yang diberikan, tentukan masing-masing P(k + 1).

a) P(k) = 5

1k k

b) P(k) = 3

2 3k k

c) P(k) = 22 1

4k k

d) P(k) = 2

22 1k

k

2. Rancanglah formula yang memenuhi setiap pola berikut ini.a) 2 + 4 + 6 + 8 + . . . + 2nb) 2 + 7 + 12 + 17 + 22 + . . . + (5n – 3)c) 3 + 7 + 11 + 15 + 19 + . . . + (4n – 1)d) 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + . . . + (3n – 2)

e) (1 + 11 ) × (1 +

12 ) × (1 +

13 ) × (1 + 1

4) × . . . × (1 +

1n )

Pedoman Penilaian Pengetahuan dan KeterampilanNo

SoalAspek Penilaian Rubrik Penilaian Skor Skor Maksimal

1 Ketelitian dalam menghitung Benar 50 50Salah 5Tidak ada jawaban 0

2 Keterampilan menerapkan prinsip induksi matematika

Benar 50 50Salah 5Tidak ada jawaban 0

Skor maksimal = 100 100Skor minimal = 0 0


1.2 Bentuk-Bentuk Penerapan Prinsip Induksi Matematika Dengan pengalaman belajar mengajar yang telah diperoleh pada pertemuan sebelum guru harus mempersiapkan sesuatu apapun yang menjadi kekurangan, termasuk cara psikologis mengatasi siswa yang belum mau bertanya.

No. Deskripsi Kegiatan

1. Kegiatan PendahuluanPada kegiatan pendahuluan guru:a) Menyiapkanpesertadidiksecarapsikisdanfisikuntukmengikutiproses

pembelajaran.b) Memberi motivasi belajar siswa secara kontekstual sesuai manfaat dan

aplikasi prinsip induksi matematika dalam kajian ilmu komputer.c) Mengarahkan siswa untuk membentuk kelompok belajar yang

heterogen.d) Mengajukan pertanyaan-pertanyaan yang mengaitkan pengetahuan

sebelumnya dengan materi yang akan dipelajari, Misalnya, bagaimana langkah-langkah pembuktian dengan prinsip induksi matematika.

e) Menjelaskan tujuan pembelajaran atau kompetensi dasar yang akan dicapai;

f) Menyampaikan cakupan materi dan penjelasan uraian kegiatan sesuai silabus.

2. Kegiatan IntiPada kegiatan inti, guru mendistribusikan Masalah 1.4, Contoh 1.4 hingga Contoh 1.9 ke kelompok belajar yang telah dibentuk. Lalu, guru mengarahkan alurpembelajaranmelaluilangkah-langkahsaintifikberikut.Ayo Kita Mengamati• Setiap siswapadakelompokbelajar diajakmengamatimasalahyang

diberikan.Ayo Kita Menanya• Siswa diberi rangsangan untuk mengajukan pertanyaan-pertanyaan

terkait setiap masalah yang diberikan. Guru harus mengajukan pertanyaan-pertanyaan kepada siswa untuk memastikan pemahaman siswa.

11MATEMATIKA


Ayo Kita Mengumpulkan Informasi• Sebagai umpan balik aktivitas sebelumnya, siswa diminta untuk

menemukan dan mengumpulkan informasi yang ditemukan pada masalah tersebut, sedemikian sehingga siswa dapat memahami pola yang diberikan pada setiap masalah.

• Gurumengkoordinirkelompokbelajaragarsetiapinformasiyangtelahdikumpulkan diketahui dan dipahami setiap anggota kelompok.

• Siswa diarahkan melanjutkan ke langkah-langkah prinsip induksimatematika.

Ayo Kita Mengasosiasi• Ajukan pertanyaan-pertanyaan untuk setiap siswa yang memancing

siswa untuk mengajukan pertanyaan-pertanyaan kritis, termasuk dalam penemuan formula setiap pola yang bersesuaian.

• Berikankesempatankepadasetiapkelompokbelajaruntukmemaparkanhasil diskusi di depan kelas. Guru mengarahkan agar kelompok lain mencermati dan memotivasi siswa untuk mengajukan pertanyaan-pertanyaan kritis terkait paparan.

• Untukmemastikanpemahamansiswatersebut,gurudapatmemberikanmasalah yang telah dipersiapkan guru sebelumnya.

3. Kegiatan PenutupAyo Kita Menyimpulkana) Tindak lanjut dari paparan setiap kelompok belajar yang telah dipaparkan,

arahkan siswa untuk menyampaikan kesimpulan yang diperolehnya.b) Guru menegaskan/menyempurnakan kesimpulan yang diperoleh siswa,

jika terdapat kekurangan. c) Untuk memastikan pemahaman siswa, berikan penugasan kepada siswa

melalui mengerjakan soal-soal pada Uji Kompetensi 1.2.


Penilaian1. Prosedur Penilaian

No. Aspek yang dinilai Teknik Penilaian Waktu Penilaian1 Berani bertanya Pengamatan Kegiatan inti 2 Berpendapat Pengamatan Kegiatan inti 3 Mau mendengar orang lain Pengamatan Kegiatan inti 4 Bekerja sama Pengamatan Kegiatan inti 5 Konsep Tes Tertulis Kegiatan penutup

2. Instrumen Penilaian Sikap(Sikap Kinerja dalam Menyelesaikan Tugas Kelompok)

No.Nama

Peserta Didik

Aspek

Jumlah NilaiKerja Sama Keaktifan

Menghargai Pendapat

Teman

Tanggung Jawab

1234...

Keterangan Skor:1 = (belum terlihat), apabila peserta didik belum memperlihatkan tanda-tanda

awal perilaku sikap yang dinyatakan dalam indikator.2 = (mulai terlihat), apabila peserta didik mulai memperlihatkan adanya

tanda-tanda awal perilaku yang dinyatakan dalam indikator tetapi belum konsisten.

3 = (mulai berkembang), apabila peserta didik sudah memperlihatkan tanda perilaku yang dinyatakan dalam indikator dan mulai konsisten.

4 = (membudaya), apabila peserta didik terus-menerus memperlihatkan perilaku yang dinyatakan dalam indikator secara konsisten.

Skor maksimal = 16

Nilai = skor perolehanskor maksimal

× 100%

13MATEMATIKA

3. Instrumen Penilaian PengetahuanContoh rubrik penilaian hasil penyelesaian soal oleh siswa. Dengan memper-timbangkan langkah-langkah penyelesaian soal yang dilakukan oleh siswa terhadap soal-soal yang diajukan guru, maka dapat disusun rubrik penilaiannya. Alternatif pedoman penskorannya sebagai berikut.

NO ASPEK PENILAIAN RUBRIK PENILAIAN SKOR1. Pemahaman terhadap

prinsip induksi matematika

Penyelesaian sesuai dengan prinsip induksi matematika

20

Sudah menerapkan prinsip induksi matematika namun belum benar

10

Tidak ada respon/jawaban 02. Kebenaran jawaban

akhir soalJawaban benar 40Jawaban hampir benar 30Jawaban salah 5Tidak ada respon/jawaban 0

3. Proses perhitungan Proses perhitungan benar 40Proses perhitungan sebagian besar benar 30Proses perhitungan sebagian kecil saja yang benar

20

Proses perhitungan sama sekali salah 5Tidak ada respon/jawaban 0

Total Skor maksimal 100

4. Instrumen Penilaian Keterampilan(Penilaian kinerja dalam menyelesaikan tugas presentasi)

No.Nama

Peserta Didik

AspekJumlah

Skor NilaiKomuni-kasi

Sistematika Penyampaian

Penguasaan Materi Keberanian Antusias

1

2

3

4

5

...


Keterangan Skor:Komunikasi: Sistematika Penyampaian:1 = Tidak dapat berkomunikasi 1 = Tidak sistematis2 = Komunikasi agak lancar, 2 = Sistematis, uraian kurang, tetapi sulit dimengerti tidak jelas3 = Komunikasi lancar, tetapi 3 = Sistematis, uraian cukup kurang jelas dimengerti4 = Komunikasi sangat lancar, 4 = Sistematis, uraian luas, jelas benar, dan jelasWawasan: Keberanian:1 = Tidak menunjukkan 1 = Tidak ada keberanian pengetahuan/materi2 = Sedikit memiliki 2 = Kurang berani pengetahuan/materi3 = Memiliki pengetahuan/materi 3 = Berani tetapi kurang luas4 = Memiliki pengetahuan/materi 4 = Sangat berani yang luasAntusias:1 = Tidak antusias2 = Kurang antusias3 = Antusias tetapi kurang kontrol4 = Antusias dan terkontrol

Skor maksimal = 20

Nilai = skor perolehanskor maksimal

× 100%

15MATEMATIKA

Bentuk pembelajaran pengayaan adalah pemberian asesmen portofolio tambahan yang memuat asesmen masalah autentik, proyek, keterampilan proses, check up diri, dan asesmen kerja sama kelompok. Sebelum asesmen ini dikembangkan, terlebih dahulu dilakukan identifikasi kemampuan belajar berdasarkan jenis serta tingkatkelebihan belajar peserta didik. Misalnya, belajar lebih cepat, menyimpan informasi lebih mudah, keingintahuan lebih tinggi, berpikir mandiri, superior dan berpikir abstrak, dan memiliki banyak minat. Pembelajaran pengayaan dapat dilaksanakan melalui belajar kelompok, belajar mandiri, bimbingan khusus dari guru dan para ahli (mentor). Materi pembahasan pada pembelajaran pengayaan bertumpu pada pengembang-an kompetensi dasar kelompok wajib tertera pada kurikulum 2013, termasuk pengembangan kompetensi dasar kelompok peminatan. Materi pembahasan dituang-kan dalam asesmen masalah autentik, proyek, keterampilan proses, check up diri, dan asesmen kerja sama kelompok. Keterampilan yang dibangun melalui materi matematika yang dipelajari adalah kemampuan berpikir tingkat tinggi (berpikir kreatif dan kritis) serta kemampuan adaptif terhadap perubahan, penggunaan teknologi dan membangun kerjasama antar siswa dan orang lain yang lebih memahami masalah yang diajukan dalam asesmen.

Pembelajaran remedial membantu peserta didik yang mengalami kesulitan dalam belajar. Pembelajaran remidial adalah tindakan perbaikan pembelajaran bagi peserta didik yang belum mencapai standar kompetensi. Remedial bukan mengulang tes (ulangan harian) dengan materi yang sama, tetapi guru memberikan perbaikan pembelajaran pada KD yang belum dikuasai oleh peserta didik melalui upaya tertentu. Bentuk pembelajaran remedial tergantung pada jumlah peserta didik yang mengalami kegagalan mencapai kompetensi dasar yang ditetapkan. Beberapa alternatif bentuk pelaksanaan pembelajaran remedial di sekolah.1. Jika jumlah peserta didik yang mengikuti remedial lebih dari 50%, maka tindakan

yang dilakukan adalah pemberian pembelajaran ulang dengan model dan strategi pembelajaran yang lebih inovatif berbasis pada berbagai kesulitan belajar yang dialami peserta didik yang berdampak pada peningkatan kemampuan untuk mencapai kompetensi dasar tertentu.

G. Pengayaan

H. Remedial


2. Jika jumlah peserta didik yang mengikuti remedial lebih dari 20% tetapi kurang dari 50%, maka tindakan yang dilakukan adalah pemberian tugas terstruktur baik secara berkelompok dan tugas mandiri. Tugas yang diberikan berbasis pada berbagai kesulitan belajar yang dialami peserta didik yang berdampak pada peningkatan kemampuan untuk mencapai kompetensi dasar tertentu.

3. Jika jumlah peserta didik yang mengikuti remedial maksimal 20%, maka tindakan yang dilakukan adalah pemberian bimbingan secara khusus, misalnya bimbingan perorangan oleh guru dan tutor sebaya.

17MATEMATIKA

A. Kompetensi Inti

Program Linear

BAB2

Sikap

1. Menghargai dan menghayati ajaran agama yang dianutnya.2. Menghayati dan mengamalkan perilaku jujur, disiplin, tanggung

jawab, peduli (gotong royong, kerja sama, toleran, damai), santun, responsif dan pro-aktif dan menunjukkan sikap sebagai bagian dari solusi atas berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta dalam menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan dunia.

Pengetahuan

3. Memahami, menerapkan, menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural, dan metakognitif berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah.

Keterampilan

4. Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, bertindak secara efektif dan kreatif serta mampu menggunakan metode sesuai kaidah keilmuan.


Kompetensi Dasar untuk bab program linear ini mengaju pada KD yang telah ditetapkan. Guru tentu harus mampu merumuskan indikator pencapaian kompetensi dari kompetensi dasar. Berikut ini disajikan indikator pencapaian kompetensi untuk materi program linear.



1. 3.2 Menjelaskan pertidaksamaan linear dua variabel dan pe-nyelesaiannya dengan meng-gunakan masalah kontekstual.

3.3.1 Mendefinisikan pertidaksamaan linear dua variabel.

3.3.2 Membentuk model matematika dari suatu masalah program linear yang kontekstual.

3.3.3 Menentukan penyelesaian suatu per-tidaksamaan linear dua variabel.

3.3.4 Menemukan syarat pertidaksamaan memiliki penyelesaian.

3.3.5 Menemukan syarat pertidaksamaan tidak memiliki penyelesaian.

3.4.6 Mendefinisikan program linear dua variabel.

3.4.7 Mendefinisikan daerah penyelesaian suatu masalah program linear dua variabel.

3.4.8 Mendefinisi fungsi tujuan suatu masalah program linear dua variabel.

3.4.9 Menjelaskan garis selidik.3.4.10 Menjelaskan nilai optimum suatu

masalah program linear dua variabel.

19MATEMATIKA

2. 4.2 Me nyelesaikan masalah kon-teks tual yang berkaitan dengan program linear dua variabel.

4.2.1 Membedakan pertidaksamaan linear dua variabel dengan pertidaksamaan linear lainnya.

4.2.2 Menyusun pertidaksamaan linear dua variabel dari suatu masalah kontekstual.

4.2.3 Menyelesaikan pertidaksamaan linear dua variabel.

4.2.4 Meyajikan grafik pertidaksamaan linear dua variabel.

4.2.5 Membentuk model matematika suatu masalah program linear dua variabel.

4.2.6 Menyelesaikan masalah program linear dua variabel.

4.2.7 Menerapkan garis selidik untuk menye-lesaikan program linear dua variabel.

4.2.8 Menginterpretasikan penyelesaian yang ditemukan secara kontekstual.



Melalui pengamatan, tanya jawab, penugasan individu dan kelompok, diskusi kelompok, dan penemuan (discovery) siwa mampu:1. Menunjukkan sikap jujur, tertib, dan mengikuti aturan pada saat proses belajar

berlangsung.2. Menunjukkan sikap cermat dan teliti dalam menyelesaikan masalah-masalah

program linear dua variabel.3. Menjelaskan pertidaksamaan linear dua variabel.4. Membentuk model matematika dari suatu masalah kontekstual.5. Membedakan pertidaksamaan linear dua variabel dengan yang lainnya.6. Menyelesaikan pertidaksamaan linear dua variabel baik secara analisis maupun

secara geometris.7. Menjelaskan definisi program linear dua variabel.8. Membentuk model matematika dari suatu masalah program linear dua variabel.9. Menjelaskan definisi daerah penyelesaian.10. Menjelaskan fungsi tujuan.11. Menyajikan grafik daerah penyelesaian dari suatu masalah program linear dua

variabel.12. Menggunakan garis selidik untuk menentukan nilai optimum suatu program

linear.13. Menginterpretasikan penyelesaian secara kontekstual.

21MATEMATIKA

D. Diagram Alir

Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear

MateriPrasyarat

MasalahAutentik

ProgramLinear

Masalah ProgramLinear

Daerah PenyelesaianKendala Program Linear

Fungsi Objektif

Garis Selidik

Solusi Masalah Program Linear

Nilai Maksimum Nilai Minimum


Suatu proses pembelajaran akan berjalan dengan efektif jika guru sudah mengenali karakteristik peserta belajarnya. Adapun proses pembelajaran yang dirancang pada buku guru ini hanya pertimbangan bagi guru untuk merancang kegiatan belajar mengajar yang sesungguhnya. Oleh karena itu, diharapkan guru lebih giat dan kreatif lagi dalam mempersiapkan semua perangkat belajar mengajar.

2.1 Pertidaksamaan Linear Dua Variabel


No. Petunjuk Kegiatan Pembelajaran

1. Kegiatan PendahuluanPada kegiatan pendahuluan guru:a) menyiapkan peserta didik secara psikis dan fisik untuk mengikuti proses

pembelajaran;b) memberi motivasi belajar siswa secara kontekstual sesuai manfaat dan aplikasi

pertidaksamaan linear dua variabel dalam kehidupan sehari-hari, dengan memberikan contoh dan perbandingan lokal, nasional, dan internasional;

c) mengajukan pertanyaan-pertanyaan yang mengaitkan pengetahuan sebelum-nya dengan materi yang akan dipelajari; Misalnya, bagaimana konsep dalam mengambarkan suatu fungsi linear.

d) menjelaskan tujuan pembelajaran atau kompetensi dasar yang akan dicapai; e) menyampaikan cakupan materi dan penjelasan uraian kegiatan sesuai

silabus.

Sebelum Pelaksanaan Kegiatan1. Siswa diharapkan sudah membawa perlengkapan alat-alat tulis, seperti

pulpen, pensil, pengapus, penggaris, ketas berpetak, dan lain-lain.2. Bentuklah kelompok kecil siswa (2 – 3 orang) yang memungkinkan belajar

secara efektif dan efisien.3. Sediakan lembar kerja yang diperlukan siswa. 4. Sediakan kertas HVS secukupnya.

23MATEMATIKA


Kegiatan IntiAyo kita mengamatia) Melalui kelompok belajar yang heterogen, arahkan untuk mencermati

Masalah 2.1, Masalah 2.2, dan Masalah 2.3.Ayo Kita Menanyaa) Siswa diberi ransangan untuk mengajukan pertanyaan-pertanyaan terkait

Masalah 2.1, 2.2, dan Masalah 2.3. Jika tidak ada siswa yang mengajukan pertanyaan, guru harus mengajukan pertanyaan-pertanyaan kepada siswa untuk memastikan pemahaman siswa. Misalnya, pada Persamaan (2a), kenapa harus dituliskan x > 0 dan y > 0?

Ayo Kita Mengumpulkan Informasia) Sebagai umpan balik aktivitas sebelumnya, siswa diminta untuk menemukan

dan mengumpulkan informasi yang ditemukan pada masalah tersebut, sedemikian sehingga siswa dapat memahami model matematika yang disajikan pada Persamaan (2a), Persamaan (2b), dan Persamaan (2c).

b) Arahkan siswa berdiskusi dalam kelompok belajar untuk menalar informasi yang disajikan pada Tabel 2.1, Tabel 2.2, dan Tabel 2.3.

Ayo Kita Mengasosiasia) Siswa perwakilan kelompok diminta menyajikan hasil pemahaman mereka

dengan hubungan setiap data yang disajikan pada Tabel 2.1, Tabel 2.2, dan Tabel 2.3.

b) Dengan menggunakan informasi pada Tabel 2.1, siswa diberi kesempatan menjawab pertanyaan berikut:i. Menurut kamu, apa makna jika x = –20.000 dan y = –5.000? ii. Untuk mengisi tabel di atas, berikan penjelasan jika x = 0 dan y =

90.000.iii. Menurut kamu, berapa harga paling mahal satu baju dan harga paling

mahal satu buku yang mungkin dibeli oleh Santi? Berikan penjelasan untuk jawaban yang kamu berikan.

Alternatif Penyelesaiani. Secara analisis, x = –20.000 dan y = –5.000 memenuhi 2x + 3y < 250.000.

Namun secara fakta, nilai x dan y itu tidak terjadi.ii. Pasangan nilai x = 0 dan y = 90.000 tidak merupakan penyelesaian untuk

pertidaksamaan 2x + 3y < 250.000iii. Harga maksimum satu seragam sekolah adalah Rp120.000. Akan tetapi,

harga 1 buku harus harga paling minimum, dengan mempertimbangkan masih ada kembalian uangnya. Sebaliknya juga berlaku.

c) Dengan menggunakan konsep grafik fungsi linear, siswa dipastikanmemahami Gambar 2.1, Gambar 2.2, dan Gambar 2.3.

2.


3.


d) Siswa diminta memberikan ide-ide tentang perbedaan penyelesaian pertidak-samaan secara analitis dan secara geometris.

e) Siswa diminta menyampaikan hasil ide-ide yang diperoleh kegiatan diskusi kelompok.

f) TanpamelihatDefinisi2.1,siswadimintamenuliskanpemahamanmerekatentangpertidaksamaan linear dua variabel dan menentukan penyelesaiaannya.

g) Ujilah pemahaman siswa dengan meminta siswa mengerjakan Contoh 2.1, tanpa melihat penyelesaian yang disajikan pada buku siswa.

Kegiatan PenutupAyo kita menyimpulkana) Bersama dengan siswa menyimpulkan definisi pertidaksamaan linear dua

variabel,sepertiyangdisajikanpadaDefinisi2.1.b) Untuk meningkatkan pemahaman siswa, baik pengetahuan dan keterampilan,

siswa diminta menjawab pertanyaan kritis berikut ini:i. Apakah setiap pertidaksamaan memiliki himpunan penyelesaian?

Berikan penjelasan atas jawaban kamu.ii. Misalkan diberikan suatu himpunan penyelesaian suatu pertidaksamaan

yang disajikan pada suatu grafik, bagaimana caranya membentukpertidaksamaan yang memenuhi himpunan penyelesaian tersebut?

Alternatif Penyelesaiani. Tidak semua sistem pertidaksamaan linear dua variabel memiliki

penyelesaian. Hal ini dapat dikembang bahwa terdapat syarat suatu sistem persamaan linear dua variabel tidak memiliki penyelesain.

ii. Konsep yang digunakan bagaimana menentukan persamaan suatu garis linear jika diketahui melalui dua titik.

c) Guru menyampaikan materi untuk dipelajari siswa pada pertemuan berikut-nya.

25MATEMATIKA

Penilaian1. Prosedur Penilaian Sikap

2. Instrumen Pengamatan SikapBerpikir Logis 1. Kurang baik jika sama sekali tidak berusaha mengajukan ide-ide logis dalam

proses pembelajaran.2. Baik jika menunjukkan sudah ada usaha untuk mengajukan ide-ide logis

dalam proses pembelajaran.3. Sangat baik jika mengajukan ide-ide logis dalam proses pembelajaran dalam

proses pembelajaran secara terus menerus dan ajeg/konsisten.Kritis1. Kurang baik jika sama sekali tidak berusaha mengajukan ide-ide logis

dengan kritis atau pertanyaan menantang dalam proses pembelajaran.2. Baik jika menunjukkan sudah ada usaha untuk mengajukan ide-ide logis

dengan kritis atau pertanyaan menantang dalam proses pembelajaran.3. Sangat baik jika mengajukan ide-ide logis dengan kritis atau pertanyaan


Berikan tanda pada kolom-kolom sesuai hasil pengamatan.


No. Aspek yang dinilai Teknik Penilaian Waktu Penilaian

1 Berpikir Logis Pengamatan Kegiatan inti 2 Kritis Pengamatan Kegiatan inti

No. Nama Berpikir Logis Kritis

SB B KB SB B KB

1.2.3.............29.30.


3. Instrumen Penilaian Pengetahuan dan KeterampilanPetunjuk:1. Kerjakan soal berikut secara individu, tidak boleh menyontek dan tidak

boleh bekerja sama.

Latihan 2.1

1. Tanpa menggambarkan grafik, tentukanlah himpunan penyelesaian (jika ada) setiap pertidaksamaan di bawah ini.

a. 2x – 9y 12 . d.

33

x y

4 22

x y.

b. x – 6y 0. e. 5 4

5x y

825

2

yx

c. 2xy

54 f. ax + by c; a, b, c bilangan real positif.

2. Untuk soal No.1, gambarkan setiap pertidaksamaan untuk menentukan daerah penyelesaian (jika ada).

3. Untuk setiap grafik di bawah ini, tentukanlah pertidaksamaan yang tepat memenuhi daerah penyelesaian.

(a) (b)

–10 –5 5 10

–20 –10 10 15

10

5

–5

10

–10

–20

x x

y y

(7, 0)

(15, 0)

(0, –2)70,

2DP

DP

27MATEMATIKA

4. PT Lasin adalah suatu pengembang perumahan di daerah pemukiman baru. PT tersebut memiliki tanah seluas 12.000 meter persegi berencana akan membangun dua tipe rumah, yaitu tipe mawar dengan luas 130 meter persegi dan tipe melati dengan luas 90 m2. Jumlah rumah yang akan dibangun tidak lebih 150 unit. Pengembang merancang laba tiap-tiap tipe rumah Rp2.000.000 dan Rp1.500.000.Modelkan permasalahan di atas! Kemudian gambarkan daerah penyelesaian untuk sistem pertidaksamaannya.

Pedoman Penilaian Pengetahuan dan Keterampilan

No Soal Aspek Penilaian Rubrik

Penilaian Skor SkorMaksimal

Benar 25 25Salah 5 Tidak ada jawaban 0




Skor maksimal = 100 100 Skor minimal = 0 0

Ketelitian dalam meng hitung

Keterampilan menggambar-kan daerah penyelesaian

Ketelitian menghitung

Ketelitian dalam mem bentuk model

1.

2.

3.

4.

2.2 Program Linear Dengan pengalaman belajar mengajar yang telah diperoleh pada pertemuan sebelumnya guru harus mempersiapkan sesuatu apapun yang menjadi kekurangan, termasuk cara psikologis mengatasi siswa yang belum mau bertanya. Sebelum melakukan aktivitas belajar mengajar di kelas, hendaknya guru mempersiapkan:



1.

2.

Kegiatan PendahuluanPada kegiatan pendahuluan guru:a) menyiapkan peserta didik secara psikis dan fisik untuk mengikuti proses

pembelajaran;b) memberi motivasi belajar siswa secara kontekstual sesuai manfaat dan

aplikasi program linear dua variabel dalam kehidupan sehari-hari, dengan memberikan contoh dan perbandingan lokal, nasional, dan internasional;

c) mengajukan pertanyaan-pertanyaan yang mengaitkan pengetahuan sebelum-nya dengan materi yang akan dipelajari; Misalnya, bagaimana menentukan penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel dan cara menggambarkan daerah penyelesaian;

d) menjelaskan tujuan pembelajaran atau kompetensi dasar yang akan dicapai;e) menyampaikan cakupan materi dan penjelasan uraian kegiatan sesuai

silabus.

Kegiatan IntiAyo Kita Mengamatia) Melalui kelompok belajar yang heterogen, arahkan untuk mencermati

Masalah 2.4 dan Masalah 2.5.Ayo Kita Menanyaa) Siswa diberi ransangan untuk mengajukan pertanyaan-pertanyaan terkait

Masalah 2.4 dan Masalah 2.5. Jika tidak ada siswa yang mengajukan pertanyaan, guru harus mengajukan pertanyaan-pertanyaan kepada siswa untuk memastikan pemahaman siswa.

Sebelum Pelaksanaan Kegiatan1. Bentuklah kelompok kecil siswa (4 – 5 orang) yang memungkinkan belajar

secara efektif.2. Identifikasi siswa-siswa yang biasanya agak sulit membuat pertanyaan.3. Identifikasi pula bentuk bantuan apa yang perlu diberikan agar siswa akhirnya

produktif membuat pertanyaan.4. Sediakan tabel-tabel yang diperlukan bagi siswa untuk mengisikan hasil

kerjanya.5. Sediakan kertas HVS secukupnya.6. Mungkin perlu diberikan contoh kritik, komentar, saran, atau pertanyaan

terhadap suatu karya agar siswa bisa meniru dan mengembangkan lebih jauh sesuai dengan materinya.

29MATEMATIKA


Ayo Kita Mengumpulkan Informasia) Sebagai umpan balik aktivitas sebelumnya, siswa diminta untuk menemukan

dan mengumpulkan informasi yang ditemukan pada masalah tersebut, sedemikian sehingga siswa dapat memahami model matematika yang disajikan pada Persamaan (1).

b) Dengan keterampilan yang telah dimiliki siswa mengenai menggambarkan daerah penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan linear dua variabel, siswa diharapkan mampu menggambar daerah penyelesaian Persamaan (1). Guru memperhatikan siswa yang mengalami kesulitan dan memberikan bantuan pada siswa yang mengalami kesulitan.

c) Siswadiarahkanmemahami langkah-langkahmenggambarkangrafiksuatusistem pertidaksamaan linear dua variabel.

Ayo Kita Mengasosiasia) Untuk memastikan pemahaman siswa, siswa diarahkan untuk mengisi Tabel

2.5 dan membentuk model matematika Masalah 2.5.Tabel 2.5: Alokasi setiap sumber yang tersedia

Sumber Resistor Transistor Kapasitor Keuntungan

Mesin A 20 10 10 Rp 50.000Mesin B 10 20 30 Rp 120.000Persediaan 200 120 150

Misalkan x: banyak unit barang yang diproduksi mesin A y: banyak unit barang yang diproduksi mesin B.

Dengan melengkapi Tabel 2.5, kemudian kamu diminta membentuk model matematika masalah ini. Bandingkan hasil yang kamu peroleh dengan hasil yang ditemukan temanmu.Kendala Persediaan .................................................................... (1*)20 + 10 200 2 + 2010 + 20 120 + 2 1210 + 30 150 + 3 15

x y x yx y x yx y x y

Karena banyak barang yang diproduksi tidak mungkin negatif, maka kita menuliskan kendala non-negatif:Kendala non-negatif .................................................................... (2*)

00

xy

Artinya, untuk memenuhi persediaan, mungkin mesin A atau B tidak berproduksi.



3.

b) Ajukan pertanyaan-pertanyaan untuk setiap siswa yang memancing siswa untuk mengajukan pertanyaan-pertanyaan kritis, termasuk dalam menggambarkan daerah penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan linear dua variabel.

c) Untuk memastikan pemahaman siswa tersebut, siswa diberi kesempatan menyelesaikan Contoh 2.2 dengan atau tanpa melihat alternatif penyelesaian yang telah disajikan.

Kegiatan PenutupAyo kita menyimpulkana) Dengan melihat model matematika yang terbentuk pada Masalah 2.4 dan

Masalah2.5,arahkansiswauntukmerumuskandefinisiprogramlinearduavariabel.

b) Bersamadengansiswamenyimpulkandefinisiprogramlinearduavariabeldandaerahpenyelesaian,sepertiyangdisajikanpadaDefinisi2.2danDefinisi2.3.

c) Menginformasikan materi selanjutnya, yaitu bagaimana menentukan nilai maksimum atau minimum fungsi tujuan suatu program linear dua variabel.

d) Memberikan penugasan kepada siswa, yaitu mengerjakan soal Uji Kompetensi 2.1 nomor 5 hingga nomor 8.

Penilaian1. Prosedur Penilaian Sikap

2. Instrumen Pengamatan SikapAnalitis1. Kurang baik jika sama sekali tidak mengajukan pertanyaan-pertanyaan

menantang atau memberikan ide-ide dalam menyelesaikan masalah selama proses pembelajaran.

2. Baik jika menunjukkan sudah ada usaha untuk mengajukan pertanyaan-pertanyaan menantang atau memberikan ide-ide dalam menyelesaikan masalah selama proses pembelajaran.

3. Sangat baik jika mengajukan pertanyaan-pertanyaan menantang atau memberikan ide-ide dalam menyelesaikan masalah selama proses pembelajaran secara terus menerus dan ajeg/konsisten.


1 Analitis Pengamatan Kegiatan inti 2 Bekerja sama Pengamatan Kegiatan inti

31MATEMATIKA

Bekerja Sama1. Kurang baik jika sama sekali tidak menunjukkan sikap mau bekerja sama

dengan temannya selama proses pembelajaran.2. Baik jika menunjukkan sikap mau bekerja sama dengan temannya selama

proses pembelajaran.3. Sangat baik jika menunjukkan sikap mau bekerja sama dengan temannya

selama proses pembelajaran secara terus menerus dan ajeg/konsisten.




boleh bekerja sama.2. Pilihlah jawaban soal, kemudian jawablah pertanyaan/perintah di bawah-

nya.

No. Nama Analitis Bekerja sama

SB B KB SB B KB

1.2.3.............29.30.


1. Suatu toko bunga menjual 2 macam rangkaian bunga. Rangkaian I memerlukan 10 tangkai bunga mawar dan 15 tangkai bunga anyelir. Rangkaian II memerlukan 20 tangkai bunga mawar dan 5 tangkai bunga anyelir. Persediaan bunga mawar dan bunga anyelir masing-masing 200 tangkai dan 100 tangkai. Rangkaian I dijual seharga Rp200.000, dan Rangkaian II dijual seharga Rp100.000 per rangkaian. (UN 2006 no. 21)Bentuk model matematika masalah di atas. Kemudian gambarkan grafikmodel matematikanya.

2. Perhatikan masalah yang dihadapi seorang penjaja buah-buahan berikut ini.Pak Benni, seorang penjaja buah-buahan yang menggunakan gerobak menjual apel dan pisang. Harga pembelian apel Rp18.000 tiap kilogram dan pisang Rp8.000 tiap kilogram. Beliau hanya memiliki modal Rp2.000.000, sedangkan muatan gerobak tidak lebih dari 450 kilogram. Padahal keuntungan tiap kilogram apel 2 kali keuntungan tiap kilogram pisang.Tentukanlahtigatitikyangterdapatpadagrafikdaerahpenyelesaianmasalahini.


Latihan 2.2






Ketelitian dalam mem bentuk model matematika

Keterampilan dalam mem bentuk model dan menyelesaikan masalah

1.

2.

33MATEMATIKA

2.3 Nilai Optimum dengan Garis Selidik Dengan pengalaman belajar mengajar yang telah diperoleh pada pertemuan sebelum, guru harus mempersiapkan sesuatu apapun yang menjadi kekurangan, termasuk cara psikologis mengatasi siswa yang belum mau bertanya.Sebelum melakukan aktivitas belajar mengajar di kelas, hendaknya guru mempersiapkan:

Sebelum Pelaksanaan Kegiatan1. Bentuklah kelompok kecil siswa (4 – 5 orang) yang memungkinkan belajar secara

efektif.2. Identifikasisiswa-siswayangbiasanyaagaksulitmembuatpertanyaan.3. Identifikasi pula bentuk bantuan apa yang perlu diberikan agar siswa akhirnya

produktif membuat pertanyaan.4. Sediakan tabel-tabel yang diperlukan bagi siswa untuk mengisikan hasil kerjanya.5. Sediakan kertas berpetak atau papan.6. Kritik, komentar, saran, atau pertanyaan terhadap suatu karya agar siswa bisa meniru

dan mengembangkan lebih jauh sesuai dengan materinya.

Kegiatan PendahuluanPada kegiatan pendahuluan guru:a) menyiapkan peserta didik secara psikis dan fisik untuk mengikuti proses


aplikasi menentukan nilai optimum dalam kehidupan sehari-hari, dengan memberikan contoh dan perbandingan lokal, nasional, dan internasional;

c) mengajukan pertanyaan-pertanyaan yang mengaitkan pengetahuan sebelumnya dengan materi yang akan dipelajari; Misalnya, bagaimana menentukan daerah penyelesaian yang terbatas dan yang tidak terbatas.

d) menjelaskan tujuan pembelajaran atau kompetensi dasar yang akan dicapai;e) menyampaikan cakupan materi dan penjelasan uraian kegiatan sesuai

silabus.


1.



2. Kegiatan IntiAyo mengamatia) Melalui kelompok belajar yang heterogen, arahkan untuk mencermati

Masalah 2.6, dan Masalah 2.7.

Ayo Menanyaa) Guru mengajukan pertanyaan-pertanyaan pancingan kepada siswa, untuk

memunculkan motivasi kepada siswa dalam mengajukan pertanyaan-pertanyaan kritis terkait Masalah 2.6 dan Masalah 2.7.

Ayo Mengumpulkan Informasia) Sebagai umpan balik aktivitas sebelumnya, siswa diminta untuk menemukan

dan mengumpulkan informasi yang ditemukan pada masalah tersebut, sedemikian sehingga siswa dapat memahami model matematika yang untuk Masalah 2.6 dan Masalah 2.7.

b) Arahkan siswa untuk memahami prosedur dalam menentukan nilai optimum fungsi tujuan suatu program linear dua variabel, yaitu dengan menemukan pasangan titik, sebut pasangan titik (x, y), yang terdapat pada daerah penyelesaian sedemikian sehingga menjadikan fungsi tujuan bernilai optimum (memiliki nilai maksimum ataupun minimum).

Ayo Mengasosiasia) Berikan pancingan kepada siswa bahwa untuk menemukan nilai optimum

fungsi tujuan suatu program linear dua variabel tidak selalu tepat dengan menguji nilai fungsi tujuan pada titik-titik sudut daerah penyelesaian. Hal ini, guru dapat memberikan contoh-contoh penyangkal.

b) Berikan petunjuk kepada siswa bagaimana menemukan nilai optimum fungsi tujuan dengan metode garis selidik, yaitu dengan menggambarkan grafikfungsi pada saat melalui suatu titik pada daerah penyelesaian.

35MATEMATIKA


Gambar 2.13: Daerah penyelesaian yang memenuhi pertidaksamaan (3*)

Pada kasus ini, kebetulan titik pembuat optimum fungsi tujuan terdapat di titik sudut daerah penyelesaian.

c) Guru menegaskan kepada siswa bahwa titik pembuat optimum suatu fungsi tidak selalu berada pada titik sudut daerah penyelesaian. Seperti yang terjadi pada penyelesaian Masalah 2.7.

