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5131 解答類型１・・・ グラフを用いることについて，数学的に正しく解答しているもの 解答類型４・・・ 式を用いることについて，数学的に正しく解答しているもの 解答類型６・・・ 表や数値を用いることについて，数学的に正しく解答しているもの

中学校第３学年 数学科学習指導案 指導者：世羅西中学校 宮岡 英明

教科に関する調査の設問別の分析結果

平成２５年度 全国学力・学習状況調査 中学校数学 B問題 ３（２）

問題を解決するために，その方法に焦点を当て，表，式，グラフなどの「用いるもの」をその「用い

方」について説明する問題である。水温が熱した時間の一次関数であるとみなして捉え，場面に即して

問題を解決する力が必要である。 ○解答類型３（２２.７％）について グラフを用いることについて記述しているが，「直線のグラフをかいて利用すること」「 𝑦 座標

が８０のときの 𝑥 座標を読むこと」が記述できていない。 ○解答類型８（１８.２％）について 式を用いることについて記述しているが，「一次関数の式を求めて利用すること」「一次関数の

式に 𝑦 = 80 を代入して，𝑥 の値を求めること」が記述できていない。もしくは，表や数値を

用いることについて記述しているが，「表や数値を用いて変化の割合を求めて利用すること」「水

温が８０℃になるまでの，水を熱し始めてからの時間を算出すること」が記述できていない。

この問題を解くために必要な力

誤答分析

解答類型 １◎ ２○ ３ ４◎ ５○ ６◎ ７○ ８ 左記

以外 無解答

本校の割合

（％） 22.7 0.0 22.7 9.1 0.0 4.5 18.2 18.2 0.0 4.5

世羅町研究推進地域 様式１

正答率

本校 54.5%

全国 31.7%

【出題の趣旨】

事象を数学的に解釈し，問題解決の方法を数学的に説明

することができるかどうかをみる。 ・ 数量の関係の特徴を的確に捉え，数学的に表現すること ・ 事象を数学的に解釈し，事柄が成り立つ理由を説明すること

【学習指導要領の内容・領域】 第２学年 C 関数 （１）具体的な事象の中から二つの数量を取り出し，そ

れらの変化や対応を調べることを通して，一次関数

について理解するとともに，関数関係を見いだし表

現し考察する能力を養う。 イ 一次関数について，表，式，グラフを相互に関連

付けて理解すること。 エ 一次関数を用いて具体的な事象をとらえ説明す

ること。

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【単元名】 関数 𝑦 = 𝑎𝑥2（第３学年）

調査結果からみる課題

【課題となる力】

事象を数学的に解釈し，問題解決の方法を数

学的に説明する力

【指導上の課題】

日常的な事象を理想化・単純化して，その特

徴を数学的に捉え，実生活の場面における問

題解決に数学を活用する活動が不十分である。

また，解決の方法を論理的に説明させる指導が

足りていない。

指導改善のポイント

日常的な事象を理想化・単純化して，その

特徴を数学的に捉え，実生活の場面で問題解

決に数学を活用できるようにする。

【指導の工夫】

◇1 振り子の実験結果を理想化・単純化し，２乗

に比例する関係があることを理解させる。

◇2 事象に即して，数学的な処理を行い問題解決

させる。

調査結果の分析をふまえた指導改善のポイント 平成２５年度 全国学力・学習状況調査 中学校数学 B問題３（２）

世羅町研究推進地域 様式２

◇1 振り子の実験結果を理想化・単純化し，２乗に比例する関係があることを理解させる。

予想される実験結果 「長さ」と「周期」の関係

独立変数，従属変数を入れかえると，「長さ」は「周期」の２乗に比例する。

◇2 事象に即して，数学的な処理を行い問題解決させる。

誤差を認めながらも，２乗に比例する関数であるとみなし，「表」「式」「グラフ」を使って，

数学的に答えを求める。

予想される生徒の解答

周期が３．２倍になるとき，長さは３．２ ２ 倍になるので，

１．６×３．２×３．２ ≒ １６．３８ ｍ

𝒚 = 𝒂𝒙𝟐 に ，𝒙 = 𝟏.𝟖 ，𝒚 = 𝟎.𝟖 を代入すると，𝒂 ≒ 𝟎.𝟐𝟐 となる。

𝒚 = 𝟎.𝟐𝟐𝒙𝟐 に ，𝒙 = 𝟖.𝟎 を代入すると，𝒚 = 𝟏𝟏 となるので，

１６ｍだとわかる。

グラフで表し，𝒙 = 𝟖のときの 𝒚 の値を読み取ると，𝒚 = 𝟏𝟏なので，

１６ｍだとわかる。

⇒実際は，座標を求めないとグラフがかけないので，𝒙 座標を

