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1 Prof. Jesué Graciliano da Silva – Refrigeração - Câmpus São José - IFSC
CADERNO DE EXERCÍCIOS DE
MECÂNICA DOS FLUIDOS
Prof. Jesué Graciliano da Silva
São José, Agosto de 2018
https://jesuegraciliano.wordpress.com/aulas/mecanica-dos-fluidos/
2 Prof. Jesué Graciliano da Silva – Refrigeração - Câmpus São José - IFSC
APRESENTAÇÃO
Nesse caderno de exercícios serão apresentados os conceitos
básicos da área de Mecânica dos Fluidos tais como pressão, vazão e
perda de carga. Também vamos mostrar diversas aplicações na área de
refrigeração e climatização como, por exemplo, instalação de bombas
hidráulicas, tubulações de água gelada e dimensionamento de redes de
distribuição de ar, conforme ilustrado na Figura 1. Outros exemplos
práticos serão explorados durante o curso.
Figura 1 – Dutos de distribuição de ar.
O conteúdo foi preparado para tornar mais fácil o aprendizado
da disciplina. Para cada assunto apresentado foram desenvolvidos
vídeos de curta duração para estudo complementar. Basta apontar o
celular para o QR-Code impresso para abrir os vídeos indicados.
Aproveite e assista aos vídeos em seu tempo livre para compreender
melhor a matéria. Todos os vídeos estão disponíveis também no blog
https://jesuegraciliano.wordpress.com/aulas/mecanica-dos-fluidos.
Bom estudo !
Prof. Jesué Graciliano da Silva
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SUMÁRIO:
1-Introdução 5
2- Propriedades Fundamentais. 7
3-Estática dos Fluidos 15
4- Vazão 20
5-Equação da Continuidade 21
6-Equação de Bernoulli 25
7-Equação de Bernoulli Modificada 27
Anexos
Bancada de Teste de vazão 39
Bancada de Testes Hidráulicos 43
Bancada de Associação de bombas 44
Revisão de Matemática Básica 49
Exercícios Resolvidos 69
Dicas de Estudo 80
Lista de exercícios 81
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5 Prof. Jesué Graciliano da Silva – Refrigeração - Câmpus São José - IFSC
1- INTRODUÇÃO
Para começar nossa disciplina vamos apresentar um ajudante
muito especial: Mr. RAC !
Primeiramente, é preciso entender que um fluido tem como
principal característica não apresentar uma forma definida, podendo
ocupar o espaço dentro de uma vasilha (líquido) ou todo espaço
disponível (gás).
Figura 1- Ilustração da definição de um fluido
No passado cada país seguia seu sistema de medidas. Mas isso
causava muitos inconvenientes. Por isso foi criado o Sistema
Internacional de Unidades (SI) para organizar um sistema unificado
em todo o mundo.
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Apesar da unidade SI para temperatura ser o Kelvin (K), o uso
da escala Celsius é ainda bastante comum. O zero na escala Celsius
(0°C) é equivalente a 273,15 K.
Algumas grandezas típicas da área de Ciências Térmicas são
apresentadas na Tabela 1.
Tabela 1- Unidades derivadas do SI
Quantidade Nome e
símbolo
Unidade Expressão em
unidade de base do SI
Força newton (N) m.kg/s2 m.kg/s2
Pressão pascal (Pa) N/m2 kg/m.s²
Energia joule (J) N.m m².kg/s²
Potência watt (W) J/s m².kg/s³
Eventualmente, poderemos nos deparar com unidades do
sistema inglês. Como exemplo, a carga térmica (termo muito utilizado
em climatização), muitas vezes, é calculada em Btu/h (12.000 Btu/h
correspondem a 3.517 W). Os catálogos dos fabricantes de
condicionamento de ar trazem esta unidade na determinação da
capacidade de seus equipamentos. Por isso, a Tabela 2 de conversão
de fatores é bastante útil.
Tabela 2 - Fatores de conversão úteis
1 lbf = 4,448 N 1 Btu = 1055 J
1 lbf/pol² (ou psi) = 6895 Pa 1 kcal = 4,1868 kJ
1 pol = 0,0254 m 1 kW = 3413 Btu/h
1 HP = 746 W = 2545 Btu/h 1 litro (l) = 0,001 m³
1 m3 = 1000 litros
1 kcal/h = 1,163 W 1 TR = 3517 W (tonelada de
refrigeração)
1 atm = 14,7 lbf/pol2 (ou psi) 12000 Btu/h = 1 TR = 3,517kW
Exemplo: Converta 20 cm3 para m
3 e para litros.
1m = 100cm logo 1m3 = 100.100.100cm
3 Fazendo a regra de 3:
1.000.000 cm3 = 1m
3 Então
20cm3 = x m
3 Logo: x=0,00002m
3
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2- PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS:
A Massa específica (ρ) ou densidade de uma substância é
definida como a relação entre a MASSA e o VOLUME. Sua Unidade
é kg/m3 .
Figura 2- Definição de densidade
Um corpo pode ter grande volume e possuir pouca massa,
como é o caso dos isolantes térmicos. Já há substâncias que têm
pequeno volume, mas possuem elevada massa. Estas substâncias têm
então uma densidade elevada. Como exemplo, lembramos que a
relação entre a massa e o volume de um navio é inferior à da água e
por isso os navios flutuam como uma rolha de cortiça é capaz de fazê-
lo num copo d’água.
Exemplo: Qual a densidade de um corpo que tem 12.000.000kg
e um volume de 15.000 m3?
Veja que nesse caso basta dividir a massa pelo volume para
obtermos o valor da densidade como sendo de 800 kg/m3.
3
3/800
000.15
000.000.12mkg
m
kg
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Tabela 3- Massas específicas aproximadas (Temperatura ambiente)
Material Massa específica [kg/m3]
Aço 7600
Óleos 800
Alumínio 2700
Mercúrio (Hg) 13600
Água no estado líquido 1000
O ar tem sua densidade variando com a pressão e com a
temperatura. A equação para calcular a densidade do ar seco é
mostrada a seguir. Para a pressão atmosférica utilizamos pa = 101325
Pascals. Lembre-se que para converter CELSIUS para KELVIN é
preciso somar o valor de 273,15. Então, para 20oC, a Temperatura em
Kelvin é de 293,15 K.
Exemplo: Qual a densidade de um bloco de gelo de 2m x 2m x 1m e
que tem uma massa de 3.600kg?
Nesse caso, o volume do bloco de gelo é: V = 2. 2. 1 = 4 m2
Considerando a massa dada de 3.600 kg temos que a densidade é:
3
3/900
4
3600mkg
m
kg
Para saber mais assista aos vídeos indicados posicionando seu celular sobre a imagem:
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conhecimentos
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A Pressão: é a relação entre a força aplicada sobre um corpo e
a área de atuação da mesma. Por isso a pressão tem unidade
“PASCAL” (N/m2).
Figura 3- Definição de pressão.
Nesse caso, o peso do armário é distribuído de forma diferente
sobre o piso. A Área de contato 1 é de 2m2
e a Área de contato 2 é de
0,6m2. O Peso do armário nas duas situações é o mesmo (Peso = m.g).
Quanto menor a área de aplicação da força, maior a pressão. Então a
maior pressão sobre o solo ocorre no caso do armário em pé, onde a
área de contato é menor.
2
1
1 100000,2
10.200.
m
N
A
gmp e
2
2
2 333360,0
10.200.
m
N
A
gmp
A pressão é uma propriedade importante na área de
refrigeração. Ela define, por exemplo, se o fluido refrigerante estará
na fase líquida ou de vapor. Quanto menor a pressão, mais fácil o
fluido se evapora. Por isso no evaporador a pressão é menor que no
condensador. A pressão também aparece nos dutos de climatização. O
ventilador de um self-contained ligado a um duto precisa garantir que
A força
PESO é
calculada
pelo produto
da massa x
aceleração
gravitacional
“g”. O valor
de “g” é de
9,806 m/s2.
Para facilitar
os cálculos
nessa
disciplina
usaremos
g=10m/s2.
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a pressão de saída do fluido seja suficiente para vencer a perda de
pressão que ocorre durante o escoamento.
Para se medir pressão foram criados diversos instrumentos
como o barômetro, os manômetros e os transdutores de pressão. O
barômetro foi criado em 1643 pelo italiano Evangelista Torricelli.
Ele utilizou o mercúrio para estimar que a pressão atmosférica
era correspondente à 760mm de Hg. Para os problemas envolvendo
mecânica dos fluidos utilizamos a densidade do Hg como sendo
13.600kg/m3.
A Pressão atmosférica – patm é a pressão exercida pela
atmosfera terrestre. Ela é o resultado do peso da camada de ar
atmosférico sobre a superfície terrestre.
A pressão atmosférica padrão (condições normais de
temperatura e pressão) ao nível do mar é aproximadamente 101 kPa.
patm = 101 kPa = 1 atm = 760 mmHg
Os manômetros de Bourdon são muito utilizados para medir a
pressão manométrica dos fluidos refrigerantes (Figura 4). Nesse caso,
os valores medidos devem ser somados à pressão atmosférica para
obtenção da pressão absoluta dentro de um tanque.
Figura 4 – Ilustração de um manômetro de Bourdon.
A pressão
atmosférica varia
com a altitude. Ao
nível do mar nas
CNTP seu valor é
de 101325
Pascals.
Para facilitar os
cálculos
utilizaremos o
valor da pressão
atmosférica como
sendo 101 kPa.
