Bus m 2012 Wu Chi-ting

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Universit de lorraineUniversit Nancy 1 - Henri Poincar

Dpartement de Mathmatiques

Mmoire Master 2

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Contrle en temps optimalChi-Ting WU

Soutenue le 20 septembre 2012

Encadr par Marius Tucsnak et Julie Valein

Contrle en temps optimal

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Contrle en temps optimal Rsum & Remerciements

Rsum

On sintresse dans ce mmoire ltude du problme de contrle en tempsoptimal. Ce problme est fortement li aux diffrentes notions de contrlabilit, duprincipe du maximum de Pontriaguine et de la proprit de bang-bang.Numriquement, on peut trouver le temps minimal en utilisant des mthodes directesou des mthodes indirectes bases sur le principe du maximum. Du point de vuethorique, il est difficile de trouver une formule pour le temps minimal. Mais onpeut au moins dterminer le module de continuit de la fonction temps minimal parltude du taux dexplosion du cot du contrle.

Ce travail consiste une synthse des articles et il nest pas original.

Mots cls : contrle en temps optimal, contrlabilit, observabilit, prin-cipe du maximum de Pontriaguine, proprit de bang-bang, contrle en normeoptimale, taux dexplosion du cot du contrle, mthode directe, mthode de tir.

Remerciements

Je tiens exprimer ma profonde gratitude et mes remerciements M. MariusTucsnak et Mlle. Julie Valein, mes encadrants de ce mmoire. Leurs conseils etleurs rigueurs mathmatiques mont appris beaucoup et mont permis de mener cetravail son terme.

Je remercie galement M. Jean-Franois Scheid pour la discussion concernantla partie numrique.

Je remercie mes collgues Geoffrey Beck, Tiphaine Obara, Jrome Loheac, Lae-titia Giraldi, Sten Madec, Arvid Perego, Souhail Boukherouaa, Geoffrey Nichill avecqui jai pu passer de bons moments tout le long du stage.

3

Contrle en temps optimal Rsum & Remerciements

4

Contrle en temps optimal Table des matires

Table des matires

Rsum 3

Remerciements 3

1 Introduction 9

2 Contrle en temps optimal en dimension finie 11

2.1 Existence 12

2.2 Principe du maximum et la proprit de bang-bang 13

2.3 Unicit 18

3 Prliminaires : Notions de contrlabilit et dobservabilit 21

3.1 Dfinitions 21

3.2 Dualit entre la contrlabilit et lobservabilit 22

3.3 Cot du contrle 26

3.4 Exemples 35

3.4.1 Les quations de type Schrdinger 35

3.4.2 Lquation de la chaleur 38

4 Contrle en temps optimal en dimension infinie 39

4.1 Introduction 39

4.2 Existence 40

4.3 Principe du maximum et la contrlabilit exacte 41

4.3.1 Rsultat principal 41

4.3.2 Application aux quations de type Schrdinger 45

4.4 Proprit de bang-bang et un type de L-contrlabilit zro 48

4.4.1 Rsultat principal 49

4.4.2 Technique de Lebeau-Robbiano 51

4.4.3 Application lquation de la chaleur 56

5 Fonction temps minimal et fonction norme minimale 59

5.1 Dfinitions 59

5.2 Quelques proprits 60

5.3 Le module de continuit de T 65

5.4 Le taux dexplosion de la fonction norme minimale 69

5

Contrle en temps optimal Table des matires

6 Mthodes numriques 736.1 Prsentation des mthodes 73

6.1.1 Mthodes directes : la discrtisation totale 736.1.2 Mthodes indirectes : la mthode de tir simple 74

6.2 Dimension finie 756.3 Dimension infinie 76

Conclusion 79Appendices 81A Annexe 1- Programmation en matlab 81

A.1 Mthode directe - Dimension finie 81A.2 Mthode de tir - Dimension finie 82A.3 Mthode directe - Dimension infinie 83

B Annexe 2- Simulation numrique 84B.1 Mthode directe -dimension finie 84B.2 Mthode de tir -dimension finie 86B.3 Mthode directe - lquation de la chaleur sur [0, 1] 87

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Contrle en temps optimal Notations

Notations

: pour tout. : il existe.| ou t.q. : tel que.p.p. : presque partout.R : ensemble des nombres rels.R+ : ensemble des nombres rels positifs.C : ensemble des nombres complexes.N : ensemble des entiers naturels.Z : ensemble des entiers relatifs.Re z : partie relle dun nombre complexe z.Im z : partie imaginaire dun nombre complexe z.Ran : limage dun oprateur.Ker : le noyau dun oprateur.inf : linfimum.sup : le supremum.min : le minimum.max : le maximum.lim : la limite.Vect : espace vectoriel engendr par.int X : lintrieur dun ensemble X.X : la frontire dun ensemble X.X : ladhrence dun ensemble X.X : le dual dun espace X.X : lorthogonal de X.A : ladjoint dun oprateur A.(A) : le spectre dun oprateur A.(e) : la mesure de Lebesgue dun ensemble e.Mnm(K) : ensemble des matrices n lignes et m colonnes, coefficients dans K.Mn(K) : ensemble des matrices carres dordre, coefficients dans K.| | : valeur absolue ou module. , X,X : le produit scalaire dans la dualit X , X. X : norme associe un espace de Banach.L(E,F ) : ensemble des oprateurs linaires continues de E dans F .Cp(,K) : ensemble des applications mesurables de dans X de classe Cp.Lp(;K) : ensemble des applications mesurables de dans X de puissance pintgrables.L(;K) : ensemble des applications mesurables bornes de dans X.Lp() : Lp(;C).Hk() : ensemble des applications mesurables t.q. les drives dordre plus petiteque k sont dans L2().H10 () : ensemble des applications f H1() t.q. f sannule sur .z(t, z0, u) = S(t)z0 + tu : la trajectoire de la solution engendre par le contrle u.

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Contrle en temps optimal Notations

Les oprateurs :

: gradient.4 : laplacien.e : la fonction indicatrice dun ensemble e.S(t) : le semigroupe fortement continu engendr par loprateur A.tu : voir (2.3).t,eu : voir (3.3).t : loprateur dobservation en temps t > 0, voir (3.4).t,e : loprateur dobservation en temps t > 0 sur e [0, t] de mesure strictementpositive, voir (3.5).dt : loprateur dobservation pour le couple (A, B) en temps t > 0, voir (3.8).dt,e : voir (3.9).

Rt : loprateur de rflexion sur L2([0, t];U), voir (3.9).Rt : le Gramien de contrlabilit, voir le lemme 3.13.T : la fonction temps minimal, voir (5.4).E : la fonction L-norme minimale, voir (5.7).Ep : la fonction Lp-norme minimale, voir (5.8).Ct, Ct,e : cot du contrle, voir section III.3.

Les ensembles admissibles pour le contrle :

LK(t) : voir (2.2).L1(t) : voir (3.24).At,e,z0 : voir (3.30).At,z0 : voir (5.5).At,z0,p, p K1,+J : voir (5.6).Les ensembles accessibles :

RK (t) : voir (2.5).R(t) : voir (3.25).B1 (t) : voir (3.26).

Les ensembles contrlables zro :

R0 (t) : voir (5.2).R0 : voir (5.3).

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Contrle en temps optimal Introduction

I Introduction

Lobjectif dun problme de contrle est damener le systme dun tat initialle plus prs possible dun tat final en respectant certaines contraintes. On dit quunsystme est contrlable si on est capable de lamener dun point initial arbitrairevers un point final souhait.

Dans un problme de contrle optimal on souhaite atteindre lobjectif ci-dessus en minimisant (ou maximisant) un critre doptimisation. Historiquement, leproblme de contrle optimal est apparu la continuation de la recherche du calculdes variations aux XVI- XVII sicles. Il est fortement li la mcanique classique(principe de Fermat, problme de la brachistochrone, quations dEuler-Lagrangeetc). On se rfre au livre de H. Herman Goldstine [15] pour le dveloppement de lathorie du calcul des variations.

La thorie moderne du contrle optimal a commenc dans les annes 50 avec leprincipe du maximum de Pontriaguine, dcouvert par L.S. Pontryagin en 1956[28], qui donne une condition ncessaire doptimalit (voir par exemple larticle deR.V. Gamkrelidze [14] pour la dcouverte de ce principe). Cette thorie est dve-loppe plus tard dans diffrentes branches mathmatiques : le problme de contrleoptimal dquations aux drives partielles, la thorie de contrle stochastique, lathorie des jeux... De nos jours, la thorie de contrle optimal a de nombreuses appli-cations : les guidages arospatiaux et aronautiques, automobile, robotique, rseauxinformatiques, bioracteurs, contrles des procdes chimiques, etc.

Dans un problme de contrle en temps optimal, on cherche le tempsminimal pour quun contrle admissible amne un systme dynamique dun pointinitial arbitraire au point final prescrit. Ce problme est classique en dimension finieet il est connu quun contrle en temps optimal possde des proprits intressantes :le principe du maximum de Pontriaguine et la proprit de bang-bang. Cesrsultats ont t dcouverts dans larticle de R. Bellman, I. Glicksberg et O. Gross[3].

Lextension en dimension infinie est premirement apparue dans larticle deH.O. Fattorini [10] et est beaucoup dveloppe dans le livre de J.L. Lions [23] et lelivre de H.O. Fattorini [11].

Notre but dans ce mmoire est dtudier lexistence et lunicit dun contrle entemps optimal et de donner des conditions pour lesquelles le principe du maximumet la proprit de type bang-bang sont satisfaits.

On nonce le problme sous une forme gnrale pour les systmes linaires :Soient X,U deux espaces de Hilbert, A L(X) et B L(U,X).On considre lquation suivante :

z(t) = Az(t) +Bu(t), t [0, T ], z(0) = z0 X, (1.1)

o u L([0, T ];U) et u(t)L([0,T ];U) 1 pour t [0, T ] p.p..

9

Contrle en temps optimal Dimension finie

Dfinition 1.1.On dit quun lment z f X est accessible si il existe > 0 et

u L([0, ];U) avec u(t)L([0, ];U) 1 pour t [0, ] p.p.. (1.2)

t.q. la solution de (1.1) satisfasse

z() = zf . (1.3)

Lobjectif est de trouver le contrle u qui vrifie (1.2) et (1.3) avec le tempsfinal le plus petit possible.

Le prsent travail est divis en cinq parties, organises de la manire suivante :En section II, on prsente des rsultats en dimension finie, en se rfrant au

livre de E.D. Sontag [30] et au livre de H.O. Fattorini [11].Dans la section III, on prsente les notions prliminaires sur la contrlabilit et

lobservabilit. On voit la dualit entre elles et aussi la notion du cot de contle.Dans la section IV, on prsente des rsultats en dimension infinie par deux pistes

diffrentes. Premirement, en suivant les mmes ides quen dimension finie, on peutobtenir la proprit de bang-bang pour le contle en temps optimal en passant par leprincipe du maximum. La condition pour quun contrle en temps optimal satisfassele principe du maximum est la contrlabilit exacte du systme. on se rfre larticle de J. Lohac et de M. Tucsnak [24] pour les rsultats de cette partie.

Deuximement, on sait que pour certaines quations, comme pour lquationde la chaleur, la contrlabilit exacte nest pas vrifie. Cest pour cette raisonquon tudie dautres conditions pour quun contrle en temps optimal satisfassela proprit de bang-bang sans passer par le principe du maximum. On voit quensupposant un type de L-contrlabilit zro, on peut tablir la proprit debang-bang. on se rfre larticle de M. Tucsnak, S. Micu et de I. Roventa [25]et larticle de G. Wang [37] pour cette partie. On voit aussi les applications auxquations de type Schrdinger et lquation de la chaleur.

En section V, on prsente le lien entre le module de continuit de la fonc-tion temps minimal et le taux dexplosion de la fonction norme minimale.Ceci nous donne une piste pour tudier le comportement de la fonction temps mi-nimal autour de zro laide du taux dexplosion du cot du contrle en zro. Onse rfre larticle de F. Gozzi et de P. Loreti [16] pour les rsutats obtenus danscette section.

La dernire section est consacre prsenter deux mthodes numriques pourla rsolution du problme de contrle en temps optimal : les mthodes directes etles mthodes indirectes. On utilise le logiciel matlab pour simuler la solution dequelques exemples simples. On se rfre au livre de E. Trlat [34] pour la prsentationde deux mthodes et sa mise en oeuvre.

