C alculo In nitesimal Grado en Matem aticas Renato Alvarez ...euler.us.es/~renato/clases/grado-cd/beamer-calculo-T3.pdf · Sucesiones num ericas: De nici on Una sucesi on de numeros

Sucesiones

Calculo InfinitesimalGrado en Matematicas

Renato Alvarez-NodarseUniversidad de Sevilla

http://euler.us.es/˜renato/clases.html

Renato Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Sucesiones

Sucesiones numericas: Definicion

Una sucesion de numeros reales {an} no es mas que una regla quea cada numero natural le hace corresponder otro real:

an : N 7→ R, an = f (n), n = 1, 2, 3, ...

¡O sea, una sucesion es una funcion definida sobre N !

Por ejemplo: La sucesion constante an = 1

{1, 1, 1, 1, 1, ..., 1, 1, 1, ...}

La sucesion de los numeros naturales an = n

{1, 2, 3, 4, 5, ..., n − 1, n, n + 1, ...}

La sucesion de los inversos de los numeros naturales bn =1

n{1

1,

1

2,

1

3,

1

4...,

1

n − 1,

1

n,

1

n + 1, ...

}




an : N 7→ R, an = f (n), n = 1, 2, 3, ...



{1, 1, 1, 1, 1, ..., 1, 1, 1, ...}


{1, 2, 3, 4, 5, ..., n − 1, n, n + 1, ...}


n{1

1,

1

2,

1

3,

1

4...,

1

n − 1,

1

n,

1

n + 1, ...

}




an : N 7→ R, an = f (n), n = 1, 2, 3, ...



{1, 1, 1, 1, 1, ..., 1, 1, 1, ...}


{1, 2, 3, 4, 5, ..., n − 1, n, n + 1, ...}


n{1

1,

1

2,

1

3,

1

4...,

1

n − 1,

1

n,

1

n + 1, ...

}Renato Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Sucesiones

Monotonıa

Definicion

Una sucesion {an} es monotona creciente si ∀n ∈ N, an+1 > an.

Por ejemplo, la sucesion an = n2 es monotona creciente.

Definicion

Una sucesion {an} es monotona decreciente si ∀n ∈ N, an+1 < an.

Por ejemplo, la sucesion an =1

nes monotona decreciente.

Definicion

Una sucesion {an} es monotona no decreciente si ∀n ∈ N,an+1 ≥ an. y monotona no creciente si ∀n ∈ N, an+1 ≤ an.

Ejemplos: sucesion no decreciente {1, 1, 2, 2, 3, 3, ...} y nocrecientes {1, 1, 1/2, 1/2, 1/3, 1/3, ...}. {an} constante.


Monotonıa

Definicion



Definicion




Definicion




Monotonıa

Definicion



Definicion




Definicion




Acotacion

Definicion

Se dice que una sucesion {an} esta acotada superiormente si∀n ∈ N, existe un M ∈ R tal que an ≤ M.

Por ejemplo, la sucesion bn =1

n2esta acotada superiormente pues

bn ≤ 1, ∀n ∈ N.

Definicion

Se dice que una sucesion {an} esta acotada inferiormente si∀n ∈ N, existe un m ∈ R tal que an ≥ m.

Por ejemplo, la sucesion bn = n2 esta acotada inferiormente puesbn ≥ 1, ∀n ∈ N .


Acotacion

Definicion

Se dice que una sucesion {an} esta acotada superiormente si∀n ∈ N, existe un M ∈ R tal que an ≤ M.

Por ejemplo, la sucesion bn =1

n2esta acotada superiormente pues

bn ≤ 1, ∀n ∈ N.

Definicion

Se dice que una sucesion {an} esta acotada inferiormente si∀n ∈ N, existe un m ∈ R tal que an ≥ m.

Por ejemplo, la sucesion bn = n2 esta acotada inferiormente puesbn ≥ 1, ∀n ∈ N .


Acotacion

Definicion

Se dice que una sucesion {an} esta acotada, si {an} esta acotadasuperior e inferiormente. Es decir si ∀n ∈ N, existe un M ∈ R talque |an| ≤ M.

Por ejemplo, la sucesion bn = (−1)n esta acotada pues |bn| ≤ 1,∀n ∈ N.

