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1

Calcolo delle probabilità

Il problema di Monty Hill nel film 21

Elementare!! Statistiche, cambio di variabili….

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X 1,6 2 3,5 3 3,2 4

Y 1000 1500 2000 2100 2400 3000

Il coefficiente di correlazione tra Indice e Stipendio vale 0,94. E’ possibile asserire che la

relazione tra X e Y è lineare, ad esempio, al 100%? Oppure c’è un margine di errore del 5%?

La probabilità è il grado di fiducia che si ripone in un evento che può accadere nel futuro.

Definizioni di probabilità:

� Classica: la probabilità di un evento è il rapporto tra il numero di

casi favorevoli e il numero di casi possibili (equiprobabili –

tautologia) .

� Soggettiva: la probabilità è il grado di fiducia che una persona

ripone in un certo evento.

� Empirica: la probabilità di un evento è il rapporto tra il numero di

volte in cui l’evento si è verificato, nelle prove effettuate, e il numero

delle prove effettuate.

Probabilità

Buffon (1707-1788)

Lanciò una moneta 4040

volte= 2.048 C e 1.992 T

Pearson (1857-1936)

Lanciò una moneta 24000

volte= 12.012 T e 11.998C

Sostenitori della definizione frequentista

Perci Diaconis (1945)

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% di volte in cui si verifica testa

nel lancio n volte di una moneta

equa (frequenza relativa).

TCTTCCTTTCTCTTCCTTTCTCTTCCTTTCTCTTCCTTTC

Simulazione al computer

del lancio di una moneta

n=10

n=100

n=1000

Sulla definizione frequentista

Ogni singola esecuzione dell’esperimento dà luogo ad un risultato non prevedibile.

� Selezionare una persona da un collettivo per misurare una sua

caratteristica

� Effettuare la misurazione di una grandezza fisica

� Estrazioni del lotto

� Lancio del dado

Esito: un particolare risultato dell’esperimento

Evento: un insieme di risultati dell’esperimento.

«Numeri pari estrazioni del lotto» «Persone di altezza tra 1,5 e 2,0 metri»

«Reddito tra 10.000 e 20.000 euro»

«Almeno due teste nel lancio di una moneta tre volte»

Esperimento casuale

� Lancio moneta

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Esperimento casuale: lancio di un dado.

Evento: uscita di un numero pari

� � 2,4,6Casi possibili: � � 1,2,3,4,5,6Casi favorevoli:

� � � |�||�| �

36

Come si calcola la probabilità di un evento?

Esperimento casuale: selezione di una persona con peso tra (50;60] da un collettivo così suddiviso:

Peso Freq.

Ass.

[40;50] 10

(50;60] 15

(60;70] 23

(70;80] 12

(80;90] 8

|�| � 15

|�| � 68� � � 15

68

Esperimento casuale: all’indagine effettuata presso il Liceo Galilei, hanno partecipato 163 studenti di cui 91 Maschi.Scelto a caso un questionario, qual è la probabilità che sia statocompilato da un maschio?

|�| � 91

|�| � 163� � � 91

163

Unione di eventi disgiunti:

A

B

Esempio: Una macchina per la produzione di buste di vegetali contiene un mix di fagioli,

broccoli e altri vegetali. La maggior parte dei prodotti è imbustata correttamente, ma a

causa della variazione della taglia dei vegetali la busta può essere sovrappeso o sottopeso.

Un controllo su 4000 buste ha riportato le seguenti valutazioni:

Peso No. Di pacchi

Sottopeso 100

Soddisfacente 3.600

Sovrappeso 300

� Qual è la probabilità che una busta scelta a

caso tra le 4000 non soddisfi le specifiche ri-

chieste?

Peso

A

B

C

� 100 � 3004000

Complementare di eventi:

A

� Qual è la probabilità che la busta

selezionata non sia sottopeso?

� �� � 1 � � � � 1 � 1004000

Regole del calcolo delle probabilità

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Se e quanto l’acquisizione di informazioni sull’esperimento modifica le nostre valutazioni probabilistiche?

Vuoi cambiare?

