68
Các ppxs thường gặp Ha Hoang V. – 1 Các phân phối xác suất thường gặp Hoàng Văn Hà [email protected] Ngày 13 tháng 10 năm 2012

Các phân phối xác suất thường gặp

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Các phân phối xác suất thường gặp

Citation preview

Page 1: Các phân phối xác suất thường gặp

Các ppxs thường gặp Ha Hoang V. – 1

Các phân phối xác suất thường gặp

Hoàng Văn Hà

[email protected]

Ngày 13 tháng 10 năm 2012

Page 2: Các phân phối xác suất thường gặp

Các phân phối rời rạc

Các phân phối rờirạc

Biến ngẫu nhiênBernoulliPhân phối nhị thức

Phân phối nhị thức -hàm xác suấtPhân phối nhị thức -hàm phân phối

Phân phối PoissonĐịnh nghĩa

Hàm xác suất

Ví dụ

Xấp xỉ pp nhị thứcbằng pp Poisson

Các phân phối liêntục

Các ppxs thường gặp Ha Hoang V. – 2

Page 3: Các phân phối xác suất thường gặp

Biến ngẫu nhiên Bernoulli

Các phân phối rờirạc

Biến ngẫu nhiênBernoulliPhân phối nhị thức

Phân phối nhị thức -hàm xác suấtPhân phối nhị thức -hàm phân phối

Phân phối PoissonĐịnh nghĩa

Hàm xác suất

Ví dụ

Xấp xỉ pp nhị thứcbằng pp Poisson

Các phân phối liêntục

Các ppxs thường gặp Ha Hoang V. – 3

Định nghĩa 1 (Biến ngẫu nhiên Bernoulli). Thực hiện một phépthử, ta quan tâm đến biến cố A. Nếu biến cố A xảy ra (thànhcông) thì X nhận giá trị là 1 (X = 1), ngược lại biến ngẫu nhiênX nhận giá trị 0. Phép thử này gọi là phép thử Bernoulli. Giả sửxác suất xảy ra biến cố A là p, 0 < p < 1

P (A) = P (X = 1) = p

vàP(

A)

= P (X = 0) = 1 − p = q

Khi đó biến ngẫu nhiên X được gọi là biến ngẫu nhiên có phânphối Bernoulli với tham số p, ký hiệu X ∼ B(1; p).

Page 4: Các phân phối xác suất thường gặp

Phân phối Bernoulli

Các phân phối rờirạc

Biến ngẫu nhiênBernoulliPhân phối nhị thức

Phân phối nhị thức -hàm xác suấtPhân phối nhị thức -hàm phân phối

Phân phối PoissonĐịnh nghĩa

Hàm xác suất

Ví dụ

Xấp xỉ pp nhị thứcbằng pp Poisson

Các phân phối liêntục

Các ppxs thường gặp Ha Hoang V. – 4

Ví dụ 1. Các phép thử sau đây cho kết quả là một biến ngẫunhiên Bernoulli

✔ Tung ngẫu nhiên một đồng xu: X = 1 nếu xuất hiện mặtsấp, X = 0 nếu xuất hiện mặt ngửa.

Page 5: Các phân phối xác suất thường gặp

Phân phối Bernoulli

Các phân phối rờirạc

Biến ngẫu nhiênBernoulliPhân phối nhị thức

Phân phối nhị thức -hàm xác suấtPhân phối nhị thức -hàm phân phối

Phân phối PoissonĐịnh nghĩa

Hàm xác suất

Ví dụ

Xấp xỉ pp nhị thứcbằng pp Poisson

Các phân phối liêntục

Các ppxs thường gặp Ha Hoang V. – 4

Ví dụ 1. Các phép thử sau đây cho kết quả là một biến ngẫunhiên Bernoulli

✔ Tung ngẫu nhiên một đồng xu: X = 1 nếu xuất hiện mặtsấp, X = 0 nếu xuất hiện mặt ngửa.

✔ Kiểm tra ngẫu nhiên một sản phẩm trong lô hàng: X = 1 nếugặp được sản phẩm tốt, X = 0 nếu gặp được sản phẩm kém.

Page 6: Các phân phối xác suất thường gặp

Phân phối Bernoulli

Các phân phối rờirạc

Biến ngẫu nhiênBernoulliPhân phối nhị thức

Phân phối nhị thức -hàm xác suấtPhân phối nhị thức -hàm phân phối

Phân phối PoissonĐịnh nghĩa

Hàm xác suất

Ví dụ

Xấp xỉ pp nhị thứcbằng pp Poisson

Các phân phối liêntục

Các ppxs thường gặp Ha Hoang V. – 4

Ví dụ 1. Các phép thử sau đây cho kết quả là một biến ngẫunhiên Bernoulli

✔ Tung ngẫu nhiên một đồng xu: X = 1 nếu xuất hiện mặtsấp, X = 0 nếu xuất hiện mặt ngửa.

✔ Kiểm tra ngẫu nhiên một sản phẩm trong lô hàng: X = 1 nếugặp được sản phẩm tốt, X = 0 nếu gặp được sản phẩm kém.

✔ Trả lời ngẫu nhiên 1 câu trắc nghiệm: X = 0 nếu trả lờiđúng, X = 1 nếu trả lời sai.

Page 7: Các phân phối xác suất thường gặp

Phân phối Bernoulli

Các phân phối rờirạc

Biến ngẫu nhiênBernoulliPhân phối nhị thức

Phân phối nhị thức -hàm xác suấtPhân phối nhị thức -hàm phân phối

Phân phối PoissonĐịnh nghĩa

Hàm xác suất

Ví dụ

Xấp xỉ pp nhị thứcbằng pp Poisson

Các phân phối liêntục

Các ppxs thường gặp Ha Hoang V. – 4

Ví dụ 1. Các phép thử sau đây cho kết quả là một biến ngẫunhiên Bernoulli

✔ Tung ngẫu nhiên một đồng xu: X = 1 nếu xuất hiện mặtsấp, X = 0 nếu xuất hiện mặt ngửa.

✔ Kiểm tra ngẫu nhiên một sản phẩm trong lô hàng: X = 1 nếugặp được sản phẩm tốt, X = 0 nếu gặp được sản phẩm kém.

✔ Trả lời ngẫu nhiên 1 câu trắc nghiệm: X = 0 nếu trả lờiđúng, X = 1 nếu trả lời sai.

✔ Mua vé số: X = 0 nếu trúng số, X = 1 nếu không trúng số.

Page 8: Các phân phối xác suất thường gặp

Phân phối Bernoulli

Các phân phối rờirạc

Biến ngẫu nhiênBernoulliPhân phối nhị thức

Phân phối nhị thức -hàm xác suấtPhân phối nhị thức -hàm phân phối

Phân phối PoissonĐịnh nghĩa

Hàm xác suất

Ví dụ

Xấp xỉ pp nhị thứcbằng pp Poisson

Các phân phối liêntục

Các ppxs thường gặp Ha Hoang V. – 5

Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X ∼ B(1, p) códạng

X 1 0

P p q

với q = 1 − p.

Page 9: Các phân phối xác suất thường gặp

Phân phối Bernoulli

Các phân phối rờirạc

Biến ngẫu nhiênBernoulliPhân phối nhị thức

Phân phối nhị thức -hàm xác suấtPhân phối nhị thức -hàm phân phối

Phân phối PoissonĐịnh nghĩa

Hàm xác suất

Ví dụ

Xấp xỉ pp nhị thứcbằng pp Poisson

Các phân phối liêntục

Các ppxs thường gặp Ha Hoang V. – 5

Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X ∼ B(1, p) códạng

X 1 0

P p q

với q = 1 − p.Dựa vào bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X ta dễdàng tính được

E(X) = p

Var(X) = pq

Page 10: Các phân phối xác suất thường gặp

Phân phối nhị thức

Các phân phối rờirạc

Biến ngẫu nhiênBernoulliPhân phối nhị thức

Phân phối nhị thức -hàm xác suấtPhân phối nhị thức -hàm phân phối

Phân phối PoissonĐịnh nghĩa

Hàm xác suất

Ví dụ

Xấp xỉ pp nhị thứcbằng pp Poisson

Các phân phối liêntục

Các ppxs thường gặp Ha Hoang V. – 6

Định nghĩa 2 (Binomial distribution). Thực hiện n phép thửBernoulli độc lập với xác suất thành công trong mỗi phép thử là p.Gọi X là số lần thành công (biến cố A xảy ra) trong n phép thử thì

X = X1 + · · · + Xn

với Xi, (i = 1, . . . , n), là biến ngẫu nhiên có phân phối Bernoullivới cùng tham số p. Khi đó X là biến ngẫu nhiên rời rạc với miềngiá trị S = {0, . . . , n} và xác suất

P (X = k) = Ck

npkqn−k, k ∈ S (1)

X được gọi là có phân phối nhị thức với các tham số n, p ký hiệuX ∼ B (n; p).