Definicion

Se dice que una sucesion {an} es no acotada si ∀M ∈ R, existe unn ∈ N tal que |an| > M.

Por ejemplo, la sucesion bn = (−1)nn2 no esta acotada.


Acotacion

Definicion

Se dice que una sucesion {an} esta acotada, si {an} esta acotadasuperior e inferiormente. Es decir si ∀n ∈ N, existe un M ∈ R talque |an| ≤ M.

Por ejemplo, la sucesion bn = (−1)n esta acotada pues |bn| ≤ 1,∀n ∈ N.

Definicion

Se dice que una sucesion {an} es no acotada si ∀M ∈ R, existe unn ∈ N tal que |an| > M.

Por ejemplo, la sucesion bn = (−1)nn2 no esta acotada.


Lımite de una sucesion

Definicion

Una sucesion {an} tiene lımite a ∈ R si ∀ε > 0, ∃N ∈ N tal que∀n > N, entonces |an − a| < ε y se denota lım

n→∞an = a. O sea,

lımn→∞

an = a⇐⇒ ∀ε > 0, ∃N ∈ N tal que ∀n > N, |an − a| < ε.

Geometricamente significa que ∀ε > 0, en el intervalo a− ε, a + εse encuentran todos los terminos de la sucesion a partir de uncierto n = N, o sea los an, n ≥ N y por tanto en dicho intervalohay infinitos terminos, y fuera solo hay un numero finito determinos (los N primeros terminos) de la misma.

a︸︷︷︸ε

|︸︷︷︸ε



Definicion

Una sucesion {an} tiene lımite a ∈ R si ∀ε > 0, ∃N ∈ N tal que∀n > N, entonces |an − a| < ε y se denota lım

n→∞an = a. O sea,

lımn→∞

an = a⇐⇒ ∀ε > 0, ∃N ∈ N tal que ∀n > N, |an − a| < ε.

Geometricamente significa que ∀ε > 0, en el intervalo a− ε, a + εse encuentran todos los terminos de la sucesion a partir de uncierto n = N, o sea los an, n ≥ N y por tanto en dicho intervalohay infinitos terminos, y fuera solo hay un numero finito determinos (los N primeros terminos) de la misma.

a︸︷︷︸ε

|︸︷︷︸ε


Lımite de una sucesion: interpretacion geometrica

lımn→∞

an = a

a−ε a+ ε

x x x x x

a

∀ε > 0, ∃N ∈ N tal que ∀n > N, |an − a| < ε



Definicion

Se dice que una sucesion {an} no tiene lımite a ∈ R cuandon→∞ si existe ε > 0 tal que para todo N ∈ N existe un n > N,que cumple con que |an − a| ≥ ε y se denota lım

n→∞an 6= a. O sea,

lımn→∞

an 6= a⇐⇒ ∃ε > 0, ∀N ∈ N, ∃n > N, tal que |an−a| ≥ ε.

Ejemplo: la sucesion an = (−1)n no tiene ningun lımite a ∈ R.


Lımite infinito de una sucesion

Definicion

Se dice que una sucesion {an} tiene lımite +∞ si

lımn→∞

an = +∞⇐⇒ ∀M > 0, ∃N ∈ N tal que ∀n > N, an > M.

xx xx x

M

8

Geometricamente: ∀M > 0, en (M,+∞) hay infinitos terminos dean y fuera de el, en (−∞,M] un numero finito.

Ejemplos: an = n, an = n2.

Ejercicio: Define lımn→∞

an = −∞.



Definicion


lımn→∞


xx xx x

M

8




an = −∞.



Definicion


lımn→∞


xx xx x

M

8




an = −∞.


Propiedades de las sucesiones convergentes

Definicion

Una sucesion {an} que tenga lımite (finito) se denominaconvergente y si el lımite no existe o es infinito (±∞) se llamadivergente.

Teorema

La manipulacion de un numero de terminos de una sucesion noaltera el caracter convergente o divergente de la misma.

Teorema

(Unicidad del lımite de una sucesion.)Si la sucesion {an} es convergente entonces tiene un unico lımite.

Ejercicio: probar que la afirmacion anterior es valida si el lımite es+∞ o −∞.