Il problema di Monty Hill nel film 21

��: ��������Il testardo:

nodo

decisionale

��

Se e quanto l’acquisizione di informazioni sull’esperimento modifica le nostre valutazioni probabilistiche?

Il problema di Monty Hill nel film 21

��: ��������Il testardo:

nodo

decisionale

�������1 33%=perdi

Primo scenario

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6

Se e quanto l’acquisizione di informazioni sull’esperimento modifica le nostre valutazioni probabilistiche?

Il problema di Monty Hill nel film 21

��: ��������Il testardo:

nodo

decisionale

�������1 33%=perdi

Secondo scenario�����3

33%=perdi

Se e quanto l’acquisizione di informazioni sull’esperimento modifica le nostre valutazioni probabilistiche?

Il problema di Monty Hill nel film 21

��: ��������Il testardo:

nodo

decisionale

�������1 33%=perdi

Terzo scenario�����3

33%=perdi

33%=vinci

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7

Se e quanto l’acquisizione di informazioni sull’esperimento modifica le nostre valutazioni probabilistiche?

Il problema di Monty Hill nel film 21

� : �����Non sei testardo:

nodo

decisionale

� �����1!��2 33%=Vinci

Primo scenario

Se e quanto l’acquisizione di informazioni sull’esperimento modifica le nostre valutazioni probabilistiche?

Il problema di Monty Hill nel film 21

� : �����Non sei testardo:

nodo

decisionale

� �����1!��2 33%=Vinci

Secondo scenario

33%=Vinci�����3!��2

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8

Se e quanto l’acquisizione di informazioni sull’esperimento modifica le nostre valutazioni probabilistiche?

Il problema di Monty Hill nel film 21

� : �����Non sei testardo:

nodo

decisionale

� �����1!��2 33%=Vinci

Terzo scenario

33%=Vinci�����3!��2

�����2!��1�����1!��2 33%=Perdi

Unione di eventi:

A B

Esempio: Riprendendo l’esempio del questionario degli studenti del liceo Galilei , scelto un

questionario a caso determinare la probabilità che lo studente che ha risposto sia maschio

oppure porta gli occhiali.

Occhiali

Genere Occhiali NO Occhiali SI

Maschi 62 29

Femmine 31 41

� � "#$%&��������%&������è&�������!�(�����$���&�)��"* � "#$%&��������%&������è&�������!�(�����$��!%�&����)%!����+(����)��(�"

� � � 91163 � * � 70

163

Probabilità congiunta

Regole del calcolo delle probabilità

� � ∩ * � 29163

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Probabilità condizionata

Si lancino due dadi distinguibili.

Casi possibili: � � ��!!�%������

Casi favorevoli:

� � � |�||�| �

536

Evento: «uscita di una coppia di risultati la cui somma è 8»

A= 2,6 ; 3,5 ; 4,4 ; 5,3 ; 6,2

Se un dado, ad esempio quello bianco, si ferma prima di quello rosso e mostra la faccia 5,

qual è ora la probabilità di totalizzare 8?

L’insieme dei casi possibili è ora cambiato. �� � 6Anche l’insieme dei casi favorevoli è cambiato. �� =1

���� � 1

6 � � ��

L’evento «il dado bianco mostra la faccia 5» condiziona l’evento «uscita di una coppia di risultati

la cui somma è 8».

Si definisce probabilità condizionata di un evento A dato l’evento B il seguente rapporto:

� � * � � � ∩ *�/*0

* ∩ �

*

� Quando si verifica l’evento B,

l’insieme dei casi possibili si riduce

� → *

� L’evento A si riduce

� → � ∩ *

� � * � � � ∩ *�/*0 �

136636

� ��

Regola della moltiplicazione:

� � ∩ * � � �|* �/*0

�

A

* = nuovo spazio campione

� ∩ *

B

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Esempio: Una azienda decide di effettuare un sondaggio circa la fedeltà dei propri dipendenti.

Ad un campione casuale viene chiesto cosa sceglierebbe se un’altra compagnia proponesse

un impiego di pari guadagno o leggermente superiore. L’intento della azienda è capire se la

risposta dipende dal numero di anni di servizio maturati.

