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1
第3章 离散时间信号的傅立叶变换DTFT及离散傅立叶变换DFT
傅立叶变换是信号分析中最重要的分析手段，DTFT定义为序列的傅立叶变换（频谱），DFT则是一种有很大实用价值的傅立叶变换工具,它使得时域和频域的计算变的简单有效,更为重要的是DFT有快速算法(FFT),从而可以应用于实时DSP系统。
本章主要介绍有关DTFT和DFT的理论，包括采样理论，深刻揭示它们的关系和物理意义，最后讨论正弦信号采样中的特殊问题。
2
3.1 连续时间信号的傅立叶变换
( )
∫
∫∞
∞−
Ω−
∞
∞−
Ω
=Ω
ΩΩ=
dtetxjX
dejXtxtx
tj
tj
)()(
)(21)(π
非周期：
( )
∫
∑+
Ω−
∞
−∞=
Ω
=Ω
Ω=
Tt
t
tjk
k
tjk
dtetxT
kX
ekXtxtx
0
0
)(1)(
)()(
0
0周期：
3.2 离散时间信号的傅立叶变换（DTFT）3.2.1 DTFT定义
设x（n）是绝对可和的（例如，非周期序列），则
∫
∑
=
=∞
−∞=
−
πωω
ωω
ωπ
2
0
)(21)(
)()(
deeXnx
enxeX
njj
n
njj正变换
（分析式）
反变换
（综合式）
3
DTFT的一些说明：
要求序列是能量信号（非周期序列）；
仍然具有傅立叶变换的共同特征和意义：表示了序列中不同频率的正弦序列的幅度和相位的大小分布；
具有与普通傅立叶变换不同的特性：序列傅立叶变换关于频率是周期的，周期为2π，这种周期性质与频率ω的周期性是对应的；
4
)()(
)()(
2
)2()2(
ωπω
πωπω
j
n
nljnj
n
nljlj
eXenx
enxeX
==
=
∑
∑∞
−∞=
−−
∞
−∞=
+−+
)( ωjeX
ω-2π 2π0
3.2.2 DTFT的性质
1. 线性
)()()()(
)()(
)()(
2121
22
11
ωω
ω
ω
jj
j
j
ebXeaXnbxnax
eXnx
eXnx
+>−−−<+
>−−−<
>−−−<
2. 时移性
)()(
)()(0
0ωω
ω
jnj
j
eXennx
eXnx−>−−−<−
>−−−<
5
3 奇、偶、虚、实对称性
设 x（n）是实信号，且
)(|)(|
)()()(ωϕω
ωωω
jj
jI
jR
j
eeX
ejXeXeX
=
+=
存在对称性： 是偶函数)( ωjR eX |)(| ωjeX
)( ωjI eX )(ωϕ 是奇函数
若 x（n）是偶函数，傅立叶变换为实数，相为零。还有其它的对称性（略）。
6
4 时域卷积定理
)()()(*)( ωω jj eHeXnhnx >−−<
5 频域卷积定理
θπ
π
π
θωθωω deHeXeHeXnhnx jjjj ∫−
−=>−−< )()(21)(*)()()( )(
6 时域相关定理
7
2
*
|)(|)()(
)()()()(
ω
ωω
j
n
jj
n
eXmnxnx
eHeXmnhnx
>−−<+
>−−<+
∑
∑∞
−∞=
∞
−∞=
7 Parseval 定理（能量守恒）
总能量）(
|)(|21
|)(|)()(
2
0
2
2*
Ex
deX
nxnxnx
j
nn
=
=
=
∫
∑∑∞
−∞=
∞
−∞=
ωπ
πω
8 Wiener--Khinchin 定理
称作功率谱密度。
12|)(|)()( 2lim +
==∞>−
∞
−∞=
−∑ NeXemreP
jN
Nn
njx
jω
ωω
8
3.2.3 DTFT的应用
例3.2.3 研究窗函数谱以及对信号截断产生的影响
主瓣mainlobeN=16
旁瓣sidelobes
N=32
9
N增加对频谱的影响
N=31
N=51
理想频谱
实际频谱
10
加窗对理想滤波器的影响
理想滤波器频响
截断滤波器频响
11
3.3 连续时间信号的抽样
模拟信号数字处理方法
预滤波 ADC DSP系统 DAC 平滑滤波器y（t）x（t）
预滤波: 前置模拟滤波器,预处理,抗混叠;
ADC : 离散和量化编码;
DSP系统: 完成所需要的信号处理(数字滤波器);
DAC : 转换为模拟信号;
平滑滤波器:低通滤波,平滑输出
其中的DSP系统是整个系统的核心,在理论上建立一套描述信号和系统特性的方法,是DSP的一个基本问题.
