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Calcolo delle probabilità Il calcolo delle probabilità studia in modo matematico i fenomeni in cui è presente l’incertezza. Sono dati degli eventi che possono verificarsi o non verificarsi, e ci si chiede: qual è la probabilità che l’evento E si verifichi? Importante: anche se gli eventi sono incerti, i metodi di indagine sono suffragati dalle certezze fornite dallo strumento matematico: la matematica non è un’opinione, o almeno così credono i matematici.

Calcolo delle probabilità

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Calcolo delle probabilità. Il calcolo delle probabilità studia in modo matematico i fenomeni in cui è presente l’incertezza . Sono dati degli eventi che possono verificarsi o non verificarsi, e ci si chiede: qual è la probabilità che l’evento E si verifichi ? - PowerPoint PPT Presentation

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Page 1: Calcolo delle probabilità

Calcolo delle probabilità

Il calcolo delle probabilità studia in modo matematico i fenomeni in cui è presente l’incertezza.

Sono dati degli eventi che possono verificarsi o non verificarsi, e ci si chiede: qual è la probabilità che l’evento E si verifichi?

Importante: anche se gli eventi sono incerti, i metodi di indagine sono suffragati dalle certezze fornite dallo strumento matematico: la matematica non è un’opinione, o almeno così credono i matematici.

Page 2: Calcolo delle probabilità

Gli eventi

Vengono fatti degli esperimenti dall’esito incerto, e se ne considerano gli esiti. Un esito racchiude tutte le informazioni rilevanti sull’andamento dell’esperimento.

Si assume che in ogni esperimento si verifichi un esito ed uno solo.

Gli eventi sono affermazioni riguardanti gli esiti. Un evento può essere identificato con l’insieme degli esiti che lo soddisfano. Quindi gli eventi possono essere pensati come insiemi di esiti.

Nel nostro corso assumeremo che l’insieme degli esiti sia finito

Page 3: Calcolo delle probabilità

Esempi

Viene lanciato un dado. Gli esiti sono allora: esce 1, esce 2, esce 3, esce 4, esce 5, esce 6.

L’evento esce un numero pari può essere identificato con l’insieme costituito da 2,4,6.

L’evento che corrisponde all’insieme vuoto di esiti, (nel nostro caso, l’evento non esce nulla) viene detto evento impossibile.

L’evento che corrisponde a tutti i possibili esiti (nel nostro caso, l’evento esce qualcosa) viene detto evento certo.

Page 4: Calcolo delle probabilità

Esempi

Nel gioco del totocalcio, gli esiti sono le possibili colonne vincenti. Il numero di tali esiti è, come noto, 313 (numero di sequenze lunghe 13 dei tre oggetti 1, X, 2).

L’evento nella prima partita vince la squadra di casa, può essere identificato con l’insieme di tutte le colonne che iniziano con un 1 (312 colonne).

L’evento non ci sono vittorie in trasferta può essere identificato con l’insieme di tutte le colonne prive di 2 (213 colonne)

L’evento certo è vi è almeno una colonna vincente (soddisfatto da tutte le colonne) e l’evento impossibile è non esiste alcuna colonna vincente (nessuna colonna lo soddisfa).

Page 5: Calcolo delle probabilità

Probabilità

Ci sono vari tentativi di definire la probabilità di un evento:

Impostazione frequentista. Ammettendo di poter ripetere l’esperimento ad libitum, la probabilità è la frequenza dell’evento (numero di casi in cui l’evento si verifica diviso per il numero degli esperimenti) su un numero molto grande (potenzialmente infinito) di esperimenti.

Page 6: Calcolo delle probabilità

Altra impostazione

Supponiamo che non ci siano ragioni per ritenere che un esito possa verificarsi più facilmente di un altro. Allora la probabilità di un evento è il rapporto fra il numero degli esiti che lo soddisfano (casi favorevoli) e il numero totale degli esisti (casi possibili).

Nota. Se gli esiti hanno tutti la stessa probabilità, diciamo che ci troviamo in uno spazio equiprobabile.

Page 7: Calcolo delle probabilità

Impostazione soggettiva

La probabilità di un evento è la quota che un individuo razionale ritiene equo scommettere contro la posta unitaria (fissata in modo convenzionale, e.g., 1 Euro) sul verificarsi dell’evento.

Nota. Il fatto che l’individuo razionale consideri la quota equa lo impegna ad accettare la scommessa sia come scommettitore che come banco.

Page 8: Calcolo delle probabilità

Principi generali

Con ciascuna delle tre impostazioni, i seguenti principi generali sembrano ragionevoli:

La probabilità di un evento è la somma delle probabilità degli esiti che lo soddisfano, e quindi l’evento impossibile ha probabilità 0.

La probabilità di un esito è un numero compreso fra 0 e 1.

La somma delle probabilità di tutti gli esiti (probabilità dell’evento certo) è 1.

Page 9: Calcolo delle probabilità

Principi generali

Questi principi consentono di definire la probabilità di un evento in base alle probabilità dei singoli esiti.

Siano e1,…,en gli esiti. Si ha allora:

1. Per i=1,…,n, Pr(ei) è compreso fra 0 e 1 (di solito nel caso finito si assume 0< Pr(ei) <1).

2. Pr(e1)+Pr(e2)+…+Pr(en)=1.

3. Inoltre, detti a1,…,ah gli esiti che soddisfano l’evento E, le probabilità di E è data da Pr(E)=Pr(a1)+…+Pr(ah).

Page 10: Calcolo delle probabilità

Spazi equiprobabili

In uno spazio equiprobabile tutti gli esiti hanno la stessa probabilità.

Se gli esiti sono n, la probabilità di un esito è 1/n. Quindi se gli esiti che soddisfano un evento E sono k,

la probabilità di E è k/n. In altre parole in uno spazio equiprobabile la probabilità

di un evento è il rapporto fra il numero degli esiti che lo soddisfano (casi favorevoli) e il numero totale degli esiti (casi possibili).

Page 11: Calcolo delle probabilità

Esempi

Qual è la probabilità che lanciando un dado bilanciato esca un numero dispari?

Risposta: vi sono 6 esiti possibili e 3 favorevoli (1, 3 e 5). La probabilità è quindi 3/6=1/2.

Un’urna contiene 22 palline bianche, 18 palline rosse e 14 palline nere. Qual è la probabilità di estrarre una pallina rossa?