Titik pembuat maksimumnya adalah titik (1 911 , 7 3

11 ). Namun nilai x dan

y tersebut tidak dapat ditemukan secara kontekstual. Dengan menggunakan prinsip pembulatan bilangan, terdapat kemungkinan sebagai berikut:i. B1(1, 7): titik tersebut berada di luar daerah penyelesaian OBA.ii. B2(1, 8): titik tersebut berada di luar daerah penyelesaian OBA.iii. B3(2, 7): titik tersebut berada di dalam daerah penyelesaian OBA. Pada

titik (2, 7) akan diperoleh keuntungan sebesar Rp34.500.000. Artinya, si pedagang mengalami kekurangan sebesar Rp45.450.

iv. B4(2, 8): titik tersebut berada di luar daerah penyelesaian OBA.

x

y

500

400

300

200

100

–100

–100 100 200 300 400 500

A 10,1533

B(92, 0)

4x + 3y = 3504x + 3y = 250

4x + 3y = 180

10x + 8y 1.550

2x + 5y 1.000

5x + 3y 460


Penilaian

1. Prosedur Penilaian Sikap

2. Instrumen Pengamatan SikapAnalitis 1. Kurang baik jika sama sekali tidak mengajukan pertanyaan-pertanyaan



3. Sangat baik jika mengajukan pertanyaan-pertanyaan menantang atau memberikan ide-ide dalam menyelesaikan masalah selama proses pembelajaran secara terus menerus dan ajeg/konsisten.


Namun, dengan menyelidiki titik integer pada sekitar titik (1 911 , 7 3

11 ), ditemukan titik pembuat maksimum fungsi tersebut, yaitu: titik (2, 7). DenganmelaluipembahasanMasalah2.6dan2.7,ajaksiswauntukmendefinisikangaris selidik dan merumuskan langkah menentukan nilai optimum suatu fungsi tujuan dengan metode garis selidik.

Kegiatan Penutupa) Bersama dengan siswa menyimpulkan definisi garis selidik dan langkah-

langkah menentukan nilai optimum suatu fungsi tujuan dengan metode garis selidik.

b) Menginformasikan materi selanjutnya, yaitu berbagai kasus dalam menentu-kan nilai optimum suatu fungsi tujuan.

c) Memberikan penugasan kepada siswa, yaitu mengerjakan soal Uji Kompetensi 2.2 nomor 1 hingga nomor 4.

3.


1 Analitis Pengamatan Kegiatan inti 2 Kritis Pengamatan Kegiatan inti

37MATEMATIKA

Kritis1. Kurang baik jika sama sekali tidak mengajukan pertanyaan-pertanyaan

menantang kepada guru maupun temannya selama proses pembelajaran.2. Baik jika mengajukan pertanyaan-pertanyaan menantang kepada guru

maupun temannya selama proses pembelajaran.3. Sangat baik jika mengajukan pertanyaan-pertanyaan menantang kepada

guru maupun temannya selama proses pembelajaran secara terus-menerus dan ajeg/konsisten.




boleh bekerja sama.2. Pilihlah jawaban soal, kemudian jawablah pertanyaan/perintah di bawah-

nya.

No. Nama Analitis Kritis

SB B KB SB B KB

1.2.3.............29.30.


Latihan 2.3

1. Gambarkan daerah penyelesaian untuk setiap kendala masalah program linear berikut ini.a) x – 4y 0; x – y 2; –2x + 3y 6; x 10b) x + 4y 30; –5x + y 5; 6x – y 0; 5x + y 50; x – 5y 0c) x + 4y 0; –5x + y 5; 6x – y 0; 5x + y 50; x + 5y 0

2. Cermati pertidaksamaan ax + by c.Untuk menentukan daerah penyelesaian pada bidang koordinat, selain denganmenggunakan uji titik, selidiki hubungan tanda koefisien x dan y terhadap daerah penyelesaian (bersih) pertidaksamaan.







Ketelitian menyajikan grafik

Keterampilan dalam mem-bentuk model dan me-nyelesaikan masalah

1.

2.

39MATEMATIKA

2.4 Beberapa Kasus Daerah Penyelesaian Materi ini mendeskripsikan bahwa banyak hal mungkin terjadi dengan mempertimbangkan daerah penyelesaian. Dengan membelajarkan ini semakin meningkatkan cara berpikir siswa dalam kajian program linear. Perlu diingatkan kembali, bahwa persiapan yang baik adalah kunci keberhasilan.

Sebelum Pelaksanaan Kegiatan1. Bentuklah kelompok kecil siswa (4 – 5 orang) yang memungkinkan belajar secara

efektif .2. Sediakan masalah-masalah yang akan diberikan kepada siswa.3. Sediakan kertas seperlunya.4. Sediakan tabel untuk peneliaan.


1. Kegiatan PendahuluanPada kegiatan pendahuluan guru:a) menyiapkan peserta didik secara psikis dan fisik untuk mengikuti proses


aplikasi menentukan nilai optimum dalam kehidupan sehari-hari, dengan memberikan contoh dan perbandingan lokal, nasional, dan internasional;

c) mengajukan pertanyaan-pertanyaan yang mengaitkan pengetahuan sebelumnya dengan materi yang akan dipelajari; Misalnya, apakah syarat supaya suatu fungsi tujuan memiliki nilai optimum.

d) menjelaskan tujuan pembelajaran atau kompetensi dasar yang akan dicapai; e) menyampaikan cakupan materi dan penjelasan uraian kegiatan sesuai

silabus.



Kegiatan IntiAyo Kita Mengamatia) Arahkan untuk mencermati Gambar 2.14;

Gambar 2.14: Sistem pertidaksamaan yang tidak memiliki daerah penyelesaian.

Grafiktersebutdibangunolehsistem3 4 123 4 24

x yx y

b) Guru mengingatkan siswa akan syarat dua garis sejajar seperti yang telah dipelajari pada saat SMP/MTS.

Ayo Kita Menanyaa) Arahkan siswa untuk mengajukan pertanyaan-pertanyaan yang berhubungan

dengan Gambar 2.14. Jika siswa tidak mengajukan pertanyaan, guru harus mempersiapkan pertanyaan-pertanyaan yang akan diajukan pada siswa.

Ayo Kita Mengumpulkan Informasia) Siswadiarahkanmenemukanhubunganperbandingankoefisienx dan y pada

sistem tersebut.b) Bekerja sama dalam kelompok, arahkan siswa merancang suatu sistem

pertidaksamaan yang memiliki hubungan perbandingan koefisiean sepertiyang disajikan pada Gambar 2.14.

x

y

5

–5

–10

–10 –5 5

3x + 4y 243x + 4y 12

2.

41MATEMATIKA


3.

Ayo Kita Mengasosiasia) Bersama dengan siswa, guru menyimpulkan syarat suatu sistem

pertidaksamaan tidak memiliki daerah penyelesaian. Karena tidak memiliki daerah penyelesaian, otomatis tidak dapat ditentukan nilai optimum.

b) Arahkan siswa mengamati Gambar 2.15. Siswa ditugasi untuk menemukan sistem pertidaksamaan yang memenuhi daerah penyelesaian seperti yang ada pada Gambar 2.15, yaitu:2x + y 42x + y 8x 0, y 2

c) Guru memberikan pancingan agar siswa mengajukan pertanyaan-pertanyaan kritis terkait Gambar 2.15. Misalnya berapa nilai maksimum fungsi tujuan? Berikan alasan untuk setiap jawaban yang diberikan.

d) Arahkan siswa melalui diskusi untuk menemukan syarat suatu fungsi tujuan memiliki nilai minimum atau nilai maksimum. Mintalah penjelasan lebih lanjut untuk setiap jawaban setiap siswa.

e) Untuk memastikan pemahaman siswa, guru memberikan penugasan kepada siswa untuk mendesaian suatu sistem pertidaksamaan yang memiliki nilai maksimum atau nilai minimum saja.

f) Arahkan siswa untuk mengamati Gambar 2.16. Mintalah siswa mengumpulkan informasi tentang syarat suatu daerah penyelesaian memiliki nilai maksimum dan nilai minimum.

Kegiatan Penutupa) Bersama dengan siswa menyimpulkan syarat-syarat suatu daerah penyelesaian

belum tentu memiliki nilai maksimum dan/atau nilai minimum.b) Menginformasikan kepada siswa bahwa kajian program linear tidak berhenti

hanya pada linear dua variabel saja.c) Memberikan penugasan kepada siswa, yaitu mengerjarkan soal Uji Kompetensi

2.2 nomor 7, 10, dan 12.

F. Penilaian

1. Prosedur Penilaian Sikap


1 Analitis Pengamatan Kegiatan inti 2 Kritis Pengamatan Kegiatan inti


2. Instrumen Pengamatan SikapAnalitis 1. Kurang baik jika sama sekali tidak mengajukan pertanyaan-pertanyaan



3. Sangat baik jika mengajukan pertanyaan-pertanyaan menantang atau memberikan ide-ide dalam menyelesaikan masalah selama proses pembelajaran. secara terus menerus dan ajeg/konsisten.

Kritis1. Kurang baik jika sama sekali tidak mengajukan pertanyaan-pertanyaan

menantang kepada guru maupun temannya selama proses pembelajaran.2. Baik jika mengajukan pertanyaan-pertanyaan menantang kepada guru

maupun temannya selama proses pembelajaran.3. Sangat baik jika mengajukan pertanyaan-pertanyaan menantang kepada

guru maupun temannya selama proses pembelajaran secara terus menerus dan ajeg/konsisten.



No. Nama Analitis Kritis

SB B KB SB B KB

1.2.3.............29.30.

43MATEMATIKA


boleh bekerja sama.2. Pilihlah jawaban soal kemudian jawablah pertanyaan/perintah di bawah nya.

Latihan 2.4

1. Pesawat penumpang mempunyai tempat duduk 48 kursi. Setiap penumpang kelas utama boleh membawa bagasi maksimum 60 kilogram sedangkan kelas ekonomi maksimum 20 kg. Pesawat hanya dapat membawa bagasi maksimum 1440 kg. Harga tiket kelas utama Rp150.000,00 dan kelas ekonomi Rp100.000,00. Supaya pendapatan dari penjualan tiket pada saat pesawat penuh mencapai maksimum, tentukan jumlah tempat duduk kelas utama. (UMPTN Tahun 2000 Rayon A).

2. Tentukan titik yang mengakibatkan fungsi linear f(x, y) = 2x – y – 4 bernilai optimum (maksimum atau minimum) jika daerah asal dibatasi sebagai berikut –1 x 1; –1 y 1. (Periksa nilai fungsi di beberapa titik daerah asal dan periksa bahwa nilai optimum tercapai pada suatu titik sudut daerah asal).


Pedoman Penilaian






Keterampilan dalam mem -bentuk model dan me-nyelesaikan masalah

Ketelitian menyajikan grafik

1.

2.

G. Pengayaan

H. Remedial

Pengayaan merupakan kegiatan yang diberikan kepada siswa yang memiliki akselerasi pencapaian KD yang cepat (nilai maksimal) agar potensinya berkembang optimal dengan memanfaatkan sisa waktu yang dimilikinya. Guru sebaiknya merancang kegiatan pembelajaran lanjut yang terkait dengan program linear.

Pembelajaran remedial pada hakikatnya adalah pemberian bantuan bagi peserta didik yang mengalami kesulitan atau kelambatan belajar. Pembelajaran remedial adalah tindakan perbaikan pembelajaran yang diberikan kepada peserta didik yang belum mencapai kompetensi minimalnya dalam satu kompetensi dasar tertentu. Perlu dipahami oleh guru, bahwa remedial bukan mengulang tes (ulangan harian) dengan materi yang sama, tetapi guru memberikan perbaikan pembelajaran pada KD yang belum dikuasai oleh peserta didik melalui upaya tertentu. Setelah perbaikan pembelajaran dilakukan, guru melakukan tes untuk mengetahui apakah peserta didik telah memenuhi kompetensi minimal dari KD yang diremedialkan.

45MATEMATIKA

Sehubungan dengan kegiatan proyek pada buku siswa, maka hal-hal yang perlu dilakukan oleh guru adalah sebagai berikut.

Sebelum Pelaksanaan Kegiatan1. Sediakan bahan-bahan yang dibutuhkan untuk kegiatan proyek kali ini, seperti buku-

buku teks pelajaran atau pojok pustaka atau bahkan fasilitas internet.2. Sediakan kertas HVS atau kertas asturo atau lainnya.3. Bentuklah siswa dalam beberapa kelompok untuk membagi tugas dalam menjalankan

tugasnya.4. Guru membimbing siswa dalam menyusun langkah-langkah pelaksanaan proyek.5. Selain itu, guru harus merancang bagaimana penilaian proyek hasil kerja siswa.

Soal Proyek

Setiap manusia memiliki keterbatasan akan tenaga, waktu, dan tempat. Misalnya, dalam aktivitas belajar yang kamu lakukan setiap hari tentu kamu memiliki keterbatasan dengan waktu belajar di rumah, serta waktu yang kamu perlukan untuk membantu orang tuamu. Di sisi lain, kamu juga membutuhkan waktu yang cukup untuk istirahat setelah kamu melakukan aktivitas belajar dan aktivitas membantu orang tua. Dengan kondisi tersebut, rumuskan model matematika untuk masalah waktu yang kamu perlukan setiap hari, hingga kamu dapat mengetahui waktu istirahat yang kamu peroleh setiap hari (minggu). Selesaikan proyek di atas dalam waktu satu minggu. Susun hasil kinerja dalam suatu laporan, sehingga kamu, temanmu, dan gurumu dapat memahami dengan jelas.

I. Kegiatan Proyek


Beberapa hal penting yang perlu dirangkum terkait dengan konsep program linear.1. Konsep program linear didasari oleh konsep persamaan dan pertidaksamaan

bilangan real, sehingga sifat-sifat persamaan linear dan pertidaksamaan linear dalam sistem bilangan real banyak digunakan sebagai pedoman dalam menyelesaikan suatu masalah program linear.

2. Model matematika merupakan cara untuk menyelesaikan masalah kontekstual. Pembentukan model tersebut dilandasi oleh konsep berpikir logis dan kemampuan bernalar keadaan masalah nyata ke bentuk matematika.

3. Model matematika dari suatu masalah yang dinyatakan bentuk pertidaksamaan atau sistem pertidaksamaan dan/atau persamaan merupakan kendala suatu masalah program linear.

4. Pasangan-pasangan (x, y) disebut sebagai penyelesaian pada masalah suatu program linear jika memenuhi setiap pertidaksamaan yang terdapat pada kendala program linear.

5. Fungsi tujuan atau juga disebut fungsi sasaran atau fungsi objektif merupakan tujuan suatu masalah program linear, yang juga terkait dengan sistem pertidaksamaan program linear.

6. Suatu fungsi objektif (merupakan fungsi linear) terdefinisi pada daerah penyelesaian suatu masalah program linear. Fungsi objektif memiliki nilai jika sistem kendala memiliki daerah penyelesaian.

7. Garis selidik merupakan salah satu cara untuk menentukan nilai objektif suatu fungsi tujuan masalah program linear dua variabel. Garis selidik ini merupakan persamaan garis fungi tujuan, ax + by = k, yang digeser di sepanjang daerah penyelesaian untuk menentukan nilai maksimum atau minimum suatu fungsi tujuan masalah program linear.

J. Rangkuman

47MATEMATIKA

A. Kompetensi Inti

Sikap

1. Menghargai dan menghayati ajaran agama yang dianutnya.

2. Menghayati dan mengamalkan perilaku jujur, disiplin, tanggung

jawab, peduli (gotong royong, kerja sama, toleran, damai), santun,

responsif dan pro-aktif dan menunjukkan sikap sebagai bagian

dari solusi atas berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara

efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta dalam menem-

patkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan dunia.

Pengetahuan

3. Memahami, menerapkan, menganalisis pengetahuan faktual, kon-

septual, prosedural berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu

pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan

wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradab-

an terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan

pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah.

Keterampilan

4. Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah

abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya

di sekolah secara mandiri, dan mampu menggunakan metode

sesuai kaidah keilmuan.


Indikator Pencapaian Kompetensi pada kegiatan pembelajaran dapat dikem-bangkan oleh guru yang disesuaikan dari kondisi peserta didik dan lingkungan di tempat guru mengajar.

Matriks

BAB3


Berikut ini dipaparkan contoh Indikator Pencapaian Kompetensi yang dapat dijabarkan dari KD pengetahuan 3.3-3.4 dan KD Keterampilan 4.3-4.4.

Kompetensi Dasar Indikator Pencapaian Kompetensi3.3 Menjelaskan matriks dan ke-

samaan matriks dengan meng-gunakan masalah kontekstual dan melakukan operasi pada matriks yang meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar, dan perkalian, serta transpos.

3.3.1 Mendefiniskanmatriks.3.3.2 Menunjukkan konsep ke sama an

matriks.3.3.3 Memahami operasi-operasi pada

matriks.

3.4 Menganalisis sifat-sifat determi-nan dan invers matriks berordo 2 × 2 dan 3 × 3.

3.4.1 Menyatakan determinan matriks.3.4.2 Menyatakan invers matriks.

4.3 Menyelesaikan masalah kon-tekstual yang berkaitan dengan matriks dan operasinya.

4.3.1 Menyajikan model matematika dari suatu masalah nyata yang berkaitan dengan matriks dan menyatakan konsep kesamaan matriks.

4.3.2 Menyatakan operasi-operasi matriks.

4.4 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan determinan dan invers matriks berordo 2 × 2 dan 3 × 3.

4.4.1 Menyajikan model matematika dari suatu masalah nyata yang berkaitan dengan determinan matriks.

4.4.2 Menyajikan model matematika dari suatu masalah nyata yang berkaitan dengan invers matriks.


Pembelajaran materi matriks melalui pengamatan, tanya jawab, penugasan indi-vidu dan kelompok, diskusi kelompok, dan penemuan (dicovery) diharapkan siswa dapat:1. Melatih sikap sosial berani bertanya, berpendapat, mau mendengar orang lain,

bekerja sama dalam diskusi di kelompok sehingga terbiasa berani bertanya, berpendapat, mau mendengar orang lain, bekerja sama dalam aktivitas sehari-hari.

2. Menunjukkan ingin tahu selama mengikuti proses.

49MATEMATIKA

3. Bertanggung jawab terhadap kelompoknya dalam menyelesaikan tugasnya.4. Menjelaskan pengertian matriks.5. Menjelaskan dengan kata-kata dan menyatakan masalah dalam sehari-hari yang

berkaitan dengan matriks.6. Menunjukkan konsep kesamaan matriks.7. Memahami operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian matriks dengan

bilangan skalar dan perkalian, serta transpos matriks.8. Menyajikan determinan matriks.9. Menyajikan invers matriks.10. Menyajikan model matematika berkaitan dengan determinan dan invers matriks.

D. Diagram Alir

Sistem Persamaan

Linear

Materi

Prasyarat

MATRIKSUnsur-

Unsur

Determinan

JENIS

MATRIKSRelasi Operasi

Elemen

Baris

Matriks

Kofaktor

Elemen

Kolom

Matriks

Adjoint

Invers

Matriks

• Kolom

• Baris

• Persegi

Panjang

• Persegi

• Segitiga

• Diagonal

• Penjumlahan

• Pengurangan

• Perkalian

• Transpos

Kesamaan

Matriks

Syarat

Masalah

Autentik



3.1 Membangun Konsep Matriks

Sebelum Pelaksanaan Kegiatan1. Siswa diharapkan sudah membawa perlengkapan alat-alat tulis untuk pem-

belajaran.2. Bentuklah kelompok kecil siswa yang memungkinkan belajar secara efektif

danefisien.3. Sediakan tabel-tabel yang diperlukan bagi siswa untuk mengisikan hasil

kerjanya pada tiap kegiatan yang dilaksanakan.


•PembelajarandimulaidenganSalamdanDoa•Apersepsi

1. Para siswa diperkenalkan dengan informasi berbagai bentuk baik tabel, jadwal transportasi, susunan benda, dan susunan angka.

2. Informasikan kepada siswa bahwa informasi seperti jadwal, susunan barang, dan susunan angka pada tabel dapat dibentuk menjadi beberapa susunan angka yang sederhana.

3. Berilah kesempatan kepada siswa untuk memikirkan bentuk susunan angka yang dibentuk.

4. Kemudian ajaklah siswa untuk memahami salah satu bentuk yang dapat dibuat seperti yang telah diuraikan pada buku siswa.

5. Berdasarkan masalah dan kegiatan yang diberikan pada buku siswa, instruksikan siswa agar mampu menemukan konsep matriks.

6. Berilah penilaian kepada siswa yang sedang melakukan aktivitas membuat susunan matriks.

2. Kegiatan IntiPengantar Pembelajaran• Tumbuhkanmotivasiinternaldalamdirisiswamelaluimenunjukkan

manfaat mempelajari matriks dalam kehidupan. • Ajaklahsiswauntukmemperhatikandanmemahamimasalahpadabuku

siswa.

51MATEMATIKA

Mengamati• Arahkansiswamenemukanmatriksdariberbagaisituasinyatayang

dekat dengan kehidupan siswa. • GurumemberikankesempatansiswauntukmengamatiMasalah3.1 3.2

yaitu:Masalah 3.1Seorang wisatawan lokal hendak berlibur ke beberapa tempat wisata yang ada di pulau Jawa. Untuk memaksimalkan waktu liburan, dia mencatat jarak antar kota-kota tersebut sebagai berikut.

Bandung–Semarang 367 km Semarang–Yogyakarta 115 km Bandung–Yogyakarta 428 km

Tentukanlahsusunanjarakantarkotatujuanwisata,seandainyawisatawan tersebut memulai perjalanannya dari Bandung! Kemudian berikan makna setiap angka dalam susunan tersebut.Masalah 3.2Manager supermarket ingin menata koleksi barang yang tersedia. Ubahlah bentuk susunan barang di supermarket di bawah ini menjadi matriks dan tentukan elemen-elemennya.

KOLEKSI Susu

10 (item)

KOLEKSI Sabun

18 (item)

KOLEKSI Minyak Goreng

22 (item)

KOLEKSI Roti dan Biskuit

20 (item)

KOLEKSI Sampo dan PastaGigi12 (item)

KOLEKSI Beras dan Tepung6 (item)

KOLEKSI Permen dan

Coklat14 (item)

KOLEKSI Detergen8 (item)

KOLEKSI Bumbu

17 (item)

Gambar3.2:Susunanbarangpadaraksupermarket


Menanya• Siswadiupayakanuntukbertanyatentanghubungansusunanbenda

ataupun angka terhadap konsep matriks.• Gurumemastikankelompokdapatbekerjasamadalammerumuskan

konsep yang akan dicapai dengan melemparkan ataupun merangsang siswa untuk bertanya.

Menalar• Untukmendapatkanpenalaranterhadapkonsepmatriks,gurumemberi-

kan kesempatan siswa untuk melakukan Kegiatan 3.1, yaitu: Kegiatan 3.1

1. Bentuklah kelompok yang masing-masing beranggotakan 3-4 orang.2. Wawancaralah setiap anggota kelompok untuk mendapatkan infor-

masi nilai siswa terhadap tiga mata pelajaran yang diminatinya.3. Sajikan data yang diperoleh dalam bentuk tabel seperti di bawah ini.4. Sajikan pula data tersebut dalam bentuk matriks dan jelaskan.

Pelajaran X Pelajaran Y Pelajaran Z

Siswa A . . . . . . . . . . . .Siswa B . . . . . . . . . . . .Siswa C . . . . . . . . . . . .

Mengomunikasikan• Mintalahsiswauntukberbagihasildiskusiketemansebangkudan

pastikan teman yang menerima hasil karya tersebut memahami apa yang harus dilakukan.

• Gurumemberikankesempatansiswauntukdapatmenyatakansendirikonsep matriks dengan bahasa dan penyampaiannya sendiri.

• Gurumemastikansiswadapatmenjelaskanjenis-jenismatriks.• Gurumemastikansiswadapatmemahamikonsepkesamaanmatriks.

3. Kegiatan Penutup• Periksalahapakahsemuakelompoksudahmengumpulkantugasdan

apakah identitas kelompok sudah jelas.• Berikanpenilaianterhadapprosesdanhasilkaryasiswadengan

menggunakan rubrik penilaian.• Gurusebaiknyahanyamengonfirmasiakankebenarankonsepmatriks

yang diperoleh siswa.

Nilai Siswa

Nama Siswa

53MATEMATIKA

3.2 Jenis-Jenis Matriks


•Pembelajarandimulaidengansalamdandoa.•Tumbuhkanmotivasiinternaldalamdirisiswamelaluimenunjukkan

manfaat mempelajari matriks dalam kehidupan siswa.

2. Kegiatan IntiMengamati• Ajaklahsiswauntukmemperhatikandanmemahamicontoh3.1.• Arahkansiswamenemukanbentuk-bentukmatriksdaricontoh3.1. Contoh 3.1 Teguh,siswakelasI SMAPancaBudi,akanmenyusunanggotakeluar-

ganyaberdasarkanumurdalambentukmatriks.DiamemilikiAyah,Ibu,berturut-turut berumur 46 tahun dan 43 tahun. Selain itu dia juga memiliki kakak dan adik, secara berurut, Ningrum (22 tahun), Sekar (19 tahun), dan Wahyu (12 tahun). Dia sendiri berumur 14 tahun.

Berbekal dengan materi yang dia pelajari di sekolah dan kesungguhan dia dalam berlatih, dia mampu mengkreasikan susunan matriks, yang merep-resentasikanumuranggotakeluargaTeguh,sebagaiberikut(berdasarkanurutanumurdalamkeluargaTeguh).

Menanya• Siswadiupayakanuntukbertanyatentangbentukmatriksalternatif

lainnya yang dikembangkan dari contoh 3.1.Menalar• Untukmendapatkanpenalaranterhadapjenis-jenismatriks,gurumem-

berikan kesempatan siswa untuk membentuk matriks lainnya. • Berikanbentukmatrikslainuntukmendapatkanhubunganantarmatriks.Mengomunikasikan• Mintalahsiswauntukberbagihasildiskusiketemansebangku.• Gurumemberikankesempatansiswauntukdapatmenyatakansendiri

jenis-jenis matriks dengan bahasa dan penyampaiannya sendiri. • Gurumemastikansiswadapatmenjelaskanjenis-jenismatriks.• Gurumemastikansiswadapatmemahamikonsepkesamaanmatriks.


3. Kegiatan Penutup• Berikanpenilaianterhadapprosesdanhasilkaryasiswadengan

menggunakan rubrik penilaian.• Gurusebaiknyahanyamengkonfirmasiakankebenarankonsepmatriks


3.3 Kesamaan Matriks


•Pembelajarandimulaidengansalamdandoa.•Tumbuhkanmotivasiinternaldalamdirisiswamelaluimenunjukkan

manfaat mempelajari matriks dalam kehidupan siswa. 2. Kegiatan Inti

Mengamati• Berikansiswabentuk-bentukmatriks.Menanya• Siswadiupayakanuntukbertanyatentangbentukmatriksyangsama.

Menalar• Untukmendapatkanpenalaranterhadapjenis-jenismatriks,gurumem-

berikan kesempatan siswa untuk membentuk matriks lainnya. • Berikanbentukmatrikslainuntukmendapatkanhubunganantarmatriks

dengan memberikan contoh 3.2, yaitu: CONTOH 3.2 Tentukannilaia, b, c, dan d yang memenuhi matriks Pt= Q, dengan

P = 2a – 4 3bd + 2a 2c 4 7

dan Q = b – 5 3a – c 4 3 6 7

Mengomunikasikan• Mintalahsiswauntukberbagihasildiskusipadatemansebangku.• Gurumemberikankesempatansiswauntukdapatmenyatakansendiri

jenis-jenis matriks dengan bahasa dan penyampaiannya sendiri. • Gurumemastikansiswadapatmemahamikonsepkesamaanmatriks.

55MATEMATIKA


menggunakan rubrik penilaian.• Gurusebaiknyahanyamengonfirmasiakankebenarankonsepmatriks


Penilaian1. Prosedur Penilaian:

No Aspek yang dinilai Teknik Penilaian Waktu Penilaian1. Bekerja sama Pengamatan Kegiatan Inti2. Tanggungjawab Pengamatan Kegiatan Inti3. Konsep Testertulis Kegiatan penutup

2. Instrumen Pengamatan Indikator perkembangan sikap bekerja sama:

1. Kurang baik jika sama sekali tidak mau bekerja sama dalam proses pembelajaran.2. Baik jika menunjukkan sudah ada usaha mau bekerja sama dalam proses

pembelajaran.3. Sangat baik jika menunjukkan adanya kerja sama dalam proses pembelajaran

secara terus menerus dan konsisten.

Indikator perkembangan sikap tanggung jawab (dalam kelompok)1. Kurang baik jika menunjukkan sama sekali tidak ambil bagian dalam melaksana-

kan tugas kelompok.2. Baik jika menunjukkan sudah ada usaha ambil bagian dalam melaksanakan

tugas kelompok tetapi belum konsisten.3. Sangat baik jika menunjukkan sudah ambil bagian dalam menyelesaikan tugas

kelompok secara terus menerus dan konsisten.

Bubuhkantanda√padakolom-kolomsesuaihasilpengamatan.

No. NamaBekerja Sama Tanggung Jawab

SB B KB SB B KB

1.


No. NamaBekerja Sama Tanggung Jawab

SB B KB SB B KB

2.

3.

...

29

30


3. Instrumen Penilaian Pengetahuan dan Keterampilan: Petunjuk:

a. Kerjakan soal berikut secara individu, dilarang bekerja sama dan dilarang menyontek.

b. Selesaikanlah soal-soal berikut ini.

Soal:1) Buatlah matriks yang terdiri dari 5 baris dan 3 kolom, dengan elemennya

adalah 15 bilangan prima yang pertama. 2) Untuk matriks-matriks berikut, tentukan pasangan-pasangan matriks

yang sama.

A = a b cd e f , B =

2 10 23 4

, C = 2 0 31 2 4

t

, D = p q rs t u


No. Soal Aspek Penilaian Rubrik Penilaian Skor Skor Maksimal

1. Keterampilan membentuk model dan menyelesaikan masalah

Dijawab benar 25 25

Dijawab salah 5

Tidakadajawaban 0

57MATEMATIKA


2. Ketelitian dalam konsep

Dijawab benar 20 25

Dijawab salah 5

Tidakadajawaban 0Skor maksimal = 50 50

Skor minimal = 0 0

3.4 Operasi pada Matriks

Sebelum Pelaksanaan Kegiatan1. Pastikan siswa sudah paham dengan konsep matriks dan elemen matriks.2. Berikan motivasi pada siswa akan pentingnya belajar operasi matriks.3. Pilih dan rancang masalah sederhana untuk membelajarkan operasi matriks.


•Apersepsi2. Kegiatan Inti

Pengantar Pembelajaran• Tumbuhkan motivasi internal dalam diri siswa dengan memaparkan

manfaat mempelajari operasi matriks dalam kehidupan siswa.• Ajaklahsiswauntukmemperhatikandanmemahamimasalahpadabuku

siswa.• imbaulahsiswauntukmemperhatikanmasalahyangadadisekitarnya

yang dapat dimodelkan dalam bentuk matriks.Mengamati• Arahkansiswamengamatisetiapmasalah-masalahyangberkaitanpada

tiap-tiap operasi matriks, yaitu:


1. Penjumlahan Masalah 3.3

Tokokueberkonsepwaralabainginmengembangkanusahadiduakota yang berbeda. Manager produksi ingin mendapatkan data biaya untuk masing-masing kue seperti pada tabel berikut:

TabelBiayaTokodiKotaA(dalamRp)

Brownies BikaAmbonBahan kue 1.000.000 1.200.000Juru masak/Chef 2.000.000 3.000.000

TabelBiayaTokodiKotaB(dalamRp)

Brownies BikaAmbonBahan kue 1.500.000 1.700.000Juru masak/chef 3.000.000 3.500.000

Berapa total biaya yang diperlukan oleh kedua toko kue?2. Pengurangan

Masalah 3.4Sebuah pabrik tekstil hendak menyusun tabel aktiva mesin dan penyusutan mesin selama 1 tahun yang dinilai sama dengan 10% dari harga perolehan sebagai berikut.

Jenis Aktiva

argaperolehan (Rp)

Penyusutan tahun I (Rp)

argabaku(Rp)

MesinA 25.000.000 2.500.000Mesin B 65.000.000 6.500.000Mesin C 48.000.000 4.800.000

3. Operasi Perkalian Skalar pada MatriksContoh 3.5

a) Jika H = 2 34 51 2

, maka 2.H = 2 × 2 2 × 32 × 4 2 × 52 × 1 2 × 2

= 4 68 102 4

.

59MATEMATIKA

b) Jika L = 12 30 150 24 183 –3 –12

, maka 13

.L =

13 × 12 1

3 × 30 13 × 15

13 × 0 1

3 × 24 13 × 18

13 × 3 1

3 × (–3) 13 × (–12)

= 4 10 50 8 61 –1 –4

.

c) Jika M = 12 24 3648 60 72 , maka

1 34 4M M

= 14 × 12 1

4 × 24 14 × 36

14 × 48 1

4 × 60 14 × 72

+ 34 × 12 3

4 × 24 34 × 36

34 × 48 3

4 × 60 34 × 72

= 3 6 9 12 15 18 +

9 18 2736 45 54 =

12 24 3648 60 72 = M.

4. Operasi Perkalian Dua MatriksMasalah 3.5 Suatu perusahaan yang bergerak pada bidang jasa akan membuka tiga cabang besar di pulau Sumatera, yaitu cabang 1 di kota Palembang, cabang 2 di kota Padang, dan cabang 3 di kota Pekanbaru. Untuk itu, diperlukan beberapa peralatan untuk membantu kelancaran usaha jasa tersebut, yaitu handphone, komputer, dan sepeda motor. Di sisi lain, pihak perusahaan mempertimbangkan harga per satuan peralatan tersebut. Lengkapnya, rincian data tersebut disajikan sebagai berikut.

Handphone(unit)

Komputer(unit)

Sepeda Motor(unit)

Cabang 1 7 8 3Cabang 2 5 6 2Cabang 3 4 5 2

argaHandphone (juta) 2argaKomputer(juta) 5argaSepedaMotor(juta) 15


Perusahaan ingin mengetahui total biaya pengadaan peralatan tersebut di setiap cabang.Gurumemberikankesempatansiswauntukmerancangmodelmatriksdari setiap permasalahan yang ada.

5. Tranpos Matriks Contoh 3.7

a) Jika A = 15 530 25 , maka =

15 305 25

b) Jika S = 10 20 1418 12 822 6 17

, maka transpos matriks S,

adalah = 10 18 2220 12 614 8 17

.

Jika C =

1 0 5 3 14 9 4 2 2 5 8 6 3 7 12 4

, maka Ct =

1 14 2 3 0 9 5 7 5 4 8 12 3 2 6 4

.

• Berilah kesempatan kepada siswa untuk mendiskusikan penyelesaian sederhana dari tiap operasi matriks tersebut.

Menanya• Siswadiupayakanuntukbertanyatentangsolusialternatifyangdapat

ditemukan.• Gurumemastikankelompokdapatbekerjasamadalammerumuskan


Menalar• Ajaklahsiswauntukmendiskusikanpermasalahanyangterdapat

pada setiap buku siswa sehingga diperoleh solusi-solusi untuk mengoperasikan matriks.

• Berikancontoh-contohpadatiap-tiapoperasiuntuklebihmemahamitiap operasi matriks.

61MATEMATIKA

Mengomunikasikan• Mintalahsiswauntuksharing hasil karyanya pada teman dan pastikan

semua siswa memahami proses dalam operasi matriks.• Gurumemberikan kesempatan kepada siswa untuk dapatmenyatakan

sendiri proses operasi matriks dengan bahasa dan penyampaiannya sendiri.

• Gurumemastikansiswadapatmenjelaskanjenis-jenisoperasimatriks.• Gurumemastikansiswadapatmemahamimanasajamatriksyangtidak

dapat dioperasikan.3. Kegiatan Penutup

• Mintalahsiswauntukmelakukanrefleksidanmenuliskanhalpentingdari yang dipelajarinya.

• Berikanpenilaianterhadapprosesdanhasilkaryasiswadenganmenggunakan rubrik penilaian.

• Jikadipandangperlu,berilahsiswalatihanuntukdikerjakandirumah.


No Aspek yang dinilai Teknik Penilaian Waktu Penilaian1. Berpikir Logis Pengamatan Kegiatan inti 2. Kritis Pengamatan Kegiatan inti 3. Konsep Testertulis Kegiatan penutup

2. Instrumen Pengamatan Sikap: Berpikir Logis

1. Kurang baik jika sama sekali tidak berusaha mengajukan ide-ide logis dalam proses pembelajaran.

2. Baik jika menunjukkan sudah ada usaha untuk mengajukan ide-ide logis dalam proses pembelajaran.

3. Sangat baik jika mengajukan ide-ide logis dalam proses pembelajaran dalam proses pembelajaran secara terus menerus dan ajeg/konsisten.


Kritis1. Kurang baik jika sama sekali tidak berusaha mengajukan ide-ide logis


dengan kritis atau pertanyaan menantang dalam proses pembelajaran.3. Sangat baik jika mengajukan ide-ide logis dengan kritis atau pertanyaan



No. NamaBerpikir Tanggung jawab

SB B KB SB B KB

1.

2.

3.