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II Contrle en temps optimal en dimension finie

On considre la mme quation que celle dcrite dans lintroduction avec X =Rn et U = Rm :

z(t) = Az(t) + Bu(t), t [0, T ], z(0) = z0 Rn, (2.1)o A Mnn(R), B Mnm(R) et u L([0, T ];Rm).

On suppose que u(t) K, pour presque tout t [0, T ], o K est un voisinagecompact convexe de 0 dans Rm.

On note galement ., . le produit scalaire euclidien de Rn (et de Rm).Pour simplifier lcriture , on note LK(t) lensemble admissible des contrles :

LK(t) = {u L([0, t];Rm) ;Ranu K}. (2.2)

On sait que la solution z de (2.1) scrit sous la forme :z(t) = S(t)z0 + tu, t [0, T ] (2.3)

avec tu = t0 S(t )Bu()d, o S(t) = etA.

On note z(t, z0, u) = S(t)z0 + tu la trajectoire de la solution engendre paru.

On dfinit aussi deux ensembles accessibles partir du point 0 :R(t) = {z Rn | z = tu, u L([0, t];Rm)}, (2.4)RK (t) = {z Rn | z = tu, u LK(t)}. (2.5)

On nonce ensuite un thorme qui donne des proprits sur lensemble deslments accessibles :Proposition 2.1. RK (t)est un compact convexe de Rn.

Dmonstration.La convexit est claire car K est convexe et t est une fonction linaire.Pour la compacit, prenons une suite (zk)k de RK (t). On sait quil existe une

suite (uk)k de LK(t) t.q. pour tout k N, zk = tuk.Comme K est compact, on sait que la suite (uk)k est borne dans L([0, t];Rm).

Donc on peut extraire une sous-suite qui converge faiblement dans L([0, t];Rm) versu LK(t).

Pour tout z Rn on dfinit () = BS(t )z L1([0, t];Rm) t.q. :

z, zk = z, t

0S(t )Buk()d =

t0(), uk()d

t

0(), u()d = z,

t0S(t )Bu()d.

Si on pose z = tu, on obtient alors zk z RK (t). Do la compacit.

11


On dfinit par la suite le problme de contrle en temps optimal :

Dfinition 2.2.Soit z0, zf Rn, avec zf accessible (dfinition 1.1). On dit quun contrle u

LK( ) avec zf = S( )z0 + u est optimal en temps, sipour tout u LK(t) t.q. la solution de lquation (2.1) vrifie z(t) = zf , on a t .

La partie suivante traite lexistence dun contrle en temps optimal.

1 Existence

Thorme 2.3 (Existence).Si zf est accessible, alors il existe un contrle en temps optimal.

Dmonstration.Prenons = inf

{t > 0 | zf S(t)z0 RK (t)

}.

On sait quil existe une suite minimisante (tn)n R+, tn et une suite(un)n LK(tn) t.q. : n N, zf = z(tn, z0, un).

Ensuite, on prend s > t1 > 0 et on tend (un)n sur lintervalle [0, s] en po-sant un() = 0 ( [tn, s]). Comme (un)n est une suite borne de LK(s) et Kest compact, on peut extraire une sous-suite (un)n qui converge faiblement dansL([0, s];Rm) vers un lment u LK(s).

Pour tout z Rn, on dfinit ensuite les fonctions :

n() =BS(tn )z si 0 < tn0 sinon et () =

BS( )z si 0 < 0 sinon.On sait n(.) (.) dans L1([0, s];Rm).Donc, on obtient pour tout z Rn :

z, zf S(tn)z0 = z, tn

0S(tn )Bun()d

= tn

0BS(tn )z, un()d =

s0n(), un()d.

Prenons la limite n +, on obtient :

z, zf S( )z0 = s

0(), u()d =

0BS( )z, u()d

= z,

0S( )Bu()d, z Rn.

Cela implique que zf S( )z0 = u, u LK(s) LK( ).Do lexistence dun contrle en temps optimal.

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2 Principe du maximum et la proprit de bang-bang

On nonce dabord le principe du maximum de Pontriaguine :

Dfinition 2.4 (Principe du maximum).On dit quun contrle u LK(t) vrifie le principe du maximum si il existe

Rn, 6= 0 t.q. :BS(t ), u() = max

uKBS(t ), u pour [0, t] p.p. . (2.6)

Par la suite, on verra quun contrle en temps optimal satisfait le principe dumaximum, autrement dit, cest une condition ncessaire de loptimalit en temps.De plus, en ajoutant une condition supplmentaire, il possde la proprit de bang-bang. On verra quen supposant des conditions sur le point initial ou le point final,le principe du maximum devient une condition suffisante doptimalit en temps.

On commence par noncer deux lemmes utiles pour le thorme principal.

Lemme 2.5. On a des quivalences entre les trois assertions suivantes :

(a) t > 0, intRK (t) 6= (b) t > 0, R(t) = Rn(c) ( > 0, BS() = 0) = 0. (2.7)

Dmonstration.* (b) (c)

On fait une preuve par contraposition.Prenons t>0, supposons quil existe Rn , 6= 0 t.q. pour tout y R(t), , y = 0. Ceci quivaut :

u L([0, t];Rm), 0 = , t

0S(t )Bu()d =

t0BS(t ), u()d,

qui est quivalent :

BS(t ) = 0 BS() = 0 (0 t).

Comme 7 BS() est analytique, on sait donc que cette proprit estindpendante de t. Autrement dit, on a montr que :

t > 0, R(t) 6= Rn Rn , 6= 0, BS() = 0.Do lquivalence.

* (a) (b)On montre dabord que (a) entrane (b). En effet, si (a) est vrai, comme 0 int RK (t) il existe une boule contenue dans RK (t), i.e.,

r > 0, B(0, r) RK (t).

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Or, pour tout z Rn, il existe k > 0 t.q. zk B(0, r). Donc, z = t(ku), avec

u LK(t). Comme ku L([0, t];Rm), on a z R(t). Do (a) implique(b).Rciproquement, si (b) est vrai, prenons z Rn et > 0 quelconques. On a :

z B(z, ) Rn, u L([0, t];Rm), z = tu.

Comme K est un voisinage de 0, il existe r > 0 t.q. B(0, r) K. Il nous suffitde montrer que int RB(0,r)(t) 6= pour conclure.Si on pose

M := inf{M > 0 | z B(z, ), u L([0, t];Rm) t.q. z = tu, on a

u(.)M r

},

alors, on obtient B( zM, M

) RB(0,r)(t). Donc, intRB(0,r)(t) 6= . On en dduitque (a) implique (b).

Remarque 2.6.Si (A,B) est exactement contrlable (voir Def 3.1), alors on a videmment

(2.7).

Lemme 2.7.Supposons que (2.7) est vraie. Alors, on peut dfinir une norme dans R(t) =

Rn par

zR(t) = inf{uL([0,t];Rm) | z = tu, u L([0, t];Rm)

}. (2.8)

Cette norme est quivalente toutes les normes de Rn.De plus, si on dfinit pour tout t > 0 une constante Ct > 0 par

Ct = supz 6=0, zRn

{zR(t)zX

}, (2.9)

alors t 7 Ct est dcroissante.

Dmonstration.La premire partie est claire et on montre juste la dcroissance de t 7 Ct.Soit z Rn. Alors daprs la dfinition de Ct, il existe u L([0, t];Rm) t.q.

z = tu et uL([0,t];Rm) zXCt.Prenons t > t > 0. On remarque que :

t0S(t )Bu()d =

ttt

S(t )Bu( (t t))d.

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Donc, si on dfinit u() = [tt,t]()u( (t t)), on atu = z et uL([0,t];Rm) = uL([0,t];Rm).

Or, zXCt uL([0,t];Rm) = uL([0,t];Rm) zR(t).Passons au suprmum en z sur X. On en dduit que Ct Ct .

On a aussi besoin dun thorme de sparation qui est une consquence duthorme de Hahn-Banach [5].

Dfinition 2.8.Soit C un sous ensemble, convexe et non vide dun espace de Hilbert X.On dit que x C est un point dappui de C si il existe f X t.q. :

sup{f(x), x C} = f(x).Thorme 2.9.

Soit C un sous ensemble convexe dun espace de Hilbert X.Si int C 6= , alors pour tout x C, x est un point dappui de C.

Dmonstration.Voir par exemple le thorme 1.13 du livre de V. Barbu et T. Precupanu [1].

On peut maintenant noncer le thorme le plus important de cette section quimontre que le principe du maximum est une condition ncessaire doptimalit entemps.

Thorme 2.10 (Principe du maximum, condition ncessaire).Si u LK( ) est un contrle optimal en temps , alors u vrifie le principe

du maximum (2.6).

Dmonstration.Il suffit de montrer le rsultat en supposant que la proprit (2.7) est vraie. En

effet, si (2.7) nest pas satisfaite, il existe 6= 0, t.q. BS( ) = 0. Donc, ilny a rien montrer car avec ce , tout contrle (optimal ou non) satisfait (2.6).

Supposons que (2.7) est vraie. On va montrer dabord que zf S( )z0 estsur le bord de RK ( ).

Par labsurde, si zf S( )z0 nest pas sur le bord, alors il existe > 0, t.q.B(zf S( )z0, ) RK ( ). Comme 0 RK ( ), il existe donc r < 1 t.q. 1r (zf S( )z0) RK ( ). Cela est quivalent dire quil existe u LK( ) t.q. zf S( )z0 = (ru).

On pose u = ru. Alors u = ru < u et zf S( )z0 = (u). De plus,comme K est convexe et 0 appartient K, on a u LK( ).

15


Soit 0 < t < . On a :

zf S(t)z0 = S( )z0 S(t)z0 +

0S( )Bu()d

= t

0S(t )Bu()d + S( )z0 S(t)z0 +

t

S( )Bu()d

+ t

0(S( ) S(t ))Bu()d

= t

0S(t )Bu()d + (t, ),

o (t, ) := S( )z0 S(t)z0 + t

S( )Bu()d + t

0(S( ) S(t ))Bu()d.

Cest facile de voir que limt (t, ) = 0.Comme la fonction t 7 Ct est dcroissante daprs le lemme 2.7, pour tout

> 0 on peut trouver t < et un contrle v LK(t) t.q. tv = (t, ) etvL([0,t];Rm) Ct(t, )Rn uL([0,];Rm).

On sait que Ran u int K, car 0 K, Ran u K et u = ru avec 0 < r < 1.Lobjectif est de prendre pour que u + v soit bien dans lensemble admissible,LK(t). Il suffit de prendre un suffisament petit t.q. :

B(u, uL([0,];Rm)) K o B(u, r) := {x Rm | , x u()Rm r}.

On a enfin que zfS(t)z0 = t(u+v) avec u+v LK(t). Cela est contradictoireavec le fait que u est le contrle optimal en temps . Donc, on a montr quezf S( )z0 RK ( ).

On montre par la suite que u satisfait le principe du maximum.En utilisant le thorme 2.9, comme int RK ( ) 6= (lemme 2.5) et zf

S( )z0 RK ( ), on sait que zf S( )z0 est un point dappui de RK ( ).Par le thorme de reprsentation de Riesz, ceci quivaut :

Rn , 6= 0, , z , zf S( )z0 (z RK ( )) ,u ,u, u LK( )

0BS( ), u()d

0BS( ), u()d (u LK( )).

(2.10)

La dernire ingalit (2.10) est quivalente au principe du maximum (2.6). Pourvoir cela, il suffit de prendre :

[0, ] , v() = argmaxuK {BS( ), u} ,o argmaxuK{f(u)} est un lment de K ralisant le maximum de f .

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En prenant ce v, on obtient clairement que

BS( ), u() = maxuKBS( ), u pour [0, ] p.p. .

Do le rsultat.

On nonce ensuite le thorme concernant la proprit de bang-bang :

Corollaire 2.11 (Proprit de bang-bang).Si on a (2.7) et si u est un contrle optimal en temps , alors

u(t) K pour t [0, ] p.p.. (2.11)

Dmonstration.On remarque que le lemme 2.7 nous assure que BS( ) 6= 0 si 6= 0.Daprs le thorme 2.10, on sait quil existe Rn, 6= 0 t.q. u vrifie (2.6).Nous pouvons dfinir pour tout [0, ]

u() = BS(t )

BS(t ) et () = maxR+ { | u() K} . (2.12)

Il est clair que ()u() K.De plus, comme u vrifie (2.6), on obtient que pour tout [0, ] :

BS( ), u() BS( ), ()u() = ()BS(t ).(2.13)

Pour fix, on peut projeter u() selon la direction u(). Alors,

u() = ru() + v avec u(), v = 0 et r (). (2.14)

Par (2.13) et (2.14), on a :

()BS(t ) BS( ), u() = BS( ), ru()= rBS(t ) ()BS(t ).

