Activit 1 : Thorme de Thals

1. Avec le logiciel TracenPoche

a. Place trois points distincts A, B et C, non aligns.Trace les droites (AB), (BC) et (CA).Place un point M sur la droite (AB) puis construisla droite parallle la droite (BC) passant par lepoint M. Appelle N le point d'intersection decette droite avec la droite (AC).

b. Quelles sont les diffrentes possibilits pour laposition du point M ? Pour chacune d'elles, faisun dessin sur ton cahier.

c. En utilisant le bouton , affiche les longueurs AM, AB, AN,AC, MN et BC sur la figure.Dans la fentre Analyse, saisis les expressions ci-contre puisappuie sur la touche F9. Que remarques-tu lorsque M dcritchacune des positions dfinies au b. ?

2. 1er cas : M appartient au segment [AB]

a. Que peux-tu dire des longueurs des cts des triangles AMN et ABC ?

b. Applique alors le thorme vu en quatrime pour justifier ce rsultat.

3. 2e cas : M appartient la demi-droite [AB) mais pas au segment [AB]

a. En te plaant dans le triangle AMN, dmontre que les quotientsABAM

,ACAN

etBCMN

sont

gaux.

b. Qu'en dduis-tu pour les quotientsAMAB

,ANAC

etMNBC

? Justifie.

4. 3e cas : M appartient la droite (AB) mais pas la demi-droite [AB)

a. Trace un triangle ABC. Place un point M appartenant ladroite (AB) sans appartenir la demi-droite [AB). Construis la parallle la droite (BC) passant par M. Ellecoupe la droite (AC) en N.Construis le point M' symtrique du point M par rapportau point A et le point N' symtrique du point N parrapport au point A.

b. Montre que les droites (MN) et (M'N') sont parallles.Dduis-en que les droites (BC) et (M'N') sont parallles.

c. Applique la proprit de proportionnalit des longueurs dans le triangle ABC.

d. Que peux-tu dire des longueurs AM et AM' ? Des longueurs AN et AN' ? Des longueurs MN et M'N' ? Justifie.

e. En utilisant les questions c. et d., montre queAMAB

= ANAC

= MNBC

.

5. Conclusion

Recopie et complte le thorme (appel thorme de Thals) :

Soient (....) et (....) deux droites scantes en A.Si les droites .... et .... sont .... alors .... .

THORME DE THALS CHAPITRE G1184

calc(AM/AB)=calc(AN/AC)=calc(MN/BC)=

A

MN

B

C

Activit 2 : Avec un guide-ne

1. Construction

Sur une feuille blanche, trace une srie de 15 droites parallles espaces de 1 cm : cet outils'appelle un guide-ne. Ce nom fait rfrence l'ne qui tirait les barges le long des bords parallles des rivires. Lacorde tendue suivait un chemin parallle aux bords de la rivire.

1. Explication

a. On a plac un segment sur le guide-ne,explique ce qui lui arrive. Trace cette figurepuis complte-la pour pouvoir le dmontrer.

b. ton avis, quel est l'intrt d'un tel outil ?

2. Utilisation

a. Sur une feuille de papier calque, trace unsegment [AB] de 5 cm de longueur.Utilise le guide-ne pour couper cesegment en trois segments de mmelongueur.Place un point M sur le segment [AB] tel

queAMAB

= 23

.

b. Avec ce guide-ne, peux-tu partager le segment [AB] en sept segments de mmelongueur ? Pourquoi ? Que faudrait-il pour que tu puisses le faire ?

c. Trace un segment [CD] de 8 cm de longueur sur la feuille de papier calque puispartage-le en sept segments de mme longueur. Place alors un point P sur la droite

(CD) tel queCPCD

= 67

. Que remarques-tu ?

d. Trace un segment [EF] de 6,3 cm de longueur. Place un point R sur la droite (EF) tel

queEREF

= 53

. O se trouve le point R ?

3. Avec le logiciel TracenPoche

a. Trace un segment [AB]. l'aide du bouton , partage le segment [AB] en cinqsegments de mme longueur. Explique comment tu procdes.

b. Sur quels lments du guide-ne peux-tu jouer ? Quel est l'intrt d'un tel outil ?

