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Actividad # 26. Conferencia # 11.- Aproximación de Butterworth Sumario o Introducción o Generalidades o Aproximación de Butterworth o de respuesta máximamente plana o Ejemplo # 1 o Aproximación de Chebyshev o de igual ondulación o Ejemplo # 2 o TI o Conclusiones Objetivos Dadas las especificaciones de un filtro obtener la Función del Sistema. Bibliografía FTCE III, Capitulo III. 1

C_9 Aproximaciones Butterworth y Chebyshev (1)

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Actividad # 26. Conferencia # 11.- Aproximación de Butterworth

Sumarioo Introduccióno Generalidadeso Aproximación de Butterworth o de respuesta máximamente planao Ejemplo # 1o Aproximación de Chebyshev o de igual ondulacióno Ejemplo # 2o TIo Conclusiones

Objetivos

Dadas las especificaciones de un filtro obtener la Función del Sistema.

Bibliografía

FTCE III, Capitulo III.

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Page 2: C_9 Aproximaciones Butterworth y Chebyshev (1)

Introducción

Las señales pueden tener diferentes orígenes y estar relacionadas con sistemas de comunicaciones, instrumentos médicos, industriales, geofísicos, etc., pero en cada caso, estas señales tienen un determinado espectro de frecuencias o contenido de armónicos. Cada sistema en particular, para el procesado de señales, tendrá una respuesta de frecuencia, en correspondencia con su aplicación. Es común que existan señales, en determinadas frecuencias, que son de nuestro interés, pero estas estarán acompañadas de otras señales y ruidos que no nos interesan. Llamamos interferencia a toda señal indeseable o ruido que degrada la señal útil. Los dispositivos que nos permiten seleccionar la señal útil y atenuar la interferencia, es decir, dejar pasar libremente las frecuencias de interés y oponerse al paso de las restantes frecuencias reciben el nombre de filtros.

Supongamos que tenemos un sistema analógico lineal cualquiera caracterizado por su respuesta al impulso al que se le aplica un estímulo cualquiera x(t) para obtener una respuesta y(t).

Si; x(t) = A cos (t + x), la respuesta será: y(t) = B cos (t + y), lo que significa que al pasar por el sistema la amplitud sufre un cambio y la fase otro. Si se aplica transformada de Laplace se obtiene:

Y la función de sistema será:

H(S) es una función compleja de la frecuencia (si S = j), cuyo modulo será la razón entre las amplitudes y la fase la diferencia entre las fases de las señales de salida y de entrada, es decir;

y

2

h(t)

x(t) y(t)h(t)

x(t) y(t)

H(S)

X(S) Y(S)H(S)

X(S) Y(S)

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Si = 0 ; la amplitud de salida es cero independiente de la entrada.

Si = 1 ; la amplitud de salida es igual a la entrada.

De tal manera que el sistema deja pasar a un grupo de frecuencias y rechaza a otras, es decir, se comporta como un filtro. En dependencia del grupo de frecuencias que deje pasar los filtros se clasifican como: pasa bajo, pasa alto, pasa banda y supresor de banda. Por supuesto existen filtros combinados.

La característica ideal de un filtro pasa bajo es

y en dB sería:

El filtro real no tiene estas características de frecuencia, sino que son curvas que van, en general, del valor inicial al final, para la amplitud del filtro pasa bajo sería una curva que parte de 1 (0 dB) y tiende a 0 (- dB), el valor de la amplitud en la frecuencia de corte c debe ser mayor o igual que un cierto valor A mayor que 0,707 (-3 dB), por lo tanto la banda de paso real de un filtro es el intervalo de frecuencia donde la amplitud es mayor que A y menor que 1. La banda de atenuación comienza a partir de la frecuencia de atenuación amplitud a donde la amplitud tiene que estar por debajo de

3

1

| H(S)|

Banda de paso Banda de atenuación

1

| H(S)|

Banda de paso Banda de atenuación

c

0 dB

dB

Banda de paso Banda de atenuación

- dB0 dB

dB

Banda de paso Banda de atenuación

- dB

c

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un determinado valor A1. El intervalo de frecuencia entre c y a se conoce como banda de seguridad o banda guarda es el intervalo de frecuencias donde la amplitud tiene que ir del valor A a un valor menor que A1.