Definicion


Teorema


Teorema





Definicion


Teorema


Teorema





Teorema (Condicion necesaria de existencia de lımite)

Si la sucesion {an} es convergente entonces es acotada.

Corolario

Toda sucesion {an} no acotada es divergente.

Lemma

Sean {an} y {bn} dos sucesiones que tienden a cero. Entonces,cualquiera sea M ∈ R las sucesiones Man y an + bn sonconvergentes y tambien tienen lımite cero, o equivalentemente:

Si las sucesiones {an} y {bn} tienden a cero, entonces para todosα, β ∈ R, la sucesion αan + βbn tambien tiende a cero.





Corolario


Lemma







Corolario


Lemma





Teorema

Sea {an} una sucesion convergente con lımite a. Las siguientesafirmaciones son equivalentes:

1. lımn→∞

an = a, 2. lımn→∞

an − a = 0, 3. lımn→∞

|an − a| = 0.

Teorema (Teorema de las tres sucesiones)

Sean las sucesiones {an}, {bn} y {cn} tales que

an ≤ cn ≤ bn para todo n ≥ N ∈ N.

Si {an} y {bn} son convergentes con lımn→∞

an = l y lımn→∞

bn = l ,

entonces, {cn} es convergente y

lımn→∞

cn = l .



Teorema

Sea {an} una sucesion convergente con lımite a. Las siguientesafirmaciones son equivalentes:

1. lımn→∞

an = a, 2. lımn→∞

an − a = 0, 3. lımn→∞

|an − a| = 0.

Teorema (Teorema de las tres sucesiones)

Sean las sucesiones {an}, {bn} y {cn} tales que

an ≤ cn ≤ bn para todo n ≥ N ∈ N.

Si {an} y {bn} son convergentes con lımn→∞

an = l y lımn→∞

bn = l ,

entonces, {cn} es convergente y

lımn→∞

cn = l .


Ejemplos

Ejercicio: Demuestra que:

lımn→∞

cos xn = 1, lımn→∞

sin xnxn

= 1.

Ejercicio: Prueba que una sucesion convergente {an} de terminosno positivos (no negativos) tiene lımite no positivo (no negativo).O sea, si an ≥ 0 ⇒ an → a ≥ 0 y si an ≤ 0 ⇒ an → a ≤ 0.

Ejercicio: Prueba que si una sucesion tiene todos sus terminosmayores (menores) que un cierto m entonces el lımite de an nopuede ser menor (mayor) que dicho m.

Ejercicio: Probar que si lımn→∞

an = a, y lımn→∞

bn = b, y an ≤ bn para

todo n, entonces a ≤ b.


Ejemplos


lımn→∞


sin xnxn

= 1.








Ejemplos


lımn→∞


sin xnxn

= 1.








Ejemplos


lımn→∞


sin xnxn

= 1.








Propiedades algebraicas de los lımites

Teorema

Sean dos sucesiones convergentes {an} y {bn} con lımn→∞

an = a, y

lımn→∞

bn = b. Entonces:

1 lımn→∞

an + bn = a + b.

2 lımn→∞

an · bn = a · b. En particular, ∀α ∈ R, lımn→∞

α an = α a.

3 Si ∀n ∈ N, bn 6= 0, b 6= 0, entonces, lımn→∞

anbn

=a

b.


Propiedades de las sucesiones monotonas

Teorema (Criterio de Weierstrass para las sucesiones monotonas)

Para que una sucesion {an} monotona sea convergente esnecesario y suficiente que este acotada. Ademas, el lımite de lasucesion es el supremo o el ınfimo del conjunto A = {an, n ∈ N}de los valores de an, i.e.,

lımn→∞

an =

{ınf A si an es decrecientesupA si an es creciente

.

Demostracion: Sea an ↗ y S = supA, sea ∀n > N

S − εaN < an↓ ↓ S︸︷︷︸ε

|





lımn→∞

an =


.


S − εaN < an↓ ↓ S︸︷︷︸ε

|





lımn→∞

an =


.


S − εaN < an↓ ↓ S︸︷︷︸ε

|



Teorema

Si {an} esmonotona no decreciente (no creciente) y no acotadasuperiormente (inferiormente), entonces lım

n→∞an +∞ (−∞).

