THEORY OF STRUCTURES

By

Assoc. Prof. Dr. Sittichai SeangatithSCHOOL OF CIVIL ENGINEERING

INSTITUTE OF ENGINEERINGSURANAREE UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

บทท 7Deflection

วตถประสงค1. เพอใหเขาใจและสามารถหาคาการเปลยนตาแหนงทเกดขนบนคาน โครง truss และโครง frame แบบ statically determinate โดยวธการทเหมาะสม ซงไดแก วธ double integration, วธ moment-area, วธ conjugate-beam, วธ virtual work (หรอวธ unit load), และวธของ Castigliano ได

Deflection เปนพนฐานของการวเคราะหโครงสรางแบบ statically indeterminate

ใชตรวจสอบคาการโกงตวของโครงสราง เพอปองกนการแตกราวในโครงสรางเนองจากการเปลยนแปลงการกระจายของแรงและการสน

ตวอยางของการโกงตวหรอการแอนตวของคานภายใตแรงกระทา

การโกงตว/deflection หรอ v หรอ ∆

มมลาด/slope หรอ θ

ตวอยางของการโกงตวหรอการแอนตวของโครง frame ภายใตแรงกระทา

sidesway/ระยะเซ หรอ ∆

7.1 Deflection Diagram and Elastic CurveElastic curve เปนเสนการโกงตวของโครงสราง/ชนสวนของโครงสรางภายใตแรงกระทาDeflection diagram - แผนภาพแสดงเสนการโกงตวของจดตางๆ ทผานจด centroid ของพนทหนาตดของโครงสราง/ ชนสวนของโครงสรางประโยชนของการราง deflection diagram และ elastic curve

ชวยใหเหนลกษณะการเปลยนแปลงรปรางของโครงสรางอยางคราวๆ

ชวยตรวจสอบความถกตองของคาการโกงตวทคานวณได

ชวยตรวจสอบความถกตองของ moment diagram ทคานวณได

+-

วธการเขยน elastic curve1. ใชการสงเกตจดรองรบของโครงสราง

พจารณาวา support แตละประเภทปองกนไมใหเกดมมลาด (slope) และการโกงตว (deflection) อยางไร?

การยดรงของจดรองรบแรงปฏกรยาประเภทของจดรองรบ

0y∆ =

0y∆ =

0x∆ =

0x∆ ≠

0y∆ =

0x∆ =

0θ =

0θ ≠

0θ ≠

การราง elastic curve ของคานโดยการพจารณาจดรองรบ

การราง elastic curve ของโครง frame โดยการพจารณาจดรองรบ ใช moment diagram และ sign convention ของการดดของโครงสราง

ยดตว

หดตวไมยด/หด

MM

ยดตว

หดตว

ไมยด/หด MM

การราง elastic curve ของคานโดยพจารณา moment diagram

+-

การราง elastic curve ของคานโดยพจารณา moment diagram

+-

การราง elastic curve ของคานโดยพจารณา moment diagram

+-

การราง elastic curve ของโครง frameโดยพจารณา moment diagram

การราง elastic curve ของโครง frameโดยพจารณา moment diagram 7.2 Elastic Beam Theory หนาตดของคานมความสมมาตร ความยาวของคานมคามากกวาความลกของคานมาก (กวา 10 เทา) แรงกระทาอยในระนาบเดยวกนกบระนาบทหนาตดของคานมความสมมาตร และกระทาตงฉากกบแนวแกนของคาน ระนาบของหนาตดของคานทตงฉากกบแนวแกนของคานไมมการเปลยนแปลงรปราง และยงคงตงฉากกบแนวแกนของคานเหมอนกอนการเกดการแอนตว

คานทาดวย homogeneous and isotropic material (เชน เหลก) มพฤตกรรมอยในชวง linear elastic

Transverse shear stress กอใหเกดความเครยดเฉอน (shear strain) โดยจะมคาเทากบศนยทผวดานบนและผวดานลางสาหรบคานหนาตดสเหลยม และมคาสงสดทกงกลางความลกของหนาตดคาน