Lembre-se que
1 kPa = 1000 Pa
11 Prof. Jesué Graciliano da Silva – Refrigeração - Câmpus São José - IFSC
Suponha que um manômetro indique uma pressão de 76psi.
Nesse caso, para encontrarmos a pressão no Sistema Internacional de
Unidades é preciso fazer a conversão com uma regra de três.
kPaxpsi
kPapsi
76
1017,14
Logo a pressão manométrica do fluido dentro do cilindro é de
aproximadamente 524 kPa. Sua pressão absoluta será então de
aproximadamente 625 kPa (pabsoluta =524 kPa + 101 kPa).
A pressão absoluta é utilizada na maioria das análises
termodinâmicas, entretanto, a maioria dos manômetros indica a
diferença entre a pressão absoluta e a atmosférica, diferença esta
chamada de pressão manométrica.
O esquema representado na Figura 5 ilustra a diferença entre a
pressão absoluta e a pressão manométrica.
Figura 5- Ilustração de diferentes níveis de pressão.
Na Figura 6 mostramos uma configuração conhecida como
TUBO DE VENTURI, que nada mais é que uma contração do
escoamento para medição da velocidade do fluido. Nas paredes da
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tubulação são instalados manômetros para obtenção da diferença de
pressão entre a entrada e o meio do Tubo de Venturi.
Figura 6- Configuração de um Tubo de Venturi.
A equação para obtenção da velocidade do fluido a partir da
medida “h” é mostrada a seguir:
A variável “BETA” (β) é a relação entre o diâmetro da garganta
do Venturi e seu diâmetro de entrada. A variável “DELTA P” (DP) é a
pressão obtida em Pascal a partir da leitura de “h”. A densidade “ρ” é
a do fluido escoando.
Como exemplo, suponha que BETA = 0,7 e que a variação de
pressão medida seja de 12 mmHg (0,012m). Considere escoamento de
água, cuja densidade é de 1.000kg/m3. Nesse caso, o valor de DP será
de 1632 Pascals (13.600kg/m3 x 10m/s
2 x 0,012m) e a Velocidade 2
será estimada em: 2 m/s.
Observe que precisamos converter a medida lida no manômetro
de coluna para a pressão em Pascal. Isso é conseguido multiplicando-
se a densidade do Hg (13.600kg/m3) pelo valor da aceleração
gravitacional “g” (10m/s2) e pelo valor da altura em metros (0,012m).
Posteriormente vamos explicar o motivo dessa multiplicação.
A densidade
do Mercúrio
(Hg) é de
13.600 kg/m3
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Outra forma de se medir a velocidade do ar em um determinado
ponto do escoamento é com uso de um TUBO DE PITOT.
O PITOT mede a pressão de velocidade, que é a diferença entre
a PRESSÃO TOTAL E A PRESSÃO ESTÁTICA (Figura 7).
A pressão estática é a pressão que o fluido exerce nas paredes
da tubulação. Um tanque de pressão sempre terá uma pressão estática.
A pressão de velocidade só existe em fluidos em movimento.
Figura 7 – Ilustração da utilização de um Tubo de Pitot.
Como exemplo, suponha que “Dh” seja medido como sendo
5mmHg. Se o escoamento é de ar (ρ=1,2 kg/m3), é possível determinar
a velocidade como sendo de 33 m/s por meio da equação:
Para saber mais assista ao vídeo indicado:
14 Prof. Jesué Graciliano da Silva – Refrigeração - Câmpus São José - IFSC
Exercícios de Aplicação:
1- Seja um Tubo de Venturi, onde foi instalado um manômetro de
coluna para obtenção da pressão de sua entrada e de seu meio. Dentro
do tubo tem-se o escoamento de ar. Nesse caso, considerando que a
leitura da coluna da entrada do Venturi seja de 60mmca e que a leitura
da coluna do meio do Venturi (no estrangulamento do escoamento)
seja de 20mmca, qual será a velocidade de ar dentro da tubulação?
2- Um tubo de PITOT é utilizado para medir a velocidade de ar dentro de
um duto de climatização. A pressão total foi lida como sendo 500 Pascals. A
pressão estática na parede foi lida como sendo 250 Pascals. Nesse caso, qual
é a velocidade estimada para o escoamento?
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conhecimentos.
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3- ESTÁTICA DOS FLUIDOS
A Estática dos fluidos é a área da física onde são estudados os
fenômenos relacionados aos fluidos parados. Ou seja, podemos
utilizar o conhecimento da estática dos fluidos para determinar
pressões atuando nas paredes de uma piscina, em uma comporta de
uma barragem, as forças atuando em um sistema hidráulico ou o
empuxo provocado por corpos submersos. Vamos nos concentrar no
estudo de três princípios: de Stevin, Pascal e de Arquimedes.
Stevin demonstrou que a pressão que atua em um ponto do
fluido situado a uma dada profundidade é calculada pela equação a
seguir, somando-se a pressão atmosférica que atua sobre a superfície
do fluido. A patm pressão atmosférica (ao nível do mar esse valor é de
101,325 kPa). Na Figura 8, “h” é a profundidade e “ρ” é a densidade
do fluido. A pressão no ponto B pode ser calculada pela expressão:
pB = patm + ρ . g. h
Figura 8- Pressão em um ponto dentro do fluido.
Na Figura 9 mostramos que a pressão em uma determinada
profundidade do fluido é independente da área ou formato do
recipiente.
16 Prof. Jesué Graciliano da Silva – Refrigeração - Câmpus São José - IFSC
Figura 9- Pressão no fundo de um recipiente.
Como exemplo, lembramos que em um mergulho tem-se o
aumento de 1 atmosfera de pressão a cada 10m de profundidade.
Então, a 10m de profundidade uma pessoa estará a 2 atmosfera (soma
da pressão atmosférica + a pressão da coluna de 10m de água).
Stevin também mostrou que para um mesmo fluido, as pressões
em um mesmo nível de profundidade são iguais. Como exemplo,
observe na Figura 10. A pressão em A deve ser igual à pressão em C.
Figura 10- Aplicação do Princípio de Stevin.
A pressão no ponto C é igual à pressão atmosférica somada
com a pressão decorrente da coluna de fluido dentro do manômetro de
coluna. A densidade do fluido Hg é de 13.600kg/m3. Se a distância
entre os pontos C e B é de 5mmHg (Dh) temos:
pC = 101325 + (13600 . 10 . 0,005) = 101325 + 680 Pascals.
17 Prof. Jesué Graciliano da Silva – Refrigeração - Câmpus São José - IFSC
Para saber mais assista aos vídeos indicados posicionando seu celular sobre o QR-Code:
Pascal demonstrou que incrementos de pressões são
transmitidos através dos fluidos. As aplicações mais comuns deste
princípio são os elevadores para carros, os freios hidráulicos e todos
os sistemas hidráulicos e pneumáticos utilizados nas indústrias.
Observe que uma pequena força aplicada em um fluido na área menor
provoca um incremento de força muito maior na área maior (Figura
8). Ou seja, a partir dessa informação podemos projetar equipamentos
capazes de aplicar forças grandes, com um pequeno esforço. Os
elevadores hidráulicos e freios dos automóveis, por exemplo, seguem
o Princípio de Pascal. Observe a Figura 11 e aponte seu celular sobre o
QR-Code para saber mais sobre o assunto:
Figura 11- Aplicação do Princípio de Pascal
Já Arquimedes foi o matemático grego que descobriu o
princípio do EMPUXO, utilizado até hoje para inúmeras aplicações
como, por exemplo, o projeto de embarcações.
18 Prof. Jesué Graciliano da Silva – Refrigeração - Câmpus São José - IFSC
Um corpo imerso em um fluido desloca uma dada quantidade
deste fluido, e isso provoca uma força para cima chamada de
EMPUXO (E) conforme mostrado na Figura 12. O empuxo pode ser
calculado pela equação:
Empuxo = ρfluido . Vimerso . g
Figura 12- Ilustração de um corpo flutuando sobre a água.
Na Figura 10 é possível observar que se o corpo está em
equilíbrio a Força Peso para baixo deve ser igual à força de Empuxo
para cima. De forma simplificada, considerando que para a água a
densidade do fluido é 1000 kg/m3, podemos escrever:
Vcorpo . ρcorpo = 1000 . Vimerso
Exemplo:
Uma viga de madeira de comprimento 3m e secção transversal
de 50cm x 50cm flutua sobre a água. Considerando-se que sua
densidade é de 800kg/m3 qual é o volume que fica fora da água?
Solução:
Como o corpo está em equilíbrio tem-se que:
Empuxo = Peso
Faça a Auto
Avaliação a
seguir para
testar seus
conhecimentos:
19 Prof. Jesué Graciliano da Silva – Refrigeração - Câmpus São José - IFSC
Vcorpo . ρcorpo = 1000 . Vimerso
(3m x 0,5m x 0,5m) . 800 kg/m3 = 1000 . Vimerso
Vimerso = 0,75.800/1000 Vimerso = 0,6m3
Nesse caso, o Volume total da madeira é de 0,75m3. Então o
Volume fora da água é o Volume total (0,75m3) menos o Volume
imerso (0,6m3), que resulta em 0,15m
3.
Para saber mais assista aos vídeos indicados posicionando seu celular sobre o QR-Code:
20 Prof. Jesué Graciliano da Silva – Refrigeração - Câmpus São José - IFSC
4- VAZÃO
A vazão de um fluido é um dos conceitos mais importantes na
área de climatização. Pode ser definida como o volume de fluido
deslocado em um determinado tempo, conforme ilustrado na Figura
13. As unidades de vazão mais comuns são litros por minuto, metros
cúbicos por segundo e metros cúbicos por hora.