Donc u() = ()u() K, pour [0, ] p.p..Remarque 2.12.

Dans la dmonstation du thorme 2.11, on voit que si u satisfait le principedu maximum (2.6) et si la proprit (2.7) est vraie, alors u possde la proprit detype bang-bang (2.11). Cela pour tre tendu en dimension infinie si on suppose untype de contrlabilit approche (voir thorme 4.9).

17


On donne dans le thorme suivant une condition suffisante pour quun contrleu soit optimal en temps.

Thorme 2.13 (Principe du maximum, condition suffisante).Supposons quon a la proprit (2.7). Si un contrle u LK( ) vrifie le

principe du maximum (2.6) et si on a z0 = 0 ou zf = 0, alors u est un contrle entemps optimal.

Dmonstration.Supposons quon a zf = 0.Si u nest pas optimal en temps, il existe t < et un contrle u LK(t) t.q.

0 S(t)z0 = tu.Posons u() = [0,t]()u() pour [0, ].On sait que u entrane z0 0 en temps .Comme on a vu dans la dmontration du thorme 2.10 que u satisfait le

principe du maximum est quivalent

6= 0, , z , zf S( )z0 (z RK ( )),cela implique que zf S( )z0 = S( )z0 RK ( ).

De plus, on sait que S( )z0 = u.Donc u vrifie aussi le principe du maximum.On a vu dans la remarque 2.12 que u doit possder la proprit de bang-bang.

Autrement dit, u() K pour p.p.. Or u sannule sur lintervalle [t, ], et0 int K. Contradiction.

Si on a z0 = 0, il suffit dinverser le systme et dutiliser un argument similaireen posant v() = [t,]()u( ( t)) ( [0, ]).

On vrifie de nouveau que v vrifie le principe du maximum, donc il possdela proprit de bang-bang. Cela entrane la contradiction comme v sannule sur[0, t].

3 Unicit

On commence par dfinir la notion de convexit stricte.

Dfinition 2.14.On dit quun ensemble C est strictement convexe si

x, y C, x 6= y t ]0, 1[, tx+ (1 t)y int C.Proposition 2.15.

Si K Rm est strictement convexe et si la proprit (2.7) est vraie, alors lecontrle en temps optimal est unique.

18


Dmonstration.Supposons u, v deux contrles optimaux en temps t.Daprs le thorme 2.11, u, v possdent la proprit de bang-bang, i.e. u(), v()

K pour [0, t] p.p.. Si u 6= v, alors il existe e [0, t] de mesure strictementpositive, t.q. u() 6= v(), pour tout e.

On pose w = u+v2 . Cest aussi un contle en temps optimal.Or par la convexit stricte de K, pour tout e, w() est lintrieur de K,

ce qui est contradictoire avec la proprit de bang-bang. Do lunicit.

On nonce finalement une proprit doptimalit :

Proposition 2.16 (Principe doptimalit).Supposons que u est un contrle optimal en temps .Pour t [0, ], on considre le problme de contrle en temps optimal avec le

mme point initial z0 et zf = z(t, z0, u).Alors, u est aussi le contrle optimal en temps t, qui entrane z0 z(t, z0, u).

Dmonstration.Supposons que u nest pas le contrle optimal en temps t < , cest--dire

quil existe > 0 et un contrle v LK(t ) t.q.

z(t, z0, u) = z(t , z0, v).

Posons u() =v() 0 t u( + ) t < .

Alors, on a :

zf = z( , z0, u) = z( , z0, u).

Donc, u nest pas le contrle optimal en temps . Contradiction.

19


20

Contrle en temps optimal Prliminaires

III Prliminaires : Notions de contrlabilit et dobservabi-lit

On considre le systme linaire suivant en dimension infinie.Soient X U et deux espaces de Hilbert. On identifie U et U (respectivement X

et X ) dans toute la suite, o U est le dual de U .On considre le systme :

z(t) = Az(t) +Bu(t), t [0, T ], z(0) = z0 X, (3.1)o A : D(A) X est un oprateur qui engendre un semigroupe S(t) fortementcontinu, B est un oprateur dans L(U,X) et u L2([0, T ];U).

On sait que la solution de (3.1) scrit :

z(t) = S(t)z0 + tu, t [0, T ]avec tu =

t0S(t )Bu()d, t L(L2([0, t];U), X). (3.2)

Dans la partie suivante, on prsente des rsultats prliminaires concernant lesnotions de contrlabilit et dobservabilit classiques (voir par exemple les chapitres6 et 11 du livre de G. Weiss et M. Tucsnak [35]). On voit aussi quelques notionsparticulires dont on a besoin plus tard.

1 Dfinitions

Dfinition 3.1. On dit que le systme (3.1) (ou (A,B)) est exactement contrlable entemps t si Ran t = X. On dit que (A,B) est approximativement contrlable en temps t siRan t est dense dans X. Soit e [0, t] un ensemble de mesure de Lebesgue strictement positive. Ondit que (A,B) est approximativement contrlable en temps t sur e silimage de la fonction t,e L(L2([0, t];U), X) dfinie par :

t,e = t

0e()S(t )Bu()d (3.3)

est dense dans X, o e est la fonction indicatrice de lensemble e.

On prsente ensuite les notions dobservabilits :

Dfinition 3.2.Supposons que C L(X,U). On dfinit un oprateur dobservation en

temps t, not t par :

(tz0)() = CS()z0, z0 X, [0, t]. (3.4)

21


On sait que t L(X,L2([0, t];U)).De plus, on peut aussi dfinir un oprateur dobservation en temps t sur

e, avec e [0, t] de mesure strictement positive not t,e, par :

t,e = et , t,e L(X,L2([0, t];U)). (3.5)

Dfinition 3.3. On dit que (A,C) est exactement observable en temps t si t est borninfrieurement, i.e. :

c > 0, x X, xX ctxL2([0,t];U).

On dit que (A,C) est approximativement observable en temps t siKer t = {0} . Soit t > 0 et e [0, t] de mesure strictement positive. On dit que (A,C) estapproximativement observable en temps t sur e si Ker t,e = {0}.

On a besoin dintroduire les notions de contrlabilit zro :

Dfinition 3.4. On dit que (A,B) est contrlable zro en temps t > 0 si Ran S(t) Ran t. On dit que (A,B) est L-contrlable zro en temps t > 0 si RanS(t)

t (L([0, t];U)).Soit e [0, t] de mesure strictement positive. On dit que (A,B) est contrlable zro en temps t > 0 sur e siRan S(t) Ran t,e. On dit que (A,B) est L-contrlable zro en temps t > 0 sur e siRan S(t) t,e (L([0, t];U)).

Remarque 3.5.Si (A,B) est exactement contrlable en temps t alors pour tout zf X, on sait

quil existe u L2([0, t];U) t.q. S(t)z0 + tu = zf . Autrement dit, pour tout pointinitial arbitraire z0 X, on peut trouver un contrle u L2([0, t];U) qui entranez0 zf en temps t.

De mme, si (A,B) est contrlable zro en temps t, alors pour tout pointinitial arbitraire z0 X, on peut trouver un contrle u L2([0, t];U) qui entranez0 0 en temps t.

2 Dualit entre la contrlabilit et lobservabilit

Avant de prsenter la dualit entre la contrlabilit et lobservabilit, on a besoindintroduire le lemme comme suit :

22


Lemme 3.6.Soient X1, X2 et X3 trois espaces de Banach, G : D(G) X2 X3 un

oprateur linaire, ferm et de domaine dense et F L(X1, X3). Alors, on a lesquivalences (i) (ii), (iii) (iv) et (v) (vi), o :(i) RanF RanG,(ii) c1 > 0, {Fz | z X1, zX1 c1} {Gx | x D(G), xX2 1}.(iii) c2 > 0, x X3, F xX1 c2GxX2.(iv) c3 > 0, {Fz | z X1, zX1 c3} {Gx | x D(G), xX2 1}.(v) RanF RanG,(vi) Ker G Ker F .

Si on a de plus que X2 est rflexif, alors (i) (iii).

Dmonstration.Lquivalence entre (v) et (vi) vient du simple fait que :

(Ran F

)= Ker F et que

(Ran G

)= Ker G.

Donc, on obtient que :

(v) (Ran G

) (Ran F) (vi).(i) (ii) et (iii) (iv) viennent dun rsultat dans larticle de R. G.

Douglas [9], on se rfre au thorme 2.2 de larticle de O. Carja [6] et aux thormes2.1 et 2.2 ch.2, Part IV du livre de J. Zaczyk [38] pour la dmonstration.

Remarque 3.7.Dans le cas o X1, X2 et X3 sont des espaces de Hilbert et G L(X2, X3), on

a videmment (i) (ii) (iii) (iv) et (v) (vi).Corollaire 3.8.

Soient Z, Y deux espaces de Hilbert et L L(Z, Y ).Alors on a les deux quivalences suivantes :

L est sujectif L est born infrieurement. (3.6)Ran L est dense dans Y L est injectif. (3.7)

Dmonstration.Il suffit dappliquer le lemme 3.6 en posant X1 = X3 = Y,X2 = Z, F = IdY et

G = L pour conclure ((i) (iii) et (v) (vi)).

23


On note dt loprateur dobservation pour (A, B) en temps t > 0, et dt,e =edt , i.e. :

dt () = BS(), [0, t]. (3.8)dt,e() = e()BS(), [0, t]. (3.9)

On note aussi Rt loprateur de rflexion sur L2([0, t];U) dfini par Rtu() =u(t ) pour tout [0, t]. On remarque que Rt est autoadjoint et unitaire.

On nonce ensuite un thorme concernant la dualit entre la contrlabilit etlobservabilit.

Thorme 3.9.1. (A,B) est exactement contrlable en temps t > 0 si et seulement si

loprateur t o t L (X,L2([0, t];U)) dfini par :

(t z)() = Rtdt () = BS(t )z, z X, [0, t] (3.10)

est born infrieurement.2. Soit t > 0 et e [0, t] de mesure strictement positive. On note e := {t | e}.

Alors, on a t,e L (X,L2([0, t];U)) et :

(t,ez)() = Rtdt,e() = e()BS(t )z, z X, [0, t]. (3.11)

De plus, (A,B) est approximativement contrlable en temps t sur e siet seulement si (A, B) est approximativement observable en temps tsur e.

Dmonstration.* On montre dabord (3.11).

En fait, pour tout v L2([0, t];U) et tout z X on a :

z,t,evX = z, t

0e()S(t )Bv()dX =

t0BS(t )e()z, v()Ud

= t

0 RtBS()e()z, v()Ud = RtBS(.)e(.)z, v(.)L2([0,t];U).

Donc, on en dduit que (t,ez)() = ( Rtdt,e)()z.Si de plus, on prend e = [0, t] dans (3.11), on obtient (3.10).

* On pose Z = L2([0, t];U), Y = X et L = t dans (3.6), et on obtient que test surjectif si et seulement si t est born infrieurement. Do la premiredualit.Pour la deuxime dualit, on pose Z = L2([0, t];U), Y = X et L = t,e.Daprs (3.7), on sait que Ran t,e est dense dans X si et seulement si Rtdt,eest injectif. Or, cela quivaut au fait que dt,e est injectif ou que (A, B) estapproximativement observable en t sur e. Do la deuxime dualit.

24


Remarque 3.10.* Dans la deuxime assertion du thorme 3.9 , en prenant e = [0, t], on aurale rsultat classique pour la dualit. Autrement dit, (A,B) est approximative-ment contrlable en temps t si et seulement si (A, B) est approximativementobservable en temps t.

* Dans la premire assertion, on a montr :

(A,B) est exactement contrlable en temps t > 0, Kt > 0, z X, Ktt zL2([0,t];U) zX . (3.12)

On appelle Ct le cot du contrle, la plus petite constante Kt pour que (3.12)soit vraie.

* Dans toute la suite de la section III, on va voir plusieurs notations pour lecot du contrle. On choisit de les noter par la faon suivante :

* Si cest pour le problme concernant la norme L([0, t];U), on rajouteun indice + au dessus, i.e. Ct .

