COURS MAGISTRAL CONDENSE

CIRCUITS LOGIQUES

Par MASSALA MBOYI Gilles Yowel

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CIRCUTS LOGIQUES

Table des matières INTRODUCTION ..................................................................................................................................................... 1

Chapitre 1 : SYSTEME DE NUMÉRATION ............................................................................................................ 2

1.1 Introduction ........................................................................................................................................ 2

1.2 Système binaire .................................................................................................................................. 3

1.3 Le transcodage ................................................................................................................................... 4

1.4 Le DCB (Décimal Codé Binaire) ....................................................................................................... 5

1.5 Le code Grey ........................................................................................................................................ 5

Chapitre 2 : ALGEBRE DE BOOLE ......................................................................................................................... 7

CONCLUSION : ..................................................................................................................................................... 12

Additionneur......................................................................................................................................................... 14

Semi-additionneur ............................................................................................................................................ 14

Fonctions logiques : ........................................................................................................................................ 14

Additionneur complet ....................................................................................................................................... 14

Fonctions logiques : .............................................................................................................................................. 14

Démultiplexeur ..................................................................................................................................................... 17

Décodeur ............................................................................................................................................................... 17

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CIRCUTS LOGIQUES

INTRODUCTION

On appelle circuit logique (ou circuit combinatoire) un ensemble de

portes logiques reliées entre elles pour répondre à une expression algébrique. Il s'agit

donc d'aller transcrire en schéma électrique l'expression algébrique que l'on a simplifiée

grâce aux lois de composition.

Un circuit combinatoire est défini par une ou plusieurs fonctions logiques.

Dans la suite de notre travail, nous allons donner un aperçu sur l’ensemble des

propriétés et théorèmes qui permettent de calculer (convertir, simplifier) ces fonctions

logiques.

2

CIRCUTS LOGIQUES

Chapitre 1 : SYSTEME DE NUMÉRATION

1.1 Introduction Un système de numération est un ensemble de règles qui régissent une, voire plusieurs

numérations données. Les systèmes de numérations binaire et hexadécimal sont très

utilisés dans les domaines de l'électronique et de l'informatique. Tout programmeur se

doit de les connaître en plus des systèmes décimal et octal.

Définition : La base est le nombre qui sert à définir un système de numération.

La base du système décimal est dix alors que celle du système octal est huit.

Quelle que soit la base numérique employée, elle suit la relation suivante :

où bi (chiffre de la base de rang i) et ai (puissance de la base a d'exposant de rang i).

Exemple : base 10

1986 = (1 × 103) + (9 × 102) + (8 × 101) + (6 × 100)

Propriété : On veut représenter les entiers naturels à l’aide d’un nombre fini de

symboles appelés chiffres.

Soit un entier b ≥ 2 et un entier a, nous allons admettre le théorème suivant :

Si b ∈ ℕ et b > 1, alors ∀ a ∈ ℕ il existe un développement unique de la forme :

a = rnbn + rn-1bn-1 +… + r1b1 + r0b0 = ∑ 𝒏𝒊=𝟎 ribi, avec 0 ≤ ri < b ;

On dit que l’on a représenté a dans le système de numération de base b et on

convient d’écrire :

a = rnrn-1…r1r0

Exemple : 423(8) = 4x82 + 2x81 + 3x80 = 275(10)

Remarque1 : Si b est une base choisie, tout nombre a s’exprime à l’aide de b symboles

qui représentent les nombres strictement inferieurs à b. ces symboles sont appelés

chiffres.

- Si b = 10 on utilise les symboles : {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ; on parle de base

décimale.

- Si b = 2 on utilise les chiffres : {0, 1} ; on parle de base binaire.

- Si b = 8, on utilise les chiffres : {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ; on parle de base octale.

- Si b = 16, on utilise les chiffres (symboles) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E,

F} ; on parle de base hexadécimale.