Figura 13 – Conceito de Vazão
Exemplo:
Uma piscina de 8m de largura, por 4m de largura e 2m de
profundidade precisa ser cheia com uma mangueira em um intervalo
de tempo de 8 horas. Qual será a vazão necessária da mangueira?
Solução:
Nesse exemplo temos que calcular primeiro o volume da
piscina que é: Volume = 8m.4m.2m=64m3. Considerando que em 1
m3 cabem 1000 litros de água podemos afirmar que nessa piscina
cabem 64.000 litros de água. Se a piscina precisa ser cheia em 8
horas, podemos dizer que a vazão necessária na mangueira é de 8000
litros por hora ou ainda 8m3/hora.
Para saber mais assista ao vídeo indicado posicionando seu celular sobre o QR-Code:
Faça a Auto
Avaliação
indicada a
seguir:
21 Prof. Jesué Graciliano da Silva – Refrigeração - Câmpus São José - IFSC
5- EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
A equação da continuidade é uma forma de expressar a
conservação da massa. Em regime permanente ela estabelece que: “a
vazão mássica total de um fluido entrando no sistema em análise será
igual àquela que está saindo, apesar da área da seção transversal poder
ser diferente.”
Na Figura 14 tem-se que
V1 . A1 = V2 . A2
V = Velocidade do ar e A = área da secção do duto.
Figura 14- Ilustração do princípio da continuidade
A Equação da Continuidade é utilizada no dimensionamento de
rede de dutos de distribuição de ar (Figura 15).
No exemplo mostrado a seguir, considere que no trecho AB a
vazão seja de 7200m3/h. No trecho BC de 3200 m
3/h e no trecho BD
de 4000m3/h. Considerando a velocidade do ar é fixa em 5m/s em
todos os trechos e altura dos dutos como sendo 40 cm, qual é a largura
de cada trecho de duto? Assista ao vídeo indicado ao lado da Figura
15.
22 Prof. Jesué Graciliano da Silva – Refrigeração - Câmpus São José - IFSC
Figura 15- Ilustração de um duto de distribuição de ar.
Para resolver essa questão construímos uma tabela de cálculos.
É importante converter a vazão para a unidade de metros cúbicos por
segundo. Para isso basta dividir m3/h por 3600.
Trecho Vazão
(m3/h)
Vazão
(m3/s)
V
(m/s)
A
(m2)
Duto (m x m)
AB 7200 2,00 5 0,40 1,00 x 0,40
BC 3600 1,00 5 0,20 0,50 x 0,40
BD 4000 1,11 5 0,22 0,55 x 0,40
A área da secção transversal dos dutos é dimensionada dividindo-se a
vazão pela velocidade. Com a área e a altura (que foi dada no
enunciado) é possível se obter a largura do duto.
Exercício indicado 1:
Dimensione a rede de dutos mostrada Na Figura 16 pelo
método da velocidade. Considere a Velocidade do ar em todos os
trechos como sendo 4m/s. As alturas dos dutos são 0,35m, 0,30m,
0,25m e 0,20m nos trechos AB, BC, CE e CD respectivamente. Se os
trechos AB, BC, CE e CD possuem comprimentos de 6m, 10m, 3m e
5m respectivamente, qual é a massa de chapas necessária para
23 Prof. Jesué Graciliano da Silva – Refrigeração - Câmpus São José - IFSC
construção dos dutos? A vazão em cada boca de insuflamento é de
1400m3/h. Assista ao vídeo indicado ao lado da Figura 16.
Figura 16- Ilustração de uma rede de dutos de climatização.
Trecho Vazão (m
3/h)
Vazão (m
3/s)
Vel (m/s)
Área (m
2)
Larg (m)
Alt (m)
AB
BC
CD
CE
Para calcular a massa de chapas de aço, considere a densidade
do aço como sendo 7.600 kg/m3 e a espessura da chapa como sendo
de 0,79mm.
Exercício indicado 2:
Dimensione a rede de dutos mostrada na Figura 17 pelo método
da velocidade. Considere a Velocidade do ar em todos os trechos
como sendo 5m/s. As alturas dos dutos são indicadas na tabela. A
vazão em cada boca de insuflamento é de 900m3/h.
24 Prof. Jesué Graciliano da Silva – Refrigeração - Câmpus São José - IFSC
Figura 17- Ilustração de uma rede de dutos de climatização.
Trecho Vazão (m
3/h)
Vazão (m
3/s)
Vel (m/s)
Área (m
2)
Largura (m)
Altura (m)
AB 0,40
BC 0,30
CD 0,20
BE 0,30
EF 0,20
3- Exercício indicado 3:
Na instalação de climatização mostrada na Figura tem-se uma
ocupação de 5 pessoas. Se o equipamento split system está insuflando 3400
m3/h de ar no ambiente e a taxa de renovação de ar é de 27m
3/h por pessoa,
então qual é a vazão de ar de retorno?
Figura 18- Ilustração de uma rede de dutos de climatização.
25 Prof. Jesué Graciliano da Silva – Refrigeração - Câmpus São José - IFSC
6- EQUAÇÃO DE BERNOULLI
A equação de Bernoulli é fundamental para a análise de
escoamento de fluidos em canalizações. Considere o escoamento
através de um duto entre os pontos 1 e 2 mostrado na Figura 19.
Figura 19- Ilustração do escoamento de um fluido
Em geral, consideramos que não há variações de densidade do
fluido durante o escoamento, nesse caso ele é chamado de escoamento
incompressível e pode ser descrito pela equação a seguir.
Onde “p” é a pressão absoluta (Pa), “ρ” é a densidade (kg/m3),
“z” é a elevação do fluido (m) em relação a uma referência e “V” é a
velocidade (m/s).
Observe que a unidade (m/s)2
é uma forma diferente de se
escrever a unidade de energia Joule. Essa equação foi escrita
considerando-se que as soma das energias de pressão, cinética e
potencial no ponto 1 é igual a soma das energias no ponto 2.
Podemos aplicar a equação de Bernoulli para uma linha de
corrente que liga o ponto 1 e 2 de um escoamento. Uma aplicação
simples dessa equação é para descobrirmos qual é a velocidade da
26 Prof. Jesué Graciliano da Silva – Refrigeração - Câmpus São José - IFSC
água que escoa através de um furo na lateral inferior de um tanque
(Figura 20). Para tanto, a equação é simplificada porque o ponto 1
estão sobre a superfície (p1 = patm), o ponto 2 é na saída (p2=patm). A
velocidade no ponto 1 é próxima de zero, o que é uma boa suposição
se o tanque for grande.
Figura 20 Aplicação do escoamento de fluido por um orifício
Observamos que nesse caso colocamos nossa referência de cota
no nível do ponto 2. Dessa forma z1= h. A pressão de 1 é a da
atmosfera. Como em 2 o fluido está escoando na forma de um jato
livre, sua pressão também é a da atmosfera. Estes dois termos se
anulam na equação de Bernoulli. A cota de 2 é zero, ou seja, z2=0. A
velocidade do fluido no ponto 1, que fica na superfície livre do tanque,
é praticamente zero. Logo, a equação ficou simplificada e V2 é
calculada da seguinte forma:
Conheça um
pouco mais
sobre a
contribuição
de Daniel
Bernoulli
27 Prof. Jesué Graciliano da Silva – Refrigeração - Câmpus São José - IFSC
7- EQUAÇÃO DE BERNOULLI MODIFICADA
Na prática os escoamentos nas tubulações sofrem o efeito do
atrito do fluido com as paredes internas. Ou seja, há perda de carga.
Nesse caso a equação de Bernoulli deve ser reescrita da seguinte
forma:
Onde De, cuja unidade é m2/s
2, representa a perda de energia no
escoamento por atrito, um dos nossos maiores problemas a serem
resolvidos. Há diversas tabelas que fornecem perdas de carga para
diferentes tipos de materiais e de acessórios (válvulas, curvas, tubo
reto etc). Há uma forma simples para avaliar a perda de carga nas
tubulações. Cada acessório provoca um acréscimo de comprimento
equivalente.
Após determinar o comprimento equivalente total, basta utilizar
o Diagrama de Moody (Disponível na página 31) para obter o fator de
atrito e por consequência a perda de carga total. No diagrama é preciso
primeiro calcular o número de Reynolds e conhecer a rugosidade do
material. Para dutos de ar pode-se adotar a aproximação de tubo liso.
Para dutos retos podemos calcular a perda de energia entre dois
pontos distantes a uma distância L um do outro da seguinte forma:
Nessa equação, “f” – fator de atrito, é determinado em função
do número de Reynolds e da rugosidade da tubulação (e/D). Observe
que υ = viscosidade cinemática.
28 Prof. Jesué Graciliano da Silva – Refrigeração - Câmpus São José - IFSC
A rugosidade o ferro fundido é aproximadamente 0,5mm, do
cobre 0,0015mm, do aço galvanizado 0,15mm. Para escoamentos
laminares, isto é para Reynolds menores que 2300, f = 64/Re. Para os
demais escoamentos devemos utilizar o diagrama de Moody para
obtenção do fator de atrito.
A presença de obstáculos ao escoamento pode ser traduzida em
um acréscimo do comprimento equivalente das tubulações. Assim
sendo, há tabelas que apresentam o quanto cada acessório (válvulas,
curvas etc) acrescentam de comprimento ao trecho reto já existente da
tubulação, conforme o diâmetro (Figura 21).
Figura 21- Comprimento equivalente de tubulação.