12
13
抽样的几个重要问题：
x（nTs）是否包含了x（t）的全部信息？
离散后的序列的频谱和原来的频谱有怎样的关系？
如果由x（nTs）恢复x（t），该如何操作？
)()( Ω>−−< jXtx aa
∑∞
−∞=
=
−=
==
ks
anTtas
kTttp
tptxtxnTxs
)()(
)()(|)()(
δ
)(*)()()( ΩΩ>−−< jPjXtptx aa
∑∞
−∞=
Ω−Ω=Ωk
ss
kT
jP )(2)( δπsss Tf /22 ππ ==Ω
∑
∑∞
−∞=
∞
−∞=
−Ω=
Ω−Ω=Ω
ksa
s
ksa
ss
TjkjXT
jkjXT
jX
)/2(1
)(1)(
π
另一个角度对序列分析，应有
∑∞
−∞=
−=k
njs
j enTxeX ωω )()(
14
的意义应是相同的和因此， )()( ΩjXeX sjω
∑
∑∞
−∞=Ω=
∞
−∞==Ω
−Ω==Ω
−=Ω=
ksa
sT
js
k ssa
sTs
j
TjkjXT
eXjX
Tjk
TjX
TjXeX
s
s
)/2(1|)()(
)2(1|)()( /
π
πω
ωω
ωω
)( ωjeX
2π-2πω
)( ΩjXs
Ωs-Ωs
fs>2fmax
0Ω
2ππ
fsfs/2 fs<2fmax
15失真区域
16
几个重要的结论：
（1）对连续信号进行等间隔理想采样， 采样后序列的频谱是原信号
频谱以采样频率为周期进行“周期延拓”形成的；
（2）若信号是带限信号，最高频率是fc，若采样频率fs大于fc的两倍以上，信号的各个周期就不会发生混叠，若通过一个截止频率为fs/2的理
想低通滤波器，就可以恢复原来的模拟信号了。若不满足这一条件，序列的频谱就会混叠，采样后的序列已经无法表示原来的信号了，自然也就无法恢复了；
（3） Nyquist采样定理（Shannon）
是关于采样频率的选择条件：
fs ≥ 2fc
“采样频率大于等于信号最高频率的两倍。”
实际中，可选择采样频率大于等于3~4倍以上，并前加一个抗混叠滤
波器，以避免高于fs/2的频谱（折叠）影响低于fs/2的频谱， 称 fs/2 “折叠频率” ， -fs/2 ~fs/2 称为“Nyquist区间”
3.3.2 信号的重建
)( ωjeX
17
2π-2π 0ω
)( ΩjXs
fs>2fmax
理想低通滤波器
(-fs/2) (fs/2) (f)(fs)(-fs)
)()()()(2/||02/||
)(
Ω=ΩΩ=Ω⎩⎨⎧
Ω>ΩΩ≤Ω
=Ω
jXjXjHjY
TsjH
as
s
s
理想低通滤波器
h（t）
x（nTs） y（t）=xa（t）
tftf
tt
deT
dejHth
s
s
s
s
tjs
tj
s
s
s
s
ππ
π
π
)sin(2/
)2/sin(
21
)(21)(
2/
2/
2/
2/
=ΩΩ
=
Ω=
ΩΩ=
ΩΩ
Ω−
ΩΩ
Ω−
∫
∫理想滤波器的冲击响应
18)(
/)(]/)(sin[)(
)(*)()()(*)()(
txTsnTst
TsnTstnTsx
thTsnttxthnTsxty
a
k
na
=−−
=
−==
∑
∑∞
−∞=
∞
−∞=
ππ
δ
∑∞
−∞=
−Φ=k
a nTstnTsxtx )()()(ideal stairca
se
tftft
s
s
ππ )sin()( =Φ
x(1)
x(2)
x(3)x(0)
x(-1)
19
模拟信号重建的工程实现（D/A转换器）
阶梯重建（staircase reconstructors）
)(txay（n）
D/A
阶梯重建器
T
h(t)
0 T⎩⎨⎧ ≤≤
=otherwise
Ttth
001
)(t
20
21
s
ss
s
sS fT
fTTT
TTjHππ )sin(
2/)2/sin()( =
ΩΩ
=Ω
fs=1000Hz
4dBIdeal
22
残余复制中心局部崎变
staircase
reconstructor
anti-image
lowpasspostfilterdigital
signalanalog signal
analog signal
ideal reconstructor
23
stopbandattenuationanti-image
lowpasspostfilter
数字均衡器
digital equalizer HEQ（f）
anti-image postfilter
HPOST（f）
Staircase reconstrucor
H（f）digital signal
digital signal
analog signal
)(nTsy )(nTsyEQ )(tya )(tyPOST
analog signal
4dB
|HEQ(f)|
|H(f)|/Ts
24
22)sin()()( ssfTj
s
ssEQ
fffforefT
fTfH
TfH s ≤≤−== π
ππ
25
2ππ
fsfs/2
-π
f
X(f)
ωXs(f),X(ejw)
f,ω
3.4 离散时间周期信号的傅立叶变换---离散傅立叶级数（DFS）
∑
∑
∑
∑
∞
−∞=
∞
−∞=
∞
−∞=
Ω=
∞
−∞=
Ω
Ω=
Ω=
Ω==
=ΩΩ=
−−−−−−−−−
k
nN
jk
k
nTT
jk
k
nTjknTts
k
tjk
ekX
ekX
ekXtxnTx
TekXtx
NNTsnTsxTtx
s
s
s
π
π
π
2
0
2
0
0
00
)(
)(
)(|)(~)(~
/2)()(~
)(~,)(~
0
0
knN
jnNlkN
jee
ππ 2)(2
=+
26
该函数是周期的 ，
周期等于N.
