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8/17/2019 Calc Vector
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Bases Físicas deBases Físicas de
la Fisiologíala FisiologíaAdolfo Castillo Meza, M.Sc.
Profesor PrincipalDepartamento de Física, Informática y Matemáticas
PC!
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AlgebraAlgebra
yyCálculo VectorialCálculo Vectorial
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Sistema de Referencia
Sistema de Coordenadas
Sistema de Medici"n de tiempo
C#erpo de referencia
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z
r
θ
Sistema de Coordenadas Cilíndricas
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r
Sistema de Coordenadas $sf%ricas
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&adio 'ector de
posici"n
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Definiciones(
Vector( )*+eto matemático para c#ya completa definici"n sere#iere indicar s# magnit#d -representada por #n nmero
nat#ral/ así como s# direcci"n y sentido.
Se con'iene #e la longit#d del 'ector es proporcional o ig#al a
la magnit#d del 'ector. 0os 'ectores se representan mediantesegmentos de recta dirigidos.
A
0a magnit#d del 'ector se escri*e 1 A 1 2 A
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)peraciones con 'ectores I(
S#ma( Dados dos 'ectores A y B p#ede constr#irse #n 'ector C tal
como se indica a contin#aci"n(
A
B
C
$sta operaci"n se denomina s#ma A 3 B 2 C
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&esta( Dados los 'ectores A y B, la resta se define como se
grafica(
A
B
C
$n este caso escri*iremos A - B = C
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M#ltiplicaci"n por #n escalar(
Podemos m#ltiplicar #n 'ector por #n escalar. $l res#ltado es
#n 'ector #e mantiene la direcci"n y sentido pero c#yamagnit#d es la anterior m#ltiplicada por la constante escalar.
A
4 A
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Componentes de #n 'ector(
Proyeci"n de #n 'ector so*re
cada #no de los e+es
cartesianos.
Definimos so*re cada e+e #n
'ector c#ya longit#d es 5
-'ector #nitario/. Cada
proyecci"n p#ede ser
representada en f#nci"n del
'ector #nitario respecti'o.
0os 'ectores #nitarios son(e+e )6 ( i
e+e )7 ( j
e+e )8 ( k
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A
x
y
z
o
6
7
8
$n la fig#ra(
)6 2 xi
)7 2 y j
)8 2 z k
De modo #e A p#ede ser
representado como #na
s#ma(
→→→→
++= k z j yi x A
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Con esta n#e'a notaci"n la s#ma podrá reescri*irse para dos
'ectores(
k b jbib B
k a jaia A
495
495
++=
++=
k ba jbaiba B A /-/-/- 449955 +++++=+
y la resta(
k ba jbaiba B A /-/-/- 449955 −+−+−=−
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)peraciones con 'ectores II(
Prod#cto $scalar(
Dados dos 'ectores A y B se
define como prod#cto
escalar(
A.B 2 1 A 1 . 1 B 1 . cosθ
donde θ es el áng#lo #eforman los dos 'ectores.
De la definici"n( A
B
θ
449955. bababa B A ++=
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Propiedades(
A 3 B 2 B 3 A
A
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$l prod#cto 'ectorial p#ede o*tenerse mediante el determinante(
k baba jbabaibaba
bbb
aaak ji
B A
/-/-/- 599554459449
495
495
−+−−−=
==×
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$=iste el llamado triple escalar (
[ ]
495
495
495
.
C C C
B B B A A A
C B AC B A
=
=×=
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Derivación:Derivación:
na magnit#d 'ectorial es deri'a*le respecto a #n
parámetro escalar, por e+emplo, el tiempo(
vk dt
dz
jdt
dy
idt
dx
r dt
d
=++=
!emos o*tenido #na n#e'a magnit#d 'ectorial denominada>$0)CIDAD.
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?am*i%n podemos calc#lar la
'ariaci"n de #na magnit#d
escalar respecto a la direcci"n.
Por e+emplo, podemos calcl#ar la'ariaci"n de densidad del aire
respecto a la alt#ra -e+e 8/.
) tam*i%n podemos calc#lar la
'ariaci"n de la temperat#ra del
ag#a respecto a la prof#ndidad
-e+e 8/.
) podemos calc#lar la 'ariaci"n
de la po*laci"n de determinada
especie a medida #e nos
ale+amos de #na f#ente de
alimento -radio &/
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Sea P la magnit#d escalar, entonces la variación direccional de
P se e=presará como(
k dz
dP j
dy
dP i
dx
dP ++
$s, e'identemente, #na magnit#d 'ectorial. Se denomina
GRADIENTE de P. @Factorizando el operador de deri'aci"n
direccional, escri*iremos finalmemente(
P k dz
d j
dy
d i
dx
d P grad
++=
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Por otro lado, si deseamos conocer como 'aría la magnit#d
de #n 'ector A con la direcci"n, escri*iremos(
k dz
Ad j
dy
Ad i
dx
Ad ++
Si recordamos #e(
k a jaia A z y x
++=
'emos #e cada t%rmino es #n prod#cto escalar, y #e la
operaci"n da como res#ltado #n escalar.
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$sta operaci"n se denomina DI>$&$CIA del 'ector A, y
se escri*e(
Ak dz
d j
dy
d i
dx
d Adiv
.
++=
P#ede apreciarse #e se a realizado #na operaci"n de
prod#cto escalar entre el operador de 'ariaci"n direccional y la
magnit#d 'ectorial analizada.
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div E > 0div E > 0
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div E < 0div E < 0
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En tres dimensiones
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Finalmente, si el 'ectort A gira, incl#ye el giro en s#
desplazamiento en en el espacio, la operaci"n #e nos permite
conocer la 'ariaci"n de las componentes de A al girar se
denomina rotor o rotacional de A , y se escri*e(
Ak dz
d jdy
d idx
d Arot
×
++=
$s #na operaci"n de prod#cto 'ectorial, y para calc#larla seaplica el determinante pre'iemente 'isto en la primera parte de
este c#rso.
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&es#miendo, si denotamos mediante ∇ -nabla/ el operador de'ariaci"n direccional, las tres operaciones de deri'aci"n
direccional p#eden reescri*irse(
Ak dz
d j
dy
d i
dx
d Arot A
Ak dz
d j
dy
d i
dx
d Adiv A
P k dz
d j
dy
d i
dx
d P grad P
×
++==×∇
•
++==∇
++==∇
.