Page 11: Các phân phối xác suất thường gặp

Phân phối nhị thức - hàm xác suất

Các phân phối rờirạc

Biến ngẫu nhiênBernoulliPhân phối nhị thức

Phân phối nhị thức -hàm xác suấtPhân phối nhị thức -hàm phân phối

Phân phối PoissonĐịnh nghĩa

Hàm xác suất

Ví dụ

Xấp xỉ pp nhị thứcbằng pp Poisson

Các phân phối liêntục

Các ppxs thường gặp Ha Hoang V. – 7

Page 12: Các phân phối xác suất thường gặp

Phân phối nhị thức - hàm phân phối

Các phân phối rờirạc

Biến ngẫu nhiênBernoulliPhân phối nhị thức

Phân phối nhị thức -hàm xác suấtPhân phối nhị thức -hàm phân phối

Phân phối PoissonĐịnh nghĩa

Hàm xác suất

Ví dụ

Xấp xỉ pp nhị thứcbằng pp Poisson

Các phân phối liêntục

Các ppxs thường gặp Ha Hoang V. – 8

Page 13: Các phân phối xác suất thường gặp

Phân phối nhị thức

Các phân phối rờirạc

Biến ngẫu nhiênBernoulliPhân phối nhị thức

Phân phối nhị thức -hàm xác suấtPhân phối nhị thức -hàm phân phối

Phân phối PoissonĐịnh nghĩa

Hàm xác suất

Ví dụ

Xấp xỉ pp nhị thứcbằng pp Poisson

Các phân phối liêntục

Các ppxs thường gặp Ha Hoang V. – 9

Ví dụ 2. Trong một nhà máy sản xuất vi mạch điện tử, biết rằngtỷ lệ vi mạch không đạt chất lượng là 5%. Kiểm tra ngẫu nhiên 15vi mạch. Tính xác suất

(a) Có đúng 7 vi mạch không đạt chất lượng.

(b) Có ít nhất 1 vi mạch không đạt chất lượng.

Page 14: Các phân phối xác suất thường gặp

Phân phối nhị thức

Các phân phối rờirạc

Biến ngẫu nhiênBernoulliPhân phối nhị thức

Phân phối nhị thức -hàm xác suấtPhân phối nhị thức -hàm phân phối

Phân phối PoissonĐịnh nghĩa

Hàm xác suất

Ví dụ

Xấp xỉ pp nhị thứcbằng pp Poisson

Các phân phối liêntục

Các ppxs thường gặp Ha Hoang V. – 10

Định lý 3 (Các đặc trưng của BNN có phân phối nhị thức). NếuX là biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức B (n, p) thì

i) E (X) = np.

ii) Var (X) = npq.

iv) Với x, h là hai số nguyên nguyên dương thì

P (x ≤ X ≤ x + h) =P (X = x) + P (X = x + 1) + · · ·· · · + P (X = x + h) .

Page 15: Các phân phối xác suất thường gặp

Phân phối nhị thức

Các phân phối rờirạc

Biến ngẫu nhiênBernoulliPhân phối nhị thức

Phân phối nhị thức -hàm xác suấtPhân phối nhị thức -hàm phân phối

Phân phối PoissonĐịnh nghĩa

Hàm xác suất

Ví dụ

Xấp xỉ pp nhị thứcbằng pp Poisson

Các phân phối liêntục

Các ppxs thường gặp Ha Hoang V. – 11

Ví dụ 3. Một học sinh làm một bài thi trắc nghiệm có 60 câu hỏi,mỗi câu có 5 đáp án và chỉ có 1 đáp án đúng. Biết rằng học sinhkhông học bài và đánh ngẫu nhiên toàn bộ bài thi. Tính xác suất:

(a) Học sinh làm đúng ít nhất 1 câu.

(b) Học sinh làm đúng 30 câu.

(b) Số câu trả lời đúng trung bình mà học sinh làm được là baonhiêu? Tính phương sai của số câu trả lời đúng.

Page 16: Các phân phối xác suất thường gặp

Phân phối nhị thức

Các phân phối rờirạc

Biến ngẫu nhiênBernoulliPhân phối nhị thức

Phân phối nhị thức -hàm xác suấtPhân phối nhị thức -hàm phân phối

Phân phối PoissonĐịnh nghĩa

Hàm xác suất

Ví dụ

Xấp xỉ pp nhị thứcbằng pp Poisson

Các phân phối liêntục

Các ppxs thường gặp Ha Hoang V. – 12

Ví dụ 4. Trong một nhà máy, hàng đóng thành kiện, mỗi kiện 10sản phẩm, trong đó có 3 phế phẩm. Khi kiện hàng được giao chokhách hàng, khách hàng sẽ lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm trongkiện để kiểm tra. Nếu cả hai sản phẩm đều tốt, kiện hàng sẽ đượcnhận, ngược lại kiện hàng sẽ bị trả lại. Gọi X là số kiện hàng đượcnhận trong số 50 kiện hàng giao cho khách hàng.

(a) Tính xác suất có 40 kiện hàng được nhận.

(b) Tính E (X) và Var (X).

Page 17: Các phân phối xác suất thường gặp

Phân phối nhị thức

Các phân phối rờirạc

Biến ngẫu nhiênBernoulliPhân phối nhị thức

Phân phối nhị thức -hàm xác suấtPhân phối nhị thức -hàm phân phối

Phân phối PoissonĐịnh nghĩa

Hàm xác suất

Ví dụ

Xấp xỉ pp nhị thứcbằng pp Poisson

Các phân phối liêntục

Các ppxs thường gặp Ha Hoang V. – 13

Ví dụ 5. Trong các chuyến bay, có thể có những hành khách bỏchuyến bay mặc dù đã đặt vé trước. Một hãng hàng không bán ra125 vé cho một chuyến bay chỉ có 120 ghế. Xác suất một hànhkhác vắng mặt là 0.10 và độc lập với các hành khách khác.

(a) Tính xác suất tất cả những hành khác có mặt tại sân bayđều có thể thực hiện chuyến bay (có đủ ghế).

(b) Xác suất máy bay cất cánh mà còn dư ghế ngồi là bao nhiêu?

Page 18: Các phân phối xác suất thường gặp

Phân phối Poisson

Các phân phối rờirạc

Biến ngẫu nhiênBernoulliPhân phối nhị thức

Phân phối nhị thức -hàm xác suấtPhân phối nhị thức -hàm phân phối

Phân phối PoissonĐịnh nghĩa

Hàm xác suất

Ví dụ

Xấp xỉ pp nhị thứcbằng pp Poisson

Các phân phối liêntục

Các ppxs thường gặp Ha Hoang V. – 14

Ví dụ 6. Giả sử ta cần truyền đi n bit qua một kênh truyền tínhiệu số. Gọi X là số bit lỗi trong n bit được truyền. Khi xác suấtmột bit bị lỗi là hằng số và việc truyền tín hiệu độc lập, X cóphân phối nhị thức. Gọi p là xác suất một bit truyền đi bị lỗi. Đặtλ = np thì E(X) = np = λ và

P (X = x) = Cx

npx(1 − p)n−x = Cx

n

(

λ

n

)x(

1 − λ

n

)n−x

Page 19: Các phân phối xác suất thường gặp

Phân phối Poisson

Các phân phối rờirạc

Biến ngẫu nhiênBernoulliPhân phối nhị thức

Phân phối nhị thức -hàm xác suấtPhân phối nhị thức -hàm phân phối

Phân phối PoissonĐịnh nghĩa

Hàm xác suất

Ví dụ

Xấp xỉ pp nhị thứcbằng pp Poisson

Các phân phối liêntục

Các ppxs thường gặp Ha Hoang V. – 14

Ví dụ 6. Giả sử ta cần truyền đi n bit qua một kênh truyền tínhiệu số. Gọi X là số bit lỗi trong n bit được truyền. Khi xác suấtmột bit bị lỗi là hằng số và việc truyền tín hiệu độc lập, X cóphân phối nhị thức. Gọi p là xác suất một bit truyền đi bị lỗi. Đặtλ = np thì E(X) = np = λ và

P (X = x) = Cx

npx(1 − p)n−x = Cx

n

(

λ

n

)x(

1 − λ

n

)n−x

Giả sử số truyền đi tăng lên và xác suất một bit lỗi giảm xuốngsao cho np không đổi. Nghĩa là, n và p đồng thời tăng và giảmsao cho E(X) = λ là hằng số.

