书书书

!"!

!

数学模型

!"!"!

!

应用模型举例

线性规划!

!"#$%&'&(

)

&%**"#

)

"

!'

#通常研究资源的最优利用$设备最佳运行等问

题%例如"当任务或目标确定后"如何统筹兼顾"合理安排"用最少的资源!如资金$设

备$原材料$人工$时间等#去完成确定的任务或目标&企业在一定的资源条件限制下"

如何组织安排生产获得最好的经济效益!如产品量最多$利润最大#%

!例!#!

"生产计划问题%某企业在计划期内计划生产甲$乙两种产品%按工艺资料规

定"每件产品甲需要消耗材料+,

公斤"消耗材料-.

公斤"每件产品乙需要消耗材料+

.

公斤"消耗材料-./0

公斤%已知在计划期内可供材料分别为12

公斤$

32

公斤&每生

产一件甲$乙两种产品"企业可获得利润分别为322

元$

122

元"如表.4.

所示%假定市

场需求无限制"企业决策者应如何安排生产计划"使企业在计划期内总的利润收入最大%

表!#!

!

产品资源消耗

产品消耗

资源甲 乙 现有资源

材料+ , . 12

材料- . ./0 32

利润!元'件#

322 122

解!

这个生产计划问题可用数学语言来描述"即可以用数学模型表示%假设在计划期

内生产产品甲$乙的产量为待定未知数!

.

$

!

,

%

用"

表示利润"则有"5322!

.

6122!

,

"企业的目标是要使利润达到最大"用数学表

达式描述就是*%7"5322!

.

6122!

,

%材料消耗总量不得超过供应量"应有,!

.

6!

,

"

12

"

!

.

6./0!

,

"

32

%生产的产量不能小于零"用数学式子表示就是!

.

#

2

$

!

,

#

2

%因此这个

表!#$

!

所需营业员数统计表

星期 需要人数 星期 需要人数

一322

五182

二322

六922

三302

日002

四122

运!

筹!

学

问题的数学模型为可归纳为

*%7"

#

322!

.

$

122!

,

,!

.

$

!

,

"

12

!

.

$

.%0!

,

"

32

!

.

#

2

"

!

,

#

$

%

&

2

在上面的例题中!

&

称为决策变量"不等式组称为约束条件"函数"

称为目标函数"

随着讨论问题的要求不同"

"

可以是求最大值!如例.4.

#也可以是求最小值!如例.4,

#"因

为"

是!

&

的线性函数"

"

的最大值亦是极大值"最小值亦是极小值"所以有时也将*%7"

与*"#"

说成求"

的极大值与极小值%

线性规划的数学模型由决策变量$目标函数及约束条件构成"称为三个要素%

其特征是(

!

.

#解决问题的目标函数是多个决策变量的线性函数"求最大值或最小值&

!

,

#解决问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不等式或等式%

如果要求部分或全部变量是整数"则模型称为整数规划模型&如果目标函数或约束条

件是非线性的"则模型称为非线性规划模型%

由例.4.

知"一个生产计划问题可用线性规划模型来描述%若求出!

.

"

!

,

的值即最优

解"使目标函数达到最大值"就得到一种最

优生产计划方案%

!例!#$

"某超市决定(营业员每周连续

工作0

天后连续休息,

天"轮流休息%根据

统计"超市每天需要的营业员如表.4,

所示%

超市人力资源部应如何安排每天的上班人数"使超市总的营业员最少%

解!

设!

&

!

&

5.

"

,

")"

:

#为休息,

天后星期一到星期日开始上班的营业员数量"则

这个问题的线性规划模型为

*"#"

#

!

.

$

!

,

$

!

3

$

!

1

$

!

0

$

!

9

$

!

:

!

.

$

!

1

$

!

0

$

!

9

$

!

:

#

322

!

.

$

!

,

$

!

0

$

!

9

$

!

:

#

322

!

.

$

!

,

$

!

3

$

!

9

$

!

:

#

302

!

.

$

!

,

$

!

3

$

!

1

$

!

:

#

122

!

.

$

!

,

$

!

3

$

!

1

$

!

0

#

182

!

,

$

!

3

$

!

1

$

!

0

$

!

9

#

922

!

3

$

!

1

$

!

0

$

!

9

$

!

:

#

002

!

&

#

2

"

&

#

.

"

,

")"

$

%

&

:

像这类问题在实际中经常碰到"例如实验室工作人员和医院的医护人员值班问题"生

产过程中在制品库存问题"都可建立类似的线性规划模型%

!例!#%

"合理用料问题%某汽车需要用甲$乙$丙三种规格的轴各一根"这些轴的规

格分别是./0*

$

.*

$

2/:*

"这些轴需要用同一种圆钢来做"圆钢长度为1*

%现在要制

造.222

辆汽车"最少要用多少圆钢来生产这些轴*

解!

这是一个条材下料问题%为了计算简便"这里假定切割的切口宽度为零"在实际

应用中"应将切口宽度计算进去%求所用圆钢数量分两步计算"先求出在一根1*

长的圆

!

第!

章!

线 性 规 划

钢上切割三种规格的毛坯共有多少种切割方案"再在这些方案中选择最优或次优方案"即

建立线性规划数学模型%

第一步(设一根圆钢切割成甲$乙$丙三种轴的根数分别为'.

"

',

"

'3

"则切割方式

可用不等式./0

'.

6

',

62/:

'3

"

1

表示"求这个不等式关于'.

"

',

"

'3

的非负整数解并且

余料不超过2/:*

%例如'.

5.

"

',

5.

"则'3

为,

"余料为2/.

%像这样的非负整数解共

有.2

组"也就是有.2

种下料方式"如表.43

所示%

表!#%

!

下料方案

方案

规格#根$

! " # $ % & ' ( ) !*

需求量

'.

, , . . . 2 2 2 2 2 .222

',

. 2 , . 2 1 3 , . 2 .222

'3

2 . 2 , 3 2 . , 1 0 .222

余料!

*

#

2 2/3 2/0 2/. 2/1 2 2/3 2/9 2/, 2/0

第二步(建立线性规划数学模型%设!

&

!

&

5.

"

,

")"

.2

#为第&

种下料方案所用圆

钢的根数"则用料最少的数学模型为

*"#"

#

'

.2

&

#

.

!

&

,!

.

$

,!

,

$

!

3

$

!

1

$

!

0

#

.222

!

.

$!!

,!

3

$

!

1

$!!

1!

9

$

3!

:

$

,!

8

$

!

;

#

.222

!

!

,

$!

,!

1

$

3!

0

!

:

$

,!

8

$

1!

;

$

0!

.2

#

.222

!

&

#

2

"

&

#

.

"

,

")"

$

%

&

.2

注意%余料不能超过最短毛坯的长度&最好将毛坯长度按降序排列"即先切割长度最

长的毛坯"再切割次长的"最后切割最短的"不能遗漏了方案%在实际中"如果毛坯规格

较多"毛坯的长度又很短的方案可能很多"甚至有几千个方案"用人工编排方案几乎是不

可能的%解决这一问题可以编制一个计算机程序由计算机编排方案"给余料确定一个临界

值!

"当某方案的余料大于!

时马上舍去这种方案"从而减少占用计算机内存"也简化了

后面的数学模型"例如在表.43

中"去掉余料大于2/1

的方案"则剩下:

种方案"这时可

能得到的是次优方案%也可以将毛坯种类分成若干组来编排方案%

!例!#&

"配料问题%某钢铁公司生产一种合金"要求的成分规格是(锡不少于,8<

"

锌不多于.0<

"铅恰好.2<

"镍要界于30<

!

00<

之间"不允许有其他成分%钢铁公司

拟从五种不同级别的矿石中进行冶炼"每种矿物的成分含量和价格如表.41

所示%矿石杂

质在冶炼过程中废弃"求每吨合金成本最低的矿物数量%假设矿石在冶炼过程中金属含量

没有发生变化%

表!#&

!

矿石的金属含量

合金

矿石锡!

<

# 锌!

<

# 铅!

<

# 镍!

<

# 杂质!

<

# 费用!元'吨#

. ,0 .2 .2 ,0 32 312

, 12 2 2 32 32 ,92

3 2 .0 0 ,2 92 .82

1 ,2 ,2 2 12 ,2 ,32

0 8 0 .0 .: 00 .;2

"

运!

筹!

学

解!

设!

&

!

&

5.

"

,

")"

0

#是第&

种矿石数量"目标函数是总成本最低"得到下列线

性规划模型

*"#"

#

312!

.

$

,92!

,

$

.82!

3

$

,32!

1

$

.;2!

0

2/,0!

.

$

2/1!

,

$

2/,!

1

$

2/28!

0

#

2/,8

2/.!

.

$

2/.0!

3

$

2/,!

1

$

2/20!

0

"

2/.0

2/.!

.

$

2/20!

3

$

2/.0!

0

#

2/.

2/,0!

.

$

2/3!

,

$

2/,!

3

$

2/1!

1

$

2/.:!

0

"

2/00

2/,0!

.

$

2/3!

,

$

2/,!

3

$

2/1!

1

$

2/.:!

0

#

2/30

2/:!

.

$

2/:!

,

$

2/1!

3

$

2/8!

1

$

2/10!

0

#

.

!

&

#

2

"

&

#

.

"

,

")"

$

%

&

0

注意%矿石在实际冶炼时金属含量会发生变化"建模时应将这种变化考虑进去"有可能是

非线性关系%配料问题也称配方问题$营养问题或混合问题"在许多行业的生产中都能遇到%

!例!#'

"投资问题%某投资公司拟将0222

万元的资金用于国债$地方国债及基金三种类

型证券投资"每类各有两种%每种证券的评级$到期年限及每年税后收益率如表.40

所示%

表!#'

!

证券投资方案

序号 证券类型 评级 到期年限 每年税后收益率!

<

#

.

国债. . 8 3/,

,

国债, . .2 3/8

3

地方债券. , 1 1/3

1

地方债券, 3 9 1/:

0

基金. 1 3 1/,

9

基金, 0 1 1/9

决策者希望(国债投资额不少于.222

万元"平均到期年限不超过0

年"平均评级不

超过,

%问每种证券各投资多少使总收益最大%

解!

设!

&

!

&

5.

"

,

")"

9

#为第&

种证券的投资额"目标函数是税后总收益

"

#

!

8

(

3/,!

.

$

.2

(

3/8!

,

$

1

(

1/3!

3

$

9

(

1/:!

1

$

3

(

1/,!

0

$

1

(

1/9!

9

#'

.22

资金约束(

!

.

6!

,

6!

3

6!

1

6!

0

6!

9

"

0222

国债投资额约束(

!

.

6!

,

#

.222

平均评级约束(

!

.

$

!

,

$

,!

3

$

3!

1

$

1!

0

$

0!

9

!

.

$

!

,

$

!

3

$

!

1

$

!

0

$

!

9

"

,

平均到期年限约束(

8!

.

$

.2!

,

$

1!

3

$

9!

1

$

3!

0

$

1!

9

!

.

$

!

,

$

!

3

$

!

1

$

!

0

$

!

9

"

0

整理后得到线性规划模型

*%7"

#

2/,09!

.

$

2/38!

,

$

2/.:,!

3

$

2/,8,!

1

$

2/.,9!

0

$

2/.81!

9

!

.

$

!

,

$

!

3

$

!

1

$

!

0

$

!

9

"

0222

!

.

$

!

,

#

.222

)

!

.

)

!

,

$

!

1

$

,!

0

$

3!

9

"

2

3!

.

$

0!

,

)

!

3

$

!

1

)

,!

0

)

!

9

"

2

!

&

#

2

"

&

#

.

"

,

")"

$

%

&

9

!例!#(

"均衡配套生产问题%某产品由,

件甲零件和3

件乙零件组装而成%两种零件必

须在设备+

$

-

上加工"每件甲零件在+

$

-

上的加工时间分别为0

分钟和;

分钟"每件乙

零件在+

$

-

上的加工时间分别为1

分钟和.2

分钟%现有,

台设备+

和3

台设备-

"每天可

供加工时间为8

小时%为了保持两种设备均衡负荷生产"要求一种设备每天的加工总时间不

#

第!

章!

线 性 规 划

超过另一种设备总时间.

小时%怎样安排设备的加工时间使每天产品的产量最大%

解!

设!

.

$

!

,

为每天加工甲$乙两种零件的件数"则产品的产量是

'

#

*"#

.

,

!

.

"

.

3

!

! #

,

设备+

$

-

每天加工工时的约束为

0!

.

$

1!

,

"

,

(

8

(

92

;!

.

$

.2!

,

"

3

(

8

(

92

要求一种设备每台每天的加工时间不超过另一种设备.

小时的约束为

!

0!

.

$

1!

,

#

)

!

;!

.

$

.2!

,

#

"

92

约束线性化%将绝对值约束写成两个不等式

!

0!

.

$

1!

,

#

)

!

;!

.

$

.2!

,

#

"

92

)

!

0!

.

$

1!

,

#

$

!

;!

.

$

.2!

,

#

"

92

目标函数线性化%产品的产量'

等价于

'

"

.

,

!

.

"

'

"

.

3

!

,

整理得到线性规划模型

*%7"

#

'

'

"

.

,

!

.

'

"

.

3

!

,

0!

.

$

1!

,

"

;92

;!

.

$

.2!

,

"

.112

)

1!

.

)

9!

,

"

92

1!

.

$

9!

,

"

92

'

"

!

