第５章 連続体の振動

5.1 弦の振動 運動方程式(波動方程式) 自由振動(一般解/定在波) 強制振動

5.2 棒の縦振動 5.3 棒のねじり振動 5.4 はりの曲げ振動 5.5 連続体の運動方程式

変位 有限自由度系：ベクトル 分布系：場所の関数

運動方程式 有限自由度系：連立２階常微分方程式 分布系： ２階偏微分方程式

有限自由度系 v.s. 分布系(連続体)

( ) ( ) ( )

( ) [ ]l,x,t,xy

ty,,y,ty,ty n

0

210

∈

( )t,xy( ) 00 =ty ( )ty1 ( )ty2 ( )tyn

5.1 弦の振動

運動方程式(波動方程式) 線密度 µ の弦に張力 T が作用している．

微小要素の伸び

( ) ( )2

2 2

2 4 2 2

d d d d d 1 1 d

1 3 1 d 12 4! 2

ys x x y x xx

y y y yxx x x x

∂∂

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

− = + − = + − = − + ≈ <<

( )t,xy

0=x lx =x

dx

dyds変位

運動エネルギー ポテンシャルエネルギー Lagrange 関数 作用 作用の第１変分

( )2

0

1, d2

l yK y y xt

∂µ∂

= ∫

Hamilton の原理

( ) ( ) ( ), , , ,L y y y K y y U y y∇ = − ∇

( )2

0

1, d2

l yU y y T xx

∂∂

∇ = ∫

2

1

22 2

1 11

0

2 2

2 20 00

d d

d d d d 0

t l

t

t ll t t l

t tt

y y y yI T x tt t x x

y y y yy x T y t T y x tt x t x

∂ ∂ ∂ ∂δ µ δ δ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂µ δ δ µ δ∂ ∂ ∂ ∂

= −

= − − − =

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( )2

1

, , , , dt

tI y y y L y y y t∇ = ∇∫

変分制約と境界条件を考慮する． あるいは

[ ]( ) [ ]( ) [ ]( ) [ ]( )1 2 1 2 1 2

2 2

2 2

0, , 0, , 0, 0, , , , 0

y l t y l t y t t y l t t

y yTt x

δ δ δ δ

∂ ∂µ∂ ∂

= = = =

⇒ =

Hamilton の原理(cont.)

2 22

2 2

y yct x

∂ ∂∂ ∂

=Tcµ

=

運動方程式

波動方程式 波の速度

波動方程式の一般解は次式で与えられる． ここで，f1(z), f2(z) は初期条件 y([0,l],0), ˙y([0,l],0) に

よって決まる定関数である． なぜならば z1=ct−x, z2=ct+x と仮定して

( ) ( ) ( )xctfxctft,xy ++−= 21

自由振動（一般解）

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 22 2 2 221 1 2 2 1 1 2 121 2

2 2 2 2 21 2 1 1

2 22 2 2 221 1 2 2 1 1 2 12 2 21 2

2 2 2 2 21 2 1 1

d d d dd d d d

d d d dd d d d

f z f z f z f zz zy ct z t z t z z

f z f z f z f zz zyc c cx z x z x z z

∂ ∂∂∂ ∂ ∂

∂ ∂∂∂ ∂ ∂

= + = +

= + = +

( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 1

1 1 1

d , d d dd d , d ,d

y x x t t f ct c t x xxc y x x t t f ct x y x tt

+ + = + − −

= ⇒ + + = − =

進行波

y1(x,t)= f1(ct−x) は進行波である． なぜならば

τc

( )τ+t,xy1

( )t,xy1x

x

y2(x,t)= f2(ct+x) は後退波である． なぜならば

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2

2 2 2

d , d d dd d , d ,d

y x x t t f ct c t x xxc y x x t t f ct x y x tt

+ + = + + +

= − ⇒ + + = + =

後退波

( )τ+t,xy2

( )t,xy2

τc

x

x

波の交差

一般解は進行波と後退波の重ね合わせである． したがって，進行波と後退波は交差する．

波の反射

境界では拘束条件を満たすために進行波に対して逆位相/同位相の後退波が発生する．

振幅だけが時間と共に変化する自由振動を定在波と呼ぶ．

定在波は波動方程式の変数分離型の解である．

波動方程式に代入する．

( ) ( ) ( ),y x t Y x G t=

自由振動(定在波)