Page 20: Các phân phối xác suất thường gặp

Phân phối Poisson

Các phân phối rờirạc

Biến ngẫu nhiênBernoulliPhân phối nhị thức

Phân phối nhị thức -hàm xác suấtPhân phối nhị thức -hàm phân phối

Phân phối PoissonĐịnh nghĩa

Hàm xác suất

Ví dụ

Xấp xỉ pp nhị thứcbằng pp Poisson

Các phân phối liêntục

Các ppxs thường gặp Ha Hoang V. – 14

Ví dụ 6. Giả sử ta cần truyền đi n bit qua một kênh truyền tínhiệu số. Gọi X là số bit lỗi trong n bit được truyền. Khi xác suấtmột bit bị lỗi là hằng số và việc truyền tín hiệu độc lập, X cóphân phối nhị thức. Gọi p là xác suất một bit truyền đi bị lỗi. Đặtλ = np thì E(X) = np = λ và

P (X = x) = Cx

npx(1 − p)n−x = Cx

n

(

λ

n

)x(

1 − λ

n

)n−x

Giả sử số truyền đi tăng lên và xác suất một bit lỗi giảm xuốngsao cho np không đổi. Nghĩa là, n và p đồng thời tăng và giảmsao cho E(X) = λ là hằng số. Ta có thể chỉ ra

limn→∞

P(X = x) =e−λλx

x!, x = 0, 1, 2, . . .

Page 21: Các phân phối xác suất thường gặp

Định nghĩa

Các phân phối rờirạc

Biến ngẫu nhiênBernoulliPhân phối nhị thức

Phân phối nhị thức -hàm xác suấtPhân phối nhị thức -hàm phân phối

Phân phối PoissonĐịnh nghĩa

Hàm xác suất

Ví dụ

Xấp xỉ pp nhị thứcbằng pp Poisson

Các phân phối liêntục

Các ppxs thường gặp Ha Hoang V. – 15

Định nghĩa 4 (Poissson distribution). Biến ngẫu nhiên rời rạc X

nhận các giá trị từ 0, 1, 2, . . . gọi là có phân phối Poisson với thamsố λ, ký hiệu X ∼ P (λ) nếu

f(x) = P(X = x) =e−λλx

x!, x = 0, 1, 2 . . . (2)

Page 22: Các phân phối xác suất thường gặp

Định nghĩa

Các phân phối rờirạc

Biến ngẫu nhiênBernoulliPhân phối nhị thức

Phân phối nhị thức -hàm xác suấtPhân phối nhị thức -hàm phân phối

Phân phối PoissonĐịnh nghĩa

Hàm xác suất

Ví dụ

Xấp xỉ pp nhị thứcbằng pp Poisson

Các phân phối liêntục

Các ppxs thường gặp Ha Hoang V. – 15

Định nghĩa 4 (Poissson distribution). Biến ngẫu nhiên rời rạc X

nhận các giá trị từ 0, 1, 2, . . . gọi là có phân phối Poisson với thamsố λ, ký hiệu X ∼ P (λ) nếu

f(x) = P(X = x) =e−λλx

x!, x = 0, 1, 2 . . . (2)

Kỳ vọng và phương sai của X lần lượt bằng

E(X) = λ

Var(X) = λ

Page 23: Các phân phối xác suất thường gặp

Định nghĩa

Các phân phối rờirạc

Biến ngẫu nhiênBernoulliPhân phối nhị thức

Phân phối nhị thức -hàm xác suấtPhân phối nhị thức -hàm phân phối

Phân phối PoissonĐịnh nghĩa

Hàm xác suất

Ví dụ

Xấp xỉ pp nhị thứcbằng pp Poisson

Các phân phối liêntục

Các ppxs thường gặp Ha Hoang V. – 16

Một số biến ngẫu nhiên mô tả các sự kiện sau thường được xem làtuân theo phân phối Poisson

i) Số lỗi in trong một (hoặc một số) trang sách.

ii) Số người sống lâu trên 100 tuổi trong một cộng đồng dâncư.

iii) Số người đến một bưu điện nào đó trong một ngày.

iv) Số tai nạn hoặc sự cố giao thông xảy ra tại một điểm giaothông trong một ngày ...

Page 24: Các phân phối xác suất thường gặp

Định nghĩa

Các phân phối rờirạc

Biến ngẫu nhiênBernoulliPhân phối nhị thức

Phân phối nhị thức -hàm xác suấtPhân phối nhị thức -hàm phân phối

Phân phối PoissonĐịnh nghĩa

Hàm xác suất

Ví dụ

Xấp xỉ pp nhị thứcbằng pp Poisson

Các phân phối liêntục

Các ppxs thường gặp Ha Hoang V. – 16

Một số biến ngẫu nhiên mô tả các sự kiện sau thường được xem làtuân theo phân phối Poisson

i) Số lỗi in trong một (hoặc một số) trang sách.

ii) Số người sống lâu trên 100 tuổi trong một cộng đồng dâncư.

iii) Số người đến một bưu điện nào đó trong một ngày.

iv) Số tai nạn hoặc sự cố giao thông xảy ra tại một điểm giaothông trong một ngày ...

Các biến ngẫu nhiên được sử dụng để mô tả, "đếm" số lần xảy racủa một biến cố, sự kiện nào đó xảy ra trong một khoảng thờigian và thỏa một số điều kiện (các điều kiện này thường thỏa mãntrong thực tế) thường được mô tả bằng phân phối Poisson.

Page 25: Các phân phối xác suất thường gặp

Hàm xác suất

Các phân phối rờirạc

Biến ngẫu nhiênBernoulliPhân phối nhị thức

Phân phối nhị thức -hàm xác suấtPhân phối nhị thức -hàm phân phối

Phân phối PoissonĐịnh nghĩa

Hàm xác suất

Ví dụ

Xấp xỉ pp nhị thứcbằng pp Poisson

Các phân phối liêntục

Các ppxs thường gặp Ha Hoang V. – 17

Page 26: Các phân phối xác suất thường gặp

Hàm phân phối

Các phân phối rờirạc

Biến ngẫu nhiênBernoulliPhân phối nhị thức

Phân phối nhị thức -hàm xác suấtPhân phối nhị thức -hàm phân phối

Phân phối PoissonĐịnh nghĩa

Hàm xác suất

Ví dụ

Xấp xỉ pp nhị thứcbằng pp Poisson

Các phân phối liêntục

Các ppxs thường gặp Ha Hoang V. – 18

Page 27: Các phân phối xác suất thường gặp

Ví dụ

Các phân phối rờirạc

Biến ngẫu nhiênBernoulliPhân phối nhị thức

Phân phối nhị thức -hàm xác suấtPhân phối nhị thức -hàm phân phối

Phân phối PoissonĐịnh nghĩa

Hàm xác suất

Ví dụ

Xấp xỉ pp nhị thứcbằng pp Poisson

Các phân phối liêntục

Các ppxs thường gặp Ha Hoang V. – 19

Ví dụ 7. Giả sử số lỗi in trong một trang nào đó của quyển sáchcó phân phối Poisson với tham số λ = 1

2. Tính xác suất có ít nhất

một lỗi in trong trang này.

Ví dụ 8. Số cuộc điện thoại gọi đến một tổng đài điện thoạitrong một giờ có phân phối Poisson với λ = 10. Tính xác suất

(a) Có 5 cuộc điện thoại gọi đến trong một giờ.