Ejemplo: La sucesion an =1

nesta acotada |an| ≤ 1, ∀n ∈ N y es

decreciente, por tanto an es convergente y

lımn→∞

an = ınf A = ınf

{1

n, n ∈ N

}= 0.

La sucesion bn = n no es acotada y lımn→∞

bn = ınf A = +∞

Ejemplo: Sea {an} la sucesion definida mediante la formula:

a1 =√

2, an+1 =√

2 + an.

Demostrar que tiene lımite y encontrarlo.



Teorema


n→∞an +∞ (−∞).




lımn→∞

an = ınf A = ınf

{1

n, n ∈ N

}= 0.


bn = ınf A = +∞


a1 =√

2, an+1 =√

2 + an.




Teorema


n→∞an +∞ (−∞).




lımn→∞

an = ınf A = ınf

{1

n, n ∈ N

}= 0.


bn = ınf A = +∞


a1 =√

2, an+1 =√

2 + an.



Calculo practico de lımites

Teorema (Criterio de la raız)

Sea {an} una sucesion de terminos positivos tal que

lımn→∞

an+1

an= l . Entonces, lım

n→∞n√an = l .

Ejemplo: Calcula los lımites lımn→∞

n

√an

n!, a ∈ R y lım

n→∞n√n.

Teorema (Stolz)

Sea an/bn una sucesion tal que bn ↗, y bn → +∞ y sea

lımn→∞

an − an−1bn − bn−1

= l . Entonces lımn→∞

anbn

= lımn→∞

an+1 − anbn+1 − bn

=

Ejemplo: Calcula lımn→∞

1 + 2 + · · ·+ n

n2, lımn→∞

1 + 1/2 + · · ·+ 1/n

log n





lımn→∞

an+1


n→∞n√an = l .


n

√an

n!, a ∈ R y lım

n→∞n√n.

Teorema (Stolz)


lımn→∞



anbn

= lımn→∞


=


1 + 2 + · · ·+ n

n2, lımn→∞

1 + 1/2 + · · ·+ 1/n

log n





lımn→∞

an+1


n→∞n√an = l .


n

√an

n!, a ∈ R y lım

n→∞n√n.

Teorema (Stolz)


lımn→∞



anbn

= lımn→∞


=


1 + 2 + · · ·+ n

n2, lımn→∞

1 + 1/2 + · · ·+ 1/n

log n





lımn→∞

an+1


n→∞n√an = l .


n

√an

n!, a ∈ R y lım

n→∞n√n.

Teorema (Stolz)


lımn→∞



anbn

= lımn→∞


=


1 + 2 + · · ·+ n

n2, lımn→∞

1 + 1/2 + · · ·+ 1/n

log n


Lımites notables.

1 lımn→∞

(1 +

1

n

)n

= e.

2 lımn→∞

n√x = 1, para todo x ∈ R, x > 0.

3 lımn→∞

n√n = 1.

4 lımn→∞

xn = 0, para todo x ∈ R, |x | < 1.

5 lımn→∞

1

nα= 0, para todo α ∈ R, α > 0.

6 lımn→∞

ln n

nα= 0, para todo α ∈ R, α > 0.

7 lımn→∞

nα

an= 0, para todo a > 1, α > 0.

8 lımn→∞

xn

n!= 0, para todo x ∈ R. (n! = 1 · 2 · 3 · · · n)

9 lımn→∞

n!

nn= 0. (n! = 1 · 2 · 3 · · · n)


Definicion

Dos sucesiones {an} y {bn} se denominan equivalentes si

lımn→∞

anbn

= 1, y se escribe an ∼ bn.

Ejemplo: an =n + 1

n + 2y bn =

n2 + 1

(n + 1)2.

La sucesion an = n! es equivalente a bn =√

2πne−nnn

Definicion

Una sucesion {an} se denomina infinitesimal si lımn→∞

an = 0.

Definicion

Dos sucesiones {an} y {bn} se denominan infinitesimosequivalentes y se escribe an ∼ bn si lım

n→∞an = 0, lım

n→∞bn = 0 y

lımn→∞

anbn

= 1.


Definicion

Dos sucesiones {an} y {bn} se denominan equivalentes si

lımn→∞

anbn

= 1, y se escribe an ∼ bn.

