C · Web viewDengan bentuk di atas selanjutnya diberikan beberapa kasus bentuk integral fungsi trigonometri yang dibahas pada bagian ini, diantaranya adalah: A. dan dengan m bilangan

lBAB II

TEKNIK INTEGRAL

Beberapa macam teknik pengintergralan digunakan untuk menentukan antiturunan

bermacam-macam fungsi. Hal ini bertujuan untuk memudahkan dalam menentukan

selesaian integral fungsi yang ditentukan. Agar teknik pengingtegralan mudah dipahami

oleh pembaca, maka dalam bab ini dirincikan teknik pengintegralan dimaksud dengan

syarat-syarat yang ditentukan. Teknik-teknik integral tersebut adalah:

1) TEKNIK SUBSTITUSI,

2) INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI,

3) SUBTITUSI FUNGSI TRIGONOMETRI,

4) INTEGRAL PARSIAL (INTEGRAL BAGIAN)

5) INTEGRAL FUNGSI RASIONAL, dan

6) INTEGRAL RASIONAL YANG MEMUAT FUNGSI TRIGONOMETRI.

2.1 Metode Substitusi (Pemisalan)

Metode substitusi disebut juga metode pemisalan. Pada umumnya digunakan untuk

memudahkan selesaian integral ke bentuk rumus dasar rumus integral tak tentu, yaitu;

a. dx = + C, asalkan n -1 atau

b. = + C, asalkan n -1

Karena rumus di atas adalah pedoman umumnya, maka integrannya menyesuaikan

dengan rumus di atas. Jika belum sesuai atau menyimpang dari bentuk di atas maka

sedapat mungkin diubah terlebih dahulu. Dengan demikian setelah integran sesuai dengan

bentuk baku integralnya dapat dilakukan dengan mengaplikasikan rumus dasar integral

tidak tentu tersebut di atas. Akhirnya selesaiannya dapat dilakukan dengan metode

substitusi.

Perhatikan beberapa contoh berikut:

1. dx

Misal u =

Substitusi bentuk terakhir ke dx, diperoleh

= -2

Dengan rumus dasar di dapat

dx = -2

= -2

= -

2.

Misal A = 3x + 12

d(A) = d(3x+12)

dA = 3 dx

Kalkulus Integral, oleh Dwi Purnomo- 25

dx =

Sehingga =

=

=

=

=

3. dx

Misal A = 2x

d(A) = d(2x)

dA = 2 dx

dx =

dx =

=

=

=

=

=


=

=

4. (4x+2) dx

Jawab

Misal A =

A = 4x 4x

2A dA = (8x+4) dx

2A dA = 2(4x+2) dx

A dA = (4x+2) dx

Sehingga

(4x+2) dx = .A dA

=

=

= + C

5.

Jawab

Misal P =

P = 3t + 4 t =

d(P ) = d(3t+4)


2P dp = 3 dt dt = , sehingga

=

=

6.

Jawab

Misal U =

U = 16 - x x = 16 - U

d(U ) = d(16 - x )

2U du = (-2x)dx

dx =

= du

=

= -

=

=

=


Soal-soal

Tentukan hasil pengintegralan di bawah ini:

1.

Jawab

Misal M = (t+2)

M = (t+2)

2M dM = 3(t+2) dt

=

=

= + C

= + C

=

2.

3.

4.

5.

6.


Jawab :

Substitusi U = atau U = x

Didapat 2U du = 2x dx

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.