Para uma tubulação de 32mm, a passagem por uma válvula de
retenção é o mesmo que o fluido percorrer 4m de tubulação reta. Se o
fluido atravessar uma válvula de globo, a perda de carga é a mesma
que percorrer 15m de tubulação reta. E assim por diante.
A viscosidade
cinemática da
água é de 1 x
10-6
m2/s
Esse valor
pode ser escrito
como 0,000001
m2/s.
29 Prof. Jesué Graciliano da Silva – Refrigeração - Câmpus São José - IFSC
Em aplicações envolvendo o uso de uma bomba para
deslocamento do fluido, a equação de Bernoulli passa a ser utilizada
da seguinte forma:
Todos os termos da equação acima tem como unidade (m/s)2. A
grandeza wB multiplicada pelo fluxo de massa, .m , origina o termo
BW pois: BB wmW Cujas unidades são:
O fluxo de massa é calculado pelo produto da vazão pela
densidade do fluido. A Potência da bomba pode ser determinada da
seguinte equação:
Exemplo 1
Considere que a tubulação tenha diâmetro interno de 32mm e
que a velocidade da água no seu interior seja de 4m/s. As curvas e
válvulas (retenção, globo e de crivo) acrescentam 20m de
comprimento equivalente. Na Figura 22, considere C = 6m, B=3m e
A=2m. A soma das medidas de tubulação horizontal “Dhor” é de 7m.
Para resolver essa questão identificamos inicialmente os pontos
1 e 2 localizados nas superfícies dos reservatórios. Vamos aplicar a
30 Prof. Jesué Graciliano da Silva – Refrigeração - Câmpus São José - IFSC
equação de Bernoulli modificada entre esses dois pontos. Como
hipóteses simplificativas consideraremos que V1=V2= ZERO e que
p1=p2=pressão atmosférica. Consideraremos também que Z1=zero.
Figura 22- Aplicação da equação de Bernoulli modificada
Então, a equação de Bernoulli modificada pode ser simplificada
conforme mostrado a seguir:
Que origina uma equação bem mais simples:
Na equação acima, tem-se que g = 10m/s2, z2 = B+C=9m. O
fluxo de massa (“m ponto”) é calculado a partir da vazão. A vazão é
encontrada multiplicando-se a velocidade de escoamento pela área da
secção transversal interna da tubulação.
smms
mVAZÃO /0032,0
4
032,0.14,3.4 32
2
Considerando que 1 m3 tem 1000 litros, o fluxo de massa é de
3,2 litros por segundo ou 3,2kg/s.
Assista ao
vídeo para
entender
melhor o
funcionamento
de uma bomba
hidráulica:
31 Prof. Jesué Graciliano da Silva – Refrigeração - Câmpus São José - IFSC
O número de Reynolds é calculado em aproximadamente 1,3 x 106.
5103,11280000000001,0
032,0.4Re x
No Diagrama de Moody (Figura 23) obtemos para TUBOS
LISOS o valor de “f” – fator de atrito – como sendo de 0,016.
Figura 23- Obtenção do fator de atrito
Com o valor do fator de atrito “f” =0,016 e com o comprimento
total de tubulação (L = comprimento dos tubos retos + comprimento
equivalente dos acessórios = 18m + 20m = 38m) encontramos o valor
de De (m2/s
2).
2
22
152032,0.2
4.38.016,0
s
me
Finalmente a potência da bomba em Watts pode ser
determinada substituindo-se os valores na equação:
Logo: WW 7741529.10.2,3
Ou seja, o cálculo teórico resulta em aproximadamente 1CV.
Ressaltamos que esse é um cálculo teórico e não considera a eficiência
da bomba e de seu motor.
32 Prof. Jesué Graciliano da Silva – Refrigeração - Câmpus São José - IFSC
Nos catálogos é comum utilizar a Vazão e a Altura
manométrica (Hman) para seleção do equipamento mais adequado.
Como De =152m2/s
2, a altura manométrica Hman é de 15,2m,
que é igual a De/g, onde “g” é a aceleração gravitacional = 10 m/s2.
Diagrama de Moody
Figura 24– Diagrama de Moody
Para um tubo de PVC com 32mm de diâmetro devemos
adicionar um comprimento equivalente de 1,5m para cada joelho,
0,3m para registro de gaveta aberto, 15m para cada registro de
globo aberto, 3,10m para válvula de pé e mais 1,3m para a saída
da canalização.
33 Prof. Jesué Graciliano da Silva – Refrigeração - Câmpus São José - IFSC
Exemplo2:
Calcular a potência da bomba para elevação da água até o
reservatório superior. Considere a velocidade do fluido no ponto 2
como sendo 5m/s.
BOMBA
VG
VG
VP
PVC 75mm
AÇO50mm
ÁGUA
2m
2m V2= 5m/s
1m 1m
1m
2m
10m
3m VR
RESERVATÓRIO SUPERIOR
Figura 25- Esquema do sistema de bombeamento.
Para definirmos as perdas de carga, considere que as curvas e
válvulas acrescentam um comprimento equivalente de trecho reto da
seguinte forma:
Na sucção, para o diâmetro da tubulação de 75mm tem-se os
seguintes acréscimos de comprimento equivalente: Os valores foram
determinados em ábacos (anexo).
1- válvula de pé = 20m
2- curva = 1,6m
3- válvula globo = 26m
4- trecho reto = 5m
Total de comprimento equivalente no trecho 1 – sucção = 52,6m.
34 Prof. Jesué Graciliano da Silva – Refrigeração - Câmpus São José - IFSC
Para depois da bomba, onde o diâmetro da tubulação é de
50mm tem-se os seguintes acréscimos de comprimento equivalente:
1- 3 curvas = 3,3m
2- Válvula globo = 17,4m
3- Válvula de retenção = 4,2m
4- Saída = 1,5m
5- Trecho reto = 17m
Total de comprimento equivalente no trecho 2 – após a bomba =
43,4m.
O problema deve ser iniciado calculando-se a velocidade da
água na sucção. Isso é simples, pois a massa se conserva e desta
forma:
sm
A
AVVAVAV 22,2
4
75.
4
50.
5.
.....2
2
1
221222111
Com a velocidade V1 calcula-se o número de Reynolds. Com o
número de Reynolds e a rugosidade do tubo, obtém-se o fator de atrito
f no Diagrama de Moody (anexo).
5
610655,1
10006,1
075,022,2.Re
DV
TUBO 1 – PVC liso – f~0,016 no Diagrama de Moody.
A perda de energia na sucção é determinada da forma:
2
222
7,27075,0.2
22,2.6,52.016,0
2 s
m
D
VLfe
s
sucção
35 Prof. Jesué Graciliano da Silva – Refrigeração - Câmpus São José - IFSC
Para o recalque com a velocidade de 5m/s, calcula-se o número
de Reynolds e com a rugosidade do material – aço cujo e/D=0,003
obtém-se o novo fator de atrito f = 0,026 no Diagrama de Moody.
5
610485,2
10006,1
05,05.Re
DV
Dessa forma, a perda de energia no recalque é dada por:
2
222
1,28205,0.2
5.4,43.026,0
2 sm
D
VLfe
r
recalque
A perda de energia total é a soma da perda de carga na sucção e
no recalque:
22 /310 sm=Δe+Δe=Δe recalquesucçãototal
O fluxo de massa de água é obtido pela equação:
skgD
Vm 8,94
1000
2
11
A equação para o cálculo da potência da bomba é simplificada
da seguinte forma:
CV=kW=W=+=Δe+gh+V
m=W total2B 64,54508310.9,8.142
59,8.
2
22
A seguir, mostramos como fazer a seleção de uma bomba
hidráulica a partir de um catálogo. O que se busca é um ponto ótimo
entre a curva da bomba e da tubulação, conforme ilustrado na Figura
26.
36 Prof. Jesué Graciliano da Silva – Refrigeração - Câmpus São José - IFSC
Figura 26- Ponto de operação de um sistema de bombeamento
Para seleção em catálogo é importante entrar com a vazão de
escoamento e com a ALTURA MANOMÉTRICA (Hman) das bombas
hidráulicas. A Hman é a soma da altura geométrica com Hf referente às
perdas de pressão durante o escoamento. Lembre-se que Hf é obtido
pela divisão de “De” (m2/s
2) pela aceleração gravitacional “g” (m/s
2).
Figura 27– Definição da altura manométrica
Com a vazão de bombeamento em metros cúbicos por hora e a altura
manométrica é possível encontrar a família de bomba mais adequada para a
rotação de interesse. Como exemplo, suponha que um sistema de
bombeamento tenha vazão de 25m3/h e altura manométrica de 60m.
37 Prof. Jesué Graciliano da Silva – Refrigeração - Câmpus São José - IFSC
Nesse caso, encontramos no catálogo de um determinado fabricante
que a família mais adequada para esse escoamento é a “32 – 200”. Ou seja,
diâmetro do recalque (após a bomba) de 32 mm e diâmetro do rotor de
aproximadamente 200mm.
Figura 28- Determinação do tipo de bomba hidráulica.
Com essas informações, para a família 32-200 obtemos a eficiência
da bomba como sendo de aproximadamente 52% nas isocurvas de
eficiência.
Figura 29- Determinação da potência de bombeamento em CV.
38 Prof. Jesué Graciliano da Silva – Refrigeração - Câmpus São José - IFSC
Com o diâmetro do rotor (186mm) é possível estimar a potência da
bomba em 10CV.
