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Calcolo combinatorio

1. Permutazioni semplici di n oggetti

Dato un insieme di n oggetti, ad esempio n lettere, si vuol sapere quanti sono i possibili modi in cui esse possono essere ordinate in una fila. Il numero complessivo di questi modi viene detto permutazioni semplici di n oggetti e lo indicheremo con il simbolo nP .

Immaginiamo di disporre gli oggetti entro delle caselle numerate:

Per sapere quante sono le file costituite dagli stessi n oggetti che differiscono solo per l’ordine, cominceremo con il posizionare uno qualunque di essi nella prima casella. Abbiamo evidentemente n scelte possibili per esso:

Procedendo con la scelta dell’oggetto che dovrà andare nelle seconda casella avremo ora solo i rimanenti

1n oggetti fra cui sceglierlo:

Fermiamoci un momento a domandarci in quanti modi differenti possiamo fare queste due semplici operazioni successive. Per ognuna delle n scelte del primo oggetto vi sono le corrispondenti 1n scelte del secondo. Complessivamente ci sono quindi ( 1)n n modi in cui posso prendere un oggetto qualunque da un insieme di n e poi affiancarne ad esso un altro scelto fra i rimanenti. Andiamo avanti: per la terza casella ci rimangono 2n scelte, per la quarta 3n :

Siamo così giunti alla quarta casella ed il numero di modi possibili è cresciuto fino a ( 1)( 2)( 3)n n n n . Più in generale si capisce ormai che se con k indichiamo il numero di casella, quando saremo giunti ad essa saremo rimasti con solo 1n k oggetti fra i quali scegliere. Il processo continua fino alla casella numero n , dove la scelta sarà obbligata essendo ormai rimasto un solo oggetto. Se k n si ha infatti 1 1n k .

A questo punto è chiaro che il numero complessivo possibile di modi di ordinare gli n oggetti è dato da:

( 1)( 2)( 3)...1n n n n una tale espressione prende il nome di fattoriale di n e si indica con la scrittura !n . Abbiamo così dimostrato che:

n 1 2 3 4 5 6

n

A B C D E F 1 2 3 4 5 6

n

n n-1 1 2 3 4 5 6

n

n n-1 n-2 n-3 1 2 3 4 5 6

n

n n-1 n-2 n-3 n-4 1 2 3 4 5 n-5 6 1 n n-k+1 k

2

! ( 1)( 2)( 3)...1nP n n n n n Esempio 1 In quanti modi differenti può essere mescolato un mazzo di 40 carte? Si tratta di calcolare le possibili file ordinate di 40n carte. La risposta è evidentemente 4740! 8.16 10 , un numero, come si vede, enorme. Esempio 2 In quanti modi differenti 15 studenti possono occupare i posti in un’aula? Anche in questo caso la risposta è data dal numero di permutazioni di 15n studenti, cioè 15! 1307674368000 Esempio 3 Quante sono le funzioni biettive :f A B ? Esistono funzioni biiettive solo se la cardinalità dei due insiemi è la stessa, altrimenti non è possibile che ogni elemento di B si immagine di uno ed un solo elemento di A . Detto ( ) ( )n card A card B il numero di funzioni biiettive è dato dal numero di modi in cui gli n elementi di B possono essere associati agli n elementi di A , cioè il numero di modi in cui possono essere ordinati, vale a dire le loro permutazioni !n 2. Disposizioni semplici di n oggetti in classe k Un caso particolare delle permutazioni semplici di n oggetti si ha quando se ne vuole ordinare solamente un sottoinsieme costituito da k elementi. La domanda alla quale risponderemo è dunque: dato un insieme ad esempio di 27n oggetti quanti sottogruppi ordinati ad esempio di 6k di essi possiamo formare? Chiameremo il numero di tali sottogruppi ordinati disposizioni semplici di n oggetti in classe k e lo indicheremo con il simbolo ,n kD . Notiamo che:

1. Si deve avere sempre k n 2. Due sottogruppi potranno differire per l’ordine degli oggetti al loro interno ma anche perché hanno

almeno un elemento diverso Il calcolo numerico si effettua immediatamente considerato che dobbiamo solo ripetere la costruzione fatta per le permutazioni semplici, solo che adesso bisognerà fermarsi alla casella numero k :