Risposta: vi sono 18 casi favorevoli e 22+18+14=54 casi possibili. La probabilità è quindi 18/54=1/3.

Page 12: Calcolo delle probabilità

Esempi

Qual è la probabilità di fare 13 al totocalcio giocando una schedina a caso?

Risposta: i casi possibili sono tanti quante le colonne, ossia 313.

Vi è un solo caso favorevole, la colonna vincente.

La probabilità cercata è 1/(313)=6,2723 . 10-7.

Page 13: Calcolo delle probabilità

Esempi

Qual è la probabilità di fare 13 giocando 13 doppie a caso?

Risposta: Casi possibili: 313. Casi favorevoli: tanti quante le sequenze di 13 elementi

(colonne) in cui ciascun risultato può variare indipendentemente in 2 modi (i 2 risultati corrispondenti alla doppia giocata).

Per il principio moltiplicativo i casi favorevoli sono 213. La probabilità cercata è 213/313=5,1382 . 10-3.

Page 14: Calcolo delle probabilità

Esempi

Qual è la probabilità di fare cinquina al gioco del lotto giocando 5 numeri a caso su una data ruota?

Risposta: tutte le cinquine sono equiprobabili. Vi è solo un caso favorevole, la cinquina che ho

giocato io. I casi possibili sono tanti quante le cinquine prese fra i

90 numeri del lotto, quindi C(90,5). La probabilità richiesta è quindi 1/C(90,5)=2,2754. 10-8

Page 15: Calcolo delle probabilità

Operazioni su eventi

Due eventi si dicono incompatibili se la loro intersezione è l’evento impossibile.

BA

BA

Siano A e B due eventi di uno stesso spazio campione. L’unionedi A e B è l’evento che si verifica se si verifica almeno uno dei due. Tale evento è denotato con L’intersezione di A e B è l’evento che si verifica se A e B si verificano entrambi. Tale evento si denota con

Il complemento di A è l’evento che si verifica se e solo se A non si verifica. Tale evento si denota con Ac.

Page 16: Calcolo delle probabilità

Proprietà della probabilità Sembra ragionevole assumere che se A e B sono

incompatibili, la probabilità della loro unione sia la somma delle probabilità dei due eventi.

Infatti gli esiti che soddisfano l’unione sono quelli che soddisfano A più quelli che soddisfano B, e nessuno di essi è contato due volte. Vale pertanto la seguente:

Legge additiva della probabilità: se A e B sono incompatibili, allora:

)Pr()Pr()Pr( BABA

Page 17: Calcolo delle probabilità

Altre proprietà della probabilità

In altri termini la legge additiva si modifica nella seguente:)Pr()Pr()Pr()Pr( BABABA

)Pr()Pr()Pr( BABA

Attenzione: se A e B non sono incompatibili, la legge additiva non si può più esprimere nella forma:

Infatti, nell’espressione Pr(A)+Pr(B) gli esiti che soddisfano sia A che B sono contati due volte.

Per avere un esatto computo della probabilità dell’unione di A e B, devo sottrarre a Pr(A)+Pr(B) la probabilità dell’intersezione, che è stata sommata due volte invece di una.

Page 18: Calcolo delle probabilità

Esempio

Qual è la probabilità di fare 12 al totocalcio giocando una colonna a caso?

Risposta: si può fare 12 sbagliando il primo risultato, il secondo,…, il tredicesimo. Per i=1,…,13, gli eventi faccio 12 sbagliando l’i-esimo risultato sono a due a due incompatibili.

Per ciascuno i casi favorevoli sono 2 (le possibilità sono 1, X, 2 quindi si può sbagliare in 2 modi), e i casi possibili sono 313. Quindi la probabilità di ciascuno di tali eventi è 2/ 313 .

Per la legge additiva la probabilità di fare 12 è 13.(2/ 313 )=26/ 313=1,6308.10-5

Page 19: Calcolo delle probabilità

Proprietà della probabilità

Poiché l’unione di un evento A e del suo complemento Ac è l’evento certo di probabilità 1, per la legge additiva si ha:

1=Pr(A)+Pr(Ac), da cui segue Pr(Ac)=1-Pr(A). Questa legge è utile in alcuni casi in cui il

calcolo di Pr(Ac) è più rapido del calcolo diretto di Pr(A).

Page 20: Calcolo delle probabilità

Esempio: il paradosso del compleanno

Qual è la probabilità che su 30 persone scelte a caso almeno 2 di essi festeggino il compleanno lo stesso giorno?

Risposta: è meglio calcolare prima la probabilità del complemento, cioè la probabilità che tutti siano nati in giorni diversi.

Casi possibili: il giorno di nascita di ciascuno può variare indipendentemente in 365 modi diversi. Quindi i casi possibili sono 36530.

Page 21: Calcolo delle probabilità

Esempio: il paradosso del compleanno

Casi favorevoli: la data di nascita del primo può variare in 365 modi, quella del secondo, dovendo essere diversa, può variare in 364 modi, quella del terzo in 363 modi,, etc.

Totale: D(365,30)=365.364. … .336 casi favorevoli. La probabilità di 30 compleanni in giorni diversi è

quindi D(365,30)/36530=0,29368. La probabilità di due persone con lo stesso

compleanno è quindi 1-0,29368=0,70632, più del 70%.

Page 22: Calcolo delle probabilità

Un altro esempio

Il paradosso del compleanno ci insegna che su un grande numero di esperimenti le stranezze diventano probabili, e ciò che deve davvero sorprendere è l’assenza completa di sorprese.

Questo è messo in luce anche dal seguente esempio. Viene scelta a caso una stringa binaria di 100 bit (zeri

e uni). Qual è la probabilità che vi siano almeno 2 bit

consecutivi uguali?

Page 23: Calcolo delle probabilità

Risposta

Calcoliamo la probabilità del complemento, cioè che due bit consecutivi siano sempre diversi.

Vi sono 2100 stringhe binarie, quindi 2100 casi possibili. I casi favorevoli sono due: 01010101…. e 10101010…. Quindi la probabilità del complemento è 2/ 2100

=1,5777. 10-30. La probabilità dell’evento è 1-(1,5777. 10-30), che è

vicinissima a 1.

Page 24: Calcolo delle probabilità

Altri esercizi

Un’urna contiene 10 palline bianche e 15 palline nere. Ne vengono estratte due con reimbussolamento. Qual è la probabilità che almeno una pallina sia bianca?

