c08-Kriging

SIMULACIÓN GEOESTADÍSTICA DE VARIABLES GEOLÓGICAS Y LEYES – UNIVERSIDAD DE CHILESIMULACIÓN GEOESTADÍSTICA DE VARIABLES GEOLÓGICAS Y LEYES – UNIVERSIDAD DE CHILE

08 - Kriging08 - Kriging

Estimadores lineales ponderadosEstimadores lineales ponderados Kriging SimpleKriging Simple Kriging OrdinarioKriging Ordinario Más sobre KrigingMás sobre Kriging


La idea básica es estimar el valor de un atributo (digamos, la ley La idea básica es estimar el valor de un atributo (digamos, la ley de Au) en una posición donde no conocemos el valor verdaderode Au) en una posición donde no conocemos el valor verdadero

donde u se refiere a la posición, Z*(u) es una estimación en la donde u se refiere a la posición, Z*(u) es una estimación en la posición u, hay n valores de datos Z(uposición u, hay n valores de datos Z(uii), i=1,...,n, y ), i=1,...,n, y ii se refiere a se refiere a los ponderadores.los ponderadores.

¿Qué factores podrían considerarse e la asignación de los ¿Qué factores podrían considerarse e la asignación de los ponderadores?ponderadores?

cercaníacercanía a la posición que está siendo estimada a la posición que está siendo estimada redundanciaredundancia entre los valores de datos entre los valores de datos continuidadcontinuidad anisótropa (dirección preferencial) anisótropa (dirección preferencial) magnitud de la continuidad / variabilidadmagnitud de la continuidad / variabilidad

)()(1

*i

n

ii uZuZ

Estimadores lineales Estimadores lineales ponderadosponderados


Asignar todos los ponderadores a los datos más cercanos Asignar todos los ponderadores a los datos más cercanos (estimador tipo poligonal)(estimador tipo poligonal)

Asignar los ponderadores inversamente proporcional a la Asignar los ponderadores inversamente proporcional a la distancia de la posición que se está estimando (esquemas de distancia de la posición que se está estimando (esquemas de inverso de la distancia)inverso de la distancia)

donde di es la distancia entre el dato i y la posición que se donde di es la distancia entre el dato i y la posición que se está estimando, c es una constante pequeña, y está estimando, c es una constante pequeña, y es una es una potencia (usualmente entre 1 to 3).potencia (usualmente entre 1 to 3).

¿¿Y si se usa el variograma? Y si se usa el variograma? krigingkriging

n

1i w

i

w

ii

dc1dc1



Polígonos:Polígonos:

La ley del punto La ley del punto corresponde a la de la corresponde a la de la muestra más cercanamuestra más cercana

Inverso de la distanciaInverso de la distancia

Dz(x)

d

)(

1

)(

1

1

)(

)( x

x x

x n

p

n

p

d

dz

z




KrigingKriging es “una colección de técnicas generalizadas de regresión es “una colección de técnicas generalizadas de regresión lineal para minimizar una varianza de estimación definida de un lineal para minimizar una varianza de estimación definida de un modelo a priori de covarianza” (R. Olea, 1991).modelo a priori de covarianza” (R. Olea, 1991).

Kriging es el Kriging es el mejor estimador lineal insesgadomejor estimador lineal insesgado. . ““El mejor” solamente en el sentido del error de mínimos cuadrados El mejor” solamente en el sentido del error de mínimos cuadrados

para un modelo dado de covarianza / varianzapara un modelo dado de covarianza / varianza Varios tipos de kriging:Varios tipos de kriging:

Kriging Simple: media conocida mKriging Simple: media conocida m Kriging Ordinario: media desconocidaKriging Ordinario: media desconocida Kriging con un modelo de deriva: media conocida en cada posición m(u)Kriging con un modelo de deriva: media conocida en cada posición m(u) Kriging con una deriva externa: el modelo de deriva escalado a partir de una Kriging con una deriva externa: el modelo de deriva escalado a partir de una

variable secundaria m(u)=a0+a1y(u) variable secundaria m(u)=a0+a1y(u) Kriging Factorial: El modelo de FA Z(u) es separado en componentes Kriging Factorial: El modelo de FA Z(u) es separado en componentes

independientes (factores)independientes (factores) Kriging no lineal: Lognornal, MG, Kriging de rangos, KI, KD, …Kriging no lineal: Lognornal, MG, Kriging de rangos, KI, KD, … Kriging de Indicadores: KIS, KIO, KIM, …Kriging de Indicadores: KIS, KIO, KIM, … Kriging de Probabilidades: Usa indicadores y orden estandarizado de los Kriging de Probabilidades: Usa indicadores y orden estandarizado de los

datosdatos


KrigingKriging Considere los valores de residuos respecto a la media:Considere los valores de residuos respecto a la media:

Y(uY(uii)= Z(u)= Z(uii) - m(u) - m(uii), i=1,…,n), i=1,…,ndonde m(u) podría ser constante, variable localmente o donde m(u) podría ser constante, variable localmente o considerada constante pero desconocida.considerada constante pero desconocida.