In accordo con quanto abbiamo già osservato, il numero di modi in cui questo può essere fatto vale ( 1)( 2)( 3)...( 1)n n n n n k , e quindi le possibili disposizioni semplici di n oggetti in classe k sono:

, ( 1)( 2)( 3)...( 1)n kD n n n n n k Esempio 4 In quanti modi differenti si possono scegliere 6 studenti da una classe di 27 per mandarli ad assistere ad uno spettacolo teatrale con dei posti a sedere numerati? Visto che i posti sono numerati, l’ordine con il quale vengono scelti gli studenti è importante. Si tratta pertanto di calcolare quante sono le file ordinate di 6 elementi scelti da un insieme di 27, e cioè di calcolare le disposizioni semplici di 27 oggetti in classe 6, 27,6D . Per poter applicare la formula occorre calcolare quanto vale 1n k . In questo caso:

n n-1 n-2 n-3 n-4 1 2 3 4 5 n-5 6 n-k+1 k

3

1 27 6 1 22n k e pertanto:

27,6 27 26 25 24 23 22 213127200D . Esempio 5 Dato l’ insieme (1,2, 3)A e l’insieme ( , , , )B h k l m si dica quante sono le funzioni iniettive :f A B Ricordando che una funzione è iniettiva se ad elementi diversi di A corrispondono immagini diverse in B, e che f agisce su tutti gli elementi di A, solo quando (come in questo caso) la cardinalità di B è maggiore di quella di A possono esistere funzioni iniettive da A in B. Dobbiamo quindi calcolare il numero di modi in cui scelti 3 elementi di B essi possono associarsi ai 3 elementi di A. Si tratta quindi di scegliere sottogruppi di 3 da B tenendo conto del loro ordine, e quindi la risposta è data dalle disposizioni semplici di 4 elementi in classe 3. Abbiamo 4n , 3k , e 1 4 3 1 2n k da cui:

4,3 4 3 2 24D

Esempio 6 Un fioraio deve piantare lungo il bordo di una terrazza 5 piante di fiori tutte di colore diverso, da scegliersi fra 10 disponibili. Quanti modi diversi esistono di adornare il terrazzo? L’ordine è essenziale quindi si tratta di disposizioni semplici 10n , 5k , 1 10 5 1 6n k , da cui:

10,5 10 9 8 7 6 30240D

Esempio 7 Utilizzando le cifre 1, 3, 5, 8, 4 si dica: - Quanti numeri di 3 cifre differenti si possono formare - Quanti numeri dispari si possono formare usando tutte le cifre - Quanti numeri di tre cifre minori di 400 si possono formare - Quanti numeri divisibili per 5 si possono formare usando tutte le cifre I numeri di tre cifre costruibili con 1, 3, 5, 8, 4 sono una configurazione ordinata, quindi si tratta di disposizioni semplici di 5 elementi in classe 3:

5n , 3k , 1 5 3 1 3n k da cui: 5,3 5 4 3 60D I numeri dispari costruibili con 1, 3, 5, 8, 4 sono quelli che terminano con 1, con 3 o con 5. Quindi, essendo l’ultima cifra fissata, si tratta di calcolare in quanti modi si possono ordinare le 4 rimanenti, vale a dire le permutazioni di 4 elementi: 4 4! 4 3 2 1 24P Ed ognuna di queste permutazioni puo` essere associata al 5, al 3 o all`1. In totale esistono: 24×3 = 7224 3 72 numeri dispari costruibili con le cifre 1, 3, 5, 8, 4. I numeri di tre cifre minori di 400 costruibili con 1, 3, 5, 8, 4 sono quelli di tre cifre che iniziano con 1 oppure con 3. Quindi, essendo la prima cifra fissata, si tratta di calcolare in quanti modi si possono ordinare le 2 rimanenti, da scegliere fra le altre 4. Sono quindi le disposizioni in classe 2 di 4 elementi. Essendo n – k + 1 = 4 -2 +1 = 3 risulta: 4,2 4 3 12D Ed ognuna di queste disposizioni puo` essere associata al 3 o all`1. In totale esistono: 12 2 24 numeri minori di 400 costruibili con le cifre 1, 3, 5, 8, 4 . I numeri divisibili per 5 costruibili con 1, 3, 5, 8, 4 sono solamente quelli che terminano per 5. Quindi, essendo l`ultima cifra fissata, si tratta di calcolare in quanti modi si possono ordinare le 4 rimanenti. Sono quindi le permutazioni di 4 elementi.

