Calc Vector

8/17/2019 Calc Vector

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Bases Físicas deBases Físicas de

la Fisiologíala FisiologíaAdolfo Castillo Meza, M.Sc.

Profesor PrincipalDepartamento de Física, Informática y Matemáticas

PC!


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AlgebraAlgebra

yyCálculo VectorialCálculo Vectorial


3/30

Sistema de Referencia

Sistema de Coordenadas

Sistema de Medici"n de tiempo

C#erpo de referencia


4/30

z

r

θ

Sistema de Coordenadas Cilíndricas


5/30

r

Sistema de Coordenadas $sf%ricas


6/30

&adio 'ector de

posici"n


7/30

Definiciones(

Vector( )*+eto matemático para c#ya completa definici"n sere#iere indicar s# magnit#d -representada por #n nmero

nat#ral/ así como s# direcci"n y sentido.

Se con'iene #e la longit#d del 'ector es proporcional o ig#al a

la magnit#d del 'ector. 0os 'ectores se representan mediantesegmentos de recta dirigidos.

A

0a magnit#d del 'ector se escri*e 1 A 1 2 A


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)peraciones con 'ectores I(

S#ma( Dados dos 'ectores A y B p#ede constr#irse #n 'ector C tal

como se indica a contin#aci"n(

A

B

C

$sta operaci"n se denomina s#ma A 3 B 2 C


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&esta( Dados los 'ectores A y B, la resta se define como se

grafica(

A

B

C

$n este caso escri*iremos A - B = C


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M#ltiplicaci"n por #n escalar(

Podemos m#ltiplicar #n 'ector por #n escalar. $l res#ltado es

#n 'ector #e mantiene la direcci"n y sentido pero c#yamagnit#d es la anterior m#ltiplicada por la constante escalar.

A

4 A


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Componentes de #n 'ector(

Proyeci"n de #n 'ector so*re

cada #no de los e+es

cartesianos.

Definimos so*re cada e+e #n

'ector c#ya longit#d es 5

-'ector #nitario/. Cada

proyecci"n p#ede ser

representada en f#nci"n del

'ector #nitario respecti'o.

0os 'ectores #nitarios son(e+e )6 ( i

e+e )7 ( j

e+e )8 ( k


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A

x

y

z

o

6

7

8

$n la fig#ra(

)6 2 xi

)7 2 y j

)8 2 z k

De modo #e A p#ede ser

representado como #na

s#ma(

→→→→

++= k z j yi x A


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Con esta n#e'a notaci"n la s#ma podrá reescri*irse para dos

'ectores(

k b jbib B

k a jaia A

495

495

++=

++=

k ba jbaiba B A /-/-/- 449955 +++++=+

y la resta(

k ba jbaiba B A /-/-/- 449955 −+−+−=−


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)peraciones con 'ectores II(

Prod#cto $scalar(

Dados dos 'ectores A y B se

define como prod#cto

escalar(

A.B 2 1 A 1 . 1 B 1 . cosθ

donde θ es el áng#lo #eforman los dos 'ectores.

De la definici"n( A

B

θ

449955. bababa B A ++=


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Propiedades(

A 3 B 2 B 3 A

A


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$l prod#cto 'ectorial p#ede o*tenerse mediante el determinante(

k baba jbabaibaba

bbb

aaak ji

B A

/-/-/- 599554459449

495

495

−+−−−=

==×


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$=iste el llamado triple escalar (

[ ]

495

495

495

.

C C C

B B B A A A

C B AC B A

=

=×=


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Derivación:Derivación:

na magnit#d 'ectorial es deri'a*le respecto a #n

parámetro escalar, por e+emplo, el tiempo(

vk dt

dz

jdt

dy

idt

dx

r dt

d

=++=

!emos o*tenido #na n#e'a magnit#d 'ectorial denominada>$0)CIDAD.


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?am*i%n podemos calc#lar la

'ariaci"n de #na magnit#d

escalar respecto a la direcci"n.

Por e+emplo, podemos calcl#ar la'ariaci"n de densidad del aire

respecto a la alt#ra -e+e 8/.

) tam*i%n podemos calc#lar la

'ariaci"n de la temperat#ra del

ag#a respecto a la prof#ndidad

-e+e 8/.

) podemos calc#lar la 'ariaci"n

de la po*laci"n de determinada

especie a medida #e nos

ale+amos de #na f#ente de

alimento -radio &/


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Sea P la magnit#d escalar, entonces la variación direccional de

P se e=presará como(

k dz

dP j

dy

dP i

dx

dP ++

$s, e'identemente, #na magnit#d 'ectorial. Se denomina

GRADIENTE de P. @Factorizando el operador de deri'aci"n

direccional, escri*iremos finalmemente(

P k dz

d j

dy

d i

dx

d P grad

++=


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Por otro lado, si deseamos conocer como 'aría la magnit#d

de #n 'ector A con la direcci"n, escri*iremos(

k dz

Ad j

dy

Ad i

dx

Ad ++

Si recordamos #e(

k a jaia A z y x

++=

'emos #e cada t%rmino es #n prod#cto escalar, y #e la

operaci"n da como res#ltado #n escalar.


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$sta operaci"n se denomina DI>$&$CIA del 'ector A, y

se escri*e(

Ak dz

d j

dy

d i

dx

d Adiv

.

++=

P#ede apreciarse #e se a realizado #na operaci"n de

prod#cto escalar entre el operador de 'ariaci"n direccional y la

magnit#d 'ectorial analizada.


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div E > 0div E > 0


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div E < 0div E < 0


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En tres dimensiones


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Finalmente, si el 'ectort A gira, incl#ye el giro en s#

desplazamiento en en el espacio, la operaci"n #e nos permite

conocer la 'ariaci"n de las componentes de A al girar se

denomina rotor o rotacional de A , y se escri*e(

Ak dz

d jdy

d idx

d Arot

×

++=

$s #na operaci"n de prod#cto 'ectorial, y para calc#larla seaplica el determinante pre'iemente 'isto en la primera parte de

este c#rso.


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&es#miendo, si denotamos mediante ∇ -nabla/ el operador de'ariaci"n direccional, las tres operaciones de deri'aci"n

direccional p#eden reescri*irse(

Ak dz

d j

dy

d i

dx

d Arot A

Ak dz

d j

dy

d i

dx

d Adiv A

P k dz

d j

dy

d i

dx

d P grad P

×

++==×∇

•

++==∇

++==∇

.

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