Caderno 2 Bimestre Matemc3a1tica

5/21/2018 Caderno 2 Bimestre Matemc3a1tica

1/108MATEMTICA

Consideremos um tringulo retngulo ABC, reto emA. Os outros dois ngulos B e C so agudos e comple -mentares, isto , B + C = 90. Para ngulos agudos,temos por definio:

Observaesa) Os senos e cossenos de ngulos agudos so

meros compreendidos entre 0 e 1, pois a medida cateto sempre menor do que a medida da hipotenu

b) O seno de um ngulo igual ao cosseno do scomplemento e reciprocamente:

c) No tringulo retngulo vale o teorema de Pitras: a2 = b2 + c2

sen x = cos(90 x) cos x = sen(90 x

cateto oposto a B btg B = =

cateto adjacente a B c

cateto oposto a C ctg C = = cateto adjacente a C b

cateto adjacente a B ccos B= =

hipotenusa a

cateto adjacente a C bcos C= =

hipotenusa a

cateto oposto a B bsen B= =

hipotenusa a

cateto oposto a C csen C = =

hipotenusa a

rigonometria dulos

17 Seno, cosseno e tangente no

tringulo retngulo

18 Arcos notveis

19 Arcos notveis

20 Arcos notveis

21 Relaes fundamentais

22 Relaes fundamentais

23 Medidas de arcos e ngulos

24 Ciclo trigonomtrico

determinaes

25 Funo seno

26 Equaes e inequaes que

envolvem a funo seno

27 Funo cosseno

28 Equaes e inequaes que

envolvem a funo cosseno

29 Funo tangente

30 Equao e inequaes que

envolvem a funo tangente

31 Equaes trigonomtricas32 Equaes trigonomtricas

17Seno, cosseno e tangente no

tringulo retngulo

ngulos complementares Hipotenusa Cateto

Abul Wafa (940 998) Responsvelpor grande parte do conhecimento

da trigonometria de hoje.


2/108MATEMTICA2

No tringulo retngulo da figura, determinar:a) a hipotenusa BC

b) sen^B

c) cos^B

d) tg^B

e) sen^C

f) cos^C

g) tg^C

RESOLUO:

a) 5 b) c) d)

e) f) g)

A partir da questo anterior, falso afirmar que:

a)^B +

^C = 90 b) cos B = sen C c) sen B = cos C

d) tg B < 1 e) tg C < 1RESOLUO:

tg C = > 1

Resposta: E

(MODELO ENEM) Um ciclista sobe, em linha reta, umarampa com inclinao de 3 graus a uma velocidade constantede 4 metros por segundo. A altura do topo da rampa emrelao ao ponto de partida 30 m.

Use a aproximao sen 3 = 0,05 e responda. O tempo, em

minutos, que o ciclista levou para percorrer completamente arampa a) 2,5. b) 7,5. c) 10. d) 15. e) 30.

RESOLUO:I) Sendo x, em metros, o comprimento da rampa, temos:

sen 3= x = x = 600

II) Observando que 4 metros por segundo correspondem a 240metros por minuto e sendo t o tempo, em minutos, que ociclista levou para percorrer completamente a rampa, temos:

t = = 2,5

Resposta: A

600

240

300,05

30x

43

43

35

45

34

45

35

(MODELO ENEM)

Um observador situado em A, na margem deum rio, avista o topo de uma rvore, situada namargem oposta, sob um ngulo de 72 em rela-o horizontal. Desejando calcular a altura darvore, sem atravessar o rio, afasta-se do ponto

A na direo da reta AC at que o ngulo deviso, seja a metade do anterior, chegandoassim em B, distante 50m de A.

A altura da rvore, desprezando a do observa-dor, considerando sen 72 0,95 , em metros:

a) 42,4 b) 45,5 c) 47d) 47,5 e) 49Resoluo

Sendo h a altura da r vore e o ngulo B^PA

temos:

a) + 36+ 108= 180 =36

b) A^BP = B

^PA = 36 AP = AB = 50

hc) sen 72 =

AP

h 0,95 = h = 47,5

50

Resposta: D

Para saber mais sobre o assunto, acesse oPORTAL OBJETIVO (www.portal.objetivo.br)

e, em localizar, digiteMAT1M201 e MAT1M202

No Portal Objetivo


3/108MATEMTICA

Um folha de papel retangular dobrada, conforme a figuraa seguir. Determine o valor de 40 . tg .

RESOLUO:

I) x2 + 82 = 102

x = 6

II) tg

= = =

III) 40 . tg

= 40 . = 30

(UNESP MODELO ENEM) A figura mostra ducircunferncias de raios 8 cm e 3 cm, tangentes entre stangentes reta r. C e D so os centros das circunferncias

Se a medida do ngulo CP, o valor de sen :

a) b) c) d) e)

RESOLUO:

No tringulo retngulo DEC, temos:

sen

= =

Resposta: B

511

53 + 8

38

823

12

511

16

34

34

68

x8

1. Sen 45, cos 45, tg 45Num tringulo retngulo issceles qualquer, se for

a medida de cada cateto ento 2 ser a medida da

hipotenusa pois (BC)2 = 2 + 2 (BC)2 = 22

BC = 2.

Assim sendo:

a) sen^B = sen 45 =

sen 45 = sen 45 =

b) cos^B = cos 45 =

cos 45 = cos 45 =

c) tg^B = tg 45 = tg 45 =

AC

AB

2

2

12

2

AB

BC

2

2

12

2

AC

BC

18 a 20 Arcos notveis Tringulo retngulo issceles Tringulo equiltero


4/108

2. Sen 60, cos 60 e tg 60Num tringulo equiltero qualquer, se for a medida

de cada um dos lados ento ser a medida da

altura, pois:

(AC)2 = (AM)2 + (MC)2 2 =2

+ (MC)2

(MC)2 = 2

(MC)2 = MC =

Assim sendo:

a) sen^A = sen 60 =

sen 60 =

b) cos^A = cos 60 =

cos 60 =

c) tg^

A = tg 60 = tg 60 =

3

3. Sen 30, cos 30 e tg 30No tringulo retngulo AMC do item anterior temos:

a) sen^C = sen 30 =

sen 30 =

b) cos^C = cos 30 =

cos 30 =

c) tg C = tg 30 =

tg 30 = tg 30 =

Note que:

sen 30 = cos 60 =

cos 30 = sen 60 =

sen 45 = cos 45 =

4. Valores notveis (30, 45, 60)

x sen x cos x tg x

301

2

3

2

3

3

45 2

2

2

21

60 3

2

12 3

2

2

32

12

3

3

13

23

2

AMMC

3

2

32

MC

AC

1

2

2

AM

AC

3

2

2

MC

AM

1

2

2

AM

AC

3

2

32

MC

AC

32

32

4

2

4

2

3

2

MATEMTICA4


5/108MATEMTICA

(MODELO ENEM) Para determinar a altura de uma montanha,um topgrafo colocou-se com seu teodolito a 300 m da montanha.

Posiciona o aparelho que lhe fornece a medida do ngulo de visadaparte do morro, igual a 60o.Sabendo que o teodolito tem altura de 1,60 m, o topgrafo podeterminar a altura da montanha. Adotando 3 = 1,7, a altura deternada :

a) 510 m. b) 420 m. c) 511,6 m.

d) 421,6 m. e) 610 m.

ResoluoNo tringulo OAB, retngulo em A, temos:

tg 60o = 3 = AB = 300.3 = 300 . 1,7 = 510 m.

O topgrafo conclui que a montanha tem 510 + 1,6 = 511,6 maltura.Resposta: C

AB300

ABOA

Exerccio Resolvido Mdulos 18 a 20

(USF MODELO ENEM) Na figura abaixo, uma rvore vista sob um ngulo de 30, a uma distncia de 30 m de suabase. A altura da rvore, em metros, igual a

a) 35 b) 17 c) 14 d) 28 e) 30

RESOLUO:

tg 30 =

= x = 10 .

3

10 . 1,7

17 m

Resposta: B

(MACKENZIE) Na figura, a medida da bissetriz AD :

a) 2 b) 1 c) d) e) 3

RESOLUO:

Sendo o ABC issceles e AD mediana, tem-se que AD altura

Como 4

+

+

= 180

= 30

Ento, no BDA, retngulo em D, tem-se:

sen 30 = = AD = 1

Resposta: B

AD

2

12

AD

2

23

53

x30

3

3

x30

Exerccios Propostos Mdulo 18


6/108MATEMTICA6

Duas rodovias A e B encontram-se em O, formando umngulo de 30. Na rodovia A existe um posto de gasolina que

dista 5 km de O. A distncia do posto de gasolina rodovia B

a) 5 km b) 10 km c) 2,5 kmd) 15 km e) 1,25 km

RESOLUO:

sen 30 = = d = 2,5km

Resposta: C

(UNESP MODELO ENEM) Trs cidades, A, B e C, sointerligadas por estradas, conforme mostra a figura.

As estradas AC e AB so asfaltadas. A estrada CB de terra eser asfaltada. Saben do-se que AC tem 30 km, o ngulo entreAC e AB de 30, e o tringulo ABC retngulo em C, a quan-tidade de quilmetros da estrada que ser asfaltada

a) 303 b) 103 c) d) 83 e)

RESOLUO:

No tringulo ABC, retngulo em C, tem-se

tg 30 =

=

BC = 10

3 km

Resposta: B

3

3

BC30km

BCAC

33

2

103

3d

5km

12

d5km

(MODELO ENEM) Uma escada apoiada em uma parede,num ponto distante 5 m do solo, forma com essa parede umngulo de 30. Qual o comprimento da escada, em metros?

RESOLUO:

cos 30 = = x = =

Resposta: m

Determinar o valor de x, na figura abaixo:

10 3

3

10 3

310

3

5x

3

25

x



7/108MATEMTICA

RESOLUO:

O tringulo ABD issceles.

AB = BD

BD = 60

tg 30 =

=

BC = 20

3

x = 60 20

3 = 20(3

3 )

(MODELO ENEM) A figura indica um terreno retangularrepartido em dois lotes, um na forma de tringulo e o outro nade trapzio:

Lembrando que a rea de um tringulo ,

conclumos que a rea do lote na forma de trapzio, em m2, igual a

a) 503 b) 603 c) 6(15 + 3 )

d) 24(30 3) e) 60(15 3 )

RESOLUO:

I) tg 30 = = ED = 4

3

II) SADE = = = 24 3

III) SABCE = 60 . 12 = 720

IV) SABCD = 720 24 3 = 24(30 3)

Resposta: D

(MACKENZIE) Na figura, tg vale

a)

b)

c)

d)

e)

RESOLUO:1) No tringulo retngulo ABC, tem-se

tg 30 = = AC

2) No tringulo retngulo ABD, tem

tg(

+ 30) =

tg(

+ 30) = =

3

+ 30 = 60 = 30

Portanto tg

= tg 30 = =

Resposta: C

1

3

3

3

3

3

ADAB

3

3

AC 3

ACAB

23

34

13

23

13

4

3 . 12

2

DE . AE

2

ED12

3

3

base

altura

2

BC60

33

BC60


8/108MATEMTICA8

(MODELO ENEM) Um volume lanado de um avioque est a 3 km de altitude.

Devido velocidade do avio e

ao do vento o volume cai se-

gundo uma reta que forma um

ngulo de 30 com a vertical.Assumindo que 3 = 1,7, cal-cular:

a) a distncia percorrida por este volume desde o lanamentoat tocar o cho.

b) a distncia do ponto A at o ponto em que o volume toca ocho.

RESOLUO:

a) cos 30 =

=

x =

x = 2 .

