C u r s o: MatemÆtica Material N” 23 · ... la igualdad correcta es A) 6y + 3 = 0 B) 14y - 27 ... Si por la venta de ambas, en una de ellas ganó el 30% ... y el otro es su recíproco

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GUIA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 17

UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES

SISTEMAS DE ECUACIONES

Dos ecuaciones de primer grado, que tienen ambas las mismas dos incógnitas, constituyenun sistema de ecuaciones lineales.

La forma general de un sistema de ecuaciones de primer grado es:

Ax + By = C

Dx + Ey = Fdonde A, B, C, D, E y F son números reales

Se denomina solución del sistema a todo par (x, y) que satisfaga simultáneamenteambas ecuaciones.

OBSERVACIÓN: Cada ecuación de un sistema de ecuaciones, representa una línea recta enun sistema de ejes coordenados.

*METÓDOS PARA RESOLVER SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOSINCOGNITAS

RESOLUCIÓN GRÁFICA: Para resolver gráficamente un sistema de dos ecuaciones lineales con dosincógnitas, se representan ambas rectas en un sistema de ejes coordenados, con lo cual surge una delas siguientes posibilidades:

I) Las rectas se intersectan en un punto, cuyas coordenadas (a, b) es la solución del sistema (fig. 1).II) Las dos rectas coinciden, dando origen a infinitas soluciones (fig. 2)III) Las dos rectas son paralelas (no se intersectan), por lo tanto no hay solución (fig. 3)

EJEMPLOS

1. El par ordenado (-4, 2) es solución del (de los) sistema(s):

I)x + y = - 22x + 5y = 2

II)3x - y = -147x + y = 14

III)x + 2y = 0

6 - xy =

5A) Sólo IB) Sólo I y IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III

x

yL2

L1

L1 L2 = (a, b)

fig. 1

a

b

x

y

L1 = L2

fig. 2

L1 L2 L1 =L2

x

y

L1

fig. 3

L1 L2 = (vacío)

L2

C u r s o: Matemática

Material Nº 23

2

2. Para que el par ordenado (2, 3) sea solución del sistemapx + y = 2x - qy = 5

, los valores de

p y q deben ser, respectivamente,

A)12

y 1

B)12

y - 1

C)12

y - 1

D)12

y 1

E) -2 y - 1

3. La solución gráfica del sistema3x - 2y = 123x + y = 3

es

A) B) C) D) E)

4. La figura 4 es la solución gráfica del sistema

A)4x + 4y = 16x + y = -3

B)4x - 4y = 16- x - y = 3

C)4x + 4y = 16- 3x - 3y = -3

D)x + y = 4x - y = 3

E)x + y = 16x + y = 9

-3

42

5

x

y

2

-3

6

3

x

y

2

-4

-3

3

x

y

2

-6

-3

3

x

y

-32

1x

y

x

y

-34

-3

4fig. 4

-6

46

6

-4

3

RESOLUCIÓN ALGEBRAICA: Para resolver algebraicamente un sistema de ecuacioneslineales con dos incógnitas existen varios métodos; utilizaremos sólo tres de ellos:sustitución, igualación y reducción.

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN: Se debe despejar una de las variables en una de lasecuaciones y luego reemplazarla en la otra ecuación, generándose así una ecuación conuna incógnita.

MÉTODO DE IGUALACIÓN: Se debe despejar la misma variable en ambas ecuacionesy luego éstos resultados se igualan, generándose así una ecuación con una incógnita.

MÉTODO DE REDUCCIÓN: Se deben igualar los coeficientes de una de las incógnitas,en ambas ecuaciones, multiplicando ambos miembros convenientemente, obteniéndoseun sistema equivalente al dado, y luego se suman o restan ambas ecuaciones, resultandoasí una ecuación con una incógnita.