4

4 4! 4 3 2 1 24P Ci sono quindi 24 numeri divisibili per 5 fra quelli costruibili con le cifre 1, 3, 5, 8, 4 3. Combinazioni semplici di n oggetti in classe k

Dato un numero complessivo di n oggetti ci concentreremo ora sulla possibilità di estrarre da essi k elementi senza riguardo per l’ordine di estrazione. Considereremo quindi diversi due sottogruppi di k elementi che differiscono per almeno un oggetto, ma li diremo uguali se differiscono solo per l’ordine. Chiameremo il numero di tali sottogruppi non ordinati le combinazioni semplici di n oggetti in classe k e lo indicheremo con il simbolo ,n kC .

Notiamo subito che dati n oggetti, il numero delle loro disposizioni in classe k è sempre maggiore del numero delle loro combinazioni in classe k . Infatti, scegliere una combinazione in classe k significa semplicemente scegliere un sottoinsieme di k degli n oggetti, ma poi questi possono essere riordinati in molti modi differenti. Quanti ordinamenti differenti ci sono già lo sappiamo, si tratta del numero delle loro permutazioni, e cioè esistono !kP k ordinamenti differenti del sottoinsieme scelto. Poiché questo si può fare per ciascuna delle combinazioni in classe k , vale allora la semplice relazione:

, ,n k n k kD C P

Vediamo, a chiarimento di quanto detto, le disposizioni e le combinazioni in classe 3 delle 4 lettere ABCD. Senza fare uso di formule, si vede facilmente che esistono solo 4 modi di prendere 3 elementi dalle lettere date, ed essi sono ABC, ACD, BCD, ABD. Si ha quindi 4,3 4C . Ciascuno di tali modi è passibile di tanti riordinamenti quanto vale il numero permutazioni, cioè si possono fare 3 3! 6P file ordinate per ogni combinazione, e quindi si hanno in tutto 4,3 4,3 3 4 6 24D C P disposizioni semplici. Chiaramente già sapevamo come calcolare le disposizioni semplici e quindi non è questo il risultato utile. L’utilità appare chiara se invertiamo la formula ricavando le combinazioni a partire dalle disposizioni:

,,

( 1)( 2)...( 1)

!n k

n kk

D n n n n kC

P k

Osserviamo a questo punto una semplice proprietà del fattoriale:

ABC ACB BAC CBA BCA CAB

BCD BDC CBD DCB DBC CDB

ACD ADC CAD DCA CDA DAC

ABD ADB BAD DBA BDA DAB

Le combinazioni in classe 3 sono 4

Ci sono 3!

permutazioni

per ogni

combinazione

Ognuna di queste colonne è una sola

combinazione, ma 6 permutazioni

4,3 4,3 3 4 6 24D C P

5

! ( 1)!n n n

ad esempio si ha 7 ! 7 6! 7 6 5! e così via. Più in generale:

!! ( 1)...( 1) ( )! ( 1)...( 1)

( )!

nn n n n k n k n n n k

n k

che inserito nella formula sopra fornisce un’espressione alternativa per ,n kC :

,( 1)( 2)...( 1)( )( 1)...1 !

!( )! !( )!n kn n n n k n k n k n

Ck n k k n k

A seconda della minore complessità dei calcoli si sceglierà di volta in volta quale delle due espressioni equivalenti conviene usare. Per le combinazioni di n elementi in classe k si usa anche il simbolo sintetico:

,n k

nC

k

.

che si legge “n su k ”. Esempio 8 Un barman ha a disposizione 5 liquori. Quanti cocktails differenti può ottenere mescolandone 4 alla volta? Si tratta di scegliere 4 liquori da un gruppo di 5 senza che conti il loro ordine, quindi dobbiamo calcolare le combinazioni di 5 oggetti in classe 4:

5,4

5 5 ! 5 4 !4 4 !(5 4)!

C 4 !

5

Esempio 9 Quante cinquine si possono fare a tombola?(considerata la possibilità di far cinquina con cinque qualunque numeri fra i 90 totali) Dobbiamo prendere 5 numeri su 90 totali senza riguardo per l’ordine, quindi essendo 1 86n k :

90,5

90 90 89 88 87 86439492685 5!

