c-statique

TCHTCHMATÉRIAUXMATÉRIAUXTCH006TCH006 MATÉRIAUXMATÉRIAUX

Cours 3-4 Rappel surppla statique

Riad KhettabiAutomne 2010

Service des enseignements générauxÉcole de Technologie Supérieure

TCH006 MATÉRIAUX Résumé semaine 2

2TCH006 Matériaux ‐ I. AmmaraÉTS Automne 2010

TCH006 MATÉRIAUX Rappel sur la statique

En général tout problème de résistance mécanique des matériaux (RDM) commence par la résolution d’un problème de mécanique statiquecommence par la résolution d un problème de mécanique statique (dynamique). Il faut connaître les forces et les moments qui s’appliquent sur un objet pour être en mesure de réaliser l’analyse de sa résistance mécanique et/ou son dimensionnement.

Équilibre statique:

Si un système mécanique est en équilibre dans un référentiel galiléen, l'effetSi un système mécanique est en équilibre dans un référentiel galiléen, l effet

des efforts extérieurs qui s’appliquent sur lui est nul (somme des forces extérieures nulle et somme des moments extérieurs nulle).

Système isostatique/hyperstatique


TCH006 MATÉRIAUX La Statique

L’objectif principal de la statique est d’établir les diti é i t ffi tconditions nécessaires et suffisantes pour assurer

l’état d’équilibre aux ouvrages du génie!

Le rassurant de l’équilibre, c’est querien ne bouge.

Le vrai de l’équilibre, c'est qu'il suffit d'un

Julien Gracq

souffle pour tout faire bouger



rForce [N]:

Une force est l’action d’un corps sur un autre. La représentation

mathématique d’une force est le vecteur caractérisé par:

F

• une grandeur F (en newtons)

• une direction

• un sens

• un point d’application

300 N

T= 300 N

300 N


Exemples : le poids, le frottement, tension dans un câble, réaction normale…


Systèmes de forces:IntroductionIntroductionForces 2D

Composantes rectangulairesMoment et CoupleRésultante

Forces 3DForces 3DComposantes rectangulairesMoment et couple


Résultante


Définition des actions mécaniques :

D'une façon générale, on appelle action mécanique toute cause physique susceptible :

• de maintenir un corps au repos,

• de créer de maintenir ou de modifier un mouvement

L ti é i i ’ t l lid t êt

• de créer, de maintenir ou de modifier un mouvement,

• de déformer un corps.

Les actions mécaniques qui s’exercent sur les solides peuvent être réparties en 2 grandes familles. On définit ainsi :

L FORCES ( / ti l )

F

Les FORCES ( pousser / tirer selon un axe)

Les MOMENTS ( tourner / tordre autour d'un axe)C


( )


Composantes rectangulairesComposantes rectangulaires



Exemple 3.1

Fxi et Fyj ?



Le moment de force autour d’un point:

Le moment d’une force par rapport à un point est une mesure de p pp p

l’efficacité de cette force à faire tourner un objet autour de ce point.

O

O O

0,5 m

100 N100 N

0,5 m 0,5 m

100 N

a) Grande efficacité! b) Efficacité moins grande c) Efficacité nulle.



Le moment de force autour d’un point:

O

Grandeur du moment de force par raport au point O:

M d F⊥= ⋅où : grandeur de la force perpendiculaire à la distance d

et : distance entre le point d'application de la force et le point O.

F

d⊥

O

Ou encore

M d⊥= ⋅où : distance perpendiculaire entre la ligne d'action de la force

F

doù : distance perpendiculaire entre la ligne d'action de la force

et le point O.

d⊥



Couple [Nm]:Mr

Un couple est un système composé de 2 forces de même grandeur, même

direction et de sens opposé, appliquées en 2 points différents distants l’un de

l’autre d’une distance r.