* Si cest pour le problme o on cherche amener le systme zro, onrajoute un indice 0 au dessus, i.e. C0t .

* Si cest pour le problme o le support de contrle est inclus dans e [0, t]de mesure strictement positive, on rajoute un indice e au dessous, i.e. Ct,e.

Quant aux sections plus tard (section IV), pour simplifier lcriture, on choisitdliminer lindice 0 (respectivement +), si le problme trait est clairementassosi une contrlabilit zro (respectivement la L-norme).

On prsente par la suite un thorme concernant la dualit entre la contrlabilit zro et une ingalit dobservabilit.

Thorme 3.11.Soient t > 0, e [0, t] de mesure strictement positive et e := {t | e}.Alors, on a lquivalence entre :

(i) (A,B) est contrlable zro en temps t sur e,(ii) Kt,e > 0, z X, Kt,edt,ezL2([0,t];U) S(t)zX.

On appelle les ingalits de type (ii) ingalit dobservalit et appelle C0t,ecut de contrle, la plus petite constante Kt,e pour que lingalit dobservabilitsoit vraie.

Dmonstration.Il suffit de prendre X1 = X3 = X,F = S(t), G = t,e et X2 = L2([0, t];U) dans

le lemme 3.6 pour conclure.

25


Remarque 3.12.* Prenons e = [0, t] dans le thorme prcdent. On obtient la dualit classiqueentre la contrlabilit zro et une ingalit dobservabilit, i.e. :

(A,B) est contrlable zro en temps t > 0, Kt > 0, z X, Ktt zL2([0,t];U) S(t)zX . (3.13)

On note par analogie la remarque 3.10, C0t la plus petite constante Kt pourque lingalit (3.13) soit vraie et on lappelle le cot du contrle.

* Pour le problme de contrle dans lespace L([0, t];U), comme L([0, t];U)nest pas un espace de Banach rflexif, on ne peut pas appliquer le lemme 3.6pour dduire la dualit.On prsente dans la section suivante quelques proprits de cot du contrle,puis on voit un rsultat similaire au thorme 3.11 qui donne la dualit entrela L-contrlabilit zro et un type dingalit dobservabilit.

3 Cot du contrle

On commence par un lemme concernant le Gramien de contrlabilit :

Lemme 3.13.Dfinissons Rt L(X) le Gramien de contrlabilit pour (A,B) par :

Rtz = tt z, z X. (3.14)

Si (A,B) est exactement contrlable, alors Rt est un oprateur inversible,autoadjoint et positif.

De plus, on peut trouver un unique oprateur R12t L(X), autoadjoint et positif

et R12

t L(X) est aussi un oprateur autoadjoint et positif.

Dmonstration.On montre dabord que Rt est inversible. Daprs la contrlabilit exacte de

(A,B), on sait que Ran t = X. Daprs (3.6), cela implique que t est borninfrieurement. On obtient que :

x X, C2t ttxXxX C2t ttx, xX = C2t tx2L2([0,t];U) x2X ,o Ct est le cot du contrle.

Donc tt = (tt ) est born infrieurement. Cela quivaut au fait que ttest sujectif. De plus, comme Rt est born infrieurement, il est injectif. Donc Rt estinversible.

Par un simple calcul, on a :

Rtz = t

0S(s)BBS(s)z ds, z X.

26


On montre ensuite que Rt est un oprateur autoadjoint positif. En effet, oncalcule :

Rtz, yX = t

0S()BBS()z, yX d

= t

0z, S()BBS()yX d = z,RtyX , z, y X.

Rtz, zX = t

0S()BBS()z2Xd 0, z X.

La dernire assertion est un rsultat classique ds que Rt est un oprateurinversible, autoadjoint et positif.

Do le rsultat.

On donne ensuite une proposition qui donne une caractrisation du cot ducontrle :

Thorme 3.14.Supposons que (A,B) est exactement contrlable en tout temps t > 0.Soit z X fix. Alors, on peut dfinir un oprateur F (t) L(X,L2([0, t];U))

t.q. pour tout z X,

ut,z := F (t)z (3.15)

est lunique solution dun problme de contrle en norme minimale :

min{uL2([0,t];U) | u L2([0, t];U), tu = z

}. (3.16)

On sait de plus que F (t)z = tR1t z o Rt est le Gramien de contrlabilit(dfini en (3.13) et on a Ct = F (t)L(X,L2([0,t];U)).

Dmonstration.On commence par remarquer une proprit utile :

* Soit z X. On a :

t z2L2([0,t];U) = t

0BS(t )z2Xd =

t0S(t )BBS(t )zd, z

X

= Rtz, zX = R12t z2X . (3.17)

On montre par la suite lexistence et lunicit de la solution.En effet, comme L2([0, t];U) est un espace de Hilbert, daprs le thorme V.2

du livre de Brezis [5], on sait que Ker t admet un supplmentaire topologique dansL2([0, t];U). Autrement dit, comme X = Ran t, il existe un unique u (Ker t)t.q. tu = z.

27


En plus, par un simple calcul, on a :

tut,z = ttR1t z = z.

Soit u L2([0, t];U) t.q. tu = z. On a u = u1 + u2, une dcompositionorthogonale o u1 Ker t et u2 (Ker t).

Daprs le raisonnement ci-dessus, on sait que u2 = ut,z.On a aussi :

u2L2([0,t];U) = u12L2([0,t];U) + ut,z2L2([0,t];U) ut,z2L2([0,t];U).

Do lexistence et lunicit de la solution.On montre ensuite que F (t)L(X,L2([0,t];U)) = Ct.Pour tout z X, daprs (3.17), on obtient :

F (t)zL2([0,t];U) = tR1t zL2([0,t];U) = R12t R1t zX = R

12

t zX . (3.18)

Donc, cela implique que :

F (t)L(X,L2([0,t];U)) = Ct R12

t L(X) = Ct, (3.19)o Ct est la plus petite constante Kt t.q.

Ktt zL2([0,t];U) = KtR12t zX zX , z X. (3.20)

On montre ensuite que R12

t L(X) Ct et que R12

t L(X) Ct.On calcule, pour tout z dans X :

R12

T z2X =R 12t z,R

12t z

X

=z,R1t z

X

zXR1t zX zXCtR12

t zX(daprs (3.20)).

Donc, pour tout z dansX on a R12

t zX zXCt. Cela implique que R12

t L(X) Ct en passant au supremum.

De plus, on peut calculer pour tout z dans X :

R12

t L(X)R12t zX

R12

t zXR12t zX

zX

R 12t z,R

12t zX

zX = zX .

Donc R12

t L(X) Ct. Do R12

T L(X) = Ct et par suite Ct = F (t)L(X,L2([0,t];U)).

28


Remarque 3.15.* Le problme (3.16) est un problme de contrle en norme optimale pour lesytme partant dun point initial 0 arrivant au point final z.Dans la section V, on va prsenter plus de dtails pour un problme similairede contrle en norme optimale dun systme qui part du point initial z0 etarrive au point final 0.

* Par analogie la dmonstration ci-dessus, on peut montrer que si (A,B) estcontrlable zro en tout temps t > 0, alors on a :

C0t = F0(t)L(X,L2([0,t];U)), (3.21)o F0 est en effet loprateur donnant lunique contrle qui amne un systmedu point initial z0 au point final 0 en norme mininale. Plus prcisment, ut,z0 =F0(t)z0 est lunique solution du problme :

min{uL2([0,t];U) | u L2([0, t];U), S(t)z0 + tu = 0

}. (3.22)

On remarque que comme le systme nest plus exactement contrlable, le Gra-mien de contrlabilit Rt nest pas inversible, autrement dit, on ne peut pascrire la formule suivante :

F0(t)z0 = tR1t (S(t)z0) . (3.23)

Cependant, lcriture ci-dessus nest pas totalement fausse, il faut avoir S(t)z0 Ran Rt. On remarque que par exemple pour z0 assez proche de zro, la formule(3.23) est juste. On verra lusage de cette criture la fin de la section V.

* Dans le cas plus gnral o p K1,+J, on peut aussi montrer lexistence etlunicit de la solution dun problme de contrle en Lp-norme minimale detype ci-dessus (avec point initial 0 ou point final 0). Il suffit de remarquer queLp([0, T ];U) est un espace de Hilbert et dutiliser le thorme V.2 du livre deBrezis [5].

On prsente quelques rsultats utiles pour contrler le systme par des contrlesdans L([0, t];U) au lieu de L2([0, t];U).

Proposition 3.16.Si (A,B) est exactement contrlable en t > 0, alors t(L([0, t]; U)) = X.

Dmonstration.Pour tout z0 X, on peut dfinir une fonction u L2([0, t];U) par :

u() = t ()R1t z0, [0, t].

On peut aussi vrifier que : tu = ttR1t z0 = z0.Il reste montrer que u L([0, t];U).

29


Daprs (3.10), on peut crire u comme :

u() = BS(t )R1t z0, [0, t].

De plus, on a :

u()U = BS(t )R1t z0U BL(X,U)MtR1t L(X)z0X , [0, t],o Mt := sup[0,t] S(t )L(X).

Do le rsultat.

Pour simplifier lcriture, on dfinit un ensemble de contrles admissibles, quelon note L1(t) par :

L1(t) ={u L([0, t];U) | uL([0,t];U) 1

}. (3.24)

On dfinit deux autres ensembles accessibles partir du point 0 :

R(t) = {z X | z = tu, u L([0, t];U)} , (3.25)B1 (t) = {z X | z = tu, u L1(t)} . (3.26)

Lemme 3.17.On dfinit une norme pour lespace R(t) par :

zR(t) = inf{uL([0,t];U) | u L([0, t];U) , tu = z

}(z R(t)). (3.27)

Alors,(R(t), .R(t)

)est un espace de Banach.

De plus, pour tout 0 < s < t, on a les inclusions continues suivantes :

R(s) R(t) X.

Dmonstration.On admet que R(t) est complet. on se rfre au lemme 2.1.1 de [11].Ensuite, les inclusions sont claires, il suffit de montrer quelles sont continues.Comme t L(L2([0, t];U), X), on sait quil existe M > 0 t.q. pour tout

x R(t) et pour tout u L([0, t];U) avec tu = x, on a xX MuL([0,t];U).En prenant linfimum en u sur L([0, t];U), on en dduit que xX MxR(t).

Donc linclusion R(t) X est continue.Pour la continuit de linclusion R(s) R(t), on remarque dabord que pour

tout 0 < s < t et tout x R(s) avec x = su, u L([0, s];U), on a : s0S(s )Bu()d =

tts

S(t )Bu( t+ s)d.

Donc, en posant u() = [ts,t]()u( t+s) ( [0, t]), on a tu = x avec u L([0, t];U) et uL([0,t];U) = uL([0,s];U). Donc, on obtient xR(t) xR(s).Do la continuit.

30


En supposant que (A,B) est exactement contrlable, on a montr dans la pro-position 3.16 que R(t) = t(L([0, t];U)) = X.

On peut donc noncer le lemme suivant :Lemme 3.18.

Si (A,B) est exactement contrlable en temps t, alors les normes .X et .R(t)sont quivalentes.

De plus, si on dfinit C+t par :

C+t = supz 6=0, zX

{zR(t)zX

}, (3.28)

alors t 7 Ct,+ est dcroissante en temps.

Dmonstration.Daprs la proposition 3.16, on sait que R(t) = X. Prenons lapplication

identit, Id :(X, .R(t)

) (X, .X). On a montr dans le lemme 3.17 quil existe

M > 0 t.q. xX MxR(t). Donc on sait que Id L((X, .R(t)), (X, .X)

).

Par une consquence du thorme de lapplication ouverte (voir Corollaire II.6 de[5]), cela implique que Id1 est continue. Do lquivalence entre les deux normes.

Afin de montrer que t 7 C+t est dcroissante, on reprend exactement la mmedmarche que dans la dmonstration du lemme 2.7.Remarque 3.19.

* Si on restreint loprateur t sur lespace L([0, t];U), la constante C+t sin-tprte comme le cot du contrle par le fait que C+t est en effet la plus petiteconstante Kt t.q. :

z X, Ktt zL1([0,t];U) zX . (3.29)* Il est clair quon peut montrer que t 7 Ct et t 7 C0t sont toutes dcroissantsen temps.

