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Calcolo delle probabilità Progetto lauree scientifiche Università dellInsubria Facoltà di Matematica Como Paola BertoncelloNatalina Drappo

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  • Calcolo delle probabilit Progetto lauree scientifiche Universit dellInsubria Facolt di Matematica Como Paola BertoncelloNatalina Drappo
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  • Introduzione alla probabilit definizioni Probabilit discreta Variabile aleatoria Evento elementare Spazio campionario in cui linsieme dei valori assumibili dai risultati sia finito o numerabile Analisi degli esiti di esperimenti aleatori Grandezza i cui valori siano i possibili esiti di un esperimento Risultato del lancio Mano di poker Esito di un esperimento aleatorio Insieme degli eventi elementari Evento Sottoinsieme dello spazio campionario testa testa TT {TT, TC, CT, CC } {TT, TC, CT} di due monete
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  • Probabilit classica di un evento E _____________ P(E)= Casi favorevoli Casi possibili Propriet E = esce almeno una testaIEI = 3 = spazio campionario del lancio di due I I = 4 P(E) = monete 0P(E) 1 P(E c )=1-P(E) E c = non esce alcuna testa IE c I = 1 P(E c ) = 1/4 E F P(E) > P(F) F= esce una testa = {TC, CT} IFI=2 P(F)=1/2 TT CC TC CT E F
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  • Strumenti matematici per lo studio della probabilit Disposizione semplice Selezione ordinata di k elementi di un insieme finito di dimensione n Elenco degli studenti seduti nella prima fila Primi tre classificati di una gara Problema: quante disposizioni si presentano nellestrazione di due palline da un sacchetto che ne contiene 4 diverse? Soluzione: 4 possibilit per la prima pallina per ogni scelta della prima ci sono 3 possibilit per la seconda per ogni scelta delle precedenti ci sono 2 possibilit per la terza Numero di disposizioni semplici: 4 3 2 = 24
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  • Regola: Altri esempi e relative soluzioni: Il numero di modi in cui disporre 4 alunni in prima fila in una classe di 25 studenti 25 24 23 22 = 303600 le possibili disposizioni dei numeri della prima cinquina della tombola sono 90 89 88 87 86 > 5 10 10 Il numero di k-disposizioni semplici di n elementi n (n-1) (n-k+1) Usando il fattoriale di n, definito come n!=n (n-1) (n-2) .. 1 ottengo: D k,n = _____ n! (n-k)!
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  • Disposizione con ripetizione Elenco di k elementi ordinati di un insieme di dimensione n per cui prevista la ripetizione Pin del telefono Lancio di tre dadi Problema: quanti prefissi telefonici si possono scrivere con tre cifre? Soluzione: 9 possibilit per la prima cifra Per ogni scelta della prima cifra ho 9 possibilit per la seconda Per ogni scelta delle prime due cifre ho 9 possibilit per la terza Disposizioni con ripetizione: 9 9 9 = 9 3
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  • Altri esempi e relative soluzioni: Regola: Il numero di colonne possibili del totocalcio 3 13 = 1594323 il numero di targhe che si pu ottenere con 4 numeri e 2 cifre finali 10 4 26 2 = 6760000 Il numero di k-disposizioni con ripetizione di n elementi D k,n = n k nota il numero di password di 8 cifre che si possono scrivere con cifre alfanumeriche maiuscole e minuscole senza caratteri speciali (10+26x2) 8
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  • Permutazione (semplice) Possibile ordinamento di un insieme finito di elementi una n-disposizione semplice di n elementi Ordine di arrivo ad una gara Posizione dei libri in una libreria Problema: in quanti modi posso distribuire i 25 studenti di una classe? Soluzione: partendo dal primo banco, per il quale ho 25 possibilit, ad ogni scelta successiva ho uno studente in meno a disposizione, per cui ho 25 24 23 ..2 1 = 25! Regola Le permutazioni di n elementi sono P n = n!
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  • Estrazioni del lotto Combinazioni Raggruppamenti di k elementi di un insieme di dimensione n = possibili sottoinsiemi Studenti interrogati Problema: quante scelte ha un professore se interroga 4 persone in una classe di 25? Soluzione: Il numero di 4-disposizioni di 25 elementi 25!/21! Le disposizioni con gli stessi elementi in cui cambia solo lordine corrispondono alla stessa composizione Il loro numero corrisponde al numero di permutazioni: sono 4! Le combinazioni sono 25! ____ 21!4!