F = 10 NA

2 m

F= 10 NB

r= 2 m

M= 20 Nm

Exemples: interaction arbre, poulie, engrenage…



Les MOMENTS ( tourner / tordre autour d'un axe)

Exemple 3 2 : faire tourner une clé de

Dans ce cas, vous provoquez un MOMENT de force par rapport à l'axe de rotation

Exemple 3.2 : faire tourner une clé de roue

Exemple 3.3 : faire tourner une clé de roue•La somme de ces deux forces est nulle.De plus ces deux forces génèrent un moment•De plus, ces deux forces génèrent un moment

L’action mécanique exercée par la clé sur la roue est appelée un Coupleroue est appelée un Couple.

C


CC


Exemple 3.4

Mo = ?

Exemple 3.5

M / T= f(θ) ?



Méthode de résolution:

Pour la résolution de problèmes de statique, il est fortement recommandé

de suivre les étapes suivantes:

• Exposé du problème avec diagramme du corps libre (DCL)

– Faire l’inventaire de toutes les données et inconnues du problème

– Dessiner le DCL: on remplace toutes les interactions du corps étudié avec l’extérieur par des forces ou des moments.

• Application des principes fondamentaux en statique: 3 lois de Newton• Application des principes fondamentaux en statique: 3 lois de Newton

• Résolution des équations et application numérique (attention aux unités)

0 ; 0 (Attention seulement dans le cas statique)F M= =∑ ∑r r

• Résolution des équations et application numérique (attention aux unités)

• Vérification des résultats



Réalisation d’un DCL :

• Isoler le corps d’intérêt

• Placer toutes les forces et couples sous forme de vecteurs sur le DCL

• Choisir un système de coordonnées adéquat

E l d DCL

10°

Exemple de DCL :

Un bloc de masse 10 kg est au repos

sur un plan incliné. Calculez la grandeur

d l f l l bl C l l

y

de la force normale sur le bloc. Calculez

la grandeur de la force de frottement sur

le bloc.

x

N

W

F


W10°

DCL


Représentation de la transmission des forces et des moments

externes (système bidimensionnel) :( y )



Les 3 lois de Newton:

1ère loi : Si la force résultante sur un objet est nulle, alors l’objet demeureau repos s’il était déjà au repos, et bouge en ligne droite avec une vitesseconstante s’il était déjà en mouvement.j

2ème loi : S’il y a une force résultante sur un objet, alors l’objet subit uneaccélération proportionnelle à la force résultante.

= m∑r rF a

3ème loi : Si un objet A exerce une force sur un objet B, alorsl’objet B exerce sur l’objet A une force de même grandeur, demême direction et de sens opposé.



Membrure à 2 forces:

Lorsqu’un corps soumis à 2 forces est en équilibre, les 2 forces doivent être de

même grandeur, mais de sens opposé et avoir la même ligne d’action.

Un élément structural supporté à ces deux extrémités par des rotules est une

membrure à 2 forces.

FB FB,y F

FA

y

FB,xFA,y

F

FB

FA,x

FA



Exemple 3.6 (2.45 Beer/Johnston)

En vous référant à la figure ci‐dessous et sachant que α=20º, déterminez:

a) La tension dans le câble AC;

b) La tension dans la corde BC



Exemple 3.7 (1.12 Riley/Sturges/Morris)

Une poutre est chargée et supportée tel que présentée à la figure ci‐

dessous. Déterminez les réactions au support A.




Deux câbles sont reliés ensemble au point C tel qu’illustré à la figure ci‐Deux câbles sont reliés ensemble au point C tel qu illustré à la figure ci‐

dessous. Sachant que Q= 60 N, calculez:

a) La tension dans le câble AC;

b) La tension dans le la câble BCb) La tension dans le la câble BC.