所以，X(kΩ0)也是周期的，周期等于N，(k=0,1,2….N-1)
knN
jN
kekX
Nnx
kXN
kXkNXkX
π21
0
00
)(~1)(~
)(~1)(),()(~
∑−
=
=
=ΩΩ=
DFS 定义:
knN
jN
k
knN
jN
n
ekXN
nx
enxkX
π
π
21
0
21
0
)(~1)(~
)(~)(~
∑
∑
−
=
−−
=
=
=
27
28
x(n) X(k)
…. ……
…. ….
n N=4 kN=4
3.5 离散傅立叶变换 (DFT)针对有限长序列，引入DFT，将序列的傅立叶分析变为具有
计算简单、实现容易的离散傅立叶变换，是一项重要的成果。
1,....1,0
)(1)(1)(
1,....1,0
)()()(
1
0
21
0
21
0
21
0
−=
==
−=
===
−−
=
−
=
−−
=
−−
=
∑∑
∑∑
Nn
WkXN
ekXN
nx
Nk
eWWnxenxkX
knN
k
knN
jN
k
Njkn
N
n
knN
jN
n
π
ππ
)()()(~)()(~)( nxnRnxlNnxnxnx Nl
=⎯⎯→⎯+=⎯⎯⎯ →⎯ ∑∞
−∞=
截断周期延拓
29
)()()(~)(~)(~)(~21
0kXkRkXenxkXnx N
knN
jN
n
DFS =⎯→⎯=⎯⎯→←−−
=∑
π
1,....1,0)()(21
0−==
−−
=∑ NkenxkX
knN
jN
n
π
)()()(~
)(~1)(~)(~)()(~)(1
0
2
nxnRnx
ekXN
nxkXkRkXkX
N
N
k
knN
jDFSN
=⎯⎯→⎯
=⎯⎯→←⎯⎯⎯ →⎯= ∑−
=
截断
周期延拓π
30
n
)(~ nx)(nx
DFS
)(~ kX
n
)(kXDFT
k k
DFT 的几个特点：
隐含的周期性； 只适合于有限长序列； 正反变换运算的相似性和简单性。
3.5.2 DFT 导出的图形解释
31
)( ωjeX)(nx
DTFT
)( ΩjQDTFT)(tq….. …..
DFS
DFT
)(~ nx
)(kX
)(~ kX
)(nx
3.5.3 DFT 与DTFT 及Z变换的关系
设 x（n）是一个N点有限长序列，即 n=0，1，….N-1
它的Z变换、DTFT和DFT都存在，考察它们的关系。
10|)(|)()(
)()(
)()(
2
1
0
1
0
2 −≤≤==
=
=
==
−−
=
−−
=
∑
∑
NkeXzXkX
enxeX
znxzX
kN
j
ez
njN
n
j
nN
n
kN
j πω
ω
ωω
π
32
)(kX
33
)( ωjeX
k=0
k=2k=3[Z]
k=1
k=N-1
0 1 2 k=N-1
kN
j
k ezπ2
= kNkπω 2
=
)1(
1)()(
)1(
1)()(
2
1
0
12
1
0
ωπ
ωω
π
jkN
j
NjN
k
j
kN
j
NN
k
eeN
ekXeX
zeN
zkXzX
−
−−
=
−
−−
=
−
−=
−
−=
∑
∑
3.5.3 DFT的性质
1. 线性
)()()]()([ 2121 kbXkaXnbxnaxDFT +=+
2. 正交性
34T
N
TN
NN
N
N
nkN
Nxxxx
NXXX
WWW
WWWWWWWWW
W
)]1(...),........1(),0([
)]1(),.......1(),0([
.............................