.

"

!

,

#

$

%

&

2

!"!"$

!

线性规划的一般模型一般地"假设线性规划数学模型中"有

*

个约束"有+

个决策变量!

&

!

&

5.

"

,

")"

+

#"目标函数的变量系数用,

&

表示"

,

&

称为价值系数%约束条件的变量系数用-

.

&

表示"

-

.

&

称为工艺系数%约束条件右端的常数用/

.

表示"

/

.

称为资源限量%则线性规划数学模型

的一般表达式可写成

*%7

!

*"#

"

"

#

,

.

!

.

$

,

,

!

,

$

#

$

,

+

!

+

-

..

!

.

$

-

.,

!

,

$

#

$

-

.+

!

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"

!或#

$

#

"

/

.

-

,.

!

.

$

-

,,

!

,

$

#

$

-

,+

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+

"

!或#

$

#

"

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,

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%

-

*.

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.

$

-

*,

!

,

$

#

$

-

*+

!

+

"

!或#

$

#

"

/

*

!

&

#

2

$

&

#

.

$

,

$#$

$

%

&

+

为了书写方便"上式也可写成

*%7

!

*"#

"

"

#

'

+

&

#

.

,

&

!

&

'

+

&

#

.

-

.

&

!

&

"

!或#

$

#

"

/

.

$

.

#

.

$

,

$#$

*

!

&

#

2

$

&

#

.

$

,

$#$

$

%

&

+

$

运!

筹!

学

在实际中一般!

&

#

2

"但有时!

&

"

2

或!

&

无符号限制%

!"$

!

图解法图解法是直接在平面直角坐标系中作图来解线性规划问题的一种方法%这种方法简单

直观"适合于求解两个变量的线性规划问题%

图解法的步骤(

!

.

#求可行解集合%分别求出满足每个约束包括变量非负要求的区域"其交集就是可

行解集合"或称为可行域%

!

,

#绘制目标函数图形%先过原点作一条矢量指向点!

,

.

"

,

,

#"矢量的方向就是目标函

数增加的方向"称为梯度方向"再作一条与矢量垂直的直线"这条直线就是目标函数图形%

!

3

#求最优解%依据目标函数求最大或最小值来移动目标函数直线"直线与可行域边

界相交的点对应的坐标就是最优解%

一般地"将目标函数直线放在可行域中"求最大值时直线沿着矢量方向移动"求最小

值时直线沿着矢量的反方向移动%

!例!#)

"用图解法求解例.4.

的最优解

*%7"

#

322!

.

$

122!

,

,!

.

$

!

,

"

12

!

.

$

./0!

,

"

32

!

.

#

2

"

!

,

#

$

%

&

2

解!

!

.

#求可行解集合%令两个约束条件为等式"得到两条直线"在第一象限画出满

足两个不等式的区域"其交集就是可行解集合或称可行域"如图.4.

所示%

!

,

#绘制目标函数图形%将目标函数的系数组成一个坐标点!

322

"

122

#"过原点0

作

一条矢量指向点!

322

"

122

#"矢量的长度不限"矢量的斜率保持1

比3

"再作一条与矢量

垂直的直线"这条直线就是目标函数图形"目标函数图形的位置任意"如果通过原点则目

标函数值"52

"如图.4,

所示%

图.4.

!

可行域!

图.4,

!

目标函数增加的方向

!

3

#求最优解%图.4,

的矢量方向是目标函数增加的方向或称梯度方向"在求最大值

时将目标函数图形沿梯度方向平行移动!求最小值时将目标函数图形沿梯度方向的反方向

%

第!

章!

线 性 规 划

平行移动#"直到可行域的边界"停止移动"其交点对应的坐标就是最优解"如图.43

所

示%最优解15

!

.0

"

.2

#"目标函数的最大值"58022

%

!例!#*

"求解线性规划

*"#"

#

!

.

$

,!

,

3!

.

$

!

,

#

9

!

.

$

!

,

#

1

!

.

$

3!

,

#

9

!

.

#

2

"

!

,

#

$

%

&

2

解!

线性规划可行域无界"如图.41

所示%图.40

显示了目标函数的梯度方向%将目

标函数的直线向可行域平行移动到2

点时目标函数值最小"如图.49

所示"最优解15

!

3

"

.

#"最优值"50

%

图.43

!

平行移动目标函数图形到可行域的边界!

图.41

!

例.48

线性规划可行域

图.40

!

例.48

目标函数的梯度方向!!

图.49

!

例.48

线性规划的最优解

!例!#+

"将例.48

的目标函数改为*"#"50!

.

60!

,

"约束条件不变"求最优解%

解!

可行域如图.41

不变"目标函数增加的方向为!

0

"

0

#"即斜率等于.

"目标函数

直线的斜率等于=.

"与直线!

.

6!

,

51

平行"如图.4:

所示%平行移动目标函数直线与可

行域相交于线段32

"则线段32

上任意点都是最优解"如图.48

所示"即最优解不唯一"

有无穷多个"称为多重解%最优解的通解可表示为

&

运!

筹!

学

1

#"

1

!

.

#

$

!

.

)"

#

1

!

,

#

"

2

"

"

"

.

当"

52/0

时(

15

!

!

.

"

!

,

#

52/0

!

.

"

3

#

62/0

!

3

"

.

#

5

!

,

"

,

#"最优值"5,2

%

图.4:

!

例.4;

目标函数的梯度方向!

图.48

!

例.4;

线性规划的最优解

!例!#!,

"将例.48

的目标函数改为*%7"5!

.

6,!

,

"约束条件不变"求最优解%

解!

可行域如图.41

不变"目标函数增加的方向与例.48

相同"如图.40

所示%

2

点是最小

值点"要达到最大值"目标函数直线在可行域中沿梯度方向继续平移直到无穷远"

!

.

"

!

,

及"

都趋于无穷大!无上界#"这种情形称为无界解"无界解也就是无最优解"如图.4;

所示%

!例!#!!

"求解下列线性规划

*%7"

#

.2!

.

$

!

,

,!

.

$

!

,

"

12

!

.

#

!

.

$

./0!

,

"

32

!

,

#

!

.

$

!

,

#

02

!

3

#

!

.

"

!

,

#

$

%

&

2

解!

约束条件!

.

#$!

,

#与约束!

3

#没有交点"不存在满足所有条件的解"说明线性规

划无可行解"无可行解也就没有最优解%如图.4.2

所示%

图.4;

!

例.4.2

线性规划无界解!

图.4.2

!

例.4..

线性规划无可行解

'

第!

章!

线 性 规 划

由以上例题可知"线性规划的解有四种形式(!

.

#有唯一最优解!例.4:

$例.48

#&!

,

#有

多重解!例.4;

#&!

3

#有无界解!例.4.2

#&!

1

#无可行解!例.4..

#%前两种情形为有最优解"

后两种情形为无最优解%

!"%

!

线性规划的标准型在用单纯法求解线性规划问题时"为了讨论问题方便"须将线性规划模型化为统一的

标准形式%

线性规划问题的标准型为(

!

.

#目标函数求最大值!也可以求最小值#&

!

,

#约束条件均为等式方程&

!

3

#变量!

&

为非负&

!

1

#常数/

.

都大于或等于零%

*%7

!

*"#

#

"

#

,

.

!

.

$

,

,

!

,

$

)

$

,

+

!

+

-

..

!

.

$

-

.,

!

,

$

)

$

-

.+

!

+

#

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.

-

,.

!

.

$

-

,,

!

,

$

)

$

-

,+

!

+

#

/

,

!!!! !!

+

-

*.

!

.

$

-

*,

!

,

$

)

$

-

*+

!

+

#

/

*

!

&

#

2

"

&

#

.

"

,

")"

+

&

/

.

#

2

"

.

#

.

"

,

")"

$

%

&

*

或写成下列形式

*%7"

#

'

+

&

#

.

,

&

!

&

'

+

&

#

.

-

.

&

!

&

#

/

.

"

.

#

.

"

,

")"

*

!

&

#

2

"

&

#

.

"

,

")"

$

%

&

+

或用矩阵形式

*%7"

#

!"

#"

#

/

"

#

,

2

其中

#

#

-

..

-

.,

)

-

.+

-

,.

-

,,

)

-

,+

+ + +

-

*.

-

*,

)

-

(

)

*

+

*+

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"

#

!

.

!

,

+

!

(

)

*

+

+

&

$

#

/

.

/

,

+

/

(

)

*

+

*

&

!

#

!

,

.

"

,

,

")"

,

+

#

通常"

记为"5

!

!

.

"

!

,

")"

!

+

#

>

"有时也写成行向量的形式"5

!

!

.

"

!

,

")"

!

+

#%

称#

为约束方程的系数矩阵"

*

是约束方程的个数"

+

是决策变量的个数"一般情况*

"

+

"且#

的秩等于*

"记为4

!

#

#

5*

%

实际问题提出的线性规划模型不一定是标准形式"下面通过实例介绍化标准型的

方法%

(

运!

筹!

学

!例!#!$

"将下列线性规划化为标准型

*"#"

#)

!

.

$

!

,

)

3!

3

,!

.

$

!

,

$

!

3

"

8

!

.

$

!

,

$

!

3

#

3

)

3!

.

$

!

,

$

,!

3

"

)

0

!

.

#

2

$

!

,

#

2

$

!

3

$

%

&

无符号要求

解!

!

.

#因为!

3

无符号要求"即!

3

取正值也可取负值"标准型中要求变量非负"令

!

3

5!?

3

=!@

3

!

!?

3

"

!@

3

#

2

#%

!

,

#第一个约束条件是-

"

.号"在-

"

.号左端加入松弛变量!

1

!

!

1

#

2

#化为等式%

!

3

#第二个约束条件是-

#

.号"在-

#

.号左端减去剩余变量!也称松弛变量#

!

0

!

!

0

#

2

#%

!

1

#第三个约束条件是-

"

.号且常数项为负数"因此在-

"

.号左边加入松弛变量!

9

!

!

9

#

2

#"同时两边乘以=.

%

!

0

#目标函数是最小值"为了化为求最大值"令"?5="

"得到*%7"?5="

"即当"

达到最小值时"?

达到最大值"反之亦然%

综合起来得到下列标准型

*%7"?

#

!

.

)

!

,

$

3!?

3

)

3!@

3

,!

.

$

!

,

$

!?

3

)

!@

3

$

!

1

#

8

!

.

$

!

,

$

!?

3

)

!@

3

)

!

0

#

3

3!

.

)

!

,

)

,!?

3

$

,!@

3

)

!

9

#

0

!

.

"

!

,

"

!?

3

"

!@

3

"

!

1

"

!

0

"

!

9

#

$

%

&

2

当某个变量!

&

"

2

时"令!?

&

5=!

&

%当某个约束是绝对值不等式时"将绝对值不等式

化为两个不等式"再化为等式%例如约束

1!

.

)

!

,

$

:!

3

"

;

将其化为两个不等式

1!

.

)

!

,

$

:!

3

"

;

)

1!

.

$

!

,

)

:!

3

"

,

;

再加入松弛变量化为等式%

!例!#!%

"将下列规划化为线性规划的标准型

*%7"

#)

!

.

)

!

,

!

.

$

!

,

#

0

!

.

"

1

!

.

$

!

,

$

%

&

无约束

解!

此题关键是将目标函数中的绝对值去掉%

令!?

.

#

!

.

"

!

.

#

2

2

"

!

.

,

,

2

"

!!

!@

.

#

2

"

!

.

#

2

)

!

.

"

!

.

,

,

2

!?

,

#

!

,

"

!

,

#

2

2

"

!

,

,

,

2

!!

!@

,

#

2

"

!

,

#

2

)

!

,

"

!

,

,

,

2

则有

!

.

#

!?

.

$

!@

.

"

!

.

#

!?

.

)

!@

.

)*

第!

章!

线 性 规 划

!

,

#

!?

,

$

!@

,

"

!

,

#

!?

,

)

!@

,

得到线性规划的标准形式

*%7"

#)

!

!?

.

$

!@

.

#

)

!

!?

,

$

!@

,

#

!?

.

)

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.

$

!?

,

)

!@

,

)

!

3

#

0

!?

.

)

!@

.

$

!

1

#

1

!?

.

"

!@

.

"

!?

,

"

!@

,

"

!

3

"

!

1

#

$

%

&

2

对于-

"

!

"

/

!

-

"

/

均大于零#的有界变量化为标准形式有两种方法"一种方法是增加

两个约束!

#

-

及!

"

/

"另一种方法是令!?5!=-

"则-

"

!

"

/

等价于2

"

!?

"

/=-

"增

加一个约束!?

"

/=-

并且将原问题所有!

用!5!?6-

替换%

!"&

!

线性规划的有关概念

设线性规划的标准型

!

*%7"

#

!"

!

.4.

#

#"

#

/

"

#

,

2

!

.4,

#

!

.43

#

式中#

是*A+

矩阵"

*

"

+

并且4

!

#

#

5*

"显然#

中至少有一个*A*

子矩阵%

"

使得4

!

%

#

5*

%

!

.

#基!

#

中*A*

子矩阵%

满足4

!

%

#

5*

"则称%

是线性规划的一个基!或基矩

阵#%当*5+

时"基矩阵唯一"当*

,

+

时"基矩阵就可能有多个"但数目不超过5

*

+

%

!例!#!&

"已知线性规划

*%7"

#

1!

.

)

,!

,

)

!

3

0!

.

$

!