Curvature ของ Differential Elementdv/dx = มมลาด (slope) d2v/dx2 = ความโคง

(curvature)v = คาการโกงตว

(deflection)

2

21 M d v

EI dxρ= =

flexural rigidity

จากซายไปขวา ทวนเขมฯ เปนบวก

จากซายไปขวา โคงหงาย เปนบวก

curvature ของ differential element1 d

dsθ

ρ=

คา slope ทแกน neutral axistan dv

dxθ=

arctan dvdx

θ =

เนองจาก θ และ s มความสมพนธกบ x

1 d dxdx dsθ

ρ= (arctan )d dv dx

dx dx ds=

2 2 + ds dx dv=

ความยาวของสวนโคงของคาน

1/ 221 ( )ds dv

dx dx⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦

1/ 22

1

1 ( )

dxds dv

dx

=⎡ ⎤+⎢ ⎥⎣ ⎦

จากวชา calculus,

(arctan )d dvdx dx

2

2

21 ( )

d vdx

dvdx

=⎡ ⎤+⎢ ⎥⎣ ⎦

ดงนน สมการความโคง (curvature) ของ differential element อยในรป

1 (arctan )d dv dxdx dx dsρ

=

2

2

2 3/ 2

1

[1 ( ) ]

d vdxdvdx

ρ=

+

2

2

1/ 22 2

1

1 ( ) 1 ( )

d vdx

dv dvdx dx

= ×⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Moment-Curvature Relationshipsกอนเกดการดด:

หลงเกดการดด: dx ds dρ θ′= =

( - )ds y dρ θ′′ =

ds dsds

ε′′ ′−

=′

1yε

ρ= −

หรอ

จากนยามของความเครยดตงฉาก( - ) -

y d d

dρ θ ρ θ

ρ θ=

yρ

= −

ถาวสดทใชทาคานเปน isotropic and homogenous material และมพฤตกรรมอยในชวง linear elastic แลว

1y Eyε σ

ρ= − = −

จากflexural formula,1

( )My

Ey Ey Iσ

ρ−

= − = −

flexural rigidity1 MEIρ

=

เมอ y เปน + หนวยแรงดดจะเปนลบ

Differential Equations ของ Deflection Curve2

2

2 3/ 2

1

[1 ( ) ]

d vMdx

dv EIdx

ρ= =

+

ซงเปนสมการ nonlinear second order differential equation และมกถกเรยกวาสมการ elasticaโดยปกตแลว คา deflection ของคานจะถกจากดใหมคานอยมาก เชน L/240 และ L/360 ดงนนคา slope กจะมคานอยกวา 1 มากๆ และเทอม

2( ) 0dvdx

≈

2

21 M d v

EI dxρ= =ดงนน

flexural rigidity

7.3 วธ Double Integration

2

2 ( )d vEI M xdx

=

เนองจาก V = dM/dx ดงนน3

3 ( )d vEI V xdx

=

ในกรณทคานมคา EI คงทตลอดความยาวของคานแลว v = deflection dv/dx = slope d2v/dx2 = curvature

เนองจาก -w = dV/dx ดงนน4

4 ( )d vEI w xdx

= −

คา slope และ deflection ของคานจะหาไดโดยการทา integration ตอเนอง ซงการ integration แตละครงจะไดคา constant of integrationซงจะหาไดโดยใช boundary conditions และ continuity conditions ของคาน

Sign Convention

จากซายไปขวา ทวนเขมฯ เปนบวก จากขวาไปซาย ตามเขมฯ เปนบวก

Boundary และ Continuity Conditions เงอนไขขอบเขต (boundary conditions) เปนคา slope และ/หรอ deflection ของคานทเราทราบคาทจดตางๆ บนคาน

เงอนไขความตอเนอง (continuity condition) จะใชในกรณทคานถกกระทาโดยแรงทไมมความตอเนอง และขนอยกบระบบพกดของคาน