Remarque2 : Quel que soit le nombre b pris pour base, le nombre b admet dans cette

base le développement suivant : b(10) = 1xb1 + 0xb0 et s’écrit donc b(10) = 𝟏𝟎̅̅̅̅ b

Exemple : 8(10) = 𝟏𝟎̅̅̅̅ 8 = 10(8)

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CIRCUTS LOGIQUES

La correspondance entre base 2, base 10, base 16 et base 8 est indiquée dans le tableau

ci-après :

Base 2 Base 10 Base 16 Base 8

0000 0 0 0

0001 1 1 1

0010 2 2 2

0011 3 3 3

0100 4 4 4

0101 5 5 5

0110 6 6 6

0111 7 7 7

1000 8 8 10

1001 9 9 11

1010 10 A 12

1011 11 B 13

1100 12 C 14

1101 13 D 15

1110 14 E 16

1111 15 F 17

1.2 Système binaire

Le système binaire est le système de numération utilisant la base 2. On nomme

couramment bit (de l'anglais binary digit, soit « chiffre binaire ») les chiffres de la

numération binaire positionnelle. Un bit peut prendre deux valeurs, notées par

convention 0 et 1.

Tout nombre écrit dans ce système vérifie la relation suivante :

(10110)2 = 1 × 24 + 0 × 23 + 1 × 22 + 1 × 21 + 0 × 20

(10110)2 = 1 × 16 + 0 × 8 + 1 × 4 + 1 × 2 + 0 × 1

Donc : (10110)2 =(22)10

Tous les systèmes de numération de position obéissent aux règles que nous venons de

voir.

EXERCICE D’APPLICATION

Trouver l’équivalent décimal des nombres suivants :

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CIRCUTS LOGIQUES

44(8) 1011(2) 10B(16) 3,51(3)

1.3 Le transcodage On appelle transcodage le processus de passage d’un système à base b1 à un autre

système à base b2.

Exemple :

12,75 = 1 * 101 +2 * 100 + 7 * 0,1 + 5 * 0,01

10,101(2) = 1 * 21 + 0 * 20 + 1 * 2-1 + 0 * 2-2 + 1 * 2-3

Remarque : Pour les nombres décimaux, lorsqu’on les multiplie par la base, la virgule

est décalée vers la droite et lorsqu’on les divise par la base la virgule est décalée vers la

gauche.

a) Passage de la base 10 à la base 2

Pour passer de la base 10 à la base 2, il existe plusieurs méthodes parmi lesquelles : la

multiplication, la soustraction, la division successive,...

14(10) = 7 x 2 + 0

= (3 x 2 x 1) x 2 + 0

= 3 x 22 + 1 x 2 + 0

= (1 x 2 + 1) x 22 + 1 x 2 + 0

= 1 x 23 + 1 x 22 + 1 x 21 + 0 x 20

= 1110(2)

11(10) = 5 x 21 + 1 x 20

= (2 x 2 + 1) x 2 + 1 x 20

= 1 x 23 + 0 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20

= 1011(2)

11,25 = 1011,01(2)

b) Passage de la base 16 à la base 2

Pour rappel, pour convertir un nombre de la base 16 à la base 2, il suffit de convertir

chaque chiffre par son équivalent en binaire code sur 4 bit.

Exemple : AF5 = 1010 1111 0101 avec A = 1010, F = 1111, 5=0101

13(10) = ??

13(10) = 1101(2)

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CIRCUTS LOGIQUES

c) Passage de la base 2 aux bases 8 et 16

Pour faire cette conversion, il suffit de faire un regroupement par bloc de 3 pour la base

8, et bloc de 4 pour la base 16.

101011(2) = 101 011

= 53(8)

101011(2) = 0010 1011

= 2B(16)

1100101(2) = 001 100 101

= 145(8)

1100101(2) = 0110 0101

= 65(16)

1.4 Le DCB (Décimal Codé Binaire)

Le code BCD (Binary Coded Decimal) qui signifie Décimal codé binaire permet de

représenter un chiffre décimal de 0 à 9 par un ensemble de 4 bits. Un objet mot de 16

bits peut ainsi contenir un nombre exprimé sur 4 chiffres (0 < N < 9999).

Exemple de codage BCD :

Le mot %MW5 exprimé en BCD "2450" correspond à la valeur binaire :

0010 0100 0101 0000, avec :

0010 = 2

0100 = 4

0101 = 5

0000 = 0

1.5 Le code Grey Le code Gray est un code construit de telle façon qu'à partir du chiffre 0 chaque nombre

consécutif diffère du précédent immédiat d'un seul digit (chiffre, symbole, …).