,

)

!

3

$

!

1

#

3

)

.2!

.

$

9!

,

$

,!

3

$

!

0

#

,

!

&

#

2

"

&

#

.

")"

$

%

&

0

求所有基矩阵%

解!

约束方程的系数矩阵为,A0

矩阵

#

#

0 .

)

. . 2

)

/ 0

.2 9 , 2 .

容易看出4

!

#

#

5,

"

,

阶子矩阵有5

,

0

5.2

个"其中第.

列与第3

列构成的,

阶矩阵不

是一个基"基矩阵只有;

个"即

%

.

#

0 .

)

/ 0

.2 9

"

%

,

#

0 .

)

/ 0

.2 2

"

%

3

#

0 2

)

/ 0

.2 .

"

%

1

#

.

)

.

/ 0

9 ,

%

0

#

. .

/ 0

9 2

"

%

9

#

. 2

/ 0

9 .

"

%

:

#

)

. .

/ 0

, 2

"

%

8

#

)

. 2

/ 0

, .

"

%

;

#

. 2

/ 0

2 .

由线性代数知"基矩阵%

必为非奇异矩阵"即%

-

2

%当矩阵%

的行列式等于零时

就不是基%

!

,

#基向量&非基向量&基变量&非基变量!

当确定某一子矩阵为基矩阵时"则基矩

))

运!

筹!

学

阵对应的列向量称为基向量"其余列向量称为非基向量"基向量对应的变量称为基变量"

非基向量对应的变量称为非基变量%在例.4.1

中2

,

的基向量是3

中的第一列和第四列"

其余列向量是非基向量"

!

.

"

!

1

是基变量"

!

,

"

!

3

"

!

0

是非基变量%基变量$非基变量

是针对某一确定基而言的"不同的基对应的基变量和非基变量也不同%

!

3

#可行解!

满足式!

.4,

#及式!

.43

#的解"5

!

!

.

"

!

,

")"

!

+

#

> 称为可行解%

例如"

"

#

2

"

2

"

.

,

"

:

,

"

! #

.

>

与"5

!

2

"

2

"

2

"

3

"

,

#

> 都是例.4.1

的可行解%

!

1

#最优解!

满足式!

.4.

#的可行解称为最优解"即使得目标函数达到最大值的可行解

就是最优解"例如可行解"5

3

0

"

2

"

2

"

2

"

! #

8

>

是例.4.1

的最优解%

!

0

#基本解!

对某一确定的基2

"令非基变量等于零"利用式!

.4,

#解出基变量"则这

组解称为基2

的基本解%

!

9

#基本可行解!

若基本解是可行解则称为是基本可行解!也称基可行解#%

显然"只要基本解中的基变量的解满足式!

.43

#的非负要求"那么这个基本解就是基

本可行解%

在例.4.1

中"对2

.

来说"

!

.

"

!

,

是基变量"

!

3

"

!

1

"

!

0

是非基变量"令!

3

5!

1

5

!

0

52

"则

0!

.

$

!

,

#

3

)

.2!

.

$

9!

,

#

$

%

&

,

因2

.

-

2

"由克莱姆法则知"

!

.

"

!

,

有唯一解!

.

5

,

0

"

!

,

5.

"则基本解为

"

!

.

#

#

,

0

"

.

"

2

"

2

"

! #

2

>

对2

,

来说"

!

.

"

!

1

为基变量"令非基变量!

,

"

!

3

"

!

0

为零"得到!

.

5=

.

0

"

!

1

51

"基

本解为

"

!

,

#

#

)

.

0

"

2

"

2

"

1

"

! #

2

>

由于1

!

.

#

#

2

是基本解"从而它是基本可行解"在"

!

,

#中!

.

,

2

"因此"

!

,

#不是可行

解"也就 不 是 基 本 可 行 解%反 之"可 行 解 不 一 定 是 基 本 可 行 解"例 如"

#

2

"

2

"

.

,

"

:

,

"

! #

.

>

满足式!

.4,

#和式!

.43

#"但不是任何基矩阵的基本解%

!

:

#基本最优解!

最优解是基本解称为基本最优解%例如"

#

3

0

"

2

"

2

"

2

"

! #

8

>

满足

式!

.4.

#

!

式!

.43

#是最优解"又是2

3

的基本解"因此它是基本最优解%

!

8

#可行基与最优基!

基可行解对应的基称为可行基"基本最优解对应的基称为最优

图.4..

!

线性规划解的关系

基"如上述2

3

就是最优基"最优基也是可行基%

当最优解唯一时"最优解也是基本最优

解%当最优解不唯一时"则最优解不一定是基

本最优解%基本最优解$最优解$基本可行

解$基本解$可行解的关系如图.4..

所示%

)!

第!

章!

线 性 规 划

注意%图.4..

中"箭尾的解一定是箭头的解"否则不一定成立%例如"基本最优解

是基本可行解也是基本解"基本解不一定是基本可行解也不一定是可行解等%

!

;

#凸集!

设6

是+

维空间的一个点集"对任意两点1

!

.

#

"

1

!

,

#

.

6

"当15

"

1

!

.

#

6

!

.=

"

#

1

!

,

#

.

6

!

2

"""

.

#时"则称6

为凸集%

15

"

1

!

.

#

6

!

.=

"

#

1

!

,

#就是以1

!

.

#

"

1

!

,

#为端点的线段方程"点1

的位置由"

的值确

定"当"

52

时"

151

!

,

#

&当"

5.

时151

!

.

#

%

!

.2

#凸组合!

设1

"

1

!

.

#

"

1

!

,

#

")"

1

!

6

#是7

+ 中的点"若存在#

.

"

#

,

")"

#

6

"且

#

.

#

2

及'

6

.

#

.

#

.

#

.

"使得1

#

'

6

.

#

.

#

.

1

.

成立"则称1

为1

!

.

#

"

1

!

,

#

")"

1

!

6

#的凸组合%

!

..

#极点!

设6

是凸集"

1

.

6

"若1

不能用6

中两个不同的点1

!

.

#

"

1

!

,

#的凸组

合表示为

1

#"

1

!

.

#

$

!

.

)"

#

1

!

,

#

!

!

2

,

"

,

.

#

则称1

是6

的一个极点或顶点%

B

是凸集6

的极点即1

不可能是6

中某一线段的内点"只能是6

中某一线段的

端点%

!

.,

#线性规划的基本定理

!定理!"!

"若线性规划可行解6

非空"则6

是凸集%

!定理!"$

"线性规划的可行解集合6

的点1

是极点的充要条件为1

是基本可行解%

!定理!"%

"若线性规划有最优解"则最优解一定可以在可行解集合的某个极点上

得到%

定理./.

描述了可行解集的特征%

定理./,

描述了可行解集的极点与基本可行解的对应关系"极点是基本可行解&反

之"基本可行解在极点上"但它们并非一一对应"可能有两个或几个基本可行解对应于同

一极点!退化基本可行解时#"见例.4,9

%

定理./3

描述了最优解在可行解集中的位置"若最优解唯一"则最优解只能在某一极

点上达到&若具有多重最优解"则最优解是某些极点的凸组合"从而最优解是可行解集的

极点或界点"不可能是可行解集的内点%

若线性规划的可行解集非空且有界"则一定有最优解&若可行解集无界"则线性规划

可能有最优解"也可能没有最优解%若线性规划具有无界解"则可行域一定无界%

定理./,

及定理./3

还给了我们一个启示"求最优解不是在无限个可行解中去找"而

是在有限个基本可行解中去求得%用枚举法求出所有基本可行解"再代入目标函数得到最

优解%这种枚举法求最优解必须以线性规划存在最优解为前提"否则会得到错误的结果"

如下例

*%7"

#

,!

.

$

3!

,

$

1!

3

$

:!

1

,!

.

$

3!

,

)

!

3

)

1!

1

#

8

)

!

.

$

,!

,

)

9!

3

$

:!

1

#

3

!

&

#

2

"

&

#

.

"

,

"

3

"

$

%

&

1

基矩阵有9

个"对应有9

个基本解

"

!

.

#

#

!

.

"

,

"

2

"

2

#

>

"

"

!

,

#

#

!

10

'

.3

"

2

"

)

.1

'

.3

"

2

#

>

"

"

!

3

#

#

!

31

'

0

"

2

"

2

"

:

'

0

#

>

"

"

!

1

#

#

!

2

"

10

'

.9

"

:

'

.9

"

2

#

>

"

"

!

0

#

#

!

2

"

98

'

,;

"

2

"

)

:

'

,;

#

>

"

"

!

9

#

#

!

2

"

2

"

)

98

'

3.

"

)

10

'

3.

#

>

)"

运!

筹!

学

3

个基本可行解

"

!

.

#

#

!

.

"

,

"

2

"

2

#

>

"

"

!

3

#

#

!

31

'

0

"

2

"

2

"

:

'

0

#

>

"

"

!

1

#

#

!

2

"

10

'

.9

"

:

'

.9

"

2

#

>

分别代入目标函数得到"

!

3

#

5

!

31

'

0

"

2

"

2

"

:

'

0

#

> 使"5,3/1

最大"但是此线性规划无

界解"即无最优解"因而"

!

3

#不是最优解%

!"'

!

单纯形法

!"'"!

!

普通单纯形法

单纯形计算方法!

C"*

D

E$7F$GH(I

#是先求出一个初始基本可行解并判断它是否最优"

若不是最优"再换一个基本可行解并判断"直到得出最优解或无最优解%这是一种逐步逼

近最优解的迭代方法%普通单纯形法是最基本最简单的一种方法"它假定标准型系数矩阵

3

中可以观察得到一个可行基!通常是一个单位矩阵或*

个线性无关的单位向量组成的矩

阵#"可以通过解线性方程组求得基本可行解%掌握好普通单纯形法"后面还将介绍大F

单纯形法$两阶段单纯形法及对偶单纯形法"这些方法统称为单纯形法%

!例!#!'

"用单纯形法求例.4.

线性规划的最优解

*%7"

#

322!

.

$

122!

,

,!

.

$

!

,

"

12

!

.

$

./0!

,

"

32

!

.

"

!

,

#

$

%

&

2

解!

化为标准型"加入松弛变量!

3

"

!

1

"则标准型为

*%7"

#

322!

.

$

122!

,

,!

.

$

!

,

$

!

3

#

12

!

.

$

./0!

,

$

!

1

#

32

!

.

"

!

,

"

!

3

"

!

1

#

$

%

&

2

系数矩阵

#

#

, . . 2

/ 0

. ./0 2 .

显然+

中第3

列和第1

列组成,

阶单位矩阵"记为%

.

5

. 2

/ 0

2 .

"

4

!

%

.

#

5,

%

2

.

是

一个初始基"

!

3

"

!

1

为基变量"

!

.

"

!

,

为非基变量"令!

.

52

"

!

,

52

由约束方程知!

3

5

12

$

!

1

532

得到初始基本可行解

"

!

.

#

#

!

2

"

2

"

12

"

32

#

>

以上得到的一组基本可行解是不是最优解"可以从目标函数中的系数看出%目标函数

"5322!

.

6122!

,

中!

.

的系数大于零"如果!

.

为一正数"则"

的值就会增加"同样若!

,

不

为零为一正数"也能使"

的值增加&因此只要目标函数中非基变量的系数大于零"那么目标

函数就没有达到最大值"即没有找到最优解%判别线性规划问题是否达到最优解的数称为检

验数"记作#

&

"

&

5.

"

,

")"

+

%本例中#

.

5322

"

#

,

5122

"

#

3

52

"

#

1

52

"参见表.49

!

%

#%

检验数!

目标函数用非基变量表示"其变量的系数为检验数%

最优解判断标准!

当所有检验数#

&

"

2

!

&

5.

"

,

")"

+

#时"基本可行解为最优解%

)#

第!

章!

线 性 规 划

当目标函数中有基变量!

.

时"利用约束条件将目标函数中的!

.

消去即可求出检验数%

如何通过观察得到第一个基本可行解并能判断是否为最优解"关键看模型是不是典则

形式!或典式#%

所谓典则形式是(!

.

#约束条件系数矩阵存在*

个不相关的单位向量&!

,

#目标函数中

不含有基变量%满足条件!

.

#时立即可以写出基本可行解"满足条件!

,

#时马上就可以得到

检验数%单纯形法的开始和后面的计算都是在做这两件工作%

本例中#

.

5322

/

2

"

#

,

5122

/

2

"从而1

!

.

#不是最优解"

2

.

不是最优基%需对这组解

进行改进"改进的方法是选一个#

8

/

2

的非基变量!

8

换成基变量"称为进基变量"同时选

一个能使所有变量非负的基变量!

9

换成非基变量"称为出基变量%

一般选#

8

5*%7

,

#

&

#

&

/

2

1对应的!

8

进基"本例中*%7

,

#

.

"

#

,

1

5

#

,

5122

"

!

,

为进基

变量"若选!

.

进基也可以"不影响计算结果%选最大的#

8

对应的!

8

进基有时会使目标函

数值上升得要快些%

由于!

,

进基"必须要从基变量!

3

"

!

1

中选一个换出作为非基变量"并且使得新的基

本解仍然可行%由约束条件

,!

.

$

!

,

$

!

3

#

12

!

.

$

./0!

,

$

!

1

#

32

!

&

#

2

"

&

#

.

")"

$

%

&

1

知"当!

.

52

时"为使!

3

#

2

"有!

,

"

12

"为使!

1

#

2

有!