][
2)1(10
)1(220
110
000
−=
−=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
==
−−
−
−
X
W
DFT写成矩阵和向量形式:NNN xWX =
NW其中, 是正交矩阵,具有下列性质:
NNNNN
NN
N
k
kkmN
k
nkmkNN
Nx
N
NnmnmN
WWW
XWXW
WW
I
WW
*1
*1
1
0
)(1
0
*
1
1
0
==
=
=⎩⎨⎧
≠=
===
−
−
−
=
−−
=
− ∑∑
35
3. 移位性质
)()]([ kXWmnxDFT km−=+
36
)(nx )( mnx + )(~ mnx +
)()(~ nRmnx N+DFT
)(kXW km−
4. 奇、偶、虚、实对称性质
)()()()(
)](arg[)](arg[|)(||)(|
)()()()(
)()()]([
*
*
*
***
kXkXthennxnxif
kNXkXkNXkX
kNXkXthennxnxif
kNXkXnxDFT
=
−=−−=
−=−=
=
−=−=
37
5. Parseval 定理
∑∑−
=
−
=
=1
0
21
0
2 |)(|1|)(|N
n
N
nkX
Nnx
6. 时域循环卷积y（n mod N）=x（n） h（n）
)mod()()mod(1
0NinhixNny
N
i−=∑
−
=
)()()( kHkXkY =38
3.6 用DFT计算线性卷积
)()()(
)(*)()(
nhnxny
nhnxny
c ⊗=
= x（n）----M点
h（n）----L点
y（n）和 yc（n）相等的条件是：
yc（n）计算的点数大于等于 y（n）的长度
⎩⎨⎧
−+=−=
=
⎩⎨⎧
−+=−=
=
2,....01,....1,0)(
)(
2,....01,....1,0)(
)(
'
'
LMLnLnnh
nh
LMMnMnnx
nx步骤1：
39
)]([)()]([)(
''
''
nhDFTkHnxDFTkX
=
=步骤2：
或者，直接计算它们的M+L-1点的循环卷积。
步骤3：)]()([)( '' kHkXIDFTny =
40
41
DFT
DFT
IDFT
X (k) x (n)和h(n)的循环卷积
x(n)
h(n)
H(k)
用DFT计算循环卷积
补L-1零点
补M-1零点
M+L-1点DFT
M+L-1点DFT
M+L-1点IDFT
x（n）x (n)*h(n)
h（n）
用DFT计算线性卷积
3.7 与DFT有关的几个问题
3.7.1 频率分辨率及DFT参数的选择
频率分辨率的定义:
• 表示某种谱分析方法将原信号x(n)中两个靠得很近的谱峰能保持分开 的能力;
• 使用DFT时,在频率轴上所能得到的最小频率间隔 ∆f.
Nπωω 4|| 12 >−
Nπ4
ω另一个方面,DFT计算时,频率的最小间隔是
42Nff
Nf
NTNss
s
Ts =∆>−=⎯⎯ →⎯=∆ ∆ πππω ω 222 /
43
TNTNff
s
s 11===∆
T----信号的记录长度
例3.7.1 f1=2HZ, f2=2.02HZ, f3=2.07HZ
Fs=10Hz, T=25.6S, N=256;N=1024
x(n)=sin(2*PI*f1/Fs*n)+sin(2*PI*f2/Fs*n)+sin(2*PI*f2/Fs*n)
∆f1=10/256=0.0390625Hz, ∆f2=10/1024=0.009765
f1-f2=-0.02,f1-f3=-0.07, f2-f3=-0.05
%-----------------------------------------------------------------
MATLAB:
f1=2;f2=2.02;f3=2.07;N=256;fs=10;
n=[1:N];
x=sin(2*pi*f1/fs*(n-1))+sin(2*pi*f2/fs*(n-))+sin(2*pi*f3/fs*(n-1));
y=fft(x,N);
plot(abs(y));
44
N=256
T=25.6s
N=1024
T=102.4s
DFT参数选择的一般原则：
1. 若信号的最高频率为fc，为防止混叠, 采样频率fs选择:
fs ≥ 2fc
2. 根据实际谱分析需要, 选定频率分辨率∆f, 确定信号的分析点数N:
N ≥ fs/∆f3. 确定模拟信号的记录长度T:
T ≥ NTs=N/fs
∆f ≤ 1/T
3.7.2 补零问题
什么是DFT的补零?