3

x = 3,4 km

b) tg 30 =

=

y =

3

y = 1,7 km

(MODELO ENEM) Ao meio-dia, Sol a pino, um garotoempina pipa, e a linha que a segura, bem esticada, forma com

o cho um ngulo de 60. Como a sombra da pipa est distante

20 m de onde se encontra o garoto e considerando 3 = 1,73,podemos afirmar que a pipa est a uma altura de:

a) 17,40 m b) 28,10 m c) 34,60 m

d) 38,50 m e) 35,14 m

RESOLUO:

tg 60 =

3 =

x = 20 . 3

x = 34,6 m

Resposta: C

x20

x20

y3

3

3

y3

6

3

3x

32

3x

(VUNESP) Do quadriltero ABCD da figura, sabe-se queos ngulos internos de vrtices A e C so retos; os ngulos

CD^

B e AD^

B medem, respectivamente, 45 e 30; o lado CD

mede 2dm. Ento os lados AD e AB medem, respectivamente,

em dm:

a) 6 e 3

b) 5 e 3

c) 6 e 2

d) 6 e 5

e) 3 e 5

RESOLUO:

I) BCD issceles (BC = CD = 2 e BD = 2 . 2 )

II) sen 30 =

=

AB =

2

III)cos 30 =

= AD =

6

Resposta: C

AD

2 .

2

32

AD

2 .

2

AB

2 .

2

12

AB

2 .

2



9/108MATEMTICA

(VUNESP MODELO ENEM) Um pequeno aviodeveria partir de uma cidade A rumo a uma cidade B ao norte,distante 60 quilmetros de A. Por um problema de orientao,o piloto seguiu erradamente rumo ao oeste. Ao perceber oerro, ele corrigiu a rota, fazendo um giro de 120 direita emum ponto C, de modo que o seu trajeto, juntamente com otrajeto que deveria ter sido seguido, formaram, aproxima-damente, um tringulo retngulo ABC, como mostra a figura.

Com base na figura, a distncia em quilmetros que o aviovoou partindo de A at chegar a B

a) 30

3 b) 40

3 c) 60

3 d) 80

3 e) 90

3

RESOLUO:A partir do enunciado, no tringulo ABC, temos:

sen 60 =

=

BC = 40

3

tg 60 =

3 =

AC = 20

3

A distncia em quilmetros, que o avio percorreu partindo de A

at chegar a B, : AC + BC = 20 3 + 40 3 = 60 3

Resposta: C

(VUNESP) Ao chegar de viagem, uma pessoa tomou txi no aeroporto para se dirigir ao hotel. O percurso feito p

txi, representado pelos segmentos AB, BD, DE, EF e FH, e

esboado na figura, onde o ponto A indica o aeroporto, o pon

H indica o hotel, BCF um tringulo retngulo com o ng

reto em C, o ngulo no vrtice B mede 60 e DE paralelo

BC.

Assumindo o valor 3 = 1,7 e sabendo-se que AB = 2 kBC = 3 km, DE = 1 km e FH = 3,3 km, determinea) as medidas dos segmentos BD e EF em quilmetros;b) o preo que a pessoa pagou pela corrida (em reais),

bendo-se que o valor da corrida do txi dado pela funy = 4 + 0,8x sendo x a distncia percorrida em quilmete y o valor da corrida em reais.

RESOLUO:

a) De acordo com o enunciado, CB^

D = ED^

F = 60 (ngulos corr

pondentes). No tringulo retngulo DEF, temos:

tg 60 = 3 = EF = 3 EF = 1,7km.

Na figura seguinte, com DC

1 //

EC, temos o tringulo BC

retngulo em C1 e portanto

cos 60 =

=

BD = 4km

b) A distncia de A a H, em quilmetros, igual a

AB + BD + DE + EF + FH = 2 + 4 + 1 + 1,7 + 3,3 = 12

Como o preo da corrida do txi dado pela funo

y = 4 + 0,8 . x, para x = 12km, tem-se:

y = 4 + 0,8 . 12

y = 13,60 reais

Respostas:a) BD = 4km e EF = 1,7km

b) R$ 13,60

2

BD

1

2

BC1BD

EF

1

EFED

60AC

60AC

60BC

3

260BC


10/108MATEMTICA10

1.

Num tringulo retngulode catetos b e c e hipotenu-sa a temos, de acordo com oteorema de Pitgoras:

a2 = b2 + c2.

Assim sendo, se x for amedida do ngulo agudo Bento:

sen2x + cos2x =2

+2

=

= + = = = 1

Note que

a) sen2x = (sen x)2 b) cos2x = (cos x)2

c) sen2x = 1 cos2x d) cos2x = 1 sen2x

2.

Num tringulo retngulo de catetos b e c ehipotenusa a, se x for a medida do ngulo agudo B ento

tg x = = = tg x =

3. CotangenteA cotangente de um ngulo agudo x , por definio

o inverso da tangente. representada com o smbolo

cotg x. Assim sendo:

4. SecanteA secante de um ngulo agudo x , por definio, o

inverso do cosseno. representada com o smbolosec x. Assim sendo:

5. CossecanteA cossecante de um ngulo agudo x , por defi-

nio, o inverso do seno. representada com o sm-bolo cossec x.

Assim sendo:

6. Relaes auxiliaresa) Dividindo ambos os membros da relao funda-

mental, sen2x + cos2x = 1, por cos2x, temos:

+ = tg2x + 1 = sec2x

b) Dividindo ambos os membros da relao funda-

mental, sen2x + cos2x = 1, por sen2x, temos:

+ =

1 + cotg2x = cossec2xDe (a) e (b) temos:

7. ConclusesSendo x a medida de um ngulo agudo qualquer,

valem as seguintes relaes:

sen2x + cos2x = 1

sen xtg x =

cos x

cos x 1cotg x = =

sen x tgx

1sec x =

cos x

1cossec x =

sen x

sec

2

x = 1 + tg

2

xcossec2x = 1 + cotg2x

cossec2x = 1 + cotg2x

sec2x = 1 + tg2x

1sen2x

cos2xsen2x

sen2xsen2x

1cos2x

cos2xcos2x

sen2xcos2x

1cossec x =

sen x

1

sec x = cos x

1 cos x cotg x = =

tg x sen x

sen xcos x

sen xcos x

ba

ca

bc

sen xtg x =

cos x

a2a2

b2 + c2

a2c2

a2

b2a2

caba

sen2x + cos2x = 1

21 e 22 Relaes fundamentais Seno Cosseno Tangente

Cotangente Secante Cossecante


11/108MATEMTICA 1

(MODELO ENEM) Uma prefeiturapretende asfaltar um caminho, em uma regio

plana, desde um ponto inicial P at um monu-

mento de 30 metros de altura, ao custo de

R$ 50,00 o metro quadrado. Do ponto P ao

topo do monumento foi determinado um

ngulo de inclinao , com o plano desse

caminho. Sabendo que sen = , cos =

e que o caminho deve ter 2 metros de largura,

calcular o valor do menor custo dessa obra.

a) R$ 2 000,00 b) R$ 4 000,00c) R$ 1 000,00 d) R$ 40 000,00e) R$ 20 000,00

Resoluo

O menor custo da obra ser obtido quando doponto nicial P ao monumento, o caminho forrepresentado por um segmento de reta, con-forme figura.

Sendo sen = 3/5 e cos = 4/5, temos:

tg = = .

Portanto, na figura temos:

tg = = x = 40 m.

O custo da obra, com 2 m de largura e R$ 50,00o metro quadrado, resulta:C = 2 . 40 . R$ 50,00 = R$ 4 000,00

Resposta: B

(MODELO ENEM)

Um volume lanado de um avio que est3 km de altitude. Devido velocidade do ave ao do vento, o volume cai segundo ureta que forma um ngulo de 25 com a vtical. Que distncia aproximadamente d, mdida no solo, esse volume percorreu?

Dado: sen 25 = 0,42

a) 1,38 km b) 1,08 kmc) 2,13 km d) 1,75 kme) 0,98 km

Resoluo

tg 25 = d = 3 . tg 25

Se sen 25 = 0,42 e sen225 + cos225 = 1

ento, cos 25 = 1 sen2 25 =

= 1 (0,42)2 = 0,91

Logo: tg 25 = = = 0,46

Ento, d = 3 . 0,46 d = 1,38 km

Resposta: A

0,420,91

sen 25cos 25

d3

34

30x

3545

34

45

35

Se 0 < x < 90 ento a expresso igual a:a) sen x b) cos x c) tg xd) cotg x e) sec x

RESOLUO:

= = sec x

Resposta: E

(UN.ESTCIO DE S) Simplificando a expres soy = sen 17 . cotg 17 . cotg 73 . sec 73, encontramos:a) 2 b) 1 c) 2 d) 1 e) 5

RESOLUO:

y = sen 17 . . .

y = cos 17 .

Sendo 17 + 73 = 90, resulta sen 73 = cos 17, portanto

y = cos 17 . = 1

Resposta: D

Simplificando a expresso tg x . cos x . cossec x, p0 < x < 90, obtm-se:a) 0 b) 1 c) 1 d) sen x e) sec x

RESOLUO:

tg x . cos x . cossec x = . cos x . = 1

Resposta: B

sen xcos x

1sen x

1cos 17

1

sen 73

1

cos 73

cos 73

sen 73

cos 17

sen 17

1cos x

sen2x + cos2x

cos x

sen2x + cos2xcos x


Exerccios Resolvidos Mdulos 21 e 22


12/108

Se 0 < x < 90 e cos4x sen4x = ento sen x ser

igual a:

a) b) c) d) e)

RESOLUO:

cos4x sen4x = (cos2x + sen2x)(cos2x sen2x) =

1 2sen2x = sen2x = sen x =

(pois 0 < x < 90)

(MODELO ENEM) Uma empresa precisa comprar umatampa para o seu reservatrio, que tem aforma de um tronco de cone circular reto,conforme mostrado na figura.Considere que a base do reservatrio tenharaio r = 23 m e que sua lateral faa umngulo de 60 com o solo.Se a altura do reservatrio 12 m, a tampa

a ser comprada dever ter raio igual a

a) 33 m. b) 43 m. c) 53 m.d) 63 m. e) 73 m.

RESOLUO:Se r = 23 m o raio da base, o raio datampa r + x, sendo

tg 60 = = 3

x = 43

O raio da tampa (23 + 43)m = 63 m

Resposta: D

725

12x

35

925

725

725

725

110

15

25

35

45

MATEMTICA12

Sabendo que 0 < x < 90 e sen x = , calcular

cos x, tg x, cotg x, sec x e cossec x.

RESOLUO:

sen2x + cos2x = 1

cos2x = 1 sen2x

cos2x = 1 =

cos x = (ngulo agudo)

tg x = =

tg x =

cotg x = =

cotg x =

sec x = =

sec x =

cossec x = =

cossec x =

Se 0 < x < 90 e tg x =33, ento o valor de

a) b) 1 c) 2 d) e) 3

RESOLUO:

= =

= = = 2

Resposta: C

tg3x + 1tg3x 1

3 + 1

3 1

sen3x + cos3x

sen3x cos3x

sen3x cos3x + cos3x cos3x

sen3x cos3x

cos3x cos3x

12

52

sen3x + cos3x

sen3x cos3x

53

1

35

1sen x

54

1

45

1cos x

4

3

1

34

1

tg x

34

35

4

5

sen xcos x

45

1625

925

35



13/108MATEMTICA 1

(MACKENZIE) Observando o tringulo da figura, pode-

mos afirmar que vale:

a) b)

c) d)

e)

RESOLUO:

= = =

= cos

=

Resposta: A

(UFPB MODELO ENEM) Em um determinado edifcio,os primeiros andares so destinados s garagens e ao salo defestas e os demais andares, aos apartamentos. Interessadonas dimenses desse prdio, um topgrafo coloca umteodolito (instrumento ptico para medir ngulos horizontais engulos verticais) a uma distncia d do prdio. Com um ngulovertical de 30, esse topgrafo observou que o primeiro piso de

apartamentos est a uma altura de 11,80 m do solo; e com ngulo vertical de 60, avistou o topo do edifcio, conformefigura abaixo.