Na literatura especializada há uma expressão matemática
aproximada para o cálculo da potência da bomba em CV:
.75
)(./.1000)(
3 mHsmVazãoCVPotência man
Se o rendimento (h) da bomba calculada no exemplo 2 fosse de
60%, a potência da bomba hidráulica em CV seria:
CV
ms
m
CVPotência 7,650,0.75
)(31.0098,0.1000
)(
3
No exemplo 2, De era de 310m2/s
2. Por isso a Altura manométrica
utilizada na equação acima foi de 31m, que é o resultado da divisão de 310
pela aceleração gravitacional “g = 10m/s2”.
Para saber mais, assista aos vídeos explicativos sobre dimensionamento de
bombas hidráulicas.
39 Prof. Jesué Graciliano da Silva – Refrigeração - Câmpus São José - IFSC
ANEXOS:
ANEXO 1 - BANCADA DE TESTE DE VAZÃO
1- Descrever a bancada
2- Determinar a vazão de escoamento
3- Construir a curva do ventilador e da tubulação
4- Avaliar os possíveis erros de medição
Figura 30 – Foto da Bancada de Testes de Vazão de Ar
Aponte seu celular para o QR-Code para assistir ao vídeo explicativo:
Ou digite no Youtube: Bancada de vazão
https://youtu.be/BAoXJV0mih0
40 Prof. Jesué Graciliano da Silva – Refrigeração - Câmpus São José - IFSC
DESCRIÇÃO DO FUNCIONAMENTO DA BANCADA:
1- TUBO DE VENTURI
O tubo de Venturi é muito utilizado para obtenção da velocidade de
escoamentos. Sua configuração é mostrada na Figura, onde se tem uma
contração de secção seguida de uma expansão suave que provoca uma
diferença de pressão proporcional à velocidade do fluido.
Modelo teórico:
41 Prof. Jesué Graciliano da Silva – Refrigeração - Câmpus São José - IFSC
As medidas obtidas nos manômetros do ventilador e do Venturi estão
na unidade mmca (milímetros de coluna de água). Para obter o valor em
Pascal, deve-se multiplicar por 10. Para a bancada em questão tem-se: para T = 29
oC, β = 0,70, D da
garganta = 0,049m e Diâmetro da Tubulação = 0,070m. A massa específica
do ar é de 1,16kg/m3. Nesse caso, também é possível se determinar a vazão
por uma equação simplificada:
Onde K = 0,00281 se a unidade desejada da vazão for na unidade
metros cúbicos por segundo e K=10,12 se a unidade desejada da vazão for
em metros cúbicos por hora.
Exemplo: Para variação de pressão de 128mmca tem-se uma
variação de pressão em Pascal = 128 x 10 = 1280 Pascals.
Logo: Vazão = 362 m3/h.
∆ Pressão
mmca
∆ Pressão
em Pascal
Vazão calculada
m3/h
128 1280 362
67 670 262
37 370 195
7 70 85
Com as vazões encontradas é possível traçar a curva do ventilador.
Para tanto é preciso medir o diferencial de pressão do ventilador e o
diferencial de pressão do Tubo de Venturi.
Diferencial de pressão no ventilador
Diferencial de pressão no
VENTURI
Vazão calculada em m
3/h.
930 Pascals 1280 362
1190 Pascals 670 262
1300 Pascals 370 195
1360 Pascals 70 85
42 Prof. Jesué Graciliano da Silva – Refrigeração - Câmpus São José - IFSC
Variando-se a rotação do ventilador é possível traçar as curvas
indicadas na Figura.
2- TUBO DE PITOT
Para obtermos o perfil de velocidades do ar dentro da tubulação é
possível regular a posição da medição do Tubo de PITOT.
P total – P estática = Pressão dinâmica
A vazão é determinada pela multiplicação da velocidade de
escoamento pela área da secção de passagem do ar.
43 Prof. Jesué Graciliano da Silva – Refrigeração - Câmpus São José - IFSC
ANEXO 2 – BANCADA DE PERDA DE CARGA
A bancada de perda de carga permite comparar a perda de energia
teórica e experimental entre 2 pontos do escoamento.
Primeiramente, os estudantes devem descrever e medir os
componentes da bancada. Depois devem ler a vazão no
rotâmetro, aplicar a equação de Bernoulli entre os pontos 1 e 2 e
avaliar a perda de energia.
Figura – Ilustração esquemática da bancada de hidráulica.
Digite no youtube: Aula prática - Bancada de Hidráulica -
Mecânica dos Fluidos – RAC. Após assistir ao vídeo, responda:
a) Qual é a área de passagem da água (m2)?
b) Qual é a velocidade de escoamento da água (m/s)?
c) Qual o fator de atrito do escoamento
(Re = Veloc . D / 1 x 10-6
)?
d) Qual é a pressão absoluta da água na sucção da bomba (Pa)?
e) Qual é a perda de energia real entre os pontos 1 e 2?
f) Qual é o comprimento equivalente entre os pontos 1 e 2?
g) Qual é a perda teórica de energia do escoamento?
44 Prof. Jesué Graciliano da Silva – Refrigeração - Câmpus São José - IFSC
ANEXO 3 – ASSOCIAÇÃO DE BOMBAS
A bancada de duas bombas hidráulicas permite a avaliação
do ponto de operação quando as mesmas estão funcionando em
série e em paralelo.
Figura – Ilustração esquemática bancada de duas bombas.
1- Descreva o funcionamento da bancada.
2- Analise o circuito hidráulico para operação em série e em paralelo.
3- Construa a curva de uma bomba hidráulica em 3 diferentes vazões
4- Construa a curva de duas bombas ligadas em série
5- Construa a curva de duas bombas ligadas em paralelo
6- Construa a curva de operação do sistema.
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ANOTAÇÕES:
46 Prof. Jesué Graciliano da Silva – Refrigeração - Câmpus São José - IFSC
ANOTAÇÕES:
47 Prof. Jesué Graciliano da Silva – Refrigeração - Câmpus São José - IFSC
ANOTAÇÕES:
48 Prof. Jesué Graciliano da Silva – Refrigeração - Câmpus São José - IFSC
ANOTAÇÕES:
49 Prof. Jesué Graciliano da Silva – Refrigeração - Câmpus São José - IFSC
Em uma
equação tem-se
uma letra que
representa a
variável (valor
desconhecido) e
um sinal de
igualdade. O
lado esquerdo
da equação
chama-se
primeiro
membro e o
direito segundo
membro.
ANEXO 2- MATEMÁTICA BÁSICA
Nesse anexo vamos mostrar um resumo de alguns
conceitos de matemática básica como regra de três, cálculo de
áreas, equações simples, volumes e uso de triângulos.
1- NOÇÕES DE ÁLGEBRA
Pense no seguinte problema: Se a idade do meu pai
somada com a minha é de 100 anos e a diferença entre nossas
idades é de 40 anos, qual é a minha idade?
Antes de responder a esta pergunta, vamos observar uma
balança em equilíbrio onde temos 2 bolas de alumínio de mesma
massa e um peso de 8kg no prato da esquerda e dois pesos no
prato da direita, o primeiro com 8kg e o segundo com 3kg. Qual
será a massa de cada bola de alumínio?
8 8 3
A álgebra é muito útil para resolver situações deste tipo. A
solução para este problema pode ser bastante facilitada através do
uso de um número desconhecido representado por uma letra. A
letra “x” é bastante utilizada como variável desconhecida. Uma
análise do problema acima sugere que há equilíbrio entre os dois
lados da balança, ou seja, a massa de um lado é igual à massa do
outro. Se escrevermos a massa desconhecida como sendo “x”
temos a seguinte relação:
50 Prof. Jesué Graciliano da Silva – Refrigeração - Câmpus São José - IFSC
2. x+8=8+3+x
2. x−x=8+3−8⇒1 .x=3
Ou seja, a partir de uma equação algébrica ficou fácil obter
o valor da massa da esfera de alumínio como sendo 3kg.
Outro exemplo pode ser observado a seguir: Imagine que a
soma de dois números consecutivos seja 13. Quais são esses
números?
Observe que podemos calcular mentalmente estes dois
números como sendo 6 e 7, mas isto só é possível porque os
números são pequenos e inteiros. Mas quando o problema
envolver outros números é comum o uso de equações algébricas
como forma de facilitar os cálculos. Veja a solução. Considere
que o primeiro número seja x. O segundo, sendo consecutivo só
pode ser x+1. Observe ainda que foi dito no enunciado que a
soma destes números é igual a 13. Logo temos:
6122113.2
131.2
13)1(
xxx
x
xx
O primeiro número é 6 e o segundo é 7 conforme já
havíamos calculado mentalmente. O que acabamos de fazer
chama-se equacionamento. Por definição sabemos que uma
EQUAÇÃO é uma igualdade entre duas expressões matemáticas
que só é satisfeita por alguns valores. No exemplo anterior, o
número 6 era quem satisfazia o problema proposto.
Veja por exemplo a equação:
51 Prof. Jesué Graciliano da Silva – Refrigeração - Câmpus São José - IFSC
48.2
210.2
102.2
xx
x
x
Graficamente podemos representar o problema da seguinte
forma:
Observe que podíamos trocar o peso de 10 por um de oito
e outro de 2kg. Como temos dois quilogramas de cada lado,
podemos tirar estes dois pesos sem mudar o equilíbrio. A massa
de oito do lado direito poderia ser substituída por outras duas
massas de 4kg cada. Como temos agora duas esferas de mesma
massa fica claro que a massa da esfera é de 4kg.
Para finalizar a equação é preciso verificar se a resposta
satisfaz: Para tanto, coloque o valor “4” na posição de “x” da
equação. Observe que o resultado fica 10 = 10.
