Caiet de Lucru La Geometrie

Profesor Mirela-Gabriela Blaga

Elev..........................................

1

CAIET DE LUCRU LA GEOMETRIE

Fie punctele A ( xA , yA ) , B ( xB , yB ) , C ( xC , yC ) şi D ( xD , yD ) în planul xOy.

Distanţa AB =

Ex.1)Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB.

AB = =

Ecuaţia dreptei determinate de două puncte este AB : = , , .

Dacă , atunci AB: x = xA (dreaptă verticală) ,

iar dacă , atunci AB: y = yA ( dreaptă orizontală) .

Ex.2)Aflaţi ecuaţia dreptei determinată de punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5).

AB : = , AB: 8(x-1) = -3(y+3) , AB: 8x + 3y +1 =0.

Panta dreptei care trece prin punctele A,B, xA xB este mAB = .

Ex.3)Calculaţi panta dreptei AB, unde A( 1, -3) şi B( -2, 5).

mAB = = - .

Ecuaţia dreptei determinată de un punct A şi o pantă m este d: = m .

Ex.4)Să se scrie ecuaţia dreptei determinată de punctul A( -4, -1) şi panta m= 2.

d: = 2 , d: 2x – y + 7 = 0.

Din ecuaţia generală a dreptei d: ax + by + c = 0 , a,b,c , a2 + b

2 > 0

avem panta m = - (b 0).

Ex.5)Aflaţi panta dreptei -4x + 2y -5 = 0 .

m = - = 2.

Ecuaţia dreptei prin tăieturile A( a, 0), B( 0, b), a,b 0 este - 1 = 0.

Ex.6)Calculaţi aria triunghiului format de dreapta 5x – 12y – 60 = 0 cu axele Ox, Oy.

Ecuaţia dreptei prin tăieturi este - - 1 = 0 , atunci A( 12, 0) şi B( 0, - 5).

AABC= = 30.


Elev..........................................

2

Punctele A, B, C sunt coliniare C AB, adică = .

Ex.7)Verificaţi dacă punctele A( 1, 1), B( -1, 5) şi C( 2, -1) sunt coliniare.

C AB = A, B, C coliniare

Condiţia de paralelism a două drepte d1 d2 m1 = m2

sau d1: a1 x + b1 y + c1 = 0 , d2: a2 x + b2 y + c2 = 0 atunci d1 d2

(d1 coincide cu d2 )

Ex.8)Determinaţi parametrul real m a.î. dreptele -4x + 2y -5 = 0 , (m – 1)x + y + 20 = 0 să

fie paralele.

d1 d2 m1 = m2 - = - 2 = - m + 1 m = -1 ,

sau d1 d2 = 2(m – 1) = -4 m = -1 .

Condiţia de perpendicularitate a două drepte d1 d2 m1 m2 = -1

sau d1: a1 x + b1 y + c1 = 0 , d2: a2 x + b2 y + c2 = 0 atunci d1 d2 a1a2 + b1b2 = 0

Ex.9) Determinaţi parametrul real m a.î. dreptele -4x + 2y -5 = 0 , (m – 1)x + y + 20 = 0 să fie

perpendiculare.

d1 d2 m1 m2 = -1 (- )( - ) = -1 2( - m + 1) = -1 m = ,

sau d1 d2 -4(m – 1) + 2 = 0 m = .

m1 = tg , [ 0 se numeşte coeficientul unghiular al dreptei

sau panta dreptei d1

Ex.10)Să se scrie ecuaţia dreptei care trece prin A( 2, -3) şi face cu Ox un unghi de 60 .

d: y + 3 = m( x – 2)

m = tg60 =

d: x – y - 2 - 3 = 0 .

Unghiul dreptei d2 cu dreapta d1 este tg = tg( ) = = .

Ex.11)Să se calculeze unghiul format de dreptele 2x + y – 3 = 0, - x + y + 15 = 0.

m1= - 2, m2= 1

tg = tg = = 3.

M mijlocul xM = , yM =

Ex.12)Aflaţi coordonatele mijlocului segmentului AB , unde A( 1, -3) şi B( -2, 5).

M mijloc xM = , yM = xM = , yM = xM = - , yM =

deci M(- , 1)

Distanţa de la punctul A (x0 , y0) la dreapta d: ax + by + c = 0 este d(A,d) = .

Ex.13)Calculaţi distanţa de la punctul A( 2, 3) la dreapta -4x + 2y -5 = 0 .

d(A,d) = = =


Elev..........................................

3

Centrul de greutate G al triunghiului ABC xG = , yG =

Ex.14)Fie punctele A ( 1, -3) , B ( -2, 5 ) şi C ( -4, -1) în planul xOy. Determinaţi

coordonatele centrului de greutate al triunghiului ABC.

xG = , yG = xG = , yG = xG = , yG = ,

G( , )

ABCD paralelogram = , =

Ex.15)Determinaţi coordonatele punctului D a.î. ABCD paralelogram, unde A ( 1, -3) , B ( -2, 5 )

şi C ( -4, -1).