Supposons que (A,B) est L-contrlable zro en temps t sur e. Alors pourtout z0 X, on peut dfinir un ensemble At,e,z0 non vide par :

At,e,z0 := {u L([0, t];U) | S(t)z0 + t,eu = 0} . (3.30)

On peut par analogie dfinir le cot du contrle comme une constante :

C+,0t,e = supz0 6=0, z0X

infuAt,e,z0{uL([0,t];U)

}z0X

. (3.31)Il est clair que t 7 C+,0t,e est dcroissante.On donne ensuite la dualit entre la L-contrlabilit zro en temps t > 0

sur e [0, t] de mesure strictement positive et un type dingalit dobservabilit.

31


Thorme 3.20.Soient t > 0, e [0, t] de mesure strictement positive et e := {t | e}.

Alors, on a lquivalence entre :(i) (A,B) est L-contrlable zro en temps t sur e et le cot du contrle

C+,0t,e est plus petit quune constante Kt,e,(ii) z X, Kt,edt,ezL1([0,t];U) S(t)zX .

Dmonstration.On montre dabord que (ii) (i).Dfinissons un sous-espace Z de L1([0, t];U) par :

Z :={

Rtdt,e | X}.

Soit z0 X. On considre la fonction F : Z R dfinie par :F( Rtdt,e) = z0, S(t)X . (3.32)

On montre dabord que F est bien dfinie. En effet, soient 6= et Rtdt,e =Rtdt,e. Daprs lingalit (ii), on obtient que S(t) = S(t). Donc F est bien

dfinie.De plus, daprs lingalit (ii) et (3.32), on obtient :

|F(v)| Kt,ez0XvL1([0,t];U), v Z.

Daprs le thorme de Hahn-Banach (voir le thorme I.1 de [5]), on peutprolonger F sur L1([0, t];U) (on note lextension par F) de manire ce que :{ F(v) = F(v), v Z,

|F(v)| Kt,ez0XvL1([0,t];U), v L1([0, t];U).Par le thorme de reprsentation de Riesz, ceci implique quil existe u

L([0, t];U) t.q. :{ uL([0,t];U) Kt,ez0X ,u, vL,L1 = F(v), v Z.

Prenons v = Rtdt,e. On obtient que pour tout X :

S(t)z0, X = z0, S(t)X = F(v) =u, Rtdt,e

L,L1

= t,eu, X .

Donc t,eu+ S(t)z0 = 0, pour tout z0 X. Do (i) est vrai.Pour la rciproque, on pose z0 = S(t) X o X. Comme le cot

du contrle est plus petit que Kt,e, cela implique quil existe u L([0, t];U) t.q.u At,e,z0 et que uL([0,t];U) Kt,ez0X .

Ensuite, on calcule :

32


S(t)2X = z0, S(t)X = S(t)z0, X= t,eu, X =

u, Rtdt,e

L,L1

uL([0,t];U) Rtdt,eL1([0,t];U) Kt,ez0Xdt,eL1([0,t];U).

Do (ii) est vrai.

Remarque 3.21.

* Le thorme prcdente implique que C+,0t,e est la plus petite constante quiralise lingalit dobservabilit (ii).

* Prenons e = [0, t] dans le thorme prcdent. On obtient la dualit entre laL-contrlabilit zro et un type dingalit dobservabilit :

(A,B) est L-contrlable zro en temps tet le cot du contrle C+,0t est plus petit quune constante Kt,

z X, Ktt zL1([0,t];U) S(t)zX , (3.33)o on dfinit par analogie :

C+,0t = supz0 6=0, z0X

infuAt,z0{uL([0,t];U)

}z0X

, (3.34)avec At,z0 := {u L([0, t];U) | S(t)z0 + tu = 0}.

* Toutes les diffrentes notions de cot du contrle ont des proprits communessuivantes : Cest la plus petite constante qui ralise une ingalit dobservabilit. Cest la norme dun oprateur F : X Lp([0; t];U), p K1,+K ou = F z est la solution dun type de problme de contrle en L-normeminimale. Ils sont dcroissants en temps.

Le comportement de C0t pour un problme de contrle dun systme contrlable zro est un sujet vivement tudi dans ces dizaines dannes. Il est connu quelimt0 C0t = +. On prsente par la suite quelques rsultats obtenus dans diffrentsarticles concernant le taux dexplosion de C0t quand t tend vers zro.

* En dimension finie (o X = Rn et U = Rm), Thomas I. Seidman et JiongminYong ont montr dans larticle [29] :

C0t v t(k+1/2), t 0, (3.35)o k est le plus petit nombre entier t.q. Ran [B, AB, ... , AkB] = n.

33


* Dans le cadre de la section IV.4, on suppose A = A < 0, diagonalisableavec une base orthornorme forme par les vecteurs propres (k)k de A oles valeurs propres assosies (k)k sont t.q. pour tout k 1, k > 0 etlimk+ |k| = + et que la rsolvante de A est compacte. Si on suppose deplus que pour tout > 0, (A,B) vrifie lingalite :

d0, d1 > 0, V , X d0ed1BU , (3.36)

o V = vect{k |

12k

}, on va voir que le systme est L-contrlable

zro en tout t > 0 sur tout e [0, t] de mesure strictement positive.Dans ce cas, G. Tenenbaum et M. Tucsnak ont montr dans larticle [33](thorme 1.2) que :

C0t < t12 e ct , t 0 o c > 4d21. (3.37)

On peut appliquer cette estimation du cot du contrle lquation de lachaleur avec un contrle interne, dcrite dans (3.54)-(3.56).

* Supposons que Rn, born et que est de la classe C.On considre lquation de Schrdinger avec un contrle sur le bord :

z(x, t) = i4z(x, t), x , t 0, (3.38)z(x, t) = u(x, t), x , t 0, (3.39)

z(x, t) = 0, x \ , t 0, (3.40)z(x, 0) = z0(x), x , (3.41)

o z0 L2() et et satisfait la condition doptique gomtriquedcrite dans larticle de C. Bardos, G. Lebeau et J. Rauch [2].Alors, G. Tenenbaum et M. Tucsnak ont montr dans larticle [32] (proposition6.1) que :

C0t < e3L22t , t 0, (3.42)

o L est une constante dpendant de (voir [32]).G. Tenenbaum et M. Tucsnak ont montr aussi dans larticle [32] (proposition6.3) que pour lquation de la chaleur avec un contrle sur le bord, i.e. :

z(x, t) = 4z(x, t), x , t 0, (3.43)z(x, t) = u(x, t), x , t 0, (3.44)

z(x, t) = 0, x \ , t 0, (3.45)z(x, 0) = z0(x), x , (3.46)

on a :

C0t < e3L24t , t 0, (3.47)

34


o L est une constante dpendant de .On peut obtenir des estimations plus prcises en dimension 1 ou dans le cas o est un rectangle. on se rfre larticle de G. Tenenbaum et de M. Tucsnak[32], et larticle de L. Miller [26] pour plus de dtails.

* Dans la plupart du temps en dimension infinie, le cot du contrle exploseexponentiellement quand t tend vers zro comme on la illustr dans les casprcdents. Il existe quelques cas particuliers o on peut montrer que le cotdu contrle explose avec une vitesse polynomiale.Par exemple, dans larticle de I. Lasiecka and R. Triggiani [20], o ils consi-drent un systme hyperbolique non-linaire, il existe des cas o le cot ducontrle explose polynomialement (Section 4, throrme 4.1.1 cas 2).De plus, considrons par exemple lquation de la chaleur dans un intervalleavec le contrle dans tout lintervalle. On peut montrer par un simple calculque le cot du contrle explose avec une vitesse polynomiale.

On va voir dans la section V le lien entre le taux dexplosion de cot du contrleet le module de continuit de la fonction temps minimal.

4 Exemples

(1) Les quations de type Schrdinger

On prsente les quations de type Schrdinger avec un contrle interne. Plusprcisment, on considre lquation :

z(x, t) = i4z(x, t) + ia(x)z(x, t) + u(x, t)O(x), x , t 0, (3.48)z(x, t) = 0, x , t 0, (3.49)

z(x, 0) = z0(x) L2(), x , (3.50)

o Rn est un ouvert, O est un ouvert de non vide, a L(,R) et u est uncontrle vrifiant que pour tout t > 0, u(., t)L2(O) 1.

On crit dabord le systme (3.48)-(3.50) sous une forme formelle :Posons X = L2(), U = L2(O). On dfinit loprateur A par :

A ={D(A) = H2()H10 () X

7 A = i4+ ia(x) (3.51)

et loprateur B L(U,X) par Bu = Ou, u L2(O).Avec les notations ci-dessus, le systme (3.48)-(3.50) scrit sous la forme :

z(t) = Az(t) +Bu(t), z(0) = z0. (3.52)

On rappelle ensuite un rsultat connu :

35


Proposition 3.22.Soit X un espace de Hilbert de dimension infinie et A : D(A) X un op-

rateur autoadjoint avec rsolvante compacte. Alors, A est diagonalisable avec unebase orthonormale (k)kI de vecteurs propres de A (I Z) et les valeurs propresassocies (k)kI vrifient lim|k|+ |k| = +.

Dmonstration.Voir par exemple la proposition 3.2.12 de [35].

Notons A = iA0, o A0 = 4+ a(x).On commence par donner quelques proprits de loprateur A0 :

Proposition 3.23.A0 est un oprateur autoadjoint, diagonalisable et le spectre de A0 est

born infrieurement.

Dmonstration.

* A0 est symtrique :On remarque dabord que pour tout , D(A0) = D(A) on a :

A0, L2() =

(4+ a(x))dx =

+ a(x) dx

=

(4 + a(x)

)dx = ,A0L2() .

Donc A0 est symtrique.* A0 est autoadjoint :

Comme A0 est symtrique, il suffit de montrer quil existe R t.q. A0 + Iest surjectif pour dduire que A0 est autoadjoint. Puisque a L(,R), ilexiste R et a0 > 0 t.q. a(x) + > a0 0 pour tout x . Prenons ce etnotons a = a + , on veut montrer que A0 + I = 4 + a est un oprateursujectif. Autrement dit, on veut montrer que pour tout f L2() il existez D(A0 + I) = D(A0) t.q. (A0 + I)z = f .Pour cela, on crit la forme variationnelle :

b(z, ) = l(), H10 (),o b(z, ) = (A0 + I)z, L2() et l() = , fL2().On sait que :

b(z, z) = z,zL2() + a(x) z, zL2() min {1, a0} z2H10 ().

Donc, la forme bilinaire b est coercive et il est clair que b et l sont continues.Daprs le thorme de Lax-Milgram, on tablit lexistence dun unique z H10 () t.q. (A0 + I)z = f .

36


On note D() les fonctions C support compact sur . Il est clair que :

4z + a(x)z = f, dans D().

Puisque f L2(), on a z H2(). Donc, z D(A0) = H2()H10 () avec(A0 + I)z = f . Do la sujectivit de A0 + I.

* A0 est diagonalisable avec le spectre born infrieurement :Par le fait que linjection D(A0) L2() est compacte, On en dduit que A10est compact. Daprs la proposition 3.22, on sait que A0 est diagonalisable etque lim|k|+ |k| = +.De plus, pour tout D(A0) on a :

A0, L2() = 2L2() + a(x)2L2() K2L2(),

o K = 1C + a0 avec a(x) + > a0 0 pour tout x et C est laconstante dingalit de Poincar.Donc, le spectre de A0 est born infrieurement.

On peut aussi crire les oprateurs adjoints de (A,B) par :{A = i4 ia(x),Bx = x|O. (3.53)

On donne par la suite le premier rsultat de la controlabilit du systme (3.48)-(3.50) :

Thorme 3.24.Supposons que lune des 2 hypothses suivantes est vrifie :

1. est born, est de la classe C2, a L(,R) et O satisfait la conditiondoptique gomtrique, comme celle dcrite dans larticle de C. Bardos, G.Lebeau et J. Rauch [2].

2. est un rectangle, a est une constante et O est un ouvert quelconque non videde .

Alors, (A,B) est exactement contrlable en tout temps t > 0.

Dmonstration.En utilisant la remarque 7.4.4 et le thorme 6.7.2 de [35], on remarque dabord

que si on a la contrlabilit exacte pour lquation des ondes, alors on aura lacontrlabilit exacte pour lquation de Schrdinger.