De acordo com esses dados e sabendo-se que a luneta teodolito est a 1,70 m do solo, a altura do edifcio :a) 31 m b) 23,60 m c) 30,30 md) 21,90 m e) 32 m

RESOLUO:Sendo h, em metros, a altura do prdio temos:

tg 30 = =

= 3 h = 32tg 60 = 3 =Resposta: E

15

(cos

sen

)

cos

sen

cos

(cos

sen

)

sen

1 cos

cos sen

1 tg

25

5

25

5

5

125

15

cos sen

1 tg

h 1,7

10,1h 1,7

d

10,1

d

3

3

23 Medidas de arcos e ngulos Graus Radianos

1. Arcos na circunfernciaSeja uma circunferncia, na qual so tomados dois

pontos A e B. A circunferncia ficar dividida em duas

partes chamadas arcos. Os pontos A e B so as extremi-

dades desses arcos.Quando A e B coincidem, um desses arcos cha-

mado arco nulo e o outro, arco de uma volta.

2. Medida de um arco em grausO arco de uma volta mede 360 e o arco nulo mede 0

Assim sendo, o arco de 1 grau (representado p

smbolo 1) um arco igual a do arco de um

volta.Os submltiplos do grau so o minuto e o segund

O arco de um minuto (representado pelo smbolo

um arco igual a do arco de um grau.

Simbolicamente:

O arco de um segundo (representado pelo smbo

1) um arco igual a do arco de um minuto.

1

360

160

1 = 60

1

60


14/108

Simbolicamente:

Note, ainda que:

3. Medida deum arco em radianosA medida de um arco, em radianos, a razo entre

o comprimento do arco e o raio da circunferncia sobrea qual este arco est determinado; assim:

Observaes

O arco AB mede 1 radiano (1 rad), se o seu com-

primento for igual ao raio da circunferncia. A medida de um arco, em radianos, um nmero

real puro e portanto costume omitir o smbolo rad.Ao dizer ou escrever que um certo arco mede 3, porexemplo, fica subentendido que sua medida de 3 radia-nos ou seja, que o comprimento do arco o triplo da me-dida do raio.

O arco de uma volta, cuja medida 360, temcomprimento igual a 2 . . r. e sua medida em radianos

ser, portanto, 2pois = = = 2 6,28.

4. ConversesSendo G a medida do arco em graus e R a medida

em radianos, as converses de unidades (Graus-Radia-nos) so feitas atravs de uma regra de trs simples apartir da correspondncia 360 2 ou 180 .Assim sendo:

5. Medida de ngulosSeja rO

^s um ngulo de vrtice O e lados nas semir-

retas Or

e Os

. Tomemos uma circunferncia de centro no

ponto O e raio qualquer.

Os pontos da circunferncia e que pertencem

regio angular formam um arco AB . Adota-se como

medida do ngulo AO^

B, a prpria medida (em graus ou

radianos) do arco AB

. Assim sendo, a medida (em grausou radianos) de um arco AB igual medida do ngulo

central AO^

B correspondente ao arco.

360 2360 2 180

= = G R G RG R

AB

r

2..r

r

compr(AB) =

r

1 = 60 = 3600

1 = 60

MATEMTICA14

Converter 120 em radianos.Resoluo

=

= 3 R =

Resposta:

(FUVEST) O permetro de um setorcircular de raio R e ngulo central medindo radianos igual ao permetro de um quadradode lado R. Ento, igual aa) /3 b) 2 c) 1 d) 2/3 e) /2Resoluo

R + R + x = 4R x = 2R

= = = 2

Resposta: B

(FGV MODELO ENEM) Dois pontos,na linha do Equador, apresentam o sol a pino

com defasagem de 3 horas. Sabe-se que amenor distncia percorrida sobre essa linha, deum ponto ao outro, 5.000 km. Qual deve sero dimetro aproximado do planeta Terra, emquilmetros?

a) b)

c) d)

e)

ResoluoI) Para cada hora corresponde um ngulo

equatorial de

= = 15, assim, para uma

defasagem de 3 horas, o ngulo equatorial

ser 3 . 15 = 45 ou rad.

II)

= R = km

2R = km

Resposta: B

2R

R

xR

2

3

2

3

2

R

2

R

360120

360 2

120 R

30000

2

40000

20000

1

30000( 2)2

40000

2 2

360

24

180

12

4

20000

5000 km

R

4

40000


15/108MATEMTICA 1

Quantos minutos tem o arco de 30?

RESOLUO:1 6030 xx = 1800

Quantos segundos tem o arco de 5 15?

RESOLUO:

1 3600 1 60

5 x 15 y

x = 18000 y = 900

515 = 18900

Converter as seguintes medidas de graus para radianos.

a) 30 b) 36 c) 240

RESOLUO:

Converter as seguintes medidas de radianos para graus.

a) b) 3 4

RESOLUO:

a) rad = = = 60

b) rad = = = 45

(MODELO ENEM) Uma pessoa caminha em uma pcircular, com raio igual a 30 m. Se essa pessoa percorr

nessa pista, um ngulo central correspondente a radian

qual ser a distncia percorrida em metros? (adotar = 3,1a) 31,4 b) 73,6 c) 85,1 d) 62,8 e) 58,7

RESOLUO:

Pela definio de medida de arco, em radianos, temos:

=

= comp(AB) = 20.

m

comp(AB) = 20.3,14 m = 62,8 m

Resposta: D

(MACKENZIE) O segmento OA descreve um ngulo30 em torno da origem, como indica a figura. Adotando =

a distncia percorrida pelo ponto A :

a) 2,5

b) 5,5

c) 1,7

d) 3,4

e) 4,5

RESOLUO:

A distncia do ponto A(4;3) origem O(0;0)

dAO = R =

42 + 32 = 5.

O arco de circunferncia de raio R = 5 e ngulo cen

30 = radiano tem comprimento igual a

AP, tal que:

=

=

Para = 3, resulta comp(

AP) = = = 2,5.

Resposta: A

a) 180x 30

x =

6

b) 180 36 x

36x =

180

x =

5

c) 180 240 x

240x =

180

4x =

3

3

rad

3

180

3

4

rad

4

180

4

23

comp (AB)

r

2

3

comp (AB)

30

6

comp(

AP)

5

6

comp(

AP)

OA

6

52

5 . 3

6


16/108MATEMTICA16

24Ciclo trigonomtrico determinaes

Quadrantes Determinaespositivas Determinaes negativas

1. Ciclo trigonomtricoChamamos de ciclo trigonomtrico a uma circun-

ferncia de raio unitrio na qual fixamos um ponto (A)

como origem dos arcos e adotamos o sentido anti-hor-rio como sendo o positivo.

2. Arco trigonomtricoChamamos de arco trigonomtrico AP

ao conjunto

dos infinitos arcos de origem A e extremidade P.

Esses arcos so obtidos partindo-se da origem A e

girando em qualquer sentido (positivo ou negativo) at a

extremidade P, seja na primeira passagem ou apsvrias voltas completas no ciclo trigonomtrico.

Analogamente, chamamos de ngulo trigono m-

trico A^OP ao conjunto dos infinitos ngulos de lado

inicial OA e lado terminal OP.

3. Conjunto dasdeterminaes de um arco

Seja P um ponto qualquer de um ciclo trigonom-

trico de origem A. A medida do arco AP

, de origem A eextremidade P, , por conveno:

O ponto P extremidade de infinitos arcos de

origem A e a medida de cada um deles chamada

determinao. A medida 0 do arco AP

, tal que0 0 < 2, chamada primeira determinao positiva

do arco.

Adicionando primeira determinao positiva o

nmero 2, que equivale a percorrer uma volta do

sentido anti-horrio, obtm-se o nmero 0 + 2que

a segunda determinao positiva de AP

.

Adicionando primeira determinao positiva o n-

mero 2 . 2= 4, que equivale a percorrer duas voltasno sentido anti-horrio, obtm-se o nmero 0 + 4

que a terceira determinao positiva do arco AP

, e

assim por diante.

Subtraindo da primeira determinao positiva o n-

mero 2, que equivale a percorrer uma volta no

sentido horrio, obtm-se 0 2 que a primeira

determinao negativa do arco AP

.

Subtraindo da primeira determinao positiva o

nmero 2 . 2 = 4, que equivale a percorrer duasvoltas no sentido horrio, obtm-se 0 4 que a

segunda determinao negativa, e assim por diante.a) Positivase o sentido de percurso de A para Pfor o anti-horrio.

b) Negativase o sentido de percurso de A para Pfor o horrio.


17/108MATEMTICA 1

As infinitas determinaes dos arcos de origem A e

extremidade P so, pois:

Todas estas determinaes so do tipo 0 + n . 2,

com n , e portanto o conjunto das determinaes do

arco trigonomtrico AP

:

Observaes

a) Se a medida dos arcos for expressa em gradevemos escrever = 0 + n . 360, n .

b) O nmero 0, utilizado no conjunto das detminaes, pode ser o valor de uma qualquer das detminaes. costume, porm, escolher o valor da pmeira determinao positiva ou negativa.

c) A cada ponto P esto associados infinitos nmros reais, mas a cada nmero real est associado unico ponto P.

ExemploO conjunto das determi

es dos arcos de origem

e extremidade P assinaladna figura

x x = + n . 2

com n

76

{ = 0+ n . 2, n }

Determinaespositivas

Determinaesnegativas

Primeira 0 0 1 . 2

Segunda 0 + 1 . 2 0 2 . 2

Terceira 0 + 2 . 2 0 3 . 2Quarta 0 + 3 . 2 0 4 . 2

Determinar o conjunto das determinaes dos arcos indicados, para cada figura.

ResoluoA partir das figuras, temos:

I) 30 + n . 360 (n ) II) 30 + n . 180 (n ) III) + n . 2(n ) IV) + n . (n )6

6

Escreva a 1.a determinao positiva dos arcos assinaladosem cada ciclo trigonomtrico:a)

RESOLUO:

150, 210 e 330

b)

RESOLUO:

120, 240 e 300

c)

RESOLUO:

135, 225 e 315


18/108MATEMTICA18

Calcular a 1a. determinao positiva dos arcos:a) 1630 b) 1630 c) 2100

RESOLUO:

a) 1.630 360

a0 = 190190 4

b) a0 = 360 190 = 170

c) 2.100 360 a0 = 300300 5

Escrever o conjunto das determinaes dos arcosassinalados, com extremidades no ponto P.a) b)

RESOLUO:

a) V = {x

x = 30 + n . 360, n

}

b) V = x x = + n . 2, n

Escrever, em uma nica expresso, o conjunto dos arcosassinalados, com extremos em P e Q, conforme o caso.

a) b)

RESOLUO:

a) V = {x | x = 30 + n . 180, n }

b) V = {x | x = + n . , n }

Escrever, em uma nica expresso, o conjunto dos arcos

com extremos em P, Q, M e N.

RESOLUO:

V = {x | x = 30 + n . 90, n }

4

23

25 Funo seno Seno

1. IntroduoConsideremos, no ciclo trigonomtrico de origem A,

um sistema cartesiano ortogonal xOy conforme mostra a

figura. Os pontos A(1; 0), B(0; 1), C(1;0) e D(0; 1)

dividem o ciclo trigonomtrico em quatro quadrantes.

Quando dizemos que um arco AP pertence ao segundo

quadrante, por exemplo, queremos dizer que a

extremidade P pertence ao segundo quadrante.


19/108MATEMTICA 1

2. Definio da funo senoO seno de um arco trigonomtrico AP

, de ex-

tremidade P, a ordenada do ponto P.

Representa-se:

A cada nmero real x corresponde um nico ponto P,

extremidade do arco AP

de medida x. A cada ponto P, por

sua vez, corresponde uma nica ordenada chamada

seno de x.

A funo de em que a cada nmero real x as-socia a ordenada do ponto P , por definio, a funoseno.

Simbolicamente

ObservaoA definio coerente com aquela apresentada

tringulo retngulo.