入力すると近似曲線がかけるエクセルシートを用意しておく。

長さ（ｍ） 0.2 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0

周期（秒） 0.9 1.3 1.8 2.2 2.5 2.8

x 周期（秒） 0.9 1.3 1.8 2.2 2.5 2.8

y 長さ（ｍ） 0.2 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0

4倍 2 倍

2 倍 約 1.4倍

x 周期（秒） 0.9 1.8 ・・・ 2.5 ・・・ 8.0

y 長さ（ｍ） 0.2 0.8 ・・・ 1.6 ・・・

2倍 3.2倍

2 2 倍 3.2 2 倍

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12.9

18.2

24.8

45.5

37.8

27.3

23.9

9.1

0% 20% 40% 60% 80% 100%

全国平均

学校平均

数学の授業で学習したことを普段の生活の中で

活用できないか考えますか

当てはまる どちらかといえば当てはまる

どちらかといえば当てはまらない 当てはまらない

61.9

33.3

42.9

38.1

52.4

42.9

0.0

14.3

14.3

0.0

0.0

0.0

0% 20% 40% 60% 80% 100%

ＩＣＴ機器を使った授業は，わかりやすい。

ＩＣＴ機器を使った授業では，主体的に授業に

参加することができる。

ＩＣＴ機器を使って友だちの考え方や意見を

知って，学びが深まったと思う。

ICTアンケート

よくあてはまる ややあてはまる あまりあてはまらない まったくあてはまらない

本単元は，学習指導要領「Ｃ 関数」の「（１）具体的な事象の中から二つの数量を取り出し，それらの

変化や対応を調べることを通して，関数 𝑦 = 𝑎𝑥2 について理解するとともに，関数関係を見いだし表現し

考察する能力を伸ばす。」ことをねらいとしている。

中学１年では，関数の意味を理解するとともに，伴って変わる二つの数量の中から比例や反比例の関係を

見いだし，表，式，グラフを用いてそれらの変化や対応について調べている。また，中学２年では，１次関

数について学習し，変化の割合を導入するなど，関数関係を見いだし表現し考察する能力を漸次高めてきて

いる。

これらの学習をもとに，本単元では２乗に比例する関数 𝑦 = 𝑎𝑥2 について学習し，変化の割合やグラフ

の特徴など関数への理解を一層深める。また，日常生活や社会にはこれ以外にも様々な関数関係があること

を取り扱うことにより，後の学習の素地を養う。

全国学力・学習状況調査のアンケート「数学の授業で学習したことを普段の生活の中で活用できないか考

えますか」の項目の結果を見ると，全国平均よりは高いものの，数学の授業で学習した内容を普段の生活場

面で活用できないかと考える生徒は少ない。数学の学習が，予め理想化・単純化された題材による，数学的

な解決を重視した授業構成になっていることが要因として考えられる。 また，本校の数学の授業では，昨年度からの ICT 機器の急速な整備により，数学の授業ではほぼ毎時間 ICT

を活用した授業展開をしている。そのため，本学級の生徒は ICT 活用の授業に対してかなり肯定的であり，

支援が必要な生徒にとっても有効的であることが分かってきた。

本単元の指導に当たっては，点をプロットすることによって描かれるグラフの動きや放物線の開きぐあい

など，ICT 機器を効果的に活用し，関数の基本的な知識や技能を確実に習得させておきたい。 また，日常生活や社会で数学がどのように活用できるのか実感できる題材が少ないことから，本単元では

「振り子」の実験を通して，𝑦 = 𝑎𝑥2 という関数を身近に感じ，興味を持って学習に臨ませたい。振り子の

実験は簡単，かつ正確な実験結果が得られやすいというだけでなく，誰がやってもほとんど同じ値が得られ

ることに感動があり，身近な事象やそこに現れる法則へ関心を高めることができる。そして，その結果を手

がかりに問題解決させることで，数学を活用することのよさを感じさせていきたい。

中学校第３学年 数学科学習指導案

単元名：関数 𝒚 = 𝒂𝒙𝟐

単元について

世羅町研究推進地域 様式３

生徒観

指導観

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具体的な事象の中から二つの数量を取り出し，それらの変化や対応を調べることを通して，関数 𝑦 = 𝑎𝑥2

