Upload
aylyn-anna-maria-spataru
View
67
Download
1
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Statistica
Citation preview
CC44. Indicatorii . Indicatorii variavariaţieiţiei
CC44. Indicatorii . Indicatorii variavariaţieiţiei
I. Indicatori simpli
1. Amplitudinea variaţiei este diferenţa dintre valorile extreme (xmax şi xmin).
• Amplitudinea absolută:
• se exprimă în unitatea de măsură a variablei X.• pentru date grupate se calculează ca diferenţă între
limita superioară a ultimei grupe şi limita inferioară a primei grupe.
minmax xxA
• Advantaje: uşor de calculat şi interpretat.• Dezavantaje: depinde doar de valorile extreme;
instabilă.• Amplitudinea relativă :
- media aritmetică.• permite comparaţii între variabile diferite.
100% xA
A
x
2. Abaterile individuale de la medie măsoară distanţa fiecărei unităţi statistice faţă de media colectivităţii.
• Abaterile individuale absolute (di)
• Abaterile individuale relative (di%)
xxd ii
100(%) x
dd i
i
II.Indicatori sintetici ai variaţiei• cuantifică împrăştierea valorilor variabilei sintetizând
într-un număr toate abaterile individuale absolute. • măsoară variatia faţă de o valoare reprezentativă
(media).
1.Abaterea medie liniară este media aritmetică a tuturor abaterilor individuale absolute di (indiferent de semn):
- date negrupate:
n
xxd
n
ii
1
• date grupate, frecvenţe absolute
• date grupate, frecvenţe relative
k
ii
k
iii
n
nxxd
1
1
*
1i
k
ii nxxd
2. Dispersia este media abaterilor individuale ridicate la pătrat:
• date negrupate :
• date grupate, frecvenţe absolute :
• date grupate,frecvenţe relative :
n
xxn
ii
1
2_
2
)(
k
ii
k
iii
n
nxx
1
1
2_
2
)(
k
iii nxx
1
*22
Formule de calcul simplificat (I)Pentru distribuţii de frecvenţe pe intervale egale
de variaţie:
2_
2
1
1
2
2 )( axhn
nh
ax
k
ii
k
ii
i
Formule de calcul simplificat (II)• date negrupate
• date grupate
(pe variante sau
intervale de variatie)
21
2
2 xn
xn
ii
2
1
1
2
2 xn
nx
k
ii
k
iii
3. Abaterea medie pătratică:
• date negrupate :
• date grupate, frecvenţe absolute :
• date grupate, frecvenţe relative :
• Se exprimă în unitatea de măsură a variabilei X.
n
xxn
ii
1
2_
)(
k
ii
k
iii
n
nxx
1
1
2_
)(
k
iii nxx
1
*2
4. Coeficientul de variaţie :
sau
• măsoară variaţia relativă => permite compararea variaţiei unor variabile diferite.
• valori între 0 şi 100%.– v < 35-40%: populaţia este omogenă şi media este
reprezentativă. – v > 40%: populaţia este eterogenă şi media este
nereprezentativă.
100_
xv
100_
x
dv
Varianta Valoare (xi) Frecv. absolute
(ni)
Frecv. relative (ni
*)
afirmativă 1 m w
negativă 0 n-m 1-w
Total - n 1
Dispersia variabilei alternative:
wwwwww
nwxi
iiw
1101 22
2
1
22 *
Măsurarea variaţiei pentru grupări bidimensionale
Atunci când o colectivitate este grupată simultan după două variabile (x şi y) se obţin două distribuţii marginale independente:
1.valorile variabilei independente xi cu frecvenţele ni
2. valorile variabilei independente yj cu frecvenţele nj
şi o distributie combinată în funcţie de ambele variabile (valorile xi şi yj cu frecvenţele comune nij).
Grupe după x
Subgrupe după y Total pt. x
(ni. )
Medii pt. grupele lui x
Dispersii pt. grupele lui x
y1 ... yj ... ym
x1
xi
xr
n11 ... n1j ... n1m
ni1… nij … nim
nr1…nrj … nrm
n1.
ni.
nr.