En l'exprimant autrement nous pouvons également dire que l'on change un seul bit à la

fois quand un nombre est augmenté d'une unité.

Le code Gray est fréquemment utilisé dans les capteurs angulaires ou de

positionnement, mais aussi lorsque l'on désire une progression numérique binaire sans

parasite transitoire. Le code Gray sert également dans les tableaux de Karnaugh utilisés

lors de la conception de circuits logiques.

Dans le système binaire, les calculs s’effectuent comme dans le système décimal. Ainsi,

l’addition 1100 + 1010 donne 10110. En posant le calcul comme on le fait à l’école et en

additionnant de droite à gauche, on a :

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CIRCUTS LOGIQUES

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 0 avec la retenue 1

Exemple : 100110 = 110101

La construction du code Gray pour les nombres de 0 à 15 est représentée par le tableau suivant :

FIGURE 1 : CONSTRUCTION DU CODE GRAY

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CIRCUTS LOGIQUES

Chapitre 2 : ALGEBRE DE BOOLE

L'algèbre de Boole, ou calcul booléen, est la partie des mathématiques qui s'intéresse à

une approche algébrique de la logique, vue en termes de variables, d'opérateurs et

de fonctions sur les variables logiques, ce qui permet d'utiliser des techniques

algébriques pour traiter les expressions à deux valeurs du calcul des propositions. Elle

fut lancée en 1854 par le mathématicien britannique George Boole. Aujourd'hui,

l'algèbre de Boole trouve de nombreuses applications en informatique et dans

la conception des circuits électroniques.

Elle fut utilisée la première fois pour les circuits de commutation

téléphonique par Claude Shannon.

On appelle B l'ensemble constitué de deux éléments appelés valeurs de vérité {VRAI,

FAUX}. Cet ensemble est aussi noté :

B = {0,1}

B = (⊥,⊤)

On a donc ∀ x ∈ B, ⊤ ⇔ 1 et ⊥ ⇔ 0.

On privilégiera dans la suite la notation B = {0,1}.

Sur cet ensemble on peut définir deux lois (ou opérations ou foncteurs), les lois ET et OU

et une transformation appelée complémentaire, inversion ou contraire.

Pour l'ensemble des exemples et propriétés suivantes, {a,b,c} ⊂ B.

Définition : Soit a, b, c ∈ B = {0, 1} ;

Les axiomes de l’algèbre de Boole :

Un axiome est une proposition considérée évidente, admise sans démonstration.

Les axiomes de l’algèbre de Boole sont :

1- Associativité :

a + (b + c) = (a + b) + c

a.(b.c) = (a.b).c

2- Commutativité :

a + b = b + a

a.b = b.a

3- Distributivité :

a.(b + c) = (a.b) + (a.c)

a + (b.c) = (a + b).(a + c)

4- Élément neutre :

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CIRCUTS LOGIQUES

a + 0 = 0 + a = a

a.1 = 1.a = a

5- Complémentation :

a +�̅� = 1

a.�̅� = 0

Propriétés : Soient a et b deux variables :

1) Involution

�̿� = a

2) Idempotence

a + a = a

a.a = a

3) Absorption

a + ab = a

a.(ab) = a

4) Théorème de Morgan

𝑎 + 𝑏 ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ = �̅�. �̅�

𝑎. 𝑏 ̅̅ ̅̅ ̅ = �̅� + �̅�

5) Inclusion

ab + a�̅� = a

(a + b)(a + �̅�) = a

6) Allègement

a(�̅�+b) = ab

a + �̅�b = a + b

7) Élément absorbant

a.0 = 0

a + 1 = 1

Démonstration :

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CIRCUTS LOGIQUES

1) Involution

�̿� = a

a.�̅� = 0

𝑎. �̅�̅̅ ̅̅ ̅ = 0̅

�̅� + �̅̅� = 1

�̅� + a = 1

Par identification �̅̅� = a

2) Idempotence

a + a = a

= a.a = a.1 + a.1 (élément neutre)

= a(1 + 1) (distributivité)

= a.1

= a (élément neutre)

Ou encore

a.0 = (a + 0)(a + 0) (élément neutre)

