BİYOİSTATİSTİK

Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH

Ege Üniversitesi, Tıp Fakültesi, Biyoistatistik ve Tıbbi Bilişim AD.

Web: www.biyoistatistik.med.ege.edu.tr

Bazı Olasılık Dağılışları

1

• Uygulamalı bilim dallarında çoğu

kez üzerinde araştırma yapılan

özellikler, belirli varsayımlar

altında belirli olasılık dağılışları

göstermektedir.

• Doğada ve deneysel ortamlarda,

çoğu olay belirli olasılık kurallarına

göre oluşmaktadır.

• Şans değişkeni (rassal değişken)

sınıflamasına uygun olarak, kesikli ve

sürekli şans değişkenleri için uygulamada

yaygın olarak pek çok olasılık dağılımı

kullanılmaktadır.

• Binom

• Negatif Binom

• Geometrik

• Poisson

Olasılık Dağılımları

Kesikli değişkenler için

Sürekli değişkenler için

• Uniform

• Üssel

• Gamma

• Weibull

• Normal

• Deney birbirine benzer şekilde n kez tekrarlanır.

• Tekrarlanan bu n deneyin her birinin sonunda iki olaydan biri gözlenir (HT+, HT-).

• Her deneyde (+) sonucunun gözlenme olasılığı p’ye eşittir ve değişmez. ((-) olasılığı, p+q=1, q=1-p)

• p=q ise dağılım simetriktir, aksi halde dağılım çarpıklık gösterir.

• Deneyler birbirinden bağımsız olarak yapılmaktadır.

• Bizim ilgilendiğimiz şans değişkeni (X), n defa tekrarlanan deneylerin sonucunda (+) sonuçların gözlenme sıklığıdır.

Bu deneme bir BİNOM denemesidir. 5

1. Binom Dağılımı (Kesikli Dağılım):

• Binom Dağılımı Örnekleri;

– Yazı-tura denemeleri

– Bir soruya verilen evet-hayır cevabı

– Bir laboratuar testinin sonucunun + ve – çıkması

– Rasgele seçilen bir kişinin sigara içip içmemesi

– İncelenen bir elektronik devrenin bozuk olup

olmaması

– Bir kişinin hasta olup olmaması vb.

X: 50 yaş üzeri erkeklerde HT görülme sıklığı

n→ deneme yapıldığında (gözlem sayısı)

x = 0,1,2,….,n (Kesikli şans değişkeni)

P(X=x)=?

P(X≤x) =?

7

1. Binom Dağılımı (devam):

8

X ~ B(n,p) x = 0,1,2,….,n

P(X=x) =

P(X≤x) =

μ = E(x) = np σ2 = E(x-μ)2 = npq

x

x

xnxqpx

n

0

xnxxnx qp

xnx

nqp

x

n

!!

!

1. Binom Dağılımı (devam):

Herhangi bir ameliyatta başarı oranının %40 olduğu bilinsin. 5 hasta ameliyat edildiğine göre;

a) Bu 5 hastanın kaçında başarı beklersiniz?

b) En az 4 başarı olasılığı nedir?

Örnek 1

Herhangi bir ameliyatta başarı oranının %40 olduğu bilinsin. 5 hasta ameliyat edildiğine göre;

a) Bu 5 hastanın kaçında başarı beklersiniz?

b) En az 4 başarı olasılığı nedir?

a) X: Başarılı geçen operasyon sayısı

X~B(n=5;p=0.40) x = 0,1,2,3,4,5

E(X) =µ=(n)*(p)=5*0.4=2 operasyon

b)

Örnek 1

Bir şehirde bulunan 4 ambulansın herhangi bir

zamanda servise çıkmaya hazır olması

olasılığı 0.8’dir ve ambulanslar birbirinden

bağımsız olarak hareket etmektedir. Herhangi

bir gereksinim olduğunda;

a) Sadece 2 ambulansın hazır olma olasılığı

nedir?

b) En az 2 ambulansın hazır olma olasılığı nedir?

c) 4 ambulansın birden hazır olma olasılığı

nedir?

Örnek 2

a) Sadece 2 ambulansın hazır olma olasılığı

nedir?

Ambulanslar birbirinden bağımsız hareket

ettikleri ve her birinin servise çıkmaya hazır

olma olasılıkları birbirine eşit olduğu için,

deney bir binom denemesidir.

n=4 ve p=0.8 olarak soruda verilmiştir.

1536.0)04.0)(64.0(

!24!2

!4

)2.0()8.0(2

4)2(

)2.0()8.0(4

)(

242

4

XP

xxXP xx

b) En az 2 ambulansın hazır olma olasılığı

nedir?

9728.0

)2.0()8.0(1

4)2.0()8.0(

0

41

)1()0(1

)4()3()2()2 azen (

141040

PP

PPPP

c) 4 ambulansın birden hazır olma olasılığı

nedir?

4096.0)2.0()8.0(!0!4

!4

)2.0()8.0(4

4)4(

04

444

XP

2. Normal Dağılım (Sürekli Dağılım)

• X şans değişkeni süreklidir. Genellikle ölçümle elde edilir.

• Sürekli bir şans değişkeni olan X, normal dağılıma uyuyor ise,

X~N(µ ,σ2) olur.

• µ, popülasyon ortalamasını ve 2, popülasyon varyansı olmak üzere olasılık fonksiyonu,

-∞ < x < ∞, -∞ < µ < ∞ ve 2>0

21

21( )

2

x

f x e

16

• Gauss tarafından bulunup özellikle ölçüm hatalarının

dağılımlarının incelenmesinde kullanılmaktadır.

