Ć Male oscilacije mehaničkih sistema - ttl.masfak.ni.ac.rsttl.masfak.ni.ac.rs/MS-SA/PREDAVANJE-8 2011 DINAMIKA - MALE... · Male oscilacije mehaničkih sistema Materijalni mašinski

8.0 STRUKTURNA ANALIZA KONSTRUKCIJA – DR MIOMIR JOVANOVIĆ MAŠINSKI FAKULTET NIŠ

Predavanje - 8

DINAMIKA NOSEĆIH STRUKTURA

Generacija 2010/2011

Male oscilacije mehaničkih sistema

Materijalni mašinski sistemi, izloženi promenljivim spoljašnjim uticajima, osciluju. Oscilatorni procesi su jedan od oblika

dinamičkog ponašanja mehaničkog sistema. Dinamičko ponašanje opisuje radna stanja mehaničkih sistema pogonskih mehanizama ili

noseće konstrukcije. Izučavanje oscilatornih dinamičkih procesa je osnov projektovanja najvećeg broja mašinskih sistema. Osnovna

teorijska podloga za dinamičku analizu je u klasičnoj mehanici. Materijalni sistemi se postupcima mehanike svode (diskretizuju) na

mehaničke sisteme sa konačnim brojem stepeni slobode oscilovanja. Takvi mehanički sistemi se dalje tretiraju Teorijom malih oscilacija

sa konačnim brojem stepeni slobode, koja predstavlja osnov najvećeg broja univerzalnih softvera za dinamičku analizu. Zavisno od

namene komercijalnih programa za računare, dinamička analiza se može izvršiti i sa znatno većom širinom.

Teorija malih oscilacija sa konačnim brojem stepeni slobode kretanja pogodna je za analizu oscilacija nosećih struktura

različitih tipova mašina. Ova teorija opisuje dinamičko ponašanje konstrukcije, talasnim parcijalnim diferencijalnim jednačinama sa

odgovarajućim graničnim i početnim uslovima. Polazeći od pretpostavke o solidifikaciji pojedinih elemenata, zanemarivanjem elastičnih

deformacija i inercionih svojstava nekih elemenata, zadržavajući se samo na elastičnim osobinama konstrukcije, prelazimo na

ekvivalentni model. Na bazi energije ekvivalentnog modela, primenom nekog od principa mehanike (Lagrange-II), formiraju se obične

diferencijalne jednačine kretanja.

Matematički modeli, koji uzimaju i elastične deformacije u obzir, vode nelinearnim diferencijalnim jednačinama koje se ne

mogu tačno analitički rešiti, pa se rešavaju aproksimativno. Ponekad je moguće izvršiti linearizaciju jednačina, čime se ubrzava postupak

traženja rešenja. Očigledno da su ovako dobijena rešenja malih oscilacija približna, ali su osnovna dinamička karakteristika, dobijena

primenom nelinearne analize.

Posmatrajmo mehaničku strukturu, diskretno predstavljenu sa n materijalnih tačaka, pojedinačnih koncentrisanih masa mi. Kretanje - oscilovanje sistema se opisuje generalisanim koordinatama kretanja qi. Da bi diferencijalne jednačine sistema bile linearne,

pojedine energije struktura (kinetička, potencijalna i disipativna) moraju imati homogenu, kvadratnu formu generalisanih koordinata,

koja u indeksnoj i matričnoj notaciji izgleda:

qaq21qqa

21E T

j

n

1i

n

1j

iijK

qcq21qq c

21E T

ji

n

1i

n

1j

ijP

(3.3.4)

qbq21qqb

21 T

j

n

1i

n

1j

iij

gde je [a] - inerciona matrica sa aij - inercionim koeficijentima materijalnog sistema (mase ili aksijalni momenti inercije masa), [c] -

kvazielastična matrica sa cij - koeficijentima krutosti i [b] - matrica koeficijenata otpornih sila bij. Inerciona matrica [a],

kvazielastična matrica [c] i matrica otpornih sila [b] su oblika (3.3.5):

nn2n1n

n22221

n11211

nn2n1n

n22221

n11211

nn2n1n

n22221

n11211

ccc

ccc

ccc

c ,

bbb

bbb

bbb

b ,

aaa

aaa

aaa

a

(3.3.5)