计算序列DFT的点数超过了序列的实际点数.45
DFT区间
)(nx N点DFT )(~ nx
N点序列
)(~' nxDFT区间
大于N点DFT
小于N点DFT
)(~1 nx
DFT区间
序列失真部分46
关于DFT补零处理的一个重要结论:
补零不能提高DFT的谱分辨率.
谱分析的分辨率由序列的实际点数,或信号的记录长度
决定,而不由DFT的点数决定.
补零后的长度是DFT的长度,或是频域离散的点数,而不
是信号的实际长度.
补零可以带来一些好处:
1. 使DFT的点数成为2的幂次,如32,64,1024…;
2. 可以直接获得频谱更多的数据,使DFT的结果更加平滑,克服所谓“栅栏效应”; 有助于直接对DFT的结果进行检测.
47
例3.7.2 N点序列: x(n),n=0,1,…N-1, 它的N点DFT为X(k)
求它得rN点DFT, X’(k)与X(k)的关系.
)(
)(
)()(
)(21
0
21
0
'
rkX
enx
enxkX
nrk
NjN
n
knrN
jN
n
=
=
=
−−
=
−−
=
∑
∑π
π
48
rNkrmj
rkrmj
N
m
erNkrmerkrmkmS
kmSN
mXkX
/)(
/)(
1
0
'
]/)(sin[]/)(sin[),(
),()()(
−
−
−
=
−−
=
= ∑
π
π
ππ
)(' kX)(kX )( ωjeX)(~' nx
DFT区间
例 3.7.3 x（t）=sin（2*pi*f1）+ cos（2*pi*f2）+ sin（2*pi*f3）
fs=20，f1=2.67, f2=3.75, f3=6.75, N=16
49
50
3.7.3 DFT 对FT的近似
51
)(txa )(nxa抽样
t=nTs)()( ndnxa
截断 )(nxN
周期延拓
)(~ nx
取主值序列
)( ΩjXa )( ωja eX
抽样
Ωs=2π/Ts)(*)( ωω jj
a eDeX卷积 )(kXN )(~ kX
周期延拓
FT DTFT DTFT DFT DFS
周期延拓
Ω0=2π/NTs 取主值序列
两个问题:
1. XN(k)或X(k)是否为Xa(jΩ)的准确采样?
2. XN(k)或X(k)的反变换xN(n)是否为xa(t)的准确采样?
信号的时宽—带宽制约关系: 用时宽带宽积表示:
TW2 FW2 ≥ 1/4π例3.7.4 x(n)=[8,7,6,5,4,3,2,1] , 做6点DFT,记XN(k)- xN(n),分析与原序列的关系.
∑∞
−∞=
+=l
NN nRlNnxnx )()()(
)(~ nx
序列失真部分
…………
)( nx N
52
例3.7.5 x(t)实指数信号-- x(n)
x(n) xN(n), N=6
531,..1,01
)]([)(
1
1)(
11)()(
1||)()(
2
0
−=−
==
−=
−==
<=
−
−−
∞
=∑
Nna
akXIDFTnx
aekX
aeenxeX
anuanx
N
n
NN
kN
jN
jnj
n
j
n
π
ωωω
54
N
n
N aanx−
=1
)(
55
56
用DFT对连续信号信号进行谱分析
1. 频率分辨率: ∆f =fs/N =1/T
2. 谱分析范围: 0~ fs/2 或 -fs/2~fs/2
3. 下标 k 的频率意义解释: k k* 2π/N k* fs/N
采样 截断 DFTxa(t) X(k)
DFT进行谱分析的误差问题:
混叠现象: 抗混叠滤波；
栅栏效应：补零处理；
截断效应: 加窗技术改善能量泄露和谱间干扰。
3.8 关于正弦信号抽样的讨论
)2sin()( 0 ϕπ += tfAtx
57
正弦信号抽样的的特殊现象:
(1) 按低通带限信号采样, 在Nyquist采样条件下, 即fs=2f0
时, 每周期只采样2个点, 根据初相不同,结果差别很大;
0=ϕ 2/πϕ =
(2) 按带通信号采样, fs>2B时, B是信号的带宽, 但对正弦信号,B=0,无法确定出正确的fs;
(3) 正弦序列频率的多值性:
)2
cos()(),2
cos()(
)(80)(100)2cos()(
)(20)2cos()(
21
222
111
nnxnnx
HzfHzftftx
Hzftftx
s
ππ
ππ
==
=====
(4) DFT分析时, 对正弦信号的截断, 频谱的卷积变化.