,

"

,2

"即!

,

的上限值分别是

常数!

/

.

"

/

,

#与!

,

的系数!

-

.,

"

-

,,

#的比值12

.

和32

3

'

,

"显然只有!

,

"

,2

时!

3

"

!

1

#

2

"又

因为非基变量等于零"所以!

,

5,2

"

!

1

52

"即!

1

为出基变量%用线性方程组的消元法

!初等行变换#"将基变量!

,

"

!

3

解出得到

1

3

!

.

$

!

3

)

,

3

!

1

#

,2

,

3

!

.

$

!

,

$

,

3

!

1

#

$

%

&

,2

令!

.

52

"

!

1

52

"则有!

,

5,2

"

!

3

5,2

"基本可行解为

"

!

,

#

#

!

2

"

,2

"

,2

"

2

#

>

"

!

,

#是不是最优解"仍要看检验数的符号%由 ,

3

!

.

$

!

,

$

,

3

!

1

#

,2

得!

,

#

,2

)

,

3

!

.

)

,

3

!

1

"代入"

#

322!

.

$

122!

,

"得到典式

"

#

322!

.

$

122

,2

)

,

3

!

.

)

,

3

!

! #

1

#

8222

$

.22

3

!

.

)

822

3

!

1

1

3

!

.

$

!

3

)

,

3

!

1

#

,2

,

3

!

.

$

!

,

$

,

3

!

1

#

$

%

&

,2

"

中全部都是非基变量"从而#

.

5

.22

3

"

#

,

52

"

#

3

52

"

#

1

5=

822

3

"又因为#

.

/

2

"所以

"

!

,

#不是最优解"还需继续迭代!参见表.49

!

J

##%迭代方法与上面相同"

!

.

为进基变量"

!

1

仍为非基变量"选出基变量用最小比值规则"即常数向量与进基变量的系数列向量的

)$

运!

筹!

学

正数求比值"最小的比值对应行的变量出基%本例$

.

#

*"#

,2

1

'

3

"

,2

,

'

, 1

3

#

.0

"第一行的比

值最小"

!

3

为出基变量"从而!

.

"

!

,

为基变量"

!

3

"

!

1

为非基变量"将!

.

"

!

,

的系数

矩阵用初等变换的方法化为单位阵!或消元法解出!

.

"

!

,

#"即将第一行!

.

的系数 1

3

化为

.

"第二行!

.

的系数 ,

3

化为零"得到

!

.

$

3

1

!

3

)

.

,

!

1

#

.0

!

,

)

.

,

!

3

$

!

1

#

$

%

&

.2

令非基变量!

3

52

"

!

1

52

"得到!

.

5.0

"

!

,

5.2

"基本可行解为

"

!

3

#

#

!

.0

"

.2

"

2

"

2

#

>

下面判断1

!

3

#是否为最优解%在"

#

8222

$

.22

3

!

.

)

822

3

!

1

中!

.

是基变量"由!

.

$

3

1

!

3

)

.

,

!

1

#

.0

知!

.

#

.0

)

3

1

!

3

$

.

,

!

1

"将其代入"

的函数中"得到典式

"

#

8222

$

.22

3

.0

)

3

1

!

3

$

.

,

!

! #

1

)

822

3

!

1

#

8022

)

,0!

3

)

,02!

1

!

.

$

3

1

!

3

)

.

,

!

1

#

.0

!

,

)

.

,

!

3

$

!

1

#

$

%

&

.2

由上式知#

.

52

"

#

,

52

"

#

3

5=,0

"

#

1

5=,02

"所有检验数非正!见表.49

!

K

##%由"5

8022=,0!

3

=,02!

1

可知"只有当!

3

52

"

!

1

52

时"58022

是最大值"因而1

!

3

#

5

!

.0

"

.2

"

2

"

2

#

> 是最优解"最优值"58022

%

上述全过程计算方法就是单纯形法"用列表的方法计算更为简洁"这种表格称为单纯

形表"如表.49

所示%

表!#(

!

单纯形表

!

%

#

1

2

!

.

!

,

!

3

!

1

/

$

.

!

3

, . . 2 12 12

!

1

.

/

3

'

,

0

2 . 32

0

,2

#

&

322 122

1

2 2 2

!

J

#

!

3

/

1

'

3

0

2 . =,

'

3 ,2

0

.0

!

,

,

'

3 . 2 ,

'

3 ,2 32

#

&

.22

'

3

1

2 2 =822

'

3 =8222

!

K

#

!

.

. 2 3

'

1 =.

'

, .0

!

,

2 . =.

'

, . .2

#

&

2 2 =,0 =,02 =8022

)%

第!

章!

线 性 规 划

表.49

计算说明(

!

.

#

"

%

是基变量列向量"如表.49

!

%

#中"

%

#

!

3

!

/ 0

1

%

!

,

#-

1

.表示进基符号"对应列称为进基列"-

0

.表示出基符号"对应的行称为出基

行&/0号内的元素称为主元素或枢轴元素"它是进基列与出基行交叉的元素%

!

3

#从某一张表到下张表的迭代过程中"以主元素-

:6

为中心"将-

:6

化为.

"

-

:6

所在

列的其他元素化为零"得到新的基本可行解%由一个基本可行解换成另一基本可行解的过

程就是换基过程"如表.49

!

%

#中可行基为2

.

#

. 2

/ 0

2 .

"表.49

!

J

#中的可行基为2

,

#

!

;

3

"

;

,

#

#

. .

2 3

'

/ 0

,

"表.49

!

K

#中的可行基为2

3

#

!

;

.

"

;

,

#

#

, .

. 3

'

/ 0

,

"每张表的可

行基可由"

%

中变量顺序确定"如表.49

!

J

#中"

%

5

!

!

3

"

!

,

#

>

"则在系数矩阵#

中的第3

列与第,

列组成的矩阵即为可行基2

,

%

!

1

#将目标函数写成322!

.

6122!

,

="52

的形式"则检验数行的常数项就是目标函

数的相反数"如表.<9

!

,

#中="5=8022

"即"58022

%

!

0

#在选进基变量时"一般选#

6

较大者对应的变量进基%不遵循这一原则仍然有效"

如表.<9

!

-

#中"

#

.

"

#

,

/

2

"若选!

.

进基同样可以%

!

9

#选出基变量时必须遵循最小比值规则"这一规则是能保证从一个可行基换成另一

可行基%求比值时"进基列的元素必须大于零"即比值的分母大于零"小于或等于零没有

比值!比值为无穷大#%出基变量选错时"下一个基必不可行"若有两个以上相同最小的比

值"任选一个最小比值对应的基变量出基"这时下一基本可行解中存在为零的基变量"称

为退化基本可行解!见例.4,9

#%

!

:

#例.4.0

中的目标函数是求最大值"当#

&

"

2

!

&

5.

"

,

")"

+

#时达到最优解"用

例.4.0

的分析方法可得到结论(当目标函数求最小值并且#

&

#

2

!

&

5.

"

,

")"

+

#时得到

最优解!见例.4.:

#%

!

8

#当某个进基列的系数全部非正"即-

.8

"

2

!

.5.

"

,

")"

*

#时没有比值"或者说

最小比值失效"则原线性规划具有无界解!参看例.4.8

#"无界解也是无最优解%

进基列系数-

.8

"

2

说明进基变量在第.

个约束中无上限"取任意值都能保证其他变量

非负%

!

;

#表.49

每一张表对应的模型都是典式"从一个可行基换到另一个可行基后"接下

来的任务就是从当前的典式变换到另一个典式%

单纯形法的计算步骤!

设线性规划的标准型为

*%7"

#

!"

#"

#

/

"

#

,

2

!

.

#求初始基本可行解(将模型变换成典式列出初始单纯形表"求出检验数%其中基

变量的检验数必为零%

!

,

#判断(

.

#若#

&

"

2

!

&

5.

"

,

")"

+

#得到最优解"求最小值时#

&

#

2

得到最优解%

,

#某个#

8

/

2

且-

.8

"

2

!

.5.

"

,

")"

*

#则线性规划具有无界解%

)&

运!

筹!

学

3

#若存在#

8

/

2

且-

.8

!

.5.

"

,

")"

*

#不全非正"则进行换基%

!

3

#换基(

.

#选进基变量%设#

8

#

*%7

#

&

#

&

/

, 1

2

"选8

列的变量!

8

为进基变量%

,

#选出基变量%求最小比值

$

:

#

*"#

.

/

.

-

.8

-

.8

/

, 1

2

第:

行的比值最小"选:

行对应的基变量为出基变量"若有相同最小比值"则任选一

个%

-

:8

为主元素%

3

#求新的基本可行解!化为典式#%用初等行变换方法将-

:8

化为.

"

8

列其他元素化为

零!包括检验数行#得到新的可行基及基本可行解"再判断是否得到最优解%

若标准型的系数矩阵3

中存在一个*

阶单位矩阵或*

个线性无关的单位向量"则将

这个*

阶方阵作为初始基"马上可以得到初始基可行解"如果不存在*

阶单位矩阵则要

通过观察或试算寻找可行基"一般采用下面将要介绍的大F

或两阶段单纯形法%

!例!#!(

"用单纯形法求解

*%7"

#

!

.

$

,!

,

$

!

3

,!

.

)

3!

,

$

,!

3

"

.0

.

3

!

.

$

!

,

$

0!

3

"

,2

!

.

"

!

,

"

!

3

#

$

%

&

2

解!

将数学模型化为标准形式

*%7"

#

!

.

$

,!

,

$

!

3

,!

.

)

3!

,

$

,!

3

$

!

1

#

.0

.

3

!

.

$

!

,

$

0!

3

$

!

0

#

,2

!

&

#

2

"

&

#

.

"

,

")"

$

%

&

0

不难看出!

1

"

!

0

可作为初始基变量"单纯形法计算结果如表.4:

所示%表的上方增加

一行"填写目标函数的系数"表的左边增加了一列"填写第二列基变量对应的目标函数的

系数"目的是用来求检验数!见例.4,2

#%因为#

&

"

2

!

&

5.

"

,

")"

0

#"得到最优解

"

#

,0

"

30

3

"

2

"

2

"

! #

2

>

"

*%7"

#

,0

$

,

(

30

3

#

.10

3

表!

!#)

!

&

! " ! * *

!

%

"

%

'

!

'

"

'

#

'

$

'

%

$

!

2

!

1

, =3 , . 2 .0

2

2

!

0

.

'

3

/

.

0

0 2 . ,2

0

,2

#

&

. ,

1

. 2 2 2

2

!

1

/

3

0

2 .: . 3 :0

0

,0

,

!

,

.

'

3 . 0 2 . ,2 92

#

&

.

'

3

1

2 =; 2 =, =12

.

!

.

. 2 .:

'

3 .

'

3 . ,0

,

!

,

2 . ,8

'

; =.

'

; ,

'

3 30

'

3

#

&

2 2 =;8

'

; =.

'

; =:

'

3 =.10

'

3

)'

第!

章!

线 性 规 划

!例!#!)

"用单纯形法求解

*"#"

#

,!

.

)

,!

,

)

!

1

!

.

$

!

,

$

!

3

#

0

)

!

.

$

!

,

$

!

1

#

9

9!

.

$

,!

,

$

!

0

#

,.

!

&

#

2

"

&

#

.

"

,

")"

$

%

&

0

解!

这是一个极小化的线性规划问题"可以将其化为极大化问题求解"也可以直接求

解"这时判断标准是(

#

&

#

2

!

&

5.

"

,

")"

+

#时得到最优解%

容易观察到"系数矩阵中有一个3

阶单位矩阵"

!

3

"

!

1

"

!

0

为基变量%目标函数中含

有基变量!

1

"由第二个约束得到!

1

596!

.

=!

,

"并代入目标函数消去!

1

得

"

#

,!

.

)

,!

,

)

!

9

$

!

.

)

!

,

#

#)

9

$

!

.

)

!

,

单纯形法计算如表.48

所示%表中#

&

#

2

!

&

5.

"

,

")"

0

#"所以最优解为15

!

2

"

0

"

2

"

.

"

..

#

>

"最优值"5,!

.

=,!

,

=!

1

5=,A0=.5=..

%

表!

!#*

"

%

'

!

'

"

'

#

'

$

'

%

$

!

!

3

.

/

.

0

. 2 2 0

0

0

!

1

=. . 2 . 2 9 9

!

0

9 , 2 2 . ,. ,.

'

,

#

&

. =.

1

2 2 2 9

!

,

. . . 2 2 0

!

1

=, 2 =. . 2 .

!

0

1 2 =, 2 . ..

#

&

, 2 . 2 2 ..

注意%求极小值问题时"注意判断标准"选进基变量时应选#

&

,

2

的变量进基%

!例!#!*

"求解线性规划

*%7"

#)

!

.

$

!

,

3!

.

)

,!

,

"

.

)

,!

.

$

!

,

#

)

1

!

.

"

!

,

#

$

%

&

2

解!

化为标准型

*%7"

#)

!

.

$

!

,

3!

.

)

,!

,

$

!

3

#

.

,!

.

)

!

,

$

!

1

#

1

!

&

#

2

"

&

#

.

"

,

"

3

"

$

%

&

1

初始单纯形表如表.4;

所示%

表!

!#+

"

%

'

!

'

"

'

#

'

$

$

!

3

3 =, . 2 .

!

1

, =. 2 . 1

#

&

=. . 2 2 2

)(

运!

筹!

学

#

,

5.