2.2 Integral Fungsi Trigonometri

Sebelum membahas teknik integral fungsi trigonometri secara lebih rinci, berikut

ini diberikan integral dasar fungsi trigonometri yang menjadi acuan untuk menentukan

hasil pengintegralan dengan teknik fungsi trigonometri. Bentuk dasar tersebut adalah:

1. dx = -cos x + C

2. dx = sin x + C

3. x dx = ln

= -ln

4. x dx = - ln

= ln

5. dx = ln

6. x dx = ln

Dengan bentuk di atas selanjutnya diberikan beberapa kasus bentuk integral fungsi

trigonometri yang dibahas pada bagian ini, diantaranya adalah:

A. dan dengan m bilangan ganjil atau genap positip

Jika m bulat positip dan ganjil, maka m diubah menjadi (m-1) + 1, atau m

digenapkan terdekat. Selanjutnya substitusi dengan menggunakan kesamaan identitas

atau sin = 1 - cos atau cos = 1 - sin .

Akhirnya dengan substitusi tersebut didapat kesamaan antara integran dengan

tanda integrasinya, sehingga dengan mudah dapat diselesaikan.

Contoh:


1.

Jawab

=

= dx

=

=

= -cos x +

2.

Jawab

= dx

=

=

=

=

= sin x -

3.

Jawab:

Misal u = 2x, du = 2dx atau dx =

Sehingga

=


=

=

=

=

=

Bentuk , , jika m bilangan bulat positip genap, selesaiannya

dapat dilakukan dengan menggunakan substitusi kesamaan setengah sudut

sin = dan cos

Contoh:

1.

Karena pangkatnya genap, digunakan kesamaan setengah sudut, maka

=

=

=

2.

Jawab

= dx

=


=

=

= 42sin

4xx

+

=

=

3.

Misal u = 2x , du = 2dx atau dx = ,

sehingga

=

=

=

=

=

=

=

Karena u = 2x, maka

=


B.

Jika m atau n bilangan bulat positip ganjil, sedangkan lainnya sebarang bilangan,

maka faktorkan sin x atau cos x dengan menggunakan kesamaan identintas

dengan terlebih dahulu mengubah salah satu bilangan ganjil. Misal m

ganjil maka ubah m dengan m = (m-1)+1 , jika n ganjil diubah menjadi (n-1)+1. Jika m dan

n genap digunakan kesamaan setengah sudut sin = dan cos

sehingga diperoleh hasil pengintegralannya.

Contoh

1.

Jawab

Karena m ganjil, maka gunakan substitusi kesamaan identitas

=

=

=

=

=

= cos

2.

Karena n ganjil, maka ubah menjadi genap

=


=

=

=

3.

Jawab

Karena kedua pangkat bilangan ganjil, pilih salah satu untuk diubah menjadi genap

=

=

=

=

Atau

=

=

=

=

4.

Kedua pangkat bilangan genap, sehingga diperoleh:

=

=


=

=

=

=

4.

Jawab

Karena kedua pangkatnya bilangan genap, untuk menentukan selesaiannya gunakan

kesamaan setengah sudut sin = dan cos .

=

=

=

=

=

=

=

=

=


=

=

=

C. dan

Dalam kasus ini jika n genap gunakan kesamaan identitas 1 + dan

1+cot . Jika n ganjil ubah menjadi (n-1)+1 dan gunakan kesamaan 1 +

dan 1+cot .

Perhatikan contoh berikut:

1.

Karena pangkat n ganjil maka diubah dalam bentuk perkalian yang salah satunya genap,

selanjutnya gunakan kesamaan identitas 1 +

Sehingga diperoleh

= tanx dx

= tan x dx

= tan x dx - tan x dx

= tan x sec dx – ln + C

= d(tan x) – ln + C


=

2.

Karena pangkat n , langsung gunakan kesaman identintas 1+cot , sehingga

didapat

=

=

=

=

=

=

=

=

D. , dan

Bentuk ini mempunyai dua kasus yaitu n genap m sebarang dan m ganjil n

sebarang. Jika n genap dan m sebarang gunakan kesamaan 1 + tan atau

1 + cot = csc .

Contoh

1.


Karena salah satu pangkat bilangan genap, maka langsung gunakan kesamaan

identitas 1+tan , sehingga diperoleh

=

=

= d(tgnx)

=

2.