C

si noti che la formula adoperata nell’esempio 4 avrebbe richiesto il calcolo di 90! Per evitare di lavorare con numeri così grandi conviene in questo caso l’espressione alternativa. Esempio 10 Nel gioco del poker si danno 5 carte ciascuno da un mazzo di 32. In quanti modi differenti può essere servito un giocatore?

Essendo 1 28n k abbiamo: 32,5

32 32 31 30 29 282013765 5!

C

6

SPECCHIO RIASSUNTIVO

Permutazioni di n oggetti: numero di file ordinate che si possono realizzare con n oggetti Disposizioni semplici di n oggetti in classe k: numero di gruppi di k elementi che possono essere estratti da un insieme di n oggetti assumendo che due gruppi siano diversi se differiscono o per l’ordine oppure almeno per un elemento Combinazioni semplici di n oggetti in classe k: numero di gruppi di k elementi che possono essere estratti da un insieme di n oggetti assumendo che due gruppi siano diversi se differiscono almeno per un elemento

4. Tecniche di risoluzione Vi sono alcuni tipi di domande che ricorrono negli esercizi di calcolo combinatorio, vediamole insieme. Domanda 1: si trovi in quanti modi può aversi una successione di eventi indipendenti, di cui il primo si può verificare in a modi diversi, il secondo in b modi diversi, il terzo in c modi diversi e così via Poiché gli eventi sono indipendenti, e quindi qualunque sia il tipo di quelli precedenti che si verifica, non influenza i successivi, ad ognuno degli a modi in cui si verifica il primo possiamo associare tutti gli b modi in cui si verifica il secondo e ad ognuno di questi il numero c di modi in cui si verifica il terzo etc.

modi modi del modi del modi del terzo primototali secondo

...

La riposta è quindi ...a b c Esempio 11 Un ristorante ha nel menù: 4 tipi di antipasto, 5 tipi di primo differenti, 3 tipi di secondo, 2 tipi di dolce. In quanti modi possiamo ordinare un pranzo completo? Essendo gli eventi indipendenti, il numero di modi in cui la loro successione può verificarsi è 4 5 3 2 120 , che coincide con il numero dei possibili pranzi completi. Esempio 12 Quanti sono i divisori positivi di 12000? Scomponendo in fattori primi si ha 3 2 3 3 5 312000 12 1000 3 4 10 3 2 2 5 3 2 5 . Ne consegue che un divisore di 12000 ha la forma 3 2 5a b c , dove ciascuno degli esponenti , ,a b c va da zero fino al valore massimo che è quello che compare nella scomposizione in fattori primi trovata sopra. Ci sono quindi due esponenti possibili per il 3 (cioè 0 e 1), sei per il due (0,1,2, 3, 4, 5) e quattro per il cinque (0,1,2, 3) . Il prodotto del numero di questi eventi indipendenti dà il totale dei divisori: 2 6 4 48 . In generale se un numero intero si scompone in 1 2 3

1 2 3 ... ka a a akn p p p p , allora il numero dei suoi divisori

positivi è dato da: 1 2( 1)( 1)...( 1)ka a a .

7

Domanda 2: si trovi quanti sono gli anagrammi (senza significato compiuto) di una parola composta da lettere tutte differenti, e di una parola composta anche da lettere che si ripetono. Nel primo caso abbiamo a che fare con delle semplici permutazioni di n oggetti. Si vogliano ad esempio trovare gli anagrammi della parola CIELO, composta da 5 lettere. La prima lettera dell’anagramma la posso scegliere fra 5, la seconda fra quattro, la terza fra tre, la seconda fra due e per l’ultima ho solo una possibile scelta. Il risultato è di 5 4 3 2 1 120 anagrammi. Se invece alcune delle lettere si ripetono bisogna tenere conto del fatto che il loro scambio di posto non dà luogo ad anagrammi differenti. Calcoliamo il numero di anagrammi della parola BANANA, composta da 6 lettere. Se ripetessi il ragionamento di prima otterrei 6 5 4 3 2 1 720 , un numero molto più alto degli anagrammi effettivamente possibili. E questo perché nel conto sono inclusi anche gli scambi di posto fra le 3 lettere A e quelli fra le 2 lettere N. Considerato che il numero di modi in cui le tre A possono scambiarsi di posto è3! 6 e che per le N è 2! 2 , ogni anagramma è stato contato 6 volte di troppo a causa delle A e 2 volte di troppo a causa delle N.

Dividendo per 6 2 12 abbiamo il giusto conteggio:720

606 2

.