< 1 anno Da 1 a 5 anni Da 6 a 10 anni > 10 anni Totale

Rimangono 10 30 5 75 120

Vanno via 25 15 10 30 80

Totale 35 45 15 105 200

Rimangono

Vanno via

Meno di 1 anno

Da 1 a 5 anni

Da 6 a 10 anni

Più di 10 anni

Meno di 1 anno

Da 1 a 5 anni

Da 6 a 10 anni

Più di 10 anni

120 200280 2002

10 120230 12025 120275 1202

25 80215 802

10 80230 802

=P(«< 1anno»| «Rimangono»)

=P(«1 a 5 anni»| «Rimangono»)

=P(«6 a 10 anni»| «Rimangono»)

=P(« >10 anni»| «Rimangono»)

P(«Rimangono»)

P(«Vanno via»)

Meno di 1 anno

Da 1 a 5 anni

Da 6 a 10 anni

Più di 10 anni

Meno di 1 anno

Da 1 a 5 anni

Da 6 a 10 anni

Più di 10 anni

P(«< 1anno»| «Rimangono»)

P(«1 a 5 anni»| «Rimangono»)

P(«6 a 10 anni»| «Rimangono»)

P(« >10 anni»| «Rimangono»)

� � ∩ * � � �|* �/*0Regola della moltiplicazione

P(«Rimangono») =P(« >10 anni»| «Rimangono») 3P(«> 10 anni») =P(«Rimangono»|« >10 anni») 3 P(«Rimangono» ∩ «> 10 anni»)

P(«> 10 anni»∩ «Rimangono»)

Verifica:

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� � ∩ * � � �|* �/*0Regola della moltiplicazione

P(«Rimangono») =P(« >10 anni»| «Rimangono») 3P(«> 10 anni») =P(«Rimangono»|« >10 anni») 3 P(«Rimangono» ∩ «> 10 anni»)

P(«> 10 anni»∩ «Rimangono»)

Verifica:

< 1 anno Da 1 a 5 anni Da 6 a 10 anni > 10 anni Totale

Rimangono 10 30 5 75 120

Vanno via 25 15 10 30 80

Totale 35 45 15 105 200

P(« >10 anni»| «Rimangono»)

P(«Rimangono») P(«Rimangono»|« >10 anni»)

= �45 44� 75120 P(«> 10 anni»)

= � 4 44 =

65�45

Rimangono

Vanno via

<1 anno

Da 1 a 5 anni

Da 6 a 10 anni

> 10 anni

< 1 anno

Da 1 a 5 anni

Da 6 a 10 anni

> 10 anni

120 2002

80 2002

10 120230 12025 1202

75 1202

25 80215 80210 802

30 802

� �4� 4 3� 4 44 = �/"rimangono" ∩ ">1anno"0

� ?4� 4 3� 4 44 = �/"rimangono" ∩ "da1a5"0

� 5� 4 3

� 4 44 = �/"rimangono" ∩ "da6a10"0

� 65� 4 3� 4 44 = �/"rimangono" ∩ "A10anni"0

0,05

0,15

0,025

0,375

0,125

0,0750,05

0,15

< 1 anno 1 - 5 anni 6 - 10 anni > 10 anni

Fedeltà all'azienda

Restano Vanno via

0,60,4

0,38

0,03

0,15

0,05

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12

Il problema inverso

Rimangono

Vanno via

<1 anno

Da 1 a 5 anni

Da 6 a 10 anni

> 10 anni

0,15

0,05

Se si conoscono le probabilità sui singoli rami…

0,175

0,225

0,075

0,525

Rimangono

Vanno via

Rimangono

Vanno via

Rimangono

Vanno via

0,286

0,667

0,333

0,71

0,714

0,333

0,667

0,29

… calcolare la probabilità che un impiegato scelto a caso, abbia risposto che rimane nell’

azienda.