2.x+ 2 = 10
52 Prof. Jesué Graciliano da Silva – Refrigeração - Câmpus São José - IFSC
Agora que você já aprendeu tudo isso, pense na pergunta
inicial. Lembre-se que eu disse que a idade de meu pai somada
com a minha dá 100 anos.
A diferença entre nossas idades é de 40 anos. Para resolver
o problema, basta considerar que “x” é a idade do filho e “y” é a
idade do pai, logo:
40
100
xy
yx
Podemos isolar o valor de y na segunda equação e
substituir na primeira como segue:
302
6060.2
40100.210040
100)40(
40
xxx
xxx
xx
xy
Logo a idade de meu filho é de 30 anos.
2- REGRAS DE OPERAÇÕES
Agora que você está craque em equações é bom relembrar
algumas regras de operações com números e expressões
numéricas. Nesta aula vamos falar um pouco sobre propriedades
das operações como comutativa, distributiva e associativa. Elas
são muito importantes para uma correta análise das equações
aprendidas na aula anterior.
53 Prof. Jesué Graciliano da Silva – Refrigeração - Câmpus São José - IFSC
Supondo que um pai vá fazer uma compra de material
escolar, cujos cadernos custam R$ 18,00, os livros R$40,00 e as
canetas R$32,00. Como ele deve somar todos estes valores
mentalmente e de forma rápida? Isso pode ser feito sem
problemas usando algumas regras matemáticas. Veja de que
forma!
905040)3218(40
321840324018
Observe que usamos a propriedade comutativa (trocando o
40 e o 18 de posição) e a propriedade associativa (juntando o 18
e o 32). O importante aqui é lembrar sempre que numa adição a
ordem dos fatores não altera o resultado. Podemos comutar e
associar termos sem problema, o que facilita a realização dos
cálculos.
Na multiplicação estas regras também são válidas. Por
exemplo, considere um terreno de 20 metros de comprimento e
15 metros de largura em que precisamos fazer o muro em todo
seu contorno. Quantos metros quadrados de alvenaria são
necessários se a altura do muro fosse de 1,5m?
54 Prof. Jesué Graciliano da Silva – Refrigeração - Câmpus São José - IFSC
A soma das medidas laterais do terreno em metros
(PERÍMETRO) é de 20m+15m+20m+15m, ou seja, 70m. A área
lateral do muro será 70m de comprimento vezes 1,5m de altura,
ou também 1,5m vezes 70m, o que resulta em 105m2 de
alvenaria. Observe que a ordem dos fatores também não afeta o
resultado na multiplicação. Se para cada metro quadrado de
construção do muro são necessários 25 tijolos, então precisamos
comprar 2625 tijolos.
Observe ainda que a ordem de realização das operações.
Primeiro devem ser realizadas as multiplicações e as divisões
para somente depois realizarmos as adições e subtrações. A
seguir ilustramos uma aplicação do que acabamos de dizer:
741262
123698
3363.1298
=+
=+
=÷+
Para cálculos mais difíceis é importante conhecer regras na
aplicação das propriedades. Para tanto utilizamos representações
como ( ), [ ] e { } que são os parênteses, colchetes e chaves.
Esses sinais indicam a preferência da realização dos
cálculos. Observe o exemplo: Primeiramente realizamos as
operações que estão entre parênteses, depois entre chaves para
finalmente realizar aquelas que estão entre colchetes.
55 Prof. Jesué Graciliano da Silva – Refrigeração - Câmpus São José - IFSC
23815878
84288
8412168
843364.48
=+=++
=+÷+
=+÷++
=+÷)÷(+)(+
3- REGRA DE TRÊS
Você já ouviu falar de regra de três? Talvez não, mas tenho
certeza que você utiliza este conceito no dia a dia. Por exemplo,
quando o jornalista fala na televisão que um dólar está valendo
R$ 3,00. Quanto você teria em reais se tivesse guardado
U$20,00? É simples, se um dólar vale 3 reais, então 20 dólares
valem 60 reais.
Outro exemplo é o caso de um carro que percorre uma
rodovia a 80km/h. Em doze horas, quantos quilômetros ele
percorrerá? Você pode resolver o problema através de um
raciocínio mental ou através de uma tabela de proporcionalidade
como segue:
Tempo (horas) Espaço (km)
1 80
12 x
O tempo e o espaço são proporcionais, ou seja, à medida
que o tempo passa o espaço percorrido também aumenta. Assim
sendo temos uma relação de proporcionalidade direta e podemos
montar uma proporção conforme a tabela acima.
kmxxx
96080.12.180
12
1
56 Prof. Jesué Graciliano da Silva – Refrigeração - Câmpus São José - IFSC
Observe que o nome regra de três vem dessa tabela. Ou
seja, conhecemos 3 elementos e desejamos encontrar o quarto.
Esse tipo de regra é muito importante nas conversões de
unidades.
Outro exemplo: Para aquecer 2 litros de água em 50oC é
preciso 100 kcal (k é igual a 1000). Logo, para aquecer 6 litros de
água serão necessárias 300 kcal. Isto é feito diretamente porque
as grandezas são proporcionais.
Agora que aprendemos um pouco mais sobre regra de três
fica claro o que fazer quando um catálogo diz que a capacidade
do aparelho é de 24.000Btu/h e desejamos saber quanto esse
valor vale em Watts, que é a unidade do Sistema Internacional.
Das tabelas de conversões sabemos que 12.000Btu/h é igual a
3.517W, isto quer dizer que 24.000Btu/h vale “x”, ou seja, x é
igual a 7014 W. Observe o quadro:
Potência (Btu/h) Potência (W)
12000 3517
24000 x
Mas nem toda regra de três é tão direta assim. Existem
aquelas em que a relação de proporção é inversa. Veja o
interessante caso. Um exemplo: Se 2 pintores gastam 18h para
pintar uma casa. Quanto tempo levarão 4 pintores para realizar o
mesmo serviço?
Número de pintores Tempo (h)
2 18
4 x
57 Prof. Jesué Graciliano da Silva – Refrigeração - Câmpus São José - IFSC
Observe agora que se o número de pintores aumenta é
claro que o tempo do serviço cairá. Logo a relação de proporção
é inversa. Se número de pintores dobra o tempo cai pela metade.
hxxx
9.418.2184
2
Como estamos trabalhando com grandezas inversamente
proporcionais temos que inverter a posição do “x”.
Além da regra de três simples existe a regra de três
composta, mas não entraremos em detalhes sobre o seu uso aqui.
Outra aplicação importante da regra de três é no cálculo de
porcentagem. Por exemplo, suponha que você aplique R$600,00
na poupança e ao final do mês a correção foi de R$21,00.
Pergunto-lhe qual foi a taxa de rendimento?
Observe que R$ 600,00 é o valor principal (capital) e
R$21,00 é o rendimento. A taxa de rendimento (i) é dada da
seguinte forma:
Capital (R$) Rendimento (%)
600,00 100
21,00 X
35,0100
5,3%5,3
00,600
%100.00,21x
Observe que escrevemos 3,5% na forma fracionária
(3,5/100) que é o mesmo que dizer 0,35. Cuidado com isso
porque em algumas situações o valor deve ser introduzido na
equação a ser trabalhada de maneira decimal.
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4- CÁLCULO DE ÁREAS
Para se escolher o melhor aparelho de ar condicionado
para um dado ambiente o técnico necessita calcular uma série de
áreas como das janelas, paredes e coberturas. Outro exemplo
onde este cálculo é fundamental é na confecção dos dutos. Dessa
forma é possível especificar a quantidade de chapas de aço são
necessárias para a execução da obra.
Não existe um equipamento para medir área, como o
termômetro que serve para medir temperatura ou como a trena
que serve para medir o comprimento. O que se faz é comparar a
nossa superfície de interesse, uma janela, por exemplo, com um
quadrado de 1 metro de lado.
Olhe este exemplo: Quantos vidros de 1m por 1m cabem
em uma área de janela de 3 metros de largura por 1 metro de
altura? A área da janela pode ser calculada multiplicando o seu
comprimento vezes sua largura. Já a área do quadrado obtida
através da multiplicação de seus lados. Cada quadrado tem 1 m2,
logo na janela temos 3 pedaços de 1 m2 de vidro.
1m
1m1m2
59 Prof. Jesué Graciliano da Silva – Refrigeração - Câmpus São José - IFSC
Observe ainda que assim como 1 metro quadrado refere-se
a um quadrado de 1metro de lado, 1 km quadrado corresponde a
uma superfície de um quadrado de 1 quilômetro de lado. Da
mesma forma, 1cm2 é correspondente a uma superfície de um
quadrado de 1 cm de lado.
Agora pense bem: Quantos cm2 cabem em um quadrado de
1 m de lado? Lembre-se que em 1 metro cabem 10 cm. Por isso,
cabem 10000 quadradinhos de 1 cm2 no quadrado de 1metro por
1 metro de lado.
Existem algumas figuras que são bastante utilizadas na
prática profissional. Por isso é importante que você saiba calcular
as áreas de quadrados, retângulos, triângulos, círculos, losangos e
de trapézios.
QUADRADO: Conforme já vimos, a área do
quadrado é seu lado multiplicado por ele mesmo. Podemos
utilizar letras para representar os lados destas figuras, no caso do
quadrado chamamos de “a” o lado. Logo a área é dada por “a”
vezes “a” que é igual a “a2”.
RETÂNGULO: Neste caso um lado é maior que o
outro. Sendo a e b medidas destes lados podemos escrever que a
área é “a” vezes “b”.
