第7章有限要素法のプログラミング第7 章有限要素法のプログラミング有限要素法プログラムの構成 x7.2 有限要素法プログラムの構成有限要素法プログラムの具体例をみてみよう．授業のウェブページにあるファ

第 7 章有限要素法のプログラミング

第 7章有限要素法のプログラミング

畔上秀幸

名古屋大学情報学研究科複雑系科学専攻

November 14, 2019

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はじめに

§7.1 はじめに

(目標) 2次元 Poisson 問題を有限要素法で解くためのプログラムの構成について理解する．

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有限要素法プログラムの構成

§7.2 有限要素法プログラムの構成

有限要素法プログラムの具体例をみてみよう．授業のウェブページにあるファイル femfp.c は，文献 [1]のプログラムを基にして作成された．図のような関数で構成されている．

main( )

input( )

output( )

assem( ) ecm( ) f( )

solve( ) gs{solve( )

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ファイル入出力関数

§7.3 ファイル入出力関数

fopen()

#include <stdio.h>

FILE *fopen(char *fname, char *mode);

• fname のファイルを mode (下表) にしたがって開く．• 返却値は，成功したときファイルの番号，失敗したとき NULL となる．

mode 作用 mode 作用r テキストの読み込み rb バイナリの読み込みr+ テキストの読み書き rb+ バイナリファイルの読み書きw テキストの書き込み wb バイナリの書き込みw+ テキストの読み書き wb+ バイナリの読み書きa テキストの追加書き込み ab バイナリの追加書き込みa テキストの読み書き ab+ バイナリの読み書き

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fclose()

#include <stdio.h>

int fclose(FILE *fp);

• fopen で開いたファイル fp を閉じる．• 返却値は，成功したとき 0，失敗したとき EOF となる．

fprintf()

include <stdio.h>

int fprintf(FILE *fp, char *fmt,...);

• ファイル fp に対して，書式付き文字列 fmt を書き込む．• 返却値は，成功したとき出力した文字数，失敗したときは負の数となる．

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fputs()

#include <stdio.h>

int fputs(char *string, FILE *fp);

• ファイル fp に対して，文字列 string を書き込む．• 返却値は，成功したとき 0，失敗したとき EOF となる．

fgets()

#include <stdio.h>

char *fgets(char *string, int n, FILE *fp);

• ファイル fp に対して，文字列 string を読み込む．• 返却値は，成功したとき 0，失敗したとき EOF となる．

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有限要素法プログラム

§7.4 有限要素法プログラム

具体的な記述をみてみよう．

main()

/* The Finite Element Method for the Poisson Equation */

/* Full Matrix Version */

/* The Gauss Elimination Method */

#include <stdio.h>

#include <stdlib.h>

#include <math.h>

#define NDIM1 200

#define NDIM2 400

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void input(int *nnode, int *nelmt, int *nbc,

int ielmt[][3], double x[],

double y[], int ibc[]);

void assem(int nnode, int nelmt, int nbc, int ielmt[][3],

double x[], double y[], int ibc[],

double am[][NDIM1], double fm[]);

void ecm(int ielmt[][3], double x[], double y[],

int ie, double ae[][3], double fe[]);

void solve(int m, double a[][NDIM1], double f[]);

void gs_solve(int m, double a[][NDIM1], double f[]);

void output(double fm[], int nnode, double x[], double y[]);

double f(double x, double y);

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/* Main Program */

int main()

{

int nnode, nelmt, nbc, ielmt[NDIM2][3], ibc[NDIM1];

double am[NDIM1][NDIM1], fm[NDIM1], x[NDIM1], y[NDIM1];

input(&nnode, &nelmt, &nbc, ielmt, x, y, ibc);

assem(nnode, nelmt, nbc, ielmt, x, y, ibc, am, fm);

solve(nnode, am, fm);

//gs_solve(nnode, am, fm);

output(fm, nnode, x, y);

return(EXIT_SUCCESS);

}

文献 [1]からの修正:

• void output(double fm[], int nnode, double x[], double y[]);

• output(fm, nnode, x, y);

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input()

/* Input */

void input(int *nnode, int *nelmt, int *nbc,

int ielmt[][3], double x[], double y[], int ibc[])

{

int j;

FILE *fpin, *fpout;

if((fpin=fopen("indata.txt","r")) == NULL){

printf("入力データファイルが見つかりません．\n");

exit(EXIT_FAILURE);

}

if((fpout=fopen("outdata.txt","w")) == NULL){

fclose(fpin);

printf("出力データファイルが作成できません．\n");

exit(EXIT_FAILURE);

}

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/* Input of Data */

printf("Input (nnode, nelmt, nbc): ");

fscanf(fpin, "%d%d%d", nnode, nelmt, nbc);

printf("\nInput(x,y) of node i: \n");

for(j=0; j<*nnode; j++){

printf(" for i=%d: \n", j+1);

fscanf(fpin, "%lg%lg", &(x[j]), &(y[j]));