(b) Có nhiều nhất 3 cuộc điện thoại gọi đến trong một giờ.

(c) Có 15 cuộc điện thoại gọi đến trong hai giờ.

(d) Có 5 cuộc điện thoại gọi đến trong 30 phút.

Page 28: Các phân phối xác suất thường gặp

Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp Poisson

Các phân phối rờirạc

Biến ngẫu nhiênBernoulliPhân phối nhị thức

Phân phối nhị thức -hàm xác suấtPhân phối nhị thức -hàm phân phối

Phân phối PoissonĐịnh nghĩa

Hàm xác suất

Ví dụ

Xấp xỉ pp nhị thứcbằng pp Poisson

Các phân phối liêntục

Các ppxs thường gặp Ha Hoang V. – 20

Định lý 5. Cho X ∼ B(n, p), nếu n → ∞ và p → 0 sao chonp → λ thì

P(X = x) =e−λλx

x!

Trong thực tế, phân phối Poisson sẽ xấp xỉ tốt cho phân phối nhịthức khi n ≥ 100 và np ≤ 10.

Page 29: Các phân phối xác suất thường gặp

Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp Poisson

Các phân phối rờirạc

Biến ngẫu nhiênBernoulliPhân phối nhị thức

Phân phối nhị thức -hàm xác suấtPhân phối nhị thức -hàm phân phối

Phân phối PoissonĐịnh nghĩa

Hàm xác suất

Ví dụ

Xấp xỉ pp nhị thứcbằng pp Poisson

Các phân phối liêntục

Các ppxs thường gặp Ha Hoang V. – 20

Định lý 5. Cho X ∼ B(n, p), nếu n → ∞ và p → 0 sao chonp → λ thì

P(X = x) =e−λλx

x!

Trong thực tế, phân phối Poisson sẽ xấp xỉ tốt cho phân phối nhịthức khi n ≥ 100 và np ≤ 10.

Ví dụ 9. Trong một đợt tiêm chủng cho trẻ em ở một khu vực,biết xác suất một trẻ bị phản ứng với thuốc sau khi tiêm là 0,001.Thực hiện tiêm cho 2000 trẻ, tính xác suất có nhiều nhất 1 trẻ bịphản ứng với thuốc sau khi tiêm.

Page 30: Các phân phối xác suất thường gặp

Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp Poisson

Các phân phối rờirạc

Biến ngẫu nhiênBernoulliPhân phối nhị thức

Phân phối nhị thức -hàm xác suấtPhân phối nhị thức -hàm phân phối

Phân phối PoissonĐịnh nghĩa

Hàm xác suất

Ví dụ

Xấp xỉ pp nhị thứcbằng pp Poisson

Các phân phối liêntục

Các ppxs thường gặp Ha Hoang V. – 21

Page 31: Các phân phối xác suất thường gặp

Các phân phối liên tục

Các phân phối rờirạc

Các phân phối liêntụcPhân phối đều

Phân phối mũ

Các đặc trưng củaphân phối mũ

Phân phối mũ -Hàm mật độ

Phân phối mũ -Hàm phân phối

Tính chất

Phân phối chuẩn

Phân phối chuẩn -Hàm phân phối

Phân phối chuẩnhóa

Phân vị chuẩn hóa

Định lý giới hạntrung tâm

Áp dụng: Xấp xỉ ppnhị thức bằng ppchuẩn

Các ppxs thường gặp Ha Hoang V. – 22

Page 32: Các phân phối xác suất thường gặp

Phân phối đều

Các phân phối rờirạc

Các phân phối liêntụcPhân phối đều

Phân phối mũ

Các đặc trưng củaphân phối mũ

Phân phối mũ -Hàm mật độ

Phân phối mũ -Hàm phân phối

Tính chất

Phân phối chuẩn

Phân phối chuẩn -Hàm phân phối

Phân phối chuẩnhóa

Phân vị chuẩn hóa

Định lý giới hạntrung tâm

Áp dụng: Xấp xỉ ppnhị thức bằng ppchuẩn

Các ppxs thường gặp Ha Hoang V. – 23

Định nghĩa 6 (Uniform distribution). Biến ngẫu nhiên liên tục X

được gọi là có phân phối đều trên đoạn [a; b], ký hiệuX ∼ U ([a; b]), nếu hàm mật độ xác suất của X có dạng

f(x) =

1

b − akhi x ∈ [a, b]

0 nơi khác

Page 33: Các phân phối xác suất thường gặp

Phân phối đều

Các phân phối rờirạc

Các phân phối liêntụcPhân phối đều

Phân phối mũ

Các đặc trưng củaphân phối mũ

Phân phối mũ -Hàm mật độ

Phân phối mũ -Hàm phân phối

Tính chất

Phân phối chuẩn

Phân phối chuẩn -Hàm phân phối

Phân phối chuẩnhóa

Phân vị chuẩn hóa

Định lý giới hạntrung tâm

Áp dụng: Xấp xỉ ppnhị thức bằng ppchuẩn

Các ppxs thường gặp Ha Hoang V. – 23

Định nghĩa 6 (Uniform distribution). Biến ngẫu nhiên liên tục X

được gọi là có phân phối đều trên đoạn [a; b], ký hiệuX ∼ U ([a; b]), nếu hàm mật độ xác suất của X có dạng

f(x) =

1

b − akhi x ∈ [a, b]

0 nơi khác

Từ định nghĩa trên ta có được hàm phân phối xác suất củaX ∼ U ([a; b])

F (x) =

0 khi x < a

x − a

b − akhi x ∈ [a, b]

1 khi x > b

Page 34: Các phân phối xác suất thường gặp

Phân phối đều - Hàm mật độ

Các phân phối rờirạc

Các phân phối liêntụcPhân phối đều

Phân phối mũ

Các đặc trưng củaphân phối mũ

Phân phối mũ -Hàm mật độ

Phân phối mũ -Hàm phân phối

Tính chất

Phân phối chuẩn

Phân phối chuẩn -Hàm phân phối

Phân phối chuẩnhóa

Phân vị chuẩn hóa

Định lý giới hạntrung tâm

Áp dụng: Xấp xỉ ppnhị thức bằng ppchuẩn

Các ppxs thường gặp Ha Hoang V. – 24

Page 35: Các phân phối xác suất thường gặp

Phân phối đều - Hàm phân phối

Các phân phối rờirạc

Các phân phối liêntụcPhân phối đều

Phân phối mũ

Các đặc trưng củaphân phối mũ

Phân phối mũ -Hàm mật độ

Phân phối mũ -Hàm phân phối

Tính chất

Phân phối chuẩn

Phân phối chuẩn -Hàm phân phối

Phân phối chuẩnhóa

Phân vị chuẩn hóa

Định lý giới hạntrung tâm

Áp dụng: Xấp xỉ ppnhị thức bằng ppchuẩn

Các ppxs thường gặp Ha Hoang V. – 25

Page 36: Các phân phối xác suất thường gặp

Kỳ vọng và phương sai của pp đều

Các phân phối rờirạc

Các phân phối liêntụcPhân phối đều

Phân phối mũ

Các đặc trưng củaphân phối mũ

Phân phối mũ -Hàm mật độ

Phân phối mũ -Hàm phân phối

Tính chất

Phân phối chuẩn

Phân phối chuẩn -Hàm phân phối

Phân phối chuẩnhóa

Phân vị chuẩn hóa

Định lý giới hạntrung tâm

Áp dụng: Xấp xỉ ppnhị thức bằng ppchuẩn

Các ppxs thường gặp Ha Hoang V. – 26

Định lý 7 (Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên có phân phối đều).Cho X là biến ngẫu nhiên có phân phối đều trên [a, b](X ∼ U ([a; b])) thì

i) Kỳ vọng E (X) =a + b

2.

ii) Phương sai Var (X) =(b − a)2

12.