1 2( ) ( )a aθ θ=

1 2( ) ( )v a v a=

1 2( ) ( )a bθ θ− =

1 2( ) ( )v a v b=

จากซายไปขวา ทวนเขมฯ เปนบวก จากขวาไปซาย ตามเขมฯ เปนบวก

EXAMPLEจงหาสมการของ slope ทจด B และการโกงตวทจด C ของคานยน ซงถกกระทาโดยแรง P และม flexural rigidity EI คงทตลอดความยาวของคาน

( ) ( )M x Px PL P L x= − = − −

จาก FBD ของคาน

จากสมการ elastic beam2

2d vEI Px PLdx

= −

2

12dv xEI P PLx Cdx

= − +

3 2

1 26 2x xEIv P PL C x C= − + +

2

12dv xEI P PLx Cdx

= − +

2

1(0)(0) (0)

2EI P PL C= − +

1 0C =

3 2

26 2x xEIv P PL C= − +

3 2

2(0) (0)(0)

6 2EI P PL C= − +

2 0C =

ดงนน สมการของการโกงตวของคานจะอยในรป2

02

dv xEI P PLxdx

= − +

21 ( )2xP PLx

EIθ = −

3 2

06 2x xEIv P PL= − +

3 21 ( )6 2x xv P PL

EI= −

ทจด B, x = 2a

ทจด C, x = L3

3CPLvEI

= −

)(2 aLEIPa

−−=θ

x = 2ax = L

จงหาสมการของ slope สงสดและสมการการโกงตวสงสดของคาน2

( )2 2

wLx wxM x = −

จากสมการ elastic beam2 2

2 2 2d v wLx wxEIdx

= −

2 3

14 6dv wLx wxEI Cdx

= − +

3 4

1 212 24wLx wxEIv C x C= − + +

EXAMPLE

จาก boundary condition ของคานv = 0 ท x = 0

3 4

1 2(0) (0)(0) (0)

12 24wL wEI C C= − + +

2 0C =θ = 0 ท x = L/2

2 3

1( / 2) ( / 2)(0)

4 6wL L w LEI C= − +

3

1 24wLC = −

2 3

14 6dv wLx wxEI Cdx

= − +

3 4

1 212 24wLx wxEIv C x C= − + +

x = L/2

2 0C =3

1 24wLC = −

ดงนน สมการของการโกงตวของคานจะอยในรป

3 2 3(4 6 )24

w x Lx LEI

θ = − − +

3 4 3

12 24 24wLx wx wLEIv x⎡ ⎤

= − + −⎢ ⎥⎣ ⎦

4 3 3( 2 )24

wv x Lx L xEI

= − − +

3

max 24wL

EIθ = −

4

max5

384wLv

EI= −

3 4

1 212 24wLx wxEIv C x C= − + +

2 3

14 6dv wLx wxEI Cdx

= − +

2 3 3

4 6 24dv wLx wx wLEIdx

= − −

ตารางแสดงสมการของ slope และ deflection ของคานทควรทราบ

สรปขนตอนการคานวณ1. เขยน FBD ของคานและใชสมการความสมดลหาสมการแรงปฏกรยาของคาน

2. เขยน FBD ของสวนของคานและใชสมการความสมดลหาสมการ moment ทพกด x

3. จากสมการ elastic beam ทาการ integrate หาสมการของ slope และ deflection

4. ใช boundary condition และ/หรอ continuity condition แกสมการของ slope และ deflection เพอหาคาคงทของการ integration

5. แทนคาคงทของการ integration กลบลงในสมการของ slope และ deflection

จงหาสมการ slope และสมการการโกงตวของคาน เมอ EI มคาคงทEXAMPLE

จงหาคา slope ทจดรองรบ A และ Bจงหาคาการโกงตวสงสด พรอมตาแหนงทเกด เมอ a = 2b

สมการ slope และสมการการโกงตวของคาน

10 ;x a≤ ≤ 1 1PbM xL

=

2 ;a x b≤ ≤2 2 2

2

( )

(1 )