/

2

"

!

,

进基"而-

.,

,

2

"

-

,,

,

2

"没有比值"说明只要!

,

#

2

就能保证!

3

"

!

1

非负"即当固定!

.

使!

,

0

6

L

时"

0

6

L

且满足约束条件"因而原问题具有无界解%还

可以用图解法看出问题具有无界解%

!例!#!+

"求解线性规划

*%7"

#

,!

.

$

1!

,

)

!

.

$

,!

,

"

1

!

.

$

,!

,

"

.2

!

.

)

!

,

"

,

!

.

"

!

,

#

$

%

&

2

解!

化为标准型后用单纯形法计算"如表.4.2

所示%

表!

!#!,

"

%

'

!

'

"

'

#

'

$

'

%

$

!

!

3

=.

/

,

0

. 2 2 1

0

,

!

.

#

!

1

. , 2 . 2 .2 0

!

0

. =. 2 2 . ,

2

#

&

, 1

1

2 2 2 2

!

,

=.

'

, . .

'

, 2 2 ,

2

!

,

#

!

1

/

,

0

2 =. . 2 9

0

3

!

0

.

'

, 2 .

'

, 2 . 1 8

#

&

!

1

1

2 =, 2 2 =8

!

,

2 . .

'

1 .

'

1 2 :

'

, .1

!

3

#

!

.

. 2 =.

'

, .

'

, 2 3

2

!

0

2 2

/

3

'

1

0

=.

'

1 . 0

'

,

0

.2

'

3

#

&

2 2 2

1

=, 2 =,2

!

,

2 . 2 .

'

3 =.

'

3 8

'

3

!

1

#

!

.

. 2 2 .

'

3 ,

'

3 .1

'

3

!

3

2 2 . =.

'

3 1

'

3 .2

'

3

#

&

2 2 2 =, 2 =,2

表.4.2

!

3

#中#

&

全部非正"则最优解为

"

!

.

#

#

3

"

:

,

"

2

"

2

"

! #

0

,

>

"

"

#

,2

表.4.2

!

3

#表明"非基变量!

3

的检验数#

3

52

"

!

3

若增加"目标函数值不变"即当!

3

进基时"

仍等于,2

%使!

3

进基"

!

0

出基继续迭代"得到表.4.2

!

1

#的另一基本最优解

"

!

,

#

#

.1

3

"

8

3

"

.2

3

"

2

"

! #

2

>

"

"

#

,2

"

!

.

#

"

"

!

,

#是线性规划的两个最优解"它的凸组合

"

#"

"

!

.

#

$

!

.

)"

#

"

!

,

#

!

!

2

"

"

"

.

#

仍是最优解"从而原线性规划有多重最优解%

唯一最优解的判断%最优表中所有非基变量的检验数非零"则线性规划具有唯一最优

解!例.4.0

及例.4.9

#%

!*

第!

章!

线 性 规 划

多重最优解的判断%最优表中存在非基变量的检验数为零"则线性规划具有多重最优

解!例.4.;

#%

无界解的判断%某个#

8

/

2

且-

.8

"

2

!

.5.

"

,

")"

*

#则线性规划具有无界解

!例.4.8

#%

!"'"$

!

大-

和两阶段单纯形法

前面讨论了在标准型中系数矩阵有单位矩阵"很容易确定一组基本可行解%在实际问

题中有些模型并不含有单位矩阵"为了得到一组基向量和初始基本可行解"在约束条件的

等式左端加一组虚拟变量"得到一组基变量%这种人为加的变量称为人工变量"构成的可

行基称为人工基%用大F

法或两阶段法求解"是一种用人工变量作桥梁的求解方法"也

称为人工变量法%

设线性规划的标准型为

*%7"

#

'

+

&

)

.

,

&

!

&

'

+

&

#

.

-

.

&

!

&

#

/

.

"

.

#

.

"

,

")"

*

!

&

#

2

"

&

#

.

"

,

")"

$

%

&

+

在每个约束等式的左边加上一个人工变量7

.

#

2

"得到

'

+

&

#

.

-

.

&

!

&

$

7

.

#

/

.

"

.

#

.

"

,

")"

*

则7

.

"

7

,

")"

7

*

可作为一组初始基变量"对应的系数矩阵为*

阶单位阵"是人工

基"从而令!

&

52

!

&

5.

"

,

")"

+

#得到一组初始基本可行解%人工变量是人为加入的"

与决策变量$松弛变量有本质的区别"若线性规划有最优解"人工变量必定为零"以保持

原约束条件不变%为了使人工变量为零"就要使人工变量从基变量中出基变为非基变量%

下面介绍大F

单纯形法和两阶段单纯形法%

!"

大-

单纯形法

大F

单纯形法的基本思想是(约束条件加入人工变量后"求极大值时"将目标函数

变为

*%7"

#

'

+

&

#

.

,

&

!

&

)

=

'

*

.

#

.

7

.

式中=

为任意大的正数"因而==7

.

为很小的负数"在迭代过程中"

"

要达到极大化"

7

.

就会迅速出基%求极小值时"将目标函数变为

*"#"

#

'

+

&

#

.

,

&

!

&

$

=

'

*

.

#

.

7

.

同理"在迭代过程中"

"

要达到极小化"

7

.

就会迅速出基%

注意%在迭代过程中"人工变量一旦出基后不会再进基"所以当某个人工变量7

8

出

基后"对应8

列的系数可以不再计算"以减少计算量%

当用大F

单纯形法计算得到最优解并且存在7

.

/

2

时"则表明原线性规划无可行解%

在加入人工变量时"应加入最少的人工变量数"不一定每个约束都加入人工变量"如

!)

运!

筹!

学

某约束是-

"

.约束"则加入松弛变量>

后"

>

可以作为一个基变量%

!例!#$,

"用大F

单纯形法求解下列线性规划

*%7"

#

3!

.

$

,!

,

)

!

3

)

1!

.

$

3!

,

$

!

3

#

1

!

.

)

!

,

$

,!

3

"

.2

)

,!

.

$

,!

,

)

!

3

#)

.

!

.

"

!

,

"

!

3

#

$

%

&

2

解!

首先将数学模型化为标准形式

*%7"

#

3!

.

$

,!

,

)

!

3

)

1!

.

$

3!

,

$

!

3

)

!

1

#

1

!

.

)

!

,

$

,!

3

$

!

0

#

.2

,!

.

)

,!

,

$

!

3

#

.

!

&

#

2

"

&

#

.

"

,

")"

$

%

&

0

式中!

1

"

!

0

为松弛变量"

!

0

可作为一个基变量"第一$三约束中分别加入人工变量!

9

"

!

:

"目标函数中加入==!

9

==!

:

一项"得到大F

单纯形法数学模型

*%7"

#

3!

.

$

,!

,

)

!

3

)

=!

9

)

=!

:

)

1!

.

$

3!

,

$

!

3

)

!

1

$

!

9

#

1

!

.

)

!

,

$

,!

3

$

!

0

#

.2

,!

.

)

,!

,

$

!

3

$

!

:

#

.

!

&

#

2

"

&

#

.

"

,

")"

$

%

&

:

再用前面介绍的单纯形法求解"见表.4..

所示%

表!

!#!!

!

&

# " +! * * +( +( $

5

2

1

2

!

.

!

,

!

3

!

1

!

0

!

9

!

:

==

!

9

=1 3 . =. 2 . 2 1

2

!

0

. =. , 2 . 2 2 .2

==

!

:

, =,

/

.

0

2 2 2 . .

0

#

&

3=,= ,6= =.6,=

1

== 2 2 2 0=

=(

!

9

=9

/

0

0

2 =. 2 . 3

0

2

!

0

=3 3 2 2 . 2 8

=.

!

3

, =, . 2 2 2 .

#

&

0=9= 0=

1

2 == 2 2 .63=

,

!

,

=9

'

0 . 2 =.

'

0 2 3

'

0

2

!

0

/

3

'

0

0

2 2 3

'

0 . 3.

'

0

0

=.

!

3

=,

'

0 2 . =,

'

0 2 ..

'

0

#

&

0

1

2 2 2 2 .

,

!

,

2 . 2 . , .3

3

!

.

. 2 2 . 0

'

3 3.

'

3

=.

!

3

2 2 . 2 ,

'

3 .;

'

3

#

&

2 2 2 =0 =,0

'

3 =.0,

'

3

!!

第!

章!

线 性 规 划

因为#

&

"

2

!

&

5.

"

,

")"

0

#"并且!

9

"

!

:

为非基变量"所以最优解为

1

#

3.

3

$

.3

$

.;

3

$

2

$

! #

2

>

$最优值"

#

.0,

3

在表.4..

中(

!

.

#初始表中的检验数有两种算法"第一种算法是利用第一$三约束将!

9

"

!

:

的表达

式代入目标函数消去!

9

和!

:

"得到用非基变量表达的目标函数"其系数就是检验数

!

9

#

1

$

1!

.

)

3!

,

)

!

3

$

!

1

!

:

#

.

)

,!

.

$

,!

,

)

!

,

3

"

#

3!

.

$

,!

,

)

!

3

)

=!

9

)

=!

:

#

3!

.

$

,!

,

)

!

3

)

=

!

1

$

1!

.

)

3!

,

)

!

3

$

!

1

#

)

=

!

.

)

,!

.

$

,!

,

)

!

3

#

#)

0=

$

!

3

)

,=

#

!

.

$

!

,

$

=

#

!

,

$

!

)

.

$

,=

#

!

3

)

=!

1

第二种算法是利用公式!见./0/3

#

#

&

#

,

&

)

'

.

,

.

-

.

&

计算"如!

.

的检验数是用,

.

53

减去5

2

列与!

.

列对应系数的乘积之和得到"即

#

.

#

,

.

)

5

2

;

.

#

3

)

!

)

=

"

2

"

)

=

#

)

(

)

*

+

1

.

,

#

3

)

!

)

=

#

(

!

)

1

#

$

2

(

.

$

!

)

=

#

(

/ 0

,

#

3

)

,=

!

,

#

=

是一个任意大的抽象的正数"不需要给出具体的数值"可以理解为它能大于给

定的任何一个确定数值%

!

3

#在第二张表中!

:

已出基"故没有计算第七列的数值"同理"第三$四张表中!

9

"

!

:

都已出基"故第六$七列没有计算%

!

1

#第三$四张表中的基变量没有人工变量!

9

"

!

:

"因而检验数中不含=

%

!

0

#可以看出"人工变量是帮助我们寻求原问题的可行基"第三张表就找到了原问题

的一组基变量!

,

"

!

0

"

!

3

"此时人工变量就可以从模型中退出"也说明原规划有可行解"

但不能肯定有最优解%

!例!#$!

"求解线性规划

*"#"

#

0!

.

)

8!

,

3!

.

$

!

,

"

9

!

.

)

,!

,

#

1

!

.

"

!

,

#

$

%

&

2

解!

加入松弛变量!

3

"

!

1

化为标准型

*"#"

#

0!

.

)

8!

,

3!

.

$

!

,

$

!

3

#

9

!

.

)

,!

,

)

!

1

#

1

!

&

#

2

"

&

#

.

"

,

"

3

"

$

%

&

1

在第二个方程中加入人工变量!

0

"目标函数中加上=!

0

一项"得到

!"

运!

筹!

学

*"#"

#

0!

.

)

8!

,

$

=!

0

3!

.

$

!

,

$

!

3

#

9

!

.

)

,!

,

)

!

1

$

!

0

#

1

!

&

#

2

"

&

#

.

"

,

")"

$

%

&

0

用单纯形法计算如表.4.,

所示%

表!

!#!$

!

&

% +( * * (

!

%

"

%

'

!

'

"

'

#

'

$

'

%

$

2 !

3

/

3

0

. . 2 2 9

0

=

!

0

. =, 2 =. . 1

#

&

0==

1

=86,= 2 = 2 =1=

0

!

.

. .

'

3 .

'

3 2 2 ,

=

!

0

2 =:

'

3 =.

'

3 =. . ,

#

&

2 =,;

'

36:

'

3= =0

'

36.

'

3= = 2 =.2=,=

表中#

&

#

2

!

&

5.

"

,

")"

0

#"从而得到最优解"5

!

,

"

2

"

2

"

2

"

,

#

>

"

"5.26,=

%

但最优解中含有人工变量!

0

-

2

说明这个解是伪最优解"是不可行的"因此原问题无可

行解%

$"

两阶段单纯形法

两阶段单纯形法与大F

单纯形法的目的类似"将人工变量从基变量中换出"以求出

原问题的初始基本可行解%将问题分成两个阶段求解"第一阶段的目标函数是

*"#?

#

'

*

.

#

.

7

.

约束条件是加入人工变量后的约束方程"当第一阶段的最优解中没有人工变量作基变量

时"得到原线性规划的一个基本可行解"第二阶段就以此为基础对原目标函数求最优解%当

第一阶段的最优值?

-

2

时"说明还有不为零的人工变量是基变量"则原问题无可行解%

!例!#$$

"用两阶段单纯形法求解例.4,2

的线性规划%

解!

标准型为

*%7"

#

3!

.

$

,!

,

)

!

3

)

1!

.

$

3!

,

$

!

3

)

!

1

#

1

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.

)

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,

$

,!

3

$

!

0

#

.2

,!

.

)

,!

,

$

!

3

#

.

!

&

#

2

"

&

#

.

"

,

")"

$

%

&

0

在第一$三约束方程中加入人工变量!