変数分離型

定数

x だけの関数

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )

( )2 2 2 22 2 2

2 2 2 2

d d d d1 1 = =d d d dG t Y x Y x G t

Y x c G t ct x Y x x G t t

ω= ⇒ −

t だけの関数

したがって，

ここで，A, B は初期条件によって決まる実定数，C, κ は境界条件によって決まる実定数

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

22

2

22

2

d0 cos sin

dd

+ 0, cos sin , 1d

G tG t G t A t B t

tY x

Y x Y x C x D x Dx c

ω ω ω

ωκ κ κ κ

+ = ⇒ = +

= = ⇒ = + =

変数分離型の一般解

大きさを決める 定数が過剰

両端固定の境界条件から C, κ を決定する．

したがって

[ ]( ) [ ]( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

0, , , , 0 0 0

0 0

sin 0 , 1, 2,r

y y l Y Y l

Y CrY l l rlπκ κ κ

−∞ +∞ = −∞ +∞ = ⇒ = =

= =⇒

= = ⇒ = = =

両端固定の場合

r 次の固有振動モード関数 ( ) ( ) ( ) ( )sin sinr r rY x Y x x xlπκ= = =

固有振動モード関数

両端固定の場合(cont.)

( )( ) ( ) xl

rxxY rr πκ sinsin ==

( )( )xY 1

( )( )xY 2

( )( )xY 3

( )( )xY 4

κ(r) から固有円振動数 ωn(r)が決まる．

したがって，両端固定の場合の一般解は ただし，A(r),B(r) は初期条件によって決まる実定数

( ) ( ) ( )( )

, 2 2

rr r r n

n nr c r T r Tc f

c l l lωω π πκ ω κ

µ π µ= ⇒ = = = = =

両端固定の場合の一般解

固有振動数

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1

, cos sin sinr r r rn n

r

ry x t A t B t xlπω ω

∞

=

= +∑

両端固定の場合の解

初期条件を与えて自由振動の解を得る． 初期変位と初期速度の Fourier 級数が初期条件に

よって決まる実定数 A(r),B(r) に対応する．

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

=

=

==

==

∫

∫

∑

∑∞

=

∞

=lr

lr

r

rrn

r

r

dxxl

rxgcr

B

dxxl

rxgl

A,

xgxl

rB,xy

xgxl

rA,xy

0 2

0 1

21

11

sin2

sin2

sin0

sin0

ππ

π

πω

π

線密度 µ の弦に張力 T と分布加振力 f(x,t) が作用している．

強制振動

( )t,xy変位 ( )t,xf 分布加振力

Hamilton の原理

Lagrange 関数

作用の停留条件

( )2 2

0

1 1, , d2 2

l y yL y y y T fy xt x

∂ ∂µ∂ ∂

∇ = − −

∫

2 2

1 1

2 2

2 20

2 2

2 2

d d d 0

t t l

t t

y yI L t T f y x tt x

y yT ft x

∂ ∂δ δ µ δ∂ ∂

∂ ∂µ∂ ∂

= = − − − =

⇒ − =

∫ ∫ ∫

運動方程式

手順1：モード対 ωn(r), Y(r)(x), r=1,2,…を求める

手順2：固有振動モード関数の直交性を利用して，物理変位関数をモード変位関数に変換することによって運動方程式を非連成化する． 固有振動モード関数 Y(r)(x), r=1,2,…の直交性

したがって，

( ) ( ) ( ) ( )0 0

d sin sin d2

l lp qpq

p q lY x Y x x x x xl lπ π µµ µ δ= =∫ ∫

固有振動モードを利用した方法

µ 直交性

正規固有振動モード関数

( ) ( ) 2 sin , 1, 2,r rU x x rl l

πµ

= =

固有振動モードを利用した方法(cont.)