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  • Altri esempi e relative soluzioni: Regola: Il numero di combinazioni vincenti del SuperEnalotto Il numero di sottoinsiemi di k elementi di un insieme di dimensione n n! (n-k)!k! C k,n = ______ 90! 84!6! Definisco coefficiente binomiale il valore ( ) nknk (n-k)!k! ______ n! =
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  • Probabilit composta definizioni X, Y variabili indipendenti A, B eventi indipendenti I x J y si ha A A P(I J) = P(I) P(J) P(A B) = P(A) P(B) Dico due variabili o due eventi indipendenti se il verificarsi del primo non influenza il verificarsi del secondo. Ossia se tutti i possibili eventi della prima sono indipendenti dai possibili eventi della seconda A ={TT, TC}B = {TC, CC} X = esito lancio del primo dado Y = esito lancio del secondo dado TT TC CC CT
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  • Regole con E F = ho Dati due eventi E e F P(E F) = P(E) + P(F) - P(EF) P(E F) = P(E) + P(F) TTT TTC TCC CCC CTT TCT CTC CCT E F E = esattamente due teste F = la prima testa E = esattamente due teste F = esattamente una testa CTC CCT TCC TTT CCC CTT TCT TTC F E Nota: nel caso di tre eventi P(E F G) = P(E) + P(F) + P(G) - P(EF) - P(EG) - P(FG) + + P(EFG)
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  • Diagramma ad albero struttura di oggetti (foglie) e collegamenti (rami) orientati Ogni foglia pu discendere da un solo predecessore (padre) Ad ogni foglia possono seguire diversi oggetti (figli) Lancio di tre dadi T C V V VV V V I possibili esiti si trovano percorrendo tutti i rami dalla radice alla cima Si consideri un evento costituito da eventi elementari che siano fasi successive di un esperimento
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  • Principio di moltiplicazione Sia E levento che si ottiene percorrendo un ramo dellalbero dalla radice alla cima ed e i gli eventi elementari corrispondenti alle foglie del percorso di E P(E) = P(e i ) Probabilit di un codice alfanumerico del tipo aabc con a:1 b:cifra c:lettera 1 1 1 0123 9 1/10 ab ywz 1/26 P(-1,1,9,y)= 1/101/26 = __ 1 1040
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  • Probabilit condizionata e inversa P(F|E) = Probabilit che levento F si realizzi nellipotesi che levento E si sia gi realizzato F = due esiti su tre sono testaE = il primo esito testa P(F)=3/8 P(F|E)=2/4 TTT TTC TCC CCC CTT TCT CTC CCT E F TTC TCT E F = TCC TTT
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  • Regola P(F|E)= P(FE) P(E) _______ Nota: F indipendente da E se (def.) P(F|E) = P(F) se sostituisco trovo P(E) P(F) = P(EF) P(FE)=2 Riferendosi allesercizio precedente P(E)= 4P(F|E)= 2/4
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  • Problema della probabilit inversa Problema: Lurna I contiene 3 palline rosse e 2 blu, lurna II contiene 1 pallina rossa e 1 blu. Pesco ad occhi chiusi una pallina rossa: Quale la probabilit che provenga dallurna 1? Soluzione Uso il diagramma ad albero: r b Evento elem. P(e 1 ) I II r b 2/5 3/5 3/10 1/5 1/4 P(b)=9/20 P(r)=11/20 Costruisco il diagramma inverso: P(e 2 ) P(E i ) i=14
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  • b r I II I 9/20 11/20 x = 4/9 5/9 6/11 5/11 Come trovare x : la probabilit dei rami equivalenti dei due alberi uguale, quindi: 9/20 x = P(E 2 ) = 1/5 3/10 1/5 1/4 P(bI) P(b) P(I|b) Il problema corrisponde alla ricerca della probabilit dellurna I condizionata allaver pescato b P(II|r) = 5/11 P(I|r) = 6/11 P(II|b) = 5/9 P(I|b) = 4/9
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  • Formula di Bayes Problema: Si consideri un esperimento in due fasi e si voglia calcolare la probabilit di un evento elementare H i al primo stadio nota la probabilit dellevento E al secondo stadio Regola P(H i |E) = ________________ P(E|H i ) P(H i ) P(E|H k ) P(H k ) = __________ P(E|H i ) P(H i ) P(E)
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  • Probabilit discreta e continua definizioni Dato uno spazio campionario discreto def. probabilit su una qualsiasi funzione P : [0,1]che soddisfi P() = 1 P( A k ) = P(A k ) * * Finito o numerabile 1) 2)
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  • Probabilit classica finito o numerabile con = { w i } II = dimensione (o la cardinalit) di P(E) = IEI IIII ___ E A definizione equivalente alla probabilit classica: Sia m(x) una funzionem : [0,1]con P() = 1 m(x) =1 detta funzione di distribuzione di Sia E un sottoinsieme di definisco P(E) := m(x) P : [0,1] con
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  • Le propriet sono quelle gi viste. le trasmettiamo dagli insiemi agli elementi per il caso numerabile le somme diventano serie studio della convergenza (esistenza di una somma finita)
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  • X = lunghezza della corda di una circonferenza unitaria = ( 0,2]Si voglia P(E) con E = (,2] Scelgo un sistema di coordinate per il punto medio: rettangolari del con origine nel centro della circonferenza M: (x,y)(x,y) [-1,1] x [-1,1] con x 2 +y 2 1 LHp corrisponde a X lato del triangolo equilatero. M interno alla circonferenza di raggio Caso continuo
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  • Nota: Se ho uno spazio campionario sottoinsieme di IR 2 e ipotizzo che tutti i suoi punti siano equiprobabili posso associare ad una superficie una probabilit equivalente alla sua area P(E) = =1/4 ______ () 2 (1) 2 Paradosso di Bertrand: P(E) = 1/4 1/2 1/3 M:() M:(xy) A:(1)B:(1) Nota: Area e integrale
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  • definizione F(x) funzione di distribuzione cumulativa di X se Propriet monotona non decrescente continua da destra:
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  • definizione f(x) funzione di densit di X se f: IR IR e vale P(a x b) = IR Scelta la variabile X non detto che esista f(x) + f(x) non una probabilit. P(X E) = purch lintegrale esista Propriet
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