<1 anno

Da 1 a 5 anni

Da 6 a 10 anni

> 10 anni

0,71

0,667

0,286

0,333

Prob. che avrebbre

questo evento se

lo spazio campione

fosse

l’insieme rosso

Il problema inverso

Rimangono

Vanno via

Da 1 a 5 anni

Da 6 a 10 anni

> 10 anni

0,15

0,05

Se si conoscono le probabilità sui singoli rami…

0,175

0,225

0,075

0,525

Rimangono

Vanno via

Rimangono

Vanno via

Rimangono

Vanno via

0,286

0,667

0,333

0,71

0,714

0,333

0,667

0,29

… calcolare la probabilità che un impiegato scelto a caso, abbia risposto che rimane nell’

azienda.

<1 anno

� "rimangono" � � "rimangono" >"1anno" 3 �/">1anno"0 +

� "rimangono" >"��1�5����" 3 �/"��1�5����"0 +

� "rimangono" >"��6�10����" 3 �/"��6�10����"0 +

� "rimangono" >"A10anni" 3 �/" A 10����"0� 0,286 3 0,175 � 0,667 3 0,225 � 0,333 3 0,075 � 0,71 3 0,525= 0,59

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13

� "rimangono" � � "rimangono" >"1anno" 3 �/">1anno"0 +

� "rimangono" >"��1�5����" 3 �/"��1�5����"0 +

� "rimangono" >"��6�10����" 3 �/"��6�10����"0 +

� "rimangono" >"A10anni" 3 �/" A 10����"0� 0,286 3 0,175 � 0,667 3 0,225 � 0,333 3 0,075 � 0,71 3 0,525= 0,59

Teorema delle alternative

Assegnati n eventi *�, * , … , *C tali che ∪E *E � � e *E ∩ *F � ∅ risulta

� � �H� �|*E � *EE

0,15

*� * *?

*I

� � ∩ *E � � �|*E � *E

Media pesata delle probabilità condizionate

Eventi indipendenti

Due eventi A e B si dicono indipendenti se � �|* � � �Esempio: Da una scatola di 10 pellicole fotografiche vengono estratte 2 pellicole a caso.

Qual è la probabilità che entrambe siano difettose, sapendo che nella scatola ci sono 3

pellicole difettose?

Cosa cambia nella risposta rispetto al caso precedente?

� J� ∩ J � � J |J� � J� = K ×

?�4

Indipendenza stocastica: lancio di due monete,

lancio di due dadi, etc… Indipendenza statistica: quando si effettuano

estrazioni da un collettivo molto numeroso

Esempio: Da una scatola di 100 pellicole fotografiche vengono estratte 2 pellicole a caso.

Qual è la probabilità che entrambe siano difettose, sapendo che nella scatola ci sono 3 pelli-

cole difettose?

J� � "!����!%((���(�%&��������L%���&�"J � "&%�����!%((���(�%&��������L%���&�"

� 0,03 3 0,03� J� ∩ J � � J |J� � J�

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Se ad ogni estrazione, la pallina viene rimessa nell’urna la

composizione dell’urna non cambia

Popolazione infinita

L’esito di ogni estrazione dipende da quelli precedenti.

Se ad ogni estrazione, la pallina non viene rimessa nell’urna la composizione dell’urna

cambia e dopo 90 estrazioni, il procedimento termina.

Popolazione finita

Eventi indipendenti

Eventi dipendenti

M � �M � 1

M � ��+(���%((�!�!�(�N���%� � ��+(���%(���!���%

Fattore di correzione da una popolazione finita.

Se il fattore di correzione è circa 1, allora le due estrazioni possono ritenersi equivalenti e

l’indipendenza è spesso usata per calcolare probabilità congiunte.

Esempio: Da un’urna contenente 10 palline rosse e 5 blue, si estraggono tre palline.

Qual è la probabilità che tutte e tre le palline estratte siano rosse?

Estrazione con reimmissione

Estrazione senza reimmissione

�/J� ∩ J ∩ J?)

=�/J�) �/J )� J? =0,5×0,5×0,5

� J� ∩ J ∩ J? � � J?|J� ∩ J � J |J� �(J�) � 38 3

49 3

510

*�

J�

* J

* J

*?J?

*?J?

*?J?

*?J?