Sous la premire hypothse, la contrlabilit exacte pour lquation des ondesest tablie dans [2]. Quant la deuxime hypothse, la contrlabilit exacte pourlquation des ondes est montre dans larticle de S. Jaffard [18] et dans larticle de

37


V. Komornik [19]. Donc, on conclut que (A,B) est exactement contrlable en touttemps t > 0.

On va construire la contrlabilit approche en tout temps t > 0 sur toute [0, t] de mesure strictement positive plus tard dans la section IV.3.2.

(2) Lquation de la chaleur

Supposons que Rn est un compact connexe, est de la classe C et queO est un ouvert non vide.

On considre le systme :

z(t, x) = 4z(t, x) + O(x)u(t, x), x , t 0, (3.54)z(t, x) = 0, x , t 0. (3.55)

z(0, x) = z0 L2(), x , (3.56)

o u est un contrle vrifiant que pour tout t > 0, u(., t)L2(O) 1.Posons X = L2(), U = L2(O). On dfinit loprateur A par :

A : ={D(A) = H2()H10 () X

7 A = 4, (3.57)

et loprateur B L(U,X) par Bu = Ou, u L2(O).Avec les notations ci-dessus le systme (3.54)-(3.56) scrit sous la forme :

z(t) = Az(t) +Bu(t), z(0) = z0.

De plus, daprs la proposition 3.23, il est clair que A = A < 0, diagonalisableavec une base orthornorme forme par les vecteurs propres (k)k de A o les valeurspropres assosies (k)k sont t.q. pour tout k 1, k > 0 et limk+ |k| = +et que la rsolvante de A est compacte.

Il est connu que lquation de la chaleur ne possde pas la contrlabilit exacte(voir par exemple larticle de G. Lebeau et E. Zuazua [22]). On verra dans la sectionIV.4, que lon peut tablir la L-contrlabilit zro en tout t > 0 sur tout e [0, t]de mesure strictement positive pour le systme (3.54)-(3.56) en sappuyant sur unetechnique introduite par G. Lebeau et L. Robbiano [21].

38

Contrle en temps optimal Dimension infinie

IV Contrle en temps optimal en dimension infinie

1 Introduction

On commence par dcrire le systme en dimension infinie.Soient X,U deux espaces de Hilbert. On identifie U et U (respectivement X et

X ) dans toute la suite, o U est le dual de U .On considre le systme suivant :

z(t) = Az(t) +Bu(t), t [0, T ], z(0) = z0 X, (4.1)o A : D(A) X est un oprateur qui engendre un semigroupe S(t) fortementcontinu, B est un oprateur dans L(U,X) et u L([0, T ];U).

On sait que la solution de (4.1) scrit :

z(t) = S(t)z0 + tu, t [0, T ]avec tu =

t0S(t )Bu()d, t L(L2([0, t];U), X). (4.2)

On rappelle que lon note z(t, z0, u) = S(t)z0+tu la trajectoire de la solution.On garde les notations pour les ensembles LK(t) (2.2), R(t) (3.25) et B1 (t)

(3.26).On redfinit la notion de loptimalit en temps, comme dans la dfinition 2.2.

Dfinition 4.1.On dit quun point z X est accessible en temps t > 0 si zS(t)z0 B1 (t).Soient z0, zf X, avec zf accessible. On dit quun contrle u L1( ) avec

zf = S( )z0 + u est optimal en temps si :

u L1(t) t.q. la solution de lquation (4.1) vrifie z(t) = zf , on a t .

On redfinit aussi le principe du maximum et la proprit de bang-bang.Dfinition 4.2.

On dit quun contrle u vrifie le principe du maximum si il existe X, 6= 0 t.q. :BS(t ), u() = max

uU, uU1BS(t ), u pour [0, t] p.p. . (4.3)

Dfinition 4.3.On dit quun contrle u L1(t) possde la proprit de bang-bang si

u()U = 1 pour [0, t] p.p. . (4.4)

On tablit dans la section suivante lexistence dun contrle optimal en temps.

39


2 Existence

Thorme 4.4 (Existence).Soient z0, zf X, avec zf accessible. Alors, le contrle en temps optimal existe.

Dmonstration.On note = inf

{t > 0 | zf S(t)z0 B1 (t)

}.

On sait quil existe une suite minimisante (tn)n R+, tn et une suite(un)n de L1(tn) t.q. : n N, zf = z(tn, z0, un).

Prenons s > t1. On tend (un)n par 0 sur lintervalle [tn, s]. On remarque dabordque L([0, s];U) = (L1([0, s];U)) et daprs le thorme de Banach-Alaoglu-Bourbaki(voir le thorme III.15 de [5]), on sait que la boule unit ferme de L([0, s];U) estrelativement compacte. Donc, on peut extraire une sous-suite de (un)n faiblementconvergente dans L([0, s];U) vers un lment u L1(s).

Puis, pour tout z X, on dfinit les fonctions n et par :

n() =BS(tn )z si 0 < tn0 sinon et () =

BS( )z si 0 < 0 sinon.On sait que n(.) converge vers (.) dans L1([0, s];U).On crit ensuite pour tout z X :

z, zf S(tn)z0X = s

0n(), un()Ud.

Prenons la limite n vers +. On obtient :z, zf S( )z0X =

s0(), u()Ud = z,uX , z X.

Cela implique que zf S( )z0 = u.Do lexistence dun contrle en temps optimal.

Remarque 4.5.Il existe un rsultat dexistence dans un cas plus gnral (voir le thorme 3.1.2

de [11]).Supposons que X,U sont des espaces de Banach.Si on a

L([0, t];U) = (L1([0, t];U )), (4.5)alors il existe un contrle en temps optimal.

Remarquons que (4.5) est vrifi si U rflexif ou U est sparable (voir parexemple le thorme 8 du livre de A.I. Tulcea et C.I. Tulcea [17]).

Dans le cas des espaces de Hilbert, la condition (4.5) est automatiquement v-rifie car tout espace de Hilbert est rflexif.

40


3 Principe du maximum et la contrlabilit exacte

Dans cette section, en sinspirant de la dimension finie, on voit quen supposantla contrlabilit exacte du systme, le contrle optimal en temps vrifie le principe dumaximum (thorme 4.7). De plus, en supposant un type de contrlabilit approchedu systme, on peut tablir la proprit de bang-bang (thorme 4.9). On voit aussi la fin (section IV.3.2) un moyen dtablir ce type de contrlabilit approche pourles quations de type Schrdinger. Ces rsultats sont obtenus dans larticle de J.Lohac et M. Tucsnak [24].

Dans toute la suite de la section IV.3, on note Ct au lieu de C+t pour simplifierlcriture.

(1) Rsultat principal

Avant dnoncer le rsultat principal, on commence par un lemme du livre deFattorini (lemme 2.2.1 de [11]).

Lemme 4.6.Soit U un espace de Banach.On dit quune fonction f o f() U pour tout [0, t] est U faiblement

mesurable si pour tout y U , t 7 f(t), yU ,U est mesurable.Soit f une fonction U faiblement mesurable. Alors, on a :

supuL([0,t];U), uL1

{ t0f(), u()U ,Ud

}= t

0f()U d,

si t

0 f()U d est fini.

On peut maintenant noncer le rsultat principal qui montre quun contrleoptimal en temps doit satisfaire le principe du maximum.

Thorme 4.7. (Principe du maximum)Supposons que (A,B) est exactement contrlable en tout t > 0. Si u est

un contrle optimal en temps , alors u vrifie le principe du maximum (4.3).

Dmonstration.La dmonstration ressemble celle en dimension finie (thorme 2.10).On montre dabord que zf S( )z0 B1 ( ).Par labsurde, si zfS( )z0 / B1 ( ), alors on sait quil existe 0 < r < 1 t.q.

1r(zf S( )z0) B1 ( ). Cela implique quil existe u L1( ) , uL([0,];U) r < 1 t.q. zf = z(z0, , u).

Pour tout 0 < t < , on crit :

41


zf S(t)z0 = S( )z0 S(t)z0 +

0S( )Bu()d

= t

0S(t )Bu()d + S( )z0 S(t)z0 +

t

S( )Bu()d

+ t

0(S( ) S(t ))Bu()d

= t

0S(t )Bu()d + (t, ),

o

(t, ) = S( )z0 S(t)z0 + t

S( )Bu()d + t

0(S( ) S(t ))Bu()d.

Il est clair que (t, ) t 0 dansX et on sait que pour tout z X et tout t > 0

il existe un contrle v L([0, t];U) t.q. z = tv et que vL([0,t];U) CtzX .Comme t 7 Ct est dcroissante (lemme 3.18), en prenant z = (t, ), on peutdonc trouver un t suffisament proche de et un contrle v L([0, t];U) t.q.tv = (t, ) et vL([0,t];U) 1 r.

On obtient alors zf = z(z0, t, u+v). Comme u+vL([0,t];U) 1, u+v est doncun contrle admissible. Cela est contradictoire avec loptimalit de u en temps .

On a montr que zf S( )z0 B1 ( ). On remarque que, par un raisonne-ment analogue au lemme 2.5, on obtient int B1 ( ) 6= car R( ) = X. Puis, enutilisant le thorme 2.9 et le thorme de reprsentation de Riesz, on dduit quilexiste X, 6= 0 t.q. :

, zX , zf S( )z0X , z B1 ( ) ,uX ,uX , u L1( )

0BS( ), u()Ud

0BS( ), u()Ud, u L1( ).

(4.6)

Puisque lon sait que t 7 BS( t) est mesurable, daprs le lemme 4.6,on obtient :

supuL1()

0BS( ), u()Ud =

0BS( )Ud.

Donc, on peut en dduire avec (4.6) que : 0BS( ), u()Ud =

0BS( )Ud.

Or, il est vident que pour [0, ] p.p., on a :BS( ), u()U BS( )U , car uL1.

42


Cela implique au final que :

BS( ),u()U = BS( )U= max

uU,uU1BS( ), u pour [0, ] p.p..

Donc u vrifie le principe du maximum.

Avec le thorme prcdent, on peut facilement dduire un rsultat concernantla proprit de bang-bang.

Dfinition 4.8.Soit (U, .) est un espace norm.On dit que U est strictement convexe si :

x, y U, x 6= y, (x = y = 1) x+ y2

1.Thorme 4.9. (Proprit de bang-bang)

Supposons que (A,B) est exactement contrlable en tout t > 0 et que u est uncontrle optimal en temps .

Si (A,B) est approximativement contrlable en temps sur toutsous-ensemble e [0, ] de mesure strictement positive, alors u possde laproprit de bang-bang (4.4).

Enfin si de plus U est strictement convexe, alors le contle optimal en tempsest unique.

Dmonstration.Par le thorme 4.7, on sait quil existe X, 6= 0 t.q. u vrifie le principe

du maximum (4.3).De plus, si il existe un ensemble e de mesure strictement positive t.q. BS(

) = 0 pour e, alors daprs le thorme 3.9, (A,B) nest pas approximative-ment contrlable en sur e. Ceci est une contradiction.

On en dduit que pour [0, ] p.p. on a BS( ) 6= 0. Cela nouspermet de dfinir une fonction n par n() := BS()BS()U pour [0, ] p.p..

Daprs le principe du maximum, on sait que :

BS( ),u()U = BS( )U pour [0, ] p.p..

Projectons u() sur la direction n(), i.e. :

u() = ()n() + v() pour [0, ],

o n(), v()U = 0 et () R+.

43


Puisque lon sait que u L1(t), on obtient :

u()2U = ()2 + v()2U 1 pour [0, ] p.p..

On peut aussi calculer :

BS( )U = ()BS( )U pour [0, ] p.p. .

Donc, on a () = 1 et v() = 0 pour [0, ] p.p..Ainsi u possde la proprit de bang-bang.Quant lunicit, supposons que u, v L1( ), o u 6= v sont deux contrles

optimaux en temps . On a u(t)U = v(t)U = 1 pour t [0, ] p.p.. Prenonsw = 12(u + v), w L1( ). Il est clair que w est aussi un contrle optimal entemps, donc w possde la proprit de bang-bang. Or, par la stricte convexit deU, on a w(t)U < 1 pour t p.p.. Cela est une contradiction avec la proprit debang-bang.