Risposta: Valutiamo prima la probabilità dell’evento complementare, cioè la probabilità di 2 palline entrambe nere.

Casi possibili: tanti quante le sequenze di 2 palline prese dalle 25 dell’urna, ossia 252=625.

Casi favorevoli: tanti quante le sequenze di 2 palline prese fra le 15 nere, ossia 152=225.

Page 25: Calcolo delle probabilità

Altri esercizi

La probabilità dell’evento complementare è quindi 225/625=9/25.

La probabilità di estrarre almeno una pallina bianca è 1-9/25=16/25.

Page 26: Calcolo delle probabilità

Altri esercizi

Qual è la probabilità di estrarre almeno una pallina bianca se le estrazioni sono senza reimbussolamento?

Per l’evento complementare, i casi possibili sono C(25,2)=300, e i casi favorevoli sono C(15,2)=105.

La probabilità del complemento è dunque 105/300=7/20.

Quindi la probabilità di estrarre almeno una pallina bianca è 1-7/20=13/20.

Page 27: Calcolo delle probabilità

Problemi di riepilogo

Qual è la probabilità di fare 6 al superenalotto giocando una sestina di numeri?

Risposta: 1/C(90,6)=1,6061 . 10-9. Qual è la probabilità di avere una scala reale all’asso

servita giocando a Poker con 32 carte? Risposta. I casi possibili sono tanti quante le cinquine di

carte prese fra le 32 del mazzo. I casi favorevoli sono 4, poiché vi è una scala reale

all’asso per ogni seme. La probabilità è quindi 4/C(32,5)=1,9863 . 10-5.

Page 28: Calcolo delle probabilità

Problemi di riepilogo

Da un mazzo di 40 carte ne estraiamo 5 a caso. Qual è la probabilità che siano tutte dello stesso seme?

Risposta: I casi possibili sono C(40,5). Possiamo suddividere i casi favorevoli in: 5 cuori, 5

picche, 5 quadri e 5 fiori. Vi sono 10 carte per ogni seme, quindi i casi favorevoli per ogni seme sono C(10,5).

In totale vi sono 4.C(10,5) casi favorevoli. La probabilità cercata è 4.C(10,5)/C(40,5)=1,5319.10-3.

Page 29: Calcolo delle probabilità

Problemi di riepilogo

Due stringhe binarie (di zeri e uni) di lunghezza 1000 differiscono per 30 bit. Scegliamo 50 posizioni a caso fra le 1000 e confrontiamo i corrispondenti bit. Qual è la probabilità che in almeno una delle posizioni controllate le due sequenze differiscano?

Risposta: Calcoliamo la probabilità del complemento, cioè che tutti i bit controllati coincidano.

I casi possibili sono C(1000,50). I casi favorevoli sono C(930,50). La probabilità del complemento è

C(970,50)/C(1000,50)=0,20968. La probabilità cercata è quindi 1- 0,20968=0,79032, quasi l’80%.

Page 30: Calcolo delle probabilità

Problemi di riepilogo

Qual è la probabilità di fare terno giocando 3 numeri al lotto su una data ruota?

Risposta. Presentiamo due soluzioni. Nella prima consideriamo come casi possibili tutte le

cinquine prese fra i 90 numeri e come casi favorevoli quelle che contengono i 3 numeri da me giocati.

Nella seconda consideriamo come casi possibili tutte le terne giocabili e come casi favorevoli quelle contenute nei 5 numeri estratti.

Page 31: Calcolo delle probabilità

Prima soluzione

Casi possibili: C(90,5). Casi favorevoli: 3 numeri su 5 devono coincidere con i

numeri da me giocati, mentre gli altri 2 possono variare fra i rimanenti 87 numeri.

I casi possibili sono tanti quante sono le coppie non ordinate di numeri presi fra i rimanenti 87, vale a dire C(87,2).

La probabilità di fare terno è quindi C(87,2)/C(90,5)=8,5121. 10-5.

Page 32: Calcolo delle probabilità

Seconda soluzione

Casi possibili: C(90,3). Casi favorevoli: Devo indovinare un insieme di

3 numeri presi fra i 5 estratti. Le possibilità sono tante quanti i sottoinsiemi di

3 elementi dell’insieme dei 5 numeri estratti, cioè C(5,3).

La probabilità di fare terno è quindi C(5,3)/C(90,3)=8,5121. 10-5.

Page 33: Calcolo delle probabilità

Probabilità condizionata

Sapendo che la probabilità di avere due bombe su un aereo è pressoché nulla, mentre la probabilità di averne una, pur essendo bassa, non è del tutto trascurabile, un matematico che deve fare un viaggio in aereo decide di portare con se una bomba che ovviamente non farà esplodere.

Egli in questo modo si sente tranquillo rispetto alla possibilità di un’altra bomba, dato che la presenza di due bombe è pressoché impossibile.

Dove sbaglia il nostro matematico?

Page 34: Calcolo delle probabilità

Probabilità condizionata

L’errore consiste nel fatto che ora possediamo una nuova informazione, la presenza sull’aereo della bomba portata dal matematico. Pertanto il modello probabilistico è cambiato.

La probabilità che interessa non è più quella di avere 2 bombe a bordo, ma quella di avere 2 bombe a bordo dato che ce n’è già una.

Quello illustrato sopra è un esempio di probabilità di un evento (una seconda bomba a bordo) condizionatamente al verificarsi di un altro evento (la prima bomba a bordo).

Page 35: Calcolo delle probabilità

Probabilità condizionata

La probabilità condizionata di un evento A dato un evento B (in simboli: Pr(A | B)) è la probabilità che si verifichi A nell’ipotesi che si verifichi B.

La probabilità di A dato B è strettamente collegata alla probabilità dell’intersezione di A e B. Si ha infatti:

Page 36: Calcolo delle probabilità

Probabilità condizionata

)|Pr()Pr()Pr( BABBA

:0)Pr( B

)Pr()Pr()|Pr(

BBABA

Teorema della Probabilità Condizionata:

Quindi assumendo

si deduce:

Page 37: Calcolo delle probabilità

Teorema della probabilità condizionata Verifichiamo il teorema nell’ipotesi di uno spazio

equiprobabile (il teorema vale però in generale!). Se si verifica B, gli esiti che non soddisfano B sono

esclusi, e i casi possibili sono quelli che soddisfano B. I casi favorevoli ad A (considerando solo quelli

possibili, cioè quelli che soddisfano B) sono quelli che soddisfano sia A che B.