物理変位関数をモード変位関数に変換する．

モード変位関数の２階の導関数を書き換える．

運動方程式に座標変換を代入する．

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

=1 =1,r r r r r

nr r

U x t U x t f x tµ ξ µω ξ∞ ∞

+ =∑ ∑

物理変位関数

モード変位関数 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1, r r

ry x t U x tξ

∞

=

= ∑

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22

2 22

dd

rr r r r r

n

U x r U x U x U xx l T

π µκ ω = − = − = −

固有振動モードを利用した方法(cont.) U(p)(x) との内積をとって

正規固有振動モード関数の正規直交性から非連成の運動方程式を得る．

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

0 0 0 d d d

l l lp r r r p r r p pnU U x U U x U f x fµ ξ µω ξ+ = ≡∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1, 2,r r r rn f rξ ω ξ+ = =

手順3：非連成化されたモード変位の運動方程式を解く． 例えば Fourier 変換を用いて

固有振動モードを利用した方法(cont.)

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

22

0

2 2 0

1

, d 1, 2,

1 , d 1, 2,

F 1, 2,

lr r r rn

lr rr

n

r r

F U x F x x r

U x F x x r

t r

ω ω ω ω ω

ω ωω ω

ξ ω−

− + Ξ = = =

Ξ = =−

= Ξ =

∫

∫

固有振動モードを利用した方法(cont.)

手順4：そのモード変位を物理変位に変換する．

あるいは，逆 Fourier 変換と座標変換の順序を入れ替えて

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2 01 1

1

, , d

, ,

rlr r r

rr r n

U xY x U x U z F z z

y x t F Y x

ω ω ωω ω

ω

∞ ∞

= =

−

= Ξ =−

=

∑ ∑ ∫

伝達関数作用素

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

, r r

ry x t U x tξ

∞

=

= ∑

断面積 A 密度 ρ 縦弾性係数 E の棒が長さ方向に振動する場合を考える． 応力とひずみ

ひずみエネルギー

運動エネルギー

, uEx

∂σ ε ε∂

= =

5.2 棒の縦振動

( )2

0 0

1 1, d d2 2

l l uU u u A x EA xx

∂σε∂

∇ = = ∫ ∫

( )2

0

1, d2

l uK u u A xt

∂ρ∂

= ∫

( )t,xu

縦変位 x

作用の停留条件 ( ) ( ) ( )( )2

1

2

1

22 2

1 11

0

2 2

2 20 00

2 22

2

, , , , d

d d

d d d d 0

t

t

t l

t

t ll t t l

t tt

I u u u K u u U u u t

u u u uI A EA x tt t x x

u u u uA u x EA u t E A u x tt x t x

u uct x

∂ ∂ ∂ ∂δ ρ δ δ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ρ δ δ ρ δ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂∂ ∂

∇ = − ∇

= −

= − − − =

⇒ =

∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

2 Ecρ

=

Hamilton の原理

波動方程式 波の速度

境界条件

変分制約

( ) ( )

( )

2

0 0

2

0

2 22

2 2

,

1 1, d d d2 2

1, d2

,

l l

pA

l

p

G rx

U u u A x GJ xx

K u u J xt

Gc ct x

∂θτ γ γ∂

∂θτγ∂

∂θρ∂

∂ θ ∂ θ∂ ∂ ρ

= =

∇ = =

=

= =

∫ ∫ ∫

∫

5.3 棒のねじり振動

断面２次極モーメント Jp=∫Ar2 dx 密度 ρ 横弾性係数 G の棒がねじり振動する場合を考える．

せん断応力 せん断ひずみ

( )t,xθねじり角変位

x

断面積 A 断面２次モーメント I 密度 ρ 縦弾性係数 E のはりが曲げ振動する場合を考える． Euler-Bernoulli はり(せん断変形無視, 断面の平面

保持)を仮定する．

( )

( )