...

30


3. Instrumen Penilaian Pengetahuan dan Keterampilan: Petunjuk:


b. Selesaikanlah soal-soal berikut ini:

Soal:

1) asilpenjumlahanmatriks2 2 6 4 8

3 5 6 3 9 5p p

q .Tentukannilaip dan q!

2) Diketahui matriks-matriks A = 2 3 5 , B = 246

, C = –2 –1 0 3 2 1 ,

D = 2 35 41 2

t

dan F = 2 4 6 t.

63MATEMATIKA

Dari semua matriks di atas, pasangan matriks manakah yang dapat dijumlahkan dan dikurangkan. Kemudian selesaikanlah!

3) Jika A = 3 2 3 2 4 6 , B = 3 5 7

–4 10 9 , dan X suatu matriks berordo 2 × 3

serta memenuhi persamaan A + X = B. TentukanmatriksX!4) Tentukanlahhasilperkalianmatriks-matriksberikut

a. –2 3 –1 –40 5

.15

b. 4 2 6 8 8 10

. –1 0 2

c. –3 0 2 4 2 1 0 1 –2

. 1 0 0 0 1 0 0 0 1

d. 1 0 0 0 1 0 0 0 1

. 1 2 3 3 5 6 1 3 2

5) Diketahui matriks G = 1 2 3 2 4 6 , dan lima matriks yang dapat dipilih

untuk dikalikan terhadap matriks G, yaitu:

H = 1 0 1 , I = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

, J = 3 0 1

, K = 2 4 5 4 4 2

, dan L = Gt .

MatriksyangmanakahdapatdikalikanterhadapmatriksG Kemudiantentukan hasilnya!

Pedoman Penilaian


1. Keterampilan menghitung

Dijawab benar 20 20

Dijawab Salah 5

Tidakadajawaban 0



2. Pemahaman konsep Dijawab benar 20 20

Dijawab Salah 5

Tidakadajawaban 0

3. Keterampilan dan ketelitian menghitung

Dijawab benar 20 20

Dijawab Salah 10

Tidakadajawaban 0


Dijawab benar 20 20

Dijawab Salah 10

Tidakadajawaban 0

5. Pemahaman konsep Dijawab benar 20 20

Dijawab salah 10

Tidakadajawaban 0

Skor maksimal = 100 100

Skor minimal = 0 0

3.5 Determinan dan Invers Matriks

Sebelum Pelaksanaan Kegiatan1. Pastikan siswa sudah paham dengan konsep matriks dan elemen matriks

serta operasi matriks sebagai prasyarat, kemudian siswa juga dapat memahami determinan dan invers matriks.

2. Berikan motivasi pada siswa akan pentingnya belajar determinan dan invers matriks.

3. Pilih dan rancang masalah sederhana untuk membelajarkan determinan dan invers matriks.

65MATEMATIKA


•Apersepsia. Memberi motivasi pentingnya materi ini.b. Memberi informasi tentang kompetensi yang akan dicapai.

2. Kegiatan IntiSebelum melakukan kegiatan inti sebaiknya guru:•Mengingatkankembalitentangpengertianmatriksdanelemenmatriks.•Mengingatkankembalitentangoperasipenjumlahan,pengurangan,

perkalian, dan transpos matriks.•Ajaksiswauntukmengamatidanmendiskusikanbeberapacontohdan

masalah yang diberikan.

Mengamati• Arahkan siswa siswa mengamati setiap masalah-masalah pada buku

siswa yang berkaitan dengan determinan dan invers matriks, seperti:

1. Determinan Masalah 3.6 Siti dan teman-temannya makan disebuah warung. Mereka memesan

3ayampenyetdan2gelasesjerukdikantinsekolahnya.Taklamakemudian, Beni dan teman-temannya datang memesan 5 porsi ayam penyetdan3gelasesjeruk.SitimenantangAmirmenentukanhargasatu porsi ayam penyet dan harga es jeruk per gelas, jika Siti harus membayar Rp.70.000,00 untuk semua pesanannya dan Beni harus membayar Rp.115.000,00 untuk semua pesanannya.

Masalah 3.7 Sebuah perusahaan penerbangan menawarkan perjalanan wisata ke

negaraA,perusahaantersebutmempunyaitigajenispesawatyaituAirbus100,Airbus200,danAirbus300.Setiappesawatdilengkapidengan kursi penumpang untuk kelas turis, ekonomi, dan VIP.


Jumlah kursi penumpang dari tiga jenis pesawat tersebut disajikan pada tabel berikut.

Kategori Airbus 100 Airbus 200 Airbus 300KelasTuris 50 75 40Kelas Ekonomi 30 45 25Kelas VIP 32 50 30

Perusahaan telah mendaftar jumlah penumpang yang mengikuti perjalananwisatakenegaraAsepertipadatabelberikut.

Kategori Jumlah PenumpangKelasTuris 305Kelas Ekonomi 185Kelas VIP 206

Berapa banyak pesawat yang harus dipersiapkan untuk perjalanan tersebut?

• Gurumemberikankesempatansiswauntukmerancangmodeldeterminan matriks dari setiap permasalahan yang ada.

• Berilahkesempatankepadasiswauntukmendiskusikanpenyelesaiansederhana dari model determinan matriks tersebut.

Menanya• Siswadiupayakanuntukbertanyatentangsolusialternatifyangdapat

ditemukan.• Gurumemastikankelompokdapatbekerjasamadalammerumuskan


Menalar• Ajaklah siswauntukmendiskusikanpermasalahanyang terdapat pada

setiap buku siswa sehingga diperoleh penyelesaian yang berkaitan dengan determinan matriks.

Mengomunikasikan• Mintalahsiswauntukberbagihasilkaryanyapadatemandanpastikan

semua siswa memahami prosedur penyelesaian determinan matriks.• Gurumemberikankesempatansiswauntukdapatmenyelesaikan

masalah yang berkaitan dengan matriks.

67MATEMATIKA

• Gurumemastikansiswamenemukansolusi-solusialternatifdariaplikasi matriks.

3. Kegiatan Penutup• Mintalahsiswauntukmelakukanrefleksidanmenuliskanhalpenting

dari yang dipelajarinya.• Berikanpenilaianterhadapprosesdanhasilkaryasiswadengan

menggunakan rubrik penilaian.• Jikadipandangperlu,berilahsiswaUjiKompetensi3.2untukdikerjakan

di rumah.• Doadansalam.


No Aspek yang dinilai Teknik Penilaian Waktu Penilaian1. Logis Pengamatan KegiatanAyoKitaAmati

dan Bertanya2. Kreatif Pengamatan KegiatanAyoKitaMencoba

dan Berbagi3. Pemahaman Konsep TesTertulis Kegiatan Penutup

2. Instrumen Pengamatan Sikap: Berpikir Logis

1. Kurang baik jika sama sekali tidak berusaha mengajukan ide-ide logis dalam proses pembelajaran.

2. Baik jika menunjukkan sudah ada usaha untuk mengajukan ide-ide logis dalam proses pembelajaran.

3. Sangat baik jika mengajukan ide-ide logis dalam proses pembelajaran dalam proses pembelajaran secara terus menerus dan ajeg/konsisten.

Kritis1. Kurang baik jika sama sekali tidak berusaha mengajukan ide-ide logis


dengan kritis atau pertanyaan menantang dalam proses pembelajaran.


3. Sangat baik jika mengajukan ide-ide logis kritis atau pertanyaan menantang dalam proses pembelajaran secara terus menerus dan ajeg/konsisten.


No. NamaBerpikir Logis Kritis

SB B KB SB B KB

1.

2.

3.

...

30

SB = Sangat Baik B = Baik KB = Kurang Baik3. Instrumen penilaian: Petunjuk:


b. Selesaikanlah soal-soal berikut ini:

Soal:1) Misalkan A matriks persegi. Jika pertukaran elemen-elemen sebarang

dua baris atau dua kolom dari matriks A, maka buktikan bahwa nilai determinannya berubah tanda.

2) Jika B matriks persegi dengan det B 0,tunjukkanbahwa1tB = 1 t

B .3) Selidiki bahwa det (C + D) = det C + det D untuk setiap matriks persegi

C dan D. 4) Masalah alokasi sumber daya. AgenperjalananmenawarkanpaketperjalanankeBali.PaketIterdiriatas

4 malam menginap, 3 tempat wisata, dan 5 kali makan. Paket II dengan 3 malam menginap, 4 tempat wisata, dan 7 kali makan. Paket III dengan 5 malam menginap, 4 tempat wisata, dan tidak ada makan. Sewa hotel Rp 400.000,00 per malam, tranportasi ke tiap tempat wisata Rp80.000,00, dan makan di restoran yang ditunjuk Rp90.000,00.

69MATEMATIKA

a. Nyatakan matriks harga sewa hotel, tranportasi dan makan.b. Nyatakan matriks paket yang ditawarkan.c. Dengan menggunakan perkalian matriks, tentukan matriks biaya

untuk tiap paket.d. Paket mana yang menawarkan biaya termurah?

5. Dengan menggunakan matriks persegi, tunjukkan bahwa (B–1)–1 = B.

Pedoman Penilaian


1. Pemahaman konsep Benar 20 20

Salah 10

Tidakadajawaban 0

2. Keterampilan menguraikan

Benar 20 20

Salah 10

Tidakadajawaban 0


Benar 20 20

Salah 7

Tidakadajawaban 0


Benar 20 20

Salah 10

Tidakadajawaban 0

5. Keterampilan dan ketelitian menguraikan

Benar 20 20

Salah 10

Tidakadajawaban 0

Skor maksimal = 100 100

Skor minimal = 0 0


F. Pengayaan

Pengayaan merupakan kegiatan yang diberikan kepada siswa yang memiliki akselerasi pencapaian KD yang cepat (nilai maksimal) agar potensinya berkembang optimal dengan memanfaatkan sisa waktu yang dimilikinya. Guru sebaiknyamerancang kegiatan pembelajaran lanjut yang terkait dengan matriks pada siswa.

G. Remedial

Remedial merupakan perbaikan proses pembelajaran yang bertujuan pada pen-capaian kompetensi dasar siswa. Guru memberikan perbaikan pembelajaran baikpada model, metode, serta strategi pembelajaran. Jika guru melakukan pembelajaran dengan pola yang sama tidaklah maksimal sehingga disarankan guru memilih tindak-an pembelajaran yang tepat sehingga siswa mampu memenuhi KD yang diharapkan. Perlu dipahami oleh guru, bahwa remedial bukan mengulang tes (ulangan harian) dengan materi yang sama, tetapi guru memberikan perbaikan pembelajaran pada KD yang belum dikuasai oleh peserta didik melalui upaya tertentu. Setelah perbaikan pembelajaran dilakukan, guru melakukan tes untuk mengetahui apakah peserta didik telah memenuhi kompetensi minimal dari KD yang diremedialkan.

H. Penyelesaian Soal-Soal Uji Kompetensi

UJI KOMPETENSI – 3.11. a) 18, 16, 8 b) 14, 8, 17 c) –22 d) 14 e) ordo matriks 2. –3. Matriks yang dapat dibentuk antara lain:

2 3 57 11 13

17 19 2329 31 3739 41 43

71MATEMATIKA

4. -5. p = –3 dan q = –36. –7. p = 1 dan q = 12 8. –

9. X = 0 3 4–6 6 3

10. –11. Gunakanprinsipperkalianduamatriks.12. –

13. a. Tt = 2 22 3 3a b c e d

a b d c e f b. a =–4 b=–3 c=7 d=1 e=2 danf =

13

14. –15. a. Paket I : Rp1.120.000,00 Paket II : Rp1.775.000,00 Paket III : Rp820.000,00 b. Paket III adalah paket dengan harga termurah.

UJI KOMPETENSI – 3.21. a. 68 b. 34x c. 3 d. 42. –3. Nilai z = 0 atau z = –14.5. z = –36. –7. Determinan = 08. –9. 10. –


11.12. –13.14. –15.

I. Rangkuman

Setelah selesai membahas materi matriks di atas, ada beberapa hal penting sebagai kesimpulan yang dijadikan pegangan dalam mendalami dan membahas materi lebih lanjut, antara lain: 1. Matriks adalah susunan bilangan-bilangan dalam baris dan kolom.2. Sebuah matriks A ditransposkan menghasilkan matriks At dengan elemen baris

matriks A berubah menjadi elemen kolom matriks At. Dengan demikian matriks At ditransposkan kembali, hasinya menjadi matriks A atau (At)t = A.

3. Penjumlahan sebarang matriks dengan matriks identitas penjumlahan hasilnya matriks itu sendiri. Matriks identitas penjumlahan adalah matriks nol.

4. asilkalisebuahmatriksdengansuatuskalaratausuatubilanganrealk akan menghasilkan sebuah matriks baru yang berordo sama dan memiliki elemen-elemen k kali elemen-elemen matriks semula.

5. Dua buah matriks hanya dapat dikalikan apabila banyaknya kolom matriks yang dikali sama dengan banyaknya baris matriks pengalinya.

6. asilperkalianmatriksA dengan matriks identitas perkalian, adalah matriks A.7. asilkaliduabuahmatriksmenghasilkansebuahmatriksbaru,yangelemen-

elemennya merupakan hasil kali elemen baris matriks A dan elemen kolom matriks B. Misal jika Ap×q dan Bq×r adalah dua matriks, maka berlaku Ap×q × Bq×r = Cp×r.

8. Matriks yang memiliki invers adalah matriks persegi dengan nilai determinannya tidak nol (0).

73MATEMATIKA

A. Kompetensi Inti

Sikap



jawab, peduli (gotong royong, kerja sama, toleran, damai), santun,

responsif dan pro-aktif dan menunjukkan sikap sebagai bagian

dari solusi atas berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara

efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta dalam menem-

patkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan dunia.

Pengetahuan

3. Memahami, menerapkan, menganalisis pengetahuan faktual, kon-

septual, prosedural berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu

pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan

wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradab-

an terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan

pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah.

Keterampilan






Indikator pencapaian kompetensi pada pembelajaran dapat dikembangkan

guru sendiri berdasarkan kondisi peserta didik masing-masing di tempat guru

mengajar.

Berikut ini dipaparkan contoh Indikator Pencapaian Kompetensi Pembelajaran

yang dapat dijabarkan dari KD 3.5 dan KD 4.5.

Transformasi

BAB4


Kompetensi Dasar Indikator Pencapaian Kompetensi

3.5 Menganalisis dan membandingkan

transformasi dan komposisi transformasi

dengan menggunakan matriks.

3.5.1 Menyebutkancontohtranslasi,refleksi,rotasi, dan dilatasi dalam kehidupan

sehari-hari.

3.5.2 Menemukansifat-sifattranslasi,refleksi,rotasi, dan dilatasi berdasarkan peng-

amatan pada masalah kontekstual dan

pengamatan objek pada bidang koordinat.

3.5.3 Menemukan konsep translasi dengan

kaitan nya dengan konsep matriks.

3.5.4 Menemukan konsep refleksi terhadaptitik O(0, 0) dengan kaitannya dengan

konsep matriks.

3.5.5 Menemukankonseprefleksiterhadapsumbu x dengan kaitannya dengan

konsep matriks.

3.5.6 Menemukankonseprefleksiterhadapsumbu y dengan kaitannya dengan

konsep matriks.

3.5.7 Menemukankonseprefleksiterhadapgaris y = x dengan kaitannya dengan

konsep matriks.

3.5.8 Menemukankonseprefleksiterhadapgaris y = -x dengan kaitannya dengan

konsep matriks.

3.5.9 Menemukan konsep rotasi pada

suatu sudut dan pusat O(0,0) dengan

kaitannya dengan konsep matriks.

3.5.10 Menemukan konsep rotasi pada

suatu sudut dan pusat P(p,q) dengan


3.5.11 Menemukan konsep dilatasi pada

faktor skala k dan pusat O(0,0) dengan


3.5.12 Menemukan konsep dilatasi pada

faktor skala k dan pusat P(p,q) dengan


3.5.13 Membandingkan keempat jenis

transformasi dengan menyebutkan

perbedaannya.

3.5.14 Menemukan konsep komposisi

transformasi(translasi,refleksi,rotasi,dan dilatasi).

75MATEMATIKA

Kompetensi Dasar Indikator Pencapaian Kompetensi

4.5 Menyelesaikan masalah yang berkaitan

dengan matriks transformasi geometri

(translasi,refleksi,dilatasi,danrotasi).

4.5.1 Menemukan matriks transformasi

(translasi,refleksi,rotasi,dandilatasi)dengan pengamatan terhadap titik-titik

dan bayangannya.

4.5.2 Menggunakan konsep transformasi

(translasi,refleksi,rotasi,dandilatasi)dengan kaitannya dengan konsep

matriks dalam menemukan koordinat

titik atau fungsi setelah ditransformasi.

4.5.3 Membandingkan proses transformasi

(translasi,refleksi,rotasi,dandilatasi).


Setelah mempelajari konsep transformasi melalui pengamatan, menalar, tanya

jawab, mencoba menyelesaikan persoalan, penugasan individu dan kelompok,

diskusi kelompok, dan mengomunikasikan pendapatnya, siswa mampu:

1. Menumbuhkan sikap perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli (gotong

royong, kerja sama, toleran, damai), santun, responsif dan proaktif, berani

bertanya, berpendapat, dan menghargai pendapat orang lain dalam aktivitas

sehari-hari.

2. Menunjukkan rasa ingin tahu dalam memahami konsep dan menyelesaikan

masalah.

3. Menyebutkancontohtransformasi(translasi,refleksi,rotasi,dandilatasi)dalamkehidupan sehari-hari.

4. Menemukan sifat-sifat translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi berdasarkanpengamatan pada masalah kontekstual dan pengamatan objek pada bidang

koordinat.

5. Menemukan konsep translasi dengan kaitannya dengan konsep matriks.

6. Menemukankonseprefleksi(terhadaptitikO(0, 0), sumbu x, sumbu y,

garis y = x, dan garis y = -x) dengan kaitannya pada konsep matriks.

7. Menemukan konsep rotasi pada suatu sudut dan pusat O(0, 0) atau pusat P(p, q)

dengan kaitannya dengan konsep matriks.

8. Menemukan konsep dilatasi pada suatu faktor skala dan pusat O(0, 0) atau pusat

P(p, q) dengan kaitannya dengan konsep matriks.

9. Menemukan koordinat titik dan persamaan garis oleh transformasi (translasi,

refleksi,rotasi,dandilatasi).


D. Diagram Alir

Masalah

Autentik

Materi Prasyarat

Fungsi

Translasi Refleksi

Komposisi Transformasi

Penyelesaian

Rotasi Dilatasi

Trigonometri

Transformasi

Matriks

77MATEMATIKA


4.1 Menemukan Konsep Translasi (Pergeseran)

Sebelum Pelaksanaan Kegiatan

1. Bentuk kelompok kecil siswa (3–4 orang) yang heterogen. Perhatikan

karakteristik siswa dalam satu kelompok sehingga mendukung pembelajaran

yangefisiendanefektif.2. Informasikan tujuan pembelajaran dan tata cara penilaian selama proses

pembelajaran.

3. Persiapkan semua fasilitas yang mendukung selama proses pembelajaran.

Sebaiknya dipersiapkan papan tulis berpetak untuk media bidang

koordinat.


• Salamdarigurudandoadipimpinolehsalahsatusiswa.• Apersepsi

1. Motivasi siswa mempelajari transformasi.

2. Ingatkan kembali siswa materi transformasi di tingkat SMP/MTs.

3. Informasikan kepada siswa bahwa konsep transformasi ini dikaji

dengan pendekatan koordinat dan hubungannya dengan konsep

matriks.

4. Ingatkan kembali siswa materi matriks.

2. Kegiatan IntiAyo Mengamati

• Ajaksiswamengamatibenda-bendayangbergerakataubergeserdalamkehidupan sehari-hari.

• Berikesempatankepadasiswauntukmemahamisifatpergeserandengan mengamati benda-benda yang bergerak di lingkungan sekitar

tersebut.Arahkansiswafokuspadabentukdanukuranbenda-bendayang bergerak tersebut.

• Gurudapatmemperagakanpergeseranbenda-bendadidepankelassebagai media.


Ayo Mengomunikasikan

• Gurumemberikankesempatankepadasiswauntukmengomunikasikanpendapatnya tentang pergeseran benda-benda setelah diamati.

• Arahkan jawaban siswa fokus pada bentuk dan ukuran benda setelahpergeseran.

Masalah 4.1

• Minta siswamembacaMasalah4.1 danmemandumerekamemahamialternatif penyelesaian Masalah 4.1.

• Minta siswa menunjukkan pergeseran titik pada bidang koordinatkartesius di depan kelas dan membaca koordinat perubahannya setelah

bergeser.

• Gurudansiswamenyepakatiarahpergeserankekiri(sebagaisumbux

negatif), ke kanan (sebagai sumbu x positif), ke atas (sebagai sumbu y

positif) dan ke bawah (sebagai sumbu y negatif) pada sumbu koordinat.

• Bantu siswa memahami konsep pergeseran ke bentuk matriks padaalternatif penyelesaian Masalah 4.1 di buku siswa.

• Guru memastikan kelompok dapat bekerja sama dalam merumuskankonsep yang akan dicapai dengan melemparkan ataupun merangsang

siswa untuk bertanya.

Ayo mengomunikasikan

• Guru meminta seorang siswa untuk mengomunikasikan pendapatnyatentang pergeseran pada Masalah 4.1.

• Guru memantau pendapat siswa tersebut serta memperbaiki jika adapendapatyangtidaksesuaikonsep.Gurudapatmemberikankesempatankepada siswa untuk bertanya atau memberikan pendapat lainnya.

• Guru menilai keaktifan siswa serta memantau siswa yang tidak ataukurang aktif serta memberikan umpan balik untuk menumbuhkan ke-

aktifan belajarnya.

Masalah 4.2

• Perkuat pemahaman siswa tentang pergeseran dengan mengajukanMasalah 4.2 untuk dibaca dan dipahami serta memberi komentar.

• Arahkan siswa ke sesi tanya jawab di antara siswa. Guru memantaukebenaran pendapat-pendapat siswa.

79MATEMATIKA

Ayo mengamati

• Gurumemerintahkansiswauntukmengamatikembalipergeseranobjek(titik,garis,danbidang)padabidangkoordinatkartesiuspadaGambar4.2.

• Arahkansiswamengamatiposisi,bentuk,danukuranobjeksebelumdan sesudah pergeseran, adakah perubahan?

• Mintasiswamengomunikasikanpendapatnyatentangmengamatiposisi, bentuk, dan ukuran objek sebelum dan sesudah pergeseran.

ArahkansiswamembangundanmemahamiSifat4.1.

Sifat 4.1: Bangun yang digeser (translasi) tidak mengalami perubahan bentuk

dan ukuran

Ayo mencoba

• SetelahsiswamempelajariMasalah4.1danMasalah4.2,mintasiswamengamatiGambar4.3danmenuliskankoordinattitikyangdimintapada Tabel 4.1

• Tabel4.1telahterisisebagaiberikut! Tabel 4.1: Translasi titik

Titik awal Titik akhir Proses Translasi

A(–10, –4) A(–6, –2)

410

24

26

410

24

26

410

24

26–10

– 4 24

T1

C(–6, –2) C(9, –5)

26

315

59 15

315

T2

15

C(9, –5) D(4, –1)

59

45

14

45

T3

D(4, –1) E(7, 4)

14

53

47

53

T4

E(7, 4) F(–8, 5)

47

115

58 –15

115

T5

–15


Ayo mengomati

• Pandusiswauntukmenemukankonseptranslasimelaluipengamatanterhadap koordinat titik pada Tabel 4.1.

• Arahkansiswamenemukankonseptranslasiberikut:

Titik A(x,y) ditranslasi oleh T(a,b) menghasilkan bayangan A′(x′,y′), ditulis dengan:

)','('),( yxAyxA ba

T

atau

yx

ba

yx''

Ayo menalar

• PandusiswamemahamipersoalanpadaContoh4.1danContoh4.2dengan menggunakan konsep translasi yang telah ditemukan.

• GurudapatmendemonstrasikankembalialternatifpenyelesaianpadaContoh4.1danContoh4.2,ataudapatmembuatcontoh-contohlainnya.

• Untukmendapatkan tingkat pemahaman siswa akan konsep translasi,minta siswa menyelesaikan Latihan 4.1 berdasarkan pemahaman konsep

dan contoh-contoh yang telah dipelajari, atau guru dapat memberikan

soal-soal translasi lainnya sebagai tugas kelompok atau pribadi.

• BerikutadalahalternatifpenyelesaianLatihan4.1sesuaibukusiswa.Latihan 4.1

• Titik P(a,b + 2) digeser dengan T(3, 2b – a) sehingga hasil pergeseran

menjadi Q(3a + b, –3). Tentukan posisi pergeseran titik R(2, 4) oleh

translasi T di atas.

Alternatifpenyelesaian:Cobaikutipanduanberikut:Langkah 1:

)3,3()2,( )2,3( baQbaP abT

223

33

ba

abba

3a + b = a + 3 atau

23ba (persamaan 1)

–3 = 3b – a + 2 (persamaan 2)

81MATEMATIKA

Langkah 2:

Dengan mensubstitusi

23ba ke persamaan (2) maka diperoleh

nilai atau 2)2

3(33 bb sehingga diperoleh b = –1 dan a = 2

Dengan demikian, translasi yang dimaksud adalah T(3, 2b – a) = T(3, –4).

Langkah 3:

Pergeseran titik R(2, 4) oleh translasi T(3, –4) adalah:

),(')4,2( 4,3( yxRR T

05

42

43

''

yx

Jadi, koordinat pergeseran titik R adalah R′(5, 0) .

3. Kegiatan Penutup• Mintasiswamengomunikasikankembalikonsep-konsepmateriyang

telah diketahui setelah pembelajaran.

• Siswadangurubersama-samamelakukanrefleksidanmerangkumsemua konsep dan sifat translasi dari yang dipelajari.

• Berikanpenilaianterhadapprosesdanhasilkaryasiswadenganmenggunakan rubrik penilaian. Hasil kerja kelompok dikumpulkan oleh

guru.

• Beritugaskepadasiswasebagailatihandirumah.Gurudapatmemerintahkansiswamengerjakansoal-soalpadaUjiKompetensi4.1atau soal-soal lainnya sesuai dengan konsep yang dipelajari.

• Informasikanmateriyangakandipelajaripadapertemuanberikutnya.

4.2 Menemukan Konsep Refleksi (Pencerminan)





pembelajaran.

3. Siapkan semua fasilitas yang mendukung selama proses pembelajaran

4. Siapkan RPP dan form penilaian.




1. Motivasisiswamempelajarikonseprefleksi(pencerminan).2. Ingatkan kembali siswa materi pencerminan di tingkat SMP/MTs.

3. Informasikankepadasiswabahwakonseprefleksi(pencerminan)ini dikaji dengan pendekatan koordinat dan hubungannya dengan

konsep matriks.

2. Kegiatan IntiAyo Menalar

• Berikanilustrasiyangmenanamkankonseppencerminankepadasiswa.Arahkan siswa memahami sifat ”jarak objek terhadap cermin samadengan jarak bayangan terhadap cermin”. Informasikan cermin yangdimaksud adalah cermin datar.

• Informasikan bahwa konsep pencerminan yang dipelajari adalah pen-cerminandenganpendekatankoordinat.Cerminpadabidangkoordinatadalah titik O(0, 0), sumbu x, sumbu y, garis y = x dan garis y = –x.

Ayo Mengamati

Masalah 4.3

• Minta siswa berdiskusi secara berpasangan atau berkelompok tentangMasalah4.3.MintasiswamengamatiGambar4.4.

• Arahkan siswa fokusberdiskusi pada jarak, bentukdanukuran antaraobjekdanbayangannyaolehpencerminanpadaGambar4.4.

Ayo mengomunikasikan

• MintasiswamemberipendapatnyatentangMasalah4.3danGambar4.4.

• Gurudapatmemberikanmediaataugambarlainnyapadabidangkoordinat untuk memperkuat pemahaman akan konsep pencerminan.

• Gurubersama-samadengansiswamembangunsifatpencerminan.

Sifat 4.2:

Bangun yang dicerminkan (refleksi) dengan cermin datar tidakmengalami perubahan bentuk dan ukuran. Jarak bangun dengan

cermin (cermin datar) adalah sama dengan jarak bayangan dengan

cermin tersebut.

83MATEMATIKA

4.2.1 Pencerminan terhadap Titik O(0,0)

Ayo Mengamati

• Minta siswamembaca danmemahamiGambar 4.5. Pandu siswame-mahami pencerminan terhadap titik O(0, 0) melalui gambar tersebut.

• Arahkansiswamemperhatikankoordinatobjekdanbayangannyaolehpencerminan terhadap titik O(0,0)padaGambar4.5,kemudianmintasiswa melengkapi Tabel 4.2.

• Tabel4.2telahterisisebagaiberikut.Tabel 4.2: Koordinat Pencerminan Titik terhadap Titik O(0, 0)

Titik Bayangan

A(6, 3) A′(–6, –3)

B(–2, 2) B′(2, –2)

C(7, –2) C′(–7, 2)

D(1, –3) D′(–1, 3)

E(2, 3) E′(–2, –3)

Ayo menalar

• Pandusiswamemanfaatkantitik-titikkoordinatobjekdanbayangannyapada Tabel 4.2 untuk menemukan matriks pencerminan terhadap cermin

titik O(0, 0).

• Demonstrasikan kembali kepada siswa proses menemukan matrikspencerminan terhadap titik O(0, 0) seperti pada buku siswa. Ingatkan

siswa kembali tentang materi perkalian dan kesamaan dua matriks.

• Guru dan siswa bersama-sama membangun konsep pencerminan ter-hadap titik O(0, 0).

Titik A(x, y) dicerminkan terhadap titik O(0, 0) menghasilkan

bayangan A′(x′,y′),ditulisdengan:

)','('),( )0,0( yxAyxA OC atau

yx

yx

1001

''

Ayo mencoba

• Demonstrasikan penyelesaian Contoh 4.3 dan Contoh 4.4 denganmeng gunakan matriks pencerminan terhadap titik O(0, 0) yang telah

ditemukan.


• Mintasiswamenggambarpencerminantersebutpadabidangkoordinatkartesius.

• Untukmemperdalampemahamansiswatentangpencerminanterhadaptitik O(0, 0), minta siswa mengerjakan Latihan 4.2 berdasarkan langkah-

langkah yang telah disediakan.

• BerikutadalahalternatifpenyelesaianLatihan4.2sesuaibukusiswa.Ayo menalar

Latihan 4.2

Titik A(2, –3) ditranslasikan dengan T(–4, –5) kemudian dicerminkan ter-

hadap titik O. Tentukan bayangan titik A tersebut.

Alternatif Penyelesaian:

)'',''('')','(')3,2( )0,0()5,4( yxAyxAA OCT

Langkah 1 (Proses Translasi)

82

32

54

''

yx

Langkah2(ProsesRefleksi)

82

82

1001

''

1001

''''

yx

yx

Jadi, koordinat bayangan titik A adalah A"(2, 8).

4.2.2 Pencerminan terhadap Sumbu x

Ayo Mengamati

• Minta siswa membaca dan memahami Gambar 4.6. Pandu siswamemahamipencerminanterhadapsumbuxmelaluiGambar4.6.

• Arahkansiswamemperhatikankoordinatobjekdanbayangannyaolehpencerminan terhadap sumbu x, kemudian siswa melengkapi Tabel 4.3.

• Tabel4.3telahterisisebagaiberikut.Tabel 4.3: Koordinat Pencerminan Titik terhadap Sumbu x

Titik Bayangan

A(1,1) A′(1, –1)

B(3,2) B′(3, –2)

C(6,3) C′(6, –3)

D(–2, –2) D′(–2,2)

E(–4,4) E′(–4,–4)

F(–7, –5) F′(–7,5)

85MATEMATIKA

Ayo Menalar

• PandusiswamemanfaatkantitikkoordinatobjekdanbayangannyapadaTabel 4.3 untuk menemukan matriks pencerminan terhadap sumbu x.

Minta siswa mendemonstrasikan kembali proses menemukan matriks

pencerminan terhadap cermin sumbu x tersebut.

• Gurudengansiswabersama-samamembangunkonseppencerminanterhadap sumbu x.

Titik A(x, y) dicerminkan terhadap sumbu x menghasilkan bayangan

A′(x′,y′),ditulisdengan:

)','('),( yxAyxA xsumbuC atau

yx

yx

1001

''

Ayo Menalar

• DemonstrasikanprosespenyelesaianContoh4.5danContoh4.6dengan menggunakan konsep yang telah ditemukan.


• Ingatkansiswakembalikonseppersamaangarisdansketsanya.Ayo Mengomunikasikan

• Untukmemperdalampemahamansiswatentangpencerminanterhadapsumbu x, minta siswa mengerjakan Latihan 4.3 berdasarkan langkah-

langkah yang disediakan.

• Perintahkansiswamenyajikanjawabannyadidepankelas.• BerikutadalahalternatifpenyelesaianLatihan4.3sesuaibukusiswa.Ayo Menalar

Latihan 4.3

Titik A(–2, –5) dicerminkan terhadap titik O(0, 0) kemudian dilanjutkan

dengan pencerminan terhadap sumbu x. Tentukan bayangan titik A tersebut.

Alternatif Penyelesaian

)'',''('')','(')5,2( )0,0( yxAyxAA xsumbuCOC

Langkah1(ProsesRefleksiterhadaptitikO(0,0))

52

52

1001

''

yx


Langkah2(ProsesRefleksiterhadapsumbux)

52

52

1001

''

1001

''''

yx

yx

Jadi, bayangan titik A adalah A"(2, –5).

4.2.3 Pencerminan terhadap Sumbu y

Ayo Mengamati

• MintasiswamembacadanmemahamiGambar4.7danmemandusiswamemahami pencerminan terhadap sumbu ymelaluiGambar4.7.

• Arahkansiswamemperhatikankoordinatobjekdanbayangannyaolehpencerminan terhadap sumbu y, kemudian siswa melengkapi Tabel 4.4.

• Tabel4.4telahterisisebagaiberikut.Tabel 4.4: Koordinat Pencerminan Titik terhadap Sumbu y

Titik Bayangan

A(–10, –5) A′(10, –5)

B(–8, –3) B′(8, –3)

C(–6, –1) C′(6, –1)

D(4, 1) D′(–4, 1)

E(2, 3) E′(–2, 3)

F(1, 4) F′(–1, 4)

Ayo Menalar

• Pandu siswa memanfaatkan koordinat objek dan bayangannya padaTabel 4.4 untuk menemukan matriks pencerminan terhadap sumbu y.

• Berdasarkanpemahamansiswadalammenemukanmatrikspencerminanterhadap titik O(0, 0) dan sumbu x maka minta siswa mendemonstrasikan

proses menemukan matriks pencerminan terhadap sumbu y dengan

panduan pada buku siswa.

• Berikutprosesmenemukanmatrikspencerminanterhadapsumbuy.

Menemukan Matriks Pencerminan terhadap Sumbu y

Berdasarkan pengamatan pada tabel, secara umum jika titik A(x, y) di-

cerminkan terhadap sumbu y akan mempunyai koordinat bayangan A′(–x, y),

bukan? Mari kita tentukan matriks pencerminan terhadap sumbu y.

Misalkan matriks transformasinya adalah

dcba

C sehingga:

87MATEMATIKA

),('),( yxAyxA ysumbuC

dycxbyax

yx

dcba

yx

dycxbyax

yx

dcba

yx

dy cxby ax

yx

d cb a

yxax + by

cx + dy

Ini berarti bahwa:

–x = ax + by ⇔ a = – 1, dan b = 0

y = cx + dy ⇔ c = 0, dan d = 1

Dengan demikian, matriks pencerminan terhadap sumbu y adalah

1001

• Gurudansiswabersama-samamembangunkonseppencerminanterhadap sumbu y.

Titik A(x, y) dicerminkan terhadap sumbu y menghasilkan bayangan

A′(x′, y′), ditulis dengan,

)','('),( yxAyxA ysumbuC atau

yx

yx

1001

''

Ayo Mencoba

• DemonstrasikanpenyelesaianContoh4.7danContoh4.8denganmeng-gunakan konsep yang telah ditemukan.


• Ingatkansiswakonseppersamaangarisdansketsanya.• Untukmemperdalampemahamansiswatentangpencerminanterhadap

sumbu y, minta siswa mengerjakan Latihan 4.4.


• Perintahkansiswamenyajikanhasilkerjanyadidepankelas.• BerikutadalahalternatifpenyelesaianLatihan4.4sesuaibukusiswa.Ayo Menalar

Latihan 4.4

Garis2x – y + 5 = 0 dicerminkan terhadap titik O(0, 0), kemudian dilanjutkan

dengan pencerminan terhadap sumbu y. Tentukan persamaan bayangan garis

tersebut.



Misalkan titik A(x,y) terletak pada garis tersebut, sehingga:

)'',''('')','('),( )0,0( yxAyxAyxA ysumbuCOC

Langkah 1 (Proses pencerminan terhadap titik O(0,0))

yx

yx

yx

1001

''

Langkah 2 (Proses pencerminan terhadap sumbu y)

yx

yx

yx

yx

1001

''

1001

''''

sehingga:

x″ = x dan y″ = –yLangkah 4 (Proses menentukan persamaan bayangan)

Tentukan x dan y dalam bentuk x′′ dan y′′x″ = x dan y″ = –yLangkah 5 (Proses menentukan persamaan bayangan)

Substitusi x dan y ke 2x – y + 5 = 0 sehingga diperoleh persamaan

bayangan.