Jawab

=

=

=

=

Sedangkan untuk m bilangan ganjil dan n sebarang juga dengan menggunakan

substitusi kesamaan identitas 1 + tan atau 1 + cot = csc .

Contoh:

1. =

=

=

=

=

2. = tan x sec sec x dx


= -1)sec d(sec x)

= sec d(secx)

= + C

E. ,

Integral bentuk ini juga sering muncul, untuk menyelesaikannya digunakan rumus

kesamaan hasil kali, yaitu:

sin mx cos nx =

sin mx sin nx =

cos mx cos nx =

Contoh

1. 3x cos 4x dx = dx

= + sin (-x) dx

= - x + C

2. dx = dx

= (cos 5x – cos x) dx

= 5x + x + C


3. y cos 4y dy = +cos(1-4)y] dy

= dy

=

Soal-soal

Tentukan hasil integral berikut ini.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.


16.

17.

18.

19.

20.

2.3 Substitusi Fungsi Trigonometri

Metode substitusi trigonometri digunakan untuk menyelesaikan integral fungsi jika

integrannya memuat bentuk-bentuk:

a. , a Real

b. = , a Real

c. , a Real

atau bentuk lain yang dapat diubah menjadi bentuk di atas, misalnya

=

=

= atau yang dapat diubah menjadi bentuk kuadrat

sempurna.


Bentuk integral yang integrannya memuat atau sejenisnya, selesaiannya

menggunakan substitusi x = a sin t, - sehingga,

=

=

= a cos t

dx = a cos t dt.

Contoh:

Tentukan hasil pengintegralan berikut ini:

1. dx

Jawab

Misal x = 2 sin t sin t =

dx = 2 cos t dt

=

Sehingga

dx =

=

= 4

= 4 ( - )

= 2 sint cost – 2t + C

= 2( - 2 arc sin + C


=

2.

Jawab

=

Misal (x-2) = 2 sin t, dx = 2 cos t dt

, sehingga

=

=

= t + C

= arc sin

3.

Jawab

=

Misal (x-3) = 5 sin t, dx = 5 cos t dt

= 5 cos t, sehingga

=

=

= t + C


= arc sin + C

Kerjakan soal berikut sebagai latihan bagi pembaca

1.

2.

3.

4. dx

Jawab

Substitusi x =

dx =

= , sehingga

dx =

= 9

= 9

=

=

=

=


=

= + C

=

5.

Bentuk integral yang integrannya memuat bentuk atau bentuk yang

sejenisnya, selesaiannya menggunakan substitusi x = a tgn t, - sehingga,

= a sec t dan dx = a sec .

Contoh:

Tentukan hasil pengintegralan di bawah ini.

1.

Jawab

Misal x = 3 tan t , dx = 3 sec t2 dt

3 sec t, sehingga

=

=

= ln


= ln + C

= ln

2.

Jawab

=

=

Misal (x+2) = tan t , dx = sec t dan x = tan t - 2

= sec t, sehingga

=

= - dt

= 2 sec t – 5 ln

= 2

Kerjakan soal berikut sebagai latihan

1. dx

2.

3. dx

4.


5.

6.

Bentuk integral yang integrannya memuat atau sejenisnya, selesaiannya

menggunakan substitusi x = a sec t, - sehingga,

= a tan t dan dx = a sec t tan t dt.

Contoh:


1.

Jawab

Misal x = 3 sec t, dx = 3 sec t tan t dt

= 3 tan t, sehingga

=

= 3

= 3

= 3 tan t – 3 t + C

= 3

2.

Jawab


=

Misal (x-1) = 3 sec t, dx = 3 sec t tgn t dt

= 3 tgn t, sehingga

=

=

= ln

= ln

Kerjakan pengintegralan berikut sebagai latihan.

1. dx

2.

3.

4.

5.

6.

2.4 Integral Parsial

Integral parsial biasanya digunakan untuk menentukan selesaian integral yang

integran yang merupakan perkalian dua fungsi uv, dimana u = f(x) dan v = g(x).