Page 37: Các phân phối xác suất thường gặp

Phân phối đều

Các phân phối rờirạc

Các phân phối liêntụcPhân phối đều

Phân phối mũ

Các đặc trưng củaphân phối mũ

Phân phối mũ -Hàm mật độ

Phân phối mũ -Hàm phân phối

Tính chất

Phân phối chuẩn

Phân phối chuẩn -Hàm phân phối

Phân phối chuẩnhóa

Phân vị chuẩn hóa

Định lý giới hạntrung tâm

Áp dụng: Xấp xỉ ppnhị thức bằng ppchuẩn

Các ppxs thường gặp Ha Hoang V. – 27

Ví dụ 10. Lịch xuất bến của một trạm xe buýt như sau: chiếc xeđầu tiên trong ngày sẽ khởi hành vào lúc 7h, sau 15 phút sẽ có mộtxe khác đến trạm. Giả sử một hành khách đến trạm trong khoảngthời gian từ 7h - 7h30. Tìm xác suất để hành khách này chờ

(a) ít hơn 5 phút.

(b) ít nhất 12 phút.

Page 38: Các phân phối xác suất thường gặp

Phân phối mũ

Các phân phối rờirạc

Các phân phối liêntụcPhân phối đều

Phân phối mũ

Các đặc trưng củaphân phối mũ

Phân phối mũ -Hàm mật độ

Phân phối mũ -Hàm phân phối

Tính chất

Phân phối chuẩn

Phân phối chuẩn -Hàm phân phối

Phân phối chuẩnhóa

Phân vị chuẩn hóa

Định lý giới hạntrung tâm

Áp dụng: Xấp xỉ ppnhị thức bằng ppchuẩn

Các ppxs thường gặp Ha Hoang V. – 28

Định nghĩa 8 (Exponential distribution). Biến ngẫu nhiênT (t > 0) gọi là có phân phối mũ, ký hiệu X ∼ Exp(λ), nếu nó cóhàm mật độ xác suất

f(t) = λe−λt, t > 0 (3)

trong đó

• λ: số biến cố trung bình xảy ra trong một đơn vị thời gian

• t: số đơn vị thời gian cho đến biến cố kế tiếp

Page 39: Các phân phối xác suất thường gặp

Các đặc trưng của phân phối mũ

Các phân phối rờirạc

Các phân phối liêntụcPhân phối đều

Phân phối mũ

Các đặc trưng củaphân phối mũ

Phân phối mũ -Hàm mật độ

Phân phối mũ -Hàm phân phối

Tính chất

Phân phối chuẩn

Phân phối chuẩn -Hàm phân phối

Phân phối chuẩnhóa

Phân vị chuẩn hóa

Định lý giới hạntrung tâm

Áp dụng: Xấp xỉ ppnhị thức bằng ppchuẩn

Các ppxs thường gặp Ha Hoang V. – 29

Hàm phân phối của T :

F (t) = P (T ≤ t) = 1 − e−λt, t > 0 (4)

Page 40: Các phân phối xác suất thường gặp

Các đặc trưng của phân phối mũ

Các phân phối rờirạc

Các phân phối liêntụcPhân phối đều

Phân phối mũ

Các đặc trưng củaphân phối mũ

Phân phối mũ -Hàm mật độ

Phân phối mũ -Hàm phân phối

Tính chất

Phân phối chuẩn

Phân phối chuẩn -Hàm phân phối

Phân phối chuẩnhóa

Phân vị chuẩn hóa

Định lý giới hạntrung tâm

Áp dụng: Xấp xỉ ppnhị thức bằng ppchuẩn

Các ppxs thường gặp Ha Hoang V. – 29

Hàm phân phối của T :

F (t) = P (T ≤ t) = 1 − e−λt, t > 0 (4)

Định lý 9. Nếu T ∼ Exp(λ) thì kỳ vọng và phương sai của T lầnlượng bằng

E(T ) =1

λ

Var(T ) =1

λ2

Page 41: Các phân phối xác suất thường gặp

Phân phối mũ - Hàm mật độ

Các phân phối rờirạc

Các phân phối liêntụcPhân phối đều

Phân phối mũ

Các đặc trưng củaphân phối mũ

Phân phối mũ -Hàm mật độ

Phân phối mũ -Hàm phân phối

Tính chất

Phân phối chuẩn

Phân phối chuẩn -Hàm phân phối

Phân phối chuẩnhóa

Phân vị chuẩn hóa

Định lý giới hạntrung tâm

Áp dụng: Xấp xỉ ppnhị thức bằng ppchuẩn

Các ppxs thường gặp Ha Hoang V. – 30

Page 42: Các phân phối xác suất thường gặp

Phân phối mũ - Hàm phân phối

Các phân phối rờirạc

Các phân phối liêntụcPhân phối đều

Phân phối mũ

Các đặc trưng củaphân phối mũ

Phân phối mũ -Hàm mật độ

Phân phối mũ -Hàm phân phối

Tính chất

Phân phối chuẩn

Phân phối chuẩn -Hàm phân phối

Phân phối chuẩnhóa

Phân vị chuẩn hóa

Định lý giới hạntrung tâm

Áp dụng: Xấp xỉ ppnhị thức bằng ppchuẩn

Các ppxs thường gặp Ha Hoang V. – 31

Page 43: Các phân phối xác suất thường gặp

Phân phối mũ

Các phân phối rờirạc

Các phân phối liêntụcPhân phối đều

Phân phối mũ

Các đặc trưng củaphân phối mũ

Phân phối mũ -Hàm mật độ

Phân phối mũ -Hàm phân phối

Tính chất

Phân phối chuẩn

Phân phối chuẩn -Hàm phân phối

Phân phối chuẩnhóa

Phân vị chuẩn hóa

Định lý giới hạntrung tâm

Áp dụng: Xấp xỉ ppnhị thức bằng ppchuẩn

Các ppxs thường gặp Ha Hoang V. – 32

Ví dụ 11. Trong một mạng máy tính ở một công ty, biết rằng sốngười dùng đăng nhập vào mạng trong một giờ có phân phốiPoisson với trung bình bằng 25.

(a) Tính xác suất không có người dùng nào đăng nhập trongkhoảng thời gian 6 phút.

(b) Tính xác suất lần đăng nhập kế tiếp cách lần đăng nhập đầutừ 2 đến 3 phút.

Page 44: Các phân phối xác suất thường gặp

Phân phối mũ

Các phân phối rờirạc

Các phân phối liêntụcPhân phối đều

Phân phối mũ

Các đặc trưng củaphân phối mũ

Phân phối mũ -Hàm mật độ

Phân phối mũ -Hàm phân phối

Tính chất

Phân phối chuẩn

Phân phối chuẩn -Hàm phân phối

Phân phối chuẩnhóa

Phân vị chuẩn hóa

Định lý giới hạntrung tâm

Áp dụng: Xấp xỉ ppnhị thức bằng ppchuẩn

Các ppxs thường gặp Ha Hoang V. – 33

Ví dụ 12. Số khách hàng đến làm thủ tục tại một quầy dịch vụ ởngân hàng với tỷ lệ là 15 người một giờ. Hỏi xác suất thời giangiữa 2 khách hàng liên tiếp đến quầy dịch vụ ít hơn 3 phút là baonhiêu?

Ví dụ 13. Trong một nhà máy sản xuất linh kiện điện tử, biếttuổi thọ của một mạch điện là biến ngẫu nhiên có phân phối mũvới tuổi thọ trung bình 6.25 năm. Nếu thời gian bảo hành của sảnphẩm là 5 năm. Hỏi tỷ lệ sản phẩm bảo hành của nhà máy là baonhiêu?