2(x) – (–y) + 5 = 0 atau 2x + y + 5 = 0

4.2.4 Pencerminan terhadap Garis y = x

Ayo Mengamati

• MintasiswamembacadanmemahamiGambar4.8.Pandusiswamemahami pencerminan terhadap sumbu y = xmelaluiGambar4.8.

• Mintasiswamemperhatikankoordinatobjekdanbayangannyaolehpencerminan terhadap garis y = xpadaGambar4.8,kemudianmintasiswa melengkapi Tabel 4.5.

• Tabel4.5telahterisisebagaiberikut!Tabel4.5:KoordinatPencerminanTitikterhadapGarisy = x

Titik Bayangan

A(–1, –5) A′(–5, –1)

B(3, –5) B′(–5, 3)

C(–2, 3) C′(3, –2)

D(0, 4) D′(4, 0)

E(2, 4) E′(4, 2)

89MATEMATIKA

Ayo Menalar

• PandusiswamemanfaatkantitikkoordinatobjekdanbayangannyapadaTabel 4.5 untuk menemukan matriks pencerminan terhadap garis y = x.

• Perintahkan siswa mendemonstrasikan kembali proses menemukanmatriks pencerminan terhadap garis y = x dengan cara yang sama pada

konsep-konseppencerminandiatas.Gurudengansiswabersama-samamembangun konsep pencerminan terhadap garis y = x.

Titik A(x, y) dicerminkan terhadap garis y = x menghasilkan

bayangan A′(x′, y′), ditulis dengan:

)','('),( yxAyxA xyC atau

yx

yx

0110

''

Ayo Mencoba

• DemonstrasikanpenyelesaianContoh4.9danContoh4.10denganmenggunakan konsep yang telah ditemukan. Minta siswa menggambar

pencerminan pada bidang koordinat kartesius.

• Ingatkansiswakonseppersamaangarisdansketsanya.

• Untukmemperdalampemahamansiswatentangpencerminanterhadapgaris y = x, minta siswa mengerjakan Latihan 4.5 berdasarkan langkah-

langkah yang telah disediakan.

• BerikutalternatifpenyelesaianLatihan4.5sesuaibukusiswa.Ayo Menalar

Latihan 4.5

Titik A(–1, –3) dicerminkan terhadap titik O(0, 0) kemudian dilanjutkan

dengan pencerminan terhadap sumbu y dan dilanjutkan lagi dengan

pencerminan terhadap garis y = x. Tentukan bayangan titik A tersebut.


)''','''(''')'',''('')','(')3,1( )0,0( yxAyxAyxAA xyCysumbuCOC

Langkah 1 (Proses pencerminan terhadap titik O(0, 0))

31

31

1001

''

yx


Langkah 2 (Proses pencerminan terhadap sumbu y)

31

31

1001

''

1001

''''

yx

yx

Langkah 3 (Proses pencerminan terhadap garis y = x)

13

31

0110

''''

0110

''''''

yx

yx

Jadi, bayangan titik A adalah A′′(3,-1).

4.2.5 Pencerminan terhadap Garis y = –x

Ayo Mengamati

• MintasiswamembacadanmemahamiGambar4.9danmemandusiswamemahami pencerminan terhadap sumbu y = –xmelaluiGambar4.9.

• Arahkansiswauntukmemperhatikankoordinatobjekdanbayangannyaoleh pencerminan terhadap garis y = –x, kemudian minta siswa

melengkapi Tabel 4.6.

• Tabel4.6telahterisisebagaiberikut.Tabel4.6:KoordinatPencerminanTitikterhadapGarisy = –x

Titik Bayangan

A(1, –4) A′(4, –1)

B(–2, –3) B′(3, 2)

C(–5, –3) C′(3, 5)

D(–1, 5) D′(–5, 1)

E(–3, 5) E′(–5, 3)

Ayo Menalar

• PandusiswamemanfaatkantitikkoordinatobjekdanbayangannyapadaTabel 4.6 untuk menemukan matriks pencerminan terhadap garis y = –x.

• Minta siswa mendemonstrasikan kembali proses menemukan matrikspencerminan terhadap garis y = –x sesuai dengan langkah-langkah

yang telah diberikan atau dengan cara yang sama pada pencerminan

sebelumnya.

• Demonstrasikanprosesmenemukanmatrikspencerminanterhadapgarisy = –x.

91MATEMATIKA

Ayo Menalar

Menemukan Matriks Pencerminan terhadap Garis y = –x.

Berdasarkan pengamatan pada tabel, secara umum, jika titik A(x, y) di-

cerminkan terhadap garis y = –x akan mempunyai koordinat bayangan

A′(–y,–x), bukan? Mari kita tentukan matriks pencerminan terhadap garis

y = –x. Misalkan matriks transformasinya adalah dcba

C sehingga:

),('),( xyAyxA xyC

dycxbyax

yx

dcba

xy

dycxbyax

yx

dcba

yx

dy cxby ax

yx

d cb a

yxax + by

cx + dy

Ini berarti bahwa:

–y = ax + by ⇔ a = 0, dan b = –1

–x = cx + dy ⇔ c = –1, dan d = 0

Dengan demikian, matriks pencerminan terhadap garis y = –x adalah

0110

• Guru dan siswa bersama-sama membangun konsep pencerminan ter-hadap garis y = –x

Titik A(x,y) dicerminkan terhadap garis y = –x menghasilkan

bayangan A′(x′,y′), ditulis dengan,

)','('),( yxAyxA xyC atau

yx

yx

0110

''

]

Ayo Mencoba

• Demonstrasikan penyelesaian Contoh 4.11 dan Contoh 4.12 denganmenggunakan konsep yang telah ditemukan.

• Mintasiswamenggambarpencerminantersebutpadabidangkoordinatkartesius. Ingatkan siswa konsep persamaan garis dan sketsanya.

3. Kegiatan Penutup• Minta siswa mengomunikasikan kembali konsep-konsep pada materi

yang telah dipelajari.

• Siswadangurubersama-samamelakukanrefleksidanmerangkumkansemua konsep dan sifat transformasi dari yang dipelajari.


• Berikanpenilaianterhadapprosesdanhasilkaryasiswadenganmenggunakan rubrik penilaian. Hasil kerja kelompok dikumpulkan oleh

guru.

• Beritugaskepadasiswasebagailatihandirumah.GurudapatmemberikanUjiKompetensi4.1ataupersoalanlainnyasesuaidengankonsep yang dipelajari.


4.3 Menemukan Konsep Rotasi (Perputaran)





pembelajaran.





1. Motivasi siswa mempelajari konsep rotasi (perkalian).

2. Ingatkan kembali siswa materi rotasi di tingkat SMP/MTs dan

konsep matriks.

3. Informasikan kepada siswa bahwa konsep rotasi (perkalian) ini

dikaji dengan pendekatan koordinat dan hubungannya dengan

konsep matriks.

4. Informasikan tujuan pembelajaran dan cara penilaian.

2. Kegiatan IntiPengantar

• Gurumemberikancontoh-contohobjekyangbergerakberputardilingkungan sekitar (seperti kipas, kincir angin, roda, dan lain-lain).

Siswa memberikan contoh-contoh lainnya.

93MATEMATIKA

• Motivasisiswauntukmempelajarikonseptransformasiketigayaiturotasidengan pendekatan koordinat dan kaitannya dengan konsep matriks.

Masalah 4.4

Ayo Mengamati

• Minta siswamemahamiMasalah 4.4 danmemandu siswamengamatidan menalar perputaran segitiga jika titik pusat pemutaran berada pada

bidang segitiga, berada di salah satu titik sudut segitiga, dan berada di

luarsegitiga(lihatGambar4.10).Mintasiswamemberikomentardanarahkan ke sesi tanya-jawab.

• Pandusiswabahwagerakrotasiobjekdipengaruhiolehtitikpusatrotasi.MintasiswamembandingkankembaliGambar4.10:A,B,danC.

• Arahkanpengamatansiswafokuspadabentuk,posisi,danukuranobjeksebelum dan sesudah rotasi.

• Guru dan siswa menemukan sifat rotasi berdasarkan pengamatanperputaran objek di lingkungan sekitar dan pada bidang kartesius seperti

padaGambar4.10danGambar4.11.

Sifat 4.3:

Bangun yang diputar (rotasi) tidak mengalami perubahan bentuk

dan ukuran.

Ayo Menalar

• Demonstrasikan proses menemukan matriks rotasi pada pusat O(0, 0)

melaluiGambar4.12.Ingatkansiswakonseptrigonometrisertakesamaanmatriks.

• Pandusiswakembalimelakukanpercobaanuntukmenemukankonseprotasi pada pusat P(a, b) dengan melakukan: (1) translasi titik dengan

T(–a, –b) sehingga pusat rotasi menjadi O(0, 0). Dengan demikian,

matriks rotasi dengan pusat O(0, 0) dapat digunakan, kemudian (2) hasil

rotasi pada langkah (1) ditranslasi kembali dengan T(a, b).

• Gurudansiswabersama-samamenyimpulkanataumembangunkonseprotasi yang diputar dengan sudut dan pusat P(p, q).


Titik A(x, y) diputar dengan pusat P(p, q) dan sudut a menghasilkan

bayangan A′(x′, y′), ditulis dengan:

( , ),( , ) '( ', ')P p qRA x y A x y

qp

qypx

yx

cossinsincos

''

Ayo Mencoba

• UjipemahamansiswakembalidenganmengajukanContoh4.13danContoh4.14.Mintasiswakembalimendemonstrasikanprosesdanmenjelaskannya di depan kelas.

• Gurumemberikanpersoalanlainnyasesuaikonsepyangdipelajariuntuk dikerjakan siswa secara berkelompok.

3. Kegiatan Penutup• Mintasiswauntukmengomunikasikankonsep-konsepmateriyangtelah

diketahui setelah pembelajaran.

• Siswadangurubersama-samamelakukanrefleksidanmerangkumkansemua konsep dan sifat dari yang dipelajari.

• Berikanpenilaianterhadapprosesdanhasilkaryasiswadenganmeng-gunakan rubrik penilaian.

• Beritugaskepadasiswasebagailatihandirumah.GurudapatmemberikanUjiKompetensi4.2ataupersoalanlainnyasesuaikonsepyangdipelajari.


4.4 Menemukan Konsep Dilatasi (Perkalian)





pembelajaran.



95MATEMATIKA



1. Motivasi siswa mempelajari konsep dilatasi (perkalian).

2. Ingatkan kembali siswa materi dilatasi di tingkat SMP/MTs.

3. Informasikan kepada siswa bahwa konsep dilatasi (perkalian) ini

dikaji dengan pendekatan koordinat dan hubungannya dengan

konsep matriks.


2. Kegiatan IntiPengantar

• Pandu siswa memberikan contoh dilatasi atau perkalian yang terjadidalamkehidupansehari-hari.Arahkansiswamemahamiperkalianataudilatasi dengan pendekatan koordinat.

Masalah 4.5

Ayo Mencoba

• Dengankelompokberdiskusi,siswadiajakmengamati,tanya-jawab,danmengomunikasikan pendapatnya akan Masalah 4.5.

• Minta siswa memahami Masalah 4.5 dan mengamati Gambar 4.13.Arahkansiswa fokusmengamatipada jarakOA dengan OA2 atau OB

dengan OB2 atau OC dengan OC2.Arahkansiswakembalimengamatijarak OA dengan OA1 atau OB dengan OB1 atau OC dengan OC1.


• Berikankesempatankepadasiswauntukberdiskusidantunjuksalahsatukelompokuntukmengomunikasikanpendapatmereka“apaitudilatasi?”melaluipengamatanjarakpadaGambar4.13.

• Mintasiswasecaraberkelompokmembuatcontohlainmengenaidilatasititik, garis dan bidang secara gambar. Kemudian menyajikannya di depan

kelas.

Ayo Menanya

• Tanyasiswa,yangmanakahpusatdilatasidanfaktorskaladilatasipadaGambar4.13?

• Arahkankembalisiswakonsentrasipadaukuranobjekdengandilatasinya.Minta siswa memperhatikan ukuran, ukuran dilatasinya dengan faktor

skala dilatasi.


• Mintaatautunjukseorangsiswauntukmenyampaikanpendapatnya.Ayo Menalar

• Arahkanbernalardanmemberikankomentarataupendapatnyakembaliakan gambar dengan dilatasi k, di mana k > 0, k = 0 dan k < 0.

• Dengankegiatanpengamatanpadacontoh-contohperkalian/dilatasidi lingkungan sekitar dan pengamatan dilatasi objek pada bidang

koordinat maka arahkan siswa memahami Sifat 4.4.

Sifat 4.4:

Bangun yang diperbesar atau diperkecil (dilatasi) dengan skala

k dapat mengubah ukuran atau tetap ukurannya tetapi tidak

mengubah bentuk.

• Jikak > 1 maka bangun akan diperbesar dan terletak searah

terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.

• Jikak = 1 maka bangun tidak mengalami perubahan ukuran

dan letak.

• Jika0<k < 1 maka bangun akan diperkecil dan terletak

searah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.

• Jika–1<k < 0 maka bangun akan diperkecil dan terletak

berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun

semula.

• Jikak = –1 maka bangun tidak akan mengalami perubahan

ukuran, tetapi letaknya berlawanan arah terhadap pusat

dilatasi dengan bangun semula.

• Jikak < –1 maka bangun akan diperbesar dan terletak

berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun

semula.

Ayo Mengamati

• ArahkankembalisiswamengamatiGambar4.14dengankonsentrasipadapusatdilatasisetiapobjek(A,B,C,DdanE)?

• Mintasiswamengamatikoordinatobjektersebut,koordinathasildilatasi, koordinat pusat dilatasi serta jarak objek ke pusat dilatasi dan

jarak hasil dilatasi ke pusat dilatasi.

• PerintahkansiswamelengkapiTabel4.7denganmelihatpanduanpadasel yang telah terisi. Pandu siswa melengkapi sel.

97MATEMATIKA

• Tabel4.7telahterisisebagaiberikut.Ayo Mencoba

No. Pusat Obyek Hasil Pola1 2 3 4 5

1 P(0, 0) A(2, 2) A′(6, 6)

00

00

22

366

2 P(0, 0) B(–2, 2) B′(2, –2)

00

00

22

12

2

3 P(9, 0) C(9, 2) C′(9, –4)

09

09

29

24

9

4 P(–10, 1) D(–8, 2) D′(–2, 5) 2 8 10 104

5 2 1 1

5 P(–8, –3) E(–7, –3) E(–3, –3)

38

38

37

533

Ayo Mengamati

• ArahkandanpandusiswamelihatpolaperhitunganpadaTabel4.7.Lihatkolom 5.

• Berdasarkan pengamatan dan bentuk pola yang ditemukan, guru dansiswa menuliskan konsep dilatasi pada pusat P(p,q) dan skala k.

Titik A(x, y) didilatasi dengan pusat P(p, q) dan skala k menghasilkan

bayangan A′(x′, y′), ditulis dengan,

( , ),( , ) '( ', ')P p q kRA x y A x y

qp

qypx

kyx''

Ayo Menalar

• UjipemahamansiswakembaliakankonsepdilatasidenganmengajukanContoh4.15danContoh4.16.Mintasiswamendemonstrasikanprosesdan menunjukkan gambarnya.


3. Kegiatan Penutup• Minta siswa mengomunikasikan kembali konsep-konsep materi yang

telah diketahui setelah pembelajaran.

• Siswadangurubersama-samamelakukanrefleksidanmerangkumkansemua konsep dan sifat transformasi dari yang dipelajari.

• Berikan penilaian terhadap proses dan hasil karya siswa denganmenggunakan rubrik penilaian. Hasil kerja kelompok dikumpulkan oleh

guru.

• Beritugaskepadasiswasebagailatihandirumah.• Informasikanmateriyangakandipelajaripadapertemuanberikutnya.

4.5 Komposisi Transformasi





pembelajaran.





1. Motivasi siswa mempelajari konsep komposisi transformasi

meliputikompisisitranslasi,komposisirefleksi,komposisirotasi,dan komposisi dilatasi.

2. Ingatkankembalisiswamateritransformasi(translasi,refleksi,rotasi dan dilatasi) pada sub-bab sebelumnya dan konsep fungsi

komposisi di kelas X.

3. Informasikan kepada siswa bahwa konsep ini dikaji dengan

pendekatan koordinat dan hubungannya dengan konsep matriks.


99MATEMATIKA

2. Kegiatan IntiAyo Mengamati

• Gurumengingatkankembalikonsep-konseptransformasi(translasi,refleksi,rotasidandilatasi)secaraumum.

• GurumendemonstrasikanprosespenyelesaianpadaMasalah4.6sehingga siswa memahami proses transformasi bertahap.

• Setelahsiswamemahamiprosesbertahap,gurumenerangkankomposisi translasi dengan menunjukkan keterkaitannya dengan

komposisi fungsi secara umum.

• ArahkansiswamemahamiSkema4.1.• Motivasisiswauntuklebihmemahamikonsepkomposisitranslasi

secara umum.

• GurumenerangkanprosespenyelesaianContoh4.17danmenunjukkanketerkaitan konsep komposisi translasi.

• MintasiswamenunjukkanContoh4.17dengangambarpadabidangkoordinat kartesius.

Ayo Mencoba dan Mengomunikasikan

• Gurumemberikancontohkomposisitranslasilainnyauntukdikerjakan siswa secara mandiri atau berkelompok. Hasil kerja siswa

dipresentasikandidepankelas.Arahkansiswauntukbertanya-jawab.• Gurumenjadifasilitator,memantaukebenaranjawabandankonsep

serta memberikan penilaian.

Masalah 4.7

Ayo Mengamati

• MintasiswamemahamiMasalah4.7danmemandusiswamengamatidan menalar bentuk pencerminan yang diceritakan pada Masalah 4.7.

Minta siswa memberi komentar dan arahkan ke sesi tanya-jawab.

• Pandusiswamemahamikonsepkomposisirefleksisecaraumum.Informasikan bahwa konsep ini sama halnya dengan komposisi fungsi

pada umumnya atau konsep komposisi translasi.

• Arahkansiswamemahamiperbedaankomposisitranslasidengankomposisirefleksi.Mintasiswamemberikankomentartentangperbedaan kedua komposisi transformasi.

• Arahkansiswafokuspadaprosesrefleksibertahapsehinggaterbentukkomposisirefleksi.

• Gurudansiswabersama-samamenemukankonsepkomposisirefleksi.Minta siswa memberikan pendapat tentang Skema 4.2.


Ayo Menalar, Mencoba dan Mengomunikasikan

• Pandusiswamemahamikonsepkomposisirefleksisecaraumum.• MintasiswamemahamiContoh4.17kemudiangurumemberikanper-

soalan lainnya untuk dikerjakan siswa secara mandiri atau berkelompok.

• Siswamempresentasikanhasilkerjanyadidepankelas.Arahkansiswauntukbertanya-jawab.Gurumenjadifasilitatordanmenjagakeadaankelastetapterarahpadapembelajaran.Gurumengamatikebenaranjawabandankonsep.Gurumelakukanpenilaian.

Ayo Mengamati

• Berikan informasi kepada siswa kembali tentang translasi bertahap,refleksibertahap,danketerkaitannyadengankomposisinya.

• Berikan beberapa persoalan yang berkaitan dengan rotasi bertahap dan

dilatasi bertahap sederhana dengan pusat rotasi atau pusat dilatasi yang

sama.

Ayo Mencoba dan mengomunikasikan

• Mintasiswamencobamengerjakanpersoalanrotasibertahapdandilatasi bertahap serta mempresentasikan hasil kerjanya di depan kelas.

Gurumemantaukebenaranjawaban.Ayo Mengamati

• GurumendemonstrasikanprosespenyelesaianContoh4.18,danContoh4.19.

• Gurumemberikancontohpersoalanlainnyauntukdikerjakansiswa,• Mintasiswakembalimendemonstrasikanprosesdanmenjelaskannya

prosespenyelesaianContoh4.20danContoh4.21didepankelas.• Gurumemberikanpersoalanlainnyasesuaikonsepyangdipelajari

untuk dikerjakan siswa secara berkelompok.

3. Kegiatan Penutup• Mintasiswauntukmengomunikasikankonsep-konsepmateriyangtelah

diketahui setelah pembelajaran.

• Siswadangurubersama-samamelakukanrefleksidanmerangkumkansemua konsep yang dipelajari.

• Berikanpenilaianterhadapproses,danhasilkaryasiswadenganmeng-gunakan rubrik penilaian.

• Beritugaskepadasiswasebagailatihandirumah.• Beritugaskepadasiswasebagailatihandirumah.Gurudapatmemberikan

UjiKompetensi4.3ataupersoalanlainnyasesuaikonsepyangdipelajari.• Informasikanmateriyangakandipelajaripadapertemuanberikutnya.

101MATEMATIKA

F. Penilaian

Prosedur Penilaian:

No Aspek yang dinilai Teknik Penilaian Waktu Penilaian1. Berani bertanya Pengamatan Kegiatan Inti

2. Berpendapat Pengamatan Kegiatan Inti

3. Mau mendengarkan orang lain Pengamatan Kegiatan Inti

4. Bekerja sama Pengamatan Kegiatan Inti

5. Konsep Tes tertulis Kegiatan penutup

1 Instrumen Penilaian Sikap (Sikap Kinerja dalam Menyelesaikan Tugas Kelompok)

No. Nama Peserta Didik

Aspek

Jumlah NilaiKerja sama Keaktifan

Menghargai Pendapat

Teman

Tanggung Jawab

1.

2.

3.

4.

5.


awal perilaku sikap yang dinyatakan dalam indikator.

2 = (mulai terlihat), apabila peserta didik mulai memperlihatkan adanya tanda-

tanda awal perilaku yang dinyatakan dalam indikator tetapi belum konsisten.

3 = (mulai berkembang), apabila peserta didik sudah memperlihatkan tanda

perilaku yang dinyatakan dalam indikator dan mulai konsisten.

4 = (membudaya), apabila peserta didik terus-menerus memperlihatkan perilaku

yang dinyatakan dalam indikator secara konsisten.

Skor Maksimal = 16

Nilai = Skor Perolehan × 100%

Skor Maksimal


2. Instrumen Penilaian Pengetahuan Contohrubrikpenilaianhasilpenyelesaiansoalolehsiswa.Dengan

mempertimbangkan langkah-langkah penyelesaian soal yang dilakukan

oleh siswa terhadap soal-soal yang diajukan guru maka dapat disusun rubrik

penilaiannya.Alternatifpedomanpenskorannyasebagaiberikut.

No. Aspek Penilaian Rubrik Penilaian Skor

1.

Pemahaman

terhadap konsep

transformasi

Penyelesaian dihubungkan dengan

konsep transformasi

5

Sudah menghubungkan penyelesaian

dengan konsep transformasi namun

belum benar

3

Penyelesaian sama sekali tidak

dihubungkan dengan konsep

transformasi

1

Tidak ada respons jawaban 0

2.Kebenaran

jawaban akhir soal

Jawab benar 5

Jawab hampir benar 3

Jawaban Salah 1


3.Proses

perhitungan

Proses perhitungan benar 5

Proses perhitungan sebagian besar benar 3

Proses perhitungan sebagian kecil saja

yang benar

2

Proses perhitungan sama sekali salah 1


4. Membuat sketsa

Sketsa objek dan bayangan oleh

transformasi benar

5


transformasi benar tapi kurang lengkap

3


transformasi tidak benar

2

103MATEMATIKA


Tidak ada sketsa 0

Skor maksimal = 20

Skor minimal = 0

3. Instrumen Penilaian Pengetahuan (Penilaian kinerja dalam menyelesaikan tugas presentasi)

No.Nama

Peserta didik

AspekJumlah

Skor NilaiKomunikasi Sistematika

PenyampaianPenguasaan

Materi Keberanian Antusias

1.

2.

3.

4.

5.

6.


Keterangan Skor: Komunikasi:

1 = Tidak dapat berkomunikasi

2 = Komunikasi agak lancar, tetapi sulit dimengerti

3 = Komunikasi lancar tetapi kurang jelas dimengerti

4 = Komunikasi sangat lancar, benar, dan jelas

Wawasan:1 = Tidak menunjukkan pengetahuan/materi

2 = Sedikit memiliki pengetahuan/materi

3 = Memiliki pengetahuan/materi tetapi kurang luas

4 = Memiliki pengetahuan/materi yang luas

Antusias:1 = Tidak antusias

2 = Kurang antusias

3= Antusiastetapikurangkontrol4= Antusiasdanterkontrol


Sistematika Penyampaian:1 = Tidak sistematis

2 = Sistematis

3 = Sistematis, uraian cukup

4 = Sistematis, uraian luas, dan jelas

Keberanian:1 = Tidak ada keberanian

2 = Kurang berani

3 = Berani

4 = Sangat berani

Skor Maksimal = 20

Nilai = Skor Perolehan × 100%

Skor Maksimal

G. Pengayaan

Bentuk pembelajaran pengayaan adalah pemberian asesmen portofolio

tambahan yang memuat asesmen masalah autentik, proyek, keterampilan

proses, check up diri, dan asesmen kerja sama kelompok. Sebelum asesmen

ini dikembangkan terlebih dahulu dilakukan identifikasi kemampuan belajarberdasarkan jenis serta tingkat kelebihan belajar peserta didik. Misalnya, belajar

lebih cepat, menyimpan informasi lebih mudah, keingintahuan lebih tinggi,

berpikir mandiri, superior dan berpikir abstrak, dan memiliki banyak minat.

Pembelajaran pengayaan dapat dilaksanakan melalui belajar kelompok, belajar

mandiri, bimbingan khusus dari guru dan para ahli (mentor).

Materi pembahasan pada pembelajaran pengayaan bertumpu pada

pengembangan kompetensi dasar wajib tertera pada Kurikulum Matematika

2013, termasuk pengembangan kompetensi dasar peminatan. Materi pembahasan

dituangkan dalam asesmen masalah autentik, proyek, keterampilan proses,

check up diri, dan asesmen kerja sama kelompok. Keterampilan yang dibangun

melalui materi matematika yang dipelajari adalah kemampuan berpikir tingkat

tinggi (berpikir kreatif dan kritis) serta kemampuan adaptif terhadap perubahan,

penggunaan teknologi, dan membangun kerja sama antar siswa dan orang lain

yang lebih memahami masalah yang diajukan dalam asesmen.

105MATEMATIKA

H. Remedial Pembelajaran remedial membantu peserta didik yang mengalami kesulitan

dalam belajar. Pembelajaran remedial adalah tindakan perbaikan pembelajaran

bagi peserta didik yang belum mencapai kompetensi. Remedial bukan mengulang

tes (ulangan harian) dengan materi yang sama, tetapi guru memberikan perbaikan

pembelajaran pada KD yang belum dikuasai oleh peserta didik melalui upaya

tertentu.

Bentuk pembelajaran remedial tergantung pada jumlah peserta didik yang

mengalami kegagalan mencapai kompetensi dasar yang ditetapkan. Beberapa

alternatif bentuk pelaksanaan pembelajaran remedial di sekolah.

a. Jika jumlah peserta didik yang mengikuti remedial lebih dari 50%, maka

tindakan yang dilakukan adalah pemberian pembelajaran ulang dengan

model dan strategi pembelajaran yang lebih inovatif berbasis pada

berbagai kesulitan belajar yang dialami peserta didik yang berdampak pada

peningkatan kemampuan untuk mencapai kompetensi dasar tertentu.

b. Jika jumlah peserta didik yang mengikuti remedial lebih dari 20% tetapi

kurang dari 50%, maka tindakan yang dilakukan adalah pemberian tugas

terstruktur baik secara berkelompok dan tugas mandiri. Tugas yang diberikan

berbasis pada berbagai kesulitan belajar yang dialami peserta didik yang

berdampak pada peningkatan kemampuan untuk mencapai kompetensi

dasar tertentu.

c. Jika jumlah peserta didik yang mengikuti remedial maksimal 20%, maka

tindakan yang dilakukan adalah pemberian bimbingan secara khusus,

misalnya bimbingan perorangan oleh guru dan tutor sebaya.


I. Rangkuman

Setelah kita membahas materi transformasi, kita membuat kesimpulan sebagai

hasil pengamatan pada berbagai konsep dan aturan transformasi sebagai berikut:

1. Transformasiyangdikajiterdiridaritranslasi(pergeseran),refleksi(pencerminan),rotasi (perputaran) dan dilatasi (perkalian).

2. Matriks transformasi yang diperoleh adalah:

No. Transformasi Matrik Transformasi1. Translasi (a, b)

ba

2. RefleksiTitikO(0, 0)

1001

3. RefleksiSumbux

1001

4. RefleksiSumbuy

1001

5. Refleksigarisy = x

0110

6. Refleksigarisy = –x

0110

7. Rotasi[α,P(a, b)]

cossinsincos x a a

y b b

107MATEMATIKA

No. Transformasi Matrik Transformasi8. Dilatasi [k, P(a, b)]

ba

byax

kyx

''

3. Transformasi mempunai sifat-sifat sebagai berikut:

Translasi Bangun yang digeser (translasi) tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran.

Refleksi Bangun yang dicerminkan (refleksi) dengan cermin datar tidak mengalami

perubahan bentuk dan ukuran. Jarak bangun dengan cermin (cermin datar)

adalah sama dengan jarak bayangan dengan cermin tersebut.

Rotasi Bangun yang diputar (rotasi) tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran.

Dilatasi Bangun yang diperbesar atau diperkecil (dilatasi) dengan skala k dapat mengubah

ukuran atau tetap ukurannya tetapi tidak mengubah bentuk.

• Jikak > 1 maka bangun akan diperbesar dan terletak searah terhadap pusat

dilatasi dengan bangun semula.

• Jikak = 1 maka bangun tidak mengalami perubahan ukuran dan letak.

• Jika0<k < 1 maka bangun akan diperkecil dan terletak searah terhadap

pusat dilatasi dengan bangun semula.

• Jika–1<k < 0 maka bangun akan diperkecil dan terletak berlawanan arah


• Jika k = –1 maka bangun tidak akan mengalami perubahan bentuk dan

ukuran dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun

semula.

• Jika k < –1 maka bangun akan diperbesar dan terletak berlawanan arah



Selanjutnya, kita akan membahas tentang materi barisan dan deret. Materi

prasyarat yang harus kamu kuasai adalah himpunan, fungsi, dan operasi hitung

bilangan. Hal ini sangat berguna dalam penentuan fungsi dari barisan tersebut. Semua

apa yang kamu sudah pelajari sangat berguna untuk melanjutkan bahasan berikutnya

dan seluruh konsep dan aturan-aturan matematika dibangun dari situasi nyata dan

diterapkan dalam pemecahan masalah kehidupan.

109MATEMATIKA

A. Kompetensi Inti

Sikap


2. Menghayati dan mengamalkan perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab,

peduli (gotong royong, kerja sama, toleran, damai), santun, responsif

dan pro-aktif dan menunjukkan sikap sebagai bagian dari solusi atas

berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara efektif dengan ling-

kungan sosial dan alam serta dalam menempatkan diri sebagai cermi-

nan bangsa dalam pergaulan dunia.

Pengetahuan

3. Memahami, menerapkan, menganalisis pengetahuan faktual, konseptu-

al, prosedural berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan,

teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan,

kebangsaan, kenegaraan, dan peradab-an terkait penyebab fenomena

dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang

kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan inatnya untuk e e ah-

kan masalah.

Keterampilan4. Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak

terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara

mandiri, dan mampu menggunakan metode sesuai kaidah keilmuan.

Barisan

BAB

5



Indikator Pencapaian Kompetensi pada kegiatan pembelajaran dapat dikembangkan oleh guru yang disesuaikan dari kondisi peserta didik dan lingkungan di tempat guru mengajar. Berikut ini dipaparkan contoh Indikator Pencapaian Kompetensi yang dapat dijabarkan dari KD pengetahuan 3.8 dan KD Keterampilan 4.8.

No. Kompetensi Dasar Indikator Pencapaian Kompetensi1. 3.6 Menggeneralisasi pola

bilangan dan jumlah pada barisan Aritmetika dan Geometri.

3.6.1 Mendefiniskanbarisan3.6.2 Menyatakan pola

2. 4.6 Menggunakan pola barisan aritmetika atau geometri untuk menyajikan dan menyelesaikan masalah kontekstual (termasuk pertumbuhan, peluruhan, bunga majemuk, dan anuitas)

4.6.1 Menyajikan model matematika dari suatu masalah nyata yang berkaitan dengan barisan.

4.6.2 Masalah kontektual berkaitan dengan pertumbuhan, peluruhan, bunga majemuk, dan anuitas.


Pembelajaran materi barisan melalui pengamatan, tanya jawab, penugasan individu dan kelompok, diskusi kelompok, dan penemuan (dicovery) diharap-kan siswa dapat:1. Melatih sikap sosial berani bertanya, berpendapat, mau mendengar orang

lain, bekerja sama dalam diskusi di kelompok sehingga terbiasa berani bertanya, berpendapat, mau mendengar orang lain, bekerja sama dalam aktivitas sehari-hari

2. Menunjukkan ingin tahu selama mengikuti proses pembelajaran3. Bertanggung jawab terhadap kelompoknya dalam menyelesaikan tugasnya4. Menjelaskan pengertian barisan

111MATEMATIKA

5. Menjelaskan dengan kata-kata dan menyatakan masalah dalam sehari-hari yang berkaitan dengan barisan

6. Menunjukkan pola barisan 7. Menyajikan model matematika berdasarkan masalah nyata berkaitan

dengan barisan


D. Diagram Alir

Masalah

Autentik

Suku

awal

Suku

awal

Barisan

Aritmatika

Deret

Aritmetika

Jumlah n suku

pertama

Barisan

Geometri

Deret

Geometri

Jumlah n suku

pertama

Beda Rasio

Suku

ke-nSuku

ke-n

Barisan

Bilangan

Fungsi

Syarat

Materi

prasyarat

U

n

s

u

r

U

n

s

u

r

113MATEMATIKA


5.1, 5.2 Membangun Konsep Barisan dan Barisan Aritmatika

Sebelum Pelaksanaan Kegiatan Siswa diharapkan sudah membawa perlengkapan alat-alat tulis untuk

pembelajaran. Bentuklah kelompok kecil siswa yang memungkinkan belajar secara efektifdanefisien.

Sediakan tabel-tabel yang diperlukan bagi siswa untuk mengisikan hasil kerjanya pada tiap kegiatan yang dilaksanakan.


• Pembelajaran dimulai dengan salam dan doa• Apersepsi

1. Para siswa diperkenalkan dengan informasi berbagai bentuk baik susunan benda dan susunan angka.

2. Informasikan kepada siswa bahwa informasi seperti, susunan barang, susunan angka dapat dibentuk menjadi beberapa susunan angka yang sederhana.

3. Berilah kesempatan kepada siswa untuk memikirkan bentuk susunan angka yang dibentuk.

4. Kemudian ajaklah siswa untuk memahami salah satu bentuk yang dapat dibuat seperti yang telah diuraikan pada buku siswa.

5. Berdasarkan masalah dan kegiatan yang diberikan pada buku siswa, instruksikan siswa agar mampu menemukan konsep barisan.

6. Berilah penilaian kepada siswa yang sedang melakukan aktivitas membuat susunan barisan.


2. Kegiatan IntiPengantar Pembelajaran• umbuhkan motivasi internal dalam diri siswa melalui menunjuk-

kan manfaat mempelajari barisan dalam kehidupan siswa• Ajaklah siswa untuk memperhatikan dan memahami masalah

pada buku siswa• Himbaulah siswa untuk melakukan kegiatan yang ada pada buku

siswa• Himbaulah siswa untuk memerhatikan masalah yang ada juga

disekitar sesuai dengan konsep barisan yang akan ditemukanMengamati• Arahkan siswa menemukan konsep barisan dari berbagai situasi

nyata yang dekat dengan kehidupan siswa. • Guru memberikan kesempatan pada siswa untuk mengamati

masalah serta contoh yang ada pada buku antara lain:Masalah 5.1 • Beberapa kelereng dikelompokkan dan disusun sehingga setiap

kelompok tersusun dalam bentuk persegi sebagai berikut:

Kelereng dihitung pada setiap kelompok dan diperoleh barisan: 1, 4, 9, 16, 25

Gambar 5.1: Susunan KelerengGambar 5.1: Susunan Kelereng

Gambar 5.1: Jumlah Kelereng pada Setiap Kelompok

2516941

K1 K2 K3 K4 K5

115MATEMATIKA

Permasalahan• Dapatkah kamu temukan bilangan berikutnya pada barisan

tersebut? Dapatkah kamu temukan pola barisan tersebut? Tentukan banyak kelereng pada kelompok ke-15?.

Contoh5.1Perhatikan barisan huruf berikut:ABBCCCDDDDABBCCCDDDDABBCCCDDDD . . . .Amatilah barisan huruf tersebut terlebih dahulu! Tentukanlah huruf pada urutan 25 × 33!Contoh 5.2Sebuah barisan bilangan asli dituliskan sebagai berikut: 1234567891011121314151617181920212223242526 . . . sehingga suku ke-10 = 1, suku ke-11 = 0, suku ke-12 = 1 dan seterusnya. Dapatkah kamu temukan angka yang menempati suku ke-2004?Contoh 5.4Suatu barisan dengan pola sn = 2n3– 3n2. Tentukan pola barisan tersebut kemudian tentukanlah suku ke-10.Masalah 5.2

Perhatikan gambar tumpukan jeruk di samping ini! Bagaimana cara menentu-kan atau menduga banyak jeruk dalam satu tumpukan?