U télé hé i t té l âblUn téléphérique est supporté par le câble‐

porteur ACB et est mû à une vitesse

constante par le câble‐tracteur DE tel

’ill é à l fi i S hqu’illustré à la figure ci‐contre. Sachant

que le poids de la cabine, passagers et

mécanismes inclus, est de 22.5 kN, que

β lα=45º et β=40º, et en supposant que latension dans le câble DF est négligeable,

déterminez:

) âa) La tension dans le câble‐porteur ACB;

b) La force de traction du câble‐tracteur DE.



Treillis plans

Raidisseur

Poutre transversale

Les membrures d’un treillisLes membrures d un treillis sont minces et ne peuvent pas subir des charges (forces) latérales. Les ( )charges doivent être appliquées aux nœuds.

Les treillis plan sont constitués de pièces p poccupant le même plan. Ils sont construits par paire s’ils sont employés dans les ponts.

24TCH006 Matériaux ‐ I. AmmaraÉTS Automne 2010http://www.colvir.net/departements/physique/


T d illiT d illiTypes de treillisTypes de treillis

Ces treillis peuvent être analysés comme des treillis plans.p



Sollicitations

Lorsque les forces tendent à allonger une barre (membrure), elle est en tension. La force qui représente cette tension sort du nœud. Lorsquereprésente cette tension sort du nœud. Lorsque les forces tendent à raccourcir la barre, elle est en compression. La force qui représente cette compression entre dans le nœud.

Hypothèse : Dans un treillis simple, toutes les forces extérieures sont appliquées aux nœuds.



Méthode de nœudsMéthode de nœuds

Exemple 4.1.

1. Dessinez le diagramme des corps libre (DCL)

Ici nous avons R1x = 0 2. On représente toutes

les forces extérieures.


3. On détermine les réactions aux appuis en utilisant les équations d’équilibre appropriées.


Méthode des nœudsMéthode des nœuds

4. Après le calcul des réactions, nous commençons l’analyse des forces qui agissent sur les éléments constitutifs du treillis.

5. Démembrer le treillis : pour visualiser (mettre en évidence) l’effort dans une pièce quelconque d’un treillis, on doit absolument

ècouper cette pièce.

La force exercée sur une barre est toujours colinéaire


colinéaire

6. On applique la méthode des nœuds


On essais de commencer par un nœud où on a au moins une force connue et

l d d f ipas plus de deux forces inconnues (dans notre exemple, on peut choisir comme point de départ le point A).

(E, B, C, E et D)

Au moment où on atteint le nœud DD, la réaction calculée RR22 doit être en équilibre avec les forces dans les barres CDCD et EDED déterminéesles barres CDCD et EDED, déterminées au moment de l’analyse des nœuds voisins.

29TCH006 Matériaux ‐ I. AmmaraÉTS Automne 2010ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣM = 0



Déterminez les forces dans les membrures BC, CD et DE dans le treillis,

présenté à la figure ci‐dessous.




Un treillis supporte une ligne de transmission correspondant à une charge de 5 kNtel que présenté à la figure ci‐dessous. Déterminer les forces dans les membrures FG et CD.




Un cric automobile est présenté à la figure ci‐dessous La visse exerce uneUn cric automobile est présenté à la figure ci‐dessous. La visse exerce une

force F sur les blocs aux joints A et B. Déterminez la force P exercée sur

l’automobile si F=800 N et θ=15 º. Répétez pour θ=30 º et θ=45 º.



• Treillis simples rigides :

– résultat de l’ajout de 2

membres à la fois au

triangle original

C itè B 2N 3• Critère : B = 2N – 3

– B : nombre de membrures (barres)

– N : nombre de nœuds– N : nombre de nœuds

Si m > 2 j – 3, il y a plus de barres que d’équations indépendantes et le treillis est statiquement indéterminé (hyperstatique).

Si m < 2 j – 3, le nombre de barres interne est en déficit, et le treillis est instable et s’effondre sous l’action d’une


le treillis est instable et s effondre sous l action d une charge.