Karena y = uv, maka menurut definisi differensial dan turunan fungsi y = uv diperoleh


dy = d(uv)

d(uv) = u dv + v du

Dengan mengintegralkan masing-masing bagian diperoleh

Bentuk terakhir ini dinamakan rumus integral parsial. Prinsip yang digunakan

dalam integral parsial adalah integran yang berbentu uv di manipulasi menjadi u dv dan

dalam menentukan udv tidak boleh memunculkan persoalan yang lebih sulit dibandingkan

dengan tersebut.

Perhatikan beberapa contoh berikut ini.

Tentukan integral persial berikut ini

1.

Jawab

Bentuk diubah menjadi udv,

Misal u = x , dv = 1 dx

dv = cos x dx , v = dx = sin x

Akibatnya = x d(sin x).

Dengan rumus integral parsial

, diperoleh

x d(sin x) = x sin x - d(x)

= x sin x - dx

= x sin x + cos x + C


Akhirnya diperoleh = x sin x + cos x + C

2. dx

Pilih u = x , du = dx

dv = , v = dx =

Sehingga dx =

Berdasarkan rumus integral parsial

, diperoleh

dx =

= -

= -

= -

= -

3. e dx

Pilih u = sin x maka du = d(sinx) = cos dx

dv = , v = = , sehingga:

e dx = sin x d(

=

=

Diperoleh bentuk yang juga diselesaikan dengan metode parsial


Pilih u = cos x , dv = d(cos x) = sin x dx

dv = , v = = , sehingga:

e dx = cos x d(

=

=

=

Akhirnya diperoleh

e dx =

=

e dx =

Berdasarkan contoh di atas kerjakan soal di bawah ini sebagai latihan.

1.

2.

3. tan x dx

4. tan x dx

5. ln x dx

6. dx

7. cos 2x dx

8. e dx

9. dx

10. dx


11.

12.

13. dx

14.

15. dx

16. dx

17. dx

18. dx

19. dx

20. dx

2.5 Integral Fungsi Rasional.

Fungsi rasional adalah suatu fungsi yang dinyatakan dalam bentuk F(x) = ,

dimana f(x) , g(x) adalah fungsi pangkat banyak (polinom) dan g(x) 0.

Fungsi pangkat banyak adalah suatu fungsi yang dinyatakan dengan

f(x) = a + a x + a x + a x + … + a x , n = 1, 2, 3, … , sehingga fungsi rasional adalah

fungsi berbentuk yang pembilang dan penyebutnya polinom.

Contoh

1. f(x) = (Fungsi Rasional Sejati)

2. f(x) = (Fungsi Rasional Tidak Sejati)

3. f(x) = (Fungsi Rasional Tidak Sejati)


Pada contoh di atas, (1) disebut fungsi rasional sejati, karena derajat pembilang

lebih dari derajat penyebut, sedangkan (2) dan (3) disebut fungsi rasional tidak sejati,

karena derajat pembilang lebih besar atau sama dengan derajat penyebut.

Untuk langkah selanjutnya jika suatu fungsi rasional termasuk jenis tidak sejati, maka

fungsi tersebut dijadikan fungsi rasional sejati. Melalui proses pembagian panjang akan

diperoleh fungsi rasional sejati. Sehingga:

f(x) =

= x +

F(x) = , g(x) 0.

Dalam menentukan integral fungsi rasional, langkah yang ditempuh adalah:

1. Nyatakan integrannya dalam bentuk fungsi rasional sejati.

2. Faktorkan penyebut g(x) dari fungsi rasional F(x) = sampai tidak dapat

difaktorkan lagi.

3. Dalam hal langkah nomor 2 di atas, g(x) dapat berupa kombinasi antara:

- fungsi linear berbeda, g(x) = (x-a)(x-b)….(x-t) dstnya.