• Guru memberikan kesempatan siswa untuk mengikuti instruksi pada kegiatan.

• Berilah kesempatan kepada siswa untuk mendiskusikan tentang hubungan antara data terhadap konsep barisan yang diperoleh untuk membangun persepsi awal.

Menanya• Siswa diupayakan untuk bertanya tentang hubungan susunan benda

ataupun angka terhadap konsep barisan dan barisan aritmatika• Guru memastikan kelompok dapat bekerja sama dalam merumus-

kan konsep yang akan dicapai dengan melemparkan ataupun merangsang siswa untuk bertanya.

Gambar 5.3: Tumpukan Buah Jeruk


Menalar• Guru memberikan kesempatan siswa untuk merancang model

barisan dan barisan aritmetika dari setiap permasalahan yang ada • Ajaklah siswa untuk mendiskusikan permasalahan yang terdapat

pada setiap buku siswa sehingga diperoleh keterkaitan masalah yang membentuk asumsi awal terhadap konsep barisan dan barisan aritmetika.

Mengomunikasikan• Mintalah siswa untuk berbagi hasil karyanya ke teman

sebangkunya, dan pastikan temannya yang menerima hasil karya tersebut memahami apa yang harus dilakukan.

• Guru memberikan kesempatan siswa untuk dapat menyatakan sendiri konsep barisan dengan bahasa dan penyampaiannya sendiri.

• Guru memastikan siswa dapat menjelaskan pola barisan dan barisan aritmetika secara iteratif.

• Guru memastikan siswa dapat memahami pola barisan dan barisan aritmatika secara rekursif.

3. Kegiatan Penutup• Periksalah apakah semua kelompok sudah mengumpulkan tugas-

tugasnya dan apakah identitas kelompok sudah jelas • Berikan penilaian terhadap proses dan hasil karya siswa dengan

menggunakan rubrik penilaian• Guru sebaiknya hanyamengkonfirmasi akan kebenaran konsep

barisan yang diperoleh siswa.


No. Aspek yang dinilai Teknik Penilaian Waktu Penilaian1. Berani bertanya Pengamatan Kegiatan inti 2. Berpendapat Pengamatan Kegiatan inti 3. Mau mendengar orang lain Pengamatan Kegiatan inti 4. Bekerja sama Pengamatan Kegiatan inti 5. Pemahaman konsep Tes Tertulis Kegiatan penutup

117MATEMATIKA

2. Instrumen Pengamatan Sikap Rasa ingin tahu

1. Kurang baik jika sama sekali tidak berusaha untuk mencoba atau bertanya atau acuh tak acuh (tidak mau tau) dalam proses pembelajaran

2. Baik jika menunjukkan sudah ada usaha untuk mencoba atau bertanya dalam proses pembelajaran tetapi masih belum konsisten

3. Sangat baik jika menunjukkan adanya usaha untuk mencoba atau bertanya dalam proses pembelajaran secara kontinu dan konsisten

Indikator perkembangan sikap tanggung jawab (dalam kelompok)1. Kurang baik jika menunjukkan sama sekali tidak ambil bagian dalam

melaksanakan tugas kelompok.2. Baik jika menunjukkan sudah ada usaha ambil bagian dalam

melaksanakan tugas kelompok tetapi belum konsisten.3. Sangat baik jika menunjukkan sudah ambil bagian dalam

menyelesaikan tugas kelompok secara kontinu dan konsisten.

Bubuhkan tanda pada kolom-kolom sesuai hasil pengamatan.

No. Nama Rasa Ingin Tahu Tanggung JawabSB B KB SB B KB

1.2.3.. . .. . .. . .29.30.



3. Instrumen penilaian 1:Petunjuk: 1. Kerjakan soal berikut secara individu, dilarang bekerja sama dan

dilarang menyontek.2. Selesaikanlah soal-soal berikut ini:Soal:1. Bila a, b, c merupakan suku berurutan yang membentuk barisan

aritmetika, buktikan bahwa ketiga suku berurutan berikut ini juga

membentuk barisan aritmetika 1 1 1, ,bc ca ab

2. Tentukan banyak bilangan asli yang kurang dari 999 yang tidak habis dibagi 3 atau 5 adalah . . . .

3. Diketahui barisan yang dibentuk oleh semua bilangan asli 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 . . .

Angka berapakah yang terletak pada bilangan ke 2004? (bilangan ke-12 adalah angka 1 dan bilangan ke-15 adalah angka 2).

4. Pola ABBCCCDDDDABBCCCDDDDABBCCCDDDD . . . berulang sampai tak hingga. Huruf apakah yang menempati urutan 2634?

5. Diketahui barisan yang dibentuk oleh semua bilangan asli 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 . . . . Angka berapakah yang terletak pada bilangan ke 2013? (bilangan ke-12 adalah angka 1 dan bilangan ke-15 adalah angka 2).

Pedoman PenilaianNo. Soal Aspek Penilaian Rubrik Penilaian Skor Skor

Maksimal1. Keterampilan

menghitungDijawab benar 20 20Dijawab salah 5Tidak ada jawaban 0

2. Pemahaman konsep Dijawab benar 20 20Dijawab salah 5Tidak ada jawaban 0


Dijawab benar 20 20Dijawab salah 10

0

119MATEMATIKA

No. Soal Aspek Penilaian Rubrik Penilaian Skor Skor

Maksimal4. Keterampilan dan

ketelitian menghitungDijawab benar 20 20Dijawab salah 10Tidak ada jawaban 0

5. Pemahaman konsep Dijawab benar 20 20Dijawab salah 10

0 Skor maksimal = 100 100 Skor minimal = 0 0

5.3 Menemukan Konsep Barisan Geometri

Sebelum Pelaksanaan Kegiatan1. Pastikan siswa sudah paham dengan konsep dan pola barisan.2. Berikan motivasi pada siswa akan pentingnya belajar barisan

geometri.3. Pilih dan rancang masalah sederhana untuk membelajarkan barisan

geometri.


• Apersepsia. Memberi motivasi pentingnya materi ini.b. Memberi informasi tentang kompetensi yang akan dicapai.

2. Kegiatan IntiPengantarSebelum melakukan kegiatan inti sebaiknya guru:1. Mengingatkan kembali tentang pengertian barisan dan pola

barisan.2. Ajak siswa untuk mengamati dan mendiskusikan beberapa contoh

dan masalah yang diberikan.


Mengamati• Arahkan siswa siswa mengamati setiap contoh-contoh yang

berkaitan dengan barisan geometriContoh 5.6Perhatikan barisan bilangan 2, 4, 8, 16, . . .

Nilai perbandingan uu uu u u

32

1 2 1

. . . 2n

n

. Jika nilai perbandingan

dua suku berurutan dimisalkan r dan nilai suku pertama adalah a, maka susunan bilangan tersebut dapat dinyatakan dengan 2, 2 × 2, …Perhatikan gambar berikut ini!

dari pola di atas dapat disimpulkan bahwa un = arn – 1 • Berilahkesempatankepadasiswauntukmendisikusikanpenyelesai-

an sederhana dari model barisan geometri tersebut.

2 4 8 16 32

X2 X2X2 X2

U1 U1 U1 U1 U1 U1

2

2 2 × 2 2 × 2 × 2 2 × 2 × 2 × 2 2× 2 × 2 × 2 × 2 . . .

a a × r a × r × r a × r × r × r a × r × r × r × r . . .

ar1 – 1 ar2 – 2 ar3 – 2 ar4 – 2 ar5 – 2 arn – 1

U1 = a U2 = ar U3 = ar2 U4 = ar3 U5 = ar4 Un = arn – 1

121MATEMATIKA

Menanya• Siswadiupayakanuntukbertanya tentang solusi alternatif yang

dapat ditemukan• Guru memastikan kelompok dapat bekerja sama dalam me-

rumuskan konsep yang akan dicapai dengan melemparkan ataupun merangsang siswa untuk bertanya.


pada setiap buku siswa sehingga diperoleh penyelesaian barisan geometri

• Guru memberikan kesempatan siswa untuk merancang modelbarisan aritmatika dari setiap permasalahan yang ada

Mengomunikasikan• Mintalah siswa untuk berbagi hasil karyanya pada teman dan

pastikan semua siswa memahami konsep dan penyelesaian barisan geometri.

• Guru memberikan kesempatan siswa untuk dapat menyatakansendiri konsep barisan geometri dengan bahasa dan penyampaian-nya sendiri.

• Gurumemastikansiswadapatmemahamipolabarisangeometrisecara iteratif.

• Gurumemastikansiswadapatmemahamipolabarisangeometrisecara rekursif.

• Gurumemastikansiswamenemukansolusialternatifdaribarisangeometri.

3. Kegiatan Penutup• Mintalah siswa untuk melakukan refleksi dan menuliskan hal

penting dari yang dipelajarinya • Berikanpenilaianterhadapprosesdanhasilkaryasiswadengan

menggunakan rubrik penilaian• Jika dipandang perlu, berilah siswa latihan untuk dikerjakan di

rumah



No. Aspek yang dinilai Teknik Penilaian

Waktu Penilaian

1. Berani bertanya Pengamatan Kegiatan Ayo Kita Amati dan Bertanya

2. Berpendapat Pengamatan Kegiatan Ayo Kita Mencoba dan Berbagi

3. Mau mendengar orang lain

Pengamatan Kegiatan Ayo Kita Berbagi

4. Bekerja sama Pengamatan Kegiatan Ayo Kita Menggali Informasi dan Bernalar

5. Pemahaman konsep Tes Tertulis Kegiatan Penutup

2. Instrumen Pengamatan Sikap:Rasa ingin tahu1. Kurang baik jika sama sekali tidak berusaha untuk mencoba

atau bertanya atau acuh tak acuh (tidak mau tahu) dalam proses pembelajaran

2. Baik jika menunjukkan sudah ada usaha untuk mencoba atau bertanya dalam proses pembelajaran tetapi masih belum konsisten

3. Sangat baik jika menunjukkan adanya usaha untuk mencoba atau bertanya dalam proses pembelajaran secara kontinu dan konsisten



melaksanakan tugas kelompok tetapi belum konsisten.3. Sangat baik jika menunjukkan sudah ambil bagian dalam

menyelesaikan tugas kelompok secara kontinu dan konsisten.

123MATEMATIKA



1.2.3.. . .. . .. . .29.30.


3. InstrumenPenilaian:Petunjuk: 1. Kerjakan soal berikut secara individu, dilarang bekerja sama dan

dilarang menyontek.2. Selesaikanlah soal-soal berikut ini:

Soal:1. Tentukan rumus suku ke-n dan suku ke-10 dari barisan bilangan di

bawah ini!a) 1, 4, 16, 24, . . .b) 5, 10, 20, 40, …c) 9, 27, 81, 243, …d) 1 1,25 5

, 1, 5, …

e) 81, 27, 9, 3, …

2. Tentukan rasio dan suku pertama dari barisan geometri di bawah ini!a) Suku ke-4 = 8 dan suku ke-6 = 729b) Suku ke-2 = 6 dan suku ke-5 = 162c) U3 = 10 dan U6 = 1,25


3. Selesaikan barisan geometri di bawah ini!a) Suku ke-4 = 27 dan suku ke-6 = 243, tentukan suku ke-8b) U2 = 10 dan U6 = 10, tentukan U9 c) U2 = 2 2 dan U5 = 8, tentukan U10

4. Tentukan hasil dari jumlah bilangan di bawah ini !a) 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + … (sampai 10 suku)b) 54 + 18 + 6 + 2 + … (sampai 9 suku)c) 5 – 15 + 45 – 135 + … (sampai 8 suku)d) 1 + 1 + 3 + 2 + 9 + 4 + 27 + 8 + … (sampai 19 suku)

e) 8 + 7 + 9 + 3 + . . . + 1 127 81 = . . .

5. Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika. Jika suku ketiga ditambah 3 dan suku kedua dikurangi 1, diperoleh barisan geometri. Jika suku ketiga barisan aritmetika ditambah 8, maka hasilnya menjadi 5 kali suku pertama. Tentukan beda dari barisan aritmetika tersebut!





Dijawab benar 20 20Dijawab salah 5Tidak ada jawaban 0



125MATEMATIKA

No. Soal Aspek Penilaian Rubrik Penilaian Skor Skor






5.4 Aplikasi Barisan

Sebelum Pelaksanaan Kegiatan1. Pastikan siswa sudah paham dengan konsep dan pola barisan.2. Berikan motivasi pada siswa akan pentingnya belajar barisan

geometri.3. Pilih dan rancang masalah sederhana untuk membelajarkan barisan

geometri.


• Apersepsia. Memberi motivasi pentingnya materi ini.b. Memberi informasi tentang kompetensi yang akan dicapai.

2. Kegiatan IntiPengantarSebelum melakukan kegiatan inti sebaiknya guru:1. Mengingatkan kembali tentang pengertian barisan, barisan

aritmetika dan geometri.2. Ajak siswa untuk mengamati dan mendiskusikan beberapa contoh

dan masalah yang diberikan.


Mengamati• Arahkansiswasiswamengamatisetiapmasalahdancontohyang

berkaitan dengan barisan • Guru memberikan kesempatan siswa untuk merancang model

barisan dari setiap permasalahan yang berkaitan dengan barisan antara lain pertumbuhan, peluruhan, bunga majemuk, dan anuitas.

Masalah 5.6• Seorangpenelitimengamati perkembangankoloni bakteri yang

terbentuk setiap jam. Apabila jumlah koloni bakteri mula-mula 100 dan setiap bakteri membelah menjadi dua setiap jam. Peneliti ingin mengetahui jumlah koloni bakteri yang terbentuk dalam waktu 50 jam dan buatlah grafik dari model persamaan yangditemukan!

Contoh 5.9• Penduduk suatu kota metropolitan tercatat 3,25 juta jiwa pada

tahun 2008, diperkirakan menjadi 4,5 jiwa pada tahun 2013. Jika tahun 2008 dianggap tahun dasar, berapa persen pertumbuhannya? Berapa Jumlah penduduknya pada tahun 2015?

Masalah 5.7Suatu neutron dapat pecah mendadak menjadi suatu proton dan elektron dan ini terjadi sedemikian sehingga jika kita memiliki 1.000.000 neutron, kira-kira 5 % dari padanya akan berubah pada akhir satu menit. Berapa neutron yang masih ada setelah n menit dan 10 menit?

Gambar 5.12: Peluruhan Atom

127MATEMATIKA

Masalah 5.8Ovano menerima uang warisan sebesar Rp. 70.000.000,- dari orang tuanya dan berniat untuk menginvestasikan dalam bentuk tabungan di bank selama 5 tahun. Dia menjajaki dua bank yang memiliki sistim pembungaan yang berbeda. Bank BCL menggunakan bunga tunggal sebesar 10 % per tahun dan Bank PHP menggunakan majemuk sebesar 9% per tahun. Dari hasil perhitungan pihak bank ia memperoleh ilustrasi investasi sebagai berikut:

Dari ilustrasi investasi di atas diperoleh kesimpulan bahwa walaupun Bank PHP menawarkan bunga majemuk yang lebih kecil daripada bunga tunggal Bank BCL namun hasil investasi yang dihasilkan adalah lebih besar.• Berilahkesempatankepadasiswauntukmendiskusikanpenyelesai-

an sederhana dari model barisan tersebutMenanya• Siswadiupayakanuntukbertanya tentang solusi alternatif yang

dapat ditemukan.• Gurumemastikankelompokdapatbekerjasamadalammerumus-

kan konsep yang akan dicapai dengan melemparkan ataupun merangsang siswa untuk bertanya.


pada setiap buku siswa sehingga diperoleh penyelesaian barisan yang berkaitan dengan pertumbuhan, peluruhan, bunga majemuk, dan anuitas.

donoem

semua tabel diperbaiki


Mengomunikasikan• Mintalah siswa untuk berbagi hasil karyanya pada teman dan

pastikan semua siswa memahami prosedur penyelesaian barisan • Gurumemberikankesempatansiswauntukdapatmenyelesaikan

masalah barisan yang berkaitan dengan pertumbuhan, peluruhan, bunga majemuk, dan anuitas.

• Gurumemastikansiswamenemukansolusi-solusialternatifdariaplikasi barisan.

3. Kegiatan Penutup• Mintalah siswa untuk melakukan refleksi dan menuliskan hal

penting dari yang dipelajarinya • Berikanpenilaianterhadapprosesdanhasilkaryasiswadengan

menggunakan rubrik penilaian• Jika dipandang perlu, berilah siswa Uji Kompetensi 5.3 untuk

dikerjakan di rumah • Doadansalam

Penilaian

1. Prosedur PenilaianNo. Aspek yang dinilai Teknik

PenilaianWaktu Penilaian

1. Berani bertanya Pengamatan Kegiatan Ayo Kita Amati dan Bertanya

2. Berpendapat Pengamatan Kegiatan Ayo Kita Mencoba dan Berbagi

3. Mau mendengar orang lain

Pengamatan Kegiatan Ayo Kita Berbagi

4. Bekerja sama Pengamatan Kegiatan Ayo Kita Menggali Informasi dan Bernalar

5. Pemahaman konsep Tes Tertulis Kegiatan Penutup

129MATEMATIKA

2. Instrumen Pengamatan Sikap:Rasa ingin tahu1. Kurang baik jika sama sekali tidak berusaha untuk mencoba atau bertanya

atau acuh tak acuh (tidak mau tau) dalam proses pembelajaran2. Baik jika menunjukkan sudah ada usaha untuk mencoba atau bertanya

dalam proses pembelajaran tetapi masih belum ajag/konsisten3. Sangat baik jika menunjukkan adanya usaha untuk mencoba atau

bertanya dalam proses pembelajaran secara terus menerus dan ajeg/konsisten



melaksanakan tugas kelompok tetapi belum ajeg/konsesten.3. Sangat baik jika menunjukkan sudah ambil bagian dalam menyelesaikan

tugas kelompok secara kontinu dan konsisten.

Bubuhkan tanda pada kolom-kolom sesuai hasil pengamatan.


1.2.3.. . .. . .. . .29.30.



3. Instrumen Penilaian:Petunjuk: 1. Kerjakan soal berikut secara individu, tidak boleh menyontek dan

tidak boleh bekerja sama.2. Jawablah pertanyaan/perintah di bawahnya.

Soal:1. Pertumbuhan penduduk biasanya dinyatakan dalam persen.

Misalnya, pertumbuhan penduduk adalah 2% per tahun artinya jumlah penduduk bertambah sebesar 2% dari jumlah penduduk tahun sebelumnya. Pertambahan penduduk menjadi dua kali setiap 10 tahun. Jumlah penduduk desa pada awalnya 500 orang, berapakah jumlah penduduknya setelah 70 tahun apabila pertumbuhannya 2,5%?

2. Kultur jaringan terhadap 1.500 bakteri yang diuji di laboratorium menunjukkan bahwa satu bakteri dapat membelah diri dalam waktu 2 jam. a. Tentukan apakah ini termasuk masalah pertumbuhan atau

peluruhan, berikan alasanmu?c. Tentukan banyak bakteri setelah 20 jam.d. Tentukan banyak bakteri setelah n jam.

3. Pada awal bekerja Amat mempunyai gaji Rp. 200 ribu per bulan. Tiap tahun gaji Amat naik sebesar Rp. 15 ribu per bulan. Berapa gaji Amat setelah dia bekerja selama 7 tahun?

4. Seseorang menabung Rp800.000 pada tahun pertama, tiap tahun tabungannya ditambah dengan Rp15.000 lebih banyak daripada tahun sebelumnya. Berapakah jumlah simpanannya pada akhir tahun ke 10?

5. Sebuah mobil seharga Rp600.000.000,00,- mengalami penyusutan harga setiap tahun membentuk barisan geometri dengan rasionya

adalah 13

. Hitunglah harga mobil pada tahun ke- 5?

131MATEMATIKA













F. Pengayaan

Pengayaan merupakan kegiatan yang diberikan kepada siswa yang memiliki aselerasi pencapaian KD yang cepat (nilai maksimal) agar potensinya berkembang optimal dengan memanfaatkan sisa waktu yang dimilikinya. Guru sebaiknya merancang kegiatan pembelajaran lanjut yang terkait dengan barisan pada siswa.


G. Remedial

Remedial merupakan perbaikan proses pembelajaran yang bertujuan pada pencapaian kompetensi dasar siswa. Guru memberikan perbaikan pembelajaran baik pada model, metode serta strategi pembelajaran. Jika guru melakukan pembelajaran dengan pola yang sama tidaklah maksimal sehingga disarankan guru memilih tindakan pembelajaran yang tepat sehingga siswa mampu memenuhi KD yang diharapkan. Perlu dipahami oleh guru, bahwa remedial bukan mengulang tes (ulangan harian) dengan materi yang sama, tetapi guru memberikan perbaikan pembelajaran pada KD yang belum dikuasai oleh peserta didik melalui upaya tertentu. Setelah perbaikan pembelajaran dilakukan, guru melakukan tes untuk mengetahui apakah peserta didik telah memenuhi kompetensi minimal dari KD yang diremedialkan.

H. Rangkuman

Beberapa hal penting sebagai kesimpulan dari hasil pembahasan materi barisan, disajikan sebagai berikut.1. Barisan bilangan adalah sebuah fungsi dengan domainnya himpunan

bilangan asli dan rangenya suatu himpunan bagian dari himpunan bilangan real.

2. Barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang memiliki selisih dua suku berurutan selalu tetap. Selisih dua suku berurutan disebut beda.

3. Barisan geometri adalah barisan bilangan yang memiliki hasil bagi dua suku berurutan adalah tetap. Hasil bagi dua suku berurutan disebut rasio.

Masih banyak jenis barisan yang akan kamu pelajari pada jenjang yang lebih tinggi, seperti barisan naik dan turun, barisan harmonik, barisan Fibonacci, dan lain sebagainya. Kamu dapat menggunakan sumber bacaan lain untuk lebih mendalami sifat-sifat barisan

133MATEMATIKA

A. Kompetensi Inti

Limit Fungsi

BAB

6

Sikap



jawab, peduli (gotong royong, kerja sama, toleran, damai), san-

tun, responsif dan pro-aktif dan menunjukkan sikap sebagai ba-

gian dari solusi atas berbagai permasalahan dalam berinteraksi

secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta dalam

menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan

dunia.

Pengetahuan

3. Memahami, menerapkan, menganalisis pengetahuan faktual,

konseptual, prosedural berdasarkan rasa ingin tahunya tentang

ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora den-

gan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan per-

adab-an terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta mener-

apkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah.

Keterampilan







Indikator pencapaian kompetensi pada pembelajaran dapat dikembangkan guru sendiri berdasarkan kondisi peserta didik masing-masing di tempat guru mengajar. Berikut ini dipaparkan contoh Indikator Pencapaian Kompetensi Pembelajaran yang dapat dijabarkan dari KD 3.7 dan KD 4.7.No. Kompetensi Dasar Indikator Pencapaian Kompetensi1. 3.7 Menjelaskan l imit

fungsi aljabar (fungsi polinom dan fungsi r a s i o n a l ) s e c a r a in tu i t i f dan s i fa t -sifatnya, menentukan eksistensi.

3.7.1 Mengomunikasikan makna batas dalam konsep limit.

3.7.2 Menemukan contoh aplikasi limit fungsi dalam kehidupan sehari-hari.

3.7.3 Menunjukkan limit kiri dan limit kanan pada suatu fungsi.

3.7.4 Menunjukkan limit suatu fungsi secara in tu i t i f berdasarkan gambar.

3.7.5 Menunjukkan bentuk tentu dan tak tentu suatu fungsi pada titik tertentu danmenunjukkandalamgrafik.

3.7.6 Menemukan sifat-sifat limit suatu fungsi.

3.7.7 Menggunakan sifat-sifat suatu fungsi dalam menemukan limit fungsi tersebut.

3.7.8 Menemukan limit suatu fungsi aljabar.

2. 4.7 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan limit fungsi aljabar.

4.7.1 Menggunakan konsep limit dalam menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan limit fungsi aljabar (polinom dan rasional).

4.7.2 Menentukan limit suatu fungsi dengan menggunakan ca ra pendekatan nilai, memfaktorkan atau dengan pergantian fungsi.

135MATEMATIKA


Setelah mempelajari konsep limit fungsi melalui pengamatan, menalar, tanya jawab, mencoba menyelesaikan persoalan, penugasan individu dan kelompok, diskusi kelompok, dan mengomunikasikan pendapatnya, siswa mampu: 1. Melatih siswa menumbuhkan sikap perilakujujur, disiplin, tanggung jawab,



3. Menyebutkan contoh-contoh aplikasi limit fungsi dalam kehidupan sehari-hari

4. Menunjukkan limit kiri dan limit kanan pada suatu fungsi dengan tabel dan gambar.

5. Menunjukkan limit suatu fungsi secara intuitif berdasarkan gambar. 6. Memberi contoh fungsi yang mempunyai bentuk tentu dan tak tentu pada

titik tertentu. 7. Menunjukkan bentuk tentu dan tak tentu suatu fungsi pada titik tertentu

danmenunjukkandalamgrafik. 8. Menemukan sifat-sifat limit suatu fungsi dan mengomunikasikannya

dengan kata-kata sendiri. 9. Menggunakan sifat-sifat suatu fungsi dalam menemukan limit fungsi

tersebut.10. Menemukan limit suatu fungsi aljabar dengan pendekatan nilai dan

manipulasi aljabar.11. Menggunakan konsep limit dalam menyelesaikan masalah yang berkaitan

dengan limit fungsi aljabar (polinom dan rasional).12. Menentukan limit suatu fungsi dengan menggunakan cara pendekatan nilai,

memfaktorkan atau dengan pergantian fungsi.

donoem

dipisah


FungsiMateri

Prasyarat

Masalah

Autentik

Fungsi

Aljabar

Domain Range

Limit Fungsi

Aljabar

Limit Fungsi

Pada Suatu

Titik

Sifat Limit

Fungsi Aljabar

D. Diagram Alir

137MATEMATIKA


6.1 Konsep Limit Fungsi

Sebelum Pelaksanaan Kegiatan• Bentuk kelompok kecil siswa (3–4 orang) yang heterogen. Perhatikan

karakteristik siswa dalam satu kelompok sehingga mendukung pem-belajaranyangefisiendanefektif.

• Informasikan tujuan pembelajaran dan tata cara penilaian selama proses pembelajaran.

• Siapkan semua fasilitas yang mendukung selama proses pem belajaran.• Siapkan RPP dan form penilaian.


• Salam dari guru dan Doa dipimpin oleh salah satu siswa.• Apersepsi

– Ingatkan siswa konsep fungsi (daerah asal, daerah kawan, dan daerah hasil) dan komposisinya.

– Perkenalkan sekilas materi limit fungsi serta aplikasinya dalam kehidupan sehari-hari.

– Motivasi siswa untuk semangat mempelajari materi limit fungsi.

– Informasikan tujuan pembelajaran dan tata cara penilaian.2. Kegiatan Inti

Ayo mengamatiGambar 6.1• Arahkan siswa melihat dan memberikan kesempatan mengamati

gambar tersebut. Tanya siswa, apakah jika melihat benda yang bergerak semakin jauh maka ukuran objek seakan-akan semakin kecil? Minta siswa untuk memberikan komentar!

• Informasikan bahwa bukan ukuran benda yang semakin kecil tetapi mata yang mempunyai batas melihat benda-benda yang jauh.


• Bantu siswa memahami hubungan Gambar 6.1 dengan Gambar 6.2. Gambar 6.2 adalah sketsa sederhana visual bentuk badan jalan sesuai dengan Gambar 6.1 dengan posisi memandang di tengah jalan, sehingga tampak lebar jalan seakan-akan menyempit dari kiri dan kanan badan jalan. Tujuannya adalah memberikan ilustrasi pendekatan kiri dan kanan.

6.1.1 Menemukan Konsep Limit FungsiAyo MenalarMasalah 6.1• Minta siswa untuk memahami Masalah 6.1 dalam menemukan

konsep limit. Beri kasus yang sama dengan pendekatan ke bilangan yang lain.

• Ajak siswa mencari bilangan bulat yang dekat ke 3. Ajak kembali siswa mencari bilangan real yang dekat ke 3. Pandu siswa me-mahami dan mencari jawaban dengan Gambar 6.3.

• Berdasarkan Gambar 6.3, misalkan bilangan real yang dekat ke 3 adalah 2,75 atau 3,25. jika interval 2,75 sampai 3,25 diperbesar sehingga diperoleh bahwa ada bilangan real lain yang lebih dekat ke 3, tetapi jika diperbesar kembali interval 2,99 sampai 3,01 maka akan lebih mudah melihat kembali bilangan yang dekat ke 3 dan seterusnya.

• Bantu siswa memahami bahwa banyak bilangan real yang sangat dekat ke 3.

• Bantu siswa memahami pemisalan x sebagai bilangan-bilangan yang mendekati 3 sehingga tertulis x 3. Perkenalkan simbol ”x 3”. Perkenalkan pendekatan kiri dengan simbol ”x 3–”, serta pendekatan kanan dengan simbol ” x 3+”.

• Berikan contoh kasus yang sama sebagai pembanding agar siswa lebih mudah memahami.

Ayo menalarMasalah 6.2• Minta siswa untuk memahami Masalah 6.2 dan memahami Gambar

6.4.

139MATEMATIKA

• Informasikan maksud gambar bahwa andaikan gerak lintasan bola dan gerak lintasan atlet dimisalkan kurva. Bola dan tangan atlet sama-sama bergerak saling mendekati pada saat dan ketinggian tertentu. Berikan ide-ide secara bebas dan terbuka. Pandu siswa untukmembangunsebuahkonseplimitfungsidanpendefinisiantentang limit fungsi.

• Jelaskan pergerakan bola menuju atlet dan pergerakan atlet menuju bola akan bertemu disuatu saat, misalkan di saat tertentu itu adalah x = c dan ketinggian di saat tertentu itu adalah y = L. Arahkan kembali ke Gambar 6.4 (b).

6.1.2 Pemahaman Intuitif Limit FungsiAyo MenalarLimit Fungsi untuk f(x) = x + 1 untuk x R.• Ingatkan siswa konsep fungsi (daerah asal, daerah kawan, daerah

hasil dan sketsanya di bidang koordinat kartesius).• Pandu siswa memahami limit fungsi secara intuitif, dengan

memperkenalkan limit kiri dan limit kanan dengan mem-perlihatkannya pada gambar. Sepakati bahwa sebelah kiri suatu titik pada garis bilangan horizontal adalah kiri, dan arah sebaliknya adalah kanan.

• Pandu siswa memahami limit secara intuitif pada f(x) = x + 1 untuk x R berdasarkan Tabel 6.1 dan Gambar 6.5.

• Demonstrasikan proses pengisian setiap sel pada Tabel 6.1. Minta siswa mengamati gerakan bilangan dari kiri dan kanan bilangan 2.

• Tunjukkan dan jelaskan pergerakan bilangan dari kiri dan kanan bilangan 2 di sumbu x akan mempengaruhi gerakan bilangan dari atas dan bawah bilangan 3 di sumbu y.

Ayo Menanya• Arahkan kelas ke sesi tanya-jawab. Guru memberi kesempatakan

kepada siswa untuk bertanya, dan siswa lainnya memberi komentar sebelum guru memberi tanggapan dan memberi jawaban atas pertanyaan siswa. Guru memperhatikan siswa yang belum berani memberi komentar dan mengarahkannya berkomunikasi.


Ayo Menalar• Dengan proses yang sama, perintahkan siswa berdiskusi, menalar

limit fungsi untuk f(x) = 2 1

1xx untuk x ≠ 1, x R.

• Dengan panduan yang sama untuk f(x) = 2 1

1xx untuk x R, x ≠ 1,

minta siswa mengamati Gambar 6.6 dan Tabel 6.2. Arahkan siswa foku smengamati nilai pendekatan ke 2 di sumbu x dan pendekatan ke 3 di sumbu y pada Tabel 6.2.

• Arahkan siswa melakukan pengamatan pergerakan bilangan dari kiri dan kanan angka 1 di sumbu x akan berpengaruh pada pergerakan bilangan dari atas dan bawah angka 2 di sumbu y.

• Minta siswa mencari nilai f(1)? Minta siswa mengamati hubungan Tabel 6.2 dan Gambar 6.6.

Ayo Mengomunikasikan• Sesuai dengan hasil diskusi kelompok, minta siswa menyaji

pendapat atau memberi komentar mereka akan limit fungsi

f(x) = 2 1

1xx untuk x ≠ 1, x R

Ayo menalar

Limit fungsi f(x) = x2 jika x ≤ 1x + 1 jika x > 1

123 untuk x R.

• Jelaskan bentuk fungsi f(x) = x2 jika x ≤ 1

x + 1 jika x > 1

123 untuk x R

• Demonstrasikan proses pengisian setiap sel pada Tabel 6.3. Arahkan siswa mengamati pergerakan bilangan dari kiri dan kanan bilangan 1 pada sumbu x dan pergerakan hasil f(1) pada sumbu y.

• Tunjukkan dan jelaskan gerakan bilangan dari kiri dan kanan bilangan 1 di sumbu x akan berpengaruh pada gerakan bilangan dari atas dan bawah f(1) di sumbu y. Minta siswa mencari nilai f(1)? Arahkan siswa memberi komentar tentang nilai f(1).

141MATEMATIKA

• Perkuat pemahaman siswa tentang limit kiri dan limit kanan dengan menggunakan Gambar 6.7.

• Bantu siswa memahami bahwa fungsi tersebut tidak mempunyai limit di x = 1. Kenapa? Perkenalkan bentuk tentu dan tak tentu suatu limit pada titik tertentu. Guru memberikan contoh-contoh fungsi yang dimaksud.

• Berikan kesempatan kepada siswa untuk menjelaskan dengan kata-kata sendiri tentang limit kiri dan limit kanan berdasarkan pemahaman pada contoh-contoh di atas.

• Gurudansiswabersama-samamembangunDefinisi6.1

Definisi 6.1Misalkan f sebuah fungsi f : R R dan misalkan L dan c anggota himpunan bilangan real. lim ( )

x cf x = L jika dan hanya jika f(x)

mendekati L untuk semua x mendekati c.

Latihan 6.1• Koordinir siswa untuk berdiskusi mengerjakan Latihan 6.1 dan

menjelaskan di depan kelas serta mengumpulkan hasil diskusi.Ayo Menalar• Arahkan siswa untuk membentuk kelompok diskusi (3–4 orang).

PerintahkansiswamenghubungkandefinisilimitdenganGambar6.8 dan Gambar 6.9.

• Setelah salah satu kelompok menyajikan hasil kerja kelompoknya, arahkan siswa ke sesi tanya-jawab. Dengan demikian, siswa mempunyai kesempatan untuk memberikan komentar dan saling menanggapi. Guru harus memberikan kesimpulan akhir.

• Berikut adalah alternatif penyelesaian Latihan 6.1.Berdasarkan Gambar 6.8 maka:

Limit di x = –3 Limit di x = 1 Limit di x = 4f(–3) = 5 f(1) = 3 f(4) = tidak tentu

3lim ( )x

f x = 51

lim ( )x

f x = 34

lim ( )x

f x = 2

3lim ( )x

f x = 51

lim ( )x

f x = 5,54

lim ( )x

f x = 2


3lim ( )x

f x = 3

lim ( )x

f x1

lim ( )x

f x ≠ 1

lim ( )x

f x4

lim ( )x

f x = 4

lim ( )x

f x

Ada limit Tidak ada limit Ada limit

Berdasarkan Gambar 6.9 maka:Gambar A Gambar B Gambar C Gambar D

f(c) = ada f(c)=∞ f(c) = tidak tentu f(c)= ada

lim ( )x c

f x = ada lim ( )x c

f x =–∞ lim ( )x c


f x = ada

lim ( )x c


f x =+∞ lim ( )x c


f x = ada

lim ( )x c

f x = lim ( )x c

f x lim ( )x c

f x ≠ lim ( )x c

f x lim ( )x c

f x = lim ( )x c

f x lim ( )x c

f x ≠ lim ( )x c

f x

Ada limit Tidak ada limit Ada limit Tidak ada limit

Ayo Menalar• Minta siswa membaca Contoh 6.1 dan membantu siswa memahami

Contoh 6.1 melalui sketsa pada Gambar 6.10. Ingatkan siswa bentuk umum fungsi kuadrat, fungsi linier dan fungsi konstan.

• Tunjukkan pada siswa model fungsi lintasan lebah dan sketsa lintasannya pada Gambar 6.11.

• Bantu siswa memahami Tabel 6.4 dan Tabel 6.5 dengan keterkaitannya pada Gambar 6.11.

• Demonstrasikan proses perhitungan limit kiri dan limit kanan pada Tabel 6.4 danTabel 6.5serta menunjukkan keterkaitannya dengan Gambar 6.11.

Ayo Mengkomunikasikan• Minta siswa memberi komentar akan pendekatan f(t) pada saat t

mendekati 1 dari kiri–kanan, dan pada saat t mendekati 2 dari kiri-kanan sesuai dengan pemahaman mereka akan limit kiri dan limit kanan pada Contoh 6.1 tersebut.

3. Kegiatan Penutup• Minta siswa mengomunikasikan kembali konsep-konsep materi

yang telah diketahui setelah pembelajaran.• Siswadangurubersama-samamelakukanrefleksidanmerangkum-

kan semua konsep dan sifat transformasi dari yang dipelajari.

143MATEMATIKA

• Berikan penilaian terhadap proses dan hasil karya siswa dengan menggunakan rubrik penilaian. Hasil kerja kelompok dikumpulkan oleh guru.