Un assemblage triangulaire est indéformable.

illi i l iUn treillis simple est construit en ajoutant deux membrures et un noeud à une unité triangulaire.

Dans un treillis simple, m = 2 j - 3 où m est le nombre de membruresoù m est le nombre de membrures (barres) et j le nombre de noeuds


5 = 2(4)-3

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Déterminez la force inter-ne de chacune des mem-b d t illibrures des treillis spécifiés le mode de chargement C:compression ou T:ten-ision.

Réponses:

6.1: FAB=4.0kN C; FAC=2.72 kN T; FBC=2.4 kN C.FBC 2.4 kN C.

6.2: FAB=1.7kN T; FAC=2.0 kN T; FBC=2.5 kN C.

6.3: FAB=1500 N C; FAC=3120 N C; FBC=1200 kN T.

6.4: FAB=FBC=31.5kN T; FAD=35.7 kN C; FBD=10.8 kN C; FCD=33.3 kN C.


6.5: FAB=FAE=6.71kN T; FAC=FAD=10.0 KN C; FBC=FED=6.0 kN C; FCD= 2.0 kN T.

TCH006 MATÉRIAUX RÉVISION POUR L’EXAMEN

Pour un alliage d’aluminium, on effectue un essai de traction sur une éprouvette prélevée d’une plaque de 3mm d’épaisseur. L’installation de l’éprouvette dans les mors de la machine de traction est illustrée à la figure ci‐dessous. Dans la zone utile, l’éprouvette à une largueur L1=20 mm et les rayons de courbures sont suffisamment grands pourune largueur L1 20 mm et les rayons de courbures sont suffisamment grands pour négliger l’effet de concentration de contraintes.

Les propriétés de l’alliage sont:

E=71GPa , Re=310 MPa , Rm=450 MPa , A=18%

Questions:

a) Pour quelle force appliquée F(en kN) aura‐t‐on le début de la déformation plastiqueon le début de la déformation plastique dans la zone utile de l’éprouvette ?

b) Sachant que la longueur initiale AB, sur laquelle est mesurée l’allongement de l’éprouvette est égale à 10 cm quelle sera

L2l’éprouvette, est égale à 10 cm, quelle sera la valeur de AB au moment de la rupture de l’éprouvette ?

c) Si la contrainte finale à l’instant de la rupture mors

A

est de 400 MPa, quel est l’allongement plastique subi par l’éprouvette après sa rupture.

d) Quelle valeur minimale doit avoir la largeur L2

mors

B

L1


afin d’éviter qu’une déformation plastique n’apparaisse dans les régions saisies par les mors au cours de l’essai complet de traction


On a réalisé un essai de traction sur un matériau A inconnu. La géométrie de l’éprouvette de traction est présentée ci‐dessous.

L0=100 mmF (N) L (mm)

ed

l0

D0

d=20 mmD=30 mme=3 mm

0 100

1500 100.32

2400 124

La force appliquée F et la longueur instantanée l entre les repères sont données au tableau ci‐dessus pour quelques points caractéristiques de la courbe brute de traction. Au cours d l’ i l l f F tt i t 1500 N i é f t t té l

l02100* 132.168*

de l’essai, lorsque la force F a atteint 1500 N, on a supprimé force et constaté que la longueur l était alors de 100.2 mm après suppression de la force.

• Quelle est la limite conventionnelle d’élasticité Re0.2% du matériau (en MPa)?

• Quel est le module d’élasticité du matériau (en GPa)?

• Quelle est la résistance à la traction Rm (en MPa) ?

• Quel est l’allongement final après la rupture A%?

• Quel est l’énergie élastique par unité de volume libéréei est libéré à la tant de la rupture de l’éprouvette?


de l’éprouvette?

* Rupture de l’éprouvette: la longueur l est celle juste avant cette rupture.


Remplir le tableau suivant.

Membrure Force

interne [kN]

Tension/Com

pression

AB

BC

AC

CD

BD


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