60 Prof. Jesué Graciliano da Silva – Refrigeração - Câmpus São José - IFSC
b
a A= b.a
PARALELOGRAMO: esta figura tem como característica
o fato de seus lados serem paralelos. Dessa forma o quadrado e o
retângulo não deixam de ser paralelogramos com 4 ângulos retos
cada (90 graus entre um lado e outro).
Observe que “h” é a distância entre uma base até a outra
na perpendicular!! Analisando a figura obtida após modificar a
posição do triângulo da esquerda para o lado direito temos que a
área é dada por base “b” vezes altura “h”, isto é:
A= b.h
LOSANGO: é uma figura geométrica de lados iguais e
diagonais perpendiculares. Um losango muito famoso é o da
bandeira do Brasil em amarelo. Considerando que AB é a
diagonal maior “D” e CD é a diagonal menor “d” podemos
escrever a área do losango como:
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CÍRCULO: Considerando que R represente o raio do
círculo, sua área pode ser calculada como sendo:
Vale lembrar ainda que em relação ao círculo, uma relação
importante é o perímetro da sua circunferência que é dada por:
DRPerímetro ...2
TRIÂNGULO: Os triângulos são figuras geométricas
muito importantes e o segredo de sua construção já era conhecido
pelos antigos egípcios há 4000 anos.
O seu uso é generalizado na construção do ângulo de 90
graus entre duas paredes, o mesmo princípio utilizado para
construir as bases das perfeitas pirâmides regulares dos antigos
faraós. Sua área é calculada por:
62 Prof. Jesué Graciliano da Silva – Refrigeração - Câmpus São José - IFSC
No caso de um triângulo retângulo, quando duas
dimensões do triângulo são conhecidas e uma delas não, usamos
o Teorema de Pitágoras que diz que: a soma do quadrado dos
catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.
Observe que os arquitetos egípcios já conheciam esta
relação entre os lados de um triângulo retângulo há muito tempo.
222 cba
Ou seja, se conhecemos que a hipotenusa de um triângulo
retângulo mede 5m e que um lado vale 3m e que o triângulo é
retângulo então através do Teorema de Pitágoras temos o outro
lado do:
63 Prof. Jesué Graciliano da Silva – Refrigeração - Câmpus São José - IFSC
Observe na figura a seguir que os egípcios utilizavam
cordas com nós para fazer o esquadro das bases das pirâmides.
TRAPÉZIO: um trapézio é um quadrilátero com 2 lados
paralelos (base). Para o cálculo de sua área podemos usar uma
equação pronta ou dividir a figura em paralelogramos e
triângulos, calculando assim a área de cada figura em separado e
depois somando tudo. Veja o exemplo: Nesse caso a área da
figura poderia ser escrita como:
5- CÁLCULO DE VOLUMES
Finalmente vamos comentar um pouco sobre volumes de
alguns elementos geométricos bastante utilizados na vida
profissional de um técnico, tais como cubos, paralelepípedos,
cilindros, esferas e pirâmides.
Volume de um PARALELEPÍPEDO: considere um
aparelho de ar condicionado de janela. Podemos com uma trena
saber que seus lados têm medidas definidas por a, b e c. O seu
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volume nesse caso é calculado pela multiplicação direta destes
três lados, ou seja:
Volume de um CILINDRO: o cilindro tem seu volume
definido pela área da base multiplicada pela altura. Lembre-se
que o diâmetro da base é sempre duas vezes o raio.
HRπ=HA=V b ... 2
Volume de uma ESFERA. Uma esfera é uma forma
geométrica apreciada por todos. Seu volume é escrito como:
3..3
4Rπ=V
Volume de um CONE e de uma PIRÂMIDE. Um cone ou
uma pirâmide têm seus volumes calculados através da equação:
onde H é a altura do cone ou da pirâmide.
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EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO:
1- Um duto de climatização tem 20m de comprimento e diâmetro
de 80cm. Calcule qual é a área de chapas necessária para sua
construção.
2- Um auditório tem 20m de comprimento por 12m de largura
por 5m de altura. Se é preciso renovar o ar a uma taxa de 6
volumes de ar por hora, qual é a taxa de ar de renovação por
hora?
3- Um duto de climatização tem formato oval e 12m de
comprimento. Qual é a área de chapas necessária para sua
construção?
4- Uma caixa d´água de um tanque de termoacumulação tem
12m de altura e 2m de diâmetro. Quantos litros de água cabem
nesse reservatório?
5- Uma tubulação de cobre com diâmetro interno de 3/8” e 20m
de comprimento tem um volume aproximado de quantos metros
cúbicos? A espessura do tubo é de 3mm (1” = 1 polegada =
25,4mm).
66 Prof. Jesué Graciliano da Silva – Refrigeração - Câmpus São José - IFSC
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
W. F. Stoecker, J. W. Jones. Refrigeração e Ar Condicionado.
Caio Simões Alexandre. Distribuição de Ar;
Enio Cruz da Costa. Ventilação;
W. P. Jones. Engenharia do Ar Condicionado.
Silva, Introdução à Tecnologia da Refrigeração e da Climatização
Saiba mais sobre Matemática Básica:
67 Prof. Jesué Graciliano da Silva – Refrigeração - Câmpus São José - IFSC
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EXERCÍCIOS
DE MECÂNICA
DOS FLUIDOS
Faça os exercícios indicados e assista aos vídeos recomendados.
Aponte seu celular para o QR-Code. Anote as equações utilizadas. Bom
estudo !
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1- Conversão de Unidades
Equações Básicas
1 m3
= 1000 litros
Volume cilindro = (π.D2/4).H
1 litro = 0,001 m3
1 polegada = 25,4mm
14,7 psi = 101,325 kPa
1m = 100cm
Exemplo 1:
Faça as conversões de unidade indicadas:
a) 200 mm para __________m
b) 400 psi para __________kPa
c) 12 polegadas para _____mm
d) 0,0008 m2 para _____cm2
Problemas indicados:
a) 400 mm para __________m
b) 210 psi para __________kPa
c) 10 polegadas para __________mm
d) 0,05 m2 para _____________cm2
71 Prof. Jesué Graciliano da Silva – Refrigeração - Câmpus São José - IFSC
2- Princípio de Stevin
Equações Básicas
p = patm + ρ . g. h
patm = 101.325 Pa
Exemplo 2:
Qual a pressão dentro de um tanque se o
manômetro de coluna indica um
diferencial de 5mm de Hg?
Solução:
Problema indicado:
Qual a pressão dentro de um tanque se o
manômetro de coluna indica um
diferencial de 12mm de Hg?
72 Prof. Jesué Graciliano da Silva – Refrigeração - Câmpus São José - IFSC
3- Volumes
Equações Básicas
Volume = Área da Base x Altura do
tanque
1 m3 = 1000 litros
Exemplo 3:
Em um tanque de 400cm de diâmetro e
3m de altura cabem quantos litros de
água?
Problema indicado:
Um tanque de 120cm de diâmetro e 4m
de altura é cheio por uma mangueira que
tem vazão de 8 litros por minutos.
Quanto tempo demora a encher?
73 Prof. Jesué Graciliano da Silva – Refrigeração - Câmpus São José - IFSC
4- Vazão mássica e potência
Equações Básicas
Exemplo 4:
Um sistema de climatização com
condensação à água precisa dissipar
precisa dissipar 12kW na torre de
arrefecimento. A água entra na torre de
arrefecimento a 32oC e retorna ao
condensador a 27oC. Qual a vazão
mássica de água bombeada para o
condensador em kg/s?
Problema indicado:
Um sistema de climatização com
condensação à água precisa dissipar
precisa dissipar 10kW na torre de
arrefecimento. A água entra na torre a
30oC e retorna ao condensador a 25
oC.
Qual a vazão de água bombeada para o
condensador em m3/h?
74 Prof. Jesué Graciliano da Silva – Refrigeração - Câmpus São José - IFSC
5- Princípio de Stevin
Equações Básicas
p = patm + ρ . g. h
Exemplo 5-
Qual é a pressão no ponto A, que está
localizado na base de um tanque de
água com altura h = 2m e diâmetro =
1m?
Problema indicado:
Qual é a pressão no ponto A, que está
localizado na base de um tanque de
água com altura h = 3m e diâmetro =
2m?
75 Prof. Jesué Graciliano da Silva – Refrigeração - Câmpus São José - IFSC
6- Vazão mássica e potência
Equações Básicas
Exemplo 6:
Um fan-coil de 10 TR é utilizado para
resfriar o ar de um ambiente. A água
gelada vindo do chiller entra no fan-coil a
8oC e retorna a 14
oC. Nessa condição,
calcule que é a vazão mássica (kg/s) de
água.
Problema indicado:
Um fan-coil de 5 TR é utilizado para
resfriar o ar de um ambiente. A água
gelada vindo do chiller entra no fan-coil a
7oC e retorna a 12
oC. Nessa condição,
calcule que é a vazão mássica (kg/s) de
água.
76 Prof. Jesué Graciliano da Silva – Refrigeração - Câmpus São José - IFSC
7- Volumes e Áreas
Equações Básicas
Atrapézio =H.(B+b)/2
Volume = Atrapézio . PROF
Exemplo 7:
Uma piscina tem 8m de comprimento,
4m de largura e profundidade variável,
começando por 1,2m em uma das
bordas e terminando com 2m de
profundidade na borda oposta. Qual o
volume dessa piscina?
Problema indicado:
Uma piscina tem 6m de comprimento,
4m de largura e 1,5m de profundidade.
Qual o volume dessa piscina em m3 e
em litros?