Posmatrajmo osnovni zadatak analize materijalnog sistema koji slobodno osciluje (bez spoljašnje pobude Qi*) i bez prigušnih

sila. Ovaj idealiziran zadatak daje osnovne podatke o karakteristikama oscilatornog sistema i primenjuje se za traženje sopstvenih

frekvencija (rezonantnih brzina), amplituda dinamičkih procesa a time i naponskih svojstava konstrukcije. Primenom Lagrange-ovih

jednačina druge vrste (3.3.6), može se formirati sistem diferencijalnih jednačina koji opisuje dinamičko ponašanje sistema (3.3.7):

i

i

P

i

K

i

K Qq

E

q

E

q

E

dt

d

(3.3.6)

0qcqcqcqaqaqa

0qcqcqcqaqaqa

0qcqcqcqaqaqa

nnn22n11nnnn22n11n

nn2222121nn2222121

nn1212111nn1212111

(3.3.7a)

Ovaj sistem jednačina u matričnoj formi ima oblik:

0qcqa (3.3.7b)

Rešenje se prema tipu diferencijalnih jednačina i oscilatornom karakteru problema, može potražiti u trigonometrijskom obliku, forme:

)tsin(Aq ii (3.3.8)

gde su iii i ,A (i=1n), karakteristike oscilovanja sistema (amplituda, kružna frekvencija oscilovanja i fazna pomeranja).

Ova forma rešenja u diferencijalnim jednačinama daje oblik:

0A)ac(A)ac(A)ac(

0A)ac(A)ac(A)ac(

0A)ac(A)ac(A)ac(

n2

nnnn22

2n2n12

1n1n

n2

n2n222

222212

2121

n2

n1n122

121212

1111

(3.3.9a)

Ili matrično: 0AH (3.3.9b)

Uvedena matrica [H] je karakteristična matrica sistema. Pomoću nje se formira frekventna jednačina (3.3.10) njenim

izjednačavanjem sa nulom. Rešenja frekventne jednačine daju sopstvene frekvencije posmatranog sistema. Zato je ova jednačina poznata

pod imenom frekventna ili karakteristična jednačina sistema.

0ac

acacac

acacac

acacac

HHdet 2

2nnnn

22n2n

21n1n

2n2n2

22222

22121

2n1n1

21111

21111

(3.3.10)

Rešenja frekventne jednačine se mogu poredjati po veličini (3.3.11) i predstavljaju kvadrate sopstvenih kružnih frekvencija sistema:

0 , (1)2

)n(2

)3(2

)2(2

)1(

(3.3.11)

Rešenja polinoma frekventne jednačine se traže nekom od numeričkih metoda (postupak Bairstowa). Najniža kružna frekvencija ovog

polinoma ω(1), naziva se osnovnom frekvencijom. Ona je jedan od osnovnih dinamičkih svojstava konstrukcije i na osnovu nje se

može birati prinudna frekvencija mašine tako da je izvan oblasti sopstvenih frekvencija.

Amplitude oscilovanja se ne mogu analitički direktno odrediti u zatvorenom obliku, već samo njihovi odnosi. Ovi odnosi se

traže za svaku sopstvenu frekvenciju konstrukcije ω (r). Da bi sistem homogenih algebarskih jednačina imao n-1 nezavisno rešenje,

obično se izostavlja jedna jednačina (prva). Deljenjem sa A1 i prebacivanjem slobodnog člana na desnu stranu sledi:

)ac(A

A)ac(

A

A)ac(

)ac(A

A)ac(

A

A)ac(

)ac(A

A)ac(

A

A)ac(

21n1n

1

n2nnnn

1

222n2n

22121

1

n2n2n2

1

222222

21111

1

n2n1n1

1

221111

(3.3.12)