)(*)()()()()( ωωω jjjd
DFTd eDeXeXndnxnx =⎯⎯→←=
58
回答两个问题:
1. 抽样定理对正弦信号是否适用? 条件是什么?
2. 截断造成的能量泄露是否可以避免? 数据长度如何选择?
3.8.1 抽样定理对正弦信号的适用性
结论1 以fs=2f0, 对x(t)采样, 记为x(n), 则有:
(1). 当 ϕ=π/2, 由x(n)可以重建x(t);
(2). 当 ϕ=0, 无法由x(n)重建x(t);
(3). 当 0<ϕ< π/2, 由x(n)重建x(t)=Asin(ϕ)cos(2 πf0t);
证明1: 设A=1, x(0)=1,x(1)=-1,x(2)=1,x(3)=-1,…….
求得 X(0)=0, X(1)=2,X(2)=0,X(3)=2,…..
59
n
x(n) X(k)DFT
N=2
k
60
n
x(n) X(k)DFT
N=4
k
证明2: 令f0=1,fs=2, A=1; ∑∞
−∞= −−
−=n
n
ntnttx)5.0(2
)]5.0(2sin[)1()(ππ
61
62
63
证明3：插值法：时域插值，频域补零（压缩）。
12/3,...12/0)()]2/([)2/3(
12/...2,1)2/(2)2/3(12/,....2,1,0)(2)(
)()(
'
*''
*'
'
')(2
−+==
=
−=+=+
−==
=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯
NNkkXNXNX
NkNkXNkXNkkXkX
evenNkXkX ncompressioN
2/)13,...(2/)1(0)(
2/)1...(2,1)2
1(2)2
13(
2/)1,....(2,1,0)(2)(
'
*'
'
−+==
−=−
+=−
+
−==
=
NNkkX
NkNkXNkX
NkkXkXoddN
64
N是偶数 N是奇数
65
X’(k) X’(k)
)0(2X
)1(2X )2(X )2(*X )3(2X)0(2X
)1(2X )2(2X )3(2X )4(2X
)(kX
)(nx )(nx )(nx
)(kX )(kX
)2cos()sin()()()sin()1(),sin()0(
,2)sin()2cos()cos()2sin()2sin(
0
0
000
tfAtxnxAxAx
ffstfAtfAtfA
πϕϕϕ
ϕπϕπϕπ
=>−−−==
=+=+
结论2：无论A, f0, 取和值, 只要保证在x(t)的一个周期里均匀的采样三个点,且只取一个周期的采样点,即可以有x(n)准确重建x(t).
推论: 设fs=(p/q)*f0
(1) q=1, 即fs=p*f0, 只要p>2, 取一个周期的p个点;
(2) p/q为有理数, 只要p/q>2, 取q个周期（原信号）共p个点（序列1个周期）;
(3) P/q为无理数, 只要p/q>2, 无法取有限个点,需要取无限长的采样点.
66
序列周期＝201，原信号100个周期长。
67
P＝13，q＝5
68
69
p/q＝无理数
3.8.2 正弦信号抽样的不确定性
结论4: 设
,....2,1)2sin()(...2,10
±±=+=±±=+=
ktfAtxkkfff
kk
sk
ϕπ
用以上的 fs 对 xk(t) 进行采样, 得到的都是同一个x(n), 这一现象称为正弦信号抽样的不确定性.
)()sin(
)2/2sin()/)(2sin(
)/2sin()2sin(|)()(
0
0/2
0
0
00
nxnA
knnffAnfkffA
nffAnTsfAtxnTsx
sffs
ss
sk
knTstkk
=+⎯⎯⎯ →⎯
++=++=
+=+==
=
=
ϕω
ϕππϕπ
ϕπϕπ
πω
70
Example: fk=f0+4k k=-1,0,1
f0=1Hz, f-1=-3Hz, f1=5Hz, fs=4Hz
71
Example: x(t)=4+3cos(πt)+2cos(2πt)+cos(3πt)
f1=0, f2=0.5Hz, f3=1Hz, f4=1.5Hz (fmax)
2fmax=3Hz
if fs=1.5Hz, Nyquist interval is [-0.75, 0.75] (Hz).
)cos(55)()3
2cos(55
1)32cos(2)
32cos(34
)3
6cos()3
4cos(2)3
2cos(34
)5.1/3cos()5.1/2cos(2)5.1/cos(34|)()(
5.02/15.1* ttxn
nn
nnn
nnntxnTsx
af
nTst
ππ
ππ
ππππππ
πω +=⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯+=
+−
++=
+++=
+++==
=>−>−
=
72
73
信号频率 f, 采样频率 fs, 重建信号频率fa 三者的关系:
fa= f mod (fs)
数字频率ω表示的实际频率fa（重建信号频率）
f1, f2,f3…..采样 fs
ω恢复
f1，f1，f1….