}

printf("Input(1st, 2nd, 3rd) nodes of element i: \n");

for(j=0; j<*nelmt; j++){

printf(" for i=%d: \n", j+1);

fscanf(fpin, "%d%d%d", &(ielmt[j][0]), &(ielmt[j][1]),

&(ielmt[j][2]));

}

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if(*nbc>0){

printf("Input nodes with zero Dirichlet data");

printf(" for i=1 to %d: ", *nbc);

for(j=0; j<*nbc; j++) fscanf(fpin, "%d", &(ibc[j]));

}

printf("\n");

printf("Nodes of elements \n");

for(j=0; j<2; j++) printf(" i i1 i2 i3 ");

printf("\n");

for(j=0; j<*nelmt; j+=2){

printf("*%4d*%4d%4d%4d ", j+1, ielmt[j][0],

ielmt[j][1], ielmt[j][2]);

if(j<*nelmt-1)

printf("*%4d*%4d%4d%4d", j+2, ielmt[j+1][0],

ielmt[j+1][1], ielmt[j+1][2]);

printf("\n");

}

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if(*nbc>0){

printf("Nodes with zero Dirichlet data \n");

for(j=0; j<*nbc; j++) printf("%4d", ibc[j]);

printf("\n");

}

}

文献 [1]からの修正:

• FILE *fpin, *fpout; ...

• 入力ファイル名: indata.txt, 出力ファイル名: outdata.txt

• fscanf(fpin, ...

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assem()

/* The Direct Stiffness Method */

void assem(int nnode, int nelmt, int nbc, int ielmt[][3],

double x[], double y[], int ibc[],

double am[NDIM1][NDIM1], double fm[])

{

int i, j, ie, ii, jj;

double ae[3][3], fe[3];

/* Initial Clear */

for(i=0; i<nnode; i++){

fm[i]=0.0;

for(j=0; j<nnode; j++) am[i][j]=0.0;

}

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/* Assemblage of Total Matrix and Vector */

for(ie=0; ie<nelmt; ie++){

ecm(ielmt, x, y, ie, ae, fe);

for(i=0; i<3; i++){

ii=ielmt[ie][i]-1;

fm[ii]+=fe[i];

for(j=0; j<3; j++){

jj=ielmt[ie][j]-1;

am[ii][jj]+=ae[i][j];

}

}

}

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/* The Homogeneous Dirichlet Condition */

if (nbc!=0){

for(i=0;i<nbc; i++){

ii=ibc[i]-1;

fm[ii]=0.0;

for(j=0; j<nnode;j++){

am[ii][j]=0.0;

am[j][ii]=0.0;

}

am[ii][ii]=1.0;

}

}

}

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ecm()

/* Element Coeffcient Matrix and Free Vector */

void ecm(int ielmt[][3], double x[], double y[],

int ie, double ae[][3], double fe[])

{

int i, j, k;

double d, s, xe[3], ye[3], b[3], c[3];

for(i=0; i<3;i++){

j=ielmt[ie][i]-1;

xe[i]=x[j];

ye[i]=y[j];

}

d=xe[0]*(ye[1]-ye[2])+xe[1]*(ye[2]-ye[0])

+xe[2]*(ye[0]-ye[1]);

s=fabs(d)/2.0;

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/* Calculation of Element Coefficient Matrix */

for(i=0; i<3; i++){

j=i+1; if(i==2) j=0;

k=i-1; if(i==0) k=2;

b[i]=(ye[j]-ye[k])/d;

c[i]=(xe[k]-xe[j])/d;

}

for(i=0; i<3; i++){

for(j=0; j<3; j++) ae[i][j]=s*(b[j]*b[i]+c[j]*c[i]);

}

/* Calculation of Element Free Vector */

for(i=0; i<3; i++) fe[i]=s*f(xe[i], ye[i])/3.0;

}

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solve()

/* The Gauss Elimination Method */

void solve(int m, double a[][NDIM1], double f[])

/* m=number of unknowns */

{

int i, j, k;

double aa;

/* Forward Elimination */

for(i=0; i<m-1; i++){

for(j=i+1; j<m; j++){

aa=a[j][i]/a[i][i];

f[j]-=aa*f[i];

for(k=i+1; k<m; k++) a[j][k]-=aa*a[i][k];

}

}

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/* Backward Substitution */

f[m-1]/=a[m-1][m-1];

for(i=m-2; i>=0; i--){

for(j=i+1; j<m; j++) f[i]-=a[i][j]*f[j];

f[i]/=a[i][i];

}

}

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文献 [1]からの修正: gs solve() を追加

gs solve()

/* The Gauss Seidel Method */

void gs_solve(int m, double a[][NDIM1], double f[])

{

int i, j, k;

double aa = 0.0;

double u[NDIM1],u_old[NDIM1];

double max_delta=0.0, max_delta_old;

double max_u=0.0;

int count = 0;

for(i=0; i<m; i++){

u[i] = 0.0;

}

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do{

max_delta_old = max_delta;

for(i=0; i<m; i++){

u_old[i] = u[i];

}

for(i=0; i<m; i++){

aa = 0.0;

for(j=0; j<m; j++){

if(i != j){

aa += a[i][j]*u[j];