In generale se si ha una parola di n lettere di cui una ripetuta k volte ed un’altra ripetuta p volte e così via, il

numero di anagrammi che si possono fare è:!

! !....n

k p .

Esempio 13 Trovare quanti sono gli anagrammi della parola MATEMATICA Ci sono 10 lettere di cui la M si ripete 2 volte, la T 2 volte, la A 3 volte,

quindi:10! 10! 10 ! 10 9 8 7 6 5 4 !

2 !2 ! 3 ! 4 3 ! 4 !

4 !

151200

Domanda 3: in quanti modi posso estrarre k oggetti da un insieme di n in modo che ne contengano esattamente m con una caratteristica fissata. Il sottoinsieme di k oggetti è composto dagli m aventi la caratteristica richiesta e dai restanti k-m che non l’ hanno. Occorre dapprima calcolare il numero di modi in cui possono essere presi dal numero complessivo n gli m oggetti con le caratteristiche richieste. Queste saranno le combinazioni di n in classe m, (oppure le disposizioni se l’ordine è importante). Tale numero va poi moltiplicato per le possibili combinazioni (o disposizioni) degli oggetti rimasti (cioè n m ) in classe k m . Esempio 14 Da una classe di 28 persone di cui 15 femmine e 13 maschi si dica in quanti modi si può formare una delegazione di 5 persone di cui 3 siano donne. Il numero di modi in cui si possono prendere 3 donne da un gruppo di 15 è dato dalle combinazioni di 15 in

classe 3: 15

3

, visto che l’ordine non è essenziale. I restanti 5 3 2 componenti della delegazione devono

essere scelti fra i 13 uomini ed il numero di modi di farlo è 13

2

. Poiché ad ogni sottogruppo di 3 donne può

corrispondere uno qualsiasi dei sottogruppi maschili, la risposta al problema sarà il prodotto 15 13

3 2

.

8

Domanda 4: in quanti modi posso estrarre k oggetti da un insieme di n in modo che ne contengano almeno m con una caratteristica fissata. La strategia risolutiva consiste in questo caso nel calcolare il numero di casi sfavorevoli e nel sottrarlo al numero dei casi possibili. I casi possibili sono dati dal numero complessivo di modi in cui si possono

prendere, senza riguardo per l’ordine, k oggetti da n: n

k

. I casi sfavorevoli sono dati dal numero di modi

in cui non si hanno almeno m oggetti del tipo voluto, e cioè quando se ne avranno 2m , 3m … etc. Al totale, allora, si sottrae dapprima il numero di modi in cui si possono prendere esattamente 1m oggetti con la caratteristica richiesta, scelti nel sottoinsieme di quelli che fra gli n la presentano. Poi si tolgono i modi in cui se ne possono prendere 2m , 3m … fino all’ultimo caso in cui nel sottoinsieme di k elementi non si ha nessun oggetto del tipo voluto. Esempio 15 Da una classe di 28 persone di cui 15 femmine e 13 maschi si dica in quanti modi si può formare una delegazione di 5 persone di cui almeno 2 siano donne.

I casi possibili sono complessivamente 28

5

. I casi sfavorevoli sono quelli in cui fra i 5 elementi della

delegazione non figurano almeno 2 donne, e cioè nel caso in cui non ve ne sarà nessuna oppure ve ne sarà solo una. Il numero di modi in cui non è presente nessuna donna corrisponde a quello di tutte le delegazioni

di 5 elementi maschi: 13

5

. Per stimare i casi in cui figura una sola donna, dobbiamo prima calcolare i

possibili insiemi di 4 maschi scelti fra i 13: 13

4

. Considerando poi che ad ognuno di tali insiemi si può

associare una qualunque delle 15 femmine, dovremo moltiplicare 13

4

per il numero complessivo delle

donne per avere il totale delle delegazioni costituite da 4 maschi ed una femmina. La risposta sarà allora:

delegazioni con

almeno 2 donne

1328 1515

5 5 4

Esempio 16 Si dica quanti sono le cinquine della tombola che hanno 5 come MCD (massimo comune divisore). Una cinquina che ha MCD=5 deve essere formata soltanto da multipli di 5. Essendo 90 i numeri della

tombola, esistono dunque 90/5=18 numeri fra cui scegliere e quindi esistono 18

5

di tali cinquine. Tuttavia

una cinquina di multipli di 5 può anche non avere 5 come MCD, ( si consideri ad esempio 20, 30, 40, 50, 60 che ha MCD=10). Ma dato che 5 è comunque un divisore di tutti i numeri della cinquina, se il MCD non è 5 allora deve essere un suo multiplo. Gli unici multipli di 5 che a loro volta hanno almeno cinque multipli minori di 90 (e quindi possono fare da MCD per una delle cinquine selezionate) sono 10 e 15: già il numero 20 ammette solo quattro multipli fino a 90. Esistono 6 multipli di 15 minori od uguali a 90 (15, 30, 45, 60, 75,