2

2

222

20 0

2

0

,

1 1, d2 2

1, d2

l l

l

yM EIx

yU y y M dx EI xx

yK y y A xt

∂κ κ∂

∂κ∂

∂ρ∂

= = −

∇ = =

=

∫ ∫

∫

5.4 はりの曲げ振動

曲げモーメント 曲率

( )t,xy横変位 x

作用の停留条件

Hamilton の原理

( ) ( ) ( )( )2

1

2

1

22 2

1 11

2 2

2 2

2 20

2 3

2 300 0

, , , , d

d

d d d

t

t

t l

t

l ltl t t

t tt

I y y y K y y U y y t

y y y yI A EI x dtt t x x

y y y yA y x EI t EI y tt x x x

∂ ∂ ∂ ∂δ ρ δ δ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ρ δ δ δ∂ ∂ ∂ ∂

∇ = − ∇

= −

= − +

−

∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫

2

1

2 4

2 40

2 4

2 4

d d 0

0

t l

t

y yA EI y x tt x

y yA EIt x

∂ ∂ρ δ∂ ∂

∂ ∂ρ∂ ∂

+ =

⇒ + =

∫ ∫

変分制約

境界条件

はりの運動方程式

変数分離型の解を仮定して運動方程式に代入

ただし，A,B は初期条件によって決まる実定数

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

4 22

4 2

22

2

4 24 4

4

d d1, = =d d

d0 cos sin

dd

- 0, d

Y x G tEIy x t Y x G tAY x x G t t

G tG t G t A t B t

tY x Ak Y x kx EI

ωρ

ω ω ω

ρ ω

= ⇒ − −

+ = ⇒ = +

= =

自由振動：定在波

振幅関数

時間関数

振幅関数の一般解

基本解は cos kt, sin kt, cosh kt, sinh kt なぜならば したがって

C1, C2 , C3 , k は境界条件によって決まる．

d cosh d sinhd d 2 2

kx kx kx kxkx e e e ek k kxx x

− − + −= = =

自由振動：定在波(cont.)

1 大きさを決める定数が過剰

( ) ( ) ( )4

4 4 404

d- 0 0 ,

dxY x

k Y x Y x Y e k jk kx

λ λ λ= ⇒ = ⇒ − = ⇒ = ± ±

特性方程式

( ) [ ] [ ] [ ] [ ]1 2 3 4cos cosh cos cosh sin sinh sin sinhY x C kx kx C kx kx C kx kx C kx kx= + + − + + + −

両端固定の境界条件から C1, C2 , C3 , k を決定する．

( ) ( )

( ) ( )

2

1 22

23

2

3

d0 0 0 0d

sin sinh sin sinh 0d 0 sin sinh sin sinh 1 0d

0 sin sinh sin sinh det

1 0 sin sinh sin sinh

YY C Cx

kl kl kl kl CYY l lkl kl kl klx

C kl kl kl klkl kl kl

= = ⇒ = =

+ − = = ⇒ = − + − −

+ − ≠ ⇒ − + − −

( ) ( ) 3 4

4sin sinh 0

0 sin 0 1, 2, , 1r

kl klkl

rk kl k k r C Clπ

= − =

≠ ⇒ = ⇒ = = = = =

両端単純支持の場合

振動数方程式

固有振動モード関数

両端単純支持の場合(cont.)

( )( ) ( ) xl

rxkxY rr πsinsin ==

( )( )xY 1

( )( )xY 2

( )( )xY 3

( )( )xY 4

k(r) から固有円振動数 ωn(r) が決まる．

したがって，両端固定の場合の一般解は

初期条件が与えられている場合には

( ) ( )2 2

22

r rn

EI r EIkA l A

πω ωρ ρ

= = =

両端単純支持の場合の一般解

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1

, cos sin sinr r r rn n

r

ry x t A t B t xlπω ω

∞

=

= +∑

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

101

220

2 sin d,0 2,0 sin d

lr

lrr

n

rA g x x xy x g x l lry x g x B g x x xll

π

πω

== ⇒ = =

∫

∫

両端固定はりの場合

両端固定の境界条件から C1, C2 , C3 , k を決定する．

( ) ( )