EJEMPLOS

1. Sea el sistema-x + 2y = 55x + 4y = -2

, la igualdad correcta es

A) 6y + 3 = 0B) 14y - 27 = 0C) 14y - 3 = 0D) 14y - 23 = 0E) 2y - 1 = 0

2. En el sistema3x + 5y + 4 = 07x - 2y = 2

, utilizando el método de igualación resulta

A) -3y =4y7

B) -5y - 7 = 2y - 5

C)3x + 4

5= -7x + 1

D)3x + 4 7x - 2

=5 2

E)3x + 4 2 - 7x

=5 2

3. En el sistema-3x - 2y = 4-x + 5y = 2

, al eliminar la incógnita x por el método de reducción se

obtiene

A) 17y - 2 =0B) 17y + 2 = 0C) 17y + 6 = 0D) 17y + 10 =0E) 3y - 6 = 0

4

4. En el sistema5x - 3y = 8-3x + 5y = -4

, el valor de 4 (x - y) es

A) -8B) -6

C)23

D)74

E) 6

5. Dado el sistema-2 -3 -1

-3 -2 -4

10 x + 10 y = 10

-10 x - 10 y = -10, el valor de y es

A) -1B) 10,1C) 1D) 104

E)-1 -4

-3 -2

10 - 1010 - 10

6. Si2 2

x + y = 2

x + y = 10, entonces la tercera parte de xy es igual a

A) -9B) -3C) -1D) 1E) 3

7. Si2

2

(x + y) = a

(x - y) = b, entonces el valor de x · y es igual a

A) -4 (b - a)

B)a - b

4

C)a - b

2

D)2 2a - b

4

E)4 4a - b

4

5

ANÁLISIS DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS

Sea el sistema: 1 1 1

2 2 2

a x + b y = c

a x + b y = c. Entonces:

I) El sistema tiene solución única si 1 1

2 2

a ba b

II) El sistema tiene infinitas soluciones si 1 1 1

2 2 2

a b c= =

a b c

III) El sistema no tiene solución si 1 1 1

2 2 2

a b c =

a b c

EJEMPLOS

1. En el sistemaax - 4 = - by2x - 12 = 3y

, ¿qué condición deben cumplir a y b para que tenga

solución única?

A) a ≠23

B) 3a ≠ 2bC) 3a = 2bD) 3a = -2bE) 3a ≠ -2b

2. El sistema2x - 3y = 7ax - b = 6y

, tendrá infinitas soluciones cuando

A) a = 4 y b = 14B) b = 14C) a = 4D) a ≠ 4 y b = 14

E) a =127

y b =187

6

3. ¿Cuál(es) de los siguientes sistemas tiene(n) infinitas soluciones?

I)10x - 4y = 1020x + 8y = 5

II)5x - 3y = 615x - 9y = 18

III)-3x - 4y = 144x y

+ = -124 3

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III

4. ¿Para qué valor de k el sistemax + ky = 24x - y = 8

tiene solución?

A) Para k = -14

B) Para todo k ≠ -14

C) para cualquier valor de k.D) para ningún valor de k.E) Ninguna de las alternativas anteriores.

5. Dado el sistema2x + 3y = 46x + ky = 8

. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)

verdadera(s)?

I) Para cualquier valor de k el sistema jamás tendrá infinitas soluciones.II) Si k = 9, el sistema no tiene solución.

III) Si k ≠ 6, las rectas son paralelas no coincidentes.

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIE) I, II y III

7

APLICACIONES DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Los sistemas de ecuaciones lineales tienen aplicación en problemas de planteo. Si elenunciado implica dos incógnitas, dicho problema podrá ser mediante un sistema deecuaciones. Cómo por ejemplo: problemas de edades, de cifras o dígitos, etc.

EJEMPLOS

1. El enunciado: “El doble, de un número aumentado en 3 es igual a un segundo númeroy la cuarta parte de su diferencia es 12”, está representado por

A)2x + 3 = yx - y

= 124

B)2(x + 3) = yx - y

= 124

C)2x - 3 = y

12x-y =

4

D)2(x - 3) = yx - y = 12 · 4

E)2(x + 3) = yx

- y = 124

2. Juan con $5.600 compra 20 lápices; unos que cuestan $250 y otros que cuestan $300.¿cuántos lápices de $300 compró?

A) 2B) 8C) 12D) 18E) 20

8

3. Un coleccionista compra dos antigüedades (A y B) por $28.000 y los vende en $30.000.Si por la venta de ambas, en una de ellas ganó el 30% y por la otra perdió el 10%sobre el precio de compra, ¿cuál es el sistema que permite determinar los precios decostos de cada antigüedad?