9

"

!

:

后"构造第一阶段问题

*"#?

#

!

9

$

!

:

)

1!

.

$

3!

,

$

!

3

)

!

1

$

!

9

#

1

!

.

)

!

,

$

,!

3

$

!

0

#

.2

,!

.

)

,!

,

$

!

3

$

!

:

#

.

!

&

#

2

"

&

#

.

"

,

")"

$

%

&

:

用单纯形法求解"得到第一阶段问题的计算表.4.3

%

!#

第!

章!

线 性 规 划

表!

!#!%

!

&

* * * * * ! !

!

%

"

%

'

!

'

"

'

#

'

$

'

%

'

&

'

'

$

. !

9

=1 3 . =. 2 . 2 1

2

!

0

. =. , 2 . 2 2 .2

.

!

:

, =,

/

.

0

2 2 2 . .

0

#

&

, =. =,

1

. 2 2 =0

.

!

9

=9

/

0

0

2 =. 2 . 3

0

2 !

0

=3 3 2 2 . 2 8

2

!

3

, =, . 2 2 2 .

#

&

9 =0

1

2 . 2 2 =3

2

!

,

=9

'

0 . 2 =.

'

0 2 3

'

0

2

!

0 !

3

'

0 2 2

!

3

'

0 . 3.

'

0

2

!

3

=,

'

0 2 . =,

'

0 2 ..

'

0

#

&

2 2 2 2 2 2

最优解为"

#

2

"

3

0

"

..

0

"

2

"

3.

! #

0

>

"最优值?52

%第一阶段最后一张最优表说明找到

了原问题的一组基可行解"将它作为初始基本可行解"求原问题的最优解即第二阶段问

题为

*%7"

#

3!

.

$

,!

,

)

!

3

)

9

0

!

.

$

!

,

)

.

0

!

1

#

3

0

3

0

!

.

$

3

0

!

1

$

!

0

#

3.

0

)

,

0

!

.

$

!

3

)

,

0

!

1

#

..

0

!

&

#

2

"

&

#

.

"

,

")"

$

%

&

0

用单纯形法计算得到表.4.1

%

表!

!#!&

!

&

# " +! * *

!

%

"

%

'

!

'

"

'

#

'

$

'

%

$

,

!

,

=9

'

0 . 2 =.

'

0 2 3

'

0

2

!

0

/

3

'

0

0

2 2 3

'

0 . 3.

'

0

0

=.

!

3

=,

'

0 2 . =,

'

0 2 ..

'

0

#

&

0

1

2 2 2 2 .

,

!

,

2 . 2 . , .3

3

!

.

. 2 2 . 0

'

3 3.

'

3

=.

!

3

2 2 . 2 ,

'

3 .;

'

3

#

&

2 2 2 =0 =,0

'

3 =.0,

'

3

检验数#

&

"

2

!

&

5.

"

,

")"

0

#"最优解为"

#

3.

3

"

.3

"

.;

3

"

2

"

! #

2

>

"最优值"5

.0,

3

%

不难看出"上面两种计算方法的每一步迭代的结果类似"最后结果相同%

!$

运!

筹!

学

在第二阶段计算时"初始表中的检验数不能引用第一阶段最优表的检验数"必须换成

原问题的检验数"用代入法或公式计算%

另外"即使第一阶段最优值?52

"只能说明原问题有可行解"第二阶段问题不一定

有最优解"即原问题可能无界%

!例!#$%

"用两阶段法求解例.4,.

的线性规划%

解!

例.4,.

的第一阶段问题为

*"#?

#

!

0

3!

.

$

!

,

$

!

3

#

9

!

.

)

,!

,

)

!

1

$

!

0

#

1

!

&

#

2

"

&

#

.

"

,

")"

$

%

&

0

用单纯形法计算如表.4.0

所示%

表!

!#!'

!

&

* * * * !

!

%

"

%

'

!

'

"

'

#

'

$

'

%

$

2

!

3

/

3

0

. . 2 2 9

0

.

!

0

. =, 2 =. . 1

#

&

=.

1

, 2 . 2 =1

2

!

.

. .

'

3 .

'

3 2 2 ,

.

!

0

2 =:

'

3 =.

'

3 =. . ,

#

&

2 :

'

3 .

'

3 . 2 =,

#

&

#

2

"得到第一阶段的最优解"5

!

,

"

2

"

2

"

2

"

,

#

>

"最优目标值?5,

-

2

"

!

0

仍

在基变量中"从而原问题无可行解%

无可行解的判断%

!

.

#大F

法求解时"最优解中含有不为零的人工变量"原问题无可行解%

!

,

#两阶段法计算时"当第一阶段的最优值?

-

2

时"原问题无可行解%

求解线性规划的方法很多"除了单纯形法外"还有MH%KH

N

"%#

算法$

M%*%&O%&

算法

及>(II

算法等"请参阅文献/

.

0%

!"'"%

!

有关单纯形法计算公式

设有线性规划

*%7"

#

!"

#"

#

/

"

#

,

2

其中#

*A+

且4

!

#

#

5*

"

"5

!

!

.

"

!

,

")"

!

+

#

>

"

!5

!

,

.

"

,

,

")"

,

+

#"

$5

!

/

.

"

/

,

")"

/

*

#

>

"

"

#

2

应理解为1

大于等于零向量"即!

&

#

2

!

&

5.

"

,

")"

+

#%

不妨假设#5

!

;

.

"

;

,

")"

;

+

#中前*

个列向量构成一个可行基"记为%5

!

;

.

"

;

,

")"

;

*

#%矩阵#

中后+=*

列构成的矩阵记为)5

!

;

*6.

"

;

*6,

")"

;

+

#"则#

可

以写成分块矩阵#5

!

2

"

@

#%对于基2

"基变量为1

2

5

!

!

.

"

!

,

")"

!

*

#

>

"非基变量

为1

@

5

!

!

*6.

"

!

*6,

")"

!

+

#

>

%

!%

表!

!#!(

1

2

1

@

/

1

2

2 @ /

5

2

5

@

2

表!

!#!)

1

2

1

@

/

1

2

A

2

=.

@ 2

=.

/

5

2

5

@

2

表!

!#!*

1

2

1

@

/

1

2

A

2

=.

@ 2

=.

/

#

2 5

@

=5

2

2

=.

@ =5

2

2

=.

/

第!

章!

线 性 规 划

则1

可表示成"

#

1

2

1

/ 0

@

"同理将5

写成分块矩阵!5

!

5

2

"

5

@

#"

5

2

5

!

,

.

"

,

,

")"

,

*

#"

5

@

5

!

5

*6.

"

5

*6,

")"

,

+

#"则#"5/

可写成

#"

#

!

2

"

@

#

1

2

1

/ 0

@

#

21

2

$

@1

@

#

/

因为4

!

%

#

5*

!或%

-

2

#所以2

=.存在"有

21

2

#

/

)

@1

@

1

2

#

2

)

.

!

/

)

@1

@

#

! #

2

)

.

/

)

2

)

.

@1

@

令非基变量1

@

52

"

1

2

52

=.

/

"由2

是可行基的假设"则得到基本可行解

"

#

!

2

)

.

/

"

2

#

>

消去目标函数中的基变量

"

#

!

5

2

"

5

@

#

1

2

1

/ 0

@

#

5

2

1

2

$

5

@

1

@

#

5

2

!

2

)

.

/

)

2

)

.

@1

@

#

$

5

@

1

@

#

5

2

2

)

.

/

$

!

5

@

)

5

2

2

)

.

@

#

1

@

式中"

5

2

2

=.

/

是"

的常数项"令1

@

52

时"

"

的值为

"

2

#

5

2

2

)

.

/

5

@

=5

2

2

=.

@

是非基变量1

@

的系数向量"亦是1

@

的检验数"记为

#

@

#

5

@

)

5

2

2

)

.

@

#

5

@

)

"

@

2

=.

@

是非基向量组成矩阵@

通过初等变换后的结果"记为

@

#

2

)

.

@

5

2

2

=.称为单纯形乘子"记为

"#

5

2

2

)

.

因而当已知一个线性规划的可行基2

时"先

求出2

=.再用上述矩阵运算公式可得到单纯

形法所要求的结果%

上述公式可用下面较简单的矩阵表格运

算得到"将目标函数写成5

2

1

2

65

@

1

@

=

"52

"约束条件写成21

2

6@1

@

5/

"用表

格表示为如表.4.9

所示%

为了求基本可行解"将表.4.9

中的基

矩阵2

化为A

!

A

为*

阶单位矩阵#"用2

=.

左乘表.4.9

中第二行"得到表.4.:

%

为了求检验数和目标值"将目标函数的

系数5

2

化为零"在表.<.:

第二行左乘

!

=5

2

#后加到第三行"得到表.4.8

%

表中!

=5

2

2

=.

/

#是目标值的相反数"

!&

运!

筹!

学

其他几个矩阵与前面推导的结果相同"上面是假定可行基在前*

列"事实上"可行基2

由矩阵3

中任意*

列组成时"上面的公式仍然有效"但计算时必须分清楚基向量与非基

向量"基变量与非基变量"不要混淆%现将这些常用公式综合如下(

1

2

#

2

)

.

/

@

#

2

)

.

@

#

@

#

5

@

)

5

2

2

)

.

@

"

2

#

5

2

1

2

#

5

2

2

)

.

/

"#

5

2

2

)

$

%

&

.

!

.41

#

!

.40

#

!

.49

#

!

.4:

#

!

.48

#

这里#

@

是+=*

个非基变量的检验数"是一个行向量"并且不包括基变量的检验数"

若要表示全体检验数"则应是#

55=5

2

2

=.

3

%

#

@

中第&

个分量的表达式为

#

&

#

,

&

)

5

2

2

)

.

;

&

#

,

&

)

5

2

@

&

#

,

&

)

'

*

.

#

.

,

.

-

.

&

#

,

&

)

"

&

式中"

;

&

为@

中1

&

的系数列向量&

@

&

为2

=.左乘;

&

后的结果"即@

&

#

2

)

.

;

&

&

-

.

&

是@

&

的第.

个分量%在具体应用时"基变量不一定是!

.

"

!

,

")"

!

*

"因此"

&

#

'

*

.

#

.

,

.

-

.

&

中,

.

不一定按,

.

到,

*

的顺序"下标的顺序应与基变量的下标一致"见例.4,2

%

!例!#$&

"以例.4.9

的线性规划为例"用公式计算有关结果%

*%7"

#

!

.

$

,!

,

$

!

3

,!

.

)

3!

,

$

,!

3

$

!

1

#

.0

.

3

!

.

$

!

,

$

0!

3

$

!

0

#

,2

!

&

#

2

"

&

#

.

"

,

")"

$

%

&

0

已知可行基

%

.

#

,

)

3

.

3

(

)

*

+

.

!

.

#求单纯形乘子"

%

!

,

#求基可行解及目标值%

!

3

#求#

3

%

!

1

#

2

.

是不是最优基"为什么*

!

0

#当可行基2

,

#

.

)

3

/ 0

2 .

时"求#

.

及#

3

%

解!

!

.

#

2

.

由3

中第一列$第二列组成"

!

.

"

!

,

为基变量"

!

3

"

!

1

"

!

0

为非基变

量"有关矩阵为

5

2

5

!

,

.

"

,

,

#

5

!

.

"

,

#"

5

@

5

!

,

3

"

,

1

"

,

0

#

5

!

.

"

2

"

2

#

%

)

.

.

#

.

3

.

)

.

;

(

)

*

+

,

3

!'

第!

章!

线 性 规 划

故单纯形乘子

"#

5

2

2

)

.

.

#

!

.

"

,

#

.

3

.

)

.

;

(

)

*

+

,

3

#

.

;

"

! #

:

3

!

,

#基变量的解为

"

%

#

!

.

!

/ 0

,

#

2

)

.

/

#

.

3

.

)

.

;

(

)

*

+

,

3

.0

/ 0

,2

#

,0

30

(

)

*

+

3

基本可行解为"

#

,0

"

30

3

"

2

"

2

"

! #

2

>

"

"

2

#

5

2

2

)

.

/

#

5

2

1

2

#

!

.

"

,

#

,0

30

(

)

*

+

3

#

.10

3

!

3

#求#

3

*

3

#

/0

,

0

"

5

2

2

)

.

;

3

#"

;

3

#

.

;

"

! #

:

3

/0

,

0

#

.2:

;

#

3

#

,

3

)

5

2

2

)

.

;

3

#

.

)

.2:

;

#)

;8

;

!

1

#要判断2

.

是不是最优基"就是要求出所有检验数是否满足#

&

"

2

!

&

5.

"

,

")"

0

#%

!

.

"

!

,

是基变量"故#

.

52

"

#

,

52

"而#

3

5=

;8

;

,

2

"剩下来求#

1

"

#

0

"由#

@

计算公

式得

!

#

1

"

#

0

#

#

!

,

1

"

,

0

#

)

5

2

2

)

.

!

;

1

;

0

#

#

!

2

"

2

#

)

.

;

"

! #

:

3

. 2

/ 0

2 .

#

)

.

;

"

)

! #

:

3

因#

&

"

2

!

&

5.

"

,

")"

0

#"故2

.

是最优基%

!

0

#因2

,

是3

中第四列与第二列组成的矩阵"则!

1

"

!

,

是基变量"

!

.

"

!

3

"

!

0

是非

基变量"这时有

5

2

#

!

,

1

"

,

,

#

#

!