De fato, se 0 < x < ento P pertence ao p

meiro quadrante e alm disso OP = 1 (raio) e MP = O

Assim sendo, no tringulo OMP retngulo em

temos:

sen x =

sen x =

2

f : tal que f(x) = sen x = ON

sen AP = ON

MPOP

cateto opostosen x =

hipotenusa

ON

1sen x = ON

3. Variao da funo senoEnquanto o ponto P percorre a primeira volta, no sentido anti-horrio, o nmero real x varia de 0 a 360 e o se

de x varia de 1 a 1. Observe, na tabela abaixo, as vrias situaes possveis.


20/108MATEMTICA20

a) Positiva no primeiro e segun-do quadrantes; negativa no terceiroe quarto quadrantes.

b) Crescente no primeiro equarto quadrantes; decrescente nosegundo e terceiro quadrantes.

c) mpar pois sen (x) = sen x.

d) Peridica de perodo 2.

sen 20 > sen 10

sen 135 > sen 140

sen 220 > sen 230

sen 320 > sen 315

sen ( 50) = sen 50

sen 40 > 0

sen 100 > 0

sen 200 < 0

sen 290 < 0

4. GrficoNotando que sen x = sen (x 2), pois x e x 2so as medidas de arcos de mesma extremidade, e de acordo

com a tabela do item anterior, conclumos que o grfico da funo f : tal que f(x) = sen x :

e o conjunto imagem {y 1 y 1}.

5. PropriedadesDo que foi apresentado nos itens (2), (3) e (4), podemos concluir que a funo seno :

Resolver a equao sen x = sabendo que 0 x 360

Resoluo

x = 30 ou x = 150

Resposta: V = {30; 150}

Esboar o grfico da funo g(x) = 1 + sen x, no intervalo [0; 2].Resoluo

Observe que o grfico do seno se deslocou de uma unidade para cima,resultando imagem Im [g(x)] = [0; 2] e mantendo o perodo P = 2.

1

sen x = 2

0 x 360

12


21/108MATEMTICA 2

Utilizando a figura, complete as definies:

RESOLUO:

sen AP = OM sen AQ = ON

Utilizando o ciclo trigonomtrico abaixo, complete:

a) sen 30 = sen 150 =

b) sen 210 = sen 330 =

c) sen 45 = sen 135 =

d) sen 225 = sen 315 =

e) sen 60 = sen 120 =

f) sen 240 = sen 300 =

g) sen 0 = sen 180 = sen 360 =

h) sen 90 =

i) sen 270 =

Esboce o grfico da funo f:[0; 2] definida f(x) = sen x

RESOLUO:

Com base no grfico do exerccio anterior, complete:

a) O perodo da funo f : tal que

f(x) = sen x

b) O conjunto imagem da funo f : tal que f(x) = se

Im(f) = [ 1; 1]

p = 2

1

1

0

3

2

3

2

2

2

2

2

1 2

12


22/108MATEMTICA22

(MODELO ENEM) Uma rampa lisa de 40 m de com-primento faz ngulo de 30 com o plano horizontal. Umapessoa que sobe esta rampa inteira eleva-se verticalmentea) 10 m b) 16 m c) 20 m d) 25 m e) 30 m

RESOLUO:

Seja

AB a rampa e

BC a elevao vertical, ento

AB = 40 m, B^AC = 30 e senB

^AC =

=

BC = 20 m

Resposta: C

BC40

12

BCAB

Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em localizar, digiteMAT1M203

No Portal Objetivo

26Equaes e inequaes queenvolvem a funo seno

Resumo tericoA funo seno definida em por f(x) = sen x tem as

seguintes caractersticas:

a) Domnio de f: D(f) =

b) Contradomnio de f: CD(f) =

c) Conjunto imagem: Im(f) = [ 1; 1]

d) Grfico: senoide

e) Para 30, 150, 210 e 330 temos:

sen 30 = sen 150 =

sen 210 = sen 330 =

f) Para 45, 135, 225, 315 temos:

sen 45 = sen 135 =

sen 225 = sen 315 =

g) Para 60, 120, 240 e 300 temos:

sen 60 = sen 120 =

sen 240 = sen 300 =

h) Para 0, 90, 180, 270 e 360 temos:

sen 0 = sen 180 = sen 360 = 0

sen 90 = 1

sen 270 = 1

22

22

12

12

32

32


23/108MATEMTICA 2

Resolver a equao

2 sen x 2 = 0 sabendo que 0 x 360.

RESOLUO:

2 sen x

2 = 0

2 sen x = 2

sen x =

V = {45, 135}

(FGV) A equao 4 . sen2x = 1, para 0 x 360, temconjunto verdade igual a:

a) {30} b) {60} c) {30; 210}

d) {30; 150} e) {30; 150; 210; 330}

RESOLUO:

Para 0

x

360, temos:

sen2x = sen x =

Portanto:

x = 30 ou x = 150 ou x = 210 ou x = 330

Resposta: E

Os valores de x tal que sen2x 1 = 0 e 0 x 2so:

a) 0 e b) e c) e

d) e e) e

RESOLUO:

sen2x 1 = 0

sen2x = 1

sen x =

1

sen x = 1

V = ,

Resposta: B

Resolver a inequao 2 sen x 1 > 0 sabendo que0 x 360.

RESOLUO:

2 sen x 1 > 0

2 sen x > 1

sen x >

V = {x | 30 < x < 150}

12

}3

2

2{

53

3

34

4

3

6

32

2

12

14

2

2


24/108MATEMTICA24

27 Funo cosseno Cosseno

2. Variao da funo cosseno

Enquanto o ponto P percorre a primeira volta, no sentido anti-horrio, o nmero real x varia de 0 a 360 e o cossenode x varia de 1 a 1. Observe, na tabela a seguir, as vrias situaes possveis:

1. DefinioO cosseno de um arco trigonomtrico AP

, de ex-

tremidade P, a abscissa do ponto P. Representa-se:

A cada nmero real x corresponde um nico ponto P,

extremidade do arco AP

de medida x. A cada ponto P, por

sua vez, corresponde uma nica abscissa chamada cos-

seno de x.A funo de em que a cada nmero real x

associa a abscissa do ponto P , por definio, afuno cosseno.

Simbolicamente

Observaes

A definio dada coerente com aquela apresentada

no tringulo retngulo.

De fato, se 0 < x < ento P pertence ao primeiro

quadrante e alm disso OP = 1 (raio).Assim sendo, no tringulo OMP retngulo em M,

temos:

cos x =

cos x =

cateto adjacentecos x =

hipotenusa

OMOP

2

cos AP

= OM

f : tal que f(x) = cos x = OM cos x = OMOM

1


25/108MATEMTICA 2

a) Positiva no primeiro e quartoquadrantes; negativa no segundo eterceiro quadrantes.

b) Crescente no terceiro equarto quadrantes; decrescente noprimeiro e segundo quadrantes.

c) Par, pois cos ( x) = cos x.

d) Peridica de perodo 2.

cos 40 > 0

cos 100 < 0

cos 200 < 0

cos 290 > 0

cos 10 > cos 20

cos 135 > cos 140

cos 230 > cos 220

cos 320 > cos 315

cos ( 50) = cos 50

3. GrficoNotando que cos x = cos(x 2), pois x e x 2so as medidas de arcos de mesma extremidade, e de acor

com a tabela do item anterior, conclumos que o grfico da funo f : tal que f(x) = cos x :

e o conjunto imagem {y 1 y 1}.

4. PropriedadesDo que foi apresentado nos itens (1), (2) e (3), podemos concluir que a funo cosseno :

Resolver a equao cos x = sabendo que 0 x 360

Resoluo

x = 120 ou x = 240

Resposta: V = {120; 240}

Esboar o grfico da funo g(x) = 2 . cos x, no intervalo [0; 2].

Resoluo

Observe que o grfico do cosseno abriu no sentido vertical, resultaimagem Im [g(x)] = [ 2; 2] e mantendo o perodo P = 2.

1

cos x = 2

0 x 360

12


26/108MATEMTICA26

Utilizando a figura, complete as definies:

RESOLUO:

cos AP = OM cos AQ = ON

Utilizando o ciclo trigonomtrico abaixo, complete a tabela.

a) cos 30 = cos 330 =

b) cos 150 = cos 210 =

c) cos 45 = cos 315 =

d) cos 135 = cos 225 =

e) cos 60 = cos 300 =

f) cos 120 = cos 240 =

g) cos 90 = cos 270 =

h) cos 0 = cos 360 =

i) cos 180 = 1

1

0

1

2

12

2

2

22

3

2

3

2

(MODELO ENEM) Duas plataformas martimas (A e B) estolocalizadas de tal forma que os ngulos de emisso de sinais de comu-nicao com a base de um poo submarino so, respectivamente,iguais a 120 e 30, conforme indica a figura a seguir:

Admitindo-se que os sinais se desloquem em linha reta at a base dopoo e que a distncia entre as plataformas A e B, em linha reta, sejaAB = 1 km, a maior distncia entre a base do poo e uma das duas

plataformas, em km, , aproximadamente, igual a:a) 1,7 b) 1,5 c) 1,3 d) 1,1 e) 1,0Resoluo

cos 30 = = d = 3 1,7

Resposta: A

d/2

1

3

2

Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em localizar, digiteMAT1M204

No Portal Objetivo


27/108MATEMTICA 2

Esboce o grfico da funo f:[0; 2] definida porf(x) = cos x

RESOLUO:

Com base no grfico do exerccio anterior, complete:

a) O perodo da funo f : tal que

f(x) = cos x

b) O conjunto imagem da funo f : tal que

f(x) = cos x

(MODELO ENEM) Uma mquina produz diariamentdezenas de certo tipo de peas. Sabe-se que o custo produo C(x) e o valor de venda V(x) so dados, aproxi mamente, em milhares de reais, respectivamente, pelas fun

C(x) = 2 cos e V(x) = 32 sen , 0 x

O lucro, em reais, obtido na produo de 3 dezenas de peaa) 500. b) 750. c) 1000. d) 2000. e) 3000

RESOLUO:Para x dezenas de certo produto, o lucro em milhares de reai

obtido por: L(x) = V(x) C(x)

Para x = 3, resulta:

L(3) = 3 . 2 . sen 2 cos == 3 . 2 . sen 2 + cos =

= 3 .

2 . 2 + 0 = 3 2 = 1.

Portanto, o lucro, em reais, obtido na produo de 3 deze

dessas peas 1000.

Resposta: C

22

24

3 .6

3 . 12

x6 x

12

Im(f) = [ 1; 1]

p = 2

28Equaes e inequaes queenvolvem a funo cosseno

Resumo tericoA funo cosseno definida em por f(x) = cos x tem

as seguintes caractersticas:a) Domnio de f: D(f) =

b) Contradomnio de f: CD(f) =

c) Conjunto-imagem: Im(f) = [ 1; 1]d) Grfico: cossenoide

e) Para 30, 150, 210 e 330 temos:

cos 30 = cos 330 =

cos 150 = cos 210 =

f) Para 45, 135, 225, 315 temos:

cos 45 = cos 315 =

cos 135 = cos 225 = 22

22

32

3

2


28/108MATEMTICA28

(MODELO ENEM) No setor de pintura de peas em uma fbrica,a presso em um tambor de ar comprimido varia com o tempoconforme a expresso:

P(t) = 50 + 30 . cos t + , t > 0.O valor de t para o qual a presso mnima pode ser:

a) 3 b) c) 2 d)e)Resoluo

Como 1 cos t + 1, o valor mnimo de P(t) obtido

quando cos t + = 1. Como t > 0, temos:

t + = + n . 2(n ) t = + n . 2(n ).

Os possveis valores de t, so: ; ; ;

Dentre as alternativas, temos: t =

Resposta: D

2

5

2

9

2

5

2

2

2

2

2

3

2

5

2

2

g) Para 60, 120, 240 e 300 temos:

cos 60 = cos 300 =

cos 120 = cos 240 =

h) Para 0, 90, 180, 270 e 360 temos:

cos 0 = cos 360 = 1

cos 90 = cos 270 = 0

cos 180 = 112

12

Resolver a equao 2 cos x 1 = 0 sabendo que0 x 2.