について理解するとともに，関数関係を見いだし表現し考察する能力を伸ばす。

（１） 事象の中には関数 𝑦 = 𝑎𝑥2 としてとらえられるものがあることを知ること。 （２） 関数 𝑦 = 𝑎𝑥2 について，表，式，グラフを相互に関連付けて理解すること。 （３） 関数 𝑦 = 𝑎𝑥2 を用いて具体的な事象をとらえ説明すること。 （４） いろいろな事象の中に，関数関係があることを理解すること。

数学への

関心・意欲・態度 数学的な見方や考え方 数学的な技能

数量や図形などについて

の知識・理解

・ 関数 𝑦 = 𝑎𝑥2 に関心を

もち，具体的な事象の中

から関数 𝑦 = 𝑎𝑥2 とし

てとらえられる２つの

数量を見いだし，その関

係を式で表したりしよ

うとしている。

・ 関数 𝑦 = 𝑎𝑥2 の特徴に

関心をもち，表，式，グ

ラフを用いて考えよう

としている。

・ 関数 𝑦 = 𝑎𝑥2 を用いて

具体的な事象をとらえ

説明することに関心を

もち，問題の解決に生か

そうとしている。

・ 関数 𝑦 = 𝑎𝑥2 の特徴

を，表，式，グラフを相

互に関連付けるなどし

て見出すことができる。

・ 具体的な事象から２つ

の数量の関係が関数 𝑦 = 𝑎𝑥2 であるかどう

かを判断し，その変化や

対応の特徴をとらえ，説

明することができる。

・ 具体的な事象の中から

見いだした関数関係を，

表，式，グラフなどで表

し，根拠を明確にしてど

んな関数かを説明でき

る。

・ 関数 𝑦 = 𝑎𝑥2 を用いて

調べたり，予測したりし

た結果が適切であるか

どうかを振り返って考

えることができる。

・ 関数 𝑦 = 𝑎𝑥2 の関係を

式で表すことができる。

・ 関数 𝑦 = 𝑎𝑥2 の関係を

表す式に数を代入し，対

応する値を求めること

ができる。

・ 関数 𝑦 = 𝑎𝑥2 の関係を

表，式，グラフで表すこ

とができる。

・ 関数 𝑦 = 𝑎𝑥2 の変化の

割合を求めることがで

きる。

・ 関数 𝑦 = 𝑎𝑥2 の関係を

表，式，グラフを用いて

表現したり，処理したり

することができる。

・ 関数 𝑦 = 𝑎𝑥2 の意味を

理解している。

・ 関数 𝑦 = 𝑎𝑥2 の特徴を

理解している。

・ 具体的な事象の中から

見いだした関数関係に

は，既習の比例・反比例

・一次関数・関数 𝑦 = 𝑎𝑥2 とは異なるも

のがあることを理解し

ている。

（全１５時間）

次 学習内容（時数） 評 価

関 考 技 知 評 価 規 準 評価方法

一

２乗に比例する関数 （２）

・ 具体的な事象の変化や

対応を調べることをと

おして， 𝑦 = 𝑎𝑥2 について理解する

・ ２乗に比例する関係の

式を求める

○ ・ 関数 𝑦 = 𝑎𝑥2 に関心をもち，具体的な事象の中

から関数 𝑦 = 𝑎𝑥2 としてとらえられる２つの

数量を見いだし，その関係を式で表したりしよう

としている。

行動観察

◎ ・ 関数 𝑦 = 𝑎𝑥2 の関係を式で表すことができる。 ノート

○ ・ 関数 𝑦 = 𝑎𝑥2 の関係を表す式に数を代入し，対

応する値を求めることができる。 ノート

○ ・ 関数 𝑦 = 𝑎𝑥2 の意味を理解している。 説明

二

関数 𝑦 = 𝑎𝑥2 のグラフ （３）

・ 関数 𝑦 = 𝑎𝑥2 のグラフ

とその特徴を理解する

◎ ・ 関数 𝑦 = 𝑎𝑥2 の特徴を，表，式，グラフを相互

に関連付けるなどして見出すことができる。

説明

○ ・ 関数 𝑦 = 𝑎𝑥2 の特徴を理解している。 説明

単元の目標と評価規準

指導と評価の計画

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関数 𝑦 = 𝑎𝑥2 の値の変化 （２）

・ グ ラ フ から ， 関数 𝑦 = 𝑎𝑥2 の𝑦の値の増

減を調べる

・ 𝑥の変域から𝑦の変域

を求める

・ 関数 𝑦 = 𝑎𝑥2 の変化

の割合を理解する

○ ・ 関数 𝑦 = 𝑎𝑥2 の特徴に関心をもち，表，式，グ

ラフを用いて考えようとしている。 行動観察

○ ・ 関数 𝑦 = 𝑎𝑥2 の関係を表，式，グラフで表すこ

とができる。

ノート

○ ・ 関数 𝑦 = 𝑎𝑥2 の変化の割合を求めることがで