El variograma se define como:El variograma se define como:2 2 (h) = E{[ Y(u}) - Y(u + h](h) = E{[ Y(u}) - Y(u + h]22}}

La covarianza se define como:La covarianza se define como:C(h) = E{ Y(u) Y(u + h)}C(h) = E{ Y(u) Y(u + h)}

Relación entre el variograma y la covarianza:Relación entre el variograma y la covarianza: 2 2 (h)= [ E{ Y(h)= [ E{ Y22(u) + [ E{ Y(u) + [ E{ Y22(u + h)}] - 2 [ E{ Y(u) • Y(u + h)](u + h)}] - 2 [ E{ Y(u) • Y(u + h)]

= Var{Y(u)} + Var{Y(u + h)} - 2 C(h})= Var{Y(u)} + Var{Y(u + h)} - 2 C(h})= 2 [ C(0) - C(h) ]= 2 [ C(0) - C(h) ]

Así, C(h) = C(0) - Así, C(h) = C(0) - (h)(h)

C(0) = meseta

(h)

C(h)


Kriging SimpleKriging Simple Considere un estimador lineal:Considere un estimador lineal:

donde Y(udonde Y(uii) son los residuos e Y*(u) es el valor estimado ) son los residuos e Y*(u) es el valor estimado (la media debe agregarse posteriormente)(la media debe agregarse posteriormente)

La varianza del error se define como La varianza del error se define como

)u(Y)u(Y i

n

1ii

*

})]()({[ 2* uYuYE

A2-2ab+b2})]({[ 2* uYE )}()({2 * uYuYE })]({[ 2uYE

)}()({1 1

jij

n

i

n

ji uYuYE

),(1 1

jij

n

i

n

ji uuC


Kriging SimpleKriging Simple Los ponderadores óptimos (que minimizan la varianza del Los ponderadores óptimos (que minimizan la varianza del

error) error) ii, i=1,…,n pueden determinarse tomando derivadas , i=1,…,n pueden determinarse tomando derivadas parciales con respecto a los ponderadoresparciales con respecto a los ponderadores

e igualándola a ceroe igualándola a cero

Este sistema de n ecuaciones con n ponderadores Este sistema de n ecuaciones con n ponderadores desconocidos es el sistema de desconocidos es el sistema de kriging simplekriging simple (KS) (KS)

n

1jijij

i

n,...,1i,)u,u(C2)u,u(C2][

n

1jijij n,...,1i,)u,u(C)u,u(C


Kriging SimpleKriging Simple El kriging minimiza esta varianza de estimación para El kriging minimiza esta varianza de estimación para

obtener los ponderadores. Derivando e igualando a obtener los ponderadores. Derivando e igualando a cero, se obtiene el sistema de kriging simple:cero, se obtiene el sistema de kriging simple:

Y por lo tanto:Y por lo tanto:

)(

)(

)()(

)()(

0

011

1

111

xx

xx

xxxx

xxxx

nnnnn

n

C

C

CC

CC

n

KS CC1

002 )()()(

xx0x

mZZnn

11

0* 1)()(

xx


Kriging SimpleKriging Simple O en términos de variograma:O en términos de variograma:

Y se obtiene:Y se obtiene:

)(

)(

)()(

)()(

0

011

1

111

xx

xx

xxxx

xxxx

nnnnn

n

n

KS1

002 )()()(

xx0x

mZZnn

11

0* 1)()(

xx


Kriging SimpleKriging Simple Hay tres ecuaciones para Hay tres ecuaciones para

determinar los tres ponderadores:determinar los tres ponderadores:

En notación matricialEn notación matricial

Recordar que C(h) = C(0) - Recordar que C(h) = C(0) - (h)(h)

)3,0(C)3,3(C)2,3(C)1,3(C

)2,0(C)3,2(C)2,2(C)1,2(C

)1,0(C)3,1(C)2,1(C)1,1(C

321

321

321

)3,0(C

)2,0(C

)1,0(C

)3,3(C)2,3(C)1,3(C

)3,2(C)2,2(C)1,2(C

)3,1(C)2,1(C)1,1(C

3

2

1

1,2

2,3

0,3

0,20,1

1,3


Kriging SimpleKriging Simple Kriging simple con un efecto pepita cero y una Kriging simple con un efecto pepita cero y una

variograma esférico isótropo con tres alcances variograma esférico isótropo con tres alcances diferentes:diferentes:

λ 1 λ 2 λ 3rango = 10 0.781 0.012 0.065

5 0.648 -0.027 0.0011 0.000 0.000 0.000

Cambio del alcance

Distancia

alcance = 1 alcance = 5

alcance = 10


Kriging SimpleKriging Simple Kriging simple con un variograma esférico isótropo con Kriging simple con un variograma esférico isótropo con

un rango de 10 unidades de distancia y tres diferentes un rango de 10 unidades de distancia y tres diferentes efectos pepita:efectos pepita:

1 2 3

pepita = 0% 0.781 0.012 0.06525% 0.468 0.203 0.06475% 0.172 0.130 0.053

100% 0.000 0.000 0.000

Distancia

100%75%

pepita = 25%

Cambio del efecto pepita


Kriging SimpleKriging Simple Kriging simple con un variograma esférico con una Kriging simple con un variograma esférico con una

efecto pepita del 25%, un alcance principal de 10 efecto pepita del 25%, un alcance principal de 10 unidades y alcances menores diferentes:unidades y alcances menores diferentes:

1 2 3

anisotropía 1:1 0.468 0.203 0.0642:1 0.395 0.087 0.1415:1 0.152 -0.055 0.232

20:1 0.000 0.000 0.239

Cambio de anisotropía


Propiedades del Kriging Propiedades del Kriging SimpleSimple

Escribamos una forma más general del estimador de kriging Escribamos una forma más general del estimador de kriging simple, esto es, una estimación de Zsimple, esto es, una estimación de ZVV(u) con z(u) con zvv(u(uii), i=1, …, n:), i=1, …, n:

Existe solución única si la matriz Existe solución única si la matriz es definida es definida positivapositiva

El estimador kriging es insesgado:El estimador kriging es insesgado: Estimador de varianza del error mínimaEstimador de varianza del error mínima Interpolador exacto : Interpolador exacto :

ji vvC ,

0* KV ZZE

ijVvsi jii 0,1


Propiedades del Kriging Propiedades del Kriging SimpleSimple

La varianza de kriging puede calcularse antes de tener La varianza de kriging puede calcularse antes de tener la informaciónla información

Kriging considera:Kriging considera: Geometría del volumen a estimar:Geometría del volumen a estimar: Distancia de la información:Distancia de la información: Configuración de los datos:Configuración de los datos: Continuidad estructural de la variable considerada:Continuidad estructural de la variable considerada:

El efecto suavizador de kriging puede predecirseEl efecto suavizador de kriging puede predecirse La teoría de kriging es parte de la teoría probabilística La teoría de kriging es parte de la teoría probabilística

de las proyecciones: proyección ortogonal en el espacio de las proyecciones: proyección ortogonal en el espacio de combinaciones lineales de los n datos (espacio de de combinaciones lineales de los n datos (espacio de Hilbert)Hilbert)

ji vvC ,

VvC i ,

VVC ,

hC


Kriging OrdinarioKriging Ordinario En la mayoría de los casos la media es desconocidaEn la mayoría de los casos la media es desconocida Kriging Ordinario: estimador lineal que no considera la Kriging Ordinario: estimador lineal que no considera la

media conocidamedia conocida

Requiere imponer la condición de insesgo:Requiere imponer la condición de insesgo:

Los ponderadores se encuentran planteando:Los ponderadores se encuentran planteando:

n

uZuZ1

0 )()(*

1

)]([)]([)]()([

1

01

00*

n

m

n

m

m

uZEuZEuZuZE

1

n

1

1..

)(2)()()()(*min

1

1 1100

n

n nn

as

uuCCuuCuZuZVar

0


Kriging OrdinarioKriging Ordinario Kriging ordinario (media desconocida)Kriging ordinario (media desconocida) En este caso se minimiza la varianza sujeto a que la En este caso se minimiza la varianza sujeto a que la

suma de los ponderadores sea igual a 1.suma de los ponderadores sea igual a 1. El sistema de kriging ordinario queda:El sistema de kriging ordinario queda:

y y

1

)(

)(

011

1)()(

1)()(

0

011

1

111

xx

xx

xxxx

xxxx

nnnnn

n

C

C

CC

CC

n

KO C1

02

02 )()( xxx

n

ZZ1

0 )()(*

xx


Kriging OrdinarioKriging Ordinario O en términos de variograma:O en términos de variograma:

yy

1

)(

)(

011

1)()(

1)()(

0

011

1

111

xx

xx

xxxx

xxxx

nnnnn

n

n

ZZ1

0 )()(*

xx

n

KO1

002 )()( xxx


Efecto de DistanciaEfecto de Distancia Caso base y efecto del aumento en la distancia sobre Caso base y efecto del aumento en la distancia sobre

los ponderadores (los ponderadores ( ))