Las técnicas actuales para el diseño de filtros, utilizan aproximaciones matemáticas, para representar las características de amplitud o fase del filtro y a partir de ahí, obtener la función de sistema H(S).

Problema de la aproximación

En el diseño de filtros se puede seguir la línea de la síntesis de funciones, siendo necesario obtener la función del sistema en S que cumpla con las Especificaciones Técnico Económica (ETE) del filtro que se quiere diseñar. Tal función debe representar la característica del filtro que se quiere diseñar y a la vez debe dar como resultado un circuito lo mas económico posible, siendo precisamente los diferentes métodos existentes los que conforman el denominado problema de la aproximación.

Una buena aproximación a la característica de amplitud no lo será tanto para la fase y viceversa, según se necesite, se aproximará la función a la fase o a la amplitud. Nosotros vamos a obtener funciones que se aproximen a la característica de amplitud sin considerar la de fase.

Los requerimientos que se tienen que cumplir al hallar la aproximación a la característica de un filtro, en la práctica, no son ideales y se expresan comúnmente mediante gráficos de amplitud |H(j)|, Amplitud en deciBell |H(j)|dB o de atenuación en deciBell AdB, contra frecuencia angular () o contra frecuencia (f)

4

A

|H(S)|

1

c a

A1

dBc a

- A

- A1

A

|H(S)|

1

c a

A1

dBc a

- A

- A1

Banda de Seguridad

Banda de AtenuaciónBanda de Paso

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En la banda de paso (0<<c) se señala el mayor error que se admite (A). En la banda de atenuación (>a) se señala la menor atenuación (A1) que se puede permitir a partir de la frecuencia a. La banda de seguridad (c<<a) es el intervalo de frecuencia en que la atenuación tiene que ir del máximo valor admitido en la banda de paso (A) al mínimo que se admite en la banda de atenuación (A1).

Tomando como base estas especificaciones se explicarán ahora dos de las aproximaciones más utilizadas.

Aproximación de Butterworth o de respuesta máximamente plana.

La amplitud ideal normalizada de un filtro será

1

|H1(jx

x

Cuya función de aproximación Butterworth queda formalmente como:

Donde Bn y n son los parámetros que hay que ajustar para que la curva se aproxime a la característica del filtro.

Se analizará ahora el comportamiento de la función de aproximación para diferentes puntos.Para x = 0

|H(j0)|2 = 1

Para x = 1

ó

en la que se observa que el módulo tendrá ese valor independiente del valor n.

Si Bn = 1 el módulo será

5

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La amplitud en la banda de paso (0 x < 1 ) variará entre 1 y ; por lo tanto,

Bn será un índice del error en la Banda de paso. Este parámetro no puede ser cero ya que el módulo sería independiente de la frecuencia, y no puede ser mayor que 1 pues el error sería muy grande, por lo que Bn estará entre los valores 0 y 1

0< Bn 0

Evaluando para otro valor de frecuencia angular:x →

; |H(jx)| → 0

En la que es evidente que mientras mayor sea n más rápido tenderá la amplitud a cero y la atenuación será mayor en la banda de atenuación.

En la Figura se muestra la curva de la aproximación para diferentes valores de n

Expresando ahora la amplitud en dB; o sea, aplicando 20 log al módulo se obtiene:

Analizando la curva a través de sus asíntotas;

x → 0 la asíntota a las bajas frecuencias es el eje de cero dB.

x → (x >> 1)

6

|H(jx)|

1

xca

A1

nBA

1

1

Como 0 < Bn1, 11

1707,0

nB

n1 < n2

n2n1

|H(jx)|

1

xca

A1

nBA

1

1

Como 0 < Bn1, 11

1707,0

nB

n1 < n2

n2n1

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Entonces la asíntota a altas frecuencias será una recta de pendiente -20n dB/década y de intercepto con el eje 0 dB en el punto:

x es un valor mayor que la unidad y también mayor que la frecuencias de corte.