• Beri tugas kepada siswa sebagai latihan di rumah. • Informasikan materi yang akan dipelajari pada pertemuan

berikutnya.

6.2 Sifat-Sifat Limit Fungsi

Sebelum Pelaksanaan Kegiatan3.6.1 Bentuk kelompok kecil siswa (3–4 orang) yang heterogen. Perhatikan

karakteristik siswa dalam satu kelompok sehingga mendukung pembelajaranyangefisiendanefektif.

3.6.2 Informasikan tujuan pembelajaran dan tata cara penilaian selama proses pembelajaran.

3.6.3 Siapkan semua fasilitas yang mendukung selama proses pem-belajaran


• Salam dari guru dan doa dipimpin oleh salah satu siswa.• Apersepsi

– Ingatkansiswaakanlimitkiridanlimitkanansertadefinisilimit fungsi yang telah dipelajari sebelumnya.

– Informasikan kepada siswa, materi yang akan dipelajari adalah sifat-sifat limit fungsi.

2. Kegiatan IntiAyo menalar• Ingatkan siswa materi sebelumnya. Berdasarkan Gambar 6.1,

Masalah 6.1, Masalah 6.2, pemahaman limit fungsi secara intuitif sertaDefinisi6.1,ArahkansiswauntukmembangunSifat6.1.

• Perkenalkan kepada siswa simbol penulisan limit kiri lim ( )x cf x

→ − dan limit kanan lim ( )

x cf x

→ +


Ayo Menalar• Demonstrasikan Contoh 6.2 dan mengamati Tabel 6.6. Dengan

menggunakan konsep limit, arahkan siswa membangun Sifat 6.2.

Sifat 6.1Misalkan f sebuah fungsi f : R R dan L, c bilangan real. lim ( )

x cf x

= L jika dan hanya jika lim ( )x c

f x = L = lim ( )x c

f x .

Sifat 6.2Misalkan f(x) = k adalah fungsi yang mempunyai nilai limit pada x mendekati c, dengan k dan c adalah bilangan real, maka lim ( )

x cf x k = k.

• Guru menambahi pemahaman akan Sifat 6.2 dengan menggunakan gambar fungsi y = f(x) = k.

• Minta siswa mengkomunikasikan Sifat 6.2 dengan kata-kata sendiri.


menggunakan konsep limit, arahkan siswa membangun Sifat 6.3. • Guru menambahi pemahaman akan Sifat 6.3 dengan menggunakan

gambar fungsi y = f(x) = k.• Minta siswa mengkomunikasikan Sifat 6.3 dengan kata-kata

sendiri.

Sifat 6.3Misalkan f(x) = x, adalah fungsi yang mempunyai nilai limit pada x mendekati c, dengan c adalah bilangan real, maka lim ( )

x cf x x = c.



gambar fungsi y = f(x) = kx dengan mengambil sembarang nilai k bilangan real.

145MATEMATIKA


Sifat 6.4Misalkan f adalah fungsi yang mempunyai nilai limit pada x mendekati c, dengan k dan c adalah bilangan real, maka maka limx c

[kf(x)] = k[ limx c

f(x)]



gambar fungsi y = f(x) = kx2 dengan mengambil sembarang nilai k bilangan real.


Sifat 6.5Misalkan f, g adalah fungsi yang mempunyai nilai limit pada x mendekati c, lim

x c[f(x)g(x)] = [ lim

x c f(x)] [ lim

x cg(x)]

Ayo Menalar• Demonstrasikan Contoh 6.6 dan mengamati Tabel 6.10 dan

Tabel 6.11. Dengan menggunakan konsep limit, arahkan siswa membangun Sifat 6.6.

• Guru menambahi pemahaman akan Sifat 6.6 dengan menggunakan gambar fungsi f(x) =x2 – 4x dan f(x) =x2 + 4x.


Sifat 6.6Misalkan f, g adalah fungsi yang mempunyai nilai limit pada x mendekati c, lim

x c[f(x) ± g(x)] = [ lim

x c f(x)] ± [ lim

x cg(x)]



menggunakan konsep limit, arahkan siswa membangun Sifat 6.7.• Minta siswa mengkomunikasikan Sifat 6.7 dengan kata-kata

sendiri.

Sifat 6.7Misalkan f, g adalah fungsi yang mempunyai nilai limit pada x

mendekati c, dengan c adalah bilangan real, maka limx c

( )( )

f xg x

= lim ( )lim ( )x c

x c

f xg x = lim

x cg(x) ≠ 0



gambar fungsi y = f(x) = 8x3.• Minta siswa mengkomunikasikan Sifat 6.8 dengan kata-kata

sendiri.

Sifat 6.8Misalkan f adalah fungsi yang mempunyai nilai limit pada x mendekati c, dengan c adalah bilangan real dan n adalah bilangan positif maka lim

x c[ f(x)]n = [ lim

x c f(x)]n

Ayo Menalar• Koordinir siswa untuk membentuk kelompok dan mengerjakan

Latihan 6.2 dan mendemonstrasikan di depan kelas kerja serta mengumpulkan hasil kerja kelompok.

• Berikut adalah alternatif penyelesaian Latihan 6.2.

147MATEMATIKA

Latihan 6.2Tunjukkan dengan pendekatan nilai,

2limx

x = 332

limx

x

x 1,5 1,7 1,9 1,99 1,999 . . . 2 . . . 2,001 2,01 2,1 2,5 2,73 x 1,14 1,19 1,24 1,26 1,26 . . . 1,26 . . . 1,26 1,26 1,28 1,36 1,39

3 3( )x 1,5 1,7 1,9 1,99 1,999 . . . 2 . . . 2,001 2,01 2,1 2,5 2,7

3. Kegiatan Penutup• Minta siswa mengkomunikasikan kembali konsep-konsep materi


kan semua konsep dan sifat-sifat limit fungsi dari yang dipelajari.• Berikan penilaian terhadap proses dan hasil karya siswa dengan

menggunakan rubrik penilaian. Hasil kerja kelompok dikumpulkan oleh guru.

• Beri tugas kepada siswa sebagai latihan di rumah. • Informasikan materi yang akan dipelajari pada pertemuan berikut-

nya.

6.3 Menentukan Nilai Limit Fungsi

Sebelum Pelaksanaan Kegiatan1. Bentuk kelompok kecil siswa (3–4 orang) yang heterogen. Perhatikan


2. Informasikan tujuan pembelajaran dan tata cara penilaian selama proses pembelajaran.




– Informasikan kepada siswa tentang tujuan pembelajaran.– Jelaskan kepada siswa bentuk tentu dan bentuk tak tentu suatu

fungsi pada titik tertentu. Ingatkan kembali Latihan 6.1.


2. Kegiatan IntiAyo Menalar• Jelaskan fungsi yang berbentuk tentu dan tak tentu pada titik

tertentu serta alasannya. Tunjukkan kepada siswa bentuk tentu dan tak tentu dengan gambar. Minta siswa mencari fungsi lainnya yang mempunyai bentuk tentu dan tak tentu pada titik tertentu dan memaparkan di depan kelas. Ingatkan kembali Latihan 6.1.

• Demonstrasikan kepada siswa proses penyelesaian Contoh 6.9 dan Contoh 6.10.

• Pandu siswa mendapatkan nila-nilai pada setiap sel pada Tabel 6.14, Tabel 6.15 dan Tabel 6.16.

• Arahkan siswa mengamati pergerakan nilai x dan y mendekati 2 dari kiri dan kanan pada Tabel 6.14, mengamati pergerakan nilai x dan y mendekati1dari kiri dan kanan pada Tabel 6.15, dan mengamati pergerakan nilai x dan y mendekati –1 dari kiri dan kanan Tabel 6.16.

Ayo Mencoba• Guru memberikan permasalahan yang serupa untuk dicoba atau

dikerjakan siswa secara pribadi atau berkelompok• Arahkan siswa berani menyampaikan hasil kerjanya.Ayo Menalar• Instruksikan siswa mengerjakan Latihan 6.3 secara individu atau

berkelompok dan menyajikaan hasil kerjanya di depan kelas.• Berikut adalah alternatif penyelesaian Latihan 6.3Latihan 6.3

Tentukan nilai 1

3 3

3(3 1) ( 1)lim

1x

x xx

dengan menunjukkan pendekatan

nilai dan proses pergantian fungsi dengan faktorisasi. Alternatif Penyelesaian• Minta siswa menunjukkan nilai limit dengan pengamatan pada tabel.Cara I (Numerik)

Misalkan y = 1

3 3

3(3 1) ( 1)lim

1x

x xx

maka pendekatan fungsi pada saat x

mendekati 1 ditunjukkan pada tabel berikut:

149MATEMATIKA

Tabel 6.17 Nilai pendekatan f(x) = 1

3 3

3(3 1) ( 1)lim

1x

x xx

pada saat x mendekati 1

x 0,5 0,9 0,95 0,99 0,999 . . . 1 . . . 1,001 1,01 1,05 1,1 1,5

y 3,71 7,18 7,60 7,92 7,99 . . . 0/0 . . . 8,01 8,08 8,39 8,78 11,47

Dengan melihat tabel di atas, jika nilai x mendekati 1 maka akan mendekati 8.

Ayo Mengkomunikasikan• Minta siswa mendapatkan nilai limit dengan proses aljabar. Minta

siswa mempresentasikan hasil kerjanya di depan kelas. Arahkan siswa untuk bertanya-jawab.

Cara II (Faktorisasi)

1

3 3

3(3 1) ( 1)lim

1x

x xx

= 1

3 2 3 2

2

(27 27 9 1) ( 3 3 1)lim( 1)( 1)x

x x x x x xx x x

= 1

3 2

2

26 30 6 2lim( 1)( 1)x

x x xx x x

= 1

3 2 2

2

26 26 4 4 2 2lim( 1)( 1)x

x x x x xx x x

= 2

21

( 1)(26 4 2)lim( 1) 1x

x x xx x x

= 1

2

2

26 4 2lim1x

x xx x

karena x ≠ 1

= 2

26 4 21 1 1

= 8

Ayo Menalar• Demonstrasikan proses penyelesaian pada Contoh 6.11. Bantu

siswa memahami strategi pemisalan atau pergantian fungsi.Minta siswa memberi komentar akan perubahan x 1 menjadi y 1. Ingatkan kembali konsep limit.


Ayo Mencoba• Guru memberikan permasalahan yang serupa untuk dikerjakan

siswa dan mendemonstrasikan prosesnya di papan tulis. Arahkan siswa ke sesi tanya-jawab.

• Bantu siswa memahami Contoh 6.12.Berikan kesempatan kepada siswa untuk mengamati Tabel 6.18 dan mengomunikasikan pemahaman mereka.

• Minta siswa untuk menunjukkan konsep limit pada Tabel 6.18 dengan mengamati nilai-nilai pada setiap sel. Ingatkan siswa konsep limit kiri dan limit kanan.

• Berikan waktu pada siswa menggunakan manipulasi aljabar pada proses limit tersebut. (lihat alternatif penyelesaian 2 dan alternatif penyelesaian 3).

• Berikut adalah alternatif penyelesaian 2 dan alternatif penyelesaian 3 sesuai dengan buku siswa.

Alternatif Penyelesaian 2f (t) = 0,25t2 + 0,5t

f(5) = 0,25(5)2 + 0,5(5) = 8,75

5

( ) (5)lim 5t

f t ft = 5

2(0,25 0,5 ) (5)lim 5t

t t ft

= 5

20,25 0,5 8,75lim 5t

t tt

= 5

20,5(0,5 17,5)lim 5t

t tt

= 5

0,5(0,5 3,5)( 5)lim5t

t tt

karena t ≠ 5

= 5

lim0,5(0,5 3,5)t

t

= 0,5 (0,5 × 5 + 3,5) = 3Alternatif Penyelesaian 3Jika t diganti menjadi T + 5, maka T = t – 5 dan jika t→5makaT→0,sehingga:

151MATEMATIKA

f(t) = 0,25t2 + 0,5t

f(5) = 0,25(5)2 + 0,5(5) = 8,75

f(T + 5) = 0,25(T + 5)2 + 0,5(T + 5) = 0,25T 2 + 3T + 8,75

5

( ) (5)lim 5t

f t ft = 0

( 5) (5)limT

f T fT

= 0

2(0,25 3 8,75) 8,75limT

f T TT

= 0

20,25 3limT

T TT

= 0

2lim0,25 3T

T0,25T + 3 = 3

3. Kegiatan Penutup• Minta siswa mengkomunikasikan kembali konsep-konsep materi


kan semua konsep dan sifat transformasi dari yang dipelajari.• Berikan penilaian terhadap proses dan hasil karya siswa dengan

menggunakan rubrik penilaian. Hasil kerja kelompok dikumpulkan oleh guru.

• Beri tugas kepada siswa sebagai latihan di rumah. • Informasikan materi yang akan dipelajari pada pertemuan berikut-

nya.

F. Penilaian

Prosedur PenilaianNo. Aspek yang dinilai Teknik Penilaian Waktu Penilaian1. Berani bertanya Pengamatan Kegiatan inti 2. Berpendapat Pengamatan Kegiatan inti 3. Mau mendengar orang lain Pengamatan Kegiatan inti 4. Bekerja sama Pengamatan Kegiatan inti 5. Pemahaman konsep Tes Tertulis Kegiatan penutup



No.Nama

Peserta Didik

Aspek

Jumlah NilaiKerja sama

Keaktif-an

Menghargai pendapat

teman

Tanggung jawab

1.2.3.4.. . .

Keterangan Skor:1 = (belum terlihat), apabila peserta didik belum memperlihatkan tanda-

tanda awal perilaku sikap yang dinyatakan dalam indikator.2 = (mulai terlihat), apabila peserta didik mulai memperlihatkan adanya




Skor Maksimal = 16Nilai = Skor Perolehan ×100%Skor Maksimal × 100%

2. Instrumen Penilaian PengetahuanContoh rubrik penilaian hasil penyelesaian soal oleh siswa. Dengan mem-pertimbangkan langkah-langkah penyelesaian soal yang dilakukan oleh siswa terhadap soal-soal yang diajukan guru maka dapat disusun rubrik penilaiannya. Alternatif pedoman penskorannya sebagai berikut.No. Aspek Penilaian Rubrik Penilaian Skor1. Pemahaman

terhadap konsep limit fungsi

Penyelesaian dihubungkan dengan konsep limit fungsi

5

153MATEMATIKA

No. Aspek Penilaian Rubrik Penilaian SkorSudah menghubungkan penyelesaian dengan konsep limit fungsi namun belum benar

3

Penyelesaian sama sekali tidak di-hubung kan dengan konsep limit fungsi.

1



3. Proses perhitungan Proses perhitungan benar 5Proses perhitungan sebagian besar benar 3Proses perhitungan sebagian kecil saja yang benar

2

Proses perhitungan sama sekali salah 1Tidak ada respon/jawaban 0

TotalSkor maksimal = 15Skor minimal = 0

3. Instrumen Penilaian Pengetahuan(Penilaian kinerja dalam menyelesaikan tugas Presentasi)

No.Nama

Peserta Didik

A s p e k

JumlahSkor NilaiKomu-

nikasi

Siste-matika

penyam-paian

Penguasa-an Materi

Kebera-nian

Antu-sias

1.2.3.4.5.. . .


Keterangan Skor:Komunikasi: Sistematika Penyampaian:1 = Tidak dapat berkomunikasi 1 = Tidak sistematis2 = Komunikasi agak lancar, tetapi 2 = Sistematis, uraian kurang, tidak sulit dimengerti jelas3 = Komunikasi lancar, tetapi 3 = Sistematis, uraian cukup kurang jelas dimengerti 4 = Komunikasi sangat lancar, 4 = Sistematis, uraian luas, jelas benar, dan jelasPenguasaan Materi: Keberanian:1 = Tidak menunjukkan 1 = Tidak ada keberanian pengetahuan/materi2 = Sedikit memiliki 2 = Kurang berani pengetahuan/materi3 = Memiliki pengetahuan/ 3 = Berani materi tetapi kurang luas4 = Memiliki pengetahuan/ 4 = Sangat berani materi yang luasAntusias:1 = Tidak antusias2 = Kurang antusias3 = Antusias tetapi kurang kontrol4 = Antusias dan terkontrol

G. Pengayaan

Bentuk pembelajaran pengayaan adalah pemberian asesmen portofolio tambahan yang memuat asesmen masalah autentik, proyek, keterampilan proses, check up diri, dan asesmen kerja sama kelompok. Sebelum asesmen inidikembangkan,terlebihdahuludilakukanidentifikasikemampuanbelajarberdasarkan jenis serta tingkat kelebihan belajar peserta didik. Misalnya, belajar lebih cepat, menyimpan informasi lebih mudah, keingintahuan lebih tinggi, berpikir mandiri, superior dan berpikir abstrak, dan memiliki banyak minat. Pembelajaran pengayaan dapat dilaksanakan melalui belajar kelompok, belajar mandiri, bimbingan khusus dari guru dan para ahli (mentor).

Skor Maksimal = 20Nilai = Skor Perolehan ×100%Skor Maksimal × 100%

155MATEMATIKA

Materi pembahasan pada pembelajaran pengayaan bertumpu pada pengembangan kompetensi dasar wajib tertera pada kurikulum matematika 2013, termasuk pengembangan kompetensi dasar peminatan. Materi pem-bahasan dituangkan dalam asesmen masalah autentik, proyek, keterampilan proses, check up diri, dan asesmen kerja sama kelompok. Keterampilan yang dibangun melalui materi matematika yang dipelajari adalah kemampuan berpikir tingkat tinggi (berpikir kreatif dan kritis) serta kemampuan adaptif terhadap perubahan, penggunaan teknologi dan membangun kerja sama antar siswa dan orang lain yang lebih memahami masalah yang diajukan dalam asesmen. H. Remedial

Pembelajaran remedial membantu peserta didik yang mengalami kesulitan dalam belajar. Pembelajaran remedial adalah tindakan perbaikan pembelajaran bagi peserta didik yang belum mencapai kompetensi. Remedial bukan mengulang tes (ulangan harian) dengan materi yang sama, tetapi guru memberikan perbaikan pembelajaran pada KD yang belum dikuasai oleh peserta didik melalui upaya tertentu. Bentuk pembelajaran remedial tergantung pada jumlah peserta didik yang mengalami kegagalan mencapai kompetensi dasar yang ditetapkan. Beberapa alternatif bentuk pelaksanaan pembelajaran remedial di sekolah.a. Jika jumlah peserta didik yang mengikuti remedial lebih dari 50%, maka

tindakan yang dilakukan adalah pemberian pembelajaran ulang dengan model dan strategi pembelajaran yang lebih inovatif berbasis pada berbagai kesulitan belajar yang dialami peserta didik yang berdampak pada peningkatan kemampuan untuk mencapai kompetensi dasar tertentu.

b. Jika jumlah peserta didik yang mengikuti remedial lebih dari 20% tetapi kurang dari 50%, maka tindakan yang dilakukan adalah pemberian tugas terstruktur baik secara berkelompok dan tugas mandiri. Tugas yang diberikan berbasis pada berbagai kesulitan belajar yang dialami peserta didik yang berdampak pada peningkatan kemampuan untuk mencapai kompetensi dasar tertentu.

c. Jika jumlah peserta didik yang mengikuti remedial maksimal 20%, maka tindakan yang dilakukan adalah pemberian bimbingan secara khusus, misalnya bimbingan perorangan oleh guru dan tutor sebaya.


I. Rangkuman

Setelah kita membahas materi limit ini, terdapat beberapa hal penting yang menjadi kesimpulan dari hasil penemuan berbagai konsep dan aturan tentang limit, disajikan sebagai berikut.1. Penentuan limit suatu fungsi di suatu titik c, sangat bergantung pada

kedudukan titik c dan domain fungsi tersebut. Dalam pembahasan limit fungsi pada buku ini, yang menjadi domain fungsi adalah himpunan bilanganrealdimanafungsitersebutterdefinisi.

2. Sebuah fungsi f dikatakan mempunyai limit di titik c jika dan hanya jika nilai fungsi untuk x dari kiri dan kanan menuju ke bilangan yang sama.

3. Suatu fungsi f mempunyai nilai limit di titik c, apabila nilai limit kiri sama dengan nilai limit kanan dari fungsi tersebut pada titik c.

4. Tidak semua fungsi mempunyai limit di titik c. Titik c tidak harus anggota domain fungsi, tetapi c anggota himpunan bilangan real.

5. Misalkan fsebuahfungsiyangterdefinisipadahimpunanbilanganrealdanc dan L adalah bilangan real, fungsi f mendekati L pada saat x mendekati c dapat kita tuliskan dengan lim ( )

x cf x = L.

6. Misalkan f(x), g(x) adalah fungsi yang mempunyai nilai limit pada x mendekati c, dengan k dan c adalah bilangan real serta n adalah bilangan bulat positif.a. lim ( )

x cf xk = k

b. lim ( )x c

f xx = c

c. lim ( ) lim ( )x c x c

kf x k f x

d. lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x c x c x c

f x g x f x g x

e. lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x c x c x c

f x g x f x g x

f. lim ( )( )lim dengan lim ( ) 0lim ( )( )x c

x c x cx c

f xf x g xg xg x

g. lim ( ) lim ( )x c

n

x c

nf x f x

→ →[ ] = ⎡⎣

⎤⎦

h. lim ( ) lim ( )x c x c

n nf x f x

157MATEMATIKA

A. Kompetensi Inti

Turunan

BAB

7

Sikap








dunia.

Pengetahuan







Keterampilan







Indikator pencapaian kompetensi pada pembelajaran dapat dikembangkan guru sendiri berdasarkan kondisi peserta didik masing-masing di tempat guru mengajar.

Berikut ini dipaparkan contoh Indikator Pencapaian Kompetensi Pem-belajaran yang dapat dijabarkan dari KD 3.8, 3.9 dan KD 4.8, 4.9.


1. 3.8 Menjelaskan sifat-sifat turunan fungsi aljabar dan menentukan turunan fungsi aljabar menggunakan definisiatausifat-sifat turunan fungsi.

3.8.1 Menemukan sifat-sifat turunan. 3.8.2 Menentukan turunan suatu

fungsi dengan menggunakan sifat-sifat turunan.

3.8.3 Mengomunikasikan hubungan garis sekan, garis singgung, dan garis normal.

3.8.4 Menemukan konsep garis sekan dan garis singgung dengan kaitannya dengan konsep limit fungsi.

3.8.5 Menemukan konsep turunan sebagai limit suatu fungsi.

3.8.6 Menemukan aturan-aturan turunan berdasarkan konsep limit fungsi

159MATEMATIKA

3.9 Menganalisis keberkaitanan turunan pertama fungsi dengan nilai maksimum, nilai minimum, dan selang kemonotonan fungsi, serta kemiringan garis singgung kurva.

3.9.1 Menemukan persamaan garis singgung dan persamaan garis normal pada suatu titik.

3.9.2 Menunjukkan keberkaitan turunan dalam menentukan titik stasioner serta kecekungan suatu fungsi.

3.9.3 Menunjukkan keberkaitan turunan dalam menentukan kemonotonan dan titik belok suatu fungsi.

3.9.4 Menyebutkan aplikasi turunan dalam kehidupan sehari-hari

2. 4.8 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan turunan fungsi aljabar.

4.9 Menggunakan turunan pertama fungsi untuk menentukan titik maksimum, titik minimum, dan selang kemonotonan fungsi, serta kemiringan garis singgung kurva, persamaan garis singgung, dan garis normal kurva berkaitan dengan masalah kontekstual.

4.8.1 Menentukan turunan suatu fungsi dengan menggunakan konsep limit fungsi.

4.8.2 Menyelesaikan masalah kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan konsep turunan

4.8.3 Menentukan turunan suatu fungsi dengan menggunakan aturan-aturan turunan.

4.9.1 Menentukan gradien suatu garis singgung dengan menggunakan konsep turunan dan menentukan persamaannya.

4.9.2 Menentukan persamaan garis singgung dan garis normal suatu fungsi.

4.9.3 Menentukan titik stasioner, kecekungan, kemonotonan serta titik belok suatu fungsi dengan menggunakan konsep turunan.

4.9.4 Menganalisis sketsa suatu fungsi dengan menggunakan konsep turunan



Setelah mempelajari konsep turunan melalui pengamatan, menalar, tanya jawab, mencoba menyelesaikan persoalan, penugasan individu dan kelompok, diskusi kelompok, dan mengomunikasikan pendapatnya, siswa mampu:1. Melatih siswa menumbuhkan sikap perilaku jujur, disiplin, tanggung

jawab, peduli (gotong royong, kerja sama, toleran, damai), santun, responsif dan pro-aktif, berani bertanya, berpendapat, dan menghargai pendapat orang lain dalam aktivitas sehari-hari.


3. Mengamati dan menyebutkan contoh penggunaan konsep turunan dalam kehidupan sehari-hari.

4. Menunjukkan garis sekan, garis singgung, garis normal, dan hubungannya pada gambar.

5. Menemukan konsep garis sekan dan garis singgung dengan kaitannya dengan konsep limit fungsi.

6. Menentukan persamaan garis singgung dan persamaan garis normal pada suatu titik.

7. Menemukan konsep turunan sebagai limit suatu fungsi.8. Menggunakan konsep limit fungsi untuk menemukan turunan suatu

fungsi.9. Menemukan sifat-sifat turunan.10. Menemukan aturan-aturan turunan berdasarkan konsep limit fungsi.11. Menggunakan aturan-aturan turunan untuk menemukan turunan suatu

fungsi.12. Menemukan titik stasioner suatu fungsi dan kecekungannya dengan

menggunakan konsep turunan.13. Menemukan interval kemonotonan dan titik belok suatu fungsi dengan

menggunakan konsep turunan.14. Menyelesaikan masalah kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan

konsep turunan.15. Menganalisis dan menggambar sketsa suatu fungsi dengan menggunakan

konsep turunan.

161MATEMATIKA

D. Diagram Alir

MasalahAutentik

Turunan Fungsi

Limit Fungsi

Fungsi

Turunan Fungsi

Titik Stasioner

Titik Belok

Grafik Fungsi

Fungsi Naik

MateriPrasyarat

Titik Maksimum

Titik Minimum



7.1 Menemukan Konsep Turunan Suatu Fungsi

Sebelum Pelaksanaan Kegiatan1. Bentuklah kelompok kecil siswa (3–4 orang) yang heterogen. Perhatikan

karakteristik siswa dalam satu kelompok sehingga mendukung pem-belajaranyangefisiendanefektif.


3. Siapkan semua fasilitas yang mendukung selama proses pembelajaran4. Siapkan RPP dan form penilaian.


1. Kegiatan Pendahuluan• Salam dari guru dan doa dipimpin oleh salah satu siswa.• ApersepsiIngatkan kembali siswa konsep fungsi dan konsep limit kiri dan

limit kanan suatu fungsiInformasikan bahwa ada keterkaitan konsep limit fungsi dengan

konsep turunan suatu fungsiInformasikan tujuan pembelajaran dan tata cara penilaian

2. Kegiatan Inti7.1.1 Menemukan Konsep garis sekan dan Garis TangenPengantarInformasikan kepada siswa, bahwa turunan adalah materi yang sangat aplikatif dalam kehidupan sehari-hari. Berikan contoh nyata aplikasi turunan dalam kehidupan sehari-hari, seperti masalah kecepatan, percepatan, masalah nilai optimal, dan lain-lain.

163MATEMATIKA

Ayo MenalarMasalah 7.1Minta siswa membaca dan memahami Masalah 7.1. Minta siswa memberikan komentar tentang arti menyinggung pada suatu grafik.Informasikan mengenai garis singgung dan garis sekan serta hubungannya.Minta siswa mengamati Gambar 7.2 dan meminta mengajukan berbagai pertanyaan terkait gambar serta menemukan pemaknaan istilah tali busur, garis normal, dan garis singgung pada kurva. Ingatkan kembali konsep gradien suatu garis yang melalui dua titik. Minta siswa mencoba menggambarkan tali busur (garis sekan) PQ, dengan posisi titik Q berada pada kurva yang semakin mendekati posisi titik P. Arahkan siswa menganalisis perubahan gerakan tali busur PQ. Untuk menemukan pengertian garis sekan arahkan siswa mengamati Gambar 7.3.

Ayo MengomunikasikanArahkan siswa secara kelompok menuliskan ciri-ciri garis sekan dan menuliskan pengertian garis sekan, garis tangen, serta menemukan aturan penentuan gradien garis sekan dan garis tangen. Minta siswa mempresentasikan hasil kerja kelompok dan arahkan ke sesi tanya jawab antara kelompok penyaji, dan siswa pendengar. Guru memantau kebenaran konsep yang disajikan.


Gurudansiswabersama-samamembangunDefinisi7.1.

Definisi 7.1:

Misalkan RSf : adalah fungsi kontinu dan titik ),( 11 yxP dan ),( 11 yyxxQ pada kurva f. Garis sekan menghubungkan

titik P dan Q dengan gradien msec = x

xfxxfm )()( 11sec

Ayo MenalarPandu siswa memahami Gambar 7.3. Tunjukkan, jika titik Q

mendekati P maka 0x sehingga diperoleh garis singgung di titik P dengan gradien:

mPGS = 0

limD ®xlim .ada limitnya Jika

)()(lim 11

0 xxfxxfm

xPGS (Jika limitnya ada).

Gurudansiswabersama-samamembangunDefinisi7.2.

Definisi 7.2:

Misalkan f adalah fungsi kontinu bernilai real dan titik ),( 11 yxP pada kurva f. Gradien garis singgung di titik ),( 11 yxP

adalah limit gradien garis sekan di titik ),( 11 yxP , ditulis: mGS =

0limD ®xlim msec =

0limD ®xlim ada limitnya Jika )()(limlim 11

0sec0 xxfxxfmm

xxGS (Jika limitnya ada)

Ayo MengamatiGuru mengajukan Contoh 7.1 untuk diamati. Guru men-demonstrasikan proses penyelesaian pada Contoh 7.1. Guru memberikan contoh lain untuk dikerjakan siswa secara pribadi atau berkelompok. Ingatkan siswa kembali konsep limit fungsi dan konsep persamaan garis lurus.

165MATEMATIKA

Ayo MenalarSetelah siswa dipandu menyelesaikan Contoh 7.1, minta siswa menyelesaikan Latihan 7.1 dan mendemonstrasikan hasil kerjanya di depan kelas. Pandu dan bantu jika ada proses yang kurang tepat.Berikut adalah alternatif penyelesaian Latihan 7.1.

Latihan 7.1Tentukan persamaan garis singgung di titik dengan absis x = -1 pada

kurva 4)( xxf .Alternatif Penyelesaian.

Misalkan 11x dan 1)1( 41y sehingga titik singgung P(-1,1).

Gradien garis singgung adalah: x

xfxxfmxpgs

)()(lim 110

x

fxfmxpgs

)1()1(lim0

x

xmxpgs

44

0

)1()1(lim

m x xxpgs x

= − + + − − + − −→

lim [( ) ( ) ][( ) ( ) ]∆

∆ ∆∆0

2 2 2 21 1 1 1

m x x xxpgs x

= − + + − − + + − − + − −→

lim [( ) ( ) ][( ) ( )][( ) ( )]∆

∆ ∆ ∆∆0

2 21 1 1 1 1 1

m x x xxpgs x

= − + + − +→

lim [( ) ]( )∆

∆ ∆ ∆∆0

21 1 2

m x xpgs x= − + + − + = −

→lim[( ) ]( )∆

∆ ∆0

21 1 2 4lim[(Jadi, persamaan garis singgung adalah y x− = − − −1 4 1( ( )) atau

034xy .


7.1.2 Turunan Sebagai Limit FungsiAyo MenalarJelaskan tujuan pembelajaran. Minta siswa memahami sub-bab 7.1.2. Informasikan bahwa turunan sebagai limit fungsi. Berdasarkan konsep gradien sebagai limit fungsi pada suatu titik, tunjukkan konsep turunan sebagai limit fungsi. Ingatkan kembali konsep limit fungsi. Arahkan siswa membangunDefinisi7.3danDefinisi7.4sertamemahaminya.

Definisi 7.3

Misalkan fungsi RSf : , RS dengan Sxcxc ),( . Fungsi f dapat diturunkan di titik c jika dan hanya jika

0limD ®xlim

xcfxcf

x

)()(lim0

ada.

Definisi 7.4

Misalkan RSf : dengan RS . Fungsi f dapat diturunkan pada S jika dan hanya jika fungsi f dapat diturunkan di setiap titik c di S.

Ayo MencobaArahkan siswa memahami langkah-langkah penyelesaian pada Contoh 7.2.Guru memberikan contoh lain untuk dikerjakan siswa.

Ayo MenalarBantusiswamemahamiDefinisi7.5.Gurumengaitkankembalikemateri limit fungsi (limit kiri dan kanan).

167MATEMATIKA

Definisi 7.5

Misalkan fungsi RSf : , RS dengan ( , )c x c x S− + ⊆∆ ∆ • Fungsi f memiliki turunan kanan pada titik c jika dan hanya jika

0limD ®xlim +

xcfxcf

x

)()(lim0

ada.

• Fungsi f memiliki turunan kiri pada titik c jika dan hanya jika

0limD ®xlim –

xcfxcf

x

)()(lim0

ada.

Berdasarkan pemahaman konsep turunan sebagai limit fungsi maka bangun Sifat 7.1. Ingatkan kembali siswa konsep limit kiri dan limit kanan suatu fungsi.

Sifat 7.1Misalkan fungsi RSf : , RS dengan Sx dan RL . Fungsi f dapat diturunkan di titik x jika dan hanya jika turunan kiri sama dengan turunan kanan, ditulis:

)(' xf = L 0

limD ®xlim + x

xfxxfx

)()(lim0

=0

limD ®xlim – L

xxfxxf

x

)()(lim0

Ayo MenalarUntuk memperkuat pemahaman siswa akan Definisi dan sifatturunan, ajukan Contoh 7.3 untuk dibaca dan dipahami. Guru memandu menunjukkan definisi dan sifat turunan yangterkandung pada Gambar 7.4.ArahkansiswamenalarDefinisi7.5.


3. Kegiatan PenutupMinta siswa mengomunikasikan kembali konsep-konsep materi yang telah diketahui setelah pembelajaran.Siswadangurubersama-samamelakukanrefleksidanmerangkumsemua konsep turunan dari yang dipelajari.Berikan penilaian terhadap proses dan hasil karya siswa dengan menggunakan rubrik penilaian. Hasil kerja kelompok dikumpulkan oleh guru.Beri tugas kepada siswa sebagai latihan dirumah. Informasikan materi yang akan dipelajari pada pertemuan berikutnya.

7.2 Turunan Fungsi Aljabar

Sebelum Pelaksanaan Kegiatan1. Bentuk kelompok kecil siswa (3-4 orang) yang heterogen. Perhatikan






Ingatkan kembali konsep gradien dan turunan sebagai limit fungsi.Informasikan kepada siswa, berdasarkan turunan sebagai limit fungsi, akan dikaji aturan-aturan turunan melalui limit fungsi.Informasikan tujuan pembelajaran dan cara penilaian.

169MATEMATIKA

2. Kegiatan IntiAyo MenalarMasalah 7.2Minta siswa membaca dan memahami Masalah 7.2.Jelaskan kepada siswa kesulitan-kesulitan yang mungkin terjadi pada saat menurunkan suatu fungsi dengan menggunakan limit fungsi. Arahkan siswa memahami Contoh 7.3 (a dan b) dan memahami kesulitan yang muncul padaproses penyelesaian pada Contoh 7.3 (c dan d). Untuk mempermudah menyelesaikan Contoh 7.3 (c dan d), diperlukan aturan-aturan turunan.Pandu siswa memahami aturan turunan (a) dan memberikan contohnya. Minta siswa menyelesaikan kembali Contoh 7.3 dengan menggunakan aturan turunan (a). Guru memberikan contoh lainnya untuk dikerjakan siswa. Minta siswa mengerjakan Latihan 7.2. Berikan kesempatan kepada siswa menjelaskan kinerjanya di depan kelas. Arahkan ke sesi tanya-jawab.Berikut penyelesaian Latihan 7.2.

Latihan 7.2

Coba kamu buktikan sendiri jika ( ) ( )f x au x= dengan u x' ( ) ada, maka '( ) '( )f x au x=


)(' xf = 0limD ®xlim

xxfxxf

x

)()(lim0

= 0limD ®xlim

0( ) ( )lim

x

au x x au xxD ®

+D -D

= a 0limD ®xlim

xxuxxua

x

)()(lim0

= '( )au x


Minta siswa memahami aturan turunan (b). Guru memberikan contoh dan mendemonstrasikan proses penyelesaiannya. Minta siswa mengerjakan Latihan 7.3. Berikan kesempatan kepada siswa menjelaskan kinerjanya di depan kelas. Arahkan ke sesi tanya-jawab.Berikut penyelesaian Latihan 7.3.

Latihan 7.3

Buktikan bahwa turunan fungsi )()()( xvxuxf adalah

)(')(')(' xvxuxfAlternatif Penyelesaian

f x'( ) = 0

( ) ( )limx

f x x f xx

= lim( ) ( ) ( ) ( )

∆

∆ ∆∆x

u x x v x x u x v xx→

+ − +( )− −( )0

= lim( ) ( ) ( ) ( )

∆

∆ ∆∆x

u x x u x v x x v xx→

+ −( )− + −( )0

= lim ( ) ( ) lim ( ) ( )∆ ∆

∆∆

∆∆x x

u x x u xx

v x x v xx→ →

+ − − + −0 0

= u′(x) – v′(x)

Ayo MenalarDengan menggunakan aturan-aturan turunan yang telah diperoleh, arahkan siswa memahami Contoh 7.5. Guru dapat memberikan contoh lainnya untuk dikerjakan.Pandu siswa memahami aturan turunan (c) pada Contoh 7.5. Guru memberikan contoh dan mendemonstrasikan proses penyelesaiannya.