• İstatistik teorisinin bel kemiği olan normal dağılım, çan

eğrisi şeklindeki eğrisi ile bilimsel ve teknolojik

araştırmalarda üzerinde çalışılan pek çok değişkenin

modellenmesinde kullanılmaktadır.

• Bazı koşullar sağlandığında kesikli ve sürekli pek çok

değişken normal dağılıma yaklaşım gösterir.

Normal Dağılım Grafiği

µ

f(x)

X~N(µ ,σ2)

18

19

• Dağılım ortalamaya göre

simetriktir.

• Alanın %50’si ortalamadan

geçen dikey çizginin sağına,

%50’si soluna düşer.

• Simetrik bir dağılım olduğu için,

eğri altında kalan toplam alan

bir birim karedir.

µ ( ) 1f x dx

• Aritmetik ortalama, ortanca ve tepe değeri birbirine

eşittir.

µ

Eğri altında kalan alan = Olasılık

%68,26

µ- µ+

P (µ - ≤ x ≤ µ+) = 0,6826 20

µ

%95,44

µ-2 µ+2

P (µ - 2 ≤ x ≤ µ+2) = 0,9544 21

Eğri altında kalan alan = Olasılık

µ

%99,74

µ-3 µ+3

P (µ - 3 ≤ x ≤ µ+3) = 0,9974 22

Eğri altında kalan alan = Olasılık

23

Normal dağılımda ampirik kurala göre;

µ ± sınırları verilerin %68.26’sını,

µ ± 2 sınırları verilerin %95.44’ünü,

µ ± 3 sınırları verilerin %99.74’ünü

kapsar.

24

Normal dağılımda yığılımlı (birikimli) olasılıklar

işlemi ile,

herhangi [a b] aralığına ilişkin olasılık

işlemi ile bulunabilir.

Yukarıdaki hesaplamaları yapmak kolay

olmadığından, bu hesaplamalar için standart

normal dağılım dönüşümünden yararlanılır.

b

dxxfbXP )()(

b

a

dxxfbXaP )()(

25

3. Standart Normal Dağılım

• Normal dağılımın özel bir biçimidir. Normal

dağılıma dayalı hesaplamalarda kullanıcılara

kolaylık sağlar.

• X ~ N (0, 1)

• µ = 0 ve 2 = 1 dir.

• Yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibidir:

2

2

1

2

1)(

z

ezf

26

• Eğer bir X şans değişkeninin (ş.d.) normal dağıldığı biliniyorsa

eşitliği ile elde edilen z değerleri ortalaması 0 ve varyansı 1 olan standart normal dağılıma uyar.

Dağılımın grafiği aşağıdadır:

xz

µ=0 Z

Z~N(µ=0 ,σ2=1)

27

X şd.: Bebeklerin doğum ağırlığı (gr.)

X ~ N ( = 3100 ; 2 = 90000)

a) Doğum ağırlığının 2500 gr’ın altında olma olasılığı nedir?

b) Doğum ağrılığının 2500-3500 gr arasında olma olasılığı nedir?

28

Örnek 3:

3100 2500

xz

z = 2500-3100

300

z = -2

X şd.: Bebeklerin doğum ağırlığı (gr.)

X ~ N ( = 3100 ; 2 = 90000)

a) Doğum ağırlığının 2500 gr’ın altında olma olasılığı nedir?

b) Doğum ağrılığının 2500-3500 gr arasında olma olasılığı nedir?

29

Örnek 3:

30

31

0 -2 Standart Normal Dağılım Tablosu kullanarak

4 7 7 2.0)20(

)2()2 5 0 0(

ZP

ZPXP

0 2 2 8,04 7 7 2,05,0)2( ZP

0,4772

32

0,0228

0 -2 1,33

0,4772 0,4082

21

z

xz

33.1

300

31003500

2

2

z

z

8 8 5 4.04 0 8 2.04 7 7 2.0

)3 3.12()3 5 0 02 5 0 0(

ZPXP33

Alıştırmalar

1. Aynı koşullar altında n kez tekrarlanan

deneyde istenilen sonucun elde edilme

olasılığı ………….…………………..

dağılımında denemeden denemeye

değişmez.

1. Aynı koşullar altında n kez tekrarlanan

deneyde istenilen sonucun elde edilme

olasılığı ……binom…………………..

dağılımında denemeden denemeye

değişmez.

2. …………. Dağılımda, aritmetik

ortalama, ortanca ve tepe değeri birbirine

eşittir.

2. …Normal…. Dağılımda, aritmetik

ortalama, ortanca ve tepe değeri birbirine

eşittir.

3. Eğer bir X şans değişkeninin (ş.d.) normal

dağıldığı biliniyorsa, bu X şans değişkeni

kullanılarak yapılan z dönüşümü ile elde

edilen z değerleri ortalaması ……….. ve

varyansı ………. olan standart normal

dağılıma uyar.

3. Eğer bir X şans değişkeninin (ş.d.) normal

dağıldığı biliniyorsa, bu X şans değişkeni

kullanılarak yapılan z dönüşümü ile elde

edilen z değerleri ortalaması …..0….. ve

varyansı …..1…. olan standart normal

dağılıma uyar.

4. Normal dağılımda ampirik kurala göre;

µ ± 3 sınırları verilerin %95.44’ünü

kapsar.

Yanlış

5. Bir binom deneyi için aşağıdaki koşullardan hangileri geçerlidir.

I) Denemler birbirinden bağımsız olmalıdır.

II) n tane özdeş deneme olmalıdır.

III) İki sonucun olasılıkları denemeden denemeye değişmeyip hep aynı olmalıdır.

a. I ve II b. I ve III c. II ve III d. I,II ve III

• Haftaya derste anlatılacak konular…

– Uygulama III

42