A)A + B = 28.0001,3A - 1,1B = 30.000

B)A + B = 28.0001,3A + 0,9B = 30.000

C)A + B = 28.0000,3A - 0,1B = 30.000

D)A + B = 28.0000,3A + 0,1B = 2.000

E)A + B = 28.0001,3A - 0,9B = 30.000

4. Dos números suman 42 y su diferencia es 12. ¿Cuáles son estos números?

A) -27 y 15B) 27 y - 15C) -27 y -15D) 27 y 15E) 26 y 16

5. Hallar el número de dos dígitos, cuyo valor absoluto de la suma de sus cifras es 9 ycuando se invierte el orden de sus cifras se obtiene un segundo número que excede en 9al cuádruplo del número original.

A) 90B) 81C) 54D) 45E) 18

9

EJERCICIOS

1. Para que el par ordenado (2, -1) sea solución del sistemak

3x - y = 22

4tx + 3y = -2, los valores

de k y t deben cumplir que

A) Uno de ellos es18

y el otro es su recíproco.

B) Uno de ellos es -8 y el otro es el recíproco de su inverso aditivo.C) Uno de ellos es el inverso multiplicativo de -8 y el otro es su recíproco.D) Uno de ellos es el inverso multiplicativo de -8 y el otro es su opuesto aditivo.

E) Uno de ellos es el recíproco de18

y el otro es el opuesto de -8.

2. El par ordenado (1,3) es solución del (de los) sistema(s):

I)3x - y = 0x + 3y = 3

II)x - y = -23x + y = 6

III)x + y = 4y - x = 2

A) Sólo IB) Sólo I y IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III

3. Si4a + 5b + 6c = 77a - 6c - 5b = 4

, entonces el doble de 5b+6c es

A) 2B) 3C) 6D) 11E) 22

10

4. Dado el sistema3x + ay = bx + 2y = 3

, ¿Qué condiciones deben satisfacer a y b para que este no

tenga solución?

A) a = 6 y b ≠ 8B) a = 6 y b ≠ 9C) a = 3 y b ≠ 8D) a = 3 y b ≠ 9E) a ≠ 8 y b ≠ 6

5. El sistema2x + ay = 8bx - 2y = c

tendrá infinitas soluciones si:

A) a = -2, b = -2 y c = 8B) a = 2, b = -2 y c = 8C) a = -1, b = 4 y c = 4D) a = -1, b = 16 y c = -8E) a = 2, b = -2 y c = -8

6. En el sistemax - y = -37x - 3y = 3

, ¿qué alternativa entrega mayor información correcta

respecto de su gráfica?

A) Son dos rectas no paralelas y una con pendiente positiva.B) Dos rectas no perpendiculares que no se intersectan en el segundo cuadrante del

plano.C) Ambas se intersectan en un único punto.D) Ambas ecuaciones representan rectas crecientes que tienen distintas pendientes y

se intersectan en un punto del primer cuadrante del plano.E) Son dos rectas no coincidentes.

7. La intersección de las rectas 4x = 3y + 18 e y = -2(x - 2), es el punto

A) (-2,3)B) (2,-3)C) (3,-2)D) (-2,-3)E) (2,3)

11

8. En el sistemax + y = a + b

x y + = -1

b - a a - b

, entoncesx - y

2es

A) a + bB) a - b

C)a+b2

D)b

a -2

E)a - b

2

9. Si2

2

ax + by = a + ab

bx + ay = b + ab, entonces x + y =

A) 0B) a + bC) a – bD) (a + b 2)E) (a - b 2)

10. En el sistema2 2

a + b = x + y

ax + by = a + b, entonces 2xy=

A) -2abB) 0C) 2D) 2abE) ab

11. Si x e y satisfacen las ecuaciones x = c yx b

=y a

con a b; entonces x – y es igual a

A) -ac

B)b

-a

C)b

c 1 +a

D) a - b

cb

E) b - a

cb

12

12. Si2x - 3y - 6p = 0x + 2y + 2p = 0

, entoncesyx

es

A)3

-5

B)35

C)5

-3

D)53

E)14

-15

13. Si2 2ax + by = a - b

ay + bx = 0; donde a ≠ b, entonces y - x=

A) – (a + b)B) a – bC) b – aD) a + b

E)1

a + b

14. Si

1 1 + = p

x y1 1

- = qx y

, entonces x · y =

A)2

p + q

B)2 2

4p - q

C)2

p - q

D)2 2

2p - q

E)2

2p - q

13

15. El sistema de ecuaciones3x - 15y = 4x + ky = 10

no tiene solución, entonces k =

A) -37,5B) -15C) -10D) -5E) 5

16. La compra de 3 vacas y 7 terneros es de $480.000, mientras que 7 vacas y 3 terneroses $560.000. ¿Cuál es el costo de 5 vacas y 5 terneros?