RESOLUO:

2 cos x 1 = 0

2 cos x = 1

cos x =

V = ;

O valor de x, 0 x , tal que

4 . (1 sen2

x) = 3 a) b) c) d) e) 0

RESOLUO:

4 . (1 sen2x) = 3 4 . cos2x = 3

cos2x = cos x =

Para 0

x

, resulta x = .

Resposta: D

Resolva a equao 4 cos2x 3 = 0 sabendo que0 x 360.

RESOLUO:4 cos2x 3 = 0

cos2x =

cos x =

V = {30; 150; 210; 330}

Resolver a inequao 2 cos x 1 < 0 sabendo que0 x 360.

RESOLUO:

2 cos x 1 < 0

2 cos x < 1

cos x 0} o conjunto dos nmerosreais estritamente positivos.

d) _ = {x x 0} o conjunto dos nmerosreais negativos.

e) *_ = {x x < 0} o conjuntos dos nmerosreais estritamente negativos.

5. Desigualdade em Sendo a, b , assumimos que:

I) equivalente a

II) equivalente a

III) equivalente a

IV) equivalente a

V) equivalente a

VI)

VII) ou

VIII) ou

a . b < 0

a < 0 e b > 0a > 0 e b < 0

a . b > 0

a < 0 e b < 0a > 0 e b > 0

a + b > 0a > 0 e b > 0

a b 0a b

a b > 0a > b

a b < 0a < b

b > aa < b

a < b ou a = ba b

6. IntervalosSendo {a, b} , com a < b, intervalo qualquer um

dos subconjuntos de definidos e representados aseguir como subconjuntos da reta real.

a) [a;b] = {x | a x b}

b) ]a, b[ = {x | a < x < b}

c) [a, b[ = [a, b) = {x | a x < b}

d) ]a, b] = (a, b] = {x | a < x b}

1) O nmero inteiro 3, por exemplo, racional pois

3 = = = =

2) O nmero decimal exato 4,17, por exemplo,

racional pois 4,17 = = =

3) O nmero decimal no-exato e peridico (chamado

dzima peridica) 0,414141, por exemplo,

racional pois 0,414141 =

4) chamada geratriz da dzima peridica

0,414141 . Para obter a dzima, a partir dageratriz, basta dividir 41 por 99.

5) 0,414141 a dzima peridica. Para obter a

geratriz a regra :

a) O numerador 41 o perodo da dzima.

b) O denominador sempre formado por tantosnoves quantos forem os algarsmos do perodo

Como no caso o perodo (41) de 2 algarismoso denominador formado por 2 algarismosiguais a 9.

6) Os nicos nmeros reais que no so racionais soos decimais no exatos e no peridicos. Essesnmeros so os irracionais.

Nmeros irracionaisSo aqueles que no podem ser escritos na forma

com a e b *. Os nicos nmeros desse

tipo so os decimais no exatos e no peridicosRepresenta-se o conjunto dos nmeros irracionais po .

Exemplosa) 2 = 1,4142135b) = 3,1415926

c) n, qualquer que seja n e no quadradoperfeito.

d) e = 2,718281827

ab

4199

4199

4199

834200

417100

3010

62

31

Saiba mais


52/108MATEMTICA52

e) [a, + [ = [a, + ) = {x | x a}

f) ]a, + [ = (a, + ) = {x | x > a}

g) ] , a] = ( , a] = {x | x a}

h) ] , a[ = ( , a) = {x | x < a}

Provar que se {a;b} *+ entoa2 > b2 a > b

Resoluo

a2 > b2 a2 b2 > 0

(a + b)(a b) > 0

a b > 0 (pois a + b > 0) a > b

Dos nmeros abaixo, o mais prximo de

:

a) 1500 b) 150 c) 25d) 15 e) 2,5

Resoluo

O nmero mais prximo de :

= = 150

Resposta: B

Para cada nmero real x, admita que [x]seja igual a x se x for inteiro, e igual ao maiorinteiro menor que x se x no for inteiro.

O valor de :

a) 2 b) 1 c) 0

d) 1 e) 2

Resoluo

161) 2, 7 = 3; 0,7 = 0; = 53

[ 2, 7] 32)

=

=

16 0 + 5[0,7] + 33

= = [ 0,6] = 15

Resposta: B

6 .6 . 6 . 2 . 2 . 5 . 5

2 . 2 . 6 . 6

63 . 102

122

(6,01)3 . (9,92)2

(11,9)2

[ 2,7]

16[0,7] + 3(6,01)3 . (9,92)2

(11,9)2

Na reta real, marque aproximadamente a posio dos

nmeros 1,6 , 2, , , 5 e

RESOLUO:

Represente na reta real os conjuntos:a) {x x < 2}

RESOLUO:

b) {x 3 < x 5}

RESOLUO:

c) {x x 3 ou x > 5}

RESOLUO:

Descreva os conjuntos representados nas retas reais por

uma propriedade e tambm na forma [a,b], [a,b[, ]a,b[ ou ]a,b].

a)

RESOLUO:

{x x < 3} = ] , 3[

b)

RESOLUO:

{x x 2} = [2, + [

c)

RESOLUO:{x

1 x < 3} = [ 1, 3[

d)

RESOLUO:

{x

x

2 ou x > 3} = ]

, 2] ]3, +

[

32

37


53/108MATEMTICA 5

Sendo A = {x 1 x < 3} e B = {x x 1 ou x > 2},determinar:a) A B b) A B c) A B

RESOLUO:

a)

b) {1} ]2, 3[ c) ]1, 2]

(MODELO ENEM) Na receita de bolo de Maria constamas seguintes informaes:

dois ovos

meio quilograma de farinha de trigoduzentos gramas de manteiga

Asse-o temperatura de duzentos graus celsius e resfrie-o temperatura de cinco graus abaixo de zero.

Para melhor representar as quantidades de ovos, farinha, man-teiga e as temperaturas citadas na receita, podemos utilizar,respectivamente, nmeros:a) naturais, racionais, naturais, inteirosb) naturais, inteiros, racionais, reaisc) inteiros, naturais, reais, racionais

d) racionais, inteiros, inteiros, naturaise) naturais, racionais, inteiros, naturais

RESOLUO:A quantidade de ovos sempre expressa por nmeros natura

meio quilograma de farinha expressa por um nm

racional; 200g de manteiga expressa por um nmero natu 5C expressa por um nmero inteiro.Resposta: A

(MODELO ENEM) Os nmeros de identificautilizados no cotidia(de contas bancrias, CPF, de Carteira de Id

tidade etc.) usualmepossuem um dgito verificao, normalmerepresentado aps o fen, como em 17326Esse dgito adicional ta finalidade de everros no preenchime

ou na digitao de documentos. Um dos mtodos usados pgerar esse dgito compe-se dos seguintes passos:

multiplica-se o ltimo algarismo do nmero por 1, o pentimo por 2, o antepenltimo por 1 e assim por diante, sepre alternando multiplicaes por 1 e por 2;

soma-se 1 a cada um dos resultados dessas multiplicaque for maior do que 10 ou igual a 10;

somam-se os resultados obtidos; calcula-se o resto da diviso dessa soma por 10, obtendo-

assim, o dgito de verificao.

O dgito de verificao para o nmero 24685 fornecido pprocesso descrito anteriormente :a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8

RESOLUO:1) 1 . 2 + 2 . 4 + 1 . 6 + (2 . 8 + 1) + 1 . 5 = 2 + 8 + 6 + 17 + 5 = 38

2)

3) O dgito 8.

Resposta: E

10

3

38

8

1

kg2


54/108MATEMTICA54

1. DefinioChama-se funo polinomial do 1o. grau a toda fun-

o f : definida por:

, a * e b

2. Como obter o grficoExemplo 1

Construir o grfico da funo f : definida porf(x) = 2x 4.

Resoluo

Construmos uma tabela atribuindo alguns valores a

x e calculando as imagens correspondentes.

Localizamos os pontos obtidos no sistema decoordenadas cartesianas.

Exemplo 2Construir o grfico da funo f : definida por

f(x) = x + 3Resoluo

Construmos uma tabela atribuindo alguns valores ax e calculando as imagens correspondentes.

Localizamos os pontos obtidos no sistema decoordenadas cartesianas.

Demonstra-se que:

a) O grfico da funo polinomial do 1o. grau sem-pre uma reta oblqua.

b) Se a > 0 ento a funo estritamente crescen-te.

c) Se a < 0 ento a funo estritamente decres-cente.

d) O grfico de f intercepta o eixo

Ox no ponto

; 0 ou seja: a raiz de f.

e) O grfico de f intercepta o eixo

Oy no ponto (0; b)

ba

ba

x y = x + 3 x

1 y = ( 1) + 3 = 4 ( 1; 4)

0 y = 0 + 3 = 3 (0; 3)

1 y = 1 + 3 = 2 (1; 2)

2 y = 2 + 3 = 1 (2; 1)

3 y = 3 + 3 = 0 (3; 0)

4 y = 4 + 3 = 1 (4; 1)

x y = 2x 4 x

1 y = 2 . ( 1) 4 = 6 ( 1; 6)

0 y = 2 . 0 4 = 4 (0; 4)

1 y = 2 . 1 4 = 2 (1; 2)

2 y = 2 . 2 4 = 0 (2; 0)

3 y = 2 . 3 4 = 2 (3; 2)

f(x) = ax + b

24 Funo polinomial do 1o. grau Reta

Crescente Decrescente


55/108MATEMTICA 5

f) A funo f : definida por f(x) = ax + b bijetora e seu grfico sempre do tipo:

Analisando o grfico conclui-se que:

a) Se a > 0 ento:

f(x) > 0 x >

f(x) = 0 x =

f(x) < 0 x <

b) Se a < 0 ento:

f(x) > 0 x <

f(x) = 0 x =

f(x) < 0 x > b

a

b

a

ba

ba

ba

ba

Saiba mais

(ENEM) Um experimento consiste em

colocar certa quantida-de de bolas de vidroidnticas em um copocom gua at certonvel e medir o nvel dagua, conforme ilustra-do na figura ao lado.Como resultado do ex-perimento, concluiu-seque o nvel da gua funo do nmero debolas de vidro que socolocadas dentro docopo.

O quadro a seguir mostra alguns resultados doexperimento realizado.

Disponvel em; www.penta.ufrgs.br

Acesso em: 13 jan 2009 (adaptado)

Qual a expresso algbrica que permite cal-cular o nvel da gua (y) em funo do nmerode bolas (x)?

a) y = 30x. b) y = 25x + 20,2.

c) y = 1,27x. d) y = 0,7x.

e) y = 0,07x + 6.

Resoluo

Se a expresso algbrica que permite calcular

o nvel da gua (y) em funo do nmero de

bolas (x) do primeiro grau, ento y = ax + b.

Para os resultados do experimento, temos:

Logo, y = 0,07x + 6.

Resposta: E

(MODELO ENEM) Uma artes queproduz pequenas esculturas em argila.Pensando em ampliar seu negcio, elaborou atabela a seguir para calcular seus custos

mensais.

Utilizando-se os dados da tabela, a relaentre o custo C e o nmero de peasproduzidas mensalmente pode ser esbelecida na sentena matemtica dapor:a) C = 740N b) C = 4 + 740Nc) C = 740 4N d) C = 4N + 740e) C = 4N + 820Resoluo

O custo C para produzir N peas :

C = 450 + 60 + 160 + 70 + 3,40N + 0,60N

C = 740 + 4N

Resposta: D

Salrio do auxiliar R$ 450,00

Energia eltrica e gua R$ 60,00

Impostos R$ 160,00

Combustvel R$ 70,00

Material para uma pea R$ 3,40

Embalagem de uma pea R$ 0,60

a . 5 + b = 6,35a . 10 + b = 6,70 a . 15 + b = 7,05

a = 0,07b = 6

nmero de bolas (x) nvel da gua (y)

5 6,35 cm

10 6,70 cm

15 7,05 cm


56/108MATEMTICA56

Seja f: a funo definida por f(x) = 2x 4.Complete a tabela e esboce o grfico de f.