きる。

ノート

三

関数 𝑦 = 𝑎𝑥2の活用 （４）

・ 事 象 の 中か ら 関数 𝑦 = 𝑎𝑥2 を見いだし，

問題の解決に活用する

（本時４／４）

○ ・ 関数 𝑦 = 𝑎𝑥2 を用いて具体的な事象をとらえ

説明することに関心をもち，問題の解決に生かそ

うとしている。

行動観察

◎ ・ 具体的な事象から２つの数量の関係が関数 𝑦 = 𝑎𝑥2 であるかどうかを判断し，その変化や

対応の特徴をとらえ，説明することができる。

説明

○ ・ 関数 𝑦 = 𝑎𝑥2 の関係を表，式，グラフを用いて

表現したり，処理したりすることができる。

ワークシート

四

いろいろな関数（２）

○ ・ 具体的な事象の中から見いだした関数関係には，

既習の比例・反比例・一次関数・関数 𝑦 = 𝑎𝑥2 とは異なるものがあることを理解している。

説明

◎ ・ 具体的な事象の中から見いだした関数関係を，

表，式，グラフなどで表し，根拠を明確にしてど

んな関数かを説明できる。

説明

五

まとめと問題（２） ◎ ・ 関数 𝑦 = 𝑎𝑥2 を用いて調べたり，予測したりし

た結果が適切であるかどうかを振り返って考え

ることができる。

説明

評価問題

※太枠部分が課題となる力を特に育成する時間

（１）本時の目標

実験結果をもとに関数の関係を見いだし，それを使って問題解決することができる。

（２）人権教育の視点

ペアで考えを交流し，相手の考えのよさに気づき，伝えることができる。（他者を大切にする）

（３）準備物

ワークシート，電子黒板セット（PC，プロジェクタ，電子黒板ユニット），生徒用タブレット PC，計算機

（４）本時の学習展開

●ねらい－まとめ ■言語活動 ★発声 ▲熟考・表現タイム □ドリル

学習活動 指導上の留意事項 評価規準 評価方法

○アルプスの少女ハイジのオープ

ニングの映像を見て，本時の目

標を確認する。

○動画を使って，興味を持た

せ，周期が８秒であることを

確認する。

本時の学習

つなぎ・理由づけ（発表力） ひろしま学びのサイクル 論理力の視点・書く活動

事象を数学的に解

釈し，問題解決の方

法を数学的に説明

することができる。

１ ● 本時の目標を確認する。（５分）

ハイジのブランコは何ｍあるのか，数学的に求めることができる。

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○前時の振り子の実験の集計結果

をみる。

○実験の様子（動画）を提示

し，想起させる。

○各班の実験結果から，クラスの

平均値をみる。 予想される実験結果 ○どの班もほぼ同じ結果であるこ

とから，「長さ」と「周期」は関

数の関係にあることを確認する。

○各班の実験結果の平均をも

とに，さらに平均をとること

で誤差を少なくすることを

確認させる。

○３人グループで，「長さ」と「周

期」の関係について考え，問題

解決のための方法を考える。

○具体的な答えを求める前

に，その方法をつかませる。 ○各自に１台計算機を与え，

小数の計算に時間をかけさ

せないようにする。

◎具体的な事象から２つの数量の関 係 が 関 数 𝑦 = 𝑎𝑥2 であるかどうかを判断し，その変化や対応の特徴をとらえ，説明することができる。

説明

■どんな関数になり，ハイジのブ

ランコの長さをどうやって求め

るかを，個人で考える。

○誤差を考え，計算しやすい

よう近似値に置き換えるこ

とが，数学的に処理するコツ

であることを理解させる。

○ 関 数 𝑦 = 𝑎𝑥2 の関係を表，式，

グラフを用いて

表現したり，処

理したりするこ

とができる。

ワークシート

しっかり学ぶ

表，式，グラフをもとに，関数関係を判断し，

問題解決に結びつける。【関係性（関連付け）】

３ 問題を解決する。（３５分）

予想される生徒の解答

「周期」が 𝒏 倍のとき，「長さ」が 𝒏𝟐倍になることから，「長さ」は「周期」の２乗に比例することがわかる。

⇒表の値の変化から求めることができる。

⇒ 𝒚 = 𝒂𝒙𝟐 の式を求め，式に代入して求めることができる。

𝒙 軸に「周期」，𝒚 軸に「長さ」をとると，グラフが放物線になることから，「長さ」は「周期」の２乗に比例することがわかる。