- fungsi linear berulang, g(x) = (x-a)

= (x-a)(x-a)(x-a) … (x-a)

- fungsi liner dan kuadrat, g(x) = (x-a)(ax +bx + c)

- fungsi kuadrat berbeda, g(x) = (ax px + qx + c)

- fungsi kuadrat berulang, g(x) = (ax dan seterusnya.

4. Nyatakan integran menjadi bentuk penjumlahan n-pecahan parsial sehingga integran

dapat ditentukan antiturunannya,

Misal : (Penyebut kombinasi liner berbeda)


(kombinasi lenear berulang)

(kombinasi kuadrat berbeda)

5. Integralkan secara keseluruhan jumlah n-pecahan parsial tersebut yang merupakan

hasil akhir pengintegralan dengan terlebih dahulu menentukan konstanta A , A , …A

dan B , B , …B .

Contoh

1. Tentukan

Karena intergran adalah fungsi rasional sejati, selanjutnya faktorkan integran:

dx =

=

=

=

Diperoleh A + B = 0 , A – B = 2 atau A = 1, B = -1 sehingga:

dx =

= -

= ln

= ln

2. integran fungsi rasional tidak sejati, maka:


=

= x + ln (x-1) + C

Soal-soal

Tentukan hasil pengintegralan beririkut:

1.

Jawab

=

=

=

=

Diperoleh A + B + C = 0

A + 3B – 2C = 1

-6A = 1

Atau A = - , B = , C =

Sehingga =

=

2.

3.

4.

5.


6.

Contoh (Penyebut integran dalam faktor linear berulang)

1. , karena integran adalah fungsi rasional sejati maka:

=

=

=

=

= dx

Sehingga diperoleh

A = 1 , B – 2A = 1 atau A = 1 dan B+ 3, sehingga

= dx

=

= ln

2.

Integran di atas bukan fungsi rasional sejati, maka diubah terlebih dahulu menjadi fungsi

rasional sejati. Sehingga:

=

=


Selanjuntnya

=

=

=

Diperoleh A = 5, 2A + B = 4 atau A = 5, B = -6, sehingga:

dx

= 5 ln

3.

Integran fungsi rasional sejati, sehingga:

=

=

=

=

Diperoleh

A+ B = 0, C-2A = 3, A-B+C = 5 atau A = ½, B = -1/2, C = 4, sehingga

=

=


= ½ ln

4. dx ( integran bukan fungsi rasional sejati)

Jawab :

dx =

= +

= +

Selanjutnya dicari =

=

=

=

Sehingga didapat B+C = 272, A-4B = 0, -4A = 4, atau A = -1, B = , C =

Hasil akhir pengintegralan

-

Soal-soal

Tentukan hasil dari:

1.

3.

4.

5.


Selain dalam bentuk penyebut integran dinyatakan dalam faktor linear berbeda dan

berulang, dapat juga difaktorkan dalam kombinasi linear dan kuadrat. Artinya penyebut

dapat difaktorkan dalam bentuk kombinasi linear dengan kuadra atau kuadrat dengan

kuadrat.

Selanjutnya integran dengan bentuk seperti ini dijadikan jumlah pecahan n parsial

, berdasarkan jumlah tersebut dapat ditentukan A,B, dan C.

Contoh

1.

Karena integran fungsi rasional sejati maka

=

=

=

Diperoleh

A+4B = 6, (B+4C) = -3, (A+C) = 1 atau A = 2, B = 1, dan C = -1 sehingga:

=

=

=

2.

Integran merupakan fungsi rasional sejati, sehingga

=


=

=

=

Diperoleh

A+C = 1, B+D = 1, 2A+C= 1, 2B+D = 2 atau A=0, B=1, C=1, D=0 sehingga:

=

=

= arctg x +

3.