Page 45: Các phân phối xác suất thường gặp

Tính chất

Các phân phối rờirạc

Các phân phối liêntụcPhân phối đều

Phân phối mũ

Các đặc trưng củaphân phối mũ

Phân phối mũ -Hàm mật độ

Phân phối mũ -Hàm phân phối

Tính chất

Phân phối chuẩn

Phân phối chuẩn -Hàm phân phối

Phân phối chuẩnhóa

Phân vị chuẩn hóa

Định lý giới hạntrung tâm

Áp dụng: Xấp xỉ ppnhị thức bằng ppchuẩn

Các ppxs thường gặp Ha Hoang V. – 34

Định lý 10 (Tính mất trí nhớ - Lack of memory). Nếu T là biếnngẫu nhiên có phân phối mũ thì,

P (T < t1 + t2|T > t1) = P (T < t2) (5)

Page 46: Các phân phối xác suất thường gặp

Phân phối chuẩn

Các phân phối rờirạc

Các phân phối liêntụcPhân phối đều

Phân phối mũ

Các đặc trưng củaphân phối mũ

Phân phối mũ -Hàm mật độ

Phân phối mũ -Hàm phân phối

Tính chất

Phân phối chuẩn

Phân phối chuẩn -Hàm phân phối

Phân phối chuẩnhóa

Phân vị chuẩn hóa

Định lý giới hạntrung tâm

Áp dụng: Xấp xỉ ppnhị thức bằng ppchuẩn

Các ppxs thường gặp Ha Hoang V. – 35

Định nghĩa 11 (Normal distribution). Biến ngẫu nhiên liên tục X

nhận giá trị trong khoảng (−∞, +∞) được gọi là có phân phốichuẩn tham số µ, σ nếu hàm mật độ xác suất có dạng

f(x) =1

σ√

2πexp

(

−(x − µ)2

2σ2

)

−∞ < x < +∞ (6)

trong đó µ, σ là hằng số và σ > 0, −∞ < µ < +∞, ký hiệuX ∼ N

(

µ; σ2)

.

Page 47: Các phân phối xác suất thường gặp

Phân phối chuẩn

Các phân phối rờirạc

Các phân phối liêntụcPhân phối đều

Phân phối mũ

Các đặc trưng củaphân phối mũ

Phân phối mũ -Hàm mật độ

Phân phối mũ -Hàm phân phối

Tính chất

Phân phối chuẩn

Phân phối chuẩn -Hàm phân phối

Phân phối chuẩnhóa

Phân vị chuẩn hóa

Định lý giới hạntrung tâm

Áp dụng: Xấp xỉ ppnhị thức bằng ppchuẩn

Các ppxs thường gặp Ha Hoang V. – 35

Định nghĩa 11 (Normal distribution). Biến ngẫu nhiên liên tục X

nhận giá trị trong khoảng (−∞, +∞) được gọi là có phân phốichuẩn tham số µ, σ nếu hàm mật độ xác suất có dạng

f(x) =1

σ√

2πexp

(

−(x − µ)2

2σ2

)

−∞ < x < +∞ (6)

trong đó µ, σ là hằng số và σ > 0, −∞ < µ < +∞, ký hiệuX ∼ N

(

µ; σ2)

.

Nếu X ∼ N (µ, σ2)

E(X) = µ

Var(X) = σ2

Page 48: Các phân phối xác suất thường gặp

Phân phối chuẩn - Tính chất

Các phân phối rờirạc

Các phân phối liêntụcPhân phối đều

Phân phối mũ

Các đặc trưng củaphân phối mũ

Phân phối mũ -Hàm mật độ

Phân phối mũ -Hàm phân phối

Tính chất

Phân phối chuẩn

Phân phối chuẩn -Hàm phân phối

Phân phối chuẩnhóa

Phân vị chuẩn hóa

Định lý giới hạntrung tâm

Áp dụng: Xấp xỉ ppnhị thức bằng ppchuẩn

Các ppxs thường gặp Ha Hoang V. – 36

✔ Đồ thị có dạng như một cái chuông

✔ Phân phối đối xứng

✔ Trung bình = trung vị (median) = Yếu vị (mode)

✔ Vị trí của phân phối được xác định bởi kỳ vọng µ

✔ Độ phân tán được xác định bởi độ lệch tiêu chuẩn σ

✔ Xác định trên R

Page 49: Các phân phối xác suất thường gặp

Phân phối chuẩn - Hàm mật độ

Các phân phối rờirạc

Các phân phối liêntụcPhân phối đều

Phân phối mũ

Các đặc trưng củaphân phối mũ

Phân phối mũ -Hàm mật độ

Phân phối mũ -Hàm phân phối

Tính chất

Phân phối chuẩn

Phân phối chuẩn -Hàm phân phối

Phân phối chuẩnhóa

Phân vị chuẩn hóa

Định lý giới hạntrung tâm

Áp dụng: Xấp xỉ ppnhị thức bằng ppchuẩn

Các ppxs thường gặp Ha Hoang V. – 37

Page 50: Các phân phối xác suất thường gặp

Phân phối chuẩn - Hàm phân phối

Các phân phối rờirạc

Các phân phối liêntụcPhân phối đều

Phân phối mũ

Các đặc trưng củaphân phối mũ

Phân phối mũ -Hàm mật độ

Phân phối mũ -Hàm phân phối

Tính chất

Phân phối chuẩn

Phân phối chuẩn -Hàm phân phối

Phân phối chuẩnhóa

Phân vị chuẩn hóa

Định lý giới hạntrung tâm

Áp dụng: Xấp xỉ ppnhị thức bằng ppchuẩn

Các ppxs thường gặp Ha Hoang V. – 38

Page 51: Các phân phối xác suất thường gặp

Phân phối chuẩn

Các phân phối rờirạc

Các phân phối liêntụcPhân phối đều

Phân phối mũ

Các đặc trưng củaphân phối mũ

Phân phối mũ -Hàm mật độ

Phân phối mũ -Hàm phân phối

Tính chất

Phân phối chuẩn

Phân phối chuẩn -Hàm phân phối

Phân phối chuẩnhóa

Phân vị chuẩn hóa

Định lý giới hạntrung tâm

Áp dụng: Xấp xỉ ppnhị thức bằng ppchuẩn

Các ppxs thường gặp Ha Hoang V. – 39

Nhờ vào định lý sau, nên nếu biến ngẫu nhiên X có phân phốichuẩn thì biến đổi tuyến tính của X cũng có phân phối chuẩn.

Định lý 12 (Tính "tuyến tính" của phân phối chuẩn). Nếu biếnngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với kỳ vọng µ, phương sai σ2 vànếu Y = aX + b, (a, b là hằng số và a 6= 0), thì Y có phân phốichuẩn với kỳ vọng aµ + b và phương sai a2σ2.

Page 52: Các phân phối xác suất thường gặp

Phân phối chuẩn

Các phân phối rờirạc

Các phân phối liêntụcPhân phối đều

Phân phối mũ

Các đặc trưng củaphân phối mũ

Phân phối mũ -Hàm mật độ

Phân phối mũ -Hàm phân phối

Tính chất

Phân phối chuẩn

Phân phối chuẩn -Hàm phân phối

Phân phối chuẩnhóa

Phân vị chuẩn hóa

Định lý giới hạntrung tâm

Áp dụng: Xấp xỉ ppnhị thức bằng ppchuẩn

Các ppxs thường gặp Ha Hoang V. – 39

Nhờ vào định lý sau, nên nếu biến ngẫu nhiên X có phân phốichuẩn thì biến đổi tuyến tính của X cũng có phân phối chuẩn.

Định lý 12 (Tính "tuyến tính" của phân phối chuẩn). Nếu biếnngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với kỳ vọng µ, phương sai σ2 vànếu Y = aX + b, (a, b là hằng số và a 6= 0), thì Y có phân phốichuẩn với kỳ vọng aµ + b và phương sai a2σ2.

Định lý 13. Nếu các biến ngẫu nhiên X1, . . . , Xn là độc lập vànếu Xi có phân phối chuẩn với kỳ vọng µi và phương sai σ2

i,

(i = 1, 2, . . . , n), thì tổng X1 + · · · + Xn có phân phối chuẩn vớikỳ vọng là µ1 + · · · + µn và phương sai là σ2

1+ · · · + σ2

n.

Page 53: Các phân phối xác suất thường gặp

Phân phối chuẩn

Các phân phối rờirạc

Các phân phối liêntụcPhân phối đều

Phân phối mũ

Các đặc trưng củaphân phối mũ

Phân phối mũ -Hàm mật độ

Phân phối mũ -Hàm phân phối

Tính chất

Phân phối chuẩn

Phân phối chuẩn -Hàm phân phối

Phân phối chuẩnhóa

Phân vị chuẩn hóa

Định lý giới hạntrung tâm

Áp dụng: Xấp xỉ ppnhị thức bằng ppchuẩn

Các ppxs thường gặp Ha Hoang V. – 40

Mệnh đề 1. Nếu các biến ngẫu nhiên X1, . . . , Xn là độc lập vàXi có phân phối chuẩn với kỳ vọng µi và phương sai σ2

i,

(i = 1, . . . , n). ai, . . . , an và b là các hằng số sao cho có ít nhấtmột ai 6= 0, thì biến ngẫu nhiên a1X1 + · · · + anXn + b có phânphối chuẩn với kỳ vọng a1µ1 + · · · + anµn và phương saia2

1σ2

1+ · · · + a2

nσ2n.

