CALCOLO CALCOLO COMBINATORIOCOMBINATORIO

CALCOLO CALCOLO COMBINATORIOCOMBINATORIO

INDICE• Che cos’è il calcolo combinatorio?• Concetto di raggruppamenti semplici e di raggruppamenti con ripetizione• Disposizioni• Combinazioni• Permutazioni

PROBLEMI

1. In quanti modi diversi 3 ragazzi di una compagnia di 5 amici si possono sedere su 3 poltrone libere di un cinema?

2. Quanti numeri di 4 cifre si possono comporre con le cifre 1,2,3,4,5,6?

3. Quanti anagrammi si possono comporre con le lettere della parola ROMA? E con la parola ALA?

4. Quanti terni si possono fare con i 90 numeri del Lotto?

5. In quanti modi diversi 7 caramelle identiche possono essere distribuite tra 4 bambini?

E se le caramelle fossero diverse?

PS PR CS CRDS DR

Il calcolo combinatorio è un particolare ramo della

matematica applicata avente come scopo la

costruzione e la misurazione del numero di

raggruppamenti diversi che si possono comporre

prendendo una determinata quantità di elementi in un

assegnato insieme, in modo che siano rispettate

determinate regole.

VEDI ESEMPI

CHE COS’E’?

PROBLEMA:Raggruppare gli elementi a-b-c a gruppi di 2 con elementi che non si

ripetono

1° modo

COPPIE ORDINATE:

ab ac ba bc

ca cb

2° modo

COPPIE PER LE QUALI NON IMPORTA

L’ORDINE: ab ac bc

DISPOSIZIONI semplici (D3,2)

COMBINAZIONI semplici (C3,2)

avanti

PROBLEMA:Raggruppare gli elementi a-b-c a gruppi di 2 con elementi che possono ripetersi

1° modo

COPPIE ORDINATE:

aa ab ac bb ba bc

cc ca cb

DISPOSIZIONI con ripetizione

(D’3,2)

COMBINAZIONI con ripetizione

(C’3,2)

2° modoCOPPIE PER LE QUALI

NON IMPORTA L’ORDINE:

aa ab ac bb bc cc

indietro

I RAGGRUPPAMENTI POSSONO ESSERE:

• SEMPLICI: quando gli oggetti sono tutti diversi

• CON RIPETIZIONE: quando gli oggetti vi figurano una o più volte

“NOMI” DEI RAGGRUPPAMENTI

DISPOSIZIONI: quando l’ordine degli elementi è importante.

COMBINAZIONI: quando l’ordine degli elementi non ha alcuna importanza .

semplici

• Disposizioni con ripetizione

semplici

• Combinazioni con ripetizione

semplici

• Permutazioni con oggetti identici

TIPI DI RAGGRUPPAMENTI

COME CALCOLARE IL

NUMERO DI

DISPOSIZIONI?

PROBLEMA:

DATE LE 4 CIFRE 1,2,3,4 QUANTI SONO I NUMERI DI 2 CIFRE DISTINTE CHE SI POSSONO FORMARE?

1

2 3 4

2

1 3 4

3

1 2 4

12 ; 13 ; 14

21 ; 23 ; 24 31 ; 32 ; 34

Il n° di disposizioni semplici di 4 oggetti distinti presi a 2 a 2 è: D4,2 = 4*3 = 12

4

1 2 3

41 ; 42 ; 43

IN GENERALE:

il n° di DISPOSIZIONI SEMPLICI di n

oggetti distinti presi k per volta è

Dn,k= n(n-1)(n-2) ….. (n-k+1) con n>k

(cioè il prodotto di k numeri naturali

decrescenti a partire da n)PROBLEMI

PROBLEMA:

DATE LE 3 CIFRE 1,2,3 QUANTI SONO I NUMERI DI 2 CIFRE CHE SI POSSONO FORMARE?

1

1 2 3

2

1 2 3

3

1 2 3

11 , 12 ; 13

21 ; 22 ; 23

31 ; 32 ; 33

Il n° delle disposizioni con ripetizione di 3 oggetti a gruppi di 2 è : D’3,2=3*3=32=9

IN GENERALE:

il n° delle DISPOSIZIONI CON

RIPETIZIONE di n oggetti distinti presi

k per volta è

D’n,k= nkPROBLEMI

COME CALCOLARE IL

NUMERO DI

COMBINAZIONI?

PROBLEMA:

DATE LE 4 CIFRE 1,2,3,4 QUANTE SONO LE COPPIE DI NUMERI DISTINTI CHE SI POSSONO FORMARE?

1

2 3 4

2

1 3 4

3

1 2 4

1-2 ;1-3 ; 1-4

2-3 ; 2-4 3-4

Le combinazioni semplici di 4 oggetti presi a 2 a 2 sono : C4,2= D4,2 / 2 = 4*3 / 2 =6

4

1 2 3

IN GENERALE:

il n° di COMBINAZIONI SEMPLICI di n

oggetti distinti presi k per volta è

Cn,k = Dn,k / k! = ( ) con n>k n

k

PROBLEMI

PROBLEMA:

DATE LE 2 LETTERE a,b QUANTE SONO LE COMBINAZIONI CON RIPETIZIONE DI TALI OGGETTI PRESI A 3 A 3?

Il n° di combinazioni con ripetizione di n oggetti distinti presi a

3 a 3 è : C’2,3= ( ) = ( ) = 4

a a a

a a b

a b b

b b b 2+3-1

3

4

3

IN GENERALE:

il n° delle COMBINAZIONI CON

RIPETIZIONE di n oggetti distinti presi

k per volta è

C’n,k=

(cioè è il prodotto di k fattori crescenti

a partire da n, diviso k! )

PROBLEMI

n(n+1)….. (n+k-1)

K !

CHE COSA SONO LE

PERMUTAZIONI?

PERMUTAZIONI SEMPLICI

ESEMPIO: COSTRUIRE E CONTARE GLI ANAGRAMMI

(anche privi di senso) DELLA PAROLA APE P E A P E A E P A E P

A E P A E P E A P E A A P E A P E P A E P A

Il n° delle permutazioni di 3 oggetti distinti è: P3 = D3,3 = 3*2*1

= 6

Le permutazioni semplici di n oggetti distinti sono tutti i possibili raggruppamenti contenenti la totalità degli n oggetti e che differiscono solo per l’ordine

Pn = Dn,n

Pn = n!PROBLEMI

PERMUTAZIONI CON OGGETTI IDENTICIESEMPIO: COSTRUIRE E CONTARE GLI ANAGRAMMI (anche privi di senso) DELLA PAROLA

ALA L A A L A A A L A A L

A A L A A L A A L A A A L A A L A L A A L A

LE PERMUTAZIONI DI 3 OGGETTI , 2 DEI QUALI

IDENTICI, SONO: P3(2) = P3/2! = 3

uguali a 2 a 2

IN GENERALE:

se tra gli nn oggetti dati ve ne sono α uguali tra loro, β uguali tra loro… il numero delle permutazioni degli n oggetti assegnati risulta:

Pn(α, β ) =

n!

α! * β!PROBLEMI

E ora risolviamo i problemi formulati

all’inizio della presentazione !!!!!