Para trazar las curvas, conociendo ya la pendiente, se debe obtener el valor en un punto de la función;

Si ; el módulo es 

Si Bn = 1 el intercepto entre las asíntotas ocurre en la frecuencia angular x = 1, donde el valor del módulo a esa frecuencia es de – 3 dB. Una vez que se ha analizado el comportamiento de la amplitud de la función aproximación y se ha comparado con la característica ideal de amplitud del filtro, falta el paso más importantes, el de obtener una función de sistema cuyo módulo sea exactamente el dado por la aproximación de Butterworth.

7

|H(jx)| dB

-3

x1

n1=1n2 = 2

|H(jx)| dB

-3

x1

n1=1n2 = 2

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Para cada valor de n existirá una distribución de polos fija, pudiéndose obtener y tabular los polinomios que le corresponden a cada distribución de polos. Las tablas de los polinomios de Butterworth B(Sx) para distintos valores de n son:

(Sx+1)(Sx+1,414Sx+ 1)

2

(Sx+Sx+ 1)2

(Sx+0,518Sx+ 1)2

(Sx+0,765Sx+ 1)2

(Sx+0,618Sx+ 1)2

(Sx+1,848Sx+ 1)2

(Sx+1,618Sx+ 1)2

(Sx+1)

(Sx+1)(Sx+1,414Sx+ 1)

2(Sx+1,932Sx+ 1)

2

B(Sx)n

1

34

65

2

La función de sistema será el inverso de los polinomios de Butterworth.

H(Sx=1/ B(Sx

Se debe destacar que los polinomios son válidos para Bn = 1 por lo que la frecuencias de corte c es exactamente la frecuencia donde el módulo toma el valor de -3dB (3).

Una vez que se obtiene la función de sistema normalizado H(Sx) es fácil obtener la función de sistema en S simplemente evaluándola para Sx = S/3db

Sx=S/3

H(S H(Sx

8

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Ejemplo # 1:

Se desea obtener la función de sistema de un filtro que tenga las siguientes especificaciones:

|H(jx)| dB

-2

200 400

-14

x (rad/s)

|H(jx)| dB

-2

200 400

-14

x (rad/s)

Solución

Se normalizan las especificaciones en frecuencia considerando c = 200 rad/s

Como;

Evaluando para el punto (1,-2) se obtiene el valor de Bn:

9

|H(jx)| dB

-2

200 400

-14

x (rad/s)

|H(jx)| dB

-2

200 400

-14

x (rad/s) 1 200

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Bn = log-1 0,2 – 1 = 1,58 – 1 = 0,58Bn = 0,58Evaluando ahora para el punto (2,-14) se obtiene el valor de n:

Aplicando antilogaritmo a ambos miembros y despejando:

Aplicando logaritmo y despejando

Con este valor de n la curva pasaría por los puntos (1,-2) y (2,-14), pero n es el numero de polos, por lo que debe ser un numero entero, por lo que se escoge el próximo entero mayor, es decir, n = 3. Comprobando que se cumple el requerimiento para la banda de atenuación:

para n = 3

Para desnormalizar se debe utilizar la frecuencia donde el modulo es de – 3dB, calculada según la expresión:

o evaluando la expresión del módulo:

como

log x3dB = - 1/6 log 0,58x3dB = log-1 [- 1/6 log 0,58] = log-1 [- 1/6 (-0,24)] = log-1 0,04 = 1,096

La frecuencia desnormalizada se obtiene evaluando y despejando en:

10

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3db = x3dBc

3db = (1,096)(200) = 219 rad/s

Desnormalizando la función de sistema:

Efectuando:

11

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Aproximación de Chebyshev o de igual ondulación.