2

"

,

#

%

)

.

#

. 3

/ 0

2 .

"

5

2

2

)

.

#

!

2

"

,

#

!

#

.

"

#

3

#

#

!

,

.

"

,

3

#

)

5

2

2

)

.

!

;

.

;

3

#

#

!

.

"

.

#

)

!

2

"

,

#

, ,

.

3

(

)

*

+

0

#

.

3

"

)

! #

;

即#

.

#

.

3

"

#

3

#)

;

%

请读者对照例.4.9

的表.4:

阅读本例"这对你加深理解上述几个矩阵公式将大有

裨益%

!例!#$'

"用公式#

&

#

,

&

)

'

.

,

.

-

.

&

计算表.4:

中第二张表的检验数%

!(

运!

筹!

学

解!

因为第二张表的基变量为!

1

"

!

,

"最左边一列的2

及,

就是,

1

及,

,

"而-

.

&

52

=.

;

&

"

故表中第&

列的数据就等于-

.

&

#

2

)

.

;

&

"例如第一列

-

..

-

/ 0

,.

#

2

)

.

;

.

#

. 3

/ 0

2 .

(

)

*

+

,

.

3

#

(

)

*

+

3

.

3

第三列的.:

/ 0

0

就是-

.3

-

/ 0

,3

"所以#

&

等于,

&

减去5

2

列与&

列乘积之和"即

#

.

#

,

.

)

!

,

1

-

..

$

,

,

-

,.

#

#

.

)

2

(

3

$

,

(

! #

.

3

#

.

3

#

,

#

,

,

)

!

,

1

-

.,

$

,

,

-

,,

#

#

,

)

!

2

(

2

$

,

(

.

#

#

2

#

3

#

,

3

)

!

,

1

-

.3

$

,

,

-

,3

#

#

.

)

!

2

(

.:

$

,

(

0

#

#)

;

#

1

#

,

1

)

!

,

1

-

.1

$

,

,

-

,1

#

#

2

)

!

2

(

.

$

,

(

2

#

#

2

#

0

#

,

0

)

!

,

1

-

.0

$

,

,

-

,0

#

#

2

)

!

2

(

3

$

,

(

.

#

#)

,

与表.4:

的计算结果相同%

!"'"&

!

退化与循环

基本可行解中存在基变量等于零时"称为退化基本可行解'

!例!#$(

"求解线性规划

*"#"

#

!

.

$

,!

,

$

!

3

!

.

)

,!

,

$

1!

3

#

1

1!

.

)

;!

,

$

.1!

3

#

.9

!

.

"

!

,

"

!

3

#

$

%

&

2

解!

用大F

单纯形法"加入人工变量!

1

"

!

0

"构造数学模型

*"#"

#

!

.

$

,!

,

$

!

3

$

=!

1

$

=!

0

!

.

)

,!

,

$

1!

3

$

!

1

#

1

1!

.

)

;!

,

$

.1!

3

$

!

0

#

.9

!

&

#

2

"

&

#

.

"

,

")"

$

%

&

0

计算过程如表.4.;

所示%

表!

!#!+

!

&

! " ! ( (

!

%

"

%

'

!

'

"

'

#

'

$

'

%

$

!

!

.

#

=

!

1

. =,

/

1

0

. 2 1

0

.

=

!

0

1 =; .1 2 . .9 8

'

:

#

&

.=0= ,6..= .=.8=

1

2 2 =,2=

!

,

#

.

!

3

/

.

'

1

0

=.

'

, . .

'

1 2 .

0

1

=

!

0

.

'

, =, 2 =:

'

, . , 1

#

&

3

'

1=.

'

,=

1

0

'

,6,= 2 =.

'

16;

'

,= 2 =.=,=

!

3

#

.

!

.

. =, 1 . 2 1

=

!

0

2

/

=.

0

=, =1 . 2

0

#

&

2 16=

1

=36,= =.60= 2 =1

"*

第!

章!

线 性 规 划

!续#

!

&

! " ! ( (

!

%

"

%

'

!

'

"

'

#

'

$

'

%

$

!

!

1

#

.

!

.

. 2 8 ; =, 1

, !

,

2 .

/

,

0

1 =. 2

0

#

&

2 2 =..

1

==.: ==1 =1

!

0

#

.

!

.

. =1 2 . , 1

. !

3

2 .

'

, . , =.

'

, 2

#

&

2 .0

'

, 2 ==.: ==3

'

, =1

由表.4.;

!

3

#和!

0

#知"得到退化基本最优解"5

!

1

"

2

"

2

#

>

"最优值"51

%

不难看出"表.4.;

!

3

#

!

!

0

#的右端常数没有发生变化"表.4.;

!

,

#的最小比值相

同"导致出现退化%若在表.4.;

!

,

#中选!

0

出基便得到表.4.;

!

0

#"或在表.4.;

!

3

#中

选!

3

进基也得到表.4.;

!

0

#%表.4.;

!

3

#和!

0

#的最优解从数值上看相同"但它们是两个

基本可行解"对应于同一个极点%表.4.;

!

3

#的常数是零"可以选出基行任意非基变量

的非零系数作主元素%尽管表.4.;

的计算走了许多弯路"却留给了读者应对退化解的

一些启示%

单纯形法迭代对于大多数退化解时是有效的"很少出现不收敛的情形%

.;00

年-$%E$

提出了一个用单纯形法计算失效的模型

*"#"

#)

3

1

!

.

$

.0!

,

)

.

,

!

3

$

9!

1

.

1

!

.

)

9!

,

)

!

3

$

;!

1

"

2

.

,

!

.

)

;!

,

)

.

,

!

3

$

3!

1

"

2

!

3

"

.

!

&

#

2

"

&

#

.

"

,

"

3

"

$

%

&

1

加入松弛变量后用单纯形法计算并且按字典序方法!按变量下标顺序#选进基变量"迭

代9

次后又回到初始表"继续迭代出现了无穷的循环"永远得不到最优解%但该模型的最

优解为"5

!

.

"

2

"

.

"

2

#

>

"

"5=0

'

1

%

许多学者提出了一些防止循环的解决措施"但实际中几乎不会出现循环现象"如有相

同的比值时"还是任意选择出基变量"不必考虑出现循环的后果%

!"(

!

./0123

软件应用

读者学习本节内容之前请先阅读本书附录+

"安装P"#QC-

软件"熟悉软件的基本内

容并掌握软件的基本操作%

下面结合例题介绍P"#QC-

软件求解!'

的操作步骤及应用%

!例!#$)

"用P"#QC-

软件求解下列!'

*%7"

#

9!

.

$

0!

,

$

!

3

$

:!

1

")

运!

筹!

学

!

.

$

,!

,

$

9!

3

$

;!

1

"

,92

8!

.

)

0!

,

$

,!

3

)

!

1

#

.02

:!

.

$

!

,

$

!

3

#

32

!

.

)

!

,

#

2

!

3

)

!

1

#

2

.2

"

!

3

"

,2

!

.

$

!

,

$

!

3

#

2

$

!

1

$

%

&

无约束

解!

说明(

P"#QC-

软件求解!'

不必化为标准型"如果是可以线性化的模型则先线

性化"如绝对值约束$

*%7"5*"#

!

!

.

"

,!

,

#$

"5*"#

!

3!

.

6!

,

"

0!

.

61!

3

6!

1

#等情形

必须先线性化%对于有界变量及无约束变量可以不转化"只要修改系统变量类型即可"对

于不等式约束可以在输入数据时直接输入不等式"如#

符号"输入/

$

5

/

及/

5

任何一

种都是等价的%本例中"变量数为1

"约束数为0

"第9

个约束由系统自动生成%

!

.

#启动线性规划!

!'

#和整数规划!

R!'

#程序%点击开始0

程序0

P"#QC-

0

!"#$%&

%#IR#G$

)

$&'&(

)

&%**"#

)

"屏幕显示如图.4.,

所示的线性规划和整数规划工作界面%

图.4.,

!

线性规划和整数规划的工作界面

注意%菜单栏$工具栏和格式栏随主窗口内容变化而变化%

!

,

#建立新问题或打开磁盘中已有的文件%按图.4.,

所示操作建立或打开一个!'

问

题"或点击S"E$

0

T$U'&(JE$*

建立新问题%点击S"E$

0

!(%I'&(JE$*

打开磁盘中的数据

文件"

!'

程序自带后缀为-

/!''

.的3

个典型例题"供学习参考"在你求解一个线性规划

之前可以先打开例题"了解一下求解!'

的工作界面布局%点击S"E$

0

T$U'&(JE$*

"出

现图.4.3

所示的问题选项输入界面%

图.4.3

!

建立新问题

!

3

#输入数据%在选择数据输入格式时"选择C

D

&$%IVH$$GF%G&"7S(&*

则以电子表格

形式输入变量系数矩阵和右端常数矩阵"是固定格式"如图.4.1

所示%选择T(&*%E

"!

第!

章!

线 性 规 划

F(I$ES(&*

则以自由格式输入标准模型"如图.4.9

所示%

图.4.1

!

电子表格数据输入格式

图.4.0

!

修改变量类型$上下界和约束符号

!

图.4.9

!

标准模型输入格式

!

1

#修改变量类型%图.4.3

中给出了非负连续$非

负整数$

2=.

型和无符号限制或无约束1

种变量类型选

项"当选择了某一种类型后系统默认所有变量都属该种

类型%在例.4,:

中"

.2

"

!

3

"

,2

"直接将!

3

列中的下

界!

!(U$&-(W#I

#改为.2

"上界!

X

DD

$&-(W#I

#改为,2

%

!

1

无约束可以通过双击类型改变"

F

是一个任意大的

正数"如图.4.1

及图.4.0

所示%

!

0

#修改变量名和约束名%系统默认变量名为

B.

"

B,

")"

B#

"约束名为Y.

"

Y,

")"

Y*

%如

果你对默认名不满意可以进行修改"点击菜单栏ZI"G

后"下拉菜单有1

个修改选项(修改标题名!

'&(JE$*

T%*$

#$变量名!

[%&"%JE$T%*$

#$约束名!

Y(#VG&%"#GT%*$

#和目标函数准则!

*%7

或

*"#

#%

P"#QC-

支持中文"可以输入中文名称%

!

9

#求解%点击菜单栏C(E\$%#I+#%E

N

]$

"下拉菜单有3

个选项(求解不显示迭代过

程!

C(E\$GH$'&(JE$*

#$求解并显示单纯形法迭代步骤!

C(E\$%#I "V

D

E%

N

CG$

D

V

#及图解法

!

_&%

D

H"KF$GH(I

"限两个决策变量#%如选择C(E\$GH$'&(JE$*

"系统直接显示求解的综

合报告如表.4,2

所示"表中的各项含义如表.4,,

所示%

!'

有最优解或无最优解!无可行

解或无界解#"系统会给出提示%

由表.4,2

得到例.4,:

的最优解为15

!

./1,89

"

2

"

,2

"

=;8/0:.1

#"最优值"5

""

运!

筹!

学

=99./1,80

%由表.4,2

第9

行提示+EG$&#%G$C(EWG"(#$7"VGV

知原!'

有多重解%

表!#$,

!

最优解综合报告表

!

:

#结果显示及分析%点击菜单栏&$VWEGV

或点击快捷方式图标"存在最优解时"下拉

菜单有.

#

!

;

#

;

个选项"无最优解时有.2

#和..

#两个选项%

.

#只显示最优解!

C(EWG"(#CW**%&

N

#%

,

#约束条件摘要!

Y(#VG&%"#GCW**%&

N

#"比较约束条件两端的值%

3

#对目标函数系数进行灵敏度分析!

C$#V"G"\"G

N

+#%E

N

V"V( a-b

#%

1

#对约束条件右端常数进行灵敏度分析!

C$#V"G"\"G

N

+#%E

N

V"V( cdC

#%

0

#求解结果组合报告!

Y(*J"#$Ic$

D

(&G

#"显示详细综合分析报告%

9

#进行参数分析!

'$&(&*'%&%*$G&"K+#%E

N

V"V

#"某个目标函数系数或约束条件右端

常数带有参数"计算出参数的变化区间及其对应的最优解"属参数规划内容%

:

#显示最后一张单纯形表!

S"#%EC"*

D

E$7>%JE$%W

#%

8

#显示另一个基本最优解!

aJG%"#+EG$&#%G$a

D

G"*%E

#"存在多重解时"系统显示另

一个基本最优解"然后对基本最优解凸组合可以得到最优解的通解%注意(例.4,:

虽然

显示有多重解"但对1

个决策变量来说是唯一解"这里的多重解是指!

1

#

!?

1

)

!@

1

中的!?

1

"

!@

1

具有多重解%读者可用例.4.;

演示%

;

#显示系统运算时间和迭代次数!

CH(UcW#>"*$%#IRG$&%G"(#

#%

.2

#不可行性分析!

R#$%V"J"E"G

N

+#%E

N

V"V

#"

!'

无可行解时"系统指出存在无可行解

的原因"例如将例.4,:

的第0

个约束改为!

3

=!

1

,

52

"系统显示无可行解并且显示(

说明第0

个约束不可能小于等于零"右端常数至少等于..:/.1,;

才可行%

..

#无界性分析!

X#J(W#I$I#$VV+#%E

N

V"V

#"

!'

存在无界解时"系统指出存在无界解

的可能原因%例如将目标函数系数,

1

5:

改为,

1

5=:

"系统显示无界解并且显示(

提示改变第,

个约束方向"添加$减少或改变约束系数等%

"#

第!