Remarque 4.10.Dans cette section, on a vu quen supposant la contrlabilit exacte du systme,

un contrle en temps optimal doit satisfaire le principe du maximum. En sappuyantsur le principe du maximum, si on suppose en plus que :

X, 6= 0 BS(t ) 6= 0,

alors le contrle en temps optimal possde la proprit de bang-bang.Il est possible dtablir la proprit de bang-bang sans passer par le principe du

maximum. On donne deux exemples ici :

* Dans [11], Fattorini considre un systme de contrle total, cest--dire,B = Id.Dans ce cas, on peut montrer quun contrle en temps optimal possde toujoursla proprit de bang-bang sans la condition de contrlabilit exacte. Quantau principe du maximum, il faut toujours supposer la contrlabilit exacte dusystme.En plus, dans ce cas, en ajoutant une condition supplmentaire Az0 < 1ou Azf < 1, le principe du maximum devient une condition suffisante pourloptimalit en temps.

* On sait quil existe des quations, par exemple, lquation de type de la chaleur(3.54)-(3.56), qui ne possdent pas la contrlabilit exacte.On va voir dans la section IV.4 quen supposant un type de L-contrlabilit zro le contrle en temps optimal possde la propritt de bang-bang. Ce-pendant, sous cette condition, le principe du maximum nest pas clair. On vaexpliciter ce cas dans la suite.

44


(2) Application aux quations de type Schrdinger

On rappelle lquation de Schrndinger dcrite dans (3.48)-(3.50) :

z(x, t) = i4z(x, t) + ia(x)z(x, t) + u(x, t)O(x), x , t 0, (4.7)z(x, t) = 0, x , t 0, (4.8)

z(x, 0) = z0(x) L2(), x , (4.9)

On rappelle aussi que lon peut crire (4.7)-(4.9) sous la forme :

z(t) = Az(t) +Bu(t), z(0) = z0, (4.10)

o les oprateurs A,B et A, B sont dcrits dans (3.51) et (3.53).Notre but est dappliquer le thorme 4.7 et le thorme 4.9 au systme (4.7)-

(4.9). On a dj vu quil est exactement contrlable dans le throme 3.24. Onprsente par la suite quelques rsultats utiles afin dtablir la contrlabilit approcheen tout t > 0 sur tout e [0, t] de mesure strictement positive du systme (4.7)-(4.9).

On admet dabord un lemme utile qui est une version simplifie du thormede la rprsentation unique de Privalov.

Lemme 4.11.Soit z 7 u(z) une fonction analytique sur D := {z C | |z| < 1}. Si u est conti-

nue sur D et admet la limite nulle sur un ensemble e D de mesure strictementpositive, alors u = 0 dans D.

Dmonstration.Voir par exemple le chapitre XIV, thorme 1.9 de [39].

En sappuyant sur le lemme 4.11, on peut en dduire le lemme suivant :

Lemme 4.12.Soit I Z, (n)nI une suite relle borne infrieurement (ou suprieurement),

e R un ensemble de mesure strictement positive et (an)nI l1(I,C). SinI

aneint = 0, t e,

alors on a nI

aneint = 0, t R.

Dmonstration.Comme (an)nI l1(I,C), la srie est normalement convergente. Cela nous

permet dcrire la somme.

45


On dfinit lensemble C+ := {s C | Im s > 0} et lapplication

f :=C+ Cs 7 nI aneins.

On peut crire pour tout s = + i, > 0 :

f (s) =nI

inanenein.

On suppose que (n)n [m,+] et on pose n = n +m. Alors, on obtient :f (s) = em

nI

ian(n m)enein.

Puisque (an)n l1(I,C) et > 0, n > 0, la srie est normalement convergente.Cela montre que f est une fonction analytique sur C+ et quelle est continue jusquaubord de C+ ( C+ = R).

Faisons le changement de variable z = eis pour tout s C+ = R. On dfinitune fonction u : D C par :

u :=D Cz 7 nI anzn ,

o D est dfini dans le lemme 4.11.On sait que f sannule sur e R, donc u sannule sur un ensemble e D de

mesure strictement positive. Daprs le lemme 4.11, u sannule sur {z C | |z| = 1}.Ceci implique que f sannule sur R. Do le rsultat.

Dans le cas o (n)n est borne suprieurement, on prend par analogie len-semble C qui contient les complexes de parties imaginaires ngatives.

En sappuyant sur le lemme prcdent, on obtient le rsultat suivant qui nousaide montrer la contrlabilit approche t sur tout e [0, t] de mesure strictementpositive de (A,B) :

Lemme 4.13.Soient X, Y deux espaces de Hilbert, A0 un oprateur autoadjoint diagonalisable

sur X, et C L(X, Y ). On suppose en plus que le spectre de A0, (A0) vrifie(A0) [m,+[ o m R (ou (A0) ],m]). Soit z0 X, z C0(R, X) ety C0(R, Y ) satisfaisant :

z(t) = iA0z(t), t R, z(0) = z0, (4.11)y(t) = Cz(t), t R. (4.12)

Si il existe un ensemble e R de mesure strictement positive t.q. :y(t) = 0 t e,

46


alors on a,

y(t) = 0 t R.

Dmonstration.Puisque A0 est autoadjoint et diagonalisable, on sait quil existe une base or-

thorgonale forme par les vecteurs propres (n)nI de A0 associs aux valeurs propres(n)nI t.q. pour tout n I, n [m,+[. La solution de (4.11) scrit :

z(t) =nI

aneintn, o an = z0, nX .

On peut aussi crire :

y(t) =nI

aneintCn.

Pour tout v Y , on a :y(t), vY =

nI

aneintCn, vY =

nI

aneintn, CvX .

Comme (an)n, (n, CvX)n l2(I,C), on a donc (ann, CvX)n l1(I,C).On sait de plus que pour tout t e, y(t), vY = 0. En appliquant le lemme

4.12, On en dduit que pour tout v Y , et tout t R, on a y(t), vY = 0. Donc,y(t) = 0 pour tout t R.

On peut maintenant noncer le rsultat principal.

Corollaire 4.14.Supposons que vrifie lune des 2 hypothses dcrites dans le thorme 3.24.Alors, pour tout z0, zf L2() , z0 6= zf , il existe un unique contrle en

temps optimal u entranant la solution de (4.7)-(4.9) du point initial z0 au pointfinal zf en temps minimal .

De plus, il existe L2(), 6= 0 t.q. :Ow(x, t)u(x, t)dx = max

vL2(O),vL2(O)1

Ow(x, t)v(x)dx, t [0, ] p.p., (4.13)

o w est la solution du systme adjoint avec une condition finale :

w(x, t) = i4w(x, t) + ia(x)w(x, t), x , t 0, (4.14)w(x, t) = 0, x , t 0, (4.15)

w(x, ) = (x), x . (4.16)

De plus, u vrifie la proprit de bang-bang, i.e. :

u(., t)L2(O) = 1, t [0, ] p.p. . (4.17)

47


Dmonstration.Daprs le thorme 3.24, on sait que le systme est exactement contrlable en

tout t > 0. On peut donc appliquer le thorme 4.7 pour obtenir (4.13).On montre ensuite la contrlabilit approche du systme (4.7)-(4.9) en sur

tout ensemble e [0, ] de mesure strictement positive. Daprs le thorme 3.9, ilnous suffit de montrer lobservabilit approche du systme adjoint (4.14)-(4.16)en sur tout sous-ensemble e [0, ] de mesure strictement positive.

En termes dEDP, cela scrit comme : si la solution w du systme adjoint(4.14)-(4.16) vrifie :

w(x, t) = 0, x O, t e,

alors on a,

w(x, t) = 0, x , t R.

Daprs la proposition 3.23, A = iA0, o A0 est un oprateur autoadjoint etdiagonalisable de spectre born infrieurement. Donc, on peut appliquer le lemme4.13 pour obtenir :

w(x, t) = 0, x O, t R.

On utilise ensuite lobservabilit exacte de (A, B), qui est quivalente :

z X, C2t

0BS()z2Ud cz2X ,

o on rappelle que Ct est le cot du contrle.On sait que w(., t) = S( t), L2(). On obtient au final que :

C2t

0

O| Rtw(x, )|2dxd

|(x)|2dx.

Du fait que w(x, t) = 0 pour tout x O et tout t R et que w(., t) = S( t),on a (x) = 0 pour tout x . Donc w(x, t) = 0 pour tout x et tout t R. Dolobservabilit approche en sur tout e [0, ] de mesure strictement positive.

Enfin, on peut appliquer le thorme 4.9 pour obtenir (4.17). Do le rsultat.

4 Proprit de bang-bang et un type de L-contrlabilit zro

Dans cette section, on verra quen supposant la L-contrlabilit zroen tout temps t > 0 sur tout e [0, t] de mesure strictement positive, le

48


contrle en temps optimal possde la proprit de bang-bang (thorme 4.15). Ontablit la fin une condition suffisante (thorme 4.17 et proposition 4.18) pour quele systme possde ce type de la L-contrlabilit zro dans le cas A = A < 0,diagonalisable avec rsolvante compacte. On sest fortement inspir de larticle [25]et de larticle de G. Wang [37] o la proprit de bang-bang est tablie pour lecontrle optimal en temps de lquation du type de la chaleur en sappuyant sur unetechnique introduite par G. Lebeau et L. Robbiano [21].

Dans toute la suite de la section IV.4, on note Ct,e au lieu de C+,0t,e poursimplifier lcriture.

(1) Rsultat principal

On nonce tout de suite le rsultat principal :

Thorme 4.15.Supposons que (A,B) est L-contrlable zro en tout t > 0 sur tout

e [0, t] de mesure strictement positive et que U est strictement convexe.Soient z0, zf X avec zf accessible. Alors, il existe un unique contrle

optimal u en temps et u possde la proprit de bang-bang (4.4).

Dmonstration.Lexistence dun contrle optimal en temps est dj montre dans la section

prcdente (le thorme 4.4).Lunicit vient simplement du fait que u vrifie la proprit de bang-bang et

que U est strictement convexe comme on la vu dans le thorme 4.9.Il reste donc montrer la proprit de bang-bang (4.4). Par labsurde, supposons

que u est le contrle optimal en temps et quil existe > 0 et e [0, ] de mesurestrictement positive t.q. :

u()U 1 , e.

On note z(t) = z(t, z0, u) la trajectoire engendre par u partir du point z0au temps t.

On remarque dabord quil existe 0 > 0 t.q. :

e0 a une mesure positive o e0 = {t [0, 0] | t e} .

Il est clair que z(t) t0 z0. Donc il existe 0 < < 0 t.q. :

z0 z()X M, o M = sup

0


Daprs la L-contrlabilit zro en temps sur e0, on sait quil existeun contrle v L([0, ];U) t.q. le support de v est inclus dans e0 et que :

0 = S( )(z0 z()) + ,e0v= S( )(z0 z()) +

0

e0()S( )Bv()d

= S( )(z0 z()) +

e0( )S( )Bv( )d, (4.19)avec v()U C,e0z0 z()X C,e0

M ( e0 ). (4.20)

Notons v() = v( ). Puisque le support de v est inclu dans e0 , on endduit que v() = v( ) est non nul si supp v e0 . Autrement dit,le support de v est inclu dans e0.

On peut galement crire (4.19) et (4.20) comme suit :

0 = S( )(z0 z()) +

e0()S( )Bv()d, (4.21)v()U , pour e0. (4.22)

On montre ensuite que u nest pas le contrle optimal en temps pour en dduire la contradiction.

Posons u(t) = u(t+ ) + v(t+ ) pour t [0, ].On vrifie dabord que u L1( ). En effet, si t + e0, daprs (4.22)

on obtient que u(t)U u(t + )U + v(t + )U (1 ) + = 1. Et pourt+ / e0, on a que u(t)U = u(t+ )U 1.

Puis, en utilisant que le support de v est inclu dans e0 et (4.21), on obtient :

S( )z0 + u

= S( )(z0 z()) + S( )(S()z0 +

0S( )Bu()d

)+ v(.+ ) + u(.+ )

= S( )(z0 z()) + v(.+ )+ S( )z0 +

0S( )Bu()d +

0

S( )Bu( + )d

= S( )(z0 z()) +

0S( )Bv( + )d

+ S( )z0 +

0S( )Bu()d +

S( )Bu()d

= S( )(z0 z()) +

e0()S( )Bv()d + S( )z0 + u

= 0 + zf .

Donc u entrane z0 au zf en temps . Cest contradictoire avec loptimaliten temps de u.

50


Do u vrifie la proprit de bang-bang.