Page 54: Các phân phối xác suất thường gặp

Phân phối chuẩn hóa

Các phân phối rờirạc

Các phân phối liêntụcPhân phối đều

Phân phối mũ

Các đặc trưng củaphân phối mũ

Phân phối mũ -Hàm mật độ

Phân phối mũ -Hàm phân phối

Tính chất

Phân phối chuẩn

Phân phối chuẩn -Hàm phân phối

Phân phối chuẩnhóa

Phân vị chuẩn hóa

Định lý giới hạntrung tâm

Áp dụng: Xấp xỉ ppnhị thức bằng ppchuẩn

Các ppxs thường gặp Ha Hoang V. – 41

Định nghĩa 14 (Standard normal distribution). Biến ngẫu nhiênZ được gọi là có phân phối chuẩn hóa nếu nó có phân phối chuẩnvới tham số µ = 0 và σ2 = 1, ký hiệu Z ∼ N (0; 1).

Page 55: Các phân phối xác suất thường gặp

Phân phối chuẩn hóa

Các phân phối rờirạc

Các phân phối liêntụcPhân phối đều

Phân phối mũ

Các đặc trưng củaphân phối mũ

Phân phối mũ -Hàm mật độ

Phân phối mũ -Hàm phân phối

Tính chất

Phân phối chuẩn

Phân phối chuẩn -Hàm phân phối

Phân phối chuẩnhóa

Phân vị chuẩn hóa

Định lý giới hạntrung tâm

Áp dụng: Xấp xỉ ppnhị thức bằng ppchuẩn

Các ppxs thường gặp Ha Hoang V. – 41

Định nghĩa 14 (Standard normal distribution). Biến ngẫu nhiênZ được gọi là có phân phối chuẩn hóa nếu nó có phân phối chuẩnvới tham số µ = 0 và σ2 = 1, ký hiệu Z ∼ N (0; 1).

Theo quy ước, hàm phân phối của biến ngẫu nhiên chuẩn hóađược ký hiệu là Φ(z), tức

Φ(z) =1√2π

z

−∞

e−x2

2 dx

Page 56: Các phân phối xác suất thường gặp

Phân phối chuẩn hóa

Các phân phối rờirạc

Các phân phối liêntụcPhân phối đều

Phân phối mũ

Các đặc trưng củaphân phối mũ

Phân phối mũ -Hàm mật độ

Phân phối mũ -Hàm phân phối

Tính chất

Phân phối chuẩn

Phân phối chuẩn -Hàm phân phối

Phân phối chuẩnhóa

Phân vị chuẩn hóa

Định lý giới hạntrung tâm

Áp dụng: Xấp xỉ ppnhị thức bằng ppchuẩn

Các ppxs thường gặp Ha Hoang V. – 42

Theo định lý về tính tuyến tính của phân phối chuẩn, nếu

X ∼ N(

µ; σ2)

thìX − µ

σcó phân phối chuẩn hóa hay

X − µ

σ∼ N (0; 1)

Page 57: Các phân phối xác suất thường gặp

Phân phối chuẩn hóa

Các phân phối rờirạc

Các phân phối liêntụcPhân phối đều

Phân phối mũ

Các đặc trưng củaphân phối mũ

Phân phối mũ -Hàm mật độ

Phân phối mũ -Hàm phân phối

Tính chất

Phân phối chuẩn

Phân phối chuẩn -Hàm phân phối

Phân phối chuẩnhóa

Phân vị chuẩn hóa

Định lý giới hạntrung tâm

Áp dụng: Xấp xỉ ppnhị thức bằng ppchuẩn

Các ppxs thường gặp Ha Hoang V. – 42

Theo định lý về tính tuyến tính của phân phối chuẩn, nếu

X ∼ N(

µ; σ2)

thìX − µ

σcó phân phối chuẩn hóa hay

X − µ

σ∼ N (0; 1)

Dựa vào tính chất này ta có thể tính xác suất của biến ngẫu nhiênX ∼ N

(

µ; σ2)

.

P (X ≤ b) = P

(

X − µ

σ≤ b − µ

σ

)

= Φ

(

b − µ

σ

)

Page 58: Các phân phối xác suất thường gặp

Phân phối chuẩn hóa

Các phân phối rờirạc

Các phân phối liêntụcPhân phối đều

Phân phối mũ

Các đặc trưng củaphân phối mũ

Phân phối mũ -Hàm mật độ

Phân phối mũ -Hàm phân phối

Tính chất

Phân phối chuẩn

Phân phối chuẩn -Hàm phân phối

Phân phối chuẩnhóa

Phân vị chuẩn hóa

Định lý giới hạntrung tâm

Áp dụng: Xấp xỉ ppnhị thức bằng ppchuẩn

Các ppxs thường gặp Ha Hoang V. – 42

Theo định lý về tính tuyến tính của phân phối chuẩn, nếu

X ∼ N(

µ; σ2)

thìX − µ

σcó phân phối chuẩn hóa hay

X − µ

σ∼ N (0; 1)

Dựa vào tính chất này ta có thể tính xác suất của biến ngẫu nhiênX ∼ N

(

µ; σ2)

.

P (X ≤ b) = P

(

X − µ

σ≤ b − µ

σ

)

= Φ

(

b − µ

σ

)

Tương tự, với a ≤ b thì

P (a < X ≤ b) = P (X ≤ b)−P (X ≤ a) = Φ

(

b − µ

σ

)

−Φ

(

a − µ

σ

)

Page 59: Các phân phối xác suất thường gặp

Phân phối chuẩn hóa

Các phân phối rờirạc

Các phân phối liêntụcPhân phối đều

Phân phối mũ

Các đặc trưng củaphân phối mũ

Phân phối mũ -Hàm mật độ

Phân phối mũ -Hàm phân phối

Tính chất

Phân phối chuẩn

Phân phối chuẩn -Hàm phân phối

Phân phối chuẩnhóa

Phân vị chuẩn hóa

Định lý giới hạntrung tâm

Áp dụng: Xấp xỉ ppnhị thức bằng ppchuẩn

Các ppxs thường gặp Ha Hoang V. – 43

Nếu X ∼ N(

µ; σ2)

thì

P (|X − µ| ≤ kσ) = P

(

−k ≤ X − µ

σ≤ k

)

= 2Φ(k) − 1

người ta hay gọi đẳng thức trên là "Quy tắc k-sigma (kσ)".

Page 60: Các phân phối xác suất thường gặp

Phân phối chuẩn hóa

Các phân phối rờirạc

Các phân phối liêntụcPhân phối đều

Phân phối mũ

Các đặc trưng củaphân phối mũ

Phân phối mũ -Hàm mật độ

Phân phối mũ -Hàm phân phối

Tính chất

Phân phối chuẩn

Phân phối chuẩn -Hàm phân phối

Phân phối chuẩnhóa

Phân vị chuẩn hóa

Định lý giới hạntrung tâm

Áp dụng: Xấp xỉ ppnhị thức bằng ppchuẩn

Các ppxs thường gặp Ha Hoang V. – 43

Nếu X ∼ N(

µ; σ2)

thì

P (|X − µ| ≤ kσ) = P

(

−k ≤ X − µ

σ≤ k

)

= 2Φ(k) − 1

người ta hay gọi đẳng thức trên là "Quy tắc k-sigma (kσ)". Vớik = 3 ta có quy tắc 3-sigma:

P (|X − µ| ≤ 3σ) = P

(

−k ≤ X − µ

σ≤ k

)

= 2Φ(3) − 1 ≈ 0.9973

"Sai số giữa X và µ không quá 3 σ là gần chắc chắn (xác suấtgần bằng 1)."