Quindi il rapporto fra numero di casi favorevoli e numero di casi possibili è

)Pr()Pr(

BBA

Page 38: Calcolo delle probabilità

Esempi

Un’urna contiene 10 biglie rosse e 15 biglie blu. Ne estraiamo 2 senza reimbussolamento. Vogliamo calcolare la probabilità che escano una biglia rossa ed una blu, in qualunque ordine.

Indichiamo con 1R l’evento la prima estratta è rossa, con 1B l’evento la prima estratta è blu. Similmente 2R e 2B denotano gli eventi la seconda estratta è rossa e la seconda estratta è blu.

L’evento escono una biglia rossa ed una blu può essere scritto come )21()21( RBBR

Page 39: Calcolo delle probabilità

Esempi

).1|2Pr()1Pr()21Pr()1|2Pr()1Pr()21Pr(BRBRBRBRBR

Si ha subito: Pr(1R)=10/25=2/5 Pr(1B)=15/25=3/5.

Per la legge additiva, la probabilità di estrarre una biglia rossa ed una blu è data da

Per il Teorema della probabilità composta, si ha:

)21Pr()21Pr())21()21Pr(( RBBRRBBR

Page 40: Calcolo delle probabilità

Esempi

Valutiamo ora Pr(2B|1R). Se la prima biglia estratta è rossa restano nell’urna 24 biglie di cui 15 blu. Pertanto Pr(2B|1R)=15/24=5/8

55

53

85

52

)1|2Pr()1Pr()1|2Pr()1Pr()21Pr()21Pr(

BRBRBRRBBR

La probabilità richiesta è quindi 1/2

Valutiamo Pr(2R|1B). Se la prima biglia estratta è blu, restano nell’urna 24 biglie di cui 10 rosse. Quindi Pr(2R|1B)=10/24=5/12.In conclusione, la probabilità di estrarre una biglia rossa e una blu è data dalla formula:

Page 41: Calcolo delle probabilità

Altri esempi

Sono date due urne. La prima contiene 3 palline rosse e 5 blu, la seconda contiene 7 palline rosse e 4 blu. Si sceglie un’urna a caso (lanciando una moneta), e poi si sceglie una pallina a caso nell’urna estratta. Qual è la probabilità di estrarre una pallina rossa?

Risposta: Siano U1 e U2 gli eventi l’urna estratta è la prima e l’urna estratta è la seconda. Sia R l’evento la pallina estratta è rossa. Si ha

).2|Pr()2Pr()1|Pr()1Pr()2Pr()1Pr()Pr(URUURU

URURR

Page 42: Calcolo delle probabilità

Altri esempi

Ora, Pr(U1)=Pr(U2)=1/2 (se la moneta è bilanciata). Inoltre se l’urna estratta è la prima la probabilità di

estrarre una pallina rossa è 3/8, e se l’urna estratta è la seconda, la probabilità di estrarre una pallina rossa è 7/11.

Quindi Pr(R|U1)=3/8, e Pr(R|U2)=7/11. Pertanto, Pr(R)=(1/2).(3/8)+(1/2).(7/11)=89/176 (poco

più di ½).

Page 43: Calcolo delle probabilità

Legge di Bayes

Dal Teorema della Probabilità composta segue subito che

).|Pr()Pr()Pr()|Pr()Pr()Pr( BABABABABA

Se ne deduce Pr(A) . Pr(B|A)= Pr(B) . Pr(A|B).

Questa legge, detta Legge di Bayes, consente di ricavare uno qualsiasi dei valori Pr(A), Pr(B), Pr(A|B) e Pr(B|A) una volta noti gli altri tre.

Page 44: Calcolo delle probabilità

Esempi

In un certo periodo dell’anno, in Italia, la percentuale dei malati di influenza è del 7%.

La percentuale degli Italiani che frequenta abitualmente locali pubblici è del 75%.

Il 90% degli Italiani con l’influenza frequenta locali pubblici.

Il Signor Rossi frequenta abitualmente locali pubblici. Qual è la probabilità che si prenda l’influenza?

Page 45: Calcolo delle probabilità

Esempi

Risposta: siano I e P gli eventi avere l’influenza e frequentare locali pubblici. Per ipotesi, Pr(I)=7%, Pr(P)=75%. Inoltre Pr(P | I)=90%.

Quella che vogliamo calcolare è la probabilità per un generico individuo di prendersi l’influenza dato che frequenta locali pubblici, cioè Pr(I | P).

Per la legge di Bayes, si ha Pr(I | P)=(Pr(P | I) . Pr(I)):Pr(P)=(7% 90%):(75%) =

63/750=21/250 che corrisponde all’8,4%.

Page 46: Calcolo delle probabilità

Esempi

Nell’esempio precedente la legge di Bayes ha consentito di calcolare la probabilità di avere una malattia date le possibili cause (diagnosi probabilistica)

Nel prossimo esempio mostreremo come viceversa in presenza della malattia si possa calcolare la probabilità che sia intervenuta una certa causa (anamnesi probabilistica)

Page 47: Calcolo delle probabilità

Esempi

Il 18% di una certa popolazione soffre di disturbi gastrici.

Il 28% di tale popolazione mangia troppe sostanze grasse.

Il 30% delle persone che mangiano troppi grassi soffre di disturbi gastrici.

Un medico viene interpellato da un paziente che lamenta disturbi gastrici.

Qual è la probabilità che il paziente abusi di sostanze grasse?

Page 48: Calcolo delle probabilità

Esempi

Risposta. Sia Gr l’evento: il paziente abusa di sostanze grasse, e sia Ga l’evento: il paziente soffre di disturbi gastrici. Si ha:

Pr(Ga)=18%, Pr(Gr)=28%, Pr(Ga | Gr)=30%. Pertanto, Pr(Gr | Ga)=(30% . 28%):18%=7/15,

poco meno di ½.

Page 49: Calcolo delle probabilità

Altri esempi

In una certa nazione il 40% delle persone coinvolte in incidenti stradali guidavano in stato di ubriachezza, mentre il rimanente 60% (quindi una percentuale maggiore) erano complessivamente sobri. Possiamo quindi dedurre che è meno rischioso guidare ubriachi?

La risposta sarebbe SI se la percentuale dei guidatori ubriachi fosse uguale a quella dei guidatori sobri.