章!

线 性 规 划

.,

#保存结果%求解后将结果显示在顶层窗口"点击S"E$V

0

C%\$+V

"系统以文本格

式存储计算结果%还可以打印结果$打印窗口%

.3

#将计算表格转换成Z7K$E

表格%先清空剪贴板"在计算结果界面中点击S"E$V

0

Y(

DN

G(YE"

D

J(%&I

"系统将计算结果复制到剪贴板"再粘贴到Z7K$E

表格中即可%

以上部分内容将在第,

章和第3

章讨论%

!

8

#单纯形表%选择求解并显示单纯形法迭代步骤"系统显示初始单纯形表.4,.

%可

以看出"系统将B1

无约束改写成B1=T$

)

3

B1

"即两个非负变量之差%

系统将.2

"

!

3

"

,2

改写成约束Y9

(

2

"

!

3

=.2

"

.2

"令!?

3

5!

3

=.2

"则有!?

3

"

.2

"

将!

3

5!?

3

6.2

代入约束条件并整理"表.4,.

中的!

3

实际上是!?

3

"如约束Y.

B.6,B,69

!

B36.2

#

6;B1=;T$

)

3

B16CE%KO

3

Y.5,92

整理后得到表.4,.

第一行!

CE%KO

3

Y.

#%

约束Y.

"

Y1

"

Y0

"

Y9

加入1

个松弛变量CE%KO

3

Y.

"

CE%KO

3

Y1

"

CE%KO

3

Y0

及CE%KO

3

X-

3

B3

"约束Y,

减去剩余变量CW&

D

EWV

3

Y,

"然后Y,

与Y3

加入,

个人工变量+&G""K"%E

3

Y,

和+&G""K"%E

3

Y3

"共9

个约束.,

个变量%

表.4,.

最后两行为检验数"如B.

的检验数Y

!

.

#

=e

!

.

#

2

-"

)

F59=.0F

%选B.

进

基"表.4,.

最后一列为比值!

c%G"(

#"变量+&G""K"%E

3

Y3

出基"主元素+

!

3

"

.

#

5:

%

表!#$!

!

初始单纯形表

下一步点击菜单栏C"*

D

E$7RG$&%G"(#

选择T$7GRG$&%G"(#

继续迭代"还可以人工选择

进基变量"或直接显示最终单纯形表%

!

;

#模型形式转换%点击菜单栏S(&*%G

0

CU"GKHG(T(&*%EF(I$ES(&*

"将图.4.0

电子表格转换成图.4.9

的模型形式"再点击一次转换成图.4.0

的电子表格%

!

.2

#写出对偶模型%点击菜单栏S(&*%G

0

CU"GKHG( W%ES(&*

"系统自动给出线性

规划的对偶模型"再点击一次给出原问题模型%

关于对偶模型$灵敏度分析及参数分析内容见第,

章"

2=.

规划$整数规划内容见第

3

章%

"$

运!

筹!

学

表!#$$

!

45

常用术语词汇及其含义

常用术语 含!

义

+EG$&#%G"\$C(EWG"(#$7"VGV

!

存在替代解"有多重解

-%V"K%#IT(#J%V"K[%&"%JE$

!

基变量和非基变量

-%V"V

!

基

-%V"VCG%GWV

!

基变量状态"提示是否为基变量

-&%#KH4%#I4-(W#IF$GH(I

!

分支定界法

Y

f

4e

f !

检验数

Y(*J"#$Ic$

D

(&G

!

组合报告

Y(#VG&%"#GCW**%&

N !

约束条件摘要

Y(#VG&%"#G

!

约束条件

Y(#VG&%"#G "&$KG"(#

!

约束方向

Y(#VG&%"#GCG%GWV

!

约束状态

$K"V"(#[%&"%JE$

!

决策变量

W%E'&(JE$*

!

对偶问题

Z#G$&"#

)

[%&"%JE$

!

入基!进基#变量

S$%V"JE$+&$%

!

可行域

S$%V"JE$C(EWG"(#

!

可行解

R#$%V"JE$

!

不可行

R#$%V"J"E"G

N

+#%E

N

V"V

!

不可行性分析

!$%\"#

)

[%&"%JE$

!

出基变量

!$G4H%#IC"I$

!

左端

!(U$&(&X

DD

$&-(W#I

!

下界或上界

F"#"*W*%#IF%7"*W*+EE(U%JE$Y

f !

最优解不变时"价值系数允许变化范围

F"#"*W*%#IF%7"*W*+EE(U%JE$cdC

!

最优基不变时"资源限量允许变化范围

aJ

f

$KG"\$SW#KG"(#

!

目标函数

a

D

G"*%EC(EWG"(#

!

最优解

'%&%*$G&"K+#%E

N

V"V

!

参数分析

c%#

)

$%#ICE(

D

$( '%&%*$G&"K+#%E

N

V"V

!

参数分析的区间和斜率

c$IWK$IY(VG

!

约简成本!价值#"检验数"即当非基变量增加一个单位时目标函

数的改变量

c%#

)

$( S$%V"J"E"G

N !

可行区间

c%#

)

$( a

D

G"*%E"G

N !

最优区间

c$E%7$I'&(JE$*

!

松弛问题

c$E%7$Ia

D

G"*W*

!

松弛最优

c"

)

HG4H%#IC"I$

!

右端常数

C$#V"G"\"G

N

+#%E

N

V"V( a-bY($"K"$#GV

!

目标函数系数的灵敏度分析

C$#V"G"\"G

N

+#%E

N

V"V( c"

)

HG4d%#I4C"I$V

!

右端常数的灵敏度分析

CH%I(U'&"K$

!

影子价格

C"*

D

E$7F$GH(I

!

单纯形法

CE%KO

"

CW&

D

EWV(&+&G""K"%E[%&"%JE$

!

松弛变量$剩余变量或人工变量

C(EWG"(#CW**%&

N !

最优解摘要

CWJG&%KG

!

+II

#

F(&$>H%#>H"VS&(*+

!

"

"

f

#

!

减少!增加#约束系数"调整工艺系数

>(G%EY(#G&"JWG"(#

!

总体贡献"目标函数,

&

!

&

的值

X#J(W#I$IC(EWG"(#

!

无界解

./.

!

工厂每月生产+

&

-

&

Y

三种产品$单件产品的原材料消耗量&设备台时的消耗量&

资源限量及单件产品利润如表.4,3

所示'

"%

第!

章!

线 性 规 划

表!

!#$%

产品

资源, - .

资源限量

材料!

O

)

#

./0 ./, 1 ,022

设备!台时#

3 ./9 ./, .122

利润!元'件#

.2 .1 .,

!!

根据市场需求$预测三种产品最低月需求量分别是.02

&

,92

和.,2

$最高月需

求是,02

&

3.2

和.32

'试建立该问题的数学模型$使每月利润最大'

./,

!

建筑公司需要用0*

长的塑钢材料制作+

&

-

两种型号的窗架'两种窗架所需材料规

格及数量如表.4,1

所示'

表!#$&

!

窗架所需材料规格及数量

型号,

型号-

每套窗架需要材料

长度!

*

# 数量!根# 长度!

*

# 数量!根#

+

.

(

,

,

-

.

(

,/0

,

+

,

(

./0

3

-

,

(

,/2

3

需要量!套#

,22 .02

问怎样下料使得!

.

"用料最少(!

,

"余料最少)

./3

!

某企业需要制定.

!

9

月份产品+

的生产与销售计划'已知产品+

每月底交货$市

场需求没有限制$由于仓库容量有限$仓库最多库存产品+.222

件$

.

月初仓库库

存,22

件'

.

!

9

月份产品+

的单件成本与售价如表.4,0

所示'

表!

!#$'

月份! " # $ % &

产品成本!元'件#

322 332 3,2 392 392 322

销售价格!元'件#

302 312 302 1,2 1.2 312

!

.

"

.

!

9

月份产品+

各生产与销售多少使总利润最大$建立数学模型(

!

,

"当.

月初库存量为零并且要求9

月底需要库存,22

件时$模型如何变化'

./1

!

某投资人现有下列四种投资方案$三年内每年年初都有3

万元!不计利息"可供投资*

方案一!

在三年内投资人应在每年年初投资$一年结算一次$年收益率是,2<

$

下一年可继续将本息投入获利'

方案二!

在三年内投资人应在第一年年初投资$两年结算一次$收益率是02<

$

下一年可继续将本息投入获利$这种投资最多不超过,

万元'

方案三!

在三年内投资人应在第二年年初投资$两年结算一次$收益率是92<

$

这种投资最多不超过./0

万元'

方案四!

在三年内投资人应在第三年年初投资$一年结算一次$年收益率是

32<

$这种投资最多不超过.

万元'

投资人应采用怎样的投资决策使三年的总收益最大$建立数学模型'

./0

!

炼油厂计划生产三种成品油$不同的成品油由半成品油混合而成$例如高级汽油可

以由中石脑油&重整汽油和裂化汽油混合$辛烷值不低于;1

$每桶利润0

元$

"&

运!

筹!

学

见表.4,9

'

半成品油的辛烷值&气压&及每天可供应数量见表.4,:

'

问炼油厂每天成品油各生产多少桶利润最大$建立数学模型'

表!

!#$(

成品油 高级汽油 一般汽油 航空煤油 一般煤油

半成品油

中石脑油

重整汽油

裂化汽油

中石脑油

重整汽油

裂化汽油

!

轻 油$裂 化 油$

重油$残油

!

轻油$裂化油$重油$残油

按.2g1g3g.

调和而成

辛烷值#

;1

#

81

蒸汽压(公斤'平方厘米"

.

利润!元'桶#

0 1/, 3 ./0

表!

!#$)

半成品油!

中石脑油"

重整汽油#

裂化汽油$

轻油%

裂化油&

重油'

残油

辛烷值82 ..0 .20

蒸汽压(公斤'平方厘米!

./2

!

./0

!

2/9

!

2/20

每天供应数量!桶#

,222 .222 .022 .,22 .222 .222 822

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图解下列线性规划并指出解的形式

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第!

章!

线 性 规 划

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设线性规划

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, 2

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/ 0

, .

$分别指出2

.

和2

,

对应的基变量和非基变量$求

出基本解$并说明2

.

$

2

,

是不是可行基'

./;

!

分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划$指出单纯形法迭代的每一步的基本可

行解对应于图形上的那一个极点'

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法和两阶段法求解下列线性规划

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$

%

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3

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!

在第./8

题中$对于基25

, .

/ 0

1 2

$求所有变量的检验数#

&

!

&

5.

$

,

$

3

$

1

"$并

判断2

是不是最优基'

./.3

!

已知线性规划

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.

$

8!

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1

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.

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1

"

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2

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.

$

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$

3

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$

%

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1

的最优基为2

#

, 3

/ 0

, 0

$试用矩阵公式求!

.

"最优解(!

,

"单纯形乘子(!

3

"

@

.

及

@

3

(!

1

"

#

.

和#

3

'

./.1

!

已知某线性规划的单纯形表.4,8

$求价值系数向量5

及目标函数值"

'

表!

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'

'

$

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1

2 . , . =3 2 , 1

1

!

.

. 2 =. 2 , 2 =. 2

2

!

9

2 =. 1 2 =1 . , 3

'

,

#

&

2 =. =. 2 . 2 =,

./.0

!

已知线性规划

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#

,

.

!

.

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,

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,

$

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.

$

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,

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3

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.

$

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$

-

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3

"

/

,

!

.

$

!

,

$

!

3

#

$

%

&

2

的最优单纯形表如表.4,;

所示$求原线性规划矩阵5

$

3

及/

$最优基2

及2

=.

'

表!

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. 2 1 .

'

9 .

'

.0 9

,

,

!

,

2 . =3 2 .

'

0 ,

#

&

2 2 =. =, =3

./.9

!

思考与简答题

!

.

"在例.4,

中$如果设!

&

!

&

5.

$

,

$#$

:

"为工作了0

天后星期一到星期日开始

#*

第!

章!

线 性 规 划

休息的营业员数$该模型如何变化'

!

,

"在例.43

中$能否将约束条件改为等式(如果要求余料最少$数学模型如何变

化(简述板材下料的思路'

!

3

"在例.41

中$若允许含有少量杂质$但杂质含量不超过.<

$模型如何变化'

!

1

"在例.49

中$假定同种设备的加工时间均匀分配到各台设备上$要求一种设备

每台每天的加工时间不超过另一种设备任一台加工时间.

小时$模型如何

变化'

!

0

"在单纯形法中$为什么说当#

8

/

2

并且-

.8

"

2

!

.5.

$

,

$#$

*

"时线性规划具

有无界解'

!

9

"选择出基变量为什么要遵循最小比值规则$如果不遵循最小比值规则会是什么

结果'

!

:

"简述大F

法计算的基本思路$说明在什么情形下线性规划无可行解'

!

8

"设1

!

.

"

&

1

!

,

"

&

1

!

3

"是线性规划的三个最优解$试说明

1

##

.

1

!

.

"

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,

1

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"

$#

3

1

!

3

"

!

!其中#

.

$

#

,

$

#

3

#

2

并且#

.

$#

,

$#

3

#

.

"

也是线性规划的最优解'

!

;

"什么是基本解&可行解&基本可行解&基本最优解$这四个解之间有何关系'

!

.2

"简述线性规划问题检验数的定义及其经济含义'

#)