PbM x P x aL

xPaL

= − −

= −

สมการโมเมนตภายใน

จากสมการของ elastic beam2

112

1

d v PbEI xdx L

=10 ;x a≤ ≤

211 1

1 2dv PbEI x Cdx L

= +

31 1 1 1 2

6PbEI v x C x C

L= + +

2 ;a x b≤ ≤22 22 (1 )dv xEI Pa

dx L= −

22 2

2 3( )2

dv xEI Pa x Cdx L

= − +

2 32 2

2 3 2 4 ( )2 6x xEI v Pa C x C

L= − + +

ในทน มคาคงท integration จากสมการ elastic beam ทงสน 4 คา ซงสองคาของคาคงทจะหาไดโดยใช boundary condition สองเงอนไขคอ

1 10; 0 :x v= = 31 1 1 1 2

6PbEI v x C x C

L= + + 2 0C =

2 2; 0 :x L v= = 2 3

3 40 ( )2 6L LPa C L C

L= − + +

2

3 403

PaL C L C= + +

และ continuity condition อกสองเงอนไขคอ 1 1 2 2( ) ( ) :v x a v x a= = =

2 33

1 3 4( )6 2 6Pb a aa C a Pa C a C

L L+ = − + +

2 32 2

2 3 2 4 ( )2 6x xEI v Pa C x C

L= − + +

31 1 1 1

6PbEI v x C x

L= +

1 21 2

1 2

( ) ( ) :dv dvx a x adx dx

= = = 211 1

1 2dv PbEI x Cdx L

= +

22 2

2 3( )2

dv xEI Pa x Cdx L

= − +

22

1 3( )2 2Pb aa C Pa a C

L L+ = − +

2

3 403

PaL C L C= + +

2 33

1 3 4( )6 2 6Pb a aa C a Pa C a C

L L+ = − + +

22

1 3( )2 2Pb aa C Pa a C

L L+ = − +

ทาการแกสมการทงสาม

2 21 ( )

6PbC L b

L= − − 2 2

3 (2 )6PaC L a

L= − +

3

4 6PaC =

ทาการแทนคาคงททงสกลบลงในสมการ slope และสมการการโกงตว 211 1

1 2dv PbEI x Cdx L

= +

31 1 1 1 2

6PbEI v x C x C

L= + +

22 2

2 3( )2

dv xEI Pa x Cdx L

= − +

2 32 2

2 3 2 4 ( )2 6x xEI v Pa C x C

L= − + +

2 ;a x b≤ ≤

10 ;x a≤ ≤ 2 2 211 1

1

( 3 )6

dv Pb L b xdx EIL

θ = = − − −

2 2 211 1( )

6Pbxv L b xEIL

= − − −

2 2 222 2 2

2

(3 2 6 )6

dv Pa x L a Lxdx EIL

θ = = − + + −

3 2 2 2 22 2 2 2( (2 ) 3 )

6Pav x L a x Lx a LEIL

= − + + − −

สมการ slope ทจดรองรบ A และ Bทจดรองรบ A, x1 = 0:

ทจดรองรบ B, x2 = L:

2 21 ( ) ( )( ) ( )

6 6 6Pb Pb PabL b L b L b L bEIL EIL EIL

θ = − − = − + − = − +

2 22 ( ) ( )( ) )

6 6 6Pa Pa PabL a L a L a L aEIL EIL EIL

θ = − = + − = +

สมการการโกงตวสงสด พรอมตาแหนงทเกด เมอ a = 2bสมมตให จด C เปนตาแหนงทเกดคาการโกงตวสงสด โดยทจดนจะเปนจดทมคา slope เทากบศนย ดงนน

2 2 21 1( 3 )

6Pb L b xEIL

θ = − − −

3b

2 2 21(3 ) 3 0b b x− − =

1 1.633x b=

ดงนน สมการการโกงตวสงสด3

max 0.48385 PbvEI

= −

2 2 21 1( 3 )

6Pb L b xEIL

θ = − − −

7.4 Moment-Area Theorems ทฤษฎท 1 ของ moment-area method2

2

d v Mdx EI

=

2

2 ( )d v d dv ddx dx dx dx

θ= =โดยท ดงนน

d Mdx EIθ=

Md dxEI

θ =

“การเปลยนแปลง dθ ของ slope ของเสนสมผสทปลายทงสองของสวนของคาน dx มคาเทากบพนททมสทบใตแผนภาพ M/EI”