Page 50: Calcolo delle probabilità

Altri esempi

Supponiamo che la percentuale dei guidatori ubriachi in quella nazione sia del 10% e che il 20% dei guidatori sia coinvolto in qualche incidente. Qual è la probabilità di essere coinvolto in un incidente per un guidatore ubriaco e per un guidatore sobrio?

Risposta: indichiamo con U, con S e con I rispettivamente gli eventi guidare in stato di ubriachezza, guidare da sobri, e avere un incidente. I dati del problema si riassumono come segue:

Page 51: Calcolo delle probabilità

Altri esempi

Pr(I)=20%, Pr(U | I)=40%, Pr(S | I)=60%, Pr(U)=10%, Pr(S)=90%.

Quindi Pr(I | U)=(Pr(U | I) . Pr(I)) : Pr(U)=4/5 (pari all’80%) Invece Pr(I | S)=Pr(S | I) . Pr(I)) : Pr(S)=2/15 (pari a circa il 13%). Quindi (bella scoperta!) è meglio non guidare

ubriachi.

Page 52: Calcolo delle probabilità

Un esempio significativo

In una scuola viene fatto un test per stabilire la presenza di una malattia che colpisce mediamente l’1% degli studenti.

Sia in presenza che in assenza della malattia, il test risulta corretto nel 95% dei casi.

Mario, uno studente di matematica, risulta positivo. Tuttavia, pur essendo un po’ preoccupato, è abbastanza fiducioso.

Perché? Qual è la probabilità che Mario abbia la malattia sapendo che è risultato positivo?

Page 53: Calcolo delle probabilità

Un esempio significativo

Risposta: poniamo P= il test è positivo, C=il test è corretto, M=lo studente analizzato ha la malattia. Per ipotesi è Pr(M)=1%, Pr (C) = Pr(C | M)=Pr(C |

Mc)=95%, Pr(Mc)=99%, Pr(Cc)=5%. Dobbiamo calcolare è Pr(M | P), la probabilità della

presenza della malattia dato che il test è positivo.

Page 54: Calcolo delle probabilità

Un esempio significativo

Si ha: Pr(M | P)=(Pr(P | M).Pr(M)) : Pr(P) Pr(M)=1%, Pr(P | M)=Pr(C | M)=95%. Quindi Pr(M | P)=0.0095 Riassumo: Pr(M)=1%, Pr (C) = Pr(C | M)=Pr(C | Mc)=95%,

Pr(Mc)=99%, Pr(Cc)=5%, Pr(M | P)=0.0095. Calcolo Pr(P). L’evento P si verifica se c’è la malattia e il test

è corretto o se non c’è la malattia e il test è errato. Quindi

%.5%90%95%10)|Pr()Pr()|Pr()Pr(

)Pr()Pr()Pr(

cc

cc

MCMMCM

CMCMP

Page 55: Calcolo delle probabilità

Un esempio significativo

Quindi, Pr(P)=0,14. Ricordo che Pr(M) . Pr(P | M)=0,0095. Inoltre Pr(M | P)=(Pr(M) . Pr(P | M)) : Pr(P). Quindi: Pr(P | M)=0,0095:0,14=6,7857 . 10-2. In altre parole, la probabilità che Mario abbia la

malattia dato che il test è positivo è solo del 6,7857%. Morale: un test per una malattia abbastanza rara deve

essere estremamente preciso, altrimenti non è attendibile.

Page 56: Calcolo delle probabilità

Eventi indipendenti

Due eventi A e B si dicono indipendenti se Pr(A | B)=Pr(A), cioè se la probabilità di A non dipende dal verificarsi o meno di B.

Si noti che la relazione di indipendenza è simmetrica.

Infatti, Pr(A | B)=Pr(A) se e solo se)Pr()Pr()Pr()|Pr()Pr( BABBABA

Page 57: Calcolo delle probabilità

Esempi

Da un’urna contenente i numeri da 1 a 100, estraiamo due numeri in successione con reimbussolamento. Consideriamo gli eventi 1P: il primo estratto è pari e 2D: il secondo estratto è dispari.

Gli eventi 1P e 2D sono indipendenti. Infatti ciascuno dei due ha probabilità ½ indipendentemente dal verificarsi o meno dell’altro.

Estraiamo ora due numeri dalla stessa urna senza reimbussolamento.

Gli eventi 1P e 2D non sono più indipendenti. Infatti Pr(2D)= ½, mentre Pr(2D | 1P)= 50/99.

Infatti se il primo estratto è pari, restano nell’urna 99 numeri di cui 50 dispari.

Page 58: Calcolo delle probabilità

Esercizi

Un’urna contiene 20 palline rosse e 10 palline blu. Estraiamo dall’urna in successione 10 palline con reimbussolamento. Qual è la probabilità che almeno una sia blu?

Risposta: calcoliamo prima la probabilità del complemento, cioè che siano tutte rosse.

Gli eventi: la prima è rossa, la seconda è rossa, …, la decima è rossa sono indipendenti, ed hanno ciascuno probabilità 2/3.

Quindi la probabilità che siano tutte rosse è (2/3)10, e la probabilità che almeno una sia blu è 1-(2/3)10=0,98266

Page 59: Calcolo delle probabilità

Esercizi

Due stringhe della stessa lunghezza differiscono per l’1% dei loro bit.

Un test seleziona una posizione a caso e confronta i bit delle due stringhe che si trovano in essa.

Qual è la probabilità di rilevare una differenza ripetendo il test 30 volte?

Risposta. Calcoliamo la probabilità del complemento, cioè la probabilità di scegliere sempre bit uguali.

Page 60: Calcolo delle probabilità

Esercizi

Sia per i=1,…,30, Ei l’evento: all’i-esimo tentativo trovo 2 bit uguali.

Gli eventi Ei sono indipendenti ed hanno probabilità 99/100.

Quindi la probabilità di selezionare per 30 volte bit uguali è (99/100)30.

Pertanto la probabilità di trovare almeno un bit diverso è 1-(99/100)30=0,2603.

Page 61: Calcolo delle probabilità

Il teorema delle prove ripetute

Supponiamo di ripetere n volte un esperimento in cui siamo interessati al verificarsi di un evento E.

Supponiamo che gli esperimenti si svolgano nelle stesse condizioni, in modo che la probabilità p=Pr(E) di E resti costante in ogni esperimento.