Nepoznati količnici amplituda mogu se označiti sa ik

i odredjuju se pomoću kofaktora k(r)ik determinante matrice H, za svaku r-tu

sopstvenu frekvenciju:

)r(

11

)r(n1

)r(1

)r(n)r(

1n)r(11

)r(13

)r(1

)r(3)r(

31)r(11

)r(12

)r(1

)r(2)r(

21k

k

A

A ......,

k

k

A

A ,

k

k

A

A

(3.3.13)


Kofaktori k(r)11, k(r)

12, k(r)1n se odredjuju iz determinante matrice H izostavljanjem odgovarajuće vrste i odgovarajuće

kolone. Tako, recimo, imamo kofaktore:

,

acacac

acacac

acacac

)1(k

2)r(nnnn

2)r(3n3n

2)r(2n2n

2)r(n3n3

2)r(3333

2)r(3232

2)r(n2n2

2)r(2323

2)r(2222

11)r(11

(3.3.14a)

,

acacac

acacac

acacac

)1(k

2)r(nnnn

2)r(3n3n

2)r(1n1n

2)r(n3n3

2)r(3333

2)r(3131

2)r(n2n2

2)r(2323

2)r(2121

21)r(12

(3.3.14b)

2)r(nnnn

2)r(2n2n

2)r(1n1n

2)r(n3n3

2)r(3232

2)r(3131

2)r(n2n2

2)r(2222

2)r(2121

31)r(13

acacac

acacac

acacac

)1(k

(3.3.14c)

Na ovaj način se mogu naći koeficijenti (r)ik za svaku r-tu sopstvenu frekvenciju i oni se nazivaju koeficijentima oblika oscilovanja.

Kako fizički ovi koeficijenti pokazuju načine, oblike, kako diskretne mase zauzimaju medjusobno položaje, ovi oblici se nazivaju i

modovi oscilovanja ili harmonici. Jasno je da modova ima onoliko koliko i sopstvenih frekvencija. Preostalo je još da se definišu zakoni,

generalisane koordinate kretanja. Podjimo od partikularnih integrala rešenja:

)tsin(Aq )r()r()r()r(

(3.3.15)

Opšta rešenja problema (opšti integrali diferencijalnih jednačina) se, prema teoriji diferencijalnih jednačina, traže kao zbir partikularnih

rešenja, (3.3.16a), (3.3.16b), (3.3.16c):

n

1r

)n(n

)2(n

)1(n

)r(nn

n

1r

)n(2

)2(2

)1(2

)r(22

n

1r

)n(1

)2(1

)1(1

)r(11

qqqqq

qqqqq

qqqqq

(3.3.16a)

)n()2()1( qqqq (3.3.16b)

)tsin(Aq )r()r()r(

1

n

1r

)r(1

(3.3.16c)

Konstante A1(1), A1

(2), A1(3), ... , A1

(n), 1, 2, .... , n, se dobijaju iz početnih uslova:

.q =q... ,q =q ,q =q ,q =q ,...q =q ,q =q 0,=t n0n202101n0n202101

Rad se može znatno uprostiti uvodjenjem glavnih koordinata. To su generalisane koordinate tako izabrane, da izrazi za Ek i Ep sadrže

samo kvadratne članove (pa je ajk=cjk=0, za slučaj jk). To se izvodi homogenom linearnom transformacijom.

PRIMER: Posmatrajmo transportnu mašinu – odlagač mase oko 168 t, oslonjen na obrtnom ležaju. Odlagač je izložen različitim atmosferskim i

pogonskim delovanjima. Odrediti nekoliko prvih oblika oscilovanja. Koristiti FEM metodu, softver MSC Nastran 2004.