⇒グラフの値を読み取って求めることができる。

じっくり考える（熟考タイム）

長さ（ｍ） 0.2 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0

周期（秒） 0.9 1.3 1.8 2.2 2.5 2.8

２ 前時の振り返りをする。（５分）

前時は，「重さ」と「周期」，「振れ幅」と「周期」は関係ないことを， 映像を使って確認した後，「長さ」と「周期」の関係を各班で実験している。

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（５）板書計画 「重さ」と「周期」は関係ない 「振れ幅」と「周期」は関係ない

「長さ」と「周期」について

実験結果

▲３人グループで解き方を交流

し，どんな考え方があるか，発

表用のワークシート（タブレッ

ト PC）に書く。

▲代表者が発表する。

○視覚的に分かりやすいよう

に，タブレットに書かれたワ

ークシートを電子黒板に転

送し，示しながら説明させ

る。

●関数を使って，問題が解決でき

たことを確認する。

○もう一度動画を見て，数学

的に解決したことを確認す

る。

電子黒板

ハイジのブランコは何ｍあるのか，

関数の関係を使って求めてみよう！

長さ（ｍ） 0.2 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0

周期（秒） 0.9 1.3 1.8 2.2 2.5 2.8

はっきり表現する（表現タイム）

４ 本時の学習を振り返る。（５分）

聞き手を意識しながら発表する。

根拠を数学的な用語を使って説明する。 【語彙力（基本概念・学習用語）】

予想される生徒の解答

周期が３．２倍になるとき，長さは３．２ ２ 倍

になるので，

１．６×３．２×３．２ ≒ １６．３８ ｍ

𝒚 = 𝒂𝒙𝟐 に ，𝒙 = 𝟏.𝟖 ，𝒚 = 𝟎.𝟖 を代入すると，𝒂 ≒ 𝟎.𝟐𝟐 となる。

𝒚 = 𝟎.𝟐𝟐𝒙𝟐 に ，𝒙 = 𝟖.𝟎 を代入すると，𝒚 = 𝟏𝟏 となるので，

１６ｍだとわかる。

グラフで表し，𝒙 = 𝟖のときの 𝒚 の値を読み取ると，𝒚 = 𝟏𝟏なので，

１６ｍだとわかる。

⇒実際は，座標を求めないとグラフがかけないので，𝒙 座標を

入力すると近似曲線がかけるエクセルシートを用意しておく。

x 周期（秒） 0.9 1.8 ・・・ 2.5 ・・・ 8.0

y 長さ（ｍ） 0.2 0.8 ・・・ 1.6 ・・・

2倍 3.2倍

2 2 倍 3.2 2 倍

ペア活動により，相手のよ

さを認める。（③交流型） ○３人グループで考えを交流させ，

相手の考えのよさに気づき，伝え

ることができる。（他者を大切にする）

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３年 番 名前

各班のふりこの実験結果を平均すると，次の表ような結果になりました。

長さ（ｍ） 0.2 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0

周期（秒） 0.9 1.3 1.8 2.2 2.5 2.8

グループで，「長さ」を「周期」の関係について，どんな関数になるかを考え，

ハイジのブランコの長さをどうやったら求めることができるか，その方法を考えてみよう！

ハイジのブランコは何ｍあるのか，

数学的に求めてみよう！

これまでに学習した関数の種類には

「 𝒚 」は「 𝒙 」に比例する。

「 𝒚 」は「 𝒙 」に反比例する。

「 𝒚 」は「 𝒙 」の一次関数である。

「 𝒚 」は「 𝒙 」の２乗に比例する。

説 明 原 稿 づ く り

ハイジのブランコは何ｍあるのか，数学的に説明してみよう！

関数の判断 比例する？

反比例する？

一次関数である？

２乗に比例する？

振り子の「長さ」と「周期」の関係について，私は，

「 」 は 「 」 と

判断しました。

判断の理由と，

問題解決の方法

表・式・グラフのうち，

必要なものを使う

結論 ハイジのブランコは， m である。

（　　　　　　）

（　　　　　　）

𝑥

𝑦

𝑥

𝑦

𝒙

𝒚

（６）ワークシート