Ci chiediamo, per k=1,2,…,n, qual è la probabilità che E si verifichi k volte su n.

Page 62: Calcolo delle probabilità

Teorema delle prove ripetute

Consideriamo come esito globale degli n esperimenti la sequenza degli esiti dei singoli esperimenti relativi al verificarsi o meno di E.

Una tale sequenza sarà una sequenza di SI (E si è verificato) e NO (E non si è verificato).

Ad esempio SI-SI-SI-NO-NO-SI-NO significa che E si è verificato nei primi 3 esperimenti e nel sesto, e non si è verificato negli altri 3 esperimenti.

Ogni singolo SI ha probabilità p e ogni singolo NO ha probabilità 1-p. Una sequenza con k SI e n-k NO ha probabilità pk . (1-p)n-k.

Page 63: Calcolo delle probabilità

Teorema delle prove ripetute

Quante sono le sequenze lunghe n con k SI e n-k NO?

Una tale sequenza è determinata dalla scelta dei k posti su n in cui vi è un SI.

Vi sono tante scelte quanti i sottoinsiemi di k elementi di un insieme di n elementi, ossia C(n,k).

Ciascuna di tali sequenze ha probabilità

pk . (1-p)n-k. Pertanto:

Page 64: Calcolo delle probabilità

Teorema delle prove ripetute

knkknk ppknCppkn

)1(),()1(

Il risultato di cui sopra si chiama Teorema delle Prove Ripetute.

Page 65: Calcolo delle probabilità

Teorema delle prove ripetute

La probabilità che su n prove ripetute l’evento E di probabilità p si verifichi k volte è il k-esimo addendo nello sviluppo del binomio di Newton di (p+(1-p))n.

Pertanto la distribuzione di probabilità corrispondente viene detta distribuzione binomiale.

Page 66: Calcolo delle probabilità

Esempi

Un dado viene lanciato per 20 volte consecutive. Qual è la probabilità che per 4 volte esca 1? E qual è la probabilità che 1 esca al massimo 4 volte?

Risposta. La probabilità che esca 1 in un singolo lancio è 1/6. Quindi la probabilità che 1 esca 4 volte su 20 è C(20,4) . (1/6)4 . (5/6)16=0,2022.

La probabilità che 1 esca al massimo 4 volte è

0,76875.65

6120 204

0

ii

i i

Page 67: Calcolo delle probabilità

Esempi

Un’urna contiene 40 palline, di cui 10 rosse, 12 bianche e 18 nere. Per 20 volte viene estratta una pallina con reinbussolamento.

Qual è la probabilità che su 20 estrazioni per 6 volte sia estratta una pallina rossa, per 6 volte una pallina bianca e 8 volte una pallina nera?

Soluzione. Una singola sequenza di 20 estrazioni in cui per 6 volte esce una pallina rossa, per 6 volte una pallina bianca e per 8 volte una pallina nera ha probabilità (1/4)6 . (3/10)6 . (9/20)8.

Page 68: Calcolo delle probabilità

Esempi

Le sequenze di 20 palline di cui 6 rosse, 6 bianche e 8 nere sono tante quante le permutazioni con ripetizione di una sequenza di 20 palline di cui 6 rosse, 6 bianche e 8 nere , ossia

20! : (6! . 6! . 8!). Pertanto la probabilità richiesta è

(1/4)6 . (3/10)6 . (9/20)8 . (20!/ (6! . 6! . 8!)) = 0,04834.

Page 69: Calcolo delle probabilità

Esempi

Un’urna contiene 40 palline di cui 20 rosse, 10 blu e 10 nere. Per 10 volte estraiamo una pallina con reimbussolamento. Qual è la probabilità che per 5 volte esca una pallina nera?

Risposta. L’uscita di una pallina nera ha probabilità ¼, per cui la probabilità che per 5 volte esca una pallina nera è C(10,5) . (1/4)5 . (3/4)5=0,058399.

Page 70: Calcolo delle probabilità

Esempi

E qual è la probabilità che su 10 estrazioni per 4 volte esca una pallina nera o una pallina azzurra?

L’uscita di una pallina nera ha probabilità ¼, come pure quella di una pallina azzurra.

Quindi la probabilità dell’uscita di una pallina nera o azzurra è ¼ + ¼ = ½.

La probabilità che esca una pallina nera o azzurra per 4 volte su 10 è C(10,4) . (1/2)4 . (1/2)6 =0,20508.

Page 71: Calcolo delle probabilità

La legge dei grandi numeri

Supponiamo di ripetere un numero potenzialmente infinito di volte un esperimento, in cui l’evento E ha probabilità costante p.

Allora con probabilità 1 la frequenza di E (numero di volte in cui E si verifica fratto numero degli esperimenti) tende alla probabilità p.

Restando al finito, ciò significa che con probabilità molto alta su un numero molto grande di esperimenti la frequenza dell’evento E è molto vicina alla probabilità p.

Page 72: Calcolo delle probabilità

Variabili aleatorie

Supponiamo che un esperimento possa avere esiti e1, …, en.

Una variabile aleatoria relativa all’esperimento è una funzione che ad ogni esito ei associa un numero reale (positivo o negativo) ai.

Page 73: Calcolo delle probabilità

Esempio

Ho fatto una scommessa sull’esito del lancio di un dado.

Se esce un numero <3, perdo 15 euro. Se esce 3 o 4 guadagno 5 euro. Se esce 5 o 6 guadagno 10 euro. La funzione mio guadagno è una variabile aleatoria

che assume valore –15 se escono l’1 o il 2, che assume valore 5 se escono il 3 o il 4, e che assume valore 10 se escono il 5 o il 6.

Page 74: Calcolo delle probabilità

Variabili aleatorie

Altro esempio. Ho venduto 1000 televisori che mi sono costati 200 Euro ciascuno, al prezzo di 300 Euro l’uno. Il contratto prevede che il televisore venga sostituito gratuitamente in caso di guasto entro il primo anno.

Il mio guadagno è una variabile aleatoria che dipende dagli eventi ei: entro il primo anno si guastano i televisori, per i=0,1,…,200.

Se si verifica l’evento ei, la variabile aleatoria vale 10000-200. i.

La variabile assume valore positivo se i<500.

Page 75: Calcolo delle probabilità

Valore atteso di una variabile aleatoria

Supponiamo che per i=1, … , n la probabilità dell’esito ei sia pi, ove p1+…+pn=1.