= a + (0.0) (distributivité)

= a + 0 (élément neutre)

= a

3) Absorption

a + ab = a.1 + ab

= a (1 + b) (élément absorbant)

= a.1 (élément neutre)

= a

Ou encore

a + ab = (a + a).(a + b)

= a.(a + b)

= (a + 0).(a + b)

= a + (0.b)

= a

4) Théorème de Morgan

a + b̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ = a̅.b̅

On considère X et Y tels que :

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CIRCUTS LOGIQUES

X = a + b et Y = a̅.b̅

Nous allons calculer : {𝑋 + 𝑌 = 1𝑋. 𝑌 = 0

X + Y = a + b + a̅ + b̅

= a + (a̅ + b).(b + b̅)

= (a + a̅ + b).(a + b + b̅)

= (1 + b).(1 + a)

= 1.1

= 1

X.Y = (a + b).(a̅.b̅)

= (a.a̅.b̅) + (a̅.b̅. b)

= (0.b̅) + (a.0)

= 0.0

= 0

X et Y sont complémentaires donc :

Y = X̅ (1)

X = Y̅ (2)

(1) ⇒ a̅.b̅ = a + b̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅

5) Inclusion

ab + ab̅ = a

= (a + b).(a + b̅)

= a.a

= a

6) Allègement

a.( a̅ + b) = (a + 0).( a̅ + b)

= (a + bb̅).( a̅ + b)

= (a + b).(a + b̅).( a̅ + b)

= (a + b).(a + b̅).(a + b).( a̅ + b)

= a(b + b̅).b(a + a̅)

= a(.1).(b.1)

= a.b

7) Elément absorbant

a.0 = 0

= a.(a.a̅) (Associativité)

= (a.a).a̅ (Idempotence)

= a.a̅ (Complémentation)

= 0

11

CIRCUTS LOGIQUES

12

CIRCUTS LOGIQUES

CONCLUSION :

En somme, Un système de numération est un ensemble de règles qui régissent une, voire

plusieurs numérations données. L'algèbre de Boole étant un domaine commun à trois

disciplines, on rencontre des notations différentes pour désigner un même objet.

Cette partie permet de bien assimiler les notions transmises par l’enseignant, sur les

circuits logiques en général et en particulier sur le système de numération et l’algèbre de

Boole.

13

CIRCUTS LOGIQUES

CIRCUITS COMBINATOIRES USUELS

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CIRCUTS LOGIQUES

Additionneur

logigramme

Le multiplexeur

A B R0 R1 S

0 0 0 0 0

0 0 1 0 1

0 1 0 0 1

0 1 1 1 0

1 0 0 0 1

1 0 1 1 0

1 1 0 1 0

1 1 1 1 1

TABLEAU 2

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CIRCUTS LOGIQUES

Log2 (entrées)

= = Log2 (x)

n bits de

sélections

2n entrées bits de données

Table de vérité

S1 S0 F

0 0 E0

0 1 E1

1 0 E2

1 1 E3

TABLEAU 3

Fonction logique

F = ∑misi

F = S0S1E0 + S0S1E1 + S0S1E2 +S0S1E3

Table de verité

A B R0 R1 S

0 0 0 0 e0 0

0 0 1 0 e1 1

0 1 0 0 e2 1

MUX

MUX Une Sortie

N bits de selection

2n

entrées

Bits de

Données

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CIRCUTS LOGIQUES

0 1 1 1 e3 0

1 0 0 0 e4 1

1 0 1 1 e5 0

1 1 0 1 e6 0

1 1 1 1 e7 1 TABLEAU 4

Le logigramme

Pour représenter une fonction a n variables on utilise un multiplexeur. 2n les

entrées de la fonction F deviennent des bits de sélection du multiplexeur

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CIRCUTS LOGIQUES

Démultiplexeur Représentation du démultiplexeur

Une entrée

Décodeur

Table de vérité

E1 E2 S0 S1 S2 S3

0 0 1 0 0 0

0 1 0 1 0 0

1 0 0 0 1 0

1 1 0 0 0 1

TABLEAU 5

fonctions logiques

S0 =

S1 = E0

S2 = E1

S3 = E0.E1

2n sorties

Bits de sélections