Jawab: Penyebut adalah kombinasi linear berbeda (x+3) dan (x-2) dengan kuadrat (x

, sehingg:

=

=

=

Maka diperoleh

A + B + C = 1, -2A+3B+C+D = -8, A+B+D-6C = 0, -2A+3B-6D = -1 atau

A = 2, B = -1, C = 0, D = -1

=

= 2 ln(x+3) – ln(x-2) – arctan x + C

= ln(x+3) - ln(x-2) – arctan x + C


= ln arctan x + C

Jadi = ln arctan x + C

Soal-soal


1.

Jawab

=

=

=

=

Didapat A+B = 2, C = 1, 4A = -8 atau A = -2, B = 4, dan C = 1

=

=

= ln + ½ arc tan

2.

Jawab:

=

=


= ½ x2 - 5

= x2 – 5.

= ½ x2 -

= ½ x2 – ln (x2+1)5/2 + C

= ½ x2 – ln + C

3.

4. (fungsi rasional sejati)

Jawab

=

= dx

=

=

Didapat

p + r = 1, q + s = 1, 2p + r = 1, dan 2q + s = 2 atau p = 0, q = 1, r = 1, s = 0

sehingga dx =

= arc tan x + ½ ln (x + C

= arc tan x + ln + C

5.

Jawab

= dx

=


=

Diperoleh

p = 1, q = 0, p+r = 1, dan q+s = -1 atau p = 1, q = 0, r = 0, dan s = -1

sehingga

=

= ln

6.

Jawab

=

=

Catatan : diteruskan sendiri

2.6 Integral Fungsi Rasional yang Memuat Fungsi Trigonometri

Fungsi F(x) = dan g(x) mememuat fungsi trigonometri dapat

juga dikategorikan sebagai fungsi rasional, hanya saja tidak dapat disebut sejati atau tidak

sejati. Hal ini dikarenakan f(x) = sin x dan f(x) = cos x tidak mempunyai derajat seperti

halnya dengan fungsi polinomial. Pengintegralan jenis ini menggunakan METODE

SUBSTITUSI.

Berikut ini diberikan beberapa contoh fungsi rasional yang pembilang dan penyebutnya

memuat f(x) = sin x atau g(x) = cos x.

1. F(x) =

2. F(x) =


3. F(x) =

4. F(x) =

5. F(x) =

Sehingga dalam bentuk pengingtegralan fungsi rasional yang pembilang dan penyebutnya

memuat fungsi trigonometri adalah:

1.

2.

3.

4. dx

5. dx

Selesaian integral bentuk-bentuk di atas adalah menggunakan metode substitusi

x = 2 arc tan z sehingga dx = .

Selanjutnya sin x dan coc x di substitusi ke bentuk variabel z.

Karena x = 2 arc tan z maka:

Menurut rumus identitas fungsi trigonometri


1 + tan = sec

1 + z

Menurut rumus identitas fungsi trigonometri yang lain

sin

, sehingga didapat

sin

=

Dengan rumus jumlah cosinus didapat:

cos 2x = cos sin x

=

Dengan rumus jumlah sinus didapat:

sin 2x = 2 sin x cos x

sin x = 2 sin cos


= 2

=

Dengan demikian integral fungsi rasional yang memuat fungsi trigonometri dapat

diselesaikan dengan menggunakan substitusi

x = 2 arc tan z, sin x = , cos x =

Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh di bawah ini.

Tentukan selesaian dari

1.

Jawab

=

=

=

=

= ln + C

= ln


2.

Jawab =

=

=

=

= arc tan + C

= arc tan z + C

= arc tan (tan x/2) + C

3. =

Jawab

=

=


=

=

=

=

= 3 ln

= 3 ln

Soal-soal

Selidiki kebenaran hasil pengintegralan berikut ini!

1. = + C

2. = + C

3. = + C

4. = ln + C

5.


6.

7.

8.

9.

10. = ln

11. dx = -ln


Documents

C · Web viewDengan bentuk di atas selanjutnya diberikan beberapa kasus bentuk integral fungsi trigonometri yang dibahas pada bagian ini, diantaranya adalah: A. dan dengan m bilangan