/

B

B AA

M dxEI

θ = ∫

ทฤษฎท 2 ของ moment-area methoddt xdθ=

Md dxEI

θ =โดยท แลว integrate จากจด A ถงจด B

/

B

A BA

Mt x dxEI

= ∫

xd A xdA=∫ ∫เนองจาก centroid ของพนท ดงนน

/

B

A BA

Mt x dxEI

= ∫

ระยะเคลอนทหรอการเบยงเบนของเสนสมผสทจด A บน elastic curve เทยบกบเสนสมผสทจด B มคาเทากบโมเมนตของพนทใตแผนภาพ M/EI ระหวางจดสองจดนน (A และ B) รอบจดทตองการหาระยะเคลอนท (A)

จงหาคา slope ทจด B และคาการโกงตวทจด C ของคาน W200x36EXAMPLE

6 434.4(10 ) mmI =1. ทาการเขยน moment diagram ของคาน

2. เนองจาก IAB = 1.5IBC ดงนน M/EI diagram มลกษณะดงแสดง

3. รปรางการโกงตวของคาน (elastic curve)

4. คา slope ทจด B หาไดจากการหามมสมพทธของเสนสมผสทจด B เทยบกบเสนสมผสทจด A หรอ θB/A ดงนน จากทฤษฎบทท 1

/

6.667 1 13.333 (2) [ ](2)2

B A B

EI EI

θ θ=

= − + −

226.667 kN.mB EI

θ = −

23

6 2 6 4

26.667kN.m 3.88(10 ) rad[200(10 ) kN/m ][34.4(10 )m ]Bθ

−−= − = −

4. คาการโกงตวทจด C หาไดจากการหาระยะการเคลอนทในแนวดงของจด C เทยบกบเสนสมผสทลากจากจด A มาอยในแนวเดยวกนกบจด C หรอ tC/A จากทฤษฎบทท 2

/6.667 1 13.333 4 1 10 2[ (2)](2) [ ](2)(1 ) [ ](1)( )

2 3 2 3C A CtEI EI EI

= ∆ = − + − + + −

360.944 kN.mC EI

∆ = −

2

6 2 6 4

60.944 kN.m 0.0089 m 8.9 mm[200(10 ) kN/m ][34.4(10 )m ]C −∆ = − = − = −

จงหาคาการโกงตวสงสดในคาน W360x64 ซงถกเสรมความแกรงโดยแผนเหลกทชวงกลางคาน เมอ E = 200 GPa และ I = 176(106) mm4 โดยวธ conjugate beam

EXAMPLE

1. เขยน FBD และใชสมการความสมดลหาแรงปฏกรยาของคานจรง

2. เขยนแผนภาพ moment diagram ของคาน

3. แปลงแผนภาพ moment diagram ใหเปน elastic weight

4. หาคาการโกงตวสงสดจากความสมมาตรของคาน คาการโกงตวสงสดเกดขนทจดกงกลางคาน (จด C) และ slope = 0 ดงนน เสนสมผสทจดน tan C จะอยในแนวนอน

โดยใชสามเหลยมคลาย /

2A Bt′∆ =

//2

A BC C B

t t∆ = −

จากทฤษฎบทท 2

/160 8 28 53.33 213.33( ) (6)

3 33520

A BtEI EI EI

EI

⎡ ⎤= + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

=

/53.33 2 213.33 160 10( ) (1) ( )2 3 2 3

657.78

C BtEI EI EI

EI

= + +

=

3520 657.78 1102.222C EI EI EI

∆ = − =

3

max 6 2 6 12 4

1102.2 kN.m 0.0308 m 30.8 mm[200(10 )kN/m ][179(10 )(10 )m ]−∆ = − = − = −

12000 389.6 36030.8

L= = >

∆

คาการโกงตวสงสดเมอเทยบกบ span ของคานมคานอยมาก ดงนน คานดงกลาวยงคงมพฤตกรรมอยในชวง linear elastic