171MATEMATIKA

Ayo MencobaGuru mengajukan beberapa contoh dan mengajak siswa mencoba menyelesaikannya.

Aturan Turunan 7.1: Misalkan f , u, v adalah fungsi bernilai real dan dapat diturunkan di interval I, a bilangan real dapat diturunkan maka:

1. axf )( axf )('

2. ( )f x ax= axf )('

3. ( ) nf x ax= 1'( ) . nf x n ax -=

4. ( ) ( )f x au x= '( ) '( )f x au x=

5. ( ) ( ) ( )f x u x v x= ± )(')(')(' xvxuxf

6. ( ) ( ) ( )f x u x v x= )(')()()(')(' xvxuxvxuxf

7. ( )( )( )

u xf xv x

= f x u x v x u x v xv x

'( ) '( ) ( ) ( ) '( )[ ( )]

= −2

Ayo MenalarPerintahkan siswa memahami Contoh 7.5 dan alternatif penyelesaiannya.Minta siswa mengerjakan Latihan 7.4 dengan memanfaatkan pemahaman konsep pada sub-bab 7.1 dan aturan turunan.Berikut alternatif penyelesaian latihan 7.4


Latihan 7.4

Tentukan persamaan garis singgung kurva 1

)(2

xxxf di titik

P(2, 4).Alternatif Penyelesaian:

Titik P(2,4) berada pada kurva 1

)(2

xxxf sebab jika kita

subtitusikan nilai 2x maka 412

2)2(2

f .

Pertama, kita tentukan turunan pertama dari fungsi 1

)(2

xxxf

dengan memisalkan 2)( xxu sehingga xxu 2)(' dan

21

)1(1)( xxxv sehingga 21

)1(21)(' xxv . Dengan demikian,

turunan pertama fungsi adalah 2))(()(')()()(')('

xvxvxuxvxuxf atau

1

)1(2

12)('

212

x

xxxxxf . Gradien garis singgung kurva di titik

P(2,4) adalah 21

24)2('f sehingga persamaan garis singgung

tersebut adalah )2(24 xy atau 02xy .

173MATEMATIKA

3. Kegiatan PenutupMinta siswa mengomunikasikan kembali konsep-konsep materi yang telah diketahui setelah pembelajaran.Siswadangurubersama-samamelakukanrefleksidanmerangkum-kan semua konsep dari yang dipelajari.Berikan penilaian terhadap proses dan hasil karya siswa dengan menggunakan rubrik penilaian. Hasil kerja kelompok dikumpulkan oleh guru.Beri tugas kepada siswa sebagai latihan di rumah. Informasikan materi yang akan dipelajari pada pertemuan berikutnya.

7.3 Aplikasi Turunan

Sebelum Pelaksanaan Kegiatan1. Bentuk kelompok kecil siswa (3-4 orang) yang heterogen. Perhatikan



3. Siapkan semua fasilitas yang mendukung selama proses pembelajaran.4. Siapkan RPP dan form penilaian.


1. Kegiatan Pendahuluan• Salam dari guru dan doa dipimpin oleh salah satu siswa.• ApersepsiIngatkan siswa kembali konsep turunan dan aturan-aturannya.Informasikan tujuan pembelajaran kepada siswa. Informasikan

aplikasi-aplikasi turunan.


2. Kegiatan Inti7.3.1 Konsep Kemonotonan FungsiAyo MengamatiMinta siswa mengamati Gambar 7.5a dan Gambar 7.5b. Minta siswa memberikan pendapatnya. Arahkan siswa memahami fungsi naik dan turun dari gambar-gambar. Jelaskan Definisi 7.6 kepada siswa serta menunjukkan dengangrafik.

Definisi7.6:

Misalkan fungsi RSf : , RS

• Fungsif dikatakan naik jika )()(,, 212121 xfxfxxSxx

• Fungsif dikatakan turun jika )()(,, 212121 xfxfxxSxx

Ayo MengamatiGuru mengajukan Contoh 7.7 dan mengajak siswa bersama-sama mencoba menyelesaikannya. Guru memberikan contoh lain untuk dicoba dikerjakan siswa. Minta siswa mengerjakan Latihan 7.5 dengan berkelompok. Siswa mempresentasikan kinerjanya di depan kelas. Guru memantau kebenaran konsep yang dipresentasikan siswa.Berikut alternatif penyelesaian Latihan 7.5.

Latihan 7.5

Bagaimana jika f x x x R x( ) ,= ∈ <3 0 dan , apakah grafik fungsi f adalah fungsi naik? Selidiki!

175MATEMATIKA


Ambil sebarang Rxx 21, dengan 021 xx3111 )( xxfxx

3222 )( xxfxx

Karena 021 xx maka 32

31 xx

Karena 32

31 xx maka )()( 21 xfxf

Dengan demikian, )()(, 2121 xfxfxxSx . Dapat disimpulkan f adalah fungsi naik.

Masalah 7.3Ayo MenalarArahkan siswa memahami Masalah 7.3. Minta siswa memahami masalah dengan Gambar 7.6 dan memahami fungsi naik dan fungsi turun pada Gambar 7.7. Minta siswa memahami interval pada sumbu t untuk gerak naik dan turun fungsi pada Gambar 7.7. Minta siswa mengerjakan Latihan 7.6 dengan berkelompok dan menyajikan hasil diskusi kelompoknya didepan kelas. Guru memantau kebenaran konsep.Berikut alternatif penyelesaian Latihan 7.6.


Latihan 7.6Coba kamu amati beberapa garis singgung yang menyinggung kurva di saat fungsi naik atau turun di bawah ini. Garis singgung 1 dan 3 menyinggung kurva pada saat fungsi naik dan garis singgung 2 dan 4 menyinggung kurva pada saat fungsi turun.

1

4

3

y = f (x)

PGS 4

PGS 2

PGS 1

PGS 3

2

Gambar 7.8: Garis singgung di interval fungsi naik dan fungsi turun

Garis singgung menyinggung fungsi di interval naik atau turun. Pada konsep persamaan garis lurus, gradien garis adalah tangen sudut yang dibentuk oleh garis itu sendiri dengan sumbu x positif. Konsep gradien garis singgung adalah tangen sudut garis terhadap sumbu positif sama dengan nilai turunan pertama di titik singgungnya. Berdasarkan gambar di atas diperoleh data pada tabel berikut:

177MATEMATIKA

Tabel 7.1: Hubungan gradien garis singgung dengan fungsi naik/turunPGS Sudut Nilai tangen Menyinggung di

PGS 1 10)(')tan( 3 xfm tan Fungsi Naik

PGS 2 360o - 20)(')360tan( 4

0 xfm tan Fungsi Turun

PGS 3 30)(')tan( 3 xfm tan Fungsi Naik

PGS 4 360o - 40)(')360tan( 4

0 xfm tan Fungsi Turun

Berdasarkan Gambar 7.8 dan Tabel 7.1 dapat disimpulkan:• Jika garis singgungmenyinggung grafik di interval fungsi naik

maka garis singgung akan membentuk sudut di kuadran I. Hal ini

menyebabkan gradien adalah positif atau 0)(' xfm .• Jikagarissinggungmenyinggunggrafikdiintervalfungsiturun

maka garis singgung akan membentuk sudut di kuadran IV. Hal

ini menyebabkan gradien adalah negatif atau 0)(' xfm . Dengan demikian, dapat kita simpulkan kembali:Tabel 7.1a: Hubungan turunan pertama dengan fungsi naik/turun

No. Nilai turunan pertama Keterangan1 axf )(' Fungsi selalu naik

2 axf )(' Fungsi selalu turun

3 axf )(' Fungsi tidak pernah turun

4 axf )(' Fungsi tidak pernah naik


Arahkan siswa membaca Sifat 7.2. Guru menjelaskan kembali dengan melalui Gambar 7.8

Sifat 7.2Misalkan f adalah fungsi bernilai real dan dapat diturunkan pada setiap

Ix maka1. Jika 0)(' xf maka fungsi selalu naik pada interval I.2. Jika 0)(' xf maka fungsi selalu turun pada interval I.3. Jika 0)(' xf maka fungsi tidak pernah turun pada interval I.4. Jika f '(x) 0 maka fungsi tidak pernah naik pada interval I.

Ayo MencobaGuru mengajukan Contoh 7.8, Contoh 7.9, dan Contoh 7.10 dan mengajak siswa bersama-sama mencoba menyelesaikan soal yang diajukan dengan menggunakan Sifat 7.2.Guru memberikan persoalan yang serupa untuk dikerjakan siswa.

7.3.2 Nilai Maksimum dan Minimum FungsiAyo MengamatiInformasikan kepada siswa, aplikasi turunan dalam menentukan nilai optimaldan titik belok suatu fungsi.

Minta siswa membaca dan memahami Masalah 7.4.

Ayo MengamatiMasalah 7.4Guru boleh menggunakan media (tali) untuk memperlihatkan gelombang berjalan dan mengarahkan siswa memahaminya berdasarkan Gambar 7.11.

179MATEMATIKA

Ingatkan siswa kembali konsep garis singgung di suatu titik pada grafikfungsi.Perintahkansiswamengamatigarissinggung(PGS)yaitu PGS 1, PGS 2, PGS 3, dan PGS 4 yang menyinggung kurva tepat dititik optimal (maksimum/minimum) fungsi tersebut.Pandu siswa memahami Gambar 7.12 dan hubungannya dengan Gambar 7.11 sehingga diperoleh Tabel 7.2.Pandu siswa membangun Sifat 7.3.

Sifat 7.3Misalkan f adalah fungsi bernilai real yang kontinu dan memiliki turunan pertama dan kedua pada sehingga: 1. Jika 0)(' 1xf maka titik ))(,( 11 xfx disebut stasioner/kritis.2. Jika 0)(' 1xf dan 0)('' 1xf maka titik ))(,( 11 xfx disebut

titik minimum fungsi.3. Jika 0)(' 1xf dan 0)('' 1xf maka titik ))(,( 11 xfx disebut

titik maksimum fungsi.4. Jika 0)('' 1xf maka titik ))(,( 11 xfx disebut titik belok.

Guru mengajukan Contoh 7.11 dan Contoh 7.12. Ingatkan siswa konsep fungsi kuadrat.

7.3.3 Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi pada Suatu IntervalMasalah 7.5Ayo Mengamati

Perintahkan siswa membaca, mengamati, menalar Gambar 7.15 dan meminta siswa mengkomunikasikan pendapatnya.Minta siswa mencari contoh fungsi sesuai Gambar 7.15Ajukan Contoh 7.13 untuk dikerjakan siswa kembali.


7.3.4 Konsep Turunan dalam Permasalahan Kecepatan dan Percepatan

Ayo MenalarMinta siswa membaca dan memahami aplikasi turunan dalam masalah percepatan dan kecepatan. Pandu siswa mempelajari konsep berdasarkan Masalah 7.6.

Ayo MengamatiMasalah 7.6

Minta siswa membaca dan memahami aplikasi turunan dalam kecepatan dan percepatan berdasarkan Masalah 7.6.Pandu siswa memahami Gambar 7.17 dengan kaitannya dengan Tabel 7.3 dan Tabel 7.4.Guru mengajukanContoh 7.14 dan Contoh 7.15 untuk dikerjakan kembali secara bersama-sama. Guru memberikan contoh lainnya untuk dikerjakan siswa secara pribadi atau berkelompok.

3. Kegiatan PenutupMinta siswa mengomunikasikan kembali konsep-konsep materi yang telah diketahui setelah pembelajaran.Siswadangurubersama-samamelakukanrefleksidanmerangkumsemua konsep dari yang dipelajari.Berikan penilaian terhadap proses dan hasil karya siswa dengan menggunakan rubrik penilaian. Hasil kerja kelompok dikumpulkan oleh guru.Beri tugas kepada siswa sebagai latihan di rumah. Informasikan materi yang akan dipelajari pada pertemuan berikut-nya.

181MATEMATIKA

7.4 Menggambar Grafik Fungsi

Sebelum Pelaksanaan Kegiatan1. Bentuk kelompok kecil siswa (3–4 orang) yang heterogen. Perhatikan






Ingatkan siswa kembali konsep turunan, aturan turunan dan aplikasinya.Informasikan kepada siswa, aplikasi turunan dalam menentukan titik stasioner, kecekungan dan kemonotonan suatu fungsi bergunauntukmensketsagrafikfungsitersebut.

2. Kegiatan IntiAyo MenalarPandu siswa menggunakan konsep turunan untuk menganalisis kurva suatu fungsi dan mensketsanya.Minta siswa memahami Contoh 7.16. Pandu siswa memahami langkah-langkah penggunaan konsep turunan.


Ayo MencobaPandu siswa mensketsa kurva fungsi tersebut. Tunjukkan kembali langkah a – dpadagrafik(Gambar7.18).Gurumemberikancontohlain untuk dikerjakan siswa secara berkelompok.Minta siswa mengerjakan Latihan 7.7.Berikut alternatif penyelesaian Latihan 7.7

Latihan 7.7

Analisis dan sketsalah kurva fungsi 34 2)( xxxf .Alternatif Penyelesaian:Langkah 1. Menentukan nilai pembuat nol fungsi.

02)( 34 xxxf 0)2(3 xx 03x atau 02x 0x atau 2xJadi, kurva melalui sumbu x di titik A(0, 0) atau B(–2, 0)

Langkah 2. Menentukan titik stasioner.

064)(' 23 xxxf

02 2x atau 032x

0x atau 23x

Nilai f(0) = 0 atau

Jadi, titik stasioner fungsi adalah A(0, 0) atau 3 27( , )2 16

C - - .

183MATEMATIKA

Langkah 3. Menentukan interval fungsi naik/turun Interval pembuat fungsi naik adalah:

064)(' 23 xxxf 0)32(2 2 xx

0x atau 23x

Ingat pelajaran pertidaksamaan Interval Naik Interval Naik

Interval Turun

0 23

+ +

‒

Jadi, fungsi akan naik pada23x , 0x dan turun

pada .23x

Langkah 4. Menentukan titik balik fungsiUntuk menentukan titik balik maksimum atau minimum fungsi, kita akan menguji titik stasioner ke turunan kedua fungsi.

2"( ) 12 12f x x x= + sehingga 0)(" xfTitik A(0,0) bukanlah sebuah titik balik.

2"( ) 12 12f x x x= + sehingga 09)23(''f

Titik 3 27( , )2 16

C - - adalah titik balik minimum.


Langkah 5. Menentukan titik belok2''( ) 12 12 0f x x x= + = 12 ( 1) 0x x+ =

12 0x = atau 01x 0x atau 1xNilai 0)0(f atau 1)1(fJadi, titik belok fungsi adalah A(0, 0) atau D(–1, –1).

Langkah 6. Menentukan beberapa titik bantu

x –7/4 –1/2 1/4 1/234 2xxy –343/256 –3/16 9/256 5/16

(x,y) P(–7/4,–343/256) Q(–1/2,–3/16) R(1/4,9/256) S(1/2,5/16)

Perhatikan gambar.

AB

C

DP

QR

Sturun

T. Balik Min C(–1,5; –1,688)

T. Belok D(–1; –1)

naik

naik

y = f(x)

T. Belok A(0; 0)

Gambar 7.19 Sketsa kurva fungsi f(x) = x4 + 2x3

185MATEMATIKA

3. Kegiatan PenutupMinta siswa mengomunikasikan kembali konsep-konsep materi yang telah diketahui setelah pembelajaran.Siswadangurubersama-samamelakukanrefleksidanmerangkumsemua konsep dan aturan turunan dari yang dipelajari.Berikan penilaian terhadap proses dan hasil karya siswa dengan menggunakan rubrik penilaian. Hasil kerja kelompok dikumpulkan oleh guru.Beri tugas kepada siswa sebagai latihan di rumah. Informasikan materi yang akan dipelajari pada pertemuan berikut-nya.

F. Penilaian

Prosedur PenilaianNo. Aspek yang dinilai Teknik Penilaian Waktu Penilaian

1 Berani bertanya Pengamatan Kegiatan inti 2 Berpendapat Pengamatan Kegiatan inti 3 Mau mendengar orang lain Pengamatan Kegiatan inti 4 Bekerja sama Pengamatan Kegiatan inti 5 Konsep Tes tertulis Kegiatan penutup


1. Instrumen Penilaian Sikap

(Sikap Kinerja dalam Menyelesaikan Tugas Kelompok)

No.Nama

Peserta Didik

Aspek

Jumlah NilaiKerja sama

KeaktifanMenghargai

Pendapat Teman

Tanggung Jawab

1

2

3

4

...


awal perilaku sikap yang dinyatakan dalam indikator2 = (mulai terlihat), apabila peserta didik mulai memperlihatkan adanya

tanda-tanda awal perilaku yang dinyatakan dalam indikator tetapi belum konsisten

3 = (mulai berkembang), apabila peserta didik sudah memperlihatkan tanda perilaku yang dinyatakan dalam indikator dan mulai konsisten

4 = (membudaya), apabila peserta didik terus-menerus memperlihatkan perilaku yang dinyatakan dalam indikator secara konsisten

Skor Maksimal = 16

187MATEMATIKA

2. Instrumen Penilaian Pengetahuan

Contoh rubrik penilaian hasil penyelesaian soal oleh siswa. Dengan mempertimbangkan langkah-langkah penyelesaian soal yang dilakukan oleh siswa terhadap soal-soal yang diajukan guru maka dapat disusun rubrik penilaiannya. Alternatif pedoman penskorannya sebagai berikut.


1. Pemahaman terhadap konsep turunan

Penyelesaian dihubungkan dengan konsep turunan

5

Sudah menghubungkan penyelesaian dengan konsep turunan namun belum benar

3

Penyelesaian sama sekali tidak dihubungkan dengan konsep turunan.

1

Tidak ada respons/jawaban 02. Kebenaran

jawaban akhir soal

Jawaban benar 5Jawaban hampir benar 3Jawaban salah 1Tidak ada respons/jawaban 0

3. Proses perhitungan

Proses perhitungan benar 5Proses perhitungan sebagian besar benar

3

Proses perhitungan sebagian kecil saja yang benar

2

Proses perhitungan sama sekali salah 1Tidak ada respons/jawaban 0

Total Skor maksimal = 15Skor minimal = 0



No.Nama Peserta Didik

A s p e kJumlahSkor

NilaiKomunikasi

Sistematika Penyampaian

Penguasaan Materi

Keberanian Antusias

1

2

3

4

5

...

Keterangan Skor:Komunikasi: 1 = Tidak dapat berkomunikasi 2 = Komunikasi agak lancar, tetapi sulit dimengerti 3 = Komunikasi lancar tetapi kurang jelas dimengerti 4 = Komunikasi sangat lancar, benar, dan jelas

Sistematika Penyampaian:1 = Tidak sistematis2 = Sistematis, uraian kurang jelas3 = Sistematis, uraian cukup4 = Sistematis, uraian luas, jelas

Penguasaan Materi: 1 = Tidak menunjukkan pengetahuan/materi 2 = Sedikit memiliki pengetahuan/materi 3 = Memiliki pengetahuan/materi tetapi kurang luas 4 = Memiliki pengetahuan/materi yang luas

189MATEMATIKA

Keberanian:1 = Tidak ada keberanian2 = Kurang berani3 = Berani4 = Sangat berani Antusias:1 = Tidak antusias2 = Kurang antusias3 = Antusias tetapi kurang kontrol4 = Antusias dan terkontrol

G. Pengayaan

Bentuk pembelajaran pengayaan adalah pemberian asesmen portofolio tambahan yang memuat asesmen masalah autentik, proyek, keterampilan proses, check up diri, dan asesmen kerja sama kelompok. Sebelum asesmen inidikembangkanterlebihdahuludilakukanidentifikasikemampuanbelajarberdasarkan jenis serta tingkat kelebihan belajar peserta didik. Misalnya, belajar lebih cepat, menyimpan informasi lebih mudah, keingintahuan lebih tinggi, berpikir mandiri, superior, berpikir abstrak, dan memiliki banyak minat. Pembelajaran pengayaan dapat dilaksanakan melalui belajar kelompok, belajar mandiri, bimbingan khusus dari guru dan para ahli (mentor).

Materi pembahasan pada pembelajaran pengayaan bertumpu pada pengembangan kompetensi dasar wajib tertera pada Kurikulum Matematika 2013, termasuk pengembangan kompetensi dasar peminatan. Materi pem-bahasan dituangkan dalam asesmen masalah autentik, proyek, keterampilan proses, check up diri, dan asesmen kerja sama kelompok. Keterampilan yang dibangun melalui materi matematika yang dipelajari adalah kemampuan berpikir tingkat tinggi (berpikir kreatif dan kritis) serta kemampuan adaptif terhadap perubahan, penggunaan teknologi dan membangun kerja sama antar siswa dan orang lain yang lebih memahami masalah yang diajukan dalam asesmen.


H. Remedial

Pembelajaran remedial membantu peserta didik yang mengalami kesulitan dalam belajar. Pembelajaran remedial adalah tindakan perbaikan pembelajaran bagi peserta didik yang belum mencapai kompetensi. Remedial bukan mengulang tes (ulangan harian) dengan materi yang sama, tetapi guru memberikan perbaikan pembelajaran pada KD yang belum dikuasai oleh peserta didik melalui upaya tertentu.

Bentuk pembelajaran remedial tergantung pada jumlah peserta didik yang mengalami kegagalan mencapai kompetensi dasar yang ditetapkan. Beberapa alternatif bentuk pelaksanaan pembelajaran remedial di sekolah.a. Jika jumlah peserta didik yang mengikuti remedial lebih dari 50%, maka


b. Jika jumlah peserta didik yang mengikuti remedial lebih dari 20% tetapi kurang dari 50%, maka tindakan yang dilakukan adalah pemberian tugas terstruktur baik secara berkelompok dan tugas mandiri. Tugas yang diberikan berbasis pada berbagai kesulitan belajar yang dialami peserta didik yang berdampak pada peningkatan kemampuan untuk mencapai kompetensi dasar tertentu.

c. Jika jumlah peserta didik yang mengikuti remedial maksimal 20%, maka tindakan yang dilakukan adalah pemberian bimbingan secara khusus, misalnya bimbingan perorangan oleh guru dan tutor sebaya.

I. Rangkuman

Kita telah menemukan konsep turunan fungsi dan sifat-sifatnya dari berbagai pemecahan dunia nyata. Berdasarkan sajian materi terkait berbagai konsep dan sifat turunan fungsi di atas, beberapa hal penting dapat kita rangkum sebagai berikut:1. Misalkan RRf : adalah fungsi kontinu dan titik ),( 11 yxP dan

),( 11 yyxxQ pada kurva f. Garis sekan adalah yang menghubungkan

titik P dan Q dengan gradien msec xxfxxfm )()( 11

sec

191MATEMATIKA

2. Misalkan f adalah fungsi kontinu bernilai real dan titik ),( 11 yxP pada kurva. Gradien garis tangen/singgung di titik ),( 11 yxP adalah nilai limit garis

sekan di titik ),( 11 yxP , ditulis 1 1tan sec0 0

( ) ( )lim limx x

f x x f xm mx

3. Misalkan fungsi RSf : , RS dengan Sxcxc ),( dengan 0x . Fungsi f dapat diturunkan pada titik c jika dan hanya jika nilai

0limD ®xlim

xcfxcf

x

)()(lim0

ada.

4. Misalkan RSf : dengan RS . Fungsi f dapat diturunkan pada S jika dan hanya jika fungsi f dapat diturunkan pada setiap titik c di S.

5. Misalkan fungsi RSf : , RS dengan Sc dan RL . Fungsi f dapat diturunkan di titik c jika dan hanya jika nilai turunan kiri sama dengan nilai

turunan kanan, ditulis: )(' cf = L Lcx

cfxfcx

cfxfcxcx

)()(lim)()(lim0

limD ®xlim +

0limD ®xlim – .

6. Aturan Turunan: Misalkan f , u, v adalah fungsi bernilai real pada interval I, a bilangan real dapat diturunkan maka:1. axf )( 0)(' xf2. axxf )( ax axf )('3. naxxf )( axn 1)(' naxxf ax


7. Misalkan f adalah fungsi bernilai real dan dapat diturunkan pada Ix maka:1. Jika 0)(' xf maka kurva selalu naik pada interval I2. Jika 0)(' xf maka kurva selalu turun pada interval I3. Jika 0)(' xf maka kurva tidak pernah turun pada interval I4. Jika 0)(' xf maka kurva tidak pernah naik pada interval I

8. Misalkan f adalah fungsi bernilai real yang kontinu dan ada turunan pertama dan kedua pada Ix1 sehingga: 1. Jika 0)(' 1xf maka titik P ))(,( 11 xfx disebut dengan stasioner/

kritis.2. Jika 0)(' 1xf dan 0)('' 1xf maka titik P ))(,( 11 xfx disebut titik

balik minimum fungsi.3. Jika 0)(' 1xf dan 0)('' 1xf maka titik P ))(,( 11 xfx disebut titik

balik maksimum fungsi.4. Jika 0)('' 1xf maka titik P ))(,( 11 xfx disebut titik belok.

9. Kecepatan adalah laju perubahan dari fungsi )(tfs terhadap perubahan waktu t, yaitu:

0

( ) ( )( ) lim '( ) i

t

f t t f tv t f t et

atau )(')( tstv

Percepatan adalah laju perubahan dari fungsi kecepatan )(tv terhadap perubahan waktu t, yaitu:

0

( ) ( )( ) lim '( )t

v t t v ta t v tt

atau )('')(')( tstvta

Selanjutnya, kita akan membahas tentang materi integral. Materi prasyarat yang harus kamu kuasai adalah himpunan, fungsi, limit fungsi, dan turunan. Hal ini sangat berguna dalam penentuan integral suatu fungsi sebagai antiturunan. Semua apa yang kamu sudah pelajari sangat berguna untuk melanjutkan bahasan berikutnya dan seluruh konsep dan aturan-aturan matematika dibangun dari situasi nyata dan diterapkan dalam pemecahan masalah kehidupan.

193MATEMATIKA

Integral

BAB

8

A. Kompetensi Inti

Sikap








dunia.

Pengetahuan







Keterampilan







Indikator pencapaian kompetensi pada pembelajaran dapat dikembangkan guru sendiri berdasarkan kondisi peserta didik masing-masing di tempat guru mengajar. Berikut ini dipaparkan contoh Indikator Pencapaian Kompetensi Pembelajaran yang dapat dijabarkan dari KD 3.10 dan KD 4.10.


1. 3.10 Mendeskripsikan inte gral tak tentu (an titurunan) fung-si aljabar dan menganalisis sifat-sifatnya berdasarkan sifat-sifat turunan fungsi.

3.10.1 M e n e m u k a n k o n s e p integral tak tentu sebagai kebalikan dari turunan fungsi.

3.10.2 Memahami notasi integral.3.10.3 Menemukan rumus dasar

dan sifat dasar integral tak tentu.

2. 4.10 Menyelesaikan masalah yang ber kaitan dengan i n t e g r a l t a k t e n t u (antiturunan) fungsi aljabar.

4.10.1 Menggunakan konsep Integral tak tentu se-bagai kebalikan dari turunan fungsi dalam menyelesaikan masalah.

4.10.2 Menggunakan notas i integral.

4.10.3 Menggunakan rumus dasar dan sifat dasar integral tak tentu dalam menyelesaikan masalah.

195MATEMATIKA


Setelah mempelajari konsep integral melalui pengamatan, menalar, tanya jawab, mencoba menyelesaikan persoalan, penugasan individu dan kelompok, diskusi kelompok, dan mengomunikasikan pendapatnya, siswa mampu:1. Melatih siswa menumbuhkan sikap perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab,



3. Menemukan konsep integral tak tentu sebagai kebalikan dari turunan fungsi.4. Memahami notasi integral.5. Menemukan rumus dasar dan sifat dasar integral tak tentu.6. Menggunakan konsep integral tak tentu sebagai kebalikan dari Turunan

Fungsi dalam menyelesaikan masalah.7. Menggunakan notasi integral.8. Menggunakan rumus dasar dan sifat dasar integral tak tentu dalam

menyelesaikan masalah.


Integral

Integral Tak Tentu

Masalah Autentik

Integral Tentu

Fungsi Aljabar

Penerapan

D. Diagram Alir

197MATEMATIKA

E. Proses Pembelajaran8.1 Menemukan Konsep Integral Tak Tentu sebagai Kebalikan dari

Turunan FungsiNo. Deskripsi Kegiatan1. Kegiatan Pendahuluan

• Pembelajaran dimulai dengan doa dan salam• Apersepsi

1. Guru memberikan beberapa pengantar tentang aplikasi turunan pada beberapa bidang, misalnya bidang fisikatentang kecepatan dan menceritakan keterlibatan integral dalam terapan ilmu lain seperti geometri, teknologi, biologi, ekonomi sangat membantu untuk pengembangan ilmu lain tersebut maupun perkembangan integral yang masuk dalam ilmu kalkulus.

2. Informasikan kepada siswa bahwa mereka akan mempelajari tentang menemukan konsep integral tak tentu sebagai kebalikan dari turunan fungsi.

2. Kegiatan IntiPengantar Pembelajaran• Minta siswa untuk memperhatikan Masalah 8.1.Mengamati• Ajaklah siswa untuk mengamati dan memahami Masalah 8.1.• Berilah kesempatan kepada siswa untuk mendiskusikan tentang

informasi yang diperoleh dari kegiatan memindahkan barang di dermaga.

Menanya• Selanjutnya minta siswa untuk bertanya tentang apa-apa saja yang

belum dipahaminya dalam Masalah 8.1 tersebut. Menalar• Ajaklah siswa untuk mendiskusikan permasalahan yang terdapat

pada kegiatan menalar. Perhatikan siswa yang sedang melakukan kegiatan menalar.


Alternatif PenyelesaianMisalkan masalah di atas kita sketsa dengan sederhana pada gambar berikut:

Gambar 8.1. Barang diturunkan ke bidang miring

Sekarang, kita misalkan jaring (barang) yang diturunkan adalah sebuah fungsi, bidang miring sebuah garis, ketinggian adalah sumbu y, dan permukaan dermaga adalah sumbu x maka gambar tersebut dapat disketsa ulang dengan sederhana pada bidang koordinat kartesius.

Jika jaring tersebut sebuah kurva dan diturunkan pada Gambar 8.2 maka berdasarkan konsep Transfromasi (translasi), terjadi perubahan nilai konstanta pada fungsi tersebut sampai akhirnya kurva tersebut akan menyingung bidang miring atau garis. Perhatikan gambar kembali.

Berdasarkan Gambar 8.3, kurva yang bergerak turun akan menyinggung garis tersebut. Ingat kembali konsep gradien sebuah garis singgung bahwa gradien garis singgung adalah turunan pertama fungsi yang disinggung garis tersebut. Berdasarkan konsep tersebut maka Gambar 8.3 memberikan informasi bahwa: m adalah turunan pertama y′.

Gambar 8.2. Jaring dan bidang miring sebagai kurva dan garis pada bidang koordinat

kartesius

Gambar 8.3. Perubahan konstanta fungsi pada translasi kurva

199MATEMATIKA

Atau xfdxdym ' dy dx

sehingga y adalah anti turunan dari m. dengan demikian antiturunan dari m adalah y = f (x) + ck. Hal ini berarti bahwa nilai konstanta ck dapat berubah-ubah.Jadi, kita telah memahami bahwa integral adalah antiturunan dari sebuah fungsi. Antiturunan dari sebuah fungsi akan mempunyai konstanta yang belum dapat ditentukan nilainya. Untuk lebih memahaminya, kita ingat kembali proses turunan sebuah fungsi pada masalah berikut.Mengamati• Ajaklah siswa untuk mengamati dan memahami Masalah 8.2.• Berilah kesempatan kepada siswa untuk mendiskusikan tentang

informasi yang diperoleh dari kegiatan memindahkan barang di dermaga.

Menanya• Selanjutnya minta siswa untuk bertanya tentang apa-apa saja yang


pada kegiatan menalar. Perhatikan siswa yang sedang melakukan kegiatan Menalar

Alternatif Penyelesaian:turunan fungsi

a) F(x) = 4

41 x adalah

34

41')()(' xx

dxdyxfxF

dx

b) F(x) = 441 4x adalah

F’(x) = f (x) = y' = 34 441')()(' xx

dxdyxfxF dx


c) F(x) = 841 4x , maka:

34 8

41')()(' xx

dxdyxfxF

dx

d) F(x) = 21

41 4x , maka:

34

21

41')()(' xx

dxdyxfxF

dx

e) F(x) = 20713

41 4x 13 , maka:

34

20713

41')()(' xx

dxdyxfxF

13 dx

Jika dilakukan pengamatan terhadap kelima fungsi, maka seluruh fungsi F(x) tersebut merupakan antiturunan dari fungsi f(x) = x3, sementara fungsi F(x) memiliki konstanta yang berbeda-beda. Jadi, dapat ditunjukkan bahwa sebuah fungsi dapat memiliki banyak antiturunan. Jika F(x) adalah fungsi yang dapat diturunkan, yaitu f(x) maka antiturunan dari f(x) adalah F(x) + c dengan c adalah sembarang konstanta.Menarik Kesimpulan• Berdasarkan penyelesaian masalah dan bantuan guru minta siswa

untukdapatmembuatdefinisitentangantiturunan.• Berdasarkan pemahaman beberapa contoh minta siswa untuk

membuat tentang sifat-sifat yang terkait dengan turunan dan antiturunan.

3. Kegiatan Penutup• Berikan penilaian terhadap proses dan hasil karya siswa dengan

menggunakan rubrik penilaian.

201MATEMATIKA

8.2 Notasi IntegralNo. Deskripsi Kegiatan1. Kegiatan Pendahuluan

• Apersepsi1. Informasikan kepada siswa bahwa mereka hanya akan

mengenal tentang lambang integral yang akan digunakan sebagai lambang antiturunan.

2. Kegiatan IntiMinta siswa untuk memperhatikan Masalah 8.2 dan penyelesaiannya dan minta juga siswa untuk menggunakan lambang integral pada penyelesaiannya.

a) F(x) = 4

41 x , maka:

34

41')()(' xx

dxdyxfxF

d dx sehingga diperoleh

F x f x dx x dx x c( ) = ( ) = = +∫ ∫ 3 41

4

b) F(x)= 441 4x , maka:

F '(x) = f(x) = y' = 34 4

41')()(' xx

dxdyxfxF d

dx sehingga diperoleh

F x f x dx x dx x c( ) = ( ) = = +∫ ∫ 3 41

4

c) F(x) = 841 4x , maka:

34 841')()(' xx

dxdyxfxF


F x f x dx x dx x c( ) = ( ) = = +∫ ∫ 3 41

4


d) F(x) = 21

41 4x , maka:

34

21

41')()(' xx

dxdyxfxF d


F x f x dx x dx x c( ) = ( ) = = +∫ ∫ 3 41

4

e) F(x) = , maka:

34

20713

41')()(' xx

dxdyxfxF dx

13 sehingga diperoleh

F x f x dx x dx x c( ) = ( ) = = +∫ ∫ 3 41

43. Kegiatan Penutup

• Berikan penilaian terhadap proses dan hasil karya siswa dengan menggunakan rubrik penilaian.

8.3 Rumus Dasar dan Sifat Dasar Integral Tak TentuNo. Deskripsi Kegiatan1. Kegiatan Pendahuluan

• Apersepsi1. Guru meminta siswa untuk melihat penyelesaian masalah dan

contoh-contoh yang sudah diselesaikan sebelumnya.2. Informasikan kepada siswa bahwa mereka akan mempelajari

tentang rumus dasar dan sifat dasar integral tak tentu

2. Kegiatan IntiMengamati• Minta siswa untuk mengamati beberapa penyelesaian masalah dan

contoh-contoh.Menanya• Selanjutnya minta siswa untuk bertanya tentang apa-apa saja yang

belum dipahaminya dalam penyelesaian masalah dan contoh-contoh tersebut.

203MATEMATIKA

Menalar• Ajaklah siswa untuk mendiskusikan permasalahan yang terdapat

pada kegiatan menalar. Perhatikan siswa yang sedang melakukan kegiatan Menalar, dan minta siswa untuk memahami tentang sifat 8.3

Sifat 8.3Jika F(x) adalah fungsi dengan F′(x) = f (x) maka

dengan C sebarang konstanta

Mengamati• Ajaklah siswa untuk mengamati dan memahami Masalah 8.3• Berilah kesempatan kepada siswa untuk mendiskusikan tentang

informasi yang diperoleh tentang aturan proses integrasi.Menanya• Selanjutnya minta siswa untuk bertanya tentang apa-apa saja yang


pada kegiatan menalar. Perhatikan siswa yang sedang melakukan kegiatan menalar.

Alternatif Penyelesaian:Untuk menjawab permasalahan ini, akan dilakukan beberapa pengamatan pada beberapa contoh turunan dan antiturunan suatu fungsi yang sederhana. Kamu diminta mengamati dan menemukan pola dari proses antiturunan fungsi tersebut. Perhatikan Tabel 8.1.


Tabel 8.1 Pola Hubungan Turunan dan Antiturunan fungsi y = axn

Turunan Fungsi (f(x))

Antiturunan Fungsi (F(x)) Pola

1 x

2x x2

3x2 x3

8x3 2x4

… … …

anxn – 1 axn

axn ?