9

90) e 9 multipli di 10 minori od uguali a 90 (10, 20, 30…,90). Si possono quindi costruire 6

5

cinquine di

multipli di 5 che hanno MCD=15 e 9

5

cinquine di multipli di 5 che hanno MCD=10. Il loro numero totale va

sottratto a quello di tutte le cinquine possibili, per cui la risposta è:

Cinquine con

MCD = 5

6

18 9 6

5 5 5

18 17 16 15 14 9 8 7 6 5 6 5 4 3 25 !

1028160 15120 720 1012320843

120 120

Domanda 5: in quanti modi posso estrarre k punti da un insieme di n ed unendoli costruire un insieme di segmenti con caratteristiche fissate? Esempio 16A Si dica quante sono le diagonali di un poligono di n lati. Tracciare una diagonale equivale a scegliere due vertici non consecutivi fra un insieme di n vertici. Le

possibili coppie di vertici sono: 2

n ma ad esse va sottratto il numero di coppie di vertici consecutivi, che

sono n . Pertanto le diagonali di un poligono risultano:

( 1)( 2)!2 2!( 2)!

n n nn nn n

n

!

2( 2)!n

2 ( 3)

2 2

n nn nn n

Esempio 16B (esame di stato 2012) Dato un insieme di n punti non complanari, si dica quanti sono i possibili segmenti che si possono formare aventi tali punti come vertici, quanti i possibili triangoli e quanti i possibili tetraedri (non regolari) Il numero di segmenti corrisponde al numero di possibili coppie estratte dall’insieme di n punti, quindi

2

n , il numero di triangoli sono le possibili terne, quindi

3

n , ed il numero di tetraedri i possibili gruppi di

quattro punti, cioè 4

n .

Esame di stato 08-09 Sono dati gli insiemi 1;2;3;4A e ; ;B a b c . Tra le possibili funzioni di A in B ce ne sono di suriettive? Di iniettive? Di biettive? Le funzioni sono in tutto 43 81 . Non ci sono certamente funzioni iniettive dato che il numero degli elementi di B è inferiore al numero degli elementi di A .

10

Non ci sono nemmeno funzioni biiettive perché queste dovrebbero essere contemporaneamente iniettive e suriettive, ma ciò non può essere non essendoci le iniettive. Per il calcolo del numero delle funzioni suriettive, tutti e tre gli elementi diB devono essere delle immagini, nessuno di loro può restare escluso. Dobbiamo quindi associare a ciascuno degli elementi diA ognuno uno dei tre elementi di B , pertanto ci saranno tre elementi di A con immagine differente e poi il quarto sarà associato ad un elemento ripetuto. A partire dai quattro elementi di A possiamo costruire:

4 4 !6

2 2!2!

nuovi insiemi ciascuno di tre elementi, nel senso che una coppia viene vista come un solo elemento. Adesso abbiamo 6 insiemi A di tre elementi, ognuno associabile a B. Le funzioni possibili fra due insiemi di tre elementi sono 3! 6 , quindi si hanno in totale un numero di funzioni suriettive pari a:

43! 36

2

5. Disposizioni con ripetizione

Vogliamo ora calcolare quante file ordinate di k oggetti si possono formare scegliendo ciascuno di

essi all’interno dello stesso insieme di n elementi, ma con la possibilità ogni volta di ripetere una scelta già fatta. Chiameremo il numero di tali file ordinate le disposizioni con ripetizione di n oggetti in classe k e lo indicheremo con il simbolo ,n kDR . La domanda alla quale risponderemo è dunque: dato un insieme ad esempio di 4n oggetti, quante differenti file ordinate, ad esempio di 6k elementi, possiamo formare scegliendo solo fra gli n? Notiamo che:

1. Essendo autorizzati a ripetere la scelta, si potrà avere k n ma anche k n 2. Considereremo diverse due file di k elementi che differiscono per almeno un oggetto o per l’ordine.