Total pt. y (n.j)
n.1 ... n.j ... n.m
1y
ry
iy
r
i
m
jijn
1 1
21
2r
2i
y
Categorii de variatii:1. Variaţia totală:
2. Variaţia în interiorul grupelor stabilite după X:
3. Variaţia între grupe:
Pentru fiecare unitate i:
ij yy
yy i
yy j
yyyyyy iijj
Media generală:
• - media aritmetică a grupei i;
• ni. – totalul frecvenţelor grupei i;
• r – numărul de grupe după x
Medii de grupă:
• i = 1,..., r
• nij – frecvenţe combinate.
r
ii
r
iii
n
nyy
1
1
.
.
iy
m
jij
m
jijj
i
n
ny
y
1
1
Fiecare tip de variatie poate fi exprimat printr-o dispersie.
1. Dispersia totală a variabilei y :
• yj – valorile variabilei y;
• - media generală;
• n.j – frecvenţele grupelor după y.
m
jj
m
jjj
y
n
nyy
1
1
2
2
.
.
y
2. Dispersiile de grupă :
Media dispersiilor de grupă :
r
ii
r
iii
ry
n
n
1
1
2
22/
.
.
m
jij
m
jijij
i
n
nyy
1
1
2
2
Surprinde influenţa factorilor
aleatori asupra variaţiei lui y.
3.Dispersia dintre grupe este calculată pe baza abaterilor mediilor de grupă de la media generală:
Măsoară influenţa factorului x asupra variabilei y.
r
ii
r
iii
xy
n
nyy
1
1
2
22/
.
.
• Regula adunării dispersiilor:
• Raportul de determinaţie măsoară influenţa factorului de grupare x asupra variabilei dependente y:
• Factorul x influenţează decisiv variaţia variabilei dependente y dacă R2 > 50 %.
• Raportul de nedeterminaţie exprimă variaţia lui y datorită factorilor aleatori:
222 y
1002
22
y
R
1002
22
y
N
%10022 NR
Nivelul de omogenitate al grupelor poate fi măsurat prin coeficienţii de variaţie.
Pentru fiecare grupă i:
unde
Pentru colectivitatea totală:
unde
Cel mai mic coeficient de variaţie indică cel mai omogen grup.
100i
ii y
v 2
ii
100y
v y 2yy
Tipul de administraţie (x)
Subgrupe după mărime, în funcţie de numărul de angajaţi (y)
Total
sub 10 10 - 50 50 - 250 250 şi peste
0 1 2 3 4 5
Publică 20407 9452 3232 345 33436
Privată 23152 47 26 8 23233
Total 43559 9499 3258 353 56669
Exemplu. Numărul unităţilor din administraţie după tip şi mărime în 1996
Sursa: Anuarul statistic al României 1997.
Mediile de grupă = nr mediu de angajaţi din sectorul public/privat:
yj – centrele de interval: 5, 30, 150,
350.
1. administraţie publică:
2. administraţie privată:
m
jij
m
jijj
i
n
ny
y
1
1
3033436
34535032321509452302040751
y
523233
83502615047302315252
y
Media totală (pentru ambele tipuri: public şi privat)
angajaţi.
20669.56
233.235436.3330
.
.
1
1
r
ii
r
iii
n
nyy
Dispersiile de grupă
1. administraţie publică :
m
jij
m
jijij
i
n
nyy
1
1
2
2
982829
33436
34530350
33436
3232301509452303020407305
2
22221
,
2. administraţie privată:
Media dispersiilor de grupă
786523233
85350265150475302315255 222222
,
73169656669
23233796533436982829
1
1
2
2,
,,
.n
.n
r
ii
r
iii
Dispersia dintre grupe:
Dispersia totală:
25151
56669
23233205334362030 22
1
1
2
2
,
.
.
r
ii
r
iii
n
nyy
031848
56669
35320350325820150
56669
9499203043559205
22
22
1
1
2
2
,
.
.
m
jj
m
jjj
y
n
nyy
• Regula de adunare a dispersiilor:
• Raportul de determinaţie
este f. mic =>Tipul administraţiei (public sau privat) nu este un factor important pentru mărimea unităţilor administrative.
73169625151031848222 ... y
%..
.188
031848
25151100
2
22
y
R