Caso base Efecto de distancia

50

50

0,25

0,25

0,250,25

2K = 0,1888

50

50

0,265

0,129

0,3030,303

2K = 0,2162

)100(8,02,0)( Sphh


Efecto Pantalla y Efecto Pantalla y AnisotropiaAnisotropia

Efecto pantalla y de la anisotropía (Anis. Geom. 4 x 1) Efecto pantalla y de la anisotropía (Anis. Geom. 4 x 1) sobre los ponderadores (sobre los ponderadores ( )))100(8,02,0)( Sphh

Efecto pantalla

50

50

0,247

0,174

0,2330,233

2K = 0,1668

50

0,033

0,080

Efecto de la anisotropía

50

50

0,074

0,074

0,4260,426

2K = 0,2248


Efecto de Declusterizacion y Efecto de Declusterizacion y DistanciaDistancia

Efecto de declusterización y declus. + distancia sobre Efecto de declusterización y declus. + distancia sobre los ponderadores (los ponderadores ( )))100(8,02,0)( Sphh

Efecto de declusterización Efecto de decl. + distancia

50

50

0,215

0,215

0,1060,242

2K = 0,1668

50

50

0,3437

0,3437

0,0130,2674

2K = 0,2107

0,111

0,111

100 150

0,016

0,016


Cambio en efecto pepitaCambio en efecto pepita Efecto sobre los ponderadores de un cambio en el Efecto sobre los ponderadores de un cambio en el

efecto pepita del modelo variográficoefecto pepita del modelo variográfico

(h) = 0,2 + 0,8 Sph(100) (h) = 0,7 + 0,3 Sph(100)

Caso base Cambio en el efecto pepita

50

50

0,208

0,042

2K = 0,0827

50

50

2K = 0,1206

0,1044

0,1456

50


Efecto suavizante de Efecto suavizante de KrigingKriging

Kriging es localmente preciso y suave: Kriging es localmente preciso y suave: Apropiado para visualizar derivasApropiado para visualizar derivas Inapropiado para evaluación de procesos donde los valores Inapropiado para evaluación de procesos donde los valores

extremos son importantesextremos son importantes La “varianza” de los valores estimados de kriging es muy La “varianza” de los valores estimados de kriging es muy

baja:baja:

Var{Y*(u)}=Var{Y*(u)}=22--22SKSK

22 es la varianza completa es la varianza completa 22

SKSK(u) es cero en la posición de los datos (u) es cero en la posición de los datos no hay suavizamiento.no hay suavizamiento.

22SKSK(u) es la varianza (u) es la varianza 22 lejos de la posición de los datos lejos de la posición de los datos

suavizamiento totalsuavizamiento total Las variaciones espaciales de Las variaciones espaciales de 22

SKSK(u) dependen del variograma y (u) dependen del variograma y el espaciamiento de los datosel espaciamiento de los datos

La varianza perdida es la varianza de kriging La varianza perdida es la varianza de kriging 22SKSK(u) (u)


Efecto suavizante de Efecto suavizante de KrigingKriging

La idea de la simulación es corregir la varianza y La idea de la simulación es corregir la varianza y obtener el variograma correctoobtener el variograma correcto

donde R(u) corrige la varianza perdida.donde R(u) corrige la varianza perdida. La simulación reproduce el histograma, respeta la La simulación reproduce el histograma, respeta la

variabilidad espacial (variograma), variabilidad espacial (variograma), apropiada apropiada para evaluación de procesospara evaluación de procesos

Permite una determinación de la incertidumbre con Permite una determinación de la incertidumbre con realizaciones alternativasrealizaciones alternativas

El efecto suavizante de kriging puede cuantificarseEl efecto suavizante de kriging puede cuantificarse

uuu * RYYs


ComentariosComentarios ““Los valores krigeados nunca debieran ponerse en un Los valores krigeados nunca debieran ponerse en un

mapa.” A. G. Journel, 1984mapa.” A. G. Journel, 1984 La variabilidad conjunta de los valores estimados con kriging La variabilidad conjunta de los valores estimados con kriging

es incorrectaes incorrecta Kriging respeta los datos con una discontinuidad (si, kriging Kriging respeta los datos con una discontinuidad (si, kriging

es un interpolador exacto, pero …)es un interpolador exacto, pero …) Los ponderadores de kriging no dependen del valor de los Los ponderadores de kriging no dependen del valor de los

datos:datos: las derivas se extrapolan con ponderadores negativoslas derivas se extrapolan con ponderadores negativos la varianza de kriging no depende de los valores de los datosla varianza de kriging no depende de los valores de los datos