RESOLUO:

Analisando o grfico da funo f do exerccio anterior,complete as sentenas abaixo:

a) A funo f : definida por f(x) = 2x 4 estritamente

b) O conjunto soluo da equao f(x) = 0 ou

2x 4 = 0

c) O conjunto soluo da inequao f(x) > 0 ou

2x 4 > 0

d) O conjunto soluo da inequao f(x) < 0 ou

2x 4 < 0

Seja g : a funo definida por g(x) = x + 2.Complete a tabela e esboce o grfico de g.

RESOLUO:

A funo f, do 1o. grau, definida por f(x) = 3x + k. Deter-mine:a) O valor de k para que o grfico de f corte o eixo das

ordenadas no ponto de ordenada 5.b) O ponto em que o grfico de f corta o eixo das abscissas.c) O grfico de f.

RESOLUO:a) O grfico de f corta o eixo das ordenadas no ponto (0; 5),

logo, f(0) = 5.Assim: f(0) = 5 3 . 0 + k = 5 k = 5

b) A funo f definida por f(x) = 3x + 5 e seu grfico corta oeixo das abscissas no ponto (x; 0), logo, f(x) = 0.

Assim: f(x) = 0 3x + 5 = 0 x =

Portanto, o ponto ; 0

c) Utilizando as interseces com os eixos, temos o seguintegrfico:

x g(x)

0 2

2 0

x g(x)

0

2

x f(x)

0 4

2 0

x f(x)

02

5

3

53

V = {x x < 2}

V = {x x > 2}

V = {2}

crescente


57/108MATEMTICA 5

(MODELO ENEM) Um grande poluente produzido pelaqueima de combustveis fsseis o SO2 (dixido de enxofre).Uma pesquisa realizada na Noruega e publicada na revistaScience em 1972 concluiu que o nmero (N) de mortes porsemana, causadas pela inalao de SO2, estava relacionadocom a concentrao mdia (C), em g/m3, do SO2 conforme ogrfico abaixo: os pontos (C, N) dessa relao esto sobre osegmento de reta da figura.

Com base nos dados apresentados, a relao entre N eC(100 C 700) pode ser dada por:

a) N = 100 700 C b) N = 94 + 0,03 C

c) N = 97 + 0,03 C d) N = 115 94 C

e) N = 97 + 600 C

RESOLUO:

O grfico representa uma funo do 1o. grau do tipo N = a . C + b,

passando pelos pontos (100; 97) e (700; 115), ento:

Portanto, a relao entre N e C N = 0,03 . C + 94

Resposta: B

(MODELO ENEM) Vrias escalas podem ser usadas pa graduao de um termmetro. As mais usadas so a Celse a Fahrenheit.Na tabela a seguir, so mostrados alguns valores dessescalas.

Se uma temperatura corresponde a x graus na Celsius e a

graus na Fahrenheit, a relao entre essas duas escalas da

por y = x + 32. Com base nessas informaes, em um

em que a diferena entre a temperatura mxima e a mnima

18 graus na escala Fahrenheit, correto afirmar que es

diferena, na escala Celsius, foi de

a) 32 graus. b) 18 graus. c) 14 graus.

d) 10 graus. e) 12 graus.

RESOLUO:

Sejam yM e ym as temperaturas mxima e mnima em gra

Fahrenheit e sejam ainda xM e xm as temperaturas mxima

mnima em graus Celsius. Assim:

Resposta: D

9 18 = . (xM xm) xM xm = 105

9

yM ym = . (xM xm) 5

9yM = xM + 325

9ym = xm + 325

95

Celsius Fahrenhei

Temperatura de fuso do gelo 0 grau 32 graus

Temperaturade ebulio da gua

100 graus 212 graus

97 = a . 100 + b115 = a . 700 + b 97 = 100 . a b115 = 700 . a + b

18 = 600 . a115 = 700 . a + b a = 0,03b = 94


58/108MATEMTICA58

1. DefinioChama-se funo polinomial do 2o. grau, ou funo

quadrtica, a toda funo f : definida por:

, a *, b e c

2. Como obter o grficoExemplo 1

Construir o grfico da funo f : definida por

y = f(x) = x2 2x 3.

Resoluo



Localizamos os pontos obtidos num sistema decoordenadas cartesianas:

Exemplo 2

Construir o grfico da funo f : definida por

f(x) = x2 2x + 3.

ResoluoConstrumos uma tabela atribuindo alguns valores a


Localizamos os pontos obtidos num sistema decoordenadas cartesianas:


y = f(x) = x2 4x + 4.

ResoluoConstrumos uma tabela atribuindo alguns valores a


x y = x2 4x + 4 = (x 2)2 (x; y)

0 y = (0 2)2 = 4 (0; 4)

1 y = (1 2)2 = 1 (1; 1)

2 y = (2 2)2 = 0 (2; 0)

3 y = (3 2)2 = 1 (3; 1)

4 y = (4 2)2 = 4 (4; 4)

x y = x2 2x + 3 (x; y)

4 y = ( 4)2 2 . ( 4) + 3 = 5 ( 4; 5)

3 y = ( 3)2 2 . ( 3) + 3 = 0 ( 3; 0)

2 y = ( 2)2 2 . ( 2) + 3 = 3 ( 2; 3)

1 y = ( 1)2 2 . ( 1) + 3 = 4 ( 1; 4)

0 y = 02 2 . 0 + 3 = 3 (0; 3)

1 y = 12 2 . 1 + 3 = 0 (1; 0)

2 y = 22 2 . 2 + 3 = 5 (2; 5)

x y = x2 2x 3 (x; y)

2 y = ( 2)2 2 . ( 2) 3 = 5 ( 2; 5)

1 y = ( 1)2 2 . ( 1) 3 = 0 ( 1; 0)

0 y = 02 2 . 0 3 = 3 (0; 3)

1 y = 12 2 . 1 3 = 4 (1; 4)

2 y = 22 2 . 2 3 = 3 (2; 3)

3 y = 32 2 . 3 3 = 0 (3; 0)

4 y = 42 2 . 4 3 = 5 (4; 5)

f(x) = ax2+ bx + c

25 Funo polinomial do 2o. grau

Parbola Concavidade


59/108MATEMTICA 5

Localizamos os pontos obtidos num sistema decoordenadas cartesianas.


f(x) = x2 + 2x 3.

Resoluo



Localizamos os pontos obtidos num sistema decoordenadas cartesianas.

3. Tipos de grficoO grfico da funo polinomial do 2o. grau sempre

uma parbola. Dependendo do valor de a e do valor detemos os seguintes tipos de grficos:

x y = x2 + 2x 3 (x; y)

1 y = (1)2 + 2 . ( 1) 3 = 6 ( 1; 6)

0 y = 02 + 2 . 0 3 = 3 (0; 3)

1 y = 12 + 2 . 1 3 = 2 (1; 2)

2 y = 22 + 2 . 2 3 = 3 (2; 3)

3 y = 32 + 2 . 3 3 = 6 (3; 6)a) O grfico de f sempre uma parbola com eixo

de simetria paralelo ao eixo

Oy.

b) Se a > 0 ento a parbola tem a concavidadevoltada para cima.

c) Se a < 0 ento a parbola tem a concavidadevoltada para baixo.

d) A parbola sempre intercepta o eixo

Oy noponto (0; c)

e) Se = b2 4ac < 0 ento f no admite razereais. A parbola no intercepta o eixo

Ox.

f) Se = b2 4ac = 0 ento f admite uma nicraiz. A parbola tangencia o eixo

Ox.

g) Se = b2 4ac > 0 ento f admite duas razereais distintas. A parbola intercepta o eixo

Oem dois pontos.

h) A funo polinomial do 2o. grau, definida em no nem injetora e nem sobrejetora.

Saiba mais

Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTALOBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em localizar,

digite MAT1M208

No Portal Objetivo


60/108MATEMTICA60

(ENEM) Um posto de combustvel vende 10.000 litros de lcoolpor dia a R$ 1,50 cada litro. Seu proprietrio percebeu que, para cadacentavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos 100 litros amais por dia. Por exemplo, no dia em que o preo do lcool foi R$ 1,48,foram vendidos 10.200 litros.Considerando x o valor, em centavos, do desconto dado no preo de

cada litro, e V o valor, em R$, arrecadado por dia com a venda do lcool,ento a expresso que relaciona V e x a) V = 10 000 + 50x x2. b) V = 10 000 + 50x + x2.

c) V = 15 000 50 x x2. d) V = 15 000 + 50x x2.e) V = 15 000 50x + x2.

ResoluoA partir do enunciado, o valor arrecadado V, em R$, por dia, com avenda do lcool, deve obedecer seguinte expresso:

V = (10000 + 100 . x) . (1,50 0,01 . x)

V = 15000 + 150 . x 100 . x x2

V = 15000 + 50 . x x2

Resposta: D

Complete a tabela e esboce o grfico da funo f : definida por f(x) = x2 4x + 3.

RESOLUO:

(UNESP) A expresso que define a funo quadrticaf(x), cujo grfico est esboado, :

a) f(x) = 2x2 2x + 4. b) f(x) = x2 + 2x 4.c) f(x) = x2 + x 2. d) f(x) = 2x2 + 2x 4.e) f(x) = 2x2 + 2x 2.

RESOLUO:

Sugesto: A sentena que define f, do tipo f(x) = ax2 + bx + c, pode

tambm assumir a forma f(x) = a(x x1)(x x

2) onde x

1e x

2so as

razes.

Sendo 2 e 1, as razes da funo quadrtica, a expres so que

define a funo f, cujo grfico foi dado, tal que

4 = a . 2 . ( 1) a = 2

Portanto, a expresso f(x) = 2(x + 2)(x 1) f(x) = 2x2 + 2x 4

Resposta: D

(MODELO ENEM) Pretende-se fazer, numa escola, umjardim na forma de um quadrado ABCD de 7 m de lado, comomostra a figura.

A rea hachurada representa o lugar onde se pretende plantar

grama e o quadrado EFGH o local destinado ao plantio deroseiras. Tem-se, em metros, AE = BF = CG = DH = x.

x f(x)

0 31 0

2 1

3 0

4 3

x f(x)

0

12

3

4 f(x) = a(x + 2)(x 1)f(0) = 4


61/108MATEMTICA 6

A funo em x, para 0 x 7, que permite calcular a rea A(x),em metros quadrados, em que ser plantada a grama definida por:a) A(x) = 14x 2x2 b) A(x) = 7x x2

c) A(x) = d) A(x) = x(x 4)

e) A(x) = x2 + 4x

RESOLUO:

A rea do tringulo retngulo FBG

A rea reservada ao plantio de grama

A(x) = 4 . = 2x(7 x) = 14x 2x2

Resposta: A

Um homem-bala lanado de um canho e sua trajetdescreve uma parabla. Considerando que no instante lanamento (t = 0) ele est a 3 metros do solo, 1 segundo apele atinge a altura de 4 metros e 3 segundos apslanamento ele atinge o solo, pede-se:a) A altura h do homem-bala, medida em metros e a partir

cho, em funo do tempo t, medido em segundos.b) O valor de h para t = 2.

RESOLUO:a) A sentena que permite calcular a altura h em funo do tem

t do tipo h(t) = at2 + bt + c passando esta funo pelos pon

(0; 3), (1; 4) e (3; 0). Logo:

h(t) = t2 + 2t + 3

b) t = 2

h(2) = 22 + 2 . 2 + 3 = 3

7x x2

2

x(7 x)

2

x(7 x)

2

a = 1b = 2c = 3

c = 3a + b = 13a + b = 1

3 = a . 02 + b . 0 + c4 = a . 12 + b . 1 + c0 = a . 32 + b . 3 + c

1. Vrtice da parbolaO grfico da funo f: definida por

f(x) = ax2 + bx + c, com a 0, uma parbola com eixo

de simetria paralelo ao eixo

Oy.