Page 61: Các phân phối xác suất thường gặp

Phân vị chuẩn hóa

Các phân phối rờirạc

Các phân phối liêntụcPhân phối đều

Phân phối mũ

Các đặc trưng củaphân phối mũ

Phân phối mũ -Hàm mật độ

Phân phối mũ -Hàm phân phối

Tính chất

Phân phối chuẩn

Phân phối chuẩn -Hàm phân phối

Phân phối chuẩnhóa

Phân vị chuẩn hóa

Định lý giới hạntrung tâm

Áp dụng: Xấp xỉ ppnhị thức bằng ppchuẩn

Các ppxs thường gặp Ha Hoang V. – 44

Định nghĩa 15 (Phân vị chuẩn hóa, normal quartile). Cho biếnngẫu nhiên X ∼ N

(

µ; σ2)

, phân vị chuẩn hóa mức α, ký hiệu xα,là giá trị của biến ngẫu nhiên X thỏa mãn điều kiệnP (X ≤ xα) = α

xαO

α

Page 62: Các phân phối xác suất thường gặp

Các phân phối rờirạc

Các phân phối liêntụcPhân phối đều

Phân phối mũ

Các đặc trưng củaphân phối mũ

Phân phối mũ -Hàm mật độ

Phân phối mũ -Hàm phân phối

Tính chất

Phân phối chuẩn

Phân phối chuẩn -Hàm phân phối

Phân phối chuẩnhóa

Phân vị chuẩn hóa

Định lý giới hạntrung tâm

Áp dụng: Xấp xỉ ppnhị thức bằng ppchuẩn

Các ppxs thường gặp Ha Hoang V. – 45

Ví dụ 14. Đường kính của một chi tiết máy do một máy tiện sảnxuất có phân phối chuẩn với kỳ vọng 20mm, phương sai(0.2mm)2. Tính xác suất lấy ngẫu nhiên một chi tiết

a) có đường kính trong khoảng 19.9mm đến 20.3mm.

b) có đường kính sai khác với kỳ vọng không quá 0.3mm.

Page 63: Các phân phối xác suất thường gặp

Các phân phối rờirạc

Các phân phối liêntụcPhân phối đều

Phân phối mũ

Các đặc trưng củaphân phối mũ

Phân phối mũ -Hàm mật độ

Phân phối mũ -Hàm phân phối

Tính chất

Phân phối chuẩn

Phân phối chuẩn -Hàm phân phối

Phân phối chuẩnhóa

Phân vị chuẩn hóa

Định lý giới hạntrung tâm

Áp dụng: Xấp xỉ ppnhị thức bằng ppchuẩn

Các ppxs thường gặp Ha Hoang V. – 46

Ví dụ 15. Cho X ∼ N (10, 4), tính các xác suất sau

(a) P(X < 13)

(b) P(X > 9)

(c) P(6 < X < 14)

(d) P(2 < X < 4)

(e) P(−2 < X < 8)

Page 64: Các phân phối xác suất thường gặp

Các phân phối rờirạc

Các phân phối liêntụcPhân phối đều

Phân phối mũ

Các đặc trưng củaphân phối mũ

Phân phối mũ -Hàm mật độ

Phân phối mũ -Hàm phân phối

Tính chất

Phân phối chuẩn

Phân phối chuẩn -Hàm phân phối

Phân phối chuẩnhóa

Phân vị chuẩn hóa

Định lý giới hạntrung tâm

Áp dụng: Xấp xỉ ppnhị thức bằng ppchuẩn

Các ppxs thường gặp Ha Hoang V. – 47

Ví dụ 16. Cho X ∼ N (10, 4), tìm x sao cho

(a) P(X > x) = 0.5

(b) P(X > x) = 0.95

(c) P(x < X < 10) = 0.2

(d) P(−x < X − 10 < x) = 0.95

(e) P(−x < X − 10 < x) = 0.99

Page 65: Các phân phối xác suất thường gặp

Định lý giới hạn trung tâm

Các phân phối rờirạc

Các phân phối liêntụcPhân phối đều

Phân phối mũ

Các đặc trưng củaphân phối mũ

Phân phối mũ -Hàm mật độ

Phân phối mũ -Hàm phân phối

Tính chất

Phân phối chuẩn

Phân phối chuẩn -Hàm phân phối

Phân phối chuẩnhóa

Phân vị chuẩn hóa

Định lý giới hạntrung tâm

Áp dụng: Xấp xỉ ppnhị thức bằng ppchuẩn

Các ppxs thường gặp Ha Hoang V. – 48

Định lý 16 (Central limit theorem). Nếu X1, . . . , Xn là các biếnngẫu nhiên độc lập và cùng phân phối với kỳ vọng µ và phương saiσ2 hữu hạn. Ta đặt Sn = X1 + · · · + Xn. Sn có kỳ vọng làE (Sn) = nµ và phương sai Var (Sn) = nσ2. Khi n → ∞ thì biếnngẫu nhiên

Sn

F−→ X, với X ∼ N(

nµ; nσ2)

(7)

Hay biến ngẫu nhiên

Zn =Sn − nµ

σ√

n

F−→ Z, với Z ∼ N (0; 1) (8)

Nghĩa là khi n lớn thì với mọi x ∈ R

P

(

Sn − nµ

σ√

n< x

)

≈ P (Z < x) , với Z ∼ N (0; 1) (9)

Page 66: Các phân phối xác suất thường gặp

Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp chuẩn

Các phân phối rờirạc

Các phân phối liêntụcPhân phối đều

Phân phối mũ

Các đặc trưng củaphân phối mũ

Phân phối mũ -Hàm mật độ

Phân phối mũ -Hàm phân phối

Tính chất

Phân phối chuẩn

Phân phối chuẩn -Hàm phân phối

Phân phối chuẩnhóa

Phân vị chuẩn hóa

Định lý giới hạntrung tâm

Áp dụng: Xấp xỉ ppnhị thức bằng ppchuẩn

Các ppxs thường gặp Ha Hoang V. – 49

• Xét X ∼ B(n, p), ta có E(X) = np vàVar(X) = npq (q = 1 − p). Khi n lớn, theo định lý giới hạntrung tâm phân phối của biến ngẫu nhiên X được xấp xỉbằng phân phối chuẩn N (np, npq), ký hiệuX

approx∼ N (np; npq). Xác suất

P (a ≤ X < b) = P

(

a − np√npq

≤ X − np√npq

<b − np√

npq

)

≈ Φ

(

b − np√npq

)

− Φ

(

a − np√npq

)

(10)

• Điều kiện xấp xỉ: np > 5 và n(1 − p) > 5.

Page 67: Các phân phối xác suất thường gặp

Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp chuẩn

Các phân phối rờirạc

Các phân phối liêntụcPhân phối đều

Phân phối mũ

Các đặc trưng củaphân phối mũ

Phân phối mũ -Hàm mật độ

Phân phối mũ -Hàm phân phối

Tính chất

Phân phối chuẩn

Phân phối chuẩn -Hàm phân phối

Phân phối chuẩnhóa

Phân vị chuẩn hóa

Định lý giới hạntrung tâm

Áp dụng: Xấp xỉ ppnhị thức bằng ppchuẩn

Các ppxs thường gặp Ha Hoang V. – 50

Page 68: Các phân phối xác suất thường gặp

Các phân phối rờirạc

Các phân phối liêntụcPhân phối đều

Phân phối mũ

Các đặc trưng củaphân phối mũ

Phân phối mũ -Hàm mật độ

Phân phối mũ -Hàm phân phối

Tính chất

Phân phối chuẩn

Phân phối chuẩn -Hàm phân phối

Phân phối chuẩnhóa

Phân vị chuẩn hóa

Định lý giới hạntrung tâm

Áp dụng: Xấp xỉ ppnhị thức bằng ppchuẩn

Các ppxs thường gặp Ha Hoang V. – 51

Ví dụ 17. Trong một cuộc bầu cử ở một thành phố, biết rằng40% người dân ủng hộ ứng cử viên A. Chọn ngẫu nhiên 200 người,hỏi xác suất gặp được từ 76 đến 120 người ủng hộ ứng cử viên Alà bao nhiêu?

Ví dụ 18. Trong một kênh truyền tín hiệu số, biết rằng xác suấtmột bit bị lỗi khi truyền là 1 × 10−5. Nếu 16 triệu bit được truyềnđi, hỏi xác suất có hơn 150 lỗi là bao nhiêu?