ABCD paralelogram 1 – 4 = -2 + , -3 – 1 = 5 + = - 1, = - 9 , D( - 1, - 9)

APLICAŢII

1)Să se scrie ecuaţia dreptei MN, M( 4, 2) şi N( - 2, 6).

R. MN: 2x + 3y -14 = 0

2)Să se calculeze perimetrul triunghiului ABC, A( 0, 2), B( 5, - 1) şi C( 7, 4).

PABC= AB + BC + CA

AB =

R. PABC= + +

3)Să se scrie ecuaţia dreptei care trece prin punctul A( 3, 2) şi este paralelă cu dreapta de ecuaţie

d’:2x - 3y + 8 =0.

d: = m

m = m’= - = - =

R. d: 2x – 3y = 0


Elev..........................................

4

4)Să se determine coordonatele punctului D a.î. ACBD paralelogram A(3,2),B( - 4,0) şi C(8, - 5).

R. D( -9, 7)

5)Să se calculeze lungimea înălţimii duse din A în triunghiul ABC, A( 3, 2),B( - 4, 0) şi C( 8, - 5).

Ecuaţia dreptei BC este

Distanţa de la A la BC este d( A, BC) = .

R. d( A, BC) =

6)Să se determine simetricul punctului A( 3, -2) faţă de punctul B( -4, 1).

A....B....C

xB = , yB =

R.C( -11, 4)

7)Se consideră dreapta variabilă : x + 2y – ( 3x – 4y + 1) = 0. Să se determine a.î.

a) d: - x + 2y + 3 = 0,

b) d: 2x + y – 15 = 0,

c) punctul A( 2, 1) .

a)d:( 1 - 3 )x + ( 2 + 4 )y - = 0

d = 2 ,


Elev..........................................

5

b) d a1a2 + b1b2 = 0 2( 1 - 3 ) + 2 + 4 = 0 = 2 ,

c) A( 2, 1) ( 1 - 3 ) 2+ ( 2 + 4 ) 1- = 0 = .

8)Fie punctele A( 2, 4), B( - 4, - 2), C( 6,- 4). Să se afle:

a)ecuaţia dreptei BC,

b)ecuaţia înălţimii duse din A,

c)lungimea înălţimii duse din A,

d)ecuaţia mediatoarei segmentului [AC],

e)ecuaţia medianei duse din B,

f)ecuaţia dreptei care trece prin B şi e paralelă cu AC,

g)coordonatele centrului de greutate al ABC,

h)coordonatele ortocentrului ABC,

i)coordonatele punctului D a.î. ABCD paralelogram,

j)măsura unghiului A,

k)ecuaţia bisectoarei unghiului A

a)BC: =

R.BC: x + 5y + 14 = 0

b) ecuaţia înălţimii duse din A

A h h: = m

h BC mmBC = - 1 m = 5

R.h: 5x – y -6 = 0


Elev..........................................

6

c) lungimea înălţimii duse din A

d(A,BC) =

R. d(A,BC) =

d) ecuaţia mediatoarei segmentului [AC]

M mijlocul [AC] ....... M( 4, 0)

M d d: = m

d AC mmAC = - 1 m =...

mAC = =

R.d: x – 2y – 4 = 0

e)ecuaţia medianei duse din B

BM:

R.BM: x – 4y -4 = 0


Elev..........................................

7

f) ecuaţia dreptei care trece prin B şi e paralelă cu AC

B a a: = m

a AC m = mAC = - 2

R.a: 2x + y + 10 = 0

g)coordonatele centrului de greutate al ABC

R.G( , - )

h)coordonatele ortocentrului ABC

i) coordonatele punctului D a.î. ABCD paralelogram

R.D( 12, 2)

j)măsura unghiului A

tgA =

R.tgA = 3


Elev..........................................

8

k)ecuaţia bisectoarei unghiului A

Bisectoarea este locul geometric a punctelor egal depărtate de laturile unghiului...

P(x0,y0) b

d(P,AB) = d(P,AC) ...

AB:

AC:

=

9)Să se calculeze distanţa dintre dreptele d1: - 3x + y – 5 = 0 şi d2: 6x – 2y - 10 = 0.

m1 = m2 d1 d2

Considerăm un punct pe d1, astfel x = 1 - 3 + y – 5 = 0 y = ... A( 1 , ) d1 şi calculăm

d( A , d2 ) = ...

R. d( A , d2 ) =

10)Să se determine a a.î. dreptele de ecuaţii d1: - 3x + y – 5 = 0 , d2: 4x – y + 4 = 0 şi

d3: ax – 2y + 21 = 0 să fie concurente.

d1 d2 = A( , ) prin rezolvarea sistemului...

d1 d2 d3 = A( , ) A d3 ....

R. a = - 5

Documents

Caiet de Lucru La Geometrie