74
真实频率f(Hz)0 fs/2 fs fs+fs/2 2fs
错误表示
fs/2
f1
(采样前信号的频率)f1 f2 f3
75
fa=f mod(fs)
fs/2
0
fs/2
fs
-fs/2
-fs
-fs/2
f
76
采样fs=4
0-3 0 3 -8 -4 4 8
重建Nyquist interval
-1 0 1
采样fs=4
0-5 0 5 -8 -4 4 8
重建Nyquist interval
-1 0 1
f1=0, f2=0.5, f3=1, f4=1.5, fs=1.5, [-0.75, 0.75]
f1a=f1=0, f2a=f2=0.5,
f3a=1mod(1.5)=1-1.5=-0.5-- 2cos(2 π t) 2cos(- π t)=2cos(π t)
f4a=1.5mod(1.5)=1.5-1.5=0---- cos(3 π t)- 1
f1=1, f2=-3, f3=5, fs=4, [-2, 2]
f1a=1, f2a=-3+4=1, f3a=5-4=1-- cos(2 π t)
77
4-4
3倍
采样fs=4
0-1 0 1 -8 8
重建
Nyquist interval
78
4
3/23/2
2/22/21/2
3/22/2
1/2
4 4
3/22/2
1/2 1/2
-1. 5 -1 -0.5 0. 5 1 1. 5
Nyquistinterval-0.75 0.75
xa(t)=5+5cos(π t)
5
5/25/2
-1. 5 -1 -0.5 0. 5 1 1. 5
Nyquist interval
-0.75 0.75 79
( f revolutions per second )
The wheel is seen in a dark room by means of a strobe light flashing at a rate of fs flashes per second.
During the time interval T between flashes, the wheel turns by an angle ω.
80
mmf
ff
mffenx
fffTTetx
ss
s
njsss
ftj
πωπππ
ππωω
π
222)(2)(
/22)( 2
+=+=+
=
==Ω==
Example1: f1=1Hz, f2=5Hz, fs=4Hz
n=0 n=0
81
ω = π/2
f=1
n=1
n=2
n=3 n=1
ω = π/2
f=5
n=3
n=2
n=0
ω = π/2
f=9n=0
n=2
n=3 n=1n=1
ω = π/2
f=-3
ω =-3 π/2
n=3
n=2
f=1.5, 2, 2.5, 4 (Hz), fs=4Hz
n=0
82
n=0
5
1
3
6
7
3
7
5
2
1
2
4
f=1.5
ω ωωa
6
f=2.5
4n=0,2,4,6 n=0,1,2,3,4,5
ωωaω
f=4f=2
n=1,3,5,7
3.8.3 对正弦信号截短的原则
结论5: 对x(t)=Asin(2 π f0 t+ ϕ), 若保证:
(1) fs=mf0, m是大于2的整数,即一个周期有整数个(m)采样点;
(2) xd(n)的长度N是m的整数倍,即序列的长度包含了一个或多
个整周期;
则, 采用N点数据进行DFT时, 所得到的X(k)无能量泄露, 即X(k)表 示了信号的理想频谱.
83
1.....,2,1,0)2cos(
)/2cos()/2cos()()2cos()(
000
0
−==
===
Nnnm
mfnffnfnTxtftx
ss
πππ
π
841.......2,1,0
))((2
)(2
21
21
21
21
2
)()(
1
0
)(21
0
)(2
1
0
)22(1
0
)22(
1
0
222
1
0
2
−=
−−+−=
+=
+=
+=
=
=
∑∑
∑∑
∑
∑
−
=
+−−
=
−
−
=
+−−
=
−
−
=
−−
−
=
−
Nk
lNkNlkN
ee
ee
eee
enxkX
lmN
N
n
nklN
jN
n
nklN
j
N
n
nkNm
jN
n
nkNm
j
N
n
nkN
jn
mjn
mj
N
n
nkN
j
δδ
ππ
ππππ
πππ
π
85
N/2 N/2X(k)
kN-l0 l N-
1
x(n)
fs=4f0
N=8
X(k)fs=4f0
N=8
周期＝4
频率＝2*pai/4
=k*2pai/N
=k*2pai/8
=k*pai/4
所以，k=2,
k=8-2=6
86
x(n)
fs=8f0
N=32
周期＝8，
频率＝2*pai/8
=k*2pai/32
=k*pai/16
所以，k=4,
K=32-4=2816 16
87
X(k)
k280 4 N-1
x(n)
fs=4.5f0
N=18
88
fs=4.5f0
N=18
p/q=9/2
序列周期＝9
频率＝4*pai/9
=k*2pai/N
=k*pai/9
所以k=4,
18-4=14,
X(k)
89
90
x(n)
n
x(n)
91
n
92
结论6:按结论1~3的条件对x(t)采样得N个点,记为xd(n), 若对xd(n)进行补零,则不论补多少个零, 补零后的序列的DFT都将发生频域泄露.