( ) ( )

1 3

2

2

d0 0 0 0d

cos cosh sin sinh 0d 0 sin sinh cos cosh 1 0d

0 cos cosh sin sinh det 2 2

1 0 sin sinh cos cosh

YY C Cx

kl kl kl kl CYY l lkl kl kl klx

C kl kl kl klkl kl kl kl

= = ⇒ = =

− − = = ⇒ = − − −

− − ≠ ⇒ = − − − −

cos cosh 0

cos cosh 1

kl kl

kl kl

=

⇒ = 振動数方程式（代数的に解けない）

両端固定はりの場合(cont.)

振動数方程式を解く．

固有振動モード関数

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2

1 2 3

4

1 22 2

sin sinhcos cosh 1 , 1, 2, , cos cosh

4.730041 7.853205 10.995608, , ,

2 114.137166 , , 12

1.01781 ,

r rr r

r r

r

k l k lkl kl k k r Ck l k l

k k kl l l

rk k r

l lC C

π

−= ⇒ = = = −

−

= = =

+= ≈ >>

= − = −

( ) ( )

( ) ( )

3 42 2

2

0.999223 , 1.00003 , 0.999999 ,

1 5r

C C

C r

= − = −

≈ >

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 cos cosh sin sinhr r r r r rY x C k x k x k x k x= − + −

両端固定はりの場合(cont.)

固有振動モード関数

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ),2,1 sinhsincoshcos2 =−+−= rxkxkxkxkCxY rrrrrr

( )( )xY 1

( )( )xY 2

( )( )xY 3

( )( )xY 4

両端自由はりの場合

両端自由の境界条件から C1, C2 , C3 , k を決定する． 両端固定の場合と同一 ただし

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

2 3 2 3

2 3 2 3

2

d d d d0 0 0, 0 d d d d

sin sinh cos cosh 1 0,1, 2, , cos cosh

r rr r

r r

Y Y Y Yl lx x x x

k l k lkl kl k k r Ck l k l

= = = =

−⇒ = ⇒ = = = −

−

剛体運動

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )2 cos cosh sin sinh 1, 2,r r r r r rY x C k x k x k x k x r= + + + =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )440 0 4

4 4

dd0, 0d d

Y xYk Y x ax b x k Y xx x

= = + ⇐ − = =

両端自由はりの場合

固有振動モード関数

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ),2,1 sinhsincoshcos2 =+++= rxkxkxkxkCxY rrrrrr

( )( )xY 1

( )( )xY 2

( )( )xY 3

( )( )xY 4

5.5 連続体の運動方程式

準備 ベクトル a∈Rn のテンソル表示：ai

総和規約：

偏微分表記：

1

n

i ij j i ij jj

c a b c a b=

= ⇒ =∑

free index

dummy index

i,i

axa

≡∂∂

連続体の運動方程式

変位 u(x,t) ひずみ εij(x,t) 応力 σij(x,t) の関係

連続体内部の運動方程式

連続体境界の運動方程式

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ), ,1, , , , , , 2ij ijkl kl kl k l l ku x t C u x t u x t u x t u x tσ ε ε= = +

体積力 慣性力

復元力

境界力

変位規定境界

( )( ) ( ) ( ), , , , , ij j i iu x t f x t u x t xσ ρ+ = ∈Ω

( )( ) ( ) 1 0, , , \ij j iu x t p x t xσ ν = ∈Γ = Γ Γ

外向き単位法線

連続体の運動方程式(cont.)

自由振動(同次形)の一般解の形

固有振動方程式

( ) ( ), tu x t U x eλ=

振動固有値

固有値問題

固有振動モード関数

( )( ) ( )

( )( )

2,

1

,

0,

ij j i

ij j

U x U x x

U x x

σ λ ρ

σ ν

= ∈Ω = ∈Γ

車体の固有振動 車体の８次固有振動モー

ド (53Hz) 車体の１０次固有振動

モード (64Hz)

モデル提供：三菱自動車工業（株）