Para la aproximación de Chebyshev se parte de una función que presenta todos los ceros en el infinito y estará dada por la siguiente expresión para la amplitud cuadrada en función de la frecuencia angular normalizada x

Esta será la función que se aproximará a la característica de amplitud ideal del filtro. Esta función se obtuvo a partir de la aplicación del criterio de Chebyshev; en ella es un parámetro a determinar que estará entre los valores 1 >0, Cn(x) son los polinomios de Chebyshev de orden n; este valor de n, será el otro parámetro a determinar.

Los polinomios de Chebyshev están definidos por las expresiones:

Cn(x) = cos(n cos-1x) para |x| 1Cn(x) = cosh(n cosh-1x) para |x| > 1

Si se sustituye para distintos valores de n, se obtiene la siguiente tabla para los polinomios

n Cn(x)0 11 x

2 -13 - 3x

4

5

6

7

8

9

10

.

.

.n

.

.

.2x Cn-1(x ) - Cn-2(x)

1

1+ ε2Cn2(ωx)

|H(jωx)|2=

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Como se observa son polinomios de grado n y todos tienen como término de mayor grado uno del tipo para n 1.

Si se hacen los gráficos de las funciones se pueden sacar algunas características generales para estos polinomios que son de mucha utilidad.

a. Para todo valor de n par se cumple que Cn(0) = 1b. Para valores de n impares Cn(0) = 0c. Para todos los valores de n Cn(1) = 1 (esta es una característica muy importante y que se utilizará con frecuencia).d. Para 1 |x| se cumple siempre que 1 |Cn(x)| independiente del valor de ne. Por último para |x| >1 se cumple que Cn(x) crece rápidamente con la frecuencia y mientras mayor sea el valor de n mayor será ese crecimiento.

Analizando los polinomios Cn(x) al cuadrado se llega a las siguientes conclusiones.

a) Para valores de n par

Cn(0) = 1 2

b) Para valores de n impar

Cn(0) = 0 2

c) Para todo valor de n

Cn(1) = 1 2

si

0 <=Cn(x)<=1 2

d) A mayor n habrá mayor número de ondulaciones. El análisis de los polinomios y de los polinomios al cuadrado de Chebyshev facilita comprender el comportamiento del módulo de la amplitud. Como se sabe que

Se concluye que el valor de la amplitud en la banda de paso es

|H(jx1

1+ 2

El valor será el que controle la magnitud de las ondulaciones y da un índice del error que se comete en la banda de paso. Algunos de los gráficos de la amplitud de la aproximación para diferentes valores de n.

1

√1+ ε2Cn2(ωx)

|H(jωx)|=

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|H(jx

1

1

x

1 1+ 2

|H(jx

1

1

x

1 1+ 2

n=2n=1

|H(jx

1

1

x

1 1+ 2

|H(jx

1

1

x

1 1+ 2

n=3 n=4

Puede observarse que el error se distribuye a todo lo largo de la banda de paso, hay un número de puntos donde es cero y otro donde es máximo; siempre el valor del módulo en el punto

1

1+ 2

x=1 es

independiente del valor de n. Además, a mayor n mayor número de ondulaciones, como ya se había planteado, y la función tiende más rápido a cero con el aumento de la frecuencia. Si la frecuencia crece es evidente que de los polinomios de Chebyshev el término que predomina es el de mayor grado.

A mayor n, el denominador será de mayor grado y tenderá el módulo más rápido a cero, como se había planteado.

La asíntota a las altas frecuencias es una recta de pendiente -20n dB/dc; la asíntota a las bajas frecuencias no tiene sentido porque en la banda de paso la función es ondulatoria.

Para un mismo valor de especificaciones, la aproximación de Butterworth es de menor orden que la de Chebyshev, aunque esto no siempre es así, ya que depende de los valores relativos de y n. 

