1

CalcolodiVolumi:sintesideimetodiSolididirotazioneattornoall’assex

Pergiustificaretaleformula,supponiamodisuddividerel’intervallodibase,appartenenteall’assex,innsegmentidilunghezzadxecostruiamoglinrettangolidibasedxealtezzaf(x).Nellarotazioneattornoall’assexessigeneranoaltrettanticilindrettidi

raggiof(x)ealtezzadx.Daqui,mediantel’integrazione,sihalaformulaprecedente:V = π f x( )⎡⎣ ⎤⎦2dx

a

b

∫

Es.Volumegeneratodallarotazioneattornoall’assexdiunquartodicirconferenza

x2 + y2 = R2 ⇒ y = ± R2 − x2

V = π R2 − x2( )2 dx = π R2 − x2( )dx = π R2x − x3

3⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥0

R

= π R3 − R3

3⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

2π3R3

0

R

∫0

R

∫

IlrisultatoottenutocorrispondealvolumedellasemisferadiraggioR.

Solididirotazioneattornoall’assey

N.B. In questa formula serve l’espressione analitica della funzione𝑥 = 𝑓 𝑦 che, rispetto alla funzione𝑦 = 𝑓 𝑥 ,neèlafunzioneinversa.Inqualchecaso,laricercadellafunzioneinversapotrebbenonesserefacile(perragionilegateall’espressioneanaliticadellastessa,maancheperragionilegateallainvertibilitàdellafunzione).Osservaericordachenellaformulaprecedente,aebsonoordinate.

2

Metododei“guscicilindrici”(persolididirotazioneattornoall’assey)

Per giustificare tale formula, il solido generatodalla rotazione attorno all’asse y di una regionepianapuòessere visto comesommaditanti“guscicilindrici”,cioècilindricavidiraggio internox,raggioesternox+∆xealtezzaf(x).Calcoliamoilvolumefinito∆Vdiunodiquesti“gusci”comevolumeinfinitesimodV,sostituendo∆xconl’infinitesimodx:

𝑑𝑉 = 𝜋 𝑥 + 𝑑𝑥 ! ∙ 𝑓 𝑥 − 𝜋 𝑥 ! ∙ 𝑓 𝑥 = 𝜋 𝑥! + 2𝑥𝑑𝑥 + 𝑑𝑥 ! − 𝑥! ∙ 𝑓 𝑥 ≅ 2𝜋𝑥 ∙ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

essendo 𝑑𝑥 !è una quantità trascurabile rispetto a𝑑𝑥. Quindi, partendo da 𝑑𝑉 = 2𝜋𝑥 ∙ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥e passando agli integrali,sommandogliinfiniti“gusci”nell’intervallo 𝑎; 𝑏 incuièdefinitalaregionecheruota,ilvolumedelsolidopuòesserecalcolato

mediante:V = 2π x ⋅ f x( )dxa

b

∫

Es.Volumegeneratodallarotazioneattornoall’asseydiunquartodicirconferenza

x2 + y2 = R2 ⇒ y = ± R2 − x2 maanche x = ± R2 − y2 .Svolgiamoilcalcoloneiduediversimetodiperlerotazioniattornoall’assey.

V = 2π x R2 − x2 dx = 2π − 12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −2x R2 − x2( )

12 dx = −π 2

3R2 − x2( )

32⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥0

R

= − 23π − R2( )

32⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

2π3R3

0

R

∫0

R

∫

oppure(inquestocasol’espressionedellafunzioneinversaèfaciledadeterminare):

V = π R2 − y2( )2 dy = π R2 − y2( )dy = π R2y − y3

3⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥0

R

= π R3 − R3

3⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

2π3R3

0

R

∫0

R

∫

Siottieneilrisultatoanalogoalprecedente,volumedellasemisferadiraggioR.ES.conl’usodelmetododeiguscicilindrici

VS = 2π x ⋅ 2 + cos π2x⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟0

3

∫ dx =

VS = 4π xdx + 2π x0

3

∫ ⋅cos π2x⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

0

3

∫ dx = perparti…

VS = 18π + 2π 2πxsin π

2x⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ +

4π 2 cos

π2x⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥0

3

=

VS = 18π + 2π − 6π− 4π 2

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥= 18π −12 − 8

π

PerlaCapacitàoccorretrovareilvolumeperdifferenzafrailvolumegeneratodallaregionedelimitatadallarettay=2eilvolumegeneratodallaregionedelimitataday=f(x),semprenell’intervallo[1;3].

C = 2π x ⋅ 2 − f x( )( )dx = −2π x ⋅cos π2x⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ dx =

1

3

∫1

3

∫ ...= 16dm3

3

Metododellesezioni(ometododelle“fette”)

Nel caso in cui le sezioni siano individuate con piani perpendicolari all’asse y, la formula diventa:

V = S y( )dya

b

∫doveS(y)èl’areadiunagenericasezionedelsolido(ottenutaconunpianoperpendicolare

all’assey)edinoltreaebsonovalorirelativialleordinate.

N.B.S(x)èilvaloredell’areadiunagenericasezionepianaottenutatagliandoilsolidoinquestioneconun

pianoperpendicolareall’assexinsuopuntogenerico:V = S x( )dx

a

b

∫

Negli esercizi, le sezioni S(x) spesso sono quadrati o rettangoli con caratteristiche indicate, triangoli

equilaterioppure triangoli concaratteristiche indicate, semicerchi, esagoni regolarioppure sono indicati

sialafunzionecheidentificalabasechelafunzionecheidentifical’altezzadellevariesezioni.

Es.Volumediunsolidoconilmetododellesezioni

ConsiderarelaregionedipianoBchelaparaboladiequazione𝑦 = − !

!𝑥! + 𝑥delimitanell’intervallo 0; 4

con l’asse x e calcolare il volume del solido che ha come base la regione B e le cui sezioni con pianiperpendicolariall’assexsonoquadrati(infiguraneèindicatounoconiverticiPQRS)

V = S(x)dx =0

4

∫ − 14x2 + x⎛

⎝⎜⎞⎠⎟2

dx =0

4

∫116

x4 + x2 − 12x3⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ dx =

116 ⋅5

x5 + x3

3− x4

2 ⋅4⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥0

4

0

4

∫ = ...= 3215