Consideriamo la variabile aleatoria X che per i=1,…,n, assume il valore ai se si verifica l’evento ei.

Per la legge dei grandi numeri, su un numero N grande di prove, ciascun evento ei si verifica circa N.pi volte.

Quindi la media dei valori assunti da X è

n

iii

n

iii

apN

Nap

1

1 .

Page 76: Calcolo delle probabilità

Valore atteso

Il valore atteso o valor medio della variabile aleatoria X definita sopra è per definizione il numero

E(X)=a1p1+…+anpn. Tale valore atteso rappresenta la media dei

valori della variabile aleatoria X su un numero grandissimo (potenzialmente infinito) di esperimenti.

Page 77: Calcolo delle probabilità

Esempi

Qual è il valore atteso della variabile esito numerico del lancio di un dado bilanciato?

Risposta. La variabile assume i valori 1,2,3,4,5,6 tutti con probabilità 1/6. Quindi E(X)=1/6+2.(1/6)+3.(1/6)+…+6.(1/6)=3,5.

Come si vede, il valore atteso non è il valore più probabile. Infatti nessun lancio di dado avrà mai come esito un numero decimale come 3,5. Il valore atteso rappresenta una sorta di media ponderata dei valori della variabile.

Page 78: Calcolo delle probabilità

Esempi

Qual è il valore atteso della variabile aleatoria somma degli esiti dei lanci di due dadi?

Risposta. Calcoliamo la probabilità di ottenere rispettivamente 2,3,4,…,12 come somma degli esiti dei due lanci.

I casi possibili sono tanti quante le sequenze di 2 numeri da 1 a 6, quindi 36.

Inoltre vi sono 1 modo di fare 2 o 12 (1+1 e 6+6), 2 modi di fare 3 o 11, 3 modi di fare 4 o 10, 4 modi di fare 5 o 9, 5 modi di fare 6 o 8, e 6 modi di fare 7.

Page 79: Calcolo delle probabilità

Esempi

Le probabilità di fare 2 o 12, 3 o 11, 4 o 10, 5 o 9, 6 o 8 e 7 sono rispettivamente: 1/36, 2/36, 3/36, 4/36, 5/36 e 6/36.

Quindi E(X)=(1/36).(2+12)+(2/36).(3+11)+ (3/36).(4+10)+(4/36).(5+9)+(5/36).(6+8)+(6/36).7=7. Si noti che il valor medio 7 della variabile somma degli

esiti di due lanci di dado è il doppio del valor medio 3,5 della variabile esito di un singolo lancio.

In generale, il valor medio della somma di due variabili aleatorie indipendenti è la somma dei loro valori medi.

Page 80: Calcolo delle probabilità

Esercizi

Da un’urna contenente i primi 100 numeri vengono estratti senza reimbussolamento dei numeri finché non esce il numero 7. Qual è il valore atteso della variabile aleatoria numero di estrazioni necessarie per estrarre il numero 7?

Risposta. Valutiamo per i=1,…,100, la probabilità pi che 7 sia estratto alla i-esima estrazione. Il valor medio E(X) sarà allora dato dalla formula

E(X)=1 . p1+2 . p2+…+100 . p100.

Page 81: Calcolo delle probabilità

Esercizi

Calcolo pi. I casi possibili sono le sequenze senza ripetizioni (disposizioni semplici) di i numeri fra i 100 numeri dati, ossia D(100,i)=100.99.98. ….(100-i+1).

Casi favorevoli. Il primo estratto deve essere diverso da 7, quindi varia in 99 modi, il secondo dovendo essere diverso da 7 e dal primo, varia in 98 modi, il terzo in 97, … , l’i-1-esimo in 100-i+1 modi, l’ì-esimo varia in un modo solo, dovendo essere 7. I casi favorevoli sono quindi 99 . 98 . … . (100-i+1)=D(99,i-1).

Pertanto pi=D(100,i):D(99,i-1)=1/100.

Page 82: Calcolo delle probabilità

Esercizi

Si noti che tutte le probabilità pi sono uguali fra loro al variare di i.

Ne segue che E(X) = 1/100 . (1+2+3+…+100) =50,5. Ovviamente il risultato non dipende dalla scelta

del numero 7. Se a 7 sostituiamo un numero qualsiasi da 1 a 100, il valore atteso resta sempre lo stesso.

Page 83: Calcolo delle probabilità

Esercizi

Cosa succede se le estrazioni avvengono con reimbussolamento?

In questo caso il numero di passi necessario ad estrarre 7 può essere arbitrariamente grande, per cui il calcolo del valore atteso richiede una somma infinita.

La probabilità di estrarre 7 dopo k passi è pk=(1/100) . (99/100)k-1. Il valor medio del numero dei tentativi necessari per estrarre 7 è

E(X)=1 . p1+2 . p2+…+k . pk+…=100. Tale valore è il reciproco della probabilità dell’evento.

Page 84: Calcolo delle probabilità

Esercizi

Vengono fatti dei test in successione sui 1000 abitanti di una paese per determinare se qualcuno è affetto da una malattia infettiva. Se la percentuale dei contagiati è del 5%, qual è il valore atteso del numero dei test necessari per trovare il primo test positivo?

Risposta. Valutiamo, per n=1,2,…,951, la probabilità pn

di trovare un contagiato dopo l’ennesimo test. (Dopo 951 test ne troviamo sicuramente uno). Si avrà allora:

E(X)=1 . p1+2 . p2+…+p950 . 950+p951

. 951.

Page 85: Calcolo delle probabilità

Esercizi

Valutiamo pn. Intanto, p1=5%=1/20. Sia n>1. Casi possibili: tanti quante le disposizioni semplici di n

oggetti presi fra 1000, ossia D(1000,n)=1000 . 999 . 998 .…. (1000-n+1). Casi favorevoli: il primo varia in 950 modi, il secondo in

949 modi, … , l’n-1 esimo in 950-n+2 modi, l’n-esimo in 50 modi. Totale: 950 . 949 . 948 .…. (950-n+2) . 50.

Pertanto: pn =(950.…. (950-n+2).50)/(1000.999.….(1000-n+1)).

Page 86: Calcolo delle probabilità

Esercizi

Ne segue che il valor medio della variabile aleatoria numero di tentativi necessari per trovare un individuo affetto dalla malattia vale

E(X)=p1+2.p2+3.p3+…+950.p950 +951.p951=19,627. Si noti che tale valor medio è leggermente inferiore a

20, il reciproco della probabilità 1/20. La differenza è dovuta al fatto che il modello è quello di

estrazione senza reimbussolamento (non si testa mai la stessa persona due volte).