77 Prof. Jesué Graciliano da Silva – Refrigeração - Câmpus São José - IFSC
8- Vazão e equação da continuidade
Equações Básicas:
V1.A1 = V2.A2
Exemplo 8:
Considere a vazão em cada boca de
insuflamento como sendo 900m3/h. A
velocidade dentro da tubulação é de 5m/s.
Dimensione as larguras dos trechos.
Considere as alturas dos dutos como
sendo de 30cm no trecho AB, 20cm no
trecho BE, 20m no trecho CD e 25cm no
trecho BC.
Trecho
Vazão
(m3/s)
Área
(m2)
L
(m)
H
(m)
AB
BE
BC
CD
Problema indicado:
Considere a vazão em cada boca de
insuflamento como sendo 1400m3/h. A
velocidade dentro da tubulação é de 5m/s.
Dimensione a rede de dutos. Considere as
alturas dos dutos como sendo de 40cm no
trecho AB, 35cm no trecho BE, 25m no
trecho CD e 35cm no trecho BC.
78 Prof. Jesué Graciliano da Silva – Refrigeração - Câmpus São José - IFSC
9- Princípio de Pascal
Equações Básicas:
F1.A2=F2.A1
Exemplo 9:
Um carro de 2.000kg é suspenso
por um elevador hidráulico. O
diâmetro maior é de 2m. O
diâmetro menor é de 20cm. Qual a
força F1 para equilibrar o carro.
Problema indicado: Um carro de
1.800kg é suspenso por um
elevador hidráulico. O diâmetro
maior é de 4m. O diâmetro menor é
de 30cm. Qual a força F1 para
equilibrar o carro.
79 Prof. Jesué Graciliano da Silva – Refrigeração - Câmpus São José - IFSC
10- Equação de Bernoulli Aplicada
Equações Básicas
Exemplo 10-
Calcule qual é a potência aproximada da
bomba hidráulica. Considere o
comprimento equivalente devido às
perdas localizadas como sendo de 20m. A
diferença de altura entre os pontos 1 e 2 é
de 16m. A velocidade da água na
tubulação é de 3m/s. A tubulação têm
diâmetro interno de 32mm.
Problema indicado:
Qual a potência aproximada da bomba
hidráulica. A distância entre os pontos 1 e
2 é de 16m. A velocidade da água é de
5m/s e o diâmetro da tubulação é de
50mm.
80 Prof. Jesué Graciliano da Silva – Refrigeração - Câmpus São José - IFSC
ANEXO - DICAS DE ESTUDO
Há pessoas que aprendem melhor ouvindo do que escrevendo.
Nesse caso, gravar o áudio de uma videoaula em mp3 ou gravar no celular o
resumo da matéria para escutar durante o tempo livro pode contribuir para
uma melhor fixação dos conteúdos. Há pessoas que aprendem fazendo
resumos, outras precisam associar os conteúdos com questões concretas do
dia a dia. Há estudos que afirmam que lembramos apenas uma pequena
parte do que somente ouvimos e lemos. Lembramos 70% do que discutimos
com outros e, aproximadamente, 90% do que nós, pessoalmente,
experimentamos e ensinamos para os outros. Então, a dica é colocar em
prática todo conteúdo ensinado pelos professores e estabelecer conexões
concretas com o dia-a-dia. Por isso é tão importante aproveitar bem as aulas
de laboratório para entender na prática os fenômenos físicos explicados em
aula.
No ensino tradicional, ASSISTIR AULAS muitas vezes é uma
atividade passiva e coletiva. Os alunos podem estar pensando em qualquer
coisa durante as aulas. O processo de ESTUDAR é uma atividade ativa e
solitária. Temos que refletir sobre o assunto, fazer relações, analisar as
aplicações na nossa vida.
Mas isso não significa que não possamos aprender em grupo. O ideal
é mesclar o estudo individual com o estudo em grupo, o que permite uma
81 Prof. Jesué Graciliano da Silva – Refrigeração - Câmpus São José - IFSC
rica troca de conhecimentos. Explicar o que entendemos sobre um assunto
para o colega faz com que a retenção do conteúdo seja aumentada. Dizem
que quem ensina o que sabe aprende duas vezes.
Por muito tempo era necessário que o aluno e o professor estivessem
no mesmo espaço para que o processo de ensino-aprendizagem acontecesse.
Na atualidade, com a internet o estudante pode aprender também por
iniciativa própria, avaliando catálogos de equipamentos, assistindo a
videoaula e lendo livros e apostilas disponíveis na rede.
Há excelente material no Portal do Professor (MEC), na Khan
Academy e no YOUTUBE. Os estudantes podem obter grande quantidade
de informações de forma rápida. Mas é preciso saber filtrar as informações
úteis do lixo eletrônico disponível. Há muitas aulas disponíveis na internet
para que o aluno aprenda no seu próprio ritmo ao longo de toda a vida. Há
muitos blogs, grupos de Whattapps e fóruns de profissionais que estão
estudando o mesmo conteúdo e isso permite o compartilhamento de
experiências.
Há muitos especialistas que afirmam que ALUNO (origem da
palavra: a = sem, luno = luz) é um ser passivo no processo de ensino-
aprendizagem. Um aluno pode estar presente, mas não estar concentrado
nos assuntos tratados na aula. Já um ESTUDANTE é um ser ativo que
assume a responsabilidade pelo seu aprendizado. Um ESTUDANTE pode
estudar em casa e ainda ter uma postura proativa em sala de aula,
acompanhando o que está sendo explicado e participando das discussões.
Aproveite para tirar as dúvidas nos horários de atendimento paralelo
de seus professores. Anote os horários para procurá-los sempre que for
necessário.
Estamos torcendo pelo seu sucesso. Uma grande caminhada começa
com pequenos passos ! Bom estudo !
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ANEXO – LISTA DE EXERCÍCIOS
1- Faça a conversão das pressões em psi para kPa: 28psi, 60psi, 350psi,
500psi.
2- Converta para notação exponencial: 100000, 543000000, 0,000000655,
120, 22500000.
3- Faça a operação inversa à questão 3: 4,5x106 , 2,5x102, 3,2x105,
8,31x104
4- Quais as unidades mais utilizadas na área de Mecânica dos Fluidos?
5- O que é energia? Qual sua diferença em relação à potência?
6- Quantos reais são gastos para manter funcionando uma bomba de 4CV
durante 2 horas por dia durante 30 dias no mês? Considere 1kW.h = R$
0,70.
7- O que é pressão absoluta e pressão manométrica?
8- O que é pressão estática e pressão dinâmica?
9 Qual a pressão provocada por um armário de área de base 1 metro por 40
cm cuja massa interna é de 200 kg?
10- Qual a pressão que atua em mergulhador que está a 20 m de
profundidade?
11- Em um duto foi instalado um manômetro de coluna com mercúrio em
seu interior. Considerando o desnível do mercúrio como sendo 3cm, calcule
qual a pressão estática atuando na parede interna do duto.
12- Considerando um elevador hidráulico, estime o peso máximo possível
que pode ser sustentado pelo peso de uma criança de 30kg se a relação de
entre as áreas dos êmbolos é de 1 para 8.
13- Estime qual o volume total de um iceberg, cujo volume visível é de
200m3. Qual a massa estimada do iceberg?
83 Prof. Jesué Graciliano da Silva – Refrigeração - Câmpus São José - IFSC
14- Como você faria para estimar a densidade de um vaso impermeável de
formato irregular?
15. Qual a pressão da água na profundidade de 35m? Considere que a
superfície da água está no nível do mar e que a densidade da água é
1000kg/m3.
16. Um bloco de madeira flutua na água com 0,646 do seu volume
submerso. No óleo 0,918 do seu volume fica submerso. Determine: a)
densidade da madeira e b) a densidade do óleo.
17- Uma bomba d’água tem potência de 6CV. Considerando que a mesma é
utilizada durante 6h por dia, calcule o consumo mensal de operação.
Considere 30 dias no mês e o custo de 1kWh de R$ 0,70. (1CV ~ 735W)
18- Uma caixa d’água de 5mil litros precisa ser cheia em um tempo de 3h.
A tubulação tem diâmetro interno de 25 mm. Qual a vazão e a velocidade do
escoamento?
19- Calcule as larguras da rede de dutos formada por três trechos em série,
considerando vazão no trecho AB de 4800m3/h, no trecho BC de 3600m
3/h e
no trecho BD de 1800m3/h. A velocidade do ar é fixa em 5m/s. A altura dos
dutos é fixa em 40 cm.
20- Calcule as larguras da rede de dutos formada por três trechos em série,
considerando vazão no trecho AB de 3000m3/h, no trecho BC de 2000m
3/h e
no trecho BD de 1000m3/h. A velocidade do ar é fixa em 4m/s. A altura dos
dutos é fixa em 30 cm.
84 Prof. Jesué Graciliano da Silva – Refrigeração - Câmpus São José - IFSC
ANEXO: EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1- Conversão de unidades
2- Princípio de Stevin – Pressão no interior de um tanque
3- Volume de um reservatório em litros
85 Prof. Jesué Graciliano da Silva – Refrigeração - Câmpus São José - IFSC
4- Pressão na base de um reservatório
5- Fluxo de massa de água em uma torre de arrefecimento
6- Fluxo de massa de água em um fan-coil
86 Prof. Jesué Graciliano da Silva – Refrigeração - Câmpus São José - IFSC
7- Volume de água em uma piscina
8- Princípio de Pascal – Elevadores hidráulicos
9- Potência de uma bomba hidráulica