Una vez que se ha analizado la aproximación de Chebyshev, sólo queda encontrar la función de sistema cuyo módulo se corresponde con el de la aproximación.Se sabe que:

=

11+ Cn(x) 2 2

|H(jx= H(jxH(-jx 2

La función tendrá también 2n polos al igual que la aproximación de Butterworth; pero la obtención de los polos es más compleja. Los polos de la función son los ceros del denominador.

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=

11+ Cn(Sx/j) 2 2

H(SxH(-Sx

Los polos se obtienen según

1+ Cn(Sx/j) =0 2 2

Y se llega a la expresión de la posición de los polos en el plano complejo Sx

demostración en el FTCE III

Para la parte (abscisa) real es

xk = senh a

y para la parte imaginaria (ordenada)

xk = cosh a

con

los valores de k son k = 0, 1, 2, … (2n -1)

El lugar geométrico que describe la posición de los polos es el de una elipse; los polos están distribuidos alrededor de una elipse donde los semiejes dependen de a y a de y n.

j

Para algunos valores de n la distribución de los polos será

15

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De los 2n polos n son del semiplano izquierdo y le corresponden a H (Sx) y los n del semiplano derecho a H (-Sx). Los polos son complejos conjugados y además presentan simetría son respecto al eje imaginario se puede aprovechar esta característica y por ejemplo si n = 2 con la posición de uno de los polos queda determinada la de otros tres, el conjugado y los dos simétricos.La expresión para la función de sistema será

El valor de kc es distinto de 1 y se obtiene a través den-1

kc=(1/

para obtener la función de sistema en S sólo queda evaluar para Sx =S/c , esto es

H(S) =H(Sx)

S= Sx/c

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Ejemplo # 2:

Se desea obtener la función de sistema de un filtro, mediante la aproximación de Chebyshev que tenga las siguientes especificaciones:

Solución

Se normalizan las especificaciones en frecuencia considerando c = 200 rad/s

Como;

Evaluando para el punto (1,-2) se obtiene el valor de ε:

ε2 = 0,58 ε = 0,76

17

|H(jx)| dB

-2

200 400

-14

x (rad/s)

|H(jx)| dB

-2

200 400

-14

x (rad/s) 1 200

|H(jx)| dB

-2

200 400

-14

x (rad/s)

|H(jx)| dB

-2

200 400

-14

x (rad/s)

Page 18: C_9 Aproximaciones Butterworth y Chebyshev (1)

Evaluando ahora para el punto (2,-14) se obtiene el valor de n:

Cn(2) 6,45

Evaluando los polinomios de Chebyshev

x = 2 n = 1 C1(2) =2 < 6,45n = 2 C2(2) =2(2)2-1 = 7 > 6,45

n = 2 2n = 4 polos

Para hallar los polos

y k = 0, 1, 2, …..(2n – 1) = 0, 1, 2 y 3

Para k = 0

Por simetría determinando un polo, se ubican los otros tres por ser complejos conjugados y simétricos con respecto al eje j. Los polos que determinan la función de sistema serán los del SPI.

18

(0,4 , 0,8)

(0,4 , -0,8)

(-0,4 , -0,8)

(-0,4 , 0,8)

Los polos del SPI determinan la función de sistema H(Sx)

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Desnormalizando con respecto a la frecuencia de corte c = 200 rad/s

Efectuando:

19

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TI

1- Obtenga la función de sistema de un filtro pasabajo, mediante la aproximación de Butterworth, de frecuencia de corte 20 kHz, frecuencia de atenuación 40 kHz, atenuación en la banda de paso 2 dB y en la banda de atenuación 20 dB.

2- Obtenga la función de sistema de un filtro, con las mismas especificaciones del ejercicio anterior, mediante la aproximación de Chebyshev

Respuestas1) n = 4, Bn = 0,58, f3dB = 21,387 kHz

2) n = 3, ε = 0,76, Kc = 0,33

20

H(s)=1

(S+0,369)(S2+0,369S+0,886)

H(s)= 1

(S2+0,618S+1)(S2+1,618S+1)