Activit 3 : Papillon ?

Que peux-tu dmontrer partir de cette figure ?

Quel thorme utilises-tu ?

CHAPITRE G1 THORME DE THALS

22

185

A

E

P

O

I

1,4 cm1,8 cm

4,9 cm

3,7 cm

Un guide-ne1

2

4

3

5

6

7

Un segment

Activit 4 : Rciproque

1. Une conjecture

a. nonce la rciproque du thorme de Thals.Le but est maintenant de savoir si elle est vraie ou fausse.

b. Sur ton cahier, trace deux droites (d) et (d') scantes en Opuis place les points A et B comme sur la figure ci-contreavec OA = 9 cm et OB = 8 cm.

Dans la suite de cette partie, on considre que les points O, M, A d'une part et lespoints O, N, B d'autre part sont aligns dans le mme ordre. M sera nommsuccessivement M1, M2, M3 et N sera nomm successivement N1, N2, N3.

c. Place les points M1 sur [OA) et N1 sur [OB) tels queOM1OA

= 35

etON1OB

= 35

.

Que remarques-tu ?

d. Place les points M2 [OA) et N2 [OB) tels que OM2OA

= ON2OB

= 54

. Que remarques-tu ?

e. Dans cette question, M3 (OA) mais M3 [OA) et N3 (OB) mais N3 [OB).Complte la figure prcdente en plaant les points M3 et N3 tels que

OM3OA

= ON3OB

= 12

.

Que remarques-tu ?

f. Cette rciproque semble-t-elle vraie ou fausse ?

2. Dmonstration

On suppose que les points O, M, A d'une part et les points O, N, B d'autre part sont aligns

dans le mme ordre et queOMOA

= ONOB

.

On appelle K le point d'intersection de (OB) et de la parallle (AB) passant par M.

a. Si M appartient [OA), o se trouve le point K ? Fais un dessin.Et si M appartient (OA) mais pas [OA) ? Fais un dessin.

b. Dans quelle configuration peux-tu appliquer le thorme de Thals ? cris alors les galits de quotients.

c. Qu'en dduis-tu pour les rapportsONOB

etOKOB

? Justifie.

d. Que peux-tu conclure pour les points K et N ?

e. Que peux-tu dire alors des droites (MN) et (AB) ?

f. Qu'en conclus-tu ?

3. Attention la position des points

On considre la figure ci-contre.

a. Que valent les rapportsOMOB

,ON1OA

etON2OA

? Qu'en dduis-tu ?

b. Que dire des droites (MN1) et (AB) ? Justifie.

c. Que dire des droites (MN2 ) et (AB) ? Quelle condition de la rciproque du thorme de Thals n'est pas respecte ? Conclus.

THORME DE THALS CHAPITRE G1186

(d)(d')

O

A B

Activit 5 : Avec un pantographe

1. Description et utilisation

a. Voici ci-dessus la photo d'un pantographe. ton avis, quoi cet objet peut-il servir ?

b. Dans le logiciel TracenPoche, on a simul un pantographe virtuel (voir ci-dessus).

Dplace le point M. Que se passe-t-il ? (Pour faire plusieurs tentatives, appuie sur latouche F9.)

c. Que se passe-t-il si on modifie la valeur avec le curseur ? quoi cette valeurcorrespond-elle ?

2. Dmonstration dans un cas simple

a. On se place dans le cas o le point M seretrouve sur le point A. Que se passe-t-il dansce cas ? C'est ce que nous allons dmontrer.

b. Sachant que les points O, M et C sont aligns,que F est le milieu de [OH] et que FHIM est unparalllogramme, dmontre que M est lemilieu de [OC].

c. Voici les positions finales et initiales du point M quand ilparcourt le segment [M1M2]. Code la figure et dmontre que C1C2 est le double deM1M2.

CHAPITRE G1 THORME DE THALS 187

O

M2M1

C1

C2

Source Wikimedia Commons

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