}

}

u[i]=(f[i] - aa)/a[i][i];

}

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max_delta = fabs(u[0] - u_old[0]);

for(i=1; i<m; i++){

if(max_delta < fabs(u[i] - u_old[i])){

max_delta = fabs(u[i] - u_old[i]);

}

}

max_u = fabs(u[0]);

for(i=1; i<m; i++){

if(max_u < fabs(u[i])){

max_u = fabs(u[i]);

}

}

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count++;

}while(fabs((max_delta - max_delta_old)/max_u) >= 1.0E-5);

printf("count = %d\n",count);

for(i=0; i<m; i++){

f[i] = u[i];

}

}

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output()

/* 0utput of Approximate Nodal Values of u */

void output(double fm[], int nnode, double x[], double y[])

{

int j,m;

FILE *fpout;

if((fpout=fopen("outdata.txt","a")) == NULL){

printf("出力データファイルが作成できません．\n");

exit(EXIT_FAILURE);

}

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fprintf(fpout, "\nNodal values of u\n");

fprintf(fpout, " i u \n");

for(j=0; j<nnode; j++)

fprintf(fpout, "%4d%12.3e\n", j+1, fm[j]);

fprintf(fpout, "\nMathematica 6 Data\n");

fprintf(fpout, "ListPlot3D[{\n");

for(j=0; j<nnode-1; j++){

fprintf(fpout, "{%f, %f, %f},\n", x[j], y[j], fm[j]);

}

fprintf(fpout, "{%f, %f, %f}\n}, Mesh -> All]\n",

x[j], y[j], fm[j]);

fclose(fpout);

}

文献 [1]からの修正: FILE *fpout; ...

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f()

/* Function for Free Term */

double f(double x, double y)

{

return(1.0);

}

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入出力データ

§7.5 入出力データ

indata.txt9 8 5

0 0

0 0.5

0 1

0.5 0

0.5 0.5

0.5 1

1 0

1 0.5

1 1

1 4 5

1 5 2

2 5 6

2 6 3

4 7 8

4 8 5

5 8 9

5 9 6

1 2 3 4 7

outdata.txtBasic data

nnode = 9

nelmt = 8

nbc = 5

x,y-coordinates of nodes

i x(i) y(i)

1 0.0000 0.0000

2 0.0000 0.5000

3 0.0000 1.0000

4 0.5000 0.0000

5 0.5000 0.5000

6 0.5000 1.0000

7 1.0000 0.0000

8 1.0000 0.5000

9 1.0000 1.0000

Nodes of elements

i i1 i2 i3

1 1 4 5

2 1 5 2

3 2 5 6

4 2 6 3

5 4 7 8

6 4 8 5

7 5 8 9

8 5 9 6

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入出力データ

Nodes with zero Dirichlet data

1 2 3 4 7

Nodal values of u

i u

1 0.000e+000

2 0.000e+000

3 0.000e+000

4 0.000e+000

5 1.771e-001

6 2.292e-001

7 0.000e+000

8 2.292e-001

9 3.125e-001

Mathematica 6 Data

ListPlot3D[{

{0.000000, 0.000000, 0.000000},

{0.000000, 0.500000, 0.000000},

{0.000000, 1.000000, 0.000000},

{0.500000, 0.000000, 0.000000},

{0.500000, 0.500000, 0.177083},

{0.500000, 1.000000, 0.229167},

{1.000000, 0.000000, 0.000000},

{1.000000, 0.500000, 0.229167},

{1.000000, 1.000000, 0.312500}

}, Mesh -> All]

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入出力データ

Mathematica を立ち上げ，outdata.txt の ListPlot3D[...] を貼り付け，Shift +Enter により，近似関数を可視化できる．

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演習問題

§7.6 演習問題

1 教材のプログラムを用いて 2次元 Poisson 問題の数値解を計算し，Mathematica を用いて結果を図示せよ．ただし，図のような要素分割を用いよ．基本境界条件と自然境界条件は任意に設定してよい．

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演習問題

2 授業のウェブページにあるファイル indata 105.txt は，メッシュ作成プログラムによって，図のようなメッシュを作成し，femfp.c の入力形式に合わせたデータである．femfp.c で解析し，結果を確認せよ．

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まとめ

§7.7 まとめ

2次元 Poisson 問題を有限要素法で解くためのプログラムの構成についてみてきた．

1 C言語で書かれたプログラムは，コンパイル，リンクの手続きにより実行可能なプログラムが作成される．

2 Cプログラムの一般形式は関数で構成される．

3 有限要素法プログラムは，入力，要素係数行列の作成，全体係数行列の作成，既知項ベクトルの作成，連立 1次方程式のソルバー，出力の関数で構成される．

4 有限要素法プログラムの入力データ形式に合わせて入力ファイルを作成し，有限要素法プログラムの実行ファイルを走らせて，数値解が得られることを確認した．

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参考文献

参考文献

[1] 菊地文雄.

有限要素法概説: 理工学における基礎と応用.

サイエンス社, 東京, 1980.

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