Dari pengamatan pada tabel tersebut, dapat dilihat sebuah aturan

integral atau pola antiturunan dari turunannya yaitu 1

1nn x

nadxaxax dx .

MencobaSelanjutnya minta siswa untuk menemukan pola hubungan turunan dan antiturunan beberapa fungsi yang ada pada Tabel 8.2.Menalar• Ajaklahsiswauntukmendiskusikanpermasalahanyangterdapat

pada kegiatan menalar. Perhatikan siswa yang sedang melakukan kegiatan Menalar, dan minta siswa untuk memahami tentang Sifat 8.4 , 8.5, dan 8.6.

205MATEMATIKA

Sifat 8.4n bilangan rasional dan n – 1, maka

(i) Cxn

dxx nn 1

11dx

(ii) Cxn

adxax nn 1

1ax dx

dengan a dan c konstanta real

Sifat 8.5Misalkan k bilangan real, f(x) dan g(x) merupakan fungsi yang dapat ditentukan integralnya, maka :1. Cxdxdx

2. Ckxdxk dx kx

3. Cnxdxx

nn

1

1

dx

4. dxxfkdxxfk )()( dx dx

5. dxxgdxxfdxxgxf )()()()( dx dx dx

6. dxxgdxxfdxxgxf )()()()( dx dx dx

Sifat 8.6Misalkan adalah fungsi yang dapat diintegralkan. Integral tak tentu hasil penjumlahan dua fungsi atau lebih sama dengan integral tak tentu dari masing-masing fungsi, yaitu:f x f x f x dx f x dx f x dx f x dn n1 2 1 2( ) + + + ( )( ) = ( ) + + + ( )∫ ∫ ∫ ∫( ) ... ( ) ... xxdx

Selanjutnya, minta siswa memahami contoh-contoh yang diberikan untuk melatih kemampuan dalam menguasai sifat-sifat yang sudah dipahami.


Menarik Kesimpulan• Berdasarkanpenyelesaianmasalahdanbantuangurumintasiswa

untuk dapat membuat kesimpulan dari hasil pembahasan materi integral yaitu: 1. Integral merupakan antiturunan, sehingga integral saling

invers dengan turunan.2. Jika F(x) adalah sebuah fungsi dengan F '(x) = f(x) dapat

dikatakan bahwa:a. turunan dari F(x) adalah f(x) dan,b. antiturunan dari f(x) adalah F(x).

3. Jika F(x) adalah sebarang antiturunan dari f(x) dan C adalah sebarang konstanta, maka F(x) + C juga antiturunan dari f(x).

4. Jika F'(x) = f(x) maka


menggunakan rubrik penilaian

F. Penilaian

Prosedur PenilaianNo. Aspek yang dinilai Teknik Penilaian Waktu Penilaian1. Berani bertanya Pengamatan Kegiatan inti 2. Berpendapat Pengamatan Kegiatan inti 3. Mau mendengar orang lain Pengamatan Kegiatan inti 4. Bekerjasama Pengamatan Kegiatan inti 5. Konsep Tes Tertulis Kegiatan penutup

207MATEMATIKA


No.Nama

Peserta Didik

Aspek

Jumlah NilaiKerja sama Keaktifan

Menghargai pendapat

teman

Tanggung jawab

1.2.3.4.....

Keterangan Skor:1 = (belum terlihat), apabila peserta didik belum memperlihatkan tanda-

tanda awal perilaku sikap yang dinyatakan dalam indikator.2 = (mulai terlihat), apabila peserta didik mulai memperlihatkan adanya




Skor Maksimal = 16

100%MaksimalSkor PerolehanSkor Nilai


2. Instrumen Penilaian PengetahuanContoh rubrik penilaian hasil penyelesaian soal oleh siswa. Dengan mempertimbangkan langkah-langkah penyelesaian soal yang dilakukan oleh siswa terhadap soal-soal yang diajukan guru maka dapat disusun rubrik penilaiannya. Alternatif pedoman penskorannya sebagai berikut.

No. Aspek Penilaian Rubrik Penilaian Skor1. Pemahaman terhadap

konsep integral Penyelesaian dihubungkan dengan konsep integral

5

Sudah menghubungkan penyelesaian dengan konsep integral namun belum benar

3

Penyelesaian sama sekali tidak dihubungkan dengan konsep integral

1



3. Proses perhitungan Proses perhitungan benar 5Proses perhitungan sebagian besar benar

3

Proses perhitungan sebagian kecil saja yang benar

2

Proses perhitungan sama sekali salah

1

Tidak ada respon/jawaban 0Total Skor maksimal = 15

Skor minimal = 0

209MATEMATIKA


No.Nama

Peserta Didik

A s p e k

JumlahSkor NilaiKomuni-

kasi

Siste-matika

penyam-paian

Penguasaan Materi

Kebera-nian

Antu-sias

1.2.3.4.5....

Keterangan Skor:Komunikasi: Sistematika Penyampaian:1 = Tidak dapat berkomunikasi 1 = Tidak sistematis2 = Komunikasi agak lancar, tetapi 2 = Sistematis,uraian kurang, sulit dimengerti tidak jelas3 = Komunikasi lancar, tetapi 3 = Sistematis, uraian cukup kurang jelas dimengerti 4 = Komunikasi sangat lancar, 4 = Sistematis, uraian luas, jelas benar dan jelas

Penguasaan Materi: Keberanian:1 = Tidak menunjukkan 1 = Tidak ada keberanian pengetahuan/materi2 = Sedikit memiliki 2 = Kurang berani pengetahuan/materi3 = Memiliki pengetahuan/ 3 = Berani materi tetapi kurang luas4 = Memiliki pengetahuan/ 4 = Sangat berani materi yang luas


Antusias:1 = Tidak antusias2 = Kurang antusias3 = Antusias tetapi kurang kontrol4 = Antusias dan terkontrol

G. Pengayaan

Bentuk pembelajaran pengayaan adalah pemberian asesmen portofolio tambahan yang memuat asesmen masalah autentik, proyek, keterampilan proses, check up diri, dan asesmen kerja sama kelompok. Sebelum asesmen inidikembangkan,terlebihdahuludilakukanidentifikasikemampuanbelajarberdasarkan jenis serta tingkat kelebihan belajar peserta didik. Misalnya, belajar lebih cepat, menyimpan informasi lebih mudah, keingintahuan lebih tinggi, berpikir mandiri, superior dan berpikir abstrak, dan memiliki banyak minat. Pembelajaran pengayaan dapat dilaksanakan melalui belajar kelompok, belajar mandiri, bimbingan khusus dari guru dan para ahli (mentor).Materi pembahasan pada pembelajaran pengayaan bertumpu pada pengembangan kompetensi dasar wajib tertera pada kurikulum matematika 2013, termasuk pengembangan kompetensi dasar peminatan. Materi pembahasan dituangkan dalam asesmen masalah autentik, proyek, keterampilan proses, check up diri, dan asesmen kerja sama kelompok. Keterampilan yang dibangun melalui materi matematika yang dipelajari adalah kemampuan berpikir tingkat tinggi (berpikir kreatif dan kritis) serta kemampuan adaptif terhadap perubahan, penggunaan teknologi dan membangun kerja sama antar siswa dan orang lain yang lebih memahami masalah yang diajukan dalam asesmen.

100%MaksimalSkor PerolehanSkor Nilai

Skor Maksimal = 20

211MATEMATIKA

G. Remedial

Pembelajaran remedial membantu peserta didik yang mengalami kesulitan dalam belajar. Pembelajaran remedial adalah tindakan perbaikan pembelajaran bagi peserta didik yang belum mencapai kompetensi. Remedial bukan mengulang tes (ulangan harian) dengan materi yang sama, tetapi guru memberikan perbaikan pembelajaran pada KD yang belum dikuasai oleh peserta didik melalui upaya tertentu. Bentuk pembelajaran remedial tergantung pada jumlah peserta didik yang mengalami kegagalan mencapai kompetensi dasar yang ditetapkan. Beberapa alternatif bentuk pelaksanaan pembelajaran remedial di sekolah.a. Jika jumlah peserta didik yang mengikuti remedial lebih dari 50%, maka


b. Jika jumlah peserta didik yang mengikuti remedial lebih dari 20% tetapi kurang dari 50%, maka tindakan yang dilakukan adalah pemberian tugas terstruktur baik secara berkelompok dan tugas mandiri. Tugas yang diberikan berbasis pada berbagai kesulitan belajar yang dialami peserta didik yang berdampak pada peningkatan kemampuan untuk mencapai kompetensi dasar tertentu.Jika jumlah peserta didik yang mengikuti remedial maksimal 20%, maka tindakan yang dilakukan adalah pemberian bimbingan secara khusus, misalnya bimbingan perorangan oleh guru dan tutor sebaya.


H. RangkumanBeberapa hal penting sebagai kesimpulan dari hasil pembahasan materi Integral, disajikan sebagai berikut:1. Integral merupakan antiturunan, sehingga integral saling invers dengan

turunan.2. Jika F(x) adalah sebuah fungsi dengan F '(x) = f(x) dapat dikatakan bahwa:

a. Turunan dari F(x) adalah f(x) dan,b. Antiturunan dari f(x) adalah F(x),

3. Jika F(x) adalah sebarang antiturunan dari f(x) dan C adalah sebarang konstanta, maka F(x) + C juga antiturunan dari f(x).

4. Jika F’(x) = f(x) maka

213MATEMATIKA

Anton. Howard, Rorres. Chris. (2005). Elementary Linear Algebra with Applications. John Wiley & Sons, Inc.

Ball, Deborah Loewenberg. (2003). Mathematical Proficiency for All Students (Toward a Strategic Research and Development Program in Mathematics Education). United States of America: RAND.

Checkley , Kathy (2006). The Essentials of Mathematics, Grades 7 -12. United States of America: The Association for Supervision and Curriculum Development (ASCD).

Chung, Kai Lai. (2001). A Course in Probability Theory, USA: Academic Press.Committee on science and mathematics teacher preparation, center for education

national research council (2001). Educating Teachers of Science, Mathematics, and Technology (New Practice for New Millennium). United States of America: the national academy of sciences.

Douglas. M, Gauntlett. J, Gross. M. (2004). Strings and Geometry. United States of America: Clay Mathematics Institute.

Hefferon, Jim (2006). Linear Algebra. United States of America: Saint Michael’s College Colchester.

Howard, dkk. (2008). California Mathematics. Consepts, Skills, and Problem Solving 7. Columbus-USA, The McGraw-Hill Companies, Inc.

Johnstone. P.T. (2002). Notes on Logic and Set Theory. New York: University of Cambridge.

Magurn A, Bruce. (2002). Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. United Kingdom: United Kingdom at the University Press, Cambridge.

Slavin, Robert, E. (1994). Educational Psychology, Theories and Practice. Fourth Edition. Masschusetts: Allyn and Bacon Publishers.


Sinaga, Bornok. (2007). Pengembangan Model Pembelajaran Matematika Berdasarkan Masalah Berbasis Budaya Batak. Surabaya: Program Pascasarjana UNESA.

Tan, Oon Seng. (1995). Mathematics. A Problem Solving Approach. Singapore: Federal Publication (S) Pte Lsd.

Urban. P, Owen. J, Martin. D, Haese. R, Haese. S. Bruce. M. (2005). Mathematics For The International Student (International Baccalaureate Mathematics HL Course). Australia: Haese & Harris Publication.

Van de Walle, John A. (1990). Elementary School Mathematics: Teaching Developmentally. New York: Longman.

Van de Walle. Jhon, dkk. (2010). Elementary and Middle School Mathematics (Teaching Developmentally). United States of America: Allyn & Bacon.

215MATEMATIKA

Profil PenulisNama Lengkap : Prof. Dr. Bornok Sinaga, M.PdTelp. Kantor/HP : (061) 661365E-mail : [email protected] Facebook : -Alamat Kantor : Sekolah Pasca Sarjana Universitas Negeri

Medan. Jl. Willem Iskandar Psr V Medan Estate, Medan, Sumatera Utara

Bidang Keahlian : Pendidikan Matematika Riwayat Pekerjaan/Profesi dalam 10 Tahun Terakhir

1. Dosen di Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Pattimura, Ambon. (1991 - 1999)

2. Dosen di Jurusan Matematika Universitas Negeri Medan (2000 - sekarang)

Riwayat Pendidikan Tinggi dan Tahun Belajar1. S3 : Program Pasca Sarjana/Pendidikan Matematika/Universitas Negeri

Surabaya (2004 – 2007) 2. S2 : Program Pasca Sarjana/Pendidikan Matematika/IKIP Negeri Surabaya

(1996 – 1999)3. S1 : Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam/Pendidikan

Matematika/IKIP Negeri Medan (1984 – 1989)

Judul Buku dan Tahun Terbit (10 Tahun Terakhir)1. Matematika Kelas VII SMP - Untuk Siswa (Buku Kemendikbud Kurikulum 2013)

(2013)2. Buku Matematika Untuk Guru Kelas VII SMP (Buku Kemendikbud Kurikulum 2013)

(2013)


Nama Lengkap : Andri Kristianto S., S.Pd., M.Pd.Telp. Kantor/HP : (061) 6625970E-mail : [email protected] Facebook : -Alamat Kantor : Jl .Willem Iskandar Pasar V

Medan Estate, Medan 20222Bidang Keahlian : Matematika

Riwayat Pekerjaan/Profesi dalam 10 tahun Terakhir:1. Dosen Matematika di Fakultas Ilmu Pendidikan UNIMED (2012 - sekarang)2. Dosen di STKIP Riama Medan (2010 - 2012)3. Dosen Di Universitas Darma Agung Medan (2010 - 2012)4. Guru Matematika di SMK 11 Medan (2007 - 2010)

Riwayat Pendidikan Tinggi dan Tahun Belajar1. S2 : Program Pascasarjana Universitas Negeri Medan/ Pendidikan Dasar

Matematika/Universitas Negeri Medan/ (2007 – 2010)2. S1 : Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam/Matematika/Pendidikan

Matematika/Universitas Negeri Medan (2002 – 2007)

Judul Buku dan Tahun Terbit (10 Tahun Terakhir)1. Buku Matematika Kelas VII SMP Penerbit Kemendikbud (2013)2. Buku Matematika Kelas X SMA Penerbit Kemendikbud (2013)3. Buku Matematika Kelas X SMA Penerbit Kemendikbud (2013)

Judul Penelitian dan Tahun Terbit (10 Tahun Terakhir)1. Efektivitas Pembelajaran Konstruktivisme Pada Pokok Bahasan Himpunan di

Kelas VII SMP Swasta Trisakti 2 Medan. 20072. Upaya Meningkatkan Kemampuan Berpikir Logis dan Komunikasi Matematis

Siswa SMP Melalui Pembelajaran Matematika Realistik. 20103. Pengembangan Model Pembelajaran Matematika dan Asesmen Otentik Berbasis

Kurikulum 2013 untuk Meningkatkan Kualitas Sikap, Kemampuan Berpikir Kreatif dan Koneksi Matematika Siswa SMA. 2016.

217MATEMATIKA

Nama Lengkap : Tri Andri Hutapea, S.Si., M.ScTelp. Kantor/HP : (061) 661356E-mail : [email protected] Facebook : -Alamat Kantor : Universitas Negeri Medan

Jl.Willem Iskandar Pasar V Medan Estate, Medan Sumatera Utara

Bidang Keahlian : Matematika Riwayat Pekerjaan/Profesi dalam 10 tahun Terakhir

1. Dosen Jurusan Matematika, FMIPA Universitas Negeri Medan. (2006 - sekarang)

2. Penulis Buku Matematika (Buku Siswa dan Buku Guru) Berbasis Kurikulum 2013 Kelas X dan Kelas XI SMA/SMK. (2013 - 2016)

Riwayat Pendidikan Tinggi dan Tahun Belajar1. S2 : MIPA/Matematika/Matematika (Matematika Terapan)/Universitas

Gadjah Mada (2008 – 2010)2. S1 : MIPA/Matematika/Matematika Sains/Universitas Negeri Medan

(2000 – 2005)

Judul Buku dan Tahun Terbit (10 Tahun Terakhir)1. Buku Matematika (Buku Siswa) Berbasis Kurikulum 2013 Kelas X SMA/ SMK

(2013 – 2016). 2. Buku Matematika (Buku Guru) Berbasis Kurikulum 2013 Kelas X SMA/ SMK

(2013 – 2016).3. Buku Matematika (Buku Siswa) Berbasis Kurikulum 2013 Kelas XI SMA/ SMK

(2013 – 2016).4. Buku Matematika (Buku Guru) Berbasis Kurikulum 2013 Kelas XI SMA/ SMK

(2013 – 2016).


Nama Lengkap : Lasker Pangarapan Sinaga, S.Si., M.SiTelp. Kantor/HP : (061) 661365E-mail : [email protected] Facebook : –Alamat Kantor : Jl.Willem Iskandar Pasar V Medan Estate,

Medan Sumatera Utara.Bidang Keahlian : Matematika

Riwayat Pekerjaan/Profesi dalam 10 Tahun Terakhir1. Dosen di Fakultas Ilmu Pendidikan UNIMED

Riwayat Pendidikan Tinggi dan Tahun Belajar1. S2: SPs USU/Matematika/Optimisasi dan Teori Riset/Universitas Sumatera Utara

(2007–2009)2. S1: FMIPA/Matematika/Matematika Murni/Universitas Sumatera Utara (1998–

2003)

Judul Penelitian dan Tahun Terbit (10 Tahun Terakhir)1. Analisis Persoalan Optimisasi Konveks Dua Tahap (2010)2. Konvergensi dan Stabilitas Solusi Persamaan Laplace pada Batas Dirichlet (2011)3. Konvergensi dan Kontinuitas Deret Kuasa Solusi Persamaan Laplace Dimensi N

(2013)4. Analisis Solusi Eksak dan Solusi Elemen Hingga Persamaan Laplace Orde Dua

(2014)

219MATEMATIKA

Nama Lengkap : Sudianto Manullang S.Si., M.ScTelp. Kantor/HP : (061) 6625970E-mail : [email protected] Facebook : -Alamat Kantor : Jalan Williem Iskandar Pasar V Medan Estate, Medan – Sumatera Utara.Bidang Keahlian : Matematika

Riwayat Pekerjaan/Profesi dalam 10 Tahun Terakhir1. Dosen di Jurusan Matematika Universitas Negeri Medan (2006-sekarang)2. Staf Ahli Program Pascasarjana UNIMED (2005-2006)

Riwayat Pendidikan Tinggi dan Tahun Belajar1. S2 : Fakultas MIPA/Jurusan Matematika/Program Studi Matematika/Universitas

Gadjah Mada (UGM) (2008-2011)2. S1 : Fakultas MIPA/Jurusan Matematika/Program Studi Matematika/Universitas

Negeri Medan (UNIMED) 2000-2005

Judul Buku dan Tahun Terbit (10 Tahun Terakhir)1. Buku Siswa: Pelajaran Matematika Kelas 7 SMP Kurikulum 2013 (2013)2 Buku Guru: Pelajaran Matematika Kelas 7 SMP Kurikulum 2013 (2013)3 Buku Siswa: Pelajaran Matematika Kelas 10 SMA Kurikulum 2013 (2013)4 Buku Guru: Pelajaran Matematika Kelas 10 SMA Kurikulum 2013 (2013)5 Buku Siswa: Matematika Kelas 7 SMP (2013)6 Buku Guru: Matematika Kelas 7 SMP (2013)7 Buku Siswa: Matematika Kelas 10 SMA (2013)8 Buku Guru: Pelajaran Matematika Kelas 10 SMA (2013)9 Buku Guru: Pelajaran Matematika Kelas 11 SMA Kurikulum 2013 (2014)10 Buku Siswa: Pelajaran Matematika Kelas 11 SMA Kurikulum 2013 (2014)

Judul Penelitian dan Tahun Terbit (10 Tahun Terakhir)1. Peramalan Kebutuhan Listrik Kota Medan (2007)2. Application of Vasicek’s Rate Interest Model in Term Insurance Premiums Calcula-

tion. (2011)3. Pendanaan Dana Pensiun dengan Metode Benefit Prorate (2012)


Nama Lengkap : Mangaratua Marianus S., S.Pd., M.Pd.Telp. Kantor/HP : (061) 661365E-mail : [email protected] Facebook : -Alamat Kantor : Jl. Willem Iskandar Psr V Medan Estate,

Medan, Sumatera UtaraBidang Keahlian : Matematika

Riwayat Pekerjaan/Profesi dalam 10 Tahun Terakhir:1. Guru Matematika Seminari Menengah Pematang Siantar. (2001 - 2005)2. Guru Matematika di SMA Universitas HKBP Nommensen, Pematang Siantar.

(2002 - 2005)3. Guru di SMA Budi Mulia Pematang Siantar (2004 - 2005)4. Dosen di Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan HKBP Nommensen, Pematang

Siantar (2008 - 2009)5. Dosen di Jurusan Matematika, FaKultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,

Universitas negeri Medan (2008 - sekarang)

Riwayat Pendidikan Tinggi dan Tahun Belajar:1. S3: School Of Education, Murdoch University, Perth, Australia (2011)2. S2: Program Pasca Sarjana/Pendidikan Matematika/ Universitas Negeri Surabaya

(2005 – 2007)3. S1: Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan/Pendidikan Matematika/Universitas

HKBP Nommensen (1998 – 2003)

Judul Buku dan Tahun Terbit (10 Tahun Terakhir):1. Buku Ajar Matematika SD Kelas 1 (Pembelajaran Matematika Realistik) (2009)2 Matematika Kompeten Berhitung untuk Sekolah Dasar Kelas V (2010)3 Matematika Kompeten Berhitung untuk Sekolah Dasar Kelas VI (2010)4 Buku Panduan Guru Kelas X SMA/MA terkait kurikulum 2013 Jilid 1 (2013) 5 Buku Teks Siswa Kelas X SMA/MA terkait kurikulum 2013 Jilid 1 (2013)6 Buku panduan guru kelas VII SMP/MTs terkait kurikulum 2013 Jilid 1 (2013)7 Buku Teks siswa kelas VII SMP/MTs terkait kurikulum 2013 Jilid 1 (2013)

Judul Penelitian dan Tahun Terbit (10 Tahun Terakhir):1. Pengembangan Model Pembelajaran Matematika Berdasarkan Masalah Berbasis

Budaya Batak (PBM-B3) (2007)2. Pembelajaran Matematika Realistik Untuk Topik Dimensi Tiga di Kelas X SMA

Kampus FKIP Universitas HKBP Nommensen Pematangsiantar (2007)

221MATEMATIKA

Nama Lengkap : Pardomuan N. J. M. Sinambela, S.Pd., M.Pd.Telp. Kantor/HP : (061)661365E-mail : [email protected] Facebook : -Alamat Kantor : Jl.Willem Iskandar Pasar V Medan Estate,

Medan Sumatera Utara.Bidang Keahlian : Pendidikan Matematika

Riwayat Pekerjaan/Profesi dalam 10 Tahun Terakhir1. Dosen di Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Karo, Kabanjahe.

(2006 - 2008)2. Dosen di Program Studi Pendidikan Matematika Universitas HKBP Nommensen.

(2007)3. Dosen di Jurusan Matematika Universitas Negeri Medan (2008 - sekarang)

Riwayat Pendidikan Tinggi dan Tahun Belajar1. S2 : Program Pasca Sarjana/Pendidikan Matematika/ Universitas Negeri

Surabaya (2003 - 2006)2. S1 : Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam/Pendidikan

Matematika/Universitas Negeri Medan (1997 - 2002)

Judul Buku dan Tahun Terbit (10 Tahun Terakhir)1. Matematika Kompeten Berhitung untuk Sekolah Dasar Kelas V (2010)2 Matematika Kompeten Berhitung untuk Sekolah Dasar Kelas VI (2010)3 Buku panduan guru kelas X SMA/MA terkait kurikulum 2013 Jilid 1 (2013)4 Buku Teks siswa kelas X SMA/MA terkait kurikulum 2013 Jilid 1 (2013) 5 Buku panduan guru kelas VII SMP/MTs terkait kurikulum 2013 Jilid 1 (2013)6 Buku Teks siswa kelas VII SMP/MTs terkait kurikulum 2013 Jilid 1 (2013)

Judul Penelitian dan Tahun Terbit (10 Tahun Terakhir)1. Keefektifan Model Pembelajaran Berdasarkan Masalah (Problem Based

Instruction) Dalam Pembelajaran Matematika Untuk Pokok Bahasan Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat di Kelas X SMA Negeri 2 Rantau Selatan, Sumatera Utara (2006)

2. Penerapan Model Pembelajaran Bermuatan Soft Skill dan Pemecahan Masalah dengan bantuan Asesmen Autentik dalam meningkatkan kemampuan komunikasi matematis dan kreatifitas berfikir mahasiswa dalam pemecahan masalah serta meningkatkan kualitas proses pembelajaran mata kuliah Matematika Diskrit 1 (2009)

3. Pemetaan dan Pengembangan Model Peningkatan Mutu Pendidikan di Kabupaten Simalungun dan Kota Pematang siantar Sumatera Utara (2011)

4. Pengembangan model pembelajaran matematika dan asesmen otentik berbasis kurikulum 2013 untuk meningkatkan kualitas sikap, kemampuan berpikir kreatif dan koneksi matematika siswa SMA (2015)


Profil PenelaahNama Lengkap : Dr. Agung Lukito, M.S.Telp. Kantor/HP : +62 31 829 3484E-mail : [email protected] Facebook : -Alamat Kantor : Kampus Unesa Ketintang Jalan Ketintang Surabaya 60231Bidang Keahlian : Matematika dan Pendidikan Matematika

Riwayat Pekerjaan/Profesi dalam 10 Tahun Terakhir:1. Dosen pada Jurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri Surabaya.

(2010 - 2016)

Riwayat Pendidikan Tinggi dan Tahun Belajar:1. S3 : Faculty of Mathematics and Informatics/Delft University of Technology

(1996 - 2000)2. S2 : Fakultas Pascasarjana/Matematika/ITB Bandung (1988 - 1991)3. S1 : Fakultas PMIPA/Pendidikan Matematika/Pendidikan Matematika/IKIP

Surabaya (1981 - 1987)

Judul Buku dan Tahun Terbit (10 Tahun Terakhir):1. Buku Teks Matematika kelas 7 dan 10 (2013)2. Buku Teks Matematika kelas 7, 8, dan 10, 11 (2014)3. Buku Teks Matematika kelas 7, 8, 9, dan 10, 11, 12 (2015)

Judul Penelitian dan Tahun Terbit (10 Tahun Terakhir):1. Pengembangan Perangkat Pendampingan Guru Matematika SD dalam Imple-

mentasi Kurikulum 2013 (2014)2. Peluang Kerjasama Unit Pendidikan Matematika Realistik Indonesia dengan

Pemangku Kepentingan, LPPM Unesa (2013)3. Pemanfaatan Internet untuk Pengembangan Profesi Guru-guru Matematika SMP

RSBI/SBI Jawa Timur, 2010, (Stranas 2010)4. Relevansi Pendidikan Matematika Realistik Indonesia (PMRI) dengan Kurikulum

Tingkat Satuan Pendidikan (KTSP), 2009, (Stranas 2009)

223MATEMATIKA

Nama Lengkap : Dr. Muhammad Darwis M., M.PdTelp. Kantor/HP : (0411) 840 860E-mail : [email protected] Facebook : Muhammad DarwisAlamat Kantor : Kampus UNM Parang Tambung Jalan Dg. Tata

Raya, Makassar.Bidang Keahlian : Pendidikan Matematika

Riwayat Pekerjaan/Profesi dalam 10 Tahun Terakhir1. Dosen pada program S1, S2, dan S3 Universitas Negeri Makassar. (2007 - 2016)2. Dosen di Pasca Sarja Universitas Cokroaminoto Palopo, Sulawesi Selatan. (2015 -

2016)3. Pengembang Instrumen Penilaian BTP dan Penelaah Buku Matematika SMA/MA

dan SMK. (2007 - 2016)4. Instruktur pada Pelatihan Nasional Kurikulum 2013 (2014 - 2016)

Riwayat Pendidikan Tinggi dan Tahun Belajar1. S3 : Program Pasca Sarjana/Pendidikan Matematika/Universitas Negeri

Surabaya (2000-2006)2. S2 : Program Pasca Sarjana/Pendidikan Matematika/IKIP Malang (1989-1993)3. S1 : FPMIPA/Matematika/Pendidikan Matematika/IKIP Ujung Pandang

(1978-1982)

Judul Buku dan Tahun Terbit (10 Tahun Terakhir)1. Buku Teks Pelajaran Matematika SMA dan SMK.

Judul Penelitian dan Tahun Terbit (10 Tahun Terakhir)1. Pengembangan Model Pembelajaran Matematika yang Melibatkan Kecerdasan

Emosional Guru Dan Siswa (2006)2. Analisis Kompetensi Guru Matematika di Kota Makassar (2010)


Nama Lengkap : Drs. Turmudi, ., M.Sc., Ph.D.Telp. Kantor/HP : (0264)200395/ 081320140361E-mail : [email protected] Facebook : -Alamat Kantor : Jl. Veteran 8 Purwakarta/Jl. Dr. Setiabudi 229 Bandung,Bidang Keahlian : Pendidikan Matematika

Riwayat Pekerjaan/Profesi dalam 10 Tahun Terakhir1. Dosen Pendidikan Matematika di S1, S2, dan S3 Universitas Pendidikan

Indonesia.2. Ketua Jurusan Pendidikan Matematika (2007-2015)3. Ketua Prodi S2 dan S3 Pendidikan Matematika SPs UPI (2012-2015) (dalam konteks terintegrasi dengan S1 Pendidikan Matematika FPMIPA UPI)4. Direktur Kampus Daerah UPI Purwakarta (2015- sekarang)

Riwayat Pendidikan Tinggi dan Tahun Belajar1. S3 : Mathematics Education, Graduate School of Education, Educational

Studies, La Trobe University Australia, Victoria Campus (1995-1997)2. S2 : Educational and Training System Designs, Twente University Enschede, Th3. S2 : Mathematics Education (Graduate School of Education), Educational

Studies, La Trobe University Australia, Victoria Campus (1995-1997)4. S1 : Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Jurusan

Pendidikan Matematika, IKIP Bandung (Universitas Pendidikan Indonesia), (1984-1986).

5. D3 : Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Jurusan Pendidikan Matematika, IKIP Bandung (Universitas Pendidikan Indonesia), (1983-1984).

6. D2 : Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Jurusan Pendidikan Matematika, IKIP Bandung (Universitas Pendidikan Indonesia), (1980-1982).

Judul Buku dan Tahun Terbit (10 Tahun Terakhir)1. Designing Contextual Learning Strategies Mathematics for Junior Secondary

School in Indonesia (2006)2. Pengembangan Pemodelan Matematika di SMP dan SMA (2009)3. Kajian Efektivitas Pelaksanaan Program DAK Bidang Pendidikan Tahun 2003 -

2008 (Sensus di Kota Manado, Kendari, dan Baros) (2009)4. Peningkatan Kesadaran Bernovasi dalam Pembelajaran Matematika Guru SMP

Melalui Lesson Study (2010)5. Identifikasi Keberbakatan dalam Bidang Matematika untuk Siswa SMA (2011)6. Pengembangan Desain Didaktis Subjek Spesifik Pedagang Bidang Matematika

dalam Pendidikan Profesi Guru (2011)7. Eksplorasi Etnomatematika Mayarakat Baduy dan Kampung Naga (2013)8. Pengembangan Pembelajaran Matematika Berbasis Fenomena Didaktis (2014)9. Pengembangan Literasi, Sains, dan Matematika di Sekolah Menengah Pertama

(2014)10. Pengembangan Pembelajaran Matematika Berbasis Fenomena Didaktis di

Pendidikan Dasar (2015)

225MATEMATIKA

Nama Lengkap : Prof. Dr. H. Nanang Priatna, M.PdTelp. Kantor/HP : -E-mail : [email protected] Facebook : -Alamat Kantor : Departemen Pendidikan Matematika FPMIPA UPI, Jl. Dr.

Setiabudhi No. 229 BandungBidang Keahlian : Pembelajaran Matematika

Riwayat Pekerjaan/Profesi dalam 10 Tahun Terakhir:1. Bekerja sebagai Dosen Departemen Pendidikan Matematika UPI dan mengajar di

Sekolah Pascasarjana UPI. (1988 - sekarang)2. Mengajar di President University Cikarang-Bekasi (2013 - sekarang)3. Mengajar di Universitas Widyatama Bandung (2012 - sekarang)4. Sebagai konsultan manajemen pada Direktorat TK & SD Ditjen Dikdasmen

Kemdikbud (2007-2010)5. Sebagai konsultan manajemen pada Direktorat P2TK Pendidikan Dasar Ditjen

Pendidikan Dasar Kemdiknas (2011)

Riwayat Pendidikan Tinggi dan Tahun Belajar:1. S3 : Program Studi Pendidikan Matematika dari Universitas Pendidikan

Indonesia (1998 - 2003)2. S2 : Program Studi Pendidikan Matematika dari IKIP Malang (1990 - 1994)3. S1 : Program Studi Pendidikan Matematika di IKIP Bandung (1982 - 1987)

Judul Penelitian dan Tahun Terbit (10 Tahun Terakhir):1. Analisis Daya Serap Matematika Siswa SD Tingkat Nasional (Tahun 2008).2. Capaian Hasil Ujian Akhir Sekolah Berstandar Nasional dan Pemetaan Mutu Pen-

didikan SD secara Nasional (Tahun 2008).3. Kajian Pembelajaran Calistung (Membaca, Menulis, dan Berhitung) Kelas Awal di

Sekolah Dasar Wilayah Indonesia Bagian Timur (Tahun 2009).4. Analisis Daya Serap Matematika Siswa SD Tingkat Nasional (Tahun 2010).5. Pembelajaran Matematika Interaktif untuk Meningkatkan Kemampuan Penal-

aran, Komunikasi, dan Pemecahan Masalah Matematis Tahap I (Tahun 2012).6. Pembelajaran Matematika Interaktif untuk Meningkatkan Kemampuan Penal-

aran, Komunikasi, dan Pemecahan Masalah Matematis Tahap II (Tahun 2013).7. Desain dan Pengembangan Pembelajaran Berbasis Masalah Berbantuan Kom-

puter untuk Meningkatkan Kemampuan Pemecahan Masalah Matematis, Berpikir Kreatif, dan Disposisi Matematis Siswa SMP (Tahun 2013).

8. Desain dan Pengembangan Pembelajaran dengan Pendekatan Open-Ended Berbantuan Geogebra untuk Meningkatkan Spatial Ability, Berpikir Kritis, dan Self-Concept Siswa SMP (Tahun 2014).

9. Desain dan Pengembangan Model Brain-Based Learning untuk Meningkatkan Kemampuan Representasi Matematis, Berpikir Logis, dan Self-Efficacy Siswa SMP (Tahun 2015).

10. Penerapan Prinsip Brain-Based Learning Berbantuan Geogebra untuk Meningkat-kan Spatial Ability, Kemampuan Abstraksi, dan Berpikir Kreatif Matematis Siswa SMP Tahap I (Tahun 2016).


Profil EditorNama Lengkap : Taryo, S.SiTelp. Kantor/HP : 021-8717006/085691997883E-mail : [email protected] Facebook : Taryo AbdillahAlamat Kantor : Jl. H. Baping Raya 100 Ciracas, Jakarta - 13740Bidang Keahlian : Matematika

Riwayat Pekerjaan/Profesi dalam 10 Tahun Terakhir:1. 2005 – 2010 : Guru Bimbingan Belajar PT Bintang Pelajar 2. 2010 – Sekarang : Editor Buku Pelajaran PT Penerbit Erlangga Mahameru

Riwayat Pendidikan Tinggi dan Tahun Belajar:1. S1 : Fakultas MIPA Jurusan Matematika Uiversitas Negeri Jakarta (2002-2007)

Judul Buku dan Tahun Terbit (10 Tahun Terakhir):1. Buku Teks Matematika kelas 7 dan 10 (2013)2. Buku Teks Matematika kelas 7, 8, dan 10, 11 (2014)3. Buku Teks Matematika kelas 7, 8, 9, dan 10, 11, 12 (2015)

Judul Buku yang Pernah Diedit (10 Tahun Terakhir) 1. Mathematics Bilingual For Senior High School 1A-3B, 2010 – 2011 2. LPR (Lembar Pekerjaan Rumah) Matematika, 2010 – 2013 3. Smart Mathematics, 20114. Erlangga Fokus UN, 2011 – 20165. SPM (Seri Pendalaman Materi) Matematika, 2012 – 20156. Mandiri Matematika, 2013 – 20157. Matematika SMP/MTs, 2013 – 20168. Matematika SMA/MA, 2013 – 20169. Bupena (Buku Penilaian Autentik) Matematika, 2013 – 201610. Erlangga X-Press UN Matematika, 2015 – 2016

ISBN: 978-602-427-118-3 (jilid lengkap)

978-602-427-120-6 (jilid 2)

Buku

Gur

u •

M

ATEM

ATIK

A •

Ke

las X

I SM

A/M

A/SM

K/M

AK

SMA/MA/SMK/MAK

KELAS

XI

KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAANREPUBLIK INDONESIA2017

HETZONA 1 ZONA 2 ZONA 3 ZONA 4 ZONA 5

Rp17.100 Rp17.800 Rp18.500 Rp20.000 Rp25.600

MatematikaBuku Guru

Documents

Buku Guru - bse.mahoni.combse.mahoni.com/data/2013/kelas_11sma/guru/Kelas_11_SMA_Matematika... · Barisan, (6) Limit Fungsi, (7) Turunan, dan (8) Integral. Berbagai konsep, aturan,