ในกรณทไมมการเสรมเหลก การโกงตวสงสดของคานมคาเทากบ 40.2 mm12000 298.5 36040.2

L= = <

∆

7.5 Conjugate-Beam Method เสนอโดย Otto Mohr ในป ค.ศ. 1860 มลกษณะคลายคลงกบวธ moment-area แตงายกวา มพนฐานจากความคลายของสมการความสมพนธระหวางแรงเฉอน โมเมนตดด และแรงกระทา w

dV wdx

= −2

2d dM d M wdx dx dx

⎡ ⎤ = = −⎢ ⎥⎣ ⎦

กบสมการความสมพนธระหวางมมลาดเอยง ระยะโกงตว และเทอม Elastic weight

d Mdx EIθ=

2

2d dv d v Mdx dx dx EI

⎡ ⎤ = =⎢ ⎥⎣ ⎦

dM Vdx

=

dV wdx

= −

Elastic weight มทศทางสวนกบแรงกระทา w

ทฤษฎท 1: คามมลาดเอยงทจดใดจดหนงบนคานจรง (real beam) มคาเทากบคาแรงเฉอนทจดนนบนคานเสมอน (Conjugate Beam)

ทฤษฎท 2: คาระยะโกงตวทจดใดจดหนงบนคานจรง (real beam) มคาเทากบคาของโมเมนตทจดนนบนคานเสมอน (Conjugate Beam)

ขนตอนการคานวณ

หาแรงปฏกรยาของ conjugate beam และสมการ slope ของคานจรง

2

0

( ) ( 0) ( ) 2

x wx x Lx x dxEI

θ θ θ∆ = − = = −∫3

2 3( ) (6 4 )24 24

w wLx Lx xEI EI

θ = − −

จากความสมมาตรของ conjugate beam2

0

1 ( ) 2 2

L

AwR Lx x dxEI′ = −∫

3

24wL

EI=2 3

0

(3 2 )24

Lw Lx xEI

= −

2 3 3(6 4 )24

w Lx x LEI

= − −

conjMV dxEI

θ = = ∫

หาสมการการโกงตวของคานจรง

2 3 3

0

( ) ( 0)

(6 4 ) 24

x

v v x v x

w Lx x L dxEI

∆ = − =

= − −∫

conjv M dxθ= = ∫

3 4 3( ) (2 ) ( 0)24

wv x Lx x L x v xEI

= − − + =

3 4 3(2 )24

w Lx x L xEI

= − −

คานเสมอน (conjugate beam)คานจรง (real beam)

Simple support: มม ≠ 0, การโกงตว = 0 Simple support: แรงเฉอน ≠ 0, โมเมนต = 0

Fixed end: มม = 0, การโกงตว = 0 Free end: แรงเฉอน = 0, โมเมนต = 0

Conjugate-Beam SupportsExample เมอคานจรงมจดรองรบแบบยดแนนแลว คามมลาดเอยงและระยะโกงตวทจดรองรบนจะมคาเทากบศนย ดงนน คานเสมอนจงตองมเงอนไขขอบเขตแบบปลายอสระ เนองจากทปลายนจะไมมแรงเฉอนและโมเมนตเกดขน

คานเสมอน (conjugate beam)คานจรง (real beam)

Free end: มม ≠ 0, การโกงตว ≠ 0 Fixed end: แรงเฉอน ≠ 0, โมเมนต ≠ 0

Internal hinge: มม ≠ 0, การโกงตว ≠ 0 Internal support: แรงเฉอน ≠ 0, โมเมนต ≠ 0

Internal support: มม ≠ 0, การโกงตว = 0 Internal hinge: แรงเฉอน ≠ 0, โมเมนต = 0

จงหาคาการโกงตวสงสดทเกดขนในคาน W150x14 เมอ E = 200 GPa และI = 6.84(106) mm4 โดยวธ conjugate beam