O vrtice da parbola, representado por V, o ponto

de ordenada mnima (quando a > 0) ou o ponto de

ordenada mxima (quando a < 0).

A abscissa do vrtice xv = e coincide com o

ponto mdio entre as razes reais, quando estas existe

A ordenada de V pode ser obtida apenas substitu

do, na sentena que define f, x pela abscissa j enco

trada.

Pode tambm ser calculada utilizando a frm

yv = onde = b2 4ac

Assim sendo:b

V

;

2a 4a

4a

b

2a

26 e 27 Vrtice e conjunto-imagem Vrtice Mximo Mnimo


62/108MATEMTICA62

2. Conjunto-imagema) Se a > 0 ento V ser ponto de mnimo da funo

f: definida por f(x) = ax2 + bx + c, com a 0. Oconjunto-imagem de f, representado por Im(f), ser:

b) Se a < 0 ento V ser ponto de mximo da fun-o f: definida por f(x) = ax2 + bx + c, com a 0.

O conjunto-imagem de f, representado por Im(f), ser:

Im(f) =

y y

=

; 4a 4a

Im(f) =

y

y

=

; +

4a 4a

(MODELO ENEM) Pretende-se fazer, numa escola, um jardimna forma de um quadrado ABCD de 7 m de lado, como mostra a figura.

A rea hachurada representa o lugar onde se pretende plantar grama eo quadrado EFGH o local destinado ao plantio de roseiras. Cadaroseira precisa, para poder se desenvolver, de uma rea equivalente de um quadrado de 20 cm de lado.Tem-se, em metros, AE = BF = CG = DH = x.

Visto que muito caro plantar e cuidar das roseiras, deseja-se que a

rea a elas reservada seja a menor possvel. Supondo que isso acon -tea, podemos concluir que a rea em que ser plantada a grama, emmetros quadrados, :a) 20 b) 21,5 c) 24 d) 24,5 e) 26

Resoluo

A rea reservada ao plantio de grama A(x) = 4 .

A(x) = 2 . x . (7 x) e o grfico dessa funo do tipo

A rea mxima, reservada ao plantio de grama, acontece para x = 3,5

e o seu valor Amx = 2 . 3,5 . (7 3,5) = 24,5

Resposta: D

x . (7 x)2

Exerccio Resolvido Mdulos 26 e 27


63/108MATEMTICA 6

Obter o vrtice e o conjunto-imagem da funof: definida por f(x) = x2 6x + 5.

RESOLUO:

xv = = = 3

yv = =

yv = = 4

V = (3; 4)

Im(f) = {y

y

4}

Esboar o grfico e obter o conjunto imagem da funof: [ 1; 4] definida por f(x) = x2 2x 3.

RESOLUO:

Im(f) = {y

4

y

5}

(GV) A rea do quadrado ABCD 4 cm2. Sobre os lados

AB e

AD do quadrado so tomados dois pontos M e N, tais que

AM + AN = AB. Desse modo, o maior valor que pode assumir

a rea do tringulo AMN :

a) cm2 b) 2 cm2

c) cm2 d) 4 cm2

e) cm2

RESOLUO:

Sendo x e y as medidas, em centmetros, dos segmentos AM

AN, respectivamente, S a rea, em centmetros quadrados,

tringulo AMN, e 4 cm2 a rea do quadrado ABCD, temos:

I) AM + AN = AB

x + y = 2

y = 2 x

II) S = = , que possui valor mximo igual a pois o grfico da funo S(x) = do tipo:

Resposta: C

(MODELO ENEM) A empresa WQTU Cosmtico venuma quantidade x de determinado produto, cujo custo fabricao dado por 3x2 + 232, e o seu valor de venda presso pela funo 180x 116. A empresa vendeu 10 unidaddo produto, contudo a mesma deseja saber quantas unidadprecisa vender para obter um lucro mximo.Considerando que o lucro obtido dado pela diferena entre

valores de venda e custo, a quantidade de unidades a serevendidas para se obter lucro mximo :a) 10 b) 30 c) 58 d) 116 e) 232

RESOLUO:Sendo x a quantidade vendida do produto, (3x2 + 232)(180x 116) respectivamente o custo de produo e a receita pvenda, temos o lucro:

L (x) = (180x 116) (3x2 + 232) = 3x2 + 180x 348 que mxi

quando x = = 30, como ilustra a figura:

Resposta: B

(+180)2 . ( 3)

x . (2 x)

2

1

2

x(2 x)

2

x . y

2

18

12

14

16

4

(( 6)2 4 . 1 . 5)

4 . 14a

62

b2a



64/108MATEMTICA64

(MODELO ENEM) Considere as funes f e g, de em, definidas por f(x) = x2 2x + 8 e g(x) = 2x + 2.

O valor mnimo da funo h, de em , definida porh(x) = f(x) g(x) :

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

RESOLUO:

I) h(x) = f(x) g(x) = (x2 2x + 8) (2x + 2) = x2 4x + 6

II) O vrtice da parbola de equao h(x) = x2 4x + 6 V(2; 2); pois

4

xv = = 22h(2) = 22 4 . 2 + 6 = 2

III)O grfico da funo h do tipo

IV) A funo h assume valor mnimo igual a 2.

Resposta: B

(MODELO ENEM) O alcance horizontal de cada salto deuma r, que parablico, de 4dm.

O grfico representa dois saltos consecutivos e iguais dessa r,contm o ponto (1; 0,75) e permite obter a altura h em funode x, ambos em decmetros. A altura mxima atingida pela r,em decmetros, :a) 0,8 b) 0,9 c) 1 d) 1,5 e) 1,8

RESOLUO:

h(x) = a . (x 0) . (x 4) = a . x . (x 4), para 0

x

4

h(1) = a . 1 . ( 3) = 0,75 a = 0,25

Assim, h(x) = 0,25 . x . (x 4)

Portanto, xv = 2 e a altura mxima

hv = h(2) = 0,25 . 2 . (2 4) = 1

Resposta: C

(MODELO ENEM) Uma indstria tem seu lucro mensal,L(x), em reais, dado em funo do nmero de peas produzidas(x) pela expresso L(x) = 400x x2. Desta forma, incorretoafirmar quea) o lucro obtido pela produo de 300 peas menor que o

lucro obtido pela produo de 250 peas.

b) o lucro mximo que pode ser obtido de R$ 40000,00.c) produzindo 100 peas, obtm-se mais lucro que produzindo

350 peas.d) para ter lucro de R$ 17 500,00 deve-se produzir,

obrigatoriamente, 50 peas.e) o lucro mximo que pode ser obtido ocorre se, e somente

se, a indstria produzir 200 peas.

RESOLUO:1) L(x) = 400x x2

L(x) = (x 0) (x 400)

2) O grfico da funoL(x) = (x 0) (x 400), para x

0, do tipo

e deste grfico conclumos que

3) L(250) > L(300) e portanto a afirmao a correta.

4) O lucro mximo ocorre se, e somente se, x = 200; o valor desse lucromximo L(200) = (200 0) (200 400) = 40 000.

Assim sendo, as alternativas b e e so corretas.

5) L(100) = L(300) > L(350) e portanto c verdadeira.

6) L(50) = (50 0) (50 400) = 17500

7) L(50) = L(350) = 17500 e portanto o lucro de R$ 17 500,00 pode

tambm ser obtido com x = 350. A alternativa d incorreta.

Resposta: D



65/108MATEMTICA 6

(GV-Adaptado) Quando uma pizzaria cobra R$ 14,00 porpizza, 80 unidades so vendidas por dia. Quando o preo R$ 12,00 por pizza, 90 unidades so vendidas. Admitindo quea quantidade vendida (y) seja funo do 1o. grau do preo (x),dada pela expresso y = 5x + 150, qual o preo que deve sercobrado para maximizar a receita diria?

RESOLUO:

A equao da funo que determina a quantidade vendida (y) em

funo do preo (x), em reais, y = 5x + 150Desta forma, a receita R, em funo de x,

R(x) = x . y = x ( 5x + 150) = 5x2 + 150x, e mxima para

x = 15, pois seu grfico

Resposta: R$ 15,00

1. DefinioChama-se inequao do 1o. grau a toda sentena

aberta do tipo ax + b > 0 ou ax + b 0 ou ax + b < 0 ou

ax + b 0, onde a * e b .

2. Resoluoa) Resolver, em , uma inequao do 1o. grau do

tipo ax + b > 0 determinar o conjunto de todos os va-lores da varivel x para os quais o grfico def(x) = ax + b se encontra acima do eixo x.

b) Resolver, em , uma inequao do 1o. grau do ti-po ax + b < 0 determinar o conjunto de todos os valo-

res da varivel x para os quais o grfico de f(x) = ax +se encontra abaixo do eixo x.

mais prtico, porm, apenas isolar o x le

brando que:

x


66/108MATEMTICA66

Resolver, em :

a) 3x 6 < 0

RESOLUO:

3x 6 < 0 x < 2

V = {x

x < 2} = ]

, 2[

b) 3x + 6 < 0

RESOLUO:

3x + 6 < 0 x > 2

V = {x x > 2} = ]2, + [

Resolva, em , os sistemas:

a)

RESOLUO:

V = {x 6 x < 3} = [ 6, 3[

b) 0 < 2

RESOLUO:

0

< 2 0

x + 1 < 6 1

x < 5

V = {x 1 x < 5} = [ 1; 5[

As idades, em anos, de trs crianas so nmeros pares econsecutivos. A diferena entre a soma das idades das duasmais novas e a idade da mais velha menor que 5 anos.Sabendo que a soma das idades maior que 23 anos,determine a idade de cada criana.

RESOLUO:Sendo x, x + 2 e x + 4 as idades das trs crianas, temos:

x = 6, pois x

*

Logo, as idades so 6, 8 e 10 anos.

(MACKENZIE MODELO ENEM) Uma escola paga,pelo aluguel anual do ginsio de esportes de um clube A, uma

taxa fixa de R$ 1 000,00 e mais R$ 50,00 por aluno. Um clubeB cobraria pelo aluguel anual de um ginsio o equivalente auma taxa fixa de R$ 1 900,00, mais R$ 45,00 por aluno. Paraque o clube B seja mais vantajoso economicamente para aescola, o menor nmero N de alunos que a escola deve ter tal que:a) 100 N < 150 b) 75 N < 100 c) 190 N < 220d) 150 N < 190 e) 220 N < 250

RESOLUO:Se n for o nmero de alunos da escola, ento o clube B ser maisvantajoso que o clube A se, e somente se,

1900 + 45n

< 1000 + 50n

5n

> 900n

> 180.Se N for o menor nmero de alunos para o qual o clube B maisvantajoso, ento N = 181 e, portanto, 150 N < 190.Resposta: D

x < 717

x > 3

x 2 < 53x + 6 > 23(x + x + 2) (x + 4) < 5x + (x + 2) + (x + 4) > 23

x + 1

3

x + 1

3

6

x < 3x < 3

x

64x 12 < 0

3x + 18

0

4x 12 < 0

3x + 18 0

Exerccios Propostos

1. DefinioChama-se inequao do 2o. grau a toda sentena

aberta do tipo ax2 + bx + c > 0 ou ax2 + bx + c 0 ouax2 + bx + c < 0 ou ax2 + bx + c 0, com a *, b e c .

2. Resoluoa) Resolver, em , uma inequao do 2o. grau do

tipo ax2 + bx + c > 0 (a 0) determinar o conjunto detodos os valores da varivel x para os quais o grfico def(x) = ax2 + bx + c se encontra acima do eixo x.

b) Resolver, em , uma inequao do 2o. grau dotipo ax2 + bx + c < 0 (a 0) determinar o conjunto de

todos os valores da varivel x para os quais o grfico def(x) = ax2 + bx + c se encontra abaixo do eixo x.