5 152

10 152

3 132

10 142

5 142

9 142

10 1324 1329 132

9 1324 132

5 1328 132

Qual è la probabilità che

alla terza estrazione, la

pallina sia rossa?

4 142

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Teorema di Bayes

Reverendo Thomas Bayes (1750)

Logico e teologo

«A partire da una serie di dati già in nostro

possesso possiamo formulare un’ipotesi;

collezionando sempre nuovi dati possiamo

continuamente aumentare (o rivedere) il

grado di bontà delle nostre ipotesi»

Teorema di Bayes

La percentuale di studenti iscritti al secondo anno di economia che frequenta il corso di stati-

stica è 90%. Tra questi, il 90% supera l’esame. Supponendo inoltre che la percentuale di stu-

denti che non supera l’esame tra quelli che non frequentano è del 12% si calcoli:

a) qual è la % di studenti che non supera l’esame tra quelli che frequentano il corso;

b) qual è la % di studenti che non frequentano, tra quelli che si ipotizza non superanno l’esame.

90%

10%Non

frequenta

90%

Frequenta

Supera l’esame

10% Non supera l’esame

88% Supera l’esame

12% Non supera l’esame

* � &�$�%��%&�%(�����&����&$!%��(O%&��%� � &�$�%��%&�%(�����&�L�%#$%����(���&�

�0� * � � 0,10

� � * � ?

� � � ∩ *�/*0

= P Q R P/R0

P/Q0

� ∪ �� � � � ∩ �� � ∅� * � � * � � � � � * �� � �� � � * � � * � �/�0

� * � � � � � * �� � ��=

4,�434,K44,�434,K4S4,� 34,�4

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16

Un po’ di terminologia

�/�0 probabilità a priori (o verosimiglianza)

La probabilità dell’evento A senza conoscere l’effetto B

� � * probabilità aposteriori

La probabilità dell’evento A avendo riconosciuto l’effetto B

�/*0 Costante di normalizzazione

Il teorema di Bayes noto l’effetto B, valuta la probabilità che la causa sia stata A.

Applicazioni di metodi bayesiani: � filtri anti-spamming

� medicina e biologia

� ingegneria

� finanza

� scienza forense

� intelligenza artificiale: reti bayesiane (presenti in Windows dalla versione 98)

� motori di ricerca: Google «We can’t hire smart people fast enough»

Il punto di vista frequentista Il punto di vista bayesiano

La probabilità si calcola sul lungo periodo La probabilità è un grado di fiducia

C’è un modello vero che genera i dati e i

dati ne sono una rappresentazione

I dati sono veri/fissati.

I modelli hanno delle probabilità.

E’ possibile calcolare la probabilità che i

dati si verifichino in base al modello che si

ritiene vero

E’ possibile calcolare la probabilità di un

modello (ipotesi) in base ai dati osservati

Ogni esperimento va fatto in condizioni di

non conoscenza del modello vero

Le probabilità possono essere aggiornate

via via che si acquisiscono i dati

13/04/2015

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Teorema di Bayes

<1 anno

Da 1 a 5 anni

Da 6 a 10 anni

> 10 anni

0,71

0,667

0,286

0,333

Si assuma di aver selezionato un impiegato a caso, e che questo impiegato ha risposto che

rimarrebbe comunque in azienda. Qual è la probabilità che lavori in quella azienda da 6 a

10 anni?

� "da6a10anni" "rimangono"Bisogna calcolare

Si conosce � "rimangono" "da6a10anni" = 0,333

0,175

0,225

0,075

0,525

� "da6a10anni" � 0,286?

� "da6a10anni" "rimangono" = P "TUVU�4UCCE"∩"WEXUCYZCZ"

P/"WEXUCYZCZ"0

=P "rimangono" "da6a10anni" P("da6a10anni")

P/"rimangono"0 =4,???34, [V

4,5K

Calcolata

precedentemente

Si ha la seguente situazione:

- l'1% della popolazione ha una certa malattia rara;

- un test diagnostico rivela la presenza della malattia all'80% (sensibilità);

- il test diagnostico ha il 90,4% di specificità (negativo su pazienti sani).

Supponiamo di essere risultati positivi al test. Qual è la probabilità che siamo malati?

