Calcolo delle variazioni Modellistica e Ottimizzazione di
Sistemi e Processi Energetici K.D. Bizon
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Ottimizzazione in spazi funzionali: il calcolo variazionale Si
pu generalizzare il concetto di ottimizzazione, costruendo un
cosiddetto funzionale, ossia unespressione a valori in,
lequivalente concettuale della funzione obiettivo, che dipende non
pi da un certo numero di parametri di progetto, ma da una o pi
funzioni incognite. Tali funzionali possono per esempio essere
formulati come integrali che coinvolgono una funzione incognita e
le sue derivate. Linteresse per le funzioni estremali: quelle cio
che rendono massimo o minimo il valore del funzionale. Come per i
problemi di minimizzazione in spazi a dimensione finita, anche in
questambito esistono condizioni necessarie per lesistenza di
estremi, che corrispondono a una condizione di stazionariet per il
funzionale. Lanalisi delle piccole variazioni attorno ad una
presunta soluzione porta a una condizione necessaria del primo
ordine.
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I problemi classici di calcolo delle variazioni Tra i grandi
problemi passati alla storia della matematica, vale la pena citarne
alcuni, oltrech per il loro interesse soprattutto geometrico e
fisico, per il ruolo che hanno avuto nello sviluppo del calcolo
delle variazioni. Nel problema isoperimetrico ci si chiede quale
figura piana o spaziale renda massima larea o il volume, a seconda
della dimensione, a parit di perimetro o di area della superficie
che lo racchiude. Un altro problema interessante quello della
ricerca delle geodetiche di una superficie, che sono le curve di
minima lunghezza, di estremi assegnati e giacenti su di essa. Per
la sfera le soluzioni sono gli archi di cerchio massimo. Il celebre
problema della brachistocrona venne posto nel 1696 da Jean
Bernoulli. Si tratta della traiettoria prestabilita liscia lungo la
quale deve scivolare un punto materiale pesante, con posizioni
iniziale e finale assegnate, affinch il tempo impiegato per la
discesa sia minimo.
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Rampa/galleria pi veloce
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Problema isoperimetrico Massimo volume a parit di area di
superficieMassima area a parit di perimetro
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Geodetiche di una superficie Geodetica una particolare curva
che descrive localmente la traiettoria pi breve fra punti di un
particolare spazio
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Problema della brachistocrona
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Calcolo delle variazioni Lo strumento chiave del calcolo delle
variazioni classico lequazione di Eulero-Lagrange. Nella sua forma
pi semplice, il calcolo delle variazioni consiste nel minimizzare
il cosiddetto integrale d'azione: al variare della funzione y (x)
fra tutte quelle che soddisfano le condizioni y (x 1 ) = y 1 ed y
(x 2 ) = y 2. Si cerca dunque una funzione y = y (x) (x 1 x x 2 )
che collega i due punti (x 1, y 1 ) e (x 2, y 2 ) e che minimizza
l'integrale d'azione I.
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Calcolo delle variazioni Nella sua forma pi semplice, il
calcolo delle variazioni consiste nel minimizzare il cosiddetto
integrale d'azione: al variare della funzione y(x) fra tutte quelle
che soddisfano le condizioni: y (x 1 ) = y 1 ; y(x 2 ) = y 2.
Questo appena enunciato si chiama problema fondamentale del calcolo
delle variazioni. Si cerca dunque una funzione y = y(x), (x 1 x x 2
) che collega i due punti (x 1, y 1 ) e (x 2, y 2 ) e che minimizza
l'integrale I.
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Supponiamo che f sia di classe C 1 nelle tre variabili x, y ed
y, e consideriamo le due funzioni y(x) ed Y(x) = y(x) (x), entrambe
passanti per i due punti (x 1, y 1 ) e (x 2, y 2 ), dove un
parametro. Poich y(x 1 ) = Y(x 1 ) ed y(x 2 ) = Y(x 2 ), allora (x
1 ) = (x 2 ) = 0 ; per il resto, la funzione (x) arbitraria. Il
termine (x) rappresenta la variazione di y(x). Noi vogliamo
determinare quella y(x) per la quale il funzionale I ha un estremo
relativo, e dunque quella y(x) che, comunque perturbata dalla
variazione (x), con piccolo, lascia stazionario il valore del
funzionale: Calcolo delle variazioni: lequazione di
Eulero-Lagrange
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Calcoliamo quindi la derivata rispetto ad del funzionale I.
Applicando la regola di derivazione delle funzioni composte, si ha:
Scomponiamo lintegrale in somma di integrali ed integriamo il
secondo per parti: Calcolo delle variazioni: lequazione di
Eulero-Lagrange
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Poich (x 1 ) = (x 2 ) = 0, lintegrale del fattore finito si
annulla e dunque, portando a fattor comune, si ha: Dato che (x) una
funzione arbitraria, lintegrale nullo se e solo se identicamente
nulla la quantit in parentesi. Di conseguenza, la derivata rispetto
ad del funzionale I si annulla se e solo se y(x) soluzione
dellequazione (detta di Eulero-Lagrange):
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Calcolo delle variazioni: lidentit di Beltrami Se la funzione f
esplicitamente indipendente da x, si pu dimostrare che la soluzione
del problema variazionale soddisfa una forma particolare
dellequazione di Eulero-Lagrange, detta Identit di Beltrami: dove C
una costante.
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Esempio 1: percorso pi corto (1)
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Esempio 1: percorso pi corto (2)
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Esempio 1: percorso pi corto (3)
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Esempio 2: problema della brachistocrona (1)
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Esempio 2: problema della brachistocrona (2)
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Esempio 2: problema della brachistocrona (3)
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Esempio 2: problema della brachistocrona (4)
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Esempio 2: problema della brachistocrona (5)
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Esempio 2: problema della brachistocrona (8)
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Esempio 2: problema della brachistocrona (7)
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Esempio 3: galleria pi veloce
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Problema isoperimetrico (1)
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Problema isoperimetrico (2)
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Esempio 5: cavo sospeso (1)
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Esempio 5: cavo sospeso (2)
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Esempio 5: cavo sospeso (3)
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Metodi numerici Metodo di Eulero Metodo di Ritz Metodo di
Kantorowicz (per pi variabili)