29 Inequaes do 2o. grau Parbola Razes Concavidade


67/108MATEMTICA 6

Resolver a inequao x2 + x + 6 0ResoluoO grfico da funo f(x) = x2 + x + 6 do tipo:

O conjunto verdade da inequao

x2 + x + 6 0 , pois:

{x

x

2 ou x

3}

(MODELO ENEM) No grfico estorepresentadas as funes f e g, de em ,definidas por f(x) = x2 2x + 8 e g(x) = 2x + 2.

A reta r, paralela a 0y intercepta f e g em A e B,

respectivamente. A funo h, de em ,

definida por h(x) = f(x) g(x) fornece a medida

do segmento

AB. Se a medida de

AB for menor

do que 3, ento:

a) x < 0 b) 0 < x < 2 c) 1 < x < 3

d) 2 < x < 4 e) 3 < x < 5

Resoluo

a) h(x) = f(x) g(x)

h(x) = (x2 2x + 8) (2x + 2)

h(x) = x2 4x + 6

b) h(x) < 3 x2 4x + 6 < 3

x2

4x + 3 < 0 1 < x < 3,pois o grfico de p(x) = x2 4x + 3 do

Resposta: C

Resolver, em , as inequaes de a.

x2 7x + 6 0

RESOLUO:Razes: 1 e 6

x2 7x + 6

0V = {x

1 x 6}

x2 < 4


x2 < 4

x2 4 < 0V = {x

2 < x < 2}

x2 < 4x


x2 < 4x

x2 4x < 0V = {x

0 < x < 4}

x2 x + 2 < 0


x2 x + 2 < 0V = {x

x < 2 ou x > 1}

x2 + 4 > 0

RESOLUO:

Razes: no tem raiz real

x2 + 4 > 0

V =

Exerccios Propostos


68/108MATEMTICA68

(UNESP-adaptado MODELO ENEM) Considere asfunes polinomiais f(x) = x3 + x2 + 2x 1 e g(x) = x3 + 3x + 1,cujos grficos se interceptam em dois pontos como esboadona figura (no em escala).

O conjunto de todos os valores de x para os quais f(x) g(x) :

a) [ 2; 0] b) [ 1; 1] c) [ 1; 2]

d) [ 2; 2] e) [0; 2]

RESOLUO:

f(x)

g(x) f(x) g(x)

0 (x3 + x2 + 2x 1) (x3 + 3x + 1) 0

x2 x 2

0 1

x

2, pois o grfico da funo

h(x) = x2 x 2 do tipo

Resposta: C

Exemplo

Resolver o sistema

Resoluo

a) De acordo com o grfico da funo f(x) = x2 4x + 3concluimos que o conjunto verdade da inequaox2 4x + 3 > 0 V1 = { x x < 1 ou x > 3}

b) De acordo com o grfico da funo g(x) = x2 + x + 2

concluimos que o conjunto verdade da inequao x2 + x + 2 0 V2 = { x x 1 ou x 2}

c) O conjunto verdade do sistema V = V1 V2

V = {x x 1 ou x > 3}

x2 4x + 3 > 0 x2+ x + 2 0

30 Sistemas de inequaes Interseco Soluo comum

Exerccios Propostos

Resolver, em , os sistemas de a.

RESOLUO:

1) Razes: x2 5x + 6 = 0x1 = 2 ou x2 = 3

V1 = {x x 2 ou x 3}

x2 5x + 6 0

x 1 > 0

x2 5x + 6

0

x 1 > 0


69/108MATEMTICA 6

2) Raiz: x 1 = 0 x = 1

V2 = {x x > 1}

V = {x 1< x 2 ou x 3}

RESOLUO:

1) Razes: x2 x = 0x1 = 0 ou x2 = 1

V1 = {x 0 x 1}

2) Razes: x2 1 = 0x1 = 1 ou x2 = 1

V2 = {x x 1 ou x 1}

RESOLUO:

1) Razes: x2 3x 4 = 0

x1 = 1 ou x2 = 4

V1 = {x 1 x 4}

2) 1 < x 2

3 (+ 2)1 < x

5

V2 = {x 1 < x 5}

V = {x

1 < x 4}

RESOLUO:

1) 3 < < 5 . (3)

9 < 2x 1 < 15 (+ 1)

10 < 2x < 16 (: 2)

5 < x < 8

V1 = {x 5 < x < 8}2) Razes: x2 49 = 0

x1 = 7 ou x2 = 7

V2 = {x 7 x 7}

V = {x 5 < x 7}

x2 x 0

x2 1 0

x2 x

0

x2

1 0

x2 3x 4 0

1 < x 2 3

x2 3x 4

0 1 < x 2

3

2x 1

3 < < 53

x2 49 0

2x 1

3 < < 5

3

x2 49 0

2x 1

3


70/108MATEMTICA70

1. Fatorao

do trinmio do 2o

. grauSe {x1; x2} for o conjunto verdade, em , da equaoax2 + bx + c = 0, com a 0, ento a forma fatorada def(x) = ax2 + bx + c ser:

Se x1 = x2 ento a forma fatorada ser:

2. PropriedadeLembrando que a regra de sinais para a mul-

tiplicao e para a diviso a mesma, concluimos que:

f(x) > 0 f(x) . g(x) > 0g(x)

f(x) 0 f(x) . g(x) 0 e g(x) 0g(x)

f(x) < 0 f(x) . g(x) < 0

g(x)

f(x) 0 f(x) . g(x) 0 e g(x) 0g(x)

f(x) = a . (x x1)2

f(x) = a . (x x1) . (x x2)

31Inequaes tipoquociente e tipo produto Sinal da funo

Toda inequao do tipo quociente pode ser trans-formada numa inequao equivalente do tipo pro-duto.

Saiba mais

Fatorar f(x) = 2x2 10x + 12Resoluo

As razes da equao

2x2 10x + 12 = 0 sero 2 e 3 pois:

2x2 10x + 12 = 0 x2 5x + 6 = 0

5 1 x = x = 2 ou x = 3

2A forma fatorada , pois: f(x) = 2 . (x 2) . (x 3)

Resolver, em , a inequao (x 1)(x 6) > 0

RESOLUO:

(x 1) (x 6) > 0

V = {x x < 1 ou x > 6}


> 0

RESOLUO:

x 1 > 0x 6

(x 1) (x 6) > 0

V = {x x < 1 ou x > 6}

x 1x 6


71/108MATEMTICA 7

0

RESOLUO:

2x + 1

03 x

(2x + 1) (3 x)

0 e x 3

1V =

x

x < 3

2

< 0

RESOLUO:

1 < 0

(x 1) (x 3)1 . (x 1) (x 3) < 0

V = {x

1 < x < 3}

< 1

RESOLUO:

2x 1 < 1x 3

2x 1 1 < 0x 3

2x 1 (x 3) < 0

x 3x + 2

< 0x 3

(x + 2) . (x 3) < 0 V = {x 2 < x < 3}

3

RESOLUO:

x + 1

3x

x + 1 3 0x

x + 1 3x

0x

2x + 1

0x

( 2x + 1) . x

0 e x 0

1V = x 0 < x 2

x + 1

x

2x 1

x 3

1(x 1)(x 3)

2x + 1

3 x

32 Quadro de sinais Sinal da funo

ExemploResolver, em , a inequao

Resoluoa) Analisamos, separadamente, os sinais de x 1 ex2 5x + 6 utilizando o grfico de f(x) = x 1 e deg(x) = x2 5x + 6.

b) Deduzimos os sinais de pelo quadro desinais.

Assim sendo, o conjunto verdade da inequa

< 0 :

Observao

Lembrando que a regra de sinais para a multiplica

e para a diviso a mesma, concluimos que o conjunverdade da inequao (x 1) (x2 5x + 6) < 0 tambm

{x x < 1 ou 2 < x < 3}

{x x < 1 ou 2 < x < 3}x 1

x2 5x + 6

f(x)

g(x)

x 1 < 0

x2 5x + 6


72/108MATEMTICA72


0

RESOLUO:

0

x 1 0

x 1

f(x) = x2 x 6

g(x) = x 1

V = {x 2 x < 1 ou x 3}

< 0

RESOLUO:

< 0

f(x) = x2 5x + 6

g(x) = x2 5x + 4

V = {x

1 < x < 2 ou 3 < x < 4}

(x2 + 3x 2) (x2 x) < 0

RESOLUO:( x2 + 3x 2) (x2 x) < 0f(x) = x2 + 3x 2

g(x) = x2 x

V = {x

x < 0 ou x > 2}

4

RESOLUO:

4

4

0

0

0

x 0

f(x) = x2 4x 12

g(x) = x

V = {x x 2 ou 0 < x 6}

x2 4x 12

x

x2 12 4x

x

x2 12

x

x2 12

x

x2 12

x

x2 5x + 6x2 5x + 4

x2 5x + 6x2 5x + 4

x2 x 6x 1

x2 x 6

x 1

Exerccios Propostos


73/108MATEMTICA 7

FRENTE 1

Mdulo 17 Seno, cosseno e tangente notringulo retngulo

Obter x e y no tringulo da figura,

dado tg = 1,5.

A altura h, relativa ao ladoBC, vale:

a) a . sen

b) a . cos

c) b . sen

d) b . cos

e) b . tg

Um barco avista a torre de um farol segundo um ngulo de6 com o nvel do mar. Sabendo que a altura do farol de42 m, determinar a distncia do barco at o farol.

Dado tg 6 = 0,105.

Quando o sol est x acima do horizonte (ver figura), asombra de um edifcio de 80 m de altura tem que compri-mento?

Considere tg x =

a) 132 m b) 136 m c) 140 md) 142 m e) 146 m

Se um cateto e a hipotenusa de um tringulo retngmedem a e 3a, respectivamente, ento o cosseno do ngoposto ao menor lado

a) b) c) d) e) 22

Mdulo 18 Arcos notveis

(FGV) Num tringulo retngulo, a hipotenusa mede 1um ngulo mede 60. A soma das medidas dos catetos vale

a) b) c) 15(1 + 3)

d) e)

Na figura abaixo, determinar o valor de AB.

Num tringulo ABC, sabe-se que ^B = 60, ^C = 45 eAB = 4 m. Determinar a medida do lado

BC.

1017

10

1022

3

13

2

3

15(1 + 3)

4

15

4

15

2

15(1 + 3)

2

EXERCCIOS-TAREFAS


74/108

Uma escada apoiada em uma parede, num ponto que dista3 m do solo, forma, com essa parede, um ngulo de 30.

Calcular a distncia da parede ao p da escada.

O lado de um tringulo equiltero mede 6 cm. O com -primento da sua altura, em cm, :

a) 23 b) 33 c) 32 d) 42 e) 43


De acordo com os dados da figura, resolver as questes e.

O valor de x :

a) 43 b) 83 c) 12 d) 123 e) 15

O valor de y :

a) 43 b) 83 c) 12 d) 123 e) 15

Um helicptero est a 200 metros de altura, na vertical,sobre uma estrada. Na posio em que se encontra, o piloto do

helicptero enxerga um carro quebrado em uma direo queforma 60 com a vertical e, na mesma estrada, um guincho emuma direo de 30 com a mesma vertical, conforme odesenho a seguir. Sabendo que 3 1,73, a distncia aproxi-mada entre o carro quebrado e o guincho, nesse momento, igual a:

a) 230 m b) 270 m c) 320 md) 340 m e) 380 m

(FUVEST) Calcular x indicado na figura.

(UNIP) Duas rodovias, A e B, encontram-se em O,formando um ngulo de 30. Na rodovia A, existe um posto degasolina que dista 5 km de O. O posto dista da rodovia Ba) 5 km b) 10 km c) 2,5 kmd) 15 km e) 1,25 km


Um mastro vertical est instalado em um local em que oterr

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Caderno 2 Bimestre Matemc3a1tica