0,01

0,99

M

S

Test positivo

Test negativo

Test positivo

Test negativo

0,80

0,20

0,096

0,904

� ��(��� �%&�!�&���\�0 � � �%&�!�&���\� ��(��� �/��(���0�/�%&�!�&���\�0

� �%&�!�&���\� � � �%&�!�&���\� ��(���0� ��(��� � � �%&�!�&���\� &���0� &���= 0,80×0,01+ 0,096×0,99 = 0,008 + 0,09504

� ��(��� �%&�!�&���\�0 � 4,[434,4�4,�4?4I =0,07764

Teorema di Bayes

13/04/2015

18

Più in generale, indicata con ! la percentuale di malati (prevalenza), si ottiene:

� ��(��� �%&�!�&���\�0 � 0,80 3 !0,80 3 ! � 0,096 3 /1 � !0

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,0

1

0,0

2

0,0

3

0,0

4

0,0

5

0,0

6

0,0

7

0,0

8

0,0

9

0,1

0,1

1

0,1

2

0,1

3

0,1

4

0,1

5

0,1

6

0,1

7

0,1

8

0,1

9

0,2

0,2

1

0,2

2

0,2

3

0,2

4

0,2

5

� ��(��� �%&�!�&���\�0

!

A volte è sufficiente stabilire

delle semplici disuguaglianze.

Per quale livello di prevalenza della malattia

la probabilità finale

risulterà maggiore di una certa soglia?

� ��(��� �%&�!�&���\�0

0,80 3 !0,80 3 ! � 0,096 3 /1 � !0 A 0,5 ! A 0,048

0,448 � 0,11

nodo

decisionale

M�������

]����

Porta 1 = Non vinci

Porta 2 = Vinci

Porta 3 = Non vinci

Porta 1 = Vinci

Porta 2 = Non vinci

Porta 3 = Vinci

Cambi Non Cambi Totale

Vinci 2 1 3

Non Vinci 1 2 3

Totale 3 3 6

Cambi Non cambi Totale

Vinci 33% 17% 50%

Non Vinci 17% 33% 50%

Totale 50% 50% 100%

Cambi Non cambi

Vinci 0,33/0,5×100=66% 0,17/0,5×100=34%

Non Vinci 0,17/0,5×100=34% 0,33/0,5×100=66%

Totale 100% 100%

^ � \���� ^� � ���\����C� ����� ]� � ��������

Cambi Non cambi Totale

Vinci � ^⋂] � ^⋂]� � ^Non Vinci � ^�⋂] � ^�⋂]� � ^�

Totale � ] � ]�

Distribuzione congiunta

Distribuzione condizionata

Cambi Non Cambi

Vinci � ^|] � ^|]�

Non Vinci � ^�|] � ^�|]�

� ^ � � ^ ] � ] � � ^ ]� �/]�0

Il problema di Monty Hill nel film 21

13/04/2015

19

� ^ � � ^ ] � ] � � ^ ]� �/]�0Cambi Non cambi

Vinci 0,33/0,5×100=66% 0,17/0,5×100=34%

Non Vinci 0,17/0,5×100=34% 0,33/0,5×100=66%

Totale 100% 100%

Distribuzione condizionata

Se decidi di cambiare lanciando una

moneta (onesta)…

Posto e si ha ! � �/]0 ` � �/^0

` � 0,66 3 ! � 0,34 3 1 � ! � 0,32 3 ! � 0,34

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

! � �/]0

` � �/^0

Il problema di Monty Hill(Altro punto di vista)

M1= ����)�����%���!����1M2= ����)�����%���!����2M3= ����)�����%���!����3

� a1 � � a2 � � a3 � 1/3* � &�%+(�(�!����1%�(!�%&%������%�!�%!����3

� * a1 � 0,5� * a2 � 1� * a3 � 0

�/a1|*0 ��/a2|*0 � P Q c P/c 0

P/Q0 = �34,???

4,5 � 0,66

� * � 0,5

Conviene cambiare….

� * a1 �/a10�/*0 � 4,534,???

4,5 � 0,34

Può aprire una delle due porte

non scelte da te