EXAMPLE

1. เขยน FBD และใชสมการความสมดลหาแรงปฏกรยาของคานจรง

2. เขยนแผนภาพ moment diagram ของคาน

3. แปลงแผนภาพ moment diagram ใหเปน elastic weight : มทศทางสวนกบแรงกระทา w

4. เขยน FBD และใชสมการความสมดลหาแรงปฏกรยาของ conjugate beam

8.75AR

EI′ =

6.25BR

EI′ =

0;BM ′ =∑1 7.5 1(4) (1) (3 )2 3

1 7.5 2 (3) (3 )2 3

AREI

EI

′⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤+ ⎢ ⎥⎣ ⎦

0;AM ′ =∑ 1 7.5 2 1 7.5 1(4) (1) (1 ) (3) (1 3 )2 3 2 3BR

EI EI′⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

EI5.7)1(

21

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

EI5.7)3(

21

5. หาคาการโกงตวสงสด ซงเกดขนทจดท slope มคาเทากบศนย

จดดงกลาวเปนจดเดยวกบจดทแรงเฉอนของ conjugate beam มคาเทากบศนย จากสามเหลยมคลาย

( ) 7.5 1( )3

w xx EI

=

2.5( )w x xEI

=

0;yF =∑1 2.5 6.25( ) 02

xV xEI EI

+ − =

2.236 mx =

0

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

EIxx 5.2)(

21

2.236 m

0;M =∑6.25 (2.236)MEI

′ +

1 2.5(2.236) 1( )2.236( (2.236)) 02 3EI

− =

3

max9.317 kN.mM

EI′∆ = = −

เครองหมายลบแสดงวา การโกงตวมทศพงลง 3

max 6 2 6 12 49.317 kN.m

[200(10 )kN/m ][6.84(10 )(10 )m ]−∆ = −

คาการโกงตวสงสดมคานอยมากเมอเทยบกบ span ของคาน

4000 588.26.8

L= =

∆

0.0068 m 6.8 mm= − = −

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

EI)236.2(5.2)236.2(

21

จงหาคาการโกงตวสงสดในคาน W360x64 ซงถกเสรมความแกรงโดยแผนเหลกทชวงกลางคาน เมอ E = 200 GPa และ I = 176(106) mm4 โดยวธ conjugate beam

EXAMPLE

1. เขยน FBD และใชสมการความสมดลหาแรงปฏกรยาของคานจรง

2. เขยนแผนภาพ moment diagram ของคาน

3. แปลงแผนภาพ moment diagram ใหเปน elastic weight: มทศทางสวนกบแรงกระทา w

4. เขยน FBD และใชสมการความสมดลหาแรงปฏกรยาของ conjugate beamจากความสมมาตรของ conjugate beam

160 53.33 213.332 2A BR R

EI EI EI′ ′= = + +

299.33EI

=

5. หาคาการโกงตวสงสดจากความสมมาตรของคานจรงและ conjugate beamคาการโกงตวสงสดจะเกดขนทจดกงกลางคาน

เขยน FBD และใชสมการความสมดล0;AM ′ =∑

293.33(6)CMEI′ +

160 10( )3EI

−

106.67 (1)EI

−26.67 2( ) 0

3EI− =

3

max1102.2 kN.m

CMEI′∆ = = −

เครองหมายลบแสดงวา การโกงตวมทศพงลง

3

max 6 2 6 12 41102.2 kN.m

[200(10 )kN/m ][179(10 )(10 )m ]−∆ = −

ซงมคาเทากบทหาไดโดยวธ moment-area

0.0308 m 30.8 mm= − = −

สรปขนตอนการคานวณ1. เขยน FBD และใชสมการความสมดลหาแรงปฏกรยาของคานจรง2. เขยนแผนภาพ moment diagram ของคาน 3. แปลงแผนภาพ moment diagram ใหเปน elastic weight: มทศทางสวนกบแรงกระทา w

4. เขยน FBD และใชสมการความสมดลหาแรงปฏกรยาของ conjugate beam

ทฤษฎท 1: คามมลาดเอยงทจดใดจดหนงบนคานจรง (real beam) มคาเทากบคาแรงเฉอนทจดนนบนคานเสมอน (Conjugate Beam)

ทฤษฎท 2: คาระยะโกงตวทจดใดจดหนงบนคานจรง (real beam) มคาเทากบคาของโมเมนตทจดนนบนคานเสมอน (Conjugate Beam)