x(n)
n
93
94
95
96
97
3.10 希尔波特变换
Hilbert变换的用途: 构造解析信号; 表示窄带信号。
3.10.1 连续时间信号的Hilbert变换
ttx
dtx
dtxtx
π
ττ
τπ
ττ
τπ
1*)(
)(1
)(1)(ˆ
=
−=
−=
∫
∫∞
∞−
∞
∞−
)(tx )(ˆ txtπ/1
98
⎩⎨⎧
<Ω>Ω−
=Ω
=Ω⎩⎨⎧
<Ω>Ω−
=Ω−=Ω
Ω⎯ →←=
02/02/
)(
1|)(|00
)sgn()(
)sgn(/)(
ππ
ϕ
π
j
jHj
jjjH
tjtjh FT
99
Ω0 Ω
|)(| ΩjH
0
)( Ωjϕ
2/π−
2/π
解析信号定义:
实信号x(t),Hilbert变换是 , 解析信号z(t)定义为:)(ˆ tx
)(ˆ)()( txjtxtz +=
⎩⎨⎧
<Ω>ΩΩ
=
ΩΩ+Ω=Ω+Ω=Ω
000)(2
)()()()(ˆ)()(jX
jXjjHjXjXjjXjZ
100
∫∞
∞− −−=−= τ
ττ
ππd
txtx
ttx )(ˆ1)(ˆ*1)(
Hilbert反变换
tfjAetztfAtxtfAtx 0200 )(),2sin()(ˆ),2cos()( πππ ===
3.10.2 离散时间信号的Hilbert变换
101)(ˆ)()(12
)12(2)(*)()(ˆ
20
)1(1
)(21)(
00
)(
nxjnxnzm
mnxnhnxnx
oddnn
evenn
n
deeHnh
jj
eH
m
n
njj
j
+=+
−−==
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
==
−−=
=
⎩⎨⎧
<<−<<−
=
∑
∫
∞
−∞=
−
π
ππ
ωπ
ωππω
π
π
ωω
ω
用DFT求x（n）的解析信号和Hilbert变换的步骤：
1. 对x(n)做DFT,得X(k), k=0,1,….N-1, 注意: k=N/2,…N-1对应
负频率
2. 令
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=−+==−==−=
=−==
=
)(1,...2/)1()(1,.....2/
0
)(2/)1,...(2,1)(12/,..2,1)(2
0)(
)(
oddNNNkevenNNNkoddNNk
evenNNkkXkkX
kZ
3. 对Z(k)做逆DFT, 得到x(n)的解析信号z(n);
4. 由z(n)求x(n)的Hilbert变换
)]()([))(Im()(ˆ nxnzjnznx −−==
102
3.10.3 Hilbert变换的性质
性质1 信号经过Hilbert变换后, 信号频谱的幅度不发生变化。
性质2 信号与它的Hilbert变换是正交的。
0)](ˆ)[(21)(ˆ)( * =ΩΩΩ= ∫∫
∞
∞−
∞
∞−
djXjXdttxtxπ
性质3 x(t)=x1(t)*x2(t)
)(ˆ*)()(*)(ˆ)(ˆ 2121 txtxtxtxtx ==
103
104
105
106
本章小结
107
非周期序列的傅立叶变换DTFT。
周期序列的傅立叶级数DFS。
有限长序列的离散傅立叶变换DFT。
上述三者之间的关系。
DFT的特点和概念的理解。
对序列计算DFT等效于和序列进行周期延拓。
对序列计算DFT等效于频谱的离散。
DFT应用中的若干问题：
失真问题；分辨率；截断；补零；频率范围和下标含义。
正弦信号采样的特殊问题：
临界采样频率；Naquist间隔；频率的不确定性。
正弦序列进行DFT计算的结果的解释和截断原则。
Hilbert变换的定义和概念
![五加科 Araliaceae [ 概述] 木本 、 藤本 或多年生 草本 。 叶多互生， 掌状复叶 、羽状复叶，或单叶。](https://img.pdfslide.tips/doc/110x75/56812c68550346895d90ff4f/-araliaceae-.jpg)