Page 87: Calcolo delle probabilità

Esercizi

Un tale vi propone la seguente scommessa. Viene lanciato un dado per 3 volte. Voi vincete 2 Euro se almeno 2 dei 3 lanci hanno lo

stesso esito, e pagate 1,5 Euro se i 3 esiti sono diversi fra loro.

Accettate? Risposta. Sia X la variabile aleatoria vostro guadagno. Vi conviene accettare se E(X)>0. Detta p la probabilità di almeno 2 lanci con lo stesso

esito, si ha E(X) = 2 . p – 1,5 . (1-p).

Page 88: Calcolo delle probabilità

Esercizi

Valutiamo prima la probabilità 1-p del complemento, cioè di avere 3 lanci con esiti diversi.

Casi possibili: tanti quante le terne di esiti da 1 a 6, cioè 63=216

Casi favorevoli: le terne di numeri da 1 a 6 prive di ripetizioni, che sono D(6,3)=120.

Quindi 1-p=120/216, e p=96/216. Pertanto: E(X)=2(96/216)-3/2(120/216) = 0.055556>0, che è un

valore molto basso, ma positivo. Conviene accettare.

Page 89: Calcolo delle probabilità

Esercizi

Il Signor Rossi vi propone la seguente scommessa: Vengono lanciati due dadi. Gli esiti possibili della

somma dei 2 lanci sono 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 (11 esiti in totale).

Rossi punta su un numero e vince 8 volte la posta se il numero da lui puntato è la somma dei lanci dei due dadi. Accettate?

Soluzione. Il gioco sembra conveniente perché le possibilità sono 11 e Rossi vince solo 8 volte la posta se indovina.

Page 90: Calcolo delle probabilità

Esercizi

Tuttavia Rossi può puntare sul 7, che ha probabilità 6/36=1/6.

Il valore atteso del guadagno del Signor Rossi (e quindi della vostra perdita) se punta sul 7 è

(1/6).8P-(5/6).P=(8/6-5/6).P=(3/6).P=P/2>0. Quindi il gioco è vantaggioso per Rossi e svantaggioso

per voi, e non vi conviene accettare. Naturalmente il gioco potrebbe diventare vantaggioso

per voi se Rossi fosse del tutto irrazionale e puntasse ogni volta su un numero a caso.

Page 91: Calcolo delle probabilità

Scarto quadratico medio e varianza

Sia data una variabile aleatoria X. Supponiamo di volerne indovinare (magari con una certa approssimazione) il valore. Sia a il valore da noi previsto.

Consideriamo la variabile aleatoria (X-a)2. Tale variabile rappresenta il quadrato dell’errore che commettiamo attribuendo ad X il valore a.

Se in corrispondenza agli esiti e1,…,en (le cui probabilità supponiamo essere p1,…,pn) la variabile X assume i valori a1,…,an, il valore atteso della variabile (X-a)2 risulta (a1 -a)2 . p1 + … +(an -a)2 . pn.

Page 92: Calcolo delle probabilità

Scarto quadratico medio e varianza

Si può dimostrare che il valore a che rende minimo il valore atteso della variabile (X-a)2 è il suo valore atteso E(X). Quindi E(X) rappresenta l’approssimazione numerica migliore della variabile X.

Il valore atteso della variabile (X-E(X))2 si chiama varianza di X e si indica con V(X). La radice quadrata della varianza V(X) si chiama invece scarto quadratico medio o deviazione standard della variabile X.

Page 93: Calcolo delle probabilità

Scarto quadratico medio e varianza

Mentre E(X) può essere pensato come media dei valori assunti da X su un numero grande di esperimenti, V(X) (o anche lo scarto quadratico medio) dà un’idea di quanto i valori della variabile nei singoli esperimenti possono discostarsi da E(X).

Page 94: Calcolo delle probabilità

Varianza

Se ad esempio V(X) è molto bassa, con alta probabilità possiamo aspettarci dei valori di X molto vicini al valore atteso E(X). In altre parole, non solo la media dei valori di X su un grande numero di esperimenti tende a E(X), ma non vi sono grosse oscillazioni intorno ad E(X).

Invece se V(X) è grande, anche se la media dei valori di X su un numero grandissimo di esperimenti tende a E(X), è prevedibile che vi siano forti oscillazioni, e che quindi la media dei valori di X sia avvicini al valore atteso solo dopo un numero molto grande di esperimenti.

Page 95: Calcolo delle probabilità

Disuguaglianza di Chebyshev

Il fatto che la varianza dia un’idea di quanto la variabile aleatoria possa discostarsi dal suo valore atteso è riassunto dalla seguente disuguaglianza di Chebyshev:

Sia X una variabile aleatoria, e sia a un numero reale positivo. Allora:

Pr(|X-E(X)|>a) Var(X)/(a2). In altre parole: la probabilità che lo scarto della

variabile X dal suo valor medio sia maggiore di a ha un limite superiore inversamente proporzionale ad a2 e direttamente proporzionale alla varianza V(X).

Page 96: Calcolo delle probabilità

Esempi

Ho fatto una scommessa: pesco una carta da un mazzo di 40 carte. Vinco 30 Euro se pesco l’Asso di Cuori e perdo 1 Euro altrimenti. Calcolare media e varianza della variabile aleatoria X=mio guadagno.

Soluzione. E(X)=30/40-39/40=-9/40. V(X)=39/40.(-1-(-9/40))2+(1/40).(30-(-9/40))2=23,424.

Page 97: Calcolo delle probabilità

Esempi

Calcolare la varianza della variabile aleatoria X=somma degli esiti del lancio di due dadi.

Come è noto, E(X)=7. Inoltre X assume i valori 2 e 12 con probabilità 1/36, 3 e 11 con probabilità 2/36, 4 e 10 con probabilità 3/36, 5 e 9 con probabilità 4/36, 6 e 8 con probabilità 5/36 e il valore 7 con probabilità 6/36.

Quindi V(X)=1/36.((2-7)2+(12-7)2)+2/36.((3-7)2+(11-7)2) +3/36.((4-7)2+(10-7)2)+4/36.((5-7)2+(9-7)2)+

+5/36.((6-7)2 +(8-72)+6/36(7-7)2 =6.