(2) Technique de Lebeau-Robbiano

Dans cette section, on sappuie sur une mthode introduite par G. Lebeau etL. Robbiano [21] pour obtenir la contrlabilit zro de lquation de la chaleur.On sest fortement inspir de larticle de S. Micu, I. Roventa et M. Tucsnak [25], delarticle de G. Wang [37] et de larticle de L. Miller [27].

On verra une condition suffisante pour que (A,B) possde la L-contrlabilit zro en tout temps t > 0 sur tout e [0, t] de mesure strictement positive, ce quiest similaire au thorme 3.2 de [25].

On suppose que dans cette section A = A < 0 et que A est diagonalisable avecune base orthornorme forme par les vecteurs propres (k)k de A o les valeurspropres assosies (k)k sont t.q. pour tout k 1, k > 0 et limk+ |k| = +.On suppose de plus que la rsolvante de A est compacte.

Avec les hypothses ci-dessus, on peut crire :

A = k1

k , kk, D(A) (4.23)

et S(t)z =k1

ekt z, kk, t > 0, z X. (4.24)

On nonce dabord un lemme de la thorie de la mesure :

Lemme 4.16.Soit e R un ensemble de mesure strictement positive.Alors il existe 0 < < 1 et c > 0 t.q. pour presque tout t e, on peut trouver

une suite (tn)n strictement croissante t.q. limn+ tn = t et t.q. elle vrifie les deuxconditions suivantes :

([ti, ti+1]e) (ti+1 ti) (4.25)

et ti+1 titi+2 ti+1 c. (4.26)

Dmonstration.Voir la page 274 du livre de J.L. Lions [23].

Pour > 0 on dfinit le sous-espace V de X par :

V = vect{k |

12k

}. (4.27)

On note P la projection de X sur V .On nonce par la suite le thorme principal de cette section :

51


Thorme 4.17.Soit > 0 et e [0, ] un ensemble de mesure strictement positive.Supposons quil existe d0 > 0 et d1 > 0 t.q. pour tout > 0 et tout 0 < s < t ,

on a :

S()X d0ed1

(E) d,E L1([0, ];U), V , (4.28)

o E := { e | s t} et E := { | E}.Alors (A,B) est L-contrlable zro en temps sur e.

Dmonstration.Soit z0 X. Prenons t e t.q. lon peut construire une suite (tn)n ayant les

proprits dcrites dans le lemme 4.16 et on dfinit t0 = 0. On note aussi :

rk+1 = tk+1 tk et k = 1rp2k

o p sera prcis plus tard. (4.29)

On dfinit ensuite pour tout k 0 les fonctions zk C([t2k, t2k+2];X) et uk L([t2k, t2k+2];U) par :

z1(0) = z0,

uk() ={

0 pour [t2k, t2k+1]vk() pour [t2k+1, t2k+2],

zk() = S( t2k)zk1(t2k) + t2ke()S( s)Buk()d, pour [t2k, t2k+2],

(4.30)

o (vk)k L([t2k+1, t2k+2];U) est t.q.Pk zk(t2k+2) = 0,le support de vk e[t2k+1, t2k+2],vkL([t2k+1,t2k+2];U)

d0ed1k

r2k+2zk(t2k+1)X .

(4.31)

On pose Ek = e[t2k+1, t2k+2]. Alors daprs (4.25) on obtient que (Ek) r2k+2.

On montre ensuite pour tout k 0 lexistence dun contrle vk qui vrifietoutes les proprits de (4.31). En effet, en prenant E = Ek et = k dans(4.28) et daprs lquivalence entre (i) et (ii) dans la proposition 3.20 (en prenantX = Vk), on obtient que pour tout zk(t2k+1) on peut trouver un contrle vk dontle support de vk est inclu dans e

[t2k+1, t2k+2] qui "entrane zk(t2k+1) zro dansVk en temps t2k+1" (cest--dire, Pk zk() = 0). Or, comme le support de vk estinclu dans Ek, on sait que Pk(zk(t)) = 0 aprs le temps t2k+2. Autrement dit, vkentrane zk(t2k+1) zro dans Vk en temps r2k+2.

52


De plus, puisque le cot du contrle est plus petit que d0ed1k

(Ek) , on a :

vkL([t2k+1,t2k+2];U) d0e

d1k

(Ek) zk(t2k+1)X d0e

d1k

r2k+2zk(t2k+1)X . (4.32)

Do lexistence de vk vrifiant les proprits dans (4.31).On remarque ensuite que comme A est un oprateur ngatif, il est donc m-

dissipatif (voir la proposition 3.3.5 de [35]). Daprs le thorme de Lumer-Phillips,S(t) est un semigroupe contractant. De plus, daprs (4.30) et (4.32) il est clair quepour tout k 0, on a :

zk(t2k+1) = S(r2k+1)zk1(t2k),

zk(t2k+2)X S(t2k+2 t2k)zk1(t2k)X + t2k+2t2k+1

S(t2k+2 s)Bvk(s)dsX S(r2k+2)S(r2k+1)zk1(t2k)X + r2k+2BL(U,X)vkL([t2k+1, t2k+2];U)= S(r2k+2)zk(t2k+1)X + BL(U,X)d0e

d1k

zk(t2k+1)X

zk(t2k+1)X(

1 + d0ed1k

BL(U,X)

). (4.33)

Puisque Pk(zk(t2k+2)) = 0, on peut crire :

S(r2k+3)zk(t2k+2) =n2k

enr2k+3 zk(t2k+2), nX n.

On obtient donc que :

zk+1(t2k+3)X = S(r2k+3)zk(t2k+2)X n2k

enr2k+3 zk(t2k+2), nX nX

e2kr2k+3 n2k

zk(t2k+2), nX nX = e2kr2k+3zk(t2k+2)X .

(4.34)

En combinant (4.33) et (4.34), on obtient quil existe d0 > d0 t.q. pour toutk 0 :

zk+1(t2k+3)X d0e(2kr2k+3 + d1k)zk(t2k+1)X . (4.35)

Notre but est de montrer quil existe L > 0 t.q. pour tout k 0 on a :vkL([t2k+1,t2k+2];U) Lz0X . (4.36)

Notons ak := d0ed1k

r2k+2 zk(t2k+1)X . On sait que vkL([t2k+1,t2k+2];U) ak.

53


Daprs (4.35) et (4.26), on obtient que :

ak+1ak

= d0ed1k+1zk+1(t2k+3)X

r2k+4

r2k+2d0ed1kzk(t2k+1)X

ed1k+1r2k+2ed1kr2k+4

d0e(2kr2k+3 + d1k)

= d0e(2kr2k+3 + d1k+1) r2k+2

r2k+4

d0c2e(2kr2k+3 + d1k+1) . (4.37)

On regarde le terme au-dessus lexponentielle :

2kr2k+3 + d1k+1 ( 1r2k

)2pr2k+3 + d1

(1

r2k+2

)p

1c3

( 1r2k

)2p1+ d1c2p

( 1r2k

)p. (4.38)

On remarque que si on a une suite (Xk)k + et deux rels n1, n2 t.q. n1 > n2et n1 > 1, alors il existe N > 0 et k > 0 t.q. pour tout k > k on a :

Xn1k + Xn2k NXn1k , (4.39)

o , sont deux constantes fixes.En appliquant ceci (Xk)k = ( 1r2k )k, =

1c3 , = d1c

2p, n1 = 2p 1 et n2 = pdans (4.39), o p > 1, on sait quil existe k1 > 0 et N > 0 t.q. pour tout k > k1 ona :

2k+1r2k+3 + d1k+1 N( 1r2k

)2p1.

On obtient donc pour tout k > k1 :

ak+1ak d0c2e

N(

1r2k

)2p1.

Donc il existe k2 > k1 > 0 t.q. pour tout k > k2, on a : ak+1ak 1.Si on dfinit une constante L par :

L := max1kk2

a0k1j=0

aj+1aj

z0X

,

54


alors on en dduit que pour tout k > 0, on a :

vkL([t2k+1,t2k+2];U) ak = a0k1j=0aj+1aj

{a0k21j=0

aj+1aj

k1j=k2aj+1aj Lz0X , si k > k2,

Lz0X , si k k2. (4.40)

Enfin, on pose :

z(t) =+k=0

zk(t)[t2k,t2k+2]

et u(t) =+k=0

uk(t)[t2k,t2k+2].

Comme Pkz(t2k+2) = 0 pour tout k > 0 et t2k+2k+ t, on obtient Pkz(t) = 0.

Comme u() = 0 pour [t, ], on a donc Pkz() = 0 pour tout k N. De plus,on sait que k k+ +, donc on conclut que z() = 0.

En conclusion, on a montr que pour tout z0 X il existe u L([0, ];U) ole support de u est inclu dans e t.q. u entrane z0 zro en temps . De plus, on saitquil existe L > 0 t.q. uL([0, ];U) Lz0X . Donc le systme est L-contrlable zro en temps sur e.

Si lingalit (4.28) est vraie pour t et e, on peut tablir la L-contrlabilit zro en t > 0 sur e. Le problme reste savoir pour quels types de systmeslingalit (4.28) a lieu pour tout t > 0 et pour tout e [0, t] de mesure strictementpositive.

Pour > 0, on dfinit le mme espace V comme dans (4.27).On introduit une ingalit dans le lemme suivant pour tablir la L-contrlabilit

zro en tout t > 0 sur tout e [0, t] :Proposition 4.18.

Si pour tout > 0, (A,B) vrifie lingalite :

d0, d1 > 0, V , X d0ed1BU , (4.41)alors (A,B) vrifie lingalit (4.28). Le systme est donc L-contrlable zroen tout t > 0 sur tout e [0, t] de mesure strictement positive.

Dmonstration.Pour tout > 0 et tout e [0, ] de mesure strictement positive, on considre

le systme adjoint de (4.1), cest--dire :{w(t) = Aw(t), t [0, ],w() V . (4.42)

55


On peut exprimer w() = k,kV kk o (k)k R et (k)k sont les vecteurspropres de A assosis aux valeurs propres (k)k. Il est aussi clair que la solution de(4.42) scrit :

w(t) =

k,kVek(t)kk. (4.43)

Lingalit (4.41) implique que pour tout (ak)k R on a : k,kV

akkX d0ed1B

k,kVakkU . (4.44)

Prenons ak = ek(t)k dans (4.44) et intgrons cette ingalit sur lintervalleE := e[s, t] pour 0 < s < t . On obtient que pour tout (k)k R, on a :

E k,kV

ek(t)kkXdt d0ed1EB

k,kVek(t)kkUdt

E(

k,kVe2k(t)|k|2) 12dt d0ed1E(.)B

k,kV

ek(.)kkL1([0, ];U)

(E) k,kV

ek()kkX d0ed1E (.)B

k,kVek(.)kkL1([0, ];U),

o E := { t | t E}.La dernire ingalit implique que pour tout V , si on pose = k,kV kk,

on a :

S()X d0ed1

(E) E (.)BS(.)L1([0, ];U) = d0e

d1

(E) d,E L1([0, ];U).

Donc lingalit (4.28) est vraie. Et comme les hypothses du thorme 4.17 sonttoutes satisfaites, on obtient la L-contrlabilit en tout > 0 sur tout e [0, ]de mesure strictement positive du systme (A,B).

Remarque 4.19.On peut obtenir un rsultat plus gnral pour loprateur fractionnaire A =

(4), B = O o > 12 . La dmarche pour tablir la L-contrlabilit zroen tout > 0 sur tout e [0, ] de mesure strictement positive est la mme quecelle du thorme 4.17. On sappuie toujours sur la technique de Lebeau-Robbianoet on pose nouveau pour ]0, 1[ lespace V, := vect {k | k } pour obtenirune ingalit similaire (4.28). Il reste obtenir une ingalit dy type (4.41) pourconclure. On se rfre au thorme 2.1 de larticle [27] qui montre que (4.41) estsatisfait pour A = (4) et B = O o > 12 .

(3) Application lquation de la chaleur

On applique la proposition 4.18 lquation de la chaleur avec un contrleinterne dcrite dans (3.54)-(3.56).

56


Corollaire 4.20.On considre lquation de la chaleur dcrite dans (3.54)-(3.56) en gardant

toutes les hypothses sur .Alors, pour tout z0, zf L2(), z0 6= zf , il existe un unique contrle

optimal en temps u L([0, ];L2(O)) entranant la solution de (3.54)-(3.56)du point initial z0 au point final zf en temps minimal .

De plus, u v

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