A) $ $1.040.000B) $ 520.000C) $ 104.000D) $ 62.000E) $ 42.000

17. Dadas las rectas L1 : 4 = 2x + y, L2 : 4x - 2 = y, la gráfica que las representa es

A) B) C) D) E)

18. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa la intersección de la rectas y = -2x + 2 conla recta y=2?

A) B) C)

D) E)

-0,5

4

2

-2

x

y

2

-2

x

y

4

0,52

-2

x

y

4

-0,5 -2

-2

x

y

4

-2

-2

x

y

4

0,5

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

14

19. Don Pedro compra 26 animales para su corral entre conejos y gallinas. Los conejosvalen $1.400 y las gallinas valen $1.800. Si el total gastado en estos animales fue$42.800, entonces, ¿cuántos conejos compró?

A) 10B) 13C) 16D) 22E) 26

20. Un microempresario decide incentivar a sus empleados ofreciéndoles reajuste salarial.Si da $14.000 a cada uno, 3 de ellos quedan sin aumento, por otro lado si les ofrece$7.500 a cada uno, alcanza para todos y le sobran $3.500 ¿Cuántos empleados tiene lamicroempresa?

A) 6B) 7C) 8D) 9E) 10

21. Juan tiene el triple de la edad que tenía Anita hace 3 años. Si en 3 años más Anitatendrá tan sólo la mitad, menos 3 años respecto de la edad que Juan tendrá en esemomento. ¿Qué edad tiene Juan?

A) 15 añosB) 18 añosC) 42 añosD) 45 añosE) 48 años

22. Una compañía de soldados está distribuida por filas. Si el número de conscriptos decada fila es 4 más que el número de filas, ¿cuántas filas hay, si el total de conscriptoses 60?

A) 2B) 4C) 6D) 8E) 10

23. Entre monedas de $100 y $500, tengo un total de 16 monedas. Si gasto 6 monedasde $100 y repongo 6 monedas de $500 quedo con igual número de monedas de $100 y$500. ¿Cuántas monedas de $500 tenía inicialmente?

A) 2B) 6C) 8D) 14E) 16

15

24. En un curso mixto de 40 alumnos, los hombres son 8 menos que las mujeres ¿Cuántas

mujeres faltaron en un día que asistieron32

de ellas?

A) 32B) 24C) 16D) 8E) 4

25. Don Pedro realiza un viaje a su campo distante 84 kilómetros desde su partida, deberecorrer camino pavimentado a una velocidad V y un tiempo T, luego un camino ripiadodonde su velocidad se ve reducida a la mitad y su tiempo a la tercera parte de lo quefuera en pavimento, logrando su cometido en un tiempo total de 6 horas. ¿Cuántoskilómetros recorrió en pavimento?

A) 12 KmB) 32 KmC) 48 KmD) 68 KmE) 72 Km

26. Pedro, Juan y Diego generan aportes para poner en marcha un proyecto, Juan aporta$300 más que Diego. Se puede determinar el aporte de Diego si se sabe:

(1) El aporte total entre Pedro y Diego.(2) El aporte total entre los tres.

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

27. Sean p y q dos números enteros. Se puede conocer el valor numérico de ellos si:

(1) (p + q)2 = 4(2) p - q = 2


16

28. El sistema3x + 2y = a4x + (k - 1) y = b

, tiene única solución si:

(1) k ≠ 1, con a y b números reales.

(2) k ≠113


29. Se puede conocer el valor numérico dea + ba - b

si:

(1)a 7

=b 5

(2) a2 - b2 = 6


30. Se puede conocer el valor numérico de3 3 2 2x - y + x y - xy

x + y, x + y ≠ = 0 si se sabe

que:

(1) x + y = 1(2) x2 - y2 = 4


17

RESPUESTAS

EJERCICIOS PÁG. 9

DMDMA23

EjemplosPágs. 1 2 3 4 5 6 7

1 y 2 C B D A

3 y 4 D E A E A C B

5 y 6 E A D C D

7 y 8 B C B D E

1. B 7. C 13. A 19. A 25. E

2. D 8. E 14. B 20. B 26. C

3. C 9. B 15. D 21. D 27. E

4. B 10. D 16. B 22. C 28. B

5. E 11. E 17. A 23. A 29. A

6. D 12. C 18. C 24. D 30. B

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