Tabela VII Mod-1 Mod-28 Mod-31 Mod-47 Mod-56 Mod-57 Mod-58 Mod-68

Ω [Hz] 0.0199 0.9213 0.9868 2.6878 3.9978 4.5699 5.0794 8.7624

Title : MODALNA analiza sa gornjim osloncem Output Set 01 - Mode 1, ω= 0.0199211 Hz

Set MAX/MIN Summary Table Set ID Value

T1 Translation Minimum 101 1068 -0.00028391

Maximum 101 1008 0.00028391


Maximum 101 1005 0.0013422


Maximum 101 170 0.008734

R1 Rotation Minimum 101 1150 0.00051951

Maximum 101 1149 0.00055493

R2 Rotation Minimum 101 1150 -0.00018757

Maximum 101 1152 -0.000040145

R3 Rotation Minimum 101 1147 -1.2894E-6

Maximum 101 1150 0.0000012896

Mod 1, Frekvencija 0.0199211 Hz (bočno kladenje celine oko uzdužne ose strele)

Output Set 28 - Mode 28, ω= 0.921305 Hz Set MAX/MIN Summary Table Set ID Value


Maximum 128 1147 0.00071326


Maximum 128 1150 0.015404


Maximum 128 750 0.0002698


Maximum 128 216 0.0001008


Maximum 128 182 0.000066206


Maximum 128 1152 0.0033823

Mod 28, Frekvencija 0.921305 Hz



Maximum 147 215 0.0010408


Maximum 147 472 0.0048171


Maximum 147 234 0.00053636



Maximum 147 1097 0.00068772


Maximum 147 1038 0.00029156


Maximum 147 318 0.0023072

Mod 47, Frekvencija 2.6878 Hz (poskakivanje krajeva)



Maximum 187 1048 0.0054741


Maximum 187 505 0.0091113


Maximum 187 306 0.0097016


Maximum 187 476 0.006184


Maximum 187 388 0.012048


Maximum 187 651 0.017005

Mod 87, Frekvencija 15.9539 Hz (dvostruki vertikalni sinusni talas)

Numeričke metode za rešavanje problema malih oscilacija

Rešavanje diferencijalnih jednačina oscilovanja konstrukcija stvara ozbiljne poteškoće kod velikih i složenih sistema konstrukcija

izloženih dejstvu proizvoljnih pobudnih sila. Tada se po pravilu rešenje traži numerički. U tu svrhu, razvijene su numeričke metode koje

se zasnivaju na prevodjenju diferencijalnih jednačina u približne jednačine. Osnovna metoda je metoda konačnih razlika, kod koje se

kontinualni proces izučava u konačnom broju dovoljno malih vremenskih intervala. U tim malim intervalima moguće je funkcije

vremena (koordinate, sile, brzine) aproksimovati približnim izrazima. Zatim se vrši integracija u svakom elementarnom intervalu, pri

čemu se rezultati integracije u prethodnom intervalu uzimaju kao početni za naredni vremenski interval. U okviru ovog koncepta koriste

se dve opšte metode: metoda direktnog integraljenja i metoda slaganja glavnih oblika oscilovanja. Metode direktnog integraljenja se

sastoje u zameni diferencijalnih jednačina malih oscilacija sistema, sistemom algebarskih jednačina sa nepoznatim priraštajima

koordinata. To se realizuje tako što se funkcija pomeranja (generalisana koordinata), funkcija brzine i ubrzanja u malim vremenskim

intervalima mogu zameniti približnim funkcijama, pa se onda uvode u sistem diferencijalnih jednačina i vrši njihova integracija. Termin

"direktna" integracija je vezan za činjenicu da se ne vrše mnogobrojne operacije nad sistemom jednačina, već se neposredno integrale.

Danas se u dinamičkoj analizi koriste tri metode za direktnu integraciju: Metoda centralnih razlika, Wilson-ova "teta" metoda i

Newmark-ova metoda.

Documents

Ć Male oscilacije mehaničkih sistema - ttl.masfak.ni.ac.rsttl.masfak.ni.ac.rs/MS-SA/PREDAVANJE-8 2011 DINAMIKA - MALE... · Male oscilacije mehaničkih sistema Materijalni mašinski