物性物理学C

分 岐 理 論

北畑 裕之

2014.12.16

おもな分岐の種類

- サドル・ノード分岐

- ピッチフォーク分岐

- ホップ分岐

- トランスクリティカル分岐（安定性交替分岐 ）

分岐とは? 2変数の力学系で考える

dd

x xy yt

=

A A： 関数行列

det A

tr A

unstable focus

unstable node

stable focus

stable node

saddle saddle O

ただし、ホップ分岐以外では、x方向とy方向は独立しているので、 dy/dt = a y として考えることにする。

- サドル・ノード分岐

det A

tr A

unstable focus

unstable node

stable focus

stable node

saddle saddle O

α

u

2ddu ut

α= −

O

ddv kvt

=

2 00 k

α =

A

固定点 ：

u α=±0v =

, 0 ( 0)u vα α=± = ≥ まわりで

2ddu ut

α= −

ddv kvt

=

k = −5 k = 5 α

O

u

- ピッチフォーク分岐

det A

tr A

unstable focus

unstable node

stable focus

stable node

saddle saddle O

α

u

3ddu u ut

α= −

O

ddv kvt

=

2 00 kα−

=

A固定点 ：

α±= ,0u0=v

, 0 ( 0)u vα α=± = ≥ まわりで

0, 0 u v= = まわりで

00 kα

=

A

k = −20 k = 20 3ddu u ut

α= −

ddv kvt

=

α

u

O

- 安定性交替分岐

det A

tr A

unstable focus

unstable node

stable focus

stable node

saddle saddle O

α

u

2ddu u ut

α= −

O

ddv kvt

=

00 kα−

=

A

固定点 ：

0, u λ=0v =

, 0u vα= = まわりで

0, 0 u v= = まわりで

00 kα

=

A

k = −20 k = 20 3ddu u ut

α= − +

ddv kvt

=

α

u

O

- ホップ分岐

det A

tr A

unstable focus

unstable node

stable focus

stable node

saddle saddle O

α

u

( )( )2 2ddu v u u v u vt

α β= − + − + −

O

( )( )2 2ddv u v u v v ut

α β= + − + +

固定点 ： 0u = 0v =

0, 0 u v= = まわりで

11α

α−

=

A

iλ α= ±

( )( )2 2ddu v u u v u vt

α β= − + − + −

( )( )2 2ddv u v u v v ut

α β= + − + +

α

u

O

β = 0