Il calcolo numerico si effettua con una costruzione simile a quella delle permutazioni semplici, con la differenza che il numero delle possibili scelte non diminuisce di 1 passando alla casella successiva, ma è sempre n, visto che ogni volta ho n oggetti (virtuali) fra cui pescare:

Il numero di modi in cui questa fila ordinata può essere fatta vale allora:

... kn n n n n n n nk

volte

quindi le possibili disposizioni con ripetizione di n oggetti in classe k sono:

,k

n kDR n Esempio 17 Quanti diversi modi esistono di fare 13 al totocalcio?

n n n n n 1 2 3 4 5 n 6 n k

11

Dato che ogni colonna differente è un potenziale 13, la domanda chiede di calcolare quante diverse colonne di 13 elementi si possono fare utilizzando i 3 simboli 1X2. Si tratta allora delle disposizioni con ripetizione di

3n elementi in classe 13k : 133,13 3 1594323DR .

Esempio 18 Due alunni di liceo seguono un percorso di studi che comprende 11 materie differenti. Calcolare: a) in quanti modi diversi può verificarsi l’eventualità che entrambi prendano l’insufficienza in 2 materie a fine anno b) in quanti modi diversi può verificarsi l’eventualità che entrambi prendano un 3 ed un 4 a fine anno L’ordine in cui si considerano gli studenti non conta, ed inoltre le insufficienze dei due ragazzi sono eventi indipendenti, e quindi come si è visto abbiamo:

modi modi del modi del

primototali secondo

.

a) Se lo studente fosse uno solo la risposta si otterrebbe calcolando in quanti modi diversi si possono

scegliere 2 materie insufficienti fra le 11, cioè 11

2

. Ad ognuno di questi può essere associato uno qualunque

dei modi in cui il secondo studente può avere le 2 insufficienze, pertanto: modi

totali

11 11

2 2

.

b) In questo caso l’assegnazione delle insufficienze alle materie diventa un processo ordinato perché vengono specificati due differenti voti, e ad esempio non è lo stesso avere 3 in Italiano e 4 in Matematica piuttosto che 4 in Italiano e 3 in Matematica. Dovremo quindi fare il prodotto delle disposizioni ordinate di

11 elementi in classe 2: modi

totali2

11,2 11,2 11,2D D D

. Essendo poi 1 11 2 1 10n k abbiamo

2 2 211,2 (11 10) 110D .

Esempio 19 Quante sono le funzioni :f A B sapendo che ( ) 3card A e che ( ) 4card B ? E scambiando le cardinalità? Possiamo trovare tutte le funzioni calcolando il numero di modi in cui si possono prelevare 3 elementi da B, potendoli ripetere (anche tutti e tre uguali). Si tratta quindi delle disposizioni con ripetizione di 4 elementi in classe 3: 3

4,3 4DR . Scambiando le cardinalità il numero di funzioni possibili diviene 43 . 6. I coefficienti binomiali Si voglia ottenere la potenza n-esima di un binomio, na b . Per definizione risulta:

volte

...n

n

a b a b a b a b a b a b

Svolgendo i calcoli si ottiene una combinazione lineare1 di 1n monomi, ciascuno di grado n. All’interno di essi a e b figurano con tutti gli esponenti da 0 fino ad n:

1 Si dice combinazione lineare dei numeri reali 1 2 3, , , ... n a coefficienti reali 1 2 3c , c , c ,..., cn la quantità

1 1 2 2 3 3c c c ... cn n

12

1 3 3 4 4 11 3 4 n-1c c c ... cn n n n n n na b a a b a b a b ab b

ci proponiamo di calcolare i coefficienti della combinazione lineare 1 2 3 1c , c , c ,..., cn , detti coefficienti

binomiali. Il generico monomio della combinazione lineare ha quindi la forma:

n-k volte k volte... ...n k ka b aaaaaaaa aa bbbb bb

uno dei modi in cui la moltiplicazione degli n fattori ( )a b fa comparire il termine n k ka b nello sviluppo dei calcoli è prendendo il fattore a dai primi n k binomi della moltiplicazione, ed il fattore b dai rimanenti k : Questa però non è l’unica moltiplicazione che, svolgendo i calcoli, produce n k ka b . Infatti è sufficiente prendere il fattore a da n k binomi comunque scelti all’interno del prodotto e di conseguenza il fattore b dai restanti k binomi per ottenere lo stesso risultato, come nell’esempio seguente: È facile calcolare il numero complessivo di modi differenti in cui questo procedimento può essere compiuto: si tratta di tutte le possibili scelte di n k elementi da un insieme di n . E visto che una volta scelti gli n k binomi da cui si prende il fattore a la scelta dei rimanenti k da cui prendere b è obbligata, questo

numero è anche uguale a tutte le possibili scelte di k elementi da un totale di n , e cioè vale n

k

. Nello

sviluppo della potenza na b ci sono quindi n

k

termini simili n k ka b , e questo per ogni valore di k da 0

fino ad n . Ne concludiamo che:

0

nn n k k

k

na b a b

k

A titolo di esempio calcoliamo lo sviluppo di 5a b :

5

5 5 5 4 3 2 2 3 4 5

0

5 4 3 2 2 3 4 5

5 5 5 5 55 5

50 1 2 3 4

5 10 10 5

k k

k

a b a b a a b a b a b ab bk

a a b a b a b ab b

n-k volte k volte

... ...na b a b a b a b a b a b a b a b

n-k volte k volte

... ...na b a b a b a b a b a b a b a b

13

L’interpretazione data di n

k

come coefficienti nello sviluppo di un binomio consente il calcolo della loro

somma dal primo fino all’ n-esimo. Poniamo di voler calcolare lo sviluppo del binomio (1 1) 2n n :

1 1

(1 1) 1 1 2n n

n n k k n

k k

n n

k k

7. Il triangolo di Tartaglia e la formula di Stifel

E’ possibile evitare l’utilizzo della formula ,!

!( )!n kn

Ck n k

e calcolare i coefficienti binomiali con un

semplice procedimento ricorsivo, detto triangolo di Tartaglia, che a sua volta si basa su di una proprietà detta formula di Stifel. Consideriamo quindi il numero di modi differenti in cui si possono scegliere k elementi di un insieme A costituito da n oggetti. Chiamiamo a uno qualunque di questi elementi e poniamoci le seguenti due domande:

1. Quante solo le combinazioni in classe k degli oggetti di A che contengono a ? 2. Quante sono le combinazioni in classe k degli oggetti di A che invece non contengono a ?

La risposta alla prima domanda si ottiene considerando che se a deve essere contenuto fra i k elementi di ciascuna combinazione, allora abbiamo una scelta delle k che è vincolata, e ne rimangono da scegliere 1k

fra gli altri elementi di A, che tolto a , sono 1n . Pertanto il numero che cerchiamo è 1

1

n

k

.

La risposta alla seconda domanda si ottiene considerando che se a non deve figurare in nessuna delle combinazioni, allora la scelta dei k oggetti è limitata solo a quegli elementi di A diversi da a , che sono

ancora 1n . Il numero che cerchiamo sarà pertanto 1n

k

.

A questo punto osserviamo che per una qualunque combinazione di k elementi di A vi sono solo due possibilità: o la combinazione contiene l’oggetto a oppure non contiene l’oggetto a . Ne concludiamo che sommando il numero di combinazioni in classe k che contengono a con quelle che non lo contengono si ha

la totalità delle combinazioni in classe k di n oggetti, e cioè n

k

. In formule si ha il risultato:

1 1

1

nn n

kk k

che va sotto il nome di formula di Stifel2. Questa proprietà consente di ricavare i coefficienti binomiali costruendo una struttura triangolare come quella a lato dove, con l’eccezione dei fattori 1 agli estremi, ciascun numero è ottenuto sommando i due che nella fila precedente

2 Un’ espressione equivalente della formula di Stifel è: 1

1

n n n

k k k

1

1 1

1 2 13 11 3

41 4 6 1

1 5 10 10 5 1

riga - 1nriga n

- 1

- 1

n

k

- 1n

k

n

k

14

occupano la posizione nella colonne alla sua sinistra ed alla sua destra. Equazioni con i coefficienti binomiali Temi tratti da esami di stato Cardinalità degli insiemi di funzioni Si dice cardinalità di un insieme il numero di elementi che ne sono parte. La cardinalità può essere finita ma anche infinita, come nel caso dell’insieme di numeri pari. Distribuzione binomiale?