Ejemplo: an =n + 1

n + 2y bn =

n2 + 1

(n + 1)2.

La sucesion an = n! es equivalente a bn =√

2πne−nnn

Definicion

Una sucesion {an} se denomina infinitesimal si lımn→∞

an = 0.

Definicion

Dos sucesiones {an} y {bn} se denominan infinitesimosequivalentes y se escribe an ∼ bn si lım

n→∞an = 0, lım

n→∞bn = 0 y

lımn→∞

anbn

= 1.


Infinitesimos equivalentes

Teorema

Si {an} es una sucesion infinitesimal, entonces:

1 sen an ∼ an.

2 tan an ∼ an.

3 arc sen an ∼ an.

4 arctan an ∼ an.

5 1− cos an ∼a2n2

.

6 (1 + an)α − 1 ∼ α an.

7 ean − 1 ∼ an, ban − 1 ∼ an ln b .

8 ln(1 + an) ∼ an, logb(1 + an) ∼ an logb e .


Subsucesiones

Sea N = {n1, n2, ..., nk , ..., k ∈ N} el conjunto formado por loselementos {nk} de una sucesion estrictamente creciente denumeros naturales. Importante: nk ≥ k y sea {an} una sucesion denumeros reales.

Construyamos a partir de {an} una sucesion cuyos elementos seanlos elementos de an correspondientes a los valores nk de N . Esdecir, construyamos el subconjunto {ank , k ∈ N} del conjunto{an, n ∈ N}.

La nueva sucesion ası obtenida la denotaremos {ank} y lallamaremos subsucesion de {an}.

Por ejemplo, sea an = (−1)n. Escojamos los los subconjuntosN1 = {2, 4, ..., 2k , ..., k ∈ N} y N2 = {1, 3, ..., 2k − 1, ..., k ∈ N} yconstruyamos las subsucesiones a2k y a2k−1 de los elementos parese impares, respectivamente. Es obvio que a2k = 1 y a2k−1 = −1.


Subsucesiones






Subsucesiones






Subsucesiones






Subsucesiones

Teorema

Cualquier subsucesion {ank} de una sucesion convergente {an} esconvergente. O sea, si

lımn→∞

an = a =⇒ lımnk→∞

ank = a.

Teorema (Bolzano-Weierstrass)

De toda sucesion acotada se puede extraer una subsucesionconvergente.


Subsucesiones

Teorema

Cualquier subsucesion {ank} de una sucesion convergente {an} esconvergente. O sea, si

lımn→∞

an = a =⇒ lımnk→∞

ank = a.

Teorema (Bolzano-Weierstrass)

De toda sucesion acotada se puede extraer una subsucesionconvergente.


Sucesiones de Cauchy

Definicion

Una sucesion {an} es de Cauchy si para todo ε > 0 existe unN ∈ N tal que si n,m > N, entonces |an − am| < ε.

m

∀ε > 0, ∃N ∈ N, t.q. ∀n > N, ∀p ∈ N ⇒ |an+p − an| < ε.

Ejemplo: La sucesion an = 1n es de Cauchy y la sucesion

bn = 1 + 12 + · · ·+ 1

n no es de Cauchy.

Proposicion

1. Toda sucesion convergente es de Cauchy.2. Toda sucesion de Cauchy es acotada.



Definicion


m



bn = 1 + 12 + · · ·+ 1

n no es de Cauchy.

Proposicion




Definicion


m



bn = 1 + 12 + · · ·+ 1

n no es de Cauchy.

Proposicion




Teorema (Criterio de Cauchy para las sucesiones)

Una sucesion {an} es convergente si y solo si es de Cauchy.

Para terminar mostraremos un ejemplo de aplicacion del Teoremade Cauchy para probar otro importante teorema:

Teorema

Para que una sucesion sea convergente es necesario y suficienteque cualquiera de sus subsucesiones sea convergente y tenga elmismo lımite.



Teorema (Criterio de Cauchy para las sucesiones)

Una sucesion {an} es convergente si y solo si es de Cauchy.

Para terminar mostraremos un ejemplo de aplicacion del Teoremade Cauchy para probar otro importante teorema:

Teorema

Para que una sucesion sea convergente es necesario y suficienteque cualquiera de sus subsucesiones sea convergente y tenga elmismo lımite.


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