Kriging a veces es llamado Kriging a veces es llamado BLUE: Best Linear Unbiased BLUE: Best Linear Unbiased EstimatorEstimator (Probablemente debiera llamarse (Probablemente debiera llamarse GLUE: GoodGLUE: Good …) …)


ComentariosComentarios Kriging es un estimador suave:Kriging es un estimador suave:

la variabilidad de escala más corta la variabilidad de escala más corta más más suavizamientosuavizamiento

espaciamiento amplio de datos espaciamiento amplio de datos más suavizamiento más suavizamiento El efecto suavizante puede cuantificarseEl efecto suavizante puede cuantificarse El kriging de bloques lleva a incluso más El kriging de bloques lleva a incluso más

suavizamiento (dependiendo del espaciamiento suavizamiento (dependiendo del espaciamiento de los datos). de los datos). Los estimadores de los bloques de diferentes tamaños Los estimadores de los bloques de diferentes tamaños

son a menudo similares pero no realistasson a menudo similares pero no realistas ¡¡No es una buena idea evaluar el uso de extracción No es una buena idea evaluar el uso de extracción

selectiva con kriging de bloques! (recordar el efecto selectiva con kriging de bloques! (recordar el efecto información)información)


Kriging Lognormal SimpleKriging Lognormal Simple Kriging lognormal simple:Kriging lognormal simple: Si la distribución de datos es lognormal, se hace un Si la distribución de datos es lognormal, se hace un

cambio de variable:cambio de variable:

El sistema de kriging y la varianza de estimación son El sistema de kriging y la varianza de estimación son idénticos al caso del kriging simple (se debe usar el idénticos al caso del kriging simple (se debe usar el variograma de los logaritmos).variograma de los logaritmos).

El estimador es:El estimador es:

)(ln)( xZx

nnn

xxCxxCm1

011

0* )()(

2

1)(1)()(

xx


Kriging Lognormal Kriging Lognormal OrdinarioOrdinario

Kriging lognormal ordinario:Kriging lognormal ordinario: Nuevamente, si la distribución de datos es lognormal, se Nuevamente, si la distribución de datos es lognormal, se

hace el cambio de variable:hace el cambio de variable:

El sistema de kriging y la varianza de estimación son El sistema de kriging y la varianza de estimación son idénticos al caso del kriging ordinario (se debe usar el idénticos al caso del kriging ordinario (se debe usar el variograma de los logaritmos).variograma de los logaritmos).

El estimador es:El estimador es:

)(ln)( xZx

2

1)()(

2

1)()(

10

10

*nn

xxCxxCxx


Kriging con media que Kriging con media que varía localmentevaría localmente

En presencia de una deriva, el KS no puede usarse, ya En presencia de una deriva, el KS no puede usarse, ya que asume una media constante m en cualquier lugarque asume una media constante m en cualquier lugar

La deriva debe modelarse (por ejemplo, usando una La deriva debe modelarse (por ejemplo, usando una técnica de media móvil), así en cada posición el valor técnica de media móvil), así en cada posición el valor m(u) es conocidom(u) es conocido

Kriging con una media que varía localmente Kriging con una media que varía localmente kriging con los residuoskriging con los residuos

Se necesita un modelo de covarianza para los residuosSe necesita un modelo de covarianza para los residuos Genera algunos problemas si se usa en modo simulaciónGenera algunos problemas si se usa en modo simulación

n

1

*

SK )]u(m)u(Z)[u()]u(m)u(Z[


Parámetros para KB2DParámetros para KB2D


Parámetros para KT3DParámetros para KT3D


Validaciones CruzadasValidaciones Cruzadas

Parámetros de kriging.Parámetros de kriging. Criterios:Criterios:

Media compósitos = Media puntos estimados (sesgo Media compósitos = Media puntos estimados (sesgo global)global)

Medias condicionales (sesgo condicional)Medias condicionales (sesgo condicional) Varianza (estimado-real) bajaVarianza (estimado-real) baja Distribución de errores estandarizados (debe estar Distribución de errores estandarizados (debe estar

centrada en 0)centrada en 0) Elección del mejor plan de krigingElección del mejor plan de kriging

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